好,第一个他问的是平均数,那全部相加,除以个数就可以了,那加起来,嗯,八加二十,然后三十,四十,五十,六十,六十,嗯,所以加起来是六十个,然后再除以一共五个数,五,哦,等于十二选 c。 好, 第二个他考的是辅数,那辅数的话把它带进来,他说一加 i 减一,我就是 i 分 之一, i 分 之一, i 等于负, i 选 a, 做完了。第三个他考的是集合 x 三次方等于 x, 那 这个结果呢?我们可以 x 三次方减 x 等于零, x 平方减一倍的 x 等于零,所以 x 等于零,一负一。好,那现在说 a 和 b 的 交集,那 a 和 b 的 交集是,嗯,一零选,嗯,一零选的 啊。第四题,他说这是二次不等式的解,那我们首先第一个写上的就是我们分母不能为零, x 减一不能等于零,然后我们再把它移向过来, x 减四比上 x 减一,然后再减二大于等于零,所以通过分 x 减一分之, x 减四,再减二,被等 x, 然后再加二大于等于零,所以,嗯,这是 负 x, 然后减二,比上 x 减一,大于等于零啊,那我们可以把除可以当做乘来,所以负 x 减二,我们可以再乘个 x 减一大于等于零,和这个结果是一样的,只不过我们 x 减一不能等于零,所以我们可以看它是开口向下的抛物线。然后第一个根是 x 等于 负二,第二根是 x 等于一啊,所以,然后这边还不能取大于取上面负二到一,选择选择 c, 然后 x 不 能等于一,所以刚好就是选 c。 结束。好,第五题,这是个这,这,这问的是三角形,三角形 abc 中 bc 等于二, ac 是 这个值,然后给了 ab, 那 我们可以画个三角形 abc, 然后这是 ab 就是 c, 然后 bc 等于二, ac 等于一加根号三,然后他说 ab 等于根号六,让你问角 a, 那 我可以直接写于前提里扣三也。 a 等于嗯, 口算 a 等于根号六的平方六,然后再加一加根号三的平方,一加根号三的平方,嗯, a 方加 c 方减,嗯, a 方减二的平方减四,比上二 a b 二倍根号六,再乘以一加根号三,那我们算一下这个值就可以了。来,这个上面算出来是一,然后三加起来是四,四加二倍根号三,四加二倍根号三,再减四,好,刚好没了,所以六加二倍根号三,再除以,这是二倍根号六,二倍根号六,然后再加嗯,根号六乘三是三, 三倍根号二,然后再乘二,六倍根号二,六倍根号二,好,算出来是这个玩意,那这个玩意的话,我们再可以再合并一下,那这边我们把根号二提出来,二倍根号二都提出来,二倍根号二都提出来,里面变成根号三,再加嗯,三,然后上面呢,我们是不是也可以提出个, 嗯,我们可以提出来个二,二提出来就是三加根号三。哦,约掉了,所以是二分之二等于二分之根号二,所以选择 a。 做完了 第六题,他考的是个抛物线, y 方等于二 p x, 那 我们先画个抛物线,它是开口向右的抛物线,那我画一下开口向右,然后,呃,他给了焦点 f, 那 我们知道 f 点坐标是什么,是不是二分之 p 等于零?对,然后我们还要把准线也画一下,那准线这个是 x 等于负的二分之 p。 好, 那画好了以后,他说什么?他说在抛物线 c 上,呃,有 a, a 在 c 上面, a 在 c 上面。 好, a 在 c 上面,然后他说过 a 做 c 的 垂线,那 a 我 们当他在这吧做个垂线,然后垂足为 b。 好, 这是 b, 然后直线 b f 的 方程。好,那给了 b f 的 方程。嗯,那这能不能减呢?可以减。好,他让你最后算的是 a f, 那 我们一旦看到啊 凹线上的点向准线做垂线,那我们一定要得到定义,就是我们要把这个点和交点连在一起,那我们一定要得到定义,就是我们要把这个 f 的 这条直线方程,那我们可以把这个 f 点坐标给直接算出来啊, f 点坐标是零嘛?所以另 x 等于零,另外等于零,另外等于零,我就算出来是负二, x 加二, x 就 等于一,所以 x 等于一,就是二分之 p, 它就是二,它就是二分之 p 这个点,所以 p 就 等于二, p 就 等于二。我就算好了,那 p 等于二的话,我算好了,那我就再把 b 点也算出来,也可以。 呃,然后我还知道它的斜率是负二,那斜率是负二的话,那我知道什么?是不是 tangent theta 等于,嗯,你看哪个是 tangent theta 呢?是不是这个是 theta 角,那我们可以把它当这个来,那它谁比谁呢?是不是就是它这个 y 比上 x, 那 我们知道是 y 比上 x, 它就等于负二, 然后我们还知道什么呢?它的 x 坐标是多少呢?就是负的二分之 p, x 坐标负的二分之 p 呢? y 等于负二倍的 x, 然后 x 又等于负的二分之 p, 然后我把 x 等于负的二分之 p, 然后负的二分之 p, p 等于二,所以它等于负一,所以把它带进来,所以 y 等于二,所以 y 等于二。哦,所以这个高度等于二。这个高度如果等于二的话,能算出 b f 的 长度,嗯,但好像不太需要了啊。然后我也可以把。呃,这个是二的话,然后 x 又等于一,然后这个也是一,对吧?这个长度也是一,所以这是一,一根号二,然后这是根号二。嗯,我们还能不能算呢?还能算。嗯,你看一下啊, a 点到 b 点的距离 啊。其实其实 a 和 b 是 同高的嘛。那 a 和 b 是 同高的话,我可以直接算出它的高度也是二。那 a 的 高度是二的话,那我们代代乘值嘛。那 a 等于二的话,就是 y 等于二, y 等于二的话,是四,等于二 p x 那 是二 x, 对 吧?然后 x a x a 坐标刚好就是二, a 点的 x 坐标是二,对,然后我就能算什么呢?我要算 af 的 长度,那 af 的 长度我可以通过 他的这个啊。好, x c 我 知道,然后还知道准线的这个。呃,距离。那 l 的 准线等于 x 等于负二分之 p 刚好就是负一,所以我可以算这个距离,那这个距离刚好是三,所以这个距离是三,那这个距离也得是三,所以 a f 的 长度等于三。选 a 告诉了全向和,然后告诉 s 三, 嗯, s 三等于六,那我们可以想,哎,第三项等差除以第三项等于六,然后第五项又等于负五,哎, s 三等于多少? s 三是不是就等于两个三倍的 a, a 二,对不对?所以 s 三等于三倍的 a 二,那就刚好等于六,所以 a 二能算出来不? a 二能算出来,刚好等于二, a 二我能算出来,然后 s 五, s 五等于负五,那它又是多少呢?是不是五倍的 a 三 没问题。所以呢, a 三我能算出来, a 三刚好等于负一, a 三是吧?所以我们知道公差 d 等于多少, d 等于负 负三,对吧?所以 d 等于负三,我能算出来,所以我可以算 s 六,那 s 六是多少呢? s 六我可以套套那个公式。 s 六等于六倍的 a 一, 加上十五个 d, 对 不对?好,那六 a 一 是多少呢?那,那我们推着一下,我们是往后递减三,所以 a 一 肯定是等于五的,对吧?那那套一下吧,六五三十加 十五个 d 等于负负的十五,负四十五,然后算出来是负的十五选 b 选项。 好,第八题他说了一个口算二分之二法是个值,然后呢,明显要用二倍角公式来算,对吧?所以口算二分之二法是这个,那我们可以算一下什么三二分之二法,对吧?三二分之二法等于多少呢?是不就是, 嗯,这个根号下一减口算一方,刚好就是一减去五分,刚好五,一减去五分之一等于五分之四,五分四开根号是,呃,五分之二百个号五,好,直接口算啊,口算就行了。然后呢?这个,呃,然后给了这个东西,那怎么办?我们是不是可以把它展开再口算?口算三乘以二分之二,然后再减?口算以二法, 然后三四分之二分之二,对吧?哎,那,那怎么办?那是不是我只能用这个?呃,你看,我现在告诉你这个算引值,口算引值, 那我要得如何去直接用二倍角来算它呢?我是不是要得用这个二倍角公式来弄?你看我算而法是多少算,而法是不是就是两倍的算?而二,二分之二法,二分之二法,然后再乘口算而二分之二法。好,那乘在一起吧,来算一下,那这是五分之二倍,刚好五,再乘五分之刚好五, 嗯,那刚好就是刚好五分之一,乘,刚好五分之一,然后五分之四。啊,五分之四算出来了。好,然后我们再算一下口算也尔法。口算尔法是多少呢?是不是我要得用二倍角公式叫做二倍口算也尔法。呃,二倍口算二分之尔法,然后再减一,对吧?来,那算一下吧。呃,它的平方就是刚好五分之一的平方,五分之一,五分之一乘二,五分之二,五分之二减一,那是负的五分之三。 好,然后再套这个里面,套这里面。我算一下,算它是五分之四乘它,那是十分之四倍根号二,然后再减去十分之,加上十分之三倍根号二,那十分之七倍根号二,对吧?十分之七倍根号二,都不用蒙,直接能算出来。选择做完了。这,这,这还是选择题,最后一个没有难度啊,一分钟做完。 好,我们看这个多选题啊,那这个多选题呢?他说这是等比数列,给了个求和公式,然后前项和,然后 q 是 这个公比,然后给了 q 是 大于零的时候, 然后 s 三告诉你了, a 三告诉你了,让你求这些,这些量怎么做呢?好,这就比较简单,对吧?好,那我们可以用 s 三表示一下。那 s 三,我们的表示方法是等比数列,那我可以用它的通那个求和公式,一减 q 分 之 a, 一 乘以一减 q 的 三次方,它等于七,对不对?然后呢?我还知道什么?我还知道 a 三对不对?好呢? a 三就是 a, 一 乘 q 的 平方,等于一,对不对?好,那这两个式子连六,能不能算出来这个?嗯,算出来这个对,所有的值,我能把 q 算出来吧?可以啊,好,那我们就可以把这个两式,那两式我要怎么出呢?你看我都有 a 一, 对不对?那我能不能把 a 一 消掉呢?我是可以做除法,哎,我刚好把它除掉。好,那除一下吧, 等于多少呢?这就是一减 q 的 三次方,再除一眼这个一减 q, 然后再乘以什么?是不是 q 的 平方等于七?好, 然后我们可以这个用这个三次函数的展开公式,你可以展开一下,这就是一减 q, 然后再乘以一加 q, 再加上 q 方,对吧?你背了吧?好,背了啊,那背了以后呢?这就,这就简单,对吧?这是一减 q, 然后再乘以 q 的 平方,对吧?那这明显就约掉了,好,等于多少?是不是等于七? ok, 这等于七,那,那这事的话就把它乘过来嘛。这,这,这等于七 q 方,然后我们把它移过来,那是六 q 的 平方,再减 q, 再加一,再减一,等于等于零,对吧?好,那这个 q 能写出来吧?可以啊,那,那我们可以十字相乘嘛。这是三,这是二,然后这是一,这是一,然后它是负的,怎么凑出负 q 呢?这三 q, 这是 q q, 好, 这是三 q 减二 q, 那, 那这个给个,这个给负的吧,对吧?好,那这是正的,所以我得到 q 等于负的三分之一和 q 等于二分之一,对不对?所以 q 等于二分之一。呃,然后它必须 q 还得是大于零,对不对?好,那刚好结束了, a 选项对的。好,那 a 选项选好,那我们再继续往后走。 那 q 等于二分之一。好,那,那这是,那我可以把 q 点二分之一往后面的别的选项都带一下,对吧?那带一下,我就其他的是其他 bc 的 也都能出来,对吧?好,那就继续吧。 好,那 q 等于二分之一,我带到哪呢?你看我,我要算 a 五,是不是?好,那我,我刚知道是 a 三是多少就是 a 一 乘以 q 的 平方,对不对?它等于多少等于一,对吧?好,那 a 一 算出来等于多少?你看二分之一的平方就是四分之一,所以 a 一 等于四。好,那 a 一 等于四,那 a 五等于多少呢? a 五是不是等于 a 乘以 q 的 四次方?来算一下, 刚好就是四乘以 q 的 四次方。 q 是 二分之一,二分之一的四次方,那就是,嗯,多少?二二得四四,四十六十六分之一,是吧?好,那算出来是四分之一,对不对?那他是九分之一吗?不是,所以 b 是 错了。好,那 b 是 错的,那继续吧,往后坐。呃,那 a 一 我也算出来了,那这个还能继续用,对吧?好,那继续用那 s 五,那 s 五的话,往后带。那 s 五怎么算? s 五等于 a 一 乘以一减 q 的 五次方,再比上一减 q 的。 对啊,大家去算呗。那一减二分之一,那下面还是二分之一分之 a 一 是四,再乘以一减二分之一的五次方,二分之一的五次方是二四四十六十六乘二。呃,三十二是吧?三十二分之一,那一减三十二分之一是三十二分之三十二分之三十二分之三十一,是吧?三十二分之三十一,对,然后四和它约量, 那这个是十六乘二,那,那我还能约个,这是十六乘二的话呢?就四乘以二,八分之三十一,对吧?八分之三十一,那,那这是八分之三十一,再除以二分之一等于乘以二,对吧?那约个二,那这算出来多少?这就是四分之三十一。四分之三十一, 那四分之三十一。呃,我,我如果四分之三十二才是八,对不对?那 z 也是错的。那多选择题的话,那必须得选 a, d 呗,这就做出来了。然后我们正来把 d 也算一下啊,那 d 怎么算呢?我,我是不是刚把 a 一 算了,然后我还把 q 也算了,对不对?那 an 怎么算? a, n 是 不是就是 a 乘 q 的 n 减一次方, a 是 四,再乘 q, q 是 多少? q 是 二分之一,对不对?那是二分之一的 n 减一次方,二分之一的 n 减一次方,好,那 这是对 a n, 然后呢? s n 咋算? s n 是 不是就是这个 a 一 乘以一减 q 的 n 方,那 a 一 是多少? a 一 是,呃,四,对吧?四再乘以一减 q, 一 减二分之一的这个 n 方,对吧?然后再比上一减二分之一,来,大家算一下吧,这个算出来是, 嗯,这算出来有多少?是不是四一得四,然后,嗯,四再减去 a 一 减二分之一,也是二分之一,对不对?好,那,那除以二分之一就乘以二呗,刚好就是八,再减去八乘以二的 n 次方,分之一,对吧?这没问题。好,这是 s n, a, n 和 n 加在一起,能加不?可以加啊? 嗯,这个是四再乘以二的 n 减一次方,那我可以把它弄成 n 次方,不二的 n 减一次方,那就是 有 n 减一个二相乘,那我可以硬式给它凑一个啊,我从这里面可以给他拆一个嘛。那八减去这个二分之一,我提出来一个,那八和二分之一乘刚好四,再乘以二的 n 减一次方分之一, 哎,这个部分和这部分好像一样的,那加在一起刚好是八,哎,它选项对的好,所以 abc 能正对推出来,然后你也可以把 bc 排掉,以后你 a 道也能选出来,对吧?好,好,那个看一下第十题。第十题他说 f x 是 r 上的一个奇函数,嗯,那就是关于圆点对称,对吧?然后他说 x 大 于零的时候, f x 的 表达是告诉你了, 那这是个非常经典的一种多卷题类型,对吧?那我们就可以尝试着把这部分先画出来,然后画出来以后,如果因为它是奇函数,所以我把它关于原点对称翻过去,那就是我的整个图像,对吧? 那,那怎么画这个函数图像呢?那我是不是要得求导分析单调性,然后才能画这个图?好,那,那这个事情的做法就这样做。然后我这个是定义在 r 上的奇函数,对不对?那它是在整个实数上都有定义,那我们知道有一个性质叫做奇函数,如果在整个实数上都有定义,则 f 零等于零,所以什么都不用算。好,继续第二个。 那 x 小 于零的时候的解析式该怎么算呢?我是不是知道 x 大 于零的解析式就是这个?好,那我可以令什么呢?令负 x 大 于零, 那我如果令负 x 大 于零,那是不是 f 负 x 我 也能直接套到这个解析式里面去。好那套吧,那是负 x 平方,刚好是 x 平方,然后再减三,然后 e 的 负 x, 然后再加二,对不对?好,那我这个是 f 负 x 的 表达式,然后我又知道这个 f x 是 奇函数, f x 等于负的 f x, 对 不对?好,所以我再给我再把所有的 x 前面。 呃,我把所有的负 x 变成 x, 然后给它加个符号,刚好就是我的这个 f x 表达式,对不对?好,给它加个符号吧,符号就是这个 x 方再减三, f 的 e 的 x 方怎么样?再减二,对不对 啊?不,呃,我要在我的上面那个表达式中,我要把这个 x 就是 x 的 这个位置上带 x, 对 不对?所以我的我的要的关系是这个关系好,所以 f x 表达式是不是它没有问题吧?好,没有问题,所以选 b 好, b 选项也出来了,然后我们再再看这个 c 选项, c 选项他说 f x 大 于等于二的时候, x 大 于等于杠三,那这个怎么办呢?我是不是只能开始求导分析单调性来判断这个函数的图像对不对?好,那我们就画一半吧,我们先把这个图像的一半给画出来。 好,那我们先求个 f 大 于零的时候,我们先求个 f 撇 x 等于多少呢?前导,后导,那是 x 加前导,后导,那是 x 方减三,被导 e 的 x 后导,然后没有了,对吧?来,我们把 e x 提出来, e 的 x 被导二 x, 然后再加 x 平方,再减三。 啊,这好像还能英式分解,对不对?好,那我们就英式分解一下,那是多少? x 方减二, x 减三的话,那是 x x, 然后一三三 x, 然后 x, 我 要凑出中间是 x 二 x, 那 就要得给他个符号,所以这个呢,可以拆成 x 减一倍到 x 加三,对吧?然后一的 x 来,这是我的导数。 来,我的导数我求出来了,我导数求完了以后,那意思是我得看它的正负,对不对?那 x 大 于零的时候,这部分肯定是大于零的,对吧?然后这后面是二函数类型,开口向上,然后一个根是负三,一个根是一,对吧?好,然后我 x 大 于零的时候,我的值应该在这大于零。好,所以是先负后正,所以先减后增,对吧? 所以先减后增,从零开始到一是先减后增。 ok, 我 大概弄好了,我可以把这个零处的值给算一下。啊,零处肯定是零嘛。然后我们再看一下它趋于零的时候是多大? 那 x 趋于零的时候,你看我这块就趋于负三,对不对?然后呢,这块去零的时候,刚好是一对,不对? e, 呃, e 的 零次方是一对吧?好,那刚好是负三,然后再加二,那就等于负一,所以 x 趋于零的时候,我 f x 的 值刚好就是什么负一。好,那这个图呢?画了,那我们把这个图画一下。啊, 那正半轴的图像长什么样呢?来,我从负一开始。负一开始我就要得来,但这处没有定义,对吧?来,我要减减减,减到。减到哪?减到 x 等于一的时候呢?它,我就再看一下它的这个 无穷的时候,那这个是无穷大减三呢?还是无穷大? e 的 无穷大还是无穷大?无穷大。无穷大。是无穷大。好,那刚好,所以它趋无穷大。那图正半轴图像应该长这样,对吧?因为它又是奇函数,所以我把上面部分也画出来,好,也长这样,对吧?这是负一,还有图画好了,他说 f x 大 于等于二, f x 大 于等于二,那那要看什么?是不是什么时候等于二呢?对吧?呃,等于二的时候是啥时候呢?那我们可以,我们可以画一条线出来 找一下他等于二的位置是多的。来,我们我们先看一下一处是一处,是不是位置的那个最小值和最大值,对吧?啊?就极极大值极小,对吧?那我把一带进来看一下,一带进来的话,刚好是一减三负二被的 e 的 一次方。呃,那这个是二乘以二点多,然后再加二, 那就是二减去二倍一的一次方,一的一次方,我们把它当三来看的话,二三得六,那是负的值,是吧?那负的几呢?嗯,二三得六六再加二,负四是大概是负四,那这边是四,大概是这样的位置,对吧? 好,所以我这个图大概画好了,那 f 一 和 f 一 明显已经比他,你看我,我发现 f 负一的时候就已经大于等于二了吧,对吧?已经大于等于已经比二大了,他已经 f 一 的时候刚好是二,我看一下啊,是多少?就是二减去 e 的 二加 e 的 一次方了,对吧?那这个是这个值, 对吧?已经比二大了,所以在他说当且减到 x 大 于等于刚好三大于等于刚好三,对不对呢?你看,我在他说当且减到 x 大 于等于刚好三,对不对呢?你看我在这半部分的时候,我也有比二的大的部分吧, 他说只有在 x 比刚好三大的时候才能使得 f x 大 于零和二。正半轴上确实是存在这样的点的,但只不过我在负半轴也存在啊,所以他说当前减到 x 大 于零,刚好三的,所以就错了,好,就错了啊。然后我们再看这个的得选项,他说 f 等于负一处,是极大之点哦,看图,我图也是对的,对吧?所以选得没问题,所以最后答案 a b 得非常简单,对吧? 好,我们看一下最后一道多选题啊,多选题,这个道题,他说双曲线,然后给出左右焦点,那我们可以先画个图啊,我们把这个图画好。好,然后这个是焦点在 x 轴上的双曲线,然后 f 一 f 二,那就,嗯,先把我的这个好这么一画好以后,他现在给我说了 f 一 f 二是左右左右焦点,那这个是 f 一, 这个是 f 二, 然后现在说左右顶点分别是 a 一、 a 二,哦呢,这个是 a 一, 这个是 a 二。好,然后以 f 一 f 二为直径的一个圆,交于这个 c 的 一条渐线与 m n, 那 那我现在令这条渐线线是哪个呢?那我可以使得我的渐线线是这条,可以不?应该是可以的啊,我,你想啊, 是哪个?