几何画板制作一线三等角动画

这一节呢，咱们来做一个一线三等角，这个数学模型的角画板动画啊。所谓一线三等角，他首先是有一条呢直线， 咱画线的工具可以做一些啊，自己常用的，比如直线那里可以直接点的啊，一条这样一条直线，带水瓶状的， 那不一定是一线三等角，都是九十度，咱们的啊，任意的角度都行，嗯，那我在这里我随取一个 点深，任意的角度，任意的角度，我先把这个旋转， 当然如果你用那个参数来控制角度也行。一线三等角，比如我用参数来控制来要选角度，确定这里 这个不能够要负的，比如我要一个九十度，每年都收入九十度了，那这里一般用阿鲁法，在 符号面板这里有这个字母，阿罗发有这个来做角度的， 不用参数也行，不用参数，你在过哎，你做一个圆啊，比如你这个圆周上呢，取一个点，但也可以的。 这为了方便，那我假设这里平时大家都喜欢一线三等角，有个九十度，喝酒我又改为四十五度， 喝酒有改为任意的一个，嗯，月脚都可以，对不对？喝酒炖脚，一百三十六，那也行， 九十度，那也可以，那我先选中这个点 a， 双击一下，他就是旋转中心了。然后这里呢， 咱们这里有一个负的九十度，比如把这个作为标记角度，标记角度， 那我把这条直线 ab， 把它呢旋转了，变换旋转，这时候他就会旋转得一个九十度的垂直的直线了。 这时候咱们站在这个地方，我来任意取一个点地，对不对？把这个地塞这条直线，把它做出来， 这时候呢，选中 adcadc 构造线端的一个三角形呢， 那这个脚阿鲁法现在他就是九十度了， 得到三角形 adc， 中间还有一个，又把这根旋转，因为刚才构造了一个角， dac 九十度，负的九十度，这时候呢，双击点 c， 双击点 c， 双击点 c， 这时候我把这个应该往这个点，往点 c， 以点 c 为旋转中心， 这时候应该是逆时针转九十度啊，因为等一会咱们的一线三等角应该是这样 来构造，对不对？ 所以呢，再点数据计算，负的阿鲁方 就以这个负的阿罗法就得正的了，把这个标志角度双击点 c 啊，然后呢，选中，选中直线 dc 点变换的旋转， 那这样呢？大家注意到，如果这样呢，中间这个角阿罗法他和这个角 就一致了，相等了，因为这里也是旋转阿鲁巴胶，打个比方，现在我把这个改为负的，嗯，七十五度，嗯， 那你看这个也跟着这个也七十五度，他就相等了，所谓的一线三等奖，三等奖还差一个， 差一个，然后这边肯定也要构造一个啊，构造一个 abcde， 在这个地方找一个点，找一个点呢，那你这个角 应该也是阿尔法在这个地方，这样就存在一线三 整角了，那这个阿鲁法相当于点 b， 是旋转中心，把直线 ab 旋转，旋转的角度就是这个负，阿鲁法 有在这里按了法得付啊，所以他付按了法就得账的，选这个， 这个作为标记角度，双击这个点 b 了，选中直线 ab 来变换旋转，这时 这样就 可以了， 得到这个点 aadc， 他应该和 bce 来对应了， 构造三角形 bbce 这边绿色的， 比如啊，你把这个改为一百二十五度，你看他也是这样了， 这是一线三等角，对不对？但如果你这个改为九十度，他就得这样的，三个有三个垂直的， 那些线可以把它隐藏掉。所谓的一线三等角，这里有一个垂直，这里有一个垂直，这个意思 在如果你这里愿意讲，那你就改为，比如五十六度啊，他又是这种， 对不对？如果你要断脚，比如一百三十六度都可以，也就是说呢， 咱们用几个画板来做，他就可以任意变了，这不像 ppt 哦，九十度的来做一个，钝角又来做一个，锐角又来做一个，那就好麻烦了， 所谓的一线三等角，明白了吧？角度等不等可以验证一下，比如呢，这里 cad 啊，你可以读量呢？读量他的角度， cad 他应该合脚，哪个角角？ dcb 啊，这个 cadcad， 你应该合脚 bbc， ebc， 这两个应该相等的，对不对？然后你随意改，他都等九十，他也等 啊，改为一百二十八度，他也等，他的这两个肯定等，他和脚地生意这个相等，所谓的一线三等角。 那另外为啥的相似角？ a， 你看角 acd 啊，这个角都量一下 acda， acd 呢？这个奖他就应该和绿色的，哪个奖？ acd 应该和这个 b、 e、 c 啊相等，可以证明的，你看是不是等？好，咱们验证一下啊，一线三等奖， 比如我要九十度，大家看一下，九十 他等呢？我这个点在你动的时候他都等的，对不对？都等，我这个也可以动，这个点地可以动的， 这个这个也可以动，他都等。 刚才热一脚八十六度的夜灯 断脚一百二十六度 他也等，你看这俩等不等？是不是相等的？这里 拖动点地，拖动点地都可以。好，那这样的一线三等奖咱们就做好了，对不对？想学几个画板的老师给 订购咱们的专栏来学，这个专栏是数学案例集结画板动画制作技术。 感谢大家的支持，再见。

