几何计数进阶

这个视频咱来讲讲简单的几何技术问题。在一条线段上画 n 个点，你知道图中有几条线段吗？ 这一条条数显然不太科学，想想看有没有什么简单的法则？你看，每条线段有两个端点，所以只要找到两个端点，就可以确定一条线段。 先找第一个点有多少种选择呢？这外面有两个点，中间有 n 个点，一共就有 n 加二个点，所以就有 n 加二种选择。 假设你任选出了这个点，和其他的任意一个点搭配，都可以画出一条线段，也就是每个点可以和 n 加一个点搭配。画出一条线段，那一共有 n 加二个点，每个点有 n 加一个点搭配，那就可以搭配出 n 加二乘 n 加一条线段， 这就是所有的线段数吗？当然不是喽。你看，假如我先选了点一和点二搭配，这条线段算进去了，那如果我选的是点二和点一搭配，这条线段也被算进去了，发现没？这条线段其实算了两次， 类似的，每条线段都会被算两次，所以刚才算的总数要除以二才行，这才是最后答案。以后再遇到这种数线段条数的问题，你就随便找一个点去搭配其他的点。注意喽，最后算出的结果要除以二。 用类似的方法还可以计算角的个数，比如这个角内有 n 条射线，你知道这个图中有多少个角吗？因为角有两条边，所以咱就先找到一条边去大 另一条边即可。这外面有两条射线，里面有 n 条射线，一共就有 n 加二条射线，那第一条边就有 n 加二种选择。 接下来，用你随便选的这条边去搭配任意一条边就是角了，不难发现，除了他本身以外有 n 加一条边，所以每条边都有 n 加一种搭配，这样总数就是 n 加二乘 n 加一啦。 不过千万要注意，和线段一样，你先选他再搭配他和先选他再搭配他是被重复计算了两次，所以这个结果也要除以二，这才是图中角的数量。 好了，总结一下，解决这类问题的核心在于用搭配的思想去算数量。在算线段的条数时，你就随便找一个点去 搭配其他的点。在算角的数量时，你就随便找一条边去搭配其他的边。但是不管是哪种，最后算出的结果都要除以二，怎么样，明白了吗？明白的话就速速去刷题吧！

好，同学们，马上进入到我们今天的最后一个终极挑战。好吧，不知道这个图形看起来同学们觉得如何呢？ 可以这么说，这道题是一个不算太难，一定可以数，但是很不容易数对了题目， 所以在这佳佳老师啊，建议同学们你自己先去数一数，按照前面我们所说的分类方法自己数数，看看你的答案跟佳佳老师的答案是否一致呢？多了少了还是一样呢？来，同学们暂停一下 好，数完了吗？一定要自己数哦，数完了之后再来看看这道题目。这个图呢，其实看着还是很具有对称美的对不对？一看里面全是一堆的正方形，在那划来划去， 里面有一对的米字格，最后形成了很多图形，而且问的是这个图形当中有多少个三角形？从这我们就会发现，这个图形里面其实三角形都长什么样子， 哎，都是等腰直角三角形，发现都是等腰直角三角形，只不过是大大小小对不对？既然如此，那么完全可以就按照他的大小来进行分类了， 最小的等要直角三角形，那就是这里边的了，所以我们现在就按照这个来进行分类，先想想，如果就这个叫面积为一吧，如果面积为一的等要直角三角形有多少个呢？那你会发现他长成什么样子？ 在这个图里面，他长成的应该就是这个样子的，对吧？是的，他有多少个？嗯，这个还挺好， 舍得数吧，哈哈哈，其实你会发现外面是没有的，在这样一个正方形里面是不是有四个？是的，一个两个，三个，四个，四个正方形，所以这种很好数，一共会有十六个，没问题吧？ 接着就开始看面积为二，因为大一点的等要直角三角形是由这种小的拼凑而行的，所以下面就是面积为二的等要直角三角形。