剪映等边三角形怎么加圆角

大家好，这节我给大家讲一讲如何让尖角的图形变成圆角啊？这个在设计的时候大家可能经常遇到，比如说我随便画一个造型， 我们画出来的这个角全是尖的，如何让他变成圆角，那么我给我对于这个警示啊，注意安全啊，注意啊，提示提醒，这个警告，这个 三角形为例。给大家讲一讲，我们首先画一个这个无边形，调整他的边为三，你看这样我们画出来这个图呢，他，他这个角呢比较尖啊，他这个角比较， 如果说你调整他的圆角，在这里边我们只不能直接调整，只能借助一套呃，一个工具，就是啊，我，我给大家讲过的轮廓图工具啊，轮廓图，选择轮廓图，然后我们调整向外， 向外，在这里边呢调整他的大小啊，这个这个没有标准，可以按你个人的要求。然后我们借助这个角形啊，圆角啊， 这个轮廓的圆角，这样呢我们就生成了一个圆角，呃，生成之后呢，我们要把它拆分开，拆分好，拆分过之后呢，你看这就生成也生成了我们想 想要的这个圆角，包括这个，包括这这种类型的啊，比如说我们想要一个六边形，我们有有时候在做文化墙的时候，这个这个是大家经常遇到的，有的同有的同学说这个 呃，胶太尖了，如果让他变成圆角，我们就用用这种方法啊，就是我刚才给大家讲的这个方法，我们采用轮廓工具啊，轮廓图，然后向外向外调整他的大小， 你看我们默认刚才用的圆角，你也可以用切角啊，切角，但是大家这个不经常用，用的圆角比较多一些啊，你看这样呢，我们我们就把它然后拆分开，右击啊，右击必须在 轮廓这个商标邮寄，他得起作用，如果你在原线上他是不起作用的。所以说我们要拆分啊，一定要把鼠标放在这个生成的轮廓上边邮寄拆分。 这样一来呢，我们就生成了一个这样的圆角的外轮廓，我们把它填上颜色可以，大家可以看到这个就是我们想要的圆角了。好，谢谢大家观看，再见。

各位朋友大家好，这个视频给大家解答粉丝群的提问，圆与等边三角形结合。首先我们来看题目的一条线，如图，在圆 o 中， b 是 圆 o 上一点角 abc 等于一百二十度，弦 ac 等于二倍的根三 弦 b m 平分，角 abc 交 ac 与点 d 连接 m a m c。 第一问呢，求圆 o 的 半径长是多少？ 接下来我们把题目中的已知条件呢标注到图上，角 abc 等于一百二十度，这个角呢是个一百二十度， 但是我会发现这个一百二十度属于特殊的角度，但是对于这个题而言，是没有办法直接使用，因为很明显看到了这个三角形完全不是一百二十度的等腰三角形，对吧？那么一百二十度咋用？大家注意了 在这个题目中的第一个重点，既然题目中给了角 abc 等于个一百二十度进行转化， 在转化的过程中我们要注意了，圆内接四边形有一个非常大的特征是叫对角互补， 那既然对角互补的话，我就知道了，那么在这个四边形中，由于角 abc 呢是个一百二十度，我就能够得到角 amc 其实等于六十度， 那么一百二十度是特殊角，六十度也是特殊角，但是呢，这个六十度目前来说是还没有给更多的有效信息。继续往后看，弦 a c 等于二倍的根三， 弦 ac 等于二倍的根三的话，意味着这段线段长度是二倍的根三。好，这个题第一问呢，要我们求的是半径的长度，那么来看了，既然这个题要求半径的长度，我是要把半径划出来，所以在这个题中，我连接 o a， 连接 oc， 那你看了斑晶这里呢，有 o a， 有 o c， 那 完了之后，这是二百零三，能看什么？是不同弧所对的圆周角是六十度，那么这段弧所对的圆心角这里应该是一百二十度，所以呢，我就能够得到这个角是个一百二十度 了，也就意味着这里的角 a o c 实质上是一百二十度了。 所以在这个题中，实际上得到的是角 a m c 呢，其实等于个六十度。进一步的得到了角 a o c 呢，就等于个一百二十度了。 ok， 那 么接下来呢，要求圆中的半径，我只需要再用一个概念就行了，三角形是一个一百二十度的等腰三角形，所以在这个题中，我们用到的第二个概念就是一百二十度等腰三角形的三边特征。 那么在一百二十度等腰三角形这里是个一百二十度的等腰三角形， 那既然是一比一比根三的话，这个最大的边是二倍根三，所以这个小的边是不就二了？所以既然你是一百二十度等于二三角形，那我就能够得到 o a， 其实等于个 oc 就 等于个二。 那么这个题呢，想要求的是圆的半径长度，也就意味着第一问出来了，圆的半径呢，实质上等于个二就可以了。 ok， 这是我们第一问的做题过程， 在第一问过程中呢，中间求这块的线段长度呢，没有什么用，我把它擦掉了，避免它影响我第二问做题， ok， 那 么继续往后看， 题目中又告诉了弦 b m 平分角 abc， 既然 b m 平分角 abc 的 话，发现整个角 abc 是 一百二十度，那么 b m 把它平分了，意味着上下两个小角是不都是六十度了？ 好，一百二十度去掉。 ok， 这里六十度，这里六十度，六十度完了没有？没有，为啥？同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角相等，这也是六十度， 同样道理，同弧所对的圆周角相等，这也是六十度。 所以这个题中呢，大家要注意了，这个题呢，已知条件给的是 b m 呢，平分的是角 a b c 看似给了一个角平分线，那我最终得到什么？