我就令这是这条渐线线,然后他现在说我要得画一个圆,和我的渐线线交于 m n 两点,那我画个圆吧。 好,大概是这样子啊,好,这个我说是 m 点,这个是 n 点,可以吧?好,这个是 f 一 啊,好,那现在我大概就画出来这个图了。画好了以后,那现在跟我们说的是 f 一 f 二为直径,然后,然后现在跟我们说的是 n, 然后 a 一 和 m n a e m 这条线,他说这个的角度是六分之五判好呢,这个是六分之五判,那现在问我们的是 a 一, 然后 m a 二,这个是多大? 那我们这个可以看出来,这个 m 和 n 明显是关于圆点对称的,对吧?然后 a 一 和 a 二也是关于圆点对称的, 所以我这个 a 一 a 二是不是就平分我的 m n, 对 吧? a 一 a 二和,呃,就平分我的 m n, 好, 所以我这个 a 一 m a 二 n, 你 看我如果把后半部分这块连起来,它是不是就是平行四边形, 对吧?这是平行四边形,对吧?那这是平行四边形的话,我这个角度如果是六分之五派,这个角度是不是也是六分之五派?那我剩下的这两个角度是多大?你看我这两个角度是不是应该就是,呃,我四边形的这个内角是不是就是二二派度,对吧?二派,对吧?好,一百八十度。好,我如果把两个六分之五派都剪掉, 嗯,我内角和是二派,对吧?所以二派减去两个六分之五派,就是六分之十派,那就是六分之十二减六分之十等于六分之二派,对吧?好,然后呢,我这一个角是不是就是他的一半?所以我就是六分之一派,对吧?所以 a 选项应该是对的,所以 a 就 对了。好,然后我们再看第二个选项, 他说 m a 一 m a 一 等于两倍的 m a 二。好了, m a 一 和 m a 二的关系,那这怎么办呢?那我是不是我先可以设我的这条间断线方程叫什么呢?是不是我可以把它当 y 等于 a 分 之 d x, 对吧?然后它是和我这个圆是有交点的,那这个圆我怎么写呢?是不是它?首先它是我的圆,心是零对零,所以我可以写 x 方加 y 方等于二 r, 那 现在我的半径是多大?是不是 c? 好, 所以等于 c 方,好,那这个是我的圆的方程,然后我的直线方程是 y 等于 a 分 之 b x, 对吧?所以我可以通过这两个方程来化解。我可以把 m 两点的坐标给直接算出来,然后算出来以后,我是不是就能表示我的 m a 一 m a 二的长度了,对吧?好,那我就按照这个方式来做一下,我可以代入,我代入的话,我把 y y 带进去,得到 x 方加 a 方,分之 b 方 x 方,然后等于 c 方, 对吧?来同乘 a 方,嗯,我就会得到,得到什么呢?得到这个 a, 你看,一加上 a 方分之 b 方,就是 a 方,分之 a 方加 b 方,被 x 方等于 c 方,对吧?然后我知道椭圆里面谁谁最大啊?双曲线是 c 方, c 方最大的吧? c 方刚好就是 a 方加 b 方,对吧?好,所以我把这个 a 方给乘过了。哎,我把两边 a 方约掉, a 方加 b 方约掉,所以我得到了 x 方等于 a 方, x 方等于 a 方,所以 x 等于正负 a, 对 吧?所以我 x 算出来是正负 a, 往这个里面带,那 y 算出来是不是就是正负 b? 对,所以我 m 点坐标,我可以把它当 a 到 b, 对 吧? m 点坐标,我就是 a 到 b, 那 n 点坐标是不是就是负 a 到负 b? 因为它们是关于原点对称的好,所以我 m 两点坐标也出来了。然后我要如果算这个 m a 一, 你看 m a 一 和 m, 嗯, n a 二的成含 a 二的程度的话,我该怎么办?不是,我知道中间的这个角度是六分之 pi, 对 吧?中间这个角度是六分之 pi, 那 大家换一下啊,我,我知道这个点是 a 到 b, 然后我知道这个是六分之 pi, 没问题吧?然后我 a 一 点坐标, a 二点坐标,我知道不?我知道,对吧? a 一 点坐标是啥?是不是负 a 到零,在 a 二点坐标呢? 是不是就是 a 到零?好,我都知道了,那是不是我要算这个长度?完全可以算,对吧?可以算,那算,算一下吧,那这个长度好像是这两个做,我先做叉,对吧? a 方,嗯,我可以写 m a 一 向量等于, 嗯,这个 a 减它,好,我可以写 a m, 或者这样写也行,但是它减它 b, 然后他减他,嗯,二 a, 对 吧?那我要算这个长度的话,就是它的平方和,对吧?那是四 a 方加 b 方开根号,就这个长度,那这个长度呢?多大呢?是不是我可以这个是 b 减他零,零到 b 吧,那这是 b 方 来开根号,对吧?好,然后这又是六分之六分之二,然后我还知道 a a 二的长度是,嗯,长度是多长?是不就是,嗯,二 a, 对 吧?所以我通过这个三角形可以吧?余弦定律的话,嗯, 那我可以尝试一下。嗯,口算也,口算六分之派,那口算也,这六分之派刚好就是口算三十度是二分之刚好三,对吧?那它等于多少呢?那它是不是就是,呃, m a 二的长度, 然后再比上 m a 一 的长度,对吧?刚好就是 m a 二的长度比 m a 一 的长度,哎, m a 二的长度比上 m a 一 的长度,哎,我发现就刚好是口算三, 哎,那我能算出来什么? m a 一 和 m a 二的关系是多大?是不是三分之二倍根号三倍的关系,哦,应该,这应该是三分之二倍根号三的关系,对吧?所以它明显不对,对吧? b 选项是错的, b 选项呢?是错的,我明显知道了,然后我们再看 c 选项,那 c 选项的话呢?我是不是,我知道这个三者间的关系,那我刚我刚写的这个,这个关系可以用啊,可以继续用。那这三个关系的话,我知道 a a 二的距离是二 a a, 然后 m a 二的长度是 b, m a 的 长长度是多少?是不是三分之二倍根号三倍的这个 b, 对吧?因为这是 b 嘛,我们刚知道 a 和 b 的 人关系嘛。好,我算出来了。那,那知道这个关系了以后,我们还知道啥?我们知道这三个还符合这个,他明显发现,哦,这好像是,还是个九十度,是吧?所以我,我能,我能清楚什么呢?我能清楚,哎,这个还能用勾股定律写,对吧? m a 二的长度加上 a a 二的长度,嗯, 刚好等于 m a 一 的长度,哎,我好像发现,哦,这个是九十度,对吧?所以我用 m a 二的长度就是 b 方加上 m a 的 长度就是,呃,三分之三分之四倍的 b 方刚好等于二, a 方等于四 a 方,对吧? 那我可以解除这个吧。那我知道 a 和 b 的 关系了,那 b 方加起来这是多少?是不是一加三分之四等于三分之七,三分之七, b 方等于四 a 方,对吧?好,我有这个关系,然后我还可以用 c 方等于 a 方加 b 方,对吧? a 方加 b 方。好,呃,那我 a 方我就带这个,那 b 方我可以带成什么? b 方我可以带成同除以四。 嗯,同除以三再乘以七啊,也是 a 方加上,嗯, b, b 方占的是四,三十二十二除以七十二除以七个 a 方,好,是这个,然后再加起来七分之七加七分之十二是七分之,嗯, 九是二十九 a 方,然后我 c 刚好就是,嗯,那我 c 算出来是多少?嗯,那我可以同除以 a 分 之 c 吗?嗯, a 分 之 c 呢?那我除以 a 方,刚好就变成了七分之二十九开根号,嗯,算出来是根号十三啊, c, 对 了呢?好,那我 c 就 算出来了,对吧?然后我们再看第四个, 第四个他说 a 等于根号二的时候,要算出这个来,好的,那这个到最后一个,是吧?那最后一个也可能也还行,对吧? a 等于根号二的时候, b 等于多少呢? b 是 不是二倍根号?三倍的 a a, 所以 等于二倍根号六,对吧?我们刚刚得到了关系,好,这是二倍根号六,所以 m 他 让你算的是这个的面积。 嗯,那我先可以把 m a 一 给算, m a 二给算出来, m a 二的长度是多大,是不就是 b 吗?刚好就是二倍根号六,对吧? 这是二倍根号六啊。然后我们还可以算一个 a 一 a 二的长度,对吧? a a 二的长度是多大?是不是二 a, 那 a 一 a 二的长度刚好是二 a 二 a 刚好就是二倍根号,对吧?好, 所以我这个这个平行四边形的面积,它又是啥的面积呢?是不是 m a 一 a 二是 m a a 二,它的面积乘以二,所以它又是底乘高,对吧?那我知道高不知道,对吧? a a 二就垂直的嘛, a a 二和谁垂直?是不是 m a 二垂直?好,那这时候就完了。所以就是刚好就是二分之一的二分之一的底乘以二倍根号六, 好了,这两个约调就是根号六乘,根号二是四倍根号三,四倍根号三再乘到四十四倍根号三再乘以二八倍根号三选择的选项好的选项没有问题,所以,呃,这个 a c 得四个选,三个选项就能都算出来,对吧?呃,相比于前几年的这种压轴体来说,均算量其实没有那么大,对吧?多选压轴嘛,那匀算量是大点很正常。 我们看一下多选填空题,填空题的话,第一个他说的是 a 向量,然后给了 b 向量,然后说了 a 向量和 a 减 b 向量垂直,那我先把 a 减 b 向量写出来, a 向量减 b 向量,那就是,嗯, x 减它,那是 x 减 x 没有了,然后一到一减二 x 一 减二 x, 那 这个就表示好了,对吧? 好,这个表示好了,以后我还要得算 a 向量和它垂直,所以 a 向量,嗯,是 x 逗一,对吧?好,那这两个点击为零,对吧?那点击为零刚好就是 x, 然后再加上一再减二, x 刚好等于零,所以算出来是多少,是不是一减 x 等于零, x 就 等于一吧,所以 x 等于一, x 算出来是一,然后让你算 a 向量的模,那 a 向量刚好就是一逗一,对不对?一逗一,那 一加一看,那我这个 a 向量模咋算?是不就是根号下一加一的平方,加一的平方等于根号二,对吧?哎,根号二做完了,很快做完,对吧? 我们再看第十三题,他说 x 等于二十这个三次函数的极值点,那怎么办?我求导判断,对吧?求导判断这样的信,呃,首先我们可以,我们有个很快的方法啊,我们先把 x 三次方前面的系数给算出来, x 三次方前面系数,你看这是一,这是一,这是一,哦,是一,所以 x 三次方系数是正的,所以它的图像应该长这样子,所以,呃,他要得找极值点,那这两个极值点啊。那那那,那就开始求导, 那求导的时候呢?你可以把两个先合并在一起,比如说 x 减一和 x, 呃,减二,可以合并在一起,或者是你先把这两合并在一起吧,那是 x 方,呃,再减二 x, 再减一 x 减三 x, 然后再加二,对吧?然后这两个括号和 x 减 a 放在一起,那我给他求导的时候,那第一个求导是不是二 x 再减三?来前导后导 x 减 a, 然后再加上前导导式 x 方减三 x 加二和后面导数是一,对吧?弄好了以后来我把它拆开合并,对吧? 那是二 x 方,然后再减二 a x, 然后再减三 x, 再减三 x, 然后再加三 a, 对 吧?然后再加 x 方减三 x 加二。哎,那合并在一起吧,全部合并在一起,那是三 x 方,然后 减。嗯,你看这边有个减三 x, 这边有个减三 x, 减六 x 减六 x, 然后再减二 a x, 然后再加三 a 加二。好,那全部合并在完了,全部合并完了,那现在意思就是我要给出 f 零,嗯,二是它的极值点,然后那意思就是我把它带进来,那肯定等于零,对吧?那我把二带进来,那二带进来的话等于多少?那这边带二, 那二的平方等于四,四三十二,减六二十二,然后再减四 a, 然后再加三 a 加二要等于零,这就等于零了,那这两个加起来是负 a 加二等于零,所以 a 等于二, a 等于二,我算出来了,然后算 f 零,那 a 等于二,我把它带上,然后把零带进来,那零带进来,这边是负一,然后这边是乘以负二,然后再乘以 这个零带进来,是负二,对吧?那负二乘负二是正四,四乘负一的负四,对吧?所以你就能算完了,也很快粗,对吧?好,我们看一下最后一道这个填空题啊,那这个填空题的,呃,思维难度稍高一点啊。那我现在放了一个这样一个铁桶,那铁桶里面放两个球,使得我这两个球的半径最大,然后我的高为九,然后底面的半径,他说底面半径为四, 我的意思就是我下面就是八,对吧?这个我把它的截面画了以后,那我们想象一下,那我放这个球的时候,怎么样才能使得我的这个半径最大呢?如果两个叠着放, 如果两个叠着放,意思就是我要放一个半径半径为四,等于直径为八的球的话,我只能放一个上面放不下了,对吧?而且我要得放两个等等等半径的吧,所以我竖着放,那肯定也就是会放不了,对吧?那怎么放呢?那我就贴着放,不行吗? 我能不能就是这样的放,这完全可以,对吧?那我两个球星之间的距离就是二 r, 对 吧?好的,是二 r, 然后我我做一个竖直的方向上和水平方向的分,那这个是 r, 这个也是 r, 对 吧?然后我在这里也一样,那这个也是 r, 嗯,那就跟这个一样,这个也是 r, 对 吧?所以我的高度这个九, 我减去二 r, 是 不是就这短长度,那这个就是九减二 r, 对 吧?然后呢?我这个水平啊,这个是多大呢?那这个肯定垂直的吗?那这个是二 r 吗?然后这个就是这个也有个 r, 对 吧?是不是八减 r。 好,所以我的九减二 r 的 平方和八减二 r, 它的平方是不是就刚好等于我二 r 的 平方就是四 r 方,我就能把 r 算出来吗?好,那,那我们尝试一下啊,九的平方八十一减两倍的它,嗯,二九十八,嗯,那就四九三十二,三十六 r, 对 吧? 然后再加四 r 方,再加八八,嗯,六十四,然后再加,嗯,四 r 方,等于四 r 方。 好,这个先约掉。啊,那这边是零。好,那这边的话算出来是四 r 方,嗯,然后再减这个六七八八,然后三四五六六六十八 r, 然后这个八十一加六十四加,嗯,四五五,然后六六加八,加六十二十三十四,一百四十五,等于零。好,我最后化简出来的式子是长这样子的,那我要得算出这个 r 的 话,怎么算呢?我可以英式分解不? 还可以啊。呃,这个我可以把它分解成二二二二,没问题吧?然后一百四十五,该怎么分解呢?是不是我可以把它分解为,嗯,我算一下,五乘以个 五,一得五,然后五二得十二十九,可以吧?啊,那,那这两个五九四十五刚好可以,对吧?所以,呃,然后我给符号的话,给谁符号呢?那是不是给这个? 嗯,两个都给符号,这样的话是二十九乘二,这是十八,然后三十,嗯,二二的四四十五,十五十八,五十八加十。哦,六十八刚好可以,对吧?所以我而算出来应该是二分之五和这个二分之二十九, 对吧?那这两个好像都可以,但是你再好好看,二分之二十九是多大?二分之二十九是超过十了吧?这明显大于十了。那他能放在这八厘米和十厘米的这样的一个桶里面吗?肯定不行,对吧?所以我 r 只能得二分之五,所以最后答案是二分之五,难度稍高啊。好 好,第十五题呢,非常简单。那他这边啊,我补一下啊,这边这边有点漏字了。好,他说的是 f x 是 口算二 x 加 f 啊,然后给了个范围,然后给了 f 零点二分之一,那这式就很简单,对吧?来,我要求 f 的 话怎么弄? f 零等于二分之一给了,对吧?所以 f 零等于多少呢?是不是我把零带进来,刚好是口算,以 f 的 口算 if 算出来它,它又得等于多少?是不是得二分之一?然后又因为我的 if 在 哪个范围内? if 是 不是大于等于零,小于等于 pi, 所以呢?我的 if 的 大小刚好是不是就是三分之 pi? 第一问做完了,对吧?第一问做完了以后呢?第二问不也轻松的很吗?因为第一问得到 if 等于三分之 pi, 所以 我的 g x 表达一下, g x 等于 f x 加它 f x 就是 多少, 是不是我把它抄一遍。那口三眼二 x 加三分之 pi, 然后再加 f x 减六分之 pi, 那 刚好就是 x 减六分之 pi 是 多少?是不是口三眼那个二 x 减六分之 pi, 就是 减三分之 pi, 然后再加个三分之 pi, 刚好零去了。那是 那是口算二 x, 对 吧?应该是这个吧。好,那现在我得到了这个关系。呃,那,那我就怎么办把?我前面我是不是能展开,哎,那展开吧。那是口口散散展开嘛,对吧?那口口散散,那口算二 x, 口算三分之派是多少?口算三分之派刚好就是。呃,口算也六十度,二分之一,是吧? 好,然后再减。算也。算也,算也二 x, 然后算也六十度,算也六十度,嗯,二分之根号三,对吧?然后再加一个口算也二 x 啊,那这个就二分之三嘛。二分之三倍的口算也二 x, 然后再减二分之根号三倍的算也二 x。 对 啊,那我这个可以用辅助角公式先提一个。嗯,他们两个的平方和刚好是负的根号三,对吧?那里面剩多少呢?算也,那就是二 x, 然后再。呃, 我算出来,我把刚好三一题,负刚好三一题的呢,会剩下多少呢?是不是二分之刚好三,那是多少?塞口口塞有多少?二根刚好三,三分之二就出来了,所以我这个 f x, g x 就 能表达出来。然后他又说什么值域和单调区间,那值域简单,对吧?那。呃,这个我如果前面系数是一的话,我的值域是负一到一,那现在我的值域是多少? 那他他问的是 g x 值域是吧?那 g x 值域就是一写就行了。那是负根号三到根号三。哎,我能去等啊,那这是我的值域,然后还有得求单调区间,对吧?那单调区间的话,呃,当这个二 x 减三分之派来大于等于多少,小于等于多少来,是散,对不对?那是负的二分之派到二分之派的时候单调增减,对吧?加二 k 派啊,加二 k 派, 然后给它加二 k 派,那我先解了,那 x 我 解出来是多少呢?然后是不是在两边同时加三分之派?三分之派再减二分之派就是六分之二派,减六分之三派等于负的六分之派。对,负的六分之派。呃,负的六分之派再除以二负的十二分之派, 对吧?然后再加 k 派,嗯,小于等于 x, 小 于等于。呃,这边我先加三分之派,三分之派加,嗯,那是三分之派就是六分之二派,六分之二派加六分之三派等于六分之五派,六分之五派再除以二十二分之五派,对吧?十二分之五派口算啊,加 k 派就可以了。所以这个范围是我的单调递增区间,对吧?那这是单调递增区间。好,那单调递增区间我先解出来了,单调递 增区间区间是 x 属于这个负的十二分之派加 k 派到十二分之五派加 k 派,对吧?然后还要写个 k 属于 z, 对 吧?然后你按照区间长度再写一个嘛来,负的十二分之五派到十二分之五派,但它这个区间长度多少?是不是刚好是派, 哎,刚好是十二分之六派,二分之派,是吧?好,那我再找个二分之派的范围吗?那刚好我从十二分之五派到十二分之十一派,不也是吗?十二分之十一派,那我给他加个,加个 k 派就可以了,对吧? k 派加个 k 派,哎,那这不就是单调递减区间吗?那也就出来了吗?然后 k 属于 z, 我 就不用讲了,对吧?所以单调递减区间。哎,这么一起啊,结束了,所以我的 做完。嗯,这道题也做完了,很快做完,对吧?好,结束。好,这个,呃,这道这个椭圆的这个题也很简单,对吧?离心率告诉你了,长轴告诉你了。那长轴指的是啥呢?是不是二? a 等于四,那 a 等于二,那第一问啊,我写过程 a 等于二, 这没问题吧? a 等于二,我知道,然后我还知道什么呢?一等于 a 分 之 c, 对 吧? a 分 之 c 等于二分之根号二啊,那 c 等于根号二,是吧?那 c 等于根号二,然后我能把有 a 和 c, 我 还能把 b 也算出来,对吧?那 b 方刚好等于 椭圆, a 最大嘛? a 方等于 b 方加 c 方,那 b 方就是 a 方减 c 方, a 方减 c 方, a 减,那 a 方是四,四减 c 方四减二等于二,二,那 b 等于根号, a 减完了,那所以 c 的 方程是什么?是不是 x 方比上,呃,四加 y 方比上,二等于一。哎,你第一遍做完了对吧?哎,第二遍,那第二遍我是不是,呃,他说过这个点的直线,哦,那我能设直线,对吧? 设直线,那设直线怎么弄呢?来,我先写什么呢? k 不 存在的时候,呃,那 k 不 存在的时候,我先算一下这个啊。 k 不 存在的时候,我这个直线怎么设呢?那它是不是外轴上的直线?呃, k 不 存在的时候,它是 x 轴上的直线,是吧?那它刚好就是外轴嘛,对吧?呃,那就是外轴,那它外轴的话会怎么样?然后他又说,呃,这条直线和 c 交于 ab 两点, 那 y 轴和交于 a b 两点,然后你看我是 o, 然后 a, 然后 b 这三点共线了,对吧?它在外轴上的话, o, a, b 三点共线,那三点共线的话,那不能构成,呃,不能构成这个三角形 a o b, 所以, 呃,这个不符题 e 题 e。 好, 那这这,这个就结束了,我第一类讨论完了。那第二类, k 存在的时候,那我就再设置线。 设直线怎么设?来过 y 轴上的直线。 y 等于 k x 加 b 就 可以了,对吧? k x 减二,来,我,我设好了,然后我就可以连利除尾来定义,对吧?很标准的步骤啊。连利, y 等于 k x 减二和椭圆方程连利,嗯,我可以同乘个四, x 方加二, y 方减四等于零,对吧?来,连利放进去 x 方加二倍的 k 方, x 方减 四 k x, 然后再加二的四,呃,再减四等于零,对吧?