大家好，我们在图中会遇到一线三等角全等模型，如图 锐角一线三等角模型条件就是点 a， 点 p， 点 b， 三点共线 p， c 等于 p 大，角一等于角二等于角三。 结论，三角形 a， p， c 全等于三角形 b 大 p。 那么我接下来 教大家如何做这个模型。 先 打开几何花瓣构造，在这个地方点开构造一条射线，构造这样一条射线， 构造好过后，在这里选中线段，从这个点开始，在这拉出一条线段，构造一个锐角出来，长度适中就可以了。 在这个构造射线上的构造这么一个点，把它拖到一个你觉得合适，拖到这边一个合适的位置连接，用线段连接这两个点，那么就 构造好了刚才图中的三角形，比如说 a， 这里 c， 它标上这个地方 p， 接下来我们度量角 度，量一个他的角度，度量好过后，我再做一个计算，计算给他的给他加个符号， 为什么加个负号？就是因为我们要顺时针旋转，选中 pc 这条线段，双击旋转中心 p， 双击在这变换旋转，旋转过后，在角度这里你就选中这里旋转， 那么旋转好过后，我们就得到这里 线段细大，就等于这里的 p， c 是通过旋转同样大的角度角 a 这么大一个角度得到的。接下来我们把 a、 c 的长度给它度量出来， 以 p 为圆心，选中 p 和 a c 构造圆，再 同时选中联合射线构造焦点，构造焦点，再用线段连接这个点，大火这个焦点，我们把这些不需要的把它隐藏掉， 隐藏好再用线段把它连起来，这里就是我们刚刚的点臂 这个图就构造好了，这个 p 随便怎么拖动，你看我们把这些不需要的阐述，把它隐藏， 我们把这个角给它度量出来，我们可以参照看一下， 你看也是这么大，再把角 w p 到度数给它度量出来， 你看这三个角是相等的，我们再用这个 and glad， 你可以给， 比如这儿给它拖动，这儿拖动，这儿拖动，给它加上标签叫一 们可以给它放大一点，四号、二十四号，好，角一，我们可以复制粘贴， 这个改成角二，然后再复制粘贴改成角三，这样我们把它拖到有这个角一，这个角二， 这个角三，这个一线三等角这个模型你就制作完成了。 这一讲我们就给大家交到这里。

大家好，今天我们继续讲几何画板案例教程的第三节啊，移动动画的使用， 我们主要的内容呢是第一个移动按钮的操作与使用啊，第二个呢是增加页面的这样一个文档选项的使用方法，第三个绘制点的这样一个操作方法啊， 好，我们打开几何画板，我们先完成上一节课的作业啊，我们绘制函数图像啊，绘制函数图像，这个 x 的，呃，平方啊，这个确定 对吧？我们绘制一个函数图像， 好，那么这样一来呢，我们在这个线段上面吧，随便的找一条线段啊，找一条线段，在线段上面呢，确定一个点啊，然后 这个确定一个点，然后找到它的横坐标，以它的横坐标呢来作为这个指数，作为指数 啊，你可以指数函数啊，你可以放单，然后双击它啊，进行修改啊，修改，修改，把这个二呢修改成这个数值啊，确定 好，看一下函数图像，那么这就是我们所这个得到的这样一个蜜函数的函数图像，蜜函数的函数图像， 那么你会发现呢，我们在操作过程当中呢，基本上不会出现密函数所对等的那个，呃， y 轴左侧的函数图像，这是为什么呢？对吧？ 那么大家可以在实际教学当中，在实际操作过程当中遇到这种问题的时候呢，可以去想象一下，那为什么会出现这样一个问题，对吧？为什么没有左侧的图像呢？对不对？左侧的图像出现了什么问题呢？啊，知道吧？哎，是这样一个， 那么我们为了能够更好的控制他的这样一个基本的变化，那我们可以这个进行一些更精确的操作，那我们首先 对他进行一个动画操作啊，进行一个简单的动画操作，我们来观察一下他们的关系啊。哎，今天他怎么跑这来了？ 他在这个变化过程当中呢？啊，是出现了这样一些基本的函数图像的变化，主要是第一项线的图像啊，主要是第一项线的图像。 哦，现在呢，我们在这个呃空间啊，平面上的任意区别点，任意区别点，同样呢我们也以他的横坐标呢啊，同样来绘制一个函数图像啊，米函数的图像， 我们看看 x 的侧方，确定好 b 点，那么 b 点在运动的过程 当中会不会也是出现相同的这样一些状况呢？对吧？哎，这个基本的动画啊，确定好 对不对？好，那这样我们怎样能够更精确的来控制呢？我们教大家一个方法叫做不用动画，我们叫什么呢？移动，我们可以把动画进行删除。移动，怎么个移动法呢？ 就是我如果希望得到的是 x 的平方， x 的负一次方， x 的二分之一次方， x 的负三次方，这样的东西我该怎么办呢？对吧？哎，我们先教大家一种基本的方法，第一个呢就是我们在这个 坐标平面上绘制一些我需要的一些，比如我想需要他的这样一个指数是三 三，那我就绘制一个以三为横坐标的一个点，以三为横坐标的点，对，因为我们取的是这个点的横坐标，你看在这个横坐标里面 啊，这个绘制点，这个对话框里面啊，绘制点，在绘图里面有个叫绘制点啊，绘制点， 绘制点呢，它上面有一个坐标器的选择，一个是直角坐标器，一个是急坐标器，大家都很清楚了，对吧？