辗转相除法求最大公约数的推导过程

大数约分啊，一直是很多孩子考试的噩梦，很多学生啊在约分上浪费了大量的时间。 那上一期视频王老师讲到关于用根相减损数来解决大数约分的问题，有的时候数据比较大的时候，这样减的话也是非常麻烦的， 我们还可以借助古人又一智慧的结晶辗转相处法来解决这样的大树约分的问题。那大树辗转相处啊，顾名思义，就是不断的 去除，那用大的数除以小的数，直接来上实操，用六千四百九十七除以三千八百六十九，那商呢是一，余数呢是两千六百二十八。然后啊，用这个 除数和余数来做比较，用较大的除以较小的那个，那是三千八百六十九啊，除以两千六百二十八，那商依然是余的一，余数呢，为一千二百四十一 啊，继续用两千六百二十八除以一千二百四十一，那商此时为二， 余数为一百四十六。然后用一千二百四十一啊，这个除数再去除以这个余数一百四十六，那十二是八，余数呢为七十三。 那继续用一百四十六除以七十三。哎，正好商是二，怎么样？余数此时为零，那当这个 数除尽了，那么这里的这个除数即为这两个数的最大公因数， 这样我就求出了他们的最大公因数。那然后啊，我要对他进行约分，那约分的话就是分子和分母同时除以这个七十三，上边还剩五十三，下边呢剩八十九，所以啊，最终的结果为八十九分之五十三。 那对于王老师所分享的这种辗转相处来解决大数约分类问题，你学会了吗？关注王老师，学习更多数学知识！

一分钟解决一道数学难题，如果分母和分子数字都比较大的情况下，我们应该怎么来化解这个分数呢？一万九千一百零九分之一万五千五百六十三。 如果我们就是这样去想，一万九千一百零九和一万五千五百六十三的最大公因数是谁？可能不太好，想 利用我们课本学习的二三五倍数的特点，发现他也不是二三五的倍数，那么我们应该怎样化解呢？ 今天我们来讲另一个非常简单的方法，辗转相除法。我们用大的分母去除以较小的分次， 会得到一个整数和余数。我们接着再用除数和余数相除，又会得到新的除数和余数。我们继续相除，一直重复，这个过程继续除， 一直重复，一直到除，到后面没有余数，或者我们可以说余数为零，此时的除数就是 分子和分母的最大公因数。我们用分子分母同时除以一百九十七就可以了，最后的结果是九十七分之七十九，你学会了吗？

辗转向除法什么意思啊？我们还以这个题为例啊，我们要求一百零四和四十的最大公约数怎么做？首先我们有一个被除数，我们还有一个除数，做除法除完了之后就会有一个商，除了商以外还会有一个余数， 对吧？榆树，好，我们来看，最开始我们用一百零四这个倍数数，我们除以除数，除数就是小的那个数四十，他等于三十二，对吧？于二 二十四。好了，第一个数字做完了之后，我们得到了一个除数和一个余数，我们把这个除数和余数再次做这样的运算，除数是四十，我们把它变成被除数，然后把余数放在这个位置，除以二十四，除完了之后等于一于十六，我们又得到了一个余数，对吧？然后我们再用除数 二十四再除以余数，十六等于几呢？等于一于八，对不对？好，继续我们又得到一个余数，我们用十六再除以八等于几，等于二于零， 好，最终我们得到一个结果，余数是零了，我们就不能再算了，因为你把零放到除数这个位置是没有意义的，对吧？所以就不能再算了啊。那么不能再算的时候，那个除数八就是最大 公约数，这种方法我们就称之为辗转相处法，这种方法的效率非常非常的高啊，你通过几次做除法之后，你就可以得到最大公约数了，比我们在小学的时候啊，要把每一个数字分解均匀数这种方法要快的多。

