人教A版必修二立体几何158页

大家好，我是末班班长。那因为很多同学想听一听几何与概率这方面的课程，所以为了平均一下进度，那我们就从八点四开始继续这个课程，然后之后再把前面落下的补齐， 那因为八点四是第八章的这一部分的重点。哎，前面的内容基本上我们可以把它归结为画画课和我们的记忆课，主要是记一些公式。 哎呦，顶点棱，平面多边形构成的棱柱跟棱锥来得到相应的结构特征，这部分就是要进一步研究，我们看这个顶点我们是可以把它看成是点的， 棱柱我们可以把它跟直线相关，而平面多边形他跟平面相关，所以我们八点四开始就要进一步的研究点直线平面之间的位置关系，那么这一节我们将从平面入手。那第 一点，平面什么是平面呢？我们初中对于点与直线的认识是由于一些现实事物中抽象而来的，那生活中有哪些跟平面是相关的呢？ 比如说我们的课桌，比如说我们的黑板以及窗户，我们可以把它看成是数值的平面，那通过把这些事物抽象出来，我们就能够得到几何的平面，那这一部分我们只要去理解平面的意义就行。如果我们说直线 是可以向两侧无线延伸的，那么平面他就是可以向四周无限延展的， 当然这里表示的都是无线哦，那我们在表示直线的时候，我们只需要画出直线的一部分就可以表示整个的直线了，所以在表示平面的时候，我们也 可以只画出平面的一部分来表示整个平面，那怎么去画呢？我们会用一个平行四边形来表示，像这样的一个平行四边形，他就很像我们水平的一个平面。那怎么去画竖式的平面呢？就是把它竖过来，把它竖过来的话，我们经常画的其实是这个方向的，哎，是不是很像切进来的一个 一个平面呀？好，大概是这个样子的，那我们也可以去画出斜的，哎，这个样子就是一个斜的平面，那我们会用希腊字母来表示平面，我们把它会写到这个平面的一个角里面，阿尔法呀，贝塔呀，伽马， 那我们可以把他们称为平面阿尔法平面贝塔跟平面伽马，哎。或者如果你把这个四边形他的端点写出字母 abcd， 我们也可以把 它叫做平面 abcd， 哎，这样子都是可以的。那平面有什么样的性质呢？我们经常说一句话叫做点动成线，线动成面，说明两个点动嘛，你得有之前的点跟之后的点，这样两个点会确定一条直线， 那线动成面的话，那你肯定也要有之前的直线跟之后的直线，他是能运动过来的，这样的两条线构成一个平面。同学们想想看，你要想两条线的话，至少我们需要几个点呢？至少我们是需要三个点的， 所以也就说明三个点就能够构成一个平面，但是是有要求的，我们这个线你得表示之前运动之前跟运动之后的呀，所以这两条线他一定不是同一条直线， 所以说明这三个点他一定不在同一条直线上，不在同一直线。两 两条线指的是运动前跟运动后的，并不是两条直线确定同一平面，哦，因为两条直线，尤其在空间里，他不一定是在同一平面之内的。你要记住的是三个点确定的 直线，那我们得到了第一个基本事实，我们说过不在同一直线上的三个点，哎，确定一个平面，尤其 只有一个平面，哎，我们也可以把它简单的记为不贡献的三点确定一个平面，那如果我们将这三个点记做 abc， 我们这里简单画一个平行四边形，哦，如果我们把这三个点 abc， 那么这个平面也可以称作平面 abc， 那我们又知道三个点确定一个平面的话，但是两个点就能够确定一条直线了。那也就说明，如果我们有一 一条直线，然后再加一个点，那也是能够确定一个平面的，哎，如果我们有一条直线，这个直线是 a 直线，然后有一个 a 点，但是你一定要说明清楚，这个点是在直线外的一点，那这样我们就得到了第一个小推论。 推论一，经过一条直线，哎，这表明的是 a 直线与另外一个点与直线外的一点，有且只有一个平面。好，这是第一个小推论，那两点确定了一条直线， 那么这两个点也同样能够确定一条直线。