来,那 x 方前面的系数是一加二 k 方,然后再减四二得八 k x, 然后再呃加四四四二得八八减四等于四等于零,没问题吧?那我这写好了,那这个写好了以后就可以先算一个德塔嘛。德塔等于 b 方减 c c, b 方是负八 k 方,那是三十 八八八八六十四啊,好,八八六十四 k 方倍方,然后再减 c c, 再减四倍的一加二 k 方减 c c, 嗯,减四 a c 的 方,好,然后再乘四四十六,对吧?然后写成这样子,然后十六,呃,那我只能只能算出来十六再加,呃,十六乘二三十二,是吧?三十二 k 方,那十六再减三十二 k 方,没问题吧?然后等于多少呢?是,我算出来是,呃,六十四,再减它是, 对啊,我算出来是十十六乘,啊,那刚好三十二,对吧?那三十二,然后我会减掉,嗯,再减十六,那我可以把十六提出来,十六倍的二 k 方减一,对吧?那我会得到这个关系, 那这个部分它的大小是怎么样的?是不是明显大于零,对吧?那大于零好,弄完了,然后我,我现在我要得算我的这个用斜长公式来算这个面积,对吧?那它给 o a b 的 面积,那刚好我把 a、 b 的 悬长算出来,然后我把点 o 到 a、 b 的 距离一算,然后乘在一起,再除以二,就结束了,对吧?那 a、 b 的 弦长是多少?是不是根号下一加 k 方,那一加 k 方,然后再乘以这个 a、 b 的 弦长,我还可以根号多少来算,对吧?但是根号下十六倍的二 k 方减一,然后再比上 a, 然后呢?刚好是一,对吧。我用这个来算 最快嘛?好,然后 o 到 a、 b 的 距离,那 o 到 a、 b 的 距离的话,我要先把我的直线写成 k x 减 y 减二等于零的形式,然后,呃,我把零零带进来,那零零带进来的话是负二绝对值啊。然后比上根号下,呃,这个 k 方减呃,一 k 方加一方,好,应该是这个好得到这个关系好,现在我要得把这两个成在一起,那成在一起吧。那 s 三角形 a o、 b, 那 就是刚好等于二分之一倍的,那根号下一加 k 方和这个就没有了。那是根号下十六十六,还可以提出来等于多少?是不是四倍?根号四倍,根号下这个二 k 方减一,对吧? 呃,然后上面还有一个负二,是吧?那负二号,这就二号,这就没有了。我算出来面积就是他,他说这个要等于根号二,就是四倍。根号下二 k 方减一,倒等于根号二。呃,我两边平个方嘛,那平个方的话四四十六十六倍的二 x k 方减一,要等于二。呃,可以,可以把 k 算出来啊。需要把 k 算出来吧? 好像不需要,对吧?来,这部分刚好是根号二,我可以把这部分我可以带到啊。我还是得把 k 算出来吧。那算一下怎么样?等于二,那我除以十六吧。 二 k 方减一,等于十六分之二,就是八分之一,那 k 方,呃,等于这个一移过来,一加八分之一,那就是八分之九。八分之九,然后再除,把二除掉,两边同除以二,那是四分之九,那 k 刚好就是二分之三,那 k 算出来是二分之三,然后再往这里面带 ab 弦长来,我要算 ab 弦长二分之三,一加二分之三是,呃, 二分之二,二分之五,二分之五开根号,然后再乘以这块,那这块是多大?哎,我刚在这有答案。那这块刚好是根号二,根号二,一带那根号二,一乘完,刚好是根号五,所以 a b 前乘的根号五。哎,结束了,算完了啊,所以大家这个要巧算,不要去死,算你你,你,那个最不动脑子的算法也得是我这样子的,对吧?好,所以在七分钟就能算完这道题,很简单啊。 然后再看一下这个立体几何,那这立体几何也得是我这样子的,对吧?好,所以在七分钟就能算完这道题。很简单啊。然后角的 ab, 他 说角的 ab 啊,这个角是九十度啊,这个角是九十度。然后现在又说 f 是 中点, c 的 中点,然后 e 是 在 a b 上,然后使得 ef 和 ab 平行。好,那,那就平行。 呃,然后把这部分翻过来。好,那意思这个也垂直来,翻过来,使得,呃,后面那个平面,使得这个,这个构成了一个二面角为六十度,那个二面角为六十度啊,这个是六十度,六十度。好, 那现在让你问的是 ab 撇,他说 ab 撇 a 撇 b 平行于平面, c 的 f 来,我一眼就能看出来。那这个事情我直接用面平行就完了嘛。你看我翻折之前这条线和这条线平行,对吧?翻折后这条线和这条线本来就平行。来面面平行,面面平行,对不对?面面平行,所以线面平行就完了。 好,那,那我们这个一眼望过去就结束了啊,来个第一问,我就到大概写一下啊,因为我的 ab 平行于 a 的, 所以 a 的, 所以 a e 平行于 f, 然后翻折后, 翻折后这个 a 撇 e, 平行于的撇 f, 那 线线平行,对吧?然后我还要找另外一个, 呃,我先把这条线和那个平面平行。我先说完啊,那 a 撇 e, 然后不在平面的撇 f 中,然后的撇 f 在 平面的撇 c, 呃,的撇 f c 中,所以,所以什么呢?所以我这个 a 撇 e 平行于面的撇 f c, 对 吧?一条线面平行,第二条线面平行, 那第二条线面平行是 e b 平行于这个 f c, 然后 e b 不 再面,这个得撇 f c, 然后 f c 再平面得撇 f c, 所以 面这个 f c 平行于面得撇 f c。 来两条线面平行,然后呢?我还得写一个,它们相交,对吧? a 撇 e, 然后交 e b 于什么?我要写的 e b, 是 吧?哦,这是 e b, 好, 怎么弄来?它们相交于点 e, 所以 面面平行,对不对? a 撇 e, b 平行于,得撇 f c, 所以 来现那个我还要写一个 a 撇 b 在 面 a 撇 e b 中,所以 a 撇 b 平行于面 c d 撇 f。 结束了,第一个很快,对吧?没什么难度,对吧?没什么难度,来第二个。 呃,第二个,那,那就可以间隙做第二个,对吧?这,这没什么难度啊,就开始写吧。那现在这个是这条线是垂直的,那我能不能往这间隙,可以吧?还可以啊,是外轴,这个我做一个垂直做这种,然后使得我这个这个角还得是六十度,然后我还知道啥, 他说,呃,他是六十度,然后啥都没说,是吧?还说了个这个,他说 ab 等于三,他说 ab 等于三,然后我知道啥呢?这个是 c 等于二,那这个是一,这个是一,然后我还知道什么呢? a 得也得是一, 对吧?好,没问题。然后我翻过来以后这个也是一,这个也得是,呃,然后这个如果是六十度的话,我还知道这个是一,那这明显是等边角形,对吧?然后这个也是三的话呢,这边是二,对吧?那我这个是一,这个是一。好,大家这样啊,呃,来,我要算的是这个和这个所成的二面角的正弦值。来,我间隙的话是以 f 为圆点, 然后 f 向量为 x 轴,然后 f 向量为 y 轴,然后垂直于垂直于 f 渐 z 轴 z 轴。然后你再你再写个如图啊,你把那图图画好就可以了。然后我再写的是什么呢?我这三个点和这三个点的坐标。来,我看一下啊,有没有特殊的变 bc 的 撇, bc 的 撇啊?不特殊,然后 e f 的 撇来, e f 的 撇, a 撇。好,两个面都不特殊,是吧,那就随便吧。那,那就都算一下。 b 点, c 点的撇点, b 点。坐标是,先是往 x 走一,然后 y 是 二到零, c 点坐标是多高呢?那这是二分之一,嗯, 这是三十度所对的这角边是斜边的一半一,嗯,二杠三。那是二分之二,杠三吗?高度是二杠三啊,那得撇点,坐标是,嗯,先往 x 走零,然后外走二分之一,对,走二分之二,三来,得撇。有了,来,我用这三个点算法。向量啊, 算吧,那 bc 写个啥呢?写个 cb 向量可以吧? cb 向量的话刚好是一到一到零,然后再写一个得撇 c 的 c 的 撇吧,那 c 的 撇向量的话刚好是零到二分之一,减一的话负二分之一到二分之刚好三。那这两个好算啊。那,那我说设面。呃, b c 的 撇反向量为 n 等于 x, y z, 对 吧?然后 c b 点乘 n 等于零,然后 c 的 撇 点乘 n 等于零。来,我谁选? n 等于 x, 求 x 乘 x, 它乘它减,它乘它二分之。根号三,求 y 档 y, 它乘它减它乘它负的二分之。根号三,求 z 档 z, 它乘它减,它乘它负的二分之一。来就好了,然后化简一下,二二都约掉,然后括号三,同乘同乘的括号三,然后把符号给这,那就是负三到三到。嗯,根号三。 好,这个写比较好一些,是吧?嗯,同城告诉我,然后符号给这啊,没问题,来呢, n 我 就化解好了,然后我们再继续写。那 e f 得撇 a, 那 是我要写 e 点坐标。来,我们算一下。好,算的点啊,得撇有了,然后 a 撇,那就 a 撇,不要写了啊,那我再写个 e, f 点坐标就可以了。 e 点坐标零零零,对吧?零零零,然后 f 点坐标是?嗯啊,不, f 点坐标是零零零, 然后一点坐标是 x 为一, y 为零。好,就这样,对吧?然后我再写一个。写啥坐标呢?我是不是可以用 f 写坐标?那是 f e 向量, f e 向量刚好是一到零到零,对吧?然后我再写个 f 的 撇向量。 f 的 撇向量是多少呢?是不是就是零到二分之一到二分之三,对吧?好,来求反向量过程再来一遍啊。设 f, e, f 的 撇 呃的反向量为 n, n 等于 x, y, m 等于 x, y, z, 对 吧? y, z 好, 来, e, f 呃点乘 n, n 等于零,然后 f 的 撇点乘 n, n 等于零。好,直接写 n, n 等于。来求 x 乘 x 等于零。求 y 等 y, 它乘它减它乘它负的二倍杠二分之二来求 z 等 z 乘它减它乘它二分之一, 对吧?嗯,好,没问题。他成他成啊。没问题,没问题,我算错了,没问题。然后同乘二,然后他同乘刚好三,对吧?那是刚好是零,然后同乘刚好三,那是三到。嗯,刚好三。 负三到刚好三。没问题啊。同乘二,然后同乘刚好三啊,没问题啊。那,那就不要同乘刚好三啊。那这样,这样,这样挺方便的。要是零,然后负刚好三到一,那这就挺方便的。来,我两个向量出来了,然后让我算是两平面所乘角的二面角的正弦值,是吧?那我先算余弦值, 呃,设这个角为 c, 它,然后口三也 c, 它等于口三 m, n, 那 我先算这个,呃,等于多少呢?是不是负的三倍根号三,然后再 加根号三,对吧?比上它的模,它的模是多少呢?是不是三的平方九加九然后。嗯,那我觉得这个化简起来不太容易,我把这个项链不要画,不要画成这样子, 可以吧?我把它化简成什么样好呢?我是不是可以同成个二,然后负根号三逗根号三逗一。那我觉得这样比较好,方便一点。来,我,我先算一下。那这样算的话呢?是口算它的话是负的三,然后再加一,比上它的模是三加三六七七倍根号下这个是三加一等于四,开根号二 啊,就这样啊,这样,这样比较方便嘛,二七十四是吧。啊,不不不,根号。呃,这个要开根号呢,来开根号应该是这样的。 好,所以这最后算出来是负三加一等于二,对吧?负二我先带的绝对值,然后约掉了,所以是根号七分之一,对吧?根号七分之一,这没毛病。然后我最后算的正弦值,我算算,以它那算,以它等于根号下一减七分之一等于七分之六,七分之六又是七分之根号六七四十二, 对吧?好,所以算没问题。好,最后就算结果没有任何问题啊,所以大家可以做的快点。这个没什么问题,只不过这个过程会有点多啊,这个汉字会写的多一点。 他说 f x 在 这个区间内,我要得证明这个有没有存在唯一的零点和极值点。好,那这个极值点好,正,对吧?我先求导,然后再判断单调性,如果是单调的,然后就是它导数又是单调的,然后我还能找到。呃,那个导数等于零的点有唯一的,那我就能证明出它确实有唯一的极值点,对吧?那这个简单了,那就第一步干嘛定域给了 对 x 属于零到中求。那那放这了哈,来,我们再求导 f 一 撇 x, 那 第一个是不是一加 x 分 之一内存求到为一,对吧,然后再减一,然后再 这个二弄下来,然后再加 x, 然后再减三 k x, 对 吧?那我求完倒长这样,然后明显看到,哦,有有分母,我通分,对吧?来通分吧。一加 x 分 之,呃,这个是多少呢?是不是一减这个,嗯,一减 x, 然后再加 x 平方,嗯,再减三 x, 对吧?所以我能通通分出来是一减三三 k 位的。呃。 x 平方再减三 k, x 方 x 方,这,这可以吧?没问题啊。好,没问题,然后我们再看。呃,这个通完分了以后,哎,我发现这好像还能再把 x 方提出来, 是吧?还能把 x 平方给提出来,那我们试一下把 x 平方提出来,然后这边是一加 x, 然后里面会变成什么?是不是一减三 k, 然后再减三 k x, 对吧?好,变成两括号乘积了。哎。这,这有点像什么?是不是有点像二次类型?我分母肯定永远是大于零的嘛,对吧?我分母大于零,我现在我要看导数的那个正负,我要怎么弄?我是不是要么在这里有零点,要么在这里有零点,那我令 f 一 撇 x 等于零,那我得到 x 等于零,或者是 x 等于这个三 k 分 之,呃, 是多少?三 k 分 之一减三 k, 是 吧?好,没问题。三 k 分 之一减三 k, 好, 我得到了两个,对吧?那我先看一下三 k 分 之一减三 k, 它到底是不是在我零到中乘,那这个肯定不在我零到中乘,对不对?那这个在不在我零到中乘呢?来,我知道 k 的 范围是 零到三分之一,那分母肯定是怎么样?我的分母是零到三分之一的话,给它乘上三,那就最大为一,最小。呃,肯定比,肯定比一,它肯定是正的吧。然后上面呢? 呃,一减去一个小数,好像他大于零,没问题,所以他是正的,所以他是正的,所以说明我在我的零到正无穷上肯定有这个导数等于零的点位有一个没问题吧?所以有导数等于零的点有一个,然后我再看一下,哎,这个, 我再看这个,导数的正负,可以吧?导数的正负的话,我们再看,我可以列个表格,呃,比如说我在 x, 这是 f 一 撇 x, 嗯,这是大家通用的做法啊。然后 f x, 呃。在零到三 k 分 之一减三 k 的 时候,那我在这个范围内,我的导数是什么样的?那你看啊,后面我的这个斜率是向下的,那前面是正的, 那我们可以把它当做二次函数类型,对吧?那,那,那我没事就看这样吧,那这部分是负的,所以是先增后减, 对吧?先三后减,所以这三 k, 三分之一减三 k, 呃。到,然后正无穷,对吧?好,那这个部分,然后上面这边是一减三 k, 好, 那这个是零,所以它是极大值零, 好,那证明完毕。所以,呃,所以存,存在唯一的唯一极大值,极大值, 对吧?好的,那这事就结束了。那第一,呃,这个,但是这事没完,哎,我急着点,我证明完了,但是我零点没证明完,所以你看啊,第一问呢?都是有的。你看,第一问,你哼哧了半天,你把你特别会的东西,你才做到了几点?这个位置上,然后呢?我这个图能不能画?那可以画,对吧?那我先看一下我 f 零, f 零,我能不能算一下 f 零的时候,这个是零,这是零,这是零,这是零, 好像是趋零的,对不对?所以 f 零是等于零的,所以我这个图怎么画?你看我,我从零开始,直接向上单调递增,应该长这样,对吧?然后从三 k, 呃,这是三分之一加一减三 k, 是 吧?三分之一减三 k, 哎。这个位置,然后开始要单调递减, 那到底是递减到怎么样的程度?那就要看一下啊。如果我这个是无穷大的时候,我捞引无穷大,那可能是个,这是正的,那无穷大的时候我这个是负的, 然后这个又是正的,这个又是负的。你看来我看无穷的时候啊,来这个地方有点考察到那个高等数学。来啊,这边如果你看我的高阶是什么呢?就是我的这个次数越高,你看我看无穷的时候呢?我要得看我次数越高的,那这个次数越高的,它会反映我的这个最终的走向,所以我看无穷的时候,我就先看我次数最高的,那这个次数最高的前面是负的,所以你无穷大的时候呢, 他就是会显负的啊,所以他应该是这样子。还有这个图能画出来啊,但是这个,嗯,其实挺难画的,对吧?因为因为你没有学过高等数学,你很难去想象这样的一个事情。那,那我们继续来证明吧。好,那证明,那我现在怎么去找这个?你看我现在我知道这个点 处,我的我的值肯定是正的吗?这肯定是正的,没问题啊,因为我是先增吗?那肯定是正的,但是我如果要用零点定律的话,我是不是还要再找一个,找一个值,使得我的函数值为负, 对吧?那这个事情就很难,我,我如何去找到一个值,我才能找到它是负的呢?来,呃,我们在高等数学研究它能不能存在唯一的零点呢?我是可以用这样的方法来做的。我先可以找一个这个极限值, x 区无穷大的时候 f x 的 极限值,那我刚算出来,它确实是负无穷,它就是接近于负无穷的,然后我在 f x 为三分之一减三 k 的 时候,它刚好是大于零的, 那我这样的话,你看我在负无穷处它变号了,那它又是什么?单调递减的,所以我存在零点,那我就能证明完毕。但是 这个东西你不能在高考题里出现,因为你,你这个高考好像没有教过你怎么求极限吧?好,所以你不能用高等数学来做啊,来这边就 pass 掉这种思路。所以你高中唯一学过的证明零点的方法只有什么?是不是用零点存在定力找零点?好,那这个零点存在定力,我怎么找这个零点呢? 好,那这个事情我们就要得考虑到放松了。来,我们现在我的 f x 这个事情,它是这个表达式,对不对?好,那我现在我能不能放松一下?我能不能找一个比它小的指? 可以吧?完全可以,对不对?那我明显找到了一个,你看这个值好像就小于等于一减 x, 对 不对?那一加 x, 对 吧? 他明他,我这学过了,对不对?所以你可以用放缩,所以 low in。 你 知道 low in, 然后一加 x 它是小于等于一加 x 的, 所以 f x 它就是小于等于一加 x 减 x, 然后再加二分之一 x 方,再减 k x 三层,对不对?所以你合理放缩,放缩完成了,那我现在在找这个函数的零点,我是不是就能找到,对吧?那这个零点是好找的。 好,那这个零点怎么?呃,怎么找呢?我是不是直接能解出来,是不是一减去二分之一 x 方,再减 k x 三次方?好,那我这个我他要当 g x, 呃, g 好 像用过了,我当 h x 吧。好,这是 h x, 好, 我给他求导判断他的零点,那找吧,那他是 x, 然后再减三 k 倍的 x 方,对吧?好,那,那我的 这个零点我可以找到什么呢?那,那我的这个零点是多大呢?是不就是我当 x 取二 k 分 之,哎,等一下 啊,不不不不,不用再求导分析,求导找零点啊。哎,不用求导找零点啊,来,我们明显发现哦,这个没有了,一减去二分之一 x 方,再减 k 倍的 x 三次方,我可以把 x 平方提出来, x 平方提出来里面变成什么呢?这就是,呃,负的二分之一再减的 k k x, 对 吧?那这块变成这个了,然后,呃,好,这就没问题了,对吧?来,我找零点的话, 哎,我,我放松的时候能不能把一也放掉?那我明显比一减 x 要小,对不对?我,我是不是还小于 x, 所以 我这个时候放松的时候,我如果把一放掉的话,那就更简单了,我这个零点就更好求了,对不对?所以我放的时候我把它弄到,我找他零点,我找到了,找到找成多少?是不是就是这个 k 分 二 k 分 之一,对吧?哎,我如果是二 k 分 之一的话,刚好就是我的零点,对不对?哎,我,我找到这个零点了, 哎,好,所以我这个零点找好了,所以我找到零点了以后,但是这是这个零点,那,那我就要得验证我这个零点是不是在我的 f 这里是符合我的范围的,所以我验证 f 二 k 分 之一的正负,那 f 二 k 分 之一我带进去,我带进去会变成 l 减,加上二 k 分 之一, 然后再减二 k 分 之一,然后再加二 k 分 之一的平方,那就是四 k 方分之一,然后再减二 k 分 之一的三次方。八 k 三次方分之一再乘 k, 然后就是八 k 方分之一, 八 k 方分之一,好,变成这样了,那,那这个就没有了,对吧?然后会变成这个,那是捞引一加二 k 分 之一,然后再减二 k 分 之一, 是这个,那这个是正的还是负的呢?那我们我们就要得看一下,哎。呃,这个,这是正的还是负的呢?那我们就可以把它当函数来,我们把二 k 分 之一看做一个 x 吧。那我的意思就是捞引一加 x 减 x 来,这个的正负怎么判断?我是不是?呃,求导。判断哪条形?来,求导吧。 那求完导数就是一加 x 分 之一再减一,对吧?好,是这个,那它是多少呢?是不是一加 x 分 之一减一加 x, 那 是一减一,然后那是负 x, 对 吧?好,那这个肯定小于零的,所以它的单调递减的,那它也是单调递减呢?我从零开始,那我的零开始往后,那永远都小于零。 ok, 那 这个肯定小于零的,那这个小于零呢?说明我这个也是小于零的。哦呦,这个,这个答题过程非常非常的多,对吧?好,那确实难啊。我 f 二 k 分 之一,它小于零的, f 二 k 分 之一是小于零的,那说明 我找到了 f 二 k 分 之一小于零的。我还知道 f 三分之一减三 k 还是大于零的,对不对?我还知道什么?我还知道三分之一减三 k x 大 于这个的时候是 f x, 怎么样?这是单调必减的,对吧? 好,所以能不能证明出有唯一的零点?完全可以,对吧?所以第一问就能做出来,呃,是不是挺难的,对吧?所以这个第十八题的第一问就给你当头一棒啊。所以我们第二问也是能做的啊。那我们做一下, 那我们把这块都擦一擦啊。