根号下能加减吗

八年级上册数学二次根式的加法与减法，想要不出现错误，一定要明白什么是同类二次根式， 那么其实和我们上学期学的合并同类项是一样的。那么首先看一下他第一个条件，必须是最减二次根式，第二个呢，被开方数必须是相同的，我们举例子， 根号十八和根号十二，它是不是同类二次根式呢？那我看化简，根号十八等于三倍的根号二， 根号十二呢？根号十二的话，那么它等于多少呢？等于二倍的根号三。被开方数是不同的，所以说是不能相加减的，把这个一定要记住啊。那么看一下 根号三十二是不等于根号十六乘二就等于四倍的根号二， 根号十八呢？根号十八等于根号九乘二，也就是三倍的根号二 加上根号四，它就是二，加上根号二分之一就等于根号一。 分母呢？根号二，我让分子和分母同时乘根二就等于二分之一倍的根号二。好了，你去观察 被开方数相同的是它和它和它，注意符号跟着后边走。所以说把带有根号二的利用乘法分配率 去结合，等于四倍的根号二减去，三倍的根号二加上二分之一倍的根号二加二。 他们三个是不是都带有根号二啊？所以为同类项乘法分配率的话，提取根号二乘谁呀？这是减号对不对？减三加多少啊？二分之一 加二，四减三等于一，一加二分之一也等于二分之三，所以这必须写假分数二分之三倍的根号二 加二，这个是我们的最后结果。所以说我们二次根式的加法与减法第一步，先化解，化解完以后呢？我们找被开方数相同的进行合并同类二次根式就可以了。家人们，我们的二次根式的加法与减法你学会了没有？

家人们八年级数学下册的二次根式的混合运算一定不能出现错误，因为他在考试中是必考内容的， 那么我们的计算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减。通过两个例题去给大家讲解一下。 看第一个，根号三乘小括号，根号六加根号八，那么看一下，我们利用乘法分配律给它打开，等于根号三乘根号六，加上根号三乘根号八。 第二步，根据我们二四根式的乘法，那么得到根号十八，他呢等于根号二十四。很多人算到这就结束了，一定要化减， 根号十八是不是等于根号九乘二，根号二十四呢？等于根号 等于根号四乘六，所以根号九乘二的话等于根号九乘根号二，根号九是多少吧？三呢，这是三倍的根号二，加上根号四十二， 那就是为二倍的根号六，这个是最后结果来看这个，这个的原型其实是我们上八上学的因式分解的多项式乘多项式。首先根号六和它相乘，根号六乘根号六， 减去根号六乘三，就是三倍的根号六。然后用二分别和他们两个去相乘，加上二乘根号六，就是二倍的根号六， 减去二乘三减六。所以这根号六乘根号六，减去三倍的根号六，加上二倍的根号六减六， 是不是他俩合并等于就结果等于负根号六？所以说我们去做二次根式的混合运算的时候，找准运算顺序，这个结果一定要写成对减就可以了。

大家好，我是夏梦老师。之前我们学习了二次根式的乘除法，今天我们来学习二次根式的加减，我们现在看到这样几道算式，第一小题，四倍根号八乘两倍根号二。那么我们整数乘整数部分，根式乘根式部分就是 八倍，就是八倍的根号十，六，就是八乘四，等于三十二。第二小题，四倍根号八除以两倍根号二，我们把它写作写成分数形式，就是 两倍根号二分之四倍根号八，也就是两倍的根号下二分之八就是两倍根号四，等于四。第三小题，四倍根号八加两倍根号二，我们会发现他们根号部分并不是一样的，所以呢，我们怎么算呢？ 好，那今天我们就是来学习根号的加减法，探求新知如何计算根号二十七加根号十二。 由于根号二十七和根号十二的被开方数不同，无法直接相加，那如果根号二十七和根号十二能化成被开方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行计算。 根号二十七加根号十二就等于三倍根号三加两倍根号三，把它们画成最减二次根式。