画法几何与机械制图习题册答案第九版

各位同学大家好，我是教图学的熊老师，前面我用三个视频给大家讲一下空间几何元素的一些相对位置关系，其中包括平行、相交、垂直。 那有同学给我留言说，希望熊老师来讲一讲直角三角形法，也就是怎么样用直角三角形法去求一般位置直线的时长和倾角。 这个内容呢，在画画几何里面算是一个比较难的内容，但是他又非常有用，对于我们解决一些空间几何问题的题目啊，是非常关键的。 那么接下来我们就一起来学习直角三角形法。首先呢，我们回忆一下，根据直线与 投影面的相对位置，我们是把直线分为了三大类，第一类是投影面的平行线，有水平线、正平线、侧平线。第二类有投影面的垂直线，有牵垂线、正垂线、侧垂线。 那第三类呢，就叫做一般位置直线。那么一般位置直线呢？他指的是与三个投影面都是相互倾斜的这样的一条直线。 那我们规定是与 h 面的倾角为 alpha， 与 v 面的倾角称为 beta， 与 w 面的倾角呢称为伽玛。对于特殊位置直线，它的三个投影中总能有一个或两个能反映它的 的时长，也很容易找到他的假角。但是对于一般位置直线，他的三个投影是不能反映直线的时长，也不能够在图中直接找到这三个轻角。 那到底一般位置直线的时长和倾角怎么求呢？先提出问题。 那接下来熊老师要提出这样一个问题，如果我给你一个这样的三角形 abc， 请你通过作图去求出这个三角形的实形，什么叫实形啊？就是他在空间实际的形状。 我们来看这个三角形 a、 b、 c， 它是一个一般位置平面，所以它在三个投影面 面上的投影都不能反映他的实行，所以我们要通过做图的方式来求出他的实行，大家想一想，你能够做出来吗？其实我们只要学会直角三角形法，我们就能够求出 a、 b、 c 的实行。 大家想想什么叫做实行啊？我是不是只要知道三角形 a、 b、 c 的三条边的时长，我就知道了三角形 a、 b、 c 的实行了呢？ 所以这个题目实际上把它简化以后，就是求 a、 b、 b、 c、 a、 c 三条直线的时长。 那如何求一般位置直线的时长和倾角呢？那今天这节课你一定要认真听下去了， 这节课呢就是用直角三角形法去求时长和倾角。接下来我就讲一讲直角三角形法的作图原理和步骤。首先我们来讲第一个直角三角形，也就是先讲清楚原理， 我们来看图中有一条一般位置直线 a、 b， 那么它与 h 面的夹角是 a 法。 我们来看这样一个直角三角形，这个直角三角形的斜边呢，是直线的时长， 其中一条直角边，它的长度与 a 曲面的投影 ab 的长度是相等的。那另外一条直角边的长度，大家看一看，它是不是就等于 b 点 距离 h 面的高度减去 a 点距离 h 面的高度之差呀？也就是他的 z 坐标的差。时长和下面这条直角边的夹角就是阿尔法角。 那现在我把这个直角三角形画在右边，我们来总结一下，第一个直角三角形是斜边，是时长，那么他的其中一条直角边是直线在 h 面的水平投影， 那夹角呢？是直线与 h 面的夹角，那它的另外一条直角边就是两点距离 h 面的坐标差。现在我们用第一个直角三角形来求直线的时长和倾角 角。首先来看投影图，投影图给出的已知条件是什么？已知了其中的一条直角边 a b 的长度，还已知了他的高度差， 我们怎么做呀？高度差就是 a 点距离 o x 轴的距离和 b 点距离 o x 轴的距离之差。德塔 z， 那现在做图怎么做呢？也就是 以某一条直角边为直角边啊，然后做一个直角三角形，你可以在水平投影上做，你也可以在正面投影上做， 那我现在是选择在水平投影上做，我以 a b 这条线段作为一条直角边啊，做一条垂线， 那么这个垂线呢？就是另外一条直角边，他取多长啊？他取德塔 z 对不对？那接下来呢，我们就得到了刚才讲到的直角三角形，那么这个直角三角形做出来以后，我们就求得了 直线的时长和它的倾角。接下来我们来看第二个直角三角形，第二个直角三角形呢，它的斜边也是时长，它其中的一条直角边的长等于直线在微面的投影 a 一撇， b 一撇， 那还有一条直角边等于什么呀？他等于这两个点距离微面的差啊，就说距离微面的这个距离差，也就是德塔 y， 那么 德塔 y 对应的这个假角呢？就是贝塔角，那同样我把这个三角形放在了右边， 那么这个图呢，我们也总结一下，你看斜边是时长，其中的一个直角边，是直线在 v 面上的投影，正面投影另外一条直角边呢，就是两点与 v 面的距离之差。 deto y， 那德塔 y 对着的这个夹角就是 beta 角，还有第三个直角三角形， 第三个直角三角形呢？