有关于椭圆标准方程的手抄报

哈喽，同学们大家好，我来到了选 b 一 第三章圆锥曲线方程三点一点一椭圆及其标准方程。那么现在呢，就正式的来到了我们的解析几何的重难点部分哈，圆锥曲线同时也是高中的重难点部分，因为高中 高考基本上压轴题两个选择题，圆锥曲线函数啊，有一部分是竖列，那基本上这三个跑不掉啊。然后呢，就是我们的这个解析几何有两张都是在选 b 一 啊，第一个呢就是我们的上一张啊，第二张， 第二张讲的是什么？直线语言，为什么先讲直线语言呢？因为这两个东西我们都很熟悉，对不对？从小就很熟悉，只不过我们刚开始呢，把它搬入到解析几何来理解什么是解析几何。然后第二个呢，就是我们的这一张，第三张讲圆锥曲线。 圆锥曲线呢，包含了三个，第一个椭圆，我们这节课要讲的第二个双曲线，第三个抛物线。好吧，那这三个呢，都统称为圆锥曲线，那跟我们的圆锥有什么关系啊？因为他们都可以从圆锥而来啊，我们的一个圆锥， 比如说我们先讲我们这节课的椭圆，椭圆呢，如果我们用一个平行于圆锥底面的这个平面去截这个圆锥，我们得到的这个截面呢，就是一个标准的圆，那么如果这个平面它不平行于底面，那么这个截面截得的就是椭圆哈。 我们首先看一下生活当中，生活当中呢，我们会把什么呢？像鸡蛋，像橄榄球这种东西呢，我们都称为椭圆，就是啊，有一些平滑曲面的近似于圆，或者说近似于球啊的平面图形，甚至说立体图形，我们在生活当中是不是都称之为椭圆？ 会不会发现这个问题？我问你，地球是什么形状的椭圆，对吧？我们生活当中所以椭圆的这个概念呢，就应用是非常非常广泛的哈， 但是呢，我们在数学当中呢，要成为一个椭圆，当然这种都不叫啊，对吧？椭圆当然是一个平面的图形，而且呢椭圆是要满足一定严谨的条件的，就好比说我们的圆，对吧？你要成为一个圆，圆上的任意的一个点，到这个定点的距离都是一个定值，这个才叫做一个圆。那么椭圆的这个定义是什么呢？它的要求是什么呢？ 平面内有两个定点， f 一 f 二的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆啊，继续来讲点的轨迹点的集合，这个常数呢，要求大于 f 一 f 二。我们首先来看一下啊， 这是一个动点，它到两个定点的距离是一个定值，这个定值呢，要求大于 f 一 f 二的这个线段，我们来看一下为什么要求啊？同学们停下来想一想，为什么要求， 因为我们会构成一个什么东西啊？我们会构成一个三角形，那么这个东西我们当然知道，三角形的两边之隔大于第三边啊，对吧？那我们来探讨一下，如果，如果 这个时候它的这个定值不是大于它，而是比如说第一个等于它，它就会等于个这个线段，对吧？就是 p f 一 加 p f 二，它等于这条线段，那么是不是 p 点，它代表的就是这条线段，这个我们要理解。 第二个呢，如果是小于的，那不存在啊，这个世界上不存在这样的一个东西，因为两点之间直线段最短，所以不可能会有一个东西 p p f 一 加 p f 二还要比 f 一 f 二要短，这是不可能的对不对？所以呢，有这样子的一个要求哈。然后接着我们来看一下 第一道例题啊，我们来巩固一下下列说法当中正确的。是啊，到两个定点的距离之合啊，这个时候呢，我们就要看 m 点和 n 点的距离是六对不对？那么它的距离之合得是定值，而且呢，这个定值得大于六，所以呢，这个否定了，这个否定了，所以只有这个 到两个点距离相等的点的轨迹，不是啊，这个不是哈，所以呢，选 c 对 吧？然后接着我们又回来继续看哈，我们这个时候呢，去定义一下这两个点呢，我们称之，为什么呢？叫交点， 两个焦点的距离呢，我们称之为焦距，焦距的一半叫做半焦距，那这个都是一些名字好不好？这是一些名字啊，没有什么新的知识，但是我们要搞清楚啊，什么叫焦点，什么叫焦距？什么叫半焦距好吗？ ok， 然后我们会发现呢，椭圆是有对称性的， 我们怎么样把椭圆放在解析几何上面去做研究呢？