三明二检历史

呃，今天我们一起来看一下三明的压轴题。在平行线 a、 b、 c、 d 中点 e 在 c、 d 上将这样的 a、 d、 e 方折，得到 a、 e、 f。 第一小例， e、 f 的延长线加 a、 b、 g 点，求证 a、 g 等依据。这个比较简单，就是角平方线的一个模型啊，翻折过来，我们知道这个角一是跟角二是相等的，是吧？ 方则前后图形全等嘛。角一点，角二，那接着平行，视频两边平行， cd 跟 ab 是平行的，那根据内错角相等就可以了。那角一就能角三，角一点，角二，角一点角三，那角二跟角三相等， 那底角相等，腰相等，所以 a、 g 跟 e、 g 相等啊。第一题正完，第二题如图， e、 f 的延长键刚好经过 b 点， f 是 b 一的终点，这是解解这道题目关键。 l 是中 终点，终点我们有终点四大模型，对吧？那终点往哪个方向去思考呢？我们求 o、 c 平行 a、 e， 那么所以直接先考虑终点的问题，我们来看一下啊。 方折之后，我们知道 d、 e 跟 e、 f 是相等的，既然是终点的话，那 e、 f 跟 b、 f 相等，所以这三条都是相等的。然后根据第一题的延续，我们知道 a、 b 跟 b、 e 是相等，那 a、 b、 b、 e 跟 c、 d 都相等，是吧？那这个时候 e、 f 它不就是等于 b、 e 的一半吗？ 啊，那 e、 l 等于 b、 e 的一半，当然也是等于 a、 b 的一半呢。 a b 又等于 c、 d， 所以 e、 f 是等于 c、 d 的一半， 那 d e 又等于 e f， 那 d e 就是 c、 d 的一半呢？那 e 点就是终点啊，所以 e、 c 跟 d、 e 也相等，所以这三条线呢，最关键，只要能证明 e、 c 跟 e、 f 相等，这道题我们 做完了，我们就倒个角就可以了，因为平行问题，肯定考虑到角等就可以了。那么这个依然是角一，这依然是角二，那这个是角四，这个是角五啊， 角五是吧？角五。好，那我们现在用外角来做就可以了。这个 e、 f、 c 的外角就是 d e f 了，这外角就是 这个外角，等于不相离两个内角和。角一跟角二之和是等于角四加角五的外角呢？不相离两个内角和是吧？ 好，那接着角一是等角二了嘛，所以就等于二角二是不是这个角四是等角五了嘛？因为等腰一是一根一二千呢，那就变成二角四了，那角二就等于角四，角二等角四的话，内抽的像两两只烟就平行 好。当然这题也可以啊，背三中线也可以把 o、 c 延长出来，交于这个点，交于句点，证明 e、 c、 g、 a 平行四边形即可。当然同样了，我们还是得证明 e、 f 跟 e c 相等，才能证明好。接着我们看第三题， e、 f 跟 b c 交一 p 点啊， a、 b 跟 a d 都等于四啊，那它就是菱形的啊， c、 d 也等于四，那 d e 等于三，那 e、 c 就等于一了。 好，角 d 等于六十度，这是解这道题目的关键点。角 d 等于六十度啊，这六十度怎么用六十度？特殊角，一般情况下考虑等边三角形或者构造直角三角形来做啊。现在求 p c 的一个长度，怎么求它呢？那 p c 的长度的话，我们可以啊，延长出来， 做 p 点，做垂线。为什么这么思考呢？因为六十度这么用得才能用得上啊。做 p h 垂直它， 然后 p c h 这个角是六十度了，因为两间平行同位角线呢，那么这个角 h p c 就是三十度了，那么可以设 p c 的长度为 a 吧， p c 的长度为 a 的话，那这个 c h 就等它一半了。二分之一，你们三十度左右，直角边斜边一半，那 p h 就等二分之根号上来 啊。设完未知数之后，接待列等量关系，那这个等量关系如何列它呢？那么来看一下这个等量关系。等量关系在一个勾股定理这个直角三角形中列就可以了，在 r t 三角形 p h e 中去列等量关系就可以了，这个等量关系列出来， a 就能求出来了。那关键这个三角形里面，一 e h 知道了，等于 e 加二分之一， p h 也知道了二分之根号三 a， 关键 p e 是未知的，那 p e 你能用二表示出来？这道题目做完了，那要求 p e 怎么求呢？那么再考虑一下折叠方折的话， d e 跟 e f 是相等的，是不是？所以这里的话 e f 它是等于 d e 等于三的，是吧？