初中几何辅助线模型大全

有关终点的考察呀，在整个初中有五大模型，这五大模型可以说是处处考总考，甚至必考，但是很多孩子在考试的时候啊，他不知道这些结论，不知道这些辅助线技巧， 那么他做做题的时候就找不着做题的突破口。现在我给大家整体总结一下这五大模型。关于终点的模型，我们先来看这第一个，第一个，这叫背长中线，当已知条件中出现了中线，地点是终点，那么这样的 已知条件时，我们常常用背长中线，使延长这一段等于 a、 d， 那么连上 e、 c， 这就有边角边全等了，对不对？边角边，边角边全等， 从而得到什么对应边相等，还能得到对应角相等，对应边等对应角等，而这个对应角又是内错角，内错角相等，两直线平行，所以得到的是 a、 b 和 e、 c， 怎么着 a、 b 平行且等于 e、 c 这样的很重要的结论来。下面这个呢，他不是中线，但这种他仍然是中点，那就告诉我们，这是要类中线，类似于中线，那也可以背长，使延长的这一段等于第一， d、 f 等于第一，根据边角边仍然能得到全等，从而 b、 f 和 e、 c 是 相等的，而且也是平行的，因为全等对应的角相等，又是内错角，两直接平行一样的，我们就得到 b、 f 平行且等于 e、 c 这样重要的结论。好，下面第三个模型，就是关于 这个不叫背长，注意啊，这叫平行线加终点，平行线加终点的模型也是构造八字形全能，什么意思啊？已知这两个是平行的，然后呢，这个第一点是 bc 的终点，那这一段等于这一段好，一平行，是不是这里面的角一就等于这里面的角二了？然后一平行，是不是这里的角三 就等于这里角四了？包括对顶角也是相等的，是不，肯定有全等了，总之，两个角加一条边，两个角加一边，全等，全等以后怎么着啊？我们是不是得到这一段等于这一段，这一段等于这一段等等啊？我们用它来做题 好了，这是三大模型，关于终点三模型，注意啊，还有三个更难的，其实我们常常把这两个是看作一个的，所以叫五大模型，如果把它拆开了，我们就六模型啊，还有三个什么呢？这叫有关终点的模型啊，非常 重要和难了。在直角三角形中，最常用的辅食线是取斜边中点，然后斜边中线等于斜边一半， 直接用这个斜边的中线长等于整个斜边的一半，这是第四个模型，直接用第五个模型，是在等腰三角形里边。如果告诉我们腰长相等了，那么我最长的辅线叫三线合一，三条线合为一条线，当你做完高线之后， 他也是角平分线，他还是底边的中线。三线合一好了，然后第六个叫什么呢？三角形的中位线，中位线平行于第三边，等于第三边的一半，这取中点，这取中点啊，然后一连三角形的中位线 平行于第三边，等于第三边的一半。当已知条件中出现了两个或多个终点时，考的就是中位线。当出现一个终点时，我们要看条件，是直角三行还是等腰三行，是背长中线内中线还是构造八字形全等， 这一共六大模型，非常的经典啊，咱们必须要会的，所有人赶紧把它点赞、收藏分享一下。

