t8联考怎么备考复习

家长们，孩子们这两天是不是被 t 八联考刷屏了？听说数学难到把孩子都考哭了？别慌，今天呢，我就跟大家唠一唠，这次考试到底在释放什么信号？它和六月份的高考到底有什么样的关系？今天的视频有点长，请大家耐心观看。 先提前说一句，想要在第一时间索取试卷以及答案的，可以后台私信张老师。首先呢，咱们要先弄明白 t 八联考是什么，他可不是普通的月考，而是由华中师范附中、湖南师大附中、石家庄二中等八个新高考省份的顶尖重点中学联合出题的。 说白了，这就是一场顶尖高手之间的对决，题目含金量高，难度自然也大。 这次考试刚结束，就有很多同学反馈，数学的难度非常大，有考生甚至说大题梯度奇怪，压轴题简单过头，感觉和高考的贴合度没有那么高。你看，连这些学霸集中的学校考生都觉得难，普通孩子觉得吃力太正常了。 那么问题就来了，这次考的难，是不是意味着高考也会这么难？他到底是不是高考的风向标？ 我的看法是， t 八联考的价值不在于预测高考原题，而在于皆是命题趋势。 这次数学考哭大家，恰恰暴露了当前高考复习的几个核心空点，也指明了未来命题的三大趋势。一、基础题挖坑计算能力是硬伤，很多孩子不是不会做，是算不对，算的慢。 这次考试里，那些看起来能拿分的题，可能都设了计算陷阱，这对应了高考命题的持续强化。基础性考察的方向，基础不等于简单，而是考察的更细致、更灵活。 二、思维深度大于刷题数量。现在的命题越来越反对套路化，强调多想少算，题目可能穿着新情境的外衣，考察你的创新思维和探求能力。 这次 t 八联考，如果觉得题怪，那么正好说明光靠刷旧题不行了。三、低起点高落场区分度就在这。试卷设计往往是前面让你觉得还行，后面几道题难度陡然上升，把真正能拔尖的学生选出来。 这次数学难点也集中在选择压轴和最后大题的最后一问，这就是典型的区分度设置。 我们看懂了趋势，那咱们该如何调整呢？张老师在这给孩子们三点最实在的建议，第一，要回归课本，死磕计算，别再盲目的追求偏题怪题，把课本上的公式定律自己推导一遍，保证基础题百分之百拿分， 每天现实做计算练习，提升准确率和速度，这是应付基础题挖坑最有效的办法。 第二，要建立题型思维，而非套路思维。每做完一题，别只对答案，要问自己这道题的核心考点是什么，他用了什么样的方法，题目条件可以怎么变形，这样才能举一反三，应对新题活题。 第三，要用好复盘这个终端武器，尤其是像提拔联考这样高质量的模拟卷，考完了绝不能只是看个分数，要把错题一道一道拆解，到底是知识漏洞、计算失误，还是思路根本就没有跟上，把一套卷子吃透，比稀里糊涂做十套都强。 所以家长们孩子们别因为一次提八联考难哭了就焦虑，他就像一次高强度的体检，提前把我们复习的不弱环节给暴露出来了。 高考的命题精神是稳定的，就是重基础、考思维、求创新。咱们要做的不是抱怨题目难，而是借助这次机会调整方向，扎实前进。记住，笑到最后的，永远是那些能从每一次考试中调整方向，扎实前进。记住，笑到最后的，永远是那些能从每一次考试中调整自己的孩子。 我是如愿高考规划张老师精心为孩子制定专业提分方案、诊断学情、制定计划、专业答疑、督促激励、志愿填报正是我的工作范畴，也是我最擅长的。您的信任就是我的责任，专业的事交给专业的人，您说。

这套试卷是不是二零二六年的高考通向标？本月赫赫有名，超级重要，超级有名！最先出炉，最烫手的一套试卷，二零二六届的提拔联考我拿到了，它和高考题很像。我大概看了一下今年的试卷，整体来说，我觉得都是课内的东西，除了第十九道题给人的感觉比较复杂， 其他的题应该是你复习到了。我们先来点评一下开秒。那第一题当然是非常弱智的，考了一个不等式的减法集合的运算。第二个题太弱智了，送分题讲的是负数的一些运算。第三题当然也是逐 步常规的，考的是换进公式加均值不等式。第四题，非常简单的，考的是三角形法则，平行四边法则，它们的这些应用，大家要知道什么重心的概念，什么三等分点。第五题，这数列也非常弱智， 一个式当中既有 n， 有 s， n 全都换成 n， 或者全都换成 s n， 他 又考了一个横冲的问题，求对值。第六道题，我们申花教材就讲到了，基本上是教材上的原题了，所以我们在备战高考的时候，千万不要忘了教材，如果教材你不知道看什么，你又去看我的申花教材，基本上 就足够全了。第七题，圆锥曲线。这道题绝对是非常常规的，又是双曲线和圆，又是这个是切线，这，这绝对是太常规了，应该能够拿下。第八题，考的是函数，考的是零点的，是重要的函数， 超越函数都得会化，那这就是前八道题，所以我觉得比较想高考都是课内的东西。第九题，统计。第十题，三角函数和倒数。这呢很明显有一个交代，函数和对数函数的一个不等式关系。十一题考的是立体结合，全都是重点，内切球，外接球、体积这些东西都是我们学立体结合的重中 之。总体来说，我觉得你应该是能准备到了。十二题特别弱智了，系数和二强制系数这些概念直接考公式基本上就差不多。十三题考的是直线和炮线，直线和炮线每年高考必考 什么？连理方程交半径，焦点先长这些公式。你要知道，第十四题给人的感觉就是三角函数还可以这么考吗？他俩相乘等于零，他等于或者他等于求最小值。涉及到三角函数的一道题目，具体考什么，咱们今天晚上再揭晓。第十五题肯定是比较常规的，考的是解三角形，解三角形，当然二零二五年新高考一卷，他考的是三角函数， 没有考减三角形的大题。其实这不是说以后我们考试他一定考的是三角函数，就说白了，现在考试一切皆有可能，所以不要去猜题。我们在复习的时候，我建议是尽可能的复习到位，复习全面。第十六道题是一个概率题，概率题向右运动，我觉得这就模拟题，应该是考烂了，不知道这道题的难度。哈哈， 我们按题号应该是没太有问题，我们一会详细讲解。十七题就见习立体几何也算是一个比较常规的题。十八题是圆锥曲线，我经常说，如果你要想考到一个比较高分的，比如想考到一个二幺幺九八五，想考到一百二十五 分以上，圆锥曲线必须拿下，必须学好啊，像这道题考的什么？什么四点共圆问题啊？我们四点共圆问题确实讲了很多啊，就方法也比较多，有的时候用倒角公式啊，有的时候啊，什么对角 误补吗？有的时候闲着垂头丧气。所以你看看这道题四年共研，我们应该怎么去翻译？十九题相对来说他就难一点，他考了一个高斯函数，和取整函数结合在一起呗，和数列结合在一起呗，所以这 确实也是我们高考的重中之重。整体来说，我觉得只有十九题，可能大部分同学看完之后比较新颖，可能你在备考过程当中没有复习到其他的，我觉得确确实实都是比较常规的。好，这就是大概，我给大家点评 一下。最后想叮嘱大家，那你说这套试卷是不是二零二六年的高考的风向标？我说的是不见得我们这样的试卷要重视，但是并不代表今年高考一定这么考，因为它太有名了，所以高考命题人有可能有意的去避开 他考过的什么知识点，尤其是十九题。十九题这道题你欣赏一下，或者说你客观的去做一做就可以了。那你说高考会不会考到他？我的感觉是百分百不会考到他，因为提拔联考太有名，如果他压中了近年奥体，那还了得吗？但是你说前面的是这些常规题，你像空间向量，你像三角函数，你像基本不等式这些知识点，那很明显 他是我们的重中之重，他和高考题很像，这都是有可能的。所以他是不是今年高考的风向标，不要去想这个问题，我们就拿来去做一做，把这里边的考点都弄明白，我觉得就足够了。

二零二五年高三含金量最高的模拟考试期末联考，今天下午数学刚刚落下帷幕，这张卷考完呀，又难哭了一大片，高三同学们难度系数属实非常的大， 创新点非常密，知识之间的连接非常的多，题目比较综合。另外一个就是计算量超级大。那对于我们高三的同学们来说啊，老师可以告诉你，这张卷的成绩不作为你未来高考成绩的参考，但是我们可以参考现在新高考形势下命题的方向和趋势到底是什么。 首先第一个点，我们先从试题结构上来说，依然延续了二零二五年的高考命题结构，八三三五也打破了二零二六年高考数学结构改革的传言，八道单选，三道多选，三道填空，五道解答结构并没有发生变化，这个咱们高三的家长和同学们可以吃一个定心丸了。 其次啊，这张卷要求同学们在复习的过程中，你需要把你的思维打开，不要形成思维定势，你需要足够的灵活，因为里边有很多创新的点，我们一起来看几个，比如说呢，给大伙举几个例子。第六题，以天宫开物的统车为背景，考察的其实是三角函数模型。 第十六题，以置点运动为背景，考察的是统计概率。十九题完全就是一道创新性的综合题目，以高斯函数为背景，里边有三角函数、导数、数列极限等等，那这些知识的一个融合， 所以这张试卷啊，无处不在的体现。现在高考的趋势叫创新，需要的是同学们临场应变的能力，需要是同学们灵活的思维。第三个点啊，就这张卷的计算量非常的大，这也是我们现在新高考的趋势之一，虽然题目变成十九道题，题量比以前少了， 但你会发现多选择题的第十题，第十一题相当于是八个小问，最后解答题十八题，十九题你没留出，十八到二十分钟你根本都做不完。 所以呢，就要求同学们的计算能力得非常的强，你只会单纯的硬算，远远不够，那计算呢，也是需要你总结出一些方法和技巧。另外一个就是你的心态如何在两个小时之内达一百五十分的卷，能抢到更多的分数，也是需要有很好的一个答题技巧。 所以最后安老师给大伙做一个总结，就这套 t 八联考的卷，确实是值得我们所有的高三同学们和家长们去参考， 参考的不是他的难度，参考的不是你最后得了多少分，而是命题的趋势，而是新高考命题的方向。那大家呢，可以看到， 真正的高考命题，实际上是与你平时学校的各种各样的周练，期中期末完全是两种感觉，所以大家在做题的过程中一定要拥抱这种趋势。 我们现在高三还有最后六个月的时间，我们应该尽快的从原有固定的思路，固定的套路，固定的思维当中脱离出来，拥抱这种新形式的变化。

河北省的孩子昨天参加完 t 八联考数学考试，你有什么样的感受呢？这次的 t 八联考数学呢，有几个非常大的特点，也可以称为变化。 第一个，数学题的难度偏大，跟二五年的高考相比呢，他的数学的难度是偏大，那平时考一百二一百三的，这次极有可能啊，在一百一十来分。第二呢，计算量相当大，一道题可能就让孩子用掉草稿纸满满一张， 这对于做题速度慢的孩子，或者平时计算的时候速度慢的孩子来说，是非常吃亏的。那通过这一次 t 八联考的数学的一个特点呢，给我们河北省的孩子一个建议，我们不妨学一学衡水的模式刷题。 另外呢，时间的管理，把刷题的速度练上来，把时间的管理一定要应用上来，这样在我们接下来的一百六十天左右的时间里，让我们的孩子数学能够更上一层楼。大家记得点赞关注张老师哦，带你了解河北省更多的高考志愿填报！

