2025安徽皖南八校联考怎么看得分

咱们安徽高三这个大联考已经结束了啊，药政优，皖南八校，还有皖江名校。嗯，我用一分钟的时间简单给大家分析一下。你像药政优人是最多的。嗯，整体来说还不是那么难。数学有难度啊，生生物啊，有点难度。那其他我认为还好啊。 嗯，再说一下这个皖江名校吧，皖江名校的数学也还好，但是这个英语难度挺大啊，你像顽性填空。嗯，普通的学生他读一遍他读不懂啊，最少要读个两遍，读个三遍才能做出来。还有这个阅读的 b 篇和 c 篇啊，有难度， 包括小作文也一样。嗯，物理也有点难度，除非这个皖江名校整体来说还是有点难度的啊， 那我再说一下这个皖南八校啊，皖南八校这个语文啊，很难啊，因为这个作文作文像有点像我们今年啊，这个二五届啊，就现在已经上大一这一届的，他们这个上海的高考作文啊，很创新，包括前面的阅读也一样啊，很有创新， 就创新性。然后整体这一套卷子呢，我觉得是不错的。你像物理啊，物理，我认为这个物理还是很难的啊，我感觉比这个省时以及上个月的江淮职校物理都难。所以说这个我觉得是这个我们高三开学以来物理最难的一次啊。 然后听力，那英语啊，英语还好，但是听力可能有部分学生啊，听的不清楚啊。嗯，可能会影响一些发挥吧， 像物理化学还是挺常规的。这就是我们今天刚结束这个大联考啊，三个联考，正好我把这个卷子 啊，包括答案解析全套整理好了，然后拿回去。没考的啊？拿回去下载去做一做，然后对这个一月份的联考，一月份还有别的联考呢？啊？然后应该会有一个帮助，包括期末宝，期末的考试也会有一个帮助。

同学们好，我是求实教的王老师，现在我们来看一下这个皖南八教的这个最后一题啊。嗯，这是一个电场磁场啊，混合的这么一个问题啊，轴系当中， 轴系当中啊，有这个周期性变化的电场啊，还有磁场为 e 啊， b 啊， x 轴上方，嗯，取 x 轴 正方向为电场的正方向，垂直纸面向外为磁场的正方向，垂直面向磁场正方向啊， 好，然后质量为 m， 嗯，电压量为 q， 从 y 轴的这个 a 点，比如静止释放，那么这个粒子经过电场加速和磁场偏转后，垂直打在 x 轴上，打在 x 轴上，那么第一次在磁场中运动的半径是多少？ 那第一次的半径啊，我们这个半径半径是多少？那你就看半径是什么东西啊，那我们显然有这个公式， q v b m v 方锤啊，那这半径 m 啊，半径 r 就等于 m v 除以 q b 等于 q b 啊，好，那，那我们只要知道这个，这不就可以了吗？那我们为什么会获得速度呢？因为你在电脑当中加速了，电脑当中加速，所以我们把这个 mv 算出来，对不对？电脑当中加速一零顺个力啊，一零乘以 q 乘以 q， 然后再乘以 t 乘以 t， 那 就等于 mv 啊，就等于 m v。 好， 所以我们这个东西呢，它就等于 一零乘以 q 乘以 t 除以 q b q b 啊，好，你把这个带进去啊， t 带进去，我们这个 q 可以 约一下啊， q 可以 约一下，约掉， 然后这个 b 叫 b 零哈， b 零，然后 t 等于 r m 除以 q b 零， r m 除以 q b 零，我们可以算出来，这里面的半径 r 等于， 嗯， e 零除以 b 零，再乘以二 pi m 除以 q b 零啊，好，那这个，这个时间我们只有一半啊，只有一半，你还可以乘二分之一啊，二分之一，好，所以最终得出来的结果就是 q b 零的平方乘以， 嗯， pi m e 零 pi 零啊，好，这是我们的半径啊，第一个， 第二个打在 x 轴负半轴上到 o 点的最小距离， x 轴负半轴到 o 点最小距离。那他这个这个运动是什么样的啊？这个运动什么样的？我们来换一个，换一个大一点的图啊，跑过来， 你这个是这个点啊，然后接下来他进到这个场当中，先是加速啊，加速。向右走一截啊，好，走到这之后要开始偏转啊，偏转，转圈，转圈， 半圈啊，他肯定是转了半圈啊，他判定 q b 刚好是一个周期嘛，转了半圈，转了半圈之后下来怎么办呢？加速， 加速啊，再接着接着加速，他又换成电场了嘛，电场变成负的呢，你现在刚好电场朝左了你，你也朝左走，对吧？加速，加加加，哎，就注意这个，这一个低段的这个距离啊，和我们回来这个距离，那我这个相当就是个接上了一个原加速，那我现在就是三倍的啊， 三倍的就就加到这，好，加到这之后，我现在这个速度，到这的速度，我们就叫叫 v v 的 吗？那到这速度呢？就变成了两 v， 就 变两 v， 然后你再再经过这个磁场的偏转啊，那现在你的速度变大了，你半径就变大了啊，这个半径，这个半径，我们叫 r， 那 现在这个半径呢？就两 r 量啊，这个半径，然后转转，转，转转，好到这啊，好，如果还没还没到的话，那就接着接着走啊，加速，加速啊，好，加速到这个是原来这个位置啊，然后我们还得走走走走走走，嗯，这更长了， 好大概啊，没有没有，这么长，没这么长，再走，再走这么多，这么多。 是一三五，对不对？这是一，这是一，这应该就是二，这是二，这是一，这应该是二，一三五啊，一三五。