八上数学一次函数等腰直角三角形

好，八年级的同学，因为不管是八年级哪个版本啊，特别头疼的就是一参数，很多孩子学到一参数，成绩降三四十分，那么今天呢，我会通过呃，就是慢慢的更新一参数所有的题型，给大家一个个更新，然后初三的孩子也可以看，因为一参中考中必考十三分啊。 来看，今天呢，来看一道依次函数求面积和等号三角形相结合的问题，那么这道题呢，有三位，来一起来读题。 如图，一，参数 y 等于 k x s， 图像分别交于 x 轴和 y 轴与 a 和 b 两个点，且 c 经过一逗号 m， 求 m 的值。 那么是不是告诉你了，依次函数它的解析式呢？是一个 y 等于 k， x 加四，只有一个未知数是 k， x 和 y 呢，都是你的函数啊，然后呢，呃，说经 过 a 点，那么就能把 k 给他求出来了，对不对？咱们就能把 k 求出来，那你是不可以把解析式算出来，然后 c 又呢？ c 呢？又在咱们的依次函数上 啊， c 又在咱们一次函数上，所以呢，咱们就可以把 c 也给他求出来啊。来，我们现在呢，给咱们把这个这个一次函数解析式先求出来啊，他的解析式先求一下解析式，用待定系数法求解析式，先写一个解 好，然后第一位，我们将你已知的点啊，将谁呢？咱将咱们要这个 a 点带入，将 a 是二逗号，零带入到 y 等于 k， x 加四中， 所以得到一个零就等于一个。呃，二 k 加四， k 算出来是不等于负二呀，对不对？所以啊，我们解出来，所以我们解出来。依次函数的解析是 解析式，就是一个 y 等于负二， x 加四。好，这第一位，那它让算，咱算那个 c u 过这个一参数啊。所以我们就是将 c 点一逗号 m 代入， 代入啊，就指的是，你看你把 m 当成 y 嘛，对不对？把 x 当成一嘛，那 m 就等于一个负二，乘以一加四等于二。所以啊，咱们算出来 m 的值呢？ 等于二，第一位就搞定了啊，第一位就搞定了。第一位非常简单，来把解释写上，我们就不用第一位了。咱们第一位算出来的解析师呢，是一个 y 等于负二， x 加四。那同学们啊， c 的坐标求出来， c 的坐标是一，逗号二， 对不对？ a 的坐标也给它标出来， a 的坐标是二，逗号零， b 的坐标是零，逗号 cc 等于四，所以 b 是零逗号四。好，第一位现在求出来了，那么接下来呢？人家让咱算第二位呢啊，我们把第一位擦了，来看第二位。 第二门说若点 a， 关于 y 轴的对称点是 a 撇儿，关于 y 轴对称点是 a 撇的话， a 撇坐标是负二逗号零，求出 a 撇 b， c 的面积，是不是涉及到面积问题？那同学们， 你看 a 撇 b、 c 的面积，我们该用啥方法去算呢？有人呢，会用这个啊，就是我用把这个点求出来，对吧？假设是一个 e 点，把 b， e 长度算出来， b 当做底， a， b， e 是一个三角形， b， c 是一个三角形，这样也行，对不对？但是你得求 a 撇 c 的解析式，太麻烦，看一看还有没有什么更简单的方法。 这道题有没有更减法法？有呀，非常有啊，来看我们用大的三角形，三角形 aba 撇这个三角形的面积，减去底下这个 a 撇 ac 就可以了，因为他两个面积都可以现算出来是不是？你看这个面积 底乘高，这是底是四，高是他的纵，坐标是那个一，逗号 二，哦，高是二，对吧？好，这个面积也算出来底是四，高是多少？高是四是不是？所以啊，来写下第二问啊。咱们第二问的话，第二问， 因为 a 和与 a 撇关于 y 轴对称， 所以，所以咱们的 a 撇坐标就出来了啊，所以 a 撇坐标是负二，都好零。 那么，呃，又因为我们要求的三角形 a 撇儿 b c， 它的面求等于三角形 a 撇儿 b， a 减去三角形，谁呀？ a 撇儿 c a， 其实呢，就等于来二分之一底 底是谁？底是 aa 撇乘以四，这个你看大的，这个的话，底是四，高是四啊，那就是二分之一乘以四，再乘以四，好，减去三角形 a 撇 ac， 那就是二分之一乘以四，再乘上高是 c 的中坐标是一个二， 所以呢，就算出来一个多少八，减去一个四，答案等于四，第二门答案等于四啊，所以第二门的话，我们就给他快速的给他算出来了。好，接下来呢，咱们看第三文 第三位说，若在 x 轴上是否存在一点 p， 使得 p a b 为等腰三角形啊？ p a b 为等腰三角形。然后呢，呃，请你直接写出 p 的坐标，若不存在，请说明理由 来。同学们，其实啊，这个东西呢，我在我在前面八年级那个视频里面刚讲过，两元一线，我先把 a b 给他画出来啊，就咱们照咱们那个图把它挪一个下来来， 太丑了，弄好看一点啊。 ok， 来写一下啊，咱们那个图里面 x 轴 y 轴，这是必点， b 坐标是一个零度四，这是 a 点， a 坐标是二度零。问，在 x 球上是否存在一点 p， 使得三角形 abc 呢？是一个等腰三角形？同学们讲没讲过等腰三角形，咋来呢？ 两元一线，分别以两个定点为为圆心，以 a、 b 为半径画圆，交于 x 轴上，就是点 p。 还有一线就是 ab 的角， ab 的垂直平分线。来，那我们分别找出来咱们那个点 p 啊？好，先把 ab 的总长算出来，你看在这个直角三角形中， ab 他算的话，一个是二，一个是四， 二四二倍根号五对着没？好，那么现在呢？来，第一，第一种情况，我们以 a 为圆心，以 a、 b 为半径画圆， 差不多 ok， 那么形成了这两个点呢？咱们给它记做 p 一和 p 二，来 p 一 p 二， 就是这个时候呢，你咋你的 abcabp 输出一个等腰嗓型，看到了吗？这个是不是 ap 和 ab 是腰同样？这边你再看啊，这边咱们这个是不是也是等腰嗓型？ ab 等于 apr， 是不是？所以呢，我们给他写我们的对应的底啊。 好，第一种情况，我们写出来是以 a 为圆形 形成的 p e 啊， p e 咋算呢？ a b 是二倍的根号五，对不对？那么这也是 a， p e 也是二倍的根号五， 所以 p 的坐标就是一个。呃，二加二倍根号五，逗号零来 p 二， p 二坐标这个 长度是二倍根号五，再把这个二减去，但他是一个负值吗？是不是负值？那这节呢？就是一个二倍根号五，减去一个二，给他前面添个负号，那就变成了一个 二减二倍根号五，逗号零。 pepr 的坐标是不是就求出来了？来，继续啊，咱们把 pepr 求出来之后呢，咱们把它小擦一下，然后呢继续。刚以 a 为圆心，两元一下嘛。啊，接下来呢，咱们以我们的谁为圆心，以 b 为圆心画圆， b 为圆心， a b 为半径啊， 好，我们就画差不多的就行啊。来看， 以 b 为圆心， a b 为半径的时候呢，交于你的这个，呃，这个圆不太标准，咱给它画标准，让大家看着舒服一点啊，我也有强迫症， 好以 b 为圆心啊，交于 x 轴上与 p 三， 这个 p 三仍然可以和它形成一个等腰三角形，这个时候呢， ab 和 bp 相等，对不对？那么 p 三很好写啊，咱们 p 三坐标因为你的这个，你这一节你自己看，你看现在这个三角形 oa 等于 op 三嘛。所以啊， p 三的坐标可以直接写 p 三坐标，就是一个负二，逗号零。第二种情况是以 b 为圆心的。 好，接下来呢，还有一线一线呢，就是啊，呃，做 a b 的 a b 的垂直平分线啊，垂直平分线，来，咱们做 a b 的垂直平分线的话，现在呢，可以给他做一下。 呃，这个圆比较这个线比较多，老是删掉一些这个单做啊，让大家看的清晰一些。