2022年新高考Ⅰ卷·立体几何大题

好，今天咱们讲一下新高考一卷数学的第十九题，说有一个值，三棱柱在这，对吧？他的体积是四，然后他还告诉我，三角形 a 一 b、 c， 他的面积是一个二倍的根号二。然后第一问，让我们求点 a 到平面 a 一 b、 c 的距离， 那么看到这个，他告诉我体积的话，又告诉我这个面的一个面积，我是不是可以考虑用一个等体积法求高的方法，把这个面距离给求出来，对不对？好，所以说第一步我们先把这个大的一个三龙柱的体积表示一下。 好，它的体积是不是等于底面积乘以高啊？最后得到的结果应该是四，对不对？因为题中告诉我了。好，接下来我再把这个三棱锥 a 一 abc， 他的体积也表示出来。好，很明显，我知道三角形 abc 的面积乘以 aa 等于四，那么这个三龙锥的体积我们是不是不是也可以直接表示出来等于三分之一乘以四，等于三分之四， 那么好，这时候我切换一下他的面积表达方式。好，此时我不以这个三角形 abc 为这个三棱锥的底面啊，我考虑用三角形 abc 做这个三棱锥的底面， 那么这时候这个三棱锥的高是不是就是点 a 到平面 abc 的距离？所以说我设一个未知数啊，设 a 到平面 a， e， b、 c 的距离是 d， 好，射出来这个距离以后， 我换一种方式来表达他的体积。好吧，好，我们来看题干中 a、 b、 c 的面积，是不是他已经告诉我了，是不是一个二倍的根号二啊？那么这样的话，我是不是可以通过这个公式把 d 给求出来，对不对？那这样的话我们就知道， 好，这样的话是不是 d 求出来了？也就是说 a 到平面 abc 的距离就求出来了？好，第一问我们就解决了。 好，接下来我们来做一下。第二问，说点 d 呢，是这个 a、 e、 c 的一个终点，然后还告诉我 a、 a 一和 a、 b 长度是一样的，然后他又告诉我这个面 a、 e， b， c 垂直于侧面 a， b， b， e， a 一，然后让我们来求这个二面角 a、 b， d， c 的一个正弦值。 那么想解决这道题的话，我们是不是考虑用间隙的方法来做，对吧？哎，所以说这道题我的这个思路大致是这样的啊，呃，我们首先我们来看 bc 这条线是不是面 a 一 bc 和 abc 的一个交线啊，对不对？而这两个面是不是都都垂直于这个侧面，所以说这个 bc 其实也垂直于这个侧面，对不对？所以说我考虑。哎，先把这个条件写出来，正出来， bc 和 ab 是垂直的。好，那么我来写一下啊， 好，这个 bc 垂直于 ab， 我们已经。呃，正出来了，那接下来我们应该可以这样间隙了。但是还有一个问题，就是这些点的这个坐标我们该怎么表示？因为他们都没 没有告诉我他们具体的长度，所以说这道题需要想办法引入一个量来求出他们个点的坐标，对吧？这时候我考虑怎么样呢？我可以考虑过 a 点向 a、 e、 b 做一条垂线，我们来看看会有什么效果。 好，我们在这做一条垂线，我设这个垂组为 h， 那么我们这就可以写做这个 ah 垂直于 aeb。 好呢，根据题，我们知道这个 a、 b、 c 啊，是和这个 a、 b b 一 a 一这两个面是互相垂直的，那么这个 a、 h 又垂直于他们的交线，那么我们是不是就可以通过这个条件来推出 a h 垂直于面 a e、 b c 啊？所以说我把它写一下， 好，我写出来以后我正出来了， ah 是垂直于平面 abc 的，那么这样的话，我们是不是就知道这个 ah 其实就相当于第一第一位中的这个 d 啊？所以说 ah 的长度是不是有了 啊？所以说 ah 就等于这个 d 呗，等于什么？根号二是吧？ 那 a h 的长度有了，我们看还有这个条件没有用，对不对？我们知道这个三角形 a e a b 是一个直角三角形，而且 a e a 等于 a b， 所以说它是一个什么三角形啊？ 等腰直角三角形对不对？那对于等腰直角三角形的话，我知道他这个 ah， 他这个斜边上的高的长度，那么是不是他任何一条边的长度我们就都可以求了，对不对啊？ 我就可以写啊，因为在这个直角三角形啊，直角三角形这个 a e、 a b 中啊，我们知道这个 a e a 等于 a b， 还有就是 a h 垂直于 a e b， 并且这个 ah 还等于一个根号二，所以我是不是就可以得到 aea 等于 a b 就等于钢号二倍的他，对不对？等于几啊？等于二嘛，对吧？然后这个 a e、 b 这个斜边对不对？ a e b 就等于多少？就等于个二倍的钢号二。 好，我们再来看上边，我们是不是推出 bc 垂直于这个平面 abba 呀？就是 bc 垂直于这个侧面， 所以说我是不是可以得到 bc 也垂直于谁啊？ aeb 啊，对不对？我可以写，因为这个 bc 啊，是垂直于平面 abba， ae 的，所以我们就知道 bc 是垂直于谁啊？垂直于这个 aeb 的， 那么好呢，在这个直角三角形啊，这个 a 一 bc， 那么我们就可以知道这个三角形 a 一 bc， 他的面积就等于二分之一倍的 a 一 b 乘以 bc， 对不对？等于多少？等于一个题干中告诉我二倍的根号二， 那么 ab 的长度有没有？ ab 的长度是不是在这？是不是二倍的更好？二，所以我就可以知道 bc 的长度就等于什么？就等于四倍 的根号二，去除一个 aeb， 然后代数，最后求出来 bc 的长度是几就是二，所以说求出来呢，这么多长度了，那么各个点的坐标我是不是间隙以后就能确定了？好，接下来我们开始间隙啊，因为地方有线，所以说我又换了一张纸， 那么我已经把刚才咱们求的结果，比如说 ab 等于二， bc 等于二，包括他们的这个侧棱 aaebb， ecc 一等于二，他们的长度都已经标出来了， 那么接下来我就可以以 b 为原点，以 bc 为 x 轴，以 ba 为外轴，以 bbe 为 z 轴，我们间隙啊，好，那么这个轴呢？它是一个 x 轴，对不对啊？然后这呢是一个外轴， 好，然后上方这是一个这种画一点歪啊，好，那么我把这个写一下 好，建完戏以后，那么他们各自点的这个坐标，我是不是就可以标一下了？