好，所以他走到这边之后下来，现在这个速度就变成了三倍的 v 了，三倍的 v， 然后呢？你又要又要偏转啊，现在你的半径就变得更大了，半径变得更大了，三倍的半径啊， 啊，好，到这到这之后，然后再加速啊，再加速，再往左边跑啊，就跑到这么远了啊，就七七倍的距离了，就是朝这个左边来，又又来移动了两倍的距离，好，整个是这么一个重复的这个过程啊，那现在他要到 s 轴，负半轴打在 s 轴。负半轴 啊，最小距离多少？那题目告诉我们是什么呢？要垂直打在 s 轴上，垂直打的，那只能垂直，要么就是垂直的话，对我们这个图上面来讲，对我们这个图来讲的话，要么就是这个位置啊，这个位置是垂直的，要么就是这个位置，对吧？要么就是这个位置， 他现在要打在负半轴，那负半轴呢？显然就就这个位置，但还有后面啊，后面还有好多啊，就这种类似的位置啊， 它的复半轴。那现在问我们这个最小距离，最小距离，那这个就这个距离吗？啊？不就这个距离吗？这个距离，我们最开始是从这出发的，从那出发的，那如果这是打到复半轴了，那这个相当就是圆点了，我们要求的就这个距离， 那求求这个距离啊，好，那这个距离是多少呢？这距离多少？就是两倍的我们出水的这个距离，然后再加上一个半径啊，第二个大圆半径。好，那我们算一下这个距离啊，这出水的这个距离是多少？我都不知道。没算，刚才没算啊，我们可以算一下 啊，出水这个匀加速啊，匀加速，你这个距离等于 a t 方，对吧？第一份这个距离啊，我们比如叫 x 零， f x 零啊，换个颜色， x 零，它就等于二分之一 a a 就是 eq 除以 m 乘以 t 平方， t 平方呢？就是 pi m 除以 q b 扩平方啊， 就是 q 平方， b 平方啊， b 零啊， m 平方， pi 平方啊，这么多，好，我这个 x 零是多少呢？我们就可以算出来。嗯， 你这一算的话，我们就能知道，这个 m m 约掉一个，这个 q， 这个 q 约掉一个啊，好，取下来就留下来了。那这就是两倍的 q b 零的平方啊，然后上面的是 pi 平方， m 一零啊，一零啊，好，我们看这个东西和刚才的这个半径非常的相像，非常相像，它相当于就是二分之 pi， 再乘以这个二，二分之 pi 就 这么多，你这个二分之 pi 去掉之后就就这个 r 了啊，好，我们 s 零就这么多啊， s 零这么多 啊，那我们这个是多少呢？是两倍的 s 零加上两倍的 r 啊，对吧？这叫距离啊，这个就是距离 x 啊，就等于两倍的 x 零加上两倍的 r， 这变成两 r 了，对吧？两 r， 那 这就能算好了呀，这是多少呢？嗯， x 零是二分之二， pi 乘 r， 那 不就是 pi 乘 r 加上两 r， 对 吧？就是 派，这样加上点啊，派加上二，这样派加二，这样好，等于等于多少啊？带进来啊带进来。这个叫叫。叫什么？ 不写了啊？就就这个，反正我们就当当做已知的吧，有点太复杂了。好，你三问，第三问，从起点 a 与这个坐标原点之间的距离 d 应该满足什么条件？好，那你，你这个，我们对我们刚才来讲啊，什么条件？那就是这个位置， 这距离刚好对应的就是，呃 d， 这距离就 d， 这距离。什么东西？这距离是不是？嗯，两倍的加两倍的就是四倍的。四倍的。好，那有可能不是在这，对吧？有可能是在这，那就是啊，这个这个距离就是啊，那还有可能是在这呢？那如果在这的话是多少？ 那这多少？那就是，那我们我们这边来来写一下啊，这个就是 r 啊，第一次啊，这个就是 r， 然后第二次呢？就是 r 加上两 r 加两 r 啊，这是这个地方的，那如果是在这个位置呢？那就是， 哎，不不不，是两二加上两，加上两二啊，这地方就应该是两二加上四啊，再加上两二加上四啊，再加上三二二。 好，这个这个看着是不是这个，这是等于什么？这等于九二，对不对？这等于四啊，这就等于二啊。好，那再下一次的话呢，那这应该就是在这个九二的基础上面，你，你就到这了，这就等于二啊。好，那再下一次的话呢，那这应该就是在这个九二的基础上面呢？然后又来一个 四啊，再加七啊，最下一次应该就是十六啊，那再下一次不行，就是二十五，二十五。好，我们照这样写，你看着好像这这个没有立刻就能找出来啊。我们是一加一加二，然后加二加三，加三是他是一， 相当于是一，然后加一，就这是第一节啊，加一加二，这是第二节，然后加二加三，这第三节，然后加三，加加四，加五啊，加四， 第四节呢？然后再加四，再加零减，那这不就是一三五七九，对吧？一三五七九啊，好，对应的就是这个平方整个关系啊，那它满足的条件，那这 d 应该就等于 n 平方倍的 r， n 平方倍的 r， 好， 这是第三问啊。第四问。例子，打在 x 轴上的位置与坐标原点 o 的 距离 啊，和加速这个关系啊，加速电加速和偏转次数这个 n 的 关系，加速就会偏转啊，加速一次偏转一次，加速一次偏转一次，所以这么第一次要一次，两次，三次要四次啊。 