八年级上册数学几何试卷追梦之旅

同学们好，今天给大家分享的是实验实验中学和北京路中学数学期中联考卷的第二十三题，这 道题一共有三问啊，其中一、二问大部分同学都能做出来，还是比较容易的，主要就是在于第三问，很多同学不知道如何从条件入手去求出 a、 o 的 长，那么一会我会着重的跟大家讲一下这一问。那我们先来看到第一问吧。 第一问，如图一，求证三角形 a、 b、 e 全等三角形 b、 c、 d。 那 我们我们可以用红笔将这两个三角形描出来，方便我们后面去找条件。然后我们再来一起读题。在等边三角形 abc 中， 那我们是不是可以得到这个等边三角形 abc 中三条边都相等，所以 ab 就 等于 bc。 这边三角形还有一个特点就是它的三个角也都相等，等于六十度，所以这个角 a 是 等于角 cbd 的， 等于六十度。继续看条件，点 d、 b 分 别是 abac 上的点 b， d 等于 a、 e， b、 d 在 这里， a、 e 在 这里。那现在是不是三组条件都已经齐了呀？而且这个判定条件是什么？边角边？那我们来一起写一下啊。 首先是根据等边三角形，我们可以得到 ab 是 等于 bc 的， 还有一组角角 a 是 等于角 cbd 的， 还有一组边啊， a、 e 是 等于 b、 d 的， 这个三角形全等的判定条件是边角边啊。最后一定不要忘记去写了，好看到第二本，如图二，以 c、 o 为边作等边三角形 c、 o、 f， 那这里有一个等边三角形， c、 o、 f 这里也有一个等边三角形。而且它们还有个特点，就是共什么呀？共顶点 c， 那 这样的特征可以构成什么模型呀？是不是就是等边三角形手拉手模型？ 那手拉手模型是不是可以震一组全等三角形呀？那我们来看看啊，怎么去震？ 首先是不是要区分这个等边三角形的左手和右手呀？那我们先来看这个等边三角形 c、 f、 o 的 左手是 c f， 右手就是 c o， 等边三角形 a、 b、 c 的 左手是 a c， 右手就是 bc， 然后左手拉左手，我们将 c、 f、 a 就 连起来了，右手拉右手，我们就将三角形 c、 o、 b 连起来了。所以我们最后要占的这个三角形全等啊，就是这两个三角形 三角形 c、 f、 a 全等三角形 c、 o、 b。 那 我们来一起看看啊，它是用哪三个条件去证的？首先 c、 f 是 等于 co 的， c a 又等于 c、 b， 然后还有一组角，这组角在这里，这是角一，这是角二，这是角三。因为角一加角二等于六十度，角二加角三是不是也等于六十度啊？ 所以我们可以得到角一就等于角三。那同样，这两个三角形全等的判定条件也是边角边， 那么得到这两个三角形全等之后， fa 就 等于 ob， 我 们就证明了，证明完成了。好，我们再来继续看到三问，他说如图三，在二的条件下，二有哪些条件呀？ 是不是有以 c、 o 为边作等边三角形 c、 o、 f。 而且刚才在第二问，我们证明了什么？三角形 c、 f、 a 全等三角形 c、 o、 b， 那 我们是不是依然可以用这个条件呀？ 最后我们还证明出了 a、 f 等于 b、 o， 所以 这个条件我们也是可以用的，而且你看它专门写了在二的条件下，所以啊，这个条件我们肯定会在证明这道题的过程中用到，不要去省略掉弱点。 g 是 bc 的 中点。 好，那 c g 就 等于 g b 连接 a o g o 弱， g o 等于三，求 a o 的 长。 你看，这里是不是只给了一条边的长度呀？让我们去求 a o 的 长度，那 a o 是 不是大概率就跟这个 g o 有 关？然后 g 又是什么呀？中点？所以我们应该自然而然地想到什么方法背长中线。 什么是被长中线呀？就是将这个中线怎么样延长，延长 o g， 使 g m 等于 o g， 再连接 b m。 那做完这条辅助线之后，我们是不是给大家总结了几个结论呀？首先，我们可以得到一组八字形全等，就是这个三角形 c g o 全等三角形 b g m 全等的判定条件是边角边啊。好，我们来一起写一下。为什么呢？因为 c g 是 等于 g b 的， 我们又令这个 g m 是 等于 og 的， 所以 og 是 等于 g m 的。 还有一组角，就是对顶角相等角， c g o 等于角 b g m， 所以 判定条件是边角边。那还有一个结论是什么呀？ 是不是可以得到这个 co 是 平行 b m 的， 而且 co 也是等于 b m 的。 那我们知道 co 是 等于什么呀？ f o 的， 因为这是一个等边三角形，所以 co 是 不是就等于这个 f o f o 又就等于什么呀？ b m 了？因为 b m 是 等于什么呀？ c o 的， 那又 fa 等于 o b， 那 我们是不是可以这这两个三角形全等呀？ 因为我们已经找到了两组条件呀。你看哦， f o 是 等于 b m 的， f a 是 等于 b o 的 啊，那我们证这个三角形 f a o 全等，三角形 b o m。 先把这两组条件写出来， f a 等于 ob， 这是我们第二问就证出来的， f o 是 等于 b m， 那这两左边是不是刚好有个假角啊？那这两个假角相不相等呢？那我们来一起看啊，这也就是相当于要正这个角 和这个角相等，那我们知道啊，这个角 a f c 是 等于角 b o c 的， 因为在呃第二个，我们知道三角形 c f a 和这个 c o b 全等，所以这个角就等于这个角等于一百二十度。 那又因为这个角是什么呀？六十度，是不是所以角 a f b 是等于六十度的，那么这个角是六十度，这个角是不是也是六十度？那么两个内错角相等，是不是 af 就 平行 oc 了？ 那我们说这个 oc 又是平行 bm 的， 根据平行的传递性， af 是 不是就平行 bm？ 平行之后可以得到内错角相等，所以角 afo 就等于角 m b o 等于六十度。那么最后的判定条件就是边角边全等之后，我们是不是就可以得到对应边相等，那么 a o 就 等于 o m o m 是 不是就等于二倍的 o g， 所以最后就算出来差是等于六的啊。这道题啊，主要就是我们一定要充分的去利用第二个的条件，正这个三角形 c f a 和 c o b 全等，那么得到对应边相等， 其次就是要用好这个中点啊。想到被长中线，好，这道题就讲到这里。

