怎么求特征向量

好，那我们下面来进入第五张特征值与特征向量，这一张的内容呢，也挺重要的，并且会大量用到我们前几张所学到的知识。我们首先看一下什么叫做特征值和特征向量呢？ 对于 n 阶的方阵啊，我们这一张所说到的都是方阵。对于 n 阶的方阵 a， 如果我们找到了一个数 number 和一个非零向量 x， 使得 a x 等于 number x， 也就是把这个矩阵乘上去，就等于把一个数给它乘上去的话，那么这个时候 lambot 称为 a 的 特征值 x 呢，是 a 的， 属于特征值 lambot 的 特征向量，也就说每一个特征向量呢，你要指定它是属于哪一个特征值的特征向量，那我们这里最重要的问题就是特征值和特征向量，我们怎么给它算出来呢？ 这个步骤是非常程序化的，一步一步的就给它算出来了。第一步，求矩阵的特征多项式，这个特征多项式呢，就是 number i 减 a 的 行列式，所以在这里你首先要算一个行列式出来， 算出来了之后，求出这个特征多项式的所有的根，那这就是 a 的 全部特征值了。求出特征值之后，你一个一个的把特征值给带入到特征方程当中，特征方程呢就是兰姆达 a 减 a 乘以 x 等于零， 那么这个方程的解就是特征向量，那我们在解的时候呢，是需要每一个特征值逐个依次的带入这个方程组，求出一个基础解析就行了，因为求出基础解析之后呢，它所有的非零限性组合都是特征向量。 那我们下面呢，就用一道题来说明一下求特征值和特征向量的全过程。第一步，先求特征多项式，特征多项式等于兰姆达 i 减 a 的 行列式，那么兰姆达 i 是 什么东西啊？兰姆达 i 应该是这样的一个行列式，对吧？不是所有的元素都是兰姆达啊，不要写错了， 所以兰姆达 i 减 a 呢，我们就可以给它写成这样的三阶行列式，那我们下面就要计算这个行列式，我们看到第三列出现大量零，所以按照第三列来进行展开，那么这个二阶行列式呢，应该是好求的， 因此呢，因式分解的结果，它应该等于兰姆达减二乘以兰姆达减一的平方，那要求特征值呢，我们就令 fa 兰姆达等于零， 那么解出呢，这个 number 是 等于二或者是一的，那么这个矩阵的特征值就是二和一，并且呢，我们要注意这上面有一个平方向，所以我们一般说呢，一，这个跟它所对应的代数重数是二。 好的，下面我们要求特征向量，那就是要把这两个特征值呢，分别带入我们的特征方程。蓝姆达 i 减 a 乘以 x 是 要等于零的，所以呢，我们就写出这样一个系数矩阵，而这个系数矩阵，其实它这个数表和这个行列式是一样的，你就把这个蓝姆达给它带入进去抄下来就行了。 我们先看当蓝姆达等于一的，所以说第二行其实可以全消成零的， 然后第三行呢，咱们再处理一下，把那个符号给它去掉，好，那么消完之后呢，就得到这样的一个矩阵，那这个矩阵呢，他的质应该是二，所以说他的基础解析应该只有一个向量，那这个方程是一个三阶的情况，所以说即使你没有化成这个行阶梯形矩阵，你也可以把这个结给看出来， 它就是一二负一的 k 倍，那我们说这个特征向量应该是不为零的嘛，所以说这个 k 呢，是可以取非零的任何值，那么这样的话，这个向量就是 a 的 对应于兰博达等于一的特征向量了。好，那我们在求，当兰博达等于二的时候， 那么这样的话呢，也是可以来进行一个行变换，那行变换的结果呢，应该是给它换成了这样的一个矩阵，那这个矩阵呢，我们也可以求出它的通解，它的通解呢是一负一零的 k 倍，那同样的，只要 k 不 为零的话，这就是兰达等于二所对应的特征向量了。 特征值和特征向量这个计算的步骤必须非常的熟练。好的，下面呢，我们来看一下特征值和特征向量的性质，这个性质呢也非常的重要，首先特征值的核等于矩阵的 g， 所谓矩阵的 g 就是 它主对角线上所有元素的核， 这是要等于特征值的核的。通常这个式子可以方便的用于我们判断一下我们求的这个特征值有没有求对， 我们回到上面这个例子来看一下，我们求出的特征值，一个二，一个一，但是这个一呢，它有代数重数，它的代数重数是二，所以我们在应用这个性质的时候呢，要把这个特征值一当成两个特征值来使用，也就是说我们认为这个矩阵的特征值是二一， 一是这样的，因为这上面有一个平方，这个平方就说它下面对应的这个根是要写两次的啊，所以说它的特征值是二一一，那么核呢？核是四， 它要等于矩阵的 g， 也就是主对角线上元素的核。负一加三加二是等于四的啊，我们求的结果呢，大概应该是正确的啊，所以这个性质常常用于我们来检验一下我们有没有求对。 另外呢，特征值的乘积是要等于行列式的，同样也是要考虑重数的问题，也就是说，刚才的这个矩阵，虽然我们没有求出它的行列式是多少，但是我们求出了它的特征值是二一一，那我们就可以立刻说 这个矩阵 a， 它的行列式是等于二的，因为二乘一乘一是等于二的。好，那我们继续往下看其他的这个性质，同一个特征值，特征向量呢？它们的腺性组合也是特征向量，而不同特征值的特征向量之间呢，是彼此腺性无关的。 下面这个性质更加的重要，这个性质是非常非常常考的。如果 lamb 的是 a 的 特征值，那么它相关矩阵的特征值也是可以算出来的。 f a 也就是 a 的 一个多项式，那么它的特征值就是这个特征值来做多项式。比如说你知道 a 的 特征值是 lambada， 那 么 a 方的特征值就是 lambada 方， a 加 i 的 特征值就是 lambada 加 e， 这个性质非常非常的好用。然后 a 逆的特征值是 lambada 的 负一次方，还有这个 a 的 伴随呢？ a 的 伴随，这个特征值得稍微记一下。 特征值呢，是 lama 的 负一次方乘以 a 的 行列式，那么特征值做了变换，特征向量呢？是都不变的， 这个结论非常非常的常用。好，那下面呢，我们就利用这个特征值和特征向量的性质来看几个例题。第一个例题，若二 a 加三 i 不 可逆，让我们求 a 的 一个特征值，它不可逆，那我们能知道它特征值的什么信息呢？我们知道二 a 加三 i 一定有一个特征值是零， 那么如果说 a 的 一个特征值是 lamda 的 话，那么二 a 加三 i 的 特征值是几呢？二 lamda 加上三，一定是二 a 加三 i 的 一个特征值，因为我们说 fa 的 特征值就是 f lamda a 如果有兰博达特征值，那么二 a 加三 i 就 要有这样一个特征值，那如果说它就是零的话呢？我们是不是可以求出兰博达等于负一点五，所以我们就可以判断说 a 一定有一个特征值是负一点五。 好，我们再看第二个问题，设 a 是 三阶方阵，然后特征值呢是一二负一，然后让我们求这样的一个行列式 啊，那我这样就要想到这个特征值和行列式之间的关系了，我们说特征值的乘积是不是就等于行列式啊？ a 是 一个三节方程，这已经有三个特征值了，所以说没有什么代数重数的问题， 三个特征值已经满了，所以说呢， a 的 行列式我们就知道它就是一乘二乘以负一是等于负二的。好，那么 a 的 立方减五 a 方加上 a 星的这个特征值，你能不能够给他写出来呢？ lambdad， 如果是 a 的 一个特征值的话，那么 lambdad 的 立方减五， lambdad 的 平方，然后加上 a， a 星的特征值是啥来着？你还记得吗？ lambdad 的 负一次方乘以 a 的 行列式，那这 a 的 行列式呢？我们已经求出来了，是负二啊，所以说这里我们给替换成负二 这个式子就一定是它的特征值，那么我们分别把一二负一这三个数给它带进来，我们就可以求出这个式子，它的特征值分别是负六、负三和负四了。 好，那么这也是一个三阶的方阵吧，那么三阶方阵的三个特征值我们全都知道了，我们是不是就可以知道这个行列式是等于负六乘负三乘负四是等于负七十二的？ 所以这里特征值和特征向量的性质，尤其是那些你能够算数的东西，是非常非常重要的，很常考。哦， 好，那我们下面呢来讲到相似矩阵的概念。所谓相似矩阵呢，是对于 n 阶方阵 a 和 b 来讲，如果存在一个可逆的方阵，使得 b 等于 p 逆 a p 啊，那么我们就说 a 和 b 是 相似的，记成一个波浪线的符号，那么这个相似呢？它也有自反性、对称性和传递性， 没有什么令人惊讶的。那为什么我们在讲完特征值之后，我们要讲这个相似矩阵呢？因为相似矩阵是不改变特征值的，相似矩阵的特征值都相同， 那如果特征值都相同的话，特征值的核就是 g， 特征值的乘积就是行列式，那么两个矩阵的 g 和行列式也当然相同。 内外相似矩阵，它们的质也相同，可逆性也相同，如果可逆的话，那么它们的逆也是相似的，最后呢，把相似矩阵放到一个多项式当中，那么最后得出来的结果它也是相似的。所以这里呢，我们讲了相似矩阵是 p e， a， p 这样的变换是不改变特征值的。哎，我们之前是不是有讲过矩阵的箱底啊？矩阵的箱底是 p a， q， p 和 q 都是可逆矩阵，那么箱底不改变什么呢？不改变矩阵的质，箱底不改变矩阵的质，相似，不改变矩阵的特征值。 好的，下面呢，我们来看一个例题。已知下列矩阵 a b 是 相似的，那么让我们求小 a 小 b 的 值。一看到相似，我们首先想到的并不是它的概念，而是想到相似矩阵不改变特征值。也就说 a 和 b 的 特征值是要相等的， 那么特征值相等，你要去求它们的特征值吗？恐怕是很难求的，那我们怎么办呢？我们应该用到特征值的核就是 g， 特征值的乘积是行列式，所以这两个矩阵它们的 g 和行列式是相同的。那我们先说 a 和 b 的 g 是 相同的， a 的 g 就是 二加零加 a， 而 b 的 g 呢，是二加 b 减一。然后下面我们再求行列式，其实行列式也很好求， 这都是遍地飘零的行列式。 a 这个行列式我们在计算的时候呢，可以按照第一行来进行展开，然后剩下的部分呢，这是一个二阶的行列式，等于负四，所以说 a 的 行列式算出来就是等于负八的。 然后 b 是 一个对角矩阵，它的行列式就是对角线上元素的乘积等于负二 b。 那 因此呢，根据这两个式子，我们就可以得出， b 是 等于四的，而 a 是 等于三的，这就是 a 和 b 的 求法。所以看见相似呢，我们首先想到的不是它的概念，而是它的性质。 我们想用相似变换把一个矩阵变成最简单的形式，那最简单的形式呢，就是一个对角矩阵了。对于矩阵 a 来讲，如果说存在一个可逆矩阵，使得屁逆 a p， 也就是它的相似矩阵是对角矩阵的话，我们就说 a 是 可以相似对角化的， 但是随便给你一个矩阵，它能不能够相似对角化这件事情不一定。如果可相似对角化的话，它需要有条件的，这个条件就是 n 阶方阵 a 需要有 n 个向量， 而如果你能够相似对角化的话，那么我们的可逆矩阵就由这 n 个向量的特征向量拼成，那所得到的对角矩阵呢，就是对应的一个特征值的对角矩阵了。 好，那我们用这个例子呢来大家走一下这个相似对角画的过程。先求特征值，那求特征值呢？先求特征多项式， 我们发现第二行只有一个元素，所以按第二行来进行展开，然后这个二阶行列式呢，也是直接用公式给它展开，可能需要做一个因子分解 好，所以说他的特征多项式就是兰姆达减二的平方乘以兰姆达加一，那要求特征值，我们就令特征多项式等于零 得到这个兰姆达是等于二和负一的。所以在这里呢，我们先检验一下特征值的和应该等于他的 g， 那 特征值的和呢，是二二负一啊，因为这有个平方，这个二是要用两次的二加二加负一等于三， 我们看下的 g 是 负二加二加三是等于三的，那到这里呢，我们应该是没算错。好，求完特征值，求特征向量， 把 number 等于二带进来之后，我们得到了这样的一个矩阵，其中一行已经是零了，然后第一行第三行又一样，我们做行变换的话，也可以把第三行消成零，所以这个矩阵的质是几呢？这个矩阵的质是一，那么它的基础解析就要由两个向量来构成了。 然后我们再求，当这个 lama 等于负一的时候，接下来对它进行行变换，先把第二行处理一下， 然后第一行和第三行都加上第二行，那这个负一和负一就消零了，消零了之后，第三行是第一行的四倍，所以说一减第三行也消零了。那最后呢，这个矩阵的质是二，所以它最后的基础解析呢，就由一个向量来构成。 好，那么到这里呢，我们就得到了特征值和它所对应的特征向量，其中一个特征值对应两组， 另外一个特征值对应一组，所以它有几个限性无关的特征向量呢？三个，这是一个三阶的矩阵，有三个限性无关的特征向量，可相似对角化，那么这个屁就把这三个向量给它排列出来就行了。 那么对角画的结果屁逆 ap 是 一个对角矩阵，这个对角矩阵就按照这个顺序把这个特征值给他写上。 好，那么这个步骤就是求矩阵能否相似对角画，以及写出可逆矩阵，让它变成对角矩阵的一个固定的步骤了。 当然了，这里这个屁矩阵是不唯一的啊，所以相似对角画的方法呢？也不唯一。好，那我们刚才说到呢， 随便给你一个矩阵，它能不能够相似对角化？这件事情说不好，但是有一种矩阵，我们可以确定的说，它一定能相似对角化，这种矩阵就是实对称矩阵，也就是说矩阵当中所有的数都是实数，而且还是一个对称矩阵，那么它一定能够相似对角化，它的特点是特征值全是实数， 而且不同特征值的特征向量一定正交。那么这个时候呢，我们就会存在一个正角矩阵 q， 使得 q 逆 a q 是 对角阵， 而我们上一章呢，有讲过，正交制的定义是 q 乘以 q 的 转制等于 i， 那 么它的性质 q e 是 要等于 q 转制的，所以说这个 q e a q 也可以给它变成 q t a q， 它也都会变成一个对角矩阵。那我们如何去求出这样一个正交制，让它进行相似对角化呢？ 还是首先求特征值，求完特征值，求特征向量，但是求完特征向量呢，我们要对这个特征向量来进行施密特正交化，施密特正交化之后的结果就是标准正交特征向量组，你把这些向量拼接起来，就能得到矩阵 q 了。 所以实对称矩阵让你求正交对角化，它跟我们上一道题的步骤差在哪里呢？就多了一步，就多了一步，你要做实密特正交化，除此之外完全一样。好，那我们就对这样一个矩阵来做一下正交对角化吧。首先求特征值， 然后我们做一下行变换吧，我们把第二行加到第三行上面去，然后然后第三行就有这个公因子了，可以把公因子给提出来，然后呢，我们用第三列减去第二列吧。 好，那这个时候呢，第三行只剩下一个元素了，我们按照第三行展开，要注意代数与子式，你要考虑个正负号啊， 然后这就是一个二阶行列式了，二阶行列式应该是很好给它算出来的，那我们这里呢，就直接给出结果了， number 减一方乘以 number 加二。好呢，这个是特征多项式，我们把屏幕给清一下，有了特征多项式之后，令它等于零， 求出特征值。要注意一，这里头是有代数乘数二的，所以说呢，它其实是一一负二，这三个特征值加起来等于零，然后我们看一下它的记，也是等于零的，验算通过，我们继续往下做，求完特征值，求特征向量， 然后第二行减去第一行，第三行加上第一行来做这个行变换，那么这个矩阵它的质是一，所以说呢，特征向量应该是二维的好在求，当兰博达等于负二的时候， 好，第三行加上第二行，第一行加上第二行的两倍，然后第三行减去第一行，第三行划零了，然后第一行呢，再提一个公因数出去， 简变起见呢，可以把第一行给加到第三行上面去。当蓝门党等于负二的时候，这个矩阵的质是二，那么它的基础解析应该只有一个向量 好呢，现在呢，我们就得出了三个现象无关的向量，我们下面呢，就是要对这三个向量来做施密特正交化，但施密特正交化是每一个特征值自己做自己的，不要交叉的去做，那么这个时候呢，我们就得记住那个施密特正交化它的公式了， 那上面这个 b 一 没啥好说的，下面这个呢，你得给它算出来内积，算一下内积是等于一的， 那最后算出来的结果呢？是二分之一一一二。好，诗密特正交化，我们先做完了正交化，做完了正交化呢，我们再做单位化，单位化就简单了，单位化呢，就把这个正交化的结果除以他的膜就行了。 好，那么这里 c 一 和 c 二呢，就是这两个向量进行诗密特正交化的结果。好呢，对于兰博达等于负二的时候呢，他没有什么好正交化，他就只有自己，所以你直接对他来进行单位化就可以了，除以他的膜。 好，那在这里呢，我们就得到了三个互相正交的单位向量，一个是他，一个是他，一个是他，把这三个向量给他拼成一个矩阵，那就是我们要所求的正交矩阵 q 了。 那么用这个正交矩阵进行相似对角化之后的结果呢，他也是一个对角矩阵，而对角矩阵呢，就是把特征值按照你的这个向量的顺序给他写出来，是一一负二， 那这就是我们正交对角化的一个步骤了。