那同学们看， b 直线跟 c 直线，他是相交的两条直线，这也就说明经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论二，经过 两条香蕉直线油且只有一个平面，那我们再 接着看，那这两条直线他也有可能，哎，我们一、二、三，还是这三个点，哦，有可能这里有一条直线，哎，那我不相交的话，我也可以平行啊，我过这一点做与你平行的直线，哎，这有什么不可以的呢？对吧？所以经过两条平行的直线， 平行，直线也是有且只有一个平面。好，这是我们基本事实。一，那我们接着想，我们说直线呢，它是由无数个点构成的，而平面是由无数条直线构成的， 那直线又由无数的点构成，说明我们直线与平面他们都可以看成点的集合，那这个点就是构成这两个集合的元素。如果我们说点 a 在直线 l 上的话，如果我们想表示这不就相当于元素在结合之内吗？我们就可以把它记为这个点 a， 它是属于 l 的， 这样子写就是可以的。那如果点 b， 它在 ly， 这个 l 表示的是直线哦，如果点 b 在 ly 的话，我们就可以把它记为 b， 是不属于直线 l 的，那同样平面也是点构成的集合。所以如果是点 a 在平面阿尔法内的话，我们就可以把它记为 a， 是属于阿尔法的，那如果我们有点 p， 它在阿尔法外的话，我们就可以把它记为 p， 点是不属于阿尔法的，那我们接着思考一个问题，那平面与直线的关系，我们是不是能够通过点的个数来确定呢？你说如果如果有一条直线，这个直线有两个点， 而这两个点他就在我们的平面内，在一个平面内，那请问这个直线与平面什么关系啊？你要是有两个点的话，那已经确定了，你整个这条直线 都会在这个平面内，所以我们就能说明这条直线，这条直线就在这个平面内，平面内这是我们的基本四十二， 那这个时候我们直线在平面内怎么表示呢？我们刚刚也说直线跟平面都属于点的结合，那现在我们表示的就是结合与结合之间的关系，结合与结合之间怎么表示啊？ 哎，我们得用包含，所以在平面内的话，我们就可以把它写为，这里需要有两个点，既在直线上，又在平面上，那就是点 a， 它是属于直线的，点 b 也是属于直线的， 并且这两个点还都在平面内，属于阿尔法的 b 也属于阿尔法则，我们 l 他就会包含于阿尔法。好，这是我们关于基本事是二，那我们接着思考一个问， 如果我们这里有一个书桌，那这里我们拿一个三角板。好，这是一个三角板，我们把他这个顶点就抵在书桌上，这个三角板他跟桌面这个平面是有一个焦点的，这就是他的公共点。那请问这个三角板所在的平面跟我们课桌这个平面有什么关系呢？ 那我们把这个平面补齐。好，我们把这个平面补齐了。那正常我们在画平面的时候是要把遮挡部分都换成虚线的，我在这里把这个遮挡的地方擦一擦， 这里也是一个虚线。那我们看这个阿尔法平面跟贝塔平面他们两个平面是相交的，那我们说直线跟直线相交会相交于一点，那么平面跟平面相交就会相交于一条直线。 那么如果你这两个平面他不是重合的话，只要有一个公共点，就说明这两个平面是相交的，只要相交就会有一个 公共的这个胶线，而且这个胶线他是一定会通过我们原来的公共点的，那这样我们就得到了基本四十三，如果我们有两个不重合的平面，不重合的 平面，哎，如果有两个不重合的平面，他们有一个公共点的话，那么一定有且只有一条 过该点的公共直线。好，那这就是我们第一节的内容，包括什么是平面以及三个基本事实，希望大家好好理解。