嗯，就是现在我们要求水平距离的这个关系了啊，水平距离关系，这个水平距离，我们有可能是在这个位置啊， 打到了，就同样啊，是在这个位置打到的，那还有可能是在这个位置打到的，还有可能是在这个位置打到的，那我们同样把它的这个距离都给它表示出来啊，不同的这个情形下，我们表示出来，它分别就是什么呢？这个就是一倍的 x 零啊，第一次就是 一倍的 x 零加上是第一次的啊， n 等于一，那 n 等于二呢？它就是什么？两倍的 x 零加上两二加两二， n 等于三呢？那它它就是这个位置啊，这个位置是写的是三倍的 x 零， 那加上呢？就是三二啊，所以这个不就是你的 n 的 时候任意的，对吧？任意的，这个就是 n 倍的 x 零加上 n 倍的这个 x 零加上 x 零，这个，这个距离这个 x 零点这么多， 那这个 s 零和 r 本身是有关联的。对的啊， s 零是二分之 pi 二十 pi 啊，加一，二分之 pi 啊，加二，二十 pi 加一啊， 好，这就是这么多啊。呃，这个关系就就这样了，或者是 pi 加二，是吧？二分之 pi 加二。好，这样我们就算出来了啊， 算出来了我们也不再带到这个，就是本来这个啊，我们就开始写出来了啊，这，这写太太麻烦了啊，就不写了，这样来描述了。 好，这个题就写出来了。嗯，这个题呢，它就是不停的在这个变，变，变，变了，这个弹力会发生变化，速度也会发生变化，走的这个路程会发生变化，就是这几个，这个来回来回走的这个路上啊，换，再换个颜色， 嗯，就是这一节看不清， 这一节走过去的和这一节走过来的，这相当是个匀加速啊。哎，这一节他走过去的，这是匀加速。不同时间段的对应。这个路程一三五 g 这么一个东西啊，然后这个是速度是一二三啊，然后这个半径是一二三对应的关系，这个东西要能搞清楚啊。 好，那这，这个就问题不大。这个题，嗯，一会看横，一会看竖的，嗯，但至于到第第多少次第多少次离开，那就不清楚了。他只要打到 x 轴后面就没了，打到 x 轴后面，因为他的 x 轴的上方，对吧？ x 上方存在着这种场，但是下方根本就没有场了， 没有场的都走掉了啊，停，那这个问题我们就分析到这里啊，好，祝同学们学习进步，再见。

咱们安徽今天有三个大练考，一个是药政优，皖江名校，皖南八校，我来简单的给大家分析一下， 嗯，整体来说，嗯，难度不是特别大，但是有个科还是难度很大的。像我们这个皖南八校这个物理，我个人认为应该比这个省时这个难度都大， 应该是这个从九月份开学到现在，应该是物理最难的一次啊。然后这个英语，皖南八校的英语也有难度，包括上午的语文也有难度， 因为这皖南八校这个语文，这个作文以及整体的阅读都是有点小难度，因为这个语文出的这个题还是很新颖的，我建议就是我们安徽高三的 去做做这个题啊，很新颖，感受一下。然后皖江名校整体来说，包括上午的语文，下午的数学都还好啊，幺中英我认为 也还好啊，也还好，就这个皖南八校有点难，包括昨天，今天下午这个天一也结束了啊。天一整体来说，呃，也是中规中矩啊， 就是这个万达外校值得一做，没有考的话可以找我把这个试卷拿回去做一做啊，我把这刚考完这些卷子答案都有了啊，电子版整理好了，如果你们要的话呢？然后拿回去下载，让孩子去做一做。

好，大家好，今天我们给大家讲刚刚考完的我们 安徽的八校联盟这样的一个第八题的压轴题，那么这个题呢，重点考察，我们说是考察他一个什么呀？一个函数的平移与对称变换， 就是首先我们要理解 f x 减一与 f 四减 x 这样的两个函数是什么关系，那么这个两函数呢，我们说基本上啊，百分之九十同学他们都不会搞清楚这两个函数到底是什么关系。 首先呢，我们说这函数呢，我们最好是啊，重新的去设一个函数，就是令令 g x， 它等于 f x 减一， 那么 g 四减 x 呢？很显然就等于多少呢？它是等于 g 的 啊，负 x 加五，对吧？它才会等于 f 四减 x， 所以 说我们从这个括弧看， g x 变化成 g 负 x 加五，所以说这两个函数它是关于什么呢？关于 x 等于二分之五轴对称， 对吧？就这两个函数的图像，它是关于 x 等于二分之五轴对称的话，那么它们 就是成在一起还要小于等于零和乘以的话，也就是说我们这样的两个函数，它一定是啊，不管怎么样，它最后这个图像啊，就这个整体的图像，比方说我们等于一个 h x 的 话啊，它整体图像一定是一个 二分之五，然后呢都是不管怎么样啊，乱七八糟的话，都在他的下方对称的啊，是吧？我们在这个二分之五的下方， 所以说我们说这个两函数的话，一定会同时经过什么呀？一个共零点，就是我们的二分之五都和零，就这两函数一定会小等的话，因为他们有共同零点的话，他就会经过二分之五都和零， 对吧？我们原来这样理解， f x 减一到 f 四减 x， 就是 一个把原来 f x 干什么呢？一个翻折变换的一个问题，对吧？他去把 f x 往右平移，然后呢再去啊进行翻折左移，右移，他的零点的个数呢，我们说还是不会发生变化的，只是我们说他们两个，是吧？