那我们做这个相似对角化有什么样的好处呢？我们是可以简化 a 的 n 四方它的计算，因为我们做相似对角化呢，就是让 q e a q 是 等于一个对角矩阵的，比如说我们用这个尖尖来表示对角矩阵，然后我们两边左乘 q， 右乘 q e， 那么这边这边消掉了，这边这边消掉了，它就变成了 q 乘以这个尖尖乘以这个逆，因此我们想求 a 的 n 次方，那么它就等于什么呢？它等于 q， 对 角阵乘 q 逆，再乘 q 乘，对角阵乘 q 逆，然后再乘 q， 对 角阵 q 逆一直这样乘下去， 然后你会发现中间这里消掉，中间全都可以消掉，它就变成了 q 乘以这个对角阵的 n 次方，再乘以 q 逆。 而对角正的 n 次方是很好求的，你只需要把对角线上的所有元素变成 n 次方就行了。而我们在这里如果做的是正交对角化的话，这个 q 逆也很好求，这个 q 逆，它就等于 q 的 转置。因此呢，你想求 a 的 n 次方，你就对它来进行一个相似对角化， 然后呢，相切角化之后，你再把 q 和 q t 给它乘到两边，我们就可以完成 a 的 n 次方的求解。那我们以这个二阶矩阵为例，来给大家演示一下这个步骤。进行相切角化，先求特征值， 所以令这个特征多项式等于零，我们求出特征值是一和三，检查一下，一和三的核是四，而它的 g 呢，也是四，二加二等于四，所以说我们可以通过继续往下求特征向量， 那么这样的话，可以写出这个解是 k 倍的一一，那当 number 等于三的时候呢？那么这个解向量呢，是等于 k 一 负一下面来做施密特正交化，那每一个特征值它都只有一个向量，你不需要做正交化，直接单位化就行了。 所以说我们就可以求出这样的一个正交矩阵 q 使得 q 逆 a q 是 等于一个对角矩阵的，这个对角矩阵呢，就是把特征值按照顺序给他写在对角线上， 那因此 a 的 n 次方等于什么呢？它就等于 q 乘以这个尖尖啊，这个结果我们写成尖尖的 n 次方，再乘以 q 的 逆，而因为 q 是 一个正交震， q 逆是等于 q 转制的，所以说这样一个式子，我们就可以给它变成，这有一个根号二分之，这有一个根号二分之一，这是二分之一， 然后一一一负一，然后来乘以这样尖尖的 n 次方，那就是一零零三的 n 次方，然后再乘以 q t， 然后我们发现这个 q 转至之后呢，还是它本身，你就把这样一个式子给它算出来就行了，那时间的关系呢，我们就直接给出结果了。 那么这个方法呢，就是利用相似对角画来求一个矩阵的 n 次方。好。最后呢，我们有一个非常重要的整理，就是我们要整理一下，如果题目当中告诉你矩阵 a 可逆，那么你要想到哪些等价条件呢？非常非常的多， 其实我们就一张一张的去想，我们每一张都学了什么，就可以把它们都缕出来了。如果告诉你矩阵 a 可逆，你首先想到它的行列式不能为零， 然后呢我们再想第二章，我们学了那个出等变换，这个矩阵 a 是 可以通过一系列的出等变换化为 i 的， 那么这个 a 呢，就可以分解为一系列出等矩阵的乘积。 另外 a 的 质一定是满质的，它等于 n， 那 么对于线圈方程组来讲呢， a x 等于零，只有零解， x 等于 b 有 唯一解，那么这个唯一解是什么呢？唯一解就是 a 逆乘以 b。 然后下一章呢，我们学了这个向量的知识，我们可以说 a 的 所有横向量是限行无关的，列向量也是限行无关的，这是因为矩阵的质等于行，质等于劣质， 那么如果行列都是限行无关的 n 个向量的话，那么而 n 当中的任意向量都可以由 a 的 横向量或者是列向量来进行向量表出。 最后呢，我们这一张还学到了特征值，因为所有特征值的乘积就是行列式，而可逆矩阵的行列式不能是零，所以说可逆矩阵的所有特征值都不能是零，这是一个非常重要的整理，考试的时候可能只告诉你矩阵 a 可逆，但是你得想到这么多等价的条件。 好，最后我们总结一下本章的知识点，其实本章的知识点呢，非常的集中，首先必须得知道特征值和特征向量他们是什么概念，他们怎么去求， 然后特征值和特征项链的这个性质，性质也都很重要。接下来呢，我们讲的这个相似矩阵，什么是相似矩阵？相似变换，不改变特征值。 另外呢，矩阵能够相对对角化，哎，条件你得稍微指导一下，如果能相对对角化的话，那么我们得求出一个可逆矩阵，让它能够对角化，对于实对称矩阵来讲呢，我们还要对它来进行正交对角化。 最后总结的这个矩阵可逆的等价条件啊，这个才是，这个就是你考试当中非常非常有用的东西了。好，那这一章的内容呢，我们就说到这里吧。

重新回顾一下，我们在这说一下第五章，好吧，重新回顾一下第五章 重新回顾一下第五章。各位啊，抬头，无论现在的你无论现在的你啊，哎，是四周吧，还是还是五周啊？四周啊，十二月份是两周，你这现在不还剩两周吗？哦，剩三周是吗？哦，剩三周啊，你还有五周，呦呦呦呦呦，来啊，六周 不对吧，你那最后那一周还算吗？一天都得算是吧。行行行行行。哎呀，你这我就觉得也就五周是吧，吓死了是吧， 来啊，无论现在你是在宿舍里还是在自习室还是在图书馆，呃，我们把最后这个第五张的重点考点，并且在屏幕前以笔记的方式给大家写一下。一个多小时，那你这会就当休息，你可以不用做题，大家动脑子好不好，我们老节奏，老样子啊。然后呢，我现在在天台， 然后我把这个内容再给大家串讲一下，然后上一次课我们讲到了相似对角化原理呃，以及它的传递性。那今天我以一个不可相似对角化为背景开头来给大家再把它嘱咐一下，好吧，好，第五张里面来，各位，我们先 回顾一下。先回顾一下啊，第五张的核心就是特征值和特征向量啊，所以我在今天看题之前，因为最后一次了，我把最后两张尽可能的给你辅导，再再给你回顾一下啊。好，各位，首先第一个， 本章里面第一大块的考点就是求解，就是求解。我，我重点内容，所以是红笔啊，求解。矩阵 a 的 特征值 与矩阵 a 的 特征向量矩阵 a 的 特征值与矩阵 a 的 特征向量。各位，一个是本章全部都是方阵， 本章全部都是方阵啊，一个是本章所有特征向量，一定不是零向量，这是定义当中规定的，这是定义当中规定的哈。好，那么求解特征值，特征向量里面我们有哪些方法？各位在这个地方最后给大家再 总结一下好不好？再总结一下啊，好，首先第一个就是常规定义法叫做错定义。这个背景我说一下啊，这个背景是抽象矩阵， 是抽象矩阵啊，抽象矩阵我们凑定义就是凑出这个等式成立，凑定义就是凑矩阵，乘以向量等于一个数 乘以向量，那么此时我对应的特征值就是拉姆的零，特征向量就是阿尔法，这是第一个啊，那这个凑的背景可以从哪些方面上去出呢？比方说冰姐前面直播给大家说过的 ab 得零， 那 b 的 例就是 a 的 一个特征向量了，对不对？好在比方说矩阵 a 的 所有行啊，各行所有行和均为三， 所有行和均为二，这个是不相当于矩阵 a 又乘一，一假设全为三，就是等于三，三三是这个过程吧。哎，这个要注意。好，这是首先是凑定义，在抽象矩阵情况下，我们对它的一个构造啊。好，第二什么呢？第二是具体元素型， 具体元素型就是具体矩阵。具体矩阵什么意思啊？那废话，里边元素全告诉你了，里边在全部告诉你的情况下，我们直接就是用公式， 公式有两个啊，第一个就是利用行列式 number e 减 a， 在 这等于零。可以求解矩阵 a 的 特征值，而且是 n 个特征值，包括重数。各位注意哈，就是 n 阶方阵一定有 n 个特征值，包括重数。 n 阶方程一定有 n 个特征，包括重数啊，这是第一个。好。第二个就是在我 lamb 的 零解除的情况下，构造对应的。其次方程，它的基解 各位一定要搞清楚啊，它的基础解析就是我现行无关的特征向量啊，它对应的通解， 它对应的通解就是我的全部的特征。项链，我也写全部项链了啊，全部项链里面一定注意，它的系数不同时为零就可以了，系数不同时为零就可以了啊，好，这是第二个，就是具体类型的，其中这个地方的行列是用 a 减拉我们的 e 也可以， 用 a 减拉我们的 e 也可以，这是第二个啊，好，继续第三个，第三个。除了具体以外，我们还可以利用什么呢？还可以利用表格， 利用表格法来进行求解。利用表格什么呢？可能这道题没有直接给你 a， 它可能给你与 a 相似的矩阵，然后让你去求相似之后的结果，或者有些题目可能跟你相似矩阵的 a 让你求 b， 它的伴随，甚至 b 伴随加翻译等等这种构造，这都是利用表格。利用表格里面呢，我们需要注意的是第一个矩阵 a， 它与自身特征值的形式是同行的。什么意思啊？你这是 lamba， 我 这就是 f， lamba 对 不对？好，另外呢，就是 a 的 逆，这是不是就是取倒数 对不对？然后 a 的 伴随就是 lamba 的 分支， a 的 行列式啊， a 的 转至，这也是 lamba 转制啊，好，然后是僻逆， ap 在， 这也是阿拉伯的好，然后我们看项链啊，项链一定注意，这个转制不在表格当中去求解， 它不在表格当中去求解啊。然后后面这个项链只有它是僻逆乘 r 法，是僻逆乘 r 法啊，好，那么前面这些，前面这些它的特征向量都是不变的，这个要注意，这是借助表格，我们来进行构造， 我们来进行构造，这个要注意啊。好，这是第三个，就是利用表格运算好。最后一种是什么呢？很特殊，叫做至为一， 叫做至为一至为一的矩阵啊，那假设 r a 至为一，好，首先我们要清楚，它的重要条件是矩阵 a 一定能分解成两个非零向量的乘积，就是比方说 alpha 成倍的转置 好，那么有了它之后，马上我们就可以得到。什么呢？可以得到。那情况一，第一种，如果我现在矩阵 a 的 g 是 不得零的，那么此时 lamb 的 a 就是 g， 我 以 三阶为例啊，就是记零，零四阶就是三个零，能懂吧？哎，括号啊，我假设以三维向量三阶为例，好吧，就是这 n 阶都是一样的啊。好，且其对应的特征向量阿尔法在这个地方，第一个就是矩阵 a 的 第一列 啊，第二个零零在这地方就是背的，转至 x 等于零，对应的解就是它的特征向量，对不对？好，第二种是什么呢？比较猛，如果巧了，我这个 g 也得零， g 都等于零，那么此时你会发现 number a 它全是零， 那么此时我特征向量阿尔卑一定也是来自于什么，被他转至 x 等于零，他对应的解好，那这个时候你就会发现，这种情况的矩阵 a 是 一定可以向速氧化的，这种情况的矩阵 a 一定不能向死对氧化 清楚的啊啊，这这这箭头啊，举真一定不能，像素要化好，各位来，我说了啊，最后一次直播五张六张的量太多了，所以我以总结的方式，在你考前你大脑里面我再给你嘚吧嘚吧啊，屏幕前这些 ok， 没问题的， 我们吱一声， 快快快，反应有没有问题？你大脑里面已经建够这个东西有没有问题？最后直播就给你串一遍这个吧。 啊，昨天复盘过了一遍。哈哈哈，昨天复盘过一遍。这么好，其实不着急，再加一次直播也可以的。真谢谢你啊，总共就那么五个礼拜了，你这抓紧复习。 嗯，这个超哥问过问题说等比等。总共就那么五个礼拜了，你这是抓紧复习。嗯，这个超哥问过问题，说等比等五个礼拜了，你这是什么啊啊啊， 好，行了啊，可以吧可以吧，这时候这一场我的直播你必须要互动啊，你的不吱声我还直什么播啊。第一个过了啊。好，这是本章考的第一大块，求解特征值和特征向量求解特征值和特征向量。明白明白啊，好，笔记我最后发给你。我目前前两次的笔记都收到了吗？我目前前两次的笔记都收到了，收到了吧。 收到了啊，这第一个考察好，第二考察。第二考察考什么呢？收到了是吧，考相似对角化， 考相似调化，本章其实最大块的就是这两个，收到了是吧啊，前一半是我的笔记，后一半是答案啊，我都给你放在一起了啊， 相似调化好，相似调化在整个现一代数里面，我们考两大类，一类是方阵对角化，一类是实对称矩阵相似调化。那么方阵对角化这个比较简单啊，那么情况一就是已知方阵 a， 且这个方阵 a 可以 相似地氧化它的两个充分，三个冲药。我上节课给你写过了，都打印出来了。打印倒不至于吧。打印？各位真打印吗？不需要不需要啊。这这你是高手，天天就行了啊。 那上节课我讲了两个充分，三个冲药，我就不说了啊。好，相似地氧化的判定就不讲了啊，我主要说里面内容。第一就是什么呢？它实质到底在求什么？它实质是在求性无关的特征项链。 你甭给我扯那个特征值啊，特征值这个本来就是 n 个，所以在这个地方它的步骤啊。那么第一步，第一步就是给我去求解矩阵 a 的 特征值， 去求解矩阵 a 的 特征值啊。好，那第二步就是再给我求解什么呀？求解对应的特征向量，而且就是特征向量呢，我要的是现行无关的特征向量，你不要给我写那个通解啊， 限行无关，突然降量。好，第三步，固定落款，无脑写 p 令 p 为 alpha 一 啊，一直到 alpha n， 那 么此时一定有 p 逆啊。 ap 在 这为对角矩阵，就是 lamb 的 e， 一 直到 lamb 的 n。 好， 这是第一大组 过了，这个没什么好说的啊。好，那这里面注意两个细节，各位，第一个细节是普通方阵 a， 普通方阵 a， 不 同特征值对应的特征向量一定相距无关一定相距无关啊，普通方阵 a 啊，好，那相同特征值对应的特征向量可能相关可能无关。 相同特征值对应的特征向量可能相关可能无关，听懂的哈，这个一定要清楚。好，这是第一相似的要化他的背景啊。来，继续第二个。各位，今天第二个你只要听懂了第六章是一样的事，第二听懂了第六个是第六章一样的二啊。第二个什么呢？就是实对称矩阵， 十对称矩阵他的相似对氧化。首先十对称矩阵是天生可以对氧化的，这个我们现在已经到冲刺阶段了，我想大家应该能接受。为什么十对称矩阵一定可以相似氧化？是因为我的二次型肯定能写标准型，我所有二次型是一定终将能写成标准型的，这个事承认吗？ 对不对？所以在这个地方我换回来去看矩阵，矩阵就是十对称矩阵一定可以相似的，要化就是这个哈。好，那十对称矩阵相似的要化，我把它说一说了啊。好，那现在假设我已经给你一个十对称矩阵。好吧，那么首先第一步。 第一步其实跟刚才一样，依然是求解矩阵 a 的 特征值啊。这个地方我就不再说了，特征值有定义法，有表格法，有公式法，有置为一的方法，你自己定位，你看这个题长什么样就可以了 好不好。嗯？为什么相同特征值可能相关，不是都无关吗？啊？不同，完蛋了吧。不同特征值我，我一会给你写啊。别急别急，我先把这个给你讲完。好吧， 大胆问哈大胆问，我一会给你解这个事哈。你给我等着。这句话怎么感觉有种威胁性，你给我等着。等一会啊，等一会，等一会。别急啊。第二步。第二步啊，第二步是求解限情物关突然限量对不对？哎，第二步开始了啊。情况一情况一，如果 我现在哎我我直接先这么写吧。就是哎哎，我就分开。如果我现在发现 alpha i 不 等于啊的，呸，嘴上说 alpha， 手上写的 lamb 的 啊。 lamb 的 i 不 等于 lamb 的 g 什么意思呢？我的特征值我的特征值在这个地方 是不一样的不一样的情况下各位来回答我，十对称矩阵不同特征值对应的特征向量一定是什么的，快点，一定是什么的 说，过关给我出去啊，说，过关给我出去。十对正矩阵不同特征值对应的特征项链一定什么呀？天生正交，你别再问我为什么了好吧，我幺三九习弟姑给你正了，超哥正课肯定给你正过。好吧，你别这个时候还不知道这个啊， 既然天生正交，所以此时我所对应的 r f e 一 一直到 r f n 只需什么？只需单位化，只需单位化 变成伽玛一，一直到伽玛 n 是 不是就可以？这是第一种情况啊。好情况二，如果伽玛的 i 巧了，等于伽玛的 j。 好， 那这个时候你要干什么呢？你要判是否正交？如果判他依然是正交的，那么此时还是单位化 还是单位化啊。好，如果你判定他，哎，怎么这个字写不上了？如果你判定他不正交，他不是正交的，那么此时你要第一步先干什么？先施密特， 老老实实背诗密特。背三个公式背三个就够。你不用背四个背 n 个背三个就够。诗密特，你说冰姐我诗密特忘了，差成记得吧。你说差成忘了？死孩子，差出去哈。用易姐的话说句，不用在这坐着了， 就是失密拓或差成，我总能把其中两个垂直的在保留的情况下求出第三个垂直的。昨天在自媒体号上有学生问我说，冰姐，这个垂直，那个也垂直啊，这个垂直那个也垂直。那第三个垂直为什么能保证他是另外一个向量的？这个，呃，另外一个弹性值的弹性向量。 那肯定啊，你 alpha beta 已经垂直了。各位，你常识也知道，你干么同时垂直于他俩，那只能是这个方向，只不过朝上朝下而已，所以持续就可以了好不好。