毕奥萨伐尔定律公式无限长直导线

今天来看这样一道题目，如图九点三所示，再留的正方形线圈边长为二 a， 电流的大小为 i， 试求此线圈轴线上 距离正方形中心距离为 x 处的磁感与强度，那么这个就是思域图 啊，这个呢，是利用立体中前面这个立体中讲过的，那么我们把这个正方形四条边在该点处所产生的磁感应强度都求出来之后，计算四个磁感应强度的使量盒就行了， 事上仔细去观察呢，由于刚好落在这个轴线上，那么正方形相对的两条边电流的流向相 反，我们可以利用所产生磁场的一个对策性，他们的这个数值分量会刚好抵消，只会保留着这个轴线上方向上的分量。那么具体的我们来看一下。那么对于 有限长度这个电流所产生的磁场强度，而磁感性强度计算，前面讲过，用比尔萨法点计算，假设 他的长点 p 点位于这长点到我们这个电流，或者说他的间距是小 r 来表示这是长点 p， 由这个长点 p 分别连我们这个有线长度电流的这个端点会有两个夹角， 假设这个小的夹角是 ct 一，这个夹角呢是 ct 二， 中间的电流大小是 i， 是能够计算出批点处所产生的磁感音强度，这里面呢，把这个磁感音强度的大小给它写出来，这个 b 等于四拍 耳，这个耳就是间距耳，分字 meal 零 i 括号 call sent set 一，减去 call sent set 二。那么对于我们本道题来讲，我们先计算 a b 段 在长点 p 点所产生的四个演讲度，那么我们知道这个 b 呢，它是垂直于啊圆，我们也就是这个电流以连接时间 啊，这个所在的这个平面，说白了呢，此感应强度 b 是垂直于 pab 这样一个面的啊， pab 这样一个面的啊。具体说来， 我们再看一下，他又刚好落在终点上。对于我们要是考察 ab 这条边在 p 点处所产生的磁感与强度，我们来对照一下。先看这个儿儿呢，我们 说是这个长点到电梯间间距对应的，我们这个儿就可以写下对我们本道题去求 ab 的话，那么儿他是等于根号下， 对吧？利用 po 这个啊这一点的终点，我们假设是 c 吧啊 poc 这个三角形可以写出来，它是根号下 a 的平方加上 x 的平方， call 三 c 的一， call 三 c 的二，这里面呢，刚好哇，如果我们把这个正方形的这个四个端点跟 p 连在一起，那么 pab 是这个四愣锥的一个侧面，这里面要用到一点高中所学的立体 几何的知识，那么我们是很容易可以看出来，这个 c 他二是等于派减去 c 他一等，那么我们计算靠上瘾， c 他二，他就等于靠上瘾。 括号 pay 减去 ct 一，那么就等于负的 cosincet 一。如果把这个式子给带入到上面这个表达式里面去，我们就可以把这个 b 的大小 写出来，哎，这我们是 ab 所产生的，不妨叫做 b 一吧，那么这个 b 一的大小四派，为了方便我们这个儿暂时不用往里面写 r 分支 miu 零 i， 然后呢，两倍的靠山 ct 一，这个二跟我们这个四可以约掉，这边还剩个二， 那么这个 call 声音 cte 如何去计算？也是啊，要在 pcb 啊， pcb 或者说呢 pca 这个三角形里面去计算，这是一个直角三角形，那么 很容易计算出来。 cosincte 说白了就等于 a 啊，这是 ac 的长度，比上 pa 的长度，那么就是根号下 二平方，再加上 a 的平方。二，我们前面已经写出来，等于这么多，带入这里面式子，他就等于 ab 上根号下这个 二 a 方加上 x 的平方，这是考上 c， d， e。 