七下数学如果你还不知道这些模型和辅助线的话，那你的月考和期中考试真的就非常危险了。我们七年级下册几何章节是我们整个学期学习的重难点， 对于相交线、平行线这个章节来说，如果你不会在这个章节做辅助线，识别不出来模型，那就会导致你后面做解答题的时候根本没有思路。那今天啊，一一老师就带着大家一起来总结一下我们七年级下册数学必考的一些模型和辅助线，大家可以点赞收藏，反复观看。 那其实辅助线啊，他是我们通往正确答案的一个关键桥梁。那对于相交线、平行线这一章节来说，做辅助线的方法核心的思想就是一个，那就是过拐点做平行。那长考的模型呢？会有我们哎这样的铅笔型啊， 猪蹄型啦，锯齿型啦，牛角形啦，还有前仰后翻型，以及这些模型拓展到 n 个角的时候所对应的结论。那这些模型的证明方法其实都是过拐点做平行之后，利用平行线的性质来转移角度关系。 那以上我说到的每一类模型，我都在咱们的春季同步拔高训练营当中做了系统的讲解，如果你不知道模型结论怎么推倒，怎么应用，怎么举一反三的话，那么这个模型的专项训练营，你一定要多听两遍，记好笔记，进行自我的内化。 那其实啊，在这一章节，我们除了这些模型以外，还要掌握几何证明的综合大题，这就经常会出压轴题了，那这种题目往往就要求我们要从复杂的图形来 当中识别出我们刚才所说的那些模型，然后再利用我们课上讲解的方法和技巧，进行一步一步的证明。 那在我们课程视频当中，每个视频我都会带着大家详细的分析解题思路，从正向思维到逆向思维，从源头上培养出我们孩子的数学思维和模型意识。 如果你也想学透几何模型，搞定初中几何的话，那可以在下方留言告诉我，我来教你怎么做。

初中几何常用辅助线口诀上一题中有角平分线可向两边做垂线，常见的有内垂形、外垂形和结等长形 二线段垂直平分线引向两端把线连。要注意的是垂直平分线立定里的运用。三三角形中有中线延长，中线翻一倍，也就是通过背长中线来构造边角、边权等 四三角形边两终点连接折成中位线。常见的由已知两边终点直接连接两终点构造中位线。已知一边终点再取另一边终点 构造出中微线，以至一边终点背朝另一边构造中微线。 遇到角平分线加垂直，利用三线合一构造中卫线。

一个视频带你学会有关终点辅助线。在初中阶段，有关终点的辅助线一共有五大模型，如果你还不了解，那这期视频一定要认真观看。 模型一，被长中线当题目中出现一个终点时，我们优先考虑被长中线。已知点 d 是 bc 边上的终点，那我们延长中线 ad 到点 e， 使得他俩相等。 一组对边相等，两组对边相等，这里还有一组对顶角相等，所以一号和二号两个三角形全等全等之后，对应角相等，能得到角一等于角一。 内错角相等，两直线必然平行。而由于全等他俩也相等，所以能得到 a、 c 平行且等于 b 一这个重要结论。还有一种情况，异地虽然不是中线，但点地依然是终点，这种情况我们 叫做类中线，也可以背长 e， d 到点 f， 使得它俩相等并连接 c、 f。 根据边角边，我们依然能得到一号和二号两个三角形全等，从而得到它俩平行且相等的这个结论。模型二，中位线的构造 已知你俩相等，你俩也相等，所以题目中出现两个重点时，优先考虑中位线连接 d、 e， 我们能得到 d、 e 平行且等于二分之一倍的 b、 c 这个结论。 模型三，在直角三角形中，我们去斜边中点一并连接 b、 e。 直角三角形，斜边中线等于斜边一半，所以我们能得到这三条线段都相等 并且等于二分之一倍的 a、 c。 模型四，在等腰三角形中最常用的辅助线三线合一，我们做 b、 c 边上的高线，根据三线合一，它同时也是角分线，并且也是中线平分。 bc 模型五，平行线加中点，已知两直线平行，并且点 e 平分 ac， 那我们延长 be 到点地，两直线平行，内错角相等，所以角 a 等于角 c， 角 b 等于角 d， 这里又有一组对边相等，所以两个三角形全等，全等之后能得到对应边相等。至此，这就是关于终点的五大辅助线模型，同学们你学会了吗？

