高考数学压轴题解析

今天呢，我给同学们解析一下二零二三年全国已卷二十一题，倒数压轴题啊，我给同学们详细解析一下啊，特别是第二问和第三问 啊。第一问呢，我提示一下啊，已知函数 f x 等于 x 分之一加 a 啊，乘上以 e 为底，一加 x 对数。第一问呢，求 a 的负一时，求曲线 fx， 再 点一 f 一处的七线方程，那么这个在呢说明啊，这点呢，就是起点，根据导数的几个意义呢？我们求 f 来导数，然后呢，把起点的横坐标一带入，导完数， 得到切线的斜率，然后呢，再求出 f e， 我们就得到了切 缺点，坐标啊，缺点呢，坐标得到以后，根据斜率，我们就可以写出啊，这个七项方程。这个七项方程啊，他最后的结果呢，应该就是 以一为底二的对数乘上 x 啊，这是 x 的系数啊，然后再加上 y， 再减去以一为底二的对数等于零。这个第一问呢，我相信啊，同学们基本都没啥大问题， 我们现在看一下这个第二问啊，是否存在 a b 实得曲线 y 等于 f x 分之一，关于直线 x 等于 b 对称，若存在，求 a b 的值，若不存在，说明 a 幺。我们看一下，这是第二问啊，第二问呢，他说呀， 如果存在，求出 a 和 b 的值，如果不存在呢，说明理由，那你猜想一下，你说存在还是不存在啊，那么存在的可能性应该很大， 我们假定他存在这样的 a 和 b 啊，使得 f x 分之一啊，关于直线 x 等于 b 对称的话，那么我们就得到啥呢？得到， 我们首先先把这个 f x 分之一写出来，然后呢，我们把 f x 分之一，另乘 g x， 那么他就应该等于 x 加上 a， 在乘上 e 加上 x 和 b 啊，这就是 f x 和 b。 那么假如说这个 j x 啊， 这个函数如果存在这样的 a 和 b， 使得它关于直线 x 等于 b 对称，那也就是说我们就应该有 j b 加 x 等于 j， b 减去 x 横乘立。这里的横乘立啊，指的是无论 x 取和值，他们都是成立的。为了强调横乘立，我们有的时候把这个档变成三横啊，表示横乘立的意思， 那么我们就看有没有这样的 a 和 b， 实得这两个式的横成力呢？就是这样一个问题，那么我们看这 b 加 x 等于啥呢？也就是说 我们把这个 x 换成 b 加 x， 那就得到 a 加 b 加上 x， 在乘上以 e 为底， b 加上 b 加 x 分之一， 是不是有它和 b 减 x， j b 减 x， j b 减 x， 那就是把这个 b 减 x 这里换成 x， 那就是 a 加 b 减乘上一，加上 b 减 x 分之一，是不是有这两个式子恒成力的问题。 那么这里啊，呃，同学们需要注意，横成立是横等，相对的成立呢，叫相等，这个等呢有横等和相等，你比如说 a 加 b 等于 b 加 a， 这就是横等， 一加 x 等于二，那么这个就是相等，那么这个呢，意思是指横等意思。如果要是横等的话，那就说左右这两个式子应该是形式是完全相同啊，实际上就是一个式子。那么如果是这样的话呢，那就是说对应 项的系数应该完全相同，那么这里我们看一看这个项的系数是不是可以完全相同的？这里我们看这个 x 系数是一，这个 x 系数是负一， 所以说这个他俩肯定就是不相同，因为这里啊是一个对数式，这两个对数式应该完全相同，那么这里呢，我们可以把它稍加改变一下，那就是把这个 x 系数变成正的，那么这很容易。把负一放到这里来，那我们就得到 负， a 减 b 再加上 x， 把负一放到这里来，那我们就得到了啊。 呃，得到什么呢？上面就是 b 减 x， 下面就是 b 减 x 再加上一啊，实际上就是 他，那对吧？把它通分以后呢，是 b 减 x 分之， b 减 x 加一，然后一倒过来之后就是啥把负一放在这， 那么这个式子和这个式子应该是相等，那我们就得到 a 加 b 加上 x， 在秤上，我们也把它给通下分，那就是 b 加 x 分之， b 加 x 再加上一，就变成他了。 