山东数学合格考立体几何题目公式

每天一道好题，为高考加油！今天我分享的是一道立体几何的题目， 近期讲的导数题角度啊，未适应不同层次的学生的需要。我今天讲一下这个第十八题次要素题，这个立体几何。好，我们来看一下。这个题目呢，也是相当有难度的， 三棱锥 p a， b， c， d， e 分 别是中点，我们看好了 d， e 是 中点， f 是 ab 上一点，然后呢， b f 等于二倍的 af， 也就是说 f 是 一个三等分点。 第一问，证明 pe 平行于平面， cdf 证明线面平行，肯定是想到的线面平行的判定定律，得从平面内找一条线和这个 pe 平行，找哪条线呢？ 这个呀，我们可以从问题的反方面去考虑，如果这个线面平行，这肯定是对的，因为要证明他吗？我们从这个以这这个结论上，如果这个线和这个面要平行， 那么我们知道根据线面平行的性质定离过这个线的平面与这个平面相交的话，那这条线和交线平行， 那显然这里边这个 p a， e 这个线，这个面是过 p e 的 吧？它与 c、 d， f 是 不是应该有交线呢？这个交线，你看我们把 a e 和 c、 f 的 交点，比如记作 g， 那这个 g， d 不 就是 pa e 与平面 c， d， f 的 交线吗？所以我要证明这个 p p e 平行于 c， d， f 的 话，肯定就是证明 p e 平行于 g、 d 就 可以， 对吧？而这里边我们在分析，我要证明 pe 平行于 g， d， d 是 a pa 的 终点，那显然这个 g 就 应该是 a， e 的 终点， 所以我要能够证明 g 是 a， e 的 终点，那不就得到了这个 g、 d 就 平行于 pe 了吗？ 那么怎么证明既是 a e 的 终点？这就是我们首先要解决的问题。这个图形中啊，我们不太得看，可以这样去考虑。你比如说我把这个三角形给它拿出来啊，随意一个三角形，它没说是等边的啊。第一问，用不上 f 是 一个三等分点，你这个 e 呢？它是一个中点，如何证明这里边这个焦点记是 a e 的 中点呢？这就是一个纯粹的平面几何问题。 证明终点，终点有什么结论呢？终点就得想到一些中位线呢，我们这样的话，就得利用平面几何知识，我们可以考虑什么呢？做平行线，你比方说这个 e 是 终点，我要做一个 c， 呃，做一个 e h 要平行于 ab 呢？ e h 要平行于 ab 的 话，那么 e 是 bc 终点，那 h 就 应该是 e c 终点，对吧？这样的话，这个 e h 就 应该是一个也是中位线，所以这个 e h 它就得啥呢？等于二分之一倍的 e b 对不对？而这个 e 啊，这是 f b 啊，写错了，这是 f b， 这个 f b 又是什么呢？ f b 又等于二倍的 f b 又等于二倍的这个 af， 所以 二分之一 f b 不 就等于 af 了吗？所以这样的话， e h 就 等于 af， 而 e h 又和 af 又是平行的呀，所以这个 a g 就 等于 g e， 这就出来了，所以 g 就 一定是 a e 的 终点，从而 g d 就 平行于 p e。 好 了，找到了线线平行，就有了线面平行。这个详细的过程呢，我就不再写了，我们重点来分析这个第二问。第二问呢，我们看是个什么样的题？ 底面 a b c 是 边乘为七的等边三角形，下面说了，这是个等边的， p 点到底面的距离是二分之七， p 点到底面的距离我们先记着，这是二分之七点， p 在 底面 a、 b、 c 上的摄影恰好在线段 c、 f 上， p 点在底面的摄影在线段 c、 f 上，而且 p 点到底面距离是二分之七，你想象这是个什么样的点？ 这个点显然是一个动点，因为 p 点到底面的距离虽说固定，但是 p 点到底面的摄影是在 c f 这个线段上，也就是说 p 点可以动，所以这个三棱锥，这个 p 点呢，它可以在这个横线上随便动。 好了，第一问，让我们求二面角 p c f d 它的正切值， p c f 这个面正切值 这样的问题怎么处理？我们做的最多的现在就是空间向量坐标法，我这个题还是讲坐标法， 因为这几年的高考趋向于用向量问题来解决立体几何问题，所以呢，我们就提倡用坐标法了吧。首先用坐标法的话，第一个要考虑的就是如何建坐标系， 如何建坐标系，这里边虽说有 pfc 啊， p 点在底面的摄影当然说在 cf 上，那这 pfc 肯定是垂直于底面的，那你竖轴能建在这吗？ 不合适，因为你竖轴建在这的话，你将来这个横坐标纵坐标不太好找，对不对？你竖轴建哪啊？你建这 建在 c f 的 中点显然不合适，所以这里面没有我们所谓的竖轴的位置，而且横轴纵轴呢，也没有太明显的这个垂直关系。所以这个题啊，坐标系我们就可以大胆的这样去建。怎么建呢？我就以 a 为顶点， 这个 a 这底面是一个等边三角形，我就以 a 为圆点，这样为 y 轴，这样为 z 轴去建立空间直角坐标系， 这样的话，这个 x 轴就和这个 b 点，哎，这这个高线它现在是平行的啊。 b 点在 a、 c 上的高线是平行的，我们就这样去建。 这样建完坐标系以后，下边我们要想的任务就是干什么呢？找点子坐标。所以这个这样的题啊，你一定要思路清洗，先建坐标系，你如何建？做题更方便。第二一个如何找坐标？ 我们要找先想一想找哪些点，我要找 p、 c、 f、 d 这四个点，哎呀，找这个二面角的正确，我得找这四个点的坐标。这四个点首先我们看看好不好找。 首先 c 点和 f 点，这是好找的，为啥？因为它底面是一个等边三角形，我们可以给它画成一个等边三角形，这是 a 点，这是 b 点，这是 c 点。 f 点是一个三等分点啊， f 点是一个三等分点，我们看一下，这样剪完坐标系以后，过程我就略写了啊。 首先第一个要找的 c 点坐标，这就好办了， c 点在 y 轴上，横坐标是零，边长是七，所以 c 点的纵坐标是七，数字标还是零，我先把好找的找出来。然后这个 f 点呢？ f 点也不难找，因为啥呢？你看我如果用 b 点这样做个垂线的话， 你这是 x 轴，我们先写一下，这是 y 轴，你 b 点做一个垂线的话，这个高线我们是好找的。这个高线就是边长的二分之根号三倍，二分之根三乘七，而这个 f 点到外轴的这段距离就应该是这个高的三分之一， 这样的话， f 点的这样的横坐标就出来了，所以 f 点的横坐标就是六分之七倍，根三， 就这个数六分之七被杠上，然后这个纵坐标呢？纵坐标就是这一段的长度，这一段长度是多少呢？是整个这个这一段的三分之一，是整个 a c 的 六分之一，所以这个纵坐标就是六分之七，竖坐标是零。 好， c 点、 f 点找到了，下面我们就得找这个 p 点和 d 点，这个 p 点又怎么分析？ 首先我们要明确一点，你看 p 点是怎么个事啊？ p 点到底面的距离是二分之根七， p 点到底面距离是二分之根七，是不是 p 点的竖坐标就确定了呀？ p 点在底面的摄影恰好在线段 c、 f 上，也就意味着 p 点的横坐标、纵坐标与它在地面的摄影的横坐标、纵坐标是一样的。所以我们就哎，我们再把这个整边三角形再画出来，我们还得找这个 c f 上的点 a 点 b 点 c 点这个 c f 上的点他的横坐标。你比如这就是屁撇，就是那摄影你把屁撇点的横坐标、纵坐标确定了，那屁点的横坐标、纵坐标也就确定了。但是屁撇点是一个动点呢？你怎么求？ 这个动点的话，我们就可以采用设未知数的方式来表达。这个屁点坐标怎么设呢？ 这个如果看成平面直角坐标系的话，当然可以求出直线 c f 的 方程来，但这样的话，这个题预算量稍大一点，我就不采用那个范了，我采用什么呢？我采用这个，你比方说我把 p 点一个坐标，横坐标、矮横坐标给它设出来，那纵坐标显然跟这个横坐标是相关的， 怎么表达呢？我可以求这个角 a、 c、 f 的 正切，哎，我们先算一下 a、 c、 f 的 正切， a、 c、 f 的 正切，我们可以用这个 f 点来表达。那不就是这段长比上这段长，这段长就是 f 点的横坐标， f 点的横坐标就是六分之七倍根三。然后这段长呢？这段长，这段长就是这个 a、 c 的 长减去这段长，这段长就是 f 的 纵坐标， a、 c 的 长是七，所以减去六分之七， 那就是他的中作表。我们算一下，七减六分之七，七十六，七四十二，四十二减七，下边分母上，所以是六分之三十五，六分之三十五，上面还有个六分之七倍根三，你除以他等于乘以他一倒数，你把六的消掉了，这个五消掉个七，是，所以这个等于五分之根三。 好，正切值有了以后干啥呢？我可以设这个屁撇点，我就直接设屁点吧。这个屁点，比方说横坐标设成 a， 这个屁撇点的横坐标就是 a， 也就是这段长就是这个横坐标，因为这是 x 轴，这个横坐标是 a 的 话，横坐标比上这段不就是 正切值吗？所以这个正切值我们先在这计算一下啊，这个 a 比上这一段是多少呢？这一段就是七减去啊，你看这段是 a， 这段是。呃，纵坐标这段，比如说设成 x 吧，哎，七减 x， 哎，不对不对，这个屁撇点的纵坐标，屁撇点的纵坐标应该设成 x， 所以 这段就是七减 x， 所以 这个 a 比上七减 x， 就 等于五分之三，五分之根三。