我们选择哈，经过椭圆的两个焦点的直线为 x 轴，就这一条是 x 轴，那什么作为 y 轴呢？这个线段 f 一 f 二就是两个焦点的这个垂直平分线作为 y 轴，我们这样来建立平面直角坐标系。 这个地方我提一下哈，虽然说椭圆啊，包括我们的后面所学的这个圆锥曲线，它要比圆啊，比直线要难很多，但是它有一个点呢，就是我们只研究它在固定的位置 啊，我们就不用像圆这样子说圆，为什么它会有三个参数，我们后面会发现椭圆它只有两个参数啊，然后呢，我们来看一下射点 p， 我 们来推导了哈，到了它的标准方程，我们来推导，就像圆那样子去推导，但它的计算呢，要比圆要复杂很多哈， 射点 p 是 椭圆上任意的一个点啊，对吧？然后呢，它的焦距，我们首先来定义一下哈，它的焦距，它这个距离它肯定是大于零的，对吧？那么焦点 f 一 f 二的坐标分别为这个和这个，我们来看一下， 首先呢，这一个我们把它定义为两倍的 c， 然后这个时候呢，因为中间的这个是圆点，所以呢不能知道，对吧？这两个的坐标，然后接着呢， 我们定义这两个呢，就是它加起来的这个定值是多少呢？是二 a 哈，我们先这样规定，然后同学们呢，就可以先暂停 啊，自己先去推导，尝试一下推导好不好？我们首先呢就按定义来，对吧？根据椭圆的定义，我们的这个动点，然后呢，它有什么样的规律？这个点到这两点的距离，那我们直接说呗，点到点的距离公式， x 加 c 的 平方，加上 y 的 平方，这是它的距离，再加上另外的到另外一个点，这个 f 二的这个距离 也开根距离是个定值，这个定值多少啊？等于二 a， 对 吧？就这样子，那这个时候怎么去处理这个柿子呢？因为我们会知道哈，这个，当然我们初中就开始有接触这种东西啊，如果两个根号我们要直接开方，这个开出来开方，这个开出来开方，然后再加上两倍的呃，他们 之机，然后呢我们里面就会变成四次方，这个可以，然后再把这个根号呢挪到一边，两边继续开第二次方，这是一个可行的方式，但是这个预算量会有点大，我们通常来说呢把其中一个挪到这边来，然后呢我们来看一下，所以呢这个表达出来，根据 椭圆的基本定义，对吧？挪到一边来，然后呢两边再开放，这个时候就不会出现有四次，或者说出现四次的时间点会比较厚，那这个时候呢，我们已经开始可以整理了，所以这个是一个处理根式的一个小技巧啊。我们来看一下，这个时候呢干嘛？两边平方，对吧？两边平方就 x 加 c 的 平方，加上 y 的 平方，等于四 a 的 平方，减去两倍的它们 x 减 c 的 平方加 y 的 平方，好吧，那这个时候呢我们就可以干嘛？我们就可以这个 x 的 平方加 c 的 平方，加二 c， x 加 y 的 平方，等于四 a 的 平方，加 x 的 平方加 c 的 平方，然后讲这个东西， 对吧？再减去这个东西，然后这个地方，我们这个这个东西，这个东西，这个东西全部都可以消掉，消掉，消掉，消掉，是吧？那这个时候呢，我们就 x 的 这项摞在一起，二 c x， 然后呢这个呢是什么？这个是长竖项，把它摞到这边来， 然后呢这边呢单独放这个什么东西啊？单独把这个根式放在这边，我们来看一下两边平方，对吧？然后呢展开 展开了整理，对吧？整理，整理之后呢，我们把根式放在一边，然后这样子呢，我们又继续来进行开放，对不对？好，我们刚才做到这一步，然后呢继续进行开放，那么就 两边平方， a 的 四次方啊，虽然我们出现 a 的 四次方，但是已经到了很后面的地方了，这个所以是一个处理的技巧，加上 c 的 平方， x 的 平方减去两倍 c x a 平方啊，或说两倍，先写吧，等于 呃， a 的 平方，然后 x 的 平方加 c 的 平方减二 c， x 加 y 的 平方，对吧？然后呢继续来，这个时候呢我们就要干嘛？我们先把它写出来啊，我们就要分清楚这个象， 比如说 x 的 象， y 的 象，常数象，把它分类好，这个非常的重要， 我们来看，首先，呃，我们先把能消的消掉，对不对？