分式的基本性质教学设计一等奖

同学们好，我是北京市顺义区仁和中学的郑卓老师。本节课我们要学习的内容是分式的基本性质。 在学习本节课之前，先让我们来看这样一个问题，请用分数表示下列长方形的宽。如图，长方形的面积为二，长为六。让我们求长方形的宽。 我们知道长方形的宽等于长方形的面积除以他的长，则本题中长方形的宽为二，除以六，等于六分之二。再来看第 二小题，在括号一的基础上，将长方形对折，对折后重叠部分的面积为一，长为三。则本题中长方形的宽为一，除以三等于三分之一。 从图形的角度上，我们知道对折前后长方形的宽始终没有发生变化。从数量上，我们同样知道三分之一等于六分之二，或六分之二等于三分之一。 那你能说说通过怎样的变形可以由三分之一得到六分之二，或由六分之二得到三分之一呢？我们来看三分之一。 我们将分子、分母同时乘二，得到六分之二。六分之二，我们将分子、分母同时除以二，得到三分之一。 思考，在上述运算过程中，你运用到了什么性质呢？ 对分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，零除外，分数的大小不变。 上节课我们学习了分式，那分式是否也具有这样的性质呢？我们再来看第二小题，请用 分式表示下列长方形的宽。一。如图，长方形的面积为二，长为六 a。 让我们求长方形的宽， 长方形的宽等于它的面积除以长，则本题中长方形的宽为二，除以六 a， 等于六 a 分之二。 再来看第二小题，在括号一的基础上，将长方形对折对折后，重叠部分的面积为一，长为三 a。 在本题中，长方形的宽为一，除以三 a， 等于三 a 分之一。 从图形的角度上，我们知道对折前后，长方形的宽始终 没有发生变化。因此，我们可以得到三 a 分之一等于六 a 分之二，或六 a 分之二等于三 a 分之一。 请你说说，通过怎样的变形，可以由三 a 分之一得到六 a 分之二，或由六 a 分之二得到三 a 分之一呢？ 类似分数的运算，我们将三 a 分之一，分子、分母同时乘二，就得到了六 a 分之二。 六 a 分之二，我们将分子、分母同时除以二，就得到了三 a 分之一。由此可见，分式也是 是可以进行变形的。分数的变形依据，我们称之为分数的基本性质。分式的变形依据，我们就称之为分式的基本性质。 那你能类比分数的基本性质，尝试说一说分式的基本性质吗？ 有的同学可能会说，分式的基本性质是，分式的分子与分母同时乘或除以同一个整式，分式的值不变。这样说严禁吗？ 我们知道啊，分式的分母不能等于零。例如，三 a 分之一，我们将分子、分母同时成零之后，则分母为零，分式 没有意义了。因此，分式的基本性质正确表述应该是这样的， 一、分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，即 b 分之 a 等于 b 乘 m 分之 a 乘 m， m 不等于零。 二、分式的分子分母同除以一个不等于零的整式，分式的值不变，即 b 分之 a 等于 b 除以 m 分之 a 除以 m， m 不等于零。 关于分式的基本性质，同学们要注意，它是由以下几点构成的，一、分式的分子与分母我， 我们要对分式进行变形的对象是分式的分子与分母，要对他们都进行乘或除运算，要都乘或除以同一个，同一个什么呢？这也正是第三点，不等于零的整式。 这里要求同乘或除以的整式不能等于零，否则分母为零，分式就没有意义了。 那经过以上的变形，结果是什么呢？结果就是使变形前后分式的值不变。 这也正是分式的基本性质的作用，使分式进行横等变形。其中第三点，整式同学们尤其要注意， 这正是分式的基本性质与分数的基本性质的区别。我们来看，分数的基本性质中，我们要求分子、分母同乘或除以的是一个不等于零的数。 而分式的基本性质中，分子、分母同时乘或除以的是一个不等于零的整式。 下面让我们来做几道练习，判断下列从左到右的变形是否正确。 首先我们要考虑这道题要使用分式的基本性质来解决。我们先来看第一小题从 b 分之 a 到 bc 分之 ac 的变形。 首先观察从左边分式到右式发生了什么变化呢？我们发现分子、分母都成了 c， 那由此你能判断这道题变形正确吗？ 我们来看，根据分式的基本性质，第一条分式的分子、分母要同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，我们要求同乘的 c 不能等于零， 而这道题中未说明 c 不等于零，所以说变形是不正确的。 再来看第二小题，从 b、 c 分之 a， c 到 b 分之 a 的变。 首先观察分式从左边到右边发生了什么变化呢？我们发现啊，分子、分母都除以了 c。 到这里有的同学可能会说，刚才我们说了，根据分式的基本性质，分子、分母要同时乘或除以一个不等于零的整式，分式的值才能不变。 而本道题中同除的 c 没有说明它不等于零，所以说变形是不正确的。同学们这么说对吗？我们来看 b、 c 分之 a、 c， 它已经是一个分式了，既然它是分式，也就说明分母 b、 c 是不等于零的。既然 b 乘 c 不等于零，也就说明 b 不等于零， c 也不等于零，这便是我们这道题中的隐藏条件。 根据分式的基本性质，同时除以的 c 不等于零，所以说变形是正确的。那同学们以后在使用分式的基本性质解决问题时，就要注意其中的隐含条件。 来看第三小题，从 d 分之 a 到 b 加二， c 分之 a 加二， c 的变形。 