所以我们把这个我看啊，屁撇点 啊，对，我们把这个 x 解出来，哎，不不不，就这个，咱就设成 y 啊，因为这个涉及到的是这个纵作表，这个 y 七减 y， 这段就是那个 y 屁点屁撇点的纵作表啊，这个是横作表，这是 x， 那 么这个七减 y 就是 这个这段长，这段长，所以 a 比上它就是正切值。下边我们写这个 y， 那 这个七减 y 给它除过，乘过来，也就乘以根三分之五吧，根三分之五， 然后这个 y 呢，就等于七减去根三分之五位的 a， 所以 这个纵坐标也就有了，所以 p 点的纵坐标就是七减去根三分之根，根三， 根三分之五 a， 我 这个就这么带着根号了啊，根三分之五 a， 这就是 p 点的横坐标和纵坐标，那么它的竖坐标是多少呢？就是二分之七，因为 p 点到底面的距离是固定的， 这就是二分之七。好了， p 点有了以后，这个 d 点实际上也就出来了，因为 d 是 p， a 的 中点，而 a 是 原点，所以 d 点应该是 p 点的纵，这个坐标除二， 所以这个地点坐标我们也就跟着出来了，也就是二分之 a， 二分之七减去二倍，根三分之五 a， 然后那个就是四分之七，这块我擦一下吧，这块我擦一下， 这个就是四分之七。好， d 点有了以后，那么下面我们看，四个点我们都找到了，我要找二面角，是不是开始找发向量了？好，我们先找这个 c、 f、 c、 d， c、 d 这个面的发向量， 那么先找这个 c、 d， f 面的发向量，我先找 c、 f、 c、 d 这两个向量，那就是 f 点减 c 点， f 点呢？这个是在这了， f 点减 c， 我 就直接写了，它就是六分之七倍根三，然后六分之七减七，六分之七减七是六分之四十二，所以这是负的六分之三十五， 然后呢，这个纵坐标就是零，然后再找这个 c、 d 这个向量， c、 d 这个向量呢，就是 d 点减 c 点，那这个就是二分之 a， 然后这个是二分之七减七就是负的 啊，负二分之七呗，减去二倍根三分之五 a， 然后四分之七再减零，这就是 c、 d、 c、 f 这两向量。下边我们就可以设平面，设平面 c、 d、 f 的 法向量 啊，我们就可以给它设成 m 坐标呢，记作 x、 y、 z， 这个取呢误差率有点大，我们看一下啊。那么根据 c、 f 乘以 m 应该得零， 那就是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五倍的 y 应该得零， 对吧？然后呢， c、 d 乘以 m 也应该得零，那就是二分之 a 倍的 x 减去二分之七，我加个小括号吧，加上二倍跟三分之五倍的 a 倍的 y， 加上四分之七倍的 z 等于零。 好，下面我们就开始取这个坐标，一个是六分之七倍根三， x 减去六分之三十五 y 下面分母上正好等于都有这个啥都有六，我比方说我就令这个 x 得一吧，我们看这个 x 要得一的话， 那这个就等他了，对不对？等于他的话六，消掉你这个三十五和这个七，可以消掉个七，这是个五，所以这个 y 就 等于五分之根散 好， x 得 y 得五分之根三，我们在下边带住下边，这是二分之 a 减去二分之七，加上二倍根三分之五倍的 a， 这个得乘以五分之根三， 对等，加上四分之七倍的 z 等于零，我们去解这个 z， 把这个算一下，这个二分之 a 减去这个乘一下，是十分之七倍根三， 这俩一乘的话，根三消掉五，消掉这个正好减二分之 a， 加四分之七倍的 z 等于零，这两个都消掉了，所以就是四分之七 z 就 等于这坨，然后七消掉四，消掉个二，这个应该是 z 等于五分之二的根三， 嗯，这是等于五分之二倍根号三好， x y z 我 们都求出来以后，法向量也就有了。下面呢，我们再找另一个平面，这里边啊，就得讲究一个技巧了，这个法向量 m 先写出来，就是 e， 五分之根三，五分之二倍根三， 那么另一个面的法向量，你如果再求这个 p c f 面的法向量的话，这个运算量就超大了，因为你这个 p 点也不是个好数，是吧？ 所以这个题考虑啥呢？因为这个 p 点在底面的摄影在 c f 上，也就是 p f c 和底面是垂直的，所以这个 p f c 这个面和 d f c 这个面的夹角与这个 d f c 与 a f c 夹角正好是互余，所以我找 d f c a 这个二面角里 这个大小就可以了。所以我下面呢，找平面 abc 的 法向量。平面 abc 法向量， 那平面 abc 的 法向量肯定，这，这就可就是零零 e 呗。我们设成 n， 它就是零零 e， 因为它就是树轴啊，在底面上，所以我求这个 m n 的 夹角的余弦。 好，这个 m n 加角的余弦。我们算一下，上面这两个 m 乘 n 的 话，乘零就没了，就等于五分之二倍根三。下面就是算它俩的模， n 的 模就是 e， 主要是算这个 m 的 模， m 的 模就是 e， 加上二十五分之三，这个 e 平方是二十五分之二，得四三四一十二。好，我们算一下，下面是二十五分之二十五加三，再加十二， 这是十五加二十五，四十二十五分之四十，就是五分之八。所以下边这个分母就是根号下五分之八，根号下五分之八。我们算一下，五分之二倍根三除以根号下五分之八，也就是乘以根号八分之五， 根号八分之根号五，这个根号八就是二倍根号二，所以我把这个二可以约掉，这个根号五和这个根号五能约掉，所以这个剩的根号五乘根号二分之三，也就是根号十分之根号三，我们就找到了这个余弦值。 而这个题大家再注意，他求的是正切值，所以下一步我们还得算一下正切，这个就好办了。 这个角，比方说这个角 c， 它的余弦值是根号三比根号十，我这个是根三，这个是根号十，那这个对边就是根号七，所以这个 tangent， 这个角 m、 n 加角的余弦值，呃，正切值就等于根号七比根号三。 好了，这个角的正切值有了，那就说明啥呢？说明，哎，根据这个角 p， 呃，也就是 p、 f、 c、 d 正切值，它是根号三分之，根号 c 啊，不，不，那个 d、 f、 c、 a 啊， 这会因为这个角二面角啊，这个 d、 f、 c、 a 与哪个呢？ 这个 p、 f、 c、 d 是 互余啊，所以就说明这个，这，这，这个，这是哪根的角啊？这个 p、 f、 c、 d， 它的 这个角的正切值啊，正切值就应该是啥呢？就应该是这个正切值的倒数啊，它的正切值就等于根号七分之根号三，也就是七分之根号角二十 e 吧。 好了，我这个就简单说到这，这个题啊，预存量有点大啊，这只是第二小问，第二小问的第一小问，我们下边看这个第二小问， 这个第二小问呢？他就模仿了今年的新高考一卷的高考题， p a c e 所有顶点在一个球面上，求该球表面积的最小值。 p a c e 这个外接球，我们要找球的表面积，肯定得找球心，因为有了球心才能找到半径，有了半径才能去计算这个表面积，才能要你的最小值。 这个外接球问题其实十几年前就一直在考，只不过从去年，从二零二五年新高考一卷，把它搬到了解答题上，又引起了一个新的重视，解答题的出现了，其实这个东西并不难， 你想一想， p a c e 三棱锥的外接球怎么找？这个 a e c 显然这是一个直角三角形，因为它是个等边三角形，所以这个 a e 是 垂直于 b c 的。 这个直角三角形的外心肯定是 a c 的 中点，那么球心与这个外心的连线一定垂直于 a e c， 所以球心肯定在这条线上，对不对？那么我们只需要把这个球心给它设出来就行了。这个 a c 的 中点，显然这个横坐标是零，纵坐标是二分之七，所以这个球心它的竖坐标给它设出来就可以了。 好了，这里边过程我就不严格的写了，简单说一下，那么这个球心呢，我们就可以给它设成什么呢？设成零二分之七， 然后就是 t 球心给它记作 o 吧，然后我们要表达这个半径，那怎么才能表达这是球心呢？因为这个球心 o 肯定到 a 点， c 点， e 点，一定距离相等了，所以只要保证球心到 p 点，距离也跟它们相等，所以只需要 o p 等于 o a 就 可以， 对不对？好，下步我们就分析，你要想这个是球心，那只需要满足 o a 等于 o p 就 可以，而这个 a 是 原点好表达， o a 等于 o p 的 话，我们下边啊计算这个这个平放就行了，因为这个代的根号不好算， o a 方等于 o p 放 o a 方，那就是 这就是二分之七的平方，四分之四十九加上梯放，而这个 o p 放呢？我们看这个 p 点是啥？ p 点在这是 a 七分之根三减五，我先把 p 点写上是 a 七减根三分之五 a， 我 看啊，然后是二分之七， 好了，这个那个是二分之七，那么 p o 的 平方，那就是 a 方，然后减去纵坐标，是七减二分之七还是，嗯，二分之，还是 这个七减二分之七，二分之四，也就是二分之七减去根三分之五倍的 a 的 平放，然后再加上二分之七减 t 的 平放。好了，我们就看到 我们继续往下算，这个题确实蕴算力有点大，好了，下面我们给它算一下右边这个平方展开 a 一 方，这个就是七七二二得四七七四十九， 然后减去二 a b， 这个就是根号下三分之五七三十五 a， 然后加上根三分之五 a 的 平方，就是三分之二十五 a 放后边这个二分之七的平方，还是四分之四十九，然后减二 a b 就是 减七 t 加上 t 放。 