这是施密特或者叉乘啊。好，在他的情况下，然后再给他单位化， 再给他单位化。好，此时终将能得到什么了？终将能够得到伽玛一，一直到伽玛 n 是 这个过程吗？好，到这个过程之后，那么接下来第三步。第三步我就直接令 q 为上数的伽玛一，一直到伽玛 n。 此时各位，他一定是正交矩阵 一定是正交矩阵。有 q 的 逆 a q 等于 q 的 转置 a q 也就等于那个对角。好，各位，今天是冲刺阶段，我们就别在这给你分开去看了啊。这个玩意玩的是相似这个玩意玩，玩的是什么？玩的是合同， 这东西玩的是相似这东西玩的是合同。这个要清楚的啊。好，那只不过在这呢。巧了，既相似又合同既相似又合同啊。好，正交矩阵天生必须满足所有列向量都是单位向量，且两两向量内积为零， 这个要清楚啊。好，那么屏幕前这是实对称矩阵相似对角化的背景。好，以上这两块呢，我给大家批注两个小事。好，第一个小事啊，如果是普通方阵 a， 如果是普通方阵 a， 那 么此时我这个矩阵 a 只能通过可逆矩阵 p。 给我打起精神来啊，今天下午就一个多小时啊，你给我动脑子给我听啊，那么是不是可以将其相似对角化，对吧？那这个过程当中也就记 p 逆 ap， 在 这为对角，我可以反求矩阵 a 的 方式就是等于 p 乘对角乘 p 的 逆， 反求 a 就 可以了啊，与此同时，求 a 的 n 次方都可以啊，好，行了啊，来，继续。第二，如果给的是实对称矩阵 a， 那 么我有两种方式来求解，第一就是实对称矩阵 a， 我 既可以通过可逆矩阵 p， 可逆矩阵 p 给它对转化，我也可以通过正交矩阵 q 给它相似对转化，对不对？那么此时分别得到的一个是 p 逆 ap 在 这为对角，一个对应的是 q 逆 a， q 等于 q 的 转置 a， q 为对角 对不对？好，这个时候我反求矩阵 a， 要么在这等于 p 乘对角乘 p 的 逆啊，要么在这等于 q 乘对角乘 q 的 逆，或者说 q 的 转置，当然，我们更首选后者。这是第一点，要注意啊，要注意反求的啊。好，第二点要注意什么呢？来再对比啊，普通方阵 a， 普通方程 a， 不 同特征值，不同特征值对应的特征向量就是 alpha i 与 alpha g， 一定是限行无关的， 不同特征值对应的通向向量一定限行无关。好，相同特征值对应的特征向量，可能相关， 也可能无关。我就直接这么告诉你，可能相关，也可能无关，这是普通仿真 a 啊。好，继续。第二个，实对称矩阵 a， 十对乘以 g a 不 同特征值对应的特征向量 alpha i 与 alpha g 一定是正交的，天生垂直一定正交啊。好，相同特征值相同特征值啊。要么那我就写可能了啊，要么依然是正交的， 要么不正交，但百分百无关。为什么？因为我天生可以对角化，我不可能相关，我不可能相关。好，各位来，我等你。我这一小节讲完了，没问题的，吱一声。

今天易老师给大家讲一个关于特征下量的题目，三维现在阿尔法贝塔满足阿尔法的转字乘，贝塔等于三，那么 a 呢？等于贝塔乘以阿法的转字。 a 选项贝塔是 a 的，属于特征职位领域特征限量。 b 选项是把贝塔改成阿法，错，阿法是 a 的，属于特征之领域特征限量，那么 c 是改成了属于特征之三的特征限量第一呢？是阿法是 a 的，属于特征之三的特征限量啊。这个题目抄的比较繁琐的简写了， 那么就是要判断，首先是客人现在是二号还是贝塔，客人指的是零还是三，那我们可以根据这个 啊，我们这个狮子，我们需要把它凑出这个狮子，对不对？那么这里有个二号法体，这里有个二号法体，那么把它同时又变成一个贝塔，那么 a， 贝 这个一背他啊，背他。好，这样我们就抽出这个式子，那我们就是背他乘以三，好，那我们把三踩在前面， 这样是不是就是特征限量第一啊？然后特征值呢？是三得，他是 a 的，属于特征值三的特征限量。答案是 c， 你明白了吗？

是吧？我们把第四章，因为前段时间你思考过了，思考过了，我把第四章的还有一点问题给大家讲一讲，好吧，这样第四章你就学的啊，也就问题不大了，是吧？也就告一个段落。好，我们看看， 这是一百六十四页的第八题，就是问你这个放生组有解的重要条件，对吧？好了，不就是非歧视放生组吗？那么就针管举证的问题，对吧？ 做完举证就是一负一啊，一，一负一零二，以此类推啊。一负一， a n 减一，是吧？这是一，这是负一啊。哎呀， 好了，就这样个东西好了，出，等行变换画成行阶梯形。好，我们看看在做过一倍加下来，对不对？好，把它变零了， 一边加下来，那这就加了个 a 一， 再负一。对。好，这已经是零了啊，然后依次推，第二行加下来， 对，一次对推，你看，再继续加，再继续加，最后这就变成零了，变成零了呢，最后就变成这个样子好了，最后它就变成 变成这样子，那么这个非奇次函数有减重要条件，对不对？就这个等于零。 好了，这个解去了第九题，我们又抄完 a， 它新式非其次的减， 可是一的课时减，二是基减系对应其次基减系。第二问，第二问呢？就用第一问的结论来做，第二问，非常常规的一个题，就用第一问的结论来做，所以我不讲它了，主要第一问我稍微说一下就行了， 要证明它现行无关。已知，这是对应其次的基解系。基解系们，首先就现行无关了，要证明整个现行无关，那我假设反证法， 假设它现行相关，假设现行相关。你好，无关的添一个进去 就相关了，那么添进去这个就可以用原来的线性表出好了， a， 它心就用它线性表出了，用其次方程组的解。向量线性表出了，是不是它就成了其次方组的解了 啊？就跟已知就矛盾了，就完了？好好， 我们看这复习题里边有几个问题给大家讲一讲。 这是非题的第六题，我也没抄完啊。啊，它是什么呢？第一列这个叫做 r 法一，第二列这个系数叫做向量 r 法二， 第三列叫做 r 法三，对不对？好，然后每一个方程就是平面上的一个直线，那么平面上这三个直线交于一点的重要条件是什么？好了， 教育一点嘛，你看这个就转化成我们非其次方程组的问题了，对不对？你看一个项， 我一个项，不就成了 负 c 一， 负 c 二，负 c 三了，对不对？那就等于是这个方程组怎么了？为解， 相当于就是问它的唯一解重要条件了。好了，这相当于就是什么啊？你也看 r 法一， r 二，对吧？ x y 等于负 r 法三，看到没有？是不是就这样一个方阵组啊？ 好了，非奇式方阵组的问题就是线圈表出的问题， 也就是负二法三，负二法三，那么大家都成个负号，无所谓了，就是二法三可以由二法一、二法二限性表出，而且唯一的限性表出，对不对？限性表出。行了， 二法三可以由二法一、二法二限性表出，然后还有唯一减，唯一减，你看 有减 a 就是 这个东西，对不对？唯一减那就要等于什么？等于什么？未知个数，未知个数等于二，对吧？等于二等于二，那也就是说这个 r a， 你 看 r a 等于二，那就 r f 一， r f 二限性 无关，所以三就是 r f 一， r f 二限性无关，对吧？然后 r f 一， r f 二， r f 三呢？相关， 或者也可以说这是 r 法一、 r 法二，先用光， r 法三，可以由 r 法一、 r 法二限性表出，对不对？这就是它的重要条件。 明白哈，大家不懂可以随便说的，没关系，行了，下一步看。因为写不下，我就该擦擦了。 好，这样是一个一类问题啊，一类问题 啊，一类问题。你看，我们经常有这样的，这么两个字，加起来刚好等于摁，这样的东西。好，我们稍稍给它 分减一次。原来是什么？ a 平方减 a 减二 i 等于零。好，你看，那我写成，你看，你看， a 减二 i a 怎么样？加个 i 啊，加 i， 那 就等于 a 方减 a 减二， i 等于零了， 那也就是说你看两个矩阵相乘等于零矩阵，所以它们自之和 小于等于。好了。然后呢，大家就再证明大于等于好了，证明大于等于。看看啊，因为写不下，我就给它擦掉了啊。 好了，你来看，我这样做，你看用哪个字的公式呢？只有两个字之后要大于等于，只有这个东西了，你看只有这个公式， 看到没有？对，这之后要大于等于二，只有这个公式，只用这个公式。好了。那么你看，我 a 减二 i a 加 a， 因为一个矩阵相差一个符号，这个字是一样的，字是一样的，所以我交换一下，成了这样，那么这个两个矩阵之合的话，或者反过来，反过来，反过来，反过来，我刚反过来。二 a 减 两个一加，你看就大于等于两个矩阵，一加就是三 i， 三 m 就是 i， 那 就自子就等于自子和大于等于 n， 然后小于等于 n， 所以 等于 n， 这是一类问题。 行了，我们再看二十一。 好，二十一， 二十一，那么证明那个信息无关。 那我们用最常规的方法，不就是考虑或者要考察 x 零 r 法加 x 一， a r 法加 x k k 减一， a k 减一 r 等于零。 好了，已知条件， a k r a k 次方，阿尔法等于零。你看，这没有 a k 次方，所以我就很自然看到没有。乘一个乘一个 a， 乘一个 a， 那 就乘了 平方，阿尔法 a k 减二， 对吧？我等式两段，左乘一个 a， 左乘左乘一个 a， 之后，这个等于零，它等于零，可以，它等于可以去掉了，它等于零嘛， 对不对？好了，那我再乘一个 a， 又化掉一个，以此为推，再乘 a， 再乘 a， 一 次乘，最后实际上得到了， 对不对？你看没有，我乘一个 a， 去掉了嘛？我再乘个 a， 又去掉一下，再乘 a， 又去掉一下，最后得到它了。行了， 它不等于零。向量，那只有只有 x 零等于零。 好了， x 零等于零，又回到最原始的这个式子，这个是零，那也该去掉了，看没有去掉了，没了， 是不是？我又如法炮制啊，左乘 a， 左乘 a， 不 断左乘 a， 是 不是最后又得到了？只有 x 一 等于零？好了， x 一 等于零，我又给它去掉了，看没有，又左乘 a， 是 不是？所以叫做同理可证，对不对？ x 一 啊，就做完了，听明白吗？ 哎，这个方法也要学到啊，也是一个很常用的学法啊，做法不断地成啊，不断地成， 好了，以后还会遇到一个很常用的方法，你看这是等式两端，同时左乘 a 不 断的左乘 a 不 断的 左乘，一个也去掉一个，再左乘 a 又去掉一次，一对，好，还有一种方法呢，是等式两端，我可能你看，我们现在没有学对，即比如假设是在三维向量空间，三维向量空间， 我们就学个内积，对吧？向量的内积，好，我还。以后，以后我们还常用短向量同时和某个向量内积，再用跟某个向量内积等等。这种方法好，好了， 这个题我不再讲了啊，虽然非常好，这个留点空间你们再自己做。我讲了一个比较简单的，第十四题，对不对？ 十四题没带参数，那么二十二题带了参数了，大家会做啊，两个限量组等价的问题。 最后最后这个题非常好，我当时说了，请大家去思考一下，为什么好呢？代数与几何的结合 看，没有，既是代数的问题，也是几何的问题。看，没有用我们代数的东西来研究几何的问题。这个题啊，表现的比较充分，这是我再教大家思考了啊。好，我们来看看， 这题挺好的，挺有意思。 好，我们来看。哎，举正反制， 然后问我呢，是这两根直线位置关系，什么意思呢？两个直线空间，直线有可能平行，有可能不平行，不平行呢？那么有两种情况，那就是相交对不对？ 还有一种呢，就是意面啊，啊，就这样，三种情况我们搞清楚， 哎，这题不错啊，哎，四等于三，四等于三，当然行列 c 不 等于零，当然线形三个列。向量组，线形无关，横线两组线形无关，对吧？你看，没有这句话就让我们联想到这些东西了， 好，还要联想很多嘛。好，既然你三个列向量线形无关，行了，那我任意两个列向量。 我再说一遍，三个列向量线性无关，那我问你，任意两个列向量，哎，也，线无关，看到没有？整体无关，部分无关，等等。行了，好啦，直线的问题，首先 s 一 和 s 二， 对不对？这要搞清楚。表演，你看 s 一 是不是 a 一 减二，是不是这两这两横相减啊？啊， 好，这样想，减点在第一，第一行减点，第二行好，一减，这呢，第二行和第三行一减， 减了之后是不是？你朝个再分析吧，你看一减是不是就成了 a 一 减 a 二， b 一 减 b 二， c 一 减 c 二啊？以此类推，我还可以 a 二减 a 三， b 二减 b 三 c 二。好了，我问你，这个行列是 还是怎么，还是不等于零？那线形无关，这三个横向量线形无关，也就是说这两个向量线形无关，所以这两个向量 不平行啊，这两个直线不平行，但如果一平行，那就不要做了，对不对？就做完了。不平行， 好哎，但平行还没做完，就是这样的，直线还有可能重合，对吧？好了，不平行，那也就说先交或者意面。好，我们看。 哎，是不是意面我们原来怎么考察的呢？这个直线上去随便找一个点，这有一个 m 一， a 三， b 三， c 三，看到没有？这个直线上有个点，这个直线上有个点 m 二， a 一， b 一 c 一。 好了，那我们只需要看 这叫什么？混合级，是不是就看这个混合级等不等于零啊？好了，这个混合级是什么吗？混合级的混合级是不是就是一个行列式？ 好行列是 a 一 减 a 二， b 一 减 b 二， c 一 减 c 二啊， a 二减 a 三， b 二减 b 三， c 二减 c 三， 那就是 a 一 减 a 三， b 一 减 b 三， c 一 减 c 三。哎，不错，大家看，等于零。为什么等于零啊？ 哎呀，你看这三个数是不是加起来等于零啊？那我全加上去，看到没有？这行列是我全加上去，那全是零，所以等于零。好了，那怎么样？ 共共面而不平行，相交一点 好，挺有意思啊。行了，我们接了上次特征值的回忆一下啊，回忆一下我们特征值特征项链讲了什么？ 来回忆一下，对于方正，方正，我们定义了特征值特征项链 好，这些特征是特征项链的概念。注意，特征项链是非零项链，这常常是我们的一个很关键的地方。行了，然后我们讲哪些基本的概念呢？ 一个特征值对应于多少特征项链？无穷多个阿尔法是他的特征项链 k， 但不对零好。还有， 那么他有很多特征项链好。假设 r 法一到 r 法 s 都是这个特征值的特征项链。好了，这个特征值的不同，特征项链的非零限性组合，还是这个特征值的特征项链 非常好。还有好了一个特登值，对于无穷多个特登项链，我们反过来就一个问题。好了，我知道一个项链是举正 a 的 特登项链，它能不能是属于不同的特登值啊？不能，只能属于一个特登。好，再见了， 非常好。然后我们还有哪些基本的东西？我还讲了单位矩阵，数量矩阵，对不对？好，大家知道单位矩阵特征值是什么？ e 还是 k？ 好 了，特征项链呢？ 哎，不错，任何菲林项链，你看 i x 都等于一乘 x。 好， 你看没有任何菲林项链，任何菲林项链都是单位举重或者数量举重统称项链。 好，那如果我要教你表示出来单位矩阵数量矩阵的所有或者是任意特征向量表示出来怎么写？假设教你等于怎么写 啊？任意 n 为限量，可以用它的 r n 的 极限表出。哎，就是什么嘛？就是 k 一 一送一加 k n， 对 吧？当然 k 一 到 k n 怎么样？不全为零，不全为零， 对吧？好了，非常好了啊，这一基最基本的好了。然后我们分析这个计算方法的时候，发现了，发现了两条很有用的性质，就是记 对角圆之合等于特征值之合，然后行列式等于特征值的乘积，然后通过行列式等于特征值的乘积。还发现了举证可逆冲要条件特征值全部为零， 或者说矩阵不可逆冲量条件零是它的一个特征值啊，零是一个特征值啊，非常好。然后我讲了讲，继续讲这个东西， 矩阵特征值特征项链 a， 朗达阿尔法 a m 次方，朗达 m 次方，特征项链还是这个阿尔法。 好了，然后我讲了矩阵多项式特征之，就是朗达的多项式特征项链。还是阿尔法特别有用，特别有用 啊，比如说我们当时用过了，比如说啊，三 a 平方减减二，特征值就是三，那么大平方， 对不对啊？假设 a 是 那么 a 那 么大，是 a 的 任意特征值，那么它的特征值就这样，而且特征项链跟原来的是一样的， 还是阿尔法。好了，然后我们不是在做作业吗？做作业，你们是不是做了这个？做了这个。对，好了，我们还差一个。哪一个？两次？ 好了，这个是作业做了，等会我讲一讲，我们先把答案说一下好了，它的特征值只有那么大分之一好了，你看可逆矩阵特征值不等于零 啊。特征向量还是哪儿法？你不要，千万不要轻视这个，这个往往是很关键的东西，解决问题很关键的就在特征向量还是哪儿法 好了。 a c 的 特征值那么大，分支行列式还是二法 好，这都是结论啊，都是基本结论啊，要非常之熟的哈。