比如说 c 点的坐标，他是不是就是一个二零零啊？然后这个 b 点坐标，当然他是远点了，对不对？ 然后这个 a 点坐标，他相当于就是一个零二零，那么这道题这个 b 一点我用不到，对不对？那么我把 a 一点的坐标不要写 a 一点的坐标，呃，是一个零二二， 最后这儿这个地点我也要用到，对不对？题中告诉我，这个地点是一个 a、 e、 c 的终点，那么地点坐标是不是就是 a 一和 c， 他们坐标之何在？除以二啊，对不 对？那么就是他们相对应的坐标之和除以二，其实就是一一一。好，那么他们各自点的坐标我标出来啊，对吧？那接下来呢？我这个设设出这个两个平面的法项量，我们要求的这两个平面的一个法项量。好，我先设 这个平面 abd 啊，这个平面的发现量，好吧，设这个 n 为他的发现量， 同样道理，我设这个 m 项链啊，是另一个面的法项量，对吧？用 x 零 y 零 z 零来表示， 好射出反向内以后，我们把他们给求出来，对吧？呃，首先我们知道这个 n 项量，对不对？他应该是乘以这个 b a 项链等于零，还有一个是 n 项量去乘以一个 b d 项 项链，对吧？应该等于零。那么因为 b 点是原点，所以说 b a 项链和 b d 项链的这个值，其实就是他们的一个坐标的值，对吧？所以说我一乘就可以直接得出结果。呃，得到第一个，首先得到一个二 y 等于零， 对吧？第二个得到一个 x， 加上 y， 再加上一个 z 也等于零，那这样的话，我可以推出啊，得到一个就是 y 等于零，然后 x 等于负 z， 然后我另这个 x 等于一，那么我就可以得到这个 n 项量， 他相当于是一个一零负一，同样道理，这个 m 项链，对吧？他应该乘以谁啊？乘以 b c 项链等于零，对吧？还有一个 m 项链乘以一个 b d 项链也等于零，对吧？那么把数带进去以后， 可以得到，一个是 x 零等于零，另外一个是 x 零，加上 y 零，加上 z 零等于零，这样的话，我就可以得到啊，这个 x 零等于零，然后这边是一个 y 零等于负 z 零， 然后我让这个 y 零等于一，对吧，就可以得到这个 m 项量等于一个零一负一。 好，下一步我们求一下两个法项量夹角的鱼线值，对不对？那么我们求那个正的值吧，所以说就是一个扣赛啊，这样绝对值。这个 m m 项链和这个 n 项链的一个，呃，夹角的鱼线值，他等于什么呢？两个的项链的基对不对？ 两个下量的机除以他们的膜啊，除以他们膜的机，对吧？好，然后等于什么呢？哎，我们来看 看一下，一乘零零，一乘零零负，一乘负一就就是一，好，下一边呢？呃，这个，他的这个魔长是不是一个根号二，对吧？呃，这边是一个根号二，然后这边也是一个根号二，所以说他的结果应该等于多少？等于二分之一， 对不对？好，那既然他们夹角的这个鱼线值啊，我们算的那个正值是二分之一，那么他们夹角的这个正线值对不对？我们是不是就得到了？应该等于多少？是不是应该是一个二分之一个号三呀？ 好，那么我们知道啊，因为这个法项量啊，他的这个夹角与二面角互补，对不对？ 好，所以我就可以知道这个二面角 abd c， 他的一个正弦值也等于多少二分之二十三。好，所以说这道题的结果就是这个。

立体几何当中最伟大的定理啊，我认为是三出先听，没有之一啊，尽管他不能再大提他们去使用。 高考当中出现的非常频繁啊，尤其是些小题啊，当然我们在二卷当中叫大题啊，也用到这个，还是先来进行一下这个素质的一个提升。好吧，来看一眼这个 图哈，就是什么叫三锤线定理，他讲的就是说对于一个平面啊，阿尔法还有一条这个他的斜线啊，也是说跟他斜交，那么我们判断这条斜线跟这个平面的一条线 m 啊，是不是垂直一面直线哈啊，我们用的方法叫这个三锤线定理啊， 你是什么内容呢？就是说我们可以先做这个斜线在这个平面的一个投影啊，比如说做出来的话呢，叫做 n 的话，做完之后的话呢，我们要证明这两个垂直，我只需要证明说 m 和 n 如果垂直的话，哎，就能得到这个 斜线跟这个线垂直，也就是说六个字叫线射垂，线斜垂。什么叫线射垂？就是说这个 n 跟你的摄影 m 垂直的时候啊，不要反了，就是 m 跟 n 垂直的时候啊，你能得到啥呢？你能得到我们这个 m 的话呢，也会垂直这个斜线 l， 好吧，这叫三垂线定理哈。呃，那么为什么成立呢？因为它的本质是这个，你看摄影是怎么出来的呀？本质集市就是你就要做摄影，你要做线面垂直啊，对吧？所以你这个地方也会有一个这个线面垂直出来啊，这个线垂直这个面，那么这个红线他会垂直这个 m 呀，哎，你这个摄影又垂直这个 m 的话，那你看你这个 m 不就垂直这个面了吗， 其实这个面的话他当然会出于这个斜线啊。哎，这就是这个情况啊。那么当然我们肯定在大题上不能直接用啊，小题当中却这个经常使用啊，就是找投影对吧？转换成找投影跟他是不是垂直的这么一个问题啊，在大题当中你就证明一下 然后下面垂直就可以了，就像我们刚才说这个你证明他跟这个摄影和这个垂直就可以了吗？啊那我们看这道题哈，这道题的话呢，他是这个二十题的一个位置啊，倒数第三道道题啊。 呃还不是那么好搞哈，因为他图形其实不不是固定的啊，你看一看就是 pu 是垂直于这个就高啊。垂直这个底面 abc 啊，底面 abc 也给化盆诡异啊。 p 是等于这个 pp 的啊，等幺，然后你看他说 ab 这个垂直有 ac 啊，有朋友说这是什么破烂玩意怎么垂直的吗对吧，你可能立体感不好的同学啊，这个就看到你是 莫名其妙的啊啊会有这种感觉啊，待会的话我会告诉你这个处理方法。好吧，那么这样的话他说一是这个终点啊，他让我们证明的是说这个欧意啊，平行这个平面啊，下面平行啊。其实你读完题之后的话这个图大概是什么情况还是要知道一下，就底面 这个直角三角形呃尽管看上去很别扭啊，那 pu 垂直于底面，但是欧点他没有告诉我们落在哪了哈，落点在哪没有告诉我们哈，就是你看就给了一个等腰，事实上这个图形是你看很多东西都不确定，你明白吧， 这就会让人有些糊涂的哈，但是的话呢，我们呃步步派来往也只能这样哈。你你，那你就开始去做题啊，你看，然后我们说欧一平行这个面，那你正常分析吗？