这样一展开以后，我们看左右两边就开始笑，这个四分之四十九跟他相于一起，这个 t 方跟他也笑掉，所以右边就出现了个七 t， 我 们把它写出来，写到左边来。七 t， 我 们看整理右边，这有个 a 方，这有个三分之二十五 a 方，这就是三分之二十八倍的 a 方， 然后减去一个根三分之，这是三十五 a， 再加上一个四分之四十九。 好，我们就可以把这个 t 变成一个关于 a 的 二次函数。这个 t 呢，大家可以想象一下， t 是 这个 o 点的数值表，你要想 o a 这个 半径最小，面积最小，半径最小，那个 t 就 有最小值，对不对？所以要这个 t 最小，我们就找这个二次函数的最小值就行了呗。二次函数最小值肯定先想到的就是这个对称轴，这里边啊，有一个需要说明一下，这个 a 的 值是有个方位的，因为这个 a 的 值 线点 p 在 底面的投影恰好在线段 c f 上，所以这个 a 的 取值范围它不能超过这个 f 点的竖坐标那个横坐标。所以这里面我们设的这个 a 呀，刚开始没有说这个 a 呢，它是小于等于，嗯，这个 f 点的 横坐标是六分之七倍，根散应该是大于等于零的，因为这个 a 这个 p 点的投影在这个 c 点的话，横坐标就是零了。 好，也就意味着个对称轴必须在这个范围内，我们看这个对称轴是 a 等于负的二， a 分 之 b， 负负为正，就是二乘三分之二十八，上面是根三分之三十五。我们算一下这个对称轴是不是在范围内 上下把三翻上去，那就是二乘二十八，上面是根三分之三十五乘以三，这个根三消掉，这个省个根三三十五和这个能约个七，省个四，这省个五，所以应该是八分之五倍根三， 这个对称轴是八分之五倍根三。我看一下啊，我算的结果是这个八分之五倍根三，他正好是小于六分之七倍根三的，小于六分之七倍根三，所以这时候他这个对称轴是能取到的， 也就是 a 得它的话，这个七 t 应该有最小值。我们下面就是一系列运算，三分之二十八乘以 a 放， a 放就是八分之五倍根三，这个直接平放吧， 八分之五倍根三，就是六十四分之二十五乘三，然后再减去根三分之三十五乘 a， a 是 八分之五倍根三，再加上个四分之九。 我们先算一下这个三和三消掉，这个根三和根三消掉，下边是六十四和，这个能学个四七，上面剩个七，所以下面是十六分之，上面是七乘二十五，减去 这个是八分之三十五乘五。咱先别着急算，它加上四分之四十九，下面我给他通分，这个就是十六分之七乘二十五，减去三十五乘五，再乘个二，也就是乘十吧， 再加上这个是剩个四，四十九乘四。那这个数咋算呢？这个数啊，我教给大家，可以先提供因数，你比方说这个七乘二十五，这个里边三十五乘十，我可以提出一个二十五去 这个生个七，后边提出个二十五，这个生个七，这个生个二，所以这个是负七。七减十四不是负七吗？所以前面这个就是二十五乘负七就是负的二十五乘七，再加上四十九乘四， 这个七和四十九又可以提出个七，提出七以后前面成个负二十五，后边呢？四乘七是二十八，二十八啊啊？四四乘七是二十八，是不是？四乘七？二十八减二十五就是三，所以三七二十一，所以这就是十六分之二十一， 那么这样的话，七 t 等于十六分之二十一，那这个 t 就 等于十六分之几， t 就 等于十六分之三，所以 t 的 七十六分之三时，这个外接球应该有个半径是最小的，面积最小， 懂了吧？所以七 t 等于七分十六分之三的话，我们再求这个半径就可以了。这个 r 放呢？刚才咱们算了，上面在哪呢？在这呢？这个就是 r 放，四分之四十九加 t 放， 所以这个就是四分之四十九，加上十六分之三的平方，这个数字太大了，我就不算了，我找一找啊，我算的结果，这个结果最后 最后的结果是二十二百五十六是三，二百五十六分之三一四五 啊，二百五十六分之三一四五，这个没错，所以这个球的表面就是四派二放在成个四派就中了啊，四派二放在成个四派就应该等于六十四分之三一四五派。好了，咱们今天这个题就讲到这里。

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

高二高三的同学们，咱们今天拿天津高考的题目我们来看一下，在例题几何这里如何三步全部都用间隙的方式来用，那么我们说如果说间隙，我们在考场当中如何判断我们这个题是用间隙好还是用推导好？首先我们来看一下这个题目，这题首先告诉我们一个正方体， 那么点了一个棱长，那么首先真题思维告诉我们什么正方体棱长，我们要找什么？是不是有垂直？是不是每条边全部相等？ ok， 后面继续有一个终点， 终点是贯穿于 e f， 那 么就相当于我这个 e f 是 不是平行于我的两条边，对不对？是不是这条边和这条边？ ok， 那 么来我们继续看， 那么我们就最后有什么给了一个倍数关系，但是来我们看我们没有平行，没有垂直，我们有的垂直是什么？有的垂直是我们正方体的平行，以及 e f 和正方体边长的平行以及垂直，这是我们已经知道的，但是同学你会发现这个题目的已知真的非常的少， 我们能用的已知就是长度、垂直、平行以及终点还有倍数关系，那么在已知量非常少的情况下，老师推荐干什么？就用间隙，为什么？间隙虽然麻烦，它的麻烦的点在于我们，第一就是我们要先间隙怎样去做直角坐标系，但是这个题它好在了，我们用的是正方体， 正方体间隙是比较容易的。第二就是我们要写一些坐标，我们说写一些坐标的时候，可能我们写在点的时候看错了，所以说我们用什么方法，用三步做题法，三步做题法，详细的可以看我主页的置顶。 ok， 来，我们回归到这个题目， 我们还有一个点是什么？就是计算，所以说在例题几何里面，计算一定是一个非常大的一个重点。来，我们看一下这个题， 这题很明显，我们以 d 点为圆点，分别以 d， a， d， c 和 d， d， e， 我 们分别为 x、 y， z 轴建立空间直角坐标系，那么我们记住这句话一定要写全，而且要写完整。 ok， 每条边都是四，那么我们来写下 b 点， b 点，就是四四零，然后 e 点 二零四， ok， f 点二四四来 g 点零四三。 ok， 来，我们写完这四个点之后，我们来表示一下 e， f 向量， e， f， 我 们知道用后减前，所以说我们后面减，前面就是零四零。我们来继续 e， f， 我 们已经表示完了。之后我们来表示一下 e b 向量， e b 等于多少，还是用后减前，所以说 e b 就是 二四负四。 ok， 来，我们继续 f g 向量， f， g 还是用后减前。来。同学，这里我说一个简单的东西，我们这里先把它写完，就是负二零负一。 ok， 来，我们如果说不知道，我们用 b f， e， g， 因为你想什么，我们 g， f， f， b， e， 所以 说你如果要列点，老师建议你就找它上面所有这些点全部都表示出来，你可以在第一问的时候，就把每一个点就是从 a， 从 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， f， 还有 e， f， 还有 g， 它们每一个点全部都表示出来，那么你后面就可以不用写了，你就写由第一问得，或者是由已知得，那么我们就可以直接用我们的这些坐标，当然同学如果说你嫌他麻烦，你就用什么写什么就可以，但是千万不要忘记写 ok。 来，我们继续表示完这个之后我们找的是什么？ 老师之前说过，如果说在推导方式里面找线面垂直要优先找什么？要优先找线垂直， ok， 线线垂直我们要找什么？是不是要找两条线相交，而且要有交点，并且我这条线，我平面外的这条线垂直于这两条相交的线，分别垂直， ok， 那 么我们才能推导出来，由线线垂直推导出我们的线面垂直。但是现在我们要找什么？我们用的是坐标方式，坐标方式要去证明线面垂直，我们要怎么找？ 是不是我有这条线，我下面有一条面，我这个面和这个线垂直的，我的法向量要和我的这条线要干什么？是不是平行关系啊？所以说我现在应该是去假设我的法向量表示完我的法向量之后，我们 应该干什么？去找平行关系。所以说我们假设一下这个假设，我们的平面 f b e ok， f b e， 我 们的法向量 n 或者向量 m， ok， 我 们写 x y z， 当然你写 abc 也可以， x y z， 那 我们表示 x y z， 我 们把这个向量 m 代入到哪里？分别和 e f 和 e b 来代，因为我们这两个是垂直关系，所以说我们向量 m 是 发行量，发行量和 e f 是 垂直关系，所以说我们就等于四 b 等于零， ok， 我 们直接代入就行。下面也是向量 m 和什么呢？和 e b 进行一个相乘，等于二 a 加上四 b 减四 c 等于零， ok， 这是这两个，那么我们现在要干什么？我们是不是要求解我们的法向量？法向量如何求？让我们的某一个已知量，我们假设它为什么数？然后去求另外两个未知量，对不对？所以说我们假设我们令 a， 比如说 a， 我 们这里微到好算，我们比如取二，但是你也可以取一，可以取二分之一都可以。那么记住法向量取什么都可以，为什么可以取？因为法向量找的是倍数关系，比如说我这里写的是四一三，对吧？四一三加上它是它的法向量，那么你如果写出来是八二六，它 是不是也是法向量？它们之间成了一个二倍，但是它们还是法向量，它们是找了一个倍数关系来，我们继续。