非常熟的，我不是说了吗，现一代数好多东西呢，要要求了，公式呢？它，它没有写成定例，就好像这个样，大家根本不用想是吧？它就是行列式的 n 减一次方，对不对？ 这都很熟。好了，这个呢，就是那么大，注意，千万不要乱来了，不要，还是阿法 好。什么意思呢？你不信下去一个，就像做个小作业，不要举那么麻烦，就举个二阶举子，简单一点，你写一个二阶举子，简单的， 你去算特等值，特等项链转制求特等值，求出来肯定一样了。好了，特等项链一定把原来那个特等项链像你因为特等第二个转制的特等值都知道了吗？是一样的，你把那个特等项链带入第二个转制的特等值，特等项链一般就不成的， 一般就不成，就说得不出这个结论，因为数学上我只要举出一个反例，结论就不正确，所以不确定。好了，下面我们再来熟悉一下啊， 我们再来复习一下。看了，那么啊，对不对？那这个， 这个我已经讲了，你随便举个例子，你算算出来，你只要举个反例的嘛，不对就行了嘛。好了，那么我们看主要这部分啊，还有这边 a e a e 嘛，好简单嘛， a r 法等于那么大， r 法假设 a 可逆的啊，那就那么大，不等于零，那我 a e 左乘 a e， 那 就乘啊， 对不对？很简单，哎，就做完了分线量还是二法再来伴随矩阵 a 心好，再来复习下啊。 a 心不就是用这个式子 等于行列式乘 i 嘛。好， a 型来，所以左乘 a 型，左乘 a 型，那就是行列式乘 i i k 不 写 等于 number， a 星阿尔法。好了，当然 number 做分布了。这个这个结论肯定是要有一个假设。有个什么假设啊？ a 可逆，对吧？要不然这就错了，假设 a 可逆的好了，那么就成了， 对吧？做完了，好了，转制这个呢？转制这个用这个做不出来，最后这个用这个做不出来，转制这个这样的很简单， 我说它等于大家看得出来不？我说这个相等， 大家看的出来不啊？忍一下啊，忍一下，看得出来不？实在要打，快睡去做鼻涕啊，看得出来不？为什么。 哎，把，那个转字是不是就是在括号外边去了？你看，你看，是不是这样了，这样了，然后转字的含义是等于圆的含义。 对，好了，这就可以了。这什么意思呢？证明了，证明了 a 转制和 a 的 特征多项式相同，或者说那个特征方程是一样的，特征方程都一样了，那么根就一样，所以特征根一样，那特征值一样， 所以证明两个矩阵的特征值相同。那也就告诉我们有一种方法呢，就是证明特征多项式相同，对吧？就是特征方程是一样的，与方程一样，那么那个根就一样。 行了，听好，好了，看这这个东西，这上面是讲过的，上次讲过了，这上次讲过了，好了，下面 请大家注意啊，这相对于我给大家列了一张表格，这个表格非常有用 啊，非常有用，理解它的含义，特别是右边它的含义。 好了，我说假设 number 是 a 的 特等值，我说下面那个句子特等值马上就写出来了， 就是那么大三次方减三，那么大平方加二减四倍，那么大分之一，我说一定对的，为什么呢？大家肯定觉得有点不对哦， 看了假设我把它盖住这儿，这部分盖住是不是没问题啊？肯定对了，因为我们有依据 f a， 你这个就不对了，但没关系，我说我们推一下，马上一定一定是对的，原因就在于 还是这个二法，原因就在这。好，我们来看看 来， a 三方减三， a 平方加二，二减四， a e， 假设 a 阿尔法等于 number 阿尔法的话，你特征值就必然对应对应的特征项链嘛。假设阿尔法，行了，那我就乘阿尔法，你看 好了，那就是 number 三次方阿尔法， 最关键就在这这个对应关系，如果没有这个特征项链这样一个关系，那就不一定对了，行了，你来看就对了， 的确，这就是那个矩阵的特征值，而且特征项链还是那个耳法，你原来什么耳法，我现在就什么耳法 啊，这就是原因，所以大家可以放心的用。但是我如果后面写个转字，那你推不过来的， 推不过来推人值是可以的啊，你说最后，最后我再减个什么 a， n、 g， 再加个转字啊，等等，那就不一定了，那就错了。好，挺好， 好，我们来现在来用一下，稍稍看看简单的题，这是行列式啊，这根两根线比较细啊，行列式基数间 好，行列式等于负一，证明负一是 a 的 通值。好了，我们实际上关于特征值的问题， 关于特值的问题，一个是这个最原始的定义，另一个呢，就是用 它等于零，如果等于零，那那么它就是 a 的 特征值。对，这也是我们特征值的另一种定义。什么叫特征值？所以我说有一书叫特征根呢，特征值就是特征方程的根，对吧？ 好，我们就用这个了，因为这个已知的条件是行列式，哎，这个很好用，是吧？已知条件是行列式，我干，行列式，我用这个吧。啊，好了，我用这个哈，那不就是负一 i 减 a， 行列式等于零的问题 啊。负一 i 减 a， 含义是 i 等于这个东西带进来，带进来好了，右端都有一个 a， 所以 提出去。对，提出去，提出去，还，这个转字就相当于啊，给它擦掉了。 好了，转制，这个转制弄成括号，括号的转制，对不对？括号的转制，括号的转制，然后行列式等于负一。好了，这个这个念括号的转制，这个跳了一步，跳了一步。 s、 n 就是 等于等于负的，本身是这个， 那么你看十三，就这个对，好，这个转字又相等的，所以它好了，所以大家就做完了。 啊，啊，很简单哈。好，下面我们继续。 好，我们继续。这个没撒，很简单。 好了，那我问你，是不是我随便给你一个数，它都是某一个矩阵吞字。 肯定嘛，你随便给我一个什么数 看，没有，它就是这个矩阵吞字吧，它吞字就是什么对角圆，是吧？好了，当然我随便也可以这样。好，这个你看这个矩阵， 这是一样的啊，像这个，这个两个例子差不多啊，你看 number i 减 a， 横列四，等于 number 减 number 零 number 看到没有，这特征值就是零，零那么大零，对不对？好耶，我们也发现了什么啊？发现了，相当于我们发现了一个小秘密，对角矩阵的对角矩阵的特征值。 对角矩阵，你随便给我一个对角矩阵， 你看， 哎，这叫矩阵的特征值，你看就是什么？这叫圆。好，我们发现了这个事实啊，再来， 随便给你一个列向量阿尔法是不是都是某个矩阵 a 的 特征向量？ 哎，非零项链的话就对，但它不是非零项链就不对。如果非零项链，你看，哎，你看没有就是单位矩阵了，看没有也是我们数量矩阵的特征项链，但如果是不是不是非零，但就不对了。 好了，再来啊，这个事刚才讲了，怎么判断一个数是不是特征值呢？是我们现在两种方法，一种呢是定义，一种呢就是刚才所说的特征多项式或者是多特征多项式的根啊，零点，行了， 我们再来啊，没必要抄啊，这个题没必要抄，很清楚，来听，很快想一想怎么做 怎么做。是不是啊？先把逆求出来，再求逆的推论值， 那就对，太麻烦了，只需要把 a 的 特征值求出来，它的通值就那么大分之一，对不对？好了，这个通值又怎么求啊？ e 加那么大分之一， 千万不要去求逆啊，求逆当然是对的，太麻烦了啊。那就不要讲了，不要讲了啊，因为现在也没事，没事，我们就过一下嘛。没事，看到没有，刚开始第一次我们就慢慢讲， 因为讲了后面就不能这一过程，就如果再讲就太浪费时间了啊。哎，求出来了，求出来了，么呢？这个通值么呢？就是负五分之一，负五分之一一啊吧，负五分之一一一是吧？好了，这就是一加两个。好，这不要讲了， 这也对的，没必要这样做，太麻烦了，直接直接做就是。啊，什么意思？不要看这个，看了给人扰乱了。这是对的啊，就把哎呀，村子都求出来了，那么大， 它的头文字母就是一加负五分之一，一加一分之一，再一加一分之一，是吧？行了， 这是原来我们出版的 ppt 也是对的，就麻烦了嘛，没必要那么做。 好了， 第一节结束了，这样刚好时间差那么一两分钟，我们就这一节课，我们就提前休息那么一两分钟，等会儿讲它。好。

好，下面考虑第三个问题，就是特征值，特征向量的性质。那么首先呢，先来看特征值的性质我们，呃，先来看一下刚才提到的特征对象，是 啊，那么这个特征多像是啊，我们按照行列式啊展开公式把它进行展开。首先大家注意到，行列式计算公式当中有一项是阻对角线上元素的乘积，对吧？ 那么加上其他项，其他项我们在这里先省略了。那么首先呢，这里边有一项，是啊，很明显是阿拉伯的 n 次方。下面呢，我们来考虑阿拉伯的 n 减一次方的系数。 那我们来看这个栏的 n 减一次方是怎样产生的呢？由于栏的只在主对角线上出现，你要取来 n 减一个栏的话， 那是不是比如说我取的是最后 n 减一个栏目的，根据行列式的计算规则啊，你要取不同行不同列的 n 个元素的乘积，你取来了后 n 减一行和后 n 减列 n 减一列之后，是不是另一项就只能在第一行第一列取啊？ 也就是说，你如果取了这 n 减一个栏目的作乘积的话，另一个常数你一定要在负 a 一 这里取， 对吧？所以说呢，咱们的 n 减一次方的系数只可能产生于阻对角线上元素相乘的这一项。 换句话说，我们考虑咱们的 n 减一次方这项的系数，我只需考虑这 n 减一这 n 项的乘积是不是就可以了， 对吧？好，那我们来看一下这里边 n 减一次方的啊，咱们的 n 减一次方的系数是谁呢？第一项取常数，其他都取零 啊，其他都取蓝的。第二项取常数，其他 n 减一项取蓝的啊，最后一个呢是最后一项取常数，前面的 n 减一次方的系数 就是这一项啊，那么下面依次还有 n 减二次方、 n 减三次方等等的系数。在这里我们不关心， 我们关心谁呢？长数项，我们来看一下，大家知道关于咱们的多项式的长数项是不是就应该是这个变量？咱们的取零的时候， 那 f x 表达式的常数项是不是 x 取零的时候啊？多项式的，对吧？那么这个 f 栏的这个表达式当中，那个常数项是不是就应该是栏的取零的时候就 f 零， f 零是谁呢？ 是不是就负的 a 的 行列式，对吧？好，栏的等于零，那 a 是 一个 n 阶方程， 那么这个负一提出来的时候，每一行都有一个负一，呃，或者说这个负一我们知道不用那么说了，应该是负一的多少次方？ n 次方对的行类是， 这就是长竖向。好，这个式子呢？特征方式是我们按照行列式的计算公式展开式得出来的。另外呢，我们想知道这个特征值和这些系数的关系 啊，和这个矩阵 a 矩阵的这些元素的关系。下面我们再接着来看，我们假设栏的 e 到栏的 n 是 a 的 所有特征值，也就是它的 n 个特征值的话，那么这个时候特征多项式里边是不是就应该含有栏杆减一栏杆，栏杆减栏杆一，栏杆减栏杆二，栏杆减栏杆 n 这些一次音音式啊？ 也就是说 f 栏的就可以写成这个形式，对吧？这个这个对象是如果根是栏的 e 到栏的 n 的 话，它就一定可以写成这样的形式。嗯， 那么这样的话呢，我们把这个 n 个一次音式的基也写出来，按照栏的作为未知数写出来的话，那么最高次幂当然还是栏的 n 次方，栏的 n 减一次幂是谁啊？ 是系数是不是就负栏的一，负栏的二，负栏的 n 啊？它们相当于常数栏的是未知量啊， 这就是咱们的 n 减一次方的系数。那么长竖项是谁呢？长竖项是不是也是咱们的等于零的时候啊？就是负篮的一乘以负篮的二乘以负篮的 n， 嗯，就是这个结果。也说负一的 n 次方，咱们的一一直乘到咱们的 n。 好， 现在我们得到了两个表达式， 这两个表达式表达的是同一个多项式，就是那个特征多项式。同一个特特征的多项式的话，或者换句话，两个多项式相同的话，是不是同类项的系数相同啊？哎，那这个时候我们就得到啊， 咱们的 n 减一次方的系数是什么呢？所有特征值的和等于 a， 矩阵的主对角线上元素之和， 对吧？ a 的 组对角线上元素之合呢？实际上我们有个概念，把它叫做什么呢？ a 的 组对角线上元素之合 i 从 e 到 n， 它呢叫做矩阵的 g， g， 用这个符号来表示 矩阵的 g 啊，比较长竖向的话，是不是所有特征值的乘积就等于矩阵的行列式啊？那么好，我们把它描述出来， 如果咱们 e 到咱们的 n 是 n 接方阵 a 的 呃，所有特征值，那么这时候所有特征值的和就等于矩阵的 g， 所有特征值的乘积就等于矩阵的行列式。这两个性质是矩阵的特征值的最基本的性质， 最基本的性质，那么它描述了呢？特征值和矩阵的一些因素的关系，也就是 也就是这个特征值呢？啊，就是我直接用矩阵就可以描述特征值的一些信息，反过来呢，我如果特知道特征值的一些信息的话，我也看，也可以看到矩阵的一些啊，矩阵的一些性质， 比如说你看啊，我从这来看，我从这所有特征值的乘积等于 a 的 行列式，等于矩阵的行列式。那如果我这些所有的特征值都不等于零的话，是不？ a 的 行列式就非零啊， a 的 行列式是非零的话，这个 a 矩阵是个什么阵？可逆阵。可逆阵是我们非常感兴趣的一个矩阵啊，所有的特征值都不等于零的话， a 就是 个可逆阵，而如果这个特征值里面有零的话，行列式是不是就等于零了？那这个矩阵呢？ 当然就不可逆。所以也就说从分析它，我们就得到这样的一个结论，这个结论呢，也就是 a 可逆的又一个等价说法。 实际上你前面已经说了可逆阵的很多等价说法了，包括一个 n 阶方程，对一个 n 阶方程来说，如果 a 可逆， 充分必要条件是不等于零啊，充分必要条件 a 满置啊，充分必要条件什么？呃，其次，线方程组只有零解，方程组有唯一解。呃，充分必要条件列向量组现行无关是不？等等等有很多， 为什么用这么多种方式来描述它呢？实际上就说明它非常重要。那现在学了特征值之后，我们又学会了或得到了可逆震的又一种等价说法，就是 a 可逆的话，充分必要。条件 a 没有零特征值。 那么由这个结论呢，我们啊可以直接啊啊，根据特征值特征向量的概念就得到下面这样一个结果，这个结果可以说是习题 啊，当然它也是一个很重要很有应用的呃呃，应用很有应用的呃，这个性质我们可以简单的来推一下。 首先这性质说的是什么呢？我们来看啊，条件啊，已知 a 可逆 啊，这个式子是不就说篮的是 a 的 特征值， x 是 对应特征向量啊啊，那么这两个结论直接读出来是什么呢？如果篮的是 a 的 特征值的话，是不是篮的分之一就是 a 逆的特征值啊？ 啊，栏目的分之 a 的 行列式是不是就是 a 的 伴随正的特征值啊？这是从特征值的角度来看，如果我从特征向量的角度来读的话，大家看，如果 x 是 a 对 于栏目的这个特征值的特征向量， 那么 x 同样的 x 也是 a 逆对应于栏目的分之一的特征向量， 同样的 x 也是 a 的 伴随阵对于栏目的分之 a 的 行列式的特征向量啊。也就是说我如果 a 可逆的话，我从 a 矩阵的特征值特征向量的信息就可以得到 a 逆和 a 的 伴随阵的一种一些特征值特征向量的信息。我们做一个小题呢，来推一下 已知啊，已知呢， a x 等于蓝的 x， 这个 x 是 不等于零的，而且因为 a 可逆，所以这个蓝的怎么样， a 可逆它是不是就不等于零啊？刚说完我们说要用这个结果，那么现在我们就来看，你要求 a 逆的话，我只要把这个式子两侧左乘 a 逆，用左边 a 逆从左边乘它 啊，那么这个时候直接我们知道矩阵乘法满足结合率，这是不是就单位这样？那这边就是 x 啊，这边呢，大家看，因为蓝的不等于零，是不是蓝的可以除过去啊，所以蓝的不等于零很重要，那么我就得到 a e x 等于蓝的分之一， x 直接就出来啊，那 a 的 伴随震那个类类似啊，我从这个式子出发，我两边同时左边用左边乘 a 的 伴随震 这个式子，那么这个式子大家看，实际上乘法满足结合率这里，哎，这是很重要的一个结果， a 伴随震乘以 a 等于谁啊？ a 的 行列是 乘以 e， 对 吧？所以 a 的 行列乘以 e， 再乘以 x 的 话，那就是 a 的 行列是乘以 x， 现在等于蓝的 a 的 伴随证 乘以 x， 同样道理，因为蓝的非零就可以除过来，因为 a 可逆，所以蓝的非零可以除过来， a 的 伴随证 x 就 等于。 这是一个小的题目，但是它应用起来，刚才我说了也很重要，很常用 啊，下面呢，再看。呃，思考两个问题啊，目的是呢，加强一下大家的对概念的理解。好，现在呢？ x 是 现在还是？ a 是 可逆阵？ a 的 特征向量， 所以说实际上就是条件和，这就是可以写成这样的形式，这是条件。问题是什么呢？ 问， a， x 是 不是 a 逆的特征项链啊？那么我还是在这强调一下特征项链这个概念，谁让你要验证一个项链是否是一个矩阵特征项链？你要说两件事，首先最基本的要说说明这个项链怎么样 啊？我今天强调好几次了，非零，你要它要成正相等的话，你首先得说它非零啊，你得说它肯定非零，那么现在它是不是非零呢？