能消的消掉这个和这个能消掉，对吧？还有没其他？没有其他了，那我们现在就要整理，首先 x 的 平方向，这个时候呢 x 的 平方向来做整理，把这个移过来，就 a 的 平方减 c 的 平方， x 的 平方，接着 y 的 平方向只有这一项，然后就是加 a 的 平方， y 的 平方。好，然后呢常数项还有其他吗？啊？常数项就是，呃呃，这个就等于 a 的 四次方减去 a 的 平方， c 的 平方，这个时候我们把这个东西提取一个 a 的 平方出来，就变成了这个东西 啊，我们就得到了这个式子，好吧，两边平方，然后呢接着就得到了这个式子，把 x 的 平方向，这个向分向去处理好，这个时候呢，我们两边除以什么东西啊？除以一个 这个东西，两边除以这个东西，这个就消掉了，这个消掉了，然后这个底下呢，就变成了什么？ a 的 平方， 这个底下呢？变成了 a 的 平方减 c 的 平方，这个呢变成了 e 啊，对吧？就两边除以这个东西以后就得到这个东西，好到此为止。然后呢，这个时候我们做一个什么事情呢？我们会知道，首先我们会知道 a， 因为 a 是 比 c 要大的 啊，很多同学到这个地方已经蒙了，为什么 a 比 c 要大？刚才我们的圆的定，那个椭圆的定义，哈，定义就告诉我们 a 比 b， c 要大，就我们二 a 是 什么东西啊？ 二 a 是 这两个加起来是一个定值，对吧？是一个定值，所以呢，这两个是一个定值，我们说它比这个东西要来的要大，所以二 a 大 于二 c 啊，对不对？二 a 大 于二 c， 所以 这个东西呢，它也大于零，这个也大于零。 好，那这个时候呢，我们令什么东西呢？我们引入另外一个值叫 b， 因为这个东西它不好看，而且呢这个东西它是有意义的，就是说当 我 x 等于零十，这个时候，这个东西表达了什么东西啊？它代表了什么东西啊？它代表了这个是什么东西啊？这个是正 b， 或者说现在还没有 b 的 时候呢，就是正的这个 a 的 平方减 c 的 平方，这是负的根号， a 的 平方减 c 的 平方，所以呢，它代表了我们的这个和 y 轴的交点， 所以呢，这个时候呢，我们就用 b 来表达它，这个时候呢，我们就变成这个式子，对吧？好，这个呢就是椭圆的标准方程。 好，我们也可以选择经过椭圆两个交点的这个直线为 y 轴，就是刚才我们所有的研究都是基于这个，我们刚才说经过两个交点的这个直线为 x 轴，然后呢，它的垂直平分线为 y 轴，那这个时候呢，我们反过来，这个是 y 轴，这个是 x 轴，把它反过来， 我们有两种情况，那么这个是另外一种情况，所以呢，椭圆的标准方程有两种形式啊，这种东西呢，同理可得，对吧？把这两个给换过来，然后一个呢是焦点在 x 轴上，这个时候呢，就 a 在 x 的 下方， 这种呢就是 a 在 y 的 下方，那所以呢，这个代表了一个代表了焦点在 x 轴上，另外一个呢代表了焦点在 y 轴上， ok， 然后呢，由于 b 呢是通过 a 和 c 之间的关系而来定义的，永远要记得哈，永远要记得这个知识是怎么来的。 我们首先定义了焦距，什么是焦距？二两倍的 c 是 焦距，接着我们定义了它们之间所相加的到两个定点之距离之和的这个定值为二， a 首先有 a 和 c， 然后呢去定义 b， 那 这个时候呢，把它两边一平方，我们就很容易得到这个东西，对吧？ 该式对于焦点在 x 或者在 y 轴上的椭圆的表达式均成立，就是无论是这个还是这个都是有这样的关系，所以这个是非常重要的一个方程的一个关系哈。然后接着我们来看一下知识理解地点， 无论焦点的位置在 x 和 y 轴上，谁大谁是 a， 对 不对？因为我们现在看这个方程是长这个样子的，但实际上呢，就是我们会看到什么东西呢？ x 的 平方分之四加 y 的 平方分之九等于一，那这个时候没有人告诉你，我们这里所谓的谁是 a， 所以谁是 a 啊？