来全等三角形必考十大模型总结来了，掌握这些模型，让你考试轻松冲高分，冲满分！ 那常见的全等模型啊，咱们有手拉手模型、三垂直模型、对角互补模型，还有绊脚模型等等，而其中这个手拉手模型在咱们很多压轴题当中都会应用到啊， 而你发没发现，在考试当中很多手拉手模型是眼含的，同学们不知道该如何找到和证明，那这些呢，其实都在老师几何模型的专项训练营当中给大家总结了解题的大招和技巧， 这一块的题目解题技巧性还是比较强的，大家学到的时候，听到的时候一定要记好笔记。那除此之外呢，在全等的证明题当中，我们会发现很多题都需要我们通过辅助线来构建桥梁，那这里必会的辅助线做法咱们有两种，分别是背肠中线和结肠部， 咱们说了背长中线出全等，全等出八字，八字正平行，所以背长中线这个技巧当中往往会伴随着平行线结论的出现而结长补短呢？结长补短什么时候用啊？ 其实它出现是有标志的，当你看到 a 加 b 等于 c 两条线段和等于第三条线段的时候，基本就可以确定这道题要截长或者是不短。那刚才我说的这些啊，在老师的几何模型专项训练营当中都做了特别的讲解，想要初二逆袭的家人们赶快帮孩子安排起来吧！

外围几何模型和几何辅助线都是用来做什么的？点赞收藏，方便反复观看。首先看外围几何模型，涵盖整个初中常见的六十个几何模型，由易到难，基础薄弱，也可以用 模型展现。总结模型特点，归纳模型结论。结论分析，针对模型得出的结论，详细讲解证明过程，学会模型原理，熟练套用模型点例，手把手教会长模型，用模型运用模型结论快速答题。 针对练习综合检测模型掌握情况，学会灵活运用难题。还有视频讲解，帮助梳理解题思路。答案详解详细，单独成策答案，批注室解析，理清解题思路，方便自学，帮助孩子全面吃透初中几何模型题。 下面看外围几何辅助线，包含初中几何辅助线全部常见题型，有八十二个辅助线技巧，脚链结合 三步练会辅助线技巧。一、方法呈现，针对每个技巧进行方法归纳，在练习基础小题掌握技巧原理。二、点类精细详细讲解辅助线为什么要做，怎么做能得到什么结论，学会如何做辅助线。 三、针对练习综合检测辅助线技巧掌握情况。扫码视频讲解，帮助孩子理清解题思路。答案详解详细，单独成策，解题步骤详细呈现，轻松易学， 帮助孩子吃透几何辅助线题目，用这两本集中练透几何模型和几何辅助线。家长们还有什么问题，评论区告诉我吧！

初二全等三角形辅助线可以说是整个初中最重要的，在全等三角形这一块有很多模型，其中也有很多方法技巧，其中一个就是三垂直模型，那么这道题就是年年考，年年错，考了十几年的一道经典考题。来我们看一下啊，已知角 a 等于四十五度， 然后角 b 是二十二点五度，然后 bc 是等于六的，下面让我们求面积得多少？题干很简单，那怎么做？这道题？怎么去入手？结合已知条件 做题最重要是分析。首先我问你们想求面积，给了底边我们的辅助线想干嘛？是不就是做高啊？底乘以高除以二才是面积，所以目前缺的是高，我们只需求这个高 a、 d 就可以了，直接面积我们就可以得出来， 六乘以 ad 再除以二，对不对？所以是三 ad 没问题吧？好，下一步。现在怎么去求 ad 呢？再看已知条件，你见到四十五度想多少度？见到四十五想九十啊，这样才能出现等腰直角三角形啊， 但没有九十，需要构造九十的方法是什么？是不是就做垂直？好，所以这个 你经过试验，这样做过 c 点去做垂线，你这样做完之后发现好像不行，这样能出现四十五，能出现一个等腰直角三角形，再往下一步的时候不知道怎么做了，做不了了。所以这个思路是很多人都想到，但不行， 但你不要放弃，继续去尝试。我还可以怎么做，能构造出等腰直角三角形，还能 利用这四十五度这样去做，在 c 点处出等腰直角三角形，这样去做垂直，这四十五，这是九十，那么这就是四十五度，能跟上吗？这样是不？等腰直角，三角形也有了，哎，这个往下做就更好了，为什么呢？你们看 ebc 是个什么三角形， 发现了吗？首先你一开始见到四十五，又见到二十二点五的时候，是不是就发现二倍角了？在这里边，你看这四十五，这是二十二的五，那这个角得多少？是不就是二十二点五？外角等于不相邻两的小盒？ 好了，那这就是一个等腰三角形，等腰三角形是不是三线合一啊？这就是 d、 f 等腰三角形，三线合一。好，那么做到这，还有人记着我们这题要干嘛吗？求的是这高，只要求 高六乘以高除以二，也就是三 a、 d 面积就出来了。好，三线合一告诉我们，这两段相等，每一段是不是都得三，三线合一，每一段都得三。好，再往后看啊？再往后看来， 在这个三垂直模型里边，你有没有发现三垂直模型，这要是二十二点五，这肯定六十七点五，这就是二十二点五，有没有发现全能啊？是不？ a、 c、 d 这个三角形全等于三角形，谁？ a， c d， c e f a， c d 和 c e、 f 这两个三角形全等好，二十二点五等于二十二点五，直角等于直角，斜边等于斜边，所以全等，对吧？角角边来，全等以后， a、 d 是不是就等于 f、 c 等于三呐？这题做完了， a、 d 等于 f、 c 等于三，所以这面积是不 就等于九啊？ a、 d 等于三，底乘以高除以二，我们直接拿下，听懂了吗？这个题考的非常好，见到四十五想九十，见到等腰三角形，最常考的辅线三线合一，然后还有三垂直模型的全能，非常的经典，赶紧点赞收藏分享一下。