得到了角 a， b m 其实就等于个角 c， b m 呢？等于个六十度。 那么这些六十度的基础上呢，经过转化角度，我发现了是三角形， mac 呢，一定是等边三角形了。 那么也就是说，在这个题的已知条件中，最终我得到了一个等边三角形。等边三角形呢，比较特殊哎，我把这个等边三角形用红色的线描出来， 等边三角形完了之后呢，已知就结束了。但是我看到了你这个题想让我要求的是什么？是不是 ab 加上一个 bc， 是 不等于这里的 b m， 对 吧？那么看到了这里等边三角形，这里 ab 加 bc， 现在 ab 和 bc 是 两地分居，长泰对着吧。 ok， 那 么一个在这，一个在这，它是分开的。那接下来我要想尽一切办法把 ab 和 bc 是 不连接起来了， 连接起来使用的方法呢？就是这个等边三角形带来的。看这里，既然看到了三角形呢， mac 为等边三角形， 那么等邻边共端点。我们在做题中要想到一个非常重要的做题方法叫啥？看见了等边三角形，那我在做题过程中就要用到三角形的旋转，怎么旋转呢？我们旋转的是这个三角形， 这个三角形旋转的时候大家要注意了，看，这里是把 m c 的 这个边经过旋转，是转到了 m a 的 这个位置，然后呢，然后对应的就是把 c 的 这个大角， c 的 这个大角转过来，是转到了 a 的 左侧了。那么在转到 a 的 左侧的时候，大家要注意什么？圆内接四边形是对角互补， 既然圆内接四边形，对角互补的情况下，这个角加这是一百八，那既然这个角再转过来的话，意味着 c b 的 这个边是刚好就变成了 b a 的 延长线了，所以那个转过来实质上呢，刚刚好能够得到一个贡献的事情 啊，刚好就在延长线上了。所以呢，这个其中的 c b 啊，蓝色的线转过来就变成这了，也就意味着我就实现了一个目标，让 ab 加 bc， 其实 ab 加 bc 实质上就等于这个长度了。 好在整个旋转的过程中呢，还有一个线段，那就是这里的 m b 的 长度经过旋转呢，转到了这个位置， 那旋转最终得到的是啥？得到的是右侧阴影三角形，和左侧阴影三角形是全等关系的， 在这个全等中的来，边和边相等，角和角相等，边和边相等，我得到的全等。同时呢，这里有一个默认的信息了，你过来之后，这刚好是一个平角， 意味着把 bc 的 线段长度呢，就转化到这了，也就是说这是点 b 转过来的位置，这是点 c 转过来位置。为了方便呢，我给这标记为 h。 那 这个题想让我们证明， ab 加 bc 等于个 bm， 也就意味着是不是要求 hb 的 长度等于个 bm 的 长度？来进一步考虑，我们刚才的旋转， 由于 m c 转到 m a 数转了六十度，所以这里的 m b 转到了 m h 是 不也应该转六十度？ 既然你转六十度的话，意味着黑色的这个角是不六十度了。既然黑色的这个角是六十度的话，意味着啥？意味着三角形 m h b 也应该是一个等边三角形。那么在这个旋转中呢？我得到了这个三角形，也是个等边三角形了。 那既然得到了这个三角形是等边三角形的话，所以我就能够得到 a b 加上一个 b c 一定就等于个 b m 的 长度。为什么呢？因为说了它是个等边三角形嘛。那么 b m 的 长度一定等于 h b， 而 h b 是 不等于个 a b 加 bc 就 可以了， 所以最终就得到了 ab 加 bc 等于 bm。 任务结束。在这个题从前到后的做题过程中，主要给大家强调了四个重点。第一个重点就是一百二十度的使用。 一百二十度属于比较特殊的角度，没办法用，怎么办？圆内接四边形，对角互补，对角互补也没法用，怎么办？找对应的圆心角一百二十度。 第二个已知条件呢，给了 a c 的 弦长是二倍跟三，又因为有一百二十度，这里会出现一百二十度等幺三角形的三边关系，一比一比跟三，最终求出来了半径是个二。 第三个 b m 呢？平分的是角 abc， 原来有一百二十度，经过平分得到了两个六十度。 在这里，我们利用同弧所对的圆周角相等，实质上能形成一个等边三角形。既然等边三角形都有了，这个题最终的结论是不就出来了？知道了它是个等边三角形，最后一步旋转，经过旋转呢，就能够证明 ab 加 bc 等于 bm 任务结束。 这就是给大家分享的语言与等边三角形结合做题的全部过程。今天的视频呢就分享到这里，更多实用的数学资料我会在群里给大家持续的分享，我们下期视频再会。

c d 二、绘制等宽圆角，先选中里面的矩形，设置半径，点击应用，切换矩形工具，量出这两条线段之间的距离， 把这个数值 ctrl 加 c， 复制切换选择工具，按比例删除这个矩形，然后选中外面的矩形，点击半径的数值框，这个数值不要删除，按 ctrl 加 v 粘贴，点击应用，这样就是一个等宽的圆角矩形了，你们学会了吗？