t 八出题的手段绝对高度模仿高考试卷，它是由八个省份最好的一流的学校的命题员一起来定制这套卷子，说难听一点，哥们很有可能这套卷子在高考考场中就会救你一命，不管你参不参加 t 八联考，这套卷子我绝对能够排在前三的必刷卷，更多的事情是能帮助你去学习重要的考题的目的， 去搞清楚到底高考考试考的是什么样的知识点，到底什么方式。打开，接下来我就带着你一起来预判一下第八联考可能会有哪些考点，第八联考有可能会在考试前还能去提升点什么。 首先我们看听力部分，今年听力的最大变化是跟以前不一样的，一到五题会读两遍，你目前已经考过这种读两遍的听力部分同学可以在 项目区敲个六，没有考过的敲五，那我会推荐大家，到目前为止我觉得听两遍中目前不错的。这个卷子是来自于上个月考的宁波一模的听力部分，如果没有宁波听力的同学，大家可以私信助理老师领取这套 卷子，那这是宁波听力的一模，大家去体会一下，感受一下啊，最好是能够静下心来，给自己二十五分钟，把这个听力完整的 做一遍，然后考前呢，会建议大家拿它来摸耳朵，帮着你进入到考场，熟悉考试的英语节奏。然后对于阅读阅读，龙哥有话要说啊，今年阅读难度整体不论是 z 二零啊，还是我们讲的杭这个浙江一系列的模考卷，包括山东师范呀，包括长郡二十校啊，整 整体难度都是偏高的，偏高主要在两个方面，第一个方面是我们的同意替换在增加啊，同意替换的词语越来越多，难词也越来越高。龙哥把今年我们讲过的一些重要卷子的核心单词给大家梳理一下， 一共有三百个单词，这单词有些是反复出现，那有些是非常贴近我们今年二五年新课标中新增的 一百九十六个单词，所以龙哥也把这次给他整个梳理了一遍。大家去找朱老师领取评论区回复高频词汇，然后私信朱老师领取，打印下载领取考前梳理这些单词，考场上 磨刀不亮也光，我们来看看这次考试的主要特点啊。最近的考试难度上在两个方面体现，第一个是同义替换词越来越多，比如看这个题，或者是 what is pioneering ai artists， focus of art creation， 定位很简单，马上能看到在这儿欸，它们聚焦做什么？四个选项，我们会看到常规的 skill 啊， 然后 inside over， 所以 inside 的 更重要啊， inside， 然后还有 visual technology 啊，然后还有什么 data collection 啊，然后 physical craftsman。 结果你发现几乎这四个选项，除了 b 和 c 有 些词出现以外， a 和 d 完全没有词语提到，但是答案选的是 a 选项，为什么呢？因为这个题考了严重的 特别特别坏的同词替换，而且是直接换了三次，偶然中给了一个词语叫做什么呢？他上来告诉你说有 ideas， 第一次提到想法，然后到后面其实 ideas 把这个 idea 又换了一个词，变成 point of view， 它都是指观点和想法，然后正确选项就是 a 的 这个 inside 叫洞察，所以三个词都 都不一样，但他指向是同一个意思，说明这个人怎么样啊？他们增加了自己的想法，而且这个人说我不太相信这个人的手，这个手指的是什么？叫 physical craftsmanship， 对 d 做了否定，也对 skill 做了否，它都是指人的做起这个，这个作画的技巧。对这个 skill 否定了，对，这个否定了。所以它后面提到 abstract artists view， 这个 view 指的就是 inside。 所以 如果你对于这种高频替换词不熟的，哼哼可能要小心了啊。然后也通过这套卷子来看一看，大家有没有可能对一些同义替换的词语不熟练啊？这是第一个，第二个呢，是语篇整体难度在提升。比如说这句话啊， 就是我们最近给大家讲了一些好题中挑了一些重要代表性的内容给大家做一下串讲。比如说， previous studies linking exercise to reduced mental decline mostly rely on participants recalling their activity， levels and rally examine why staying active might have this in fact meanwhile taking five thousand to seven thousand five hundred steps daily seemed to slow tool gathering even more resulting in a 54 percent lower rate of mental decline compared with inactivity。 哈，告诉我这段话你大概看懂了多少？如果是十分满分的话，全看懂敲十，就完全没看懂敲零这种句子。当然这是我挑的最近的二六届的卷子中算是前三位比较难的句子了，但是也能体现现在句子的难度变化，甚至包括语法填空的句子也在变了，那这种怎么办呢？ 记住，碰到常难句不要慌。想起龙哥讲的劫匪插葱。劫匪插葱？不会的啊，今天晚上是串讲，所以有些老粉对这些东西已经比较熟， 新粉的话点关注，找老师去领取我们讲的劫匪插葱的概念。劫匪插葱呢，就是帮你去简化句子中最重要的一种手段，尤其在语法填空和阅读长难句中使用。像这个 linking 这一坨灰色就属于典型的非谓结构形式。然后这个 rely on participants， 它是典型的谓语动词，红色标的是谓语动词，名词用蓝色标注。所以这个 previous day 先前的研究，它就依赖于什么，依赖于 participants， 依赖于我们讲的参与者，然后参与者后面又要 recalling 又怎么怎么 rally examining 什么什么，他都是在对两个动作的比较，他 relied on 和不怎么检测，然后不怎么检测，后面解释了，哎，原因是什么？ 包括后面又引发同一样一件事情，他为什么 staying active 会怎么怎么样，而 taken 这个会怎么怎么样。所以实际上这句话用龙哥讲的劫匪插葱借词典语插入语，从句去掉之后，它的核心考量就变成了先前的研究，主要依赖于研究员的这种所谓的回忆啊，也很少检测啊，什么什么什么。 然后这个题看着句子很复杂，你只要把句子简化，他就问你说先前的研究问题是什么呀？结果其实很简单，就是先前的研究，他只关注了人们的回忆， 这就很简单了。所以这些细节部分，他只要不考你，你就不需要去关心。这是我们讲的碰到成难句啊，老师会想尽办法让你增加阅读的难度，增加你阅读的时间，然后选项给你添乱，导致你做不出来。但本句上说白了就是还是要找到考点是什么，他考的就是先前的研究，聚焦在研究院这个 参与者他们的回忆上面，所以这个题就比较好做了。那这两点是阅读理解目前主要的变化啊，一个是我们讲的同义词在增加，一个是句子在变复杂，变复杂就要用龙哥讲的劫匪插葱同义词替换，在考试中一定要小心，同义词替换出现的时候要去比对，这样的词是有可能产生敬意的判断，现在我们越来越多的难题不再使用原词，所以 一定要小心，然后七选五啊。七选五现在最大的趋势有两个，第一个是小词占比越来越多，这是我们在讲七选五现在升级的方向。第一个就是整个的三姨治变得越来越隐晦啊，不像以前我们二五届医卷，虽然那个七选五比较简单，但是还是给你挖了个坑，就是那个 she， 同样都是 she， 但一个指的是学生，一个指的是那个服务员，他这种他在隐性的增加难度啊。当然廖启确实龙岗讲的三一制是比较简单的，但现在今年这比较重要，几套卷子，其实我们难度都远高于我们的二五届的真题，他的出题方向主要是两个，第一个龙岗讲的小词提示， 比如来看这道题，你有发现这个小词提示七个选项中有没有看到 a 选项小词提示， i began recycling material 这个 began 时态，然后这个 began 两个时态在这里头，时态一致三一致可以用上。但其实这题最恶心的是什么呢？是这个 a 和 c， a 和 c 啊， 他都在讲啊，这个我，我开始做一件事都跟我的主体挂钩。然后呢，这个 a 和 c 选项中，一个讲的是 this， 一个是 this。 小 词提示，我先提示大家待会讲这个题的重要性，然后其实这个 d 和 f 也用到了，这个叫做 a recycled material z， 然后呢，他说 collecting 这一堆东西，而这个说的是我只做了一件事，叫 old chair， old chair， 他 只讲了这么一件事，老师你在说啥？我没有太听懂。来，我们看题，你就明白了。我们来看一下这个题目，就是你如果发现你只会翻译文章，小词不明白，就会特别容易掉坑。 我们先用龙哥讲的时态一致，我们可以迅速锁定三十七空，应该是选择 d 和 f 吧，或者是 inspired， 然后 started 只有这个 d， f 是 过去时 began 啊，然后这个 i saw began 过去时，这个没有问题，但他为什么一定选择 f， 不 选择 d？ 大家有发现为什么吗？为什么不能选 d？ 说，诶，这个旅程充满了这种新鲜的，这种 fill with newly explore passion， 这种热情， 我开始收集这些东西，为什么一定是我的旅程开始？在一个收集二手的商店里头，我看到了一个 older chair， 那 为什么这个三十七一定是 f， 不是 d？ 大家知道为什么吗？小词突破，小词突破啊，这就是我们讲的现在用三一制的原则，难度上在继续增加难度。为什么不能选 d 的 原因是因为大家看 有个小磁体是叫 this moment， 看到了吗？ this moment 是 指这个时刻，那这个时刻只能是一刻，你不能持续好多刻 this。 所以 你看，这儿给的是我开始搜集这种寻可利用可回收的材料 复数。那这个复数上面就说的不是一个东西，是一堆东西，它就不只有一个刻，它有好多刻，好多时刻，但这个给的是 a note cheer 对 应的就是这个 this。 除此以外，还有非常重要的词叫 and 的 提示。可以看到这儿说我了解到了这 quality materials 和 patience 重要性，所以两个都提到了用 and 的 连接。你只提 recycled material， 那 就那耐心就跟它对不上了。 这就是我们讲的重要的小词提示。来，我们再看一个，又是去讲小词提示的概念。各位，我们来看我们的 a c。 这样的选项是三十九空， 大家看三十九库呢，确实记的是 my， 我 的什么什么可以跟我挂钩嘛，对吧？我的话就重点是在这个 a 和 c 中选择 my favorite projects include transforming jars into planters and creating a had a boy from not a door。 兵不厌诈，这题你学会。龙哥刚刚讲过的 this 和 this 区分的话，这题是不是很好选？他首先讲的是我跟我挂钩，我做了一件事叫 me， 对 吧？ kids keep me going and inspires new ideas 跟我去挂钩。那到底选的是 a 还是 c 呢？为什么选 c 啊？因为他说了一句话叫做 and 啊，我要把这个 jar 变成 planters 容器，我还要创造一个 headboard 啊，要从一个老门上去做那种门匾，那东西，把它门给它卸下来，做成那个玩意儿，所以这些都是明显的复述提示，又按在提示里，对吧？那这个地方就不能选择 this， 所以 只能选 these， 看明白了吗？所以我们在考试，你会发现这种小词突破越来越多，这也是给大家举了一个例子啊，这个例子其实不算特别难啊，但是说实话，我们看到很多同学做错了，我说难听一点啊，就是，哥们你估计 高考英语就重在参与了，这不是我打击你，因为这种题目都看不懂的话，大概的英语上不了一百分甚至六七十分。这个句子没有任何难度啊， filled with newly explore passion 啊，充满这种新的探索的热情。我开始 collecting cycle materials。 没有任何难词，没有任何复杂句型， 比我们阅读理解简单多了，包括后面这个句子， my journey began at a second hand shop， where i saw the potential in the chair。 你 说有哪个词是难的，哪个句子是难的？所以看懂这个东西是最底层的，就这个都看不懂， 那英语大家可以想象一下，就已经非常差了，所以就先去背单词，先去梳理长难句，龙哥讲的九八五词汇你背了吗？龙哥讲的长难句解析你梳理了吗？ 重要考点，然后第二个呢？最重要还是解析思路，所以这个题越来越考察小词的逻辑判断，你会不会做小词？这个题考了两次啊，这题不算最难的，其实前不久考的重庆巴蜀那道题，还有 z 二零那卷子，那才是有点，这个就不讲那么难，考前打大家信心了，这个题重点的小词突破，然后再加上我们今年还会有个特别注意的考点，就是 源词的坑点。你看这个其实跟我们讲的阅读理解有点像啊，现在阅读理解喜欢使用同意替换词，然后到了我们的这个七选五呢，它其实也在不断的给你出这种源词的坑点，就是选项中有一到两个选项都提到这个源词， 最多的是一个选项出现，现在又有男的两个都出现，然后对应的文章中就是源词提示，但是恰恰正确答案这一个或这两个都不选，所以看到源词一定要打个问号，到底能不能选择？像以前二二年，包括以前七选五，基本上 原词是个很重的评判标志，但现在为什么会变成这样呢？因为大家英语都在变，厉害啊，这种考试是个排名啊，对吧？不是你会了，那你就能上北大清华，而是因为大家都在变难，都在变好，成绩都在变高，那么怎么办？只有把难度提升上来。 看排名，高考它就是个排名，它不是个分数排名，排名越高决定你未来上大学的，这就有办法，所以它只能越来越难玩心填空。今年有两个趋势啊，第一个是你会发现 上下文的联系增加是越来越多，而且很多时候会会跨段落考察，考得很恶心。比如说我们来看一下我们的这个四十一题，四十一题上来就跟你说，我看到了一个圣诞老人 啊， real santa 圣诞老人，然后这个圣诞呢？这是我们 z 二零的卷子， z 二零最难的就是外星填空，然后呢，这个题不算特别难啊，你好做，但问题是大家往往不关心讲后文的题是四十一题是第一题就问了说这个圣诞老人开了一个大大的 charcoal color 什么？我们第一反应肯定是他开了一个这个 slay 嘛，对吧？就是那个，那个雪橇，但是不是因为这个，后面提示你说这个人呐，他是没有 reindeer， 那 没有驯鹿，没有驯鹿你怎么开雪橇啊？也没有胡子，他只是个什么样的微笑。然后扫扫，扫到了五十题才提示你说他的 卡车。所以这题答案选哪个？答案选哪个跟 truck 挂钩，所以四十一空答案选的是 a。 这题不难吧，但是隔着千山万水， 你考试时候万一一紧张或者不注意，就把答案选了。所以龙哥意思在说，名词看同源，动词看先后行复看褒贬，一定要有明确的提示才能做答案。没有明确提示，要么跟竹纸挂钩，要么就说明你找错了。所以这种题一定要小心。现在这种题目越来越多，考察你对于解析思路的判断。 然后还有一个就熟词生义，最近考熟词生义考的是真多，比如说我们看五十四题，大家答案选哪一个叫 i included this story in my newspaper column soon i received this letter that day is nothing compared to what my son daily to me he is a true hero and i hope to be half as strong as he is someday。 四个选项 memorizes， grieves， observes 四个选项。什么词性词语啊？一定是来名词敲一，动词敲二，行复敲三。什么词性词语？肯定是动词吧。首先四个词性的词语一定是一样的，因为我只要看一下语法结构就行了。填名词 先，主语宾语，那名词呗，对吧？缺位动词呗，非谓动词的 i n g 就 就呗。这太简单了，高考不会考不同词性的，一定是相同词性，但你发现熟词生意义的特点是什么？熟词生意义的最大特点，往往它往往是一个你 很熟悉的单词，但它在不同的词性下所引发的含义，这个太多了。比如说我们讲过的什么什么 root 呀，对吧？做名词是根，做动词是扎根，讲的是最毒的 root， 特别特别多。还有全部就考的 echo， 对 吧？ echo 我们讲的也是这个题考的啊，也是这套卷子考的。 echo 这个词语，它讲的是做名词，是回声，做动词是模仿。那么这正确答案是 brief 作为形容词讲这个 brief 啊，它表示是一个形容词，是勇敢的，在这是动词，所以它就不是勇敢的一天，对吧？上勇敢的一天，它指的是我的儿子怎么样 勇敢地去面对。所以 break 表示动词，勇敢地去面对。为啥它是动词啊？因为其他三个都是动，关系连贯，不考不同词性词语它都是相同的。所以这种当你发现一个词你很熟的时候，但词性跟别人不一样的时候，你就要想一想，很有可能在考熟词生僻。我们现在语法填空呢，总的来说呢，考点还是比较扎实的 啊。然后介词难度最近这段时间有上升啊，上升呢？比如说比较多的，大家考察对这个 with 和这个 like 两个词的区分啊，一个是举例子，一个是举例子且加状态。再比如说考反义词，最近考得比较多啊，我们高考真题几乎没考过反，但最近这一个二六届 一堆题都在出反义词，那反义词主要体现在介词和这个名词形容词中，你要判断在这句话中有没有跟前后文明显的相反的词语出现，要去关注 啊。所以最近这段时间考的两个特点，第一个就是句子越来越复杂，要龙哥讲的劫匪查同学分析。第二个就是刚才提到两个考点，对吧？介词的考点包括否定词的考点，要去关心。然后代词最近今年有点这个怎么讲？卷土重来的趋势，以前代词基本已经不怎么考了，就无提示也不怎么考，有提示也不怎么考，但今年考代词的无提示 有三套卷子都考到了，它的落脚点是两个，一个是关于 it 的 考察啊，往往是前面给个动词，尤其是类似于 make 这种词语。画这个词啊，考的是 it， make it 怎么怎么后面加了个形容词，让你填个词进去填，这样无提示，这是第一种考法。第二种考的比较多的是考 one 这个词语对前文指代给了一个横杠，然后对前文就是 我们知道后面要接个宾语，给个动词，给个动词或者给个介词，后面一定要去接宾语，对吧？比如 with， 然后它接个宾语就没了，但是这是个无提示词，它又不可能接名词，所以它就往往考代词。那这个代词一般填哪个词呢？ one 呢？ those 呀， that 呀，然后看它单数，复数，然后是泛指还是特指？ one and once 之类的啊，这是一个比较讨厌的考点。 然后呢，再给大家讲一个大家很多人不熟悉的就关于 to do and doing 的 考点，各位，你来告诉我这个我们的第六时空填什么？六时空，它说的是 supported by the inimogonia museum of natural history， it unfolds。 展开了，这是典型的谓语动词展开了，它有四个章节给你展开，展开之后怎么着啊？去探索，对吧？ explore， science of minerals and the cycle of rocks。 各位来告诉我这个 explore 填的是 to do 还是 doing， 是 to explore 还是 exportering？ 一个是 to explore， 你 敲一， exploring， 你 敲二。这个题呢，我估计会有很多人会选择的是 to do， 但是答案是错，答案应该是 doing exploring。 然后为什么呢？我们先看着后面这个空啊，后面这个空也给了很类似的词语，叫做 inviting， 邀请 观众们去 on a journey， 怎么着？ uncover。 展开这些 secret 也是典型的前面是给了个非谓语，给个名词加冠词，用法跟前面完全一样，名词加冠词，然后前面那肯定是动词的词性，然后肯定是非谓语，对吧？接了个宾语，那是主动态呗。那这六十一填的是 uncover 还是 to uncover？ 我觉得六十一题反而好做啊，这就典型的是邀请大家来去参与嘛，对吧？所以是应该是 uncover。 那 言下之意反过来，我们知道高考不会一个考点出两次的啊，大概率不会出两次，所以这个六十也在提示你应该填的是 doing， 但这个说明什么问题？说明你不熟啊。那么怎么判断填 to do 和 doing 这个难点？最近我觉得考的频次 频次很高，但是难题不多啊。我们有一些同学对 qq 也不了解，碰到难题不清楚，老师到底这是讲一个客观的结果，还是一个我想引发的主观动作？这个客观主观我搞不清楚，对吧？ qq 是 一个目的，而 qq 是 客观结果，但我真的搞不清。两个词区别。来，我给大家讲一下两个区别啊。 这两个区别是必考的，是必考的，只是看它简单还是难而已。怎么区分呢？从两个角度，一个是语义表达，一个是动作时间。我们先讲一下动作时间。动作时间。动作时间是 第一个从语法角度来判断的，就如果他想表达这两个动作是同时发生，那他就是 doing。 但如果表示这个非谓语动词在前面那个动词之后发生，那就是 to do。 比如这句话说，邀请观众 来干嘛？来体验，对吧？那邀请是我一邀请你就体验了，还是邀请来大家聚在一起，然后一起体验，对吧？有先有后，还是一邀请你就开始体验了？所以这个题还是好判断的。后面这个一定是 invite somebody 邀请来，然后是做下一件事叫 to do。 那为什么 explore unfos 是 doing 的 呢？因为他想说的是，我打开这个画面，你就怎么样开始去看了？ 不是我先打开，要过一段时间后面你才能开始去探索它，是一打开你就看到了。或者说这种所谓的 探索的和打开两个动作是同时发生，我打开之后的伴随动作同时发生的是 explore。 这是从语法时间关系判断是同时还是也行这第一个判断原则。那第二个看什么呢？要看它的 语义的表，如果是 explore 呢？它更强调什么？它强调说，哦，这两个东西啊，是一种伴随的状态。什么意思？你比如说举个例子， he walked down the street sing a song， 他 走下街道，他不是为了唱歌，他是一边走一边唱。那你想想说，我展开这个画卷的目的，我展开这个画卷的目的是为你探索吗？ 就我展开这个画卷，我的为目的就是让你探索。这个题还不算特别难的，之前考过一个题，说一个城市，我们说它会蓄水，水多的时候，蓄水，水少的时候呢，就把这个水放开给大家使用， 然后他结果问说这个市的几，或者是 to do 还是 doing？ 他 后面的结果是什么呢？他说的是或者是目的是，他说这么句话，他说来控制水源啊，很多人选 to do 完，那我这么做就是为了控制水源呗。 no， 不是， 为什么呢？因为在前面他提示了你说我这么做呀，其实可以有三个目的。第一个目的是刚刚讲的，哎， 这个所谓的降水不要把水弄得太高，导致城市的这样一个淹没。第二个呢，它在讲什么？它在讲有一个热岛效应，降低热岛效应。然后第三个呢？它其实是讲到调节水资源， 所以说这个事它会引发三个目的，但你讲其中一个，它不是唯一的目的。哎，这个时候你就要注意它，很有可能是我做了这个事就会客观产生这个结果，所以它有点 tricky。 但你要注意 to do 呢，往往从这个层面上来讲，从语义上来讲， to do 啊， 往往具有唯一性，他从语义上来讲，所以刚才讲了这么多，你就核心记住一点，我实在分不清 qq 和 doing， 你 就看这个动作，如果做完之后，他唯一的目的就是这个，就没有别的了，他只有这唯一的目的，那 qq 如果发现可能会引发别的事情， 他可能就是个 doing。 你 比如说把这个画卷展开，那我唯一的目的就让你探索吗？那可能还会有些其他的事情让你了解呀，让大家去吸引来参观呀。所以这地方他没有明确的告诉你我是唯一的目的，那要使用的是 doing。 比如像这个是我走下街，走下街的目的是唱歌吗？他不是，他只是种伴随结构。 而如果是 to do 的 话，它要明确的刊名，大家一定要记住，要明确。就我刚刚讲的唯一目的性，所以这两个呢，它都有一些小 tricky 点，要结合起来判断第一个有没有明确的时间线索，有先有后，那就是 to do， 没有先后 doing。 如果这个线不明显，你就判断一下是不是唯一目的，明确的表述，那就是 to do。 如果不是明确目的， 那就可能是对，比如说我努力学习和好成绩之间，我努力学习当然是为了考到好的成绩啊，对吧？我说难听一点，我可能英语学完了，但未来可能人工智能都来了，不要学英语了，或者我学英语，未来很多人用不上英语，那我现在学英语的核心目的就是为了考好成绩， 对，至少你当下高考是这样，但考完高考之后，发现你真的需要用英语，你就大量去用就好了，对吧？所以这个时候他想表达的是，我学习的目的就是为了考好成绩，你就大量去用就好了，对吧？所以这个时候他想表达的是，我学习的目的就是为了拿分，至少在高三这个阶段是非常明确的，因为你 你学吧，你分数不提升，对吧？你不会解析，最后大学上不了，那有什么用呢？所以在这个阶段还是唯一的目的，叫 i study hard to get a good result。 你 不要说老师我学了，努力了，我的客观结果，那就是啊， no， 这表示的唯一目的性。所以这种地方啊，大家既不要钻牛角尖，你非得解我就是唯一目的，会这样，这就比较容易钻 牛角尖。所以给他两个方面，一个是从语义表达的唯一性，第二个是从我们讲的时间动作的先后性上去做判断。 好，这是我们给大家整体讲的啊，其他的作文因为明天就要考啊，或者说大家看到这个视频的时候已经考考时间很近了，就不给大家再去增加背诵的压力了。但我们在高考考前还有给大家一些重要的一些句型，甚至在考前临考的最后一两周， 会给大家急救的写作的背的模板，大家这个只是急救用，我还是希望大家至少现在还有半年，先去梳理龙哥给你的单词，给的好的句子，然后模板真的只是不时之需，最后的救命稻草。总的来说， t 八这次考试，大家既要客观去对待它的结果，找到自己的问题，那更要紧张期待 把它当成一次大考来对待啊。因为这次考试，我认为可能是我们接下来离高考前对你而言 最重要的一次考试，也有可能是水平最高的前三次考试了，好好面对，不要把这卷子浪费了。然后呢，考完之后记得来看龙哥对这卷子的解析，希望帮助大家在考前查缺补漏，帮着你尽可能提升高考的成绩，那咱们就一起加油喽！

太原市的各位家长大家好啊，今天下午的三点到五点的这个提八联考的数学试卷已经结束了啊， 然后呢，我也没来得及做，大概看了看啊，不简单啊。确实不简单。呃，考察三个方面，就说你的基本功是否扎实，你的思维是否灵活，你的综合能力是否强。 然后呢，考察这三个问题啊，就说是难度，从第三个选择题开始难度已经层层递增了，综合性比较强。 如果说你平时练的比较少，综合题做的比较少，你做这个试卷还是比较吃力的啊。 那么有些人八个单选择题可能连四个也能做对四个就还可以了啊，四五个，我估计大多数人也就做四五个单选。为什么？因为你算的多，时间来不及啊。 然后呢，多选题，每个题能选择一个选项单选，呃，填空题能做对一个，然后呢大题的话基本上第一问都能做一做。而且呢这次的话 虽然说考察的这些题型呢，我们基本上平时都见过。我只是说你见过，但不代表你会做啊，就说是你也知道他考的确实是例题几何考的确实是圆锥曲线倒数啊， 对不对？概率。而且呢，那个概率题是我们在这个学习高二的时候曾经课本的一个课后题啊，向左走或向右走对吧。呃，所以呢，这次呢，特别考察学生这种综合综合性的能力啊。 呃，你学的不扎实的，学的一般的学生估计够呛这次考的。那所以大家做好这个心理准备，然后呢，下来好好去分析原因对吧，赶快加强自己 那针对性的去找出自己的薄弱点，然后呢去提高。呃，这第一，其次呢，其实这份试卷不是给我们一般学生来做的，这份试卷主要是衡量一些头部学校的学生水平啊。 呃，然后呢，第三个内容就说是这份试卷可能是这个大型联考的一个绝唱了。啊，这不是我说，这是网络上说的。为什么？因为教育局已经发通知了，说不允许考这么多试。那其实我不知道我们国家的这个教育是怎么了啊， 也被渗透了。我只能这么说吧。啊，因为对于高三学生来说，考试是事关重要的啊。在这我就不具体陈述了。好了，大家再见，好好准备明天的考试。