好，在这边呢，首先前面这个横坐标选中以后改成三，纵坐标呢？是一，我们不管他，然后点绘制， 哎，你看这里就出现一个新的点，看到了吗？在这个位置，在三一这个点，那我还想绘制一个二，对吧？那我想二，二吧，随便绘制一个点啊，跑这来了，对吧？啊，我很想绘制这个一一二，再绘制一个点， 对吧？好，那我想绘制一个负二，对吧？负二一，假如我们再绘制一个点，在这看到了吧？好，我们暂时先绘制这样的四个点完成， 然后你看啊，我们选择，你，比如说我现在需要的是三，你看我把选择选择一下 b 点啊，你选择 b 点，你把这个 b 点选中，然后再选择这个点，选择三。我们在 操作类按钮的时候，哎，你会发现出现了一个新的可选择的，叫什么？叫移动点，移动 好，出现一个移动点的对话框，那标签就是，我们不妨念这个，哎，哎吧，等于三，好吧，我们给他改个， 先确定一下啊，确定一下，那现在你看三，好，你看到了，你看第一条 啊，你现在可以把它拖走啊，拖到任意一个位置，对吧？哎，等于三，那么为了确保这个 a 呢，你可以干什么呢？你，哎，你在这个刚刚得到的这个 b 点的横坐标上面， 同样的右击他的属性进行修改，标签改为 a 啊，标签改为 a， 确定。好，那这个时候你就会发现，哎，都改了，相应的，相应的几个都改了，看到了吧？好，我这个时候有 a， 等于三啊，你看这个时候变化 看到了吧？好，那同样的，我要想变成 a 的 a 二，你看我选择它，再选择二。二，这个点啊，同样的，我们这个选择移动啊，移动啊，标签 先呢，我们说 a 等于二， a 等于二，哎，确定你看他移动的说 a 就等于二了啊，我们就会得到 x 的平方的图像，对吧？啊？ x 平方的图像，好，那然后呢，我们再选择一，对不对？用类似的方法啊，构建移动啊， 这个哎，等于，哎，等于一，哎，等于一啊，以及，哎等于负二啊，哎，等于负二，操作类的，这个移动啊， a 等于负二，对吧？哎，等级确定好，现在我们 a 等于二， a 等于一， a 等于负二。 看到啊，好，这就是这样的一个问题啊，这样的一个问题，好， 那么有的同学说这个太乱了，对吧？太乱了，那我们可以选择一个办法，是什么呢？新建文档啊，你看新建一个文件， 我们可以新建一个，我们这个也可以，怎么办呢？你比如说我现在需要把很多的这个一节课里面的很多的不同的图像绘制在一起啊，你说我每次打开新的不好， 有没有像 ppt 那样耶耶耶的，对吧？哎，这里面有一个在文件里面有个叫做文档选项，单击他，单击他，这里面呢会出现一个页面工具啊，一个叫页面工具，我们一般选择页 面叫增加页，增加页好，增加那页呢？一个是空白页，一个是复制啊，我们一般增加空白的，你比如说我需要把哪一页给复制过来，那我可以复制复制第一页， 对吧？好，我增加一个空白页，你看底下就会出现个二，我可以再增加一个空白页，底下就会出现三，你看这里有一二三 啊，并且你会发现啊，当我们把鼠标放到这上面的时候，你看鼠标的这个箭头上面有个上下，我们就可以把它进行移动啊，移动它的位置就是一二，你看我们把这个一可以移动到，二 移动的二点击确定，现在他就是在二一个页面，一页面就是空白页面，二页面呢就是我们刚刚操作的。好，那这样呢，我们以后就可以在这方面进行切换啊，也可以通过按钮来进行切换， 有一个按钮叫链接啊，然后我们再说，对吧？好，那这就是我们今天这一节课的主要的内容啊，这个内容呢主要就是移动，那么在移动的过程当中呢，大家要注意的地方是什么呢？就是， 呃，你可以在一些线段上面确定我所需要的几个点，在线段上面确定， 然后呢完了以后为了防止出现太多麻烦的东西，你比如说像这样的东西啊，我们单击一下，把这些全部选中， 同时选中，选中以后我们在这个显示里面呢进行隐藏啊，我们到以后还要讲，比如哎等于二，哎等于三，哎等于负二，对吧？哎哎等于一 一这样的一些基本的变化，哎，这个图像出来，好吧，好，那么我们今天这节课呢，主要学习的内容就是这样的，一个是移动按钮的操作和使用啊，以及增加页面的这样一个文档选项 以及绘制点，绘制点啊，就是确定的坐标，我需要在这个图像里面啊，他跟这个自由点之间的区别，大家可以去体会一下啊。 好，今天的作业呢，就是动态的显示函数 y 等于 ix 加上一个 x 分之 b， 并借助相关的点 这个通过移动动画来观察函数图像啊，从 y 等于 x 加上 x 分之一啊，到 y 等于 x 加 x 分之二以及等等的这些一些函数的变化情况。好，今天这节课呢，我们就上到这里，谢谢大家。

见到一条线段上有三个相等的角和一组相等边，就要想到一线三等角模型。

