如何在ppt中呈现动态单页双曲线

大家好，今天我们继续来讲双曲线的定义与方程。上帝课讲的是椭圆的定义与方程，这两者之间还是联系挺紧密的。我们先来看双曲线的定义。什么叫双曲线呢？先读一下平面上到两个定点距离之差的绝对值等于长数，这样的动点的轨迹呢，就叫做双曲线。 其中这两个定点也就是图中的 f 一和 f 二，这两个定点呢，就叫做双曲线的焦点，然后两个焦点之间距离仍然是叫做焦距。双线的焦距， 那么什么意思？这样说，点屁是平面的一个动点，但是这个动点他不是随便去动的，他在动的过程中必须得保证。你看， 在我们图中这样一个点， p， 你必须得保证肯定是 p f 一更长一些，长的减去短的 p f 二。就这两个距离相点之后啊，它是等于一个长数，我们把这个 常数呢，即为二 a， 然后这个 a 是一个确定的数字，而且他必须较小于这个 f e f 二。其实交际的话，我们仍然是用二四来表示的， a 小于 ca 呢，是跟双曲线有关的基本量， c 也是跟双曲线有关的基本量，就这样一个意思了。 好，那只要满足了 pf 一，减去 pf 二，他距离之差等于一个长寿。那此时点批的那种轨迹就是双曲线的右直了。你注意啊，我说的是双曲线的右直。双曲线，双曲线肯定是有两只的，开口向左向右，那还有左只啊，左只的话其实也好理解，我写一个 p 一点吧， 显然 p 一点肯定跟这个 f 二的距离更长一些， p 一点跟 f 一的距离呢，更短一些，所以说应该是 p f 二 p 一 f 二，然后再减去图中的我画的这个 p 一 f 一，然后 他这个距离之差也必须等于同样的长寿，他也是小于 fef 二之间的距离的。我们一般来说，焦距也是用二次来表示，没问题吧？那么点 p 可以在左之上，也可以在右之上，也就是说 pfe 和 pf 二不一定哪个长哪个短，所以这个时候怎么办呢？ 你把两周统一一下，我们只需要 p f 一减去 p f 二，加个绝对号，让它等于二 a， 然后这个长数小于 f r f 二之间，这样的交举二 c 不就可以了吗？这个就是双拳的定义了。 那么现在的话，我们要研究一下什么呢？要研究一下这个位置，这个小鱼，嗯，小鱼的话肯定就是双据线，那如果等于呢？也就是说 p f 一减去 p f 二，如果说它正好等于 f e f 二 距离，那此时点屁的轨迹究竟是什么呢？此时我想说的是，你看啊，点屁肯定是在 f e f 二点上，线上看我画的这个屁片啊， 这没问题吧？这个就是 pf 一，是吧？然后我画的这个，这个就是 pf 二吧， pf 一减去 pf 二，也就是说此时 fef 二和点 p 是贡献的，我们应该说的是此时动点点 p， 它是在 f 一 f 二延长线上， 也就是说点 p 的轨轨迹呢？他是一条射线 f 二，网友，他是一条射线，所以就不是双据线了啊。第二种情况，你说 p f e 减去 p f 二，有没有可能是大于 f e f 二？不可能，此时这样的点 p 是肯定都不存在的，在任何一个地方都不存在， 应该明白这样的意思吧，你可以研究一下。再说了，三角形的三边关系也告诉你了，两边之差必须小于第三边才能构成三角形吧。 两边之和必须大于第三边才能构成三角形吧，你怎么可能两边之上的大于呢？反了啊，应该是小于号的。好，继续来看第二点，那既然有了双曲线的定义的话，我们就根据双曲线的定义来推出双曲线的标准方程。什么叫双曲线的标准方程？其实很明显，我们看右边这个图， 也就是说焦点呢，一个是在 x 出版轴上，另外一个是在 x 正版轴上，并且 f e、 f r 这两个焦点，它是关于圆点对称的，那此时就是标准位置。当然你开口向上向下，也就是说焦点在 外轴上行不行呢？