首先观察从左边分式到右式分式发生了什么变化，我们发现分子、分母都 加了二、 c。 这道题我们知道，根据分式的基本性质，我们对分子、分母进行的是乘或除运算， 而题目中为加法，那么他就与分式的基本性质不符，所以说变形是不正确的。 这道题呀，举个例子同样可以说明问题。例如我们令 a 等于一， b 等于二， c 等于三， 这样左边 b 分之 a 等于二分之一，右边 b 加二， c 分之 a 加二， c 等于二，加二乘三分之一，加二乘三等于八分之七，显然二分之一是不等于八分 之七的，所以说这道题变形不正确。再来看第四小题，从 b 分之 a 到 b 方分之 a 方的变形。首先观察从左边分式到右式，分式发生了什么变化呢？ 我们发现分子成了 a， 而分母成了 b。 根据分式的基本性质，分式的分子分母要同成一个不等于零的整式，分式的值不变。 这道题中，分子式成了 a， 分母成了 b。 由于 a 跟 b 不是同一个整式，所以说变形依据与 分式的基本性质不符。本道题变形是错误的。这道题举个例子，同样也可以说明问题。我们仍然令 a 等于一， b 等于二， 这样，左边 b 分之 a 就等于二分之一，右边 b 方分之 a 方等于二的平方，分之一的平方等于四分之一，显然，二分之一是不等于四分之一的。所以我们说这道题变形是不正确的。 归纳总结，分式的基本性质一共两条。第一条，分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变。 g， b 分之 a 等于 b 乘 m 分之 a 乘 m， m 不等于零。二分式的分子分母同除以一个不等于零的整式，分式的值不变， 即 b 分之 a 等于 b， 除以 m 分之 a 除以 m， m 不等于零。 分式的基本性质是由以下四点构成的，我们对分式进行变形的对象是分式的分子与分母，要对它们都乘或除以同一个不等于零的整式。 经过以上变形，结果就是使分式的值不变。我们 在使用分式的基本性质解决问题时，要注意其中的隐含条件，例如 b c 分之 a c， 它的隐含条件就是 b 不等于零， c 也不等于零。 在熟悉了分式的基本性质的基础上，让我们来继续学习应用。来看例一，填空，在括号内填入适当的整式，使分式的值不变。 首先分析，要想使分式的值不变，我们就需要使用分式的基本性质对分式进行横等变形。 首先来看第一小题，从左边分式到右式发生了什么变化呢？ 我们先来看分子，左边的分子为 b， 右边的分子没有给出，需要我们计算填空。因此从分子入手，我们没有办法判断分式发生了什么变化。 我们再来看分母，分母左右两边均以给出，因此从分母入手，我们可以判断分时发生了什么变化。来看，分母从二 x 到二 xy， 分母成了 y。 根据分式的基本性质，要想使分式的值不变，则分子也要做相应的变化，即分子也要乘外，所以又变分式的分子就是 b 乘外，括号里填 b y。 再来看第二小题，观察从左边分式到右式发生了什么变化呢？我们发现啊，右边的分子仍然没有给出， 而分母左右两边都已经给出。要想判断从左面分式到右式发生了什么变化，我们仍然要从分母入手。 分母 x 减 y 到 x 减 y 乘 x 加 y， 发生了什么变化呢？我们发现，分母乘了 x 加 y。 根据分式的基本性质，要想使分式的值保持不变，则分子也要乘 x 加 y。 所以 幼师的分子应该是 r x 乘 x 加 y， 整理后得到 r x 方加 r x y， 括号里填 r x 方加 r x y。 再来看第三小题。第三小题首先观察分式四 x 分之 x 减 y 到右式发生了什么变化呢？ 我们发现左右两边的分子均已给出，因此我们要先从分子入手。 分子 x 减 y 到 x 方减 y 方，发生了什么变化呢？幼式的分子 x 方减 y 方是一个多项式， 我们没有办法直接判断发生了什么变化，因此我们需要先对它进行因式分解。所以当分子或分母中出现多项式时，就要先对其进行因式分解。 我们对 x 方减 y 方进行因式分解，根据平方差公式，可以得到 x 加 y 乘 x 减 y， 这样 x 加 y 到 x 方减 y 方的变化就可以看作是 x 减 y 到 x 加 y 乘 x 减 y 的变化。 这样我们容易观察出分子从左边到右边成了 x 加 y。 根据分式的基本 性质，要想使分式的值不变，则分母也需要做相应的变化，即分母也要乘 x 加 y， 所以右式的分母是四 x 乘 x 加 y， 整理后得到四 x 方加四 x y。 再来看第四小题。首先观察从左边分式到右式发生了什么变化呢？ 我们首先要先从左右两边都已经给出的分母入手来看分母从 a 方 b 到 a 方，我们发现分母除以了 b。 根据分式的基本性， 要想使分式的值不变，则分子也要除以 b。 因此左边分子除以 b 等于 a 加 b， 那左边分子就等于 b 倍的 a 加 b， 所以括号里应该填 a 加 b。 归纳总结，利用分式的基本性质，可以对分式进行横瞪变形。在使用分式的基本性质对分式进行变形时，分子、分母中出现多项事实，需要先对其进行因式分解。 再来看例二，不改变分式的值，将分式中的分子与分母的系数化为整数。 分析。由于画整前后分式的值不变，所以我们应该根据分式的基本性质对分式进行横瞪变形。 因此，本道题中我们需要始终考虑两个问题，第一个问题，分子分母系数化整。第二个问题，保障分式的值不发生改变。 首先我们来考虑第一个问题是分子、分母的系数化整。我们来看分母中的小数系数为零点五，要想使零点五化为整数，我们就需要乘二的倍数。 