几何画板怎么设置按钮功能交换顺序

各位老师大家好，今天呢我给大家介绍一下几何画板基础操作中的第一讲几何画板的介没介绍， 在几何画板的最上面是几何画板的菜单栏，在菜单栏中呢，第一个我们来看是文件，他包含新建文件，打开保存，另存为关闭文档选项。那么第二个呢是编辑， 他包括间切，复制，粘贴，还有这个，当然这里面呢包含一个最重要的有个操作类按钮，他包含动画、移动，显示，隐藏。 第三个是显示，他包含典型，可以调节典型的大小，以及线段 的粗细和实线，虚线，包括颜色。第四个呢是构造，我们可以构造对象，给他线乱或圆上的点，不过线乱的终点，线乱的焦点， 还可以构造线段，设线，实线包括平行线，垂线，九平行线，还有圆圆上的弧 都可以。那么再往后呢是变换，变换就是我们在春节呢讲的几种图形的变换，包括平移，旋转，那么缩放就是我们讲的问世，还有反射，那么反射呢，就是讲的轴对称。 再往后是度量，那么可以度量现在的长度，两点之间的距离，然后周长，圆的周长，包括 角度，面积，弧度、弧长、半硬，包括坐标横渡到了动作标。 再往下呢是数据，它包含新建参数，计算，新建函数，这种就是绘图了，绘图呢包括绘制点，然后绘制新函数，还有定义指标系， 这是菜单了。然后在结画板的左侧也竖着这地方呢，他是一他的工具箱， 我们先看第一个工具，第一工具是移动箭头工具，我们把鼠标放上面之后，他会显示他的名字是移动箭头工具，那么他主要是用于我们选中某一个几何对象，或者是移动几何对象。那么第二个是点工具，我们来看一下，我们当点 中这个点工具之后，在鼠标的上头有一个红点，他就表示呢我们变成了点工具，我们只要把这个点呢放到某个几何对象上面，就可以构造几何对象上面的点， 那么第三个是圆工具，那么我们点中圆工具之后呢，我们来可以看，然后首先在绘图区呢，我们点中这个点，然后按住锁左键呢不要放开，然后往 外拉，这样就构造一个圆。那么第二个点呢，我们这个点呢就是为了控制这个圆的半硬的大小，然后松开左键之后，这个圆就构造完了。那么第 第四个是线段直尺工具，那么在线段直尺工具里面呢，我们按住左键，这样出现了三个，那么第一个呢是线段工具，第二个是射线工具，第三个是直线工具， 那么再往下呢是多边形工具，我们还是按住左键，这样出来三个，那么第一个呢，他是有心无框，我们可以来看一下 有这种，然后到最后一个点呢，我们双击，那就过得完了，你像第二种，他是有心有矿的，我们再来看一下 他是有边， 那么最后一个呢是无心有矿，也是构造我们平时遇到的多边形，还有最后一个点进行双击，这样就可以了， 那么再往下这是一个文明工具，文明工具呢，我们选中之后，他变成了一个小手，那么这个小手呢公文明工具呢？第一个我们可以对点进行构造他的标签，你看我选中这个点之后，他标记为点 a， 这个是点 b， 那么这一个文明工具还有一个用，就是你像我在会徒区打出的几块玩具基础操作这几个文字呢，就是也是用这个工具来做，怎样做呢？按住鼠标左键，先向下，再向右这样拉， 那就构造一个文明框，我们都可以在里面呢输入文字， 这是文明工具，再往下是标记工具，那么既然是标记工具，咱们就可以标记到可以标记角，也可以标记线段，你比方说咱标记角 如果如何去标记这个角呢？我们可以把这个什么样的放到这个点上，然后按住左键不放，然后往里拉，让这个角都出来了。 那么如何去标记线段呢？我们只需把鼠标放到这条线段上，单击左键这样就可以了。其实这个标 标记物你还有一个我们最好用的一个用途，他叫什么呢？他可以书写文字，我们大家就来看一下，我可以写个一二三，还写一下数字，你看用鼠标他可以当笔来在屏幕上来进行书写，这个也是非常的方便。 那么再往下这是一个信息工具，那么什么是信息工具呢？要信息工具，我们点一下，我们来看一下， 那么我把这个鼠标放到某个角度上时候，他就变成了这样一个问号， 那么再点击一下，他就显示了这个点的属性，你看点币是一个独立的对象， 我们可以看那个圆，你看圆臂呢？圆臂呢是以点臂为圆心 圆珠，通过点 a 的圆，哎，他这个信息功率也可以看出几何对象他的具体的含义， 那么最后一个是制定一工具，那么制定工具你最初安装起滑板的时候，它里面是空的， 那么如何像我这样还有很多这个知名工具呢，我们可以去网上去搜索，你直接搜索几花板几何工具包，下载下来之后加载到里边就可以了。 那么在几何画板的最下面呢？还有一个状态，状态而来，那么状态是什么意思呢？我先构造一个线段， 在上面呢，再勾到一个点，我们来看一下，我们不让把鼠标放选中这个点之后，连续下， 有个当前被选定的是一点，然后如果选中这个线段，那么当前被选定的是一线的，只是状态而来，那么在其中呢还有一个 文本工具呢，我们来看一下，当我们进行文字输入的时候，他下面就会出现你第一个是文字的字体，第二个是文字的大小，下面还有文字的颜色，你们弄个， 我输了一个一二三来看一下， 你可以控制他大小改成十八，颜色呢，我们改一下，改成蓝色，这都可以，那么后面呢有出体，然后斜起，然后下划线， 那么后面这一个是符号面板，那么当我们要需要输入我们原数学中几何符号，什么我们可以点击， 你像有这个项链，有核，有分数，包括二十根四，然后指数来下标的，然后小括号，中括号，大括号都有决定词，角度太全能， 然后这里还有一个向下的三角符号，我们再点一下，里面还有很多的符号可以供我们使用，这是文明工具的。 那么下面呢我制作一个旋转的五角星，简单的把里边的一些工具呢，它的用法呢，我演示一下，那么我们如何去构造 做一个旋转的五角形，我们先去先构造一个圆，选中圆工具，按住左标，鼠标左键向外拉好，这样就可以了， 然后呢我们在原上构造一个点，那么怎样在原上构造一呢？我们可以先选中点工具， 然后把鼠标放到圆上，当圆周变成红色的时候，再单击左键，这样就构造了圆上一个点。那么构造圆上点还可以怎么办呢？我们选中这个圆， 然后在构造里面，你看第一个圆上的点，点击之后也可以构造圆上的点，那么当构造一个点了，我们还要找出另外四个，我们 可以怎么办呢？