粉笔立体图形切割在哪进

一根粉笔，把粉笔放进这个盒子里面去，接下来在这里切一刀，切两刀， 粉笔瞬间被切成三节，但神奇的是，把粉笔重新放回去， 看好一二三，粉笔又瞬间还原。这个魔术其实是里面有个夹层，藏了三节断掉的粉笔。 那么现在你知道舞台上的大变活人是怎么做到的吗？仔细看，一个完整的章鱼哥把它放进去，切下来一二三，就被切成了三节，所以同样的道理， 他还是完整的，上面有两个假的身体，跟这个一样，把这位小姐姐 给放进这个盒子里面去，一二三，瞬间切成三节，同样复原，你看懂了吗？

大家好，我是武汉的数学夏老师，在这一讲里面我们讲切割问题，那么切割问题是什么呢？对于一个长方体或者一个正方体，我切若干刀之后，变成了若干个小正方体或长方体的过程， 那么在这一个切割的过程里面蕴含了一个什么样的公式，以及对这个公式怎么去用？这就是我们今天要讲的内容。好，我们先看一个基本的一个题目，来去确定切割的一个公式是什么？ 他说有一个长，有一个正方体啊，人长是四，已经告诉了这是个正方体，人长是四，然后有两种切割方式，这都是这样切竖着切，一刀下来都是分成了两个长方体。那么我要你去求的是这两个长方体的表面积的 是多少？虚线就是切割的位置，那么这两边刚好一分为二，这个是一，这个是三。好，我们分别去求一下，第一个小长方体的体积是多少， 那么第一个小长方体的长是几的？这边是二，是宽是四，高是几的长，宽高写出来高是四。 所以对于这第一个小长方体的这个体积公式来看，那就是二乘四加上二乘四，再加上四乘四的和乘以二，这是第一个小长方体的体积。好，这一个孩子你自己算一下， 算出来是多少来，算出来是六十四，也就说第一个小长方体的体积，是啊，表面积是六十四，那么第二个小长方体的表面积呢？你就发现他的长是二，宽 十四，高还是四，所以这两个是一样的说了，也就是说他的表面积的和，那就是六十四加六十四等于一百二十八平方米， 这就是两个小长方体的两面之合啊，如果你把也就说这个切的这个过程呢，这个刀往左偏一点， 好，我们来分别去算一下，再算一下。那么这一个第一个长方体的长是一，宽是几的宽是四，高是几的高是四，所以他的表 面积一乘四再加一乘四，再加四乘四的和乘以几的乘以二，好，自己算一下 等于四十八，好，再来看第二个小长方体对应的长是几的，长是三的，宽是 四，高还是四，所以他的表面积就应该是三乘四，再加上三乘四，再加四乘四的和乘以几的乘以二 等于八十平方米，所以这两个加起来，那就是他的表面阶段 四十八加八十，那么算出来你就会发现还是多少呢？一百二十八平方米， 哦，那也就是说我左边的这个切和右边的这一个切，他其实表面积的核是没有变化的，那么就思考一下，为什么他的表面积的核是没有变化呢？ 因为切一刀始终是增加几个面呢？ 增加两个面， 那也就说你这样去在这里切一刀增加左右两个面，你在这里切一刀还是增加左右两个面是没有影响的，因为你增加了面 是一样的呀，所以你对应的和肯定也是一样啊。好，那么既然增加了面是一样的，那我能不能换一组思路去求他的表面机的和呢？ 既然要你去求和，那我就可以用原来的这一个表面积 加上你新增加的面积啊。 也可以啊，原来的面积球是再加上你新增加的不就是他的核吗？所以我如果要你这样去用这一个方式去求的话，我们来看一下原来的表面积，就是原来的这个正方体的这个表面积 四乘四，求一个面的面积，他有六个面，所以乘以六，这就是你原来的表面积，所以四是 乘十六，十六乘以六，也就是九十六平方米，那么你再来去求你新增加的面积， 先增加的面积的话，那你这样切一刀下去，是增加了左右两个面的，那么一个面的面积是不是四乘四， 左右两个面再乘以二，所以算出来三十二，所以我就可以知道九十六加三十二等于几呢？等于一百二十八平方米， 所以三个结果都一样，那也就是说我们这后面再来去求切割之后的表面积的时候，你要不要说我切成了若干个小长方体，每个小长方体分别求出来再相加呢？