黄金分割比例应用题

大家好，今天我们来讲黄金分割点的问题，听了我的讲解，一定能够熟练掌握这个知识点。讲黄金分割点之前呢，我们先来回顾一下比例现在的知识点。比例现在呢，指的是四条线段， abcd， 如果满足 ab 上 b 等于 cbd， 那么这四条线段就成为比例。现在 这个 a 到 d 呢，一共是四项，我们从左至右啊，分为第一比例向，第二比例向，第三第四比例向。那么 b 和 c 呢，我们也叫做内向。 a 和 d 呢，我们叫做外向， 内向之机等于外向之机。如果这个 b 和 c 是相等的两个项，我们就成为比例中项， 那比例中向的定义呢？就是如果三条线段 abc 满足 ab 上 b 等于 bb 上 c， 那么 b 呢，就叫做 a 和是 c 的比例中向。那当然了，这个公式我们还可以隐身出 b 的平方等于 ac， 也就是内向之机等于外向之机啊，得到 b 方等于 ac 啊，我们还可以转化成另一种形式， b 分之 a 等于 c 分之 b， 我们的黄金分克点呢，其实就是由比例中向啊隐身出来的。 接下来呢，我们来讲黄金分割点的问题。 ab 是一条线段，如果 p 是这条线段上的黄金分割点， 那么这个图形里面一共有三条线段，为了方便我们研究呢，我把这三条线段呢，取上各自名称，这个 ap 我们称作较长， bp 呢，我们称作较短， ab 呢，我们称作全长 好。 p 是黄金分的点，那就必须要满足一定的等量关系，这个关系呢，其实就是我们前面所涉及到的比例中相的问题。当 bp 比成 ap 等于 ap 比成 ab 的时候， 这个时候 p 就是黄金分割点，而且 ap 呢，就是较长的。那么同样呢，我们还可以得到其他的这个 等量关系，也就是 ap 的平方应该等于 bp 乘以 b， 也就是说这个内向之机等于外向之机啊，得到了这第二个公式。当然了，我们还可以用分式的形式来表示他们的关系，这三个式的其实都表示的同一个意思，都可以得到 p 为黄金分割链，且 ap 为较长的线段。 我们观察一下这三个式子， ap 啊，其实都出现了两次，所以呢，出现了两次的线段，我们可以得到他是较长的线段。这个结论。 好，现在我们来探究一下这个 p 具体是在 ab 的什么位置，那为了旁边研究，我们假设 ab 这个全长呢，等于一好，我们要求出 ap 这个较长和 bp 较短，他们各自的长度，那我们先设 ap 的长度呢为 x， 那此时 bp 的长度呢，就为一减 x。 好，这三条线段呢，他要满足相应的关系，这三个式子其实都可以。第二个式子呢，要方便我们去得到这个等待关系，我们带入第二个公式， 也就是得到 x 平方等于一减 x， 因为 ap 是 x， 所以 x 平方等于一减 x， 那么这个就变成了一个二次方程了，我们进行求减， 嗯，对他进行整理，得到了这个阿司方程。然后呢，应该有两个根，但是呢，我们的 x 是线段，他必须是大于零的，所以呢，我们得出 x 呢是二分之根，号五减一。 接着我们进一步呢，计算出一减 x 的值是二分之三减跟二五。这样的话，我们的 p 点具体的位置呢就可以得到，当全长 ab 等 等于一的时候，较长的 ap 呢，就等于二分之二五减一，约等于零点六一八，这个数十呢是要记住的。 那此时的 bp 呢，就是二分之三点根号五约等于零点三八，这个零点三八呢，你可以不用记得好这个二分之根号五减一啊，大家一定要记住，它是一个笔直的问题， 千万不要只认为他是一个长度，这是谁的笔直呢？就是 bp 比上 apap 比上 ab 的黄金分割笔，他是等于二分之杠五减一，也就是较短的比上较长，以及较长比上全长，他们的笔直都是二分之杠五减一。 好，接着的话，我们来找出这三条线段他们之间的这个比例问题，那这个较长的 ap 呢，就等于二分之个五减一倍的全长 ab， 这个较短的 bp 呢，就 就等于二分之三减根号五倍的全长 ab。 接着第三个呢，也就是较短和较长之间的关系，也就是较短的 bp 应该等于二分之高五减一倍的 ap， 所以呢，二分之高五减一倍啊，这里面是存在两个笔直 都是二分高五减一啊。如果我们用这个较短较长全长来进行这个描述的话，就可以得到啊，这个三个大量关系都是一个意思， 三条线在里面，当题目告诉你其中任意一条边，你都可以得到另外两条边，比如说我告诉你较短的 bp 让你求较长的 ap， 那你用第三个公式，当我告诉你较短的 bp 让你求全长 ab， 那你可以用第二个公式啊，所以呢，之一就可以求二。 还有一点呢，就是我们要注意一条线段啊，他有两个黄金分割点，一个是靠近点 a， 一个是靠近点 b， 所以呢，有的时候做题目啊，他 在多解的问题，记得有一年期末考试呢，就遇到一道题目，他说 ab 呢，是一个舞台主持人呢，在点 a 处问向右要走多远，可以使视觉达到最佳。很多同学呢，只计算了一个靠右的答案，其实靠 所的答案呢，他没有计算在内，所以导致出错啊，所以的话，大家一定要记住，一条线段有两个黄金方个点。好，接下来呢，我们来看一道中考真题，他说线段 ab 上呢，有一个点 c， 且满足 ac 比上 ab， 等于 bc 比上 ac， 则 ac 与 ab 的笔直让我们求出来，那我们观察一下这个点亮关系， ac 啊，出现两次，根据我们前面的经验，我们就可以得到 c 点为黄金分割点，而且 ac 为较长边。好，那他让我们求的这个是较长比上全长， 那不就是黄金分割比二分之根号五减一吗？后面第二个小文，他说若 ab 的长度呢，与中央电视台这个舞台的长度一样，那么节目组成应该站在哪个点最好？ 这个实际上就是 abc 三个点让我们选，那很很明显就是 c 点啊，他站在 c 点，肯定是这个观看的效果是最佳的。好，今天的内容呢，就讲到这啊，如果有不懂的可以问我，初三的孩子加油！