大家好，今天我们一起来学习平面图形三角形。什么是三角形？三角形就是由不在同一直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形，如图所示。这三个都是三角形，他们的三条边都不在同一直线上，并且三条边首尾顺次相接 三角形按角分类可以分成锐角三角形、直角三角形和顿角三角形。什么是锐角三角形？锐角三角形就是三个角都是锐角的三角形。等边三角形是锐角三角形， 如图所示，这就是锐角三角形，他的三个角都是锐角。什么是直角三角形？直角三角形就是有一个角是直角的三角形，如图所示，这两个都是直角的三角形，他们都有一个角是直角，并且这两条边 互相垂直。什么是顿角三角形？顿角三角形就是有一个角是顿角的三角形。顿角三角形有两个锐角，如图所示，这就是顿角三角形。有一个角是锐角的三角形，有可能是锐角三角形，直角三角形也有可能是顿角三角形。三角形按边分可以分为 等腰三角形、等边三角形和不等边三角形。什么是等腰三角形？就是有两条边相好的三角形，叫做等腰三角形。等腰三角形有两条边相等，等腰三角形有两个角相等，如图所示，这三个都是等腰三角形， 他们有两条边相等，有两个角也相等。什么是等边三角形？等边三角形就是三条边都相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形民族所示，这个是，这就是等边三角形。 三条边都相等，三个角也相等，都是六十度。什么是不等边三角形？不等边三角形就是三条边各不相等的三角形。如图所示，这两个都是不等边三角形，他们的三条边都各不相等。 三角形的周长什么是周长？周长就是封闭图形一周的长度就是他的周长，用大写字母 c 表示。什么是三角形的周长？三角形的周长就是围成三角形的三条边的长度之和。三角形的周长等于 a 加 b 加 c。 三角形的高什么是三角形的高？三角形的高就是从三角形的一个顶点，像他所对应的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段，叫做三角形的高。 三角形的高用小 h 表示。三角形的顶点常用大写字母 abc 表示。三角形的边可以表示成小写的 abc， 还可以表示成大写的 bcacab。 注意，大写的 a 对应小写的 a， 大写的 b 对应小写的 b， 大写的 c 对应小写的 c。 三角形有三条高锐角三角形的三条高都在三角形内。直角三角形有一条高是在三角形内，另外两条就是它相互垂直的两条边。 顿找，三角形有一条高是在三角形内，还有两条高是在三角形外。先把 ac 的边缘过低点，画他的垂线，得到一条高，还可以把 bc 延长过 a 点化它的垂线，得到第三条高。三角形的面积什么是三角形的面积？三角形的面积就是一个三角形所占平面的大小。 什么是面积？面积就是一个封闭图形所占平面的大小。面积用大写 s 表示。三角形的面积等于二分之一 底层高，那他的面积是怎么来的呢？他是从平易四边形的面积推出来的，一个平易四边形可以分为两个完全相等的三角形，所以三角形的面积就等于平行四边形的面积除以二 等于二分之一，底层高。平行四边形的面积又是从长方形的面积吹出来的，长方形是长城宽，平行四边形的面积是等于底层以高。谢谢大家。

大家好，今天我们来讲一下等边三角形入门，这节课主要分为三个部分，第一部分是分析等边三角形这个图形以及它的做题思路，第二部分是 书写计算过程，第三部分是在地面站软件上面把点划出来。好，接下来进入第一部分图形分析与思路。 等边三角形我们知道它是每条边都是相等的，然后每个角都是六十度， 以及它们三角形的外角啊，每个角都是一百二十度，因为等于一百八，减去它的内角六十，算出来就是一百二十度。 好，这个就是大概的这个图形分析。第二部分我们来讲讲怎么写这个计算的步骤来，先看到第一个题， 题目中给的是起飞点到一点是五十度一百米，然后告诉你一到二的横向角，也就是这样的横向角是一百五十度。其次他告诉你他们的边长都是五十米， 我们怎么做呢？首先翻译它这个起飞点条件，起飞点到一点是五十度一百米，那么我们写下来 h 到一就是等于五十度一百米。 现在我们起飞点找到了，接下来就把这个图形给完成啊，从一点飞到二点，二点飞到三点，三点飞回一点。 好，一到二的横向角是一百五十度，飞的距离是这个五十米。 接下来二点飞到三点，他的横向角是这样子计算的， 二到三的横向角是不是这样子的箭头，这样的话，然后我们从一到二飞到二到三，他的箭头是不是从这样变成了这样？所以他是不是进行了一个这个方向的旋转，这个方向是逆时针啊， 然后在计算横向角的时候，我们有一个词叫做顺加逆减， 也就是说当它是顺时针旋转的时候，我们横向角就用加，当它是逆时针旋转的时候，我们横向角就来减， 所以这里是逆时针，所以我们是用一百五十度减，减多少度呢？他转了多少度我们就减多少度啊。这个是外角，外角是一百二十度，所以我们减一百二，算出来就是三十度，距离还是五十米。 好，接下来我们算三到一的横向角，三到一的横向角是这样子的，对吧？ 我们三到一的横向角可以用二到三的横向角来算，二到三的横向角刚刚算出来是这个三十度。 二到三，转到三到一，是不是同样进行了一个这个方向的旋转，这是不是也是逆时针？逆时针，所以就是减，我们用三十度减， 他转的是一百二十度，所以我们就减一百二，然后由于算出来他为负数，为负数，我们就要给他加上一圈，加三百六，算出来等于二百七十度，距离还是五十米。 好，这样子我们这道题就做出来了。 