把这个点绕着圆心旋转七十二度，那么旋转就要选中心，我们把圆心双击圆心，再选中圆场这个点，然后在变换中找到旋转 七十二度，点击旋转，继续点击旋转还是七十二度，连续做四次，我们找出另外的四个点， 当然可以了，我们把最初在这个点呢，我们要把它隐藏掉，隐藏呢有一个快捷键是 ctrl 加一次啊， 然后呢我们依次连接，连接呢就是构造线段，那么构造线段也有两种方法，一是呢 选中，你们要选中这两个点，我们选中这两个点，然后在构造里边有线段点击， 也可以用快捷键 ctrl 加 l。 还可以怎么办呢？我们在直尺，直线，直尺工具里边，我们选择线段直接连接也可以，这样也是比较快啊， 这样这个五角星呢，我就构造出来，他在原上是这样旋转的， 那我们呢更直观美观一些呢，我们可以构造一些颜色，我们再构造上五个点，这几个现在的焦点，构造现在的焦点呢，我们可以 直接点击，就可以点击左键， 然后我们利用多边形工具，第二个有心有矿 依次点击，然后双击 掌纹固定完了，然后呢为了让他自动旋转，我们可以构造做一个动画，那么这五个点呢， 随便选动一个点，然后在编辑里边操作类按钮有个动画点击我们看一下。这个动画里面呢，我们可以控制这个点的旋转的方向， 有逆时针，顺时针，双向随机，也可以控制他的速度，有慢速，中速，快速其他。然后呢我们也可以更改他的标签，我们更改于旋转的五角星吧， 我们来看一下效果，我们点击旋转五角星又自动旋转，如果感觉速度比较慢的，我们再点击停止，我们在属性里 这边改一下的速度，我们改成快速吧，我们再来看一下， 再点击停止旋转，当然我们可以把这个圆把它隐藏掉，再把这些点连一块把它隐藏， 我们再来看一下。 好的，关于几何画板的进门介绍呢，我就给大家讲讲讲解。在以后的课程中呢，我会再给大家具体介绍其他的基础操作。好的，各位老师再见。

今天有一位粉丝问我，他做了一个隐藏啊，一个三角形啊，或者是圆规工具啊， 他那个然后显示的时候出现一种呢，他会自动选择啊，这个三角形或者圆规的形状，那为啥呢？ 那咱们看啊，一般咱们的嗯，学习结合画法的老师会遇到这个问题，比如这里隐藏 没有事，但这显示，你看他把这个三角形的边啊，顶点啊，内部都选中了，谁应该呢？当然如， 如果咱们用鼠标点空白地方一点，他也是啊，不选了，但是呢也不方便啊，那怎么办呢？那我就说一下啊，如何啊设置 大家呢？选中这个三角形，点显示，然后点操作类按钮的显示啊，隐藏按钮， 得到这个呢，隐藏对象了，然后呢选中这个按钮，点右键啊，右键 属性这里啊属性这里呢？有对象标签，那标签咱们就可以改为一 品尝三角形， 然后呢在显示隐藏这个选项这里啊要选 他这里有，总是显示对象，这个不能够选，因为你是要切换的，但如果你选这个，他这个按钮就永远是啊显示的状态， 当然这个总是隐藏也不能够选啊，如果你选，你按这个，他隐藏了，他都没有像这种切换的效果了，明白了吧？ 然后看属性这里切换隐藏显示啊，这个可以， 这时候他可以切换啊切换，但他的切换为啥还是全选这个呢？再看选这个按钮属性这里啊， 他这里。哎呀，把这个勾勾上了，请伺候选定对象，所以呢就变成这个样子，但如果咱 咱把属性这里改啊，显示啊，使用弹入弹出效果，看看怎么样啊， 那这样，他要是这种，他有一个慢的慢慢出现，那咱们要马上出现。那这个勾 你不要取，刚才选定对象的勾也取消。 ok？ 嗯， 这时候他就没有选了，你看上面这个他就选这个，很不美观，但下面这个他就没有选了，所以就不要上面那个按钮了， 这个是设置不对而导致的，因为你打了一个显示后选定对象怎么行？把这个勾取消，那么他也没事。 ok， 学会了吗？ 想学更多折画版的高级培训案例，可以关注咱们的初中数学院 学习啊，数学案例集体而画板课件制作技术。谢谢大家的支持，再见。

我们来学习几何画板的变换菜单，打开变换菜单， 我们看到文化版让我们提供了平移、旋转、缩放、反射、携带，让几种变换集中平移、旋转、反射、缩放，这也是我们初等礼盒的基本变换。 我们先来看平移，平移是一个将一组图形一个或者一个图形以 x 走歪轴方向对定的距离平移，或者沿确定的方向 这里平移，然标示的亮亮平移。我们可以举个例子， 我们随便换一个三角形，然后选中这个三角形，然后再打开变换的拼命力， 好，我们看到一个对话框，嗯，一个是集坐标，也就说我们的评议呢，可以按照集坐标方式来评议，集作方式呢，要给定是好度， 那么我们比如说写个六十度，然后呢还要给定一个固定的距离， 比如说我们写个六厘米，然后呢他就会以就是呃六十度的角度， 按极坐标的方式固定的距离，就是一个挤脚，一个挤进，然后进行平移， 这种方式还有一种方式呢，就是按要坐标的方式要坐标，那更简单，就是你输入 走的距离，外走的距离，但是如果你要向向左，那么他就是负的， x 走，如果你是往下，那么这个距离也是负的，他就是，嗯，往下 也比较简单。三种呢就是标记，标记，呃，项链的方式便宜，这种便宜方式呢是呃最常用的，我们举个例子， 比如说我们要做一个正方体，我们先画出正方体的三条边， 我们加个标签， 我们选中批点，选中欧点，这个时候呢我们把丢嗯做一个项链， 嗯，来考虑选中这两个点，然后打开变变换超菜单，选中这个科技项链，然后这个是我们选， 选中另外两条边和顶点，然后这个是我们选平移呢，嗯，标记这个命令就可以用了，而且它是从点地到欧的。呃，上一个平移就把 pu 作为一个项链，按照这样一个方向和大小 平移另外两条边，好，那就平移过去了。 我们同样选中 p 点， o 点标枪量。 好，这个是我们这些边和顶点，也同样 按照 q 的方向和大小来拼音， 我们再选中一点二点标，标记项链。 好，上一个长方体我们就画出来了，就让我们这个，嗯，长方体 长宽高我们都可以碰的啊，都可以变化， 这呢就是呃， 按标记项链平移他他的一个作用。 