那么这个时候我们看一下，如果要是横等的话，左右这两个式子完全相同，这里呢， x 的系数全是一相同了，如果呢，让他横等的话，那么这个式子和这个式子这个完全相同， 那也就是说 a 加 b 是左边的这个长数项，右边的长数项是负的， a 加 b， 那就说应该他俩应该相等，对吧？也就是说 a 加 b 得一元， g a 加 b 得一元， 同时呢，这两个式子也得完全相同，也就是说 b 加上 x 加上一，比上 b 加上 x 等于 b 减 x， 比上 b 减 x 加一，而且这是横等， 那我们看他横等的条件是什么呢？我们把它整理一下，那就是 b 方减去 x 方，他俩相乘，等于他俩相乘，对吧？那就是 b 加一 的平方减去 x 方，那么对应项的系数相等，那么这个是完全相同，只要让 b 加一的平方等于 b 方就就可以了。 g b 方等于 b 加一的平方，那就是等于 b 方加二， b 再加一，所以说呢， b 就等于负二分之一，然后根据 a 加 b 等于零，我们就得到 a 等于 正二分之一。所以说呀，他存在不存在这样的 a 和 b 呢？ a 得二分之一， b 得负二分之一的时候，那么这个式子就合成力，也就是说 j x 呢？他恰 是关于 x 等于 b 对称，那么经过验证啊，经检验 是成立的。所以说，第二问啊，存在不存在这样的 a、 o b 呢？是存在的，那么结果呢？这个应该啥呢？应该是 a 等于二分之一， b 等于负二分之一。 因此啊，第二问呢，应该说也不难， 我们就这样解析就可以了。我们再看一下第三问，我们看他的第三问。若 f x 在零到正屋群 这个区间上存在极值，求 a 的取值范围，也就是说这个 fs 导函数在零到周琼这个区间上有变号零点，等下他 等于负 x 方分之一。起完早 姜， 你说等价于这个导函数在 零到正无穷这个区间上有变号零点。 我们把这个式子整理一下，也就说他等于零这个方程有根，也就是这个方程， 我们两边乘 x 方啊，把它变成方程，那就是变成了，减去一加上 a x 再乘 他等于零，他等于零啊，有有根，这个根不能是重根啊，那么 我们立这个函数为 j x， 也就是说它有有变化零点 就可以了。我们只要考察呀，这个函数有在零到真无穷这个区间上有变号，零点就可以了， 对吧？是不是这个意思？我为什么两边乘 x 方呢？我把这个对数式给他孤立出来，这样呢，便于求导。我是这样想，我没有两边乘，一加 x， 我变成他，变成他之后呢，他有变号，零点就可以。那么我们对这个函数的增减性进行考虑， 因此我们要求下他的导函数， 它的导函数啊，那就是一加上 x 的平方上的导数应该是一加上二 a x 乘上一加上 x， 减去分母的倒数是一， 贴上它，然后呢，我们把它充分整理一下， 公分母是它，然后一加 x 提出来，那就是负二， ax 乘一加 x， 然后这应该是加 x 乘上一加上 a x， 然后我们再整理一下， 把这个 x 提出，剩下的是多少呢？应该是负 a x 加上一，再减去二 a 啊。电灯塔这里 需要注意， x 是大于零，我们在这个范围内考虑就可以了。那么 x 要大于零的话呢？这个都是正的啊，我们只要考虑这个式子就可以了。那么这个式子何时等于零？ 考虑他的零点，我们要考虑这个小挂号内的零点核实，在这个区间内核实不在这个区间内。我们进行这样的讨论， 那么我们分几种情况圈，一，我们要想求他的零点，那两边就需要除以 a， 这里 a 呢，不能单引零，因此我们先看 a 单引零的时候， a 等于零时， g p x 等于 g m， 导数等于 x， 分 x 除以一加 x 平方 显然大于零，说明 j x 单调递增。又因为 j 零等于把零带入，正好等于零，所以说 j x， 就当 a 等于零的时候， j x 横大于零，因此它没有零点，是吧？所以说 j x 大于零横成立， 所以说呢， g x 没有零点，此时没有零点，因此啊， a 等于零，应该不合体，是吧？ 我们为什么对 a 呢？也能讨论呢？因为你要求这个零点嘛，对不对？你两边不得需要除以 a 吗？所以说我们对 a 进行讨论，那么如果 a 要是不等于零的话， a 不等于零呢？我们看它等于零时，也就是 j x 保完数的零点，我们就可以求出 x 等于 a 分之一点二 a。 