同学们，大家好，我是你们的胡老师。我们今天一起对 t 八联考进行一个主体的题型分析啊，考点分析。那么我们从第三题开始，前面两个我们就不讲了，第三题，第一个呢，我们会发现是一个 ab 的 关系式， 然后呢，后面呢，是个对数，那么对数呢，我们要运用换底公式，先把它换底换掉，换底换掉，再利用我们的 ab 之间的关系式，做一个什么，做一个基本不等式的处理 好。所以这第一题，第三题，第三题呢，就考了一个换底公式加基本公式。好，我们看第四题，第四题呢，是重心，重心呢，我们马上能想到奔驰定律，奔驰定律想完了之后就是一个什么向量的，向量的向量的算， 所以这也是一个基础题。 ok， 好， 我们看第五题。第五题呢，是一个树立问题，然后他告诉我们的式子是 a n 与 s n 结合在一起的式子，那么这个式子结合在一起呢？我们有两种思路，一个呢，就是我们把 a n 用 s n 减， s n 减一 替换掉，这是一个思路。第二个呢，我们可以写一个迭代的式子， s n 等于怎么怎么的， s n 减一等于怎么怎么的，对不对？这是第一个思路，这是第二个思路，用两个做差去处理好。那我们这个题目呢，因为他已经 奔着什么 s n 去了，对不对？所以我们就要把 a n 换成什么，换成 s n 减， s n 减一啊，所以这是一个基础的，我们的竖列的一个计算好。第六题，第六题呢，考了一个什么？考了一个我们的这个 f x 等于 f x 等于 a sin omega x 加 find 这个问题对不对？考虑一下三角函数啊，那么这个三角函数呢，是比较基础的，所以这个就不加分析了。 好，我们看第七题，第七题呢，它是一个双曲线，那么这个双曲线呢，要注意了，我们要观察解析式，在解析式里面，我们已知 a 已经等于一了，因为是 f 方除以一，所以 a 已经等于一，那么我们在做图的时候呢，一定要注意了， a 我 们已经知道了， 那么下面呢，再对应做圆，那么这个圆的半径呢？也正好这个圆的半径呢？也正好是我们的 a 好 交双曲线与右至，然后告诉我们对应的这个角，所以我们做到这个题目呢，可以大概像胡老师一样画出这么一个图 啊，这么一个图，这个图里面呢有几个关系，也就是说它对应的关系我们一定要表示出来。首先一个这个角是六十度，这是一个。其次呢，我会发现，既然是相切，这里就有一个什么九十度 啊，九十度，九十度了之后，那么我们这里有很多的关系就可以拿出来了，因为 m 是 b， m 是 b， 那 么也就意味着我就知道这条这一条是我们的 c， 二是我们的半焦距，那么就是根号 m 方加一。好，那我这个角我就可以知道了， 因为这是个九十度，所以这个角的 sign 啊， cosine 等等我就可以知道。知道了之后，那么我们会发现，哎，这一条 拉过来，那么我们就可以构造一个正弦定，然后我们会发现怎么样呢？ 这条边是二， c 所对应的这个角对不对？和我们的 m f 二所对应的这个角，它的 sine 是 成比例的，那么我们进而就可以算出我们对应的边长了。所以对于我们第七题而言，它这个双曲线我们要拿出什么呢？ 我们图像中的对应关系啊，它有垂直或者有角度，或者是我们的 m 啊，对 m f 一 减去 m f 二等于二， a 等于二，这个关系要拿出来考了我们双曲线的第一零。 好，我们看第八题，第八题这个题目呢，同学乍读到的时候会发现啊，它有四个零点，你会觉得这个零点特别特别的多，但是你读完题目你就会发现它什么呢？它是 g x 等于 f x 加 f x 这个本质什么的表达，本质是 g 函数的表达， 但是它题目说什么？它题目说只有四个点，我们可以初步理解只有四个点，那四个点我们要引申出这是一个什么点对称的表达， 那么因为是 f x 加 f 负 x， 所以 这是一个关于原点对称的一个表达。好，那么关于原点对称有四个，但是我们要注意了， 我们举个例子啊，比方说我这个一和负一这个点带进去，它是关于原点对称的，但是我是不是可以 x 带一带进去， 那我是不是也可以是 x 负一带进去，对不对？所以 f x 加 f 负 x 等于零， 我是可以写成 f 一 加 f 负一等于零，我也可以写成 f 负一加 f 一 等于零，对不对？所以这样的话就变成四个零点。七是变成什么？有两对，有两对。 关于原点对称点，那么关于原点对称点，那么我们解析式里我们会发现第一个 f x 大 于零的时候很明确，那小于零的时候呢？它是一个一次函数，所以有两对关于原点对称的点，那怎么确定呢？那我们可以先做出图。 呃，这边呢，胡老师已经大概做出图了。这个是什么？在大于零的时候，在大于零的时候，那么另外一边呢，是他小于零的时候，小于零的要注意了，我们这个 k 是 可以为正，可以为负，那我们怎么确定呢？我们就可以把这个图怎么样？把这个图先关原点对称对过来。 我这要注意问题啊，为什么我们不去搞他大于零的时候翻过去？因为大于零的时候解析式是比较麻烦的，他是一 x 乘二 x 减一，他解析式相对比较麻烦，所以我们不去动他。我们去动什么？好动的那一条好动哪一条呢？小于零这一条比较好动， 我们就处理它，把这条怎么样？关于原点对称过来，所以对称完了之后就长这个样子。那么我们只要解决我这个函数解析式，我这么一个函数跟我的大于零处怎么样？有两个交点即可。哎，所以就可以用什么去处理啊？用参变分离去处理 好。所以第八题呢，我们要合理去分析，加一个参变分离啊，加一个参变分离好，我们看第九题。第九题呢，它是在原有的基础上加了什么？加了我们对应的 均值啊，把均值加进去了。那么新函数与原函数比较，所以它这里呢，只要搞清楚一个公式就可以了。我们会发现 e a x 加 b 等于多少呢？是不是等于 e a 倍的 a 乘 e x 加 b， 以及我们的 d a x 加 b 就 等于多少呢？等于我们的 a 方程 d x 对 不对？好，这个 b 就 就抵掉了啊，抵掉了，所以一个是方差，一个是均值。好，所以这个题目呢，就做出来了第十题，第十题呢也是函数有关的内容啊，一个是三角的，一个呢是我们常见的一个函数啊，一个呢也是两者乘积 量的乘积。下列说法正确的是，那我觉得 a、 b、 c 应该是没有问题，因为 a、 b、 c 我 们都可以带进去算。重点讲一下导选项，导选项呢，他考了个极大值，那么这个题目的极大值值的处理，我们要注意不要把， 如果说你把这个 h x 等于 f x 乘 g x， 如果你带进去做的话，那就会发现它的导航数是比较难求的，对不对？有点难求，那我的处理什么呢？我们就可以通通过什么它的定义去处理什么定义，我们知道极大值，什么极大值就像一个山峰一样的 对不对？它比它周围两侧都大，那么你这个位置就是一个极大值啊，就是个极大值。所以由此我们就得出了，我们会发现小于 e 的 和大于 e 的， 这里都怎么样？都是小于零的， 都比零要小，所以那我们 h e 呢，又是等于零的，所以它就是一个小山峰啊，它就是一个极大指点啊，不需要进，求导，求导有点复杂。好，第十一题，第十一题呢是一个立体几何，那么这个立体几何呢？我们会发现第一个 他是一个正四轮锥啊，那么题目的难度就降下来很多了，对不对？底面也告诉我们了啊，底面的边长也告诉我们了，那么高是不太明确的，所以这个题目呢，就是随着他高动，他就正四轮锥的这个整个的这个 图形啊，立体图形呢，它可能会发生改变啊，发生改变，所以这里呢，我觉得 abc， 哎，这三个选项，我觉得同学们应该是可以去处理啊，相对处理，那么我们重点看下导选项，导选项呢，我们会发现他说屁点是位于他的什么球心的位置， 那球心的位置呢？图画出来就大概像我这么一个图案，画的比较粗糙啊，就是一个内切球的球心的位置，那这个时候，哎， 它的公共区域其实是什么？其实是里面被切出来的，类似于一个我们从西瓜里面切出来的个小的这么一个锥体，对不对？哎，切一个大西瓜里面抽抽出来的小的锥体，那么这个锥体本来我想， 哎，是不是可以通过我们的有关的圆的求我们扇形区域扩展开来呢？那其实我们没有这个公式对不对？那所以怎么办呢？我们可以发现每一个面， 它总共有六个面，每一个面分到的这么一个三角的，类似于这么个锥体，它都是一样的，所以只要把我们的内切球的体积求出来，然后再除以六份，就是它这一个面，它这一个底面获得的那一份公共， 公共的体积啊，公共体积，所以这个呢，只要去合理分析题目就可以了。好，我们接着往下看，那么第十二题，第十二题呢？这里我们重点啊，稍微要强调一下，有同学可能会做错第六项系数和第七项系数，我们在做二项式定语的时候呢，有的时候啊，在做 一般的题目的时候呢，是不太考虑到这个第几项，这个六也好，这个七也好，到底挂在哪里的 这一个问题，所以这里呢，我们要注意了，它的通项是 t k 加一等于多少呢？ c n k 好， 如果我们是 a 加 b 的 n 次啊， a 加 b 的 n 次是 a n 减 k 乘 b 的 k 字，所以我们是挂在后面的，而且因为它的 起始项是 c n 零，所以第六项要写什么？要写 c n 五，第七项要写 c n 六，好，就是这么一个点好。那么第十三题，十三题呢，我们会发现， 第一个他的屁我们不知道，但是呢，哎，我只知道个斜率。题目呢，让我们算对应的长度之比，也就意味着他这个长度之比应该跟屁怎么样没有关联，应该跟屁没有关联。所以同学们只要直接列式啊，把我们的这个 抛物线的定义啊，它的这个长度，它这个焦距啊，公式列出来，带进去就可以了，所以这个我觉得问题不大好。第十四题，第十四题呢，我的分析是这样的，第一个，两个乘积为零，两个乘积为零，要么就这一项为零， 要么是第二项为零。那么我呢，只拿了其中一种情况来放，因为另外一种情况是同理可同理可得，一样的处理啊，所以我就没拿过来。那么这一项为零的时候要注意了，第一个， 因为，呃，我们这个绝对值里面一定是大于等于零的，所以 a 的 范围呢？也是什么零到派啊？ a 也是零到派，所以 a 和阿法，阿法也是零到派。阿法和贝塔的关系一共有这么几个， 一个是什么呢？一个是他们两个加起来是派，当然这个二可以派，我们可以不要他们两个加起来可以是派，他们两个可以隔派，因为他是加了个绝对值啊，他们两个可以间隔是派也，他们两个也可以隔多少也可以隔二派 都可以的。一共有这三种情况，可以是他们两个加起来是派，也可以是他们两个间隔为派，也可以他们两个间隔为二派。好，那么他现在要处理什么？最小值，那我们要围绕最小值去处理。那最小值的话，也就说我现在已经把三阿发定到正了，因为我已经使它是零到派了，对不对？ 所以库萨也没他，我尽可能让他怎么样？小一点，那让他小一点，我阿法又定到了类似于正的这个位置，所以我让库萨也被他就直接什么就是阿法加派， 这样的话我就可以让库萨也被他属于一个负的啊。负的范围，负的范围，我把我要把它定到负的。那有同学会说了，你这个范围下面有可能阿法跑到我们的这个第四项线了，那是不是又归正了？所以我们这里可以说啦，你这个范围可以说到的缩，缩到零到二分之百， 把它缩小，因为我要取什么？我要取最小值，我要取最小值。好，最终就直接，哎，分析所得就可以了啊。那么我们用和一变形，变形完了之后 l 的 范围带进来，发现最小就是负三啊，最小就是负三。 好，第十五题，十五题呢，这里要注意它是一个减三角形啊。那么这个减三角形呢？第一个，首先先利用什么？这里多少边除以边对不对？而且上下是其次的，所以先用一个正弦丁零。 好，正弦定的结束之后呢，他的式子大概长这个样子，长这个应该是长这个样子，然后长长这个样子，我们画下来的话，把二乘过去对不对？乘过去了之后，那么这里呢，再利用二倍角把一哎，我们给他搞掉，一搞掉了之后，式子就变成这个式子了。那么把 sign b 呢？又带成什么？ sign 是 不是 a 加 c 对 不对？最终 a 我 们就得出了是九十度。好，第二个呢，求 tangent， tangent 呢？因为我们 d 这个点已经知道了是三等分点，所以我们就直接拉下一个垂直，根据比例就可以把我们题目要的 tangent 以及对应的这个 tangent 呢，全部可以表示出来啊，这个没有问题。 好，第十六题，第十六题呢，其实他本质是考了这么一个移动啊，有点像马尔科夫列，但是他没往那个方向去考，他说移动两次之后的这个期望大于零，以及我们对应的什么呢？对应的移动四次之后啊，回到 a 点， 所以这个题目呢，本身不难，我觉得正确应该比较高啊。那么我们重点讲一下第二问。第二问呢，移动四次，他 每次都可以往左往右，往上往下，那移动四次还能回到 a 点，就是你只要把情况列举出来就可以了。一种有，一共有三种情况，两次向左，两次向右，两次向下，两次向上以及上下左右各一次啊，所以做计算就可以。 好，第十七题，十七题呢，第一个同学注意，它是一个斜楞柱，那么斜楞柱呢？一般而言，对我们做题而言，有的时候呢，我们在小题里面可以用肌底法去做题， 小题里面是可以用肌底法的，那么大体里面呢，用肌底法可能用起来就不是很顺手了，因为有的时候他的这个 法向量也好，等等等等，或者你就算不见细，你去算一些长度啊等等，你用肌底去做的话，那试着有点复杂对不对？所以我们尽可能的啊，能见细即见细，那这个题目有见细吗？可以我们看第二问，就是这个东西对不对？已经出现了一条 z 轴， 当然啊，没有 c 轴，我们也可以凭空平地起高楼去拉这个 c 轴啊，拉这个 c 轴好，但是它题目已经有 c 轴了，所以我们可以直接拿过来。好，那么第一问的这个垂直的证明， 垂直是个证明，垂直证明呢，很明确，我们已经因为它底面是一个什么，底面是一个等腰直角三角形，所以 a o 呢，肯定是垂直 b o 的 好， a o 肯定垂直 b o a o 垂直 b o， 我 们证明的是面面垂直，说明我们要先通过线面垂直， 通过线面垂直去拉到什么？拉到面面垂直，那么线面垂直呢？这里我没有想到，题目是不是给了我们对应的角，对不对？所以我们就能证明什么？我们 a e a o a e a c 和 a e a b 这两个三角形全等的，所以这两条呢，也是相等的，最终呢，再证明 a e o 是 垂直 bc 的， 所以 bc 呢，就垂直我们整个的 a a o 好，进来呢，我们就得出这两个面是垂直的。好，那么第二问呢，我的做法就直接了，借了个系啊，直接借系去做，借系去做算我们对应的法向量，把坐标写好就可以了， 没有问题。好，我们看十八题，十八题呢是一个解析几何，解析几何呢？第一个求它的方程，应该没大问题啊，那你直接把条件罗列出来对不对？然后呢，我们这个常规计算就可以了。 好，第二小问呢，第一个它搞了个面积之比，面积之比呢，我们要注意了，我们会发现它对应的 a、 f 二、 b、 p 均在同一条线上，所以面积之比我们就可以转换成什么，因为 你是全它的顶点，全部是 q 点，所以 q 到我们这条直线的距离是不变的。那也就意味着面积之比就跟什么就只跟底边有关呢？进而转换成就跟横坐标有关 啊，可以转换成跟横坐标有关，转换成跟横坐标有关了之后。好，下面我们只要把对应的横坐标算出来就可以了。那这个题目呢，有一点点， 嗯，不太舒服的地方，就它没办法因式分解，就我们把 x、 x 二它的有关的这个一元二次方程拉出来之后，它没办法因式分解，所以还是只能我是通过尾答定去算的。那么我这个面积的转化过程中呢，已经有了 x c 加 x 二，那这个尾答定你可以直接用， 还需要是 x 一 减 x 二，对不对？那这个减呢，我就是利用了我们这个伟大定律去构造出来的，所以最终把这个挣出来了。好，第二问，四点共圆，那么这四点共圆呢？一个是 q、 r、 f 二和我们的 a， 根据我们四点共圆的点的话，我们要注意怎么样能判定一个四边形，一个凸四边形，四点共圆呢？只要怎么样对角加起来是 pi 就 可以了 啊？它加起来是 pi 就 可以了，那加起来是 pi。 哎，我们会发现 ab 这条直线我们往往是比较好设的。呃，我设在哪里呢？我设在这， 这是直线 ab， 对 不对？所以直线 ab 得出来之后，那么我这个角，这个角的正弦与弦我都知道了，正弦我也知道，那我这个角就马上可以出来了，所以它的 tangent 呢，我写成了负 m 分 之一。好，下面我们只要处理什么？只要处理这个角的 tangent 呢，就可以了，对不对？好，那么这里有个问题了， 其实两个角加起来是派，我们可以通过正弦去处理，我们也可以通过余弦去处理，其实我一开始想到的是余弦， 但是余弦呢，我们要通过向量去，向量去转的话要算魔长，所以算到最后我魔长那里呢就非常麻烦，算不出来，所以最后才想到我们的正切，那正切去处理的话，那直接就是拉过来，我们直接构造这个直角三角形啊，去把我们对应的 正确表达式列出来就可以了，对不对？他在这啊，正确的表达是给他列出来分别两个角，他的这个天体呢，给他写出来，然后呢用正确的两角合叉就可以表示了，表示完了之后，最终这个式子呢，也是相当复杂的。呃，这个式子在哪里呢？在这里 啊在这里。关于 m 的 啊，关于 m 的。 好，那么这里呢，就利用我们的求导了啊，把 拉过去做一个，把这个式子放过去啊，做一个，做 x， 做一个 x 函数， x 函数我们通过求导去说明啊，所以这是只有只有一个 m 啊，只有一个 m 好， 第十六题，第十六题呢，它考了一个高斯函数，也就是说不， 不大于啊，不大于，不超过它对应的值。那么第一问和第二问第二问的解题呢？其实对我们第一问是有帮助，而第三问是有帮助的。第二问解题过程中，我用到了一个蛛网图， 注网图，那么我首先呢把 x n 加一， x n 加一跟 x 的 关系呢？我做了这么一个试着转化啊，用我们的平方差做了一个转化，转化完了之后，那么我就把它当成函数去处理了，所以我这里呢画出了 y 一 和 y 二对应的图像，它有个焦点，这个焦点是多少？这个焦点是四，这个是蛮好求的啊，这个特殊点好求出来了之后，那么这个注网图我可以给大家画一下 第一个这个曲线，它类似于这个样子的好，那么另外一条呢，是 y 等于 x 好， 它们两者关系好，那么这个地方呢，是四，我们注意了下面它第一个 x 一， x 一 是五，所以我可以把五带进去， 五带进去算出来多大呢？算出来这么大，好，那么下面我们要注意了，那我这个 x 二带进去算出来的 x 三有多大呢？我们就可以用我们的知网图，我把它拉过来，哎，这个是一样大的，对不对？这，呃，我把它拉到这里来， 所以我们就可以把它拉过来，拉过来，哎，这个的 y 拉到这里来，就跟这个 x 相同了，所以这个就是 x 二，它带进去算进去算出来的这个就是什么 x 三，那我又要知道 x 三算出来 x 是 多少呢？我又拉过来 拉到这，所以再拉下来这个点算出来的就是什么？就是 x 四，所以由此我会发现，哎，这就是这么一个四边形一直往里面绕圈的这么一个过程，对吧？所以也就意味着他们会无穷逼近于死 啊，毕竟是，而且我也知道，在偶数的时候和基数的时候，一个是比四大的，一个是比四小的，对不对？所以题目就会出现，哎，为什么三点一啊，之后是四点一，四点一之后怎么，怎么又回到三点一了？就是通过这个蛛网图过来的， 这是一个，所以第二题的第二小问呢，这个答案就出来了，那么第二题第三，呃，第二题的最后一问，这个压轴题，压轴题这个 x 表达，那么这个 x 表达呢？是我们这个题目里面最难的啊，它需要去构造一个新函数，这个确实是非常难，想到要去构造一个什么呢？ x 加 g x， 其实这个呢，在我们题目里面也是有迹可循的，为什么呢？因为 g x 它等于多少？它等于 x n 加一， 那我们这样的构造就知道把前后向就放在一起就算了，对不对？好，那么这里呢，要跟我们第一问的结论啊挂钩在一起，我们已经知道了，偶数的时候是三点九到四以及奇数的时候 啊， x 二加一是基数的时候是四到四点一啊，挂在一起进行我们对应的放缩求点的，那么它的过程呢？是在这里，好，在这里，所以我们这几个题目每一个考点我们都有讲到啊，那么这个卷子呢，我发现 除了我们十九题的最后一问，他要通过构造一个新函数，但这个构造新函数呢，在我们题目里面还是有迹可循之外啊，是有难度的。其他的题目其实， 呃，从计算的角度而言和思维还是没有超纲的啊，那卷子也出的非常不错，有计算量，有难度。