不需要，因为有时候切的时候这个不会告诉你，就这样切 一刀有可能是二二，有可能这里是一三，这个不影响他的结果。所以我只需要找到咱们的后面，只需要先求原来的表面积是多少，再来去求你切割之后增加的表面积是多少，两个加起来就是你表面积的和， 这就是我们切割问题的一个基本公式。切割之后的表面积的核怎么进行计算？那么在这个切一刀里面你一定要注意啊，切一刀是增加两个面的，所以切两刀就是四个面， 这个公式一定要输。好来，我们来看基本公式的一个英文，第一个直接要你去求增加的面积是多少？三，他说有个正方体这个图没画出来，你就试着画 一个正方体的能长是六，锯成能长是二的小正方体，那么锯成能长是二的小正方体，那不就是长上面要切两刀， 这就是啊啊啊呀，那么你的宽上面要切两刀， 这就可以分三弹了，然后你再来勾上面药切两刀， 所以这是二，这是二，这是二，这样就可以切成能长是二的正方体啊。所以也就是说他对应的切了多少刀呢？长上面两刀，宽上面两刀，高上面两刀， 所以总共是切了六刀的，那么他要只要你去求增加的面积，那么增加的面很容易啊，切六刀就会增加几个面呢？ 一刀是增加两个面，那么六刀，那就是六乘以二等于几啊？等于十二个面， 说你总共增加十二个面，那你只需要求出这十二个面的面积，就可以对一刀下去的左右，所以一个面就是一个正方形啊，六乘六啊，那他有十二个面，增加的十二个，所乘以十二就可以了，所以这就是你增加的面积， 最后算出来六六三十六，三十六乘以十二，所以四百三十二平方零。 也就说要你去求增加的面的话，我首先怎么样呢？求出切了多少刀， 求出你切的刀数，就可以知道你增加的面积，然后再用增加的这块面去乘以一个面的面积，就是你对应的增加的面积，这是要学会去增加的面积。 好，第二个我们来看直接去求切割之后的表面积的核桃，那这个公式直接可以去做呢？我们把公式写一下，切割之后的表面积的核，就用原来的表面积，再加上你新增加的面积就可以了。 好，原来的表面积是一个什么呢？是一个长方体。 好，这个长方体还是你自己把它敲一下表面这些怎么去算？ 那就是十乘五加上十乘六，加上五乘六的和乘以二，这就是原来的表面积。 好，自己算一下， 结果是两百八十。好，那新增加的面积要注意啊， 这就有点多了，那先增加的面积，你就看书线啊，首先是这一个 横着切了一刀的，这是一刀啊，那么一刀就会增加两个面，那两个什么面呢？你就看 刀面，刀的面是对在下面的吧，说你增加的面就应该是十乘以五，增加两个面，所以乘以二。好，再加上另外一种颜色，我们来看，分别去算 啊。这是沿着宽上面切了一刀的，这又是一刀， 那么这样去切的话，你对着这个刀面对着的是什么面呢？前面是吧，那么前面的面就应该是十乘以一个六，有两个面，所以称呀。好，再来加上他的哪里也切了的， 他的这个长上面切了一刀，还切了一刀，所以在这里切了两刀了， 那么两刀就是几个面呢？两刀就是四个面。好，四个面，两刀，一个面的面是多少呢？你就看刀面，刀面对的是左右，说，你就看左边，这个面其实就是五乘以六，然后四个面，所以乘以四就可以了， 那么这三个加起来就是总共增加的面积，这就是怎么去求你新增加的面积，所以我们分别去算，这个是一百，这个是一百二，这一个是二十， 这也是一个一百二啊，就可以求出你增加的面积是多少，那么增加的面积求出来之后，那所以祖国的面积是不就可以写出来了呢？ 这个是三百四，那也就是说他对应的面积的和就应该是两百八十，再加上三百四十 等于六百二十表面积的和，然后去算 啊，这是直接去用去求表面积的和，那么先求出原来的表面积，再求出你新增加的面积，分别去算，那么在这个新增加里面，因为是长方体去接的，所以他分了三个方位，你对应的分别去求 沿着高上面切的，那么切了一刀，所以增加两个面，那么这一个面一个面就是十层，所以十层五层啊，那么还有沿着宽切了一刀， 说你还是两个面，那么两个面一个面是前后，那也就是对应的是前后，所以一个面就是十乘以六，然后沿着这沿着长上面切了两刀，那增加的就是四个面，所以每个面的面积是让他对的是左右，所以一个面呢，就是五乘六， 然后最后再的算就可以啊，这个分别去算，这就是表面，这个合同式的一个英文。