下一题， 这道题题目给的起飞点到一点是六十度一百米，所以我们翻译下来 h 到一就是等于六十度一百米。 他题目中给了横向角是二到三的横向角，也就是说二到三这样的横向角是一百度。啊。 好，现在我们起飞点找到之后，是不是要把这个图形完成一到二、二到三、三到一。好，第一步我们先算一到二、一到二的横向角，我们怎么做呢？来看到啊，一到二的箭头是不是这样子的？ 这样的话，对吧？我们现在已知二到三的横向角是一百度，从二到三转到一到二，他是不是进行了一个这个方向旋转，他是顺时针的，对不对？然后由于顺加逆减啊， 它是顺时针的，所以就加，所以我们用这个一百度来加，加多少度呢？我们转了多少度，它就加多少度，转的度数是一百二， 算出来等于二百二十度，距离还是五十米，等边三角形的边长。 接下来我们算二到三，二到三，题目中直接告诉我们了是一百度，距离还是五十米。好，接下来我们算三到一， 已知二到三的横向角是这样子的一百度，然后怎么算这个三到一呢？ 三到一函数角是这样的，他是不是进行了一个这个方向的旋转，是逆时针的，对吧？所以是一百减，这个角度是一百二， 所以减一百二。由于他算出来是一个负数啊，所以我们给他加一圈，加三百六，算出来我们等于三百四十度，距离还是五十米。好的，这样子我们这道题就做出来了 下一题，这道题题目告诉我们的是起飞点到二点是五十度一百米啊，那我们翻译下来就是 h 到二等于五十度一百米。 好，这道题假设起飞点在这，他是不告诉我们 h 到二，告诉我们这个楞像角，但是呢，我们在软件上面画图，是不是要画 h 到一啊？要画这个起飞点到一点，对吧？所以我们的思路就是 先 h 点飞到二点，接着二点飞回一点啊，二点飞回来一点，然后我们把这个二点一三 在软件上面， h 点就会跟一点连在一起，我们就这样子来求 h 到一啊？好，然后他告诉我们二，一到二的横向角是一百五十度。好，这里我们来找起飞点到一点， 按照刚刚的思路，是不是我们先算二到一，二点飞回来一点二到一的横向角，我们可以用一到二的横向角来算啊。 已知一到二算二到一，他们是进行了一个反向，反向的话就是加减一百八啊。由于他是一个小于一百八的角，所以我们就加一百八，这样子算出来是三百三十度，距离是五十米， 我们也可以减啊，一百五十度减一百八，算出来为负数，为负数，我们要加三百六，这样子算出来也是三百三十度啊，距离五十米， 如果我们减的话，它就要多加一个三百六，但是最终我们算出来的答案都是一样的，都是三百三啊。所以结论就是，当这个角度它是小于一百八的时候，我们直接加一百八，这样子是比较简单方便的。 好，再来解释一下，为什么一到二变成二到一是反向啊？你看，假设一到二的航线角是这样子的，那么二到一它是不是就反过来，对不对？你看一二，一到二，如果是往上，那么二到一它就是往下了，对不对？它们相差的这个度数是不是一百八十度， 对吧？然后他是不是也可以从这个方向转，顺时针转，也可以从这样子逆时针，对不对？所以他可以加，可以减，但是具体是加还是减呢？取决于他这个度数啊。 好，接下来我们的思路是不是把上面这个点删掉，就得到了 h 到一，这样子起飞点就找到了，接下来就是把这个航线完成啊，一到二，二到三，三到一。好， 一到二的航向角是一百五十度，距离五十米啊，然后算二到三，已知一到二， 这样子是一百五十度，算二到三，他是不是进行了一个逆时针旋转，转了这个一百二十度，所以二到三的横向角等于一百五，减一百二，算出来等于三十度，距离五十米。然后三到一，同样还是 逆时针转，转了这个一百二十度，所以它等于三十减一百二，算出来为负数，为负数，我们就要加三百六，然后算出来等于二百七十度，距离五十米。好，这道题就做出来了 下一题，这道题题目给的是起飞点位于一点五十度一百米。这个题我们怎么翻译呢？当我们遇到再或者是位于的时候，我们翻译题干就需要把后面的 写在前面，也就是说把一点写在前面，起飞点写在后面，翻译下来就是一到 h 等于五十度，距离一百米啊。 然后由于我们在软件上面画图是画的是起飞点飞到一点啊，所以是不是要把它变过来，变成 h 到一，他们是不是进行了一个反向，反向他们的横向角是差了一百八的，对不对？所以我们就要五十加一百八， 算出来等于二百三十度，距离还是一百米好。接下来就是把这个图形完成一到二，二到三，三到一，一到二，题目告诉我们了，一百五十度 直接抄距离五十米啊，二到三同样是顺加逆减啊，一到二变成二到三，进行了一个这个方向旋转，转了一百二十度，所以是一百五减一百二，算出来等于三十度，距离五十米。 三到一。同理啊，三十度减一百二为负数，加三百六，算出来等于二百七十度，距离五十米。好，这道题就做完了 下一题。这道题题目给的是起飞点位于三点八十度一百米，也就是说我们翻译的时候把三点放在前面， 三到 h 等于八十度一百米，然后我们把它变回来，起飞点到三点就是八十加一百八，等于二百六十度，距离一百米。 好，现在假设起飞点在这，他告诉我们 h 到三对不对？然后我们可以三点回来一点，然后把这个点一删，我们就得到了 h 到一，这个是我们的思路啊，所以接下来我们就要算三到一。 好，三到一的横向角怎么算呢？