我现在 a 等于二， c 等于多少？我们把二代入，那么 b， b 等于多少？ b 就是 零，所以说 c 就 等于一，那么 b 等于零。 ok， 我 们就写完了，我们把我们的法向量表示出来，向量 m 就 等于二零一， ok， 二零一。来，我们继续。那么我们现在要表示什么？是不是应该表示我们的 g f， 但是我们会发现 g， f 等于什么？或者是 f， g 等于什么？ f， g 是 不是等于负的？我们的这什么 向量 m， 那 么我们向量 m 是 反向量，所以说他们之间是一个倍数关系，乘一个负一倍，所以说他们是一个什么？是一个平行关系，那么我们就可以得到一个平行关系，所以说我们就可以得到这条线，垂直于这个平面。 ok， 这就是第一个，来，我们继续说一下第二个，这里我们把另外一个题往后放一放， 来，我们来说一下第二问，第二问了个什么？问了一个这个平面和这个平面的加角的余弦值，所以说第二问问的是什么？是不是二面角？二面角我们要找什么？老师在上节课直播的时候也说了，二面角我们要找的是 cosine theta， cosine theta， 当然了， 如果说是一个线面角，我们的 cosine theta 是 可以直接找到 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是余弦值，他问的直接是角度，那么你应该怎么找？ 记住所有角度，在如果说你没有任何思路情况下，就考虑余限值就是 cosine 值，那么 cosine 值你只要考虑出来了，这个题大概率就不会错了。来，我们继续看一下第二问，第二问如何求？这里 e f b 或者 f b e 是 不是我们第一问的发向量？是不是我们刚才求的这里是不是它？所以说我们现在只需要求出来 e b g， e b g 在 哪里？让我们看一下 e b g 是 不是在这里啊？ ok， 我 们会发现这个项链这个平面我们的法项不知道情况下，我们就要求一下，刚才我们已经表示了两个项链了，三个项链，那这几个项链我们也是可以再去疑问用到的，当然我们还需要取一些其他的来，我们看下这个图 是不是需要 e g 和 b g 对 不对？所以说我们来表示一下 e g 来一点 e g 后减前，所以说就等于负二四负一。来，我们来写下 b g 向量 b g 等于多少？也是后减前，从这里减去这里后减前，记住是 g 减 b， 来我们这里是多少？是负四，负四， 负四零三， ok， 我 们 b， g 和 e g 全部都表示出来了，我们现在应该表示什么？是不是表示我们的平面 b， e， g 的， 或者是 e b g 的 发向量，那我们来表示一下平面 e， g 的 发向量等于多少呢？比如说我们让它等于 n， 向量 n 等于 x， 一 y 一 z 一， ok， 这里我们一定要和上面这里 x， y， z 进行一个区分，然后避免它们符号重复。来，我们来表示一下，向量 n 就 等于向量 n 乘以 e g， 或者向量 n 乘以 g， e 都可以，这里我前面写的是 e， g， 我 们这里就写 g e， 但是同学如果说你表示的是 g， e， 但是前面这里是 e， g， 你 就乘以个负一就行，它们是一个相反关系。来，我们继续，这里就是负二， x 加上四 y 减 z 减 z 就 等于零，然后向量 n 乘以 b g， 向量 b 对， 等于负四， x 加三 g 等于零， ok， 这两个式子我们进行，还是原来的方法， x 就是 让 x 等于多少呢？所以我们看一下， 可以找到一个六，我们找六，那么我们把 x 代入，那么 z 和 y 不 就行了吗？ z 等于八， y 等于五， ok， 来，我们的法向量向量 n 就 等于六五八， ok， 有 了这个反应量之后，我们应该找什么？来，我们看一下这个提问，找余弦值，所以说余弦值公式，记住这里我们不知道它的夹角，所以说我们要先在前面先写一下平面 f， b， e 和我们的平面 f b e， 这里我们已经重复了，这里我们重新写一下，这里应该是平面 b e、 g 它们的夹角，比如说夹角为 c 它， ok， 夹角为 c 它了，那么我们找的是什么？是不是 cosine c， 对 不对？那么我们应该找的是 cosine f g 和什么？和我们的法向量 f g 是 什么呀？ f g 不 就是刚才我们找的倍数的关系啊，对吗？你想我乘一个倍数，那么其其实这个 f g 不 就是它的法向量，对不对？来，我们继续，那么我们直接代入公式就行，就是 f g， 然后乘向量 n， 然后比上 f g 的 模长， 乘 n 的 模长，乘 n 的 模长，然后就等于二十比上根号五，乘根号一二五， ok， 等于多少？等于五分之四， ok， 那 么这个题我们就出来了，但是同学老师建议你在这里我们再写一句答话，就是谁的平面和谁的平面的加着余弦值为多少，这就我们在这里写一句答话，以防万一，万一老师到时候就是看判卷，这里我们出现了一个错误，把这里扣掉了一分，比较冤。来，我们再看一下第三问， 第三问这里说的是什么？第三问，这里问的是一个体积，来，所有体积，别管是什么图形，它是不是都是底面积乘以高呀？当然不同的图形它底面积乘以高之后，它还会有一些变化，这个没有关系，但是它整体上是不是都是底面积乘以高？ ok， 知道了这个之后我们怎么求？我们是不是应该要先求出来它的底面积，再求出来它的什么它的高？来，我们看一下这些说的是什么？ d， d 在 这里， d 在 这里， f b e f b e 在 这里，所以说它找的是什么？来，我们换一个颜色，觉得好看， 来 d， 点到一点，我们这里到这里， ok， 我 们找的是什么？一个三棱锥，三棱锥底面是什么？底面是三角形，所以说高 高应该是什么？是不是点到面的距离公式，或者是点到直线的距离公式？我们知道你看这里因为是个斜边，所以说你可以用推导，你也可以用垂直，你也可以用垂直关系进行一个推导，你还可以用什么 点到平面的距离公式进行一个求解。所以说我们现在应该先求平面 b e f 的 什么面积来，我们刚才已经求开了，我们的 e f 垂直于平面。什么？ e f 是 不是垂直于我们这里这个平面？所以说我这个直线垂直于它，我的 f b 又是在我的 b c c 一 b 一 这个平面内，所以我可以得到什么？我可以得到我的 e f 和我的 f b 是 相互垂直的， 那我这里相互垂直，所以说我这里找面积不就很好找了吗？来，我们进行一个求解。我们先来写一下，刚才我记得是 e f， 我 们知道 e f 是 垂直于平面， b c 一， 应该是 b c c 一。 ok， 这里我们重新写一下，应该是 b c c 一 b 一， ok， 我 们知道了这个之后，我们知道 f b 是 在哪个平面内的？是不是在我的 b c c e b 以内的？ ok， 我 们知道了这两个之后，我们来看一下我们是不是可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b 吧，所以说我可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b， ok， 之后我有垂直，我为了是找什么？我不就是为了找我的面积公式吗？所以说我找的面积是什么？ 来看一下是不是 b e f， ok， b e f 等于多少？等于二分之一，因为我垂直关系，所以说我就找的是 e f 乘 b f 来，二分之一乘多少，这里是四，后面这里应该用勾不定理 来看一下，应该是四，二根号来，应该是四的平方，乘二的平方应该是加了二的平方，就等于这里应该是十六，十六加四 再乘以，前面应该是，嗯，二倍的根号五，再乘二，应该就是四倍的根号五，四倍的根号五。来，这个是我们的面积公式。来，我们还需要什么？我是不是还需要我有一个高到我这个平面的一个距离公式？ 所以我找的是什么？我可以找 d e， 我 也可以找 d b， 都可以，你觉得哪个方便，你就求哪个就可以。来我们这里先表示一下 d e 向量 d e 等于多少？来，我们看一下这里后减前，所以我们应该是二零四， ok， 那 么我们找的是什么？我们不就找的是地点到我这个平面的距离公式，对不对？来，距离公式小 d 等于多少？是不是我随便找的？第一的这条向量和什么和 f g 来比较？ f g 的 模长， ok， 等于多少？ 根号五分之八就是八倍的根号五比八，对，应该是比五，这里我们写的有点乱，我重新写一下，就是八倍的根号五比五， ok， 这个是我们这个式子，但是这个写完了吗？这个没有写完，这里是什么？这里是高， 我们还需要什么？体积应该是三分之一底面积乘以这个距离，也就是这个高应该是多少？三分之一乘以多少，乘以八倍的根号五比五乘以四倍，根号五等于多少？这应该是五个五四四八，三十二，应该是 三十二，下面应该是三。 ok， 这个题就已经写完整了，当然我们最后还可以写一句答话，把这个题再丰富一下，那么这个题同学你就可以拿到满分了。 我们会在一月初有一个为期一个月的期末冲刺时间，那么如果同学你感兴趣，欢迎来咨询，欢迎来加粉丝群。我们有寒假课，我们也有期末冲刺班， 当然期末冲刺班如果不够的同学，比如说同学，如果同学你报了一个月，但是我们期末我们就上了二十天，没有关系，剩下的时间会自动顺藤，在我们的寒假班里 会免费提供给，比如说我们三十天的课程，我们有二十天还没有上，那么寒假班我们会免费给大家提供十天的课程，培养真题思维，优城启航之路，我们猜一下。