同学们，今天我们一起来看一道八年级上册的手拉手模型的题目。看题，在直线 a、 b、 c 的 同一侧做两个等边三角形，也就是三角形 a、 b、 d 与三角形 b、 c、 e。 我 们做完这两个等边三角形后，又把 a、 e 与 d、 c 连接起来了。 第一问，我们要证明 a、 e 与 d、 c 是 相等的，这个时候我们应该如何证明？一般是通过三角形的全等得出对应边相等，这个时候我们发现它所在的三角形 a、 b、 e 与 d、 b、 c 应该是全等的。我们应该用到哪些条件呢？因为它是个手拉手模型，中间的 b 点就是它们的公共点。 从公共点出发，我们发现 b、 d 与 b、 a 是 相等的， b、 e 与 b、 c 也是相等的，有一组边了。然后我们再找对应角，因为等边三角形的三个角都是六十度，所以角一等于角二等于六十度。 这个时候我们发现中间还有一个公共角，所以我们角一加角三与角二加角三的和是相等的，那么我们就可以通过边角边、边角边来正全等就出来了。我们应该如何书写呢？第一步，先写证明。 因为我们要用到等边三角形的对应边相等，所以第一问，我们要先写上三角形 a、 b、 d。 三角形 b、 c、 e， 它们为等边三角形， 所以我们就得出来了， a、 b 是 等于 db 的， 同理 e、 b 也是等于 c、 b。 还有一个角一等于角二等于六十度，这个时候因为角一加上角三等于角二加上角三，所以我们就可以得到角 a、 b、 e 是 等于角 d、 b、 c 的， 这个时候就可以证全等了。在三角形 a、 b、 e 和三角形 d、 b、 c 中，首先我们先写边，就是 ab 等于 db， 然后我们再写角角 abe 等于角 db、 c， 接着我们再写最后一组边，就是 e、 b 等于 c、 b， 那 么所以三角形 a、 b、 e 就 全等于三角形 d、 b、 c。 我 们的判定依据一定要写上是 s、 a、 s， 判定完以后，它所以对应边相等就正出来了。 a、 e 是 等于 dc 的， 这是第一问，第二问，我们要求线段 a、 e 与 dc 所夹的角 a、 f、 d。 这个时候我们一般会通过八字模型来找看老师给你画的这个线段，我们把它描起来以后，看这个八字模型， 首先我们这标上一个四和五，四和五，通过第一问的全等我们就可以推了出来了，这个时候发现六和七又是一组什么呀？对顶角，因为三角形的内角和是一百八十度，八字形现出来以后，我们就可以得到所求的角与角一是相等的，也就是六十度。写的时候我们应该如何写？先写解， 然后第一问，我们是正完全等了，我们应该写由全等可知，我们角四是等于角五的，然后又因为什么角六等于角七，它们俩是因为是一组对顶角，所以它们是相等的。 然后同样在三角形里面，我们发现角 d、 f、 a， 它是等于一百八十度，减角四，再减角六， 然后角一呢，它也是等于一百八十度，减角五，再减角七的，所以说我们就可以用等量代换得出来了，角 d、 f、 a 是 等于角一的，所以就是等于六十度，也就是所以角 a、 f、 d 的 度数 为六十度。这就是我们今天讲的手拉手模型，同学们喜欢的话给老师点个关注吧！

好，我们接着来看到第二十四题。已知在平面直角坐标系中，三角形 abc 的 顶点 ac 分 别在 y 轴、 x 轴上，斜角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc。 这里，这里是一个等腰直角三角形，如图一， a 零负二，那我们可以得到 a o 是 等于二的， c 一 零， c、 o 就 等于一。 当点 b 在 第四项线时，求 b 的 坐标，那我们知道求 b 的 坐标是不得知道它到 x 轴和 y 轴的距离啊。那我们自然而然呢，就应该想到我们要做一条辅助线，这个辅助线是什么呀？垂线， 所以做 b、 n 垂直 x 轴，那看，这里有一个垂直，这里也有一个垂直，这里还有一个垂直。一共有三个垂直，而且它们还经过一条直线，这就是一线三垂直。 那我们是不是可以这一组三角形全等啊？就是三角形 c、 o、 a 全等。三角形 c、 b、 n。 三角形 c、 b、 c 全等的判定条件，我们一起来找一找啊！ a、 c 是 等于 bc 的， 还有一组直角叫 a、 o、 c 等于角， bnc 都等于九十度。还有一组角，我们看这里，这是角一，这是角二，这是角三。角一加角二是不是等于九十度？ 角二加角三也等于九十度，所以角一就等于角三，这就是第三组条件，同角的与角相等，判定条件是角角边 得到全等之后，我们是不是可以得到对应边相等呀？ c， n 就 等于 o， a 就 等于二。我们想要求 b 点的横坐标，是不得知道 n o 的 长呀。那么 n o 是 等于 c， n 加 o， c 的 c n 是 二， o c 是 一，就是二加一等于三。 b n 是 等于 oc 的， 等于一，所以 b 点的横坐标我们就知道了， b 是 三，纵坐标是负一。 好，我们接着来看到第二个啊，若 a、 o 平分角 b a、 c 啊，这里的 ab 需要换一下位置， 那我们是可以得到角一是等于角二的，过 b 做 b e 垂直 y 轴于点 e， 证明 a、 d 等于二倍的 b e。 那 我们看这里有一组角相等，我们再把它延长， 再延长 a、 c 延长 b、 e 是 它们相交于点 m， 这里是不是也有一组角相等啊？这两个角都是等于九十度的，还有一组边 a、 e 是 公共边啊，所以可以正三角形 a、 e、 b 全等。三角形 a、 e、 m 全等的判定条件就是角一等于角二， a e 等于 a e， 角 b e， a 等于角 m e、 a 都等于九十度，那么判定条件是角边角。 那么得到这一组三角形全等之后，我们是不是可以得到对应边相等 b、 e 就 等于 e m， 那 我们看这里有二倍的 b e， 二倍的 b e 等什么？是不是就等于 b m。 