同样的斜边是时长其中一条直角边是直线在 w 面上的投影长，还有一条直角边呢，是两点距离 w 面的这个距离差，也就是德塔 x。 那我们现在 讲到了三个直角三角形，这三个直角三角形都可以求直线的时长，但是不同的是，它可以求出分别与 h 面的夹角阿尔法与 v 面的夹角贝塔， w 面的夹角伽玛。 接下来我们就来回到之前我提的这个问题，怎么样去求这个一般位置平面这个三角形 a、 b、 c 的实行，我们只要求出三条边的时长，我们就可以画出 a、 b、 c 的实行了。 我们来看，首先我们通过第一个直角三角形求出 a、 b 的时长，再通过第二个三角形求出 a、 c 的时长，再通过第三个三角形求出 b、 c 的时长。其实啊， 你也可以同样都用第一个三角形去求 abbc 和 ac 的时长都可以啊。那最后呢，我们知道了三条边的时长，我们就可以做出这个三角形的实行了， 你以为学完了吗？其实还没有，难点来了，点完赞再看。除了我们刚才讲的这些方法以外，接下来啊，我还想讲一下，就是怎么样运用直角三角形法解决更复杂的一些作图问题。 我们来看一看这三个死角三角形，他都有这样四个要素，第一个是直线的时长，第二个是坐标叉，第三投影长，第四倾角。那么我们把它称为直角三角形的四个 要素，他就像一个几何图形的函数。这四个要素啊，我们只要知道其中两个要素，就可以根据作图呢求出另外两个要素 啊。我举个例子，我们刚才讲到的是已知直线的水平投影和 z 坐标差，求时长和夹角阿尔法。 那大家想一想，如果我已知的是时长和阿凡呢，是不是也可以通过作图做出来这样一个直角三角形，也可以求出水平投影和 z 坐标差？那再有，如果我知道的是 时长和 g 坐标差，那同样也可以通过作图求出水平投影和 up。 因此啊， 这四个要素，我只要知道其中两个要素，我就可以通过作图来求出另外两个要素。但重点是，你要能发现他给的已知图中，他到底给出的哪两个已知要素。那现在我们来讲一个例子， 已知 e f 等于三十，是完成一撇 f 一撇，那我们来看一看这个题目，他给出了你什么已知条件啊？ 它给出了时长等于三十，还给出了它的水平投影长 e f， 也就是它的其中的一条直角边，那这个时候我们就可以通过作图求出 g 坐标叉和 a 发角， 那这这坐标叉就能够帮助你找到这个 f 一撇的位置，对不对？好，那接下来我们怎么做呀？ 首先要做出这个直角三角形，以 e f 为一直角边，哎，再呢，做一个直角对不对？做一个直角，那么这个长度等于多少？你知不知道呀？ 这个直角边是不是要求的？但是我知道的是什么？知道的是时长。所以呢，我可以以一为圆心，以三十为半径画一段弧，相当于找到了这个时长，对不对？那找到了时长，实际上就画出了这样一个直角三角形。 好，那另外一条直角变得长就等于什么呢？这座标的差。好，那根据点的投影，你看 f 一撇是不是 直接对上去要和 o a 轴垂直啊？那么又知道它的这桌标差，就很容易找到了 f 一撇。好，那最后呢，我们把一撇 f 一撇 连起来，就把这个题完成了。好，那么做一个题，我们要懂得去思考怎么样去解决其他的题目，也就是刚讲的已知了两个要素，我们就可以把直角三角形做出来，去求另外的两个要素。 好，最后我们总结一下直角三角形法，求直线的时长和倾角，说实话，它是画法几何里面很重要的内容啊，我们经常要去求某一些距离的时长啊，那么这个时候呢，我们就要记得这三个直角三角形， 这三个直角三角形非常容易记，第一个呢，它都是与 h 面相关的，你看它的水平投影在 h 面吧，对吧？阿尔法嘛，是与 h 面的夹角， z 坐标长呢，就是 两点与 h 面的距离之差啊。那第二个呢，就是与 v 面相关的， 第三个呢，就是与 w 面相关的啊，那这三个三角形你记下来了，接下来就是怎么运用直角三角形去解决一些空间几何问题，那你就要记住，我只要已知了他两个要素， 我就可以把这个直角三角形做出来，需求另外两个要素，那么另外两个要素就是你解题的目标，会了记得点赞，不会记得收藏。

做出四边形 abcd 上的三角形，一 fg 的正面可以 abcd， 这里面的三角形 d fg。