好，一线线做 a b 的垂直平分线， 好，大约这 okay， 那这个的话，我们看啊，你要求这个点 p 坐标的话，就还蛮难求的，这个记做 p 四啊， p 四这个坐标不好求呀，同志们， 就是很多人求不出来 p 四的坐标，我现在教你们一个方法啊，比方说我把这个点呢，我看一下线段里面有有 c 啊，咱们把这个点，这个线记做 m 和 n， 因为咱们 a b 的解析式呢，是一个 y 等于负二， x 加四是不是负二， x 加四，那么 m n 的那个解析式可不可以算的出来呢？ m n 的解析式完全可以算出来，两条直线垂直，它的 k 值之机等于负一。 好， m n 啊， k m n 乘上一个 k， a b 等于负一，那你现在看看 k m n 乘上一个多少负， 负二等于负一，是不是所以 m n 啊， k m n 它的值呢，算出来是一个二分之一，那么所以你可以设啊，设咱 m n y m n 的结义式就是一个二分之一， x k 等于二分之一，加上一个 b。 那么再把他的他要过的点算出来啊，家长们，同学们来注意了啊，这个时候呢，他过的点呢，是咱 ab 的终点， ab 终点可以给他算一下啊，你看 a 的坐标呢，是二十多号零， 然后呃， a b 的终点呢，很快的就能算出来，你看，分别取上一半， a 坐标是二，横坐标是二，那 a b 的终点就是一个一逗号好，纵坐标是最高是四，一半是二，一逗号二，再把咱们的一逗号二带进去，带入一逗号二，来，咱们带 一下啊，二呢，就等于二分之一乘以一，对吧，加上一个 b， 所以我们算出来 a 好像 b 呢，等于一个二分之五， 是不是 b 等于二分之五，所以呢，咱们 y 就等于二分之一， x 加上一个二分之五，那么现在它与 x 求交点呢？能不能算得出来？能不能算得出来，是不是可以的呀？就是令谁为零呀？呃，令咱们的啊， 利用我们的谁为零， y 为零。所以呢，就可以算出来啊，咱 x 是等于一个呃，负五。 好，这个 p 的坐标呢？就是一个，呃，我们这个时候呢，算出来 a p 等于， 是的，咱们算出来的是 a p 等于 b p。 老师再检查一下，我算对着没啊？我也很担心我没有给你们算。对啊，一定要算对啊， i 分之一对着呢，它的横坐标呢，是一个一，对应的逗号二，把一逗号二带进去 二等于二分之一加 b。 看，这个算错了，哎，每个人都会出现问题，家长们一定要，就是同学们，你们一定要及时检查哦。你看二分之一减去一个，把它带进去之后呢？他是不是算出来这个 b 算出来多少你自己看啊。 b 算出来是一个二分之三， 所以 y 等于二分之一， x 加上二分之三，那么另 y 为零的话啊，咱们算出来的是 x 等于负三，所以 p 四的坐标呢，咱们算出来是一个负三，逗号零。好，整个就完了啊，一定要检查啊。

哈喽，大家好，我是老路，我们一起来看一下这道题。这是一个一残数与几何的综合题， 那么题目还挺有难度的，那么他的难点呢，其实不在于这个一函数，而在于几何。这三个小题目一二问呢，先得说比较简单，这个第三问啊，他的难度比较大，我们一起看一下。 已知一残数 y 等于负四分之三， x 加六的图像与 x y 轴分别交于点 a， 点 b 与直线 y 等于四分之五， x 相交于点 c 过点 b 做 x 轴的平行线 a 二点 p 是直线 a 二上的一个动点。三个题目第一个求点 a 点 b 的坐标啊，那这个太简单了，我们 只要利用这个一残数 y 等于负四分之三， x 加六， a 点的话是在 x 轴上，所以他的重组标是零， 那么把 y 等于零带入，应该求的 x 是八，所以 a 点坐标是八零。求 b 点坐标 b 点的话是在 y 轴上，所以他的横坐标是零，所以把 x 等于零带入，那么求出来的 y 呢？