现在咱们来学习制作啊，一个三角形旋转的这动画。 接我新建一个空白的页面，随意点点工具，点住 a、 b、 c， 还要点一个点作为旋转的中心，双击这个点 d 改为点 o， 也就是旋转中心变了，那他呢？嗯，也跟着变了。然后这边 先选点 a， 鼠标放到点 b， 右选，选中两个点，再选点 c， 得了三个 全部在选中的状态，再点构章线段，那就得三角形 abc 了。 然后咱们呢，选中点 a， 点 b， 点 c， 构造三角形的内部，然后他的颜色是可以修改为任意的色调的， 所以我们先是画这样的一个三角形和旋转中心。 如果你想要把这个三角形啊，它是一个任意的三角形呢？绕顶凹进转啊，那我们就用一个， 比如你要固定角，那很简单，我双击这个点哦，双击点哦，选中三角形 a、 b、 c。 点变换菜单，要用到上面的变换变换，他有平移，有旋转啊，有缩放，有反射，这个轴对称，那我点这里的旋转， 旋转多少度？我们输入五十六度，那他这样子固定的一个五十六度的，当然你旋转中心变，他也跟着，图形也跟着变， 比如你的父对象变了，他的儿子的子对象也跟着变，这固定的脚谁你输入了， 那现在我要一个动态的，怎么办啊？那我们可以任意点线段工具，先拖出一条线段 e f， 再选中线段 e f， 构造 e f 上的一个动点 这个洞点，选中这个洞点距点头量点的值，点头量点的值， 这个点值啊，任何一个点，他在一条线段上的点值是从零变到一的啊，零变到一的，那刚才你要转一百八十度，你可以用一百八十度来乘这个点值，就会有零的一百 八十度的一个变化，所以这里面要配合这个计算数据，这里有数据计算，我拿一百八十单位呢，就要度 再乘以这个点折，那这时候你在动的时候发现，如果距和一重叠这两个单词的连的，如果你点距呢？ 拖过来你看，因为这个越来越大了，他这个度数也越来越大，当你拖动的点 f， 他最大值是一啊，那一乘一百八就得这个旋转角最大值一百八了， 对不对？那然后呢，咱们怎么办？怎么做旋转啊？又来回到旋转了，旋转无非是需要设定这个点 o 作为旋转角。呃，旋转中心 设置的方法是选中点，勾点并换菜单标记中心，标记中心，这个是常规的设置方法，还有一个更简单的设置方法， 只要鼠标双击这个点 o， 他就是旋转中心，双击的时候他闪烁了一下就 ok 了。然后咱们就全选这个三角形的鼠标，这样从上往下刮，就像你在握住文档去复制一个 文字的这样，这个动作全选全选做变换。然后这个还要设定啊，刚才这个变量作为旋转角零到一百八， 再重说一次，先双击点哦，再选中这个旋转角右键他就有标记中心标记变亮标记角度， 你看右键标记角度，或者是选这个旋转角点变换，他也有标记角度两种方法，不过我习惯了我的盘子右键 直接找到标记角度这条在前行三角形 a， b， c， 然后就点变换菜单下的旋转，甭管三七二十一，他就旋转，你看是不是旋转？ 因为刚才离得太远了。那你可以把那个点 o 放到点 a 来，他就绕点 a 旋转。 局长不用像 ppt 一样。呃，我绕点 a 旋转，又来做一个 ppt。 然后呢？我绕点 b 旋转，又来做一个 bbt。 不用， 你绕点 b 旋转，你就把这个旋转中心放到这个点 b 来，那就是绕点 b 旋转一百八十度，对不对？你要想绕点 c 旋转，你就把旋转 半中心放到这个点塞栏，你想让 ab 的中点旋转，你就把点 o 放到 ab 的中点旋转一百八十度。所以几何画板呢？这样很好， 所以有些老师和 app， 我旋转中心在内部，哎，又来做一个，很累，然后旋转中心在外部又来做一个，很麻烦。那你就几何画法就可以通用了， 对不对？而且这个三角形钝角，那我只要拖动，适当拖动这个 a、 b、 c， 它就变为钝角，而且是直角、 对角都可以。而且咱们的旋转角也不一定一百八啊。那我可以点数据啊，新建参数，我这个角呢啊，选这个参数为角度， 然后呢，你看我这个旋转角行不行？我只要把参数改为三百六十度，他就旋转三百六十度。这时候把刚才这个旋转角这个计算值双击弹出对话框， 咱就把一百八十度。不要了，但是固定我改为这个参数啊，这个旋转角，那这样，那你转三百六也行了。 三百六了，你想转九十度，你就把这个参数改为九十就可以了。然后他就是零度转到九十度， 你想赚一百八，就把这个参数改为一百八十。所以这个几个画板来，他就厉害了啊，就不用像在 ppp， 在 pd 里连住这个三角形 abc 的标签都还要另外找一个文本来。而几何画板这个标签 点标间这里单击隐显示，再单击隐藏，他是切换的，很方便。而且这些标间他都跟着你的这个点动，而跟着你隐隐不离， 那这样就很容易做，用贬值来控制一下， ok 了。当然做群赚还有很多方法，在咱们专栏里面都有深入的。嗯，案例的， 只要想成为油画板高手，大家可以订购我的专栏来学， 感谢大家的支持，再见！