hello， 大家好。呃，前几天就是单招系列里面有一个立体几何大题讲解的那个视频，里面有两个东西，大家就是可能不太理解，就是为什么我正线与面的余弦值我要去找， 就是这个题，线与面的于弦直，正弦直啊，正弦直。我为什么要去找这条线与它垂直以及这条线与它垂直，为什么要去证？证明这一步以及面与面垂直 已知二面角啊，面与面所成的二面角，为什么要找这个面与这个面的交线，然后并且找到一个点做两条垂线垂直于它，然后这个所形成的叫二面角，然后左边的话，这边这边，我这个二面角写错了吧， 应该是角 c d p。 对， 这念的时候一直念 c d b， 但其实际上是 c d p。 啊，对，为什么这个是二面角？ 还有这个，那今天就做个解释，那首先我们来看到二面角吧，我们首先从二面角看哈，大家翻一下书啊，就是翻书，把书翻开来，它是不是有两个面啊？ 嗯，这样子，这个面与这个面的夹角我们怎么求啊？哎，是不是你从这边看到的这条与这条所形成的角呀？这个就是面与面的夹角， ok 吧？好，那这个夹角我们去怎么求呢？ 好，那首先哈，我要画出来，我必须要画出来，在书上的话好画呀，哎，书上翻开来就是对不对？好，这个角怎怎么来的？我们要随便取一点哈，我把它画大一点啊，画大一点，画这么大。 好，我们来看啊，我取一点，找一个点啊，垂直于这条交线，在这个面里面垂直这条交线，好，再找这个点啊，在这个面垂直这条交线，你看这个角与这个角会干嘛？会不会相等啊？因为它与它平行啊， 它我垂直了，也与它平行平行啊，对不对？所以这个角就是这个角，对不对？有没有发现？所以面与面的角角，我就在这个 两个面的交线上面，干嘛？找一个点分别做他俩的垂线啊？做完了之后我把这个角求出来就 ok 了。好，我们来看到 去年的春季高考的第二小问，现在要证明的是谁？要证明的是 p、 a、 b， 这个面与谁？ abc， 这个面的二面角，首先求正弦值，首先我们要找到那个角是哪个吧？ 你找不到角，你求什么？这钱值呢？对不对？好，那怎么找呢？还是一样的，找一个人干嘛？与他垂直？与他垂直，对不对？好，那这个点怎么找呢？这边首先他做垂线下来，这边找到一个， 随便取一点 a、 b、 c、 d， 假设这是点 d， 那 这个垂直了，那我就给他连起来，为什么要给他连起来？ 你们能不能成连这个连这个，连这个，连这个连这个那那那那啥子都知道？肯定是这个点嘛，为什么只有这个点？ 你不可能连个 a， 连个 b， 找他终点，找他终点嘛，对不对？这很明显了，就是他垂直他，他与他求这个角就行。好，昨天怎么讲的？首先 这边三，这边四，然后这边五用了两个勾股底里吧，不会的话记得去看一下单招的那个系列视频的第一个小问号，所以才证明到的。他垂直他，他也垂直他的他，他俩都垂直 a、 b， ok 不？ 所以我直接求 p d、 c， 求这个角就是这个二面角，然后只要求他正弦直，然后可以把那个这个直角三角形给画出来， ok？ 不？ 这是面与面，接着线与面啊。线与面。我们来看啊，那线与面，哎，这条线我只需要做一条线垂直于这个面，哎，然后我给这两个连起来，那这个角就是线与面的夹角，但是这条线好做吗？ 它不太好做。我们来看啊，它不太好做。为什么呢？我们来看，注意看啊，我要这个题。第二个题啊， a c 与这个面的 所成的角，我要找到这个角，我，那我就要在这个线里面干嘛？做一条垂线垂直于这个面吧，对不对？ 那垂到哪里去呢？垂到，这不是，这不是垂线，这不是垂线，这是直角啊，对不对？这不是垂线啊。好，那这怎么办呢？应该找他垂直，哎， 垂直就一定垂在这啊？我这边不一定，也可能是垂直吧，对不对？好，所以就有哪遇会遇到哪种情况，我往下做垂线。可以啊， 那你知道是这条是垂线还是这条是垂线还是这条是垂线吗？我随便做三条线你都分不出来哪条是垂线，你知道吧？所以在这里面 找得到吗？我直接找一条，我就说他垂直，他能行吗？垂直于这条线就是一定垂直于这条面吗？不一定吧，所以干脆不找了。那应该怎么办呢？我直接找个面， 跟刚才那个翻书一样，我怎么呢？我把这条线放在这个面上， ok？ 不？ 来，注意看啊，注意看，这一步很关键啊，这个 q 啊 q r 啊 q p， 我 给它放到这个面里面， ok？ 不？好，现在我要找的不就是这条线与这个面的夹角吗？也就是这个角，也是这个西塔，能不能理解？所以 我干嘛？我只需要这条，干嘛？ p q 垂直这个以及 q 这个 q a， 哎， 垂直这个交线，那这个角是不是就这个角？所以我们只需要证明的是谁线垂直于交线以及什么交线上，这一点，垂也垂直这个好，那我们来看到这道题 一定要仔细听，仔细去理解哈。那你看啊，这个线我要证明它垂直它以及这个垂直它，那我这个角就是线与面的角，能理解吧？ 线与面所成的角，可以吧？再来一遍，我要直接做垂线，我办不到， 做不到啊，臣妾做不到，好难找，找不到，知道吧？你不可能就是做一下，哎，就出来了，我说做垂线就做垂线，线到面的垂线很难做的，很难办的呀， 你求法项链就好好办了，射就行，但是你现在就是用初中方法，没办法去求，知道吧？所以这很难办到呀，所以我们就退而求其次，我找面面，哎，我找这条线与与这个交交于他这个交这个交线以及这个焦点，然后沿这边也做一个垂线， 继续你看这条交线，哎，是吧？那我这条线垂直它，这条线也垂直它，哎，这个角就是我们所求的角的， 能理解吧？好了，那通过这个视频，然后大家可以结合看一下上次那个为什么要证明它， ok 吧？好了，那感谢大家收听，拜拜。

意面直线所成的角，首先意面直线就是在其中的一条线上啊，取一个 o， 然后或这个 o 做另一条的平行线，然后如图所示啊，就是原来是这一条哈，原来是这一条跟这一条是不是意面？ 然后我现在要怎么找呢？现在要平移，把这条线这样平移过来，然后让它俩相交，相交在 o 点，然后这个角是不是咱现在就能求出来了？因为它俩是相交的，现在是在一个面上，对吧？所以这个角 c， 它就等于 e 面 a 和 b 的 夹角。重点是什么？找平行线， 如果这个图是这样画的，比如说后面那个 b 的 话，是跟这个面是垂直的哈，然后这边有一个，有一个 m 吧，这个时候我们把这个 m 这条线移过来，是不是就这样了？ 这是次 m 哈，交于 o 点，大家可以看一下啊，这个时候它俩是不是就垂直了？所以垂直这个时候我们称为是二分之派，它既作两条异面直线相互垂直。

哈喽，大家好，这期视频的话更新一下单招考试或者说广东春招考试里面的例题几何大题的讲解，那这期的视频的话会把去年的模拟题以及广东去年高考的说错了， 春考的立体几何真题给大家讲解一下，那我们来开始吧，那前面的话，我们把常见的那些已经复习完了，那这期视频的话主要是直接就开始讲了哟，知识点的话，大家可以往前面视频翻看一下。嗯，好的，我们来看这题。 圆锥，这是去年的春考真题啊，圆锥 p a b c 中 p b c 等于 p c， b 等于 a c b 等于九十度 p c a 九十度 p c b 九十度 a c b。 哎，都九十度，对不对？然后 a c 等于三， b c 等于四 三四五，我们可以给它标上去。现在要证明的是什么？证明的是 p c 垂直 a b。 来拿黄色的 p c 垂直，哎，黄色的好像看不见，红色的垂直，蓝色，蓝色的， 那我们要正这个垂直这个，那我们只需要正这个垂直于底面就行了。线垂直下面这个面，那这个线在这个面里面，那这个线就垂直这个面 的上面的这条线了。 ok， 那 么首要目的，我要正 p c 垂直面 abc。 好， 那我们已经找到我们要正的东西了，那我们想一下，线要垂直面，是不是线要垂直面里面的两条线，对不对？好，因为题目给了，因为 pca 角， pca 等于角， pcb 等于九十度 a， 因为这个条件是不是就证明到了什么？往下写一点。 好，这第一问，所以 p c 垂直 a c p c 垂直 b c。 来，我再指给你们看一下啊，这条换一个，这条垂直，这条，这条又垂直，这条对不对？好，然后他们有交点，继续给这个垂直往下挪一点， a c 交 b， c 等于 c 有 交点，对不对？好，那么所以就证明到了 p c 垂直下面这个面，因为 a b 在 这个面里面， 所以 p c 垂直 ab。 好 了，那么第一问就证明完了。那么上期视频其实有讲过，但是这期视频给大家完善一下步骤啊。 好，接下来看第二本啊。放心哈，就是你自己写的时候，步骤少一丢丢是不无关紧要的，知道吧？你如果要多写点也可以多写点，但是少一丢点点是无所谓的，知道吧？嗯， 就你把，别把重要步骤漏了哈。首先线要垂，这个线要垂直下面两个线，这个你漏掉了肯定是没分的哈。其他的可以少，稍微少一步，两步都无所谓，但是关键的一定要到位。好吧，这是第二步。 求证 p a、 b 与 a、 b c 错成二面角的正弦值。好，初中的时候就教过正弦是什么， 哎，这边我们可以不用空间向量哈。