第一件事，第一件事是不是非零呢？大家注意到 x 不 等于零， 现在 a 又可逆，那么现在我们说，所以我说 ax 一定是非零，为啥？ 怎么说都行？你你你你，你反正也行，如果它等于零的话，两边做成 a 的 逆，是不是就推出 x 等于零了？那是反正，但最漂亮的是什么呢？用前面结果我们说可逆阵成一个矩阵的话，是不是相当对它做出等变换啊？出等变换，保持 质不变，质不变，也就是说，那么，呃，它的质显然是一了一为的非零向量吗？所以 a s 的 质也是一，质是一的话，当然非零了， 对吧？质等于一非零，这是第一件事，就说，记住啊，你要说一个向量是特征向量，你首先得说它非零，好，那么第二件事呢，就要符合概念，你要想去说明呢？这个，呃，这个说这个向量， 这个向量 ax， 它是 a 逆的特征向量的话，那么你就要要去找一个数， 找一个数，或者说存在一个数，存在一个数，某一个数使得什么呢？它乘以它就应该等于这个数乘以它，对吧？啊，那么下面呢，你看看是不是能找到。那么这里首先它乘它的结果是等于什么呀？ x， 对 吧？ 乘法满足结合率，而这里边呢，要转化，我们知道 a x 是 不等于蓝的 x 啊，蓝的 x 啊，而蓝的因为 a 可逆，蓝的是不是就非零啊？非零的话，所以说呢，它把这个位置呢，我要把它这就相当于蓝的 x， 所以 我要乘个蓝分之一就行了，对吧对吧？ 写清楚它，我我要给它推出来一个数乘以 a x， 这个 x 是 不是可以写成蓝的 x， 因为蓝的非零是不是乘以蓝的分之一啊？ 对吧？这很简单嘛，我就要配这个东西，那么蓝的 x 是 不是就是 a x 了？那么它就等于蓝的分之一乘以 x 啊？ 所以这里啊，计算过程呢，可能并不是最重要的，最重要的是大家概念要清楚，就说你因为每个题它的运算步骤可能会不同，但是最基本的，你要说是特征向量的话，首先要说非零。另外一件事，刚才说 找到一个数使得它作用它，等于一个数作用到它，那么实际上那个 a x 是 a 逆对于咱们的分之一的特征向量，结论是，所以答案是肯定的。下面呢， 又是一个概念性的问题啊，这个呢，说 x 是 n 阶方阵对应于喇么的特征向量，那么问你 x 是 不是 a 的 转制的特征向量啊？就是这个问题， 现在根据已知条件呢，是存在数篮的，存在数篮的使得这个事成立，这个 x 当然是非零，它是特征向量，它当然是非零的。那么下面的问题呢，就是说 问题是说 x 是 不是 a 的 转值的特征向量，那按照刚才的说法，它的当特征向量，首先它得非零，这个没问题，对吧？ 它非零没有问题。那么下面就关键就是说，我能不能找到一个数推出来 a 的 转制啊，作用到一个 x 呢？等于这个数作用到 x， 那 么现在条件就是它从它推它， 我们没有看到那种必然的结果，那现在是问你这个是不是确定的， 通常这是确定的事，你一定能挣出来，如果不确定的事呢，你就应该能找出反利来。那么现在呢，你看条件很简单，条件很简单，我就要推他，我直接看，看不出来，那我们就来考虑呢，嗯，是不是有反利？实际上这个问题来源于哪呢？大家看。 首先，首先已知啊，咱们的是 a 的 特征值的话，那就有咱们的 e 减 a 行列式是不是等于零啊？ 啊？那么那么这个时候呢，因为你考虑是 a 的 转制的事，那你从它只要把这行列式取转制的话，是不就得到咱们的 e 的 转制，还是 e 减去 a 的 转制等于零，这个结果说明什么呢？ a 的 特征值是不是一定是 a 的 转制的特征值啊？啊？那也就说蓝的如果是 a 的 特征值的话，蓝的一定是 a 的 转制的特征值。但是呢，现在的问题是 啊，那么特征值是对应相同的，那特征向量能对应上吗？刚才说我们说推不出来，推不出来呢，你就去看看，找反例，找反例通常就是越简单越好，你当然就是找一个，呃，简单又能啊，说明问题的哈。 呃，我们来想一下，刚才我们知道简单的结果，三角阵的特征值 是不是那个那个组对角线元素啊？然后我找个三角阵，比如说我 a， 我 就取成简单一点的，我啊，不能取对角，取对角转置之后不变了，所以我就这样吧，简单一点， 这就是最简单的，比单位阵稍微复杂一点，那么很容易可以看到特正值，是不是就是一啊，对吧？一是特正值，那么这个 x 零，我去乘一零，你可以计算一下啊，那么 ax 零 实际上就是等于一零，它乘它，简单的计算，这行乘以最列是一，这行乘以最列是零，对吧？所以说这个 x 零是不是 a 对 应一这个特征值，特征向量 一乘以 x 零，对吧？那么现在你再来看呢， a 的 转置 就应该是一一一去算一下， a 的 转制乘以 x 零应该等于什么呢？一一 乘以一零吗？是不是一一啊，那么它就不平行于 x， 所以 x 零就不是这个 a 的 转制的特征向量啊。 那这个呢，就想告想告诉大家，这样应该说是两件事， 两件事啊，那么一个是呢， a 矩阵的特征值一定是 a 的 转制的特征值，但是 a 矩阵的特征向量呢？未必是 a 的 转制的特征向量啊，这里面给了反例， 你要想给正利的话，也有对不对，你举个对称对称阵就行了，或单位阵就可以了。嗯， 好，下面呢，再考虑一个啊，可以说是特征值的性质啊，也可以说是一个常用的结果啊，条件是什么呢？ 蓝的是 a 的 特征值， x 是 对应特征向量， f， x 是 这样的一个多向式形式，结果是什么呢？ 结果就是啊， f 栏呢，是 f， a 的 特征值， x 是 对应的特征向量啊，那么这个结果呢？我我再读一下啊，读一下是为了方便大家好记，我先从特征值的角度来读读， 现在啊， f 是 一个多项式形式，如果蓝的是 a 的 特征值，那么 f 蓝的就是 fa 的 特征值，这是从特征值的角度来说。从特征向量来看， 如果 x 是 a 对 于篮的这个特征值的特征向量，那么同同样的 x 也是 fa 对 于 f 篮的这个特征值的特征向量。 你看，我们来证一下啊，已知 a x 等于篮的 x， 你不是很是不是很容易推出来， a 方 x 就是 a 作用 x 作用两次作用一次出来一个蓝的，再作用一次，又是个蓝的，是不是蓝的方 x， 对 吧？往下接着去， a 的 三次方 x 是 不是就等于蓝的三次方乘以 x， 这么依次下去， a 的 m 次方乘以 x， 就 等于蓝的 m 次方 乘以 x， 对 吧？啊，那这个时候呢，我们来看一下 fa 乘以 x。 首先 fa 是 什么 fa 呢？就是把多项式多项式 f x 当中的那个 x 那 个位置换成 a 矩阵啊，这时候就得到了一个矩阵多项式 fa， 那 我们来看一下 啊。首先， a 零 a 零是个数哈，是不？那个 a 零的数是不是相当于是 a 零乘以 x 的 零次密啊， 对吧？ a 零乘以 x 的 零次密。那我现在这里就带 a 零乘以 a 矩阵的零次密是什么？单位阵加上 a e x 是 换成 a， 那么矩阵乘法满足分配率， 依次分配下去 a 零 e 乘以 x， 加上 a 一 a 乘以 x， a 一 a 乘以 x 就是 篮的 x 一 直加下去 a m 次方， a 的 m 次方乘以 x， 就是 篮的 m 次方乘以 x。 那把这个共因子从右边提出去的话，大家看 x 这个提出来的话，这里剩下的是谁呢？ a 零加上 a 一 栏的，加上 a 二栏的平方，一直加到 am 栏的 m 次方是谁啊？ f 栏的， 对吧？所以这个位置就是 f 蓝的就正出来了啊。 这个结果实际上也是很容易得到，但大家做题的时候哈，或者你去应用的时候，你会发现它可好用了，很常用，非常常用。我们来举个例子， 你看已知哈，如果 a 方等于 a， 问你 a 的 特征值会怎样的取值啊？如果 a 啊 a 方等于 a， 那 么 a 的 特征值会怎样的取值？我们前边呢，讲特征值，求特征值，都得知道 a 矩阵是什么，对吧？ 然后咱们的 e 减 a 的 行列式等于零，去求特征多项式的根。现在 a， 嗯，是一个抽象的，我就要根据这个他给的这个性质， a 方等于 a 这个条件，去分析出来它的特征值应该是什么样子的啊？我们来做一下， 我们假设栏目的是 a 的 随便的一个特征值，我看栏目的需要满足什么样的条件，那么好，栏目的是 a 的 特征值，下面怎么做呢？这里边给了你一个多项式的形式， 或者说多项式的一个形式，那么我们把它移过来，是不是 a 方减 a 是 不是就等于零啊？ a 方减 a 就 等于零，那么 a 方减 a 是 一个关于 a 的 一个呃，矩阵多项式的形式。我们联系刚才的那个结果，我们知道如果蓝的是 a 的 特征值的话，那这个时候 谁是 a 方减 a 的 特征值啊？那么蓝的方减蓝的就应该是啊， a 方减 a 的 特征值， 而根据已知条件，因为 a 方减 a 是 等于什么？减 a 是 不等于零啊？零矩阵，我们刚才提到了一个结果，零矩阵，零方阵的特征值一定 零方阵的特征值一定都是零， 是不是说过三角阵的特征值是不是都是组对角线上元素啊，零方阵的特征值是不是都是零啊？我给你背着呢啊，我说这句话，大家一定要记住，慢慢体会，代数这个课程，简单的东西往往是最重要的 啊，那么现在这个矩阵呢？等于零矩阵，零矩阵的特征值是不是就一定等于零啊？好，现在他是他的特征值，而他呢是个零矩阵，是不是他特征值就等于零了？这样，所以说什么 蓝的方减去蓝的就等于零，从它很容易解出来，蓝的等于什么零或 一啊，这个结果就是说，如果咱们的是 a 的 特征值，那么咱们的就应该等于零或一。所以关于 a 的 特征值的结论是什么呢？应该是 a 的 特征值是零或一啊。 啊，下面呢，我们接着来考虑就是特征向量的性质 啊，假设篮的一，篮的二，一直到篮的 m 是 a 的 互不相同的特征值， 而 x 一 x 二到 x m 依次是对应 z m 特征值的特征向量 啊，依次有对应关系啊，蓝 x 一 对应蓝的一， s 二对应蓝的二， s m 对 应蓝的 m， 那 么这个时候呢？ x 一 到 x m 呢，就一定现象无关。那这个结论呢？用一句话来说就是 a 矩阵对应于不同特征值的特征向量，现行无关啊。用一句话来描述就是 a 矩阵对应于不同特征值的特征向量，现行无关。 下面我们来证一下，我们证明呢，用数学归类法，我现在要证的是这个向量组是现行无关的，我用数学归类法来证。首先先来看第一个向量，第一个向量，我说 x 一 是不是肯定现行无关的？为啥 一个项链形形无关，只要它怎么样就可以。一个项链，一个项链，一个项链做成的项链组，要形形无关的话，它只要怎么样，它只要非零，对，它只要非零就可以。现在 s 一 是一个特征项链，它是不是就非零的，所以它形形无关？首先 因为 s 一 是特征向量，所以它不等于零，那么所以 s 一 线形无关。这时候对第一个向量的命题成立。那么第二部分假设，我假设呢，我假设这个向量组的前 s 个向量线形无关， 这个 s 呢，是大于等于一小于 m 的， 我假设前 s 的 线段可以是前一个啊，线段无关，那我按归纳法去证的话，我要去，也就是说啊，已知 x 一 到 x s 是 线段无关的， s 是 小于 m 的， 那么我现在要证的是再增加一个，在 x 一 到 m 当中再增加一个，是不是线段无关？ 我现在要证明的是加一个 s， x s 加一的时候呢？再加一个向量的时候仍然形形无关。如果这个事我能证完的话，按照数学规律法，我是不是就得到了这个向量组，向量 组，向量组证明向量组证明形形无关，一般来说都是用定义法啊，常规做法，我假设 存在数 k 一 到 k s 加一，使得呢，这个式子满足，我要去证明这些表示系数怎么样？ 表示系数都等于零。对，好，下面证明表示系数都等于零啊， 就是这个式子，我从它出发去证明表示系数 k 一 k 二， k s 到 k s 加一都等于零，怎么证呢？注意条件，条件给出来这些 x 一， x 二到 x s 加一，它们是不是都是 a 矩阵的特征向量啊？ 啊，那么它们是特正向量，这种特正向量的性质只有在被 a 作用的时候是不是才能体现出来啊？所以下面我自然我就用 a 矩阵去左乘等式的两端， 对吧？那我 a 矩阵同时左乘等式的两端，那么啊， 自然你看这个很很显然 a 乘以 x 一 啊，因为它们都是特正向量嘛， 这就是，哎，啊，这是 a 乘以 x 二，是咱们的二 s 二一次 a x x 加一，咱们的 x 加一， x x 加一，那么 a 乘以零，当然是零了，就得到了这样的一个式子， 下面考虑怎么做？我们在想，我的目的呢，是证明这些系数 k 一 k 二到 k s 加一都是零，而且我们还有个条件没用上，现在按照我们的假设条件， x 一 到 x s 是 不是现行无关的， 那么我如果把这个多余的这个东西能拿掉的时候，我是不是就可以说明，根据 x 一 到 s s 的 心形关系，就可以说明他们前面的相应的那样的表示系数就会变成零啊，对吧？好，那我怎么去做呢？现在你看我有两个式子了，对不对？ 两个式子，刚才我说我想把这个式子拿掉，怎么做？我要把这个式子同时乘以 同乘啥，你看比较一下他比他多个啥，咱们的 s 加一，对不对？我想把这 x s 加一对应的项拿掉，我是不可以把这个式子两边同时乘以数，咱们的 s 加一啊，哎，好， 这是把这个式子两端同时乘以数蓝的 s 加一啊，这不用左乘，说左乘多余啊，就是用数数乘左右，没啥区别。好， 那么这样的话，两个式子相减相减，很容易算出来， 你看 x 一 的系数相减是不就是 lamb 的 一减去 lamb 的 s 加一啊？ k 一 提出来 x 二对应的系数，把 k 二提出来之后， lamb 的 二减去 lamb 的 s 加一， 一直到 x s 的 系数是 k s 提出来之后，朗的 s 减去朗的 s 加一，那么 x x s 加一的项被消掉了，因为这个 x 一 x 二到 x s 射线无关，所以它们的表示系数 是不是都等于零啊？啊？这个表示系数就都等于零，因为表示系数都等于零，就是它们的系数都等于零。而因为咱们的一到咱们的 s 加一互不相同，所以这个括号里边，这红的颜色的括号里边东西是不是都不等于零啊？ 那这样的话，这个系数各项系数等于零的话，是不是你就得到了 k 一 k 二到 ks 等于零啊， 对吧？这是由 x 一 到 x s 现行无关得到的，因为现行无关，所以表示系数等于零啊。这样的话，我们就推出来了， k 一 到 k s 都等于零，现在还剩个谁？ k s 加一怎么做？把它带回到第一个式子里去，对吧？从带回到第一个式子里，我们就可以得到 k s 加一等于零，这个带回到这个式子里，前面都没有了，就剩这一项，剩这一项等于零。为什么就可以得出 k s 加一等于零呢？哎，因为 s 这是个特征项量，它非零啊。 好，那么这样的话呢，我们就得到了所有的表示系数都等于零，这样的话呢，就是 k x 一 到 x s 加一就是限行无关。按照规范假设我们就得到了，刚才那组呢，是限行无关的。 回头看一下啊，看一下，这个是特征向量非常重要的结果啊，啊，每个特征值啊，每个特征值 啊，就是互不相同的特征值，对应的特征向量是现金无关的。就比如说我们前边， 我们前面还是拿这个矩阵来说话，当时我们得到了一个 可算一这个特征向量和可算二这个特征向量可算一是对应于特征值蓝啊，特征值蓝的等于一的，而这是对应零点九五的， 那么这两个肯定就是现行无关。实际上很显然这是三，二就是一，他俩是现行无关的啊。那么实际上呢，我们刚才做立一的时候，有一个三节矩阵 a 是， 呃，什么？我不写了，就是一个三节矩阵， 刚才立一三节矩阵，我们得出来特征值是二二和负七， 那么我们当时得出来，他对应两个线圈无关。特征向量是可算一，可算二，那么他对应一个是可算三。那么根据这个结论是说，呃，属于不同特征值的特征向量的线形无关。也就是说我从他这里拿一个和从他这里拿一个， 他俩是现行无关的，当然我拿他俩也行，他俩也是现行无关的。这个是这个结论给出来的结果啊，非常重要的一个结果啊， a 属于不同特征值的特征向量现行无关。 那么这个定律呢？还可以进一步推广，用来解释这种现象。也就说我们通过这个题我们就看到了，有的时候呢，一个特征值可以对应多个现行无关特征向量， 比如说就是二，这个特征值对应了两个现行无关特征向量啊，夫妻是对应了一个现行无关特征向量，那么实际上呢，你把每个特征值对应的现行无关特征向量放到这里哈，凑到一起 得到的那个向量组仍然是现行无关的，那么这个结论呢，就是它的那个推广形式，也就是定力二给出来的 就是这个结论啊，蓝莓的 e 到蓝啊，假设呢，蓝莓的 e 到蓝莓的 m 是 a 的 互不相等特征值， x x i 一 x i 二 x i r i 是 蓝莓的 i， 这个特征值对应的线圈官特征向量。