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好,我们来看网格线作图的话呢,第四种类型啊,基础的第四种类型啊,做四十五度角啊,看一下第一道例题,在图中做格点 p, 使得呢 b a p 的话呢,等于四十五度,是吧? 那四十五度,那要想做出这个四十五度的话呢,其实呢,我们就要想什么时候能够出现四十五度,是吧? 那我们呃应该就能想到什么是是一个正方形啊,正方形对角线,那正方形的对角线的话呢,也是这个平分线,是吧?他也把九十度分成了这个四十五度, 其实正方形的话呢,都到了这个四十五度的话呢,其实是不是也是所谓的这个什么?所以是不是等腰直角三 行,等腰直角三角形的两个锐角,那就是四十五度,对吧?所以的话,我们就可以用这种这个办法,然后去找,也就是找找什么找等腰直角三角形,或者是 或者是什么,或者是找这个正方形,然后他的这个对角线,或者是叫等腰直角三角形,他的这个斜角边,是吧? 那我们那个很显然,如果说只从这个呃尺度上来观察,只从图上来观察的话,当然了,他还给了提示,就是格点屁吗?是吧?那肯定是在 这样的一些点上面,那四十五度的方向,那是不是应该在在大概在这个方向啊?是吧?那在这个方向,那我们看看那这个点是不是我们要的这个点,是吧?若我们连接 a c, 连接 b c, 看他是 就是一个等腰直角三角形啊,其实呢,我们是很容易看出来的,他就是一个等腰直角三角形,对吧?因为什么呢?因为呢,首先 ac 呢就等于 bc, 那为什么呢?因为那个 ac 呢?刚好是什么?刚好是这个小的, 这算由一和二,是吧?那作为一个直角边的,那,那这短边是一长,长边是二长,是吧?组成的一个直角三角形, 好,这个 b c 呢?那他是不是这个呢?这个组成三角形他也是一样的,是吧?因此的话呢,这个角就等于这个角,这角加这个角呢,就等于九十度,所以这个呢就等于九十度吗?是吧?他的边长也是一样的,对吧?因此的话呢, b a c 是不是 就是那什么就是这个四十五度,是吧?这就是利用等下这样三角形来这个求出来的, 同样的,我们在这边是不是也可以得到,也可以得到这两条线,对吧?他们也是 a d 和 b d 的话呢,也是他是等腰直角三角形的两条直角边,对吧? 同时呢,把这两个等下这三角形做出来之后,是不是这个 acbd, 那他就是一个正方形,而 ab 呢,就是他们的说对角线,是吧?因此的话呢,这这两个角那肯定是四十五度了。 呃,除了就是说从眼睛上来看这个之外的话呢,其实呢,我们还有什么呢?就是还有还可以就是通过这个计算的话呢,来算出来。为什么用后边举这两个例子呢?就是说你就是 不太容易一眼,道理是一样的啊,都是用这种等腰直角三角形,是吧?这种这个方法,但是呢却不容易,一眼 就能看出来,那这个直角边应该怎么画?应该在哪里?实际上如果我们把它拆解的话,其实呢是开启拆解出来,这样的还是可以,我们首先观察这个 ab, 关这个 ab 的话,他是不是是这样组成的这样的一个直角三角形啊?对吧?这样一个直角三角形,那么他的一个边长是一,另外一个边长呢?是三,因此呢,我们可以就可以得到什么?得到 ab 的平方,对吧?他就等于什么?等于一的平方,加上三的平方,也就等于十, 那我们假想若 a、 b 的话呢,是一个等腰直角三角形的斜边,那么假设 b、 c 的话是直角边, 那是不是就应该有 ab 的平方,就等于二倍的 bc 的平方,因为 ac 等于 bc 嘛,是吧?他等于十,那么也就是说我们应该会得到一个什么得到 bc 的平方,是吧?这叫直角边的话呢,他应该等于五, 那因为因为什么?因为 bc 的话呢?他肯定是在什么?是在一个这些小正方形,是吧?组成的 举行的一些这个对角线,或者是这样的这个位置上,那么因此呢,我们就可以得到什么呢?得到,就是说这些小正方形,这小正方形的话呢,我们想的是他的边上我们能取到什么?是不是能取到一, 是吧?那小一的倍数还能取到什么?能取到二分之一,对吧?能取到二分之一,因为一连对角线嘛,就找终点嘛,一连对角线找终点,我们能也能取到二分之一,就既能取到二分之一,也能取到一,是吧?以及他们的倍数, 那么是不是因此就意味着他等于五吗?是吧?那么他他如果说也是一个斜边的话,是不是可以拆成一的平方加二的平方,那既然能拆成一的平方加二的平方,因此呢我们就知道啊,他肯定是一个这样, 就是由一和二,是吧?两条这个指甲边组成的一个斜边,然后形成的一个折三角形,对吧?那这就是我们整个的这样的一个原理来组成的,需要消化一下,内化一下啊。

画个四十五度角三九先随便画个圆,不圆也没事,加上向右微侧的中轴线,记得是弧线。人物微微抬头,耳朵与眼睛的辅助线向上走, 太阳穴两边留一小块,中间分三分,三分微微由大变小。鼻子嘴巴错开摆放,打上头发轮廓, 头顶加上厚度, 加上颈肩,把线条擦淡点, 这样刻画细节比较不会混淆,脸型也重新塑造下。用线放松,不要太用力,勾线前再次擦淡一个是画面会更干净。 再来就是这样,我们无形中相当于观察了三次。头发线一定要流畅,不要蹭线,轻重变化要给上草稿,可以轻松擦掉, 也不怕勾线比吊筛,这是不是你们要的干净线稿? 零零三号铺上肤色阴影,零零五号打上头发底色, 高光自然流出来,方向统一平行保持住,来个小角度交叉做阴影, 加点细节。完成了评论区交作业吧!