是六， 所以 a 点坐标是八零， b 点坐标是零六。第二个，若三角形 aoc， 三角形 aoc 的面积等于三角形 bcp 的面积， 让我们求点屁的坐标。好，我们要求点屁坐标的话，那么最关键呢，就要利用一下这两个三角形的面积相等， 刚才我们求了 a 点坐标是八零，所以 o a 的话就是八， b 点坐标是零六，所以这个 ob 呢，是六。我要求出三角形 aoc 的面积的话，我只要知道这个 c 点坐标啊， c 点坐标知道之后， 这个 c 点距离 x 轴的啊，这个距离呢，我们就可以求出来，也就是这个 o a 边上的高，我们就可以求出来啊，这个 o a 边上高，那我们怎么求这个 c 点坐标呢？那么其实很简单， c 点坐标的话， c 点是 这两个一次函数的焦点坐标，所以我们只要连立这两个一次函数，然后解范成组就可以了。所以的话应该是外等 等于负的四分之三 x 加六 y 等于四分之五 x， 把这两个依次函数一连立， 解除 xy， 这个 xy 呢，就是这个 c 点的横坐标和正坐标，那我们来解一下， 那么削圆把外给他削掉，负的四分之三 x 加六等于四分之五 x， 那应该是二 x 等于六， 解得 x 是等于三，所以的话，这个 c 领坐标的话，他应该是三，把三调到这个二十会比较好做一点，是四分之十五， 所以 c 领子标是三，四分之十五啊，所以的话，这个高的话，这个高 就是看这个 c 点的正坐标，那这个呢，就是四分之十五。这个高球的话，那么这个 c 点距离这个 a 二 啊，我们也可以给他敲出来，他应该是六减四分之十五，六的话是四分之二十四，减去四分之十五，那等于四分之九啊。所以下面这个三角形 bc p 这个 bpb 上的高呢，是四分之九，我们再根据这两个面积相等，可以求出这个 bp。 好，那应该是二分之一乘以一个 bp， 再乘以这个 bp 边上的高四分之九大概等于二分之一乘以 ov， ov 是八，再乘以 ov 变成高四分之十五。 二分之一和二分之一，那就抵掉了啊，这两边同时乘以一个四啊，这个分母四也抵掉了，所以的话 b p 应该是等于九分之八乘以十五，那我们还可以再约分一下这个九和十五去约分，拿三约，这个是三， 这个是五，所以等于三分之四十，我们求出 bp 是三分之四十，那么很同学说这个屁点坐标，那应该就是三分之四十，正坐标呢，应该是六，好，这样对不对呢？这样不对， 其实啊，他这样的话，是吗？漏解了，他还有一个，你如果屁点在这个必点的右边的话，哎，那就是三分之四十六，那这个屁点有没有可能在必点的左边 啊？当然是有可能的呀，所以的话，他是或者是负的三分之四十六啊，应该是这两个 p 点在 b 点的左边或右边，我们需要分列讨论。那么像这种啊，根据面积来求这个点坐标的， 往往是需要分裂讨论的，因为我们刚才求的这个 bp 啊，只是啊，这个三角形 bcp 的一条底边长， 他具体的位置在哪呢？我们不知道哎，分类讨论在这个左边，也可以往右边去画好这么一二两位呢，还比较简单。 然后来看一下这个第三问好，第三问呢，我们来换一个图形来看一下这个图， 若点意啊，点意是三角形， 我们给他画一下，应该是大致是这样子的， 还原到原图或者看一下这边也可以。若点意是直线外等于四分之五 x 啊，这一条，这条是 y 等于四分钟 x。 下面一个动点单三角形 a p e 是以 a p 为直角边的等腰直角三角形时， 求点亿的坐标。