那面积为二的等要直角三角形在哪呢？会发现像这样的就是面积为二的， 对吧？那同样的道理，像这个是不是也是面积为二的？是的，哎，那我相信有同学看出来了，那你看这样的一个正方形当中一分，他是不是四块都是面积为二的？是的，那一个，两 个，三个，四个，这不就是四四十六个吗？你看看佳佳老师那个笑还没笑完呢，那说明十六个又是一个标准错误答案了， 为什么会这样呢？还有什么呢？还有什么呢？那这时候就要想了，同学们的手法，是不是就把整个的图分成了这样的四部分， 在每一块里面，那种面积为二的等腰直角三角形我都数到了，但是在数这种组合图形的时候，一定要注意，有没有心增的部分呢？有没有横跨两个图形的部分呢？发现有的，比如说这个样子的， 对吧？再比如说这个样子的，看清楚了没有？哦，那这种有几个呢？两个，两个。这边呢？两 两个，两个，两个。所以这个面积为二的有多少个？是不是也就出来了二十四个，那就是二十四个，所以注意有外围的这种，还有横跨两个的，那么得出来一共有二十四个 好，面积为二的出出来了，接着有面积为三的吗？嗯，不可能，哈哈。下一个是几面积为四的，面积为四，也就是由两个这种图形组合而成的，对不对？相信有了刚刚这道题数的经验，马上我也发现了两个这种组合而成，那不就是这样的吗？ 好吧，太难画了，画在这这种是不是就是了？是的，那按照我们的这个分位方法，一个一分，你看每个正方形里面一条对角线，一连两个，再一条对角线，一连又两个。那一个正方 方形里面是不是就应该有四四？呃，有四个，四个正方形，这里面四个，这里面，这里面，这里面，那不就应该有十六个吗？ 哎，发现有没有横跨的？有没有横跨的？没有了吧？没有了吗？真的没有了吗？你再仔细找找有没有横跨的， 有吗？啊？找到了，在哪啊？里面那个正方形，发现在里面那个正方形当中是不是就会横跨了？ 此时在横跨的时候，你要注意了，他不是横跨，这样的两个，能看清楚了没有，而是在中间的这个里面会出现这种图形，好吧， 真难数，哈哈哈。在最中间的这个图形里面，这样的会有四个，所以最后出来的是四，四十六，再加四等于二十个。好吧，终于数到了面积为四，下面该面积为 八的啦。一样的数法，在面积为八的图形里面就会是这个样子的，而这个呢，我们就有很多书法，按横竖、按方向数都可以，比如说我们按照这个方向，今朝下的应该一共有两个， 那尖朝上、朝左朝右都会是两个，所以这种应该一共有八个。好吧，再往下那就是面积为十六的了，这个不用说了，一共有四个，所以最后这已经是最大的三角形了，最后把所有的都加在一起，就是总 共的七十二个，可以说这道题呢，其实要说技巧也没有太多，第一按照从小到大分类美景，第二在里面有个小小的技巧，就是用对应法去把它对应到某个图形里面去数，能够减少你的工作量。 而另外一方面，在你做组合图形的时候，一定要弄清楚，当你分别数完了各个图形，要注意有没有横跨的三角形， 所以这就成为了这道题你能不能正确数出来的关键了。对于这道题目来讲，要跟同学们说的，那就是第一按面积大小进行分类， 第二，利用图形本身特殊的性质，能够用对应法来把它解决，那这个数起来就会相对比较简单了。好，同学们，到这里为止呢，我们今天这两 内容就全部都结束了，在今天我们主要讲了第一个美景，那主要是按照图形的大小和位置进行分类，而第二个可以化繁为简的对应吧，这个在数图形，尤其是具有特殊性质的图形当中用起来是最方便的。 第三个就是不虫不漏的绒赤原理，那就是在鼠的过程当中，一定要注意把重复的给去掉， 而和面积相关的，我们要熟练的运用面积公式，利用图形的对称数对称性来数了，而今天我们的重点例题是立四义务和立六。好了，同学们，今天的内容到这里就结束了，佳佳老师要跟大家再见了。