现在被开方部分是相同的呢，那我们可以开始加， 利用乘法分配率，相当于是三加二的和倍的根号三， 也就是 m 倍的根号 a 加 n 倍的根号 a， 就 等于 m 加 n 的 和倍的根号 a， 就 等于五倍根号下一 般的二次根式加减式，先将二次根式化成最减二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。这其实优点像我们学分式加减法中的合并同类项。 第一计算第一小题，根号八十减，根号四十五。好，这三小题的话呢，给大家时间暂停，自己去算一下，那我们的思路还是由于被开方部分不一样，那我们要把这些二次根式化成最简形式， 然后再来计算。第一小题，根号八十减根号四十五等于四倍的根号五，减三倍根号五就是根号五。第二小题，根号下九 a 加根号下二十五， a 就是 三倍的根号 a， 加五倍根号 a 等于八倍根号 a。 第三小题，两倍根号十二减六倍的根号三分之一加三倍的根号四十八等于四倍根号三减两倍根号三，加十二倍的根号三等于十四倍的根号三。 那比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？相同的地方合并时都是计算系数，计算方式相同，而不同的地方呢？二次根式合并是化成最减二次根式后， 开被开方数相同的二次根式，整式合并是合并同一项，这就是不同的地方。我们再来计算 复稍微复杂一些的二次根式加减法。第一小题，根号十二加，根号二十加两倍的根号三，减根号五。的叉 好，有括号的先肯定要先去括号，所以第一步去括号两倍根号三加两倍根号五，加两倍根号三，再减两倍根号五。然后接下来我们把被开方数相同的可以先加或者先减， 然后会发现两倍根号三，两倍根号五和后面的两倍根号五消掉了，所以呢，只剩下两个两倍根号三，最后的结果就是四倍根号三。第二小题，大家同样的也是先做一做，那这一题中的话呢，也是可以先去括号，并 且去括号的时候再次提醒大家要注意符号，如果前面是减法，那后面括号里面的减法就变成加法。 好，第一步，先去括号，二分之一倍，根号三减二分之一倍，根号二减四分之三倍，根号二加四分之九倍的根号三等于 四，四分之十一倍的根号三减四分之五的根号二，而根号三和根号二的被开方数不一样，不能继续合并，所以呢，这已经就是我们的最终形式了。 第三，有一块长七点五分米，宽为五分米的木板，能否采用如图一的方式，在木板上截出两个面积，分别是八 平方分米和十八平方分米的正方形木板。我们可以先分析一下题目，意思这个木板的长和宽已经告诉我们了。然后，呃，正方两个正方形，稍大一点的是十八平方分米，稍小一点的是八平方分米。 那我们可以根据正方形的面积求出正方形的边长，一个是根号八，一个就是根号十八。 那我们现在要比较的就是根号十八是否是小于或者等于五分米，以及根号八加根号十八的和是否是小于等于七点五分米。 好解，大正方形木板的边长为根号十八分米，由于根号十八小于五，所以这块木板够宽，那宽度是够的，那我们再看长度， 两个正方形木板的边长和为根号十八，根号八加根号十八分米，而根号八加根号十八等于两倍根号二加三倍根号二，也就是五倍根号二， 而根号二呢，是小于一点五的，因为它大概是一点四几，所以可以知道五倍根号二就是小于七点五，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，那么这块木板是够长。 练习下面计算是否正确，为什么？第一小题根号四加根号九等于根号下四加九，很明显这是错的，因为我们要把它画成最减的根根式形式的时候，再去相加减。 第二个根号八减根号三等于根号下八减三，这个也是错的，因为根号八减根号二减根号三，而根号下八减三是根号五， 两倍根号二减根号三是不等于根号的。第二，计算两倍根号七减六倍根号七，这个就是负四倍的根号七。