但是,呃我这个它单调性,我先不要擦啊,我先把图放这吧。来,我我把这块都擦了,好把这块都擦掉啊。 单调,呃。那个图我就不不擦了啊。那可能会后面用到来。他说 f, 呃。现在给了一个 g x 是 这个东西,然后说 x 一 x 二分别是它的一个极值点,他说分别是极值点和零点,哦那意思就是我 x 一 就是它这个极值点,然后零点刚好就是我这个, 对吧?零点和极值点都告诉你了。那意思就是,哎,我极值点的时候我极值点是要套到哪个里面会等于零?就是我一阶导数,我把 x 一 套进去刚好等于零,如果我把在 x 二套到我的原函数是等于零的,对不对?所以这两个方程你一定要记得啊,我一旦给到极值点零点的时候你一定要在脑子里面想想这东西。然后他又说了什么?他又说了 g x 是 一个这样的一个函数来证明 g t 这里在这里单调递减, 好,那现在给了一个新的函数让你判断单调性。好,那我怎么样才能证明出我这个是单调递减的?意思就是我求导 g t 求完导以后如果它是小于零的,是不是就单调递减,哦对,那现在我意思就是我要得让它小于零,对吧? 那那这个其实还蛮好的,对吧?那那这个还蛮好。去往后想的。那给 g t 求导呗。那自变量。谁自变量是 t 对 不对?那给 g t 求导。那是不是 f e 撇给 x 一 加 t 给这个求导,然后和 f x 一 减 t 给这个求导。 哎,那单独求导嘛?来求导,来,第一个求导。那 f x 一 加 t 往 x 里面带,来求导吧,那就求导。哎,我刚知道我的求导结果是这个,对不对?我把这个 x 带成 x 一 减 t 就 够了,对吧?那就带吧。那最后我记得我可以通分,对吧?那我们把它通个分啊。我记得通分结果是啥?这个是一加 x 分 之三 k x 方, 呃,背的这个,嗯,三 k x 方背的这个一减三 k 分 之,呃,三 k, 然后再减 x, 嗯,好像是这样的,对吧?我记得最后最后的那个通分结果是这个,对吧?哎,那我现在,呃,我知道 x 一 是啥,是不就是我这块就是 x 一, 哎,那刚好就是 x 一 嘛。那这块我就把它减到 x 一 减 x, 好, 写成这样。好,那我们现在给 g t 求导了。 g t 求导是把它的最后的导数结果往这里面把 x 带成 x 一 加 t, 对 不对?好,带吧。呃,那是三 k 背的 x 方,那就变成了什么?是不是 x 一 加 t 的 平方比上一加 x 一 加 t, 对 吧?然后背的 x 一 减它 x 一 减 x, 哦,没有了,然后再加 t, 呃,那就减 t 负 t, 好, 变成这个了,对吧?再减 f x 一 减 t, 把它带进来 x 一 减 t, x 一 减 t, 然后再加一分之三 k 倍的 x 一 减 t 的 平方倍的来 x 一 减 x 往这里面带,嗯,往 x 里面带 x 一 减 t, 那 x x 就 这么减没了,然后就是 t, 对 吧?这是正 t, 好, 现在变成这样子了,我是不是出现这样的情况以后我是还要得干嘛是不是还要得通分化减哇这这这这是蛮长的,对吧?你如果比较懒那你怎么办?哎,你, 你可以呃,大概通风通风,对吧?毕竟他结论都告诉你了,对吧?那结论都告诉你了,你肯定是小于零的嘛,对吧?好,那这个事情嗯我大概带你们混个分就可以了啊。我就我就不带你们通风了。这个通风蛮复杂,对吧?那这个通起来就是,呃,反正就是这个乘这个放分母然后这个乘这个然后再加这个再减去这个乘这个,对吧? 后我会写出来哦这个这三项乘三项九项,然后这个是这是多少项?这是两项嗯这是三项这是三项。狮子啊这三项再乘这三项九项再减这个九项九项减九项比上九项的结果,哦这个非常的长啊,然后最后你会化简出一个非常嗯可能比较短一点的狮子然后在那里面你再分析他,对吧? 那你可以。你何尝不可以偷个懒吗?你你又不是拿满分的人你就说这是小于零的,那你就证明完毕了,可以吧?呃也可以啊,这个证明题不代表你说你必须要把你的做题思路给写清楚, 但是呃这个确实不会给你满分的,那确实给你扣分的。对,但是他扣的也不会不会太多,所以你就呃既然把结论给你了你要把这个做题思路给写清楚,那不就是他求导吗?求导就是要把他带进去求导结束。好,那这里我就不再讲了。好, 你就后面就全是计算的事。好,这边我们就过了啊。那我们再看第二小问,那第二小问他说的是什么?他说的是我要得比较二 x 一 和 x 二的关系。好,那这个,现在,呃,这个事情呢,好像不太好弄。那怎么弄呢?二 x 一 和 x 二的关系, 嗯,仔细一看,哦,这个二 x 一 和 x 二的关系的话,我好像找不太到这个关系,是吧?好,找不到。嗯,怎么去?我找到二 x 一 和 x 二的关系呢? 哎,我好像在这个 gt 里面好像能看得出来,对吧?那我如果在这个 gt 这个函数里面,我在这个音设里面,这个函数里面,我仔细一看,啊,它是不是给了一个这样的关系叫做 f x 一 加 t, 那 我如果在这个函数里,我在 g x 是 单调递减的,哎,我知道 g t 它是单调递减的,对不对? 哎,他看到递减的好,哎,我如果在这里我令 t 等于 x 一 的话,哎,我是不是会得到一个式子叫做 g x 一 刚好就是 f x 一 加 x 就是 f 二 x 一, 对吧?然后再减去 f x 一, 减 f x 一, 哦, f 零,对不对? f 零,哎,我知道 f 零是多少,是不是刚好是零,对吧?这是零, 然后刚好就是这个 f 零,刚好我往里面带,还是零,对吧?所以 g x 一, 它是这个,所以 f 二 x 一 是我 g x 一 的值,哎,对,对吧。然后我如何体现 f x 二呢?我是不是知道我的 g 零,可以吧?我如果给我的 t 给个零,对吧? g 零,我算一下,它是不是刚好就是零,然后这是零, 然后就是刚好是 f x 一 减 f x 一 刚好等于零,哎,我又知道零又是什么?是不是 f x 二的值,所以 g 零的值和 f x 二的值又相等? 我,我找到关系了,哎, f 二 x 一 又是什么来? g x 一 又是 f 二 x 一 的值,对不对?我又 g t 又是单调递减的,在零到 x 一, 单调递减的零处是大的,一 x 一 处是小的,那 g x 一 处小, f 零处大,那这个是 f x 二,这个是 f 什么?二 x 一, 哎,所以有什么关系?是不是二 x 一 它大于 x 二呢?所以我找到规则了呀, 这就结束了。所以第三问,第三问,在你第二问做完的情况下,你如果用了第二问的结论,你会做的很快。哎,你,你明显发现哦,你好像第二问和第一这个第三问的关系是很接近的,对吧?所以我们这是第十八题。
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回归基础系列,咱把这个二零二五年的全国二卷给大家讲一下。前八道都给大家讲了,比这一卷的难度要小不少,来吧,看吧。第一题,求平均数,那平均数就是所有数字一加除以数字总个数就行了,我就不再算了啊,全部一加除一个五,算了,多少就是多少。 第二题, z 等于一加 i, 那 z 减一,那就一加 i 减一,那就变成了一个 i 分 之一, i 分 之一,那你分子分母都乘一个 i, 或者乘一个负 i 都行,乘以 i 或负 i 都可以,我乘一个 i 吧。 好,都乘一个 i, 分 子、分母都给它乘一个 i, 那 上面变成 i 了,下面变成负一了,结果就是负 i 负 i, 单选 a 就 可以。 第三题,集合集合 a, 集合 b, 问它交起这个地方要注意啊,集合 b, x 三次方等于 x, 你 可别上来都两边都出一个 x, 那 你就忽略了一个根,零这个根,你就忽略了。 这是当 x 等于零的时候,这等式直接成立。 x 不 等零的时候,两边都除以一个 x 变成 x, 平方等于一, x 等于正负一,三个根一共。所以他俩交集应该是只剩了一个一,只剩了一个一 啊。零和一,答案应该选择零和一两个根啊。好,接下来第四题,第四题,同学们,我能不能两边都乘以 x 减一,都乘以这个分母行不行? 不行,记住啊,不行,这是一个分式不等式,你不能两边都乘一个分母。为什么呢?因为你不知道这个 x 减一是正是负呀,你乘过去之后,不等式的方向变还是不变呢? 那这种分式不等式我应该怎么减?看清楚了啊,你不能乘两两边都乘 x 减一,你不知道的正负。那你那我两边都乘一个 x 减一的平方行不行? 两边都乘以 x 减一的平方行不行?那当然可以了,那就变成 x 减四,乘以 x 减一大于等于二倍的 x 减一的平方,就变成它了。 你左边乘 x 减一的平方约掉了一个,剩了一个 x 减一,右边还有 x 减一的平方,然后你给它展开看了啊。 嗯, x 平方减去, x 减去四, x 加上四大于等于二, x 平方减四, x 加上一个二。把这个式子把左边的都挪到右边来吧。左边都挪到右边来,那就变成了一个 x 平方, 这是减四, x 去掉加上一个 x, 然后减去一个二小于等于零啊,我是把这些东西都挪到了不等号右边去,就变成这个式子。这是一个开口向上的二次函数, 两个根 x, x 二和负一,它俩相乘等于它,它俩相乘等于它交叉相乘,加起来等于中间这一项, 然后横着结合,一个根是负二,一个根是一负二。一要小于等于,那就要中间这一部分大于等于负二小于等于一。这个地方又一个坑,朋友们又一个坑,你切记,这个分母是不能等于零的, 切记,这个分母是不能等于零的,所以这个地方二能取负二能取得到这个零一,可是取不到,只能是大于等于负二小于一。所以答案选 c, 答案选 c。 这里面题目并不复杂,但是有一些细节你要你要注意好这道题, bc, bc 就是 a, a 等于二, ac 就是 b, b 等于一加根三, ab 是 c, c 等于根六。要求一个角的度数,首选求它的余弦值,这我只需要一个余弦定理就结束了。 域线定律是, b 方 c 方减 a 方比上一个二 b, c 把这些值,把这三个值都往这里面一套, cosine a 的 值就求出来了。这个地方我给大家说一个错误的点,你看啊, 三 a 如果等于二分之一,你不敢上来,就说三 a 等于二分之一, a 就 等于三十度,不一定,三十度和一百五十度都可以,明白吧?在一零到一百八这个范围内,三的只对应的是两个角, cosine 的 只对只对应一个角,这求出来之后,你一看是多少度就是多少度就行了。这个需要注意啊, 因为互补的两个角正线,这是相等的。好,接下来第六题,第六题,抛物线,我给大家统一画一下,抛物线一共有四种, 开口向右,准线在这开口向左,准线在这,开口向下交点准线都有画, 怎么去区分这四个,并且把他们的嗯方程对应上。你记住一句话,叫十一次在谁轴, 十一次焦点就在谁的轴上。你看这个焦点在外,在 x 的 正半轴,那就应该是外方等于二 p x 在 外的的负半轴,外方等于负的二 p x, 你 看它的次数, x 的 次数都是一, 谁的次数是依次的,交点就在谁的轴上,正的就是正半轴,负的就是负半轴。像这点,交点肯定在外轴上,所以 x 方等于二屁 y, x 方等于负二屁 y, 它们的交点和准线都跟二分之 p 有 关系。二分之 p 到零, x 等于负二分之 p, 零到二分之 p, y 等于负二分之 p, 零到负二分之 p 外点二分之 p。 好, 这是最基本的东西。抛物线的定义,角平面上到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合叫抛物线。好,画一个图像,画一个图像,大概长成这个样子, 然后说它上面有一个点 a, 上面有一个点 a, 过点 a 往准线上做垂线,准线上做垂线,垂足为 b, 然后这是 f 连接一下 b, f, 说这个 b f 的 方程是它,那太好算了。同学们,那这个直线与 x 交点不就是点 f 吗?那它与 x 交点,你就让 y 等于零,让 y 等于 x 就 等于一,所以这个点 f 的 坐标就是一到零。 那人家原本是二分之 p 都零啊,你现在是一都零,那二分之 p 不 就等于一吗? p 就 等于二。所以这个方程也求出来了,是 y 方等于四 x, 然后呢,点 b 的 坐标我也能算,因为这这不是二分之 p 吗?长度是二分之 p, 所以 横坐标是负一,纵坐标是四,你套在这个方程里面就行。 那点 a 和点 b, 它它的纵坐标是一样的,那纵坐标是四,你往你往这个抛物线的方程里面一带第一象限,横坐标也是四,所以这段的长就是四加一, 它到焦点的距离等于到准线的距离。抛物线任意点到焦点距离等于到准线的距离。你切记,如果考试的时候考这种圆锥曲线了,一定会考它的定义,抛物线就是到焦点的距离,到等于到准线的距离,椭 圆就是抛物线呢,点到两个焦点的距离之差是等于二 a 就 可以了。 好,第七题,等差数列 s 三 s 六, s 三 s 五,让求 s 六,我只需要把 a 一 和 d 求出来不就行了吗?你看啊,我给你总结个规律,我写到边上, s 一 就是第一项的和,就 a 一 s 二,你知道它是 a 一 加 a 二, a 一 就是 a 一, a 二是 a 一 加 d, 所以 是二, a 一 加上 一个 d s 三是 a 一 加 a 二加 a 三三 a 一 加上三个 d s 四是四, a 一 加上六个 d s 五是五, a 一 加上 十个 d s 六等于六, a 一 加上十五个 d。 像这种东西,因为在等差数里里面,他们经常会遇到,所以我的学生我都是让他们直接背下来的,因为经常要遇到,直接给它切成多少 a 多少 d 就 行了。那你像这 s 三 s 三,那我直接列个式子,三倍的 a 一 加三 d 等于六 s 五是五倍的 a 一 加上十 d 等于负五。这二元一次方程组求出来 a 一 求出来 d, 然后往这里面 s 六里面一套,这就结束了, 很简单的一道题啊。好,接下来看第八题。阿尔法在零到派之间有可能是第一象限,有可能第二象限。那 cosine 二分之二阿尔法,阿尔法在零到派之间二分之二分呢?肯定在零到, 阿尔法在零到派之间,二分之阿尔法就在零到二分之派之间。因为第一项线 cosine 它 cosine 它在等于五分之根五,然后让求这个式子,我直接用两角合成公式就行。三,阿尔法 cosine 四分之派,也就二分之根二减去 cosine 阿尔法。 哎,所以这个式子我只需要把 cosine 阿尔法和 sine 阿尔法这两个式子给求出来就行了。 cosine 阿尔法, cosine 阿尔法,简单,这我用一个被角公式就可以解决掉,你看 cosine 二阿尔法等于二倍的 cosine 方阿尔法减一,将阿尔法换成二分之二阿尔法,令阿尔法等于二倍的 cosine 方二分之阿尔法减一, 你把这个东西五分之根往里面一带,五分之根五的平方二十五分之五,五分之一, 然后五分之二减五分之一负五分之三,这个不就求出来了吗?再有同学们,再来个正弦,再来个正弦的二倍角。公式三,二阿尔法等于二倍的三阿尔法。 cos 阿尔法,把这个阿尔法换成二分之阿尔法。跟刚才一样的道理, 那 sin alpha 就 等于二倍的 sin 二分之 alpha 乘以 cosine 二分之 alpha, 对 吧?这个东西我已经知道了,人家给了是等于五分之根五,等于五分之根五在这,那你得根据 cosine 二分之 alpha 把这个 cosine 二分之 alpha 给求出来。你怎么求呢?有两个, 第一个,你可以画个直角三角形标,任何一个角乘二分之 alpha 都行。一个锐角啊,那 cosine 它就邻边比斜边,我假设它是根五,它是二 啊,它是五,五分之根五,那这边购物定一求是二倍根五,那它的 same 值就等于对边比斜边五分之二倍根五,那就二乘以五分之二倍根五乘以一个多少来着?五分之根五,你就可以求出来 same, 不 管它第一项形,第二项形都是正的,所以我这就没有直接写成它是正的了。当然你说我这个,我不理解为什么把它画成一个这样形,那你想这个东西也行, 任意一个角,它正弦的平方和余弦的平方是和等于一,你把它等于五分之根五带进去,你就可以求出它去那个正的就行。好,那这份试卷就给大家讲完了啊,稍后我会把答案放在评论区。

你们不是一直在讨论这个今年的高考跟去年的高考哪个难吗?啊?我今天把这个二五年,我当时去做的这个二五年的卷纸又拿出来了,咱们来对比一下啊,没有对比就没有伤害嘛,二六零的卷纸,咱们昨天说过了啊,我们今天重点来看一下这个二五年的,哈哈, 帮大家重回故里。二五年,这个前面这些题啊,绝对是小小孩子玩的,真正的就是那种前面一加一,后面造飞机啊,这就是结论 啊。你们看一下这个第一题,不知道大家还有没有印象,这个题被吐槽了一年啊,这是高考题吗?我当时拿到这个时候我也是有点懵啊。这是这是高考题,高考题是这个,这个小学生都会是吧?被吐槽了一年, 然后这个其实这一页都是可以用瞪眼法瞪出来的,结果我一顿瞪错俩。哦哦哦哦,所以说越简单的啊,不能越,你你你你你,你得去好好算一下,你不能这样子去去去瞎干啊,毕竟是高考,是很严谨的事啊。 嗯,后面这些题,你看这个十题跟十一题,这个难度就稍微有一点点了啊,就跟今年这个这个这个 今年这个二六年,哎呀,别,别搞乱了啊,今年这个二六年,他跟他跟这个这个难度就有点有有点接近了,但是这个难度要比这个稍微大一点点啊,就是这这个要比这个稍微大一点点。 嗯,然后呢?这个前面都是都是什么?都是抛砖引玉啊,一直做到这个这个地方,甚至你把这个立体几何做完,你都没有感觉到这份题的压力 啊,也就是前面你拿九十分是非常轻松的啊,如果是在不算错的情况下拿这个九十分是非常轻松的,然后你觉得好稳了,这次数学一百三十分稳了。哎,等一下啊,真正的难度开始了,圆锥曲线,圆锥曲线的话,你看这是我当时做的 啊,他其实这个方法呢是也没有什么难度,他就是计算山西每年把这靠这个圆锥曲线折磨学生已经折磨的够呛了哈,这个他就是很简单的一个。什么这这什么现场公式是吧?然后伟大定律,然后开始计算。哇,这个计算量 他是没有,如果你没有一定的计算量功底,这个是非常难拿下的。我们看一下今年的他这个,呃,立体几何,什么解析?几何这个圆,这个这个也是椭圆,但是你看这个计算量并不是很大,这是今年的题,然后去年你看这个计算量 完全就不是一个档次,今年甚至都没有出现过跟号这个东西啊。他这个今年这个难度啊,我觉得是平摊的,好像把这个每个题都有都都上了点。难度啊,他不像去年这个抖升抖降的这种感觉 好。立体集合啊,刚才那个立体集合呢啊,立体集合,立体集合。这是去年的立体集合,跟今年这个立体集合啊不相上下啊,不差个什么。 但是今年这个立体几何确实是有点简单啊有点简单,然后这是去年的立体几何好做到这个地方的时候,刚才说过了,你还是没有,还是没有发现这个题的过程之处啊,一直到这个这个地方开始,你会发现,哇,算不完,根本算不完, 好立体解析机构就就是这个,然后导数你看一下啊,这是我当时做的啊,你感受一下,不知道你能不能感受到这个这个压迫感啊?今年的导数导数我看看啊,是这个, 这是我,这这这这两个啊,对比一下好像也差不多是吧?这两个难度好像也确实差不多,但是我可以很负责任告诉你,去年这个导数难度要远远大于这个难度啊, 你看这个,你看这个,这个不亚于语文写作文啊,哈哈哈。但是你有没有发现这个这个这个今年考试到这就完了,结束了,但是去年的你以为结束了吗?哦 no no no, 你 看看 这个最后的概率答题啊,第一问跟第二问,呃,也差不多,没关系,第三问这个证明题,这个确实是,你如果能把前面挣出来,就已经是粪毛鳞角,就已经是人中龙凤了,然后你又把右面那个挣出来,那你绝对是粪毛鳞角了 啊,整个写的这张证明过程就在这。写这么多,你以为完了吗?没有,这是这个,刚才说了,这是前面的这个不等式,然后后面的不等式在这, 你感受一下。哇,两个小失误,就是那个刚开了一加一,给你造成一个幻觉啊,这次数学太简单了,本子,结果当你真正的开始碰到这些题的时候,傻了,完全傻了, 总之感觉这个去年这个题啊,就是在鬼玩人,那种感觉就是想玩死你啊,不过他这个分数,他这个分数卡的是非常非常厉害的,也就是说你你是断崖式的这种分数, 这种卷子,它是特别特别适合这种筛选人才,特别适合筛选这个这种人才。可能是去年这个卷子被喷惨了吧,所以说今年它这个卷子就非常丝滑,我之前说过了,很多人他不理解这个丝滑是什么意思 啊,本来今天我是准备讲这个选择题的,而且视频也录好了啊,但是今天很多人在上面瞎说啊,你们没有做过这个,你不要出来瞎说,因为他很多人你说他信啊,对不对?你这些人现在 你说啥他信啥的不好啊,对不对?你就得有一些真正的把这个做完,真正有这个体会啊,他才他他他才能站出来说话呢,哈哈,对不对 啊,我不是说我有多牛逼啊,我不牛逼啊你们,你们不要不要,不要误解我,我我没,我没那么厉害啊。这个超时了没?这个超了,怎么可能不超时呢?你看看这个这个这个这个,你就是我跟你讲最后一个大题,我,我是从连审题到最后把这个过程全部全部写完,我用了四十多分钟啊, 我就跟你这么这么说,我就用了四十多分钟,对不起啊,拖了抖音平均水平的后腿了。我知道抖音抖抖音都是人均,都是数博水平啊哈哈哈 啊,所以如果以后碰到像这种题,你看着没法下手了,直接放弃把前面的分拿到就可以了,你高考没有必要奔着一百五十分去啊,大多数人他也考不了那么多啊,所以啊,你什么水平就做什么水平的事就可以了啊, 还有那些现在现在你看这个都是跟分出来,每每次出来都很多老师在那啊,我是什么是什么?高中的一线老师,多少年了,这次考试第一好难啊,出题人去死吧,你怎么去死呢?对不对你,哎,我都没法说你妈,别人说什么你也说什么,对不对?这些人都都不知道怎么怎么搞 的,把这个整整个这个本来是高考这个很严谨的一件事,你搞的什么乌烟瘴气的,是不是 你自己水平不行你就去练嘛,这个东西完全可以的嘛,就好像你一直在抱怨别人为什么那么富,你为什么那么穷一样,是不是一个道理嘛?对不对?天时地利人和,是不是人就是那个水平,人就在那个那个那个位置上 啊,不要抱怨什么啊,努力就可以了,努力就可以了。不是说努力,你非得达到你不可能达到的境界啊,把你自己自己的水平展现出来就可以了,社会上会给你安排你的位置啊,就这么简单,这就是现实。嗯,好,到明天开始呢,我会把这个二六年的这个 这个题给大家过一遍啊,就是讲的这个方法,还有这个过程,还有一些应试的技巧,在考场上怎么快速的做出这些题,我会给大家详细的把这个给给给大家做出来啊。嗯啊,好,那就这样吧。