之前我们讲过怎么求两个数的最大公约数啊，也就是用短出法来求，但是遇上那种数字比较大的数， 用短除法来求的话就比较麻烦啊。今天教大家一种新的方法，叫做辗转相除法，来看一下这个题啊。用辗转相除法求五百六十八和一千零六十五的最大公元数。 来，我们来看一下辗转相除法的一个步骤。第一步，用较大的数除以较小的数来。我们来试一下 第一步，也就是叫大数一千零六十五来除以五百六十八，商一于 四百九十七。第二步，用较小的数除以第一次的余数，较小的数也就是五百六十八来除以第一次的余数，四百九十七 还是商一余七十一。第三步，用第一次的余数除以第二次的余数 来，也就是用四百九十七来除以七十一，四百九十七除以七十一 刚好相七，这就没有余数了。那么七十一，也就是五百六十八和一千零 六十五的最大公约数。那如果这里七后面还有余数的话，那么第四步，也就是用第二次的余数七十一来除以第三次的余数，直到整除为止， 这也就是辗转相处法的一个步骤，小朋友们，你们学会了吗？最后别忘了动动手指给老师点赞关注一下，谢谢！

欢迎来到张老师数学课堂，我们分享一道五年级的趣味数学题，用辗转相处法，求五百六十八和一千零六十五的最大公因数。 先看一下啊，展展相处法啊，这个是什么样的一种方法呢？首先画三条竖线啊， 画成两个格子啊，然后把这个两个数字中比较大的数字写在第一个格子里面，然后呢，小的数字写在这里 相除，用大的数字去除以小的数字，就是看一千零六十五里面有几个，五百六十八有几个，是不是一个， 那这个一写在这，这里边有一个五百六十八，那我就减去一个五百六十八， 有两个的话就减去两个五百六十八，对吧？就减去一千多了。那把这个计算结果呢？用减法计算出来得多少，这是七，这是九，这是四。 然后看为什么叫辗转相除法呢？你得到的数字四百九十七，再用五百六十八再除以它，就是看五百六十八里面有几个，四百九十七有几个，很显然是一个，对不对？ 那一个四百九十七用它呢？减去四百九十七得多少？等于七十一。然后我现在得到的数字是四百九十七和七十一，我再用同样的方法看四百九十七 里面有几个，七十一有几个？有七个，对不对？而且呢，七十一乘以七，正好等于四百九十七，等于多少？等于零。那么当我们计算到了零的时候啊，得到的这两个数字中较小的这个数字七十一就是 他们两个的最大公因数。那为什么会这样呢啊？我们来看啊， 五百六十八和一千零六十五的最大公因数是七十一，对不对？那我也可以说成五百六十八和一千零六十五都是他的倍数，对吧？都是他的倍数，我可以这样写啊，我说字母 a 和 b， a 和 b 的最大公因数 是 c， a 和 b 的最大公因数是 c 的话，那么其实 a 和 b 都是 c 的倍数， a 与 b 都是 c 的倍数， 如果这个 a 与 b 啊，他们两个这数字非常大的话，那么求他的最大公因数呢？那是不是如果一个一个的去试就非常麻烦，那怎么办呢？ a 与 b 都是 c 的倍数，他运用的就是，那么 a 减 b 啊，默认的是 a 大于 b 啊， a 减 b 的叉， 它一定也是 c 的倍数， 看一下， a 减 b 也是 c 的倍数，那也就说 c 什么 c？ c 是 a 减 b 的叉的因数， 如果 a 减 b 的叉还是大的话，还是很大的话，那怎么办？那我就用 a 减 b 的叉啊，再与这个 b 啊，再与 b a 减 b， 然后再与 b 再求叉， 因为如果这个结果啊，他还是这个数字还是比较大的话啊，再用 a 减 b， b 啊，再求叉，然后呢啊，经过几次的计算呢，你就会得到一个结果，那这个结果呢，一定就是这个结果啊， 这个结果呢，就是他们的最大供应数 啊，强调一遍啊，这个题呢啊，如果你能用具体的数字啊去计算的话，这个题就啊看起来比较的简单了啊，用的数字呢，你也可以用这两个啊去试一试 啊。重点呢就是如果 a 和 b 他都是 c 的倍数，那他们的叉呢，也是 c 的倍数，他是 c 的倍数，那反过来说， c 就是他们叉的因数啊，然后啊，再继续的求叉就能够呢 啊，求求得啊，这样两个较大数的公里数一定要注意啊，这种方法呢是求较大数的 公因数。这道题呢，就分享到这里啊，谢大家。