那么这里面呢，我们世上是算出来这个币 总的大小，事实上呢，要利用我们这个环状电流，它的对称性，下面这条边它产生的磁场磁感应强度是这样一个方向， 跟我们这个产生的臂大小相等啊，方向刚好是对称的，因此他们去叠加的时候做使量，叠加的时候使量相加。 他们的垂直分量啊，一个向上一个向下的话，会刚好抵消水平方向分量，刚好回家啊，我说加倍， 那么同样竖着的这两条边，也是他们的这个垂直分量，互相抵消，水平分量也在 x 轴向。所以说呢，最终计算出来的结果是，我们单个 这个单条辫在这个地方产生磁感应强度，他的整 头像，或者说我们以 x 方向分量的四倍。那么以 x 方向分量如何计算？这里面这个角度是尔法，为什么是尔法呢？因为 pb 是垂直于 pab 这个平面， 当然了，他会垂直于这里面的所有的线啊，这片面的所有线，也就是这个角 是直角啊，这就是直角。我们这里面已经标出来这个角度是耳法，那么当然这一个角度啊，这个角度是二分之拍减耳法，这边又是个直角，那么 当然这个角度为耳法，因此他的这个水平分量，我们说这个 b b e x， 对吧？ b e 的 x 方向分量，它就等于 b 一再乘以 靠山，而法这里面靠山，而法要在 poc 这个三角形里面去写，就等于 b， 所以靠上眼而发，那就是 a 比上啊， a 比上啊，那么 我们要求总的这个次感与强度，他的大小，这个 bx， 他事实上等于四倍的 b ex 也就等于四倍的 b。 啊，这个第一，这个表达是，那就是写一下，乘以二派二分之 mu 零 i 靠上 c 太一，靠上 c 太一，是，这个表达是，那就是 a b 上根号下二 a 方加上 x 的平方， 再乘以 a b r a b r。 啊，我们把这个给他啊，第一，这是从这边啊，从这边这个表达是给他带过来的，把靠山 c 的一要放进去来看一下，这个二 就被约掉了，这个二在这里，然后呢，这个 r 跟着 r 相乘，就是 r 的平方， a 和 a 相乘是 a 的平方，所以说呢，这个最终的计算结果等于 pi r 的平方，二的平方也是括号， a 方加上 x 的平方，括号再乘以根号下二 a 的平方加上 x 的平方。 分母上啊，分子上是两倍的 mu 零 i a 的平方，那么到此为止呢，我就把这样一个 正方形啊，轴线上任意一个长点，他的这个次感与强度大小给他求出来了，那么这次大小求出来了，方向是上，是轴线方向，也就是 x 方向。如果我们写去总的 啊，要求的总呢？如果写成这个适量形式的话，那么大小就是我们这边 bx 分量照抄一下， 他就是怕括号 a 方加上 x 的平方，括号根号下二 a 方加上 x 的平方， 然后分母上是两倍的 miu 零 ia 的平方，我们加一个 x 方向的单位 质量，这样就可以了，这就是最终的结果。好，那么本期视频呢？就介绍到这里。

今天来看一下比亚萨法尔定律，比亚萨法尔定律呢，在前面的大学物理课程中 我已经介绍过，那么先来看一下，但是在大学物理中呢，是自己拿过来用的，没有对标萨帕尔定律的这个导出啊，进行讲解，进行先看一下，那么这里面呢，是先 看一下啊，对于一个洁面剂为 s 的系导线， dv 一撇就等于 sdl 啊，这个没问题，洁面剂乘以它的长度就等于这个体积的微源电流 完全沿着导线流动，那么就有呢，这个界地位，这个阶呢，就是电流密度，他和这个体积啊，这个体积原 dv 一撇成吉， dv 一撇呢，又可以写成 s 和 dl 一撇。