也说一个特征值可能对应多个线圈官特征向量。 那么这个时候呢，把所有不同的啊，所有不同特征值对应的信物无关特征向量都拿来放到一起的话，这个是 x 一， 一到 s 一 r 一 是一，这个咱们的一这个特征值对应的特征向量 啊，接着咱们的二对应特征向量，最后是咱们的 m 对 应的信物无关特征向量放到一起的话，它仍然是信物无关的啊 啊，每个特征值对应，如果对应了多个心性无关特征向量，我们把它都放在一起的话，仍然是心性无关的。那么这个结论的证明和刚才定论一的证明完全类似，大家可以按照刚才的证明方法去回去呢，可以做这样的一个练习。 那么下面呢，我又给一个思考题了，这个思考题和前面的给的一个思考题是对应的，大家看啊啊，这个是 已知条件，说的什么呢？大家注意到， x y 都是非零向量，蓝呢，和 miu 不 相等，那么这里边呢，这个式子是说蓝呢，是 a 的 特征值， x 对 应特征向量，这个说的是 miu 是 a 的 特征值， y 是 对应特征向量 合到一起呢？它说的是谁呢？说的是 x 和 y 是 a 矩阵对应于不同特征值的特征向量，对吧？啊？我们现在直接的结果是它俩应该怎么什么关系？现象无关，对吧？现在我让你判断一个事儿， 我问你， s 加 y 还是 a 的 特征向量吗？我说这个思考题，我首先说一下，和咱们前面我给的一个思考题是对应的，我前面给了一个什么？我前面给了一个，就是当时说 啊， a x 等于二 x， a y 等于二 y， 对 不对？我说啊， k x 加 l y 还是不是特征向量，对吧？当时说，只要不是零，是不是都是啊？也说二，同一个特征值对应的特征向量， 同一个特征值二，这个特征值对应的特征向量 x y， 他 俩做线圈组合的话，只要不等于零，仍然是二，这个特征值对应的特征向量， 对吧？这是当时那个的结果，当时是同一个特征值对应特征向量的结果，那么现在我给的呢？是不同特征值不同特征值对应的两个特征向量，他俩做加法的话，我问还是不是特征向量 啊？大家说不是啊，还有好像也有觉得可能是的，我们来看看啊，我们来看一下。 我，我来我，我来算一下啊， 我假设是，我假设是，假设是就是什么呢？我假设存在数 k， 那它如果是特征向量的话，总是对应某个特征值的特征向量嘛？假设，呃，是设数 k 使得呢？这是使得的意思，使得呢？啊， a x 加 y 等于 k， x 加 y 使。我这样假设就说明了 x 加 y 一定是 a 矩阵对应于 k 这个特征值的特征向量，对吧？ 实际上我这我这种说法里是不是蕴涵了， s 加 y 一定不等于零啊？ 那 s 加 y 是 不是一定不等于零？为啥？现象无关嘛？加到一起肯定非零，对吧？好，那么现在这样的话呢？啊，那，那这样话，所以分配率乘进去， a 乘以 x 等于什么？ 蓝的 x， a 乘以 y 呢？缪 y， 那 这就是 k x 加 k， y 好 一向移过来啊，那所以就有呢？蓝的减 k， x 加缪减 k， y 就 等于零。刚才说了， x y 是 属于不同特征值特征向量啊，因为那 x 和 y 是 属于不同特征值特征向量。 x y 怎么样？现象无关，因为 x y 现象无关， 那么这样的话，所以是不表示系数就等于零了？表示系数等于零的话，那么这样的话是不蓝的就等于黑。缪是不也等于黑呀？ 这是不就矛盾了，已知蓝的和缪不相等吗？那这样的话，我们就得到了矛盾，矛盾说明假设错误，也就是说 x 加 y 就 一定不是 a 对 应的特征向量。 那我们这里有一个结果了哈， a 矩阵属于不同特征值的特征向量的核一定不是特征向量 啊，就一定不是特征向量了？和刚才那结果的相对应，同一个特征值对应的特征向量做线型组合，只要非零仍然是对应于这个特征值的特征向量，是不完全不同的结论。好，有了这个结论呢， 我给大家呃，再进一步提个问题啊，那么现在说 x y 一定不是 a 的 特征向量了？ x y 一定不是 a 的 特征向量。好，我现在给条件是一样的，我现在问你， k l 是 随便的两个数，我问你 k x 加 l， y 还是不是 a 的 特增限量？如果是的话，是哪个特增值？特增限量？那不是的话，当然你得说明理由了。 k s 等于 ly 是 不是特增限量？是还是不是？ 大家肯定不敢轻易回答哈，怕进掉坑里了是吧？看一下哈，我们这里，因为 k l 是 随便的两个数嘛，它就会有很多种情况。我们来看一下 最简单的情况，如果 k 和 l 都等于零， 这个项链是什么项链？零项链，零项链，它是特征项链吗？那就肯定不是了，其实不是。那现在再来看，如果 k 等于零， l 不 等于零的话，那么它就是 ly， 是 不是特征项链？是是，是的话，是对应哪个特征值的特征项链啊？ music 对， 不能说 y 是 music 是 吧？ y 是 缪，缪对应特征向量乘和非零数仍然是缪对应特征向量。类似的，这个大家就很容易回答了，如果它它的话，这就是 k x， 它它什么是特征向量？对应谁的？对应 对应蓝的这个特征值特征向量好。还有一种情况，最一般的情况， k 也不等于零， l 也不等于零，那这个时候它就是纯粹的 k x 加 y， 我 问你，它是不是特征向量？ 嗯，不是，不是好，不是。为啥不是？我说不是，你得说原因是，你得说是哪个特征值啊， 所以我身上都给你准备好了，你看我前面的分析， k x 是 不是特征向量？是不是？ k 非零的时候是不是？是，是对于哪个特征值的？ 蓝的这个特征值的对不对？ ly 是 不是特征向量啊？是，是对应哪个特征值的 miu， 而这两个特征值相不相等啊？不相等，那现在这个式子是不是就是属于不同特征值的两个特征值？两个特征向量的和是不是 不是特征向量吗？所以这是基本点，他回答清楚了，你各个情况你都清楚了。 嗯，那么到现在这样的话，实际上特征向量做信息组合，不管是哪种情况，大家都可以应该得到很好的回答。那么这节课呢 啊，我们啊讲的主要内容就是特征值、特征向量的定义、求法和性质。特征值的性质呢，主要是记 所有特征值和等于矩阵的，记所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，这一点非常重要啊。当然我们还讲了其他的两个小性质，特征向量最主要的性质就是属于不同特征值的特征向量，现行无关。进一步属于不同特征值的现行无关的特征向量 也是现象无关的啊。那么下堂课我们要介绍的呢，是特征值特征向量这一对概念的一个应用了，属于应用部分了，我们又要介绍一种简化方法。我先给大家提一句 简化方法，这种简化方法就叫做相似关系的简化方法。在前边我们学了一种等价关系，矩阵的等价关系，它也是一种简化方法，大家知道初等变化很熟悉了， 实际上我们前边所有的计算问题都离不开出等变幻，也就是都离不开矩阵的等价关系。那么下边呢，我们要学的这种相似关系，也可以帮助我们简化一些问题。那么给大家布置的第一件事呢，是回去啊，自己复习一下 矩阵等价的概念及性质，另外一个大家一定要复习的。是啊，我们在下一节呢，要讲这样三件事，一个是这个这个概念，一个是相对而化的条件和方法，最后是实对称阵的正交相对而化，这里面要用到一个正交阵 和诗密特正教化方法。由于这部分学的呃时间比较长了，大家回去翻一翻，下堂课听课效果会好一些。好，今天到这。

用平面向量来证明一些几何题，证明等腰三角形的两个底角相等，那么这里是一个等腰三角形。首先已知 a、 b 是 等于 a、 c 的， 这个没问题吧？然后要证明， 证明角 b 等于角 c 就 可以了。那怎么去证明呢？ 我这简单的书写一下过程，那肯定不能直接证，要用向量的方法去证向量的方法，咱们考虑的就是假角啊，扩散以 b 等于扩散以 c， 那 么待会啊，咱们要利用到一些数字啊，咱们可以令 ab 等于 ac 等于 m， 然后 bc 呢？自然就等于 n， 把它念成 n， 其中 ab 向量咱们把它看成 a 向量， ac 向量咱们把它看成 b 向量， bc 向量咱们把它看成 c 向量，这样有利于答，咱们待会儿书写的时候简变一些，那来求扩散引角 b 就是 扩散引 b， a 向量和 bc 向量夹角的余弦值，它的多少呢？摩 成膜分之向量是不成向量啊，来 b a 的 膜， b a 的 膜，它是得多少的呢？是得 m bc 的 膜，它得多少呢？得 n b， a 向量等于 a 向量，然后 b、 c 向量呢？啊哦， b a 向量不是得 a 向量哈，注意了， b a 向量得负 a 向量， b a 向量得负 a 向量， ok， 然后乘以 b、 c 向量， b、 c 向量等于多少呢？你看 书写的时候字注意哈，这是 a 向量对不对？然后这是多少啊？ b 向量 b c 向量， b c 向量就是 b 向量，减去 a 向量，看清楚了吧？ 这儿看清楚了吧，是不是两个向量相乘？ b a b a 向量是负 a 向量，然后 b、 c 向量的话，就是 b 向量减 a 向量， 再来扩散引角 c 扩散引 c a 向量和 c b 向量夹角的余弦值，它等于 c a 的 模 乘 c b 的 模分之 c a 向量乘以多少啊？ c b 向量最后的结果， c a 的 模 m cb 的 模 n c a c a 是 负 b 向量 啊，负 b 向量，负 b 向量乘以多少呢？好， c a 负 b 向量，然后它乘以的是 c b 向量 c b 向量就得 a 向量啊， 减去多少？ b 向量看清楚没有？所以这最后结果画一下哈，它就相等了嘛。 m n 乘以，这是？嗯， b 向量的平方，减去 a 向 b 向 好，减去 a 向 b 向，然后这呢就是多少呢？这就是多少呢 啊！ a 向量的平方减去多少啊？ a 向 b 向，由于 a 向量的平方啊， a 向量的平方和 b 向量的平方，它们是等于模的平方，它是相等的。看到没有，它相等的 m n 分 之，可以把它看成是 a 向量的平方就是多少了吗？ m 方嘛，减去 a 项乘以 b 项，这也等于 m n 乘以 m 平方，减去 a 项乘以 b 项，这两个整体它就干嘛的了？保值了，这两个整体就相等了， 所以他就等于他，既然他和他相等，就证明了他们的夹角相等了，证明夹角相等，所以就是角 b 等于多少啊？角 c， 看清楚了吧？ 第二题，如下图，正方形的边长为 a， e 是 ab 的 中点， f 是 b， c 边上靠近 b 点的三等分点。 a， f 是 与 d 交于点 f 的 余弦值 e m f 的 余弦值，要去求这个角的余弦值，那咱考虑的就是什么呢？你要去求这个角的余弦值，咱们可以把它转换成扩散引，求扩散引 a a f 向量与 d e 向量， 是吧？我去求这两个向量的夹角的余弦值就可以得到了吗？你看 a、 f、 d、 e 是 不是就得了？ 那么咱们把其中这一个 a、 d 向量，咱们把它看成 a 向量，便于书写啊。 ab 向量，咱们把它看成 b 向量，便于书写一些，那么就可以得到其中这个 a、 f 就 得多少了。 a、 f 向量就等于 b 向量啊， a、 f 向量就得 b 向量加上三分之一个 a 向量，是吧？然后其中还有一个多少呢？ d 一 向量 d 一 向量啊，就可以把它看成是 a， a 一 减去 a、 d 向量，是吧？ a 一 向量得二分之一 b 向量，对不？ a 一 向量得二分之一 b 向量 a、 d 向量呢？ a 向量看清楚了吧？好，所以咱们这儿要去求它就好求了啊！ cosine a、 f 第一 等于 a、 f 的 模公式，先书写一遍第一的模， 然后 a、 f 乘以多少啊？ d 一， 那么 a、 f 的 模啊，就等于根号下 a 方加上三分之一 a 方，就九分之一 a 的 平方乘以乘以这一个多少呢？ d 一 的模，就是根号下 a 方加上四分之一 a 方，看到没有？ 那其中 a、 f 乘以第一，也就这两个相乘哈，咱们看来多多少？ a、 f 和第一，咱们肯定不能直接用这两个向量哈，一定是要把它转换，它 和它相乘嘛。是不是 b 向量加上三分之一 a 向量，然后乘以这个二分之一 b 向量减去 a 向量，然后计算就得了，是不是？这个计算过程呢？可能是有点麻烦 对不对？但是你计算一定能算出它的结果。当然这儿呢，你有很多种方法去算哈，就看你喜欢哪一种嘛， 对不对？这个算出来的话，它的值就等于它的值就等于多少了呢？十分之根号二哈，它的值就得十分之根号二，看清楚没有？哎，大家可以去算一下， 是不是就是这么简单，就是平面向量在几何当中的运用而已。平面向量在几何当中的运用， 当然这儿啊，咱们还可以用其他方法去做，比如说法二，法二嘛，咱们直接令 a 等于几三，为什么呢？因为令 a 等于三的话， 哎，他三等分点的时候，咱们好去好去书写哈。除了零 a 等于三，咱们还把这建立个直角坐标系， 对不对？建立个直角坐标系，这是垂直的，那么可以得到这些点的坐标，低点的坐标零三一点的坐标啊，一点的坐标二分之三 零，是吧？ a 点的坐标零零， f 点的坐标啊，横坐标得三，纵坐标得一，看清楚没有？都是可以把它算出来的， 能理解吧，都是能算出来的， ok， 直说这种方法要麻烦一些，这种方法要简单一些啊，大概方法都一样啊。 第三题，如图，在三角形 a、 b、 c 当中， o 是 bc 的 中点过 o 点的直线，分别交直线 a、 b、 a、 c 于不同的两点 m、 n， 其中 啊， a b 得 m 背 a m， a， b 得 m 背 a m， a c 呢？得 n 倍 a n 要去求 m 加上 n 的 值。好，这个就有点，这个就有点意思了。 ok， 首先咱们来看 a、 b、 c 三角形欧式中点，然后延长这条直线。得到这么多，可以得到一个关系是什么？ a b 向量等于多少？ m 个 am 向量，没问题吧？ a、 b 向量等于 m 个 am 向量，还有其中一个 a c 向量， a， c 向量等于 n 个 a n 向量， 是吧？那怎么把 m 加 n 的 关系式表示出来呢？咱们可以把 a o 连接起来， a o 连接起来，咱们可以发现的是， a o 向量啊， 等于二分之一 ab 向量，加上多少呢？二分之一 a c 向量， 因为欧式中点啊，再换一下 a b 向量啊，又等于多少呢？二分之一，哎， a b 向量啊，又等于 m 倍 a m 向量，所以 带到这来就是二分之一 m 倍 a m 向量，看到没有？加上二分之一 ac， 二分之一 ac 向量， ac 向量又得这么多，所以就是二分之一 n 倍多少啊？ a， n 看到没有？看到没有？ a o 向量是不是就等于这么多？ ao 向量等于这么多？又因为咱们前面学过一个关系，三点共线的时候，你看 o， m， n， o， m， n， 是 不是三点共线的？三点共线的时候有一个什么特点呢？就是三点共线， 任意一点 a 带进去也 a 开头，是吧？你看这里三点共线，它开头是不是它开头啊？ 那么它们的系数之和就有一个等于一的关系，它和它相加二分之一 m 加上二分之一 n， 结果就等于一，所以推出 m 加上 n 的 值等于二， 是不是这里运用了一个二级结论，看到没有？利用了一个二级结论， ok， 翻一下前面我们写的书。