谁大谁是 a， 对 不对？九比较大，所以九是 a， 就 这样子哈，九比较大，分母哈，不是说系数哈，同理，判断焦点的位置呢？看系数分母的大小啊。这个时候呢，我们刚才的同样的一个例子， 我说，哎，这个东西，它究竟它的焦点在 x 轴还是 y 轴上啊？谁的这个系数的分母，看清楚哈，系数的分母的大小，不是系数的大小，系数的大小反过来，对吧？那这个的系数更大一些啊，对不对？这个是九分之一，我们说系数的分母，这个所以谁大 谁谁是什么东西啊？谁大谁就是那个焦点，那这个东西呢？它大一点，所以它的焦点这个方程呢？就是，呃，那个椭圆的焦点在 y 轴上，如果反过来，这是九，这是四， 那么这个焦点就会在 x 轴上。然后第三点呢，就是注意系数的分母是 a 和 b 的 平方，就说，哎，这个是 a 的 平方等于九，而并不是 a 等于九，所以呢，要搞清楚， a 等于三， b 等于二，在这个地方，所以我一定要搞清楚平方这个东西，提醒大家呢，就是 当我们出现这种四啊九啊十六这种平方数呢，很多时候同学们不会搞混，但是出现的一些不是平方数，比如说是七，比如说是三的时候呢，很容易会搞混啊，就没有想起来这个东西是平方，实质上啊，比如说三，那这个时候呢， a 可能是根号三，这样子哈， ok， 然后呢，椭圆方程的本质它是什么东西？我们一是不是一直以来都会研究这个东西，比如说我们在研究直线的时候，最终一般式就是它本质是个什么东西？圆呢？标准方程之后呢？有圆的一般式方程都是在看哦，圆的本质是什么东西啊？对吧？我们整一个系数就是 m， 而且这个系数大于零，这个 a 呢，也大于零，所以它的本质是这个东西。为什么讲这个东西呢？在解某些题目，尤其是不知道它的这个焦点究竟是在 x 轴上还是在 y 轴上的时候，这种会更方便哈，到时候我们会知道做题的时候会知道这个点。 然后呢，我们说一下点和椭圆的位置关系啊，这个比较简单，就是我们知道哈，椭圆外的一点到两个焦点的距离之和大于二 a 内的一点呢，到两个焦点的距离之和小于二 a， 所以呢，我们以这个方方程为例啊，同学们可以缓回去看一下整个推导过程，我们最初的推导过程是按这个距离加这个距离 等于二 a， 那 这个是它的定义，那如果是在圆外的一点，它就变成大于，并且在我们整一个推导的过程，所有都是什么呢？所有都是大于零，大于零，大于零的，所以它不存在编号，所以我们很容易会知道呢，就是所有的推导过程都一样，所以最终呢，会形成一个怎样的关系呢？如果它等于一，那当然就是在 椭圆上的情况了，如果它大于一，就是在椭圆以外的情况，对吧？如果小于一就在椭圆内，那如果同学们还想去更严谨的去证明一下，就是啊，为什么我在椭圆内，呃，这两个加起来会大于二 a 呢？就是你比如说哈，就你可以找一点这样一的一个一个点点 p， 让我们会知道这个是呃，这个钝角，所以呢，这个会大于这个啊，然后这个呢也会大于这个，那这个时候这个点呢，这条边加这条边呢，加起来是二 a， 所以 这两条边加起来是小于二 a， 有 很多的方法去证明哈，这个比较简单，当然也不用深究这个东西啊，不用深究啊， 记着这个东西就可以了，比较简单的一个东西啊，记着这个关系，接着我们做一下这个立体啊，如果椭圆的系数的分母更大，所以在 x 轴上，然 然后焦点的坐标啊，十减六是四四呢，是 c 的 平方，所以交的焦点呢，是负二零和二零，对吧？然后呢，接着呢，就是这个 a 等于五， c 等于二，焦点在 y 轴上，那么直接就可以设 a 的 平方， y 的 平方加，那这个呢，就看同学们习惯哈， 就有的同学会喜欢说，哎，我永远 a 都在前面，有的同学呢就会喜欢，干嘛永远 x 都要在前面，所以啊，就会设成这个东西，就是自己书写的习惯了， 谁在前面，这个没有任何的所谓啊，对不对，自己习惯就好了。