好，那这里面的话，其实我们可以利用这个直角三角形存在性的问题来解决他直角三角形存在性问题的话，现在呢要以这个 a a p 为直角边，所以的话我们只能过这个 a 点或者是 p 点做两个垂线， 那么这两个垂线啊，与这个一残数 y 等于四分之五 x 的交点啊，并且这个交点到这个屁点和这个 a 点到屁点的距离还得是相等的啊，所以这样话，呃，这个题目因为他是动点，那么他没有图形， 他的比较难地方就是你需要把他的这个图形给他画出来，你如果能够把这个图形给他画出来的话，那么计算的话，下面说还比较 简单，不算特别的难，因为这个图二他其实已经给了一种情况给你了，那么其实除了这些情况的话，我们还有我们一起来看一下 啊，这个现在这个角 a p e 啊，是一个直角，那么这是 题目中图二给的一个情况，那么还有就是说啊，以这个 a p e 为直角的话，就是还可以让下面这个直角，那么我们移动一下这个 p 点 啊，那么大致的是这样子的，此时角 a p e 也是直角，那么你是可以存在这个 p e 是等于 a p 的， 所以此时也是构成了一个等于二这样三角形啊，这是以这个角 a p e 为直角，那我们是不是也可以以这个角 p a e 为直角啊，让这个角是直角， 那么应该是以这个 a p 等于 a 啊，大致应该这样子啊，此时看起来比较像他们俩像的，那么还有呢，就是 啊，这样子啊，这个图形啊，大致是这样，这个 ap 等于 ae， 这两个线段相等，所以的话应该是有四种情况，那么此时可能有同学会说了， 老师这个是什么软件来做图的，我这里面这个屁点我随便动，对吧？我随便动， 那么我看起来也比较呃直观明了，那你考试的时候不可能有这样的软件去辅助你，那怎么办呢啊？其实也不用担心，大家手里面都有非常简单的就是 三角板啊，一副三角板，还有这个直尺啊，这些作图工具的话，大家一定要给他准备齐全， 那么实际上这个题目的话，你也可以用这个三角板来，靠啊，例如这种情况，你让这个角 p a e 是直角的话啊，让这个角 p a e 是直角的话，你拿一个三角板的这个直角呢靠在这个 a 点这个位置，然后一条边 模拟这个 pa， 一条边呢模拟这个 ae， 然后去啊移动他啊，移动转动这个三角板啊，三角板那个直角啊，放在这个 a 点这个位置， 然后呢一条边靠着这个模拟这个 pa， 一条边模拟这个 ae， 然后呢去转 动这个啊，去转动这个三角板，然后你看一下啊，他大概的位置在什么地方，确定的大致的位置之后呢，把这个图形给他画下来啊，这样的话就比较简单了，所以这个动点问题，动态的问题，我们要善于利用手中的这些 啊工具去把他们简单化。好在这里面的话，我们就不给大家演示了，大家可以自己呢去操作一下，像这种东西一定在平时的话要多动手去操作一下。我们先看第一种情况啊，这个就是图二中的情况， 我们可以先把一些线段给他标出来，这个 b 点坐标的话是零六，所以这个 ob 是六欧， a 呢是八， 这个三角形 a p e 是等于二十角三角形，所以我们很容易想到呢，去构造这样的一个 k 型三垂直圈等啊，构造 k 字形圈等。 这个三角形 a， p m 和三角形 p e， n 啊，这两个三角形是全等的 o b 是六，这个 p m 呢也是六， p m 应该是等于这个 n e 的，所以他呢也是六，我们把这些呢给他标出来。 好，那我们要求的是一点坐标，你要求一点坐标的话，我们可以把这个一点坐标给他设出来，或者你设这个 am 等于 pn 等于 x 啊，或者等于小 a， 然后呢，用 a 来表示一点坐标，再把这个一点坐标呢带入到这个 y 等于四分之五 x 中。也可以 啊，哪一种方法都可以啊？