好，我们再来看一个简单的一个英文，这里直接要你去求表面积的和 啊，一个表面积为啊这个数字加五十四平方厘米的这一个长方体的表面啊，这个表面积大的长方体的表面就是五十四，然后呢这样切成 二十七个小长方体，那么求的是这二十七个小长方体的表面积的和 做这一个就不一样，这是个长方体去切，那么你对应的沿着高和沿着宽增加的面就不一样， 所以我们不管意不一样，我们还是先把这个公式写出来了再说。也就说表面积的核是不是应该用原来的加上你什么呢？加上你新增加的 啊？原来的我是已经求出来了，已经告诉你了，是多少的？是五十四平方米 啊，他是五十四，那么也就是说求不出来的是什么呢？求不出来是新增加的应该是多少，那么新增加的是多少？我们现在来看他怎么切吧，你就发现他 是长宽高都切了几刀呢？都切了两刀，这长上面切了两刀，刀上面这切了两刀 宽上面是不是也切了两刀？也就是说长宽高上面切的对应的他是刀数一样。好，我们先研究这一个长上面的，这，好吧，他切了两刀，那么切的这两刀他就会增加几个面呢？增加四个面， 那么这四个面的话其实是什么面呢？ 嗯，刀面左右是吧？四个好，四个左边吧，就是你 沿着长切的好，再来去看另外一个方向，沿着这个 宽是不也切了两刀啊？那么宽切了两刀，他对应的还是增加了四个面，那四个什么呢？刀面前后，所以四个前面吧，或者四个后面都可以。好，再来另外一个方向， 还有沿着什么呢？沿着高切了两刀，那么高切了两刀，他对应的就会增加，还是增加四个面，那么四个什么呢？ 这刀面上下，所以直接是下面吧，四个下面，四个上面都可以，所以这就是你增加的面的面积， 四个左面，四个前面和四个下面，而有人说这一个不知道是多少啊，那你真的这个不知道 是多少呢？其实这一个是多少呢？这一个就是两个表面积，这个五十四就是两个左面，两个前面， 两个下面呢？因为这左右啊一样啊，前后一样啊，上下一样啊， 说我就直接二乘以左二乘以前，二乘以下，那这里是四，那也就说他是他的几倍呢？他是上面的两倍，所以他就对应的是两个五十， 也就是说你增加的面其实增加了两个五十四，那么所以你的表面积德和你说求不求的出来的原来是五十四，现在又增加了两个五十四，所以实际上就是 三个五十四，这不就出来了吗？ 所以最后是一百六十二平方米。 好，这还是翘表面积，只是这个翘表面积里面他没有告诉你长宽高是多少啊，他只告诉了一个长方体的表面积，让你去求切割之后啊，切割之后的正因的特点是什么呢？ 长宽高上面切的刀数必须是一样的才可以，如果你切的刀数不一样，对不起，后面就求不出来了。所以这一类能够求出来是因为长宽高对应切的刀术一样， 那么你还可以长宽高各界三道，长宽高各界四道，你也可以自己算一下对于表面积了核应该是 多少。呃，做法一样的。好，我们再来看这个表面积公式反过来去求的一种情况，也就是说他会告诉你表面积的和反过来让你去求原来的，那就是公式的反求 啊，他是怎么说的呢？他是一个正方体被切成了三十六个大小相同的长方体，然后这些长长方体的表面这只核是多少呢？五百，那也就说告诉你的表面这只的核，表面机的核是不是就应该用原来的加上你什么呀？加上你新增加的就可以了， 而原来的是多少呢？原来的其实就是六个面，因为是正方体啊，其实就是六个面，那也就是说我现在只需要找到你新增加的是几个面就可以， 因为都是，那你找到新增加的几个面，其实就是要找切到几刀 好，切了几刀，在这高上面一刀两刀，所以高上面有两刀好，再来去看长的一刀两刀 三刀，所以这里是三刀好，再来去看这一个宽上面的，呃，一刀 两刀，所以宽上面是两刀，所以我就可以知道他总共切了多少刀啊？