所以 我们现在是不是就相当于需要去证 a、 d 等于 b m。 那我们来看啊， a、 d 在 这里， b、 m 在 这里，我们是不是可以找到一组三角形全等呀？看到这里啊，三角形 a、 d、 c 和三角形 b、 c、 m。 那我们来一起找找条件啊！ b、 c 是 等于 a、 c 的， 这是题目上就已经写了 b、 c 等于 a、 c， 这里是不是还有一组直角呀？角 b、 c、 m 是 等于角 a、 c、 d 还有一组角啊，我们看看啊，你看这里是不是有一组八字模型呀，所以这个角三加九十度是等于角二加这个九十度的，那角三是不是就等于角二了呀？ 所以这组三角形全等的判定条件是角边角， 那么全等之后是不是就可以得到 a d 是 等于 b m 的， 那 a d 等于 b m， b m 又等于二倍的 b e， 所以 a d 就 等于二倍的 b e 啊。这一问主要就是我们要能够延长这个 b e， 延长 a、 c 相交于点 m， 在 这两次全等。好， 我们再来看到第三问，如图三，当点 c 在 x 轴正半轴上运动，点 a 在 y 轴正半轴，点 b 在 第四项线 做 b d 垂直 y 轴与点 d 试判断 oc， oc 在 这里， b、 d 在 这里与 o a 的 关系，这是不是涉及到了线段的和差关系啊？那我们是不是应该想到截长补短的方法呀？ 那么这道题啊，不是直接去解长的，我们是需要巧妙地利用这个矩形的特点。我们做 b m 垂直这个 x 轴，那这里是一个直角，这里是不是也是一个直角？所以这个四边形 o m、 b、 d 就 构成了一个矩形，那么矩形是不是对边是相等的，所以 b、 d 就 等于 o m 了。 我们知道 o c 是 等于 o m 加 mc 的， o m 现在是不是等于 b d 啊？那么我们把 b、 d 放上去， o c 就 等于 b d 加 mc， 那 现在是不是只有这个 o a 没有出现呀？如果这个 o a 等于 mc， 那是不是就可以刚好构成 o c 等于 b d 等加上 a c 了？所以啊，我们来看到这个 m c 怎么去等于 a o 呢？我们把它放在这两个三角形中去，这三角形 a、 o、 c 全等三角形 b m c 还是一样， a c 是 等于 bc 的， 还有一组直角角， a、 o c 等于角 b m c 还有一组角，我们来看到这里啊，这个角 a、 c b 是 一个什么呀？直角，这是角一，这是角二，这是角三。那么因为角一加角二是等于九十度的， 角二加角三也等于九十度，所以角一就等于角三。 那么这一组啊，三角形全等的判定条件也是角边角，那我们就可以得到这个 m c 就 等于 o a 了， 那 o c 就 等于 b d 加 m c 等于 b， d 加 a， o a， 那 最后我们再总结一下，就是 o c 是 等于 b d 加 o a 的。 好，这一问啊，主要就是我们要去找他们三条线段的关系，那么他们一般就是两两相加等于另一条长线段，我们可以用这个截长补短的方法。好，这道题就讲到这里。

大家好，今天我们一起来看这样一道八上的几何问题。它说如图，在四边形 a 当 e c 中角 a c， e 等于九十度，我们给它标一下 a c e 这个角是九十度，当 e 垂直 c b c 当且 a c 等于 a， 当等于 c e， 那 我们来标一下 a c 这个边，这个边等于 a， 当在哪？ a 当在这还等于 c， 然后他现在让我们求证， c 当等于二倍 a， 哎，你看 c 当等于二倍的当 e， 他们两个都不在一个直线上，我们怎么进行比较呢？对不对？我们又不知道他们这两个三角形的两边长分别是多少，我们怎么去比较？ 那这个时候我们发现这里有一个什么三角形，是不是有个等腰三角形呀？因为题目中告诉我们， ac 等于 a 杠， ac 等于 a 杠 等边对等角。哎，我们是不是可以得到等腰三角形？等腰三角形他是不是有三线合一的性质呢？那如果说我在这里给他做一个中线，我和 a 连起，我说这个点为点 f， 你 看 既然是中线，是不是这个 c f 就 等于二分之一的 c 档，换句话说就是 c 档等于二倍的 c f， 那 我们现在只需要证明 这个线段和这个线段相等，它两个怎么证明呢？哎，你看啊，上面的这个边和这个边是不是相等，这是不是有个直角呀？那么接下来我们现在就是要构造一个全等三角形。 好，我们现在先写辅助线证明。首先过点 a， 做 c 档的，过点 a 做 c 档的中线。既然是中线，所以说 c f 等于到 有问题吧？那这个时候我们要注意啊，现在你看有一个边对应边相等，还有一组对应角相等，这个时候我们可以需要一组。什么 需要一组？因为他这两个这个角和这个边没有连在一起，所以说我们现在不能用，不能找边，因为如果找边的话，用的是边边角、边边角，我们大家知道我们有办法去确认全的，那这个时候我们可以用角角边来找 角角变，我们怎么去找这个角呢？哎，你看这是不是有个九十度呀？这个角 a c 当 加上这个角当 c e 是 不等于九十度？哎，这个当 c e， 这个角是不是在三角形 c 当 e 的 内部？那它和角 e 相加是不是也等于九十度？哎？等量代换，这个角 是不等于这个角？好，我们现在怎么写呢？因为角 a c 到加上角，当 c e 等于 角，当 c e 加角 c， 你 看 等量、减等量还是等量？所以角 a、 c 到是不等于角 c 这个角等于这个角， 他俩脚上倒，我们是不是可以正全倒？因为你脚两边正全倒，所以我们写在三角形哪个角形呢？ a、 c、 f 在 三角形 a、 c、 f 与哪个三角形 a、 c、 f 是 不是就是 c e 档与三角形 c e 档中角角边啊？因为我们来写条件，角 a c 档等于角 c e 档，这是一个角，还有一个直角，对不对？角 a、 f c 等于角 c 等于对不对？那这个地方我们正的是九十度，但是我们没有明确写出来，这个时候我们可以连等等于九十度， 还有一个什么条件呢？题目中是不是告诉你了对不对？所以 还可以得到什么它，它等于它，它三个连等了呀？那我们直接就可以得出，所以还有个条件， a c 等于 c e， 所以 我们可以正数三角形 a c 到全等于三角形，对不对？理由是 a s 边边角边。好的，那我们现在既然称出了全等，我们是不是可以得到？所以当 e 等于 c f， 我 们这里说过了，你看当 e 啊， 等于 c f， 我 们正出来了，就是因为全等三角形，我们推出了全等，你看这一种主要是在成全等，推出全等目的就是为了得到等于 c f， 那 我们知道中线，他既然是他的中线，那所以说 c f 又是二分之一的 c 档，对不对？ 等于等于什么档？反过来，所以 c 档等于二倍的。 那好了，这就是这样一道八上的几何问题。我们在正一个三角形，他就是两条边，他的之间的关系的时候，我们得把这两条边转换到一条线上，我们才可以进行计算。 这种题目主要是做辅助线，去构造什么呢？去构造全等三角形。好了，这就是这样一道八上的几何问题。