题目中告诉我们的是二到三的横向角，二到三这样子是二百五十度，然后三到一的横向角是不是这样子对不对？ 二到三变到三到一，他是不是进行了一个这个方向旋转？所以他是不是逆时针转了？一百二十度就等于二百五减一百二，算出来等于一百三十度，距离 是等边三角形的边长五十米。好，然后我们在软件上面把上面这个点删掉，是不是就得到了 h 到一？好，接下来我们把这个航线完成一到二，二到三，三到一，把我们的航线角算出来。 好，一到二的航线角是这样子的，然后刚刚题目告诉我们，二到三 这样子是二百五十度，对不对？由二百五十度变到这个一到二，他是不是进行这个方向旋转，他是顺时针的，对不对？所以顺加逆减二百五，加转的度数是一百二，所以我们加一百二，算出来等于 三百七十度，他是不大了一圈，所以我们要减三百六，算出来就等于十度，距离还是五十米， 二到三直接就是这个二百五十度，距离五十米。三到一，上面算了一百三十度，距离五十米。好，这道题就完成了，接下来给大家演示一下在软件上面怎么画图啊？主要是体现三点的方式啊， 我使用的是灵动地面站，然后画的图是刚刚我们最后一道题， 好给大家演示一下。呃，第一步我们输的是这个 h 到三的这个点啊，因为我们都是从起飞点开始输嘛，对吧？ h 到三是两百六十度，距离一百米， 生成方式是插入啊，添加三到一是一百三十度，距离五十米。好，然后我们把这个点删掉， 是不是就得到了 h 到一。好，接下来把这个三角形这个横线完成，一到二是十度的五十米， 二到三是二百五十度，五十米，三到一是一百三十度，五十米。好，这样子我们这个图就画出来了。 好的，今天这个等边三号线的入门这个课程，我们就到这里，谢谢大家。

各位朋友大家好，这个视频给大家解答粉丝群提问，圆与等边三角形结合。首先我们来看题目的一个条件， 如图，在圆 o 中， b 是 圆 o 上的一点角 abc 等于一百二十度，弦 ac 等于二倍的根三 弦 b m 平分，角 abc 等等等等。好，第一问呢，让我们要求的是圆 o 的 半径的长。首先呢，我们把这个题的已知条件来标注到图上， 角 abc 等于一百二十度，整个这个角是个一百二十度，但是呢，这个一百二十度它是不在特殊的三角形里边了，那这个一百二十度咋用呢？我们要注意的是啥？第一个重点， 题目中告诉了我，角 abc 呢，就等于个一百二十度，我们要注意圆的角度呢？它可以转化的对着不？我们圆内接四边形有一个非常大的特征是叫对角互补， 既然圆的内接四边形对角互补的话，也就是说角 abc 是 一百二十度，圆内接四边形对角互补 么？上面的这个角 a、 m、 c 是 不是就等于个六十度了？ ok， 所以呢，这个角是个六十度， ok， 那 么也就是说得到了角 a、 m、 c 呢，其实就等于个六十度了， ok， 继续往后看， a z 的 长度二倍根三， 那么 a c 的 长度是个二倍跟三。这个题第一问让我要求的是圆的半径，其实答案已经出来了，为什么呢？因为 a c 的 长度二倍跟三，我们看到了二倍跟三，这个数字数就比较特殊了，对着不。那么在这个题中，你需要连接的辅助线是啥？连接 o a， 连接 o c。 同弧所对的圆周角现在是六十度了，那么同弧所对的圆心角这里是不就是一百二十度了，所以呢，我进一步的能够得到角 aoc 是 个一百二十度， 得到角 a、 o c 是 个一百二十度的时候，大家会发现这里是不一个一百二十度的等腰三角形了，对着不，所以呢，角 a、 o c 等于六十度的。进一步呢，我知道了角 a、 o c 就 等于个一百二十度了，角 a、 o c 是 一百二十度的话，我会发现了，我知道了三角形 a、 o c 为一百二十度的等腰三角形。 看这里，那么既然三角形 a、 o、 c 是 个一百二十度的等腰三角形的话，我们知道一百二十度等腰三角形的三边关系是不是一比一比跟三， 既然是一比一比跟三的话，意味着二倍，跟三的话意味着是二比二比二倍跟三了，所以我很轻松的就能够得到 o a 等于 o c 等于个二， 那么这个题最终答案就是 o a 等于个 o c， 那 么也就等于个二，即这个题呢，想要求半径长度，那么半径等于个二就行了。这是这个题目中第一问的做题过程， 第一问的做题过程中要给他强调的就是已知条件有一百二十度是一个特殊的角度，要给他找三角形，但是呢，这里的一百二十度没有三角形怎么办？圆内接四边形，对角互补，对门有六十度，更重要的是再往回找圆心角是不一百二十度， 所以呢，实质上要用到的一百二十度特殊三角形呢，是 a o c 这个三角形。好，这是我们这个题的第一问，那么接下来呢，我们来看第二问， 在第二问的做题过程中呢，中间的这些信息不咋用了啊，我就把这些取掉了。好，看，这里题目说了啥？弦 b m 平分角 abc 弦 b m 要平分角 abc 的 话，我会发现整个 abc 的 大角是一百二十度，那么 b m 把 abc 平分的话，这个一百二十度我就不要了。那么平分的话，意味着每个小角是不都是六十度了？ 这个小角是六十度还没有完。为什么？我们都知道圆中有一个特征是比较同弧所对的圆周角相同，那也就意味着 am 所对的这个圆周角 abm， 那 一定就等于 am 所对的圆周角是 acm 了，对着不。