大家好，这一讲，我们用几何画板教大家做脚平分线的性质。这个演示，我们先看 点屁，如果向前运动，我们发现在任何一个时刻我们暂停，我们发现 pc， 也就是角平分线上这个点 p 到角 oa， 这个距离和点 p 到 ob 边这个距离相等。 如果向后退任何一个时刻暂停，他们的大长度是相等的，这个垂线段 pc 和 pd 是相等的， 停在任何一个时刻前进，在任何一个时刻 就很好的说明了脚平分向上的点到脚两边的距离相等。那么接下来教大家制作这个动画。 首先我们打开几何画板，得到一个空白液，在这个地方我们构造一个，用摄像构造一个角， 我们把这个角标注为角 一，哦，把这个标注为，哦，像刚才一样， 这个点标注为 b， 就是叫 aob。 那么我们看看怎么构造角平分线，依次点 a， 点二，点 b， 选中，在这个地方构造角平分线。 好，我们在角平分线上构造一个点，比如 c 点 oc， 他就是角平分线， oc 就就够，这个嚼皮面就够着好了， 这个角的大小你看是可以改变的，角的大小啊，你觉得哦不合适，你可以随便改变这条线，这个这个你要想把它拖动，他都可以改变。 好。接下来我们构造，把这个选中，构造 平分线上的一个点勾着，随便勾着这么一个点，我们把它标注为点屁， 点屁。接下来我们就是要做垂线段，我们经过选中 p， 选中 oa， 这里构造垂线， 把垂线和这个 oa 选中，构造焦点，焦点构造把，比如 这个 p 随便标一个字母，比如 pm， 把这个 f 改成 pm， 锤子与 oa。 好，那么接下来 给他标上直角的符号，这里一个写字笔，这个地方标记工具，标标上一个直角的符号。 同理，选中点屁，选中 ob， 设线构造，垂线 构造。垂线构造好过后，同样把这个，嗯， 这里把他们的焦点构造出来，把这个焦点 标注为，嗯，好，一样 标注直角的符号，这个怎么标的？也就是说这个选中在这个，从这个地方拖到这个地方就标好了。 好，接下来我们把这两条垂线改成垂线段，先把它隐藏，隐藏了过后选择这个线段工具，把这个屁给连起来。 pn 连起来好，把它构造好。可以强调颜色，我把改成红色，选中 右挤颜色，红色。好，接下来我要，我要怎么样呢？嗯， 度量达到长度，你看这里，我选中 p 和 m 度量，把他们的距离度量出来，那就得到 pm 了。我再选中 p， 选中 n， 这是度量， 距离就选好了。当屁在移动到任何一个时刻的时候，他随之而改变这个垂线段。那我们接下来 把动画怎么做动画呢？我们依次点 p， 点 c， 把它选中，这编辑朝左的按钮，朝左的按钮，整个移动 速度，我们把它改慢一点，确定慢速 这个标签，你可以把标签，嗯，右击，你想改个什么名字，改个什么名字。你比如把标签改成向前， 向前移动好，他就 把它放在下面，方便操作，他就向前运动了， 你点一下，他就停下来。好，这一个你也可以把它改颜色， 这个也可以右击改颜色。另外我们把 p 二选中，这里给他点击操作的按钮，动画 这里移动就可以了。速度慢。确定啊？嗯，同，同样， 把标签给他改一个向后 向后移动。 嗯，好。这个标签我们点一下，他就从屁往后运动，我们是任何任何时刻点一下他就停止运动，这个时候他们你看长度相等。 长度相等。好。嗯，最后按上标题集合 画板教程。 小平分 小平分线的性质。小平分线的性质定理掩饰较具。 好，你看这个，这个字体在下面，字体字号都是颜色，你都是可以改动的。这个动画就制作完成了。 那你学会了没有？亲自动手试一下。

大家好，这一讲我们讲几何画板教程。第五十八讲几何图形构图及动画。 我们就这个立体，如图，三角形 abc 是等边三角形，点 m 在 ab 的延长线上点 n， 在 bc 的延长线上写 a， m 等于 bn 直线 cn 交直线 an 与点 p。 疑问，求角 cpn 的度数。 第二问，若过点 m 左 mg 垂直设备将设备延长线，以及若 gn 比上 bg 等于 n， 求点 m 在运动，运动过程中使三角形 cpn 为等腰三角形的时候 n 到直。我们遇到这个题，我们第一如何把这个图画出来，把这个图画出来， 画出来过后，如果我们再给再能够展示这样一个动画， 看得出来他这里包含了这样全等三角形，那对此体帮助会很大，而且 我们把它隐藏掉过后，通过拖动点，嗯，你比如你看我们这里 am 和 bn 度量一个值，我们要想他们香港，我们把它拖在一个 头动， 拖动到基本上相等，这个图就更加标准。另外，嗯， 对于这个等腰的演示，我们把它拖在这个哦，头顶的一个，他们这个 pc 等于 pn 这种， 这种时候。好，嗯，接下来教大家如何做这个图。首先你看啊，首先我们打开几何画板， 打开和画板过后得到这个空白液， 嗯，在这个是第一工具，这里点开三角形工具， 我们这里有等边三角形，我们拖动得到一个等边三角形， 得到一个等边三角形过后，嗯，得到一个等边三角形过后， 嗯，首先把这个 b 字，你把标上啊，也不能说明这是 a， 这是 b， 这改成 c， 赶紧睡 abc 这个三角形。