这是一道立体几何里面关于三棱锥和三棱抬的一道题目，我们来看一下 棱长均为六的正三棱锥，棱长均为六的正三棱锥，那么他就意味着他其实是一个正四面体的吧， 每个边上都是六，然后他的每个侧面和他的底面，三个侧面和一个底面都是全等的正三角形啊，这样的话他才能叫做，呃，所有冷场均为六的正三棱锥 被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为二的正三棱锥，画一个大的三棱锥啊，然后呢截去一个小的三棱锥，那这个因为这个大的三棱锥是个正四面体啊，是个正三棱锥，是个棱长均为六的正三棱锥，所以导致 这个上面的这个小的截去的底面边长为二的正三棱锥，其实也是一个每个棱长均为二的这么一个三棱锥，也就是一个正四面体 好则捷德所得到的这个棱台的高，那么这个棱台的高在哪呢？首先这个棱台呢，是不包括上面这个小 圆啊，小棱锥的啊，小三棱锥的，不包括的那只有个棱台的吧，那棱台的高呢？他应该也是过舵点，过顶上面的这个舵点，往下面这个投影点 h 点，这个舵 h 呢，其实是我们三棱锥的高， 可是我们轮胎的高在哪呢？所以我们把这个 doh 这条投影的这条垂直的线啊，与这个上底面 e、 g、 f 这 上底面他们相交的一个点，相交的一个点，把它叫做 p 点吧， p 点， 那么这个 p h 自然就是我们轮台的高了，所以我们要求的其实就是 p h 的 大小，那我要想求这个 p h 的话，我要把这个 p h 还是要放在这个 do h 里面去观察的，因为这个 p h 嘛，它本身并没有一个三角形存在啊，而 do h 确实有三角形的，因为有个 do h b， 而且这个三角形也是我们一个非常非常常用的 一个三角形，就是顶顶点的这个在底面的投影点，还有一个棱 啊，还有一个底面的这么一条线，他们三个组成的这个三角形啊，当我们这里是一个正是个直角三角形， 那么这个直角三角形其实是我们做类似的三棱锥的题目的时候啊，我们基本上都会去研究的一个图形，那么现在呢，我们要研究的是 p h 呀，所以我要知道这个 p h 与舵 h 的关系，所以我要模仿的 b h 啊，我在上面还要再做一个 p f， 把这个 p f 也给它连个线，那这样的话就有一个 door h b， 一个三角形，还有一个 door p f， 一个三角形，那么这两个三角形应该是相似的关系， ph 在这啊，但是呢，相似相似比是多少呢？ 我们这个只是说了这个棱长一个是二，上面的小的棱长是二，对吧？下面这个是六，但是呢，因为他是一个所有棱长都相等的啊，所以这个斜边的这个 冷场，这个是二啊，这个舵 b 呢，也是六，那在我们这里呢，画一个平面图啊，一个二，对吧？还有一个舵 b 是六，那这样的话， do f 比舵 b 呢，就自然是一比三，然后呢，这边的舵 p 比 do h 也是一比三， 从而我们就知道这个 ph 啊，其实就是三分之二倍的 doh。 好，那 我要想求 p h， 那我就得先求多 h 了，而多 h 在哪里呢？多 h 在一个直角三角形啊，上面也是直角啊，多 h 呢，在这个直角三角形多 h b 这个里面啊，所以我要想求多 h 的话，我得求多 b 啊，多 b 我知道是等于六，那我还有一个 b h 不知道啊， d h 等于根号下舵 b 的平方减去 b h 的平方，舵 b 的平方我是得知道的啊，还有个 b h 我不知道，那 b h 在哪里呢？又在底面的一个三角形里面，所以我还得画一个底面的一个平面图，那在底面的平面图里面，因为他每个边长都是六 啊，然后呢， h 点其实是我们的一个重心啊，所以呢，我们就可以根据重心的性质啊，我们知道这个 bh 呢，他应该是三分之二倍的 bi 的， 而我们的 b i 呢，因为这里是三啊，这里是三十度，所以 b i 呢，一二杠杠三， b i 是三倍杠杠三， 那就三分之二乘以三倍根号三啊，也就是二倍根号三，二倍根号三呢，就是我们的 bh 的大小啊， bh 呢，往这里放的话，他变成根号下六的平方六六三十六，减去 bh 的平方四一十二啊，也就是根号二十四，根号二十四， 就是二倍根号六，所以多 h 是二倍根号六啊，多 h 呢，往这里填，那就是三分之二，再乘以二倍根号六，于是变成三分之四倍根号六，那么答案就选 a。 这个题在做的过程当中呢，大家要培养一个好的做题习惯呢， 就是画平面图这么一个立体几何的一个基本的习惯呢，希望大家从一开始接触立体几何就把它培养起来啊。 多画平面图，在平面图当中去讨论它的相似关系，讨论它的垂直关系等等。