大家好，今天呢，咱们来讲一讲 t 八联考的数学小题。 t 八联考的话是刚刚结束的啊，下午刚刚考完。然后呢，下个视频咱们讲一讲大题。小题的话，我先说一下这个结构，结构仍然是八加三加三加五的这样一个结构啊，那么我们先来看单选择题， 第一个的话非常简单了，先来看 a 几何这个因式分解一下就可以了吧，乘法拆两边，那它的话应该就是 x 乘 x， 负三乘正一乘法拆两边嘛， 然后这个二次不等式就变成了 x 减三乘 x 加一大于等于零，所以 a 的 范围大去两边嘛，所以就是负穷到负一负一的左边，然后再并上三的右边啊，这是 a 几何， 然后 b 集合的话也很好解，你这个 l n x 大 于等于二分之一，我们根据这样一个对数的定义嘛，它就是 l、 n e 的 二分之一次方，其实也就是根号 e。 那 好，也就是说 b 集合算出来是根号 e x 大 于等于根号 e 的， 那此时这两个集合比较一下三和根号 e， 这一比较，肯定是三更大一些啊。所以 a 并 b， 咱们就得出来了， 最终的结果是负一的左左边，再并上根号 e 的 右边。行了，那这个题选什么呢？选二， b， 行了，结束了。那么来看第二题，第二题的话就是一个简单的复数运算的题啊， 二 z， 那 加一等于三 i 减 z 啊，减 i 倍的 z 吧，这样来写啊，然后移项二加上 i 倍的 z 等于负一，再加上三 i 除法，那 z 的 话就等于负一加三， i 再除二加 i， 那 通常的处理方法不都是乘分母的共和吗？所以分母咱们直接乘一个二减 i， 分子的话也是乘一个二减 i， 这个很简单，咱们就快速过了啊。那如果没有算错的话，你这个分子应该是一加七， i 分 母的话是二的平方，再减去 i 的 平方，减去负一，那不就加上一吗？所以咱们算出来了， z 其实就是五分之一， 这是实部啊，虚部的话是五分之七，那所以这东西是多少？那 z 乘 z 八呢？实际上就是 z 魔的平方，魔的平方呢？当然是五分之一的平方，再加上五分之七的平方了，那就是二十五分之一，再加上七七四十九，所以 最后结果是二。这道题选什么？选 c， 那 么来看第三个，前四个都非常简单。这个题的话， 我们先看目标式子吧，根据换底公式的这样一个拓展对数计算法则嘛，那事实上它等于多少？这个其实让你算的是谁的最小值，让你算的是 log 二 a， 对 吧？ log a 二的倒数不就是 log 二 a 吗？然后 log 二 b 等于 log 以二为底， a 乘 b 的 最小值，实际上就让你算个 a 乘 b 的 最小值， ab 都是正数。那么接下来咱们均值不等式不就可以了呀？均值不等式里头调和平均值 对吧？大于等于这个平均值，所以说，哎，你你你，你说这个是多少？根据这条件，这个 a 分 之一， b 分 之一，这不就是等于根号加 ab 吗？ 所以咱们就，哎，这个是小于号啊，这个地方千万不要写错了，这是小于号，小于等于根号加 a b， 所以 a b 是 大于等于二的， 那既然 a b 大 于等于二，所以带入圈一中，那圈一的话，也就是 log 二 a b 不 就等大于等于 log 二二吗？那最后答案就是一，那选什么？选四 d 啊？第三个也简单啊，根据调和平均值小于这样一个，呃，几何平均值就行。 那么接下来第四个，第四个的话，你自己画一下这个图，我就直接画出来了。这个很简单， b g 嘛，绕圈 b g 的 话，绕圈，那就等于 b d 再减去，再加上吧，再加上 d g， 对 吧？三角形法则嘛。另外的话，点 g 你 要注意啊， g 是 什么重心？重心是怎么出现的？三个中线的交点，所以点 d， 记住啊，是 bc 的 中点。 那么既然如此的话，这个 b d 不 用多说了，它就是二分之一的 bc， 很 简单，那 d g 呢？我们要注意上下的比值，它的长度比值是二比一，并且这个 d g 和 a g 方向相反的，所以说等于负二分之一的多少。负二分之一的 a g。 现在我们对比一下画横线部分的这个圈一和圈二，根据平面向量的基本定律，你这个肌底确定了吧，都是以 b c a g 作为肌底的， 所以这个咱们的妙，咱们的只能等于二分之一，这个妙呢，只能等于后边这个负二分之一，所以咱们的减妙，那不就是二分之一减负二分之一。最后答案是多少？最后答案是一啊，所以选什么？选择二 b。 那 么后面第五题就有难度了，说是有难度，他已经告诉你 a 一 了啊，所以咱们先这样来处理一下吧。就是已知条件里头啊，是一个呃，数列的问题， n 乘 a 一 了啊，所以咱们先这样来处理一下， n 乘 a， n 等于 s， n 再加上二 n， n 减一。对，那你要注意，如果说 n 大 于等于，咱们就讨论 n 大 于等于二的时候，因为 n 等于一的时候，你这个手相已经告诉你了，你就不用再求了。 那么接下来看，那他有前一项吧， n 减一， a， n 等于前一项，再加，你把所有的式子里头的 n 都变成 n 减一行了，接下来肯定就是圈一减，圈二呗。左边减， 然后就这么处理啊。右边的话是 s n 减去 s， n 减一，实际上这个东西算出来，咱可以直接说的，它就是 a n 嘛，然后二 n 减去 n 减一， n 减二。那你注意问题，这个 a n 移到左边来，变成负的 a n 吧，所以整理之后就变成了 n 减一倍的 a n， 然后呢， n 减一倍的 a， n 减一等于多少？等于二 n n 减一，再减去二倍的 n 减一， n 减二，就这么回事呗。 那 n 减一， n 减一，反正 n 是 大于二的 n 减一，肯定是大，是个正数。你左两边消掉 n 减一，这个整体嘛，都消掉它，那就变成了 a， n 减去 a， n 减等于多少？等于二 n， 然后呢，再减去二倍的 n 减二，原来等于几？原来它的公差是等于四个呀，所以我们可以下一个结论了， 公差等于四，首项是负五。那你说这个前一项和能求出来吗？能求出来呀，所以现在就很简单了，首项是他，然后公差是多少？是四，所以同向公是多少，咱们可以写一下啊。 然后这个是多少呢？ a 一 再加上 n 减一个公差嘛，那实际上就是负，再加上四倍的，那最终结果是多少？其实就是四 n 减去九，这个没问题。那我们可以画一下这个 a n 的 草图，你看， 前两节是负的， a 一 是负的， a 二肯定也是负的。嗯，因为 a 二你算出来是等于负一嘛， 然后 a 三呢， a 三就变成了正数了， a 四， a 五， a 六等等，这都是正数了，对不对？好，那你就想嘛， s 几最大， s s 几啊？最小啊，咱们根据咱们求的是什么呢？对于任意的 s 来说，咱们的都小于等于它，所以咱们求的是 s n， 就 前一项和的最 小值，这个一定要清楚啊，不是最大值，是最小值。什么时候最小啊？所以它的最小值是等于 s 二的， 那不就是 a 一 加上 a 二吗？那其实也就是负五，再加上刚刚的这个负一等于负六，所以最后结果，咱们的只要小于等于负六，小于最小值就行了，行了吧。啊？小于等于负六，那所以说这个题选什么？选 a 啊？ 选 a 啊。行，来看第六题，第六题的话是属于它本来有一个直观图的，那个直观图就不不放到这了，给了这样一个示意图，其实这个示意图它出 出的太，我感觉有点过于简单了啊，我跟你说一下这个出题人的意思，他怎么出的啊？他这个意思，如果你在 原心放到了坐标原点的位置，那这个题就很简单，他其实就是谁啊？就是正弦的定义，只不过你注意啊，此时他这个半径是等于多少？半径是等于二的啊。嗯，他已经说了吗，半径等于二，另外他有一个角速度， 嗯，多少转？一分钟，六十秒转一圈，嗯，六十秒转一圈，那不就是四啊？啊？六六十秒转一点五圈啊。嗯，一点五圈。 那多少转一圈？那四十秒转一圈呗。四四四十秒转一圈的话，你要学过物理上这样一个的话，你就知道 omega 是 什么。 omega 就是 角速度了， 对不对？圆周运动嘛。那 omega 的 话它实际上就是多少？就是完整的一周，一周。它那个弧长是二派啊，就是角度是二派啊。角度二派再出四十秒呗。每秒的角速度啊。呃，那最终算出来是二十分之派，你可以这么来算。 呃。那么另外的话，其实咱们根据算现在看啊，圆点 他就是圆心，只不过半径是二，此时的三 x 谁是 x？ 点屁所在的这个中间是 x 呗，这个是 x， 懂了吧？那你要这样算的话，他这个三 x 或者说三 f 吧。三 f 等于什么？等于点屁？ 点屁的纵坐标再比上半径二啊，比上半径是吧？我这就直接写成二了，清楚吧。 那这个 r f 好 算吗？这个 r f 我 说一下它是从什么地方开始的？我标一下它是从水面从这个地方开始转的， 清楚吧。这个地方是多少？是负的三分之派。有人要问我老师为什么是负的三分之派？原因很简单，因为你做完这个圆之后，根据垂直的，这是 o h a， 这是一个直角三角形吧。呃，这是二， 然后呢，人家说了 o 点距离水面的高度是根号三，那勾股定律 h a 的 长度不就是一，所以这个角呢，是等于多少？这个角我标的这样一个 h o a 的 角是等于六分之派，根据互余的关系，那个 不就是多少，清楚了吧。所以现在我们所标的这样一个线，它是等于负的三分之派的。对啊， 那既然如此，实际上我们的 r 可以 直接写出来的。负的三分之派加上角的速度呗，就是每秒转多少度，转的角度，那不就是二十分之派啊。刚刚算过了，再乘时间 t， t 的 单位是秒啊。 哎，那其实就很简单了。所以如果以我这样一个坐标系来画，那此时点 p 的 总坐标等于什么？等于 r 乘三， r 就是 二啊，那就是二乘三多少 三？二十分之派 t， 然后再减去三分之派，太简单了，因为它出使位置出向负的三分之派吗？那现在 怎么办？人家这个图形是往上平移了根号三个单位的，所以真正的 d 应该是在原来的基础上，这个地方啊， 要干嘛？哎，真正的 d 要在原来点 p 的 纵坐标的基础上再加上个根号三，所以这个 k 是 等于根号三的。那你写都写出来了，你说这个 f 等于多少？不就是负的三分之派吗？ 这还用说呀，所以答案就是选 a 呀，就这样来啊。所以这个不难的，如果对物理非常熟悉的同学，这个题真的一两分钟就做完了，那么咱们来看第七题。第七题的话是双曲线。双曲线这道题的话，这样，首先他说了， 他在这样一个双曲线中来看啊，半时轴 x 比上一的平方吧，哎，所以半时轴 a a 这个长数是等于一的，并且他说了，圆 x 方加外方等于一，一的平方，哎，半径也等于一，所以咱们画的这个圆没问题的，左边负一，右边 负一。好，他这样一个圆和双曲线正好是相切的关系。那么继续了，他说呀，就这样一个圆的切线，切线在哪？切线在这呢， 跟双曲线又质交于 m 点，咱们把图画出来了。那这样，首先连接 o n 是 必须的， n 点是切点，为什么？切线的性质吗？所以你肯定是构造了一个直角三角形，毫无疑问的。那另外 这个角是多少度？六十度，你说三分之派，六十度在什么三角形？肯定是放到直角三角形的时候才容易处理啊。所以我还要做一个 f 二 g 垂直于切线这个辅助线，我就不再说这个做法了啊。那么接下来的话，因为你看 o n 是垂直于切线的，比如说垂直于这个切线 f 一 m， 然后 f 二 g 呢，也是垂直于切线，那所以我们就得到了 o n 平行于谁？ o n 平行于 f 二 g 有 什么作用呢？哎，不就是中位线呢？ 那既然这两条线是中位线的关系，所以接下来就就好好说了。 o n 当然等于半径等于一了， 那 f 二 g 的 话，不就等于二倍的 o n 吗？中位线二倍呗，那所以它就是等于二的。好，那接下来根据二，再根据这样一个六十度，剩下不用多说了吧，在六十度特殊的直角三角形中， 此时 f 二 m， 它是等于多少的？等于，先算 f 二，先算这个 m g 吧。 m g 不 就一比根号三的关系吗？那不就是二比上根号三呗，三分之二倍根号三，然后这个 f 二 m 斜边等于这条直角边的两倍啊，那就是三分之四倍的根号三，该算的都算出来了。好，也就是说刚刚呢，我们 结合以这条箭算出来了，一个是三分之四倍的根号三， m g 是 三分之二倍的根号三。那现在有一个问题，他问 m， m 是 什么东西啊？ 实数 m， m 在 哪？ m 是 m， 实际上对应的，它是有实际含义的，就那个半虚轴嘛，它是有基本量的，在直角三角形中，你现在知道这个切线有什么作用了吧？在这样一个蓝色的直角三角形中，斜边是 c 没问题。然后呢，你这个 a 等于一，半径等于一，这个不就是 a 吗？ o n 就是 a 吧。所以根据勾股定律， b 方加 a 方等于 c 方，所以清楚了，原来原来我们的 f 二 n f 一 n， 它就是等于多少，就是等于 b， 就是 等于 m 的 好，等于半虚轴的。那根据什么？根据中位线定离，此时这个 n g， 它也是等于 m 的 呀。对，所以说这两条线都是等于 m 的。 好了，不用多说了，接下来就是根据定义，根据双减的定义， m f 一 的长度减去 m， f 二的长度是等于二。 a 这道题是等于二的，那我们代入不就是二 m 再加上三分之二倍根号三， 然后减去三分之四倍根号三是等于二的。所以 m 不 就算完了吗？ m 算完是多少？ m 算出来是一，加上三分之根号三啊。所以你说选什么？选四 d。 结束了， 来看第八题。第八题说有点难，实际也不难，他首先给的是什么？给的是一个偶函数啊， 因为在这个函数中，你的 g 负 x 不 就调用了一下顺序吗？加法有交换率。所以说啊，他首先给的这样一个函数呢？ g x 是 什么函数？ g x 首先就是偶函数， 他说 g x 有 四个零点，那四个零点的话，他的定义域是什么？人家的定义域正好是零的左边和零的右边。零这个地方是没有定义的， 所以根据偶函数的对称性，那么既然确定了 g x 是 偶函数的话，左侧有两个留点，呃，零点，右侧肯定也是两个零点，加起来是四个零点，是吧？啊，那所以这道题等价于什么？等价于 g x， 已知在零到正无穷零的右边有几个零点？有两个 零点。对，你根据这样一个已知条件来做题不就可以了吗？是吧？嗯，接下来看看有什么用啊。 当 x 大 于零以下我们讨论的都是什么？都是 x 大 于零的情况啊。当 x 大 于零的时候，此时 g x 很好，求 f x。 你 先求第一段吧，一的 x 方，二 x 减一， 第二段此时负 x 可是小于零的啊，你只能往负 x 往第二段带了 k 倍的负 x 再加一，稍作整理吧。整理成一的 x， 二 x 减一，然后再减 k， x 减去一。 嗯，那么我们整理成这个样子之后，他说什么？大于零的地方有两个零点，不就相当于等于零的这个方程有几个解？有两个正数解吗？那。呃，改变一种形式吧，等价转换啊。嗯，但是在转换之前的话，你注意 我知道大家想干什么，你转换之后是不是得到一个多少？二 x 减一乘一的 x 方，你想 x 减一，移到这个地方作为分母？不行，万一是零呢？分母不能是零。所以我们优先考虑的是什么？排除的 x 等于一的情况。 当 x 等于一的时候，此时这一能等于零吗？你待会算一下它是等于 多少的。那反正肯定是不等于零的啊，没问题吧？这个地方是一的一次方吗？肯定不等于零， 那所以没问题了。所以在这个方程中，他的解肯定他的实数假肯定不包含 x 等于一的，也就是说 x 减一不等于零。现在你才可以大大方方的移向，移到右边去， x 减一分之二， x 减一，再乘一的 x 方。所以现在转化了这个方程有两个正数解呀，已知条件转化成了这个两个正数解， 不妨我再转化一下。其实它等价于 y 等于 k 这条水平的线跟哪个函数跟这个函数 h x 有几个焦点？告诉我有几个焦点跟这个函数？注意啊，这个函数我们只研究大于零的部分有两个焦点呀。 所以接下来就是你的任务就是研究 h x 这样一个图像它怎么画了？它大概在草图对不对？那行那，那怎么办？那只能求导了呗。 h x 我 再抄一遍啊。人家是等于 x 减一，然后 e 的 x， 然后二 x 减一，它求导之后的话，中间过程我就不写了啊。 嗯， x 移出来，这个是二 x 减三，然后再乘 e 的 x。 不？ 哎，画圈部分不管分母还是 e 的 x 方都是正的，不用研究它，我们的正负完全取决于这个二次式。所以得出来了， 当 x 在 什么范围内的时候，在零到二分之三这个范围内的时候，我们的 e 阶导函数是小于零的，所以 h x 是 单调递减的。 当 x 大 于多少二分之三的时候呢？我们的 e 阶导函数是严格的大于零， h x 是 增函数， 但是因为 x 等于一，那个地方它不存在定义，是吧？所以你应该分开来解说，一那个地方 x 等于一，很可能是它的渐近线的一到二分之三啊，都是单有递减。那所以我们就研究研究吧。来，首先 h 零等于一好，是个定值，没啥可说的。 那接下来我们研究，当 x 在 复数范围内，就一左边九九九九接近一的时候， 那我们这个 h x 分 子是多少？是个常数？ e 的 一次方？ e 的 一次方比上零负负的零点几几，那就负无穷啊。哦，原来它是负无穷，小题嘛，你这样写没问题， 那 e 正呢？哎，那 h x 趋近于正无穷，果然是个渐近线。好，这是它。那么接下来还有这个多少？还有二分之三吧。 h 二分之三，这个很好算，你自己算就行了。算完之后是四倍的 e 的 二分之三次方，原来这个数字这么来的。 那么当 x 趋近于正无穷的时候呢？这个 h x 你 研究一下。好，画圈部分不用多说了，它根据洛必达法则是趋近于常数二的。 然后他是个真无穷啊，反正就是无穷，真无穷。好，分清，分清楚了吧。分析清楚了，那接下来画 h x 的 草图不就可以了吗？很简单啊。好，这是一 四倍的 e 的 二分之三次方肯定大一些啊。然后咱们再画一个 x 等于一的渐近线，这是 x 等于一。好，呃，零到一哦，单调递减吧。对，然后呢，一的右边一到二分之三也是单调递减吧。哎，对对对对， 然后这个地方呢，是 x 等于二分之三，这个是一。好，这不就结束了吗？这不就结束了吗？你现在的要求是，这个 h x 跟我们这个图像有几个焦点？ 有两个焦点吧，在正数范围内，在 y 轴右侧，所以此时的 k， y 等于 k， k 只能怎么样？ k 只能严格的大于四倍的二分之三次方，所以没问题吗？没问题了吧？你说选什么？选择 b 啊？这个第八题想做对的话 倒是能作对，但是算是一个中等偏难的题目，你得把这个趋势给画出来。那么来看多选题。接下来就是多选题了，这个第九题送分啊，他说什么平均数是 x 八啊？ x 八，然后在这组平均数每个数据本身呢，都加一个 x 八，就是水平往上移了， 对吧？啊？比如说这是这组这组数据，原来的这是 x 轴，现在呢？向上平行 x 八个单位了，这就是 x 轴了，懂了吧。所以原来的 平均值是 x 八，那后来的平均值不就是二倍的 x 八， x 八再加 x 八吗？所以说它的平均数肯定是不同的，原来的平均数是它后来的平均数是二倍的 x 八。极差相同吗？极差相同的，最大值减最小值，可以消掉 x 八的影响。 a 也对。 那么方差不同，方差相同，为什么？因为方差是用来表示波动程度的大小，波动程度并没有改变，因为它是整体往上偏移的， 或者往下便宜。那中位数相同吗？中位数也不相同啊，他在他是在原来中位数的基础上向上便宜了 x 八个单位，所以正确答案只有 a 和 b。 第九题就是送分啊，然后第十题第十题的话就有一定难度了，尤其是 d 选项啊， 那么 a 选项是送分的， x 再加上 g， x 分 之一，这你就硬算，你也能算出来啊，对吧？然后再加上多少 x 分 之一？ 嗯， x， 然后减去 long x 分 之一，所以最后一算，算出来一个负的 long x， 再减去 long x 分 之一， x 分 之一不就是 x 的 负一次方，你把负一移到前头，负负得正，所以等于零， a 就是 对的，所以 a 很 容易啊。 那么来看 b 选项， b 选项，他说 g x 大 于零的解集啊，让你求这个解集。 嗯，怎么求这个解集呢？那没折求导呗，只能先求导来看看了。它的话是一加 x 方分之一，减去 x 分 之一，咱们呢，通分一下， x 方分之， x 方减 x 加一，如果不会，没关系，咱们配方 x 方减 x 一 半平方加上四分之一，再加上四分之三，把一拆成了四分之一。四分之三 前半部分呢，那就是 x 减二分之一的完全平方大于零啊，分子部分都大于零，所以这一片 x 是 严格的单调递增的，因为这片 x 大 于零。那么接下来还有一个特殊值， g 一 这一啊一减，哦，等于零啊。所以 g x 的 草图会画吗？会画。哦，原来是这么回事啊。所以大于零的解集，你说是不是在零到一这个范围内？不是 b 选项真正的正确答案， 呃，就是说它的解集应该是多少呢？关于 g x 大 于零，我们得出来的应该是 x 大 于一才对，应该是一到中求，而不是零到一，所以 b 选项是错误的。目前来说， a 是 对的， b 是 错的，行了吧，那就是 c 选项和 d 了， c c 就 挺麻烦了。 c 是 怎么回事呢？你首先得写一下吧，这个 h 三分之十六，你写出来是多少？是三的三分之十六派， 再乘 g 的 三分之十六，这个倒没什么问题，那另外的话，三分之十六其实它相当于三五派，再加上三分之派。哎呦， 这对了啊，这个是 x 的 负半轴，再加上那就是第三象限角吧，所以是负的，那这个时候的话，即便偶不变负的三三分之八，这是诱导公式。即便偶不变符号看象限，那第二部分的话，这个咱们还是写 g 十一分之。呃，三分之十六， 这个没什么可说的，那另外咱们再对比一下，还有一个 h 十一分之三吧，这个好说，这个就是三十一分之三， 然后再乘 g 的 十一分之三派。那么现在我们再改变一下第二个形式啊，你要注意， 刚才 a 选项的时候已经有了 g x， 你 一项等于负的 g x， 也就是说自变量取一次倒数，那么函数值就要取什么，函数值就要取相反数，所以我这个括号里头写成什么？写成三。哦，知道了，十一分之三派， 我写成三分之十一，就要提一个符号出来，清楚了吧？那么现在的话，我们对比的是什么？对比的其实就是圈一和圈二的大小了，那么圈一和圈二的话，有一个还是很好得的，因为三分之十一，三分之十六都是比一大的嘛，所以此时我们可以得到。 哎，三分之十一所对应的 g， 这个函数值是小于三，这个得出来了，这个是已知的。 那么另外你还得对比一下这两个数吧，这两个数也好得呀，显然你这个三多少十一分之三派，他是严格的小于三 多少三三分之派吧。没问题，这是根据正弦函数的得出来的。那么接下来，接下来应该不用多说了吧，接下来这两个式子同向可成啊， 小的乘小的，也就是说，三十一分之三派，他再乘多少，再乘 g 三分之十一，他是小于三三分之派，再乘多少，再乘 g 三分之十六的。 那么左右两边乘个负一吧，左边取个负一，右边取个负一，那不就变成大于号了吗？所以最终是可以推出来的，左边是谁，左边就是 h 十一分之三，右边是谁，就是 h 三分之十六。所以最终结果你说对不对啊？对，所以 c 也是对的， c 就 比较麻烦了。 那么来看 d 选项， d 说的是一是 h x 的 极大指点，是不是极大指点呢？那首先要对这个函数求倒了，根据乘法法则，先来个 f 撇， 中间是加号，再来个 g 撇，对不对？那你疑似求嘛，左边求倒口算，派 x， x 减 x 分 之一，再减 l n， 它 那右边求导就是三，派 x 再乘多少，再乘 x 方分之， x 方减 x 加一。现在你分析就行了，一的附近嘛，那咱就离得近一些，比如说二分之一到一， 在这个范围内， h 撇它是正的。为什么？首先你这个派 x 是 二分之派到派之间，此时口三也是负的吧，对 口算是负的。那这个地方呢？显然根据 g x 在 零到一上单调递减一的左边，它也是负负负得正了吧。来继续，这部分是正的。 然后呢，这部分也是严格正的。哎呀，两个正数相加，你说是不是正数？是正数啊？所以 h x 单调递增， 那么当 x 在 一到二分之三之间的时候呢？你再分析一下，此时 h 撇小于零的，咱大概分析分析它不用多说了，是负的，它呢？它变成正的了，因为 x 大 于一啊。 哦， g， x 大 于 g， 一 的一到正无穷项单调递增。那然后呢？后边这部分也是负的吧， 正的吧，两个负数相加嘛，两个负数相加，最后得出来就是负数小于零。 h， x 单调递减，先增后减。那你说 x 等于一，这个地方是不是一个极大值点？是啊， d， 所以 这道题正确答案是 a， c， d 没问题。 那么十一题十一题的话，就得看你的空间想象能力了，他是说正四棱锥，他是完全跟谁一个面重合，跟一个正方体 a， b， c， d 有 一个面是重合的，都有一个面是 a， b， c， d。 我 们先来看前两个，他说 这个正四棱锥必须放到哪，必须放到这个正方体的内部，顶多能跟面重合，它这个包括表面啊，那最高最高，你你，你还想象不到这个图吗？能想象到这个图吧？ 对啊，大概说一下啊，画一下这个图，不就这个图吗？所以这个高度最高不就是一啊。所以 a 选项是对的。 那么现在来看， b、 b 的 话说的是若四棱锥的侧棱侧棱长，你就看 p、 c， d 嘛， p c 等于二分之根号三。咱们过点 p 做一个垂直垂锥底面啊， o 点是垂足， 那么 o c 是 好求的， o， c 是 正方形对角线的一半啊，根号二的一半，二分之根号二。所以此时的 o p 实际上也就是 h， 它根据勾股定律算出来应该是二分之根号三的平方，减去二分之根号二的平方等于多少？ 算出来，算出来的话应该是个四分之三减四分之二等于四分之一。呃，二分之一吧。哦，所以 b 错了。来看 c 选项， c 选项说的是，如果点 p， 它怎么它正好是正方体上底面，它的中心的时候正四棱锥，它的外接球的表面积是多少？其实这个时候前半句也已经告诉你了，此是 h， 它的高也就是 o， p 的 长度正好等于一。 那既然如此，咱假设点 g 正好是外界球的球心啊，那这样的话， gp 是 r 吧？ 对，呃， g， c 也是 r 吧，总长度这是一，哎，所以这一段是一减 r 吧。好， 那刚刚我们已经说过了， o， c 是 二分之根号二，所以你只需要在直角三角形 o， g， c 中研究一下就行了。根据勾股定律， r 的 平方等于一，减 r 的 平方，再加上二分之根号二 的平方，是吧？那么最终可以算出来这个 r 等于多少？四分之三啊， 半径都算出来了，表面积还算不出来吗？表面积四 pi r 方套公式就行，四 pi 再乘十六分之九，所以最后结果就是四分之九。 pi 嘛，对， c 是 对的，目前来说是 a 和 c。 那么来看，最后最后很简单啊，如果他的正方体的中心和那些球的球就是这个点，屁正好位于呃，正方体的中心，那点屁是中心的话，哎，你这个可以是 a， b， c， d 后边这个面也可以说是 a， b， c， d 吧，高度对称的前后左右上下那甚至于， 甚至于什么，甚至于左边这个面都可以是 a， b， c， d 的， 你连接一下， p， a， p， b， p， c， p， d。 哎呀，完全一样啊，所以懂了吗？前后一个维度， 上下一个维度，左右一个维度，我们六个 p， a， b， c， d， p a， b， c， d， p a， b c d p a b c d p a b c d p a d 这个正四龙锥，完全全等的四龙锥正好拼成了一个完整的正方体，所以怎么办？所以很好办，咱们六分之一成重合部分，内切球跟立方体重合部分，那不就是三分之四派 r 的 立方吗？他这个 r 内切球的半径啊，二分之一，这个就是内切球的体积六分之一吗？高度对称的呀，六个 前后左右上下啊，拼成了一个完整的什么完整的立方体？所以最终的结果呢？你这样算就是三十六分之拍了。所以正确答案是 a c d， 这个 d 空间想象能力还是得有的啊。 那么来看什么题？来看十二题啊，接下来就是填空题了，三道填空题，十二题简单就是套公式，第六项，第六项人家是 c n 五，你不要写错了啊，直接套就行了。二项是定律吗？这没什么太多可以说的， 所以它的系数是多少呢？它的系数就是二的五次方 c n 五，那第七项的话就是 c n 六， 嗯，那么它的奇数就是二的六次方 c n 六，那么我们这个题目中的意思就是，二的五次方 c n 五，它是等于三倍的啊，二的六次方再乘 c n 六的， 所以我们得出来， c n 五等于左边消掉五次方，右边消掉还剩一个二吧。六倍的 c n 六展开呗， n 的 结成，这就是。这个倒好说啊。 n 减五的结成左数的公式吗？等于六乘 n 的 结成，六的结成，然后 n 减六的结成，六和六可以消掉，因为本身你六的结成是 等于多少？五的结成一二三四五再乘最后这个六，所以这个六是可以消掉的，那么最终我们得出来一个 n 减五的结成是等于 n 减六的结成的。 哎呀，这还用说吗？那此时这个 n 算出来只能是等于六了，因为一的结成和零的结成都等于一，所以 n 只能等于六。答案是六只有六啊，这很简单。那么来看十三题，十三题的话好说，他说焦点是 f， 实际上呢，咱们假设 m 点的坐标是 x 一 y 一 n 点坐标呢？咱们假设为 x 二 y， 那 根据定义， f m 不 就等于横坐标，再加上那个二分之 p 跟渐近线的距离，就是跟焦点的距离。那 f f 谁呢？ f f f m， 那 就是 fn 吧， 那 fn 的 话，不就是 x 二再加上二分之 p 吗？那 m n 怎么表示啊？ m n 其实也好表示啊， 我们直接根据弦长公式，一加斜率的平方再乘多少，再乘 x 一 减 x 二的这样一个根差公式， 那因为斜率是等于一的，根号二再乘 x 一 减 x。 好 了，答案已经出来了，所以这个原式咱们换成圈一吧。原式就是这个圈一等于多少分子就是 x 一 加上二分之屁，再减去 x 二加上二分之屁啊。 分母的话，咱们根据根差，根据这样一个弦长公式，已经得出来了根号二， x 一 减 x 二的绝对值。处理一下，分子就是 x 一 减 x 二，分母就是 x 二。呃， x 一 减 x 二的绝对值，那最后就是二分之根号二呗。所以答案就是二分之根号二，这个很简单。 那么最难的啊，小题里头最难的我认为是这个十四题，为啥呢？就好多人不太知道，但是呢，又有三，又有考三，还是能想到一些东西的。我讲一个比较简单的方法，就是你呢， 直接令这个三 f， 令它等于 x， 咱们研究 x y 嘛，然后呢，口算 bet 等于 y， 比如你前者怎么研究前者？我说一下大概的， 那么接下来 x 方不就是等于三方吗？对，然后一减口三方。所以你一会还得表示这口三 f 的 绝对值啊。没问题，那变形呗，那口三 f 的 绝对值不就是一减 x 方啊。 那口算 f 的 平方算出来了，那不就是，哎，算数平方根就可以了吗？哦，原来是这么回事，那，那同理这个后剩下我就不算了啊。同理一会也有一个三倍它的绝对值，那它肯定是等于根号下一减 y 的 平方。好， 那么现在我们问题就变成了，什么呢？我们已知条件就变成了，哎，看看看啊，条件就变成了， x 减去根号下一减 y 方。嗯，那后边的话是 y 减去根号，下一减 x 方等于零。 当然要分类，但是你发现分这两类的话挺挺有意思的啊。第一类，那要么是 x 等于这个玩意，对吧？没问题啊没问题啊，那要么是 y 等于根号下第二括号等于零吗？那就是 y 等于根号下一减 x 方。 注意左右两边平方啊，再相加，再移向左边平方，就是 x 方等于一样。哦，原来是 x 方加外方等于一啊， 但是 y 没什么要求，但是 x 你 是个算数平方根吧，你 x 得大于等于零啊。第二个也是， 虽然也可以得到 x 方加外方等于一，但是这个 y 是 个算数平方根，所以 y 是 大于等于零的。原来这么回事啊，它两者是什么关系？是或的关系，所以我们有必要得看好了， 那问题，问题变成了什么？哎，问题啊，现在问题，他原来问的是 sine 加上口 sine 减去二的最小值。现在我们变成了什么呢？变成了 x， y 减去二的什么值？最小是多少？ 写到这的话就简单了啊，就是一个竖形结合。其实之前的话叫先行规划，这个好处理吧， 因为 x y， 它只能是 x 大 于等于零，就这一段，或者是 y 大 于等于零右半部分。所以咱们把这一个四分之三的圆给画出来。注意了，你这个点点 p x y 只能在这个半径为一，然后圆形为 o 点的这样一个圆周上运动。然后现在问什么 看啊？看它问 x 加 y 减二，咱们假设它的值等于 t， 求 t 的 最小值啊，那不就等价于 y 等于斜率为负一啊， 再加上 t 加二，咱们求的是 t 的 最小值吧，相当于求 t 加二最小值。然而你这个直线啊，这条我写成直线 l， 直线 l， 你 必须跟谁有交点？哎，你必须跟这个原有交点才行啊。 t 加二是什么？ t 加二就是纵截距啊，我们求的不是最大的 t 加二，求的是最小的 t 加二，所以这条线应该怎么样？ 嘿，正好交于负一的号零或者零的号负一这个点吧。那此时纵截距 t 加二， t 加二不就等于负一吗？这是 t 加二最小值，那 t 的 最小值不就是负三啊，所以最小值是多少是负三？这就变成了一个直线跟圆的问题了。 清楚了吧，乍看起来是三角函数，事实上是直线根圆的题目啊，那么小题应该学会了。咱们下个视频呢，讲一讲大题啊，分享课堂知识，感受数学之美。我是啊，范老师，下节课再见。