另外，嗯，要把 bc 把它构造成 条直线，各层条直线， 他降到这个连，在 ab 的延长线上，我把 ab 构造成一条射线， 接下来在这个选中射线，构造射线上的一个点，这个点就是零点，这就是 零点，零点构造好过后，这个， 嗯。嗯。在哪里呢？嗯，在，嗯，在这个直线上，我们都在一个直线上的点，有这个点就是。嗯。 接下来连接 a、 n， 把这两个点选中构造线段，接下来把 mc 选中构造射线，再把这个同时把 an 选中构造焦点。好，那接下来这里还有一个 垂线，把这个点和这个直线选中构造垂线，再把这个垂线和这个直线选中构造焦点。好，接下来我们把这些隐藏掉直线、 射线，把它隐藏掉，隐藏掉过后，把这里这三个点构造线段，把 m 和这个点构造线段，把 cn 构造线段，这个图就构造好了，其中这个点是 p， 这个点实际， 并且把这标上直角的符号。 好，你看这个图，我们就可以拖动这里的，嗯，拖动这里的，嗯。 接下来 这个题目可以改变他的大小啊，可以改变，看到没有？可以把 a 拖动，可以改变大小，改变大小 活动，嗯， 普通人改变进行长度。好，那接下来就是，嗯，做一个做动画，你看啊， 做动画就是这个，我们先构造这个旋转中心，就是个，嗯， 把 a、 c， 我们把这个线中比，因为他是个等边三角形，我们都找垂线，再把 a 线中 构造垂线，那这个他们的焦点。 好，我们把它其他的隐藏掉。这两条垂线，这个点我们之所以把它，这就是旋转中心，旋转中心。好，接下来我们这新建一个数据， 这是旋转的角度，嗯，标记你需要旋转一百二十度， 接下来把 acm 构造三角形内部构造好过后，我们可以改变颜色， 接下来我们把这个三角形选中，双击这个旋转中心变换，旋转， 他就旋转了，那么他旋转了过后，我们把它拖在这个位置，我们把旋转过后这个三角形颜色换成红色， 我们再看一下，啊，我们现在开始，嗯，把这个三角形选中，编辑朝左类按钮动画这个动画标签，我们把它改成旋转 这个动画呢， 好，把这个选这个，这个旋转 只播放一次。 旋转一百二十度，就是个旋转的动画，我们把这个旋转动画我们来改改一下，这个就是名称，旋转 操作点旋转， 确定好，这个动画就就是旋转动画。另外，嗯，把这个，把这两个三角形把它注意做一个隐藏按钮。 隐藏，嗯，隐藏的是三角形 小标签， acm， acm， 好，把这个三角形选中，也给他做一个隐藏按钮， 这隐藏有该改一下，就是三角形 abn， 好，就是隐藏这两个，你看就是不需要的时候就把它隐藏了， 需，需要，需要的时候你把它看到，就是这个旋转。好，另外， 嗯，我们再度量一下这个， 这是个旋转按钮，你可以读论一下 a in 到长度， 再锻炼一个 b n， 他的长度你看大，所以在这个位置他们大概就是，嗯，相等中，在拖动的时候他可以作为一个参考。另外这个 pc 度量一个长度， pn 度量一个长度，当我们拖动， 你看我们把它隐藏掉，好，尽量拖动 pc， she said， 嗯， pc 等偏 等窑， pc 等 pn 投入到一个位置 check out， 这个啊好接听，就 你看像帅哥哦，你把头在这个位置来演示旋转， 这个是构图和他的动画，以及以及这个隐藏按钮的使用。

大家好，今天我们来说几何画板案例教程的第二节啊，对数函数图像的生成啊，主要是一个动画按钮的教学了，今天的主要内容呢，有这样的几个 软件本身所提供的几种函数的绘制啊，自由点与线或线段的合并与分离啊，动画按钮的设置和属性改变，利用 这个工具栏当中的线段工具来绘制线段。首先我们来解决这个上一讲留下的一个问题啊，上一讲留下的一个问题是这个构建啊，我们打开上一讲保存的文件啊，我们现在呢要找一个 与这个呃函数的底数互为倒数的一个指数函数图像，对吧？好，那么绘图绘制新函数啊，构建一个以他的这个这个数的 倒数，那我们就拿一来除以它，一除以它，那这样呢，我们要注意要用括号运算，对吧？哎，要用括号运算， 然后处于一个 x 啊的 x 次方啊，注意这个函数啊，确定，如果你要是嗯没有得到这个想要的，你就观察一下你的这个输入当中是不是出了一点问题啊， 好，我们看一下呢，调整一下啊，我们给一下他的这样一个设置啊，好，那这样我们拖动 a 开点来进行啊，我们把那个点给搞错掉了是吧？在这啊，这个点，这个点改成这个东等的，改成一个呃，蓝色的吧。啊，好，那么这条线，那么我们会发现呢，在拖动过程当中啊， 指数函数，当他们底数互为倒数的时候，他们的函数图像始终关于怎么样，哎，瓦尔竹对称， 这就是我们观察到的一个特征，那么我们在实际教学当中，可以根据我们观察到的这个特征，来让学生进一步的从数学符号的语言来进行推理和证明， 对吧？