韦达定理的公式图

什么是维达定理？维达定理是由法国数学家图朗索瓦维达发现的，主要说明了一元二次方程中根与系数之间的关系。比如一元二次方程， ax 方加 bx 加 c 等于零， a 不等于零。有两个实数根， x 一、 x 二和两根满足这样的关系，两根之和 x 一加 x 二等于负，为分之 b。 两根之积 x 一乘以二等于 a 分之 c。 现在我们来证明一下。首先求一下两个实数根，两边同除乙 a 配方，左边加上二 a 分之 b 的平方，右边也同样加上二 a 分之 b 的平方，左边变为这样右边通分。 当 b 方减四 a， c 大于等于零时，那加二分之 b 等于正负二 a 分之根号下， b 方减四 a c。 维达定理推导由一元二次方程求根公式质量更为。

伟达定理啊，大家都知道，但是伟达定理的推论并不是所有人都知道的，那今天一道题带你了解一下伟达定理的推论啊，也就是我们的根间距公式， 做一个抛物线，它与 x 轴相交于 a b 两点，那 a b 两点之间这个线段的长度，它是二分之七，让你求这个 m 的值。首先读完题目啊，我相信你有一个第一反应，就是这道题目它缺了一个什么，它缺了一张图，对吧？所以我们简单的可以画一下草图， 并不需要花的多精细啊，我们只需要关注，哎，他的这个二次项前面的系数是正数，所以他的开口向上，所以他是一个开口向上的抛物线，那他与 x 轴相交于 a 和 b 两个点， 哎，那我们的草图就画出来了，那很明显就是你需要关注的就是这个二字函数，它与 x 轴的两个焦点 a 和 b， 对吧？ 所以我们需要令这个抛物线的函数值， y 等于零，哎，令 y 等于零，就能够得到关于 x 的一元二次方程，那这个一元二次方程的两个根， x 一和 x 二，其实就是我们这个抛物线，它与 x 轴的两个焦点的横坐标。我们假设令这个 a 点的横坐标为 x 一， b 点的坐标为 x 二，那这个 x 一和 x 二就是我们这个一元二次方程的 两个根，对吧？那所以 a b 之间的距离啊，根据我们绝对值的几何意义，它就应该是 x 一减去 x 二的绝对值。 那这边呢，就需要用到我们伟达定理的催论了， x 一减去 x 二的绝对值，它就等于 a 的绝对值，分之根号德塔，那这个德塔是什么呀？就是跟的判别是，对吧？它是 b 的平方减四 a c。 那我们观察这个应用二次方程的几个系数，直接把他的值带进去就可以了。首先 a 的绝对值就是二的绝对值，就等于二，对吧？那根号 deta 就是根号下 b 方减 c a c， 乙方就是负三的平方等于九，减去一个四 a c 就是四乘一个二乘一个负 m， 那就是九加上一个八 m， 他应该等于。题目当中说了，他等于二分之七，所以我们可以得到九加上八 m 等于四十九，也就得到 m 等于五，所以这道题目就很轻松的求解出来。那有些同学说了，老师你这个东西到底是怎么证明出来的呢？ 其实很简单啊，就是用伟达定理来证明的，那我们一起来看一下怎么证明呢啊？那通过伟达定理，我们知道 x 一加上 x 二，你知道等于多少吧？它等于负的 a 分之 b， 对吧？那 x 一乘一个 x 二呢？ 它等于 a 分之 c， 所以 x 一减去一个 x 二的绝对值，它就等于根号下 x 一减去 x 二的平方吧。那这个你应该非常熟悉了，它应该等于根号下 x 一加上 x 二的平方，再减去一个四 x 一 x 二， 这样的话，我们就能够凑出一个 x 一加 x 二和 x 一乘以 x 二，对吧？然后把这两个值带入进来，就可以得到，它是根号下 a 方分之 b 方，减去一个 a 分之四 c。 那右边这个式子啊，我们需要把分母凑出来一个 a 方，就可以化减，对吧？所以我们上下同时乘以个 a， 那就是 a 方分之四 ac， 因此它就等于根号下 a 方分之 b 方减四 ac， 所以就等于 a 的绝对值。分之根号下 b 方减四 a c， 所以也就是 a 的绝对值分之根号德塔，对吧？那你学会了吗？