这个函数 往右移一个单位以后呢，他就会经过二分之五逗号零， 就这个零点，而且呢我们说他是关于二分之五逗号零对称的话，我们原来的零点的话，我们根据他的图像这样一个穿根法啊，他是穿过来之后吧，他是大概就是说这么这么个形式，是吧？这就是我们的 f x 减一， 他应该是这么个效果，经过二分之五都零，然后呢 f 四减 x 呢，很显然就是跟他什么呀，跟他完全是一个相反的，就相当于把它关于 x 等于二分之五逗号零严格对称， 对吧？做对称轴，所以他长长这个效果啊，只有这样式的才能说我们他们成在一起，对吧？ 就这两个函数成在一起呢，才回去正好是小于等于零，我们一个选择题的话，只需要轻轻松松画图像就 ok 了啊，所以说我们现在这个问题呢就解决了啊，这个问题就是说这两个零点啊，这两两个零点呢，是关于二分之五都和零对称的， 然后这个函数呢是 x 减一，那么我们把它左移回去，原来的函数呢？就是我们多少就是二分之三对零，对吧？那么中间的这个点呢，就是二分之三，所以说 b 呢，就等于二分之三啊，这我们的 b 等于二分之三， 那么这两个点呢？现在关于二分之五多少零，我们平移回去以后，它就是 a 和 c， 所以 说他们一定会沿着对称的话，就是 a 加 c 的 话，他们的终点就是我们的二分之三啊，所以答案选择这个 b， 因此这道题呢，我们做最大的密码在什么地方呢？ f x 减一与 f 四减 x， 首先是关于 x 等于二分之五则对称 啊，我们不用去算，我们自己感觉就可以了啊，二分之五这个点在这个地方，他这个图像呢，猜想他长这个效果，那么他经过把 f x 这样一个图形呢，去右移变换，去上下翻折变换之后，正好还是啊他的三个零点时重合的。谁知道你考什么？考我们 二零这个二四的一个新课标的共零点问题啊，横成的共零点问题，因为这两个函数呢，它各只有三个零点，要想成在一小等零，它必须得三个零都相同的啊，都经过这三个三个零点，然后我们把它平移回去就行了 啊。 f x 减一又移至二分之五都零，我们移回去就是二分之三啊，剩下的 a 和 c 关系，二分之三都零啊，对称就 ok 了。

咱们安徽高三十二月份的所有联考都已经结束了。药政优，皖江名校皖南八校，讲讲皖南八校，他的部分学科还是很具有创新性的，比如语文作文，包括英语，然后有部分学生反映他的英语听力听不太清。 数学呢？中规中矩，物理还是有难度的，如果有没考过的可以下载打印做一做，有需要的给我发信息。

每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注们好，今天分享的题目是二零二五年十月安徽皖南八校联考第十一题，分析如下， 因为 a 方加 b 方加 ab 等于四，所以可以构造两边的长为 ab， 加角为一百二十度。第三边的长为二的三角形 b 平方加三 c 方等于一，因此可以构造两边长，分别为 b、 根号三、 c 加角为九十度。第三边长为一的三角形 三分之一， a 方加 c 方加 a、 c 等于一，因此 a 方加根号三 c 括号的平方加三 a、 c 等于三，所以可以构造 两边长，分别为 a、 根号三、 c， 且夹角为一百五十度。第三边长为根号三的三角形。 而把三、三个三角形可以拼接成一个大的三角形 a、 b、 c。 如图所示， 已知三角形 a、 b、 c 三边长为一，根号三、二，所以为直角三角形。又令角 o、 c、 b 为 c 塔， 这根号三 c 等于扩散器塔， b 等于三 c 塔。 三角形 o、 a、 c 中，由正弦定律可知，根号三比上三引一百五十度，等于 a 比上三引角 a、 c、 o 以及根号三比上扩散器塔。 而三角形 o、 a、 b 中，由对称定律可知， a 比上三角 a、 b、 o 等于二比上三角一百二十度。 又一只角 a、 b、 o 等于 c 塔减三十度。因此 a 比上三角 c 塔减三十度，等于二比三角一百二十度。 两个等式联立可得三 x 塔等于四比根号十九。 cos 塔等于根号三比根号十九， a 等于六比根号十九。 g、 b 边长等于四比根号十九， c 边长等于一比根号十九， a 边长等于六比根号十九。 分别带入 a、 b、 c、 d 四个选项，可得 a 选项错误， b、 c、 d 三个选项正确。答案， b、 c、 d。