那么我们现在来讲一下平面啊，平面的投影。平面的表示方法有两种，一种是几何要素表示，另外一种呢是呃，记性表示，然后几何要素表示。有有五种情况啊， 那么平面对头与面的相对位置呢？有三种类型，七种面 啊，我来给大家念一下 ppt 啊。第一个，投影面的平行面， 陶影面的平行面，他的特点啊，我们可以看这个图，这个直观图，这里有 abc， abc 这三个面啊，是属于投影面的平行面，他是什么 什么情况呢？他平行于其中一个面，然后和另外两个面是垂直的关系啊，可以看 a 平行于 a 曲垂直于 v 和 w， 然后再看投影面的垂直面，投影面的垂直面可以看这个 pq。 二，这三个黄色的， 他的特点就是垂直于一个椅子的面，然后倾斜于另外两个面。那么他也有两三种情况，于正面垂直于侧面垂直， p 于水平面垂直，那么 可以分为正垂、侧垂和千垂。这里 投影面的平行面呢，可以分为水平面、正平面，鼻翼是正平面， c 是侧平面。那么还有一个面是 m 紫色的，这个紫色的这个 m 面呢，是属于一般位置面。 那么除了这个 m 这个面，其他面啊，其他六个面都属于特殊面啊，他特殊在哪里呢？他要不就平行，要不就垂直，比较特殊啊。那么这个是属于一般位置面。 然后平面对三个面的倾角和直线一样，对水平面的倾角为阿法，对正面的倾角为贝塔，对侧面的倾角 呢，为伽马啊。那我们首先来看一下这个投影面的平行面，因为我这 ppd 无法翻页啊，那么我们来看一下这个第一个投影面的平行面，我只不能放大，放大就没，没法翻页。 这里 a 是水平面啊，水平面有什么特点呢？水平面的特点呢，他就是平行于 h 面，然后垂直于 v 面和垂直于 w 面，他是个水平面啊， 然后正面这个 b 就是正面，正品面啊，也称正面， 他是与这个微面是平行的，然后 与 h 和 w 呢，是属于垂直的关系。再来看侧平面 c， 侧平面与 w 这个侧面呢，是平行的，然后与 v 和 a 曲是 垂直的。好，讲完这里呢，我们要把它展开来啊，把它展开来。首先第一个 哎，水平面，水平面把它展开来，就是这个形状啊，他的投影形状就这样子的，在正面反应出来的是一条横的线， 在水平面呢，是反应实行，那这个面呢，是无限大的啊，他这里是用四边形表示的，有些书上呢是用三角形表示的，这都是一样的。然后侧面呢，他是也是一条横的线啊， 两条横线在这里面反应实行啊，这是水平面的一个投影特征。再来看 正平面，正平面 b， 他是与正面是平行的，所以说在正面反应实行，然后 刚才水平面是上面量的横线，那么这个正平面呢，他在这水平面上是一条横的线，在侧面是一条竖直的线， 这是正平面。那么还有一个侧平面，侧平面 c， 从这个图上可以看出来， 他在正面集齐成一条竖的线，在水平面上也集成了一条竖的线，然后他和侧面 平行的能够反应实行，这是正呃，平面，三种平面啊， 那么我们来看头一面的垂直面，正垂面、前垂面和侧垂面啊，那他是一个什么样的情况呢？我这里就跳跳过去啊，来看一下正垂面，这个就是垂面啊， 正垂面他是与正面垂直的，然后离另外两个面是倾斜的。有的同学说，那么刚才那时候与正面垂直的水平面， 为什么不叫正垂面呢？因为他与正面也垂直的水平面为什么不叫正垂面？因为水平面除了和正 面垂直，和这个侧面也垂直的，两个都垂直，那我们就无法给他定义了啊， 那么因此呢，我们只给他这个垂面啊，定义是怎么样子呢？于一个面垂直，于另外两个面倾斜啊， 然后看这个面啊，这个面，这个面的夹角，那从这个面上看出来，他是在正面就是一条线了啊， 那么这个阿法脚就是以水平面的假脚，就是以这个黑裙面的假脚，这个蓝色的面的假脚为阿法，然后， 然后与这个侧面 w 面也有个伽马甲，能反应出来在正面上啊，另外两个面呢，都不能反应，实行是积极性 千层面，千层面在这个水平投影上集成一条线， 然后在正面和侧面呢，是两个类似的形状啊，可以可以看出来他是两个类似的形状， 那么在这个水平面上，他能反应出北塔脚也是与正面的假脚，还有伽马脚与侧面的假脚。那从这个图上可以看出来啊，他能得到这个与 w 的假脚就是伽马与正面的假脚。北塔啊， 他是一写两类字啊，那么头里面的垂直面呢？还有一种是侧垂面，侧垂面在侧面集成一条线，在另外两个面是两个类似型，然后他与正面， 他在这个这个 w 面上啊，能够反应出来，与正面的夹角，北塔和与这个水平面的夹角啊，阿阿法，这两个角是能反应出来的，那同学们可以思考一下啊，这能反应出来的， 那么除了这前面六种面之外呢？其他面呢？都是一般位置面啊，那一般位置面有什么特性呢？一般位置面的特性就是 他在于 v、 h、 w 面的投影面均为平面的类似型啊，他是三个类似的形状啊，他三个类似型没有集聚性，也没有反应实行， 那我们来总结一下啊，总结一下那投影面的平行面，投影面的平行面啊，三个投影面的平行面，投影面的平行面是这样子的， 在哪个面反应是行，就叫哪个面的平行面，比如说这里是在正面， 好在这里在水平面上反应实行，那就叫水平面，这里呢在正面反应实行，就叫正平面，然后这里呢在侧面反应实行，就叫侧平面啊，这是第一个，第二个呢，他另外两个面上的投影是怎么样子的呢？