讲一下高中的伟大定理俩字，简单易懂，学会答高中数学多数二次方程问题，轻松搞定。这张图就是伟大定理的定理关系， 感觉有点头大，不知道怎样运用？小意思，我来教你，如果你入高二高三，想要快速提分逆袭， ok， 私信发送你的年级。拿这道题来说，很多同学上来就是见根带入，提笔就是一顿算，一算就是大半天，累不累啊你？但如果用伟大定理来处理呢？打死你也不信能立马算出来。首先，伟大定理已经告诉我们， 两根相加是负 a 分之 b， 两根相乘是 a 分之 c。 而题目中已知一根射出另一个并代入，那我们就得出一个方程组。同时我们已知 mn 是有理的，那么左边就得消去所有无理的 加它，通过减来消，乘它平方叉来消，我们就得出了 p， 将 p 带入，求 m 和 n 轻松出答案。怎么样，是不是超级简单？当然，如果你还有更多高中问题，可以后台告诉我你的年级，让我来帮你。

大家好，今天我们专门来讲一讲一元三次方程跟于系数的关系，其实也就是关于三次方程的维达定理。那么封面上的话就可以看出来这个维达定理的内容啊， x 一 x 二 x 三，其实指的就是这样一个一元三次方程的三个根。记住，我说的是负数发明的三个根，可不是三个实根啊，有可能是负数的。 那好了， x e x r x n 加起来一定是等于负的 a 三分之 a 二，这个 a 三就是三次方的系数啊，这个 a 二呢，就是二次方的系数，前头是个负号的。那这个叫什么？ 叫这三个跟二次的全部组合加起来吗？你看 x 一乘 x， 这是二次的，太是二次的，太是二次的，这三者加起来呢，是等于 a 三分之 a 一的，其中这个 a 一就是依次项的这样一个系数了啊。当然看好了最后一个， 那么这个 a 零 a 零就是常数项了哈。 i x e x r x 三这三个根呢，乘起来是等于负的 a 三分之 a 零。那么为什么有这样一个结论，我们来说一下啊，教材上是有的， 旧的教材上没有，但是二零一九年新教材出来以后，人家教材上是有的，是现在可以正大光明用的。看了，由代数基本定理，我们是可以知道代数基本定理，我们知道内容就行了，他的证明需要涉及到高等数学的知识。任何一元 n 次复习数多项式。什么叫一元 n 次这个复习数多项式呢？我随便写一个吧。 记住啊，这个 a 不管是 a n 还是什么的，这个都是负数啊。来，那 n 减一次方，那继续往后写， n 减二次方，后边我就不详细写了啊。啊，平方啊，一次方，这个 a 二 a 一都是负数方面的系数啊，然后再 加上 a 零， a 零就是一个长数，这波这条长数呢，是负数完的一个长数，然后呢，这个就成为什么哦，他就成为一元 n 次负系数多项式啊，在负数级中可以分解为 n 个一次因式的乘积， 那其实也就是说它是可以分解成什么样子呢？比如说，当我们把这个 a n 提出来之后，它是可以分解成这样一个形式的啊，分解成 x 减 x 一， x 减 x 二， x 减 x 三， x 减 x， n 减一，然后 x 减 x。 哦，原来可以分成这种形式，其中不管 x 一， x 二， x 三还是这些，这个都是负数范围内的这样一个数字啊。 那好，现在他后来又说了这个结论，进而一元 n 次多项是方程，方程的话就是 f x 等于零呗。这个呢， 五号波浪线的这一部分啊，它其实圈 e 呢，就是一个一元字多项式的方程，它有 n 个复数根。确实啊，这 n 个复数根一看就知道， x 一 x 二， x 三， x 一直到 x n， 当然是有 n 个复数根了。 那么如果 x 一和 x 二相等，比如说都等于二，那么 x 等于二，就是一个二重根。清楚我的意思了吧？所以负根就是这个重根，是按重数来，记得一共有 n 个，这 n 个可能相等，也可能不相等。哈，好，原来这就是代数基本定理的内容，大家知道这个结论就行了。 现在我们根据这样一个定理，其实一元二次方程是最简单的呀。一元二次方程的话，根据系数关系。什么关系？有的人说，老师最简单不应该是一元一次方程，一元一次方程其实没有什么讨论的价值， ax 等于 b， 对吧？ a 不等于零的话，那这个 x 就等于 a 分之 b 了。这个确实没有什么可讨论价值的，咱们从 一元二次方程根据系数的关系开始讨论。这个初中我们就学过了，首先呢，他说了，十系数一元二次方程，我们要求 a 一 a 零， a 二，这三个系数呢，都是实数， 那么此时他在复数范围内肯定是有根的。有同学说了，老师判别是小于零时候，不是没有根，是没有实根，他是有复数根的啊。高中生是了解这一点的， 那么这两个根啊，两根之和哦，它是等于负的 a 分之 b， 那这个分母是谁？