哎，这是我们这个呃，这种几何画板案例教学的一个很重要的作用，实际上这些动画只是 一种辅助啊，这是一种辅助，帮助学生去理解更多的呢，可能还是需要回归到啊这个数学符号语言的一些推理上面啊，从直观的去总结一些规律。 那么接下来呢，我们这个绘制啊，对数函数图像，对吧？我们绘制对数函数图像，同样的跟这些 指数函数图像的来进行对照啊，来进行对照，好，那么比如说在绘图里面绘制新函数里面，大家都会看到这里面的函数呢？实际上这里面有一个啊，看到了吧？在这个地方有一个函数的下拉框， 这里面你看正弦、余弦正切，反正弦反余弦反正切上面，这是三角的，反三角的啊，几个函数底下的呢？ 是几个常用的一些，你比如说这个绝对值函数啊，啊，这个开放函数啊，好，我们今天要讲的是这个 loging 和 log 这两个函数，这两个函数呢，大家要注意，你比如说我直接 选 line x， 确定好，那大家就会发现呢，这个函数图像是确定这个函数图像是什么？这个函数就是以 e 为底的， 这个自然对数啊，这就是以一为底的，那如果我们找的是 log， 你看这个这个 log 啊，这个 x， 那确定，那么这个函数呢？就是以这个 啊十为底的啊，常用的以十为底的，常用的这样一个对数函数，那这样一来就会 出现一个问题，对吧？大家就在想啊，那现在我们怎么样可以指定，或者说比如说我用这里个 啊，刚才的指数的这个底数为指数呢，对吧？那我们在输入过程当中到底该怎样去进行处理呢？啊？这个呢就是我们需要注意的一个问题，因为我们整个软件只提供了一个这个常用对数和一个自然对数， 那因此呢，我们在具体处理的过程当中呢，我们可以怎么办呢？我们可以任意选择一个啊，比如说这个他不是，那我们可以选择什么东西啊？ 哎，选择这样一个换底公式吗？我现在需要以他为底，那我怎么办呢？我就给他除一个，是吧？除一个以他为底的一 它为底，你看，哎，拉个 x 出一个，拉个 a， 那不就变成以 a 为 d x 的对手吗？用换底公式来进行处理好，确定好，那这样的话，大家就会发现，你看这个函数图像就会随着 a 点的变化啊发生变化了，看到了吧？ 啊？看到了啊，这个我们同样的把它这个变粗一点，颜色呢，也稍微调整一下啊，我们用这样一个颜色来调一下。 好，那这个时候你会发现，你看我们随着底数的变化，底数在增大的过程当中，指数函数图像发生了什么变化，对吧？哎，你看在零一之间又发生了什么变化？并且大家感觉一下，你看这个函数 图像和这个红色的函数图像，他们是一个都是以这个 a 点的红坐标为底的，一个是指数函数图像，一个是对数函数图像，那么这两个函数图像又有什么样的关联呢？我们能够看到这两个函数图像， 对吧？同底的指对数之间又有什么关系呢？为什么会存在这样的关系呢？对吧？哎，可以通过这样的方式再去理解 啊，再去理解啊，你也可以画一条这个直线帮助他进行理解啊，一条直线 y 等于 x 嘛，对吧？你看画这条直线来帮助我们对他的理解，对不对？你看啊，他们是不是始终关于 y 等于 x 对称呢？还是一种什么样的状况，对吧？好， 以后我们在可以讲具体的对称操作的时候，我们再来说这个问题， 这是我们简单说一下这个不同的函数的这样一个构建啊，不同的函数的这样一个构建啊， 那么现在的问题是什么呢？我们能不能这个进行一些按钮的动画操作呢？对吧？你看我们今天教大家另外一种动画，我们不需要拖动 a 点的，我们可以干什么呢？我们可以给这样一个 a 点的运动 创建一个按钮，然后我们在这个点击按钮的时候让他自己去动。好，我们看啊，选择选择啊，我们这个养成一种习惯，在选择之前呢，在一个空白的 地方单击一下啊，单击一下，然后再点一下他，好，然后我们在这个编辑菜单当中找到一个叫做操作类按钮，这里面有一个第二个叫做动画，哎，我们点一下动画好，他这上面呢就会有一个动画，那么你看到这里的对话框里面，他说点，哎，自由的在平面上 以中速运动，那这个速度呢？你可以在这里进行调整，慢速啊，中速啊，快速啊啊，这个我们一般都默认啊，标签呢就叫动画点啊，动画点你可以改成这个。呃，底数的变化都可以啊，底数的变化对应的就是他们 啊，对象呢，就是主要是这个 a 点，动画点 a， 主要是这个点 a 啊，这是这几个基本的东西，好，我们单击确定。好，我们了解他，那现在我们来单击一下动画点，你看到他就 就会在这上面怎么样在这个平面上自由的进行运动，那么你看这里个数值，这个数值也会在随着发生变化，然后相应的几个函数图像也会发生变化， 是这样的吧？或者是这样他会自由的变化，那么他这个时候的变化呢？是不受控制的，他是很自由的，就是说他在这个平面来进行动画。那因此我们现在就要考虑一个问题啊， 当这个点偶尔有的时候跑到这个比较靠近这个左边的时候，你看跑到这边来的时候，他的横左边变成一个负数，对吧？