欢迎各位同学来到阿甘讲数学，那我们今天要讲的是我们的这次高三年考的皖南八校的第四部分解答题。首先我们看我们的第十五题，他说已知函数 f x 等于两倍的撒引 x， cosine x 加上二倍的根号三， cosine x 平方减掉我们根号三。那对于我们前面这个部分，我会发现 cosine 乘以 cosine， 是 不是在我们 sine 的 背角公式里面有啊？也因为我们可以 cosine 的 背角公式有 cosine 二 x， 它应该等于多少？是不等于两倍的 cosine x 乘以我们的 cosine x 有，第一个前面这个部分我是不是可以化成了三以幺 x， 那 对于后面这个有 cosine x 平方，我们是要给他什么？降幂对不对？那降幂我们首先根据我们学过的只有我们 cosine x 对 吧？它的背角公式要首先提出根号三出来，会发现你们变成两倍 cosine x 平方减一，那这个是不是我们的 cosine x 的 一个背角公式啊？ 所以这道题它其实第一部分考察的是我们的被角公式的一个应用，那么它可以化解出来这个或者是它的变形式，两倍的 cos x 平方减一，对不对？所以说我们的 f x 此时就变成了 sin 二 x， 加上我们根号三倍的 cosine 二 x。 要到这一步，你会发现我们三 x 和 cos 二 x， 它是不是又变成了我们的另一个公式，叫做辅助角公式对不对？而且辅助角公式我们说首先要提出根号下我们的 a 方加上 b 方，对吧？提出它的系数出来对不对？ 那系数提完之后我们会发现这里面一个是一，一个是根号三，那我们说一的平方加上根号三的平方是不是等于我们的二呀？那我们是不是提出它的系数二出来？所以说我继续推导出它应该等于我们两倍， 那么你是二分之一撒引二 x 加上二分之根号三 cosine 二 x， 那 这里面是不是我们的？ 给它还原回去，是不是变成两倍 cosine sine 乘以我们的 sine 二 x 加上 cosine sine sine 乘，乘以我们的 cosine 二 x， 那 这个是我们的核差公式了，对不对？是不是等于两倍的 sine 二 x 加上我们的 sine 二 pi， 那我们知道 sin 它第一位，它求的是函数 f x 的 对称方程，那很显然，我们说对称轴， sin 的 对称轴要么是在它的最大值，要么是它的最小值，那无论是最大值和最小值。也说当 x 等于什么二分之派加 k 派的时候，它取得我们的最大值，对不对？那意味着我会得到二 x 加上我们的三分之派， 它应该等于多少？等于我们的二分之 pi 加 k pi， 那 么对它进行处理，会得到我们的 x 应该等于多少？等于我们的十二分之 pi 加上二分之 k pi， 那 这个就是我们第一问的完整的解答过程。

我们来接着上一个视频，接着讲啊，那么我们根据这个，嗯，首先呢，我们在图上先画出与 a b 方向相同的一个单位向量，假设它是 a e 与 a c 方向相同的单位向量，假如是 af， 然后根据平行四边形法则呢，把 a d 呢给它画出来。 好，这时候我们发现这个 a e 跟 a d 啊，它的长呢，是相等的，所以这个 a e d f 呢，它是一个菱形，那么这样的话，这个 a d 这个对角线呢，应该是平分这个 b a c 的 啊， b a c 的。 好，那么首先第一步呢，我们要把这个嗯 a d 的 长给它求出来啊， a d 的 长呢，是用这个魔长的公式来求的，你们自己看一下。好，第二个呢，是将这个面积分成两部分，那么 abc 的 面积 等于二分之一 bc 乘以这个三以三十度，那么分成 abd 和 acd。 好，我们看，我们把这个公式都罗列在这了，大家可以看一下，那这时候可以得到这个 bc 等于这个 b 加 c。 好， 第三步呢， 它是用一个余弦定义， a 的 平方等于 b 的 平方，加 c 的 平方，减去两倍的 bc， 扩大三十，呃，三分之二，那么这时候得到呢，四减 三倍的 bc 等于 b 加 c 的 平方。那么大家一定要记住啊，像这种啊，像这种模型 啊，角平分线模型，那么它很多时候都是用这两个式子合在一起推导出来的。第一个就是面积的，呃，平分就是 总的面积等于两个小三角形面积，推出一个式子。好，然后呢，再是由余弦定，你再推出一个式子，再由这两个式子合在一起，然后解出来这个 题目的很多的，这种角平分线这种类型的题目啊，都是按照这个套路做的，所以呢大家一定要记好啊，大家要记好啊，大家要记好。所以遇到这种角平分线模型的题目呢，您首先怎么样把它面积分成两个三角形来算 第二个呢？再用这个余弦定，你再捏一个式子，然后两个捏式子合在一起呢，就可以把想要的结果算出来了啊，算出来了。 好，那么我们当我们得到这个式子跟这个式子的时候呢，然后我们看一下，嗯，使它呢加个平方，那这样呢就变成了 bc 的 平方，等于 b 加 c 的 平方，然后这边有一个 b 加 b 加 c 的 平方，两个式子和连在一起就可以得到 bc 等于多少 啊？这个套路是比较固定的哈，大家一定要记住。好，然后我们再算这个三角形， abc 的 话就好算了啊。