水平面两条横的线， 这个正平面一条横的一条竖的线，侧平面是两条竖的线，所以说他的另外两个面上呢，肯定是两条横平竖直的线 啊，分别为两条竖的、两条横的和一横一竖的啊这三种情况。然后再看投影面的垂直线，投影面的垂直线是一斜两类四，那么在 其中那个斜的那个积聚性的那条面上呢？他就是叫是那个面的垂直面，比如说这里在正面集成一条线，那么就叫正垂，这里， 这里正垂面啊，正垂面，正 q 面，正垂面，那么这里呢？在侧面，其余的一条线叫做侧垂，然后这条线呢，肯定是斜的啊，不能是，这条线是横平竖直的，如果是横平竖直就变成平行面了啊，平行面了。 好，那么接下来呢，我们来看一下啊， 来看一下这个这个物体啊，来看下这物体，那这个物体呢？同学们可以看出来啊，他是一个 四人柱啊，被斜切了，一个面啊，这也被斜切了，然后这边又被斜切了，斜切两道，然后看一下他水平面啊，水平面有哪些呢？来看一下啊，向上表面，这个就是水平面， 然后下里面呢，也是水平面啊，这个两个面啊，两水平面的特征就是足左，试图是两条横的线啊， 然后再看正平面，正平面是与正面平行的哪个呢？在正面平行的话的正面反义词形，另外两个面呢，是一横一竖啊，那么就是这个，就是背面的这一个啊， 然后再看侧平面，侧平面是与侧面垂直的，在侧面反应直行，另外两个面是两条竖的线，看一下啊，这 和这个这么有两个啊，两条竖线一一实行，竖线一实行啊，这是侧平面，那么正垂面是与正面垂直的。记了啊，正垂面，正面垂直，一条变成一条斜的线啊，斜的线哪里呢？这里一条斜的线啊， 然后就是这个面就是正垂面，侧垂呢，与侧面垂直，接近了，一条斜的线肯定是斜的，正老有积极性的，那就是这一条了啊，这条线，那么也只有一个侧垂面啊， 然后我们再来看一道题目吧啊，这道题目如图所示，下列关于卸面的投影迅速正确的是什么？那这里这道题目有一定的难度啊，如图 图所示，下列关于线面的投影叙述正确的是哪一个？那这个是一定要选择题。那么首首先我们来判断一下啊，直线 ab， 为什么线？ ab， 直线 cd， 为什么线？ ab 在哪里呢？在这里啊， ab 是什么线？那么根据投影关系对下来，他在俯视图上对应的只 a 点肯定在这里了， bb 点呢？ b 点呢？再对下来，在这个位置啊， b 点， 那么他这个水平投影知道了，他是两条斜线啊，他不符合我们的那个特殊面的特特殊线的特征，那他是一条一般位置线啊，他是一条一般位置线，那这边的话对应的关系你可以对下来 给他做一下啊，这个点在哪个位置啊？这是 ab， 那再看 cd 啊， cd 是什么线？ 呃，这里是对的啊，这是错的。 cd 在哪里啊？在这里啊， cd 在哪里啊？这里这里呢？根据投影关系 在主式图上呢，要不一条竖直的线，要不继续一个点啊，因为只有这两种情况了，那么根据投影对应的他只有在这里了啊，因此呢，他是一个正垂线啊，正垂线 不会是正平线的，正平线的话，他正面是一条斜的线啊啊，他下面是一条横的线，那他是竖的，肯定不可能啊，那这里错，这里对，这里错啊 啊。来看这个面，首先来判断批面，批面在这里啊，这个是批面，整个都是批面，那批面是个什么面呢？批面从这个形状同学们可能判断不出来啊，那我呢把这个模型的形状给大家看一下， 首先呢，它是一个四轮柱，然后被斜的切除这么一部分啊，被切除掉以后呢，再往下切， 这边有一只斜切角啊，斜切角，这边被斜切了，然后后面的这部分也被切了哈，这部分也被切，就这么形状啊， 那么还有呢，这里呢有一个三角形啊，三角形，那么相当于这里也有个斜斜角啊，斜斜角， 拿出咱们的形象哈，这是他的一个形状，那么这个主式图 那是能够对应的左视图能够对应的，然后俯视图呢，也是能够对应的。再来看左视图， 左视图呢，也是能够对应的啊，对应的他的三视图，那这个虚线我就不表示出来了。那么再来看这个平面批，为什么面平面批啊？他就是这个上表面啊，这上表面是什么面呢？上表面就是个水平面啊， 就这里啊，这里的话有一二三四五六六个点，他在上表面就集成一条线啊，在这边呢也是集成一条 线啊，那它是一个水平面是对的，但这里因为是错了，所以说，哎，是错的。比以平面啊，是什么面？平面啊？为千锤面。平面啊，在哪里？在这里啊，这个面， 这个面只有一个左视图啊，那么他的主俯视图是怎么样子的呢？