那么在这个题中呢，我们已知条件给的这个角平分线 bm 呢？平分的是角 abc， 通过这个角平分线呢？我要能够得到啥？得到这两个角是六十度，更重要的是，同弧所对的圆周角相等，那么圆周角相等，角 a c m 也是个六十度了。 同样道理，同弧所对的圆周角相等，和这里的圆周角相等，意味着角 c a m 是 不是也是个六十度了， 对吧？也就意味着已知的平分线呢，就得到了角 a b m 等于个角 a c m 再等于个角 c a m 都等于个六十度了。 既然都等于个六十度的话，我会发现来，你六十度，你六十度，你是六十度。所以最终得到一个结论，三角形 a c m 实质上是等边三角形。 好，那我把不太用的这些条件都去掉了啊，我最终呢，得到了三角形 abm 是 一个哎，三角形 acm 是 一个等边三角形。那么接下来就是这个题的最后一个重点了，三角形 acm 呢，是一个等边三角形， 既然我知道了三角形 a c m 是 个等边三角形的话，来这个题要求的是 ab 加 bc 是 不等于 bm， 来看这里 ab 在 这， bc 在 这， bm 是 不在这，怎么办呢？看见了等边三角形，我要想到一个非常重要的做题方法，就叫做旋转， 旋转，这里转谁呢？实质上呢是转三角形，我用阴影给大家描出来吧。那么旋转呢，实质上是要转这个三角形， 那么这个三角形呢？往左旋转，你会发现这个 mc 这个边经过旋转是旋转到了 m a 的 这个位置。同样道理呢，我知道了 mc b 的 这个角，这个角在旋转的过程中呢，是转到了左侧这个位置。 那么大家要注意了，圆内接四边形对角互补呀。既然圆内接四边形，对角互补的话，说明这个角 加上这个角是不一百八十度，那也就是说这个角转过来，刚好跟底下的 ab 这里是不形成了一个平角，也就意味着你在这里转过来之后，是天然是在延长线上的。 那延长线上之后呢，我会发现，就是把 bc 的 这个线段是不相当于就转到了这个位置了， 所以在这里呢，当我连接了这之后，我能实现两个作用，第一个作用就是把右侧阴影部分的三角形呢，转到了左侧的这个位置。 更重要的是啥，相当于我把 bc 的 这个线段长度呢，转到了这里的位置，所以我可以把这理解为 b 撇和 c 撇的位置。 ok， 那 么这个题呢，想让我们要求的是 a b 加 b， c 其实就是 a b 呢加上一个 b 片， c 片要等于个 b m 的 长度， 那么这个相对来说就比较轻松了，为什么呢？因为我把这个边当时转过到这个边数转了六十度，也就是说 mb 呢，将来转到了 mb 片的位置呢，也应该是六十度，所以 mb 和 mb 片是相等的， 都是蓝色的。并且呢，我能够知道上面这个角是不六十度了。那既然这个角是六十度的话，意味着啥？意味着三角形，这里的三角形呢？ m b 撇 b 呢？为等边三角形， 旋转之后，我能够证明蓝色的这个三角形呢，是等边三角形。那既然证明了蓝色的这个三角形是等边三角形的话，意味着我们已经得到一个结论了， a b 加 b c 呢，将来一定就等于个 b m 的 长度， 对着不把这转过来，形成了这个大的线段，又跟你是相等的，所以它就是等边三角形了。 那么在这个题从前到后的做题过程中注意了，第一，一百二十度怎么用？它可以直接用，也可以得到六十度，当然最终要得到的是圆心角的一百二十度。 第二，圆心角一百二十度了。三角形 a、 o、 c 是 一个以一百二十度为顶点的等幺三角形，半径和半径相等吗？那么利用一百二十度等幺三角形的三边关系一一跟三就可以了。 第三，题目中呢， b m 平分了角 a、 b、 c 有 六十度，那么利用同弧所对的圆周角相等，我实质上能得到三角形 m、 a、 c 也是个等边三角形。 最后要求的这个线段制合怎么办？因为圆体有红色的等边三角形了，我可以进行旋转。在旋转中，大家注意了，是 c 这块的，这个大角转过来刚好形成了 b 片， 这里呢，就实现了 ab 和 bc 加到一起了，最终呢，在旋转中呢，又能够得到三角形 m b 撇 b 是 等边三角形，所以我们就能够得到一个结论， ab 加 bc 等于 b m 任务结束。这就是给大家分享的源于等边三角形结合的做题过程。 今天的视频呢，就分享到这里，更多实用的数学资料我会在群里给大家持续的分享，我们下期视频再会。

今天看一道费马问题，读题如图，已知等边三角形， abc 的边长是一个六 p 呢，是这个三角形内的一个动点，现在问的是 papb， pc 和的一个最小值来看， pa 在这里， pb 在这里， pc 在这里，你会 发现现在这三个线段啊，它的形状其实就像一个爪子一样，三爪形。那么这个爪子呢，三个外侧的点啊，分别都是什么定点？三个定点只有里面这个点呢，它是一个动点，那么 随着屁的运动，你这三条线段都在动，所以如果从这个三爪型去入手的话，他的最小值显然是非常难求的。这个题应该怎么去做呢？来想一下，我们最熟悉的求线段和的这样的一个形状，是不是应该是这种折 线形的，对吧？我们只需要把这两个点找到，然后利用两点之间直线段最短，把它拉直，就可以去求你的最小值了。所以此题呢，我们就要把这样的一个三爪形变成一个三折线形，那 怎么变呢？