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的是二零二五年十二月皖南八校高三联考的第十八题。这个呢，是次弦轴题，难度不太大，今天来讲解一下。 已知等差竖列 a n， 它的前项和是 s n， s 二等于四倍的 s e 对 任意的正整数 n 均有，它成立。第一个求 a n 和 s n。 它题中首先说明了这是一个等差，熟练求通项公式和前一项和，那肯定是找首项和公差 好，我们从这个条件来分析， s 二等于四倍的 s 一， 你怎么翻译呢？ s 二等于四倍的 s 一， 显然我给它写上 a 一 a 二比较容易。 s 二就是 a 一 加 a 二等于四倍的 s 一 就是四倍的 a， 所以 就得到这个 a 二就等于三倍的 ae。 然后第二句话，对任意的正弦均有这个 a 二， n 等于二倍的 a n 加一。注意任意的正弦，那么我们要取 n 得一了呢？那不就有 a 二就等于二倍的 a 一 加一吗？ 结合这两个已知条件，我们不就可以把这个 a 一 和 a 二给解出来吗？两个一笑，那就是 a 一 得一， a 二呢就得三，所以这个题就很容易了。 那么 a 一 a 二有了公差 d 就 得二，所以这个 a n 呢，我们就出来了，就等于 a 一 加上 n 减一乘 d， d 是 二，所以这个结果就是二 n 减一，而这个 s n， 我 们就用前项和公式。二分之 n 倍的 a 一 加 a n， a 一 是一， a n 呢是二， n 减一 负一正一消掉，二和二消掉，所以这个 s n 就 等于 n。 方好第一问解决。我们看第二小问， 竖列 b n 满足 b 一 得一。后边这个条件看着有点复杂，求通项公式，求 b n 的 通项公式。这里边大家注意到， a n 的 通项公式我们已经有了，所以这三个我们是能把它带入进去的。来我们看一下， 我们先把它写一下， b n 乘以 a n 的 平方，等于 a n 减一，乘以 a n 加一，当然 n 大 于等于二， 我们把这个 a n 给它代入 a n 呢，是二， n 减一，所以是 b n 乘以二 n 减一的平方， a n 减一呢，带进去就是二。 n 减一，再减一就是二。 n 减三，乘以 b n 减一，再乘以 a n 加一，那就是二倍的 n 加一，再减一就是二。 n 加一， 我们目标是求 b n 的 通项公式，我得找 b n 的 关系，那显然这个 b n 和 b n 减一，我给它放到一起，那就由 b n 比上 b n 减一，等于什么呢？ 这个上面就是二 n 减三，乘以二， n 加一，把左边这个二 n 减一的平方除过去，就是二 n 减一的平方，除到分母上， 我们得到的这是一个 b n 的 这样一个递推公式。这个递推公式我们怎么使用呢？常做数列题，这种题我们是很熟悉的， b n 比上 b n 减一，它如果是一个固定的常数，那就是等比数列， 那这个常数它不固定，显然它与 n 有 关。那这种形式的话，求同向公式，我们通常叫做累乘法，应该大家不陌生，下面我们可以看一下你比如说 n 得二，那就是 b 二比 b 一， 它得啥呢？把二代入后边，二二得四，减三就是一，二二得四，加一就是五。下边呢，二二得四，减一就是三的平方。 然后我们再列局， b 三比上 b 二，那就是 n 得三，二三得六，减三是三，二三得六，加一是七，二三得六，六减一是五， 就是五的平方。同理， b 四比上 b 三，我们多写几下 b 四的话，这个就是五乘九比上七的平方，那 b 五比上 b 四，以此类推，那就是七乘十一比上九的平方。 这样的话，我可以列举，一直列举到哪呢？列举到这个 b n 比上 b n 减一，这就出现了 n 减一个等式。 好，每乘法就是把这些等式相乘，左边乘左边，右边乘右边， 左边乘左边，那就是 b 二比 b 一 乘以 b 三比 b 二乘以 b 四比 b 三，以此类推，一直乘到 b n 比上 b n 减一， 右边也相乘一乘五比上三的平方。注意这个算数啊，千万别把一乘五给它算开，尤其后边也是三乘七，也别给它算开，因为我们是要发掘规律的，你要把它乘进去的话，这规律我们就不好找了， 比上七的平方啊。然后呢？七乘十一比上九的平方，我多写几下，一直到后边是二 n 减三乘以二， n 加一比上二， n 减一的平方。 那我们看前面的乘法的结果， b 二 b 二消掉 b 三， b 三消掉 b 四， b 四消掉， b n 减一和前面 b n 减一也消掉，所以左边剩下一个 b n 比上 b e u 边呢？我们来观察一下，这个有点麻烦， 这个五和五能消一个去和，这个五也能消一个，所以这个五就没了，这个三和这个三能消掉，后面没有三，所以这个三就留下了。所以这样一消的话，你看这个三和三消掉一个平方，这个五，还有这个五和下面的五的平方消掉， 这样消完以后，左边剩个一三，再往右看，这个七和这个七，还有下边七的平方也消掉，这个九和九的平方和后边九也消掉。所以你消掉最后的结果是什么呢？ 当你消掉最后的结果的话，这个会消掉，这个会消掉一个，还剩个二， n 减一。所以右边剩的结果有个一除以三，后边最后一项剩下一个二， n 加一，比成二， n 减一， 我们就得到这样一个式子。然后呢，你把这个 b 一 给它乘到 u 去，不就得到了 b n 吗？