然后呢，我们再考虑啊，这个零点核实在这个区间内，核实不在这个区间内，对吧？我们再往下考虑，那就是第二种 情况，如果这个零点要是小于等于零，对吧？当， 当它小于等于零的时候呢，我们解一下这个不等式，我们就得到 a 应该是小于零或 a 大于等于二分之一，对吧？我们再看当 a 小于零和 a 大于等于二分之一时的情况，我们再接着，我们先看 如果 a 小于零，若 a 小于零， a 小于零的话呢， 那么我们可以很容易得到这个导函数也是大于零合成率，对吧？ a 小零的时候， x 大于零嘛，这都是正的。那么这个时候呢， 和 a 等于零时的情况应该是一致，所以说呢，也不合体。 因为这个时候 g s 大一点， g s 导出大一点， g s 递增 g s 呢，横为正，所以说也不合体。若 a 大于等于二分之一的时候呢？若 a 大于等于二分之一的话，我们可以 得到这个式子应该是小于零横成立。括号对的式子应该是小于零横成立，对吧？能看出来吧？那也就是说 j x 是小于零， 实际上呢，我们可以借助于图像，对吧？我们这个不用考虑，只要考虑他如果当一个大的二分之一的话，他是单调递减， 那么单调地点的话呢？那么在这两种情况呢？他的零点呢？这个的零点呢？都不在零到正无穷这个范围内，所以说这个是小于零，对吧？大于大于等于二分之一，说他是小于零，那么他要是小于零的话呢？ 那么我们就得又因为呢？又因为呃 g s g s 保数小零，那所以说呢，我们就得到啥？得到 g x 是单调递减，又因为 j 零等于零，所以说 j x， 那就应该是怎么呢？ j s 就应该是小于 这一点小一点，因此啊，在这种情况之下，他也是没有零点，也是不符合提议的。 说 a 小于零和 a 小于等于零和 a 大于等于二分之一啊，它都不符合题，我们这里呢，应该把它舍掉， 这是第二句话，是吧？那么第三种情况，那我们就考虑啥呢？考虑这个零点，也就是说当 a 分之 一减去二， a 如果大于零的时候，就说这个零点呢？恰好在零到真无穷这个区间内的时候，记 这个不等式的解题呢，是 a 小于二分之一大于零，那么这个时候啊，我们就得到啥呢？得到这个 j x 导函数在零到 a 分之一减去二， a 在 这个范围内呢，他应该是负的，应该是正的啊，应该是负的，应该是正正正的，正的，他应该是单调递增，对吧？这个档是应该是正的， 因此呢，这个时候啊， j x 在这个区间上应该带到递增，而且在 a 分之一减去二 a 到征求，这个区间上应该是带到递， 我们得到了 j x 图像是这种情况，那么 j x 啊，由于 j 零等于零，所以说 j x 在这个区间上肯定是没有零点，恒大一点儿，那么在这个区间 加上我们看他有没有零点呢？当 a 小于二分之一大于零的时候， js 在这个圈上肯定没有零点，那么在这个区间上是不是一定有零点？ 又因为 g 零等于零，对吧？ g 零可以代替，之后它等于零，那么我们就得到啥呢？得到 g 他肯定是大于零，用递增吗？对吧？就不用考虑了。那么他大于零的话呢？这里头我们就看一下图像，那就说这个 j x 图像呢，应该大致应该是这样，这一零等于零，对吧？递增， 然后呢，他的极大值点是 a 分之一减去二， a 在这个区域上占到地点，他有没有零点呢？他现在这里头我们得需要看，有可能是这样，这样的话，如果是以 x 轴为对称为间接线的话，那他就没有零点。 因此呢，我们要想说明当 a 小于二分之一大零时，这个 j x 有没有零点，我们必须还得找到有没有这样的嘚 十的 j x 在这点处就值小于零才行。 这是这道题的关键啊，这是难点，你怎么样找到这样一个 deta， 使得 j s 在 deta 处的值小于零呢？如果 我要是能找到答案，就是 a 小样没大点，如果找不到，那这个事还不好说，对吧？ 所以说找这个灯塔是问题的关键，我们怎么去找呢？你可以按一下暂停键，你想一想如何去找这个灯塔啊，就找这个灯塔啊，能不能找到这样的灯塔，这是问题的关键啊。 