分子系数本身是一，就是整数了。再来考虑第二个问题， 保障分式的值不变。根据分式的基本性质，要想使分式的值不发生变化，我们就需要根据分式的基本性质，分子、分母要同乘或除以同一个部位零的整式。 那么这道题中分子、分母就要同乘一与二的公倍数。 一般来说，为了方便计算，我们选择最小公倍数，这里也就是二， 我们将分子、分母同时乘以二，这样既保证了分子与分母的系数化整，又使分式的值不发生改变。整理后，我们得到 b 分之二 a。 下面我们再来做一道练习，不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数都化为整数。我们仍然考虑两个问题，第一个问题，分子分母系数化整。 我们来观察分母中的小数系数为零点零一和零点五，要想使零点零一和零点五的系数化整，我们就需要乘一百与二的公倍数。 分子中的小数系数为零点一和负零点三。要想使分子的小数系数化整，则需要乘十的倍数。再来考虑第二个问题，不 百变分式的值。根据分式的基本性质，分子、分母就要同乘一百。二与十的公倍数我们仍然选择最小公倍数，这里也就是一百。 我们将分子、分母同乘一百，这样既保障了分子与分母的各项系数都是整数，又保障了不改变分式的质 计算得到 x 加五十 y 分之十， x 减三十 y。 这里同学们要注意，括号里的每一项都要与一百相乘，同时也要注意符号问题。 学习了本节 课，你都有什么收获呢？让我们一起来总结。首先知识上，本节课我们学习了分式的基本性质， 一共两条，一、分式的分子分母同乘一个不等于零的整式，分式的值不变，即 b 分之 a 等于 b 乘 m 分之 a 乘 m， m 不等于零。 二、分式的分子分母同除以一个不等于零的整式，分式的值不变，即 b 分之 a 等于 b 除以 m 分之 a 除以 mm 不等于零。 二、分式的基本性质是分式进行横等变形的 依据。方法上，本节课我们类比了分数的基本性质，得到了分式的基本性质。这种类比研究问题的方法在我们今后的学习中会经常用到。 下面布置本节课的作业，一共三道小题，请同学们认真完成。 最后祝同学们学习进步，本节课就上到这里，同学们再见！

在之前你已经学过了整事，那在这个视频里，我就来给你讲讲啥叫分式。如果 a 和 b 表示俩整式，并且 b 当中还有个字母，那式子 b 分之， a 就叫做分式。 比如 x 分之一， xyz 分之 w， 这些都是分式。其中 a 叫做分子， b 叫做分母。只要你看到一个柿子里头分母是有字母的，那他就是个分式。了解了概念，接下来咱们再看几个式子，这些他都是分式吗？ 先来看看第一个分母中有个字母， x 当然是分式。再看第二个分母中有个派，看起来像是个字母，不过它代表的不是圆周率这个长数吗？并不是未知数，所以它不是分式。最后一个有两项，第一项虽然是个长数二， 不过第二项字母中有字母歪，那它就属于分式。总的来说，一个式子要想是分式，那它的分母就必须有字母才行。另外，由于分式的形式比较特殊，如果它的分母的直是零，那这个式子就没意义了，所以分式的分母绝对不能是零。 比如这个例子，若分式二， x 减一分之， x 是有意义的，那 x 的取置范围是个啥呢？很明显，要想让分式有意义，那分母就绝对不能是零，也就是二， x 减一就不能等于零， 这个式子的减就是 x 的取值范围了。把负一移向过去二， x 就不等于一，那 x 自然就不等于二分之一了。所以最终的答案就是 x 不等于二分之一。好了，就讲这么多，总结一下，一个式子要想是分式，那必须满足一个条件， 就是分母中必须有字母。另外，要想分式有意义，那分母就必须不能等于零，这点你一定要记住。怎么样，听懂了呗，赶紧动手试试吧！

上课，同学们好，请坐！同学们，我们上节课刚刚学习了分式，那大家大声告诉老师，什么是分式呢？嗯，形入 b 分之 a， 并且 b 中含有字母，这样的式子叫分式。那同学们，分式有什么样的性质呢？ 嗯，大家带着这个疑问和老师一起走入今天的课程，分析到基本性质。 同学们，我们在小学的时候已经学习过了分数的基本性质，有谁还记得？好，请你来说。嗯，这位同学说啊，分数的基本性质是分数的分子和分母同时乘或者除以一个部位零的数，分数的大小仍然不变。 那这节课啊，我们就一起利用分数的基本性质来探究一下分式的基本性质。好，下面敬请同学们以前 后四人唯一小组进行交流和讨论。那能否先利用字母试着写出分数的基本性质呢？ 第二个问题，写完之后，需要大家进行小组讨论，讨论，交流一下你能否利用我们刚才得到的分数的基本性质，大胆的猜想一下，分式具有什么样的性质呢？好，大家开始吧。 嗯，我看到同学们都已经写完了，来，有请第二小组派一个代表把你们写到分数的基本性质的字母，表示写在黑板上来。 好，同学们，这位同学啊，已经写完了，我们一起来看看。这位同学根据分数的基本性质得到，如果 a 分之 b， 在分子和分母上同时乘 c， 这个分数仍然是不变的， 那么同时除以 c 呢？哦，大小也不会发生变化。那么当然在这里啊，一定要注意啊，写的时候要小心谨慎，这里的 c 是不能为零的。 那么同学们，刚才根据这个式子，你们能否大胆猜想一下分式的基本性质哦？这位同学说分式的基本性质和他差不多，只是这里的 abc 都变成了相关的一些表达式。嗯，这位同学的猜想可真大胆， 那同学们，数学不光需要大胆猜想，更需要小心的求证。那我们该如何去证明这个刚才的猜想是正确的呢？下面就请同学们继续以小组的形式去猜想验证一下。好，大家开始吧。

