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这个视频咱来讲讲简单的几何技术问题。在一条线段上画 n 个点,你知道图中有几条线段吗? 这一条条数显然不太科学,想想看有没有什么简单的法则?你看,每条线段有两个端点,所以只要找到两个端点,就可以确定一条线段。 先找第一个点有多少种选择呢?这外面有两个点,中间有 n 个点,一共就有 n 加二个点,所以就有 n 加二种选择。 假设你任选出了这个点,和其他的任意一个点搭配,都可以画出一条线段,也就是每个点可以和 n 加一个点搭配。画出一条线段,那一共有 n 加二个点,每个点有 n 加一个点搭配,那就可以搭配出 n 加二乘 n 加一条线段, 这就是所有的线段数吗?当然不是喽。你看,假如我先选了点一和点二搭配,这条线段算进去了,那如果我选的是点二和点一搭配,这条线段也被算进去了,发现没?这条线段其实算了两次, 类似的,每条线段都会被算两次,所以刚才算的总数要除以二才行,这才是最后答案。以后再遇到这种数线段条数的问题,你就随便找一个点去搭配其他的点。注意喽,最后算出的结果要除以二。 用类似的方法还可以计算角的个数,比如这个角内有 n 条射线,你知道这个图中有多少个角吗?因为角有两条边,所以咱就先找到一条边去大 另一条边即可。这外面有两条射线,里面有 n 条射线,一共就有 n 加二条射线,那第一条边就有 n 加二种选择。 接下来,用你随便选的这条边去搭配任意一条边就是角了,不难发现,除了他本身以外有 n 加一条边,所以每条边都有 n 加一种搭配,这样总数就是 n 加二乘 n 加一啦。 不过千万要注意,和线段一样,你先选他再搭配他和先选他再搭配他是被重复计算了两次,所以这个结果也要除以二,这才是图中角的数量。 好了,总结一下,解决这类问题的核心在于用搭配的思想去算数量。在算线段的条数时,你就随便找一个点去 搭配其他的点。在算角的数量时,你就随便找一条边去搭配其他的边。但是不管是哪种,最后算出的结果都要除以二,怎么样,明白了吗?明白的话就速速去刷题吧!

好,同学们,马上进入到我们今天的最后一个终极挑战。好吧,不知道这个图形看起来同学们觉得如何呢? 可以这么说,这道题是一个不算太难,一定可以数,但是很不容易数对了题目, 所以在这佳佳老师啊,建议同学们你自己先去数一数,按照前面我们所说的分类方法自己数数,看看你的答案跟佳佳老师的答案是否一致呢?多了少了还是一样呢?来,同学们暂停一下 好,数完了吗?一定要自己数哦,数完了之后再来看看这道题目。这个图呢,其实看着还是很具有对称美的对不对?一看里面全是一堆的正方形,在那划来划去, 里面有一对的米字格,最后形成了很多图形,而且问的是这个图形当中有多少个三角形?从这我们就会发现,这个图形里面其实三角形都长什么样子, 哎,都是等腰直角三角形,发现都是等腰直角三角形,只不过是大大小小对不对?既然如此,那么完全可以就按照他的大小来进行分类了, 最小的等要直角三角形,那就是这里边的了,所以我们现在就按照这个来进行分类,先想想,如果就这个叫面积为一吧,如果面积为一的等要直角三角形有多少个呢?那你会发现他长成什么样子? 在这个图里面,他长成的应该就是这个样子的,对吧?是的,他有多少个?嗯,这个还挺好, 舍得数吧,哈哈哈,其实你会发现外面是没有的,在这样一个正方形里面是不是有四个?是的,一个两个,三个,四个,四个正方形,所以这种很好数,一共会有十六个,没问题吧? 接着就开始看面积为二,因为大一点的等要直角三角形是由这种小的拼凑而行的,所以下面就是面积为二的等要直角三角形。那面积为二的等要直角三角形在哪呢?会发现像这样的就是面积为二的, 对吧?那同样的道理,像这个是不是也是面积为二的?是的,哎,那我相信有同学看出来了,那你看这样的一个正方形当中一分,他是不是四块都是面积为二的?