很多同学到了初二以后成绩下滑，原因就是几何的难度增加了，那么几何的难度在哪呢？主要就是不会做辅助线，如何解决这个几何辅助线的问题呢？我们要把这些辅助线进行模型化，在初中阶段我们要学到的大概有六十多个模型， 今天呢给大家带来其中一个就是我们这个对角互补模型。如图，四边形 a、 b、 c、 d。 被对角线 b、 d 分为等腰直角三角形 a、 b、 d 和直角三角形 c、 b、 d。 请注意，这个四边形里边现在连接了 b、 d 这个对角线以后，上方的这是一个等腰直角三角形， 下方的这是一个普通的直角三角形，其中角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 都是直角，另一条对角线 a、 c 的长度为二。题目现在要求这个四边形的面积。这个题如果到了初三或者高中 或者竞赛里边会有特别多的方法做，那我们目前用初二的知识怎么来进行处理呢？首先，你要能识别这是一个对角互补模型，那什么样的模型是对角互模型呢？他往往具有两个特征。第一个，顾名思义，既然叫对角互补，有没有发现他的两组对角分别都是互补的， 我这个角等于九十度，这个角等于九十度，那这组对角相加是不是已经一百八了？又因为内角和是等于我们的三百六的，所以另一组对角是不是应该也互补， 这是第一个特征。第二，每次在对角互补模型里边一定会有一组零边相等，在我们这道题里边是不是就是 ab 等于我们的 ad？ 当你发现有这两个特征的时候，我们识别出来了，这是一个对角互补模型，那剩下来的操作都是固定的，我们利用什么呢？我们利用 旋转，我们要把那两个相等的零边，跟那两个相等的零边有关的三角形来进行一个旋转。具体的操作呢，大家可以看一下。我是将三角形 a、 b、 c 绕着点 a 逆时针方向旋转了个九十度， 转到了我们的 a、 d、 e 这儿来了。那请注意，首先我们的 a、 b 是等于 a、 d 的，所以你把它转过来以后，他们俩是不是能贴到一块儿？ 其次，因为我们这个大角臂和我们的大角臂是互补的，而你的大角臂转到这来了，所以这两个角是不是也应该互补？ 于是我们在这 c、 d、 e 是不是三点共线呢？那这个时候发生什么事了呢？本来我们是不是要求 a、 b、 c、 d 这个四边形的面积，你那一块转过来之后，你是不 转化为要求 a、 c、 e 这个三角形的面积了。而这个三角形是个什么三角形呢？它是不是一个等腰直角三角形？因为我们的 a、 c 转到 a、 e 这儿来了，它已经等腰了。另外一个就是在这儿会有个经典一、二、三组合，我们的角一转到角三这儿了， 你的一加二等于九十度，你明白你的二加三也等于九十度了，所以这是一个等腰直角三角形。并且我还知道它的边长直角边 是等于一个二的， a、 c 的长度为二，那这个的面积是不是瞬间就秒了？那应该是个二乘上二，再除以二，所以它还等于二。我们这个四边形的面积就等于这个等腰直角三角形面积等于二了。 好在这同学们请注意，要识别我们这个里边的对角互补模型。首先它的两组对角都互补，并且它有一组零边相等，那它 辅助线每次都是用旋转跟那两个相等的边有关的三角形进行旋转。我在这是把 a、 b、 c 这个三角形转过来了，其实你也可以把 a、 d、 c 这个三角形转过去，效果一样，同学们都学会了吗？这道题我们就讲到这里。