同学们大家好，我是来自于北京市第十五中学的数学教师刘波，今天我们将一起来学习分式的基本性质。 那上节课我们学习了分式的概念，那你能说出分式的概念吗？ 相信这个问题对于同学们来说非常简单，一般的，如果 ab 表示两个整式，并且 b 中含有字母， 那么式子 b 分之 a 就叫做分式。在分式 b 分之 a 中， a 叫做分子， b 叫做分母。我们还学习了分式有意义时分式中字母的取值范围。 那么我们在小学学习分数的时候，大家还记得吧，在概念之后，我们学习了分数的基本性质，那么和他们一样，我们今天就要继续来学习分式的基本性质。 那么你能叙述分数的基本性质吗？对，就是对于分数 来说，一个分数的分子，分母乘或除以同一个不是零的数，分数的值不变。 如果用符号语言来表示，就是 b 分之 a 等于 b 乘以 c， 分之 a 乘以 c， 或者 b 分之 a 等于 b， 除以 c 分之 a 除以 c， 这里面 c 不能等于 a， b， c 代表的是数。那么类比分数的基本性质，你能猜想出分式的基本性质是什么吗？ 相信有一部分同学已经可以说出来了，那就是分式的分字，分母乘以或除以同一个不是零的数，分式的值不变。那么你能对这个猜想进行说明吗？ 除了用数字来说明之外，我们还可以借助图形语言进行形象的说明。 如图所示，三个完全相同的小长方形摆成一个大长方形，小长方形的面积为 s， 长为 a， 那你能表示出他们 宽吗？这个问题同学们应该更加熟悉。在上节课的引入中，我们就用到了长方形的面积和长宽的关系， 那我们可以有一个小长方形得到它的面积为 s 除以 a， 也就是 a 分之 s。 那同时我们也可以从三个小长方形组成的大长方形来看，那么它的面积是三 s， 长是三 a， 那么宽就是三 s 除以三 a， 也就是三 a 分之三 s， 他们表示的是相同的宽，我们自然可以得到 a 分之 s 就等于三 a 分之三 s。 这就说明，对于分式来说，分式的 分子分母乘同一个不是零的数，分式的值是不变的。但是我们都知道，从分数到分式，从数字到字母， 那么分式的分子分母如果乘的是同一个不是零的整式，分式的值还会变吗？下面我们就先研究分式的分子分母乘同一个不是零的单项式， 我们借助于这个图形继续扩展，现在用 m 个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，那么你能表示出长 长方形的宽吗？同样从一个小长方形来看，它的宽为 a 分之 s， 如果从整个大长方形的角度来看，那么它的宽就是 m a 分之 m s， 那么他们表示相同的宽，所以我们就得到了 a 分之 s 等于 m a 分之 m s。 这样我们就验证了分式的分子分母乘同一个不是零的单项式，它的值仍然不变。 那下面我们就来探究一下，如果分式的分子分母乘的是同一个不是零的多相式会怎么样？怎么办呢？大家动动脑筋，我们是不是把这个图形 可以继续扩展，如果用 m 加 n 个小长方形拼成了一个大长方形，那么你能表示出它的宽吗？ 对，我们仍然可以从每一个小长方形的角度来考虑，那它的宽就是 a 分之 s。 我们也可以从前 m 个小长方形组成的这个长方形来考虑，那它的宽就为 m a 分之 m s。 我们还可以从后 n 个 长方形组成的这个大长方形来考虑，那它的宽就为 n a 分至 n s。 那如果我们从整体来考虑呢？那它的宽 就为 m 加 n 倍的 a 分之 m 加 n 倍的 s。 这样我们就可以得到， a 分之 s 等于 m， a 分之 m， s 等于 n， a 分之 n， s 等于 m 加 n 倍的 a 分之 m 加 n 倍的 s。 经过前面的探究，我们就可以得到分式的分子分母乘同一个不是零的整式，分式的值是不变的。那么除法呢？ 这个问题相信同学们并不难解决。我们知道除法和乘法是一对逆运算，我们可以通过倒数把除法变为乘法，所以 我们就得到了分式的基本性质。分式的分子、分母乘或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变， 用符号语言表示就是， b 分之 a 等于 b 乘 c 分之 a 乘 c。 或者 b 分之 a 等于 b 除以 c 分之 a 除以 c。 和分数不同，大家会发现这里面用的都是大写字母，那大写字母代表他们都是整式，而且要求 c 是不等于零的。 下面我们就通过一个填空来对于分式的基本性质进入更深刻的认识。 大家在浏览题目的过程中来观察一下分母和分母之间，或者分子和分子之间，他们乘或除的是什么样的式子？ 来看第一题。第一题等式左边的分母为 x y， 右边的分母为 y， 这个非常容易我们就发现是通过除以 x 得到的。 要想是这个等式成立，根据分式的基本性质，那么分子也要除以 x， 所以我们就很容易得到 x 方也要除以 x， 也就得到了 y 分之 x， 所以这个括号我们要填的是 x。 二六 x 方分之三 x 方加三 x， y 等于 分母。不知道分子为 x 加 y， 那么这个和刚才的题不一样，在哪？它的分子已经变成了一个多项式，那么从一个多项式到一个多项式， 它究竟是乘还是除以什么样的式子，我们并不能直接看出来，那怎么办呢？那么就需要把多项式变出音式来，那当然我们就可以用之前所学的音式分解。 