这个是 f 二，这个是 f 一， f e f 二肯定关于原理对称也可以啊，开口向上向下，或者开口向左向右，这样的双曲线呢，都是标准位置的双曲线。注意，我们求的双线的方程是双曲线的标准位置的方程啊，简称双曲线的标准方程。那么怎么来求呢？ 因为 f 一 f 二，我们一般来说就是用二 c 来表示焦距点，所以 f 一点的坐标好记吧，肯定是记为负 c 的号令，那么 f 二的坐标肯定是正 c 的号令，这也是两个定点。那好，继续来看， 我们现在求的是动点点屁的轨迹，求出来呢是双据线，那么你既然求的是动点点屁的轨迹，所以假设点屁的左边就是 xy 了，看一下最终这个 xy 满足什么样的条件，什么样的方程 来根据双线的定义可以得出来吧。那你去掉绝对号之后的话，其实也就是绝对号里头这个 pf 一 减去 p f 二，不一定哪个长那个短啊，所以应该是等于正负二 a， 你看这个位置就是正负二 a， 那么接下来根据两点之间的距离攻势点 p 到 f 一的距离，是不是啊？横走八减，横走不要扣这个平方，然后外减零扣这个平方。开根号 这个部分呢，就是 pfb 的长度，那另外一部分他就是 pf 二的长度，那就是转换成两点零距离公式了。那接下来的话，这个方程我想说的是啊，他肯定代表双曲线的方程，但他不是双曲线的标准方程，他的样子太丑陋了， 而且看起来非常不舒服的疑点是什么？他有根号吧？求解啊，运算都不方便，所以我们考虑是把根号去掉。 如何把这个根号去掉呢？跟上集和讲的椭圆球椭圆的标准方程步骤是比较类似的，你第一步不能说左边平方，然后右边平方，这样就是错的，最终求出来的是指会出现四次方，特别的复杂。怎么办呢？我们考虑这么来处理啊，也就是说 根号下 x 加 c， 这样吧，根号下 x 减 c， 我们移到等号的右边，嗯， 然后就变成加号了，然后原来就有个征服而已，然后左边的话，我们就只保留原来的这个 x 加 c 控制的平方，加上外方，接下来我们左两边再平方就没问题。左边平方的话，我直接把括号打开，是 x 方， c 方外方肯定都有，然后还有一个二 cx， 然后右边的话也是平方啊，他平方的话，把括号打开，就是 x 方， c 方外方都有，然后再减去二 cx。 嗯，后边呢，有一个正负二一的平方，那就是四 a 方， 但是还有一个交叉项目，就是正负四 a 乘更好。想我里头首先再写一遍，把 x 减 c 的平方，然后外的平方显示这个样子之后的话，有些地方还是挺开心的，比如说画横线部分等话，左右两边一致吧，那你是不是左右两边画横线的部分都可以削掉呢？就 x 方、 c 方和外方 都消掉了，那么消掉之后的话，你注意左边有个正的，右边有个副的二 cx， 那都移过来，就变成了四 cx。 首先我把这个四 a 方也移到左边来，就变成了减四 a 方，然后等于四 a 根号下， 然后 x 减 c 控制的平方，再加上外的平方变成他了。变成这个样子之后的话，首先你要化减的话，左右两边可以乘一个四分之一，或者除四，都一样啊，我们把这个四都消掉了， 好，就变成这个结果了吧，这个结果就非常接近最后那个结果了。你的最终目的就是想把所有的二次根号都去掉。怎样去掉这个根号啊？对于圈里这个狮子来说，继续平方就行， 接下来的过程就不是太难了。平方之后啊，就这个狮子平方之后，最终就得出来这样一个结果了，得完这个结果之后的话，形式上还是挺对称的，对不对？嗯，挺美观的，但他仍然 不是商界的标准方程。我们要注意的是这个二 a 啊，他是跟商界线有关的基本量，这个二 c 呢，是焦距，他也是跟商界线有关的基本量。那么既然说这个 a 是小于 c 的二， a 小于二 c 呢？ a 小于 c 的话，我 c 的平方减去 a 的平方，它的减小的等于 b 的平方，没问题吧？我引出来一个新的基本量，也就是说最终引出来的 b 呢，也是双线的一个基本量。 好，只要这么引的话，那后边就简单了，我只需要把这个位置写成 b 的平方，括号里头四方线减 a 方便成 b 的平方。其实呢，这个方程很快就可以变成这样一个结果了，也就是说 b 方 x 方减去 a 方，外方等于 a 方 b 方，接下来左右两边同处， a 方 b 方就变成了 a 方分至 x 方， b 方分至外方，等于一变成了这样一个形式。 变成这个结果的话，我想说的是这个结果他就是双曲线的标准方程，当然详细一点说的话，应该说的是焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程。 那么现在你肯定有疑问了，老师，我求出来之后的话，那焦点在外轴上的双线房产怎么办？那你交换一下 x 和外的位置不就可以了吗？所以接下来看好了吧，这个就是焦点在外上的 外轴上的这样的双键的标准方法就求出来。注意 a 和 b 之间没有绝对的大小关系，因为我们只需要保证 a 方加 b 方等于半焦距的平方，等于小四的平方就可以， 所以 a 和 b 呢，两个数字都大于零就可以了。那接下来我们就要介绍一下究竟这个小 a 小 b 他代表商店的什么几何含义。来看图继续来看了啊，这个表格其实说的还是挺清楚的，但是有些小细节需要改一下，哪呢？我们以焦点在 在 x 轴上的双线为例，我们先来看外的范围啊，还有 x 范外的范围很好说，因为你上下是无限延伸的这样的双下，所以说外的范围是取实数就行，但是 x 的话也不是啊，显然对于组织来说， a 点是最右端的点， 对于幼稚来说， b 点是最左端的点，也就是说点 a 和点 b 是双线的，两只跟 x 轴的交点。 a 点坐标很好求，因为你 你这个动作包是零对吧？你把 y 等于零带到这个里头，那就变成了 x 方等于 a 方，也就是说 x 算出来两个指，这个 x 呢是正负 a， a 点位于副板桌上，他的坐标就是负 a， 然后 b 点坐标呢，是正 a 多少零？哦，原来是这么个意思啊，求安这个 a 点 b 点之后的话，你注意 a 点 b 点，他是在双曲线上的，我们求的是双曲线上所有的点，他这个 x 和 y 的范围，所以呢，这个位置是不是 应该写上方括号啊？也就是说， x 的范围是可以取到这个负 a 和正 a 的 x 真正的范围应该是负无穷到负 a 的左开右 b， 然后正 a 到正无穷的左 b o 开，应该这么写，包括缺点在外头呢情况你自己也可以讨论一下，必须是这样的方括号才可以明白吧，稍微改一下就行了。 那好，继续来介绍啊。继续来介绍的话，我先介绍什么呢？你暂时认为这个小 a 和小 b 就是跟双曲线有关的基本量就行。我们先用小 a 和小 b 求一下双曲线的什么东西啊？ 求一下。双曲线的渐进线，少一个字啊，什么叫渐进线呢？其实这个名字大家应该不陌生的啊，初中的时候我们学过双曲线的外等 x 分之一，凡比利行说的图像是双曲线，只不过初中的时候呢，这个双曲线它不是放在标准位置，它这个图像是位于一三两个 将线的。有没有鉴定线啊，告诉我这样一个防比例还是录像有。这个双线的鉴定线是 x 轴和外轴，你看鉴定线，鉴定线必然是两条吧。那么怎么去求双线的鉴定线呢？来看这一页，然后原来鉴定线是这么，那么这个鉴定线怎么得出来的，你记住就行了啊，是这样得的， 鉴定线，鉴定线直线都是 y 和 x 的依次是吧？那好说，我这个位置只需要写成 xb 上 a 的依次方， 然后这个位置呢，只需要写成 y 笔上 b 的依次放，因为窗。