但是还是那一句，我建议自己有自己统一的一套方式，不要一时这个，一时那个， 好吧，这样子不会搞混啊，比如说我们以这个为例，那这个时候呢，焦点在 y 轴上，那么椭圆的标准方程 a 等于五吗？ c 等于二，那 c 等于二的时候呢？ b 等多少？ b 的 平方就会等于 a 的 平方减去二十一，所以是二十一和二十五和二十一，对吧？ 好，就这样子看一下，然后例四，根据下列条件求对应的椭圆的标准方程啊，这个是都是我们的基本功的一些训练呢，两个坐标分别是这个东西直接得出 c 等于四， 然后呢且过点五零。这里呢，就有一些不一样的方法了，比如说我，第一个呢，就是 c 等于四，然后它也等于多少呢？也等于 a 的 平方减 b 的 平方啊，再开根啊，对不对？那我们就会得到一式， 然后呢，第二个呢，就是我们因为他的那个焦点在这里，然后我们可以设啊， a 的 平方， x 的 平方加 b 的 平方， y 的 平方啊，等于一， 然后呢把这个东西给带入进去也可以。那第二种呢，过点五零，那这个时候我们会知道，呃，下节课呢，我们也会单独去进行归纳哈，就是这个点啊，因为他带入零的时候，这个没了，所以 a 直接就等于多少， a 直接就等于 五， c 等于四，那这个时候呢， b 就 等于三，勾股数嘛，对不对？平方勾股数，所以这个时候呢，就会得到一个是二十五， 一个呢是九。第二题，交点在 y 轴上，且经过两个点，零二和一零，那这个东西呢，同样的，我们有两个不一样的方法，第一个呢，就是方程思维，两个未知数，对吧？椭圆有两个参数，然后呢就带入两个式子就可以了，对吧？在 y 轴上，我们就设那个 y 轴的那个极细式。 第二个呢，就是说什么呢？我们直接给出来这个是多少？ a 等于二啊，然后呢， b 等于一啊，对不对？我们直接就得出来这个东西啊，对不对？然后第三题经过点 a 和 b， 这个时候呢， a 和 b， 我们没有知道它究竟这个焦点在 x 轴和 y 轴上，所以这个时候呢，我们的这个方法就奏效了，就是说所有的椭圆的本质，它都是 m x 的 平方加 n， y 的 平方等于一，并且呢 m n 都大于零， 所以呢，无论它是什么，它无论它是那个交点在 x 轴上，还是在 y 轴上，都是长这个样子的，所以我们直接通过设这个东西来求解就可以了。代入两个东西，对吧？代入 这个，比如说我们算一算三 m， 然后呢加四 n 等于一，这是第一个式子，然后呢，这个呢是十二十二 m 加上 n 等于一，这是第二个式子，所以呢，我们会求的什么呢？比如说把这个乘以四，对吧？这个乘以四，我们就会得到四十八 m 加四 m 等于四， 这个时候一减呢，四十五 m 就 会等于三 m， 就 会等于十五分之 一啊，对吧？然后这个这十五分之十二，再加 n 的 an 就 会等于十五分之三，就是五分之一喽，对吧？那这个时候呢，我们直接代入进去，就会变成什么十五分之 x 的 平方，加上呃，五分之 y 的 平方 等于一啊，我们就出来了，所以这个东西呢，它也是一个很快的一个方式，它就不用先设假设说这个焦点在 x 轴上，然后再假设这个点在 y 轴上，所以这种呢，我们也得知道它的本质 好，这个是相当重要的一个点哈，所以我们来看一下，所以第一个方法呢，设他在 a 轴上，然后得到这个东西，哎，可以哦，然后呢，设这个焦点在 y 轴上，我们就会得到，哎，这个时候呢，我们会解出一个，就是 x 的 平方竟然会小于 b 的 平方，这不行，舍去，所以最终我们会得到这个式子啊，对吧？ 第二个方法呢，就直接出来了，他就没有，呃，第二种情况啊，没有两种情况啊，所以呢，这种也是非常重要的一种方式。然后力五，这是课本上的一道例题啊，已知椭圆的两个焦点坐标分别为这个东西，并且经过这个，这都是很基础的一些题目啊，只是可能会有点预算量， 但是呢，就是课本设置这样的数字呢，也是让大家去提前去适应这个运算量哈，两个同样的，其实思路很简单，还是两个未知数，两个条件嘛，对不对？那第一个条件是什么？ c 的 平方等于四，那四呢？又等于 a 的 平方减 b 的 平方，那 b 的 平方就我们就可以已经可以设一个什么东西啊， a 的 平方， x 的 平方加上，呃， a 的 平方减四， y 的 平方等于 e 啊，对吧？然后代入这个东西，二分之五的平方，那就四分之二十五四， a 的 平方等于 e 啊，对吧？然后代入这个东西啊，二分之五的平方，那就四 a 平方分之二十五， 加上这个预算的能力要上来哈，同学们，这个因为圆锥曲线的预算量是最大最大的哈，整个高中阶段啊，二分之三的四分之九四， a 的 平方减十六，然后呢，就是九等于一啊，对吧？然后呢，当然我们一乘的话， a 的 平方为 t， a 的 平方为 t 啊，对吧？然后这个地方就 呃，一百 t 减去二十五乘以十六啊，这个先不用算，然后再加上，嗯，三十六 t 等于四十十六 t， t 减四，然后呢，等于十六 t 的 平方减六十四 t， 然后十六 t 的 平方二次项一次项，一次项，一次项一三六减个减两百 t， 呃，长竖向加二十五乘以十六等于零，然后这个时候呢，就是这个来个八二 t 的 平方减二十五 t 加上乘以二五十等于零。好，最减了， 最减之后呢，二分之二 a 分 之负 b 加减根号 b 平方二十五的平方二五六减四 a c 八四百，然后二二五二五十五， 二十五加减十五，那么要么就等于就 t 等于 a 的 平方，要么就等于这个四分之十二十五，要么就等于的多少啊？呃，十，对吧？那若 a 的 平方等于二分之五，行不行啊？呃，不行啊，对对，那他如果这样子就小于 c 了，所以这个要干嘛？舍去？ 舍去的话，那 a 的 平方就等于十啊，就出来了。 a 的 平方等于十，那 b 的 平方呢？就等于 a 的 平方减去四等于六，所以就出来了。所以这个呢，预算量，这个预算的速度，预算的精确度都要起来，就这样子，那方法，就这么简单的一个方法。然后呢，例六， 课本上的第二道立体在圆这个上面呢，任取一点 p， 那 过点 p 呢？做 x 轴的垂线段 p d， p d 为垂足，要会画图哦，当点 p 在 圆上运动的时候，线段 p d 的 中点 m 的 轨迹，对不对啊？我有个圆， 然后呢，有一点 p 啊，这个圆是，呃，它的那个圆心是在零点上的，对不对？这个是什么？ x 的 平方加 y 的 平方等于四有点 p， 然后过点 p 做 y x 轴的垂线，然后呢？ d 为垂足，然后呢？这个中点 m 的一个轨迹，我们来表述 m 的 方程啊，之前我们已经锻炼过了，设 m 点是 x y， 那 这个时候呢，我们可以干嘛呢？这此时我们就可以表达 d 呢是 x 零嘛？然后 p 呢是什么？ x， 这个没有，就设 y 零， 我们一定要有清晰的思路，非常的重要。我这里提一个点，同学们跟着我学的，有记不记得我们在上一章末尾的时候，我忘记是倒数第一节课还是就是倒数第二节课了。就是呃，人与人的之间关系，我说了一个，就是一定要有框架性思维， 在解析几何当中是致命的，必须要有。所以第一个，你们想培优的，你们相信我的教学体系的同学。 第二个你们是跟着我的整个体系去上课的学习，呃，学习的同学。第三个，尤其是上我一对一课程，上我班课的同学，强烈建议你们一定要干嘛呢？在这个地方培养一种什么东西呢？ 就是先定框架再做题，先定框架再做题啊，就是我们之前说的这个东西，这个非常重要哈，如果你们想要突破一些难题的话，一定要这样子，我定了这个之后呢，我的第一步是在干嘛呢？我就可以用什么东西啊？用 y 来表达 x 零， 能看懂这个东西吗？这是第一步。第二步是什么？第二个，第二个是东西呢，就是我们在这个书写框架的过程当中，多点去使用数学语言啊，它简洁精准，并且锻炼我们的这种能力啊。用 y 来表达 呃，那个 y 零，此时我们就可以表达 p， 表达 p， 用 x y 来表达 p， 之后呢？