那对三 x 方加三 x y 来说，我们只需要提供音是三 x， 就可以得到三 x 乘以 x 加 y， 这样的话，我们和右边的分子做一对比，就很容易可以发现 分子除的是三 x， 这样的话，我们要保证等式成立，那么分母也要除以三 x， 所以结果为二 x 分之 x 加 y， 所以这个括号里边我们要填的就是二 x。 三 a， b 分之一等于 a 方 b 分之多少。 这个又回到了单项式啊，对于我们来说就变得非常简单了，分母从 ab 变成了 a 方 b， 也就意味着他要乘的是 a a， 那当然分子也要乘 a， 所以分子一乘 a， 结果就是 a， 所以我们要填的啊，就是 a。 第四个 a 方分之二， a 减 b 等于 a 方 b 分之多少？ 这和第三题也是类似的，它的分母从 a 方变成了 a 方， b 很明显可以看到是成了字母 b， 所以分子也要乘以字母 b， 那我们就得到的是二 a 减 b 乘以 b。 然后利用单项式和多项式的乘法，我们得到了结果是二 ab 减 b 方，这就是我们的括号里边要填的就是二 ab 减 b 方。 第五个 m 加一分之 m 等于多少？分之 m 方减 m， 那这个题和刚才的第三题类似， 他的分子是个多项式，所以我们同样可以把这个多项式进行因式分解。我们只要提取公因式 m， 就得到了 m 乘以 m 减一。 那么这样我们很明显就看到分子从 m 变成了 m 乘以 m 减一，也就是他成了 m 减一，所以分母 m 加一也要乘以 m 减一。 那我们知道 m 加一乘以 m 减一是平方差公式，所以得到 m 方减一，分之 m 方减 m， 所以括号里边要填的 就是 m 方减一。那么利用分式的基本性质，对分式进行变形的时候，我们要注意什么呢？第一个一定要注意的是分子分母进行相同的乘和除运算， 就是不能出现分子是乘，分母是除，这是不可以的。第二点，分子或者分母是多项式的时候，我们可以进行因式分解，这样更方便我们去观察分子或分母的变化情况。 下面大家来做一个练习。 这个练习相对来说就比较简单，从分母来看，从三 x 方 y 变成三 x， 它是除以了 x y， 所以分子也要除以 x y， 那么得到的结果就是五 y。 第二个 x 加 y 分之一，等于 x 方减 y 方分之几。 那么根据刚才的经验，我们可以得到 x 方减外放式需要进行音是分解的， x 方减 y 方分解为 x 加 y， 乘以 x 减 y， 所以它的分母成了 x 减 y， 那同样分子也乘以 x 减 y， 所以括号里填的就是 x 减 y。 第二个，练习下列各式中正确的是哪一项？我们来观察这 四个选项，它里面的变形是如何进行的。先看 a 选项 a 选项左边的分式分子分母 a 加 m 和 b 加 m， 但是右边的分式分子为 a， 分母为 b， 它实际上是让分子分母同时减了 m， 这和分式的基本性质是不适应，这和分式的基本性质是不符合的，所以 a 是错的。 b 选项 a 加 b 分之， a 加 b 等于零。 这个我们可以让分子、分母同时除以 a 加 b。 那么除以 a 加 b 之后得什么呢？我们除法里知道，零除 除以任何不是零的数值为零，自身除以自身应该得一，所以 b 选项也是错的。 c a， c 减一，分之 a， b 加一，等于 c 减一，分之 b 加一。那我们来观察左边的分时和右边的分时，这个加一减一都还存在，但是前面的 a、 b 变成了 b， a、 c 变成了 c， 他虽然上下同时除以了 a， 但是是分子和分母的部分除以了 a， 所以仍然不符合分式的基本性质，所以也是错的。 所以正确答案是四 d。 那四 d 你会做吗？对，我们只要 要把 x 方减 y 方进行因式分解为 x 加 y， 乘以 x 减 y， 这样分子分母同时除以 x 减 y， 就得到了 x 加 y 分之一。 下面我们来看分式基本性质的第二种应用，说不改变分式的值是分式中的分子，分母中的字母系数都不含符号。 符号是我们初中数学里边比较难的地方，所以在这里面我们一般都要先确定这个符号，便于我们的计算。先来看第一个分子为负五 a， 分母为负三 b 上下都有符号，那怎么办呢？我们还可以回归到除法，在除法里边，两数相除，同号得正，所以 负三 b 分分之负五 a， 就可以得到正的三 b 分之五 a。 第二个三 x 分之负 y， 同样根据除法法则，两数相除，一号得负，这么就可以得到它的结果，等于负的三 x 分之 y。 那么第三个负的 x 减二，分之一减 x。 在这里边，首先我们要知道，题 默的要求是字母系数不含符号。对分子来说，字母 x 它的系数为负一， 而分母中 x 系数是正义，所以实际上我们要变形的是分子上 x 的系数。那如何把这个负的变为正的呢？我们可以先利用天括号法则， 把 x 减一，填个括号，前面加上负号，这样他们就保持了相等。 这个时候我们来看分式本身是负的，分子有个符号，那么我们可以利用除法法则，这两个相处完是负的，前面还有个负的，就得到了正的，所以结果就等于 x 减二，分之 x 减一。那么根据这个例题，我们可以归纳出分式符号的变形的法则。变号的， 根据例题，我们类比学习分数时符号的变化，利用分式的基本性质变形就可得分式的变号法则， 那就是分式本身及其分子、分母这三处的正符号中，同时改变其中的两处， 那么分式的值是不改变的。如果用符号语言来表示，那就是 b 分之 a 可以等于负的 b， 分之负 a 也可以等于负的负 b， 分之 a 还 可以等于负 b， 分支负 a。 有了分式的编号法则，我们在学习时就可以把很多符号问题提前作以处理。 下面我们来看一个练习不改变分式的值，是下列分式的分子、分母都不含符号，那利用刚才的法则，关键是同时改变两处符号。 