好啊，这堂课呢，我们来学特征值特征向量和相似矩阵啊，这一章呢主要是两个内容，一个是相特征值和特征向量，一个是它们的应用就是相似矩阵。 首先呢特征值特征向量这一段概念呢，不管是在理论上还是应用上都非常的重要啊，在工程技术当中的振动问题，稳定性问题，通常都是转化为求一个方阵的特征值和特征向量， 许多生态问题的解决呢，呃通常也是化为呢特征值特征项链问题的解决。那么下面呢，我们先从一个实际问题的解决过程来体会一下这一对概念的应用价值。 这个呢是有关兔子和狐狸的呃生存状态的一个模型。呃，假设呢，在没有狐狸的情况下，兔子一年增长的百分之十 啊，用这个来刻画，而在没有兔子的情况下呢，狐狸一年呢减少百分之十五是用这个量来刻画，当这两者呢处于同一栖息地时呢，狐狸吃兔子呢导导致呢？狐狸数增加是 刻画为这个量，那么导致兔子数的减少，那么是用这个量来刻画的，那么得到的模型呢，就是这样的一个模型， 那么我们用 t 零 h 表示现有的数目， t 一 和 h 一 呢表示一年后的数量，如果呢现现有的数量呢，分别是十和八的话，我们问啊，一年以后啊，一年之后两种群的生存，生存状态怎样？十年之后 啊，以及呢更多年后呢？我们就说 n 年后呢，还有呢，最终呢，他是否会趋一个稳定的一个状态啊这是 呃，我们说是从实际问题当中来的，而且是有现实意义的这样一个这样的一个模型，只不过我们为了计算简单数量，给的简单一些，那么下面呢，我们就来看一下， 那么这是这样的一个啊，刚才那个方程，那么这显然是一个多变量的问题，多变量的问题，那么代数学到现在，大家应该有一个体会，我们经常是把多变量问题呢，用一个矩阵来形式来刻画，然后考虑呢，如何用代数的问题来解决它， 那么我们引入矩阵 啊，系数矩阵 a 啊，系数矩阵 a 和呢啊，表示这个变量的向量 x i， 那 x i 呢？就应该是啊，表示 i 年后的，那么 x 零呢？当然就是啊， 目前的这样一个状态，那么这个方程实际上就是个向量方程了，刚刚讲完的，那么它可用矩阵的形式呢，就写成下面这样的一个形式， 那么这个一年后的状态很好算，就是一个矩阵乘法啊，我们带进去乘积就可以了，得到的结果呢分别是九点八和七点八啊，但是大家看十年之后的， 那自然是这样的一个状态，一个地推式子，对不对？十年之后的，一年之后用 a 作用一次，两年之后用 a 再作用一次，十年之后呢，就用 a 作用十次，这是十年后的，那么 n 年后的以及呢， 最后它一种趋势是怎么来说呀？就是恩，去用胸大，对吧？恩去用胸大，那么这三个问题怎么样来解决呢？那这个问题呢，单从计算上来说，它难度就是非常大的， 那么学到现在，大家对代数这门学，呃，这门课程应该有个非常深的印象，是什么呢？就是简化这两个字很重要， 我们总是用啊代数的手法或者矩阵的手法去刻画相关的实际问题，然后考虑如何简化来解决问题。那么下面呢，我们碰到的这个问题，就要考虑一下是不是有简化的方法呢？ 好，现在呢，我们先观察一个事实，那么对于 a 矩阵来说啊，我们啊发现呢有这样两个向量， 这个两个向量呢，我们分别把它叫做可算一，和啊和可和可算二啊，这两个向量被 a 作用之后，就是用 a 矩阵乘它之后得到的结果呢？得到结果 a 乘可算一之后，仍然等于可算一， a 乘以可塞二之后呢，是等于可塞二的零点九五倍。那实际上呢，这两个向量有什么特点呢？被 a 作用之后得到的结果与原来向量是保持平行关系啊， 或者叫贡献关系，这种平行关系用数量来刻画的话就是是不是是一个数乘关系啊？数乘关系，我们知道数乘要比矩阵乘法是不简单多了，那么大家看一下，这个时候由于这样的一个特点， 那我们再来算这个量，大家看 a 的 十次方， a 的 十次方乘以可算一， 是不是就相当于 u a 乘可算一乘了十次啊，每乘一次的话，是不是出来一个数一 对吧？那么呃， a 的 十次方乘以可算一，就等于一的十次方乘以可算一。 a 的 十次方可算二呢，就等于零点九五的十次方乘以可算二。有些同学可能对他稍微有一点嗯，没反应过来，我写一下，大家看 a 的 十次方等于可三二，我们知道它应该等于 a 的 九次方乘以 a 乘以可三二。矩阵乘法满足结合率， 那么 a 可三二等于什么？零点九五乘以可三二，那这个零点九五可以拿到前面来， cosine 二，那就是 a 的 九次方乘以 cosine 二。那么按照这种类似的去计算的话， a 的 九次方乘以 cosine 二，是不是就等于零点九五乘以 a 的 八次方 乘以可三二啊？也就是就是可以推出来他应该等于零点九五的平方， a 的 八次方乘以可三二。这么依次推倒下去，我们是不是就可以得出那样的一个结果， a 的 十次方乘以可三二，等于零点九五的十次方乘以可三二。 大家看这种运算乘法，矩阵乘法运算，高次密的乘法的运算是不是变成了简单的数乘啊？好，接下来 a 的 n 次方 乘以可算一，是不等于一的 n 次方乘以可算一啊。类似的， a 的 n 次方乘以可算二，等于零点九五的 n 次方乘以可算二。 那么接下来最终趋势 n 趋近无穷大的时候，这个量显然趋近什么就是可三一，对吧？而这个 n 趋近无穷大的时候，它需要什么？零？哎，需要零。 好，那么啊，经过这一系列运算，大家发现一个什么事呢？本来对 x 零这个向量很难做到的事情，但是对于可算一，可算二这两个向量就变得非常容易， 原因在于什么呢？由于可算一，可算二被 a 作用之后，方向上和原来保持平行，也就是把矩阵的乘积运算转换成了数乘运算，这使得问题得到了一个简化。 那么下面呢，我们需要思考的是什么呢？那么这种简化， 对可算一可算二的这种简化能否转移到一般的向量 s 零身上？我说他一般是因为 s 零被作用之后得到的向量是不是不与原来平行啊， 对吧？我说这个事情呢，能不能转移到 s 零身上呢？那这个回答是肯定的啊，我们只要通过我们前边学过的一点知识就能做这件事。大家看， 只要啊，现在呢，不管是啊 s 零还是可三一，可三二，他们是不是都是二维向量啊？那二维向量空间的基数含两个向量啊， 那么现在可三一可三二是不是现行无关的？那么他俩是不是可以作为二维二维向量空间的基啊？ 既然他也作为基的话，二维空二，任何一个二维向量是不是都可以由他俩现性表示 好，而且表法为一？当然了，那现在我这个 x 零就可以被可算一可算二现形表示，也就是写成它俩的现形组合，而且这种组合形式是为一的。这个啊，用了我们前面啊学过的知识，结果把结果写下来 就是这样的。好，那么这个式子很重要，大家看，有了这个式子，大家可以想象刚才我们要对 s 零做的那些运算，是不是就可以转移到去对可算一可算二去做呀？ 那么刚才说对可三一，可三二是简单的，那么我们刚才感觉困难的问题，现在就应该可以通过可三一可三二很容易得到解决，我们下面看一下。 好，现在现在 ax 零，那就是是不二倍的 a 可三加四倍的 a 可三二啊，对吧？那么十四方啊， 十次方的，那就是变成了对可三一可三二的十次方的形式，那类似 n 次方的形式也是这样的。那么现在刚才已经说了啊，这些运算是不是都是数乘运算啊？我把它带进来就是了 啊，带进来计算一下，这都数成很很容易算了，很容易算了，我就没去写出来。那么好，大家看一下这个最终趋势，当 n 趋近无穷大的时候，这项是不是趋向零啊？那么这个时候 x n 趋向于 就是前一项，就是这个啊，就是六和四 啊，也就说，呃，最终的趋势呢，是兔子和狐狸会会趋向于一个稳定的状态，它们是共存的，兔子数趋向于六，而这个狐狸数呢，是趋向于四的 啊。那么大家看哈，我们回顾一下刚才整个问题的这样一个解决过程，这里边有两个关键步骤， 一个呢，是不就是我们找到了被 a 作用之后保持平行的那样两个向量可算一和可算二啊？这是一个关键的 另外一个关键步骤，我们就是把随便的一个向量 x 零用这个可算一和可算二的现象表示出来了啊， 这是两个关键的步骤，而刚才我们已经提到过第二个步骤，对我们来说没有问题， 对吧？已经没有问题了，那么现在关键要考虑的是对于一个这样的一个方阵，如何去找到，如何去找到被它作用之后，就是它去成那个项链之后保持平行的那样的项链。 实际上那样的向量呢，就是我们下边要学习的特征向量 啊，那么也就是说可算一和可算二分别是这个 a 矩阵的两个特征向量，而这个关系式成立呢，这个数一和零点九五呢，就是我们下面要学到的特征值 特征值，那么这个是变化之后，方向上保持平行，数量上量的大小上是不还有一个变化呀， 那么这个变化呢，实际上是没有变的，这个变化是不是缩小了，变成了原来的零点九五倍，也就是说这个我们一会要讲的特征值呢，刻画的是变化之后，相对于原来的那样一个伸缩的倍数 啊。好，那么下面呢，我们就来啊，给出这个来学习特征值特征向量这一段概念。 我们啊下边啊要学习的一个是他的定义，一个是他的求法，以及是啊，以及呢他的性质。首先呢，我们先来学他的定义 啊，我们只要把刚才啊看到的东西提炼出来就可以了，对一个 n 阶方程啊 a 来说，如果存在数，篮的和 n 为非零向量 x， 使得呢 a x 等于篮的 x， 那 么这个时候呢，我们就把篮的这个数呢叫做方阵 a 的 一个特征值，而把呢非零向量 x 叫做呢 a 属于特征值篮的的特征向量， 那么这里边呢，对这对盖这个这这概念呢，我们要强调这样三点，第一点呢，就是说特征向量不能取零，这个很容易理解，大家看 a 是 一个方阵，如果特征向量可以取零的话，大家知道矩阵乘以零一定等于什么？ 是不一定等于零啊，那就一定可一定是等于零，那么我现在前面乘个任何数的话，是不是这个是都成了呀？换句话说，特征向量如果可以做零的话，任何数都可以当特征值，那任何数都可以当的事 就没啥意思了啊，所以大家注意，特征向量不能取零。另外要强调的第二件事情是 特征值。特征向量这一对概念呢，是成对出现的，你看他家，他谁也离不开谁，在这个定义当中缺了一个，另一个就没有办法定义啊。那，呃，特征值一定对应了特征向量，特征向量一定对应了某个特征值 啊，那么这是第二点，第三点呢，就是我们刚才已经看到的，我们强调一下它的几何意义，它的几何意义呢？特征向量就是被 a 作用之后，方向上保持平行的，或者是保持共线的那样的向量，从几何上来看， 而特征值是什么呢？特征值呢，是刻画了变化之后，方向上保持不变，那么量的大小呢？有一个伸缩关系 啊，那么他刻画了这样一个量的啊，伸缩啊，如果这个绝对值大于一的话是拉长的，绝对值小于一的话是缩短的，那么这个是正还是负呢？那么大家都知道刻画的是方向相同还是相反 啊？这就是这对概念，这对概念非常非常重要。实际上目前在做研究的，不管是做数学研究的，还是在做应用研究的，比如说我们那个做控制研究， 比如说你们各个学科可能计算机的什么航天学院的，很多人在做研究的过程当中，写论文的时候或做课题的时候都在用这段概念，包括我是做微分方程的，我也啊，还在用着特征值，特征向量的这个概念，当然它是更深化的啊，是这样的， 所以这段概念也可以说是我们这个课程当中最能体现深度的一段概念啊。 好，下面呢？啊，看，刚才我们这两个例子，刚才也说过了啊，现在呢，就是说，呃，对于这个 a 矩阵来说，一和零点九五是它们的特征值啊，而这个，呃， 可赛一，这个向量是 a 矩阵对应于一这个特征值的特征向量。可赛二是 a 矩阵对应于零点九五这个特征值的特征向量。那另外我们容易看到单位阵乘一个向量等于多少？ 单位阵乘一个向量还是这个向量，对吧？那么单位阵乘一个向量还是这个向量，那么大家看，实际上 这就表示了什么？一，一定是单位阵的特征值，那么特征向量的非零，任何一个非零向量是不都是单位阵对应一这个特征值的特征向量？哎，好， 另外还拿简单的来说话，零方阵，零方阵乘以任何一个向量的话，是不都等于零向量啊？啊， 那么这个事是零向量，这就相当于说零这个数一定是零方阵的特征值，而任何一个非零向量呢？都是啊，零方阵对于零这个特征值的特征向量。好， 那现在这段概念清楚了，下面我们就要考虑，对于给你一个方阵的话，我如何求得它的特征值和特征向量。 那么特征值的向量是这样来定义的， 我们把它呢变一下形，怎么变呢？把这个 a x 移向，移到呃，另一端去，把 x 提出来，是不是就变成了朗的 e 减 a 括号乘以 x 等于零，它的换一种写法就是这样的形式啊，那么这个形式大家看，这是我们非常熟悉的 这个 a 矩阵现在是一个方阵，那么括号里边是不是就是一个方阵呢？一个方阵乘一个向量等于零， i 是 一个奇次向量方阵组，刚学过的奇次向量方阵组。那么好，那么蓝的如果要如果是特征值的话， 篮的如果是特称值的话，那么篮的就得使这个其次进行方程组有非零解，对吧？那么 x 如果是篮的这个特称值所对应的特称向量的话， x 就是 这个方程组的非零解向量， 对吧？所以说，那么从分析它，我们就知道特征值特征下来应该怎么求了，特征值什么呢？就使得它有非零解就可以，那我们知道其次线方阵组有非零解的条件呢？是什么呢？现在？是啊，有很多等价条件，那么现在这个是个方阵 哎，行列式最好哎，它有非零解的充分必要条件，系数行列式等于零， 那么也就说我们求特征值只要求呢啊，满足这样式子的那个数栏的就可以了，让系数行列是等于零那样的数就可以了。好，那么让系数行列是等于零的那样的数一定使它有非零解， 那么他的非零解向量就是这特征值，这个特征值，这个栏的这个数特征值对应于啊，这个对应于这个特征值的特征向量 啊，这样的话求特征值，就是啊，从它里面考虑满足它的咱们的值，咱们这个数求特征向量就是从这个其次心方程组里边求出来非零解向量。 好，下面呢，我们再分别来细致的刻画一下。先来看这个特征值，那么这个式子，这个式子栏的特征值满足的这个式子，我们给它起个名字叫做特征方程， 特征方程把它展开来呢，就是这样的一个式子，我们称它为特征方程 啊，称它为 a 的 特征方程。这个式子呢，这是个 n 阶行列式啊， n 阶行列式的一个形式，那么大家看到我们把栏的看成未知数的话，按照行列式的展开式， 我们粗略的来看一下，它应该是左端，应该是关于栏目的一个多项式，对吧？而且是 n 次多项式啊，那么它是关于特征值的一个多项式，我们给他起个名字，这个左端，左端这个式子，我们给他起个名字，把它叫做啊 特征多项式。 a 的 特征多项式，而且呢，我们用这样的一个记号来表示， a 矩阵。关于特征值的多项式啊，也就是 a 的 特征多项式， 那刚才说了求特征，求特征值的蓝的，实际上就是求特征方程的根， 对吧？刚才我们有同学已经提到了，说这个左边呢，是关于栏目的一个 n 次多项式，我们知道 n 次多项式求根的时候，在复数域内一共有多少个根？ n 个，你中中学二次多项式的时候是不是两个根啊？三次多项式在复数域内有三个根，就是说啊，有重复的，我也算算个数啊。那么 那么这样的话呢，对于一个 n 阶方阵来说，它的特征值应该从 n 次多项式求根里面得到 啊，它的根呢，应该有 n 个啊， n 个，我们分别设它为 l 的 e 到 l 的 n 啊，这就是求特征值的方法。多项式求根 啊，那我们先算一个，就比如说我们刚才那个实际问题我们没有解决的那个环节是在哪呢？就是求特征值，特征向量吗？那么这个 a 矩阵，刚才的那个矩阵是 一点一，这个是负的零点一五，这个是零点一，这个是零点八五，那么 特征多样式， 那么我们来看一下，那现在呢，咱们的 e 减 a 行列式， 这二节行列式直接算就是了，它俩相乘，减去它俩相乘，很容易算出来，咱们的方减去一点九五 number， 再加上它这两个数的乘积，加上这两个数乘积应该是是是什么？是零点九五是吧？ 啊，等于零啊，这个二次这样式很容易，那个去做因式分解，这个因式分解的话，我们会得出来 number 的 分别是等于一和零点九五， 就是啊，这个结果求特征值， 我们再来看一个啊，常用的一个方阵，三角阵，那么三角阵，我的问题是三角阵它的特征值有什么特点？那我们也来看一下，哎，它的特征多像是 这个，这是它的特征的样式，按照行列式的计算公式，三角针是不等于组对角线上元素乘积啊，那么这个数很容易得到，谁是特征值啊？ 组对角线上的 a 一 a 二和 a n 就是 特征值，也就是说三角阵的特征值就是组对角线上 的元素。那么对角阵的特征值呢？ 对角阵特征值当然是，它是一个更简单的三角阵，对吧？对角阵的特征值就是也是对角线上的元素，那么单位阵的特征值 都是一对吧？零方阵的特征值，零方阵的特征值 都是零。有的同学就想老师问这么白痴的问题，实际上不是大家学到现在大家应该有一个体会，单数这个课程就是这样的，它简单的东西往往是最重要的， 为什么大家也理解啊？刚才说了，代数主要是不是要简化呀？你要简化的话，你总得往哪简化，简化之后你得知道啊，所以说啊，代数当中啊，你要关心那些简单的问题啊，我刚才问的这些问题后面都有用。 好，嗯，下边呢来看特征向量，特征向量我们已经说了，现在已经可以求特征值， n 阶矩阵有 n 个特征值啊，那么对于某个特征值咱们的 i 来说，假如说咱们的是 i， 咱们的 i 是 a 的 特征值， 那么我们只要去求这个时候，这个其次线型方阵组一定有非零解啊，那么我们去求它的非零解向量，它的非零解向量就应该是啊， a 对 应于篮的 i 这个特征值的特征向量， 那么线型方阵组我们刚刚学完，当一个其次线型方阵组有非零解的时候，它是不是一定有无穷多解， 对吧？所以说我们到这里我们发现一件事，一个特征值对应的特征向量是不是有无穷多个呀？哎，它是有无穷多个， 而且呢啊，其次幸运方舟姐的理论告诉我们这个其次幸运方舟所有的姐形成了一个向量空间，这个向量空间上一节我们把它叫做姐空间，那么 那么这个解空间呢？