例如我们在里面，我们设这个一点坐标是横坐标是 a， 他的横坐标是 a 的话，那么正坐标把 a 点，把这个 a 呢带到这个函数中去， 那应该是四分之五 a 一点的横坐标是 a 的话啊，所以这个距离呢，就是 a， 那么这个 n 点到这个 w 的距离应该是 a 减六，那这个 om 呢，也是 a 减六，那这样的话，我们就可以表示出这个 am， 他应该是八减去 a 减六，八减去 a 减六，那就等于八减 a， 加上六 等于十四减 a， 那所以这段呢是十四减 a， am 是十四减 a， 这个 pn 呢和他相等的，所以这个呢也是十四减 a， 那我们就可以表示出这个 mm mn 就等于十四减 a， 加上一个六，那就等于二十减 a， 而这个 mn 呢，他就等于这个一点的正坐标等于四分之五 a， 所以二十减 a 等于四分之五 a， 我们给他算一下，这个减 a 移过去加 a， 那么四分之 九 a 等于二十，我们解得这个 a 呢，是等于九分之八十， a 等于九分之八十，四分之五乘以一个九分之八十，那应该等于九分之一百，所以此时这个一点坐标是九分之八十，九分之 一百啊，这是第一个，我们再接着看第二个啊，第二个呢，是这样子的一个等腰，这样，这样行，我们还是构造 k 型三，垂直 六， 呃，那么我们要表示一些线段的话啊，这个 e n 是等于 pm 的，那么他呢也是六，我们同样的可以设这个一点坐标是 a， 四分之五 a， 好，那么这个一点距离外轴啊，那么这个距离呢，应该就是他的横坐标，那就是 a， 所以这个 n 点距离外轴呢，就是 a 加六，所以这个 om 呢，也就是 a 加六， 那么这个 am 是 a 加六减八，那就是 a 减二，这个是 a 减二， am 是 a 减二的话，那么这个 p n 是和他相等的，所以他呢也是 a 减二， 那么这样的话，这个 mm 就出来了， mm 呢，就是 a 减二加六，那应该是 a 加四， a 加四 啊，他应该是这个 n 点的正坐标，任何一点正坐标应该相等的，那等于四分之五 a， 所以的话应该是四分之一 a 等于四，那 a 的话等于十六， a 等于十六。带进去 这个四分之五 a， 那就等于四分之五乘以十六等于二十啊，所以此时这个一点坐标呢，是十六二十啊，这是第二个， 我们再接着看第三个啊，第三个呢，是这样子的，这个角 p、 a、 e 是直角，我们仍然是构造 k 型三垂直，我们把能标的线段呢，都给他标一标 ob 是六，那么这个 pm 呢也是六。 pm 是六的话，这个 a n 和 pm 是相等的，他也是六啊，这个全等呀，还是这个 k 等于全等， 而这个 on 呢是八，所以我们可以求出这个 on 是二， on 是二，其实这个一点坐标，他的横坐标出来的横坐标呢就是二，他的横坐标是二，出来的话，你只要把二带到这个函数中去，那就是 四分之五乘二，那就是二分之五。哎，这个比较简单一点，指标呢就是二，二分之五。哎，这个计算很简单，这是第三个，然后呢是第四个，第四个呢，是这样子的啊，还是 这个角是直角，我们能标的标一标 ob 是六， o a 是八，那么这个 pm 呢啊，就是六。 pm 是六的话，那么这个 a、 n 呢也是 六。 a n 是六的话，我们要求一点坐标。哎，你发现，哎，一点坐标的横字标出来了，那就是这个 on 的长度，他俩相加应该是十四，所以此时这个一点的横坐标是十四。那你求中指标太简单了， 四分之五乘以十四就可以了，拿二约分，这个是七二分之五，七三十五啊，所以的话，应该是此时一点坐标应该是十四，二分之三十五。好，这样的话，我们就 把这个一点坐标呢都给他求出来了，应该是有四种。好，这个题目就讲到这，这第三小节呢，挺复杂的，大家可以在 自己去画一画啊，去写写，你可能只听我这样讲呢，哎，理解的还不是特别深刻，尤其这四幅图怎么给他找出来？这个是最难的地方，那么这个计算相对来说还比较简单一点， 那么大家可以利用一下三角板去画一画，去找一找，看看能不能把这四幅图呢？都能找出来。这节课就讲到这，关注老陆，学模型，秒解压轴。