是哦，平方向的系数，那这个 a 一是什么？是一字项的系数，那 x 一乘 x 二，原始公式 a 分之 c， 哦，它这个 a 二就是 平方向的系数，这个 a 零就是常数项，清楚了吧？这个我们在初中其实就学过，稍微拓展一下，扩展到负数级范围就行。我们的重点来了，是一元三次方程的跟于系数的关系。你只 主要了解了一元三次方程根据系数关系的这样一个推导过程，当你了解了他的推导过程之后，不管是一元四次方程，一元五次方程，一元 n 次方程，你自己都可以推出来的啊。那我们来看一下一元三次方程跟于系数的关系。什么关系呢？哎，写清楚了， 首先告诉你啊，实习数什么意思？ a 三 a 二， a 一 a 零，这四个数字都是实数，这叫实习数一元三次方程。那么我们了解到啊，根据代数基本定律，他肯定是有三个负数根，这三个负数根呢，可以相当，也可以不相等，我们就写上 x 一、 x 二、 x 三，清楚了吧？ 怎么推出来的呢？在负数范围内，这三个根， x e、 x r、 x m。 根据代数基本定理，我们这样一个方程式一定可以转变成这样一个形式，对吧？当你转变成这个形式之后的话，有同学说，老师我不会了，嗯，你说跟最后这样一个结论 有什么关系？有什么关系？你展开不就行了吗？对不对？比如说，假如我们括号里头这三个括号写的是什么？根据多项式乘多项式的这样一个法则吗？都取得是 这样一个，负的 x 一，负的 x 二，我们应该带上负号啊，然后负的 x 三，那么就是 a 三，乘负的 x 一，负的 x 二，然后负的 x 三 等于几啊？其实就是展开之后的最后的那个长数项，因为在这样一个方程里头，我们不管 a 三， x e， x x 三，他都是什么长数的，是负数方向那个长数的，清楚了吧？也就是说你直接展开就可以，展开之后你稍微整理一下嘛，自己展开就变成这个样子了。 你看看，我们比较一下这两个方程原始的方程长这个样子，根据代数基本定理的话， 我们就把根体现出来了，你比较一下圈一和圈二，嗯，这个三次项没什么比较的，因为他完全一样。那你看平方向的系数得一样吧， 也就是说什么意思啊？也就是说这个负的 a 三乘 x 一加 x 二加 x 三，它必须是等于 a 二的， 那不就推出来了， x 一加 x 二加 x 三，他就是等于负的 a 三分之 a 二吗？这多简单呢，对不对？然后接下来你比较一下依次项 x 的依次方前头的这样一个系数，他俩得一样吧，是不是？然后你一比较呢？不与不知道，一比下地套就是这样一个结论， x 一 x 二， x 一乘 x 三， x 二乘 x 三，它最后算出来加起来就是等于 a 三分之 a 一。那最后看了长数项，带上负号啊，所以 x 一 x 二 x 三这三个根相乘，它的乘积是等于负的 a 三分之 a 零的。原来是这么个道理啊，其实也不难吧。那好了， 有什么用？我们直接来做一道高考原题。之前浙江高考的原题啊，这个题的话说的是已知这个函数，这是什么函数？三次的啊？关于 x 的三次函数，那么这个三次函数，二次函数在初中就研究了三次函数，没有研究，刚刚不研究过了吗？同志，你这么来理解 他，三个是不是都相等啊？那我是不是可以，嗯，让这个 f 负一等于 t 没问题吧？嗯，我让这个 f 负一等于 t 的话，会得出什么来呢？他会得出来这个啊， 负一的三次方加上 a 乘负一的平方，这个咱就多写一些你肯定自己写多了你自己都能总结出来的东西 t。 但是啊，咱们呢，怠速基本定律里头，我们还是习惯上等号右边写零，那我们把这个 t 移过来变成负 t 啊，是不是那同样的道理，我们这个 f 负二等于 t， 是不是可以写成这种形式啊？负二的三次方， 然后负二，然后 b 乘负二，加上 c 减 t 等于零，记住啊，不管是圈一还是圈二，你应该能清楚我的意思哈，那你再来写一个呗， f 负三，因为他这三个都相等，当然这个地方应该写 t 啊，写 t， 那既然他们都等于 t 的话，那就变成了负三的 三次方，是不是？然后再加上 a 倍的负三的平方，再加上 b 乘负三。那么接下来我要怎么说，我相信大家已经知道了，很多人已经猜出来了，其实他就是告诉你什么呢。哦，知道了，原来这个负一 一负二负三是某一个方程的三个不相等的根呀，是谁呀？ 我直接写吧，就是 x 的三次方，你看圈一吗？