嗯，他这个双线是有两条，这两条双线的间接线， 这两条生命线的间接线的话，肯定是关于什么关于 xo 对称的，所以我加上正符号这两个字，等号右边变成零就行了，求法，你记住就行。其实另外一种写法的话，你就完全可以写成外等于正 正负 a 分之 bs， 这么写也是没有问题的，这就是双线的间接线，那么焦点在外轴上也可以这么记啊，方法一样的，你看这个是焦点在外轴上的这样的双线的标准方程吧，既然焦点在外轴上的话，它的间间线也可以外比上 a 的一次放，中间变成了加减号啊， 然后呢， x 比上 b 的依次放等于零，那最终他就是 y 等于多少？正负 b 分之一 x， 这就是间接线。那么有了这两条间接线之后的话，我可以标的更清楚一些。咱们以焦点在 x 上为例， 外等于 a 分之比 x 没问题吧？外等于负的 a 分之比 x 也没问题吧？因为一个往上走，一个往下走，它的斜率正好是互为相反数的好。有了间接性之后的话，接下来我们就可以看这个 abc 它的实际含义是什么了。小 c 的话其实是最容易的，这个二 二 c 就是图中两个焦点之间的距离，所以说二 c 叫什么名字啊？二 c 的名字，或者说几何亿，对于双曲线来说，他就叫焦距，那你说这个小 c 叫什么，他当然就叫半个焦距了啊，简称半焦距。好，这个是没有什么问题的。 那么这个二 a， 我们先看这个二 a， 二 a 究竟代表什么呀？好说，看左边这个图之前我们已经求过了，左端点和右端点，这是实实在在存在的两个点，然后 a 点坐标是负 a 的，后面 b 点坐标呢？是正 a 的话，量已经求过了。所以 ab 这两个端点连线，它的长度呢，正好是等于二 a 的，它是实实在在的存在的。我想说 ab 有一个名字，它是什么名字啊？它是十轴， ab 的名字就叫十轴，所以二 a 这个名字叫什么？叫十轴长，那小 a 这个名 名字当然叫半时轴长了，或者叫半时轴都行啊，半时轴长好， a 是叫他，那 b 叫什么？我先说名字，再告诉你这个 b 是怎么出来的啊？二 b 呢？他的名字对于双线来说，他叫又十轴，就有虚轴，咱们中国人起名字还是非常好的啊，叫虚轴长， 那 b 的话叫什么？ b 的话当然就叫半虚轴了，或者说就叫半虚轴，长度就可以啊，就这样一个名字，这就是他的实际含义了，实际的结合含义。 那么为什么他叫虚荣呢？实则我理解实实在在的存在。那好说，看好了啊，我们过 a 点 b 点分别做 x 轴的垂线。看到了啊，做 x 垂线，因为它是高度对称的呀， y 等于 a 分之 b， x 下边这个鉴定也是 y 等于负的， a 分之 b x。 我们做了这两条垂线之后 么？分别跟谁相交啊？跟这两条尖尖线相交，比如说左边交于 mn 这两个点，右边交于 pq 这两个点，那么 mpq 的坐标肯定都能求出来吧。比如说我求一下啊，看 mn 的坐标，这个 m 点的坐标的话，横坐标肯定是弗雷拉跟一点一样， 然后纵坐标的话，你把负 a 带入到这样一个间接线的解决室里头，那不就是分成了负 b 吗？那 n 点的话，就是负 a 多少正比，所以说 m n 的长度等于多少啊，我们把这个举行连起来哦，举行连起来之后的话，原来图中他这个 m n 的长度 就叫轴多少呢，就叫做二 b。 实际上你可以完全把这个 mn 呢移到哪？移到外轴上，其实 mn 外轴上这个 mn 他就叫虚轴了，能明白这个意思吧？为什么他叫实轴呢？因为 ab 这条轴是实实在在存在的， 为什么他叫虚轴呢？虚轴只有我们构造了这样一个辅助举行之后，才能够得出来这个二 b， 所以一个叫实轴，一个叫虚轴，然后小 a、 小 b 的名字分别叫半世轴和半虚轴。小 c 的话好理解，就是关焦距了。 