黄金分割是人们津津乐道的美学问题，他的数学原理早在公元前四世纪的古希腊就被发现了。 如果把一条线段 ab 分割为两部分，较长部分与全长的比值和较短部分与较长部分的比值是相等的，这个比值约为零点六一八比一。如果反过来相比，比值则约为一点六一八比一。 把黄金分割引申到平面图形上，就产生了黄金比例。一个长方形长度减去宽度后，形成一个新的长方形，那么原来长方形长与宽的比例等于新的长方形长与宽的比例，这个比例就是黄 黄金分割的比例。一点六一八比一。这是一个神奇的比例，因为符合这一比例的物体会给人天然的美感，这种美感不因人是否了解数学原理而存在。 比如蒙娜丽莎脸的宽度与长度，额头到眼睛以及眼睛到下巴的笔都符合黄金比例。十六比九，屏幕的电视机比四比三的看的更舒服，那是因为更接近黄金比例。 雅典帕特农神庙、巴黎圣母院的长宽比、小提琴的长宽比。五角星中所有线段之间的长度关系都符合黄金分割比。具体到女孩穿多高的高跟鞋，才能让自己符合黄金比例？ 臂呢，就是让全身与下半身，也就是肚脐到脚底的高度具有一点六一八的比例，而雕塑断臂的维纳斯正好符合这一比例。 当我们拍出一张自我感觉良好的照片，这种良好的感觉，也许正是因为照片的构图符合黄金分割比例。 这便是数学对人潜移默化的影响。 我就是数学。

来，今天我们来讲利用黄金分割比求解线段的长度的问题来看，题目已知 a b 等于六，然后点 p。 四， a b 的黄金分割点请满足于 a p 大于 b p， 求 a p 和 b p 的值。这个题非常的简单，我们来简单的画个图，这是 a b 这条线段，他说啊， 七是 ab 的黄金分割点来， ap 大于 bp， 说明 pap 要长， bp 要短一点，就应该画出出来长这个样子，他求 ap 和 bp 分别等于多少，那我们利用黄金分割的 定义，这是躲，这呢是中， a b 是一条什么？是不是全线段，所以满足于中比彩全中就是 a p 比上 a b 等于黄金分割比等于二分之根号五减一，所以带直进来就可以 做出来了，那么 a p 就等于二分之根号五减一，乘以我们的六，所以答案就等于三的根号五减三，这是我们 a p， a p 等于三倍根号五减三， ap 出来了，所以 bp 啊，实际上直接就出来了， bp 就等于我们的线段 ab 减去 ap， 所以就应该等于六减去三倍根号五加三， 也就是等于九减三倍根号五，所以我们把答案写上， bp 就等于九减三倍根号五，这是第一个题目， 第一个题目他直接给了 ap 大于 bp， 所以还是比较的简单，那第二个题目我们接着来看，还是一样的， ab 等于六点， pcab 黄金分个点，这个时候问你 ap 和 bp 的长分别等于多少？这两个题唯一的区别就是一个给了 ap 大于 bp， 另外一个呢，没有给 ap 和 bp 的一个关系，所以到了这我们需要分类讨论 来，第一种情况，分类讨论，那就是像刚才一样的 ap 是不是大于 bp？ 如果是 ap 大于 bp， 那么他的答案就应该跟上面是一样的，所以此时我们得出来的答案， ap 就等于三倍根号五减三，那么 bp 呢？就等于九减三倍根号五，这是一种情况。第二种情况， 那么就是我们的 ap 是不是小于 bp， 那此时如果 ap 小于 bp， 那我们可以得到，那么 ap 就是短的那条线段，短的那条线段也就是九减三倍根号五， bp 呢，就是长的那条线段，长的那条线就是三倍根号五减三， 这样的话，实际上就把他们的位置互换就可以了，这是一个答案，这是另外一个答案，这 就是这样的需要分类讨论。什么时候需要分类讨论呢？就当题目当中没有明确告诉你这个 ap 和这个 bp 谁长谁短的时候，那我们就需要分类讨论， 这就是黄金分割的一个简单运用，你学会了吗？关注波波老师，我们一起来学好数学！