数学课堂激情飞扬，跟着宋老师一起进入思维的殿堂。各位同学大家好，我是火光课堂初中数学的宋老师，我们这周呢给大家分享一下巴蜀初二半期最后一个题的最后一个小问。 好，这个小问呢，同学们在考试的时候可能看这个题目的描述啊，就不想看了。好，那我们今天呢就给大家详细的去分析一下这个题目。好，第三个，它说如图三啊，点 d 呢？在射线 ca 上啊，这句话很重要啊，它是在射线 ca 上， 那也就说 d 呢，它有两种状态，它可以在线段 c a 上，也可以在 c a 的 延长线上。 ok， 它有两种啊，位置情况， 然后点 l i 是 线段 b c 上的两个定点啊，不与 b c 重合，然后去连接啊。呃， a l a i l 加上角 al i， 再加上二分之一的角 b a c 是 等于一百八十度的。好，那我们根据三角形的内角和，我们可以知道啊，这个角 a i l 加上角 a l i， 再加上角 i a l， 它是等于一百八的。那也就是说我们就可以知道自己的呃，角 i a l 呢，它就等于我们这里的二分之一的角 b a c。 而题目告诉我们啊，这个三角形 a b c 呢，它是一个等边三角形，所以说 b a c 呢，它就是六十度。那所以我们就可以知道 i a l 这个角呢，它是三十度啊，它是等于三十度的。 好，接着往下看，他说啊， m r s 分 别是线段呃 l i， a i 和 a l 上的一点，然后去连接 m r r s m s。 当 m r s 这个三角形的周长最小的时候。好，来第一个问题，我们先解决 这个三角形啊， m r s， 它的周长什么是最小？好，来，我们看，我们要去算这个周长的最小值啊，我写在哪？呃， 好，我写这吧。好，来算周长的最小值。三角形啊， m r s 啊，它就等于我们的 m r 再加上 r s， 再加上我们的 ms， 好， 来，要求三条线段和的最小值，哎，那这里我们就，呃，会想到我们可以去利用将军一马模型去做，对不对？好，但是这里问题来了，哎，我们将军一马问题呢，它至少会有 一个定点啊，但是这里呢， m r s 它三个点都是动的，哎，有人说老师它都是动的，我就处理不了。好，那你看，那既然我们哎要用将军密码模型去解决，然后这里呢，又要这三个点其中有一个点是定点，那你就去 确定一个呗，你就假设一个点固定不动呗。好，那么这里假设哪个点不动呢？哎，对，我们就假设这个 m 点不动啊，假设 m 点不动，因为为什么呢？因为 m 它的位置比较特殊嘛，对吧？它在 b c 这条线段上啊。 ok， 好， 那我就假设这个 m 不 动， 好，那你看，就变成什么，哎， m 不 动，我就要去求 ms 啊， rs 要求 mr 这三条线段合得最小值来， rs 是 动的， m 不 动。哎，那这里，哎，我们就 用我们将军印码模型最基础的呃，解决问题的逻辑，对吧？就是去做定点关于动点所在直线的对称点，哎，打 我们要求和的啊线段啊，给它连成一条折线，就是把要求和的两条线段，比如说，哎，求 rs， 求 ms 和的 最小值，哎，要把求这两条线段和最小值，我就把这两条线段放到动点所在直线的 e 测去，哎，这样子我才能，哎给它形成折线，然后我才能够给它连成，呃，线段，根据两点之间线段最短，去求我们的最值，对不对？好，那这里来，我就去做 m 点，关于这个 a l 的 对称点， 我把它记作 m 一， 然后呢？再去做 m 点，关于这个 ai 的 对称点，我把它记作 m 二， 好，然后呢，我再把这里的 m 二 r 和这里的 s m 一 给它连起来， 好，那这里我们就可以知道来，呃，这个 ms 是 等于 m 一 s 的 mr 是 等于 m 二 r 的。 好，那这里 这是 r s。 好 了，你看，这里，我们要求这三条线段回到，回到最小就变成了 mr， 它是等于 m 二 r 的， 然后 r s 不 变，然后 m s， 它是等于 m e s 的。 好了，你看，我要求一撇加两撇加三撇，哎，这三条线的合角值就变成了，哎，求这个一撇加两撇加三撇，哎，求这三条折线合的最小值。什么时候最小呢？ 哎，那就是把我们的 m 一 m 二连起来，它就最小了， 啊， 它就小于等于 a， 哦，不对，不是小于等于啊，它这里我用最值嘛， 啊，它的最小值啊，就是它的最小值。 好，就是这三条线段和的最小值，哎，就是我们这里的 m 一 m 二。好，那么这个问题来了， m 一 m 二什么时候最小呢？哎，因为这里你看 m 点它，其实， 哎，它是不是也是动的？只是我们假定它不动，对不对？好，那这里 m 一 m 二什么最小呢？好，来这里，我们再去把 这里的 a m 二连起来，把这里的 a m 一 连起来，然后再把这里的 a m 连起来。好，把这三条线段连起来之后，我们可以知道，哎，这个 a m 二， 它是等于 a m， 哎，它是等于我们这个 a m 一 的。你说这三条线段呢？都是相等的。好，这里注意哦，然后，啊， 啊，然后我们来看这里，相等的话，你看这个角，哎，这两个粉色的角，啊，这两个粉色的弧角是相等的，然后呢，还有这两个， 还有这两个粉色的圈角也是相等的，也就是说呢，哎，根据我们对称的性质，这个角 m 二 a i 和 m a i 它是相等的，然后这个角 m a l 和这个 m e a l 这两个角相等的。