欧一平行这个面的话呢，那么你可能就是说证明欧一平行这个面的一条线啊，然后这样怎么去找呢呢啊然后的话我们的找法是可以这样子啊，就是 如果你实在不好找的话啊，你可以过欧一做一个面，跟我们这个 pac 的话呢，有个胶线啊，他一定跟这个胶线是平行的啊，这是线面平行的性质对吧，所以你看我可以过欧一的话做个水呢，哎，你跟这个 b 连起来延延长过去，这样话他跟这个地方，你看 f 话啊，跟 pf 一定是平行的，你只要这样做呢，也可以哈啊，但是我就不讲这种方式的啊，因为我觉得这种方式还是没那么顺畅的啊。我们讲另外的就证明线面平行，还有另外的方式是啥呢？还可以构造面面平行两种方法吗？对吧 啊，所以这个面面平行的构造那么一个就是 oe 吗？对吧？再一个就是终点哎，所以我们可以怎么样呢？哎，再找一个终点中卫线平行这些的啊，你再结合这个 ppp 相等啊，等摇啊，所以我们终点互之于处了吧。应该是 ab 这个终点对不对啊？ 好，那我们就取出来终点哈，然后连起来 of， 然后 ef， 那么这我只需要证明这个 oef 这个面跟这个 pac 平行就可以了啊，那这样的话呢？ ef 啊，因为你取的终点他已经平行 pa 了， 所以这个地方的话呢，我们已经有一个条件了啊，那我们只需要的话呢？是什么情况呢？哎，只需要说再找到这个 of 也平行于这个面就可以了，那 of 在底面这个面，那他只要平行于 c 就可以了，那这个 垂直，你只要 of 跟这个垂直就可以了。怎么整垂直？ pu 又是垂直这个里面的，所以这个 of 像那个摄影一样的呀。啊？你的斜线是谁？你的斜线是不是这个 pf， 对吧？哎，所以我们只需要证明说这个 pf 哈，就这个 pf 这个地方跟这个 ab 垂直就可以了， 那 pf 是否跟这个垂直呢？哎，你这个是挡腰啊，那不就是三线和一不就整完了吗？还有这个题，你看这不是做完了吗？这就是三线定理的一些应用吗？对吧？这个逻辑性非常强哈，我们写下过程啊， 大致写一下哈，就是主要是先证明一个线面垂直啊，这个地方啊，呃，像 pa 垂直这个 ab， 你要先写一下 pa 垂直这个底面嘛，对吧？我就不再写了，这样的话，你看就可以证明出来这个 ab 垂直这个面，那么这样的话呢？是 ab 垂直这个 of， 那这样的话呢？你看 ac 也出于这个吗？啊？所以的话，我们说他平行，平行的话，你看这两个都平行啊，然后的话，你看这个 of 平行这个面呢？啊，其中的话呢，要说明一下，他俩相交哈， 两条香蕉线平行这个面，所以就这样面面平行，这样就在这线面平行，好吧。啊？再看这个第二问哈，第二问是这些数据都给了哈，因为把这个图给他确定下来，然后我们求这个二面角啊，就这个 c 杠 a 一，还有这个 b 啊，所形成的一个平面角的正选址。好吧， 这道题的话呢，一般情况就要间隙的啊，传统方法不是很好做了啊，但是间隙坐标的话呢，你要写好啊，写好的话，对这个图他大大概是个什么情况啊？我们要认知的比较清楚一些啊，其实这个图不是很好看的，所以的话呢，教大家一个方法，我们可以干嘛呢？可以找个载体啊，就把它放在哪里呢？放在长方体或者正方体当中去 啊，这样的话呢，你看起来啊，就会舒服很多哈，我们来画一个试试啊，我们来看一下怎么去镶嵌进去的哈，就是先画底面啊，底面不是直角三角形吗？我们假设 a 在这啊， b 在这， c 在这，你看，哎，他就是一个这个直角三角形，你把这些什么连起来，对吧？啊？然后的话呢，我们有必要把底面重新在这个 面头画出来哈，确定欧的位置哈，因为他讲了，你看这个地方是这个连起来之后，这有两个三十度，这就是六十度啊，这个其实就是三十度，对吧？你把欧确定下来哈，欧的话，实际上是 of 在 ab 的重垂线上，那根据提倡这个条件，他有在这个角 b 的角平分线上啊， 这样的话，我们就画出来这个欧点哈，然后接下来给他给的一些数据哈，比如说像这个三和四哈啊，你把这个欧一点起来的话啊，你看你这个欧一就可以求出来哈，欧一的话呢，我们说他应该是什么呢？这是五吗？这是三吗？这不是四吗？对吧？ 啊，然后的话再根据啊，这些角啊，你比如说这个角啊，他等于这个角吗？这是三十度吗？所以说的话呢，你看这个 of 这些 af 都可以求出来了啊， 是一个是二，一个是二倍钢化三，所以 ab 其实是四倍钢化三啊， ac 的话呢，是他钢化三倍啊，就四倍钢化三乘以钢化三啊，这是十二，对吧？然后的话这是欧点的一个位置放到这啊，然后接下来的话，你看 ppo 出去 这个底面吗？所以你看 pu 做一个这个 p 大概在这么一个位置啊，那么接下来就差不多了，这个图你看你就是重新认识了一下，比这个舒服多了，对吧，这个图实在是太糟糕了啊啊，我们就重新认识一下，然后你去间隙啊，各方面也比较好弄了呀，对吧？你看你这个间隙的话呢，我们显然可以是什么呀， 哎，我以 a 为原点，对吧？这个地方的话呢，我以 s 轴啊，然后 a 七的话呢，我以这个 y 轴，然后这个地方是自己轴，对吧？ 符合这个右手法则就可以了哈。接下来我们是需要求着这两个半平面的一个这个法项量哈，比如说像这个哈， abe 啊，你把这坐标写出来哈，然后了吗？还有我们是 ace 啊，这是一个常规的一个计算啊，求法项量常规的一个计算啊，这个我就不带算了好吧啊，因为他没什么技术含量啊，直接写出来了啊 啊，为了照顾大家平均速度还是再稍微啰嗦一下下啊，就这样的话，你看你把这些作品都写出来哈，像批点作品是最难写的，他写完其他任何的话题啊，我们为什么要写他？因为这终点吗？我们是把批点和逼点 求下之后的话再去充电，好吧？ p 点坐标，这个横向上的话，你看你找到是这在这啊，就他他对应的是这个点，是二倍杠三啊，纵向上的是这个 of 转场啊，线上就是二，那这个 z 写的方向呢？就是这个啊三，所以他的是座位就写出来了。这样你把这两个项链写出来，然后他的法项量哈，我们这个 ab 的法项量 是这个按一，然后跟这个相乘数量即为零，得到 s 一十零，跟这个相乘的话，得到这个式子，这不就是零了吗？对吧？在这式当中你定这个 y 一等于三，得到这一等于负二，第一个法项量就求出来了啊，第二个法项量的话，类似的哈， 这样我们算出 n 二哈，然后的话你去把这个平面角设出来 c， 他的话，那么他的这个高三的 c 他绝对就可以算出来啊，然后夹角公式啊，这样算出来之后，他这道题不需要看到 c， 他是一角正角啊，因为他们球是正选的，对吧？正选肯定是一个正的啊，这样的话我们这道题就算出来啊，哎，这道题的话呢，还是要点素质的啊。