来看一下啊，平面啊，就是吃哪个面啊？就是这个面， 这个面啊，就是蓝色的这个面，这个面，这个左视图，左视图就是这里啊，这个面啊，对到的啊，左视图应该这样子， 等一下，这面，这个面是左左左视图的一个呃，面，然后再来看俯视图啊，俯视图，俯视图， 俯视图，他就集成一条线了啊，这条线是斜的，就是这条线，左视图就这条斜的线，那么这里的对应的投影就是啊，这样子的啊，这个形状，那么主视图呢？是这个虚线的这个形状啊， 那这里呢？是一个千锤面，是对的，所以答案选 b 啊。那我们来看一下 c 平面， p 为正锤面， p 应该是水平面啊，一个水平面啊，是正锤，错啊，啊，是千锤 啊，从这里看出来到这个千锤面，千锤面，那这个呢？再来看一下，这个面是什么面呢？这个面是一个一般位置面，然后再看这个面，这个面是什么面，这个面也是应该是一个，呃，这个面也应该是一个正，其实是千锤面， 千锤面，他这个斜的，这个也是个千锤面啊， 好，这个写的是正锤，这个是一般位置这个水平，这个是正平，这个是千锤， 这个也是千锤面啊，同学们自己去分析一下啊，把这个图我的模型都给你们了，你们应该能想象出来的啊，它的形状。 好，那么这个面呢？投影呢？就讲到这里为止啊，如果说同学们想细致的讲，怎么讲呢？跟我讲一下啊。

那么我们现在来讲点的投影啊，为什么要讲点的投影？这个是为了方便后期讲结交线，相关线啊，包括那个三四图的补画，那么点的投影呢，是一个非常重要的内容， 那什么是点呢？点是构成物体的最基本元素啊，他点的投影则是物体投影的基础， 两个不重合的点可以组成一条直线，然后三三点组成平面，那么不管是直线平面还是体，都是从点开始来的，点是基础 那点的三倍。投影及投影规律我们是怎么来表示的呢？首先，那这里呢有三个平面，分别是 v， h， w 啊， v 代表的是正面， h 代表的水平面， w 代表的是侧面，那么有一个点 a 最牢空间点用大写啊，用大写啊，然后投影到三个面上的。这个点啊是不能用大写的， 正面用小写加一撇，侧面用小写加两撇，然后水平面用小写的字母来表示，然后这个 a 呢，要和这个 a 要对应啊，这个空间点用大写，这是他的规定的啊，规定的。 那么把这个呃点啊点的投影呢，他这个投影呢，是属于正投影啊，正投影呃，把这个点呢投影到三个面上， 那对应的这里呢？把这个呃 h 面沿着 ox 走往下翻九十度，然后这个 w 面呢，沿着这个 哦，谁走往右翻九十度，那么就会形成这么一个展开图啊，展开图，那么我们所有的图呢，都是用这种展开的这个投影画法的啊，不会像这样画空间直观图不会是画这个的啊， 那么正面投影 a， 这个 a 这个点呢，是用 用一个实心小点来表示的啊，有的教材上面呢，是有也是用空心小点的，那一般来说我们是要表达的话是用空实心的小点啊，不要画太大，实心小点。然后这些线呢，是属于辅助线， 辅助线我们学过线型应该用辅助线，应该用细式线啊，你把不要把这些辅助线加的很粗。然后这个点呢，没表达清楚啊， 然后这个轴也要把它画出来，这个轴，那么最高的往上这里呢？这个圆点，这里焦点呢？写个 o 代表零零啊， 那么是往上这里呢，是用谁表示？然后往左呢，用 x 表示，然后这里和这里这个歪轴呢，就用这个 oy 轴啊， oy 轴呢，把它展开来以后呢，这其实是重合的，两重合的一个轴，把它展到两个 投影面上的啊，那么这个呢，就是歪轴，也是歪轴，歪轴在 h 投影面，所以说叫歪曲。 对呢，这个呢，其实也是在我歪，呃，也是这个往外走，翻到右边以后呢，在 w 同一面上，所以说写 y， w， h 和 w 用小写啊，不要用这么大，不要用小一点啊，小一号字不要写的太大。 然后这里呢画一条四十五度线，也有人呢，会用圆规做一条弧，这都是可以的啊。 然后这个笔点啊，这里加了一个笔点，同一点，一个笔点，那笔点啊，在哪里呢？笔点 可以从这个图上判断出来， p 点比 a 点更右方啊，更右方，那么这个 x 呢？更小一点，然后 b 点呢？从这个俯视 头上看，哦，是水平头顶上看啊， b 点在 a 点的更后方啊，更后方，那么在这个后方，然后从这个， 嗯打这个，从这个主式图或这个，呃， v 面或 w 面看啊， b 点比 a 点要高一点，再高点，那么他的一个投影的位置在同一个位置啊，在这里 比点啊，比点对应的比他要高，可以从这里表达出来，比他更幼，从这里表达出来，然后比他更厚，那可以从这里表达出来，或从这里表达出来啊， 那么他是一个点的三门同音关系啊。 