呃，由于呢，我们考虑的是当 x 区向正无穷的时候，这个 j x 区 得的值是不是一定是负的？这个问题呢，我们也可以不妨令 x 大于单一， 只要你找到就可以。我不妨呢，让另 x 大于等于一啊，那么另 x 要是大于等于一的话呢，我们怎么去找呢？ 这个时候如果你往里复直的话，这个很难找到，不太好找。我们利用放速的办法，我们看如果 s 要大于一的话，那么 z x 那就应该是小于，等于被减数不变， 把减数量给它缩小，减数缩小呢，我就把分母给它扩大，我把这个一呢变成 x， 这肯定有它成立吧，然后这二 x 和 x 约掉，那实际上它就等于 等于它，等于它呢，我再给它放速放大，它应该是小于谁呢？它应该是小于根号下一加 x。 这个问题啊，不知道同学们清楚不清楚啊，就是说有这个事的成立， 这个 不等式呢，也很容易证明你。比如说我们立 f x 等于，我们可以说明它的最大值是小于零的，因为我们求下早 等于二 x 二减去根号 x， 那么很明显这个 fs 啊，在零到四这个区间上，应该是单调递增， 对吧？在四到正无穷这个区间上，应该是单调地点。所以， 所以说 f x 的最大值应该是啥呢？ 应该是 face 把 face 带进来， 这个值是小于零的，所以说有它成立。我们利用这个不等式啊，他小于他，所以说我们放松了他，然后呢，我令 小点声， 我令到小点里面呢，我们看我解除 x 大于等于啥？因为你这个 x 啊，是从这个数往右来，对吧？所以说我看 x 大于等于啥？解这个不等式，两边平方， 把它移到右边，两边平方，那就是小于等于啊，四倍的 变成汤。然后呢，我们把它整理一下， 加上二 a 减去四，括号 x， 再减去三 大一点点。我们看这个不等式，他的姐姐肯定不是空姐，因为你这个是长相负三，对吧？ 一二加系数是 a 方一正一负，这两根肯定是一正一负，所以说呢，我们得到啥就得到了 x 肯定是大于等于二， a 方分之 四减去二 a 加上那个大根，对吧？那个大根呢？我们整理一下是吧？得出的结果是是什么呢？是这个， 呃，提出一个四，这个可以提出个四，里边是啥呢？是 a 方减 a 再加上一啊，加上他，然后呢，我把二给他约掉， 是不是变成他了？猜对吧？变成了他，那么你想一想， 当 x 大于等于他的时候，也就是说他就小点点， 那也就是说我们找没找到这样的嘚瑟呢？找到我们取嘚瑟就得得什么嘚瑟呢？取嘚瑟等于， 因为还得考虑 x 大于零一，所以说我们就取一和这个数的最大值就 ok 了， 娶她。那我们就有这啊，这灯肯定 就是小于零啊，这个这针他肯定是小于，因此当 a 大于零小于二分之一的时候，那么这个 gx 肯定有一个变号零点，所以说最后的结论就是， 好，这就是这道题的解析过程啊。

有同学让我看一下今年高考数学的压轴题目，我看了一下，的确有难度，但是有简单的方法去解决啊，就是用塑形结合的方法看一下具体题目啊。说在直角坐标线里面， p 点到为轴的距离等于 p 到零二分之一的距离， 那么点批的轨迹是 w， 第一问是求出 w 方程，第二问说矩形 a、 b、 c、 d 有三个顶点，在 w 上要求正极周长大于三倍的光升， 那定位非常基础，无论记不记得住公式都比较简单啊，都能够解出来。我们用不记公式的方法是，点 p 是 x， y 画一个坐标轴，点 p 是 x， y 调到 x 的距离不就是这个 y 的长度， y 的长度等于他到这个点的距离。点是零二分之一，也就是根号 x 减零的平方加上 y 减二分之一的平方。两边同平方得到 y 方等于 y 减二分之一的平方， 加上 x 方一项之后，外方减 y 减二分之一的平方等于 x 方。这个分解， y 减 y 加二分之一乘以 y 加 y 减二分之一 等于 x 方，也就是二 y 减二分之一乘以二分之一等于 x 方， y 减四分之一等于 x 方， y 等于 x 方加 四分之一啊，它是一个抛物线，比较简单啊。那第二问该如何解决呢？首先啊，我们就分析一下第二问，他说在这样一个曲线上，有 a、 b、 c、 d 三个点， 矩形的三个点在上面说明一个什么问题，说明围绕这一个点有两条垂直的线啊。