好，然后你看这里啊，一个粉色的弧角加上圈角，它是等于我们的 i a l 是 等于三十度的。好，那这里我们就可以知道，这个角 m e a m 二，它就是等于 i a l 的 两倍，它是等于六十度的。 好，那它等于六十度，那这里 a m 二又等于 a m 一， 那所以说 a m m 二，它就是一个等边三角形，哎，有一个角是六十度的等腰，它就等边嘛。好，那这里我们就可以知道， m 一 m 二，它其实呢就是等于谁的呢？就是等于我们的 am 一 等于 am 二，而 am 一 am 二是等于 am 的。 好，那你看这里，我们要去求啊，这 m 一 m 二和的作用值， 那我们其实就是去求 am 和的最小值。来，这个时候，哎，那这个就转化成我们，哎比较熟悉的一个最值问题了，哎，就是定点到动点距离，什么是最小？哎，那肯定就是过这个定点 a 去做这个动点 轨迹的垂线不就好了吗？所以说来，那 a m 尺寸最小，那就是去过 a 点去做这个 b c 这个垂线，那这个呢，就是我 a m 最小的位置，那就是 m 一 m 二最小的位置，那也就是我这个三角形周长最小的位置。那所以说这个时候我们可以知道，此时啊， a m， 它应该是垂直于 b c 的。 好，那这里我们就找到了 m 点的位置。 ok， 这是第一个锥子模型，将军一马问题去解决好，这个解决之后，我们接着往下看。 好，然后做 m 点关于 a c 的 对称点 n。 好，那这儿啊，在这儿他给你做了啊，然后连接 a n 啊，点 p q 呢？分别在射线 a n 和 b d 上一点好，然后连接 c p， a q， 然后既 a， b d 呢？等 r 法，哎，若 a p 又是等于 b q 的， 哎，则当 a q 加 c p 最小的时候，用 r 法去表示 p a q 的 角度。好，来，这里，哎，呃， p o q 都是动点，然后还有一组位首尾相连的等线段，哎，这就是我们的逆等线模型， 对吧？好，这是第二个对折模型。好，那这里呢，这个一等式模型怎么去做啊？这个图呢？啊，太复杂了，我们把它分离出来啊，这里我只需要这个图的作用，我只需要去找到 m 的 位置就可以了。好吧，来， m 在 哪？就是在这垂的时候。 好，这 m， 然后呢，我再去做 m 点关于 a c 的 对称点啊， 啊，大概在这个位置。假设呢，这个是我的 n 点啊，这是 n 点好，然后把它连起来。 好，他要说的是射线 a n 嘛，那我就画长一点。好啊，他说啊，连接 a n 点， p q 呢？分别是射线 a n 和 b d 上的一点啊。呃，那假设在这儿，这是 p 点的位置 啊， q 呢？是 b d 上一点好，然后 a q 等于啊， a p 等于 b q， 那 这就是 q 好， 那这里呢？它是等于它的好，然后我们去连接 c p， 连接 a q， 好，然后这里呢？ a b d 啊，它是等于 r 法的好，然后他要问，我们去叫我们去问啊，这个 a q 啊，加上这个 c p 值最小的时候，好来 a p 和 c q 啊，什么时候值最小？ 那这里呢？哎，我们说了逆的一些模型呢，我们还是要把它转化成我们的，哎，将军一马模型去做，那我们说将军一马模型去求两条线段合的最小值呢？哎，那他们一定会有一个公共的端点，并且呢这个公共的端点呢？哎，还得是那个动点。 好，那这里你看，这里 p 和 q 是 动的，那所以说，哎，我就得让 p 和 q 重合，那这里怎么重合呢？哎，那我就去呃构造啊，一个三角形 呃和。哎，题目中包含 a q 和 c p， 以及包含这一组等线段的其中一个三角形全等就可以了，哎，这就是我们一等线的呃 啊，解析模式啊，或者说解析套路都可以。好，那这里呢？你看，哎，我要去求和的，或者说我要去转移的线段呢，要么是 a q， 要么是 c p 啊，就看你转移谁好，那这里呢，我们就我就统一去转移 a q， 对 不对？好，我去转移 a q 啊，然后呢， 你看，呃与 q 点相连的等线段呢？是谁？是 b q， 那 你看 b q 和 a q， 你 就只能放在 a b q 中去，那所以说我就需要去在哎这个 a p 这里去构造一个三角形，和这里的 a b q 全等，从而把这个线段 a q 呢给它转移到呃这个 c p 的 位置去，就是让 q 点和 p 点这两个动点呢？去重合。 好，那这里你看，那这里我们就去构造全等三角形。好，那首先啊， b q 和 a p 有 一组边相等了。好，那然后呢，我是在 a p 的 上方还是下方去构造一个三角形和 a b q 全等呢？ 哎，那这里我们说了嘛，我们要去用将军印码问题去解决，那将军印码问题最基础的解决方案就是，哎，把两条求和的线段放到动点所在直线的 e 侧去。好了。你看，屁是动点，动点所在直线呢？是 a n， 那 就要放到 e 侧，你看 c n 已经在 a n 的 下方了，那我就把这个 a q 给它放到上面去。 所以说我就是以 a p 为边，在啊这个 a p 的 上边去勾搭一个三角形和 a b q， 它是全等的。好，那有边了，那接下来我就勾搭一个角相等，那你看以 b q 为边的角，哎， 有两个 a q b 和这里的 a b d， 你 看一下哪个角是固定的？哎，很明显的， a b d 是 固定的吗？它告诉你等于 r 法。哎，那所以说，哎，我就去做这个角。 好，我就去做一个这个角啊， p a 假设 a b c 是 对 d 嘛？ 啊？有 d 了，那就 e。 好， 我就去做这个角啊， e a p 是 等于 a， b q 是 等于啊，阿尔法的啊，这个是阿尔法。 好，那你看，我要去构造旋转三角形，已经有两种条件了，来， b q 呢？ b q 等于 a q 一 组边，然后阿尔法角一组角，那所以说我就只需要再去构造一组条件，哎，怎么呢？就去看，哎， 呃，这个以阿尔法角这个阿尔法角的两边，对吧？呃，这个 b q 已经相等了，我再使这个阿尔法角另一边相等不就好了吗？哎，那就是这个阿尔法另一边 a d 和这个阿尔法角另一边 a e 大 小相等就可以了，所以这里我就去使得并截取啊，这个 a e 呢，是等于我们这里的 a b 的。 