亲爱的同学们，老师们大家好，这个微课我们主要讲讲二零二二年全国新高考一卷第十九题，那么这道题表面上非常频繁，但是实际上一点都不简单，虽然做起来是有一定难度，这也是体现出初学者精心秘制啊。 这个看起来学生啊，右手啊，就是不是太难，因为这个图形学生见的很多，但是呢，这个也能考察学生直观想象、逻辑推理和数学计算等核心素养啊。 在第二小窝中，可以间隙，也可以不间隙，我们两种方法都做介绍，那么在学习解题的时候，我非常推崇啊，这个由于我老师啊，对于这个高傲题的电视研究这样的研究风格，当然我们广州很多其他教育员也在这样做这样的研究， ok， 好了，呃，还有我 非常推崇这个吴康老师。刚昨天啊，我也是刚发啊，收到之后，他的这个对幺幺七，对，这个也是七题啊啊，就今年的高考时期的体检推广 这种研究方式呢，我觉得也是非常不错的，当然你要做出这样的研究，肯定要有一定长期的积累和水平，是吧，这个就是我们所谓的数学核心素养，对比其他简单呢，我们同时都是平常讲的都是这样的， 做一题丢一题，一直往下做，没办法，因为我们做出答案，哪怕你们做出一半还没做出来，你要的赶紧往下做， 因为实际考试时间紧啊，是吧，只有两个小时。但是如果你天天这样做题做题，这是为了获得答案，对你提高数学理解真的有帮助吗？如果有帮助，我们高三学生可能做了上 千上万道题，数百份的各种模拟卷呢，但对高考有多大的作用？仅仅是把基础知识打牢一点而已嘛，是吧，但是 还是不够啊。所以这个例子中啊，吴教授已经不仅是在做题或刷题了，而是在研究题目。因此我认为新高考学生要学习成功的关键在你把平时的做题变成去真正的去研究一个问题， 在这过研究过中，你才能培养你的各种数学的核心素养。就像为东一大神所说的，他说他真正做题并不多，但想的题目多，他想题目不满足做已有的题， 这是我说的题目仅仅是素材。做题不仅仅是为了获得答案，他在常常给自己出题，不断的给自己提问题，要长时间去冥想，当然在需要花时间， 是吧，寻找答案花时间太多，要平衡啊，因为你这个墙那可可能变弱了，这没办法逐一公布啊，这是学数学一个基本的方法。好了，我们通过这道题也来贯彻这种精神。好吧，好，我们先看一下题值，三人处 abc， 以这个 abc 的体积为四，这个触体很精巧啊， 这个导致我们画图的时候都因为那些这些边墙不知道多少，你要你要计算出来才能进行画图，这是出的精心秘制，又知道这个这个面积， aebc， 当然这个在这个图中也能看出来，是吧，这个面积，知道这个面积，知道个体积， 但这个人墙呢，是我们最后要算的，对不对？这暂时还不知道他是多少啊。这个奥贝干二第一个问，这里求 a 一 a 一啊，就是这道平面， a 是这个啊啊， a， a 是一个 a 到这个紫色的平面 abc 的距离，所以这个真的非常精彩，是吧？好了，那么我们以前是知道这些点坐标，反过来求面积，求体积，所以这是个立项的命题，所以出题很厉害啊，好，我们看一下怎么求 啊，其实这里呢，有个非常重要的基本模型基本图啊，就是这个，就是你可以把这个啊，你可以把这个怎么样，这个移出来，看到没有，对这个体积是怎么样的不变的，是吧？啊，这个是一个基本图， 就是这个，这个三人锥的体积啊，是我们人住体积的三分之一，当然我们证明就可以把它切成三部分，但是我们这不需要切啊，直接直接用就好了，因为它三分之一 sh 嘛，是吧，所以我要求 a 到平面 ab 距离，本就这样就做高了，是吧？啊，如果我们没做高一样可以做哈，那那个因为我要进行一个体积转换，是吧？啊，把表面上呢，因为这些边还不知道这些高，也不知道，知道吧，知道这个四， 然后这个面积，知道啊，这个面积是什么样的三角形，现在 aebc 也是学生在考场上，暂时没想到什么三角形，所以他是很困惑了，是吧，怎么解决这困惑呢？好，我们来看一下，有非常精彩的地方啊， 正常地方就是我们学校掌握的等面积法或等体积法。好了，我们对这个体三人主要 v a 一 a， b， c， 我们对着体积算两次，一个是以谁为底呢？一个是 a， b， c 为底，底高就是 a a 一，是吧？ 啊，另外一个是以这个三角形 a， e， b， c 为 d 高就是目标所求的 a 到这个平面的距离啊，我们讲是 h 八，哦哦，这个刚好是谁呢？这刚好就是这个整个面积四是吧，上面这些约掉啊， 这四就等于这个底面，又知道这底面的是二倍跟二二是吧，乘 h， 这样就很容易就做 h 呢？是，答案是二除以根号二，也就是多少 啊，也就是跟号二，所以这个 a 到这个平面距离啊，这个是有用的，这个点一啊，这是 就可以很轻松的求是刚好用的是个等面积法啊，等体积法 ok， 好在初中就用等面积啊，这个方法非常重要。好了，再求出低问之后呢，我们就去看第二问，到时候如果点低呢，是这个 ae 的终点啊， a a 一呢，注意，非常重要，条件是 a a 一，这个条件啊，就是敢于 a b 这个 a a 一啊， 就这个条件非常重要，本来又是个直三人注，直三人注，再加上这里就是是 a a 一定是垂直底面，就 a 一一定垂直 ab 又加上 a a 的 a b， 就说明这个三角形 a 一 a b 啊，这是一个等腰子啊，三角形等腰子非常重要，这里引航到四十五度，而我们刚才所求的 a 一，这条边长已经是根号二， 所以这里呢，就可以求出啊，其他编程出来，所以这个非常精彩啊，要相当这个四十五度的等直角上行中，这边跟二说这 ab 呢，斜边就二了，然后相等说这边是二，原来最终是通过这个条件，加上前面的这个 距离跟二二求出这两条边啊，一个高，而二底边为二是吧。