今天是 t 八联考的第一天，很多人不清楚什么是 t 八联考，今天一个视频，简单聊聊视频最后才是重点。 t 八联考是由华中师大一附中、湖南师大附中、广东实验中学、东北育才中学、石家庄二中、南京师大附中、福州一中、西南大学附中 八所第三批实施新中考的八个省市的重点中学组织的一场跨省跨校联考，试题的原创度和含金量十足， 从题型的设置到难度、梯度都高度贴合高考命题趋势，对全国各省市高三的考生来说，是查漏补缺，提升应试能力的绝佳练习素材。 点赞收藏视频，第一时间找到各科的原题。今天考的是物理，我们评论区先发一下物理的资料，其他科目等考完以后连老师一一的上传，老规矩，点关注不迷路！

各位同学，各位家长大家好，我是有道领师，高中物理主理人宁志远。 t 八联考这张试卷很符合新高考的特点，十五道题目中包含了高中物理百分之八十以上的重要考点，绝大部分题目都是从横向和纵向上综合考察了多个知识点和多种能力，同时简单题、重大题和难题的比例也比较正常。 即使是简单题，也不是考察单一知识点，而是考察多个基础知识点，出的点都比较正啊，值得借鉴。中档题通过变换情景和条件，增加过程数量，从而增加复杂度，但出的也不偏难题，综合性强，思维深度大，要求的思维能力更高。但题目也不怪异， 那题目都是从常规模型或者常见情景出发，让同学们读完题都能够上手，不出偏难怪题，还是高考出题的正道。本张试卷从题型上来说，选择题覆盖面比较广，单选压轴题和多选压轴题难度计算量都比较大。 实验题两道题都是基于课本的常规实验，三个计算题分别是热血力学和电学的计算题啊，都比较常规。那复习的建议的话啊，第一，一定是夯实基础， 要有对于基本规律的深入理解和体系化的记忆，而不是零散的记忆。这样我们考试时呢，可以迅速调用出规律去答题， 那保证呢，有四五十分啊，我们是非常把握去拿到的。第二，要重视实验，实验题大概率还是以课本中的常规实验原理为主，做少量的创新实验题总体难度是比计算题要低啊，相对来说比较好拿分的。 新高考物理试卷的计算量通常都不小，如果每道题都是从头开始完整算一遍，很难答完试卷。所以对于一些二十结论和典型模型的快速解题规律得非常熟知，这样才能提高解题效率。 第三呢，对于非主流知识点，比如说物理学史，或者说选修课本中的实验内容，也不能忽略啊，要去多浏览，多记忆，防止命题人考到你的知识盲区。那具体的内容呢？晚上的直播，志愿老师再给你详细讲解。关注我，教你如何上名校！

呃，大同的高三家长们 t 八联考的数学已经考完了，不论考的怎么样，咱们重点是分析这套试卷，我也知道整个试卷难度确实不低， 它其实就是从三方面考察学生，第一，基本功是否扎实，第二你的思维是否灵活，第三这套试卷创新度极高。 那创新度极高不就是结合你的基本功、基础知识和你的思维灵活构构造出来的吗？所以这套试卷整个出题其实挺不错的，人 家这个难度他确实是中等偏上，但是人家不是说一上来都难，人家是不给了你几个基础题，然后中等题，然后再难题，咱们可以从整个试卷上聊聊一聊，还是八加三加三再加五的模式， 八个单选，三个多选，三个填空，五个大题，那这八个单选里边一题到五题都是基础题，五题可能计算量稍微大那么一丢丢，但是五题也是属于基础题， 六题开始就是中等难度题。六题这个东西如果放在高一时，因为他是个三角函数介模，如果放在高一时，他就是属于难题， 应该叫难题了。然后放在高三来说，他确实是个中等偏上的，因为为啥这样说？因为咱们学生就根本没有好好就整个整个，就没有复习六题这种模型。 然后七题是个双曲线，双曲线的问题，这个七题双曲线问题其实最关键就是还是所有的平面几何和解析几何里边跟孩子们提到遇什么点，做什么辅助线 这个题。然后第八题，这个函数考察确实难，但是归根到底人家还是考察你函数三大性质，哪三大性质呢？研究函数是把先研究定一域， 第二记偶性，第三我们的。呃，那个单调性，你看到 f x 加 f 负 x， 你 不应该想记偶性吗？你想完记偶性，你判断出记函数是个 g 或者是 o， 你 不就能后续做你后边的四个零点问题了吗？ 只不过这个记函数你得找他的解析式，涉及到零点问题。求餐，立马想分餐， 然后多学。九题是基础题，十题，十题的 a 选项肯定送分题，二 b 选项也是送分题，就剩剩 c 和 d 了吧。我建议学生们先做四 d 选项，因为做四 d 时你就不用二阶导，你选择题干嘛？二阶导直接往进带， 把一带进去，看看导函数是否为零，然后带一个比一大的二三，比一小的二分之一，三分之一这些数，去看一下它到底是不是极大之点，做完四 d 再去做 c 就 好做多了。 反而这个考试卷的十一题，这套考试题的十一题，反而是难度真的不大的一道题。昨天我做这个十一题时，我拿到试卷已经比较晚了，快五点才拿到的。 我昨天做这个十一题的四 d 选项，立马想到我们小时候玩那个水晶球，挺有意思的。这个题十一题难度是真不大这道题啊， 然后看那个填空，填空题，十二题是送分题，基础题，十三题我早就跟孩子们说了，虽然我们没有复习到圆锥曲线，但是我早就跟学所有学生说过过焦点，你给我想二级结构，不过焦点老老实实定义 十四题确实难度大。你看到生意呀，看生意应该首先想三角换元，但是有的同学他就想不到那个， 呃，三角换元或者是跟元有关的知识点。然后咱们再说大题，大题的十五题第二问就是我常说的多三角形问题，或者是什么呢？或者是我们 初中学的相似也能做。然后十七题是个送分题，这个题往死简单， 然后十六题的第一问也简单，第二问这个东西我昨天做的时候，我拿出课本看了看，然后又拿出我高二就上一届高二的讲义看了看，这是高二课本里边的知识点，向左向右走，我们那会在做那个概率模型跟那个概率，这时候也做过这个知识点。 但是这道题我觉得孩子们不一定能数对，肯定基本世界能数对，但是符合条件的估计数对的人不多。 嗯，所以十六题啊，但十六题其实是个中等题，然后就是十八题。十九题，我的建议就是做十九题第一问放弃，第二问，第三问去做十八题，因为十八题简单，十八题第一问送分，第二问，我觉得计算过关的孩子们也属于送分题， 无非第二问下，第二小问，四点共约，四点共约。你初中学的不就是对角互补这些吗？跟角有关，首先想斜率，斜率的本质不就是角吗？剩下就是，呃，有的人们说托米勒定律呀，还圆米定律，我昨天试一下都不如那个角好用。 然后十九题，我觉得你与其做十九题第二问，因为十九题第二问那个 g x， 你 看到这个式子就应该想到我们暑假时学的双根号的直遇问题，但是这个确实不好理解，所以做十九题不如做十八题， 整个试卷下来真的区分度真的很明显，所以这套卷可以作为高三学生猎手。但是还是秉承我说的一句话， 亚洲题做不出来的时候，一定要选择跳过去，不如做你能拿到题，例如十九题做不出来，去做十八题，所以整套试卷咱们大概就分析到这，接下来我给大家说一个知识。 呃，就是咱们不是前段时间那个教育局颁发了一个就是文件，说是今后不组织大型联考，很有可能是你家孩子参加的最后一次大型联考， 如果今后没有大型联考，你家孩子究竟在于什么段位上？这就是到底是最后开盲盒呀，还是取决于家长的认知和学生的努力了。那咱们今天就说到这提拔联考， 谁想要哪个题的分析视频或者是讲解视频，我这都有，可以呃，在评论区联系我，我是讲数学的小李老师，跟着我学数学，教你怎么样回归教材，怎么样分析条件。

山西的考生和家长们注意了， t 八联考已经结束，无论孩子的成绩如何，考后家长的应对方式尤为重要。请点赞收藏好这份三做三不做的建议，陪伴孩子稳扎稳打， 走好接下来的备考之路。首先，我们来说三做。第一，关注排名，理性的看待分数。因为这一次的联考难度比较大，分数未必能反映出来真实水平，比起分数，排名更能客观定位，帮助判断孩子的实际进退。 第二，深入分析错题，找准原因，带着孩子一起复盘试卷，弄清每一道错题背后是知识点不熟，解析思路的偏差，还是时间分配的问题，避免同样的错误再次出现。 第三，动态调整复习计划。这一点特别重要，根据失分区域和不弱环节，及时的优化后续复习的重点，把时间用在最需要弥补的地方，实现精准的提升。接着我们再来说三不做，第一，不因为分数过度焦虑， 这次考试重在诊断与摸底，并不是最终举，保持平和心态才能给孩子稳定的支持。第二，不因成绩指责孩子，成绩若不如意，孩子自己已经压力很大了，少一份责备，多一份倾听与鼓励，孩子现在最需要的是陪伴和信任。 第三，不盲目与他人作比较。每一个孩子节奏不同，进步轨迹也不一样，专注于自己孩子的点滴提升，比对比别人家的孩子更有意义。 备考之路不仅考验孩子，也考验着家长们，成绩只是暂时的，而成长是长久的。评论区打出金榜题名，一起为孩子们加油！

二零二六届高三替班联考，山西省和陕西省大概有两百八十余所高中参加，明天后天考试，可以看作是一次模拟高考。那么太原的包括太原五中、 忻州一中、怀仁一中、晋城一中、山西现代双语、太原新希望等重点学校，大概参加考生超过十六万。我给大家做一个视频，重点是说考完试以后应该做什么。 大家这考试的这个保姆式的教程吧，就是之前考试也能用上，咱们之前的考生已经学会了啊。呃，那么考试后家长可以帮助考生做哪些工作啊？咱们从头到尾说一下啊。首先重要的是从心态上来讲，要重视，但不要过于焦虑。这个不是高考，只是一次测试， 目的是为了查漏补缺，提升压力，适应水平，加强心理韧性啊，特别的关键。 第二，这次考试包括之前的考试，每次考试后都要进行试卷分析，怎么试卷分析？如果你们不会的话，你给我私信或者留言哈。嗯，后面也可以再录个视频知识点梳理，看哪些掌握了，哪些还需要学习。三、重点， 根据考试分数和公布的省控线、本科线，用现场法和位次法划算成相当于二零二五年的高考分数，和今年的高考录取情况对比，从高到底，选出对应的院校、专业组的范围 之后，再根据孩子适合的专业，想去的城市，孩子的学科优势，职业兴趣、性格特点，未来目标，比如说考研、考公、就业、留学还是创业，还有家庭资源、高校资源等详细分析，这样就可以相对准确的定位理想的专业组， 再根据投档规则、录取规则、专业的喜好、城市的喜好、优先顺序等等进行排序，这样就有了初步的志愿填报方案，后续考试可以重复这个步骤，考生和家长一定会越来越清晰。 这最有效的方法是在每次考试之后或者之前，由专业的老师进行梳理，帮助孩子以模拟志愿填报的方式，让孩子了解自己的 目前的状态和这个分数对应的情况，减轻孩子的压力和家长的压力。大家有问题可以在视频下方留言，或者 周一到周五早晨九点，中午十二点半左右来到直播间，咱们详细沟通，然后祝所有的孩子们都能考个好成绩，大家有问题随时沟通！