第二道例题还是做四十五度角,在图中,那要求在 ab 的上方做 bae, 那等于四十五度。想法还是一样啊,怎么找这个 使它成为正方形的对角线,或者说等腰直角三角形,对吧?等腰直角三角形的斜边。 嗯,其实呢,数学这个东西呢,都是要有敏感性,对吧?通过大量的训练呢,得到敏感性, 然后呢,也有人的话天生就有敏感性啊。其实呢,还有一句话叫什么大胆假设,小心求证,是吧?我们先看一看啊,就是这个四十五度,那大概方向应该在哪里?是不是应该在这个方向,对吧?是不是应该在这个方向?为什么呢?看时间,看这个角,这个角他肯定是小 于四十五度的,对吧?因为如果是等于四十五度的话呢,应该是这样的一个对角,正方形吗?是吧?这样一个对角应该是四十五度,那么这个角肯定小于四十五度,那么这个角肯定大于四十五度。嘛意思要得出一个四十五度呢?那画一条线的话,是不是应该在这个方向, 对吧?应该在这个方向。那如果在这个方向,我们先大胆假设的话,在这个方向的话,有什么特殊的点能够让我们给他连起来?你想要从这里找,这里 没有什么特殊点,对吧?从那里点呀?为什么?那这里呢?也没什么特殊点,那这里有没有什么特殊点呢?那你看大概在这个方向,这有什么特殊点?这里是不是有一个什么有一个这个小正方形,他的 什么对角线的焦点啊?是吧?那行,我们看连接对角线的焦点,是不是就是我们想要的,是吧?这只叫 是吧?大灯假设吗?啊?我们先利用就是说这个敏感性啊,是吧?或者叫直觉,我们先试一下。 呃,一会的话我再介绍一种,我们比如说如果想用确定用算数的办法来算出来他那应该是怎么弄?我们先看直觉,那是不是可能是这个点,对吧?我们先把这个点弄出来,比如说我们先把这个对角的点啊,连线 对角点点出来,然后连线,行,这样呢我们就得到什么呢?得到了这个焦点,对吧?得到了这个焦点,我们连接一下,我们连接一下,现在一 连接一下线段 a e 啊,看一下这个线段 a e, 然后呢如果说再连接线段什么 b e, 是吧?这个是不是 是一个等加直角三角形呢?那我们看看他是不是一个等加直角三角形呢?啊?其实的话呢,如果说我们从一点往这里做一个垂足 啊,往这里做一个垂足,那这里是不是形成了一个小的直角三角形啊?对吧?然后一点的话呢,往这里做一个垂足,那这里呢也是形成了个小的直角三角形,对吧?也就是说这 通过一点做一条垂线啊,上半部分呢就是给他的,下一部分呢就是给他的,是不是这两个三角形刚好是什么? 刚好是一个完全相等的一个三角形啊?你看他的宽都是二分之一,对吧?他们的高是不是都是二有二分之一,对吧?这里也是他的这个宽是 二分之一,高呢?是二又二分之一,对吧?然后呢九十度,九十度是不是完全相同三角形?因此的什么呀?因此的话,这个小角加这边的若做了一条垂线啊,那我们可以看一下啊,假如说这里通过他做了一条垂线, 嗯,这有点乱了,假如说通过他做了一条垂线的话,要稍微有这样一条线啊, 这些不直,是吧?看着可别扭, 是吧?如果是这样的话,看这个三角形 a h e 和这个三角形,比如 b e, 嗯,随便一个点,比如 m, 是吧?那是不是一个弯线等三角形,因此的话,这个小角加这个角九十度,所以的话这个就是九十度,对吧?那这个是九十度,所以的话呢, 完相等三角形吧,所以 b e 呢,也是等于 a e 的,那么就说明这个三角形 a e b 是不是就是一个什么等腰直角三角形啊?是吧?因此呢,我们可以知道,行,这个角 b a e 就是四十五度,是吧?这是什么?这是通过这个一个直觉的方式,对吧?然后得到的。 那我们在想的话呢,那能不能通过就是刚才说的能不能通过这个计算的方式呢?其实也是可以的,其实呢,我们在第一问里边是说过的,是吧?然后呢,我们看 看看啊,我把这个写在这里了,我们也是观察一下, a b a b 的话,是不是和这边刚好组成个直角三角形,因此的话呢, a b 的平方是不是等于什么?这三吗?三的平方加二的平方,是吧? 加起来就等于十三,对吧?那么如果说他是一条等腰直角三角形的斜边,那我们假设等腰直角形的 直角边,比如说是 ac 啊,这里是 ae 吗?