另外我们还要提一句，在我们初中平面几何学到呃，无形的运动或者图形变换的时候，可能有老师会想着利用我们几何画板， 嗯，确实不错，就是学习相关内容的时候，利用我们几个画板呢，是非常方便的。就是如果仅仅使用更换菜单里面的呃命令，那也还是有一些局限性，因为我们知道传统教学，呃，他没有办法展示 是图形的一个动态的一个过程，因此，呃，学生学到图形运动的时候对他们来说是一个难点，因为从静态几何变成动态几何。而我们传统的教学没有办法是 如果利用换菜单，他仅仅展示的也是一个运动的结果，他没有过程，因为我们学生可能学到这个地方可能会想平移旋转，说放这都是几个动作， 为什么我们是不管是教教材里面还是嗯他，他没有办法很形形象直观的现这样一个过程。呃，我们几个画板呢？就是如果把变换菜单和我们前面的呃一些呃呃 运动啊什么的结合在一起，可能会有一个更好的效果，比如说图形的平衣，我们可以这样子， 我画一个三角形， 我希望嗯嗯是一个三角形沿着一个水平线移动的这样一个呃运动过程。那我们在下面画一条间断，现在上面找一个点， 我可以标记 t 回标记项链， 然后呢让这个三角形按照标记的向量移移，然后我们 选中梯做一个动画，选中梯做一个动画。 好，我们可以看一下 他就是这个平移的这样一个动态的过程就展现出来了，我们把这个平移变换和前面的动画结合在一起， 这是平移下来，我们看第二个变化反色，反色呢，就是将一个或者一组图形以包式 镜面箭呃为正轴反射，然后用这些变换命令可以做出一系列的全等型和相似型。 粉色里面的一个关键就是我们要确定一个是镜面，或者说呃，也就说我们只要就是它的一个对称轴，我们可以画一条， 然后再画一个要反射的三角形， 然后我们选中嗯的镜面，然后选择这个边更换菜单的标记镜面，就你要指定他是镜面，否则企图画板，不知道是吧？这时候我们再选的要被反射的图形 好反射，反射呢，他没有对话框的就直接就行了， 反色比较简单。 接下来我们看旋看旋转，旋转呢就是将一或者一组图形绕着标室中心旋旋转一个角度看硬气，这是正脚， 我们来看一下，嗯，一个例子， 我们画一个整片三角形 旋转呢，要标示中心，标识中心呢，也是有两种方法，这是选中点 a 变换里标记中心是一种方法，或者直接双击这个 a 点， 他也标记旋转中心了，如果你自己不标记那么几个画板，他会自动的在这个屏幕上给你指定一个点作为中心旋转中心，然后选选择对象变换里旋转六十度， 好，连起来，我们就可以构造一个 连三角形 旋转呢，除了可以按照呃你固定的角度，他也可以按照标记的角度来旋转。按照标记的角度来旋转有什么好处呢？我们可以举个例子， 我们做一个平行四边形， 跑不了了，他跑不了了，他， 我们也想动态的展示个音四边形，他是一个旋转对称图形，也是个中心对称图形， 那个圆圆上任取一点， 爸爸妈妈带过来了， 然后呢，我希望就是平易四边形的一半， 你的一个三角形能够按照这个角度来旋转，那么这个角度呢？我需要标记一下，选中几点点，哎，点 标记角度，然后选中一块， 哦，然后这个地方先要就是标记旋转中心，好 好，我们看一下， 到标记的角度，我们就可以看到他真的一个一个动态的过程了， 这是旋转一百八十度，然后旋转三百六十度，就通过这个几个画板的这样一个动态的演示，就形象直观的展示了我们这个平行四边形，他是一个呃旋转对称，也是一个中心对称图形。 那我们在呃放学到旋转的时候，我们也最好通过这样的方式，就是 不要直接呃简单的利用一个旋转的命令，因为他硬是能展示一个旋转的结果，他没有这个动态的过程，然后我们通过标记的方式，嗯，可以展示一个动态的过程，如果让矮点我做一个动画的话， 那么他可以展示一个运动的过程， 这是旋转。第四个命令，缩放。缩放呢，就是将一个或者一组图形以标示中心呃点为中心缩放， 我们可以举一个，嗯，简单的例子，我们放一个点， 然后呢我们做一个三角形还是做一个三角形 然后缩放呢？他有一个缩放的中心，缩放的中心我们双击他把标示为缩放的中心，那我们也同样也是可以选中变化里面空气中心也是可以的。 然后我们再选中有对象和说法，它有固定的笔，固定的笔呢，就是你自己输进去，然后分子代表我们金的图形，分母代表我们富的图形， 如果这个值是小于一的，那么我们这个图形就是缩小的，如果是放大，比如说我们上面变成四好，他就是放大的，放大的 是缩放，利用固定比，缩放实际上相当于我们平面几何的。呃，卫视变换有一个那个旋转中心就相当于我们的卫视中心， 除了有指定这样的固定笔之外，他还可以标记笔， 夫妻笔呢，画板提供了。嗯，这样几种方式，一种呢是给力两个线段， 然后你选选择两个 同时选中，然后标记线段笔，那么他会自动的用一个线段的长度除以二个线段的长度作为笔。好，这是我们选中这个三角形， 我们做缩放，按照标记笔，然后如果我们原来缩放的线段长度发生变化，那么这个他缩放的图形也会大小也会发生变化。 这种方式还有一种方式呢，他可以选中突然得到的敌，比如说我这两个线段，嗯，前后选中， 然后我肚量的笔，好的一个值，就是一 c 长度以上第一的长度，然后选中这个度量的值， 要记笔直。好，然后我们这个三角形， 他也可以按照标记的笔直来缩放， 哎，两个都是同样一个三角形，是第二种方式，还有第三种方式。第三种方式呢，就是做一条直线，但是线段也是可以的，我们就做一条线段吧， 然后我们在上面取三个点，先做三个点，然后呢我们选中这三个点，选中这三个点，然后我们来复燃一下他的笔。 这个，呃，好奇怪，就是我们刚才选中的顺序是 f 去敌， 然后这个时候他得到一点和第三点之间的一个长度，是作为分子的，第一个点和第二个点的长度是作为分母的。嗯，这个有什么好处呢？这个呢，他可以产生负的比 我们刚才前面两种这个笔，呃，因为都是跟线段长度有关，所以总是正的，它产生不了副的笔， 我们现在呢可以产生副的笔。 我们可以来举个例子， 我们双击这个牌， 然后抛弃这个笔，这个手，我们让这个三角形做缩放， 好，你看我们就得到一组相似三角形，这就所谓的 a 型的相似三角形，这就是 x 形。 这个呢就是换菜当中的啊，四个命令，四个命令，然后学了四个命令以后，我们除了可以做前面这些事之外，然后我们就可以 做一些呃，稍微复杂的图形，因为我们几个画板的这个变换菜单做起来还是非常方便和准确的。