啊，那么现在 ab 究竟多少呢？也要求啊？还不知道，所以就加那个条件，我们以前是已有以根据条件去证明面面垂直，现在出题者逆向命题， 你有面面垂直，反过来求线段是吧？他又加了 abc 这个平面皮，垂直这个左侧面， abb 这个左侧面啊， 因为面面垂直非常重要特征啊，就会得出一个线面垂直，因为这条刚才 ae 已经垂直 aeb， 所以这条线就会垂直这个紫色这个平面，从而 aaa 一就会垂直这条边 啊，垂直照片啊，然后这个哦，本身 bc 又垂直 bbe， 所以就会给震出 bc 啊， 垂直左边这个侧面，所以由面面垂直，要推出线面垂直，这个逻辑推理多么重要，是吧，主要就证明底面是什么三角形里面 abc 是一个直角三角形 是吧？这一步就是由面面垂直推出了两次线面垂直，这个太厉害了，不是那么容易的啊，是吧。好，这具体过程我就不写了，那大家听听就好了。好，现在我们好运正，就是正出这个垂直之后，我们还要计算 bc 究竟多长呢，对不对啊， 就在解决中，不断的边提问边解决边思考，是吧？ bc 究竟多长呢？表面上一卡，没有什么条件，其实有隐藏中。原来在体积中可以求 bc 啊，所以我们就是这个三人注 v 已经证出这个里面啊，就没有三分之一了， 已经种出了，这个是底边是一个直角，就哦，就是底边是 sh 码度呢，二分之一乘二乘以 bc， 再乘以它的高是二等于四，这样我可以求助 bc 的。原来 bc 长是在这里中求的，说出题是很厉害啊 啊，这个每一个表面上题目非常的平凡，非常简洁，每个条件都缺一不可啊，逻辑非常严密，非常值得我们同学体会啊。好，求这个啊，这样我们才真正就可以把这个图画的很精准啊，当然可以间隙来做，是吧？ 好，接下来我们看一下继续球啊，要你求澳面角 abdc， 那么这样看澳面角我是这样教学生的，你把 abd 看这个平面， abd 自己找一下， abd 就这个三角形平面是吧，然后 bdc 又看这个平面 b， d， c 呢？就是啊，就是，其实这紫色平面就是要研究这个平面和这个平面 b， d， c 的二面角，那么此时我已经挣出这个直角，又这个两两垂直，这样点 b 为圆点，间隙是毫不犹豫的低选择，因此间隙是可以求，是吧？ 啊，就间隙以 b 为人点，如图间内只要这道细，这样你可以轻松的把所有东西都解出来，是吧？好，那么 间隙呢，之后要求二面角的平面角，关键要把这两个平面的法向量 bdc 啊，因为此时 ac 是定点， ac 是定点啊，点 disco， 求三点，知道当然可以求二面角的平面角是吧， 当然可以去二面角的方向呢，同理，这个也是啊， gb 单做都做的很精彩，直接就可以把二面角的画出来，这个是一百二十度 是吧？啊，当然我们这个其他软件啊，有几个画板好像有老师做的很不错啊。好，那么我们现在介绍另外一个不用间隙的方法，一个间接方法，一个缺点的运算量。不间隙呢，就要找平面角，找奥面角的平面角，那么怎么找呢？我就做了个这样的辅助线啊， 好放大点，其实呢，最关键就要目标，其实就要求 amc， 但是怎么把 a 点确定啊，这个有些老师只要把做了一个，但是没有做严谨的证明啊，我这里做了个简单的证明好了，那么其实道理上不了啊， ok， 好，第一步 我们是做什么呢啊？就电话，就是假设不见戏啊，就是做 n， 第一步做 dn 啊，垂直这个垂直 ac 与 与 n 大 n 啊。第二步呢啊，做，这是做啊，做 nn 呢，垂直什么呢？ bd 与 n 啊，我们网正这个角啊，就是奥面角的平面角，那么这时现在已经已经有了 bd 这条公共人已经有了第一条边垂直 mn， 是吧，这做出来了，现在就要证明 bd 为什么会垂直 nc 呢，是吧， 好，那么 gb 画图当然非常精准啊，做出画出来就是答案是吧，感觉你要做这个六十度说这一百二说正确，只是马上可知是吧，好，但是我们现在是不知道啊，我们现在只做了这个是垂直，但是并不知道 bd 是否垂直 nc 呢啊，如果只有 只要证明 n b d 必须要证明啊， b d 就是 n c 才能才能说明啊。这个角啊啊，这二面角的一半呢？应该这两这两个是对称的吗？是吧，这这个轴对称模型啊，这样像我们这个这几天所说的一个啊，高考里所说雅马鞭闹那个模型。 ok， 好了， 现在我们将进行用数学计算方法来证明，当然这个解法真的是不值得推荐，因为就算他有点大。好，我们简单证明一下，这边是二，因为这终点，所以这边是一中一线啊，刚刚算着二二啊，这边，所以这个一半啊，斜面上中线斜边一半啊，就跟了二了，这边也是跟了二， 然后有些勾股定理算做 bd。 好，这里第一个量是要 bd， 要算的， bd 呢，就等于根号下一平方加根号，平方就等于根号三，所以 bd 是根号三，然后你会发现 原来 cd 也是高三，这也是要用的啊，因为这个 cd 怎么算呢？就 a e a c， 就是先算出 a e c 啊，就是二比这条高，是二，这两边是二倍跟二 的平方高四加八跟二十十二二倍高三，所以这个 cd 呢，这个求出是高三。哦，原来这是一个等腰三角形，我们现在目标网正，这个角必须是直角，现在没办法，只能用勾股钉立定的来证明，是吧，我们把它全部算出来。 好，接下来这里，这里关键 a n a 也是很没求的，因为等面积吧，啊， n n 啊，就是等于啊，底层高除，底层高啊，就一层根号二，除以根号三，我们尽量保留这个啊，我们不需要把它变成一个三分之杠六，不需要 aa， 已经出差了，是吧？我们要证明这个角是只角，我们要把这条边和这条边也算出来，是吧？好，这条边呢，这个利用这个摄影定理啊，摄影定量就是一的平方，就这里有个直角方向行 一的平方。高考点多少呢？高考的 n d 乘以整条边，整条边是根号三，所以 nd 是可求的， nd 是一除根号三， 在这边求出来了，我们只要把球这边求出来，是吧？好，这边怎么求呢？这涉及到个类似于初中非常基本的问题，两个两，两个三角形啊，三边出道啊，是吧，这个二怎么求这个高 啊？初中可能等面积法，高中可能三条数啊，那么我们用初中方法，好吧。啊，因为我们就用这个，对，这个做个中线下来，这边是一，所以这边是跟二 二等面积法，就算求了。