接下来我们来学习图形的组合技术，对于一些有规律的复杂图形，我们可以分析其中的规律，找出排列组合的方式，然后按照排列组合的形式进行计算。像下面这道练习题，要想把这些三角形一个一个的画出来几乎是不可能的， 那么我们就要分析其中的规律。首先我们来看这个圆，从圆上认取三个点一定是不共限的，所以说这三个点一定能够组成一个三角形，那么这就变成了一个从五个元素中认取三个元素的 c 五三的问题。具体的计算方式我们之前已经讲过，算出来等于十个， 然后我们再从圆上取一个点，从直线上取两个点，这三个点的组合也是不共限的，也可以随意组成一个三角形，从圆上认取一个点就是 c 五一，从直线上认取两个点就是 c 五二，所以 说把他们两个乘起来一共有五十个不同的三角形。再接下来我们可以从圆上取两个点，从直线上取一个点。根据题目中的介绍，圆上的任意两个点跟直线上的任意一个点是不够线的，所以说也可以保证组成一个三角形。 那么圆上取两个点就是 c 五二，直线上取一个点就是 c 五一，最后乘起来也等于五十个三角形。最后一种取法就是从直线上取三个点，那么这三个点肯定是贡献的，就组不成三角形，所以说一共就只有上面三种取法。 那么最终组成的三角形的数量，根据加法分类，类类相加的原则，我们把它们都加起来，一共有一百一十个不同的三角形，像这道题我们还可以有其他的方法可以采用排除法，就是说圆上和直线上一共有十个点，那么我们所有的取法就是从这 这十个点里边取三个点的这种组合。 c 十三等于一百二十种不同的取法，但是通过观察我们知道如果是从直线上取三个点的话，它是不能组成三角形的，所以说我们要排除掉从直线上取点的情况。从直线上取点就是一个 c 五三的组合，一共有十种不同的方式， 那么我们从所有的组合里边减掉这十种就是我们最终要求的了。一百二十减十等于一百一十个不同的三角形。这两种方法都是要从题目中找出解题的规律，然后按照排列组合的计算方法来进行计算。关注王老师学习新知识！

接下来我们来学习图形的对应技术，对应技术就是采用对应的方法，将图形中的复杂情况转换为比较简单的情况进行计算。那么什么是对应的方法？比如说对长方形进行技术的时候，我们最常用的有两种对应方法，一种是边对应， 就是说我们确定了一个宽边，再确定一个长边，就可以确定出一个长方形，这样的话我们只需要对宽和长的情况进行讨论就可以了。还有一种就是点对应，或者叫对角线对应， 我们确定了长方形对角的两个顶点以后，把他们连成一条对角线，然后就可以确定出一个长方形，这样的话我们只需要对对角顶点的情况进行讨论就可以了。来看一下具体的练习题 要求下图中有多少个含有 x 的长方形。首先我们可以采用边对应的方法，我们在 x 的左边选一条边作为 为宽，在 x 的上面选一条边作为长，这样的话就可以确定出一个含有 x 的长方形。所以说我们只需要在 x 的左边分析有多少种不同的宽，在 x 的上面分析有多少种不同的长，就可以确定有多少种不同的长方形。首先第一步我们来看宽的情况， 下面这一条线段能不能作为宽呢？这条线段组成的长方形包含不了 x， 所以说这条线段是不可以作为宽的，这种单个方格的线段只有跟 x 平齐的这一条可以作为宽。 然后我们再来看两个方格长的线段，一共有两条可以包含 x 三个方格的线段，也有两条可以包含 x， 最后是四个方格的线段，所以说能够包含 x 的宽一共有六种。