大家好，今天我们来说几何画板案例教程的第二节啊，对数函数图像的生成啊，主要是一个动画按钮的教学了，今天的主要内容呢，有这样的几个 软件本身所提供的几种函数的绘制啊，自由点与线或线段的合并与分离啊，动画按钮的设置和属性改变，利用 这个工具栏当中的线段工具来绘制线段。首先我们来解决这个上一讲留下的一个问题啊，上一讲留下的一个问题是这个构建啊，我们打开上一讲保存的文件啊，我们现在呢要找一个 与这个呃函数的底数互为倒数的一个指数函数图像，对吧？好，那么绘图绘制新函数啊，构建一个以他的这个这个数的 倒数，那我们就拿一来除以它，一除以它，那这样呢，我们要注意要用括号运算，对吧？哎，要用括号运算， 然后处于一个 x 啊的 x 次方啊，注意这个函数啊，确定，如果你要是嗯没有得到这个想要的，你就观察一下你的这个输入当中是不是出了一点问题啊， 好，我们看一下呢，调整一下啊，我们给一下他的这样一个设置啊，好，那这样我们拖动 a 开点来进行啊，我们把那个点给搞错掉了是吧？在这啊，这个点，这个点改成这个东等的，改成一个呃，蓝色的吧。啊，好，那么这条线，那么我们会发现呢，在拖动过程当中啊， 指数函数，当他们底数互为倒数的时候，他们的函数图像始终关于怎么样，哎，瓦尔竹对称， 这就是我们观察到的一个特征，那么我们在实际教学当中，可以根据我们观察到的这个特征，来让学生进一步的从数学符号的语言来进行推理和证明， 对吧？哎，这是我们这个呃，这种几何画板案例教学的一个很重要的作用，实际上这些动画只是 一种辅助啊，这是一种辅助，帮助学生去理解更多的呢，可能还是需要回归到啊这个数学符号语言的一些推理上面啊，从直观的去总结一些规律。 那么接下来呢，我们这个绘制啊，对数函数图像，对吧？我们绘制对数函数图像，同样的跟这些 指数函数图像的来进行对照啊，来进行对照，好，那么比如说在绘图里面绘制新函数里面，大家都会看到这里面的函数呢？实际上这里面有一个啊，看到了吧？在这个地方有一个函数的下拉框， 这里面你看正弦、余弦正切，反正弦反余弦反正切上面，这是三角的，反三角的啊，几个函数底下的呢？ 是几个常用的一些，你比如说这个绝对值函数啊，啊，这个开放函数啊，好，我们今天要讲的是这个 loging 和 log 这两个函数，这两个函数呢，大家要注意，你比如说我直接 选 line x， 确定好，那大家就会发现呢，这个函数图像是确定这个函数图像是什么？这个函数就是以 e 为底的， 这个自然对数啊，这就是以一为底的，那如果我们找的是 log， 你看这个这个 log 啊，这个 x， 那确定，那么这个函数呢？就是以这个 啊十为底的啊，常用的以十为底的，常用的这样一个对数函数，那这样一来就会 出现一个问题，对吧？大家就在想啊，那现在我们怎么样可以指定，或者说比如说我用这里个 啊，刚才的指数的这个底数为指数呢，对吧？那我们在输入过程当中到底该怎样去进行处理呢？啊？这个呢就是我们需要注意的一个问题，因为我们整个软件只提供了一个这个常用对数和一个自然对数， 那因此呢，我们在具体处理的过程当中呢，我们可以怎么办呢？我们可以任意选择一个啊，比如说这个他不是，那我们可以选择什么东西啊？ 哎，选择这样一个换底公式吗？我现在需要以他为底，那我怎么办呢？我就给他除一个，是吧？除一个以他为底的一 它为底，你看，哎，拉个 x 出一个，拉个 a， 那不就变成以 a 为 d x 的对手吗？用换底公式来进行处理好，确定好，那这样的话，大家就会发现，你看这个函数图像就会随着 a 点的变化啊发生变化了，看到了吧？ 啊？看到了啊，这个我们同样的把它这个变粗一点，颜色呢，也稍微调整一下啊，我们用这样一个颜色来调一下。 好，那这个时候你会发现，你看我们随着底数的变化，底数在增大的过程当中，指数函数图像发生了什么变化，对吧？哎，你看在零一之间又发生了什么变化？并且大家感觉一下，你看这个函数 图像和这个红色的函数图像，他们是一个都是以这个 a 点的红坐标为底的，一个是指数函数图像，一个是对数函数图像，那么这两个函数图像又有什么样的关联呢？我们能够看到这两个函数图像， 对吧？同底的指对数之间又有什么关系呢？为什么会存在这样的关系呢？对吧？哎，可以通过这样的方式再去理解 啊，再去理解啊，你也可以画一条这个直线帮助他进行理解啊，一条直线 y 等于 x 嘛，对吧？你看画这条直线来帮助我们对他的理解，对不对？你看啊，他们是不是始终关于 y 等于 x 对称呢？还是一种什么样的状况，对吧？好， 以后我们在可以讲具体的对称操作的时候，我们再来说这个问题， 这是我们简单说一下这个不同的函数的这样一个构建啊，不同的函数的这样一个构建啊， 那么现在的问题是什么呢？我们能不能这个进行一些按钮的动画操作呢？对吧？你看我们今天教大家另外一种动画，我们不需要拖动 a 点的，我们可以干什么呢？我们可以给这样一个 a 点的运动 创建一个按钮，然后我们在这个点击按钮的时候让他自己去动。好，我们看啊，选择选择啊，我们这个养成一种习惯，在选择之前呢，在一个空白的 地方单击一下啊，单击一下，然后再点一下他，好，然后我们在这个编辑菜单当中找到一个叫做操作类按钮，这里面有一个第二个叫做动画，哎，我们点一下动画好，他这上面呢就会有一个动画，那么你看到这里的对话框里面，他说点，哎，自由的在平面上 以中速运动，那这个速度呢？你可以在这里进行调整，慢速啊，中速啊，快速啊啊，这个我们一般都默认啊，标签呢就叫动画点啊，动画点你可以改成这个。呃，底数的变化都可以啊，底数的变化对应的就是他们 啊，对象呢，就是主要是这个 a 点，动画点 a， 主要是这个点 a 啊，这是这几个基本的东西，好，我们单击确定。