而这个题中给了 b 一， 我看是几 b， 它是一，在这呢，给了 b 一 得一，所以我们就得到这个 b n， 它就等于二 n 加一，比上二 n 三倍的二 n 减一， 当然这个 n 呢，是大于等于二，那显然我们再看一下这个 b 一 成立不？ n 得一的话，这个式子 n 得一的话，你看上面是三，下面呢也是三，正好对 b 一 也成立， 我们先写着啊。答，一等于二，对 b 一 得一也成立。所以最后这个通项公式就是 b， n 等于二， n 加一，比上六十六， n 减三吧，就是这样一个通项公式，这就是典型的累乘法。 好，前两问都挺简单，我们来继续分析第三问。第三问就涉及到这个前移项和了。刚才咱算了， s n 等于 n 方，这个第三问是这个竖列的前移项和为 t n， t n 大 于，证明 t n 大 于 l， n 加 e， 我 们先把这个 s n 写出来， s n 是 n， 方根号写 s， n 就是 n， 所以 这就是 n 分 之一的前移项和，就是 t n n 分 之一的前 n 相和。我们写一下，这个 t n 实际上就是一加二分之一加三分之一，一直加到 n 分 之一，这就是 t n。 让我们证明 t n 大 于 l n 加 e 这样一个不等式，怎么证明呢？左边虽说是一个竖列的前 n 相和，但既不等差，也不等比，我们无法求和， 右边是一个对手，你这咋比？这里边啊，常见的方法啊，我们虽说求不了和，但是我们可以给他看成什么呢？右边也给他看成一个竖列，左边是一个竖列的前移相和，右边也是一个前移相合， 然后你把这个前移相合有了，求出他的通向公式。如果你能够证明左边的通向比他的右边的通向还大， 那么每一个 a n 都大于这个 b n。 假如这就是 b n 吧，那么 a n 加在一起比这个 b n 加在一起和肯定也大呀。所以这个第三问是一个这样的思想。好，我们不妨令这个 c n 的 前 n 向和 啊，前 n 相和，我们就记作 h n 吧，它就等于 l n 加 e。 假如说是这样一个熟练 c n 的 前移相和，那这样的话，这个 c n 就 等于 l n 加 e 啊，就是 h n 减去 h n 减 e 啊。我先写一下，就可以利用前项和这个关系， s n 减 h n 减去 h n 减 e， 也就是 l n 加 e， h n 减 e 呢，就是 l n， 也就是 l n 分 之 n 加 e。 什么意思呢？就是这个数列作为一个新数列的话，它的前项和就一定是它。 我要能够证明这个竖列的 d n 项比这个 d n 项要大，那它的和也一定比这个和要大。所以我们下边只需要证明啊，只需正，正什么呢？正，这个恩，分之一大于，这东西 大于零， n 分 之 n 加一，这个我只是分析思路的过程啊，写正常考卷上写过程，不这么写， n 分 之一大于它，这个怎么整呢？实际上你后边给你变变形，你把这个 n 除以 n 的 话，这个不就是一加 n 分 之一吗？ 这就是我们常见的一个不等式啊，就是我们常见的那个切线不等式。所以我们只需要构造一个函数，比方说令 f x 等于 x 减 long 一 加 x， 这个 x 就是 n 分 之一。如果这个要能证明它大于零的话，那么不就有 n 分 之一大于 long 一 加 n 分 之一了吗？ 所以我们可以对它求导函数，这个当然很容易了，求导函数是一减 x 加一分之一，一通分的话， x 加一分之 x， 这个 x 呢，肯定是个大于零的啊，因为这个 x 就是 取的 n 分 之一， 这样的话，这个导函数肯定是大于零。导函数大于零，所以这个 f x 肯定大于这个 f 零 f 零呢？你单位正好得零， 所以这个 n 分 之一肯定是大于 l n 一 加 n 分 之一的。这样的话，我们就可以知道，这个一分之一加二分之一，加三分之一，一直加到 n 分 之一，它就一定大于 l n 一 加一分之一，加上 l n 一 加二分之一， 对吧？一直加到 lo n 一 加 n 分 之一，那么我把右边给它求和呢？右边这个式子啊，实际上这个 lo n 一 加 n 分 之一，实际上是。我，别这样写了，是 lo n 分 之我，我写一下吧， 实际上右边这个式子就等于 lo n 一 分之二，加上 lo n 二分之三，一直加到 lo n 分 之 n 加一， 对数相加啊，对数相加里边相乘，真数相乘，二除一比上三比二乘以四比三，一直乘到 n 加一比 n， 这样的话这些都消掉，最后就等于 long n 加一， 我们这个不等式就得到了证明。当然呢，我刚才说了，写过程不这样写，我只是给大家一个分析过程，你写过程要么用综合法从头往后分析，要么用分析法从结尾去往前分析。好了，今天这个题目难度不大，我们就讲到这里。