看圈二，看圈三，它的结构就是完全一样的，对吧？再加上 b x 的一次方，然后再加上长数项，这个长数项就是 c 假体啊，都是长数。哦，这么回事啊，那么接下来大家应该清楚我的意思了吧。 来，我们一开始就告诉你了，已知条件 t 的范围是在零到三之间的，所以最后一步怎么写，我用蓝色的笔来告诉大家哈，所以说，根据三个根， oxe 加 x 二，那我们来乘法吧，负一乘负二，再乘负三，这个是等于什么？ 那原始公式的话，大家刚不是刚刚选完一元三次方程的为他定理吗？他是等于分母，是谁啊？首先有个负号，分母的话，就是这个长数项啊，就是这个 x 三次方，前头这个系数一啊，所以就是负的一分之，那这个长数呢？ c 减 t 呗。哦，知道了， 负的 c 减 t 啊，那不就是说我们得出来六等于 c 减 t， 我们求的是 c 的范围，所以这个 c 就等于六加 t a， t 的范围是零到三之间，那加上六，所以它的范围不就是零到多少？嗯，零到三之间，你加上六，那就变成了六到九之间吧。左 k o b， 清楚了吗？ t 的方位是零到三，那加上六步就是六到九，所以这个题选 c， 你说有用没有用，我只是说为了方便大家理解。写的这么复杂，你如果 特别熟悉这样一个一元三次方程的伟大定理，你直接就可以写结果了，一分钟都不到。来，看，咱们再看一个自主招生的题目，这个好像更加明白，告诉你，我就是考的一元三次方程伟大定理了吧，三个不同的实数满足这样一个方程， 还用说吗？嗨，我告诉你啊，其实人家就是说 x 方减三 x， 咱让这三个相等的式子都等于什么？都都来个 t 呗，他都等于 t 呗，对吧？啊，我的建议还是都写成什么样子呢？都写成这个等于零的样子哈。 哦，清楚了吧，这个是 y 的三次方减三， y 减 t 等于零啊，那同样的呀， z 的三次方减三， z 等于 t， 你移过来之后不也是减 t 等于零吗？对吧？这三个其实就告诉我们，所以说不管是 x， y 还是 z， 它这 肯定是三个不同的实数，肯定是不同的实数跟了吧，是哪个方程？是这个 k 的三次方，这是关于 k 的一元三次方程啊， k 是未知数，减去三倍的 k， 再减去 t， t 就是长数项啊。等于零的 三个不相等的实数根啊。那么这三个根之间存在什么关系呢？那么接下来就简单了吧，刚才考察的是三根乘积第一道题，现在这道题的话，它是等于谁呢？等于分母的话不多说了哈。首先前头有个负号分母，就是 k 的三次方，三次方切除系数它就是一。 然后这个分子是谁？分子就是前头这个负三吗？清楚了吧？然后负的负三，那不就是三啊。所以第二题写三就行了。所以当你了解了 这样一个一元三次方程伟大定理，或者说根据系数关系之后，有些题真的可以一秒就解决出来的啊。分享课堂知识，感受数学之美。我是安范老师，下期课再见！

在初中你就已经学过一元二字，方程的跟与系数有这样的关系， x 一加 x 二等于负， a 分之 b， x 一乘 x 二等于 a 分之 c， 这也就是伟达定理。那这个视频我来带你做几道题，看看它的应用。 第一题，已知方乘二， x 方减八， x 加七等于零的两根，恰好是一个直角三角形的两条直角边，求这个直角三角形的斜边长。 现在假设这两个直角边长分别是 x 一和 x 二，那斜边长就是根号下 x 一方加 x 二方， 要算他，你可以直接把 x 一和 x 二求出来再带入，但这样往往比较麻烦，这里我教你用伟大定理算算看， 那尤其 x 一和 x 二是方程两根， x 一加 x 二就是负 a 分之 b， 也就是四， x 一乘 x 二就是 a 分之 c。 那现在 要算 x 一方加 x 二方，由完全平方公式变形一下， x 一方加 x 二方，就是 x 一加 x 二的平方减两倍 x 一 x 二把上面式子直接带入，就等于四的平方减二乘二分之七，也就是十六减七得九，那斜边长就是根号九得三。搞定， 可见有伟大定理。你可以不用解方程，直接由系数得出两根的核与击，简化问题求解这种正着用伟大定理的你会了，那咱再做到反着的。已知 x 一等于二和 x 二等于三，是方程 a， x 方加 b， x 加 c 等于零的两根，求方程 c， x 方加 b， x 加 a 等于零的两根。 