大家好，今天呢，我们继续来讲 t 八联考的大题啊，刚刚考完的，然后第一道大题的话就是解三角形了，这道题很简单啊，咱们来说一说，它只有一个已知条件嘛。那首先根据二倍角公式，它是等于二分之一，一加上口算 a 的， 然后等号右边的话，它是等于二分之一，咱们单独拎出来嘛， c 分 之 b， 再加上 c 分 之 c， 这个 c 分 之 b， c 分 之 b， c 分 之 c， 不 就是一嘛，所以咱们对比一下左右两边，哎，等量代换嘛，那所以最终就得出来 q 三 a 是 等于 c 分 之 b 的， 但是接下来咱们要根据什么了？正弦定理了吗？正弦定理的其次，转化分子分母都是边长的一次方，所以根据正弦定理的话，你这个地方写一下正弦定理这几个字就行了。然后呢，就可以得出来，三 n b 是 等于再比上这个三 n c， 那 最终就转换成了三 n c， 乘法关系吗？等于口三 a， 再乘三 n c。 另外你得写一下原因啊，毕竟是大题，那么左边怎么办？因为 b、 a、 c 加起来是等于多少度的？等于一百八十度的，所以说这个三按 b 其实就是等于三按 a 加 c 的， 因为两个角互补的话，它的正弦值一样，这是右导公是吗？即变五变符号看象限， 那也就是说这个方程就变成了多少。三 a 加 c， 然后等于口三 a， 三三 c， 左边的话你写呗，三 a 再乘 口三 c， 口三 a 再乘三 c， 因为等号右边也是口三 a 乘三 c， 我 就跳步了，就这两部分就直接消掉，变成零了。也就说我们最终会得到这样一个方程，它等于零。 它等于零的话，你要说一下，因为角 a 的 取值范围，它不可能取到零度或者一百八十度的，所以三 a， 毕竟它永远是个正数，是大于零 的，所以只有可能是口算 c 这一部分等于零了。口算多少度等于零啊？那只有可能是九十度嘛？所以第一问就是九十度，这个非常简单。 那第二问的话，哎，你要注意，角 c 等于九十度能在什么里头？能在括号里头直接用吗？当然可以直接使用了。来，我们直接画图， 那么因为涉及到正切，所以我过这个三等分点点 d 啊，然后呢？直接做这个垂直 d， h 垂直于多少呢？垂直于 a、 c 约 h 点，那么既然它也是垂直的， bc 也是垂直于，垂直于同一条直线 a、 c， 所以 两条线，也就是 d、 h 是平行于 b、 c 的， 根据平行线分线的乘比例，是吧？啊，那此时我们可以得出什么结论来？你 d 点是三等分点，那此时这个 h 点也是三等分点啊。 a、 h 是 等于二分之一的 c、 h 的， 那我们不妨直接假设 a、 h 的 长度，它就是 x 呗， c、 h 的 长度，那就是二 x 呗。那摊着呢？ a 是 谁？哎，摊着呢？ a、 c、 d 是 谁一目了然。摊着呢？ a， 你 看上方这个直角三角形嘛，它是等于多少？ 它是等于 h、 d 再比上一个 x 的。 那另外再来看另外一部分， 这个 c、 h 在 c、 h、 d 这样一个直角三角形中，你说这个角 e 的 正确值就是它的 a、 c、 d 是 多少？那不就是 hd， 再比上二 x 吗？那一比最后得的是二啊。所以第二本其实更简单，画一个图就行了，但是建立在第一问结论的基础上啊。 那么接下来就是十六题了。十六题的话，是一个随机移动跟概率的问题，他的话怎么说呢？第一问他只有左右运动啊，你可以自己读一下题， 然后呢，每次向左移动或者向移动一个单位，从原点，从原点出发，然后问移动两次之后的位置。 那现在第一问的话，还是非常简单的，只要读懂题就行了。 x 可以 等于负二，为啥？向左移动两次吗？第一次向左，第二次再向左，所以最终的位置是零减二， 那么如果向右再向左或者向左再向右，那最终都回到原来的位置还是零。那如果两次都向右呢？那就不是零加一，再加一等于二吗？所以就这三种情况，那么接下来我们求它的分布列 x 等于几？先求负二吧。负二的话好说，每次向右移动的概率是屁，每次向左移动的概率不就是一减屁吗？两次向左，对啊， x 等于负二啊，等于负二， x 等于负二的概率的话，那就是，呃，一减屁，再乘一减屁，对， x 等于正二呢，哎，向右 p 再乘 p， p 的 平方。那如果是什么情况 x 等于零呢？先向右 再向左，或者先向左再向右分布乘法计数原理嘛，然后把两种情况分类相加起来，分类加法，计数原理都用了一下，那么最终计算出来就是二 p 一 减 p 这样一个值了。 那这道题的话，当然你不写分不列也行啊。咱们直接来求数学期望。求数学期望的话，那就很简单了，哎，多少数学期望哎，负二这个值再乘它对应的概率， 正二这个值乘它对应的概率，这就数学期望成就这样一个规定的算法吗？还有谁啊？还有 x 等于零，零的话，其实最终就不用写了啊。 对，零就是零吧，最后算出来啊。那么最终我们经过计算之后得什么呀？二屁的平方减去二的，屁的二的一减屁的平方平方差公式吗？ 对吧？两者相减两，两者相加，这个还是容易的。两者相加的话，应该是屁加一减屁，两者相减的话，应该是屁减一，再加屁。 呃，那最终的话，这是个一二乘，它四 p 减二吧。对，反正最后算出来是等于四 p 减二的， 你草纸上算出来写就行了。他说最终的数学期望四 p 减二得大于零，求对应的 p 的 范围。那不就是 p 大 于二分之一吗？但是 概率是天然有一个限制的，人家一开始说了只能在零到一之间，是吧？所以最终你写答话的时候，你应该写的是大于二分之一且小于一，这个才是最终的结果，行了吧，不要光写那个大于二分之一啊。 好，这是第一问，那么接下来咱就要做第二问了，第二问肯定更难一些。为什么？因为第二问呢？他除了左右运动，还有上下运动。一个置点在平面直角坐标系中，他从某点 a 出发，每次等可能的，有可能哦，是向上的， 也有可能是向下的。等可能的话，我们用什么？用样本空间的方法吧啊？因为每次都是等可能的，比如说咱们列这样一个矢图， 第一次写个一，第一次上下左右啊，都是四分之一的概率，第二次上下左右都是四分之一的概率。第四次上下左右移动也是四分之一的概率，都是四分之一的概率。 然后他怎么说呢？每次等可能的向上或者向下，或者向左或者向右移动一个单位，求该 a 置点，经过四次移动之后，回到点 a 的 概率。天呐，这个题啊，咱们用样本就总估计这样一个概率的方法，咱们看样本空间， 样本空间总的样本点的个数， 这个怎么算呢？第一次，四种可能，第二次，四种可能，四种可能，四种可能。几步？四步，四步是分布乘法极数原理，所以它是多少呢？所以它这个总数小 n 等于四的次方， 这个你要知道怎么算出来的。二百五十六个样本点啊，这是总数。那么每一个样本点它的概率都相等吗？你得写一句话，对，都是二百五十六分之一，每个这二百五十六个啊，每个样本点它出现的 概率怎么样？因为概率相等，我们才想到了这种方法，等可能啊。那么接下来就是看目标事件的样本点的个数了，对吧？好，现在目标事件是谁？目标事件是 四次移动之后，我简写了，四次移动之后呢？最终回归点 a， 好， 它这个事件呢，我们记为 大 m， 懂了吧？即为大 m， 用大买 m 来表示，然后大 m 的 话，咱们需要满足条件，什么条件？ 上下就怎么说呢？向上向下移动的次数必须怎么样？ 必须是相同的，肯定的向上移动两次，必须再向下移动两次，然后呢？或者也有可能左右嘛，向左移动两次，或者向右移动两次，或者是向左一次，向右也肯定只有一次，这样的话才抵消了，才回到了原来的初始位置。然后左和右 移动的次数呢？也相同，咱们就是根据这个限制条件来算事件 m 所对应的样本点的这样一个数字的样本点的个数。事件 m， 它的样本点咱们就不要用 n 了嘛， 样本点点数的话记成什么？用小 m 吧。那么这个小 m 的 话，首先有一个 a 四四。有同学就要说了，老师，我根本看不懂这个 a 四四什么意思，其实非常简单，就是你上下左右这四次都有了，一次上一次下，一次左，一次右。 至于是哪次上，哪次下，哪次左，哪次右，无所谓啊。比如说我们先来看上，如果向上，你可能第一次向上，可能第二次，可能第三次，可能第四次，所以是四， 那然后上已经占了一个空格了。接下来看下下的话，剩下的三个空格吧，那就是三种可能。然后左，哎，因为上和下已经占了两个位置了，剩下只剩下两个位置 来左，那最后呢？右只剩下最后一个位置，四三二一，所以是四的阶乘，咱们写成 a 四四啊，是四的这样一个全 排列，对吧？全排列。那么另外两种情况是上下左右都有，我又写了一个 c 四二，有同学说，老师我根本看不懂，要只有啊，只有上和下， 那么只有上和下的话，上是两次吧，下也是两次吧。所以我们先讨论上嘛。哦，哪次向上了，比如说第一次和第三次向上了，四个里头选两个，懂了吧？那剩下两个位置只能必须向下了，那就是 c 二， c 二等于一，所以我就不写了。啊。 对，那够了吗？不够啊，再来个四 a 四二。有同学说不会了，这个就是，呃，要有了上下啊，那就是还有个左右，嗯，还有个左右，有上下，还有左右吗？向左两个，向右两个， 四个空格里头找两个位置，然后咱们把左填进去，然后最后两个位置只能是一样的，对吧？那最后咱们算出来是多少个呢？ 啊？最后算，这应该是三十六，所以最终你说 m 等于多少？他这所对应的概率等于所对应就目标事件的样本点的总数和总的空间中的，就是样本空间中总的样本点数二百五十六，那最终算出来是多少？等于六十四分之九，一定要注意等，可能这三个字 好了，最终结果你写答话吧。所以这道题的概率是多少？六十四分之九。 那么来看十七题，十七题的话，第一问啊，咱们来看，首先是斜三楞柱，其次呢，给了个这么个玩意，就他说啊，这个角谁就这个角 a e， a b 是 等于 a 一 a c 的 啊，这样一个，然后又告诉你 ab 等于 ac， 然后 bc 等于九十，也就是说上下底面都是等腰直角三角形啊，都是等腰直角三角形，注意是直角啊，角 a 或者角 a 是 直角的上下底面， 然后他说 o 点呢？是 bc 的 中点，那肯定能想到等腰三角形三线合一吧，在等腰三角形的三角合一，那另外还有个什么呢？他现在让你证明的是这个东西。来吧，我觉得很好说，首先第一条，我们连接一下 a e b 没问题吧？第二条怎么的呢？我们连接一下 a、 e、 c， 看在这两个一个是红色的空间中的三角形啊，这两个三角形什么关系吧？你只要知道了这两个三角形的关系，那这个第一问直接用乘几何的方法呢，就已经解决了。第一问怎么来？因为 a、 e、 a 等于 a e a 公共边啊，又因为 ab 等于 a、 c 两组边相等，中间夹角呢？中间夹角 a e、 a b 和 a e、 a、 c 相等啊，所以边角边不就得出来了？三角形 a、 e、 a、 b， 它是全等于三角形 a、 e、 a、 c 的 吗？对呀，边角边，这是初中的知识，那这个全等有什么作用呢？事实上，我想说的是，图中的谁是等于谁的呀？ 哦，原来图中它这个 a、 e、 b 是 等于 a、 e、 c 的 呀，也就是说等腰三角形，又因为看好了啊， o 点为 bc 中点。 我们首先有第一个垂直了，三线合一吧，在 a 一 c、 b 中，就我画的这样一个等腰三角形中，所以此时这个 o、 a 一 是垂直于 b、 c 的。 同样的道理，谁啊？在 a、 b、 c 这个里头也是三线合一，等腰三角形，三线合一，你这个 o、 a 也是垂直于 bc 的。 原来是这么回事，那得完这个垂直之后的话，剩下好说了吧。哦，一条直线 b、 c 垂直于平面里头两条相交直线，但是你得写出这个原音来， o a e、 o a 是 哪个平面里头的？是平面 a e a o 里头的，并且这两条是怎么关系啊？相交直线相交于点 o 嘛。那么现在你可以说了呀，根据画圈这些五推一吧 啊， bc 垂直于平面里头两条相交直线，所以 bc 垂直于整个平面，也就是说 bc 垂直于哪个平面？垂直于平面 a e a o， 那 既然垂直于平面的话，又因为 bc 在 哪个面里头？在平面 b c c e b 里头，所以你看一个平面内的直线垂直于另外一个平面，所以面面垂直不就得出来了吗？也就是说最终可以得出来 b c c e b e 是 垂直于平面 a e a o 的。 好了，第一问呢，用纯几何的方法来做就非常简单。第二问的话要间隙啊， 就是为什么第二问间隙呢？咱们先读一下题，看看为什么要间隙，原因嘛，非常直接，是因为它给了一个垂直，此时的 a e o 是 垂直于整个底面的，所以咱们呢，很容易结合括号一的这些结论，可以推出来 o a o b， 它本来三角合一就垂直，还有谁现在再加上一个 o a， 一 两两之间互相垂直吧，你只要得出这一条来，所以接下来我们就要间隙了。 你要间隙的话，肯定是以 o 点为坐标原点，比如说 o a 为 x 轴， o b 这个方向为 y 轴， o a 一 为 z 轴，这样建立空间直角坐标系就行了。第二问，肯定是间隙广宽啊，那好，那就间隙吧，间隙我已经完成了， 那么间隙完成之后，接下来是干嘛呢？肯定是要写每个坐标点，他这个题没有给数据啊，我们只能根据，比如说这有中点啊，然后呢，再结合这个六十度啊，再结合这个等腰直角三角形啊，咱们来写具体的数据。那我呢，直接就假设，什么 直接假设这个 a c， 还有包括这个 ab 等于四吧，那 a o 是 等于多少的呢？来看一下。 呃， a c a b 直角边是四，那这个斜边就是四倍根号二，斜边中线就等于二倍根号二。对，所以 a o 呢，是等于二倍根号二的。这个都好得啊，都是根据平面几何，这是得出来的，然后 o a 一， 它就等于根号三倍到 a， 这个根号三是怎么得的？是根据这个六十度得出来的，因为他说什么？他说直线 a、 a 一 跟底面所成的角，你看 咱们做出来了吧，没问题啊，所以他这个角，这个角是六十度啊，而且他还是个直角三角形。既然你求出这些来了，呃，所以说根据一比二比根号三，咱可以求出来他的长度是二倍根号六。嗯，那么写吧， a 点坐标二倍根号二， 然后呢？ b 点坐标零，二倍根号二，零，然后 c 点坐标零，负二倍根号二，零，然后呢？还有这个 a 一 点坐标零零，二倍根号六， 还有谁呢？还有咱们根据 a a 一 等于 c c 一， 因为你还得求这个 c 一 点的坐标吗？它的话就得出来这个 c 一 点的坐标是负二倍根号二， 负二倍根号二，二倍根号六。 c 一 都写出来了， b 肯定也更好写了，沿着 y 的 方向，咱们加四倍的根号二嘛，所以这个 b 一 点的坐标就是负二倍根号二，正二倍根号二，二倍根号六。没问题，该写的点都写出来了， 那么此时咱们咱们根据中点点 b 一 和点 b 是 不是都有了呀？那根据中点公式的话，点 d 也可以写出来负的根号二，反正这些该写的都能写出来啊，都没什么问题的。那既然该写的都写出来了，没问题啊， 咱们就可以干嘛了？咱们可以写 a、 d， a、 d 的 话是负三倍根号二，然后二倍根号二，然后根号六， 然后这个 a、 c 一 的话是负四倍根号二，负二倍根号二，二倍根号六，那么剩下就是法向量了吧，谁的法向量啊？咱们假设 x、 y、 z 就是 个 n 向量啊，为 平面 a、 c、 e、 d 的 发线量，那么根据发线量的通常的求法标准的求法，那就是 n， 然后 a、 d， n， a、 c 一 等于零，是吧？那最后写出来就是负三倍根号二 x 二倍根号二 y， 然后再加上根号六 z， 他的话是负四倍根号二 x 减去二分之根号二 y， 再加上二倍根号六 z 等等吧。 啊，那最终呢，不妨令 y 等于多少？不妨令 y 等于根号三代入，那最终就求出来了， n 是 等于多少的？就这个发现呢，是三倍根号三，然后呢根号三七。 那求完这个法向量之后，还有另外一个法向量，谁的法向量啊？还有 a、 b， c， a， b， c 的 法向量需要你求吗？不需要吧，因为 o， a、 e 就是 跟他垂直的，但是这个法向量的话，你垂直于就就是跟 z 轴平行就行了。所以咱们这个平面 abc 的 法向量呢，咱们写成多少？写成零零，跟 z 平行就行，写成零零一就行。那既然两个法向量求出来了，那剩下就好说了啊，求这两个平面所夹角的余弦值吧。显然根据图口算 alpha， alpha 是 锐角啊，所以口算是正数。然后呢， 带公式就行了啊，这样就很简单了， m n 的 数量机绝对值 m 的 模， n 的 模型，那最后就是七 啊，再来个这个最终是一乘根号下七十九。应该是啊，就这个 n 的 模长应该是根号下七十九，所以化简之后的话应该是七十。这个数据给的非常丑陋啊。七十九分之。 呃，七倍的根号下七十九，应该是这样一个数据了啊，应该是他，你自己来算一下吗？好，来，看什么？来看十八题？这个十八题啊，他给的什么？首先第一问，第一问，第一问。咱也说一下吧，快速的说一下就行。 左焦点有了，右焦点有了，所以这个小 c 也就是半焦距，这个一看是等于二的， 然后图案上有点，图案上有点的话，比如说这个点是点 n， 那 此时 f 一 n 再加上 f 二 n， 这不就是等于二 a 吗？咱把这个二 a 算出来也行。 那怎么算？根据两点之间距离公式是吧？也就是根号下谁啊？根号二加二的平方， 根号三减零的平方。对，两点之间距离公式吗？横坐标根号二减二的平方，根号三，它的平方。那继续算吧， 等于谁？等于这个化简以后是九减四倍根号二。第二个是啊，一个九加四倍根号二，一个九减四倍根号二。反正是一个加一个减，没问题。 那接下来干嘛？接下来好说，二分之十八减去八倍的根号二，就根号里头套着根号嘛，处理这个复杂的二次根式， 它这个里头也是二分之十八加上八倍根号二。为什么这么处理呢？好算， 那么最终就变成了十六减二乘四，再乘根号二，再乘二。那第二部分就写成二分之，你把十八拆成十六加二吗？ 哦，加二乘四倍根号二，再再加上这个二，再加上二啊，这个地方是加上二， 那么最终就好了。写成什么了？这个都是草纸上内容啊，你不需要写这么多的，那么就是四 减根号二的平方，对吧？这个是四加根号二的平方，那么最终的话就变成了根号二分之四减根号二，加上根号二分之四加根号二，那最终算出来不就是根号二分之八吗？ 八比上根号二，你说多少啊？二倍根号。呃，四倍根号二，四倍根号是谁？就是最终那个 r a。 啊，原来 a 是 等于二倍根号二的啊，就就这么回事啊，你自己算就行了。 好了， c 等于二， a 等于二，被根号二，那 b 的 话不就是等于根号下 a 方减 c 方吗？这个是等于二，所以最后的话咱就算出来了，是八分之 x 方，再加上四分之外方等于一。好了，这就是椭圆的方程，我们主要是研究第二问啊， 这个第二问啊，第二问啊，第二问怎么做呢？第二问的话他说的是 什么？说的是首先过右过这个二，逗号零过右焦点做了一条直线，交于 a b 两个点，然后跟外轴交于它， 然后呢？ p 点和 q 点是什么关系？ p 点和 q 点是关于 x 轴对称的。嗯， 那么接下来他给了三个面积，哪三个面积呢？ p b q， 这个是 s 一， 这个是 s 二，然后最上方这个是 s 三，然后跟让你来算最终的 s 一 加上 s 二。行吧， 这个圈一好算，因为斜率给定了斜率为二，那所以就是 ab 这条直线就可以写出来吧。 x 就 等于二分之一， y 再加上二，因为过二的号零，所以我们用这种倒斜横截式啊，跟谁连立？跟这个八分之 x 方 加上四分之外方等于一连利，那么连利之后，当然了，咱们默认 x 一 外一是 a 点啊，然后 x 二外二是 b 点啊。一会就不再多说了，这个会得出来，九外方消掉 x 吗？八外减十六等于零，那此时外一加外二为它定里啊。 负的九分之八外一乘外二等于负的九分之十六， 那此时 s 一 加上 s 三，再比上 s 二加上 s 三，那多好说呀，过 q 点做的高高度是一样的嘛。所以底边的比值就是对应面积的比值，也就是说， s 一 s 一 是谁啊？ s 一 就是 b p， 它的比值啊， s 三是谁啊？ s 三就是 a f 二呗。 s 二 s 二是谁？ s 二就是 b f 二。