注意，在双圈里投达这个 abc 之间的关系是必须满足这三个正数， c 方等于 a 方加 b 方才可以。现在已经解释清楚了吧？那我们继续来往后看离心率啊， 跟椭圆类似的，他这个双圈也有离心率，只不过呢，椭圆的离心率是小于一的，在零到一之间。 嗯，然后对于这个双线来说，双线的离心率肯定是多少大于一的呀？为什么？因为 c 方等于 a 方加 b 方， c 是最大点在 abc 里头啊， a 分的 c 肯定是大于一的。那么现在我想得出来的一个结论就是，对于离心率来说啊， 离心率和双线开口大小有什么关系呢？我们可以仍然观察一下这个图，渐进线，那就标上吧。什么叫开口啊？其实你这个渐进线，渐进线，渐进线这个夹角，这个 c 的 越大，那此时他这个双拳的开口就越大，是吧？那实际上不就是说你这个斜率是等于贪正的 ct 没问题吧？这个贪正的 c 的越大， a 分之 b 越大，开口就越大。那我懂了，也就是说 a 分之 b 越大， 开口就越大吧。同样的， a 分之 b 越大，中间这是个加号啊， e 就越大。所以我们应该写的一个结论是什么呢？首先对于离心率来说，你应该注意的是他是大于一的常数。第二点，离心率越大，双对性的开口就越大，离心力越小，双对性的开口， 我就越想，你应该这么去认为才可以明白吧。那最后来看通镜，什么叫通镜呢？通镜的话咱们还是写上他的定义吧，过 f 一或者你过 f 二也行啊，做这个 mn， 他必须是垂直于这个，谁呢？垂直于这个 x 轴的， 或者说垂直于十轴的 pq， 那么通电的定义就是垂直于十轴的，那焦点在 x 上，十轴不就是 x 轴吗？啊？十轴所在的直线垂直于十轴的焦点弦。 其实弦的话还是挺好理解的，什么叫弦啊？任意连接双圈上任何两个点，比如说看右边这个图，你说这个 ab 叫不叫弦？叫弦，这个叫两只弦。哎，你说此时这个 ab 叫不叫？这也叫弦，叫一字弦。为什么叫一字弦单只弦呢？因为它 a b 这两个点在双线的同一之上啊。你如果刚才这种情况， a 点和 b 点在双线不同的两只上的话，那就是两只弦，两只弦和单只弦或者双只弦，单只弦知道名就行。那什么叫焦点弦呢？焦点弦就是过焦点的弦啊，你看过 f 一 哎，这个 ab 是不是就焦点弦啊？因为 ab 这条弦他是过焦点的，这就叫焦点弦啊，处于之于十者的焦点弦。 最终呢？不管是 pq 还是说左边这个徒弟 mn， 他都叫做通镜。那 mn 的长度怎么求？很好求。首先 m 点的横坐标跟 f 点坐标都是负 cn 点，同样的也是负 c， 那 m 点和 n 点他这个动作表怎么求啊？我们只需要把什么把标准方程里头这样一个横坐标变成什么 a 分之 a 方分之 c 啊，懂了，把这个 x 变成 负 c 就可以了，然后再减去 b 方外方等于一，然后经过整理以后，这个方程呢，最终会得出来这样一个结果，外方是等于什么点？等于 a 方分之 b 的四次方，那再继续来求的话，那外不就是正负 a 分之 b 方嘛，那 m 点是在 x 轴以下，所以就是负的 a 分之 b 方。 n 点在 x 轴以上，那就是正的 a 分之 b 方。 所以说通镜挨门的长度，最终求出来不就是 a 分之二 b 方了？这个在大题小题里，通镜这个公式啊，这个 a 分之二 b 方都是可以直接用的，小 a 小 b 就是我们之前讲过的双选的其中一个基本量很清楚了吧。那接下来还是要练题的，先来看第一道题啊。 第一道题，首先你需要把它画成双圈的标准方程的形式，我们外方比上一减去 x 方 乘二，不就是除二分之一的意思啊，也就是说此时这个 a 方就是一，然后 b 方呢，就是二分之一，他这个焦点还是在外轴上的，对吧？