自然数立方和公式动画演示

自然数，自然数的平方，自然数的立方，今天用高斯算法三角形数阵及方阵变换一次性讲解。我们来看一下从一一直加到尾，表示从一开始的连续自然数相加，我们给一二三四五建立模型，然后我们进行合并，复制一份旋转 拼接，我们发现组成了长方形，底边长是象数，高是首相加末象，所以就得到了等差数列的求和公式，这个就是大名鼎鼎的高斯算法， 简化一下就得到下面这个公式。你可能不会想到三角形竖阵居然和自然数的平方竖列有莫大的关联。我们来看一的平方加二的平方，加三的平方一直加到二的平方，他们的和是多少？这个一代表一的平方，两个二代表二的平方，三个三代表三 平方，以此类推。于是我们就得到了一个三角形竖针，我们已经把问题转化为了三角形竖针的求和。接着我们将这个三角形竖针复制两份，左边进行顺时针旋转，就变成了这个蓝色的竖针，右边的进行逆时针旋转，就变成了绿色的竖针。下面我们对第一行求和 结果是十一，我们对第二行求和结果是二十二，我们对第三行求和结果是三十三， 我们对第四行求和结果是四十四，最后我们对第五行求和结果是五十五。你发现了什么？每行的和构成了一个等差数列，我们把这个等差数列提取十一后，就会变成这个计算式， 因为我们复制了两份，所以结果需要除以三。我们来看一下十一，他就是三角形竖针的三个顶点，是不是很神奇？一二三四五代表 的是三角形，竖针的每一层我们把这个计算式中的十一除以三转化为这个形式。根据等差数列的求和公式，首项加末项乘以项数除以二，再把剩余部分的一二三四五进行改写。接着我们只需把五替换成量之后，我们就得到了神奇的自然数平方和公式。 我们再来看一下从一的立方一直加到 m 的立方求和。我们先建立一个边长为一的正方形，代表一的立方数量，再建立一个二乘二的正方形，不止一份代表二的立方，然后进行拼接，将黄色闪动部分旋转平移后，就组成了一个正方形。接着我们对三的立方建立模型， 由于是立方，需要复制两份，然后合并，我们又得到了一个正方形，此时正方形的边长就是一加二加三了。我们继续对四的立方建立模型，由于是立方，所以 我们需要复制三份，然后合并。对黄色闪动部分进行旋转平移后，又会得到一个正方形。最后我们再建立五个立方的模型，由于是五个立方，所以需要复制四份。我们进行拼接，将黄色闪动部分进行旋转加平移，最终我们又得到了一个正方形。然后我们来观察一下这个正方形， 我们发现他的边长就是一加二加三加四加五。于是我们就可以推导出以下公式，就是先将自然数求和在平方，当然我们也可以对括号内进行简化，带入冷叉数列求和公式即可。关注我，提升思维！