好，我们了解他，那现在我们来单击一下动画点，你看到他就 就会在这上面怎么样在这个平面上自由的进行运动，那么你看这里个数值，这个数值也会在随着发生变化，然后相应的几个函数图像也会发生变化， 是这样的吧？或者是这样他会自由的变化，那么他这个时候的变化呢？是不受控制的，他是很自由的，就是说他在这个平面来进行动画。那因此我们现在就要考虑一个问题啊， 当这个点偶尔有的时候跑到这个比较靠近这个左边的时候，你看跑到这边来的时候，他的横左边变成一个负数，对吧？那所有的这个图像都不存在了， 对不对？那么我们是不是可以呃，限制性的让他在某一些范围内进行变化 呢？啊？这就是我们今天要来学习的一个内容，我们可以怎样限制呢？哎，怎么限制呢？你看我们教大家一个很简单的方法啊，这就是一种这个基本的想法啊，你看我们会见一个， 大家看这边这个叫工具栏啊，这边这个最左侧的这个，这里有个黑色的箭头，这里有个点，这里有个圆，这里有一个线段。好，我们单击线段，这叫线段直尺工具，看到了吧？线段直尺工具。好，我们同样的在这个平 目类任意的这个选两个点啊，任意的选两个点，然后回到选择里面啊，点一下，现在我们可以怎么办呢？我们有两种思路，第一种呢，就是我们直接借用我们已有的这个 x 轴，你看啊，借用已有 x 轴啊，我们把这个 a 点和 x 轴依次选择，谁先选谁后选都不要紧啊，把这两个选中，把这两个选中，这里面呢有一个叫做编辑，里面就会出现有一个黑色的可选的，叫做合并点到轴 机。好，这个时候你会发现 a 点就跑到了左边轴上面，你再拖动他的时候，就不能上下拖动了，你只能左右拖动。为什么呢？因为他受到了这个 x 轴的变化影响 约束，他只能在 x 轴上进行变化。好，现在我们再让他变化的时候，你会发现他就只能在 x 轴上进行左右的移动啊，进行左右的移动。好，这是这样一种，但是呢，这个时候你会发现呢，我们在 x 轴上移动的 时候呢，他仍然会出现负数，对吧？他到负数的这个位置的时候呢，他就没有指数函数，对数函数图像都没有意义，所以我们希望能够更精确的控制， 所以你看啊，我们首先确定这个点，我们看一下可不可以哎，把它分离出来，你看从轴上分离的一点，那分离出来以后，他就不再受到这个点的控制了，我们仍然可以任意的移动他，现在我们把它放到这一条线段上面， 放到这条线段上，把它合并起来，合并点到线段，那这个时候这个 a 点就只能在这个线段上动，他不能在其他的位置，你看你上下移动的时候，他是不动的。好，所以你看我们在动画的时候，他就只会在这个上面动，看到了吧， 就只会在这上面动。好，那么这里的动画呢，要注意他的运动呢，是有这个规律的，你看我们单击，右键单击啊，右键单击会出现一个属性 啊，这些所有的选择都有啊，我们点一个属性，属性里面呢，你会发现啊，他这里面有一个方向，方向，你看他的动画说点，哎，向前沿着线段与中速匀， 就是向前，他一直是向前的，那么现在我们可以选择什么呢？向后看一下，他就往回跑， 对吧？哎，他从一直从这个右下到左，一直是从右到左，好，我们也可以干什么呢？选择怎么样呢？双向啊，选择双向，这样的话他就是来回的，哎，来回的这样， 可能这个变化的就是更连续一点，那么速度呢？大家可以自己进行调整，那因此你就知道了这样做的一个好处在什么呢？就是我可以通过改变这个线段的端点 的位置，对吧？改变端点的位置来确定点 a 的数值的这个横坐标的变化范围，那也就是说我们可以控制控制我们想要的 呀，我需要这个底数在什么范围内变化，我就可以在什么范围内变化，对吧？嗯，我们把它的红图标的范围变得很小，对不对？那么它的移动就只能在这个范围内移动，对吧？就不能超过这个范围，所以这样 就可以使用我们随意可以随意改变的这样一个范围，来进一步的精确控制啊，进一步的来精确的来控制就可以了，你看到了吧？哎，这就是我们所需要的去想象的东西啊， 那么这里呢注意一下，说一下这个按钮，按钮呢，你看啊，我们当我们把鼠标放在按钮上面的时候呢，他会出现这样一个手型，看到了吧，在其他的位置是这样一种， 这个箭头到这上面的是一个数，然后呢中间你看这个按钮前面的还有一个，还有一小段，哎，他放到这个位置的时候呢，又变成一个向右的，哎，就跟选中这些图像一样，对，这个样子，对吧？那这个有什么好处呢？你看这个单 机的话，他就可以放在这个位置的话，他可以拖动这个按钮的位置，知道吧？拖动他的位置，哎，我们可以任意放到我一个我们想要的地方去， 明白吧？哎，在这个时候呢，他可以手型的时候，他是让按钮进行动画操作的，但是放在这个位置的时候是可以移动按钮的啊，选中他，选中他啊，或者是这个进行进一步的操作， 那么我们如果是右键的话，放在哪都是可以的啊，都可以得到属性呢啊，这个标签呢，都可以啊，属性里面呢，你可以修改他的一些标签啊。好，那么今天这节课呢，我们讲解的这个基本内容呢，就是这样的，第一个绘制特定的一些函数 啊，大家可以尝试一下其他的几个三角的啊，这个包括这个绝对值的啊，包括等等动画按钮的设置和属性的改变啊，自由点于线段或者线的这样一个合并与分离啊，利用这个线段的工具呢来绘制这样的东西。 好，这就是我们第二讲的全部内容，那么今天的练习呢，就是绘制出几个常见秘函数的图像啊，并且设计动态图像啊，并且设计动态图像。好，我们今天这节就讲到这里，谢谢大家。