二乘以根二是面积啊，除以啊，根号三除以啊，那么这个 h 呢，就得二根号二除根号三因子，这个刚才的是 nd， 虽然是三分的高，三分的高三，现在目标已经又出来了，这个 这个是 h， h 就是那个 n c， n c 就等于二跟号三二乘高号，再除杠三，因此我们看是否成立啊，因为 d n 的平方加 n c 平方刚好是多少呢？啊，这个是一除根号三方加 o 根号二除根号三方 啊，刚好，非常神奇啊，三分之一加三分之八，刚好是三分之九，刚好是三，因此刚好得 cd 的平方，因此就正出了这个啊， 原来这个脚真的是直角啊，所以这个脚滴当用下面这个球可以啊， dmc 的确是直角，这样根据二面角的平面角定义啊， 一这条线就垂直这条边，对不对啊？如果要说这两个后面要是说一半呢，就这个啊，主要就说明这个是整个，因为这有对称性啊，这个角就这个角的一半，那我只要求这个角就好了，是吧。啊，这个啊，当对称性原因，因为这个是一个挡腰子的三三十腰，这个垂直啊， ok， 好 啊，这个角非常简单，因为这边知道，这边知道，我直接求他的摊菌池，因为刚才真的这个角是这样，是吧，所以这个在这个三角形中啊，这条边啊，这个是 n c 在这里，这边是根号二， n 在这里啊，这个边求出来。是啊， 这个 an 啊，是这个是吧？刚好二除刚好三，我就直接求到了探军区探军这个叫 c 当直接看出来。可 cnn 啊，直接就等于 被别人比上。这个是吧？刚好刚好二月掉，刚好是刚好三，既然刚三出来时候这个角是六十度了，说整个一百二十度了，说他正悬直啊，就上一百二十度就非常轻松了是吧？当然等于上六十度啊。 当然就是啊，刚好删除啊。好了，这个也非常精彩，我这里只讲了一部分啊，当然间隙方法就是在考试时间紧迫情况下第一选择 单对研究这道题呢。呃，我们通过这个传统的非间隙方法，可以更加领悟到里面所蕴含的数学知识基本思想。好了，可能还有其他解法，也欢迎同学们讨论交流，谢谢！

同学们好，我是钱老师。今天我们来讲一下二零二二年全国新高考一卷第十九题这道例题几何的大题。我们先来看一下题， 给出了一个值，三棱柱，给出了他的体积为四，还给出三角形 a、 e、 b、 c 的面积是二根号二。第一位是我们让我们求点 a 到平面的距离是多少，第二位是让我们求正弦值。 这种题我们习惯的做法是，第一小问用几何法，第二小问是用建立作标系，用空间向量法来求。 现在我们需要回顾一下第一位怎么用几何法来求一个点到平面的距离。我们上课的时候说，通常就是用定义法和等体积法，定义法就是直接找到这个点，然后找到这个 平面，看距离是哪一段，也就是现在你要算 a 这个点到这个平面的距离是多少，我们直接画 ae， 垂直 aeb， 然后呢就垂直这个面 aebc 了， 然后我们能求出 a 的长度来吗？我们来看一下，我们知道这个 a、 b、 c 的面积是二根号二，但是我们并不知道 a、 a、 b 这个三棱锥的体积是多少，我们怎么才能求出这个三棱锥的体积呢？ 我们是不是可以考虑用等体积法呢？我们在看这个三轮锥的时候，是不是看到了他的有一个面是 abc， 这个面啊？对，我们是不是可以用 ae 来当顶点， abc 为顶面就是换顶点，然后让我们求的是以 a 为顶点的 aebc， c 为顶面，那我们换成以 a、 e 为顶点， a、 b、 c 为顶面，这样的话求来的体积也是相等的， 三棱锥还是那个三棱锥，但是我们可以从中间这一个 a、 e 为顶点的，这个可能看出来，它是等于三分之一这个值三棱柱的体积的， 因为它是用 s 三角形 a、 b、 c 来乘以这个高 a、 b、 c 这个底面，然后来乘以这个高 a、 a、 e， 因为这个这三张柱呢，也是这样求出来的， 所以我们可以直接拿三分之一来乘四就知道了。因为这个 s 三角形 a、 e、 b、 c 是知道的，他是二根号二，那只剩 a、 e 了，那这样就求出来就可以了，拿这个三分之四来除这个三 分之二根号二，就是三分之四乘二根号二分之三得出来 a 一等于根号二。一小问还是比较好求的，重点呢是第二小问，第二小问让我们求这个二面角的正前值，我们要先见细，有的同学就说了，怎么见细，哪是坐标原点， 我们先来看一下啊，因为他是直三郎珠吗？这个 bc 他是垂直 bbe 的，是能看出来的，那这个 bc 和 ab 垂不垂啊？那我们要先正一下，因为这个给出了第二位，给出了面面垂直，就是这个 abc， 这个红色的是和这个侧面 a、 b、 b、 e、 a 是垂的，那你看它是不是有个胶线啊？ a、 e、 b 这个胶线，那这样的话，谁垂这个 交线，谁就垂这个面。 a、 e 是垂直 a、 e、 b 的，所以呢， a、 e 就垂直 a、 e、 b、 c 这个面，就能得出 a， e 是垂直这个面上的线段的 a、 e 就垂直于 b c a e a 是垂直 b c 的 a e， a 是垂直 b、 c 的， 所以这个 b、 c 就垂直于这个侧面 a、 b、 b、 e、 a 了。那 b、 c 是不是就垂直这个面上的直线，就是 b、 c 就垂直于 a、 b， 就因为 b、 c 是垂直于 b、 b 一的，所以这样就复合了三条两两垂直， 那符合建立治疗坐标系的条件了。我们下面建立治疗坐标系，我们间隙是以 b 为原点， b、 a 这条射线为 x 轴， b、 c 这条射线为外轴， b、 b、 e 为 z 轴。建立只要坐标系，那我们还要知道 a 点、 b 点、 c 点这些坐标啊。 那我们怎么办呢？我们先要求一下，第一，因为 a、 e 呢，是等于根号二的，并且 a、 e 是垂直 a、 e、 b 的。 第二本还给出了 a、 e、 a 是等于 a、 b 的， a、 e、 a 呢，还垂直于 a、 b， a、 e， a 是垂直 a、 b 的，因为这是个直三棱柱， 所以我们把这个三角形单独拿出来看一下，这个 a、 e、 a、 b， 他就是个等腰直角三角形，因为 a、 e 垂直 a、 e、 b， 根据三线合一的性质，等腰三角形里边三线合一的性质啊，是不是 a、 e 就等于 a、 e、 b 的一半啊？