大家好，我是末班班长，那我们一起来看一下空间点直线平面之间的位置关系，这一方面有什么样的类型题。首先考点一平面基本性质的应用， 那这一块呢，我们是要用一些基本事实来证明一些结论，包括这个点供面，以及我们线供点，还有点供线，这是三个不同方向的证明。那首先我们来看一下例一， ef 分别是 ab 和 aae 的终点， 求证 ecdf 这四点供面，那我们把这个平面给大家框出来。好，那就是这个灰色的平面，我们要证明这四个点都在这个平面之上，当我们遇到这样的点供面的问题的时候，点 共面我们会去怎么证明呢？既然有这么多点的话，我们可以先确定个平面用锁给的部分点， 当然这里也包括线点或者线供面，都是一样的思路，我们用所给的点或者线来确定一个平面，确定平面之后呢，我们只要再让 其他的点或者线在这个平面之上就好了，在平面内吧，用内这个词来更准确一点。那我们一起来看一下，这里面我们可以怎么去确定一个平面呢？那我们不难发现，这里有一组平行的直线，它叫做 ef 和我们的 cd 一平行直线，哎，就会有一个推论，叫做两条平行的直线能够确定一个平面，哎，那其实我们就已经完成了。第一步，我们用所 我给的线去定个平面，然后再去说明这些点在平面之上，这个证明题就搞定，那只要说明平行就好了，那怎么去说明平行呢？我们可以找一个中间量，因为 ef 是中位线的话，我们就会有 ef， 它是平行于 aeb 的。那我们怎么去证明 aeb 与 dec 平行呢？ 我们可以去通过正方体这个条件，既然是正方体的话，我们就会有 abc， 不但平行而且相等，那这样的话，这个四边形他就是一个平行四边形，平行四边形我们就会有 ab， 他自然是平行于 dc 的。那我们用数学语言来好好整理一下证明。 首先我们可以第一阶段证明 ef 平行 aeb， 我们先连接 aeb， ef 和我们的 dec。 好， 因为 e， f 为 ab， a， a 一的终点，所以我们会有 ef， 他会平行于我们的 a， e， b， 那这是第一阶段。然后我们只要再说明，又因为 a， e， d， e， 他是平行于我们的 bc 的，并且由于正方形我们还有 aed 一，他是等于 bc 的，所以四边形 a， e， d， e， c， b 为平行四边形。 平行四边形我们就会有 aeb 是平行于 cd 一的，那我们就得到了 ef， 他是平行于 cd 一的，所以我们就能得到 ef 与 cd 一。可以确定一个平面，确定一个平面，我们给他整个名字，阿尔法。 哎，那四点供面，我们只要在说明一下，这些点都在这个平面之内，那因为 e， c， d， e， f 都是属于平面阿尔法的，所以 e， c， d， d， e， f 四点供面。 好，这道证明题就结束了，那这就是我们来证明点或者线供面的方法。首先呢，我们确定一个平面，然后只要证明这些点在这个平面之上就好了。或者有的题，同学们，你也可以把这些条件分成两部分，分成两部分， 你可以用这些条件确定出两个平面，分别确定平面阿尔法与贝塔，然后只要证明阿尔法是等于贝塔的，这两个平面相重合的，那我们也可以 证明这些点是供面的。那遇到这类题的时候，我们还会接着说明，那我们再看这个辨识，如果本地的条件不变，现在证明 c、 e、 d、 e、 f 和 d a， 我们要证明这三个点交易一点，那现在我们要证明的是限供点的问题。限供 点我们看这里一共有三条线，我们先找出两条直线交易点， 两条直线交于一点，然后再去证明其他直线过这个点就好了。 直线过该点。