行，那么接下来就好说了，这三个点来吧， 相当于它们的纵坐标的比值啊，或者说这三条线段长度的比值没问题吧，那么它就变成了 b p b p， 呃，我看一下啊， b p 的 话， b p 再加上这个 a f 二，哎，这个 b p 的 话，是这两个高的这样一个长度，点 b 的 纵坐标，再减去点 p 的 纵坐标，点 b 纵坐标是 y 二 d n p 纵坐标是谁？是？咱们可以代入求出来啊。求出来应该是等于零，逗号，负四吧，当 x 等于零的时候， y 等于负四啊，所以减负四，所以是加四啊， 好，没问题，然后继续来，然后再加上多少再加上这个 y 一 啊。 你投影之后的话，咱们主要就变成了这三段的比值，一二三变成这三段的比值，对吧？ s 一 s 二 s 三分别等于，比如说 m 比 n， 再比 p， 反正就是三段的比值，咱们看纵坐标就行了， 那 b f 二 a f 二，那不就是这两段加起来，其实也就是纵坐标 y 一 的纵坐标，再减 y 二的纵坐标呗。对，那么最后呢，咱们就变成了四加上 y 一 y 二微调定点可以用了吧？ y 一 减 y 二肯定是个正数，它相当于根号下平方，那么根据根差公式的转变，咱们完全可以写成 y 一 加 y 二，再减去四倍的 y 一 乘 y 二。 这些操作都是为了利用什么回答定律的？现在你把负的九分之十八，负的九分之十六代入画圈部分这样一个式子，那么最终咱们算一下啊，四减九分之八没问题。然后呢，根号下这个是 八十一分之六十四，再加上九分之六十四，反正最终一计算呢，算出来是个二十分之七倍的根号十，这个就是第一问的结果了。第一问并不难，说真的， 第二问就难了啊，因为第二问他不是给定的斜率，人家是斜率是不确定的。所以现在我们开始讲第二问。注意第一问啊，就这样一个数字，七分之二，十分之七倍的根号十 这个圈二。最后一问，他说的是四点共圆，是否存在直线 l， 使得 q r f 二 a 这个四边形呢？四点共圆不知道， 咱们先这样先假设存在呗。首先还是连立 x 等于 m y 加二啊。现在这是 ab 这条直线，还是跟八分之 x 方，四分之外方等于一连立，我们消掉 x 之后，变成关于 y 的 一元二次方程 啊。外方四 m y 再减四等于零，这个判别是肯定大于零啊，肯定是有两个不同的交点的，因为定点在团内部嘛。 呃，接下来干嘛为它定义呗。 y 一 y 二加起来负的四 m 比上 m 方加二，外一乘外二呢，它是等于负四，再比上 m 方加二。 这个题后边会用到，所以我前头我先写一下，外一外二的平方等于外一加外二，我先算啊，然后减去四倍的外一外二， 然后呢，会化简出来这样一个结果，三十二倍的 m 方加一，再比上这个分母是 m 方加二，整体的平方。反正就算出个这么个玩意来。 那么接下来怎么办？四点共圆啊，你四点共圆等价于什么？请告诉我。四点共圆等价于四边形的对角互补。关键是找哪一组呢？ 找这一组角 a 和角 r， 还是找角 k 和角 f， 或者说外角等于内对角吗？肯定是找我现在角的标的。这个为什么？因为它会涉及到斜率。看了啊， 此时他说四点共圆了吧，这个四点共圆，咱们转化一下，它等价于角 a f 二，那我们延长一下吧，比如说延长 q a 到 s 点吧。对，这个是 s 点。 然后呢，这个角标个角一，这个角标一个角二，行 a f 二 s， 他就是等于角 a q r 贪婪的角，他，请告诉我等于多少？贪婪的角 a f 二 s 其实就是等于斜率的斜率。这道题不就是 m 分 之一吗？哦， 原来是这么回回事啊，这个 m 是 有实际含义，是斜率的倒数啊，所以咱们选择这两个角相等。 那么现在看了，根据我题目中标的意思，看好了，又因为什么？又因为你根据外角关系， 你这个角二再加上角 a q r 等于角一，是吧？所以这个角二我写成减法关系。呃，所以这个角 a q r， 我 写上这个减法关系，它就等于角一减角二呗。对啊， 那写成这个关系之后继续来，那不就是角 a f 二 s 等于角一减角二吗？ 那现在我们根据正切，为什么正切？因为只有正切才能涉及到斜率啊。哦，它是等于摊着它角一减去，摊着它角二。来吧来吧，继续看啊。最左边就这样写。右边呢？右边的话，咱们继续 角一减去贪婪的角二，这是正切函数吧，然后一加上贪婪的角一，贪婪的角二来，最左边是谁？最左边我想说的已经告诉你了，就是 ab 这条直线的斜率，它的斜率是等于 m 分 之一的呀。对啊，这就是 ab 的 斜率啊。 那么右边呢，贪婪的角一是谁的斜率？是 q a 的 斜率啊，然后贪婪的角二呢？贪婪的角二贪婪的角二，这是 q b 的 斜率啊。 那么接下来你根据两点之间的斜率公式不就可以了吗？原来是这么回事，现在看好了，我写了啊，我写了 摊着的角角一，也就是，呃，摊着的角一是 q a 的 斜率啊。 q a 的 话，两点都有嘛，一个 x e y e， 这是，然后再减去 m 分 之二，这个好说点 p 坐标是负的 m 分 之二啊。那点 q 坐标不就是正的 m 分 之二吗？所以都是有根据的啊。有理有据的， m y 一， 再加上二。对的啊，这个是这样一个纵坐标减纵坐标，横坐标减横坐标对， 然后 tan 值的角二它是等于多少呢？ tan 值的角二是等于 q b 的 斜率，它是 y 二，减去 m 分 之二，然后 m y 二，然后再加上二，这个其实就是横坐标减去，本来有个零零，咱们就不写了，现在带入哪？现在把它带入圈一里头啊。 行吧，也就是说最终我们会整理出来一个什么式子呢？圈一看好了，最左边刚才说过了，是 m 分 之一，我就先写这个 m 分 之一了。代入之后，最左边是 m 分 之一， 右边的话就是刚刚那个结果呗。你自己来算，它首先会化简成这个结果， y 一 减 y 二，然后呢？还有一个是 m 方加一，外一乘外二，然后还会有一个二 m 减去 m 分 之二， 对，然后呢，这个是 y 一 加 y 二，还有个什么？还有就是四，再加上 m 方分之四。好，这是它。 那么继续经过整理之后啊，这个 y 一 减 y 二，咱们算了，已经算过它的平方了，所以它本身也好算，它是个正数， y 一 乘 y 二有为，它定义吧。 y 一 加 y 二有为，大家定义吧。所以经过计算之后会得出这么个式子来，十六倍的根号下二 m 方加二 十六，加上 m 方分之八，再减去八 m 方，这是它，那么再经过计算之后就是二倍的 m， 这个后边就很好算了啊，二 m 方加二 等于二，加上 m 方分之一，再减 m 方。现在我们需要干嘛呢？ 哎，你就看他说判断 l 的 条数，判断 l 的 条数不就是判断时数 m 的 个数吗？ m 是 它斜率的倒数啊，是 ab 这条直线斜率的倒数。判断有几个 m， 使得这个等式成立吧。我们先求一下 m 的 范围， 首先因为点 p， 它是在 e 点下方的，对吧？点 p 的 纵坐标是负 m 二， 对吧？负 m 根号一点的坐标是负二，所以得出来 m 的 值是多少？正数 m 啊，它是在零到一之间的。原来如此， 那接下来我构造一个函数，因为这个方程相当于什么？相当于你减去后边这个东西等于零啊，所以我们就看等于零的这个方程有几个解。那就构造函数呗，二 m， 然后呢？二 m 方加二减二，减 m 方，再加 m 方，反正就这个东西，然后调换一下顺序吧， m 方减 m 方分之，然后再减二，求导，求导，求导之后的话，咱们看第一部分 没问题，那然后第二部分，第二部分的话是四 m 方根号下二 m 方加二， 第三部分二 m， 再加上 m 三次方根。这这个不用多说了，因为 m 是 正数，你看 这部分正数吧，正数吧，后边都是正数。正数，所以说它是个单调递增的函数。这个 fm 在 规定的零到一这个范围内是个增函数的。那我们看看有没有他有零点，他最多有唯一的零点啊。咱们求 f 零不太容易，求也求不了 f 零，那就求 f 二分之一吧。 f 二分之一的话，你自己求一下小于零，那 f 一 呢？右端点呢？这个可以求了，你代入之后求出来二乘一， 然后根号下四，再加上一减一，减二，哎，最后是大于零的 f 一 大于零，所以你画这个草图，这就是零点存在定律嘛。二分之一是吧， 然后呢，这个是一这个地方是吧？所以在二分之一到一之间存在唯一的啊，你得写存在 唯一的零点 m， 它这个 m 在 什么范围内？就零到一之间， 使得 f m 等于零。其实也就是刚刚画圈这样一个方程只有几个解，只有一个实数解啊，所以 m 是 唯一的，只有一条满足条件，所以也只有一条直线，一条直线 满足最终的这样一个要求，行了吧？一条啊，他是最后结合了一下构造函数求根的个数， 那么这一套试卷最难的肯定是最后一道题，他是结合了一下这个高次函数，也叫取整函数，怎么呢？向下取整，比如一点二整数部分是他，但是啊，你注意是小于等于一点三的，最大的整数是负二啊，这个注意一下， 那么我们先来做第一个吧，第一个函数减这个 f 四，一看就是二分之口算四， 口算四，这个四范围是多少？四的话属于是第三象限啊。口算第三象限角，那肯定是在负一到零之间的数字，所以二分之口算四，那肯定是负的二分之一到零， 反正呢，是负的零，负一到零之间的一个数字，所以我们对它取整 比他或者说小于等于这个整体的，比如说负的多少，负的零点几几几等于多少，那肯定是负一啊，不大于他的最大的一个整数吗？小于等于他的最大的整数，这是一个。那另外 f 五是吧？ f 五的话，那就是五分之二倍的 口算 x， 没问题，五分之二被口算 x， 首先口算 x， 此时五它是位于第四象限的啊，因为五这个数字的话，我说一下人家是在什么范围内的？是在二拍， 肯定比二拍要小，但是比二分之三拍要大。第三象限角，它所对应的口算值，那肯定是零到一之间， 所以五分之二 cos 五，它的范围就是零到五分之二之间。现在你对这个玩意取整，对零到五分之二之间，对，零点几取整对不对？ 反正是零到五分之二之间的一个数字，那取整的话，整数部分肯定是零。好了，所以最终答案一个是负一，一个是零。这个第一问的话，我相信大家还是可以拿分的。第二问第二问就有点难了，你要注意为什么偏偏给了你三点九、四点一这几个数字？ 来吧，首先看啊这个函数，这个函数的话，它属于减，减一个增函数，再减一个增函数，这个看不出来，我直接这样来啊，大家来看一下。 呃，这个题我改变一下，我分，我这样来一个。呃，分子有理化嘛，就是原来的分子是 x 加四十五，然后呢？我分子和分母同乘一个，什么同乘个根号，下根号加根号， 对，就这么来处理，根号加根号，那么这么处理之后的话，分子就是四十五减五是四十，分母不就是个这个玩意儿吗？ 所以我这么改造之后，我就得出来了，分母是增函数吧，在正数方向内做，分母越来越大，那整个分数不就越来越小吗？所以咱们一讨论就可以得出来， g x 这个函数怎么样？ g x 这个函数啊，它显然是怎么样的？显然是单调递减的， 对吧？显然是单调递减的。既然单调递减的话，那看了，先看 s 一， 咱们一步一步推嘛，从 x 一 推 x 二，再推 x 三，再推 x 四，这个 x 一 等于五的话，这个 x 二就等于 g 五， 这个 g 五的话不用多说，肯定是比 g 四要小的。 g 四的话，你需要对数字比较敏感。 四十九，根号九。哦，这不就是根号四十九减去根号九吗？也就是七减三哦，等于一个整数四啊，反正单调递减的嘛，它比四小， x 二比四要小一些。那么继续来看， 算完这个四以后，但是你不能说光得了一个什么，光得了一个 x 二是小于几的，是小于四的，你看看有没有下限吗？看看有没有下限， 有吧，看了啊，这个 g 五怎么样？这个 g 五大于三点九啊，人家在这个地方呢， g 五大于三点九，这不就是 x 二大于三点九吗？所以咱们其实先得出来一个范围， x 二的范围在什么？在三点九 到什么范围内？到四这个范围内。行了，来看，另外的一部分， x 二的范围出来了啊，来看 x 三， x 三又是通过 x 二推出来的，因为是个单调递减的函数， 所以说 g x 二它是在什么范围内的？哦，它就是在 g 三点九，反过来嘛，减函数到 g 四之间，左边不用管了， g 四不就是四吗？求过了， 没问题，右边呢？三点九，人家是小于四点一的呀。哦，对，右侧是小于四点一的， 所以它有个上限，四点一。反正 g x 二是在四点一， g x 二在四到四点一之间，那 x 三不也是四到四点一？其实这道题你推多了以后，你就发现它就是在三点九，四点一啊，就是等等，等等，就在这两个范围内一直来回循环，要么是比四略小一点点，要么是比四略大那么一点点啊， 那行吧，那再来推啊， x 三。知道了，那 x 四再推一下呗。 g x 四，那不一样的吗？ 是不是？那他的范围你说是在什么范围内？那不就是 g 四点一到什么到 g 四之间这样一个范围吗？ 其实也就是 x 四，他是小于 g 四，小于 g 四就是小于四，然后大于多少？ g 四点一咱们有啊，是比三点九大的，那所以他也比这个三点九大。 懂了，所以以此循环的话，同理咱们都可以推出来，对吧？同理 可以推出来这个 g 五吧，啊，推出来这个 x 五吧，那 x 五又变到了四到四点一之间了，那 x 六又变到了三点九到四之间了。反正就是来回循环，来回循环至。至于这个 x 几比四大，还是比比 四小，取决于这个下标是什么数，取决于这个下标是偶数还是奇数。所以咱们现在可以说了， 什么意思啊？ x 一， 你单独写一下，等于五，这是已知条件。那 x r k 如果下标是偶数的话，你看 x 六啊， 包括谁？包括 x 四啊，它都比四要略小一点点吧。所以它是在什么范围内的？它是在三点九到四之间的， 那至于二 k 加一，这在什么范围内？这个就是比四略大那么一丢丢了，就得出来这样一个结论，因为这个 f 这个表达式里头人家是有的啊。 f x 的 表达式是多少？ 哦，一开始人家说了， x 分 之二倍的口算，是吧？哦，等于 x 分 之二倍的口算 x 等于这么个东西。嗯，那咱们就看吧。首先口算 x 一， 它呢是零到一之间，没问题， 因为五这个数字，它是在第三项弦角嘛。然后继续那口算 x 二，它是属于多少呢？这个是属于第三项弦角，那就是负一到零。然后口算 二， k 加一也是第三项角，那还是负一到零，所以除了第一项之外，在零到一，其他都是在负一到零之间的，这个清楚啊。哎，那现在咱们清楚了，就分两类。 什么意思？只有 f x 一， 它最终求出来是多少？最终求出来是等于零的，这个第一问就求过它，其他的这两个求出来 f x n， 请告诉我都等于几啊？这个最终求出来都是等于负一的，对吧？哦，那所以我们要求和的话，就分情况就好了，就对这个东西求和。 如果这个 n 等于只有第一项吧，那就是零，那后边呢？后边好说，当 n 大 于等于二的时候，第一项是零， 最后都是负一，对吧？都是负一，几个负一， n 减一个负一， n 减一个负一，那最终不就是一减 n 吗？ 对了，一减 n 行了吧？这就是它的结果呀，就分两类就行了，一个是零，一个是一减 n。 好， 这是圈一，圈一的话，能不能得满分就要画一个大的问号了。至于最后这个圈二，那就更加不可能做出来了。咱们来说说这个圈二啊， 求二的话，他说什么呢？他说求什么？先把 x 一 加到 x n 求出来，然后再取整。那现在肯定是需要分类的，你看，首先咱们看 x 一 x 二一直到 x n 分 类吧。 首先最简单的，那就是 n 等于一的时候，此时咱们这个结果里头就只有一个 x 一 啊，五取整，那不就是五吗？所以第一类还是很简单的。 那么接下来 n 等于多少？等于二？ t t 的 话，注意啊，是一个正整数，当这个下标 n 是 一个偶数的时候，我们分两种情况，仔细观察啊，这两种，但其实它都是一回事，但是分组不一样。第一种分组呢， 咱们 x 一 单独拎出来，这是 x 二加上 x 三，这是一组，然后呢，这个 x 四 x 五，这是一组，噔噔噔一直往后边写。 那么最后呢，这个 x n 也单独拎出来，其实 x n 之前它也有啊， n 减二，倒数第三项和倒数第二项是分成一组的，这个 x 一 和 x n 是 单独拎出来的，可以这样分组。另一种分组方式是 x 一 x 二放一块， 然后呢 x 三 x 四放一块等等等等。平均分组，因为是偶数个嘛，那最后就是倒数第一个数字和倒数第二个数字数字，这个分成一组。 那为什么要这么分组？因为我们可以构造一个函数，大家可能在想，你要构造什么函数？因为 x 二是不是可以通过 g x 推出 x 三来， x 四可以推出 x 五来？所以你要这么来看的话，咱们就可以这么考虑了。这个 fly 等于 x 加上 g x 吧。对，那它就是 g x 二，它就是 g x 四，就是分奇偶，然后它就是 g x n 减二。哎，我们发现画圈这个里头这个自变量都是什么？ 哎，这个应该写成 f 啊，这个应该写成 f f x 二 f x 四， f x 它偶数可能会有一个结论，基数会有一个结论，那同样的下方也是，这个是 f x 一 基数吧， f x 三基数吧， f x 倒数第二项，这也是基数吧，它可能也满足另外一个不等式， 然后根据两个不等式，看能不能合计，求出它的范围来。写到这，不要把后边都忘了啊。有一个特殊的值，就是 x 等于四的时候，这是一个特殊的情况，斐四 它是等于四，再加上 g 四的， g 四等于多少？它肯定等于八呀。对啊，四加上四等于八，这是一个特殊值，一开始就已经求出来了。 那有了这个特殊值之后，咱们另外要看这个函数，它是一个增函数还是一个减函数呢？来我们研究一下。 看了啊，这个外撇首先对他求导这是一，然后对这求导，他求导的话，根据这样一个形式啊，对这求导这一撇的话，咱们写成什么结构呢？写成这个是一，这个是 x， 再加上四十五，然后再减去二倍的根号下 x 加五，然后一。现在你看一个问题，不用多说什么，它肯定比一小吧？ 对，这个东西肯定比一大吧，比一大的数字减，比一小的数字，你说是不是正数？所以它是什么？ 所以 f 撇大于零的话，那 f 在 整个实数范围内，人家就是一个增函数啊，在零到中乘这个范围内吧，人家就是一个增函数。写到这儿好说了，这个是 f 二吧，这个是 f 四吧， 这个 f 二， f x 二啊， f x 二， f x 四等等。 x 二人家对应的是三点九到四之间，对不对？ 所以它是小于多少的？小于，这个小于八点，每一部分怎么样？每一部分它算出来都是比八小的好，它小于八，它小于八，包括 n 减二，这个也小于八吧，每一个都小于八，所以接下来好说了。看了啊， 第一个是五，这我就直接写了，然后呢？再加上八乘二分之二 t 减二呗，一共有这么多个八，然后再加上， 那这个 x n 是 多少？注意它是一个偶数吧，偶数的话，它所对应的数字就是在三点九到四之间的，所以它比四小，所以咱们这写上一个四，那最终算出来是多少？四 n 加一，这是第一种分组， 那第二种分组的话，就是 far x 一， far x 一， 或者说 far x 三，这个就是 far x 三，它因为下标是基数， 所以 x 一， 咱们一开始就知道它比四大，那么一丢丢，它大于 far 四增函数吗？哦，大于八，每一个括号都比八大呀，那不就大于八乘多少乘二的， 原来是他吗？原来是这么回事吗？再说第一个，可能你在想，你一开始求出来不是八 t 加一吗？八 t 不 就是四 n 啊，清楚啊。好，他最后求出来是四 n 啊。呃，八 t 就是 等于四 n 的， 也就是说 咱们求出来了。求出来什么了？对于什么东西， x 一 加 x 二，一直加到 x n， 当这个 n 等于二 t 等于偶数的时候， 它是在四 n 到四 n 加一之间的一个数字。就这个括号里头，它既然是在四 n 到四 n 加一之间，那它的整数部分是多少？整数部分就是四 n， 清楚了吧？ 那接下来另外一部分我就留给大家来做了啊。一样的方法，当 n 等于二 t 加一的时候，自己来吧。同样的，咱们可以得出来，最终从 x 一 x 二一直到 x n 取整呢，也是四 n。 所以 最后咱们可以分两种情况， 两种情况啊，呃，多少？第一种情况五哦，当里头只有一个 x 一 的时候。另外，当 n 大 于等于二的时候，最终求出来都是等于多少的， 都是等于四 n 的。 行了，应该听懂这个了吧？最后一问的话，你听懂就听懂，听不懂就算了啊。那么今天我们就讲到这，分享课堂知识，感受数学之美。我是阿凡老师，下节课再见。