等于三的，但关键一点就是这个 e l 零三，那 e p 等于多少呢？那我可以把 p l 给它求一下。那 p l 我们考虑一下这样一个思路啊， 把这对角线连接起来，因为菱形经常也是连接对角线的啊，连接对角线，把这 p 点这个交点跟着我们的 a 点连接起来，那这个时候我们是能证明 p c 跟 p f 是相等的， p c 跟 p f 是相等的，为什么呢？因为我们看 这个方折过来角 d 六十度，所以角 f 是六十度，是吧？我们知道它是菱形的话，那说明 a b c 肯定是等边四角形，那这个角也是六十度啊。 a c b 这个角也六十度了， 是六十度吧，这两个角都是六十度了，对不对？但是 a c 又等于 a f 码，为什么啊？因为 a f 是等于 a 档的嘛， a l 只能 a 档的吧。然后这个 a c 这里这个 a c 档跟 a b c 都是等边三角形嘛。 所以 a l 跟 a c 也是相等的啊，所以这个时候我们就会得到 p c 跟 p l 是相等。为什么呢？因为你看一下这个 p c 为什么是 p l 呢？首先第一个，我们知道 a c 跟这个 p l 是相等的，我们可以把 c l 连接起来，是吧？ c l 连接起来，那我们知道这两 底角相等， acl 跟 afc 是相等的，是吧？再减去这两个角，减去六十度，减去六十，剩下小角相等，所以 pcl 是等腰三角形， pc 就等于 pf 了， 那 p c 设为二，那 p l 当然也是二了，所以这个的 p e 就能求出来， p e 就能等等 e f 减 c 啊，减去 p f 就可以了， 那 e f 它是等于三的， p f 它是等于 a 的三减二，所以勾股定理就可以了，那就等于一加上二分之一 a 的平方。求助 e h 的平方加上 p h 的平方，二分之根号三， a 的平方 等于斜边 p e 的平方， p e 等于三减二的平方啊，这 a 就能求出来的七分之八啊，所以 p c 求出来的。当然这个时候连接 a c 连接 a p， 这个是比较 啊。但是这个题目我们求 e p 的话，当然还有另外一种方法，求 e p 的一个长度， 我们可以用相似来做，因为 p p 点把 e、 f 呢两段结巴 bc 分成两段嘛。所以这个时候我们肯定想到构造八字形相似来做，延长出来或延长出来，交易一个点就可以了。交易这个可以点吧？ 那个构造三角形 c e p 跟我们的 p、 b、 k 相似，也一样能把 e、 p 用 a 表示出来啊，这是第二种方法。 那这两个三角形相似的话，我们先得求 pk 啊，先得求 pk 是吧？先得求 bk， 先得求 bk。 我们看一下这个 b c 是等于四的嘛？那上面 p c 为 a， 那我们 p e p b 就等于四减 a， 然后你看四减 a， 这个是 a， 这条是一，这个是 表情。一条边知道，这个是要两条边知道，那说明相识的话，所有边都能求了，对吧？有一比去 bk 是等于 a 比去四减二的，那 bk 能用 a 表示出来 是吧？ b k 能用二表示出来，那我们的 a k 就能求出来。 a k 求出来，就是 e k 跟它相等， e k 跟 a k 是相等的是吧？ 啊？ ek 整体都知道了，整条长都知道了，那笔直也知道了，我们 ep 当然就能求出来啊。 ep 求出来，但这种话稍微复杂一点，好学会了吗？

好，今天我们一起来看这道题。在三角 a、 b、 c 中角 a、 b、 c 为九十度。呃， a、 b 等于 a、 c， 所以 a、 b、 c 是个等腰直角三角形，十九度，十十五度， 把等腰这样旋转到 a、 d、 e 这里来，那 a、 d、 e 也是一个等腰直角三角形，所以这个角也四十五度。好，那角角 b、 a、 e 九十度，这个九十度，这 e、 l 做 a、 b 的平行线也是九十度，所以这个肯定是个矩形了。 然后连接这一千段啊。第一题，证明 b 档等于当局，第二，证明 c、 e 等于根号二倍的，我们的 b 档。好，首先旋转，我们就会想到旋转相似，这样 a、 b、 c 旋转了 a、 d、 e 这里旋转前后的途径全等， a、 b 是等于 a 档的， b、 c 等于 d、 e 的 这四条边都是相等的。