好，我们看一下这道题，那哪两条直线它是必然会相交的呢？我们可以不用太说明的呢？当然是 df 后面的 ce， 因为 同学们这个图形他必然是一个 t 型，这个四边形他是 t 型的话，那么这两个侧边他一定是相交的啊。因为 d、 e、 f、 e、 c 为 t 型， 所以 ce 与 df 必然会相交， 那我们就可以去设这个焦点，我们设这个焦点为 p 点的话，那接下来我们只要说 ad 这条直线他必然是过 p 点的就好了。那同学们到我们延长之后，这里出现了两个平面，一个是这个平面，另外一个是这个平面， 那 a、 d 充当什么角色呢？也充当这两个平面交线的角色，那 p 点又是这两个平面的 公共点的话，根据我们的基本定理，我们知道如果两个平面之内有一个公共点的话，就是这个批点，现在有一个了，必然会有过该点的公共直线，也就是我们的 ab 这条直线。好，那我们说明一下，则我们首先得说明他是公共点， 则 p 它既属于我们 c、 e 这条直线， p 又属于我们 d、 e、 f 这条直线，那又因为 c、 e 它是在我们的平面 a、 b、 c、 d 之内的，而 d、 e、 f 是在我们平面 a 一 a， d， d、 e 之内的，所以 p 点为平面 a、 b、 c、 d 与平面 a 一 a、 d 第一的公共点。然后呢，我们只要说明 a 是胶线就好了，那又一位平面 abcd 胶平面 a 一 a、 d 第一，他会交在 a、 d 这个公共直线上，这是正房体已知的条件了，所以我们就能得到，所以批点他一定是在 a、 d 之上的。那我们就已经说明了，两条直线交于批点，而 a、 d 这条直线也会经过批点，所以 c、 e、 d、 e、 f 与 d、 a 是教育一点的， 就交于这个批点。好的，这是我们关于限供点的问题，怎么去处理？先找两条直线交于一点，再证明其他的直线经过这一点，我们把它标一下。哎，这是方法啊，上面这里点供面也是一样的。 好，那我们接着看练习里面给大家放了一个点贡献的问题，其实点贡献的话也是同样的思路，我们看四个点嘛，我们先是证明两条直线过一点，所以点来说，我们只要证明两个点，先定一条直线，再去证明其他的点在这个直线上就好了，这是通常的思路啊。 点贡献的话，一，我们可以先找两点，找两点定直线，再去证明其他的点在直线上，其他点直线上，我就简介了啊， 哎，这是第一种情况，那第二种情况，我们看这道题里面这四个点他是比较特殊的，为什么呢？ ab 是平行于 cd 的， ab 平行于 cd， 说明这两个直线他是能够确定一个平面的，那么 efgh 你发现他都是这两个平面的公共点，所以这 公共点必然是贡献的，你只要把这个事情陈述起来就好了，哎，所以第二种情况就是这种特殊的情况，所有的点在一个特定的直线上， 这里我们指的就是交线了。那我们把这道题好好陈述一遍证明，因为我们 ab 是平行于 cd 的，所以 ab 与 cd 可以确定一个平面， 一个平面，哎，阿尔法已经有了，那就设这个平面为贝塔。然后我们需要说明的是这四个点分别是这两个平面的公共点，那我们可以说一个，哎，其他的同理就行， 那因为 e 是属于平面阿尔法的，且 e 是属于平面背他的，也就是说明 e 为平面阿尔法与平面贝塔的公共点。 同学们写证明的时候一定不要跳步啊，这个很有利于你自己对思路的整理，也有利于判决。老师看清楚你的逻辑。好，公共点之后，我们同理 f、 g、 h， 他均为平面阿尔法与平面贝塔的公共点。 那又因为我们知道两个平面如果有公公点的话，则他们有且只有一条直线，一条过该点的 公共直线，所以就说明了 e f、 g、 h 四点 b 定 贡献。好，那这样子这道题我们就证明完了。我们看一下这是考点一，我们分别整理了一下怎么去证明点供面，怎么去证明线供点和点供线，那我们接着来看考点二，空间两条直线的位置关系。