t 八联考试卷新鲜出炉，选填压轴题标答居然用三角换圆，步骤又长，变形还复杂！主播今天教你秒杀技巧，特殊执法，直击答案，秒出结果！ 我们来看这道题八联考的选填压轴题，这道题目无论是难度还是计算量都超级简单。首先给的条件，这个括号乘这个括号等于零。哎，那就是两种情形嘛，第一种情形，第一个括号等于零，三以二法它会等于三以贝特的绝对值， 那既然这里有个绝对值，那肯定是大于等于零的。那第二种情形呢？就是第二个括号等于零呗， 那就应该是 cosine 比特它会等于 cosine alpha 的 绝对值，进而它是大于等于零的。好的，那接下来呢，我们就分别从这两种情形出发，去探讨一下原式的最小值。 如果是他满足第一类情形，那这时候三阿尔法他是大于等于零的，所以这东西的最小值他是个零。 cosine beta 呢？他的最小值肯定是个负一。哎，那能不能同时去取啊？如果能同时取到的话，是不是我们整个式子他就会去取到一个最小值啊？ 我们可以取个特殊值，比如说我们让阿尔法他就等于个零，然后我们让这个贝塔 他去取一个 pi， 这样的话， sin alpha 等于 sin pi， 是 不是他们都是零啊？ 哎，没问题，符合提议的。那这时候呢， sin alpha 他 就取到零， cosine beta 呢？他是不是如愿以偿去取到负一啊？同时去取到，所以说这地方最小值它就是个负三。 好的，然后从第二种情形去出发， cosine beta 它是不是大于等于零的？所以这家伙的最小值它是个零，这家伙的最小值呢？是不是它应该是个负一啊？那能不能同时去取啊？还是去举个例子，那这时候我们可以让这个 beta 它去取一个二分之一派， 然后让这个阿尔法它可以去取一个负的二分之派，那这时候是不是 cosine 二分之派它会等于 cosine 负的二分之派的绝对值都等于个零。那这边呢？ 它如愿以偿去取到个零，这边呢？它也去取到自己最小值，它是个负一，那负一加零再去减二，它的最小值是不是也是负三啊？ 所以说无论第一种情况还是第二种情况，最小值都是这个负三，所以在这种情况下，我们这个式子的最小值他直接就是一个负三了。

同学们，这张是 t 八年考，按道理来说唐老师应该写全卷的，不过唐老师在考试拿到卷子的时候呢，就把整张试卷的解析呢全部都给写好了，但是后来考试一结束，答案就出来了，我这个解析呢都没有用武之地，所以呢，只是和同学们就说一下好了。这个一到十七题唐老师都做对了， 然后十八和十九的话，咱们现在开始花四十五分钟做一下，那么我们最后的分数怎么计算呢？咱们以十一百五减去十八和十九扣的分，然后再扣两分作为咱们 t 八年考最后的分数。那么话不多说，咱们现在开始计时。