我们知道啊，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，这就是勾股定理， 这条直角边的平方呢，就等于这个正方形的面积，也就是这个绿颜色正方形的面积， 这条直角边的平方呢，就等于这个正方形的面积，也就是红色正方形的面积， 这一条边的平方呢，就等于这个大正方形的面积。我们看一下这个正方形的面积，如果这样变形一下，那么这个图形的面积跟这个 正方形的面积大小是有什么关系呢？大小是一样的，这是等级变形， 这也是等级变形，这是平移，同样的道理，我们可以把这一部分也变形到这里， 这就说明这个正方形的面积加上这个正方形的面积，就等于这个正方形的面积，这就验证了勾股定理。 这个动画是怎么做出来的呢？我就再做一遍 文件，文档选项，新建业，空白业，确定 上一页，把这个复制过去， ctrlc 复制 下一页，看着微粘贴，先做一个正方形 正方形， 按着上档键，箭头工具， 选中这条边。构造终点，选中这一点，这一点，还有这一点，构造圆上的弧， 选中这个自定义工具，选中这一点。 箭头工具。那么这个三角形呢，就是一个直角三角形 标记工具， 直角符号箭头工具， 把这个壶隐藏显示隐藏 全选显示现行中等， 选中这一点，还有这一点，变换标记项链 空白处，单机，选中这一点，再选中这一点。变换平移 平移，选中这一点，再选中这一条边。 构造垂线，把焦点点出来，焦点 跨转这一条直线，显示 隐藏 多边形工具， 制作一个四边形， 再制作一个无边四边形箭头工具。 把这一点移动到这里，把这一点移动到这里，这一点移动到这里。这一点呢？移动到这里。 编辑操作类按钮移动确定。 单机 这两点不动。这两点呢？移动到这里，把这一点移动到这里，把这 点移动到这里。这一点还在这里，这一点呢还在这里。编辑 操作类按钮，移动，确定 这个变形就做好了。 现在是把这个两个点往下平移， 单击这一点，再单击这一点，变换标记项链，单击 这一点，变换平移 得到了这一点，现在呢是这一点在这里不动。这一点呢？在这里也不动。 这一点呢？移动到这里，这一点呢？移动到这里。编辑操作类按钮移动，确定。 观察一下平移的对，然后再把这个图形平移到下方，也 就是把这个点移动到这里，把这个点移动到这里，把这个点呢移动到这里，把这个点移动到这里。 编辑操作类按钮，移动，确定 这个变形就做好了。选中这四个按钮， 这选择方法是有顺序的。编辑 操作雷按钮系列，依次执行这里，每个动作之间停留零点三秒， 这个时间你可以自己选确定试一下。 可以啊，再倒着算这几个按钮。 编辑操作类按钮系列， 以此执行。每个动作之间暂停 零点三秒，确定，单击。 很好，这个方法就做完了。 再做这个动画， 把这一点移动到这里，把这一点移动到这里，把这一点移动到这里，把这一点移动到这里。 编辑操作类按钮移动，确定。 单机 单击这一点，再单击这一点，变换标记项链， 单击这一点，变换平移平移，这一点呢就移到了这里， 把这个正方形给它变形一下，这一点不动，这一点也不动， 这一点呢移到这里，这一点移到这里，边际移动 确定，我们试一下 这个变形可以， 下一个变形就是这一点在这里不动，这一点在这里不动，这一点呢移动到这里，这一点移动到这里， 编辑移动，我们试一下可以， 接下来就该把这个图形向下偏移， 这一点移动到这里，这一点移动到这里， 这一点移动到这里，这一点移动到这里。点击操作类按钮移动确定 可以，然后依次选中这四个按钮，编辑 系列依次执行，每个动作之间暂停零点三秒确定，然后再依次选中 这四个按钮，在转中的时候是有顺序的，编辑操作类按钮系列，依次执行， 零点三秒确定， 试一下 可以，然后把这所有的店都隐藏了， 在空白处单击点工具，嗯， ctrla 全选， 显示隐藏点 显示， 单击这一点，显示隐藏 右键颜色 绿色，右键颜色 红色， 这个动画就制作完了。

今天我要分享的是动画按钮的制作，没有选中对象时，菜单是灰色的。以点在线段上的动画为例，先构造线段 a b 和点 c， 且点 c。 在 线段 a、 b 上 选定点 c， 单机编辑操作类按钮，动画出现动画对话框，这里显示动画内容，下边可以调整方向和速度， 其中这里的单位速度系统默认为二点八五八厘米每秒。如果想要修改，可以单机编辑菜单，按住 shift 加高级参数选项，系统正常速度中设定更改为需要的数值，再重复刚才的操作，制作动画按钮， 点击动画按钮，点 c， 开始运动，再点一次，点 c， 停止。

各位数学老师，你们上课用几何画板是不是也遇到过这些问题？在浏览器里打开是方便，可网络一差就卡，还要在一堆标签页里翻半天，特别耽误上课。最尴尬的是， 正讲课呢，突然弹出来个广告弹窗，课堂上真的太设死了！想要一个干净稳定不打扰的教学环境，可以直接用大脚几何客户端， 不用开浏览器，不用翻收藏夹，点开就能用，稳定不卡顿。强大的制图功能，数学各种知识点都能画， ai 声图也能直接在课堂上演示，又快又清晰。大角几何画板持续更新中，数学老师上课用它就对了！

今天我要分享的是操作类按钮制作中的隐藏显示。操作类按钮在编辑菜单里一共有五种，最常用的就是隐藏显示动画和移动。因为操作必须要有对象，所以这时的选项都是灰色的。 接下来我们会制一个三角形框，选整个三角形，点击编辑操作类按钮，隐藏显示， 这时右上角就生成了隐藏对象按钮，按钮默认为隐藏和显示来回切换，如果想改为只隐藏或者显示，可以右键按钮在属性里进行更改，重复刚才的操作，再生成一个按钮， 右键按钮选择属性改为总是显示对象。

好，这一讲，我们来说一下如何制作勾股定律的验证的动动态图，还有就是如何理解这个轮换点值的运用。好，我们先画一个正方形， 至始至终按住 ctrl ctrl c、 ctrl z 撤回， ctrl v 复制，得到一个水平线段啊，只只要一连接，就会得到一个水平线段，拖动它可以改变边长的大小。 双击左左边这个端点，然后框选点和线段，然后旋转九十度。 呃，那这样的时到这个时候呢，方法就比较多了，你可以继续啊双击，然后把它旋转，或者我们运用平移标记向量，那就是从这个点到这个点 平移的方向和平移的距离。框选这两个，一个点，一条线段，然后再平移，然后连接这两个点， 就会得到一个正方形啊。下面选中上方这个这条线段，然后构造中点，记住选中这个中点，那就是 以它为圆心，那么我们说这两点到中点的距离是相等的，所以这两个点呢，一定是在以这个中点为圆心的圆上， 按照逆时针的方向先选中它，再选中它构造圆上的弧，我们就得到上方这个弧，千万不能选错。