这是等腰直角 三角形，斜边上的中线等于斜边的一半，那 a、 e 等于根号二， a、 e、 e 等于根号二， b、 e 就等于根号二，那在这里边是不是只有三角形，那能求出 a、 a、 e 和 a、 b 都是二来， 我们再来求一下 bc 的长度， bc 呢？我们在这个三角形 aebc 里面求，因为我们证明出 aeb 是垂直 bc 的来了， 所以我们可以知道 a、 e、 b 乘以 b、 c 再除以二，就是二倍的根号二，这样的话， a、 e、 b 我们求来了是二根号二，因为 它是 a、 e 的两倍啊，对吧？二根号二，我们带进来这个面积又是二根号二，然后这个 b、 c 呢，是不是就是二啊，就能求出来了哈，求出来之后，那 a 点的坐标， b 点坐标，这些我们就能知道了。 a 点坐标就是 在 x 轴上吗？就是二豆零豆零， b 点坐标是圆点，所以零豆零豆零。 c 点坐标呢，是在外轴上，是零豆二，等于零。 a 一点的坐标，先看 x 轴是二，然后外轴没有，这轴是二，就是二豆零豆二。 d 点坐标 变坐标是 a、 e 和 c 的终点，那就是 a、 e 加 c 的坐标除以二， a、 e 是二，然后呢， c 是零，这就是二加零除以二就是一，零加二除以二是一， 二加零除以二是一，所以地点是一斗一斗一。我们再来看一下一点一点是 a 一和 b 的重点，所以它是 a 一的坐标加 b 点的坐标除以二， a 点的坐标是二加一， a 一和 b 哈， a 一 b， 因为 b 点是零豆零豆零，所以呢，是光看 a 一的就可以了。二除以二是一，零除以二十零，二除以二十一，所以一点是一豆零豆一，我们求出它的长度来。 b 一的长度是 用 b 点坐标，用 a 点坐标减 b 点坐标就是二斗零斗零。 b、 d 的长度是拿 d 点坐标减， b 点坐标就是一斗一斗一。 a、 e 的就是拿一点坐标 减去 a 点的坐标。一点的坐标是一减二是负一，零减零是零，一减零是一，所以 a 是负，一斗零斗一。我们摄像型 ab 的反向量为 m 是，然后是 x、 y、 z， 这样的话， 因为 m 是三角形 a、 b、 c 的反向量，所以它和每条边的成绩都是零，所以 b a 乘 m 是零， b、 d 乘 m 也是零，带进去就是 二和 x 乘是二， x 零和 y 乘是零，零和 z 乘是零，就不写了，那就二 x 等于零，我们可以让 x 等于零，再带进来这个 b， d， b， d 呢是 e， x 加 e， y 加 e， z， 这样呢，就 x 加 y 加 z 等于零， x 等于零，所以呢， y 和 z 就是相反数，我们取 y 等于一，这样比较好算。 j 呢，就是负一，然后 m 就是零都一都负一。 我们前面有求出来这个三角形 b， b， c 的法相量应该是 a、 e， 为什么呢？你看这个 b、 d， c 啊，它是属于 a、 e， b， c 这个面上的一部分，所以它的法相量就是 a， e， 它垂直它吗？ a， e 垂直这个面吗？ 所以 a、 e 我们求出来了，是负一，都零都一，所以我们直接算就可以了哈。 结算就是先算出法项量的余选值，就 cosie m 乘 a 就等于 m 乘 a 是 项量，项量成大小，大小成，这是公式哈，双有，大家要背过他。然后呢，上面这个部分就是 x 乘 x， y 乘 y， z 乘 z， 这样呢，只剩了这个负一乘一了，前面都是零了哈，这样得出来，上面是负一，然后下面是根号，根号就是零的平方，加一的平方加负一的平方，这一部分啊， a 呢，就是负一的平方，加零的平方加一的平方，这样得出来是根号二乘根二就是二，所以余选值是负的二分之一。 我们设的这个二面角是 c， 他，所以 q， c 他，他等于正数二分之一，他是相等或互补。平方完了，是正的了，都是四分之一，然后呢，一减， q， c 就是正选， saying 就是四分之三，所以我们求出这个 saying 值是二分之，根号三。 第二位我们就讲完了。好，这道题我们就讲到这里，同学们下期再见。

同学们好，我是汪老师。这节课我们一起来看一下二零二二年全国乙券立体几何大体如图，四面体 abcd 中 ad 垂直， cdad 等于 cd， 角 adb 等于角 bdce 为 ac 的终点。第一位证明平面 bad 垂直平面 acd。 那么怎么来这面面垂直呢？我们先回顾一下面面垂直的判定定理，如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。所以第一问，要证明面面垂直，我 我们需要去找线面垂直，观察一下图形哪条线会垂直哪个平面呢？从图里直观来看，这条直线 ac 好像是垂直平面 bd 一的，那我们不妨猜测一下 ac 是否垂直，平面比低。 根据线面垂直的判定令，那我们要看 ac 与平面 b、 e、 d 里面的哪两条相交的直线会垂直。 我们先来回顾一下条件，条件告诉我们， ad 等于 cd 一为 ac 的终点。那么在等幺三角形 adc 中，第一既是中线也是 高。这里就出来了第一组线线垂直，也就是 ac 垂直第一。 在接下来看另一个条件，角 adb 等于角， bbc 给你这两个角相等有什么用？其实在结合前面的 ad 等于 cd， 角 adb 等于角， bdcbd 等于 bd， 那这样的话，我们可以得出三角形 abd 全等于三角形 cbd， 这样的话，两个三角形全等，我们就有 ab 等于 cb 在等腰三角形 abc 中，同理，一为 ac 的终点，我们也有 b 一是三角形的高，也就是 b 一垂直 ac， 这样的话我们根据题目条件就得到 ac 垂直平面 b e、 d 里面两条相交的直线 d e 和 b e， 由此我们可以推得线面垂直，再由线面垂直又能得到面面垂直，这是我们的一个思路过程，需要根据你要证明的东西逆向去思考。 下面我们来看一下具体的证明过程。证明的过程的话和思路过程是反着过来的哈，我们是从题目条件出发，其实就是 从我们这个思路从右向左推倒，一起来看一下。