二零二六年高考英语全国二卷真题的语篇选自哪里?阅读理解 a 篇是一篇应用文,介绍了华盛顿特区周边四家优质中餐馆。原文选自专注于美食与餐饮文化的 e t 网站源铁,发布于二零二五年十二月二十日。 阅读理解 b 篇是一篇继续文,讲述了一位百岁老人在著名建筑师设计房屋中居住七十三年,悉心守护房屋,并联合成立建筑保护组织,传承 right 建筑遗产的故事。 原文选自 npr 美国全国公共广播电台网站,发表于二零二五年七月二十三日,标题为 what's it like to have frank voight design your house, this one hundred and one year old knows 的 文章。 阅读理解 c 篇是图书海平面一段历史 c level i history 的 引言,介绍作者写作本书的背景、本书的结构与内容,以及现实的价值。论文可以在电子书平台 dokimopp 阅读。电子版。 阅读理解的篇是一篇书。铭文介绍了巴塞罗那地铁系统推出的 metro charge 项目,该项目通过再生制动技术回收地铁列车刹车时产生的能量,实现清洁能源的创新利用,提高能源利用率。 原文选自美联社 ap 发布于二零二四年十二月十八日的文章。原文标题, barcelona recycle energy from breaking into power to charge electric cars。 环形填空是一篇继续文,讲述了作者在学生的提醒下做出改变,追逐自己写作梦想的故事。原文选自爱尔兰时报 the irish times, 发表于二零一八年五月十九日,标题为 sarah crawson, i really think poetry and arts can transform life 的 文章 语法填空是一篇继续文,讲述作者参加一堂太极课的经历。原文选自卫报 the guardian, 发表于二零二四年五月二日,标题为 my first time doing tai chi it feels like my brain is solving a rubik's cube 的 文章。 通过分析真题文章的出处,我们不难发现,百分之九十以上的文章都来自外刊。要想快速提分,我们一定要广泛阅读外刊文章。但想获得高质量的外媒刊网站文章,需要大量的时间和耐心,即使找到了,也难以直接给高中生去读。 维克多高中英语外刊精读系列丛书精选高质量外刊文章,题目难度符合高考要求。文章梳理语篇结构, 点播解析策略和阅读策略,为高中生量身定做,让你的阅读不再是难题。

同学们好,欢迎来到抖音高考百日百课,今天继续讲二零二五新高考二卷第篇的前两题。第三十二题推断题 inf 表示推理原文事实,往前推一小步,对应的是第一段早年经历的这样的一个事实链。 第三十三题目的题,通过题干的 y 先回原文去定位,看到 to do 就 知道是目的题的信号,那么第三十三题对应的是原文第三段, to raise awareness regarding food waste 我 们要记住,推断题 infer 看事实链儿目的题 y 找目的句 to do。 我 已加入抖音,抖音精选高考应援联盟,目前已经更新完成了二零二五新高考一卷的阅读原文题目精讲单词的代背。 现在新高考二卷的原文题目已经基本更新完了,欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟,追更我的高考百日百课。那么今天我们就一起来搞定第三十二题对应原文第一段,以及第三十三题对应原文的第三段这样的两个题目。 今天的核心是第三十二题看到 infer 就 知道是推理题, what can be infer from? 要 回到原文,找到事实依据,也就是作者的成长经历的事实链。第三十三题看到 why 目的题,那么就需要找目的句,特别是 to do 结构和 res awareness 这种目的的表达。 那么共同的方法就是我们先判断题型,再回原文定位,最后对比选项里的同意替换。那么选项里第三十二题是 a 啊, he witnessed the food shortage, 那 么这是第一段的同意替换。第三十三题的 b to make the public aware of food waste 是 第三段的同意替换。注意,我们都是先不看选项, 那么第三十二题的原文定位呢,一定要跟原文去挂钩。第三十二题在第一段,也就是作者提到 maybe that feeling comes from growing up in south africa, 作者提到在南非长大, there are children starving africa 以及南非孩子挨饿这个现实的提醒, and a comfortable reminder effect 是 实际上是一个不太啊,是令人舒服的一个事实的一个提醒。 第三十三题的定位呢,是在第三段, each dish was tailor made。 每一道菜都是定制的。 to raise awareness regarding food waste 是 为了引起公众对于食物浪费的这样的一个啊,警现实的一个提醒。那么这里我们会看到第三十二题呢,是从事实链儿推出了食物短缺。 第三十三题呢,目的句同意替换 res awareness 啊,就约等于 make the public aware, 让公众意识到,注意不要被选项给带跑。我们推断题呢,不能推太远,只是一小步。目的题呢,不能把手段当目的,要找这个 to do 啊,或者是目的句。 接下来我们看一下第三十二题,那么我们在做题的时候呢,先不看选项,从原文到定位句,那么我在讲题的时候呢,我顺便就把选项的意思再讲一下,因为很多同学会看不懂选项。我们来看一下题干是 what can be infer about the author's early life。 那 么我们 about 这里就把它圈出来。什么可以被推理出,那可以被推断出,就是说关于作者的早年的生活,就是通过作者早年生活,我们可以推断出什么。那这个是在第一段啊,我们来看四个选项, a he witnessed food shortage witness。 注意是动词见证的意思啊。 shortage 短缺,那么他目睹了食物的短缺。 he enjoyed the local cuisine cuisine 美食。他喜欢当当地的美食。 he donated food to africans donate。 捐赠,他向非洲人捐赠过食物。 he helped cook at home。 他 在家帮忙做饭。那么我们看到这种推断题啊,选项呢,是要逐项地和原文的事实链进行对照。 那么我们来看一下题干的信号,最重要的就是这个 infer, what can be infer? 就是 可以推断出什么在考场上呀,我们要先回原文找事实,找到早年生活的相关信息,再在事实基础上顺一步推出。注意,我们不能怎么做呢?不能凭常识脑补, 不能看到 africa 就 随便选,不能找选项里碎项的词就是,我已经强调过多次了,当选项里出现原词或者原词的同根词的时候,我们要小心, 不一定是正确选项,也有可能是我们的极强的干扰项。注意,还要重视题目的范围是 author's early life 作者的早年生活。所以我们只回原文去找成长经历相关的事实,看原文事实,不要过度脑补。 那么我们回到原文去定力,定定位,找到这个成长经历的事实链啊。第一句是这样的, maybe that feeling comes from growing up in south africa。 这种感觉啊,也许来自于我在南非长大。 there are children starving in africa starving。 饥饿就是难,在非洲啊,还有孩子在挨饿。 an uncomfortable reminder effect uncomfortable 不 舒服的 reminder 提醒回忆录,那么就是说一种令人不舒服的现实提醒。 接下来我们把事实链串一下,从 south africa 作者的成长地到 children starving 到挨饿的这个事实,到 fact 现实的 reminder 提醒,这些都是我们正确选项的重要依据。 那么我们来看一下原文的事实,往前推一步,第一个事实是 growing up in south africa, 作者在南非长大。 第二个事实是 children starving africa, 非洲有孩子挨饿。第三个事实是 reminder fact, 这是现实的提醒,而不是空话。我们顺一步推出 he witnessed food shortage, 他 目睹了 witness 见证或者深知食物的 shortage 短缺, 那么因此正确答案就是, a 是 我们原文基础上小小的推理,那 那么 a 是 正确的, he witnessed food shortage, 他 见证这个食物短缺就对应了事实链,南非和饥饿以及事实不是照抄,但是能够推得出来。 b 是 错误的。袁文没有说他喜欢当地的美食, c 也是错误的。原没有说它捐赠食物给非洲,虽然有 african, 看到 african 这个词,很多同学一看啊,有 africa 有 african, 是 不是选这个不可以,因为它虽然是同根词,但是它前面的这个捐赠这个动词是错误的,所以我们一定要重视这类的选项,这是这个我们的高度干扰项。 d 是 he helped to cook at home。 原没有说他在家做饭,那么我们要注意有一些具体行为,原没给的不能自己脑补,一定要把这种无中生有直接给排掉。 那么我们来看一下选项里面的单词也都很重要,首先是 witness 是 目睹见证, shortage 是 短缺, cuisine 是 美食菜系的意思, donate 是 捐赠的意思。 donate something to somebody cook at home 是 在家,是帮忙在家做饭的意思。 那么我们看完了第三十二题,接下来我们再来看看第三十三题。 why did blue hill carry out the experiment? blue hill 这个餐厅啊,为什么要开展这项实验?接下来我们来看一下四个选项。 to customize dishes for guests customize 定制 dish 菜品就是 guest 客人,为客人定制菜品。 to make the public aware of food waste aware 意识到 waste 浪费,就是让公众意识到食物浪费。 to test food processing method processing 是 常考词处理 method 方法,测试一种食物的处理方法。 to improve the u k zero waste systems 啊, zero waste 就是 零浪费改进英国的零浪费系统。那么看到这个 why 呢?我们就要回原文去找目的句啦,尤其是这种 to do 结构的。 那么我们来再看一下这个题干的信号, why did blue hill carry out the experiment? 看到 why, 要先判断问的是目的, 提干问 blue hill 这个餐厅为什么要开展这项实验,重点是这个实验的目的,而不是菜品的结果,也不是后来的影响。我们先找目的句, to do 啊,为呃目的去做某事 in order to will 啊 so that。 因此 res awareness 提升意识 aim 目的 purpose 以前还考过 go 啊,都是表示目的,大家要认识。那么注意我们不要混淆啊,原文出了一个 tailor made 定制,这是手段,不是目的啊。 serve strange dishes 是 方式啊啊,就是那个上一些不一样的菜啊。 raise or whyness 才是目的,提升公众意识啊。方法,我们是要记住 y 题看到 to do 啊,要高度的敏感, to do 就是 表示目的就是 why? 第三十三题的原文定位呢?我们来看一下 each dish was tailor made。 每一道菜都是量身设计的, to raise awareness 是 为了提高 意识。 regarding food waste 对 于食物浪费,也就是每道菜都是量身设计的,目的是提高人们对于食物浪费的认识。目的信号呢,就是 to raise awareness 为了提高意识。那么 regarding food waste 是 范围的锁定,是关于食物浪费这一事实的。 那么我们的同义替换呢?原文的 to raise awareness, regarding food waste 就 约等于选项的 to make the public aware of food waste 啊,注意,这是一个点上同义替换, raise awareness 就 约等于 make somebody aware of something。 提高意识就约等于让某人意识到。因此 b 选项是我们的正确答案。 那么我们来看一下 b 选项正确, b 选项说 to make the public aware of food waste 就 约等于原文的 to raise awareness regarding food waste。 我 们来看其他选项,为什么错? a 选项 customize dishes for guests 啊,这个很像这个 tailor made 啊,就是说我们的那个定制化的那个菜品,但是这是手段,注意不是最终目的,最终目的是为了那个呃,提高人们对于这个食物浪费的这个意识,这也是整篇文章的主旨啊,所以我们这个选项要符合主旨。 最选项是错的,是测试一种食物的处理方法。原文根本就没说啊, d 选项提升英国的零啊,浪费的这个系统, 那改进系统。那么原文并没有说要改进英国的这个系统啊,原文只是有零浪费这个词,不要被这个词所迷惑掉啊,都没有是原文给依据。因此外题呢,我们要先找目的,不要把手段去当目的啊。 那么接下来我们把这个题的选项看一下。 customize 定制的,比如说 customize dishes 定制的 菜品约等于 custom made 或者 tailor made, 都是定制的意思。 aware 非常重要一个词啊,是意识到名词是 awareness, make somebody aware of 就是 让某人意识到啊。 processing 经常考的是表示这个加工 啊,然后 method 是 方法, zero waste 是 零浪费, system 是 系统或者体系,这些都是常考词。 接下来我们来看一下,把这两个题串起来看就很清楚啊。第三十二题,我们看到 inf 呢,就判断出它是推断题,走的是事实链儿。第三十三题呢,看到 y, 我 们就知道它的目的题啊,走的是目的句。那么我们推断题呢,就从原文事实顺一步推出 a witnessed food shortage 啊,就是目睹了食物的短缺。那么目的题呢,我们就从原本的 to do to raise awareness 提升意识目的到这个 b 选项约等于 make the public aware, 让公众意识到我们做这种 包括推断题目的题也好,它共同的做法是什么呢?就是先圈题干的信号词,然后回原文去定位,最后再对比同意替换,排除无中生有。我们先圈题干,回原文定位,最后再进行选项的比较。 我们要记住,推断题是看事实链,目的题是看目的句,答案不是感觉碎象,而是原文碎构支撑。 那么第三十二题常见的陷阱啊,也非常的典型,比如说把 africa 或者 food 相关的常识乱扩展,把选项里的具体行为当事实 啊。原文没有说独立的捐赠,也没有说 cook 的 啊,做饭啊,但是可能出现了 africa 那 个词,你就会觉得想选它不能选啊 啊。然后我们再看第三十三题的陷阱就更大了,它是把手段伪装成目的 a 选项的 customize 这个定制化很像那个 tailor made 的 那个原文的定制化啊, 但是 tailor made 的是手段, res awareness 才是目的。我们要找的是 to do 表目的的这个句子才是我们正确答案。所以我们排除的原则是,推断题只推一步,不要跨太远。目的题是找 to do, 别看结果。 那么接下来呢,我们来看一下今天的单词,再复习一下 witness。 目睹见证 shortage 短缺不足 cuisine 菜系美食 donate 捐赠 nation 它的名词 customize 定制啊,注意, custom 是 习俗, customer 是 顾客, aware 啊,是意识到名词 awareness experiment。 实验尝试经常考的, processing 加工处理经常考, method 方法也是经常考。 然后那么今天的单词呢?同学们要去记住,另外重点短语大家也顺便记一下啊,像 food shortage, 食物短缺 make somebody aware of, 让某人意识到 carry out the experiment。 实施这个实验, res awareness 提升意识是 regarding food waste 关于食物浪费。那么今天的句子口译呢?我们要把这些定位句啊,大家能够给呃译出来,包括提干啊定位句,比如说 maybe that feeling comes from growing up in south africa。 这种感觉也许来自于我在南非长大, 然后事实提醒句, there are children starving in africa, 非洲啊,还有孩子在挨饿。第三十三句定位句, each day was tailor made。 每道菜都是量身设计的, to raise awareness, regarding food waste, 目的是提高人们对于食物浪费的认识。那么提干的口译呢?我们要重视提干重要部分, what can be infer, 就是 可以推断出什么 why did, 为什么做啊,这次要把它给翻译出来。 那么今天的核心收获呢?首先是第三十二题, infer, 推断题原文事实往前推一步。第二呢是第三十三题 why 目的题,原文的 to do to raise awareness 就 约等于选项的 make aware。 今天我们要记住,口诀是遇到 inf 不要脑补,要向前推一小步。遇到外题呢,先找目的句, 注意我们考场动作,第一,看题干划线定题型。第二,根据题干的划线词去原文去找定位,找依据。第三,再比较四个选项,选择最优选项,尤其是我们马上能看出同一替换的选项来,我们就选它。但是注意,有原词 或者有原词同根词的选项,我们不一定是肯定要选的,有的可能是强干扰项。同学们如果对作业方法感兴趣啊,也可以去我的主页看方法合集,或者看我的二零二五新高考一卷和二卷的题目类的讲解, 总能高考百日百课。跟着我刷真题,拆句子,背单词,搞方法,关注我,一起稳不扎实提升,明天见!