第二小题原式我们化简了之后，就是两倍根号三加三倍根号三减根号三就等于四倍根号三。 好，这几期这些题目大家也可以自己试一下，然后把答案对了。第一个就是十倍根号二减三倍根号三， 然后第四小题就是三倍根号六加四倍根号二，大家自己做对了吗？再 看一道解决问题，如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是六十二点八和一百四十一点三，求圆环的宽度 d 派取三点一四。那我们知道圆环的面积呢？也告诉我们了，我们知道圆的面积呢，是 s 等于 pi r 的 平方，所以如果我们用面积除以 pi， 那 就是它们的半径的平方。 如果再求算出平方根，那就能够表示出大圆和小圆的半径相减，那就是它的宽度。好，我们现在有了大概的思路，就可以开始 解这道题呢。解，设大圆的半径为大 r 二，小圆的半径为小 r 二。由圆的面积公式可以得到， d 等于大 r 减小 r 二就约等于根号下一百， 根号下三点一，四分之一百四十一点三减根号下三点一，四分之六十二点八就等于根号四十五，减根号二十就等于根号五。 那这节课有什么收获呢？我们学习呢二次根式的加减法则。二次根式加减时，要先将二次根式化成，化化成最减二次根式，再将被开放数 相同的二次根式合并。注意运算原理，运算率仍然适用，运算顺序与实数的运算顺序是一样的。

高号十八画成最简二的开始。高号十八含有完全平常数九九，可以开发 三倍钢二二、三倍钢二，再减钢二，所以是二倍钢二二，你学会了吗？

二次根式的加减是中考必考的，他的运算一共有三步。第一步，把每个二次根式都化减，化减成最减二次根式。什么叫最减二次根式啊？包含两个特点，第一个根号下不能有分母，第二根号下再也猜不出来了。 第二步，找同类二次根式。什么叫同类二次根式啊？就是我们在第一步化简成最简二次根式之后，根号下是相同的，就叫同类二次根式。第三步就简单了，就是合并同类二次根式，能合并的就合并，不能合并的就放在那。好，我们来看一道例题， 拿到题目，不要急着算，先来分析一下。这个题呢，有三个二次根式，按照我们的步骤，首先要化解每一个二次根式。第一个三倍的根号四十，根号四十是 最简的吗？显然不是，四十可以变成五乘以八，八是可以开出来的。第二项里面有分母，所以他不是最简的，我们要把分母去掉。第三个零点，一是小数，我们先要把它画成分数 八等于二乘以四，四可以开除二出来。第二项，分子、分母同时乘以根号五，分母就不含根号了。第三项化成分数后，分子分母要同时乘以根号十，这样分母就不含根号了。 我们发现三项里都有根号石，他们就是同类二次根式。接下来就可以合并了，五分之一，五分之一消掉了，结果是六倍根号石。二次根式加减你掌握了吗？

大家好，我们来看一下根号如何计算，也就是说二次根是怎么运算， 我们来分别说一下二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，除法运算以及二次根式的乘方运算。 首先呢我们说一下二次根式的加减运算，那么对于二次根式在进行加减运算的过程中啊，类似于一项合并同类项， 比方说对于二倍的根号二啊，加三倍的根号三啊，再加上一个四倍的根号二，我们来来看一下怎么样来计算，计算的时候呢，我们 呢首先一项合并同类项，那么我们可以看到来根号二啊，二倍根号二和三倍根号二，他的这个什么呢啊，物理数啊，都是根号二，所以说呢，我们把这两项呢可以合并在一起，然后呢把它加起来啊， 那么就可以写成二倍根号二加四倍的根号二，对吧？二，两个根号二加四个根号二，就是六倍的根号二，等于六倍根号二，再加上一个三倍的根号三， 那么根号二和根号三这两个五里数呢是不相同啊，所以说没有办法再进行相加用算了，所以说对于二次根式的加减用算，我们呢类似于一项合并同一项，把五里数相同 下来，合并在一起，然后来进行加减运算，这比方说啊，这比方说啊，二倍的根号二啊，减去四倍的根号二啊，再加上根号六， 那么也是一样的，二倍根号二和四倍根号二，他们的无力数来是相同的 啊，根号都是根号二，然后呢根号六呢和根号呢是不一样的，所以说呢，我们呢可以把二倍根号二和四倍根号二呢？