是的,那一个,两 个,三个,四个,这不就是四四十六个吗?你看看佳佳老师那个笑还没笑完呢,那说明十六个又是一个标准错误答案了, 为什么会这样呢?还有什么呢?还有什么呢?那这时候就要想了,同学们的手法,是不是就把整个的图分成了这样的四部分, 在每一块里面,那种面积为二的等腰直角三角形我都数到了,但是在数这种组合图形的时候,一定要注意,有没有心增的部分呢?有没有横跨两个图形的部分呢?发现有的,比如说这个样子的, 对吧?再比如说这个样子的,看清楚了没有?哦,那这种有几个呢?两个,两个。这边呢?两 两个,两个,两个。所以这个面积为二的有多少个?是不是也就出来了二十四个,那就是二十四个,所以注意有外围的这种,还有横跨两个的,那么得出来一共有二十四个 好,面积为二的出出来了,接着有面积为三的吗?嗯,不可能,哈哈。下一个是几面积为四的,面积为四,也就是由两个这种图形组合而成的,对不对?相信有了刚刚这道题数的经验,马上我也发现了两个这种组合而成,那不就是这样的吗? 好吧,太难画了,画在这这种是不是就是了?是的,那按照我们的这个分位方法,一个一分,你看每个正方形里面一条对角线,一连两个,再一条对角线,一连又两个。那一个正方 方形里面是不是就应该有四四?呃,有四个,四个正方形,这里面四个,这里面,这里面,这里面,那不就应该有十六个吗? 哎,发现有没有横跨的?有没有横跨的?没有了吧?没有了吗?真的没有了吗?你再仔细找找有没有横跨的, 有吗?啊?找到了,在哪啊?里面那个正方形,发现在里面那个正方形当中是不是就会横跨了? 此时在横跨的时候,你要注意了,他不是横跨,这样的两个,能看清楚了没有,而是在中间的这个里面会出现这种图形,好吧, 真难数,哈哈哈。在最中间的这个图形里面,这样的会有四个,所以最后出来的是四,四十六,再加四等于二十个。好吧,终于数到了面积为四,下面该面积为 八的啦。一样的数法,在面积为八的图形里面就会是这个样子的,而这个呢,我们就有很多书法,按横竖、按方向数都可以,比如说我们按照这个方向,今朝下的应该一共有两个, 那尖朝上、朝左朝右都会是两个,所以这种应该一共有八个。好吧,再往下那就是面积为十六的了,这个不用说了,一共有四个,所以最后这已经是最大的三角形了,最后把所有的都加在一起,就是总 共的七十二个,可以说这道题呢,其实要说技巧也没有太多,第一按照从小到大分类美景,第二在里面有个小小的技巧,就是用对应法去把它对应到某个图形里面去数,能够减少你的工作量。 而另外一方面,在你做组合图形的时候,一定要弄清楚,当你分别数完了各个图形,要注意有没有横跨的三角形, 所以这就成为了这道题你能不能正确数出来的关键了。对于这道题目来讲,要跟同学们说的,那就是第一按面积大小进行分类, 第二,利用图形本身特殊的性质,能够用对应法来把它解决,那这个数起来就会相对比较简单了。好,同学们,到这里为止呢,我们今天这两 内容就全部都结束了,在今天我们主要讲了第一个美景,那主要是按照图形的大小和位置进行分类,而第二个可以化繁为简的对应吧,这个在数图形,尤其是具有特殊性质的图形当中用起来是最方便的。 第三个就是不虫不漏的绒赤原理,那就是在鼠的过程当中,一定要注意把重复的给去掉, 而和面积相关的,我们要熟练的运用面积公式,利用图形的对称数对称性来数了,而今天我们的重点例题是立四义务和立六。好了,同学们,今天的内容到这里就结束了,佳佳老师要跟大家再见了。