来看一下啊，我这里选取 abp 这个三角形，把这个三角形呢，以点 b 为旋转中心，给他旋转为， 为什么要旋转？因为旋转出等腰旋转六十度就会出现，等边有等边了，就有边相等，我们就行， 就可以进行边之间的一个转移。好来看，把它以点臂为旋转中心，往外旋转六十度，那么此时也就意味着这块啊， bp 到 bp 片呢，这是一个六十度，同时 ab 到这 个 a 撇 b 啊，也是一个六十度啊，这也是一个六十度。那么另外这块叫 a、 b、 c 也是一个六十度啊，这块有这么多的六十度，大家注意了，好，你看这样旋转完了之后呢，我们把 p p 撇一连，这里 的 bp， pp 呢？他就是一个等边三角形，所以此时我们就可以把 bp 给他转到 ppp 的这个位置去啊，这两个是相等的， pc 不动， pc 不动，那么 旋转前后呢？这个 a p 和 a p p p 应该也是一致的啊，所以我们这里把 a p 就给他转到了 a p p p 的位置。那么接下来看一下 p 加 p 加 p c， 他是不是就是 a a p p 再加一个 p p 再加一个 pc， 好来看 这个三折线，他的两个短点， a 一撇 c 是两个定点，所以此时我们只需要把这两个点给他，哎，连起来，那么你的最小值就是谁呢？哎，你的最小值就是 a pc 的长度，那么 apc 好不好求呀？非常好求， bc 等边三角形的边长六，那么 apb 呢？就等于 ab 也应该是一个六，而且这一块是一个多少度？ 六十度，再加一个六十度，所以这块这个大角是一个一百二十度，那么 a p b c 就是顶角为一百二十度的等幺三造型，一比一比跟号三，那么对应的地边就是六倍的跟号三，所以你的最小值呢？也是六倍的跟号三，所以啊， 废马问题，它的关键就是把三爪形变成三折线图，那么这样的一个图形改变的关键又是旋转旋转出等腰，旋转六十度出等边，关键点，你记住了吗？

这个视频我给你讲讲等边三角形。你知道等边三角形是正三角形，三条边都相等，三个角也相等，都是六十度， 他是特殊的等腰三角形。当等腰三角形中有一个角是六十度，他就成了等边三角形，不信你看。如果等腰三角形一个底角是六十度，那等边对等角，这个角也就是六十度，三角形内角和是一百八，这个角显然也得是六十度，他就得是等边三角形了。 那如果等腰三角形的顶角是六十度，那这俩角的合就是一百八减六十得一百二，每个角自然都是六十度，他也是个等边三角形。所以含有六十度角的等腰三角形就是等边三角形啦。 既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那等腰三角形的性质他都有。比如三线合一， 取 bc， 终点 d， 连接 adad， 显然是中线，当然也是高，也是角平分线，那这两个角就都是三十度。如果你把方向换一下，取 ac， 终点 e， 那 be 就是中线，显然 ba 等于 bc， 这条中线，三线合一， 就也是高，也是角平分线，再换个方向取 ab， 终点 f， 那 cf 还是中线， 这两条边相等，那他就还是三线合一，这是高，这就得是角平分线。你看，正三角形有三条三线合一，而他们刚好交于同一点，这个点叫正三角形的中心。 正三角形的性质相当好用，来个小提试试呗。他说等边三角形 abc 周长是十二，也就是说这个三角形是个等边 三角形，周长是十二，那每条边就是四呗。然后 d 是 bc 边上的终点，这个点是终点，那他就是中线呗。哎，三线合一，那这就得是直角，这得是角平分线，这两个角就都是三十度， 还有 d e 等于 d b， 也就是这两条线相等。他问 ce 的长度是多少，也就是要求这段长似乎不太好做。别急，先根据已有的数字把能求的线段求出来。 这是四，他是终点，那这两段就都是二，感觉他离目标线段很近呢。这要是个等腰三角形就好了， 那咱就倒脚正一下，这是三十度，这两条边相等，那这个角也是三十度，这个角是三角形的外角，他是六十度，等于这两个角的合，那他就是三十度， 那这就是个等幺三造型了。这两条边相等，他也是二，这就是答案了。搞定！ ok， 又到总结时间，等边三角形，三条边相等，三个角都是六十度，有三条三线合一，而且等腰三角形中只要有六十度，他就是个等边三角形啦！好了，为师这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

好的，同学们，接着我们继续来学例题四了，在这先跟老师一块读读题目吧。这个题目说，根据下面的要求动手拼一拼，这题要干什么啦？同学们， 拼拼图形了，对吧？嗯，来看有什么要求吧。第一小问，说了，用下图同样大小的三个， 三个整边三角形拼成一个梯形，哎，同学们， 这等边三角形是不是在下边呢？对吧？嗯，在这等边三角形是一种非常特殊的三角形，为什么这么说呢？因为他的三条边都是相等的，所以他才叫做等边三角形，对不对？同学们，嗯，那在这这三个图形拼一个梯形怎么 听嘛？在这我们来观察一下吧。先跟王老师动动脑筋想一想。在这你看，如果我都向中间这个图形看题，哎，我这两个呀，都拼到这上面来，你看行不行呢？ 咱们来试一试吧。嗯，在这如果我这个图形要拼到这上面，我直接把他俩粘一块，你看行不行呢？