是用这个符号来表示的，那么在现在这个环境下，我们称它为篮的 i， 篮的 i 这个特征值对应的特征子空间， 篮的 i 这个特征值对应的特征子空间。 那现在我问大家一个问题，这个空间啊，叫做蓝的 i 这个特征值对应的特征紫空间。 那好，那这里边放的项链都是蓝的 i 对 应的特征项链吗？ 都是吗？ 不敢回答哈，你回答是也错，你回答不是也错，实际上呢，这里边大绝大多数都是，但是有个谁啊？空间里面有个零向量， 就那个零向量不是，其他的都是。注意一下啊，这个特征子空间，蓝的 i 所对应的特征子空间当中，除了零向量之外，其他的都是蓝的 i 这个特征值所对应的特征向量 啊，记住这个结果。好，那么现在我们回求特征向量了，那刚才的那个实际问题，我们再把它的特征向量看看，求出来，如果这个特征向量也求出来的话，刚才那可算一，可算二，那我们刚才的实际问题就完全得到了解决啊。那么好， 现在，现在呢，我们特征值是两个，一个是一，一个是零点九五。 我们先来看 e 这个特征值，那么它对应的特征向量呢？我们知道我们应该求 e 乘以 e 减去 a， 以它作为系数矩阵的，以它作为系数矩阵的，那样的。其次线方和解，对吧 对吧？好，那我现在来看一下，就是咱们位置是一，那这就是负的零点一，这个位置呢？是零点一五，这是负的零点一，一一减去它还是零点一五，是吧？零点一五， 系数矩阵是它，大家看未知数个数是几个，两个系数矩阵的值是多少一，所以这个方程是有五通多解基础解析，含几个向量，一个向量，对吧？自由位置量是几个？ 一个啊？一个，那这个方程实际这个它俩是对应成比例的，是不？就看一个就可以了？我把它这一行同乘以 二十，那我这块就应该可以写成这个方程，可以写成这块是负二，也就是二倍的 x 一 是不等于三倍的 x 二，对吧，对吧？那么基础解析，含一个向量可算一，这个是自由为质量，我把它取成啊。 嗯，娶几好？娶二吧，娶一的话就分数了，把他娶二，他娶二的话，呃呃呃，他娶二，那个就娶三，对吧， 是吧？那我得到这个可算一，就是一，这个特征值对应的特征向量，实际上它是一个特征向量的话，我们实际上它是那个奇似向量组的基础解析，对吧？它如果是解的话， k 任何一个数 k 一 可算一，是不都是对应那个奇似向量组的解啊？ 都是的解，但是，呃，任意的 k 一 乘以可算一，是不是都是一，这个特征值对应的特征向量呢？ 是不是都是啊？刚才说了要把谁去掉零，去掉让谁 k 一 不等于零，实际上它是一个特征向量，全体的特征向量有无穷多个 啊，那么好，对于蓝的等于零点九五，实际上做法是类似的，那么这就蓝的是零点九五零啊， 零点九五 e 减去 a 去求呢？以它为系数矩阵的。其次向量组成的解，这个算一下，这应该是啊，负的零点一五，是吧？零点一五， 负的零点一。零点一啊，和刚才同样，这两行对应成比例，这是一未知数，个数是二。基础解析，还一个向量，这个方程实际上就是 x 一 等于 x 二，对吧， 对吧？啊，然后这样的话呢，基础解析，在二这个位置量取一，另外是个一， 这个是对应其次限行方式的基础解析，实际上也叫呢一这个特征啊，零点九五这个特征值对应的特征向量啊，我们也叫它对零点九五对应的限行无关特征向量，那么所有的特征向量应该是 k 二乘以可赛二，把谁去掉啊？ 把零去掉， k 二，这是所有的特征项链啊，那么我们看实际上刚才那个实际问题，当把球特征值的特征项链解决了之后，刚才那实际问题已经圆满的得到了解决 好，这个特征值，特征向量，我们刚才提到了非常的重要，那么下面我们再来看一道例题，通过这个例题呢，想强调一下啊，过程还是和刚才那个类似，那么要要强调一下呢，一些概念，大家一些要注意的问题 好，现在呢，我们给的是一个三阶方阵，我们求它的特征值对应的特征子空间 好，求特征，求特征值就是特征多项式啊，求根特征方程啊，啊， 这是特征多项式啊，那么这个啊，这个特征多项式写出来呢，是一个三阶行列式啊，我们知道这个多项式的展开式，是不是应该关于狼的三次多项式啊？那么三次多项式求根呢？ 不像二次那样有求根公式啊，所以说呢，如果你把这个多项式的式子展开之后呢， 展开了之后，你去找它的根，往往就不太容易，所以在这个环节要强调大家注意一点是什么呢？我尽量用行列式的计算工行列式的性质去从这个式子当中呢，尽量能分离出来，关于朗的音式， 尽量去分离出来。关于栏目的音式，那么这个呢，你就需要去做观察，大家观察一下会发现第二行和第三行的和， 你看他俩如果求和的话，就是不是零啊，栏目减二，栏目减二，对吧？如果合到一起就有共音式啊，栏目减二了。所以我现在可以把，比如说我把第二行啊，第三行加到第二行去， 当然你也可以第二行加到第三行，这个都没有，没有啥本质区别。那就可以把第二行加到第三行，比如说 啊，这是第三行加到第二行去，第三行加到第二行去，那么这时候第二行就有公因子，咱们的减二是不是就可以提出来了啊？下面就是提出来的结果 啊，提出来之后时按下来就不是问题了，只是时间问题，哈哈哈， 因为下边什么呢？他说就关于栏目的一个二次量式啊，你不管怎么写出来之后你都有求根公式，所以我说它不是问题了。当然我也可以现在利用行列式的性质把它简化一下更好。 比如说我把这个，呃，这个零，把这个一画成零，也就是第二列乘以负一加到第三列去，这个变成零。那这样的话就可以按第二行展开啊，展开出来的结果呢？ 这个结果，这个结果呢？这个二次多项式，你分解因子就可以了，或者有求根公式也可以啊，那么就可以分解出来 啊，是栏的减二乘以栏的加七，那三三阶方阵它应该对应三个特征值，这三个特征值分别是二二和负七、 二二和负七，我刚才特别强调 三阶方阵有三个特征值，你要把二二负七这三个依次写出来， 二是列二重根，你要写两次，或者是或者是这么强调一下，它是二重的，也就是说 n 阶矩阵，你一定要给出 n 个特征值，明确的给出这 n 个啊，那么在这里边呢，我们遇到了一个概念，在这里顺便就给出来 二这个特征值，它是二从根，我们就说这个特征值的代数从数为二 负七这个特征值它是单根，我们就说这个特征值的代数从数是一 啊，所以每个特征值它都有一个代数从数，每一个特征值它都有一个代数从数啊， 二，这个特征值的代数从数是二，因为它是二从根负七这个特征值它的代数从数是一，因为它是一个单根。好，下边呢，对应于每个特征值啊，每个不同的特征值，我们去求它对应的特征向量。 首先呢，对二这个特征值，我们就知道去求它对应的系数矩阵的其次向量， 这个其次线方程组求解啊，我们刚学完，在这我们就不去考，不去说细节了，那么它的基础解析，实际上我们解得之后呢，是含有两个项链， 分别是可三 a 一 和可三 a 二啊，那么这两个向量呢，是这个其次限行方程组的基础解析，我们知道它一定限行无关，对吧？那我们把它称为 二，这个特征值对应的限性无关的特征向量啊，把它称为二，这个特征值所对应的限性无关的特征向量。那么其次，限性方处的所有解， 这个其次，幸运方主的所有解，是不是他俩的幸运组合啊？啊，也就是 k 一 可算一，加上 k 二可算二，那么在这个所有解当中，我又来问这个问题，是不是都是二？这个特征值对应特征向量。不是，有谁？不是啊？零，零不是。我咋把零去掉， 让 k 一 和 k 二不全为零就行了，也就是这样的一个式子，我让 k 一 k 二不全为零就可以了， 只要不全为零，这他就一定不是零，对吧？因为可算一，可算二，现行无关，现行无关。做现行组合的时候，只有表示系数都等于零的时候，他才会等于零，对吧？我去掉这个零，怎么去掉？只要让 k 一 k 二不全为零，保证了他不等于零。好， 下边呢？夫妻这个特征值对应的特征向量就求解这个。其次，线型方正组，那么它的基础解析大家自己可以回去做练习啊。嗯，基础解析是一个向量，就是可算三，可算三是这个其次，线型方正组的基础解析。 我们在这个环境下称它为夫妻这个特征值所对应的线性无关的特征向量。 那么夫妻这个特征值对应的所有特征向量是什么呢？就是它的所有解，扣掉谁啊？ 扣掉零啊？所有解扣掉零。好，那么这在这个环节我们求出来了每个特征值对应的信性无关的特征向量， 以及每个特征值对应的所有特征向量。大家注意到，我强调这两个概念啊， 信性无关特征向量和所有特征向量是不？这，这这是不一样，在不同环境下，不同应用当中，他有的时候只要求出现性无关特征向量就可以了。比如说刚才我们那个实际问题，实际上你把科三一、科三二求解出来是不是就够了， 对吧？你，你解这个实际问题，你不需要去求他的所有特征向量，但在有些问题当中，他可能要求你把所有特征向量求出来，大家概念一定清楚。那么下面呢？第三件事情 啊，他还问 a， 对 于每个特征值的特征子空间 啊，对应每个特征值的特征子空间，大家知道，刚才我们已经定义了二这个特征值对应的特征子空间，是不是就是这个？其次，新型方程组的解空间啊， 所以我把它解空间写出来就可以了。这个解空间，按照前面咱们啊向量空间的知识，它是不是由它的基 所章程的就做幸运组合就可以了，所有的幸运组合类似的啊，夫妻这个特征值的特征子空间，实际上就是这个。其次，幸运方成组的解空间，那么它是由这个空间的基，也就是这个基础解析所章程的啊， 那么它，哎，这个就是啊，二这个特征值所对应的特征值空间，它是这组七或者说二这个特征值的限行，无关特征向量作随便的限行组合啊，那么这里面包不包括零向量？ 包括啊，那么这里 k 一 k 二，我们说属于 f， f 表示的是数域啊，如果你感兴趣的是浮数域的话，那么它就是浮数域，你问题感兴趣实数域，它就是实数域啊，类似的 夫妻所对应的特征子空间啊，那么我们说是空间是不是就有维数啊啊， 第一个空间的尾数是几二，第二个呢？是一。好，那么现在呢，我们看二这个特征值所对应的特征子空间的尾数是二，那么现在我们又一个概念了，就是几何从数的概念 就是二，这个特征值对应的特征子空间的维数，我们称它为这个特征值的几何从数。大家知道空间是不是几何的概念啊？ 所以叫几何从数啊。那么夫妻这个特征值所对应的特征子空间呢？是一维的，我们说它的几何从数是一， 谁让这个几何从数又是谁呢？是不是又是二这个特征值所对应的特征子空间的尾数啊？二的这个特征值的几何从数是不是也是它对应的现象无关的特征向量的个数啊？对吧？想想是吧， 是不是二这个特征值的对应几个现象无关特征向量，它的几何从数是不是就是几啊？ 对吧？啊？因为这个空间的维数是由几所张成的嘛？几有几个，它的维数就是几，几有几个向量，它的维数就是几。所以啊，再强调一下 特工特征子空间的维数就是这个特征值的几何从数，它实际上就是这个特征值所对应的现象无关的特征向量的个数 啊。那么现在前面介绍了一个代数从数，现在又介绍了一个几何从数，注意下它俩的区别，看二这个特征值。在我们这道题当中，二这个特征值的代数从数和几何从数都是二。 代数从数是什么呢？是在特征之求根的时候，特征之求根是不同样之求根，是不是个代数问题啊？所以那个时候它是几，从根，我们就叫代数从数是几，那么它对应的 这个特征子空间的维数，空间是个几何概念，空间是几维的，换句话说，它要对应几个线圈的特征向量，那么它的几何从数就是几 啊。对于我们这个问题来说，二，这个特征值的代数从数、几和从数都是二，夫妻这个特征值的代数从数几和从数都是一。嗯，那么这个 这个实际上啊，每个特征值的代数从数和几何从数是不是都相等呢？当然不是，如果都一定相等的话，也就没有必要去分开定义了。呃，在后边我们会学到啊，一个特征值，它的几何从数是不会超过代数从数的 啊，在后边我们会学到这个结论，在后边我们会给出证明啊。现在我们先只看这个概念， 那么这个过程非常重要，我们再把这个环节呢回顾一下啊， 一个是求特征值这个环节，大家要注意的是什么呢？说起来很简单，求特征值就是多项式求根的问题，多项式求根你中学就遇到过，但是这个问题虽然大家熟悉，但它本身是个很困难的问题 啊，我们现在掌握的，你自己手里掌握的可能就是二次多项式求根，你有公式，三次以上你可能就不知道公式了。实际上啊，三高高次的多项式求根呢？ 解析表达式，据我知道，现在只只到五次有解析表达式，但是三次，四次，五次，那个解析表达式已经复杂的你都看都不想看了 啊。但是刚才又说到那个求特征值，也就是多项式求根又很很重要，实际问题当然很需要，所以现在发展了很多数值解法， 就用计算机来进行计算，找各种方式去去得到特征值的信息，但这个问题我跟大家说是一个很困难的问题， 是没有啊，完全得到解决的问题，所以说这个问题大家不能轻视。那么呃，现在我们对于学这个课程要做到什么呢？就像我刚才说的，你在啊求根的时候，你要注意到利用行列式的性质 啊，利用行列式的性质去简化计算，去找出行列式的一些啊，找出特征值啊，找出特征值，这是求特征值的问题。 那么第二个要强调，当然就是求特征向量了，那么求特征向量呢？这个对我们来说不是问题，上一张刚刚得到了解决，求特征向量呢，就是解其次建行方程组求解的问题 啊，这没有什么难度。那么在这里呢，就是要大家注意的是这样几个概念，刚才说每个特征值的限性无关的特征向量和每个特征值的所有特征向量，刚才接着还有一个每个特征值对应的特征此空间啊，这些概念要清楚。 那么对于每个特征值的特征子空间，它的尾数我们叫几何重数，那刚才我们还说到代数重数，那这个两个概念大家也要非常清楚啊。那么下面呢，给大家一个思考题 啊，已知已知这个事，这个事大家看 x y 都非零， a s 等于二 x a y 等于二 y 啊，这个表达是用一句话说，是不是就是 x 和 y 都是 a 矩阵对应于二这个特正值的特正向量啊？ 啊，那我问你什么呢？问你说 x y 的 幸运组合还是不是 a 属于二的特征向量呢？是不是？是 说是的哈，百分之九十九。对，差一点点要把零去掉，还是我一再强调这个事，这事虽然很基本很简单，但是特别容易出错。 实际上大家知道刚才我说能说是啊，已经对它理解很大程度啊。理解了，就说我们知道 x y 都是 a 这个矩阵属于二这个特征值的特征向量， 那么是不是说明 x 和 y 在 同一个特征子空间当中啊？那么在同一个特征子空间当中的向量做信性组合是不是仍然在这里面？仍然在这里面的话，是不是只要不是零，它就仍然是这个特征值对应的特征向量，对吧？ 清楚了是吧？啊？好。

我们来看十对称机针，这种特殊的机针，那他的特征值和特征项链有一个什么样的规律？ 对称矩阵我们以前学过，你首先是个方阵，比如是三阶方阵，一二三组对角线上为轴，以组对角线为轴，右上和左下是对称。如果这是五，那这就是五， 这是负六，这就是负六，只要是七，那这个地方就七，那这样一个矩阵就称为对称矩阵啊，所有元素都是时速，你要是对称矩阵，就称为十对称矩阵。 石贵城区镇的第一个性质是他的特征值一定是十座，哎，我们 别说哎，我们前面讲的也都是时速呀。让我给你举个例子，这样一个二级方阵，零一负一零，那么这样一个二级方阵，我们来求一下，他的特征值减那么大，减那么大，一负一， 那么他算这是特征方程，那么他的富那么大，成富那么有那么的方， 加上个一等于零，显然那么大啊，一等于正矮 那么的二等于负，他是两个虚速啊，他是两个伏数意中的两个值啊。所以说呢啊，你虽然是一个时矩阵，你的元素是时速，但是你的特征值却是虚速。那么 我们说你要是十对身份证的话，比如这样的举证，那你的特征值一定是时速，你的特征项链也一定是十项量。好，前面我们曾经讲过这样一个地理，说属于不同特征值， 这个特征项链一定是线性无关的，你说这个特征值是互不相等的对应的特征项链，以前我们讲是线性无关的，那今天我们就说， 如果你这个矩阵是十对称正的话啊，十对正正的不同的特征值所对应的特征项链，他们是两两正交的， 不仅是线性无关的，而且是两两垂直的。好，最后一个也非常重要。 十对称之有个非常特殊的规律，他所有特征值的几何重数和怠速重数通通都相得。 假如你是一重根，那你的几何重数一定是一，你要是二重根，比如我举个例子， a 是一个六节方式， 那么他的特征只假如一个三，一个负一，一个负一，一个七，一个七，一个七三、代数重数是一重，他一定可以找着一个线性无关的特征项链。 负一是两重，他一定可以找着两个线性无关的特征响亮七是他的怠速重数，三重， 他一定可以找到三个线性无关的特征项链。哎，这就是我们说的，如果你哎是一个十对称证的话，你的怠速重塑和几何重塑刚好相等。 我们以前说的是几何重数小于等于代数重数。针对于十对身份证来说，他的几何重数和代数重数是相等的。