然后呢， p 点它在原上，然后就可以带入到里面 这个思路，然后我们对着来写，首先我用 y 来表达 x 零，因为什么？他是终点嘛？所以呢， 干嘛？这是重坐标是零，这个重坐标是 y， 这重坐标是 y 零，所以二分之零加 y 零等于 y 嘛，所以干嘛 y 零，所以第一个呢，第一步哈，第一步就是 y 零会等于二 y， 所以呢， p 点表达出来，你看，按步骤去写哈，按步骤去写 x， 二 y， 这点满足圆的方程，所以把它给带入过去啊，同样的就是 x 的 平方加上二 y 的 平方等于四， 对吧？然后呢，化解就可以了，所以这个呢，很重要，画个圆，首先得会画图，然后呢，这个时候呢，得会分析 m 点的坐标， p 点的坐标， d 点的坐标，根据重点公式，我的第一步，我要实现怎么样的功能？我这个 y 零，我不想要，我想要什么？我想要这个来表达它，谁表达谁想清楚， 所以呢， p 点的坐标可以表达为，然后带入进去这个东西，然后两边除以四，两边除以四，就会得到一个这样的方程，然后这个方程表达为一个椭圆的这个轨迹啊，对吧？就这样子，好，这样子的一个东西， 然后呢，我们看例题， a b 两点的坐标分别为这两个东西，然后直线 a m， b m 相交于点 a m， 它的斜率之积啊，继续画图， a b 两个点，对吧？然后呢，有一条，有两条直线啊，这条直线，这条直线相交于点 a m， 是 不是这样子的？然后呢，它说它的斜率之积，同样的我们来梳理它的步骤， 我们来想哈，如果，如果啊，我们要设某一条直线，比如说这条直线嘛，斜率为 k， 那 么 k， 那 么我们是不是就是，就是说 k a m， 我 设了之后呢，我也可以用 k 来表达 k， 这个 b m， 就是说因为 k a m 乘以 k b m 等于负九分之四，所以如果我用一个数字 k 来表达它，那么它也能表示，这是第一个东西，然后表示之后呢，我就可以用点斜式。第二步，用点斜式 表达直线，是吧？直线 a m 和 b m， 但这个是最终啊，不是，它有一个参数，这个参数就是 k， 它带一个参数 k， 然后因为有两个方程，所以我们连立两个方程，因为 a m 点是它们相交，所以呢干嘛相交？所以我们连立 a m 和 b m， 我 们就可以干嘛消去 k， 我们就能得到 m 的 轨迹方程，这个就是框架好，这个就是框架好，这是思路之一啊，这是其中的一个思路。第二个思路是什么呢？啊？也是这题啊，我的答案给出的思路设 m 点是 x y， 那 这个时候什么样呢？跟这两点，那么我这两点我就可以去表达了，对不对？就是表达它的斜率，表达斜率，这个时候第二个呢，就是表达 斜率，就是那个用这个来表达，用 x y 来表达这个 k a m 和 k b m， 最后它有什么样的关系啊？最后第三个呢，就是 k a m 乘 k b m 等于负九分之四，那么我们就有了一个关于 x y 就是 a m 点的这个关系，那么我们一步步来走，设 m 没问题，表达就是这个呢，就是 k a m 等于走到了第二步了，就是 y 除上 x 加五，然后 k b m 等于 x 减五分， y 好， 第二步，第三步，用这个东西相乘，它们有一个什么样的关系啊？ x 加五，但是这个地方要看清楚啊，这个地方 x 不 等于五， 这个地方不等负五，这个不等于五，所以呢，整一个，把它乘起来之后，乘以 x 减五， 乘以之后呢，整一个式子等于负九分之四，这个东西呢，是有条件的，这个 x 是 不等于正负五啊，对吧？然后我们再进行化减啊，对不对？那这个地方 x 的 平方减二十五， y 的 平方， 呃，等于负九分之四，然后这个地方交叉相乘，就是一百减四， x 的 平方等于九 y 的 平方，然后呢，挪过去四 x 的 平方， 呃，加九， y 的 平方等于一百，是吧？然后干嘛？呃，两边除以一百，然后就得到二十五， x 的 平方，呃，加上， 呃，加上一百分之九，九分之一百， y 的 平方等于一啊，最终得到这个东西，并且因为 x 不 等于正负五，也就说这个东西不能等于一啊，对不对？