之前我以为所有的正正弦与弦正切都要用空间向量，但是后面我发现好像所有的都可以用初中知识解答啊。好，回顾下初中知识， sign a 等于 abc 对 边比斜边括号 sign a 等于零边比上斜边。 tanger a 等于对边比上零边好，那 这个叫正弦，这个叫余弦，这个叫正切， ok 不？ 现在要求 tanger a 好 二面角的正切怎么去求呢？举个例子哈，我先画一个面哈，下面这个面与这个面， 我要求他们的二面角的正切。首先我们要知道二面角是什么？好吧，二面角是什么呢？这两个面垂直，有一条交线，交线这边随便取一个点，然后做一个垂线垂垂直于这边，然后这边也垂直下来。好，那么这两条线垂直， 这两条线所形成的夹角叫做二面角，等会还有一个线垂直面， 大家可以把书翻开来，把书那个你翻开来的时候有一有一个角度，这就是书的左边和右边所形成的二面角， ok 吧，这个应该能理解哈。好，所以我们来看一下 p a、 b 把刚才的极地孤独全擦掉， 下面要正的是 p， a、 b 这个面与哪个面？哎，与底下这个面。好，那我们首要目的是要干嘛？找一个点与它垂直，这边随便找一个点垂直，然后这边也搞一个垂线，对不对？好，怎么找呢？来看一下啊。 首先 a、 b、 c， 我 能不能做一条垂线过来啊？做它垂线， a、 b、 c 做条垂线下来，假设交于地点，可以吧？这边有个地点好， d 垂直 c 嘛，然后等会再找 d 垂垂直这个面嘛， ok 吧？好，我们先找这个，先把 c、 d 的 长度求出来， 因为刚这边 a、 c 是 三。呃， b， c 是 四， a， c 是 五。好，我们用等面积法，这个三角形可以，这个不是直角三角形吗？可以用三乘四乘二分之一 面积嘛，也可以用这边换一个底。 ab 乘 cd 乘二分之一，可以吧？二分之一五乘我要求的 cd 好， 写一下，过 c 作 cd 垂直， ab 于 d， 点由面由面积 得 s。 三角形 a， b， c 等于二分之一， a、 c 乘 b， d 也可以等于二分之一， a、 b 乘 cd。 好， 左边，刚才我们二分之一乘三，刚才就是二分之一乘三乘四，等于二分之一乘五乘 cd。 好， 二分之一二分之一约掉三四十二五除过来，所以 cd 等于五分之十二。好，过程不用管了， 中间过程你不用管了，你直接解得就行。嗯，解得好， cd 等于五分之十二。 好，那我们目前还差给啥？因为我刚说了这个点垂直它，那我这个点还要垂直。这是什么？垂直另一个面吧。来，刚才画的这个，注意看啊，注意看啊，一定要证明两个垂直。 好，这个点出发垂直这个和这个点出发垂直这个，这样所形成的角叫做二面角，可以不？那现在，现在这个点引出了一条垂线，这个是垂直的。好，那我现在还要还要找这个线做垂线。 你直接连接 p d 就 好了，肯定是这个。嗯，连接 p d， 然后我们证明 p d， 我们只需要证明什么， p d 也垂直 ab 就 ok 了。那么由此我们在 d 点上引出了两条线， p， 哎，说错了， d c 垂直的是 ab， 然后 d p 也垂直 ab， 所以 角 c d p 就是 这个二面角， ok 吧。 好，那么首要任务还要正哦，继续哦。再正的是这个往下，因为这是最后一道题，可能会稍微难一丢丢。好，怎么正呢？因为刚才已经证明到了什么？ 这个 ab 是 垂直 cd 的， 因为 ab 垂直 cd。 又呢？又因为什么？ pc 是 不是？哎呀， a b 垂直 p c 啊，为什么？第一问证明到了吧？第一问证明到的不就是 p c 垂直 a b 吗？我写成 a b 垂直 p c。 啊，为什么？我想做什么呢？我想让 a p 垂 a b 垂直 p c d。 这个面 注意看一下。首先 a b 垂直这个线， a b 又垂直这个线，所以 a、 b 就 垂直这个面， ok 吧，垂直这个面就垂直面里面的所有线，所以 a、 b 垂直 p d。 好， 那我们是不是证明到了？ 好，所以 p a、 b 与 a、 b、 c 二面角 即为角 c d b。 好， 我们目的就是求这个角， 怎么求呢？刚才长度我们偷偷已经算出来了五分之十二，现在要求的是 tangent 角 c d b 是 不是等于等于什么？把它偷偷拿出来， 这边是 p， 这边是 c， 这边是 d， p c 是 告诉你的是五， 我刚是不是哪里错了？我刚说 ab 是 五，对不对？第一题的时候我说 ab 是 五，为什么 ab 是 五？因为三四五嘛。 ab 是 五， ok 吧，现在是 p c， 这边是五，可以吧？嗯，一下快了一点， 这个 ab 通过勾股定律等于根号下三平方加四的平方等于五，这个要写一下哈，我刚看错了。嗯， 好了，这边是五，然后这边 c、 d 刚才证明到的是五分之十二，所以 t 这等于 p c 除以。就这个角嘛， p c 除以 cd 等于五，除以五分之十二等于 除以一个数，所以五乘以十二分之五，等于十二分之二十五。好了，那么这道题就是这么做的。回顾一下， 首先第一问的话比较简单了，就证明垂直嘛。好，第二问的话，你要这二面角，我就要在 它们的交线上找一个点，分别垂直这个面与垂直那个面所形成的夹角，才叫做二面角。 由此我们先找一个垂直，随便先找一个垂直，所以我们做 c 垂直 d cd 垂直 ab 交于 d 点， 然后通过等面积法啊，因为这个面积可以通过呃， a c 乘 bc 来求，也可以通过 ab 乘 cd 来求，然后 ab 通过勾股定，你是求到的是五。听我思路啊，所以 cd 就 求出来了， cd 求出来了，然后 把它挪上一点点， 然后继续往下。 现在这这个证垂直证明到了，那我还要找他垂直他，怎么找垂直他呢？我现在 ab 垂直了这个线，又垂直这个线，所以他就垂直这个面，所以 ab 就 垂直到了 pd， 所以 我才知道 c d p 是 这个二面角，所以你要写下他与他的二面角是这个，所以你要求的是这个，然后 所有东西都给你了，这是一个直角三角形，对不对？所以 tanger 它直接等于 p c 比上 c d， 然后把你刚求的边全带进去，那么这个题就结束了。好，那么这就是第一个题。接下来第二个题，注意看啊，这边也求的是正弦值啊。 来看第一个， a b 是 圆的直径。好，圆的直径有一个，有一个什么 直径？所对的圆心角都是九十度，那你看这个 abc 是 不是九十度？好，那继续面， p a c p a c 垂直 a c b 垂直 a c b 好， 左边这个面垂直下面这个面，然后他说 a p a p 垂直 a c 好。 现在问的是 b c 垂直 p a c 这个面。我们来看啊， 因为 ab 是 直径， 首先我们就证明到了 b c 垂直这个线吧。哎，两个平面相交，它垂直交线，说明什么？它就垂直这个面，就证明到了， ok 吧。 两个平面垂直，垂直于交线的线，垂直于另外一个面，两平面垂直， 垂直于交线 的线垂直 另一个面。 好，举个例子啊，这个好像我没讲，但是这个是定力哈，直接用的 好，你看现在它们有交点交线了，然后假设哈，这条线。假设是 o a 吧。 o a 如果垂直 b c。 好， 假设这个 alpha， 这个是 b， 它现在这条交线 o a 如果垂直这条交线，那 o a 就 垂直下面这个面，垂直这个 b， 它。 ok 吧。 o a 就 垂直这个 b 它。我先来举例子啊，哼，不要说怎么。哎，题目没有 我举的例子啊。好，就是这个两平面垂直，垂直于交线的线，垂直另一个面。好，记住这个哈，这个在正平线面垂直中用的比较多。好， 首先 a b 是 直径，那我现在刚才已经说了， a b 是 直径，所以 b c 垂直 a c 对 不对？好，因为平面我懒得写字啊。 p a c 垂直 a b c 面 abc。 好， 它俩的交线 p a c 交 a b c 等于 a c， 它俩有一个交线，刚才又它就垂直于交线，所以 b c 垂直另一个面面。 p a c。 好， 这是最快的。好，题目的话，它会这样做哈，题目它是先 a p 垂直这个，这是第一个，接下来它垂直它，这是第二个，所以 b c 垂直这个面，这是题目里面的题目。要正两下，但是这边是不是只需要正一下就行了？这个方法简单一点啊。 好，这是第一问大家，呃，好像有点写不下了，给它缩小，放左边，放下面。那我们来看第二问啊， a b 等于二， a b 等于二， a c 等于一， ap 等于 ap 也等于一。现在要问 a c 与面所成的角的正弦值， a c 与面哪个面？ p b c 这个面好，线与面，我们来看哈 这个面哈与这条线，它们之间的夹角也是这个线哈与这个面的交点。 你看这个焦点干嘛呢？垂直于这个，垂直于这个交线，知道吧？是，他们不是有交 有一个交线吗？然后这个就是线与面的夹角，这是用初中方法这样做，如果是学了空间向量的空间向量，那就求法向量，但是那个我们可以不学，为什么？因为用初中方法就能做，那就能做的话，那我们就更简单嘛。 好，那首先 a、 c 要垂直这个面，那我们去看一下 a、 c， 你 看与它的交点，在这个 c 点，我看一下 p c 是 不是垂直这个 b、 c。 一 般都是，你看刚才这个，你做这个垂直这个，那这个连起来肯定这个也会垂直下面， ok 吧？一般都是，你放心，你就连着，然后正它垂直下面，正它垂直下面就 ok 了。