第一步选择 中点，也就是圆心，如果你先选择左边这个点，再选择右边这个点，按照逆时针方向的话，就应该得到下方这个半圆构造圆上的弧。那下方的圆我们不需要啊，先把它隐藏， 然后呢在半圆上任意取一个点连接， 这样我们就得到一个正方形，我们说直径所对的圆周角为九十度，所以这个角呢，一定是九十度。 好，这两个我不需要把它隐藏， ctrl h 双击它，选中点和线段，旋转九十度 啊，变换向量框，选平移，再连接，得到左边这个正方形， 双击选择。注意这时候是顺时针，顺时针我们说使用负九十度，然后标记向量线段点平移，连接 好往下方来一点。大家可以看到， 如果我改变这个的话，也是可以看到这个效果的，那我们就按住这个地方不要动好，然后选择它，标记项链，选择所要所需要的， 稍微小一点，行 好再连接，这样我们就把基本图形画好了， 长按住这个线段线的工具，然后拖动到这个地方来，手一松，选择它，选择它就会得到射线， 点击这个点击焦点处就会得到焦点，当然我们也可以选择这两个啊，构造焦点也可以啊，把它隐藏了， 在因为默认你是射线，所以我们还需要长按，然后拖到线段这个地方，连接这两个点。 好了，那这样的话，我们所需要的顶就已经都有了，那现在我们就是把顶 的标签， a， b， c， d， e， f， g， h， i， j， k， l 啊，显示点的标签，只要写一个大写字母 a 就 可以了，它就按照英文字母的顺序全部把它 啊显示出来，显示出来，稍微调节一下。 那我们说为什么这么巧合呢？这个也就说这条线，这条 j l 为什么垂直于 c d， 呃，很简单啊，道理很简单，我们简单的说一下，首先呢，如果这个因为角 j f， e 是 直角，所以这个角我可以标为圈角，这个角标为叉角圈加叉等于九十度。那这样因为我们是连接过来的，所以这个角呢，应该是他的对顶角，所以他也是叉角。另外 三角形 c、 b、 e 与三角形 j、 e、 f 是 全等的， 因为边两组边相等，夹角都是九十度，所以呢，这两三人全等，因此这个角是圈角，那这个角也是圈角，那圈加差等于九十度，所以这个角应该是直角。 也就说，按照我们刚才所构造的这个方式， 呃，连直线 j、 e 是 垂直于 a、 b 和 c、 d 的。 好。说完了这些，我们再来说点值。 那先来看一下效果。屁点在下方， 拖动屁底，沿着 k、 l 走，那么我们说这条线段把，呃，就是 k、 l 把正方形 a、 b、 c、 d 分 成了两个长方形，两个矩形，那我点 p 向上移动，这两个矩形也接着向上移动，到这个时候呢？呃，这两个矩形已经接触到这个边缘部分，再向上动的时候呢？呃，它就变成平行四边形， 然后再往上这个等级变换，是吧？ 变成长方形，变成正方形，也就是说，正方形 a、 b、 c、 d 的 面积可以转化为和等积，变换为另外两个小正方形的面积啊，这是这样一个动态的过程。 好，这个过程呢，很明显，很明显可以分为三三部分，一个是点 p 在 k、 l 上时，它是平移的一个过程， 在 k、 e 上，我们说就是矩形等级变换为平行四边形， 而点 p 在 e、 j 上时，平行四边形又等级变换为正方形 啊。也就是说，我们把原来大正方形以斜边为边长的正方形 a、 b、 c、 d 先把它分割成两个矩形，通过平移等级变换，再次等级变换，变为两个小正方形的面积。这样就验证了勾股定律，这是一个动态的 视觉效果。那这个过程呢，很明显分为三步，在讲清楚这个三步的之前呢，我们先来说一下如何利用 如何进行轮换点值的这个变换，轮换点值的变换， 比如我随意画一条线段啊，在上面取任取两个点， 再取一个第三个点，那这样的话，我们分别取一、零一、二、三， 显示点的坐标，如果输入零，那么这个点呢，就分成了三段，这条线段分为三段，这个点是一个自由点，控制点。我们先是构造三条线段，零到一，一到二，二到三 啊，选中这个点和零一线段度量点直，按住 shift 键， 把它设置为点 p， p 在 零一上的点值啊，可以适当调节。 选中一二线段和点 p 度量，按住 shift 键 好得到点 p 在 一二上的点值为零。注意，在左端是点值越小，在右端是点值越大。要根据 这条线段是从左往右构造还是从右往左构造。如果是，如果是从右往左构造，我们来试一下啊，从右往左构造好点 p， 那 就是度娘， 那它一开始就是，咦，这是什么情况？那可能是刚才已经把它呃叫什么？隐藏以后你再重新画同样的图形，它就默认为是之前的图形。 好，我们来说看一下过程，从零到一，那么这个点值呢，在发生变化， 而这两个点值呢，始终是零。但是到了一二线段上，我们会发现这个点值始终是一，因为它在末端的右侧， 同样的，到了二三这上面啊，这个点值在慢慢慢慢增加，而另外两个点值呢，始终是一 呃，这样大家可以形象的理解一下什么叫顶值啊，下面呢，我们任意画一个呃三角形，来感受一下顶值的运用，什么叫轮轮换顶值的变换， 比如我们把它标记为呃 a、 b、 c， 比如我先选中线段啊，这个有几种方式呢啊，比如我选选中线段 c， 以及 这个点值构造点，大家可以看到点 p 从零到一的时候呢，这个点呢，就从 b 到 c， 但是点 p 到达一二以后呢，这个点值始终是一，所以这个点呢，就 一号点啊，就停留在点 c 上。那如何实现一个动点绕着三角形的周边环绕一周呢？点 p 到这，好，那这时候呢，我们就运用 这里面还是有几种不同的方式的，我们选双击点一点，选中点 a， 让缩放以 点 p 第二个点值，试一下点 p 在 零一上运动时，那一号点始终在 b c 上运动，但是到了一二线段上时，一号点停留在 c 点上，但是它 以一为点，一为为四中心，以它为中心把点 a 进行放缩，因为这时候的放缩的值是零，所以 这个点 a 的 变换点其实就是与点一是重合的，这时候始终是注意这个点值是零，所以以一为中心 a 把 a 进行放缩比是零，所以这个点是重合在一这上面的。 