水平投影，用小写的字母来表， 是正面投影，用小写字母加一篇来表示，然后这个就是 ax， 这里就是对应的黑两撇啊，这条只能就是这个，只能就是歪子啊，歪子。 再来看啊， 点的三面投影体系，几只小日本关系啊，这里这字就不看了啊，太累了，这么多字。 xx 就是 点 a 到 w， v 的距离，这就是 x， 那么相当于哦， x 轴的距离啊，就是 x 轴的距离，你可以这么理解， ok， 轴的距离这里 x， 那么 y 呢？就是 a 点 点到黑点到这个微面的距离，那就是往外走，这个走的这个直，这个距离， 那么还有谁？谁就是 a 点到 o 点这里这个高度子到 h 面这个高度子，这个段也是，这段也是，这段也是，这段，都是高度子啊。 那么点的每个面投影的仅能反应 axy 谁的两个坐标，那么在这个投影面上只能反映 x 是谁，这个投影面上只能反映 c 和 y， 因为 x 在这边， x 没有啊，然后在水平面上只能反映 x 和 y 两个坐标啊。 那来看一道题目啊，已知点 c 的正面投影 c 一撇和侧面投影 c 两撇，求其点的水平投影啊，这道题目呢，怎么做呢？那就是连线啊，把线做过来，然后这边呢也做过来， 连下来，然后通过四十五度线，然后在这里呢，就可以找到一个焦点，这个焦点就是 c 点啊，为什么？ c 点刚才空间直观图看过了啊，为什么是在这个位置？ 然后再来看第二题，已知点 b 的坐标为二十，十三十，求点 b 的上面投影啊，二十十，三十他坐标，那么这个坐标对应的指呢？就是什么指呢？就是 x 值是二十，十呢，就对应的 y 值是二 十，我还指是十，这个三十对应的是谁？只谁只是三十，那么在这个每个头里面只能对应两个，走两个坐标啊， 然后把这个画出来，那么得到了他的三个点啊，那么这个水平投影用小写字母，这里呢？小写字母加一撇，这里呢？小写字母加两撇来表示啊。 好，那么除此之外呢，这个空间点呢，有可能还会在投影轴上啊，就是在 oxoyolc 轴上，那么假如在哦栽在轴上，那么投影点应该怎么表示呢？我们来看一下啊， 假如是这里在这个 oc 轴上，那么 oc 轴上这个点呢？他的正面投影和侧面投影呢？都在这个同一个位置了啊， 整个位置，从空间直观图看，同位置，那么水平同一点呢？在这里啊，在这个圆点位置，水平同一点，在这里啊，在水平面上，在这里啊，就是这个圆点，那么用鼻撇和鼻梁撇来表示，这里要不要加括号呢？不用加括号啊， 然后投影面的点，投影面的点呢？就是这个点啊，在投影面上，不在轴上，那我们应该怎么表示呢？我们来看一下啊，我们如果说在这个图上展开来，把它 a 点表达出来，那么在哪个投影面上？ 比如说在 h 投影面上，那么谁就是零啊？在这个，呃， v 投影面上，那就 y 的等于零， w 投影面上 x 等于零，就这么样子 啊，然后找到他的一个点点的位置，那这里呢？是 c 等于零啊，投影面上可以找到他的侧面投影 那么点的相对位置啊。这个，这个我们 不用讲了啊，这个不用讲了，来我们来看一下这个点。重音点啊，重音点，重音点呢？怎么表达的问题啊？重音点怎么表达？就像这里有个 b 点，有个低点，空间两点啊， 他这个点呢，在这个正面和 w 面上不重影，但是在这个水平面上重影了啊， 他怎么表示呢？我们把它展开来，那这个比例呢？从上往下看，也就是在这个水平头顶上啊， 得到了这个点呢，这个 d 在下， b 在上啊，那么在下面这个呢，我们需要加个括号，这个以后我们做那个，呃， 表面小点的时候非常重要啊，直到要有一个点，假的不可见，要加括号啊。

很多同学在画法几何和机械制图的入门问题上产生了问题， 呃，总不理解这个东西，这条线为什么画这条线，为什么不画这条线，为什么虚线，这条线为什么是这样的？搞不明白。然后老师说了，呃， 常对症，高平起，宽向等啊，然后就拿一根线，一根线的，然后那个去对着画，很痛苦。其实呢， 学机械制图第一的你需要的能力是什么？能力是空间的思维能力， 这个空间的思维能力很多人是没有，那怎么办？可以不断的练习自己，教给你一个方法， 如果这个方法你反复练习，你就可以成为制图高手，能把任何物体的任何的形状表达清楚。来，开始了哈。 看这么一个弓箭，有这么一个小箭，你在脑子里边他的主视图，他的俯视图，他的左视图，你反复的思考，反复的想， 反复的想，怎么办？这些相关线是怎么回事啊？圆柱和圆柱怎么 产生的？相关？什么情况？在脑子里边不断的思考，闭上眼睛不断的想着他旋转的样子，模样啊，一个一个东西 在脑子里边不断的转，不断的转，转久了他长什么样子你就想想的非常清楚。 其实在看图纸的时候也是有的人他能看懂，但是看的非常的慢，就因为他的空间思维能力不够强，如果你的思空空间思维能力够强的话，那你看图是非常快的，非常灵敏，非常的 呃，反应，就是说接受的比一般的人要精准，要快，速度。 所以说要成为真正的高手，要不断的练习自己。好， 祝你能成为一个机械之徒高手。