当你学到全等辅助线的时候，如果说你还没有见过这个题，你来捶我，因为它实在是太经典了，它考察的是全等三角形当中的陀螺模具多模型。我们来看题，已知 a、 e 垂直于 a、 b， 并且这两条线段相等， a、 f 垂直于 a、 c， 这两条线段也相等，还告诉我们 a、 d 是三角形 a、 b、 c 当中的中线，让我们去判断线段 a、 d 和线段 e、 f 的关系。 当你看到这句话的时候，一定要小心了，因为他所说的关系其实包含了两层含义，一层是数量关系，另外一层是位置关系。 我们来看这个题目当中蕴含了一个非常经典的辅助线，就是背长中线去构造八字权的。在初中的几何题目当中，当你看到中线 的时候，大概率是要倍长，所以在这里我们将 a、 d 延长一倍，得到 d g 等于 d a， 然后连接 c、 d， 那这样的话，我们就能够构造一对八字群的， 也就是三角形 a、 b、 d 全等于三角形 g、 c、 d， 而它们全等的判定定理是边角边，那有了这个全等，我们就可以得到对应边，跟对应角都是相等的。所以在这里如果说我们将角 b、 a、 d 即为角一， 那么我们就能够得到角一和角 g 应该是相等的，对应边 c、 g 和 a、 b 也是相等的，而且 a、 b 还等于 a、 e， 所以我们就可以得到 c、 g 和 a、 e 也是相等的。 那我们来看角一和角径呢？其实是一对内错角，内错角相等，那么 a、 b 和 c、 g 平行，那有了平行之后呢？我们 还可以去导这里边的同旁内角互补，也就是角 b、 a、 c 和角 a、 c、 g 是互补的，而且呢，我们的角 b、 a、 c 啊，如果说放在这个周角当中去看，你会发现周角里边有两个直角， 所以说如果说把两个直角抠掉，剩下的角 b、 a、 c 和这个角 e、 a、 f 加起来应该也是一百八十度，那么根据同角的补角相等，我们就可以推得角 a、 c、 g 和角 e、 a、 f 是相等的。到这相信你已经应该知道我们要干什么了。其实我们是想证明三角形 e、 a、 f 和三角形 g c a 全等条件已经凑齐了，因为 a e 等于 c g， a f 等于 c a， 并且还证得它们的夹角是相等的，所以说这两个三角形也就确 全等了。 ok， 那么有了这对全等之后，其实我们就可以得到对应边 e、 f 和 a g 也是相等的，而 a、 g 呢，其实是 a、 d 的一半，所以我们就可以得到他们的第一层关系，也就是数量关系是二倍。 那接下来我们去研究位置关系，要想研究位置关系，最起码得让他们有接触，所以我们选择延长 d a 与 e f 相交于点 h， 根据刚才得到的全等，我们就可以推得对应角，这个角 角二和角 f 应该是相等的。那我们再来看这个 d a、 h 这个平角，因为这里边夹了一个直角，所以角二和角三应该是互余的， 那又因为角二和角 f 是相等的，所以角三和角 f 也是互余的，那我们把它放到三角形 a、 h、 f 当中，两 锐角互于，剩下这个角就应该是直角，从而我们就可以推导 a h 垂直于 e f， 也就是 a d 垂直于 e f。 所以这个题最终答案应该是 e f 等于二倍的 a d， 并且和 a d 垂直。这个视频一定要点赞收藏加关注，相信你一定会回来，感谢我的。