这边也是一样的， 它与这个面有一个交点 c， 然后 c 又连着这个面的另外一条线，那它肯定是那 a c p c a c p 这个角肯定是线与面所成的角。好，那我们只需要证的是什么？ 只需要正什么？只需要正 p c 垂直 bc， 正到这个就 ok 了。刚才说了，正到这个就 ok 了，那我们就求可以求这个角了，求这个角了， ok 吧？那我们开始正， 刚才已经把所有线都给你了，线都给你了。意思就是想让你用勾股定律去求它的边长，求完边长之后等会儿就能求到了。那我们来看 这个等于一，这个等于二，所以这个是不是根号下一方加二方等于五？好，写一下第二问， p b 等于根号下 a， p 方加 a， b 方等于根号二方加一方等于根号五。 好， b c， b c 呢？ b c， 我 把 a b、 c 标出来哈。哎呀， 这样看可能会觉得乱乱的，但是你不要怕，不要怕，一定不要怕。 a c b。 标出来，这边是一，这边是二，这边是 这个，对不对？所以 b c 等于根号下， a b 方减 a c 方， ok 吧？二二得四，四减一的话是等于根号三，所以 b c 等于根号三，这边根号五。好，然后 a c p a c p， 这边是直角，这边是直角嘛，因为这个面垂直这个面啊，这边要偷偷证明一下，因为平面 p a c 垂直面 a c b， 所以， 哎，不用这，哎，不用这，哎，这边不是给你了吗？我看错了， a p 已经垂直它了，所以它就是直角，不用正了。好， 这个是一，这个是一，那这个是不是根号二啊？所以 p c 等于根号下 a p 方加 a c 方等于根号二。好，通过这些角度，呃，这些长度啊，我们就可以把 p c b p c b 把它拿出来哈。 根号三，这边根号二，这边根号五，你看一下 p b 平方是不是等于 p c 平方加上 b c 平方，所以这是什么勾股定律？说明这边是九十度， p c 垂直 b c 可以 吧，所以你就可以写了。所以 a c 与面 p c p b c 所乘角 就是什么 a c p 角 a c p 好， 那角 a c p 添着角 a c p， 是 不是求求出来了呀？添着角 a c p， 因为所有的边我都知道呀，这边一，这边一，这边根号二呀，刚求出来的嘛，求出来的记得给它标上去啊。正弦值正弦哦，正弦是 sine， 不要弄错了啊， sine 对边比斜边，对边是一，斜边是根号二，所以就是二分之根号二就证明的，呃，就写出来了这第二个， 所以这就是，呃，就是如果是大体出了这个求正弦、余弦的，那就这么做好，然后其他考的比较多的就是求体积的，那我再讲一个求体积的，然后剩下的大家可以去自己看一下，一般都是求体积或是正，什么 正垂直，然后另外一个就是这个，这什么正，正弦啊，算了，好吧，都讲一遍吧，没关系，来看下十五题啊，都讲一下，都讲一下，大家不会 好，接下来就比较简单了，因为正弦余弦的话，还要证明这个这么多东西，那其他的都稍微简单一丢丢，好。 十五题第一问，三轮锥 s， a， b， c， d 底面 a， b， c， d 是 平行四边形， d， a， b 是 一百三十五度， b， c 等于二根号二，然后给了这么堆东西，现在让你这什么， 一般我们先看完题目再去看这个，不然的话你念一圈回来，你发现好像没记住什么东西， 带着问题去找答案。 s、 d 要平行， c， f， a， 好， 这种题有没有写过呀？这边一猜，它就是中点，然后我要什么？这这个肯定是平行四边形或者什么东西，然后你可以连起来，连起来，这边是中点，然后这叫中位线结束，这边是这个三角形，中位线 好， 没了，没了，正平行，就这么简单啊，给它连起来，好，因为它是平行四边形。连接 b、 d， 交 a， c 于 a， b， c， d， e， f， g 于 g 吧， 交于 g， 好， 这只要是这个是 g 点，再连接 g、 f， 这个点你随便取啊。连接 g， f， 好， 这第一步好，看一下给了没？给啊？给了，中点肯定给了，因为 a、 b， c、 d 是 平行四边形， 四边形，所以什么呢？平行四边形的话， g 就是 什么， g 就 为 b d 中点，这个直接用哈，这是平行四边形的性质，这个对角线会平分，相互平分。又因为 f 为 s b 中点， 所以 g f 平行且等于二分之一的 s d， 这是中位线的性质，中位线会平行且等于这边的一半，那我们可以直接平行就行了，因为这个等于好像用不上，用不上你就不用等，所以它直接等就行。 f p 直接平行就行啊， 这个直接平行，这个这是中位线的性质。嗯， 但写的时候哈，注意哈，谁平行谁，你最好把谁写到前面。好吧， s d 平行 g f， 但写的时候哈，注意哈，写的时候还有呢，你这边 s d， 你 就这边写 f g， ok 吧， f g 这样写好看一点。嗯， 因为 f g 在 面 c f a 上面，这个在这个 c f a 上面，所以 s d 就 平行面 c f a。 这是第一道题，还是挺简单的哈。好，那我们来看到第二问， 让你挣的是 s a 垂直 bc。 好， 一般直接挣不到哈，一般要你挣什么？一般要不就他们不在一个面上吗？你怎么去挣呢？是不是不太好挣啊？ 那怎么办呢？一般就是挣 s a 垂直下面这个面，那他就垂直于面里面的所有线，所以 s a 又会垂直于 s a 的 那个面。好，那这里的话我们先把条件都分析一下。 呃，首先哈， d a b 等于一百三十五，你要把它画出来，这个平行四边形，这边是一百三十五，画大一点。 好，一百三十五， b a d c。 做这种题哈，一定要把底面画出来啊，因为它是变形的，你直接到那边看，可能有点怪怪的。 那一百三十五，那这边是不是四十五呀？显而易见嘛，对不对？然后 b c 等于二，根号二。为什么显而易见啊？初中学过，就是什么，这边是三十五，它俩互补吧？互补是加起来一百八，知道吧？嗯， 然后 s a 等于 s， c 等于 ab， s a， s b 等于 ab， 都是二。好， 那你看一下啊，我我我，你看啊，你看啊，注意看啊，注意看啊。我想要不就正它垂直，下面这个面，要不正 b c 垂直，关于 s a 的 这个面，对不对？好，那我刚刚敏感的发现到啊， 怎么敏睿的，你别管，哈哈哈。这边你做垂斜垂直，你有没有发现就是 a 这个什么东西？这个 a， b， c， d， e， f， 哎，没有 e。 对， 我设一个 e 吧，对不对？垂直 e 可以 吧？ 哎，因为这是四十五度呀，然后做垂直，这边又是四十五度呀，对不对？那这个是多少？也能求吧，对不对？这边能求，只不过画的不不美观嘛。因为这边四十五度，这边也四十五度喽，那这两个的平方就是等于它喽， 它的平方了。那所以它来假，假设这是 x， 这也是 x， 因为四十五度，四十五度，它，它应该长成这样子啊。但是我画的有点丑啊， 这边四十五度嘛， a e 的 平方加上 b e 的 平方，会等于 a b 的 平方嘛，对不对？ 那 a e 等于 b e， 然后 a b 的 话二二得四，那这边的话就是什么两倍的 a e 的 平方， a， e 的 平方等于二， a e 等于根号二，所以这两都是根号二，可以吧？根号二，根号二，根号二。 好，还求出来了，它是根号二，根号二。然后呢？你看，观察观察，那我们能不能把它也连起来？为什么要把它连起来？因为 b c 刚已经垂直了，它刚才与它搭边的一条边，那我给它连起来， 好，把 c e， 哎呸， s e 再连起来，我这个 e 画好一点， 假设 e 在 这吧， s e 连起来，那我就想到了，我主要是想证 b c 垂直 a， e 与 bc 垂直 s e， 那 这个是很容，就是刚才做的就是垂直嘛，对不对？所以我主要目的还是要证啊。要求这个 s e， s e 怎么求呢？会不会垂直下面怎么求呢？把它画出来 s b c， 然后这个 e 刚才算到这边是根号二，总共是二根号二，对不对？只不过我画的丑嘛，对不对？总共是二根号二，这边根号二，这边根号二，那这不就终点嘛，对不对？ 好，又什么 s b 等于 s c 等幺三角形吧，中点就是什么三线合一吧，中点就会垂直下面吧，对不对？好，那我们理清楚了，那我们就可以左手下笔做了。刚才都是在打草稿，现在可以左手做了， 找思路哈，带大家找思路啊。第二问，首先过 a 做 a， 你 直接说， 呃呃，对，过 a， 一 过 a 做哎呀，这字，哎呀，先下来一点。二，过 a 做 a， e 垂直 b， c 于 e 点 好，因为角 d a b 等于一百三十五，所以角 b 就 等于四十五度好， 四十五度，那所以，所以角 b a e 也是四十五度，对不对？所以 b e 等于 a， e 好，它俩相等，然后 b e 的 平方加上 a， e 的 平方会等于 a b 的 平方。好，所以 b e 解出来等于根号二。这边到槽格纸上解就行哈， 它等于四嘛？然后 b， e， a， e 是 相等的嘛，你换成就是两倍的 b e 的 平方等于 a， a b 平方是四，二除以四等于二等于二，所以 b e 的 平方等于二，所以 b e 等于根号二嘛，这个很好解吧。好， b e 求出来了啊， 它是根号二，因为什么 bc 等于什么二？