好，然后呢，怎么办？再把这里的 p e 连起来啊，连起来之后呢，那我马上就可以知道。哎，有两个三角形是全等的。 好，那我们马上就可以知道啊，三角形这里的 a p e， 它就是全等于我们的三角形 b q a 用边角边去乘全等。好，根据这组全等之后，我们就可以知道，来这里 p e 呢，就等于我们这里的 a q。 好， 所以说我就把这里的 a q 呢就转移到 p e 这去了。那我们再看一下 p 和 q 它是否重合了，来看一下 p e 的 对应点是 q 点没有问题。好，那所以说这个题目要让我们去求的啊， a q 加上 c p 和的最小值，那其实就是去求 我们这里的 p e 再加上 c p 和的最小值。 好，然后你来看来要求我们这里的 p e 加上 c p 这两条折线和的最小值。而那就是只需要干嘛？哎，根据我们两点之间线的最短，把它拉直就可以了，所以说我就只需要去把这里的哎 c e 给连起来就可以了 啊，那其实就是我们这里的 c e 的 长度。好，那这时候啊，它不是让我们去求这个直径小多少？它让我们去啊，用 r 法表示 p a q 的 这个度数来， p a q 是 这个角。好，来，这个角怎么去表示呢？ 好，刚才我们说了啊， m 点在什么位置呢？ m 点就是在这里啊，刚好垂直于 bc 的 时候。好，这个 abc 呢，它是一个 等边三角形啊，根据等边三角形啊，三线合一的性质嘛，那我们可以知道 a m， 它是顶边上的高线，还是顶角的角平分线，所以说这两个角呢，哎，它都是三十度。好，然后呢？呃， 这个 a n 怎么来的呢？是做了 m 点，关于这个 a c 的 对称点，得到了 n 点，那说这个角呢，也是三十度。好，那我们这里就可以知道 b a n 呢，这个角啊，或者说 b a p， 这个角呢，它就是九十度。 好，那这里，呃，要算这个 p a q， 哎，那就是九十度，再加上这个角叉角就是这个 b a q 就 可以了。好，那然后你看一下这里的 b a q 是 等于谁的？ 好，那这里我们就可以知道。来，根据我们这里刚才的这个全等啊，这里的角啊， b a q 啊， b a q， 它就是等于我们的 a e p 的。 好，那所以我就只需要去把这个 a e p 算上就可以了。 a e p 怎么算呢？好，那你看，这连起来之后啊，其实这个点呢，就是我的这个 p 点。 好，这里注意哈， p 和 n 啊，它们不一定是重合的啊，只是这里图画的比较像，它们像重合的啊，那这里其实就是我 p 点，那其实呢，这个角，欸，这个角就是我的这个角啊。 a p。 好， 那这个角怎么去表示呢？来，这里， a e 是 等于 a b 的 a b 呢，是等于我们的 a c 的， 所以说 a c e 呢，它是一个等腰三角形，这个等腰三角形的顶角呢，是在这儿。哎，它是三十度啊，换个颜色，这个颜色 看不太清楚啊，那这个它的顶角呢，是三十度，再加上 r 法好，那所以说它的每一个底角呢？这个角，哎，就是我们的七十五度，再减去二分之一的 r， 法好，那所以说这里我们就可以知道 这里的角， 这里的角 p a q 啊，它就等于我们的这里的角 p a 啊， b a p， 再加上这里的角 b a q， 那 其实也就是等于 b a p 呢，是九十度，再加上 b a q 呢，它等于 a p e 是 等于七十五度，再减去二分之一。而法 好，那就九十度，再加上七十五度，减二分之二法就等于多少呢？哎，一百六十五度，再减去二分之二，法 好，那这里呢？有同学可能啊，做的出来一个答案，哎，他就沾沾自喜了，但是下来考试下来一会发现，哎，老师，这个题为什么会有两个答案呢？好，这就是我在一开始读题的时候就跟你说了这个问题 来，他说了点 d 是 在射线 ca 上，那他既，那他就有两种情况，一种情况就是在 ca 的 延长线上，还有一种情况就是在线段 ca 上，所以说这道题目应该有两种情况来，这是第一种情况， d 在 ca 延长线上， 好，第二种情况， d， d 在 线段啊， c a 上， 好，那时候来，我们重新画一个图，我感觉我把可以把这个图我给它放那边去一点，放个颜色啊，这个白的里边黑的吧。好，把它换过来， 这也换过来， 好，那这里还是一样的，我就还是去做 m 啊，这是垂的。好，然后我还是做这个对伸点啊，我就直接随口画啊，好，这个 n 应该是在这个位置的。 好，然后这个时候呢来 d 呢，就在 c 上， 好，那这是 d， 然后这个呢是 f 好，然后 p 呢？在这儿还是取个 p q 呢？在这儿 好，然后我把它连起来，把 a q 和这个 c p 连起来。好，这里还是啊 q 的 啊， b q 啊，等于 ap 好，还是要去求这两条蓝色线段和的，这样子还是一样的啊，我这里还是去转移 a q 嘛，还是以 a p 为边啊，在它的上方呃，去构造，呃，一个三角形和 a b q 全等，那还是一样的， 那这里构造一个角， 往下放一下， 好，假设这个是 f， 那 去构造一个角啊， p a f 呢，它等于我们这里的 a b q 啊，是等于 r 的 好，然后呢再去在 a f 上面截一段啊，这个 a f 呢，它是等于 ab 的 好，然后呢我再去把 p f 连起来啊啊，这个构造的方式呢，就跟我们这种情况是一样的。好，那这里啊要去求我们这里的 呃， a q 加 c p 和最小值，那其实还是一样的，这里呢就是三角形。谁啊？三角形 a b q 嘛，三角形 a b q 啊，它就全等于三角形 a b， 那 就是 f a p 啊，边角边正的全短。那这里我们就把这里的 a q 呢给它转移到这里的 f p 这里去了啊，那所以还是一样的 a q 再加上 c p 和的最小值啊，就变成了我们的 f p 加上 c p 和的最小 啊，还是把这里的 c f 连起来就最小啊，那时候这个把它连起来 啊，还是一样的啊，这连起来之后，这里的 p 和 n 啊，不一定同和啊。啊，那这个呢就是我的这个 p 点的位置啊，点的位置 啊，还是一样的，他要求什么？他要去求这个角啊， p a q。 