先来看第一个五 a 分值负三，因为我们需要分子、分母不含符号，目前分母不含符号，只有分子含符号，那么同时改变两处，那就只能改变分子和分式本身， 所以结果就等于负的五 a 分之三。第二个，负 a 分之负二 b。 这个分式的分子、分母含有两个符号， 而且都在分子或分母上，我们需要它同时编号即可，所以结果就等于五个亿分之二 b。 第三个，这个式子中符号比较多，有三处分子分母和分式本身。但是我们的目标是分子分母不含符号， 所以我们只需要变化分子、分母的两处符号即可。分是本身的符号，并不用改变，所以它的结果就等于负的十五 x 分之十以外。 除了符号的变化之外，我们可以看一看分式基本性质的其他应用。 一把下列分式中的字母 a b 同时扩大到原来的二倍，分式的值会怎么变化呢？ 当然有的同学可以通过直观就感觉到他的直改变了，或者是直不改变，但是直观一定是正确的吗？ 那我们就需要对它进行变形替换，这里边把 a、 b 同时扩大到原来的二倍，那我们就可以把 a 替换为二 a， b 替换为二 b， 那么对于第一个式子来说，就变成了这个样子， 分母变成了二 a 减二 b， 分子变成了二乘二 a， 那么我们把分母提取公因是二，就会得到二乘，以括号 a 减 b， 这个时候我们会发现 分子分母都有二，所以我们让分子分母都除以二，就得到了 a 减 b 分之二 a， 那么大家看我们得到的这个和原来的分式作比较， 他的值是不变的。那么第二个式子也是不变的吗？我们按照同样的方法， 把 a 替换为二 a， b 替换为二 b， 那么这个式子就变成了这个样子。分母为二 a 加二 b， 分子为二 a 乘二 b， 同样，当分母提取公因是二之后，分子上我们来看它有两个二的因数，那我们让分子分母都除以二，就得到了 a 加 b 分之二 a b， 而这个时候大家看分子是 r a、 b， 而原来的分子是 a、 b， 那么就可以得到 新的分式的值是原来分式值的二倍。所以在判断这些题的时候，大家不要仅凭直观，一定要带入啊，对应替换的倍数进行计算。 下面我们来看这个练习。如果把分式 x 加 y 分之 x 加 二， y 中的 x， y 都扩大十倍，那么分数的值会怎么变呢？ 当然我们把 x 替换为十 x， y 替换为十 y， 那么大家来看这个式子就变成了这个样子。 分子我们可以提公因是十，分母同样可以提公因是十，这个时候分子分母同时除以十， 就得到了 x 加 y， 分之 x 加二 y 和原来的分式相比，它的值没有变化，所以这个答案选四 d。 下面我们来回顾本节课所学习的内容。一、分式的基本性质，分式的分子、分母乘或除以同一个 不是零的整式，分式的值不变。在应用分式的基本性质时，需要注意，一、分子分母应同时做乘，除法中的同一种运算。二、所乘或除以的必须是同一个整式。 三、做乘或除以的整式一定不能是零。 二、分式的变号法则，分式本身及其分子、分母这三处的正符号中同时改变两处，分式的值不变。三、 分的学习，我们类比分数的学习可以借助图形来提升对代数的理解。 下面是今天的作业。 好，这节课就上到这里，同学们再见！

分数你肯定已经再熟悉不过了，咱都知道他有一个基本性质，那就是一个分数，他的分子和分母同城，或处于一个不为零的数，分数的值不变。 举个例子来说，六分之五，这个分数的分子和分母同乘二，得到十二分之十，那这俩分数的值依然相等。再比如，十二分之八，这个分数的分子和分母同时处以一个四，得到三分之二，这俩分数的值同样也相等。 其实，这条性质对于分式来讲也同样适用。比如 y 分之 x 这个分式，给分子和分母同成 x 得到 x， y 分之 x 方，这俩分式还相等。再比如，五 a 分之三 a， b， 分子分母同出也 a 得到五分之三 b， 这俩分式的值也相等。总的来说，分式的分子与分母同乘，或 处于一个不等于零的整饰，分式的值不变，这就是分式的基本性质了。了解了性质，你还得会用它来进行计算。比如这个例子，分式 x 加 y， 分之 xy。 如果分子和分母同时变为原来的五倍，那分式的值肯定没啥变化。 不过，如果其中的 x 和 y 都变成了原来的五倍，那分数的值会发生啥样的变化呢？由于要变成五倍，那 x 和 y 就变成了五 x 和五 y。 把五 x 和五 y 带入原市当中，替换原来的 x 和 y， 那分母就变成了五 x 加五 y， 也就是五倍的 x 加 y， 分子就变成了五 x 乘五 y， 得二十五 x y， 不难发现，上下能同时约掉五，结果就是 x 加 y 分之五 x y。 很明显，新分式恰好是原分式的五倍。观察一下结果 不难发现，给分子分五扩倍，分式的值不变，而直接给其中未知数扩倍，分式的值就发生了变化。所以你在计算时可要分清到底这个倍数是成给谁的。可别看到分式以及扩倍这样的字眼，就想当然的认为分式大小不变哟。 好了，就讲这么多，总结一下，分式的基本性质只有一条，那就是分式的分子和分母同城或除以同一个不等于零的整式，分式的值不变，利用它，咱就可以给分式进行各种各样的变形了。至于具体的应用啊，咱下回分解。