在呃这个相减相减提出一个根号二，提出根号二以后呢，那么就写成了二减四倍的根号二 啊，二减四倍的根号二，再加根号六，那么很显然它就等于多少了，等于 二减四倍的根号二，就是负二倍的根号二啊，他就写成了负二倍的根号二，再加上一个根号六啊，这就是二四根式的加减法用算。 那么我们来这里看一下二次根式的乘法运算。二次根式的乘法运算，我们来这个地方呢，要说到一个啊，二次根式乘法运算的运算性质， 那么运算性质呢，就是根号下 a 啊，乘以根号下 b， 根号 a 乘以根号 b 呢，它等于根号下 a， 乘以 b， 等于根号下 a， 乘以 b， 根号 ab， 其中呢， a 和 b 呢，它作为这个二次根式的被开方数啊，它是大于等于零的， a， a 等于零，同时呢， b 也是等于等于零的，所以说呢，对于二次根式的乘法运算，我们来看一下，可以写成，那我们来看，跟比方说，像根号二乘以多少来乘以根号三， 那么我们来就可以把它写成根号下二乘以三啊，根号下二乘以三，对吧，也就是说他等于根号下六， 那么再比方说，像二倍的根号二乘以三倍的根号三，二倍根号二乘以三倍根号三，二倍的根号二呢，相当于是二乘以根号二，对吧？ 三倍根号三，相当于是三乘以根号三，所以说在计算的时候呢，我们把这个优利数啊，先相乘二乘以三， 再乘以根号二，乘根号三，根号二，乘根号三，是根号六啊，所以说计算的结果就是六倍的根号下六啊，六倍根号下六。 再来看一下二次根式的除法用算，那么二次根式的除法用算啊，也有，也有一个什么呢用算性质啊，根号下 a 除以根号下 b， 根号下 a 除以根号下 b 呢，他就等于根号下 a 除以 b 啊，根号 a 除以根号 b， 等于根号下 a 除以 b， 其中呢， a 啊，他是这个二次根式 里面的 b k 方数， a 大于等于零，那么 b 呢，它也是一个二次根式的 b k 方数，并且呢，根号 b 呢，在分母上，分母不能 为零，所以说呢， b 是大于零的啊， b 是大于零的。你比方说啊，像根号二，除以什么呢？除以根号三，根号二，除以根号三，我们呢，需要来分母有理化，也就是说分子分母同时乘乘以根号三啊，同时乘以根号三， 分子分母同时乘以根号三，就写成了根号三乘根号三，根号三乘根号三啊，就是三，对吧？分之根号下二乘以六，二乘以三，就是三分之根号六啊， 那么或者呢，也可以写成根号二，除以根号三，根号二除以根号三，他就等于根号下，对吧？二除以三，根号下三分之二，那么根号下三分之二呢？很显然，他不是一个最简单 二次根式最减二次根式被开方数呢，我们不能写成分数，对吧？所以说我们来分子分母同时乘以三，就写成了二三得六啊，三三得九，根号下九分之六， 根号下九分之六了。那么很显然，根号下九分之六，就可以写成根号六，除以根号九，根号六，除以根号九，根号九呢，是三，三分之根号六啊，这就是二次根式的除法用算。 再来看一下二次根式的什么呢？乘方用算，二次根式的乘方用算。比方说像根号二的平方，根号二的平方呢，他就相当于是根号二乘以根号二，对吧？根号二乘以根号二，根号二乘以根号二呢？他就等于根号二的 呃，根号下二乘二，根号四啊，他就等于几呢？等于四。那么再比方说一下，根号二的几次方呢？根号二的三次方，根号二的三次方呢？相当于是根号下二乘，根号二乘根号二， 对吧？根号二乘根号二，根号二的平方啊，再乘以根号二，根号二的平方呢？我们来前面讲的是 啊，是二啊，根号四等于二，根号四等于二，对吧？根号二的平方等于二，那么就写成了二倍的根号线二， 二倍根号二，大家理解一下。