好 了，这个时候你会发现啊， p a q， 他 在这个角 b a p 的 里边了，这个角 p a p 呢？还是多少度呢？还是九十度没有变？那说这个时候你发现啊，这个角 p a q， 它就应该是等于我们这里的角。呃， b a p 啊，再减去我们这里的角， 这里的角 b a q。 好， 那这个角 b a p 呢？还是九十度，那 b a q 呢？还是一样的来，这里的角 b a q， 它是等于什么的呢？角 a f p， 那 也就是还是一个角，那你看这个 a c f， 它还是一个顶角，为多少度呢啊？这儿是三十啊，还是顶角为 三十度加 r 法的一个等腰三角形，那这个顶角啊，这个这个底角 a f p 呢？还是七十五度，减去二分之一 r 法好，那这里呢，就变成了我们的九十度减去七十五度，减去二分之 r 法，那就等于十五度在 加上我们的二分之 r。 好， 那所以说这就是这个题目啊，它有我们的两个答案好，为什么会有两个答案呢？就是各位同学在读题的时候啊，一定要仔细啊，一定要仔细，就是在色写 c a 上，好吧， 好，这就是我们这个啊，八数初二半期啊，最后一个题目的最后一个小问啊，其实就考察了，呃，两类对子模型啊，一个是将军印马模型，然后呢？一个是我们的逆等线模型，好吧，然后呢，还考察了一个，对吧？大家这个审题的仔细程度， 好吧，这就是这个题目，给大家简单分析到这，好，我们下期再见！点赞加关注，金刚校考不迷路！

八上数学最难的期末压轴题，五天吃透你的数学就牛了！八上数学期末考试必考九大题型，专练全等三角形九大经典题型知识点一，平一模型。知识点二， 轴对称模型是重中之重。知识点三，旋转模型，吃透轻松的高分知识点四，一线三等角模型知识点五，背长中线模型完整电子版留九十九。

今天我们看到八年级的数学题，然后它属于几何，然后八年级主要就学的是几何跟那个应用分解上册，然后大大多数还是几何多一点，他说一是正方形 a、 b、 c， d 边上 b、 c 的 一点，然后 f 呢？就是说 d、 a、 e 的 这个角平分线，然后跟 c、 d 的 一个交点， 然后呢求证 a、 e 等于 f， d， f、 d 在 这， b、 e 在 这，求证这个等于这两个相加。 然后我习惯于把这边就是因为这边是角平分线，我们也把它写成三角，这样会减少一些个数，让我们让我们比较清晰。做几何的话，他有个问题就说有的时候他会用辅助线，因为你用对辅助线的话，那你就能做出来，用，用不对的话你就可能做不出来，所以说要求会比较高一点。 然后我们现在看他要求这个等于 b 加上 d， f 就是 f， d 加上 b 等于 a、 e， 关键现在是他俩隔得太远了，他俩隔得太远的话，导致你分析问题就很难分析，所以所以说你需要什么转化， 怎么转化的话看能不能把他们放在一块。这边的话我们是把这个 b、 a、 e 这个三角形，因为这边逆时针旋转九十度，如果他旋转九十度， b 点是不是跑到 d 点了？那 e 点的话是不是在这， 然后呢？然后再连接是不是就变成这样？这样的话是不是 b 加上 d、 f 转化成这个好了？好，我们现在画图，然后我们现在还把这边写成三， 他现在把从这个三角形转到这个三角形，那他们肯定是一模一样全的，那此时的 a 一 变成了谁？此时的 a 一 是不是变成了 a g？ 所以 说 a 一 是被形变成了 a g， 然后 b e 呢？ b e 的 话是不是 b e 的 话是不是变成 d g？ b e 的 话是不是变成 d？ g f d 的 话 f d 的 话还在这，那此时的 f d 加上 b e 是 不是这样的？ f d 加上 d g f d d 加上 d g 的 话是不是等于 f g？ 我 们只要证明它俩如果相等的话，那就是相等了。 好了，现在我们看这个，我们把这边也换成角一，这样的话就角一逆时针旋转九十度到这，那此时的话角一加角三是不等于这个角一加角三，那因为两只线平行呢？所以这个角是不等于这个？这个角之后是不三角形？ g a f 是不是个等腰三角形？等腰三角形的话是不是相当于是 g a 是 不是等于 g f？ g a 的 话是不是由 a 一 转换过来的？这不， g a 是 等于 a 一 g f 的 话是不等于 g f 的 话是不等于 g d 加上 g d 加上， 而 g t 的 话是不本身是由它旋转过来？是 b， 那 么此时的 a 一 是不等于 b 一 加上 d f， 它求的是不？ a 一 等于 f d 加上 b e， 也就是 b e 加上 d f， 所以 就转完了。

各位同学好，欢迎来到我们的每日一题一题一码的解说视频，我是黄老师， 那今天给大家带来一道几何压轴题， a c， b 等于九十度角， b 等于三十度，然后呢？ ab 等于十， bc 等于五倍根号三， 然后他说 d 是 bc 边上一点，也就是说什么 d 在 bc 边上运动，对不对？那他往这边做了一个等边三角形， a e d 好，也就是说这个三角形不管在地点在何时何地，它总为一个等边好。那他来问我们， a c， e 周长的最小值好， a c， e 周长的最小值，它由哪几个边构成的呢？ a c 加 a， e 加 c e， 那 a c 我 们是已知的，可以求出来是等于五对不对？因为它是放在这个特殊的直角三角形当中啊， 特殊在三角形当中，然后呢？直角三角形，直边，呃，直角边等于斜边的一半，所以为五好，那我们能够轻松的求出来，那对于另外两条边呢？ a c 加上 c e， 我 们如何去求解呢？首先对于这个 e 点， 它是运动的，对不对？哎，看到首尾相连的运动，其实啊，首尾相连的一个啊动点问题，那其实大家会想到的是将军马， 但是呢，将军云马的话，它是在一个直线上运动的这个动点，但是我现在不知道我 e 点的一个运动轨迹对不对？所以我们要找到 e 点的运动轨迹，也就是说我们现在的第一个任务是找到 e 点的运动轨迹 好，那它运动轨迹怎么找呢？首先它这边是不是横有一个 等边三角形啊？也就是说这边横有一个六十度对不对？那哪边还有个六十度，这边是三十，这边是九十，那所以剩下这一个角自然是不是就为六十度了， 对吧？哎，有没有看到共顶角的一个啊？