但是我到了一二这上面以后，啊，一与 c 点重合一，相当于是以一号点为中心，以这个第二个点值为比，嗯，位四比，或者说以这个第二个点值为位四比， 相似比也说也行啊。 v 四比，把这个 a 进行放缩，它就得到二号顶，我们把它记为二号顶。 好，这时候大家来看一下二号顶，二号顶其实一开始是和一号顶是重合的啊，到了二号顶，到这时候呢，我们再双击二号顶，把 b 顶进行缩放，缩放比呢，就是第三个 啊，这样我们不再把它记为三号顶。 好了，其实三号顶就是一个完整的，从点 b 出发， 到达点 c， 到达点 a， 再到达点 b， 这就是轮换点值的运用啊。轮换点值， 呃，这些其实一开始一二三号点都是重合的，有些时候呢，你可以可以设置一些，比如隐藏按键啊。一、 隐藏，这时候选中的是几呢？你可以看这个几何画板，最最左下角有一个当前被选定的就是点三。 好，你看点三，这时候隐藏点二，隐藏点一，我们只需要点三，这样就是通过点 p 在 这条线段上的净度 可以控制点塞呢，在三角形 a、 b、 c 上一个绕，绕三角形周长一周，边一周这样一个运动。好，讲完这个呢，我们再来回到 勾股定律的验证上， 好把这些隐藏。嗯， 好，我们选中最长的线段 j l 构造一个线段上的点，这个点呢，是从 l 可以 运动到 j 上面。好，我们给它一个标签，顶 p， 然后呢，我们顺次构造 l， k， k， e 和 k、 j 分 别度量它们的顶值。 第一个是 p 在 l k 上的顶值，选中 k、 e， 再选中点屁啊，度娘按住 shift 键可以得到点屁在 k、 e 上的点值，最后选中 j、 e 和点屁，按住 shift 可以 得到点屁在 e 界上的点值啊。呃，一种方式呢，就是我刚才说了， 选中 a、 d， 然后再选择选择这个第一个点值啊，绘图可以得到这样一个点来看它，随着它一直往上走也可以呢， 双击点 a， 以 a 为中心，选中点 d， 然后再以这个点值为 缩放笔啊，同样可以得到这样一个点，好，这个点呢，到顶地就是它的中顶啊，就是末顶不再运动了，我们把它记作底。一号顶。 呃，可能在制作的过程当中需要进行隐藏，所以我们也制作一个按钮隐藏点 p 作为一个动顶，我们可能也需要隐藏 好，这是一号顶，下面呢，我们再来看看，可以， 这里面方式就比较多了啊，可以选择 a 点到一点标记向量，然后呢把 l 进行平移啊，平移之后呢，得到的点呢，就是一个选中的，所以这时候立刻给它标签二， 立刻给他一个隐藏。那么二号点呢，一开始就跟点屁是重合的，但是点屁运动到 k e 上时，二号点呢就停止了，那这时候我们想一个什么呢？也就是说 我能不能得到一个点，一开始是与二号点啊，这个得一开始是与点屁重合到这个地方还是与点屁重合的，那就运用刚才我们所说的这个轮换点值的运用 啊，轮换点值呢，在这个里面我们可以我看看，在这个地方它是零， 他是零的话，我看一下，到达这个地方，那就是零， 哦，我试一下啊，以二号点为中心，双击点 e 进行一个变换，缩放，缩放笔是二号，缩放笔是第二个点值，好，立刻给他一个标签三号点， 好，再把顶 p 显显示出来，我们来看看三号顶，三号顶哦，三号顶一直跟一直跟着它，好，这时候 顶 p 到达 j e 上时，三号顶就停留在这个呃，顶 e 上，那么它就是一个中顶，对吧？ 啊？这时候呢？呃，二号点已经不需要了，屁点我看看，再给他一个隐藏键，把屁点恢复 啊，这样三号点到达一点他就停停留下来。那我们说要构造一个，呃平行四边形的话，呃 标记向量，把三号点向上平移，到达，得到四号点，显示点 p。 好， 给他一个四号点， 好得到四号点。四号点 到达阶以后就停留了，停留在这上面。那这个时候呢，我们就要进行呃轮换顶值的运用了，以四号顶为中心， f 顶 进行缩放，缩放比呢就是第四，这个第三个，那我们来试试一下。好，行，那大家就是五号顶 好，四号点隐藏掉， 那我们说整个过程当中啊，我们已经得到了三个点了，那再来看一看 一号点和二号点，呃，和三号点，来看一下一号点和三号点的这个位置关系。要想得到一个平行四边形，那我们说应该把五号点沿着 三号点到一号点的这个方向进行平移，所以我们这时候，呃隐藏 隐藏点 p， 选中三号点和一号点，标记向量，把五号点进行平移啊，我们标记为六号点。 好，这时候千万不能把点 p 显示出来，选择多边形工具，一三五六双击， 再把点 p 显示出来，它是一个控制点。啊，这样啊，第二阶段，第三阶段啊，可以了，好了，那我们可以把一号点隐藏，五号点隐藏，六号点也可以隐藏掉 啊，三号点也可以隐藏，那这样的话效视觉效果会好一点啊，可能黄颜色不怎么习惯，我们就换一个蓝颜色看看。 好，可以了，那么右侧呢？也这样做，回顾一下我们需要用到的是， 呃，一号顶，好，标记项链变换，然后把顶臂进行平移，这里面平移也好，缩放也好啊的道理都是一样的，我把它记为七号顶。 七号顶，那我们说还需要用到刚才的三号顶，是吗？是不是三号顶啊？三号啊，三号顶以及刚才的四号顶， 以四号点为中心，把 i 进行缩放，第三个点值好试一下啊？可以，那我把它记为八号点。 八号点，那下面我们隐藏四号点，呃，隐藏 p 点，选择三号点和七号点， 标记项链平移八号点啊，就得到九号点， 然后顺次连接三号点，七号点，九号点和八号点 啊。嗯，显示点 p， 这过程就有了轮换点值的运用 啊。下面我们可以把这个七号顶隐藏，九号顶隐藏， 我们用这个按钮来去隐藏啊，然后是八号顶也可以隐藏 好，这样就可以了。当然这个点 p 呢，我们可以用一个从点 p 到 j， 可以 用一个移动点 p 到 l， 也可以用一个移动 点 p， 就 可以隐藏掉。然后这个呢，我们可以给他，给他一个呃，叫，叫什么？到 j？ 就是， 呃，叫分开吧。啊，分开 就是点屁向 j j 运动，我们这个把它叫回回，合起来， 合并 好，合并，分开， 合并好，这一讲我们就讲到这里。