这个题完全不知道两个方程的系数，但已经知道了第一个方程的两根，那咱就可以用尾达定理算出这边得到负 a 分之 b 与 a 分之 c 的值，尤其 x 一加 x 二是五，那负 a 分之 b 就等于五，而 x 一乘 x 二得六，也就是 a 分之 c 得六。这俩式子虽然不能具体解除 abc， 但咱可以把 b 和 c 都用 a 表示出来。第一个式子乘过去就是 b 等于负五 a， 而第二个式子乘过去，就是 c 等于六 a。 有了这俩式子，那现在需要求解的方程，咱就可以写成六 a x 方减五 a x 加 a 等于零，那因为 a 不等于零，咱就可以把它约去得六 x 方减五， x 加一等于零， 这个方程终于没有参数可以求解了。左边分解一下，是二 x 减一乘三， x 减一，那两根就是 x 等于二分之一，或 x 等于三分之一。搞定！ 通过这道题可见，如果已知两根，你也可以用伟达定理得到系数之间的关系，再继续求解问题。好，题目都讲完了，总结一下，这个视频给你 讲了伟大定理进行应用。解题的关键就是利用伟大定理，你可以不解方程，直接由方程系数算出两根之和与两根之机，也可以由方程两根得到系数之间的关系。怎么样，伟大定理的应用都会了吧？会了就赶紧刷题去吧！

什么叫伟达定理呢？初三的同学一定要会。对于一元二次方程 ax 方加 bx 加 c 等于零来说，二次项的系数是 a， 一次项的系数是 b， 长竖项是 c。 我们在前面讲过求根公式，根据求根公式，我们可以求出 x 一和 x 二来，我们发现 x 一加 x 二是等于负的 a 分之 b 的 x 一乘 x 二是等于 a 分之 c 的， 这就是伟达定理。伟达定理经常被应用到很多的关于一元二次方程的题目中去，非常的重要，这也就是我们课本中的根与系数的关系，一定要会啊。 那么我们根据伟大定理来做下面的题目，求下列方程的两根之和余积。先看第一个，那么这个方程的两根之和等于什么呢？根据伟大定理，我们知道等于负的 a 分之 b， 也就是负的 a 就是二次项的系数五分之 b， b 就是一次项的系数一下边 x 一乘 x 二，根据伟大定理，我们知道它等于 a 分之 c， a 就是五， c 就是长数项负五， 五分之负五，也就是负一。那如果你学会了，你来做下边这个题，求这个方程的两根之和与两根之基，把你的答案打在评论区里吧。

维达定理这个东西很特殊啊，就是初中学，初中几乎不考，然后高中频繁的用，高中也不会再带你复习一遍，他处于一个三不管地带。 咱们来看一下维达定理的结论， a 倍的 x 方加 b， x 加 c 等于零。 好，因为咱们现在是针对实数根十根，他一定要保证 dart 是大于等于零的，咱们现在针对的是十根，其实虚根维达定也适合，只是咱们现在还没学而已。然后两个根分别是 x 一和 x 二， x 一加 x 二是负的， a 分之 b， x 一乘 x 二是 a 分之 c。 这个东西是维达发发明的，发现的，所以叫维达定理。咱们如何去证明正？维达定理的话，咱们可以用求文公式去证， 利用求根公式去正。咱们不妨设 x 一等于二， a 分之负， b 加根下 b 方减 c， c x 二等于二， a 分之负， b 减跟下 b 方减四 a c。 那你看看 x 一加 x 二是不是二， a 分之负， b 加跟一下 dart， 负， b 减跟一下 dat， 是不是二， a 分 负二， b 是不是负的， a 乘之 b 就证出来了。那同样道理， x 一乘 x 二， 二， a 分之负， b 加根下 b 方减 c， c 乘一个二， a 分之负， b 减根下 b 方减 c， c 是不是分子上可以用平方刹公式？ 分母就是 c 方嘛，分子就是 b 方减去 b 方减 c c 嘛，那分子就是 c c 嘛。 四、四 a c 除以个四 a 方， a 分之 c 搞定，这是如何去证明？ 还有一个点需要大家注意，你可以根据维达定理反向构造方程。 反向构造方程。好，我可以这样去构造，我把 a 除下来两就是，反正 a 不等于零吧？ x 方加 a 分之 b， x 加 a 分之 c 等于零。那 a 分之 b 就是负的 x 一加 x 二嘛？ a 分之 c 不就是 x 一乘 x 二吗？咱们由两根也可以构造出这个方程来， 当然你也可以用，你也可以用十字相乘去验证这个方程是对的。 x x 负 x 一，负 x 二，你可以验证这个方程是对的。 那听明白吧？