所以呢，就是啊，这不能等于一，这不能等于零，所以他扣掉了这两个点， 所以呢，他的轨迹方程，他表达一个椭圆，但这个椭圆呢，他缺了两个点，这样子。所以这个地方你看着，我先定一个框架，我能不能定？我刚才的第一套的思路，我给了两套思路给大家，但我定了这个思路之后呢，这个一定能算的，所以我为什么要定框架，就是因为他的预算量非常的庞大，我之前解释过这个事情， 我定了框架之后，这个框架一定是能做的，一定是能做的，有可能它不是最佳的方法，因为解析几何可能有好多好多种方法，有可能它不是最佳的最简变的方法，但它一定能寻找到那个出口，好吧？所以呢，这个地方我们来看设 n 点坐标，然后呢表达它， 然后一提一有这个东西，然后最后是吧负九分之四，然后呢求减，最后得到这个东西，好吧，然后就这样子，所以 m 的 轨迹是除去这两点的椭圆啊，这个地方漏了个符号，就这样子，好吧，然后接着 我们来看一下逆八，一个动圆和这个圆外切，和另外一个圆内切啊，这个就是表达关系了，求这个动圆的圆心，这个动圆的圆心设为 x y， 那因为它涉及到外切和内切，所以我们也要设一个 r， 但是这个 r 跟这个没有关系，所以我最后肯定是希望把这个 r 给消掉的，我们这个目标要很明确，所以这个过程当中我就知道。哦，我先设这个东西，这是我的第一步， 设完之后呢，由于它外切，那么我们就可以表达什么？表达这个，呃，这个圆心，这是我们要知道的这个轨迹方程。比如说我设为 m 吧， 我们这 m 到 c 一 的距离， m 到 c 一 的距离，这个东西是不是有 x 和 y 两个位置数？它会等于 r 加 e， 然后第二个呢，就是 m c 二，它会等于外切，这个是内切，这个要大一点，所以九减去 r。 好， 然后呢我第三步呢，连立，这个呢谁不要？ r 是 不要的消去 啊，好吧，所以我的思路很清晰，有了这个东西，然后 m c e 呢？我表达出来对不对？这个 c e 是 多少？负三零， 然后 m 到这点的距离呢，就是 x 加三的平方加 y 的 平方开根就会等于 r 加一，然后呢第二个呢？ m c 这个是三零，所以呢这是什么？呃， x 减三的平方加 y 的 平方开根 会等于九减啊，那这个时候呢，两个式子加起来对不对？就是这个加这个等于什么东西，所以我们就会得到这个东西，然后再化减，对不对？化减的这个东西，最后我们就会得到这个东西， 就会跟我们推导的那个过程是一模一样。有没有发现我们加起来等于十，这个东西是不是就是我们椭圆推导的那个东西？然后一下什么说我们有两个方式，第一个我们直接判别他就是个椭圆，因为我们到两个两个定点的距离之和 是一个定值，所以这个和呢，我直接通过这个式子我就能告诉你。好，根据定义他就是个椭圆， 这是第一个方法，那这个时候呢，这两个定点呢？所以 c 等于三， a 等于五，对吧？二 a 等于十啊，是吧？然后这是第一个方法，第二个方法什么呢？哦，我就走刚才推导的那个路径，用纯代数的方法，纯代数两个不一样的方法，好吧，所以呢是这样子的，第一个圆， 第二个圆，一个呢是外切，一个是内切，对吧？然后呢就得到这个关系， 然后呢就会发现这个加这个它等于个定值，所以我说通常来说我们就不需要通过这个，呃，代数的方法来做是最好的。我们直接通过什么？直接通过这个我直接因为有这个定义式，我就能判断它就是个椭圆。并且我知道这个十等于二， a a 等于五，然后呢这两颗是三 负三三，所以 c 等于五，所以 b 等于四啊，所以所有的直接就出来了，好吧。所以这个呢，就是一些简易的一些方法，掌握这个椭圆的一个基本的东西。然后我，我们下节课再去更加深入的去研究这个椭圆。好，我们下节课再见，同学们。拜拜。

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