成熟同事直不变，基本性质要熟练。这节课我们来学习分式的基本性质，变号法则。 呃，分式的基本性质可以用来去更改这个分式中分子分母的符号，其实也就是我们说的变号法则。比如说啊，对于一个数啊，五分之负三， 对吧？这是一个分数，那这个分数呢？我可以让他分子分母同时乘负一。 分子分母同时乘负一，肯定分数大小不变吧，乘完之后，分子上剩正三，然后分母上负五，还明显两者应该是相等， 那他就有点相当于把这个分子上的符号怎么样了呢？我给挪到下边来了，挪到分母上围了， 看到没有？挪到分不上来了。同样道理，我们应该知道，五分之负三，其实我可以写成把负号挪前面来，写成负五分之三。对啊，两者肯定是三等的，那就相当于是把这个负号我又挪到了这个分数的前面， 这样的话，同一个符号，你看，我可以放在分子上，放在分母上，也可以放在这个分数前面 啊，就类似于符号是块砖，哪里需要哪里搬。哎，这个符号呢，可以在分子，可以在分母，也可以在分数前面， 同样道理，这是分数，分数也是一样的，比如说 b 分之负 a， 现在负号，你发现是在分子上，我可以让他挪下来，他一定等于负 b。 分之 a， 就是把符号挪到分不上来， 相当于从左到右，还是分子分母同时乘负一，这样的话，上面变成 a， 下面是负 b， 就相当于把符号弄下来了。当然我也可以把符号挪到前面来，变成负 b。 分之 a 啊，负 b 分针。所以说这个符号呢，可以这个哎，随意的变换，分子挪到分母，可以再挪到分式的前面，或者说我们可以这样理解，就是对于 分式来说，他的分子分母和分式前面如果有两个地方同时变号， 两个地方同时变号，这个分式的大小是不变的。 那列什么意思呢？两个地方同时变号，你看啊，前面这个等式相当于是分子变号了，复变症分母也变号了，对不对？而后面这两个相等呢？ 其实相当于是，呃，分母变号了，由复壁变成正壁，然后分式前面添了个符号，然后第一个和第三个相等呢？相当于是分子变了，分式前面符号也变了。只要是这 三个地方两个地方同时变号，这个大小一定是不变的。哎，大小也是不变的。很多题目我就可以利用这一点呢，去对这个分式进行相应的一个转换，认为下列等式成立的是 啊，下列等式成立的是。我们来看一下啊， a， a 呢？很明显，在这里边分子都是 a 没有变，对吧？分子都是 a 没有变，而分式前面呢？呃，右边也有一个符号，前面没有 是吧？应该是兄弟多了个符号。但是你再看分母上一个是负 a 加 b， 一个是 a 加 b， 这两者有关系吗？这两者有关系吗？注意，这两者没 关系啊，负 a 加 b 的相反数应该是谁呢？应该是 a 减 b 才对，而不是 a 加 b。 应该是 a 减 b 才对，而不是 a 加 b 啊。所以说，相当于是把分母上的符号提前面来，分母号提个符号出来之后，剩的应该是 a 减 b 啊。如果答案是 a 减 b， 分之 a 前面加符号就对了，但很明显他是不对的，所以 a 错 减下 b， b 啊。负 a 加 b 分之 a， 然后等于 a 减 b， 分之负 a， 看一下这个是不是正确呢？ 这个应该是正确的，因为你发现从负 a 加 b 到 a 减 b 应该是怎么样的呢？应该是变了 符号对不对？负 a 和 b 符号都变了，相当于是成了个负一吧。而分子上呢，从 a 到负 a， 是不是也是成了个负一 对不对？所以现在是分子分母同时乘负一大小一定相等的，同时变两个符号是可以的。所以 b 领卷， 然后再看 c， c 是 a 加 b， 分之 a 等于后面这个十字，那你发现，呃，后面呢？分母上是负一加 b， 很明显这两者就 不是互与相反数的关系。 a 加 b 的相反数应该是谁呢？应该是负括号里边 a 加 b， 括号里边 a 加 b， 然后记完号之后应该是负 a 减 b 才对。他写反了啊， 现在复黑加闭了。就是很多题常会在这种式子变相反数的时候，给你符号上给你设置障碍，所以说他其实应该想写的真实答案应该是这个，但是无奈这个分母上写错了啊，分母的相反数写错了，所以 c 也不对。 d 的话，分母上相反数到写对了啊。从 a 加 b 到负 a 减 b， 相反数变了，但是你发现分子上也变相反数，前面又多了个符号，他相对是三个地方同时添符号了。 说现在添了三个符号，三个符号就还是负的呀。因为两个符号底下了，最后还是负的，所以说前后应该是互相数的关系，并不相等 d， d 应该是错误的。哎，只有 b 是正确的。 这就是这类利用等式的基本性质判断符号的问题。你可以让符号搬家啊，符号从分子分母啊，咱挪到分式前面随意挪，或者也可以利用两个地方同时变号这种思想去做都是可以的。 好，最后我们简单总结一下一个分式的分子分母与分式本身，他的这个符号呢？ 改变其中的两个，你发现分式的值是不变的啊。本身是有三个符号吗？ 本身是有三个符号，你改变了其中的两个分式的，只是不变的。很多题目啊，用这个结论去做题，非常之快。好，那么这节数讲解到这里。

同学们好，今天我们来学习分式及其基本基本性质。同学们好，今天我们来，同学们好，今天我们来学习分式及其基本性质。 学习目标，理解分式的概念，能区分分式和整式，根据实际问题列分式。第二，理解分式有意义无意义等于零的条件，并学会解决实际问题。 首先，我们来复习一下整翅的概念，我们知道单项式和多项式统称为整式整翅。第二，下列游理池中哪些是整翅？我们观察一下。 a 是单项式，负三 x 平方， y 的三次方，它是单项式。五、 x 减一是多项式。 x 平方加 x， y 加 y 的平方是多项式，那么 m 减 n 分之二， 这既不是单向次，也不是多向次。 y 分之 x， y 也不是单向次，也不是多向次。九、 a 减一分之 a 不是单项式，也不是多项次。三分之 m 是单项式， ab 分之 c 既不是单项式，也不是多项次。所以我们的整式就有， 以我剩下的 m 减 n 分之二， y 分之 x， y， 九、 a 减一分之 a， a b 分之 c， 他们 又是称为什么呢？