假如说是这个 ac 的话,那么是不是就意味着 ab 的平方就等于二倍的 ac 的平方,对吧?那么 ac 的平方呢?就等于二分之十三, 那么 a c 的平方等于二十四三,因为我们想什么呢?就是我们想找它的一个,它呢是这个呃的 直角边,同时呢他呢又是我们要找的另外一个,就是利用正,利用什么?利用正方形的边组成的直角三角形的什么?他的一个斜边, 所以的话,那,那他是斜边,那他得二分之十三,那就意味着什么?是不是意味着另外两条直角边他就不可能是完整的一组成的了呀?就不是一的倍数了,对吧? 那不是一的倍数了,那是不是我们还可以得到?我们之前晒低利的时候我们就讲过,就是说除了可以得到一之外,还可以得到二分之一,那是不是可以想到他是可以等于二分之一的, 那我们把它上下都乘以二,所以二分之三等于四分之二十六,又可以拆分成四分之二十五加四分之一,也就是可以拆分成二分之五的平方加二分之一的平方,也就是意味着这个这 这个边,这个 ae 这个边的话呢,它是由什么?是一个边长是二分之一,另外一个边长是二分之五的直角三角形组成的,因此的话呢,也可以得到这个点,对不对?也就是说,哎,我们应该找一二 二,有二分之一就二分之五,然后呢这边呢?是找二分之一,是不是想的是,哎,对,他应该是这个点, 这就是什么?就是说既可以通过这个直觉,我们,哎,往这边应该是走,大概往这瞄一下,是吧?因,可这有个特殊点,是吧?直觉同时呢,这不大胆假设,然后再去小心求证啊。 另外一方面就是呢,我们是不是可以可以通过这种方式理论的方式来算出来算的啊?我们应该找一个边长是二分之五,然后这边边长是二分之一的这样一个直角三角形,是吧?然后他的一个斜角边, 对吧?这就叫构成的啊,构成法,至于大家喜欢用哪种办法是吧?那就用哪种办法, 同时呢,其实呢这种就是基础题,基础题呢是告诉我们呢,就是我们要把它形成一种直觉,就是以后我们再看这类的就直接找他是吧?而不是说再去这个不断的去求证了, 因为到时候等综合的时候是要把这些基础的话呢,是把它综合起来的啊,那个时候呢,你再去这个去求证啊,啊,去论证啊,那时候这个花的时间又太多了,真的在考试中的话,往往是没有这么多的时间的, 所以我们在下面就应该先把这些模型的话呢,把它内化吸收好。

在如图的六乘五的隔点图中,在线段 ab 上找到点一十角 aec 等于四十五度。我们知道这是无刻度咫尺的作图题,不能使用量角器,但四十五度的特殊角,在格点图中不用量角器也可以画出来。 想必同学们都知道,原因就是因为隔点途中我们很容易画等腰直角三角形,它的底角就是四十五度。 那么我们先看一下如何在隔点中划等腰直角三角形吧。如右图,以线段 ab 为边划等腰直角三角形,我们把 ab 绕着 a 点旋转九十度就行了, b 点正好到了一个隔点 c 上 三角形, abc 是个等腰直角三角形,同里绕着 b 点旋转九十度,也可以得到等腰直角三角形。 ab 一往哪边旋转呢?很简单,如果我们想让角 a 等于四 十五度,就绕着 b 旋转,如果想让角 b 等于四十五度,就绕着 a 旋转,我们再回到本题中,要让角 aec 等于四十五度,先画个示意图来分析,能不能用刚才的方法以 ae 为编构造等腰直角三角形呢? 很可惜,答案是否定的,因为一点是未知的呀。那怎么办呢?最关键的地方就是这里,可要听仔细了。 一是未知点的确是已知点,我们先画角 b 等于四十五度,然后将角 b 的这条 l 边平移,直到 l 经过 c 点,那么角 b 这个四十五度角也就一起平移过来了。 完整的步骤如下,第一步,以 ab 为边画等腰直角三角形,十角 b 等于四十五度,得到隔点低。第二步,将 db 平移,使低与 c 重合。那么我们需要将低往下 平移两格,再往右平移一格,低点也往下移两格,往右一格,得到 f 点,那么 cf 与 db 平行去 cf 与 ab 的焦点,一则角为一, c 等于角, b 为四十五度一点就是我们要找的点了。 最后总结一下,今天我们说到了四十五度的做法,以及隔点中的平移,以后可要记住哦。