这里面事实上已经看到了，这里面这个结已经变成标量，也就是它是电流密度的大小，而把这个方向 复制给这个低熬一片，那么这个啊，这个适量了，那么这个时候呢， 没有得到，由于结合 s 的层级，电流密度的大小和洁面机的层级， 得到的就是电流的大小，电流大小，哎，他是一个标量，那么这个 dl 一撇是一个食量啊，这是一个横的边形，那么由此呢，六抗二二，六抗二二呢，就是前面啊，这个 呃，讲的这个电流密度，使量和使量词位之间的一个关系，那么这里面呢，直接把它变形了啊，也就是 idl 一片，原来呢，他是接 dv 一片啊，做了一个横等变形，也就是说， 哦，原来这个史亮词位跟电流源啊，这个 大家看啊，这个电流源电流的大小为哎，他的流向是 l 一撇这个方向 啊，这个电流源之间的一个关系就找到了，就是六杠二六。这里面啊，这个积分路径啊，是一个圆圈，是一撇，因为电流 i 必须在 闭合路径中流动，那么由于食量磁位，它的悬度就是我们的这个磁感应强度，或者说呢磁通密度食量 b， 那么我们直接对六杠二六去求旋度，旋度是已经会算值，我们把它 由于这个四拍分支 musici， 它是一个系数长塑像，可以直接拿出来啊，把这个旋度放到这个积分符号里面去啊，改变一下运算顺序，得到了六杠二七， 那么这里面呢，利用了旋度的运算性质，这个前面也有 讲过，那么我们可以把那个柿子写成这样，由于不带撇的坐标和带撇的坐标是相互独立的，一个是基于长点类似机关原点的， 那么第一个啊，这个运算等于零啊，他去求一结尾粉算数啊，等于零为两个坐标系互不搭杠 二六杠二九，他的这个第二项二分之一，二分之一去求梯度， 他去球踢肚的时候呢，这里面是采用直角吸球踢肚的方法，事实上呢，可以直接根据这个圆球细想球踢肚的办法， 直接把这个结果给他写出来。好， 那么这个 a r， 它是指从圆点指向长点的单位食量， 然后把六杠三零带入到六杠二九，得到这个啊，得到这个，这个符号是我们改变了这个差成的预算性啊，预算顺序啊，那么这个就成为比奥萨法尔定律。那么 我们看一下，它是计算 b 和路径 c 一撇中电流 i 所产生磁通密度，而且或者说自感应强度 b 的一个公式 啊，他是从对这个质量词为 a 去旋度计算得到的，有时候呢啊，我们分成两步 b 啊，等于 对这个他的微元金求积分，那么因此我们可以得到 db 此感应强度的微软，它和电流源之间的一个关系，这个电流源是 idlap， 那么六杠三三 a 啊，截六截啊，揭露了电流源所产生磁通密度滴滴之间的一个关系。 所以这个狮子用的非常非常多，比奥萨法尔定律和进电厂中的这个库伦定律非常非常类似，而安倍环路定理和 静电厂中的高斯定理非常非常的类似。安培环路定理虽然简单，但是呢，他的试用范围比较小，高斯定理也很简单，但是呢，他也的试用范围比较窄， 而我们这个必要萨法定律，他是应用范围就比较广了， 好看一下 么，三三 a 和三三 b 啊，是一个横的变形，只是说啊，这个上面是一个单位，食量，这里面是一个位置，食量，这里面上面是二的平方，这个呢是二的立方，是完全一样的，在静电堂中我们也讲过这个， 那么可以看出呢，应用必要萨普尔定律，一般他要比安培环路定理困难，但是呢，他是一个啊啊，在一般情况下都可以用他，都可以去用他，那么看一下立体， 这个立体他是求指导线上中线上一点批点，他的一个 这个刺头密度 b， 看一下条件，一个直流电流 i 流过长度二 l 的指导线球在导线的平分面上，离导线距离为 r 的点刺头密度，那么 这长度为二，就是这一段，而且呢，他是刚好位于这根导线的这个平分啊，平分平面上的这个，他说呢，求这一点的次感强度。 b， 用两种方法，先用计算食量词汇，第二种呢，是直接利用比较沙发定律来看一下它的大致预算方法。 那么这里面呢，他是直接先计算适量词汇，利用了本节这个 或者史亮词威，定了这六杠二六，相当于我们上一节内容的一个变形。