那所有的这个图像都不存在了， 对不对？那么我们是不是可以呃，限制性的让他在某一些范围内进行变化 呢？啊？这就是我们今天要来学习的一个内容，我们可以怎样限制呢？哎，怎么限制呢？你看我们教大家一个很简单的方法啊，这就是一种这个基本的想法啊，你看我们会见一个， 大家看这边这个叫工具栏啊，这边这个最左侧的这个，这里有个黑色的箭头，这里有个点，这里有个圆，这里有一个线段。好，我们单击线段，这叫线段直尺工具，看到了吧？线段直尺工具。好，我们同样的在这个平 目类任意的这个选两个点啊，任意的选两个点，然后回到选择里面啊，点一下，现在我们可以怎么办呢？我们有两种思路，第一种呢，就是我们直接借用我们已有的这个 x 轴，你看啊，借用已有 x 轴啊，我们把这个 a 点和 x 轴依次选择，谁先选谁后选都不要紧啊，把这两个选中，把这两个选中，这里面呢有一个叫做编辑，里面就会出现有一个黑色的可选的，叫做合并点到轴 机。好，这个时候你会发现 a 点就跑到了左边轴上面，你再拖动他的时候，就不能上下拖动了，你只能左右拖动。为什么呢？因为他受到了这个 x 轴的变化影响 约束，他只能在 x 轴上进行变化。好，现在我们再让他变化的时候，你会发现他就只能在 x 轴上进行左右的移动啊，进行左右的移动。好，这是这样一种，但是呢，这个时候你会发现呢，我们在 x 轴上移动的 时候呢，他仍然会出现负数，对吧？他到负数的这个位置的时候呢，他就没有指数函数，对数函数图像都没有意义，所以我们希望能够更精确的控制， 所以你看啊，我们首先确定这个点，我们看一下可不可以哎，把它分离出来，你看从轴上分离的一点，那分离出来以后，他就不再受到这个点的控制了，我们仍然可以任意的移动他，现在我们把它放到这一条线段上面， 放到这条线段上，把它合并起来，合并点到线段，那这个时候这个 a 点就只能在这个线段上动，他不能在其他的位置，你看你上下移动的时候，他是不动的。好，所以你看我们在动画的时候，他就只会在这个上面动，看到了吧， 就只会在这上面动。好，那么这里的动画呢，要注意他的运动呢，是有这个规律的，你看我们单击，右键单击啊，右键单击会出现一个属性 啊，这些所有的选择都有啊，我们点一个属性，属性里面呢，你会发现啊，他这里面有一个方向，方向，你看他的动画说点，哎，向前沿着线段与中速匀， 就是向前，他一直是向前的，那么现在我们可以选择什么呢？向后看一下，他就往回跑， 对吧？哎，他从一直从这个右下到左，一直是从右到左，好，我们也可以干什么呢？选择怎么样呢？双向啊，选择双向，这样的话他就是来回的，哎，来回的这样， 可能这个变化的就是更连续一点，那么速度呢？大家可以自己进行调整，那因此你就知道了这样做的一个好处在什么呢？就是我可以通过改变这个线段的端点 的位置，对吧？改变端点的位置来确定点 a 的数值的这个横坐标的变化范围，那也就是说我们可以控制控制我们想要的 呀，我需要这个底数在什么范围内变化，我就可以在什么范围内变化，对吧？嗯，我们把它的红图标的范围变得很小，对不对？那么它的移动就只能在这个范围内移动，对吧？就不能超过这个范围，所以这样 就可以使用我们随意可以随意改变的这样一个范围，来进一步的精确控制啊，进一步的来精确的来控制就可以了，你看到了吧？哎，这就是我们所需要的去想象的东西啊， 那么这里呢注意一下，说一下这个按钮，按钮呢，你看啊，我们当我们把鼠标放在按钮上面的时候呢，他会出现这样一个手型，看到了吧，在其他的位置是这样一种， 这个箭头到这上面的是一个数，然后呢中间你看这个按钮前面的还有一个，还有一小段，哎，他放到这个位置的时候呢，又变成一个向右的，哎，就跟选中这些图像一样，对，这个样子，对吧？那这个有什么好处呢？你看这个单 机的话，他就可以放在这个位置的话，他可以拖动这个按钮的位置，知道吧？拖动他的位置，哎，我们可以任意放到我一个我们想要的地方去， 明白吧？哎，在这个时候呢，他可以手型的时候，他是让按钮进行动画操作的，但是放在这个位置的时候是可以移动按钮的啊，选中他，选中他啊，或者是这个进行进一步的操作， 那么我们如果是右键的话，放在哪都是可以的啊，都可以得到属性呢啊，这个标签呢，都可以啊，属性里面呢，你可以修改他的一些标签啊。好，那么今天这节课呢，我们讲解的这个基本内容呢，就是这样的，第一个绘制特定的一些函数 啊，大家可以尝试一下其他的几个三角的啊，这个包括这个绝对值的啊，包括等等动画按钮的设置和属性的改变啊，自由点于线段或者线的这样一个合并与分离啊，利用这个线段的工具呢来绘制这样的东西。 好，这就是我们第二讲的全部内容，那么今天的练习呢，就是绘制出几个常见秘函数的图像啊，并且设计动态图像啊，并且设计动态图像。好，我们今天这节就讲到这里，谢谢大家。