啊，各位朋友大家好，今天给大家来讲一个咱们这个是安徽省的这个万能八校的这个第二次联考，这个第八题啊，这是单选题，最后一个我们来看这道题啊，这个题也是很有意思出的，他说 f x 等于一个三次函数，相当于， 然后告诉你了， a 大 于零，小于 b 小 于 c， 然后他为最下面这个东西横成立，然后让你求 a、 b、 c 的 一个关系。第一个我们来看这个三次函数，大家想到了什么？就想到了是不是能够不知道大家能不能想到这个穿根啊， 对吧？这个考的是穿根，穿根，那穿根的时候呢？咱们背的口诀是从右上开始，这地方你可以想，当 x 趋近于正无穷的时候， 那么这个 f x 是 趋近于啥？是不是也趋近于正无穷，对吧？很明显，对吧？你都你 x 减 a 是 正无穷， x 减 b 正无穷， x 减 c 是 正无穷，所以说你从正无穷开始吧， 等 x 趋近无穷，然后呢再来穿针就可以了，那么来看，那么零就在这里， a 在 这， b 就是 这里， c 就是 这里。 这第一个考的川根啊，川根确实，嗯，咱们在实际当中呢，做题当中确实非常少见的，这是第一个。第二个来看，他要小于等于零和成立，小于等于零和成立的，这个时候我们有两种讨论，对不对？第一种讨论就是什么呢？就是 f x 减一呢？他比如说是大于等于零， 而那么 f 四减 x 就 得是小于等于零，那么来看，如果 f x 减一是大于等于零的话，那么来看大于等于零包括两部分，对不对？ 那我们来看包括哪两部分？第一部分呢，就是 x 减一，要大于等于 a 小 于等于 b， 或者是 x 减一要大于等于 c， 就 这么两部分，四减 x 小 于零呢？第一个就是四减 x 要小于等于 a， 或者是四减 x 大 于等于 b 小 于等于 c， 这么两种情况。然后呢，我把这两个不等式呢，上下来解一下。看上面这个不等式，上面是 x 大 于等于 a 加一，小于等于 b 加一。 第二个呢是 x 大 于等于 c 加一。我们来看下面这个，下面这个下面这个 x 呢，第一个把它变一下就变成 b 减四了，就小于等于四减 b 大 于等于小于等于，这个是小于等于是大于等于是等于等于是四减 c， 应该是 好了。然后呢，还有一个呢， x 呢，是要小于等于，看这个，这是 x 要大于等于，这个是 c 加一，这个呢做出来就是 x 也是大于等于。 那么这里呢，就是 x 要大于等于这个四减 a， 这是 a 加一，那就 c 加一， c 加一。 好，我们来看下面我们把这两个不等式解完了之后，现在的要求他们是横乘立的， 我们来想想你横乘立的话，我们能得到什么？第一个时候这两个是相等的，就是 c 加一应该等于 a， 四减 a 啊，是吧？第一种，第二种呢就是 a 加一也等于四减，就是 a 加一也等于四减 c， 这是一样的。第三个呢，就是 b 加一等于四减 b， 然后呢，我们把这个等式呢，把它解一解，第一个呢做出来就是 a 加 c 等于三，第二个做出来也是 a 加 c 等于三，第三呢就是二倍的 b 等于三，其实 b 呢等于二分之三， 因为它横乘立嘛，对不对？横乘立它们两边的这个这个界限应该是一样的，所以说这个题我们选的是 b 第二个。当然呢，你说我不放心，我再讨论一遍。我再讨论一遍啥呢？就是第二种情况，就是 f x 减一，它要小于等于零， 然后呢， f 呢？四减 x 要大于等于零，你这样做出来，结果应该是一样的啊。好，我们来看这道题本身难度不是很大啊，但是呢，确实， 呃，不是，这不是太常规的考法啊，也是比比较比较少见的一个在穿根当中的一个应用。那么穿根呢？如何来穿？ 这个要咱记一下，因为咱们在高一的时候就学过，高一的时候学解不等式的时候学过一次，然后等到高三高二的时候学倒数的时候也学过一次，对吧？ 那第二个呢？他这个横长例呢，其实就是两个界限相等就可以。这是咱们比较少见的一种题吗？啊，这次课讲到这啊，再见。

每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注们好，今天分享的题目是二零二五年十月安徽皖南八校联考第十四题， 分析如下，由对数及指数不等式，今令 x 小 于等于 x 减一， x 方大于等于 x 加一， e 的 一的二 x 减 y 减一方大于等于二， x 减 y， 令二 x 减 y 小 于等于二， x 减 y 减一，当前减到二 x 减 y 等于一。时两不等式，同时取得等号， 所以一的二 x 减 y 减一方减去，令二 x 减 y 大 于等于二， x 减 y 减去，二 x 减 y 减一，等于一。又一有已知条件可知， 一的二 x 减 y 减一方减去，令二 x 减 y 小 于等于一。因此一的二 x 减 y 减一方减去，令二 x 减 y 等于一。 此时二 x 减 y 等于一。一提一，点 p 坐标为 x， y 在 直线 y 等于二， x 减一上。 又由于点 q 在 曲线 y 等于两倍的一 x 方不向上，所以当点 q 在 平行于 y 等于二， x 减一，且与 y 等于二乘以一 x 方相切的切线的切点时， p q 最小， 而且最小值为两平行线之间的距离。又已知 y 等于二， x 加二，与曲线 y 等于二乘以一 x 方相切， 而且相切于点零二，所以 p q 的 最小值为三。除以根号五，等于五分之三，根号五。答案，五分之三，根号五。