接下来我们来学习图形的组合技术,对于一些有规律的复杂图形,我们可以分析其中的规律,找出排列组合的方式,然后按照排列组合的形式进行计算。像下面这道练习题,要想把这些三角形一个一个的画出来几乎是不可能的, 那么我们就要分析其中的规律。首先我们来看这个圆,从圆上认取三个点一定是不共限的,所以说这三个点一定能够组成一个三角形,那么这就变成了一个从五个元素中认取三个元素的 c 五三的问题。具体的计算方式我们之前已经讲过,算出来等于十个, 然后我们再从圆上取一个点,从直线上取两个点,这三个点的组合也是不共限的,也可以随意组成一个三角形,从圆上认取一个点就是 c 五一,从直线上认取两个点就是 c 五二,所以 说把他们两个乘起来一共有五十个不同的三角形。再接下来我们可以从圆上取两个点,从直线上取一个点。根据题目中的介绍,圆上的任意两个点跟直线上的任意一个点是不够线的,所以说也可以保证组成一个三角形。 那么圆上取两个点就是 c 五二,直线上取一个点就是 c 五一,最后乘起来也等于五十个三角形。最后一种取法就是从直线上取三个点,那么这三个点肯定是贡献的,就组不成三角形,所以说一共就只有上面三种取法。 那么最终组成的三角形的数量,根据加法分类,类类相加的原则,我们把它们都加起来,一共有一百一十个不同的三角形,像这道题我们还可以有其他的方法可以采用排除法,就是说圆上和直线上一共有十个点,那么我们所有的取法就是从这 这十个点里边取三个点的这种组合。 c 十三等于一百二十种不同的取法,但是通过观察我们知道如果是从直线上取三个点的话,它是不能组成三角形的,所以说我们要排除掉从直线上取点的情况。从直线上取点就是一个 c 五三的组合,一共有十种不同的方式, 那么我们从所有的组合里边减掉这十种就是我们最终要求的了。一百二十减十等于一百一十个不同的三角形。这两种方法都是要从题目中找出解题的规律,然后按照排列组合的计算方法来进行计算。关注王老师学习新知识!

接下来我们来学习图形的对应技术,对应技术就是采用对应的方法,将图形中的复杂情况转换为比较简单的情况进行计算。那么什么是对应的方法?比如说对长方形进行技术的时候,我们最常用的有两种对应方法,一种是边对应, 就是说我们确定了一个宽边,再确定一个长边,就可以确定出一个长方形,这样的话我们只需要对宽和长的情况进行讨论就可以了。还有一种就是点对应,或者叫对角线对应, 我们确定了长方形对角的两个顶点以后,把他们连成一条对角线,然后就可以确定出一个长方形,这样的话我们只需要对对角顶点的情况进行讨论就可以了。来看一下具体的练习题 要求下图中有多少个含有 x 的长方形。首先我们可以采用边对应的方法,我们在 x 的左边选一条边作为 为宽,在 x 的上面选一条边作为长,这样的话就可以确定出一个含有 x 的长方形。所以说我们只需要在 x 的左边分析有多少种不同的宽,在 x 的上面分析有多少种不同的长,就可以确定有多少种不同的长方形。首先第一步我们来看宽的情况, 下面这一条线段能不能作为宽呢?这条线段组成的长方形包含不了 x, 所以说这条线段是不可以作为宽的,这种单个方格的线段只有跟 x 平齐的这一条可以作为宽。 然后我们再来看两个方格长的线段,一共有两条可以包含 x 三个方格的线段,也有两条可以包含 x, 最后是四个方格的线段,所以说能够包含 x 的宽一共有六种。然后我们再来看能够包含 x 的长边,一个方格长的只有一条,两个方格长的有两条, 三个方格长的也有两条,四个方格长的也可以找出两条。最后是五个方格长的只有一条,所以说一共有八种可以作为长边的线段。最后根据乘法分布,步步相乘的原理,我们可以得出来一共有四十八个含有 x 的长方形。 我们再来看一下第二种方法,点对应的方法。我们在 x 的两边随便选取两个顶点,连成一条对角线,就可以确定出一个含有 x 的长方形。 按照这个原理,我们只需要在 x 两边分析顶点的数量就可以了。首先是 x 的右上方紫色阴影区域覆盖的顶点都可以作为长方形右上方的顶点,这样的顶点一共有十二个。 然后我们再来看 x 的左下方黄色阴影覆盖的顶点就可以作为长方形的左下方顶点,这样的顶点一共有四个,还是按照步步相乘的原理,我们可以 计算出来一共有四十八个含有 x 的长方形。像这一类的边对应和点对应的应用场景是非常广泛的,这两种方法其实就是我们说的线段标数法和端点标数法的理论基础,关注王老师学习新知识!