因为 ad 等于 cd 角 adb 等于角， bdcbd 等于 bd， 这样的话我们先得到三角形 abd 全等于三角形 cbd 有两个三角形全等得到了边相等， ab 等于 cb。 又因为一为 ac 终点， 所以我没有 ac 锤之笔。 而在三角形 a、 d、 c 中， a、 d 等于 cd， 一为 ac 终点，那我们同理可得 ac 垂直第一， 又因为第一与 b 一交于点一， 他们是两条香蕉的直线，然后这个第一和第一 在平面 b、 d 内，这样的话，两组线线垂直，我们得到了线面垂直， ac 垂直平面 b、 d， ac 是平面 acd 内的主线， 所以线面垂直，我们又可以得到面面垂直，这样就得到了平面 acd 垂直，平面 bb。 证明结束，那么这里需要注明，证明的过程我们要尽量的规 范，一定像这个划线部分不要省略，不然的话你考试可能会扣分哈。那么第一问考察的就是面面垂直和线面垂直的判定定理。 接下来看第二问。设 a、 b 等于 b， d 等于二，叫 a、 c， b 等于六十度点 f 在 b、 d 上当三角形 a、 f、 c 的面积最小时，求三楞追 f a、 b、 c 的提及。 这个是文科题的题目，第二个求 cf 与平面 abd 所乘角的正弦值。这个是理科题的题目哈，那我们先来看一下这个文科题的题目，根据增加的这个条件， 我们慢慢来展开分析。首先第一个 ab 等于 bd 等于二，叫 acb 等于六十度， 那么我们可以先在三角形 abc 中来看三角形 abc 中有一个角是六十度，然后由第一问可以得到 ab 等于 bc， 所以不难发现三角形 acb 是等边三角形， 这样的话我们就有 ab 等于 bc 等于 ac， 他们的长度都是二。 ac 的长度得到是二的话，由题目的 ad 垂直 cdad 等于 cd， 那么在等腰直角三角形 adc 中，它的边长 ad 和 cd 就是根号， 那么第一的长度不难发现他是一，第一的长度是根号三。 然后题目又告诉你 b d 等于二，就是我们又可以发现一个隐藏的信息哈，第一等于一， b 一等于根号三， b d 等于二，这里就满足一个勾股定理， d 一的平方加上 b e 的平方等于 b， d 的平方，那么我们就有 d 一垂直 b。 再结合第一问，我们所证的这个第一垂直 ac， 就可以得到第一垂直平面 acb 里面两条相交的直线 ac 和 b 一，所以我们就有第一垂直平面 acb， 那么第一就是三，能追 dacb 高， 这是我们由前面两个信息得到的一些隐藏条件。接下来我们再来往后看点 f， 在 bd 上当三角形 afc 面积最小时，求三人追 fabc 的体积。 要求体积的话，首先需要分析三角形 afc 的面积什么时候最小， 要求出 f 点的位置，我们才可以求出这个题集。那怎么来求呢？我们可以从这个三角形 afc 来入手看。由第一问，其实我们证明出来了， ac 垂直 平面 b d 的，而 e f 是平面 b d 里面的直线，所以 ac 垂直 e f， 这样的话我们就有 e f 是这个三角形 a f c 的高，那么三角形 a f c， 它的面积就可以写成二分之一倍的 a c 乘上 e f， 而 ac 的长度是一个定制，所以要三角形面积最小的话，那么 ef 就要最小， 什么时候 e f 最小呢？当且紧当 e f 垂直 b d 的时候，我们这个 e f 的长度是最小 小的。 那么在直角三角形比地中，你应付垂直比地低于垂直比一，这样的话有三角形相似，三角形 bf 一相似于三角形 bd， 所以我们就有 bfb 上 b 一是等于 b 一比上 bd 的，那么 bf 的长度我们就可以根据这个笔直求出来。 f 是等于 b 一的平方，除以 b d 的， b 的长度是根号三，所以平方是三， b d 的长度是二，那么 b f 的长度是二分之三，而 b d 等于二，所以 bf 是等于四分之三倍的。必定 确定了点 f 的位置，我们就可以得到 f 到平面 a c b 的距离 等于四分之三倍的点。地到平面 acb 的距离， 而点滴到平面 acb 的距离就是第一，所以这个长度是四分之三倍的第一， 而第一等于一，所以这个等于四分之三。这样的话，我们就求出了点 f 到平面 acb 的距离为四分之三，那么体积也可以求出来三龙锥 fabc 的体积就是三分之一的底层高， 也就是三分之一倍的三角形 acb 的面积，他是等于二分之一的 二，乘以根号三，然后乘上高高是四分之三，这样 一算，答案是四分之更好算。那么像这个第一小问， 我们就是根据题目条件分析出来了这个三棱锥 dabc 的个边的长度，再结合一些隐藏信息，得到 b 一垂直第一， 然后第一又垂直 ac， 得到第一是垂直底面 acb 的，所以第一是我们这个三棱锥大三棱锥的高 要求 f abc 的。提起的话，我们就需要得到点 f 的位置， 要三角形 afc 面积最小，那么 ef 要垂直 bdef， 垂直 bd 的话，我们根据三角形相似得到 bf 和 bd 的关 关系， bf 是等于四分之三倍的比地的，这样的话我们根据点地到平面的距离就可以求出点 f 到平面距离，最终由三分之一的底面积乘以高，把这个 fabc 的体积求出来，那么这个具体过程我就不写了哈。 接下来我们再来看理科体，也是在三角形 afc 等面积最小的基础上来求 cf 与平面 abd 所承缴的正线值， 这里有几合法和间隙法，我们先来看一下几合法，也就是不间隙怎么来求线面所承缴的问题。 我们可以把 cf 符合平面 abd 单独拎出来，先思考一下思路， 一起来看一下这个图。结合原来的几何题，我们会发现 cf 与平面 abd 的焦点是 f 点，如果能求出点 c 到平面 abd 的距离， 那么这个 c h 比上 c f 就是我们线面所成交的正线值。 由这个思路我们再继续往下写，现在关键的是要求出点 c 到平面的距离和 cf 的长度。 先来看一下 cf 的长度，我们在三角形 bcd 中来看 cf 和 bd 是否垂直，这里我们结合第一问的条件，慢慢。