粘完以后是不是我画个小号的，在下边画个小号的， 如果这么粘行不行呢？不行，这么粘，粘完以后中间还缺个空呢，对吧？嗯，不太好看。那在这我们怎么办呢？你看啊，我在这我把这个图形，哎， 跟他这么一粘，画的不太标准，再画一次，我把这个图形一条边跟他粘一块，你看，这么粘，行， 我想要。同学们，嗯，可以吧。在这你看，现在这个图形我是不是粘到这块来了， 对不对？这个图形还是在这呢，对不对？嗯，对吧？好，现在这是个什么图形啊？这是个平行四边形，对吧？嗯，在这我粘了几个了？粘了两个等间三角形，对不对？嗯，是不还缺一个呢，对吧？那这个怎么粘呢？同学们， 这个你看看我往这边再粘，行不行？看一下。 好，现在粘完以后这两个图形是不是都没了？嗯，对吧？一个被王老师粘到了他的左边，对不对？嗯，一个被王老师粘到了他的右边，对不对？嗯，现在 站出来是一个什么样的图形呢？同学们，嗯，梯形是不是一个梯形呀？对吧？嗯，而且是一个等腰梯形，对不对？嗯，好，这是一种情况吧。同学们，嗯，你自己可以准备三个这样的等边三角形，自己试一试。这个情况很多，可不止这一种哦，你 先动手试一试。接着我们继续来讨论一下。好，同学们，这题你都粘出来了吗？ 在这你用的方法跟王老师是一样的吗？我相信有很多小朋友呀，都有自己不同的想法，对不对？刚才我们是把这两个图形是不是占到了他的左边和右边呀？嗯，对吧。同学们， 那现在你还有什么样不一样的想法吗？你看我能不能这两个图形不动呢？你看 这张图形不动，他脸张完以后应该是个这样的形状，对不对？嗯，对吧。 那如果我在这再补上一个三角形，哎，现在是个什么图形了？同学们，梯形现在也是一个梯形了，对不对？嗯，所以在这如果我要给这补上一个三角形的话，我这图形得怎么办呢？ 我这图形给他倒个个是不就行了？嗯，对吧，你来看我演示一下。哎，你看 道，个个一拼，是不就变成一个梯形了，嗯，对不对？这个题是不是很简单呢？对吧？嗯，在这啊，咱们想法是很有很多很多种的，但是你一定要知道拼完以后梯形是个什么样子的，哎，你要先把梯形的形状想出来，对吧？嗯， 然后再动手一拼，是不是就很简单了，对吧？好，接着我们来看第二小问吧。 再这样，第二小文说了，用两个同样大小的直角三角形，哎，直角三角形拼成一个平行四边形，同学们，还在这下边的直角三角形是不是已经给你了，对吧？嗯，什么样的三角形叫做直角三角形？ 有一个角是直角，这样的三角形就叫直角三角形了，对吧？嗯，那这个直角三角形我怎么给他拼成一个 平行四边形的？同学们，你是不是得先得回忆一下，什么样的图形叫做平行四边形呀？对不对？那在这我们说啦，平行四边形是不是上下两 条边一定要是平行的，对吧？左右两条边也得是平行的，对吧？你看王老师画一个，嗯，画到这边 这样的图形是不就叫做平行四边形了，对吧？嗯，想起来了吗？他也是我们的老朋友了，对不对？我们在秋季班平面图形另一边是不是已经认识到这个平行四边形了，嗯，对吧？好， 那现在你观察一下吧，我这两个图形怎么拼能拼出来一个平行四边形呢？在这这两个图形我随便一拼，你看我，我把这个图形往下边一粘， 粘出来这样的图形。这个是平行四边形吗？同学们，不是，这肯定不是，对吧？那怎么样能拼成一个平行四边形呢？你是 不是得把同样长的两条边粘到一块啊？嗯，对不对？所以在这你看我这条边应该跟哪条边粘一块呢？ 这条边应该跟跟他一样长的是谁呢？是不是这条边呢？同学们，是，对不对？哎，这两条边是不是应该粘到一起啊？对吧？那你看这个一粘怎么怎么办呢？在这，哎，这个要粘到这来，粘完以后是不是个这样的图形呀？你看一看啊，我把它 画出来，粘完以后往下是不是一个这样的图形了，对吧？同学们？嗯， 这粘完以后是不是一个平行四边形？是啊，是的，对吧？嗯，这是咱们的第一种方法，对不对？嗯，再这样，我是不是把这最长的这个边粘到一起了，对吧？嗯，你还有没有其他不 同的方法？咱们只要把相同的哎一样长的两个边粘一块是不就行了？嗯，对吧，那接着想想还有没有其他的想法呢？在这你看我最短的这条边粘到一起，行不行？ 最短的这条边也就说我这条边要和这条边站到一块，对吧？嗯，站完以后我得把这个图形给他移动一下吧，对吧？你看站完以后是个 这样子的图形，对不对？嗯，好，那这样子的图形是不是一个平行四边形的？同学们，嗯，也是的，对吧？嗯，所以在这我们方法也是不止一种的，对不对？嗯，跟王老师一块来看看动画吧。在这你看这第一种拼法，他是把短的这两条边 拼一块了，对吧？嗯，拼完以后是一个平行四边形，对吧？接着来看第二种拼法是怎么回事？ 哎，第二种拼法，他是不是把哎这条长一点的直角边拼到一起啦？嗯，对不对？同学们，在这你看这两种拼法都可以拼出一个平行四边形，对吧？但是一定记住了，我怎么样能拼出一个平行四边形呢？一定是把 同样长的两个边拼到一块的，对不对？嗯，对吧？好，这就是我们绿皮丝了，绿皮丝都在拼图形，对不对？咱们第一小问来回应一下，第一小问是拼了一个 梯形，对吧？嗯，第二条纹是拼了平行四边形。在这你如果想把图形拼好，你是不是首先要知道你拼完以后的图形有什么样 特点，对不对？嗯，对吧。所以我们的老朋友，那些平面图形你千万不能忘了他。好，同学们，这是我们的米提斯啦。