六十度啊，并且跟等腰三角形结合起来了，我们能够知道的是这两个角相等 这两个蓝色的角，并且呢，由于等腰三角形啊，等边三角形的话，所以说 a d 等于 a e， 哎呀，那我好想去干嘛去构造一个全等，对不对？但是呢，这个全等，嗯，很像我们的什么手拉手模型，对吧？手拉模，手模型，正常来说是一个，呃，一个小的等腰三角啊，等边三角形跟一个大的一个 等边三角形，是不是手拉手连在一起？那对于这道题来说，是不是已经有两个共顶角了，对吧？这两个顶角是什么？六十度，对吧？已经有了，并且呢，有一个等边三角形了，那另一个的话，我可不可以利用这个角，这个六十度的角去构造出一个等边三角形呢？ 当然可以，对不对？完全是可以的，对吧？那 a b 这条边是已知边了，那我可不可以把它旋转六十度？ 好的，那我们旋转六十度之后呢，再把这个边，我们把 b 撇，把这个边叫做 b 撇吧，好不好？一连接起来，哎， 是不是被我主动构造出来了一个等边三角形啊？那我们是不是利用旋转六十度构造出了一个手拉手模型？那我们主要为什么会这样想呢？这边有一个等边三角形，有一个六十度，并且呢，共顶角也有一个六十度，那我们想到的是共顶角的， 那我们这样写共顶角，并且什么等边 共顶角的等腰啊，这样写等腰吧。啊，三角形为我们的手拉手， 那我们是不是主动去构造出手拉手模型，那构造出手拉手模型呢？就能够得到哪两个三角形全等呢？我们把它一连，是不是就能够得到我们如图所示的啊？我们用不同颜色的笔给它画出来吧，在这里，哎呦，这个有点粗，等一下我给它调细一点。 好，我们给他调细一点。这个，这个黄色的三角形跟这一个绿色的三角形 是不是会全等，对吧？大家能看得出来吗？好，那我们怎么证明呢？是不是利用手拉手模型的 s a s 证明出的全等，也就是三角形 a， e， d 撇全等于三角形 a、 d、 b。 好，那好，那么写到这的话，我们已经知道了这个 a， 呃，三角形全等，但是我们现在想要找到 e 点的运动轨迹，对吧？ e 是 一个动点， 那我们就一定要找到他们在运动的过程当中的定的东西。首先定的话，我们三角形是全等的，对吧？哎，定，找到了横，横是全等的，他不管在地点的某任何一个运动的状态，他都是全等三角形。 好，那单凭一个全等三角形，我们能够判断出一点的运动轨迹吗？好像不太可以，那我们再来细化，从这个全等三角形里面哪一些是定的？ a、 b 跟 a、 b 撇是不是固定为定值十，对吧？并且他们的方向都是不改变的，对吧？因为 a、 b 都是定点，所以呢，旋转过后形成的 a、 b 撇同样也是一个定的边。 那再来看这这俩三角形当中全等三角形当中还有哪一哪一个是定的？大家好好的思考一下，有没有发现这个三十度 是不是为定值？哎，也就是说我们的这个角 a b 撇 e 恒为三十度，那是什么意思？这个角恒为定值，那由于 a b 是 一个定边， 与我们的 e b 撇这个缩形，它是假角，是不是一定会为三十度，对吧？哎，假角，我们这样写假角啊，这样写不太好，假角为三十度，那我们想想哈，那你这个 a b 边呢？是不是都是已经是一个定边了？ 那 e b 边的话啊？ e b 撇边的话，他想要与他夹角为三十度的话，那我们 e 能在别的方向运动吗？比如说我的 e 到这可以吗？那我夹角是不是都都动了，对吧？他不为三十度了，那我们夹角和为三十度是不是代表我们的 e b 撇 啊？我们这个 e 点的运动状态是不是只能在这一条直线上运动？是不是这样子？好，那所以说我们终于找到运 e 点的运动轨迹了，就如数所示，是我们的这个一 b 撇这条线。 好，那现在再来回到这一个东西，我们现在想要求的是 a e 加上 c e 的 最小值。哎呀，那是，这个实在是太亲切了，对不对？一个动点，两个定点首尾相连的线段，求和求最小值，对不对？那它是不是要求什么？ 是不是就是我们的将军引马问题，对吧？好，那，那我们现在把单独要把求出来求的线段给它画出来吧。好， 就是用红色的笔画出来。好，大家好好看，是不是求这两个首尾相连的线段啊？至合的最小值，那我们是干嘛？是不是将极一码的话，是不是做这一条线段的对称点，对不对？那我们想做谁的对称点都可以哈，直接做对称过来， 好，大概在这里是不是就是我们的 c 撇点？那现在想要求，嗯，我们原来这两条红色线段的最小值，是不是只要求我们这一个再用不同，再用一个颜色的比号，再换成一个深蓝色的， 也就是这个线段？ ac 撇线段的值是不是就是我们啊？这个最小值了，对吧？那是不是就等于我们的 ac 撇， 这是我们的将军马的定力，对吧？两点运用的性质是两点之间线段最短，对吧？好，那现现在想要求 a c 撇的值，怎么求呢？别忘了我们这边还有一个特殊角，三十度呢，对吧？那我们给他做对称过来之后，这是不是一个等边三角形，并且这个角为六十度，对吧？好，那再来看 我们这个三角形的话，是不是一个啊？什么三角形呢？大家想想， 是不是一个直角三角形啊？为什么呢？啊？大家来看哈，这边是不是为十，这边是不是为五，对吧？因为什么为五哈，因为我们做对称过来的话，这个三角形是不是应该是一个等边三角形，这边是六十度， 并且呢这两个边相等，因为我是做对称的嘛，啊，所以它是一个等边三角形，所以说呢， 我们就能够得到它是一个直角三角形，那这边是十，这边是五，那这边就应该是五倍根号三。好，这边就是五倍根号三，所以说 a c 撇它的最小值就是五倍根号三， 五倍根号三。求完之后呢，大家别忘了我们 c 三角形 a b c 的 最小值是不是就会等于五倍根号三，还要再加上一个五？所以答案就是五倍根号三。

八年级上册的三角形与全等三角形数学专项训练是几何学习的双缝，助力三角形聚焦基础模块，拆解十个高频知识点与九个提分点，从三角形概念、 三角关系到内角和性质，以知识点加训练点夯实几何根基。全等三角形则专攻进阶难点，覆盖十四个核心要点，从全等性质到边角、边角、边角等判定定离，再到角平分线应用 专项练习精准击破考点。梁博书均搭配综合训练与参考答案，既理清三角形的基础逻辑，又攻克全等证明的推理难关，助力八年级学生搭建几何知识体系，提升解析能力。