一个等比一个等差什么意思

做一题之前题，今天我们来聊一聊什么呢？聊一聊等差和等比，你知道吗？如果连续三项既等差又等比，不用多想，他们三个就是相等的，是不是很神奇？ 来，下面我们来看一道题，你看这个题是不是特别特别长，甚至于说都不是特别乐于读了。但是这时候你没有发现一件关键的话，叫做第七八九名的平均成绩既构成等差又构成等比。 如果我们知道刚才的小技巧，那其实代表着就是第七名，就和第八名和第九名的平均成绩就是一模一样的。 那我们继续再来看一下这个题吧。说张龙位列第十位，并且与第九名差一分，是平均成绩差一分，对吧？那么也就是说第七八九名减 去那一分之后，其实就是张龙的分数了，对吧？他说张龙的英语成绩是一百二十一分，但是老师啊，登记成了一百一十二分，登记错了，是不是少了九分，对吧？ 一科少了九分，不要忘了我们排名的时候排的是什么？是三科的平均成绩成等差数列，对不对？那既然少了九分，平均到三科上，也就说他的平均成绩应该是少了九除以三，也就是啊，三分呗。那他本来应该位列第几呢？ 我现在位列的是第十，加一分之后，我是不是就变成了第九名？变成第九名其实就是第八名和第七名吗？对不对？我再加一分。他们说了，之前前七名平均成绩不都是构成公差唯一的等差数列吗？所以说加一分 是不就变成第六名了？再加一分是不就变成第五名了？所以说我本来应该排在第五名，答案直接选择二 b 选项就可以了。 那你看，如果我们知道这个前提条件的话，这个题虽然长，但是做起来是不是一点都不复杂，甚至于说不用特别大算特算，直接口算，哎，加个三我们结果就出来了。 所以说小伙伴们做一题值千题，知道我们这节课要学的技术知识了吗？是什么？记着，连续的三项，如果既为等差，又为等比，不用多想，就是这三项完全一样，也就是 a 等于 b 等于 c。 如果特别想知道他是如何推倒出来的话，那下面给大家简单推倒一下。如果 abc 成为等差的话，那么 有中间的一项的两倍，是等于前后两项之和的。如果 abc 成为等比的话，那么就中间向的平方是等于两边向的之机的。 那根据这两个式子，我们一式是不可以推出 b 是等于二分之 a 加 c 的，对不对？带入到我们的二式当中，既有二分之 a 加 c 扩起来的平方是等于 ac 的， 其实化解一下就是 a 加 c 的平方是等于四 ac 的，把四 ac 移到左边来，其实最后又是一个平方，叉功是 a 减 c 的平方是等于零的， 一个数的平方等于零，只能是这个数为零，那也就是说 a 等于 c， 那 a 等于 c 了， e 不也等于 ac 吗？对不对？所以说 a 和 b 和 c 就是相等的。当然推倒过程大家无需关注，只要记住这个结论就可以了。连续的三项，如果既为等差，又为等比，那就是这三项完全一样。再把刚才的题砸磨砸磨吧，小伙伴们记住了吗？

我们这个视频，大家来一起记忆两个求和公式吧。等差数列和等比数列的求和公式是我们太长太长，用了就你基本上有了，给你一个数列是等差，你有了他的手相，有了公差，你就能够求前恩相合，对不对？ 然后给了你等比数列的首相和功比，你就能够求前想和。即便是不给你功比，给了你第一项，或是给了你第 n 项、第 m 项、第 n 项、第三项、第五项、第七项、第几项。只要他说明了是个等差数列，或者是个等比数列，咱们都能够把相应的弓叉和 工笔求出来，然后进而去求他的钱。想和就很简单了，你只需要套用这个公式就好了。普通的等差数列和等比数列，不用去想什么错位相减法、分组求和法、列向相销法等等那些方法啊，咱们就给他用最常规的求和公式。 昂贵的求和公式，如果你都没有记住的话，你想想你能把题目给做对吗？对不对？等差数列的求和公式我们一起来背一下，嗯， s n 一起默写一下。嗯，我们经常会说，等于二分之首相加尾相括起来乘以项数。哎， 首先加尾上乘以项数除以二。还有一个，一共是两个，另外一个是 n 倍的 a 一加上二分之 n 倍的 n 减一乘以 d， 对不对？这两个式子其实是可以互相推的，你怎么推这个 a n 的话，你可以把它写出 a n 的一个通向公式来， a n 在 等差数列，应该是通向公式，是 a 一加上 n 减一倍的 d 等比数列。 a n 等于什么呀？ a n 等于 a 乘以 q 的 n 减一次方， ok， 你把这个 an 的柿子带到这个 an 这来就能够退出，后面这个柿子我不再对他。对，跟着大家，不再带着大家去退了，大家拿那个草稿纸自己退一下哈，很简单的，然后等比数列球和公式也是有两个，但是他那两个是分开的， 记住他是分开的就好。就是公比等于一的时候，你想想公比等于一的时候，第一项是首相 a 一，第二项还是 a 一，第三项 a 一，第四项 a 一，第五项 a 一。你哪一项不都是 a 一吗？前恩相合的话就是有 n 个 a 一就好了。所以 q 等于一的时候是 na 一， q 不等于一的时候是一减 q 分之 a 一倍的一减 q 的一减 q 的 n 次方再括起来。这样 你看如果啊 q 等于一的时候，他分母不就为零了吗？所以咱们用这个公式默默认的就是 q 不等于零，公比不为零，公比不为零。大家看到这个求和公式了吗？ ok， 那我们这个你默写对，默写对了吗？这个视频就到这里了，拜拜。

关注张老师学数学就是玩，再来砍一道尖子生上的一道题啊！再来回顾一下咱们的错位相减法计算，一加二加二的平方，加二的三次方，加二的四次方，一直加加加加到二的二零二零和二的二零二一次方。 那看这些数，一二二的二次方，二的三次方，是不是？这每一项都是前一项乘以二， 所以说这些数本身放在一块都是一些等比数列，对不对？比值相等啊？都是在前一项的基础上乘以二，对不对？所以这种题是不是用我们的错位相减法就很好做呀？是 啊，这个一加二加二的二次方，加二的三次方，加二的四次方。咱们设咱们原来这个式子，他等于 m， 那刚才 咱说了，他是不是乘以二得到他，他乘以二得到他，他乘以二得到他，所以咱们这个 m 也乘以二，所以说二乘以 m， 二乘以 m 等于多少？他是不是变成了二？ 他是变成了二的二次方，他是二的三次方，一次类推二的四次方，二的五次方，一直加加加加到他变成二的二零二一次方。最后一项是二的二零二二次方， 对不对？所以二 m 减去 m 等于什么？这个数减这个数来，二减二，没了， 他没了，他没了，他没了，一直没了，这个也没了，最后剩什么？是不是剩这个的尾相？二的二零二二次发减去这个手相减一， 二 m 减 m， 是不是就是 m， 是不是就是这个式的？所以这个式的最后等于多少？二的二零二二次方减一， 这就是我们常用的什么错位相减法。一看他是一个等比数列，他的公比是几？公比是二，那咱们设他为 m 的话，咱们乘以他的公比，乘以他的公比，目的是什么？那原来的第二项就成了这个新式子的 一项，那第一项跟之前的第二项一抵消，一抵消，全部抵消没了之后只剩下尾项和首项啊，就简化成了二到二零二二次 啊，这是我们非常常见的错位相减法啊，不会的同学，通过这个题咱们再掌握一下啊！掌握一下。好，这个题咱们今天先讲到这啊，关注张老师学数学就是玩下课。