然后我们再来看能够包含 x 的长边，一个方格长的只有一条，两个方格长的有两条， 三个方格长的也有两条，四个方格长的也可以找出两条。最后是五个方格长的只有一条，所以说一共有八种可以作为长边的线段。最后根据乘法分布，步步相乘的原理，我们可以得出来一共有四十八个含有 x 的长方形。 我们再来看一下第二种方法，点对应的方法。我们在 x 的两边随便选取两个顶点，连成一条对角线，就可以确定出一个含有 x 的长方形。 按照这个原理，我们只需要在 x 两边分析顶点的数量就可以了。首先是 x 的右上方紫色阴影区域覆盖的顶点都可以作为长方形右上方的顶点，这样的顶点一共有十二个。 然后我们再来看 x 的左下方黄色阴影覆盖的顶点就可以作为长方形的左下方顶点，这样的顶点一共有四个，还是按照步步相乘的原理，我们可以 计算出来一共有四十八个含有 x 的长方形。像这一类的边对应和点对应的应用场景是非常广泛的，这两种方法其实就是我们说的线段标数法和端点标数法的理论基础，关注王老师学习新知识！

咱们孩子拿了这道题，怎么数都数不明白，我们来看一下，问你下图一共有多少个三角形？咱们怎么去数呢？我们看到这有一层三角形，这也有一层三角形， 两层三角形，那老师给大家拎出来看一看，咱们上面这一层三角形是不是长这样子的？这个上面这一层，哦，是这样子的，那这个大家会数吗？咱们利用标书法去数，找到最小的三角形，进行标数，一、二三、四。哎， 所以呢，四加三加二加一，有几个三角形呀？有十个，咱们这有十个三角形，那这是不是还有一层啊？咱们 给他拎出来长这个样子的啊？再进行标数来看一下这个三角形，同样的利用标书法找到最基本的进行标数，一二三、四有几个，四加三加二加一也有 有十个，那写到这了，他就说了，老师十加十有二十个，咱们数完没有？大家思考一下，没有数完，你看这是不是还有一个呀？那这一层咱们怎么数呀？哎，咱们来看了啊，这是不是一个三角形啊？肯定是呀。哦，一个，那这大的也是一个三角形啊，几个了？两个了。好，这还是一个三角形， 三个，这最大的一个三角形四个了，所以咱们还要加几，还要加上四，所以十加上十，再加上四，等于二十四个，这才是咱们最终的一个答案。所以下次拿这种题，你知道怎么去分析了吗？学会了，给老师一颗小心心吧。

下面我们来看一下线段标数法，线段标数法可以理解为是对应技术法的一个拓展应用。我们先来看最简单的线段数量的计算，一般有两种方法，一种实际上是运用的是加法原理， 有一段线段的时候，我们给他标个一，那么他的线段数量就是一条，那么有两段线段组成的时候，我们同样给他标上序号。那么在刚才线段一的基础上，我们又增加了线段二，增加了线段一和二的一个组合，所以说一共是有一加二条线段。 同样的道理，有三段线段组成的时候，除去刚才的一加二以外，我们又增加了线段三，线段二和三线段一二三这三种组合。所以说现在的线段数量是一加二加三，一共有六条。那么根据这个规律，我们总结下来，有 n 条线段组成的一条线段， 他的线段数量是一加二加三，一直加到 n。 像这种线段计数的问题，我们还可以有第二种方法，就是我们前面提到的点对应的方法。我们来看一下，任何一段线段都会有两个端点，也就是说任意两个端点就可以确定一条线段， 那么在这样一条多端点的线段中，我们可以把它的端点数标出来。像这一条一共有六个端点，那么它可以组成的线段数量就是从这六个端点中任意选取两个端点，就可以确定一条线段。 所以说就是一个 c 六二的组合问题。我们按照这个规律来总结一下，就是说有 n 条小线段，有 n 加一等于 m 个端点，那么它的线段数量就是 c m 二的一个组合，有些人可能觉得，哎，这个结果跟我以前学的不一样，我以前学的是端点的数量乘以线段的数量，然后再出一 二。