这里面揭露了电流源 idlap 和史亮词威之间的一个关系，利用了六杠二六一个恒的变形， 利用这个式子呢， dl 一片，他就是这里面建立的是一个圆柱坐标系啊，以这个为 c 轴，建立在 a， 他建立是这样一个圆柱坐标系啊，圆柱坐标系以这个 z 轴为圆轴啊， 看一下，利用钢材六杠二六， 得到了食量思维和电流源之间的一个关系，这里面呢，啊，结合关系我就不去说了，这二等于一撇平方加上二平方啊，积分的范围是负 l 到正癌。哦，那么这个，呃，整个积分过程呢， 也是也不是很麻烦啊。最终得出来一个结果是这个样子，这是十辆磁威，十辆磁威，他是 az 方向是让这个结果 肯定没有问题，我们知道史亮词位给电流的方向是一致的，对吧？因为电流的方向是演 z 轴的，所以说出来的方向也是演 z 轴的，没有任何问题。然后求出史亮词位之后， 对使量词位取旋度，我们就得到了逼，这个逼啊，这里面取旋度，这里面要利用到了啊，这里面要利用到了 圆柱坐标系下求旋度的公式，在一般教科书的附件中或者副录中都有，这里面得到两个，这里面利用了圆柱的对称线 得到这一项为零，所以说他就没有 r 方向的，我们得到了 b， 最后得到只有发 s 方向，这里面呢？ p az 比 pr 这个啊， 就是这个系数对耳球偏道数啊，这个球导过程 也不去多说，最终得出来结果是这样一个形式的好， 那么如果啊，这里面给出了如果儿圆圆小于 l， 那么也就是相当于一个无限长的一个， 这个指导线导线上流通了一个线电流，是吧？流通线电流他会得到啊，他的这个磁感与强度 b 就等于这么多， 这是无线长指导线，再有电流爱使力导线距离为 rb 的这个表达是，但是这个表达是啊，啊，前面我们已经知道了，是吧，因为用 b 啊，散发定律的话，从 圆圆 dz 一撇到长点 p 的距离使量 r 等于这么多，这里面仍然是在圆柱坐标线下得到了。这个计算方法是不难的啊。这个，这里面是一个使量运算，是吧？使量运算，那么 dl 叉乘 r， 这里面 又利用了圆柱作背，写下插成的性质， az 插成 areaz 插成 az， 对吧？ az 插成 ayr， 我们知道 az 插成 az， 那么是等于零的。最后得出来这个 只有发育方向，我们计算四个人强度就等于这么多啊，求积分的过程等于这么多，那么这个结果跟六个 三五完全一致。事实上呢，在前面大学物理的一个立体讲解视频中，求指导线所产生的这个质感强度，采用标上法定理去求， 我采用第三种方法，求解的方法比这两种还要简单，那么感兴趣的可以去查看一下，那么这个定义的变量里面有个变量代化，那么求解处的表达是也比这个更加直观 啊，这里面呢，就不去多说了，都可以啊，结果都是完全一致的。 好，再看一下，求正方形回路中心的自动密度啊，正方形这个电流回路，那么每一段哦， 这里面还得补充说一下，这里面呢，他是求的什么呢？刚好是中垂线上这一点，那么如果这道题呢，是求任用任意一点呢，这样一点呢啊，这样一点他不在这个中垂面上呢啊，我们用另外一种方法， 很容易就计算出来了啊，很容易就计算出来，这里面不去说了，感兴趣的可以去翻找一下啊。 好，接着看下一题。那么正方形回路中心的词中密度这里面呢，每一段分别去看那么四段，是吧，在这个地方 残残的叠加啊，这里面直接利用上面那个结果啊，这个非常简单。至于 下一道立体圆形回路轴线上任意点的池通密度是回路半径为 b， 载有直流电流。哎啊， 这个求解方法我也不去多说了，因为可以自己去看一下，是热闹，我在大学屋里里面已经对这个环状电流轴线上任意一点，他的这个磁感强度的求法 已经给出了讲解，那么在用标上法定理也是非常非常容易计算的。好，本期视频呢就介绍到这里。