咱们孩子拿了这道题,怎么数都数不明白,我们来看一下,问你下图一共有多少个三角形?咱们怎么去数呢?我们看到这有一层三角形,这也有一层三角形, 两层三角形,那老师给大家拎出来看一看,咱们上面这一层三角形是不是长这样子的?这个上面这一层,哦,是这样子的,那这个大家会数吗?咱们利用标书法去数,找到最小的三角形,进行标数,一、二三、四。哎, 所以呢,四加三加二加一,有几个三角形呀?有十个,咱们这有十个三角形,那这是不是还有一层啊?咱们 给他拎出来长这个样子的啊?再进行标数来看一下这个三角形,同样的利用标书法找到最基本的进行标数,一二三、四有几个,四加三加二加一也有 有十个,那写到这了,他就说了,老师十加十有二十个,咱们数完没有?大家思考一下,没有数完,你看这是不是还有一个呀?那这一层咱们怎么数呀?哎,咱们来看了啊,这是不是一个三角形啊?肯定是呀。哦,一个,那这大的也是一个三角形啊,几个了?两个了。好,这还是一个三角形, 三个,这最大的一个三角形四个了,所以咱们还要加几,还要加上四,所以十加上十,再加上四,等于二十四个,这才是咱们最终的一个答案。所以下次拿这种题,你知道怎么去分析了吗?学会了,给老师一颗小心心吧。

下面我们来看一下线段标数法,线段标数法可以理解为是对应技术法的一个拓展应用。我们先来看最简单的线段数量的计算,一般有两种方法,一种实际上是运用的是加法原理, 有一段线段的时候,我们给他标个一,那么他的线段数量就是一条,那么有两段线段组成的时候,我们同样给他标上序号。那么在刚才线段一的基础上,我们又增加了线段二,增加了线段一和二的一个组合,所以说一共是有一加二条线段。 同样的道理,有三段线段组成的时候,除去刚才的一加二以外,我们又增加了线段三,线段二和三线段一二三这三种组合。所以说现在的线段数量是一加二加三,一共有六条。那么根据这个规律,我们总结下来,有 n 条线段组成的一条线段, 他的线段数量是一加二加三,一直加到 n。 像这种线段计数的问题,我们还可以有第二种方法,就是我们前面提到的点对应的方法。我们来看一下,任何一段线段都会有两个端点,也就是说任意两个端点就可以确定一条线段, 那么在这样一条多端点的线段中,我们可以把它的端点数标出来。像这一条一共有六个端点,那么它可以组成的线段数量就是从这六个端点中任意选取两个端点,就可以确定一条线段。 所以说就是一个 c 六二的组合问题。我们按照这个规律来总结一下,就是说有 n 条小线段,有 n 加一等于 m 个端点,那么它的线段数量就是 c m 二的一个组合,有些人可能觉得,哎,这个结果跟我以前学的不一样,我以前学的是端点的数量乘以线段的数量,然后再出一 二。不要着急,我们来看一下这个 c m 二是怎么计算的。 c m 二根据我们以前学的公式,它就等于 m 乘 m 减一再除以二, m 减一就等于 n, 所以说就是 m 乘以 n 再除以二。 这里边 m 就是端点数, n 就是小线段的数量。所以说跟你以前学的公式是一样的,端点的数量乘以线段的数量再除以二。只是以前学的时候只学了一个结论,没有学他的原理。关注王老师学习新知识!