意识到这个问题，那么第二问就有眉目了，我们再来看看如何解第二问。 在知道 y 等于 x 方加四分之一这个前提之下，矩形 a、 b、 c、 d 的长度关系，实际上跟他的位置没有关系啊，他可以左右上下平移啊，所以说我们直接把这个平移长 y 等于 x 方，这样更好讨论了，那么把它画出来就是这样，假设 a 点在这里， 我们过 a 点要做两条垂直的线，那什么情况下可以做两条垂直的线呢？好像可以做好多啊， 那什么情况下不能做呢？很简单，就是有一条竖着的线啊，那这个时候 这条线就跟曲线没有交点，还有没有其他的情况呢？还有一种啊，相切的情况，也就是说 k 等于零时，我们找不到另外一条线跟曲线有交点，相切是外求刀。假设 这一点啊， a 点是 x 零 x 零的平方，那么它的弦律 a k 等于二 x 零时，很显然这条线是跟曲线没有交点的，只有这个 有焦点，形成不了矩形，只有我们把这个以这个切线为基础，无论是向上移动 还是向下移动，就都可以找到三个点啊，大家可以把它想象成一个十字左旋转，这里的笔画太多了，不方便讨论， 把它擦掉需要一定的空间想象力啊。那这个时候我们就可以很明显的感受到啊，这条切线实际上就是 临界状态啊，实际上就是最小值，如果抓住了这一点，这个题目就解决了一大半了，他竟然要证明这个大于或 大于三倍的高三，我们能否就把他的最好是先给求出来，求他切线的情况，然后再去讨论是不是相当于拿一半分的呀？讨论切线的情况， 当弦律 k 刚好等于二 x 零时，这个时候可以认为啊， 矩形 a， b， c， d 这个 d 点， c 点的这里啊，这个 d 点和 a 点非常非常的接近，完全重合，那么矩形的周长就完全一 大于 ab 的长，我们只需要把 ab 的长求出来就行了。 ab 的斜率是负一除以二 x 零，这条线是 y 减去 x 零的平方，等于负一除以二 x 零， x 减 x 零啊，这条线和 y 等于 x 方的交点，可以求出 b 点， 把这个代表上面是 x 方减 x 零的平方，等于负一除以二 x 零， x 减 x 零啊， 这个可以写成 x 减 x 零乘以 x 加 x 零啊，所以消掉之后可以得到 x 等于非除以二 x 零减去 x 零啊，可以求出 b 点的横坐标，那么 a b 点的横坐标相减 负一除以二 x 零减 x 零减去 x 零啊，再除以这个狂闪 c 塔，狂闪 c 塔不就是 a b 的值吗？ a b 我们就可以求出来啊，狂闪 c 塔是根号一加上 kab 的平方啊，横坐标之差是一除以二 x 零，加上二 x 零啊， 写出来就是根号一加上一除以二 x 零的平方，根号一绝对是一除以 x 零加上二 x 零。 注意到啊，这个点是对称的啊，我们完全可以只取一边除 x 零大于或者零啊，不防射， 那么这个时候我们只需要讨论一边就行了，把这个值如何讨论出来呢？在设 x 零大于的零这种情况之下啊，他不能等零，我们设他大零啊，相当于 a b 等于根号 一减去一加上一除以二 x 零的平方，一除以二 x 零，加上二 x 零啊，就比较简单了，我们相当于求这个的最值啊，把它平方， 为了计算方便一点，我们干脆让二 x 零等于 m， 二 x 零等于 m 比较好算，它是一加上一除以 m 的平方乘以 m 加 上 m 分之一的平方，也就是 m 方加上一除以 m 方加上二乘以一加上一除以 m 方。把它展开啊， 化减出来是三加上三除以 m 的平方加上一除以 m 的四次方加上 m 的平方啊，那现在问题就变成了，求这个的锥子啊， 我们让 f m 等于他，然后对 f m 进行求导啊， 是二 m 的六次方减四减六， m 的平方减去四除以 m 五十方。体格二出来里面是 m 的六十方减三， m 平方减二 除以 m 的五十八。那很显然我们能够猜出它的几个解啊，一个是 m 方等于负一，一个是 m 方等于二， m 方等于二十，代入其中刚好是他的解，所以 绕着这个方向因式分解，它可以因式分解成二倍的 m 方 减二乘以 m 方加一的平方除以 m 的五十方，也就知道了啊。