同学们在考场上看到阅读的 cd 片就头疼,今天就教给大家阅读 cd 片的后两题我们怎么来做。 今天的重点是类比题,我们要学会看落点,标题题要学会串主线段落主旨题要会看共同的对象,原文的事实题要回原文去判断结尾的事实。 今天我们重点解决四类题,都是后两题的常见的考点。 c 篇第三十题是类比作用题。 by mentioning 看例子后面的落点。 c 篇第三十一题是标题题,我们来串全文的主线,不抓局部。 d 篇的第三十四题是段落主旨题,我们要看整段的共同对象。 d 篇第三十五题是全书事实题,我们需要去权威判断,回结尾, 找事实依据。这四类题看起来不一样,但考场做的都很明确,先判断题型,再定范围,最后回原文去找依据。 我们首先来看一下后两题的总动作,注意,后两题最容易凭感觉选。注意啊,要先看题型,尤其是标题题和最后一题。今天给大家一个总的做题动作。第一步,先提高信号, 比如说我们这个二零二五新高考二卷的最后的 cd 片的最后两题是题干信号有 by mentioning 通过提到,这是举例子, title 标题 paragraph 第几段 can we learn 是 我们可以了解什么推断。 第二个是判断答案范围。例子后面原文主线是本段还是结尾,我们要把答案范围找出来。第三个是回原文找依据,我们要找到原文的落点,共同的对象或者是事实句。 第四个是对比选项,那些太窄的、太偏的、不全面的,无中生有的选项,我们都要把它一一排除。注意,后两题不是靠感觉,而是靠范围和依据,以及选项的科学对比。 我们先来看 c 篇的第三十题,题干里有 by mentioning 说明就是举例题或者是类比作用题。二零二五的新高考一卷和二卷都考了一个这样的题,那么我们来看这一题的题干问, what does the trident try to explain by mentioning doctors and lawyers。 就是这个人通过提到医生和律师,他想说明什么?注意,看到 by mentioning 就 说明不要选例子本身,要看例子后面的落点。医生和律师只是类比的材料,真正的答案在作者想说明的道理。 那么我们来看原文的类比以及原文怎么定位。那么原文的类比是,医生, doctor's practice medicine, 律师, lawyer's practice law 这个 practice 已经不仅仅是练习的意思,而是行医或者职业的意思,也就是医生、 行医,律师职业。这也就是说医生、行医和律师职业也都需要很多练习。落点句是在它们的后面,注意例子的后面,看落点。 you should allow yourself 的 practice。 你 应该让自己也不停地练习。注意,答案的方向不是医生和律师的职业对比,而是落在了植物的养护上。就是要允许自己反复地去练习, 说明的就是 repeated efforts。 这个允许自己反复去练习就约等于我们的正确选项的 repeated efforts, 说明反复努力,反复练习的重要性,是一个同一替换的关系。 那么第三十题我们怎么来排除错误选项呢?注意别把例子当答案。错误方向一是只讲医生、律师本身,没有回到植物养护,不选错误方向。二是只讲职业知识,没有说 repeated efforts, 没有说它持续的练习,重复的努力,也不选 错方向三是把类比材料当成文章主旨,也不选正确的动作,是找例子。后面的观点句, allow yourself to practice, 允许你自己不断地练习。 那么我们再来看 c p n 的 第三十一题标题题。我们要去串权威的主线提纲,问, what can be a suitable title for the text。 考场上我们要注意, 标题题不是在找某一个漂亮词儿,也不是要看某一段细节,而是要把全书的主线串起来。 先问自己全书一直在讲什么,不要只抓一段,不要只抓一个例子。 c 篇主线讲的是植物和人的状态、情绪、学习和效率,那么因此答案的方向就约等于 plants boost your mood。 植物提升你的情绪或者状态, 是对全书的一个整体总结。那么我们把分散的线索、全书的线索串起来。 c 篇里说的不只是说植物流行,也不只是说工作效率,而是不断地把植物和人的情绪、状态、学习耐心 联系起来。我们看第一个线索, plant ownership, 植物养护拥有植物。第二个线索, life satisfaction 生活满意度 mood 情绪状态。这个在原文中多数提到是主旨词。 第三个线索, better learning, 学习表现更好, productivity 工作效率提升,也就是说明植物给我们带来了很多好处。因此,我们的主线归纳,植物不是装饰的重点,重点是对人的状态,人的 mood, 人的 state 有 帮助。 那么第三十一题的选项,错误选项怎么排除呢?标题题的错误选项通常有两个问题啊,要么太窄,只讲一个细节,要么太偏, 抓了文章里出现过的,但不是主线的内容。我们来看太窄的,只讲职务销售,室内装饰,某个研究,这都不对。太偏的只讲工作效率,忽略对于 mood, state of mind, 对 于这个精神状态 的那个呃,关系呢?都不对。我们再看太空的标题很大,但是不能概括权威细节的,尤其是太空的,大家要注意,很多同学会误选。我们这里不是要提倡社会价值,而是要讲真正跟原文相关的内容才能当做标题。 正确的标题是这样的,它既能覆盖权威的主线,又不离开权威的主题,不会太大。 我们来看第一篇的第三十四题,段落主旨题断主旨题我们要看共同对象, what is paragraph five mainly about? 是 问第五段主要讲什么?注意,段落主旨题不能只看这一段的第一句,也不能只抓一个特殊的例子,要看整段所有的句子共同围绕什么在讲 考场的动作。我们要看整段的共同对象。这一段反复在说什么?我们答案的方向呢?这一段就是在说, what the dishes were made of? 这些菜是由什么食材所做成的。 那么三十四题我们的原文定位呢?第五段的共同对象非常的清楚,原文的关键词, ingredients, 原文给了中文配料, meat, cuts 啊,肉类的部位啊, produce, 农产品,这是名词啊,这都是名词。然后一些具体例子你可能看不懂, carrots 啊,羽衣甘蓝啊, fish collards 啊,一些鱼呃鱼呃鱼肉, rejected sweet potatoes, 就是 一些土豆儿的平常已经呃不用的边角料,以及 cucumber butts 啊,黄瓜镜等等等等。就是这些东西呢,都是一些配料、食材、边角料。因此共同的指向呢,都是菜品用到的原料,所以主指是菜由什么做成的。 这里再强调一下,如果这些菜品的原料或者食材里面我们有一些单词不认识很正常的,不认识也没关系,我们大概其能会看到 它们都是一些配料,这样就可以我们就能做对。这个题就是这些菜是由什么做成的,问的是这些菜的配料和食材。 那么我们来看三十四题的选项。判断选项要先看是否围绕共同对象。 a 选项错,问为什么使用原料,但是本段重点不是讲原因,不是 y。 b 选项错,问哪些菜最受欢迎,原文没有比较喜欢的程度。 c 选项是对的,是问菜是由什么做成的,正好是对应了原文的中文词,配料,原文的所有的关于食物的边角料类的食材啊,或者说我们的说的原料,所以正好对应了整段的共同对象,就是食材、原料、配料。 第二点用错,问原料是在哪里买的,原文根本没有讲购买地点。接下来我们来看 d 篇的第三十五题,是权威事实判断题。题干问 what can we learn about wasted? 我 们可以了解到关于 wasted 这个项目的什么。 这对题呢,最怕评印象,比如说看到评价好评啊,就脑补它,继续流行。正确的做法是回到结尾看事实句,一定要回到结尾找事实依据。答案的方向是 it has ended as planned, 它已经按照计划结束,符合结尾句的事实依据。 我们来看第三十五题的原文,定位结尾事实就是答案。第一个事实是 designed from the start as a short lived experiment。 从一开始呀就呃,设计成是一个短期的实验,是短期的。注意, 第二个事实是 blue hill has since returned to its regular menu。 blue hill 这个餐厅啊,从此之后就恢复到了它的常规菜单,就是已经恢复了,就没有再继续采用这个项目了。因此 short lived 短期以及 return 的 恢复共同得出我们的正确选项, ended as planned 结束了。因为 short lived 短期 as planned 是 如计划,因为它也恢复到常规菜单,所以因此 with 这个实验项目啊, 作为一个短期的实验项目,又恢复到常规菜单,因此是 ended as planned 就是 按照计划结束了。 那么第三十五题呢?注意别被好评和熟词带跑。 b 选项错, creating new jobs 原文没说创造新工作, c 选项错, regain popularity 好 评不等于重新流行,而且好评这句是在 zoe 这句里啊,明明显是不选。 d 选项错, criticized by top chef criticized 副相是由这个受到了这个顶级厨师的批评。原文并没有说这个批评, a 选项对 ended as planned 是那个按照计划结束了结尾的,事实就能支撑这一点是短期的,又恢复到常规菜单,所以按照事实结束了。 那么接下来我们把四个题总结一下,把四道题放在一起看考场动作就很清楚。第三十题,类比题 by mentioning 我 们要看例子后面的落点。第三十一题,标题题 title, 我 们要串全书的主线。 第三十四题,段落主旨题 paragraph five, 我 们要看整段的共同对象。第三十五题,权威判断事实判断题 what can we learn? 我 们能够得得出什么要回结尾的事实去确定。 考场上,我教给大家一个检查表,做最后两题的时候,可以在心里问自己四个问题,他是在问例子作用吗?如果是在问例子的作用,要看例子后面的观点句, 个别题的观点句是在前面。注意,例子是为了说明论点,例子只是论点的论句,答案往往在论点里,而不在论句的细节里。第二,他是在问标题吗?如果是文章的标题题,我们要看全书反复讲的主线,以及全书的高频词。 主旨词啊,像二五年的一卷和二卷都有,一卷是 rush through, 是 主旨词 c 篇啊,那个二卷的 c 篇是 boost your mood, 是 mood 这个词。 第三,我们要问它是在问某一段的主旨吗?比如说问第五段的主旨,那么就要看整段的共同对象。 第四,我们要问他是在问全书的事实吗?如果是在问全书的事实,要修先回结尾去找事实句。注意不要凭感觉选,不要只看到某个原词就自己脑补,原词很有可能是干扰项,我们要排除掉它。那么不同的题型,我们要用不同的动作来实时的检查。 接下来再教给大家 c、 d 篇的阅读口诀可以直接带进考场。类比题,不要选例子本身要看落点,标题题不要抓局部,要串权威主线段落主旨题不要抓一个细节要看共同对象。 权威判断题不要脑补,要回结尾找事实。考场上记住这四句话, c、 d 篇就会稳很多。 那么今天我们就完成了二零二五新高考二卷复盘的第四天阅读 cd 片的后两题怎么做?今天的口诀大家再记一下。类比题看落点,标题题串主线段落主旨题,看共同对象 学问判断题,回结尾找事实。考场动作是,第一通过题干判断题型,第二回到原文去定位,找信号词。第三是随后来比较选项,确定正确 选项。那么我们再来重复一下信号词,帮你找到答案区,题干帮你确定答案。考场上先看题干,再找信号,再读信号,前后最后对比选项,大家就知道答案信号词怎么抓住了。 同学们如果对方法感兴趣,也可以去主页看我的方法合集,或者看二零二五新高考一卷和二卷题目类的精讲。 同学们每天跟着我刷阅读,拆句子、背单词、搞方法,关注我,一起稳不扎实提升,明天见!

同学们,考场上不会定位,不会找答案句,今天教给大家答案信号词怎么抓 啊?注意,这是考场上直接能用到的答案。信号词, but, 转折后面常常是重点, also, 补充信息要看清楚, study showed that 是 研究发现,要看后面。 to do 是 表目的,目的地,常见信号。 so, 尽管让步句不要看,反重点是另外的后半句 nevertheless。 尽管如此,结尾的升华要注意。注意信号词不是答案本身,但是它会告诉你答案应该往哪一边儿去找, 能够帮助我们在考场上快速做题。注意,信号词不是装饰,而是我们的定位灯,是我们的好朋友。看到 but also, study shows that, to do 这些词,不要只翻系,要判断它题式的逻辑关系,然后去对应题干。 做阅读的时候,不要只翻译成中文,真正要做的是第一判断,像 but, also 这些逻辑词,它们提示的是什么关系 是相反关系。研究表明目的因果。第二步,看答案是在这个词的前面还是后面,像 but 一 般是在答案在后面。 though 答案一般 不是在揍这句,而是在另外一句。第三步,在和题干去第一对应,也就是说信号词不替你选答案,但是会告诉你答案所在的区域。 考场上我们要分三步走,第一步先题干,第二步再信号。第三步,再选项。第一步,看题干,我们要问,找到题干是问的是事实,原因,目的、主旨还是推断,要知道通过题干判断是什么题型。 第二步,找信号词。 but also, study showed that, to do, so 通过这些信号词,我们去快速定位。 第三步,读信号词的前后转折是看后面,目的是看 to do, 研究是看结论句。 那么我们在读完信号词的前后,我们也叫前一后一,也就是前一句后一句,有的时候甚至可能要读整段。那么读完之后呢?最后我们再去比对选项, 注意选项作同意替换的对比不是看谁和原文长得像,而是谁最符合原文的逻辑,谁是原文的同意替换。 我们先来看第一个信号词, but, but。 转折后面常常是重点, but, however, yet 这种词一看到呀,就是提示前后的方向变了。 注意考场上看到 but, 重点是不要停在前半句,而是要读 but 的 后面。再看题干是问什么,常考的是反转的结果,作者的态度,真正的观点,那么作者的态度往往是在后面,后面也会出现反转和真正的观点。 我们来看 c 篇第二十八题这个例子, but the opposite happened。 但是相反的情况发生了。题干问, how was the trident's business when it started? 就是 在这个人开始他的生意的时候,生意怎么样? 原文中的信号出现, but the opposite happened orders flooded in。 就是 说但是相反的情况发生了, 订单如潮水般涌来。前面说它一开始对于这个生意不是很自信,结果后面说相反的事情发生了。订单如潮水般涌来,说明前面的预期和后面的实际情况相反。 后面的 orders flooded in 说明订单很多,所以答案的方向是,生意出乎意料的顺利, it went surprisingly well。 我们再来看 d 片的开篇的例子, but 后面引出新方法。原文说, food producers and sellers are looking for ways。 说明食品生产者和销售者都在找找一些办法来解决问题。 but last month。 但是上个月 one popular new york city restaurant tried a different way 啊,引出了这个一个纽约的一个很知名的一个餐馆儿,也就是 blue hill 餐厅,尝试了不同的方法。 读文章的时候,我们的背景前面的背景可以略读,但是我们转折后面要精读说明。 but 后面是文章的重点,是说明 blue hill 这个餐厅采用了不同的做法。接下来就详细介绍这个, 呃,不同的做法,转折后我们一定要精读,那么转折前的背景我们要略读。 我们来看第二个信号, study showed that。 那 么研究发现题要看结论。我们常见的信号词有 study showed that。 研究表明 research found that。 研究发现 a study determined that。 一 项研究啊,比一项研究表明。看到这种结构呢,我们就要重点读在后面的研究结论,不要陷在研究背景里。所以啊,看到研究信号,重点看在后面的结论, 不能只看研究背景,主要是 that 后面的内容。 that 是 一个很重要的信号词。我们常考的题型是研究发现题,细节题,数据题,那么答案往往藏在 that 的 后面。 我们来看一个真题的例子, c 篇的第二十九题, findings 就 找研究发现句提干问, what is one of the last findings about plants? 这个人关于植物的一个发现是什么?说明要找研究发现看到了 findings, 那么原文看到的我们的根据这个题眼 findings 研究发现不是个人感受。原文的信号是什么呢?是 study showed that 就是 后面就是我们的结论或者答案区,答案的方向就是 plants, enhance, productivity。 植物能够提升效率,那么我们原文是看 that 后面的区域,那说明能够提升我们的效率。 我们再来看第三个信号词 also also 后面常常是补充范围或者是递进的信息。注意, also 这个词在我们的侵权物里面也常常出现,它往往呈 起到承上启下的作用,往往是用在断尾句或断首句。我们看到 also 句会感到很亲切,很有可能是断首句和断尾句。注意, c 篇讲植物的时候不只是讲情绪,也会扩展到这个学习工作和效率,也就是 also 后面, 那么 also 也还是补充信息的信号。那么考场的动作是看到 also 是 问自己,他把结论扩展到哪里,有没有补充人群范围,结果。 那么 c p i 我 们的 also 这里是植物研究,不只是讲情绪,还可以提升我们的学习效率,工作效率等等等等。所以看到 also 要知道哦,这个很重要,我们要继续往下读。 接下来我们来看第四个信号儿, to do 当题干问 why 为什么优先找目的的表达。那么我们题干如果问 go aim, 那 么问目的的时候也是优先找 to do, 那 么表示提示目的的有 to do in order to will so that。 因此考场上的动作是题干问 why purpose 目的 carry out。 实施就先找 to do 这个结构, 但是要注意啊,目的不等于做法,目的不等于结果,目的不等于菜品本身。看到外题,我们就要先找 to do, 先找目的句。 我们来看真题的例子, d 篇的第三十三题是典型的目的题, to raise awareness 就是 目的,题干是 why did blue hill carry out the experiment? 为什么这个 blue hill 这个餐厅实施了这样一个实验,原文是定位到 each dish was tailor made 啊,每一个啊,每一道菜都是定制化的。 to 表目的, to raise awareness regarding food waste 是 为了引起对于食物浪费的重视 啊和认识。信号就是 to raise awareness, 目的就是提高对食物浪费的认识,因此就约等于正确答案。 make the public aware of food waste, 那 make the public aware of food waste 也就是 to raise awareness 的 同意替换。 那么我们再来看第五个信号词, though, though 是 让步,几乎每年都会考一题,注意,让步不是重点,重点 though although, even though 啊, even if despite in spite of 这种都是让步,先让一步再说真正的事实。因此不管 though 是 在前面或者后面,那么我们都记住它 这一半句是不选的,我们最重要的要看的是他逗号后面这句,或者是他前面这句。 考场上我们看到揍两边都要读,重点通常放在另一半主句,但是考场上也会出现这样的情况,当另外一个我们脑补的一个但是这句话我们看不太懂的时候,我们通过揍这句话的情感色彩 能够判断,但是这句话的情感色彩也就是我们把奏这句话翻译出来,然后取反就可以,他的反向就是我们作者真正要表达的观点,所以我们要注意, 最终是要看主句的事实,但是这句,但是如果但是这句我们看不懂的话,我们也可以看揍奥揍这句,然后来取反。注意不要只被揍后面的好词坏词所吸走。主要看主句的事实,先看主句,主句看不懂,再看揍取反。 整体例子,我们来看第篇的第三十五题,揍后面是让步,主句是给事实,原文是揍 wasted received enthusiastic reviews。 这里是,尽管啊, wasted 这个项目啊,获得了广泛的好评,但是主句的事实是这两个, it was designed from start as a short lived experiment。 从一开始的时候就被设计成一个短期的实验, blue hill has since returned to its regular menu blue hill 三厅从这个时候就开始呀,就恢复到了它的常规菜单, 所以正确的答案根据题干, what can we learn about wasted? 关于 wasted 这个项目,我们了解到了什么? 答案是, it has ended as planned。 实验是按照计划结束,因为第一它是短期的,第二又恢复到常规菜单,所以这个实验是结束了,而且是按照计划结束。因此,正确的答案并不是广受好评,而是实验按照计划结束是主句的事实。 接下来看第六个信号词, nevertheless 结尾的升华常常是看这里, nevertheless 就是。 尽管如此, nevertheless, nonetheless 都是一样的意思,常常是用于结尾的转向总结,或者说是升华。 考场上的动作是,如果题目问的是主旨意义,作者的态度,结尾在 never less 后面要重点看。以第一篇的结尾为例, never less it serves as a reminder serves as 作为 reminder 提醒, 它仍然作为一个提醒,说明实验虽然结束了,但是实验的意义还在,强调的是意义。 那么我们来看第七个信号,就是数字和数据。数据题别凭印象,通常是事实依据。比如说我们出现了 thirty three pounds, fifteen point seven percent 和 eighty four point three percent 考场的动作我们要注意看数字前后说明什么, 看比较的对象是谁,看选项有没有扩大或者缩小。 b 片的这些数据表明啊,这些都是浪费的数据,说明餐厅的食物浪费很严重,不是随便的在这列数据。所以遇到数据啊,我们要看看它是支撑什么。结论, 信号词很好用,但是不能机械地用信号词,要和题干一起看。那么我们要注意有几个常犯的错误,第一个看到 but 就 只看后一句,但是如果题干问的是前文的事实的话,我们要小心这第一个错误。第二个错误是看到 to do 就 全部当目的, 有的时候只是修饰某个名词,我们一定要看出来这个 to do 是 不是表目的。第三个就是看到数字就直接选数字相关项,但是没有看到它说明的结论。 注,一定要结合题干和原文的逻辑一起看。所以我们正确的做法是信号词加题干加原文逻辑,三者一起看,才能得出我们的正确选项,正确答案。 考场上我们给大家一个速记表,看到信号词马上做动作, but however 看到转折后面的重点, study show that 看研究的结论在后面, also 看 also 后面的补充范围和递进 to do 外题先看目的, to do 常常表目的 though 是 尽管看让步后的主句事实,让步这句与主句事实是取反的关系, nevertheless 尽管如此,要看总结结尾的总结和升华数字要看数据支持什么样的结论。 那么今天一句话就是答案,信号词怎么抓?信号词帮你找到答案区,题干帮你确定答案。信号词和题干一个也不能少,我们先看题干, 再找信号,再读信号的前后句啊,以及信号这一句,最后再对比选项,这样我们才能真正找到正确答案。明天我们会继续复盘 cd 篇两题怎么做? 那么同学们如果对做题方法感兴趣,也可以去主页看我的方法合集,以及二零二五新高考一卷和二卷的题目类的精讲。 同学们每天跟着我一起刷阅读,拆句子、背单词、搞方法,关注我,一起稳不扎实提升,明天见!