初中几何的终点问题是近年考察的热点题型，接下来几期视频，我们从不同的角度来探究此类问题的常用解题方法。 如图，在三角形 a、 b c 中角 a c、 b 是等于九十度，点 d 和点 e 分别在 b c 和 a c 上，且 a e 等于四， b d 等于六，分别连接 a d 和 b e。 点 m 和点 m 分别为 a d 和 b e 的中点。连接 m m， 则线段 m m 的长度为多少？我们来分析问题线段 m m 的两个端点分别是 a d 和 b e 的终点，这就是一个典型的双终点问题，那我们就试着利用构造中位线来进行解决。 但是如果我们通过连接 a m 或 d m 或 b m 来构造出基本图形，会发现 m m 这条线段都不是所构造出的三角形的周围线，因此 我们就需要考虑其他的构造方法。我们再来看，因为点 m 是 a d 的终点，而 b d 的长度题目中告诉我们是等于六的，那如果我们把已知长度的 b d 看作底边，而在 a b 这条边上找到终点击，然后再连接 m g m g 这条线段是不是就是三角形 a b d 中的一条中位线，而它的长度就应该是等于二分之一的 b d， 也就是等于三的，并且 m g 又是平行于 b d 的。 同理，我们来连接 m g， 那 m g 就是三角形 b a、 e 中的一条中位线，因此 m g 它就是平行于底边 a e 的，并且它的长度也是等于二分之一的 a e， 那也就是等于二的。 又因为 m g 是平行于 b d 的， m g 是平行于 a e 的，且 a c 又是垂直于 b c 的，那根据平行线间同位角相等的线， 我们就很容易震得角 a g m 和角 b g m 他们是一个互渝的关系，因此角 m g m 就是等于九十度的。那在直角三角形 m g m 中，直角边 m g 是等于三的， m g 呢？是等于二的， 因此它的斜边也就是问题中所求的线段 m m 的长度应该就是等于根号下 m g 的平方加上 m g 的平方和，那也就是等于根号下三的平方加上二的平方的和，算出来呢，是等于根号是三的。 总结，当题目中出现多终点时，我们可以试着通过构造多条中位线来解决问题。这道题还有其他解法吗？

初中几何最难的就是辅助线的构造，那在所有的构造里边，如果遇到角是另外个二倍就更难想了。今天给大家总结一个特别好使的模型，叫小镰刀，瞬间可以解决这类问题。 比如说你看这里边的是角 b 等于二倍的角 c， 一个角在这，另外一个角是你的二倍，就像小镰刀。那小镰刀是啥呢？先等会读题，直接看，遇到二倍角，立刻把它做一个延长，在延长的背上 构造一个等腰，是不类似于小镰刀，那么这个东西叫二倍角模型小镰刀，那你在这道题里边，这个角是阿尔法，我在这再做一个角是一个阿尔法的话，那这个角就得两个阿尔法小镰刀。有了结合，原题中你的角 b 是角 c 的二倍， 这里边就会有一个等腰，那么在等腰的基础上，他告诉你 a b 等于根号三，所以这就得根号三。小镰刀的等腰这个边也等于根号三，那整个 bc 又等于的是根号三，再加一个根号六， 所以我们就可以得到 b 点，到这个端点的距离就应该等于根号六，那么我们把它写下来的话，你就发现了这里边引入了一个新的知识点，一个边是跟三，一个边是跟三，一个边是根号六。 利用三边关系，我发现根三的平方加根三的平方等于根六的平方，所以这个角等于九十度，那就相当于等腰。直角三角形，你的两个阿尔法就得四十五度，那我要求三角形的面 己必然想到了一个高，所以我在这里边如果做一个高的话，利用直角三角形，斜边中线等于斜边一半，你的高就等于二分之 好六，那么我们知道了，这个底等于的是根六加根三，你的高是二分之根号六，那底乘高除以二，这个三角形的面积就出来了。这个思路的引入大家看明白了吗？