这节课我们来讲平面切割圆柱，也就是圆柱的结交线。 平面切割曲面体时，结交线的形状取决于曲面体表面的形状，以及结平面与曲面体的相对位置。 那么这里有个圆柱，圆柱被结切有几种情况啊？有三种情况，一种呢是结平面与圆柱轴线平行的去接搭，像这现在这个立体图的形状， 那么他平行于轴线去结的形状产生的形状是一个畸形。 第二种，截平面于圆柱轴线倾斜，那现在是倾斜的去切他，那么结交线 为椭圆，这个结交线的形状为椭圆啊，那么这个也是椭圆。当我们这个结交线于去结他四十五度的时候，是一种特殊的情况，等一下我会讲啊， 那么还有一种情况，当我们截平面于圆柱轴线垂直的，也就是横着去结圆柱的时候，结交线的形状是圆。有这么三种情况啊， 那我们来看立体圆柱被正垂面斜切，已知主俯视图，求做左视图， 这是一个圆柱啊，从火车头上看，他是个圆柱啊，他被结切批用机械来表示这么一个平面，那么他去结切以后，我们来看一下， 形成的是一个什么形成的是个椭圆啊，那么这左字头怎么画呢？我们来看一下。先补画出完整的第三面投影啊，他是个圆柱，那就是个矩形。那么在分析 斜平面披于圆柱的轴线倾斜，那么这是一个正垂面，在正面积成了一条斜线。 结交线，他这个圆上面的点呢，都变成一条线了啊，就是一条线，那么侧面投影呢，是应该是个椭圆啊， 然后我们来做图，首先呢这种像我们这种情况呢，就是要做图的话就要这样子做，先求 特殊点，在求一般位置点，那么特殊点是哪哪些呢？比如说最高、最低、最前、最后、最左、最右 啊，然后还有呢一些比较特殊的位置，一眼就能看出来的点，这里的话我们给他表达出来 abcd 分别是他的最左、最右、最前和最后四点， 那么他的主主视图上面的这个点的投影也是很能很容易找到的，那么侧边投影， 那就根据他的一个高平齐和宽相等，分别找到 a 两撇、 b 两撇、 c 两撇和低两撇。那么找到这一点呢，我们只能做出一个菱形，或者说是一个平行四边形，但是根据我们圆柱背结线的形状，他应该是 一个什么，应该是一个椭圆吧。啊？那这个椭圆怎么画呢？除此之外，我们就应该找一般位置点了， 那么在这里的上面呢，我们再做几个这比如说这条线的中间位置，这一半边的中间位置，再做几个点，对应的 e、 f、 g、 h， 那这个点呢也可以命名为一二三四啊，这个随你自己，这个点呢都是为了辅助的啊。 然后在这里呢，根据宽相等和高平齐，在这两条线上分别找到 e、 f 和绝曲 的侧边投影。那么做完这些以后呢，我们就已经找到了一二三四五六七八八个点， 然后八个点呢，我们对他进行光滑连线，那么最终呢形成了一个椭圆啊，形成这个椭圆， 然后上半部分呢是被结切的，我们还要判断一下他可见域有没有哈，那上半部分呢是被结切，结切以后，这上边左是的，上边这个紫色 这部分，洋红色的这部分就没有了，那就要去除掉，那最后呢，把整个图形呢，我们给他绘制起来，就是这样子一个左视图啊，他是个椭圆，这里是个椭圆， 那么随着节平面于圆柱轴线倾角的变化，这个椭圆，假如当这里是四十五度的时候啊，这个角是四十五度的时候， 那么他的正垂面这里啊，这个倾角是四十五度，那么胶线的空间形状呢，是会变成个圆的，为什么呢？因为椭圆的长半轴和短半轴相同了吧，那么自然就是一个圆了啊，你看这里对应的这里，这里对应的高度， 高度啊，和这里对应的宽度相同啊，那么就变成一个圆，四十五度的情况特特别要注意啊，这可以简化我们很多时候画出的一个步骤，这是一个 圆，不是椭圆啊，如果椭圆的话，我们就要用找点光滑连接啊， 那我们来看一下这里圆柱体的侧 外面投影要做他啊，这里呢，这个圆柱被结切了啊，这结切的话是重的切一刀，横的切一刀，那么重的切一刀是与轴线平行的，对吧？那他应该是个什么形状， 是不是一个矩形啊？然后这里呢是一个水平面吧，在左左视图上是一条横的线啊，我们来看一下，用两个平面去解切他那么形成的这么个形状。 那么这个左视图，首先呢，我们先画出完整体的左视图， 然后再补画结交线的投影。圆柱切口由水平面 p 和侧平面 q 七 切割轴承，他是有两个平面去切的，然后先求 p 的一个交线，这个 p 面是水平面，那么在主式图上，在左式图上啊，他就是一条横的线，那么通过宽相等来找出这个横线的长度。 接下来再看 q 面， q 面在正面吃一条线，那么我们刚才刚看到过啊，他平行于轴线，那么一次性的畸形，那我们把这个畸形的形状画出来， 然后再判断。可监狱，由于截屏面 q 位于轴线的左侧啊，他最大的一个转向轮廓线这部分没有被切掉，那因此呢，最大的转向轮廓线还需要保留，最后的结果就是如图所示。