我们先来对这个二零二五年与二零二六年新高考二卷客观压轴题进行一个对比。首先来看一下二零二六年二卷单选择题的一到三角函数,他说呢,尔法为第二象限角啊,并且呢是三倍的三幺二尔法。 cosine 尔法等于 八倍的三角法,乘以 cos 二二法。好,我们先用一个二倍角公式把它变形成为,因为呢,二法是第二象限角,所以三角法它一定是不等于零的,我们直接给它约掉了四倍的三角二方,然后就等于 call 三而法方,泰特尔法方呢,是等于四分之一,又因为它是一个第二项线段啊,所以呢,泰特尔法那等于负的二分之一是第二项线,那三样法是一个正,所以它就应该等于一比上一个根五。考三而法就等于负二比上一个根五,所以呢,这个一加上一个 三样法,比上一个二减去一比上二加上二比上一个根五, 所以它就等于二分之一,所以这个题应该是选 c, 所以 整个这个题呢,它通过我们的三角函数的二角公式就可以进行变形。然后是再加上尔法,它是第二象限角,所以我们会把三根 cos 算出来,然后从上带入。好,现在我们看一道二五年二卷的 a 单选系三角函数,已知尔法大于零,小于派,考三,二分之二法等于五分之根五,则 c 以尔法减去四分之派等于多少?那我们注意到了,这里有一个给的条件呢,是考森二分之尔法等于五分之根五,但我们的这个所求的这个角度里头,它是尔法,所以呢, 我们就用二倍角公式,因为尔法呢,它是大于零小派,二分之尔法,它就大于零,小于二分之派,那是一个锐角。那考森二分之尔法等于五分之根五,那么 c 以二分之尔法 就等于五分之二倍的根五,那所以呢, c 尔法就等于二倍的 c, 二分之尔法乘上一个考森二分之尔法等于二乘五分之二倍的根五,乘上一个五分之根五 于五分之四。那同样,我们用二倍角来求得 cos 尔法就应该等于二倍的 考三,二分之二的平方,然后减一,那么就等于二倍的五分之一,然后减去一,所以它就等于负的五分之三。好,那所以 c e r 法减去四分之 pi, 就 等于 c e r 法考三,四分之 pi 减去考塞尔法乘上一个三亿四分之二,那么就等于二分之根二,然后是五分之四,加上五分之三啊,就等于五分之七,那就等于十分之七倍的高,所以我们应该选 dog。 这是我们两道 啊,连续两年的三角函数的题型,我们可以进行一个简单的对比。二六年的这道三角函数呢,它 考察的是我们的二倍角公式的一个应用,再结合角度的象限,然后从二求出来 sine alpha 跟 cosine alpha, 然后代入 即可。那二五年的这道三角函数的题,同样也是单选择题,那么它也是用到了我们的二倍角公式,从而呢给出来的角度相应的取值范围,然后代入 求值。那么这两道题呢,都考察了我们的三角函数啊,恒等变换里面的二比较公式的一个简单应用。相应来说,他考察的这个内容,考察的知识点,命题的这个角度跟命题的这个难度的都相应变化不是很大。

同学们好,欢迎来到抖音高考百日百课,今天进入二零二五新高考二卷最后一篇。 d 篇原文一到四句, 扔掉食物,你的心会不会难受? mind does 我 会。作者的态度已经出来了,会难受。今天的考场核心方法,反问抓态度, 短句看回纸,一句话重要。 d 篇开头很重要,一句反问,先把 food waste 的 态度拉出来。 我已加入抖音抖音精选高考应援联盟,已经更新完成了二零二五新高考一卷的阅读原文题目精讲,单词句子代背。现在精讲二零二五新高考二卷的原文和题目,高考前会完成更新,目前已经进入第一篇。欢迎大家上抖音精选搜索高考应援联盟,追更我的高考百日百课。 今天我们是完成 d 篇的第一段,前四句以及暗含着第三十二题的答案。考场标题符号快速过一下,今天会用到,包括星号、主旨词、关键结论、方框逻辑、信号词、加号、褒义、正向、减号、贬义、副向等等。 今天这四句的结构很清楚,第一句是反问,引入 does your soul die。 第二句是作者表态 mind does。 第三句是解释感受来自哪里, the that feeling comes from growing up in south africa。 第四句是转入公共议题,比较正式, food waste is a growing concern。 注意,考场上我们看到第三十二题推断题不要乱猜,要从作者的成长背景和事实提醒往前推一步,注意不要过度推理。 今天原文一共四句,第一句话是说啊,如果你扔掉没用完的食物, 会不会难受?然后第二句作者说我会难受。第三句解释作者的成长背景,因为来自南非的成长背景,那里还有非洲孩子在挨饿,更向事实提醒。然后第四句,文章正式进入 food waste 食物浪费这样一个公共议题,成为更为关注的问题。 接下来我们进入全书。第一句, does your soul die a little every time, you throw away unused food 啊!每次你扔掉没用完的食物的时候,你的灵魂会不会也有一点点难受啊,是一种灵魂拷问啊。考场标记,我们首先 does, 这里是表示一个反问的引入非常重要,也是表达作者的观点。 every time 是 一种反复的情境, so die a little 这个是负向,那就表示作者的一个情绪是负向, throw away unused food 也是负向,表示一种浪费的行为。 那么这句话的作用是引出 food waste 食物浪费这样一个话题。通过反问 的形式,接下来我们用四步拆句法来拆解一下这个句子。首先第一步,切连接 every time, 我 们把它划出来引导时间状语。切开来看,分成两部分, does you so die a little 是 第一部分, 第二部分是 you throw away unused food every time。 第二,我们找动词,主句的动词是 does die, 主语是 your soul, 你 的灵魂会不会死掉啊?是这样的意思。那么呃,我们的时间状语部分的动词是 throw away 啊,扔掉的意思。我们先抓句子的主干, your soul die a little you throw away unused food。 第三句,我们把修饰语扩一下, a little 修饰的是 die every time 表示每当什么什么时候 unused food, unused 修饰的是 food。 第四步,我们把意思顺一下,就是把 every time 先翻,每一次你把这个时间状语是我们中文都是先翻时间啊。每一次你扔掉没有用完的食物的时候,你的灵魂会不会有一点点难受? die a little 有 一点点难受。接下来我们看考场的语法,快判 does 这个是个一般疑问句,这里是表示反问 every time 每当什么什么的时候, throw away 扔掉 unused food 没有用完或者是没有吃完的食物。 考场快办。看到问句,先判断作者在引用引入这个话题,这是很多 cd 片的一种引入的方法。看到 every time 要注意,要抓反复发生的情形,说明一个社会现象。 注意 so die a little 不是 字面的灵魂就死掉的意思,而是一种夸张的表达,表达内心的不舒服啊,良心不安啊,就是灵魂受到了一点点的拷问这个意思。 接下来我们再用逻辑猜词法来猜词。首先我们看到 so 这个词,我们看上下文说 die a little, 注意不是真正的死亡,而是在表达真正的感受。那么注意这里,这个 so 就 不能翻译成灵魂就有一点儿点儿 啊,不太符合文艺。我们如果把它翻译成内心良心或者心里感觉内心感受会更好。我们再来看 unused food 这个看构词就可以看出来, on 表否定 used 使用过的 unused 就是 没有用完的, 所以整句的意思就是说,每次扔掉没有用完的食物时,你的内心会不会有点难受或不安。作者用反问把读者拉进 food waste 食物浪费的这样的一个情绪现场。 我们再来看第二句,之前讲过,越短的句子越重要,这里 my 这个语法点, my 只带的是 my soul 啊,只带是名词,我的 啊,灵魂或者叫我的内心都可以回指的是 my soul。 强调一下,注意,我们在那个语法填空中也考过 my 啊,指代的是我的加名词,名词省略, does 是 代替的前一句的 does a little, 所以就是我,我的会就是指我的内心会有一点点难受。这个句子虽然短,但是作者情绪非常的强烈,直接告诉你作者自己的态度就是,是啊,是内心会难受的,如果出现食物浪费, 接下来我们来拆解一下这个句子, my does 啊,这里面看着一共就是两个词,但其实非常重要啊, 注意, my 就 约等于 my soul, 我 的内心 does 就 约等于前文的 does a little。 我 们一定要往前看,回指 顺意思就是我的会。什么叫我的会啊,就是直接回答前一句反问,就是,当你在啊扔掉没有吃完的食物的时候,你会难受吗?我会,就是在我是扔掉食物的时候,我的内心会难受。也就是表达了作者强烈的观点, 在考场上,我们要知道, my 只带的是 my soul, does 只带是前一句的 does a little。 那 么短句要回文去补全,这个非常重要, my does, 如果我们把它完全补全了,就约等于 my soul does a little, 我 的内心会有一些的难受。 注意,这句话虽然很短,越要回旨越要重点看他的情绪。 接下来我们看原文。第三句是一个长句, maybe that feeling comes from growing up in south africa, where the phrase there are children starving in africa was more of an uncomfortable reminder of fact than a prayer at dinner time。 注意啊,这里主要是讲的是这种感觉啊,也许是来自于我在南非长大的经历,在那里啊, 有一个有一句话是什么话,就是说非洲还有孩子在挨饿,那么这句话对于我来说啊,更像是一个令人不安的一个事实的提醒,而不只是晚餐前的一个祷告。注意, maybe 是 表示猜测,解释是非常的严谨, that feeling 是 指代的前文的回,指的前文的内心的难受,然后 comes from 是 来源来自啊, south africa 是 它的成长背景。 more of a than b。 重点看 a 就是 a 大 于 b 的 意思,考场上我们就直接用数学符号把它标出来就可以把,然后把 more than 两个也标出来。 uncomfortable reminder 是 令人不安的事实,提醒。注意,又是复项,这里也是作者强烈的 情感色彩。接下来我们来详细拆解一下这个长难句。首先我们要学会切连接,我们当看到 where 的 时候,这里又有两个这个逗号的时候,我们要注意 这里。 where 后面引导的是一个定语,从句修饰的是 south africa 就是 在南非发生的事情。然后后面一句我们会发现有一个非常明显的 more than, 我 们要在考场上把 more than 画出来,然后再把猫在比较的对象比较出来,第一个是 reminder, 第二是 prayer, 因此就是 reminder 大 于 prayer 啊,所以就是我们直接就把这个给找出来了。接下来我们来看一下我们切开看的话,整个是分成,第一个是这个在南非长大, 第二个是有一句南非的话,第三个是 reminder 大 于 prayer, 这样的一个比较,我们的句子啊就抓出来了。第二步,我们找动词, 主句的动词是 comes from 来自于来源于 where, 这个从句的动词是 was starving, 就是 说正在挨饿的意思。注意,我们要抓这个主干,就是 that feeling comes from growing up in south africa 啊。然后再一个主句就是 the phrase, there are children 啊, starving in africa 或者 the phrase was more of a reminder than a prayer 啊,要把这个 reminder 大 于 prayer 这个给它找出来。 接下来我们来看我们的修饰语。首先 that feeling 指的是前文扔食物的时候的感受, maybe 是 表示推断 growing up in south africa 是 这个来源,是当时是在南非长大。 wear 修饰的是 south africa, uncomfortable 修饰的是 reminder 是 一个令人不安的事实提醒。那么 of fact 事实啊,也是 修饰这个 reminder, 然后 at dinner time 指的是这个 prayer, 就是 整个意思。顺下来就是,也许这种感觉来自于我在南非成长 长大的经历。在南非呢?在那里呢?这里补上,在南非呢,有一句话就是非洲的孩子还在挨饿, 那么在晚餐的时候呢,这句话呀,更像是一个令人不安的事实提醒,而不只是饭前祷告,也就是事实提醒大于饭前祷告。 接下来我们来看这句的语法,点 come from 来自 where, 引导的是时间定语,呃,地点定语。从句, more of a 等于就是说与其说是 b, 不 如说是 a more of a than b, 也就是 a 大 于 b 的 意思,所以重点强调的是 a, 所以 大家一定要把这个比较级化出来。 there are children starving 这个是 there be 的 句型, there be 的 句型大家一定不要在写作文的时候写错 啊,注意在考场上看到 mayb, 要知道这个是猜测,可能这是作者在解释个人感受的来源。看到 where 要后面是要补南非这个成长背景,看到 mollifield 赞 b, 重点是看 a, 这个是最重要的语法点啊,大家一定要记住, that feeling 是 回指前文,指的是扔食物时的这样的内心难受的一种感觉。 more of uncomfortable reminder than a prayer 就是 意思,就是更像令人不安的事实提醒,而不是祷告。 那么在逻辑猜词,我们来看一下。首先这个 starving 看上下文, children starving africa, 所以 不是普通的饿了,而是严重挨饿,所以合理补词,补词成这个饥荒饥饿啊,这个在前几年的专题里面都考过。 uncomfortable reminder, 注意 comfortable 是 舒服的,那前面加 u n 否定前缀。 uncomfortable, 不 舒服的 remind 是 提醒的, remind 就是 提醒的东西,因此这两个词合理补起来就是令人不安的提醒。 prayer, 因为看的是 dinner time, 那 pray 这个词是祷告的意思,那 prayer 就是 也是,就是说祷告的意思。因此这里重点说的 注意, more of a than b, more of reminder than prayer。 所以 重点不是祈祷,不是祷告,而是事实提醒。 作者的原始观点是什么呢?变成中文的意思就是说作者对浪费食物很敏感,有一个很强的情感的附向色彩,这是和作者早年接触食物短缺的事实有关,那么这也是暗含了第三 十二题的推断线索。第三十二题问, what can be infer about the author's early life 啊,能推断作者早年生活中的什么事情?原文的关键信息是, growing up in south africa 在 南非长大。 there are children starving africa 在 南非还有孩子们在挨饿。 uncomfortable reminder fact。 这是一个啊,令人不安的事实的提醒。 那么因此呢,考场推断我们就是从原文的事实往前推断一步。这也就是说,作者在早年的生活中见证了或深知了食物的短缺问题。因此正确答案就是, he witnesses he witnessed food shortage, 它见证了食物短缺的问题。注意,推断题不是脑补,而是原文事实加合理的一小步。以上就是对原文的三个事实的一个合理的小步推断。 接下来我们来看文章的第四句, food waste is a growing concern in the restaurant, supermarket and supply chain industries 啊,这一些经常考啊,像 supply chain 什么?这些经常考,那么我们要注意啊 啊!食物浪费正在成为这些行业中越来越受关注的问题。 concern 注意是关注的问题,那么考场上我们要注意, food waste 是 第一篇的主题词, 那么我们说过高频词,或者说我们的复现词以及权威啊,重点词就是我们的主题词,我们要重视 green concern 意思是越来越受到关注,那么有一个向上发展的关系,我们可以画一个向上的箭头。 restaurant, supermarket, supply chain industries 这些是并列的范围,那么它相当于是从原来作者在南非成长的个人感受经历来拓展到转入了公共议题,就是一个社会现象。 那么我们来用四部拆句法来拆解一下这个句子。第一步,我们找动词,核心动词就是 is, 主语是 food waste 食物浪费,所以句子主干是 food waste, is a concern food waste 是 一个担忧。那什么样的一个担忧呢? 啊?或者什么样的一个议题呢?一个问题呢?那么就是一个 growing 的, growing 修饰的是 concern, 然后 in the restaurant, supermarket and supply chain industries, 这里是表示的是范围。那我们把这句话的意思顺一下,就是食物浪费正在成为一个越来越受关注的议题,是在哪里呢?食物浪费正在成为 餐饮业、超市和供应链行业中越来越受到关注的问题。那么这句话的逻辑关系是什么呢?前面讲的是作者的感受,前三句这里正是转到社会,公共问题成为了一个社会关注的 重点现象。考场上我们看到 food waste 等于食物浪费, a green concern 是 越来越令人担忧的问题。我们不一定写作文时必须写 more and more, 我 们可以写 growing rest of supermarket and supply chain industry 是 并列范围。注意, industry 不是 工业,是行业的意思啊。考场上我们看到 green concern 就 知道公共议题出现了,从个人感受转入到了这个社会问题。 注意, concern 这里不是关心,而是令人担忧的问题。这也是作名词啊,也不是担忧,也不是关心,而是令人担忧的问题,约等于 issue。 那 么接下来我们讲完了四个句子之后,我们把 d 篇开头怎么推进的断逻辑关系,快速地串一下。首先第一句是反问,引入 does you so die, 你 就是有没有一点这个心里的难受啊?第二就是作者表态 my does, 我 会啊,难受。 第三句解释来源,因为作者 growing up in south africa, 然后在南非啊,经历了这个饥饿。第四句是转入公共议题,从作者个人感受转入 food waste growing concern 是 一个越来越受到关注的社会问题。 整条逻辑就是反问,引入到作者表态,到背景,解释到公共议题。一句话总结。第篇开头啊,作者是用个人情绪把 food waste 这个社会议题推出来了。 那么今天的方法呢?注意有这么六个方法一,一是反问句,不是闲聊,要读出作者的态度。第二, my does 这种短句要回原文,补全就是指我的 内心呢,会有一些难受。补全了之后。第三, maybe comes from 是 一种原因的解释,是来源于什么? 第四, more of a than b, 这个是非常重要,这是重点看 a 啊, a 是 大于 b 的。 第五, food waste is a growing concern。 这个是主题的转入句,是成为社会公共议题。第六,推断题啊,要从事实往前推一小步,不要太脑补,不要往前走太多步啊。 今天最重要的是反问句抓态度,背景句抓推断,主题句抓方向。 接下来我们来讲一下今天的单词,今天单词很重要, so 是 灵魂或者是内心的意思啊,可以有内心感受的意思。 throw away 是 扔掉丢弃的意思,在环保浪费类是文章,是高频词啊,之前在一卷也考过,和 food 是 连用的啊。 unused use 是 使用, unused 是 没有使用的啊。考场上我们可以快速猜词。 phrase 注意是短语的意思,这个记一下啊。 starve 是 挨饿,饥饿,注意 starvation 它的名词也考过啊,是饥荒。约等于 hungry uncomfortable, 注意, comfortable 是 舒服的, uncomfortable 是 不舒服的,令人不安的啊。约等于 uneasy reminder, 注意, remind 是 这个提醒,那或者啊,是这个,这个 reminder 是 提醒物的意思啊,也可以是提醒的意思。那么 prayer 是 祈祷祷告, pray 是 动词, food waste 是 食物浪费的意思。 concern 非常重要,有担忧关注的问题,那么还有涉及关系到啊,意思就是比较多啊。担忧关心问题,涉及关系到 supply chain, supply 供应, chain 是 链条的意思,合起来就是供应链 industry, 这里是产业的意思。 supply chain industry 是 供应链产业啊,注意, industry 有 行业,产业的意思。再次强调,不只是表示工业,在我们的阅读里往往是产业的意思 啊。今天我们要重视 throw away, unused, phrase, starve 啊, uncomfortable, reminder, food waste, 尤其是 concern 和 supply chain industry 非常重要啊。再重复一下, concern 担忧问题, industry 行业, throw away, food, 食物浪费 reminder 提醒勿提醒。 今天的四句话的口译呢?我们要注意,第一句是一个反问的引入,要口译出来,第二句是要补全啊,我的内心会难受。第三句注意是作者成长经历要翻译出来,而且是一个 那个 more of a 占 b 的 关系,是 a 大 于 b 的 关系。第四句要把这个公共议题,这个食物浪费这个议题翻译出来。 今天呢,我们核心收获是问句,是引入态度, mind does 是 作者表态, that feeling 是 回指前文的一种难受的感觉。 south africa 是 成长背景, more of a 占 b。 重点看 a, a 大 于 b。 green concern 是 公共议题的出现。记住, d 篇开头是用作者的引情绪啊,引出 food waste 这个公共议题 啊。同学们如果对方法不掌握,也可以去我的主页看方法合集,或者去看一卷和二卷的做题方法。 同学们跟着我每天刷真题,拆句子,背单词,搞方法,关注我,一起稳不扎实提升,明天见!