嗯，焦点还是在外轴上的，然后焦点在外轴上的话，他这个四方就是等于一，再上二分之一，等于二分之三吧。所以我们这个 abc 都可以求出来， b 是二分之根号二， c 是二分之根号六，是吧？啊，然后这个离心率的话呢，就是 a 分之 c 也等于二分之根号六。然后继续来求一下别的啊，十周虚轴这个顶点坐标的话，你就自己来求一下就行了。然后离心率，嗯，通镜呢？ 通键呢？通键的话你就记住就行了。 a 分之二 b 方啊，通键的长度它是等于一分之二乘二分之啊，奏出来是一啊，然后间内线呢？间内线的话，一定记住是两 调吧，那怎么来求呢？外方比上一的平方，那不就是外比上一，然后再加减，然后这个 x 比上谁啊？ x 比上二分之一开杠，那就是二分之跟上二， 那等号右边应该画成零，那最终的话，他这个间接的方程，我们写成外等于正负根号二位的 x 就行了，这就是间接方程有两条问题了吗？所以说解这种问题的时候呢，我们只需要先把它画成 标准方程，然后观察一下焦点在 x 之外之上就可以。包括第二题的话，也是你首先应该改成外方比上二分之三，然后减去 x 方，比上四分之三等于一， 二分之三不就是 a 方吗？那 a 的话就是二分之根号，六开根号，然后这个 b 方不就是四分之三啊，所以说这个 b 的话，他就是等于二分之根号，三开根号， 然后这个四方的话，他俩加起来其实是一个四分之九，所以说小 c 就是二分之三了，都是开根号就行。那剩下的这些量将近线啊，离心率啊，通径啊，你自己来求应该是没问题了吧。那我们继续来看第二题啊，第二的话，我其实我更加建议你先做第二题，第三题，为什么呢？马上你就知道了， 他已经给了你这样一个方程，焦点是在 x 轴上的，焦点在 x 轴上的双据线的话，我首先必须得满足这两个分母，怎么样？这两个分母都是正主吧， a 方 b 方肯定都得大于零了， 所以说那个 a 方是谁？ a 方不就是二 k 减五啊，在这道题里头得大于零，那那个 b 方呢？那不也是 k 的绝对值减二的大于零吗？那最终求出来一个就是 k 大于二分之五，另外一个呢，就是 k 的绝对值大于二，那就是服务穷到富二， 再并上正二和中不穷的意思。两个是且的关系啊，就是说这两个分不得同时都得 怎么样都得大于零岁，且的话就是这两个范围，我们最终求这个交集就行了。求交集的话，那不就是二分之五投政务球吗？没有问题啊。那继续来看第三个，其实第三个的话也差不多，第三个的话焦点在外轴上。 嗯，这样你只需要保证画圈部分这两个分母都是复数就行。比如说随便举一个例子， s 方比上负一 减去 wifi 上，外方比上个负二吧。我随便举了一个例子啊，那整理之后的话，实际上他就相当于这个外方比上正二，再减去 x 方比上正一。你 说焦点是不是在外出上？是，所以说这就给我们领导了，我只需要保证，嗯，画圈部分这两个分母都是负数就行。好，也就是说二可以减五 得是负数啊，小于零。并且呢，这个 k 的绝对值减二是负数也得小于零。那最后求完了之后，就是 k 小于二分之五，并且得满足 k 在什么方面的呀？在负二到正二之间，两个球交题，那最终靠三答案就出来了吧。负二到正二之间。 你要注意，他给的这样一个方程本来就是双线的标准方程，要么是在 x 轴上，焦点要么是焦点在外轴上。所以呢，两种情况综合起来，那不就是双线的意思吗？因为括号一他并没有说焦点必须在 x 轴还是外轴上，所以呢， 科二的情况还有跨三的情况，一综合就行了。所以你现在知道为什么要先做二和三了吧，综合一下并起来啊，负二到正二，再并上二分之五到中五九。好了，这道题就讲完了，分享课堂知识，感受数学之美。我是杨帆老师，下节课再见。

你肯定不知道，这是 a 加 b 分之 a 乘 b， 这是二分之一。