这个在零到根号二之间，它是单调递减，根号二到正物琼单调递增。 当 m 等于根号带入其中啊，把 m 等于根号带入到这里啊，可以求出三加三除以二加上一除以四加上二， 也就是四分之二十七啊，他的最小值是四分之二十七。 那么 a b 的最小值啊，二分之根号二十七啊，也就是二分之三倍的根号三，那相切的情况刚好最小值是 大于等于二分之三倍的。通过三大，现在我们只需要证明其他情况是大于相切的情况就行了。这个题目难就难在好同学能分析出来相切的情况，但是算的时候 确定做最复杂的运算啊，算的是不相切的情况，算出来 k 等于 r x 零时，现在我们看看，当 k 大于 r x 零时，也就是大于这个切线啊， 相当于这样的线一条和这样的一条，那这两段距离， 那明眼看上去就肯定他们的和大于这一段，那如何证明呢？年里方程，一个是 y 减 x 零的平方等于 k 乘以 x 减 x 零，一个是 y 等于 x 方，求解除 这个点， d 的坐标等于 k 减 x 零，同样的， y 减 x 零的平方等于负一除以 k， x 减 x 零， y 等于 x 方，可以求出 b 点坐标 x 二等于负一除以 k 减去 x 零。 我们可以求出 ab 和 ad 的值啊， ab 和 ad 的值，根据刚刚相同的方法， ab 等于根号一加上一除以 k 方 乘以负一除以 k 减去二 x 零， a d 的值 等于根号一加 k 方， k 减去二 x 零。那我们假设了这个啊，所以这个可以直接去掉 x 零， k 都大于零，所以这个 不都变成正好。那么 a b 加上 a d， 因为它所含的位置数比较多啊，我们把相关项放到一起， 我们只看它是关于 x 零变化的，把它看成长数啊。那么当 k 小于不等于，意思很明 下，这个大于这个，这个整体是根据地增的，什么时候取最小值呢？ x 零接近零时啊，好同学算这个的值， 实际上这个算不出来，没有关系啊，可以讨论。当 k 大于一时，这个 减去这个是个负数，一个负数乘一个正数，肯定会让这一边变小啊，这边变小，那他什么时候最小呢？ 当这个 how x 零取最大值的时候， how x 零什么时候取最大值等于 k 啊？大于或大于吧。这一边啊，这边我就不写了，写 一个大 m， 这里是一个 k 乘以根号一加上 k 方，减去根号一加 k 方啊，那最终这个化减出来，实际上还是变成了 k 加 k 分之一， 这根号一加上一除以 k 方啊，这不就是我们讨论的切线那个式子吗？它大于二分之三倍的根号三。接下来我们再回到这边啊， 注意到这个式子是对称的啊， k 分之一， k 分之 k k 啊，也就是说 k 等于二，可以取一个值，那么 k 等于二分之一，对应的值也是一样的，它在 k 大于一时，它减小了一个量，它还大于二分之三倍的杠三。那么在 k 小于等于一时啊，它并没有减少 它对称的另外一个量啊，肯定也大于二分之三倍的杠三啊，大家可以仔细体会一下啊。这里空间有限，我就不做具体的描述了。那这个仅仅证明了一半啊，可以大于二 x 零时， 那另外一半该怎么做呢？也是这个题目的难点啊，如果具体去算的话，肯定不太好算，但是如果用塑形结合的思想的话，非常容易证明啊，当 k 小于二 x 零时， 也就是这样的一条线，然后再画这样的一条线啊， 可以很肯定的讲，这根线的长度大于这一段线的长度啊。那证明起来也比较简单啊，根据刚刚的公式 设，这个是 b 点吧， a b 等于根号一加上一除以 k 一方吧，负一除以 k 减去二 x 零啊，那不管是这个横坐标 还是这个值，都比以前增大了，那肯定比 ab 要大。好多人陷入了一种误区，一定要把具体的数字去算出来，结果越算越复杂，实际上很简单。那我发现全网大家都对这一部分证明含糊。其实啊，我个人认为这样证是最简 简单的。所以说看起来最难挣的一部分，实际上最简单题目的难点在于真的去求切线， 这种特殊情况的时候，他最好就是三倍的高三。而豪同学认为没有时间去探究这个问题，所以啊， 恰好就解决不了这个问题，也算是高考的一个陷阱。关于整套试题的讲解，可以翻看我的合集啊，关注我，让我学习变得更有趣。