不要着急，我们来看一下这个 c m 二是怎么计算的。 c m 二根据我们以前学的公式，它就等于 m 乘 m 减一再除以二， m 减一就等于 n， 所以说就是 m 乘以 n 再除以二。 这里边 m 就是端点数， n 就是小线段的数量。所以说跟你以前学的公式是一样的，端点的数量乘以线段的数量再除以二。只是以前学的时候只学了一个结论，没有学他的原理。关注王老师学习新知识！

好，来，我们继续来看这道题啊，如图所示，数一数，图中一共有多少个三角形？好，这非常明显的是一道什么题啊？技术，图形，技术，对吧？数三角形的个数来怎么数呢？ 哈哈哈，好，这道题呢，其实他用的方法我们叫做天线法啊，天线法你需要去掉一些线，然后呢再增加一些线 啊，这样一个方法好数一些啊，否则这个题还真的挺难数的啊，他的这个个数啊，非常多，你不可能说一个一个去数得有方法，对吧？那么方法是什么呢？来，什么叫天线法呢？我们来 看一下，其实道理也很简单哈，就是你分三步啊，你要分三步，第一步呢，来看一下， 第一步，你先去掉这些线，比如说你把这条线，大家看好啊，嗯，你把这条线哎给它去掉，对，你把这条线给它去掉， 然后呢你再去一条线。来，各位同学请看，就是你首先呢把这两条线去掉，那么在你眼中其实就是一个三角形，对吧？啊，有这么多，然后中间有条横线，那请问在第一幅图当中，你能不能找到这有 有多少个线啊？多少个三角形？好不好数，很好数啊，采取咱们的对应法来，你可以找多少个角啊？一二三四五六，对吧？ 一加二加三加四加五加六啊，这是角的个数，然后呢一个角和一条边嘛，两条边二选一，再乘以二等于几，这里应该是十五二十一啊，四十二个 没问题吧？这里是四十二个三角形啊，这是第一步。好，第二步呢，你就要想一想，我现在啊，假设在原来的基础之上呢啊，我把这个先藏掉啊，在原 原来的基础之上增加了一条线，大家请看，我们增加了这条红色的线，好吧， 来，那么我们要思考一个问题，就是因为你增加了这条线，而新增加的三角形有多少个呢？如果能找到你加上它就是第二幅图的三角形的个数，能理解吗？你想一想，原来有四十二个， 对吧？现在呢，你增加了这条红线，那会新增加几个三角形呢？原来跟低图相比啊。啊？你先过来吗？然后再过去，对吧？来跟他相比呢？ 这个点会多一个，这个点呢会多一个，这个点呢会多一个。这个呢会多一个以上型 多一个，三角形多一个。这儿呢会多六个。 ok， 这儿呢？零个对，他不多啊，他跟这个红色线没有产生关关联啊，这个点呢，都是零零 零，对吧？所以其实应该是六个加三个加三个加十二个，对吧？这里应该是四十二加十二等于五十四个 o， 不 ok， 所以说第二幅图呢，应该是有五十四个三角形，这叫天线法， 对不对？这叫天线法。好，再然后我们继续看第三幅图，他是在第二幅图的基础之上，怎么样？又增加了一条线，红色线，对吧？就这样啊，又增加了一条 线，好，那我们就数数因为新增加这条线而新产生的三角形都有谁啊？有几个数数呗，一个？一个一个，对吧？这呢？六个吧，这呢？一个一个一个跟他好像是对称的吧，但是 不一样的地方，是吗？这没有，这没有。哎，这有一个，这没有，这没有，对吧？这没有。好，这个呢，也是没有的 啊，所有顶点都没有，所以真正有的是几个在五十四的基础上来会新增加几个三角形，六加六十二，加一为十三啊十三，所以呢总共答案是六十七个啊 啊，六十七个，这就是我们的天线法啊，天线法，来大家可以看一下啊，所以答案是六十七。