这是我们这节学习的内容。好，我们来看一下以下几个问题。第一，面积为二平方米的长方形，一边长是三，则他的另一篇长是多少？ 那我们知道长方形的面积公尺是长乘以宽，所以我们另一边长就是用它的面积除以三，因此是三分之二米。 第二，面积为 s 平方米的长方形，一边长为 a， 则它的另一边长。那很快我们也能做到是 a 分之 s。 第三，一箱苹果售价 p 元，总重量 m 千克，相中 n 千克每千，则每千克苹果的售价是多少？那苹果的售价也就是他的 单价应该是等于总前数，除以它的重量，我们苹果的重量应该是等于总重量，减去相重就是苹果的重量，总前数是 p， 因此是 m 减 n 分之 p。 好 观察以上赤子有什么共同特征和不同特征，那这三个赤子，他们从外形来说的话，都是 b 分之 a 的形式， 但是我们第一个赤子，他的分母是数字，而我们后两个赤子，他的分母都是含有字母的， 所以我们把后两个像这样的尺子啊，就是说我们形如 b 分之 aab， 都是整质，并且 b 中，也就是说我们分母当中含有字， 并且分母是不能等于零的。次子叫做分次，其中 a 叫做分次的分子， b 叫做分次的分母，这就是我们分次的概念。那我们看一下下列有理式中，哪些是整次，哪些是分次。 x 分之一，它是 b 分之 a 的形式，并且分母中是含有字母的，所以它是分尺。二。分之 x 虽然是 b 分之 a 的形式，但是分母当中是数字，没有字母，所以它是整式。 x 加 y 分之二 x， y， 它是 b 分之 a 的形式，并且分母当中有字母，因此是分式。三分之二 x， j、 y， 它是 b 分之 a 的形式，但是分母当中是没有字母的，所以它是整式。 派分之 a， 我们虽然是 b 分之 a 的形状，并且分母当中看似派是字母，但是我们知道派是圆周率约等于三点一四一五九二六，它是一个数字，因此派分之 a， 分母当中没有字母，它不是分式，它是整式。 七分之 a 减去 b 分之五，那么这个分母当中是有字母的，因此它是 分次，所以我们看一下答案，整次有三个，分次有这三个 好，因此我们归纳，我们把整式和分式通称为有理式，也就说有理式分了整式和分式两个概念，那我们由分式的概念我们知道， 分式是形如 b 分之 aab 都是整式，且 b 中含有字母 b 不等于零的次字叫做分式。那从这个概念来上来说的话， b 是不能等于零，也就是说分母是不能等于零的。 我们知道对于分数来说的话，分母等于零的话，那么这个分数是没有意义的。那同样对于分式来说的话，分母病如果等于零的话，分式就没有意义。 所以我们就清楚，要是分式有意义，必须且只需他的分母的值不能等于零。 好，我们来看一下这个题，当 x 取什么值是分式有意义？我们刚才已经说了，要是分式有意义，它的分母不能等于零。所以第一题解 分母 x 减一不等于零，则 x 不等于一。所以当 x 不等于一时，分尺 x 减一分之 x 有意义。那大家想一下第二题怎么做 好？很好，要使这个分式有意，那么分母二 x 加上三不能等于零，我们解的 x 不能等于二分之负二分之三，所以当 x 不等于负二分之三时，分式有意义。 好，那么变翅当 x 取什么值时，分翅无意义。我们刚才做的是分翅有意义，那么分翅无意义的话，大家想一下，它的条件 应该是我们分母如果等于零的话，分次就无意义了。所以当 x 减一等于零时， g x 等于一，当 x 等于一时，分式 x 减一分之 x 无意义。那么同理。第二，小二，当我们的分母二 x 加上三等于零的话，我们分式 x 就等于负二分之三，分式就没有意义了。 好，那再看一个练习题，当 x 取什么值时，分式五 x 加二，分式 x 减五，满足下列要求，第一个有意义。那我们知道有意义的话，我就是我们的分母不能等于零，分式就有 有意义。所以，五 x 加上二不等于零，解的 x 不等于负五分之二。第二无意义。那么当分式无意的条件是我们的分母等于零，所以 要使分次无意。五 x 加上二等于零，解的 x 等于负五分之二。第三，分次的值是零，分次的值是零的话，那我们知道零分子。分次的分子相当于除数，而它的分母相当于被除数， 所以零除以任何数都等于零。但是你既然分式的值是零，那么这个分式是有意义的， 因此，分次值为零。首先，我们要求他的分子是等于零，其次，我们要求他的分母不能等于零。所以，要是分次值有意义，五 x 加上二不等于零，且 分母 x 减五是分子， x 减五是等于零的，那我们解的第一个不等式解的 x 是不等于负五分之二， 第二个等式写的 x 等于五，所以我们的 x 值是等于五。因此，通过这个题，我们来总结，分次有意义的条件是什么？分次无意的条件是什么？分次的值 为零的条件是什么？是有意义的条件是什么？要是分次有意义，分母不能等于零。分次无意义的条件是什么？分次无意义。当分母等于零的时候，分次无意义， 分次的值为零，分次的值为零，就是分子等于零，并且分次要有意义，所以分子等于零，且分母不能等于零。 好，那我们回顾一下这节课讲的内容。第一，分式的概念，形如 b 分之 a， a， b 是整式，且 b 中含有字母， b 不能等于零的赤字叫做分赤，其中 a 叫做分赤的分子， b 叫做分赤的分母。第二，有理式的分类，有理式 分了整式和分式，也就是整式和分式，通称为有理式。第三，分式有意义。满足的条件是什么？ 好，分母不等于零。分次无意满足的条件是分母等于零。分次值为零的条件是分子等于零，且分母不等于零。