呃，四星圆法画椭圆，这里有一个椭圆，他的长短轴位置已经固定的分别是 abcd， 那怎么来做四星圆？ 四星圆其实就是用四段圆弧，对，呃，用四段圆弧来连接，形成一个椭圆，那我们来看一下他的步骤。 第一步是连接 ac， 也就是我们把其中一个长轴的端点和一个短轴的端点相连接， 连接完 ac 以后，第二步将 ac 减去 o a， oc 之差，得 a 一一。那什么 什么意思呢？我们来看一下啊，就是这段诊断是 o a， 也就是长半轴，然后 这，然后这一段呢是短半轴，那么这一段从十一到上面这一段就是长半轴减短半轴，然后 这里在 ac 上，这里截取，截取一段，这段距离呢等于。 呃，长段长半轴减短半轴，得到一个点，这个点呢我们记为一一点，然后接下来做 a 一一的中垂线啊，中垂线， 然后得到在 o a 和 od 这条线上啊，数值和水平这两条线上分别相较于两点， oe 和 r， 然后利用对称性求得欧一的对称点，欧三和欧二的对称点欧四，那这四个点就是 四条圆弧的圆心点，然后将窝一、窝二、窝二、窝三，窝三、窝四、窝四、窝一，这些都把它相连接。 啊，为什么连接呢？因为等一下我们要找切点， 以恶暗为人心， 这里啊为圆心，以 o r， c， 这里 c， 这里是椭圆短短云弧的上端点，那做一条弧啊，做条弧， 然后以 o 一为圆心，以 o e、 a 为半径做一条圆弧，以 o 四为圆心， o 四 d 为半径做一条圆弧， 以 o 三到 b 这里为半径，然后作为一条圆弧，在这条两条 直线这边分别相较于两点，这两点呢就是切点 oea 为半径做后， 接下来我们来看一下同心圆做椭圆，那 同心圆做椭圆，首先我们来这里看他的长短轴，分别是七十、四十五啊，那我们做两个圆，两个圆的是同心的啊，一个是 直径是七十，一个直径呢，是等于四十五， 然后将这个圆两个圆啊，等分若干等分为若干分， 那我这里呢，给他等，和他一样等分为十二分啊，十二等分。这里做一条线啊，这条线的角度为三十度， 然后用软件给他处理一下啊，选择正列对象，这个以这里为中心 进行十二等分啊，那么这里接下来 分别过这些等分点啊，做平行线， 分别做平行线啊， 这里往下做平行线，往右做平行线， 大圆做竖直线，小圆做水平线， 这里大圆出发做数字线，小圆做平行线。 然后另外一边呢，我用软件镜像一下，也是相同的做法啊， 那这个竖直线和水平线会产生一个焦点，会产生焦点啊， 这里有八个角点，然后再加上长轴和短轴，他的四个端点啊， 那这里呢，就产生了一系列的点啊，这点啊，点错了， 应该在这个位置啊，那么用曲线板对他进行光滑连接，我这里呢，用软件这个样条线对他进行连接啊， 这个椭圆形成的这个椭圆就是用同心圆画法画的啊， 那么还有一个呢，是属于用八点法做椭圆，这个八点法做椭圆又是怎么做的呢？假如我们已知这个长短轴分别是七十、四十五，那么我们做一个矩形， 这个畸形呢，在他长度是七十啊，分别是七十十五啊， 然后连接对角线， 我把这个移过来啊，让让你们能看到 连接对角线，接下来呢，从这个任意零边的终点出发，做四十五度线，从这里出发啊，做四十五度线， 做一等腰直角三角形，这里顶点端点出发做四十五度线，一个是一百三十五，一个是四十五， 然后得到一个焦点啊，那么我们这里啊，以这个 c 也就这个点啊，为圆心 做一个圆，这个圆呢，从这条边的中点向两侧量取直角边的长度啊，那么也就是 像这里啊，量取指甲边长度也就在这个位置，到这个位置啊，那这里呢？接下来从这里出发，往下做直线，做这个 边长的零边的这个平行线啊，然后会于这个四十五的这个对角线啊，产生两个焦点，那这两对称的啊，这边也一样，也会产生两个焦点， 这是得到四个点，然后再加上原来的四个端点啊，四个端点，这里一个，这里一个四个端点，那 我们就找到了八个点，接下来用曲线板对他进行光滑连接啊，选择一样调曲线， 这是一种近视做法哈， 然后得到一个近视的椭圆，那这是八点法做的一个椭圆啊， 椭圆呢，一共就这么三种方法啊，四心圆八点法，还有一个是同心圆法，一般用的比较多的是四心圆的简化方法。