好,来,我们继续来看这道题啊,如图所示,数一数,图中一共有多少个三角形?好,这非常明显的是一道什么题啊?技术,图形,技术,对吧?数三角形的个数来怎么数呢? 哈哈哈,好,这道题呢,其实他用的方法我们叫做天线法啊,天线法你需要去掉一些线,然后呢再增加一些线 啊,这样一个方法好数一些啊,否则这个题还真的挺难数的啊,他的这个个数啊,非常多,你不可能说一个一个去数得有方法,对吧?那么方法是什么呢?来,什么叫天线法呢?我们来 看一下,其实道理也很简单哈,就是你分三步啊,你要分三步,第一步呢,来看一下, 第一步,你先去掉这些线,比如说你把这条线,大家看好啊,嗯,你把这条线哎给它去掉,对,你把这条线给它去掉, 然后呢你再去一条线。来,各位同学请看,就是你首先呢把这两条线去掉,那么在你眼中其实就是一个三角形,对吧?啊,有这么多,然后中间有条横线,那请问在第一幅图当中,你能不能找到这有 有多少个线啊?多少个三角形?好不好数,很好数啊,采取咱们的对应法来,你可以找多少个角啊?一二三四五六,对吧? 一加二加三加四加五加六啊,这是角的个数,然后呢一个角和一条边嘛,两条边二选一,再乘以二等于几,这里应该是十五二十一啊,四十二个 没问题吧?这里是四十二个三角形啊,这是第一步。好,第二步呢,你就要想一想,我现在啊,假设在原来的基础之上呢啊,我把这个先藏掉啊,在原 原来的基础之上增加了一条线,大家请看,我们增加了这条红色的线,好吧, 来,那么我们要思考一个问题,就是因为你增加了这条线,而新增加的三角形有多少个呢?如果能找到你加上它就是第二幅图的三角形的个数,能理解吗?你想一想,原来有四十二个, 对吧?现在呢,你增加了这条红线,那会新增加几个三角形呢?原来跟低图相比啊。啊?你先过来吗?然后再过去,对吧?来跟他相比呢? 这个点会多一个,这个点呢会多一个,这个点呢会多一个。这个呢会多一个以上型 多一个,三角形多一个。这儿呢会多六个。 ok, 这儿呢?零个对,他不多啊,他跟这个红色线没有产生关关联啊,这个点呢,都是零零 零,对吧?所以其实应该是六个加三个加三个加十二个,对吧?这里应该是四十二加十二等于五十四个 o, 不 ok, 所以说第二幅图呢,应该是有五十四个三角形,这叫天线法, 对不对?这叫天线法。好,再然后我们继续看第三幅图,他是在第二幅图的基础之上,怎么样?又增加了一条线,红色线,对吧?就这样啊,又增加了一条 线,好,那我们就数数因为新增加这条线而新产生的三角形都有谁啊?有几个数数呗,一个?一个一个,对吧?这呢?六个吧,这呢?一个一个一个跟他好像是对称的吧,但是 不一样的地方,是吗?这没有,这没有。哎,这有一个,这没有,这没有,对吧?这没有。好,这个呢,也是没有的 啊,所有顶点都没有,所以真正有的是几个在五十四的基础上来会新增加几个三角形,六加六十二,加一为十三啊十三,所以呢总共答案是六十七个啊 啊,六十七个,这就是我们的天线法啊,天线法,来大家可以看一下啊,所以答案是六十七。