这个细心高考爱检的两个数学题,一个来自二零二六年真题,一个来自二零二五年的真题。如果你有细心研究过考卷,就会发现两个题非常相似,具体相似在哪里呢?大家先看看题目,相信聪明的朋友已经看出来了, 都是题目条件给的非常直白,需要套用公式。上面的题考点是立体几何,需要的是棱台体积公式。下面这个是解三角形,题目条件给的都非常直白,需要的是计算能力。大家觉得明年高考爱卷还会有这种题吗?

今天距离二零二六年的高考还有五天的时间,结合新高考二卷命题轮动规律,今天我大胆预测一下二零二六年新高考二卷解答题的出题顺序。 前两道大题大胆预测概率统计以及数列。在二零二五年的新高考二卷当中,概率统计作为压轴题的形式进行考察。按照命题的轮动规律,今年他百分之一百不可能将概率统计放在压轴题进行考察了, 那它只能放在前三道解答题当中进行考察,而第三道解答题固定为例题几何,所以它只能放在前两道。而另一道大题数列, 在二零二五年新高考二卷以及二零二四年新高考二卷当中,数列它都没有单独的出大题进行考察,而是把它放在压轴题进行融合形式考察。 三角函数已经连续两年出大题进行考察了,所以今年大概率他会替换掉三角函数的位置,那么放在哪呢?也放在解答题的前两道当中。第三道大题固定的例题几何, 第一问几何证明,第二问间隙算,二面角算距离,模板清晰,套路稳定,基础扎实,那基本上是零丢分。 第四题,解析几何,标准的小压轴题,计算量大,步骤繁琐,易错点极多,普通人啊,拿步骤分高手,充满分,区分度那是相当的明显。最后一道压轴题倒数回归 去年啊,概率统计作为压轴题,融合数列进行考察。前年解析几何作为压轴题融合数列进行考察,而今年大概率根据命题轮换, 该轮到导数回归压轴题了,而他会融合哪一道题目进行考察呢?大概率就是没有单独出题的三角函数进行考察,导数融合三角函数进行考察。 还有一个非常重要的预测原因是因为细心的同学可能会发现,新高考二卷的大题出题顺序 极大程度的效仿了前一年新高考一卷大题的出题顺序。比如说二零二五年的新高考二卷的大题顺序和二四年的新高考一卷大题顺序完全一样。 所以我也大胆预测,今年的新高考二卷大题出题顺序可能会极大程度的效仿去年新高考一卷的大题出题顺序,这与我刚刚预测的结果完全一致。 当然,今年的难度相比,二五年的新高考二卷难度一定会略有提升,我相信刷到二五年真题卷的同学应该都知道,不能比这个难度更低了。 最后,也祝愿各位考生能够在二零二六年高考考出自己理想满意的成绩,加油吧!


熟悉新高考的同学应该都知道,去年,也就是二零二五年新高考二字儿的最后一道大题,最后一个问, 我们正常的方法是采用一个做查,然后勾当熟练的方式,最后的算得一个查熟练。然后当时有同学问我说,老师,这个东西我们能不能直接去求 pm 的 通项?好,老师就在这里告诉你,非常的简单,非常的可以。 好的,那我们就开始做的第一步啊,首先我们要改变一下奇数的规则,也就是说假胜利一场我们认为是一个假乙 乙胜利一场是一个减一,我们采用这样一个全新的计数方式来代替之前呢?呃,计算生负的方式,那么接下来怎么走?我们考虑一个函数。 对,在这里会用到一个很神奇的所谓生成函数的技巧。我们认为做一个 g x 等于 p x 加上 q 的 x 的 负一次密,这个东西是什么意义啊?我们认为 x 头上的次密 代表了什么?是不是代表了这是阳一叉,正一代表着以丢一分, 那么 p 是 假赢你叉的概率, q 是 赢你叉的概率。也就是说我们可以用这个式子来表示出什么,来表示出打一叉,此时此刻他都这样一个,我们可以说是类似于一个概率分布。 那么好了,问题也就来了,我们可以考虑一个新的东西,说打 n 场之后是不是也不是 g s 的 n 次密等于这个东西的 n 次密?为什么?因为每一场之点显然是相互独立的。好,这是我们这道题的第一个部分, 接下来各位同学可以观察一下这个式子,显然我们可以直接利用二增式定力法来展开,也不是说等于,这里是一个求和, k 等于零,从零开始求到 n, 应该是 p 了 k 次幂,然后 p 入的 n 减 k 次幂,然后当然我们认为海克斯应该是二 k 减 n 次幂应该是这样子的一个东西。那么好说,老师,我们 做成了这个东西有什么用呢?很简单,我们认为说 i 格斯的 i 死米代表着什么?应当是总共打了 n 场之后,呃,我们刚来的这种记,在这个记分模式下,呃,一共得了 i 分 等 这样一个事件,而泰格斯 i 前门的系数则代表了发生这件事的概率。 那么接下来我们就可以开始算 p n, 根据定义, p n 应该是打完了 n 场球之后,假比以赢的次数大于等于二这样的概率, 那么发一场我们的积分系统,也就是说 x 四头上的这个二 k 减 n 四密大于等于二,然后我们把 x 丢掉,只提取出前面所有每一项的系数之和,也就是说 p n 是 一个等于什么呢?习得满 k 迎待时 啊二 k 减 n 大 于等于二,然后一直加到 n 向 p k 处的 n 减 k, 我 们把它简单的化简下来,就是,哦,从 k 等于啊二分之 n 加大向上取正, 然后一直加到 n 项 pk 输入的 n 减 case 里,也就是这个东西就是我们想要求的 t n 的 通项。本期就结束。

同学们好,在考场上我们怎么快速排除错误选项,今天教给大家错误选项怎么骗你,主要有五 种特点,第一种是原词复现,第二种是偷换概念,第三种是只对一半,第四种是方向相反,第五种是无中生有。记住,不要被错误选项骗掉,不要被带跑,要排除掉错误选项, 那么今天的核心是错误选项,排掉正确选项就会更清楚。很多题大家不是没有读懂,而是被很像原文的选项给骗了,因此我们要重视做题顺序,第一步,先看题干,问什么看题眼。 第二步,回原文去找依据,去找定位句。第三步,直接找同一替换,我们在看到了题干,然后回原文去定位,完了之后,如果回到选项,我们能马上找到同一替换的选项,那么我们就直接选它其他的选项。错误选项我们只要稍微的看一下就可以。 但是在现实中往往出现这样的情况,回原文看到了原文的定位句,但是有很多题目我们还是不会马上找出来同一替换。那么在这种情况下,我们在同一替换看不出来的情况下,就要先排掉明显错误的选项,再对比剩下的选项,选出正确的选项。 因此注意,我们在选正确选项的时候,不是找看起来像的,而是找原文能支撑的。 那么我们把错误选项常见的五种选项在这里总结一下,看到这些就要先警觉起来。第一种是原词复现,看到原文词就想选,这是不可以的。 第二种是偷换概念啊,词是跟原文差不多,但是意思换了也不行。第三种是只对一半,局部对,整体不对,那只有一半对的情况下,它也不算对,所以不选。 第四种是方向相反态度,结果趋势反了,趋势上升说成下降,态度是正向说成负向 啊,结果是好的,说成不好,这些都不对,无中生有,是原文根本就没有说。所以在考场上,我们要先给错误选项贴标签,这样我们能够更容易把错误选项给排掉。 首先我们来看第一大陷阱,原词复现。注意,原词出现不等于答案出现错误的做法是,选项中出现原文字就觉得肯定对, 正确的动作是,不要只看词,继续看他有没有回答题干对象是不是正确啊,有没有把范围扩大或者缩小啊,然后他的关系是不是正确呀,有没有被换掉啊?考场上要注意,原文相关或者是原词 不等于一定回答了题干啊,也不等于这个对象范围关系都正确。 我们来看一个真题的例子,像原文,但不一定是目的。题干问, why did blue hill carry out the experiment blue hill 餐厅为什么要做这个实验?这里问的是目的,为什么要做?我们回到原文, each day was tailor made to raise awareness, regarding food waste 啊,每一道菜啊,都是定制化的啊,是为了提升对于食物浪费的意识。注意,看到 to do 就 知道表目的,因此 to res awareness 提升啊,这个对于食物浪费的意识,才是我们最终的目的。 那么有一个陷阱,像是 to customize dishes for guests, 就是 为客人定制菜品。乍一看上去啊,这跟 tailor made 的 做法是一致的,就是说都是定制化,但是这里只是做法,而不是目的。 我们题干真正问的是目的,不是做法,所以这个选项是错误的,大家要注意, 那么我们要注意陷阱。二是偷换。概念词差不多,但是题眼变了,常见偷换,包括以刚才那个提问为例,考的是目的 why, 但是它用做法去偷换了。 有的题考的是原因,结果用结果来替换,这就是因果倒置。有的题考的是这个结论,但是用例子来替换例子不能代表结论。有的题考的是权威主旨,但是用局部细节来替换, 这些都不对。我们判断的方法是把选项带回题干,如果答非所问,即使有原文字也要拍掉。注意先看他答的是不是同一个问题。 我们来看例子本身,不是答案。这个题啊,题干, what does the trinidad try to explain by mentioning doctors and lawyers。 就是这个人通过提到医生和律师的例子是要解释什么。原文的逻辑是, doctors, practice, medicine, lawyers, practice, law 到 allow yourself the practice 啊。最容易的错的方法就是说把医生和律师这样的例子当成答案,指定了 doctors 和 lawyers, 这是不对的,是把一例子本身当成了答案。注意,原文说的是医生啊,那个行医律师职业, 那么也就是医生直行医需要练习,律师职业也需要练习 allow yourself to practice。 你 自己要种植植物的时候也是需要练习的,因此正确的落点是让你自己也要不断地练习,也就是 the importance of repeated efforts, 就是 重复努力的重要性。重点是在 practice 强调反复练习和持续努力的重要性,而不是强调医生和律师。接下来我们来看第三个陷阱是,只对一半, 局部对不等于整体对。这种选项虽容易犹豫,它和原文有关,但只抓住了一小部分。我们排除错误的标准是,题目问整体,选项只说细节,我们要排掉。题目问主旨,选项只说例子,我们要排掉。 题目问段落,选项只抓一句,我们要排掉。再强调一遍,整体的时候不能呃,回答细节主旨的时候不能回答例子,段落的时候不能只抓一句。考场上我们注意要看选项能不能覆盖题干的要求。 那么我们来看 d 篇的第三十四题的例子。我们要注意段落主旨题不能只抓一个细节题干问, what is paragraph five mainly about? 第五段主要讲什么?第五段的共同对象包括, ingredients, 配料 meat cuts 啊,肉类的部位, produce 啊,这个农产品啊, kale ribs 啊,就是这个雨衣甘蓝的这个部分 啊,这个 fish 啊, collars 啊,就是我们的这个鱼颈肉,鱼呃鱼呃鱼干蓝的梗,鱼颈肉, sweet potato 啊,淘汰的一些红薯啊,还有一些呃后面的 cucumber, 这些黄瓜等等。因此这些都是讲的是配料或者食材。 也就是说正确选项是啊, what the dishes were made of? 整段的对象都是在讲食材看整段的共同对象,也就是说这些菜是由什么所制成的。错误选项容易指抓, why ingredients were used? which dishes were best liked? where ingredients were bought 啊,那文章中根本就没有讲这些食材是哪里买的啊,人们最喜欢哪种食材,根本就没有讲 啊这样的事情啊,因此呢,就是啊,权威啊。这这段主要的就是想菜品是由什么做成的,我们要把这些错误选项的细节类的选项把它排掉。 我们再来看第四个陷阱,方向相反,也就是态度,结果趋势反了,方向相反,通常可以直接排。如果原文是正面的,选项是负面的,就排掉。原文是结束选项就是继续也要排掉。原文说恢复选项说重新流行也要排掉。 重点看态度词,正向副向转折词啊,那个转折啊,那个让步啊,还有就是对比比较相反关系结果词以及时间词。考场上我们要先判断圆的方向,再看选项有没有反着说 啊。以 d 篇的第三十五题为例, enthusiastic 不 等于 criticized 的, 一个是正向,一个是负向。原文说 though wasted received enthusiastic reviews 是 这个 wasted 项目,尽管这个项目收到了这个啊热烈的啊反响,也就是啊,广受好评的意思。正向错误选项, it criticized by top chef, 它受到顶级厨师的批评,根本就没有说批评。原文是正向 crit uh enthusiastic reviews 是 积极评价, criticize 是 批评,方向是相反的,所以排错关键词是态度方向,大家考前一定要把这些态度词再回去复习 一下。第五个陷阱,我们要注意是无中生有,就是有些选项听起来很合理,但不等于说原文说了阅读理解不是考常识, 而是问原文有没有依据,大家一定不要靠常识去选它,不要给自己内心加细,常见的加细就是增加新结果,新人物、新时间、新因果和新评价。这个在读物虚写里大家也不要这样做,不要盲目的去加细。 考场的动作是问一句原文,哪一句支持它,找不到就排掉。 我们来看第三十五题的例子,没有依据的就直接排。原文是, it was designed from the start as a short lived experiment。 从一开始就被设计成是一个短期的实验。 blue hill has since returned to its regular menu。 blue hill 餐厅呢?从那儿之后就恢复到了常规的菜单,正确答案是, it has ended as planned。 实验就是按照计划所结束,因为它是一个短期的,并且恢复了长期菜单。错误选项, it is creating new jobs。 他创造了新的工作岗位,完全没有说无中生有,不要根据常识去判断, it has regained popularity。 他 重新获得了人气。原文根本就没有讲,所以就是原文没有依据,再合理的,再常识的,我们也不选无中生有。大家一定要注意是考试中的常出现的错误选项。 那么接下来我们再来回顾一下,考场上排错四步走三十秒,先删错向。第一步,圈题眼,问事实原因,目的阻止还是推断,也就是判断这是个什么题型。第二步,回原文, 根据题眼题干里面的重点词去原文找定位句,而不要靠印象 啊,然后给选。第三步,给选项贴标签啊,这个是原词复现?还是通换概念?还是只对一半还是方向,相反还是无中生有?一旦看到这些 啊,错误我们就直接排掉,相当于把碎错误的答案直接排掉,那么到最后可能是剩下二选一的对比,要注意在进行啊!两个碎相正确答案的选项的对比中,我们要注意看谁碎贴题干,谁更贴原文逻辑,要找碎能被原文支撑的,而不是要找凭感觉碎相的。 最后我们再给大家一个五官检查,看选项能不能过着五官。第一要看选项有没有原文依据,第二看选项有没有回答题干,第三看对象有没有换啊, 第四看范围有没有被扩大或缩小啊,第五看方向有没有相反。注意,五官过不了的就先要排掉是错误选项。 那么今天我们的总结就是,错误选项到底怎么骗你啊!一共有五个特点,元词副线。不要急着选,突患概念要看题眼,也就是题干只对一半,要看整体方向相反要直接排,无中生有要找依据不要选。常识, 考场上要记住,别被错误选项骗,要排掉错误选项啊!同学们如果对做题方法感兴趣的,也可以去我的主页看我的方法合集,或者看我二零二五新高考一卷和二卷的这个题目类的方法讲解。 同学们每天跟着我刷阅读,拆句子、背单词、搞方法,关注我,一起稳不扎实提升,明天见!

有些同学做题先戏精上线,考完去清华还是北大好呢。醒醒,这题就是算平均值总和除以分数,几步算完果断选 c 收工。

新高考二卷的地区该怎么备考?二零二五年新高考二卷传递出的明确的改革信号, 它的命题导向和考察重点对今后的数学学习有非常重要的指导意义。结合最新的考情,我们来分析一下今年以及往后的新高考二卷我们该怎么备考。 第一点就是选择切合高考趋势的模拟题,不要去刷偏题、怪题。高考前,尤其是三轮复习阶段,有些学校的题真的是特别特别难, 而且这些题他真的是一般人,你不看答案做不出来,对学生来说就是消耗精力,而且没有任何意义。这样的题难度一看就不对,有一些题一看他就不是高考的方向。还一周啊,学校安排三四套卷,整的很多同学都没有信心了。 今天考前老规矩,我们每周会选一套符合高考命题规律的模拟题啊,符合高考难度的模拟题,让孩子及时去练一下,让孩子去做,练完之后呢,让孩子去整理自己这套题出来的错题,再针对这个进行改错。 第二点就是真题要深度研究,结合近五年的真题,梳理高考命题,梳理命题规律。 第三点就是数学计算要精准,计算失误,容错空间进一步被压缩了,不允许有失误,失误的话你考试就考不了高分。 第二,基础题要精准训练,尤其要限时训练,这个是很重要的,你的做题速度也好,你的准确率也好,这才是得分的关键。 第五个要模块综合训练,比如说概率加导、数元曲加向量,打破章节之间的这种壁垒,培养知识的迁移能力。 最后一个就是错题的分析和归音复盘错误的问题是什么呢?一定要把它整理归类。原因是什么?你是因为逻辑有漏洞,还是概念模糊,还是计算失误,结合你的错误问题,高频错误的点进行一个专项的训练。