大家都知道黄金分割是设计 logo 常用的表现手法，很多同学都知道，但是没有做过，今天我们就来看一下怎样在 ai 中用黄金分割设计 logo。 第一种方法是直接用黄金分割比例，也就是我们常说的一比零点六一八，这里介绍一个快速绘制的方法。首先我们画一个圆， 双击比例缩放工具，将等比数值设为百分之六十一点八，然后点击复制，然后按快捷键 ctrl 加 d 重复进行复制，这样就得到了多个黄金比例的正源。 第二个方法是利用斐波那棋数列进行绘制，概念不多讲了，我们直接看方法。首先画一个正方形，原地复制一个拉圆形，然后按照一个大的方形等于两 两者之和的规律重复复制，画好后将源提取出来，这样就形成了黄金分割比例的圆形环。以上两种方法用哪一个都可以。好了，我们来看下如何用他们来绘制 logo。 首先准备好我们的圆环和草稿，先将最大的圆环对齐到草稿中弧线最大的部分，然后将小圆环拿出来，再一个一个的对着草稿进行摆放， 由于时间关系，摆放过程我们加快一些。需要注意的是，在一些连贯弧形的部分，我们需要将圆进行贴合，不然后期处理起来比较麻烦。 画好之后，我们把描边变细一些，用实时上色工具将图形 部分填充出来， 然后我们将多余的线和草稿删掉，尾巴部分直接拿一个圆来进行描边处理， 目前向鼻子感觉不是很舒服，我们单独给它切一个斜角好了，这样就完成了。最后我们在提案的时候不要忘了把比例图放过来，高级感满满，你学会了吗？

好，大家好，我是陈哥啊，那个我们今天又分享一个小的知识点，就是我一个同学问我的，说如何用尺规作图，把一个线段分成黄金比例的两段。我们知道黄金分割笔， 黄金分割比，这个比值是二分之根号五减一，对吧？如果在一个线段里面的话，也就是一个线段 a b， 那么比方说有个点 c， 这个短的比长的 等于长的比总的，那这个点 c 就叫做黄金分割点，对不对？短比长等于长比总啊，也就是 b c 比上一个 a， c 刚好等于 a， c 比上一个 ab 的一个二分杠五减一，那么一条直线，一条线段是有两个黄金分割点的，可以靠右边一点，也可以靠左边一点，对吧？那我们如何用指挥作图来画一个线段的 那个，呃，咱找这个黄金分割点呢？我们这样去做，我们利用一比二比根号五的直角三角形。 直角三角形好，那怎么做呢？啊？看好了，首先我们能不能过点 b 做线段 ab 的垂直啊？ 怎么做呢？我们第一步延长它，延长 ab 出去，以点 b 为悬线，线适当长为半径画胡、画胡，然后分别再以这两个点为半径画胡画胡画胡画胡，是吧？这现在这条线就是 垂直于脚臂的吧。然后我们再一找啊， 我们再一找 ab 的终点，分别以 av 用圆形画弧、画弧、画弧、画弧， 这个点就是终点，是吧？垂直平分线，这个时候啊， 再以 b 为圆心，适当成为半径画弧，明白吗？不就是以这个二分之 ab 为半径画弧啊，这是我画的一个点 c， 我在连接 ac， 这个时候你看这个长度之比就是一比二，对吧？ 一比二的啊，那么此时 ac 的长度就等于多少根号五吧，是不是一比二比根号五吗？ 看好了，再这样画啊，再换个颜色。第三步，以 c 为圆心， c b 为半径，再画弧。 do 时候是不是教 ac 与点比方，说点 m 吧，明白吗？这个时候你看这个长度是多少呢？这个长度是一对不对？ 这个 am 是几呢？ am 是根号五减一，是吧？第四步啊， 黑色的好了， d 四五，再以 a 为圆形， am 为半截画弧， 知道吧？那这个点比方说 n 点吧， n 点极为所求， 为什么呢？因为这个 a n 的长就等于根号五减一，这个总长是等于一个二的， a n 比上一个 a b 就等于二分之根毫五减一，明白了吧？自己可以理一理这个过程啊。