然后旋转完之后，我们把它的这个 e 点跟 b 点连接起来， e 点跟 c 点连接下，对应点连接下来就会得到这两个三相似的，这就是旋转相似，也是我们手拉手相似，这样 a、 b、 d 跟 a、 c、 e 是相似的。 为什么相似呢？因为这个直角三角形跟 a、 c 比， a、 b 是根号二比一的，是吧？这个 a、 e 比去 a、 d 也是根号二比一的。然后四十五度角线呢，就是边角边就相似了，而且这两个三角形是 a、 b、 d 跟 a、 c 相似。比就是 a、 b 比 a、 c 啊，就等于一比更，而就是一比更二，那 a、 c 比 a、 b 呢？更二比一呢？那这两个三还相似的话，对应边成比例，对应边就是 c、 e， 我们叫叫 c、 e 跟 b、 d 这底边 是对应的，这对应边的比是等于 a、 c 必须 a、 b 的，那么这 a、 c 比 a、 b， 它是等腰直角是斜边比直角边是等根号二的，所以这里就会得到相似的比，这根号二比一三 c、 e 就等根号二被了 b 档了， 所以第二个对的啊，这里根据手拉手的相似就得到相似比，跟二比一就可以把第二个推出来了，那第一个必到 等于当距，那只要证明这两个选项全等就可以了。 b 当 c 跟当 g、 e 全等就可以了。 这两伞如何选呢？已经有一条边线的 b、 c 等于当一一条边线的呢，现在只要证明角就可以了。我们看这个小子，这个角四十五度嘛，角 bca 四十五度，这个角也是四十五度了，为什么呢？因为 角 a、 e 当是四十五度等腰直角三角形九十减四十五，所以它也四十五度，所以这两个三角形，一条边 b、 c 等于 d 一，一条边线等角四十五度，四十五度。角线的一个两个角一个角线等。 现在只要证明当 b、 c 跟 e 当距相等就可以了，这两个角相等就可以了， 就证明这个角一等于角二就可以了。我们来看一下， a、 b 当然是个等腰三角形，顶角四十五度，那这个底角就是一百八减四十五除以二六十七点五度，所以这个角一就能求在九十减六十七点二十二点五度， 那角二也是一样的，我们知道这个外角是两不相邻两个内角二四十五加六十七点五等于一百一十二点五，一百一十二点五减去九十度，所以这个角二 啊，是等于二十二点五度啊。角二的二十二点五度，所以这里就会得到这个角二是二十二点五度， 所以作为一个角相等，角一跟角二相等，角一当距跟当 b c 相等二十二点五度，四十五度相等，一定要边一线等，这样全等全等 b 档跟当距对应边就能相等。好，接着第三个证明 c h 等于 e， e h 证明 c h 等 e h 的话，就证明两个底角相等就可以了。证明 d h 等于 e h， 我就要证明这个 角二等于角三就可以了。角二我们刚刚正过的二十二点五度，角三也是等二十二点五度。为什么呢？我看 a c e 这个三角形， a c e 这个三角形是一个等腰三角形吧。等腰三角四十五度，那这个 d 角就等于一百八减四十五除以二，等于六十七点五度了。 a， e， c 是六十七点五度，减去这个 a， e， d 四十五度，所以角三也等于二十二点五度，所以底角相当大，就等腰，所以 d h 等于 e h。 对的。 然后接着怎么证明这个 e g 跟 o g 是在根号二边啊？那我们设未知数就可以了。你看，我们刚已经证明过了， e g 跟第一句是相等的，为什么？因为这两个是要全等是吧？所以这两个是相等的。那现在我们只要设 边 a b 为 a， 也就是 e g 为 a 是吧？那只要把啊 e f 为 a， 那就把 e g 求出来， c d 啊 e g 求出来就可以了， e g 求出来，那 g f 就出来了。 e g 等于 c 档，那把 c 档求出来就可以了。 ab 为 a， 那 bc 为 a， 那么这个 ac 啊，斜边根号二 a 了，那这个 ad 也等于 a 的是吧？因为全转过去，那 c 档就能求出来， e g 等于 c 档，等根号二 a 减 a， 那根号二减一 a 是吧？那整条 e f 呢？跟等 a， 那 a 减去根号二减一 a， 那 gf 的长度等二减根号二一了。 那你看二减根号二是不是根号二减一的根号二倍啊？把根号二减一乘以根号二就等于 g f 了。所以 f g 等根号二倍的异句第四可以。对了，所以选 a 单学会了吗？学会的点个赞。