那么切的刀数就应该是三加二加二等于 七刀，那么七刀就是几个面呢？就是十四个面， 十四个正方形的面呢？原来是六个面呢，现在增加了十四个面呢，所以我就可以知道这个表面积的和，其实就是六加十四是几个面呢？是二十个面的面积，而这二十个面的面积是多少呢？是五百平方厘米， 所以你就不就可以求出一个面的面积吗？ 那就是五百去除以二十等于多少？二十五平方米 好，二十五是一个小一个正方形的面积啊，所以你就反过来就可以瞧他的边长，那就是五的平方是二十五啊， 所以他是五，他是五，他是五，那么对应这个长方体这个正方体的体积，那不就是五乘五乘五，那就是一百二十五一方米， 这就是我们公式的反球，那么也就是说在这个公式的反球里面，他告诉你是一个正方体，所以你原来六个面和新增加的每一个面都是一样的，都是真假，都是什么，都是一个正方体的面积， 所以你就可以直接数出原来六个面的面积，然后现在增加的十四个面，所以一共就是二十个小正方形的面，二十个正方形的面积， 那就可以求出一个正方形的面积，再进行计算就可以了啊，这是这一个公式的一个环球啊。那还有一类 对于公司的一个意愿呢？还有一类就是有可能要你去求最大和最小，切割之后最大的面是多少，最小的这一个是多少？好，就是这一个，对，就是这个题目，他说有一个长方体，他告诉你了长宽高， 一个是七，一个是六，一个是五，那么切成两个长方体，那么要你去求表面机的和最大，那么这一个我怎么去利用公式去求表面机的和最大呢？所以我先不管他，先把公式写出来呀。 表面积的和怎么求表面积的和是原来的表面积，加上你新增加的面积，那也就是说要你去求最大，我们来看哪里才可以大。首先原来的这块面积你 你是没办法的，是固定的，因为原来长方形的表面积就是七乘六，加上七乘以五，再加上六乘以五的和他是乘以二， 所以这一个就是六七四十二，五七三十五，然后五六三十乘压，这是原来的表面积，是没有变化的呀，算出来， 所以这样算出来是两百一十四，好，这是原来的表面积，那么也就是说你心增加的面积才是变化的， 为什么新增加的面才有变呢？因为你切的方向不一样，你增加的面就不一样，你可以沿着肠上面去切， 对吧？你还可以沿着宽上面去接，你还可以沿着高上面去接，所以也就说对应的切的话，他有三种不同的切割方式，所以增加的两个面就不一样， 他是增加两个啊，只需要切一刀，所以增加两个什么面才可以是最大的呢？ 所以这个图扭图都不需要画的，那么也就是说七六五哪两个乘起来是最大的，那你就按照这个去切就可以了，谁乘谁最大，那数七乘六是最大的。 七乘六，七乘六是啥？七乘六就在下面，也就说你沿着高去七，增加了两个面是最大的，所以我不需要画图，也可以知道最大的是什么。 切一刀肯定是两个面，那么两个什么面呢？所以七六五哪两个相乘最大，那就是最大的。说这就是你增加的最大的面子， 这是通过公式我可以直接分析出来，所以六七四十二，四十二再乘以一个啊，那也就增加最大的面积就是八十四平方厘米，那么它的表面积之和最大就是两百一十四，再加八十四就可以， 所以算下是两百九十八，这就是两百九十八对应的表面知识和最大。好，我给大家出一个试考题， 我如果不要你去求最大，我要你去求什么呀？我要你去求最小，那么表面记得和最小又是多少？孩子们可以自己思考一下， 那怎么去做，做法其实都是一样的，也就是通过这个故事，我可以知道可以不用画图，也可以分析出来到底怎么去求才是最大的， 人就会表面及原来的表面，这是不变的，那么变化的就在这里，所以要求最大，那么这两个相乘最大就可以了，要求最小，两个相乘最小就可以了。 好，这就是我们今天所讲的这个内容啊，切割的，那么这个切割的话两个内容，第一个啊，切一刀增加两个面。 第二个这个公式切割之后的表面机的盒是由原来的表面积加上你新增加的面积的，这个要记住。好，今天我们就讲到这里，谢谢大家。