根号二吧，所以 e 为 bc 中点 好。又因为什么 s b 等于 s c， 所以 s b c 为等幺三角形 要写的比较多哈，因为都是最后一题等幺三角形，所以 s e 垂直 bc， 或者你写成 b bc 垂直 s e 吧。哎呦， bc 垂直 s e， 为什么要写成 bc 垂直 s e 啊？因为我想 bc 垂直这个面嘛， 谁垂直谁都无所谓，因为都是一样，一个意思嘛。好，现在 bc 垂直 s e， bc 又垂直 a e， 对 不对？ bc 垂直 a e 啊， 你把前面的条件重新用一下。又因为 bc 垂直 a e 就是 我们刚设的这个嘛，所以 bc 垂直面 a s a e， 所以 bc 垂直 s a。 你多写一步。你说 s a 在 这里面，因为 s a 属于 s a b a e 面 a c e 在 这里里面，所以 b c 垂直 s a。 但是不要这样写，因为要正的是 s a 垂直 bc， 所以 你写的时候你就写 b c s a 垂直 bc， 可以 吧，你掉一个头是一样的。好了，这就是完整的步骤，大家可以学一下 就能简变。大家可以自己简变一下哈，你不影响关键步骤就行。好吧 好，这是正垂直的题，然后我再带大家写一个求体积的题啊，刚才那个三问，我不想写那么多，我只想写两问的。我们找这个十八题来看啊。我们来看到这道题哈，第十八题， 这可只有两问好，首先我们先看题目，再去看那个，好吧，我要证明的是什么？ a、 c、 e 平行面， c， d， b、 e。 好 的，如果哈，大家一下看不出来平行应该做什么辅助线，建议大家去看，就是我教的就是做 平平行的辅辅助线的那一期哈，就是你这个线要垂哦，要平行，谁平行哪个面你，你就先把它拿一个直角板比一下，然后呢，要平行这三个点 怎么办呢？注意看，注意看，注意看啊，沿着它上下左右移，你不要旋转哈，不要旋转，你移，移到那三个点的位置，移到 c 点， d 点和 b 一 的位置， 如果这个点就是这个线，这个平行线啊，这个平行线就是刚刚与 a、 c 一 重合的那条线，如果与这个点， 与这个 c、 d、 b 一 如果还有交点，那大概率就是那个交点做一个平行线，那我们往下你看， c 就 没有交点啊， d 这边就有了，对不对？ d 这边有一个交点，给它画一下， 这个点是不是继续往右踩过两个点嘛，哎，第三个点，发现第三个点也与这个 与哪个三角形，与自己这个三角形 c、 d， b、 e 这个三角形没有没有交点，就说明不是在这坐着。辅助线再来一遍，再来一遍，一共就三个点嘛，你与它平行，沿着这个 c、 d、 b、 e 走一遍，发现哪一个有焦点，是不是只有 d 的 这个有一个焦点？ c、 b、 e 上面有一个焦点，就是蓝色的这边圈的。好吧，所以辅助线大概坐到这儿好，结束之后我们来看题， 等会儿应该是在坐在这儿，那你看啊，三楞柱，三楞柱这边是什么 矩形？矩形对角线相连，平行且等于它的一半吧，对不对？焦点对角线相连，连起来，假设这里是 a、 b、 c， d 一 点。好吧，那它就是，是不是终点啊？一，是不是终点啊？ 矩形，正方形，平行四边形，这些都是交点，会平分对角线，知道吧？好，继续往下读题啊。哎，你看一下啊，这个要平行，这个，哎，我连起来连起来， 看出来了，没有？做中位线，那肯定他还会告诉你 d 是 a， b 中点，看一下给了没有。喏， d 是 a， b 中点，是不是跟刚才那个题差不多呀？好， d 题就结束了。我们要这几个条件就能这的 连接。 b、 c 交 b、 e、 c 于一点，因为它是三能柱， 所以 e 为。因为它是三等柱，所以 b、 b、 e、 c、 e、 c 为矩形，你多写几个字都无所谓的。它是矩形，所以 e 为。呃， 我要找它是它的终点，那就是 b、 c、 e 的 终点。 b、 c、 e 终点，当然也可以是呃 b、 c、 e 的 终点咯。两个终点都是嘛，对不对？ 终点看我们要什么，我要知道它是它中位线，所以我要它知道吧。嗯， 又 d 为 a， b 中点，所以什么？所以 d、 e 平行啊。你不要写 d， e 平行，因为我要正的是什么？正 a， c、 e， 所以 a， c、 e 平行。 d， e 好， 又因为 d， e 是 什么为 c d， b 上 e 上的线，所以 a、 c、 e 垂直面 c， d、 b 结束来这么写啊。第二问 求三能追 d， 把 d 问的擦掉啊。 d， b， b、 e、 c 的 体积好，三轮锥的体积，你以谁为中，以谁为那个顶点都行吧。我改一下，以 b、 e 为顶点，这样子就比较好做一点吧，对不对？那我只需要知道底面的什么 底面的面积喽，然后这个高应该是给你了喽。那我们来看题吧，很应该很多都给你了。 a， c， a， c 是 三， b， c 是 四，这个又是五，然后呢？ d 是 它终点，没问题， 没了。那我们把它画出来吧，三四五，这个画出来四四。哎呀，画的稍微标准一点，尽量让自己不看迷糊嘛。我平时也是随便画的，反正尽量标准嘛。 c， a， b， 然后 d 是 它终点五，然后这边长度是五。好， 终点。那我要知道什么？我要知道这底面的八，啊呸，底面的面积，底面的面积，那现在它是终点，哎，对不对？第一是终点，哎， 什么意思？这个三角形与这个三角形干嘛？如果这个三角形与这个三角形，你看 a、 d 这个三角形， a、 d， c 这个三角形和 b、 d， c 这个三角形干嘛？ 把它调，把它稍微调正当一点啊， 底一样高一样，底一样高一样，说明什么？这两个三角形是不是面积是一样的？那面积是一样的？我先求整体不就行了？好，所以第二问，因为第一为 a、 b 中点， 所以呢？ a， s， a， d， c 等于 s， b， d， c 这两个面积相等等于什么？二分之一的 a， b， c， 哎呀， 哎，哎呀， s， a， b， c 等于大的一半嘛，对不对？那这个就可以求了喽，等于多少呢？ 呃，我现现在要求谁？现在要求 s、 b， d， c 了？那你就单独写，等于二分之一的 s， a， b， c 等于二分之一。好，二分之一乘。呃， 哎呀，不要这样写，不要这样写，慢一点，慢一点。先把 s， a， b， c 求出来了。等于二分之一 b， c 乘 a， c 二分之一，底程高吗？这边，这边是不是直角吗？对不对？三四三四五不是直角吗？哦，还要正一下，三四五慢一点，慢一点，往下往下往给他挪一下啊。还要正一下，三四五要正一下。因为 a、 c 方加上 b、 c 方等于 a、 b 方，所以 a、 c、 b 为直角。嗯 啊，所以这个就可以用 c， 用这两个直角边来求它的面积了。好，所以它的面积就是二分之一的 a、 c 乘 b， c， ok 吧？那二分之一乘二分之一乘三，四十二，那就是六 好，然后 s、 b， d， c 等于二分之一的 a， s， a， b， c 等于三好。底面半径知道了， 底面就是说错了，不是底面面积，底面底的面积知道了，这个面积知道了，那我们就差一条，高 b b 一 b b 一 有告诉你吗？一般都告诉你了，那 a a 告诉你了，那 b、 b 一 不是告诉你了吗？又 a a 等于 b， b 一 等于几啊？等于四四，所以 三棱锥，我不想写字啊。体积为三分之一， s b， d c 乘，呃呃，乘这个 b e， b， b、 e 等于三分之一乘三，乘以四等于四。 ok， 那 我们就这个题就解完了啊，不知道大家听懂了没有，一共三个类型啊。第一个是求正弦，求正弦，余弦正切好，这个我们要正垂直，首要任务是正垂直，先找到再去正好。第二个是正 光正垂直了，线线垂直了，怎么去正线垂直面？你不管谁垂直谁，你要仔细看， 这是第二个。接着第三个是求体积，求体积，一般不要木纳的，以它为顶点，以它为底，这样不好求，所以我们稍微的改变一下，求底面，然后以它为顶点求，这样求比较好求， ok 吧， 那这就是立体几何的三个大题，我觉得难度应该是不不大的，然后他作为压轴的话，我觉得大家应该 都有机会能把这个拿满分。好吧，说实话他不是特别难啊。 后前面的话还有一节，我记得还有一节什么东西，我应该还会出一个，就大体解析视频讲什么来着，我忘了。然后到时候再更新吧，感谢大家收听，拜拜。

好了，大家好，我们来看一个立体几何外接球的问题哈，说在四棱锥 p a、 b、 c、 d 中， 然后底面呢，是边长为二的正方形，正方形，然后侧面 p a、 b 是 以 a、 b 为斜边的等腰直角三角形，而 p c 等于 p e 等于二倍根号二，若该四棱锥的所有顶点都在球 o 的 表面上，则球 o 的 表面积为多少？ 那我们看一下，像这种的话，我们先看一下锥体的一个外接球，呃，都分有哪些情况先，我们把这个先捋一下啊，如果一个锥体的话，他说外接球是，呃， 怎么去处理这个问题哈，我们看一下，就是很依赖一个关键的点，就是屁点在地面投影的位置，对吧？屁点，屁点在地面 投影的位置是吧？好。第一种情况，我们说投到了 a 点是吧？ 投到了 a 点，投到了 a 点的话，那这是一个什么啊？就是线面垂直啊，标准的一个线垂直于面啊， 这个其实可以通过补弦补成支棱柱啊，支棱柱模型我们看一下他的半就是大二等于多少？根号下二分之 h 平方加小二方。 好，到时候如果说你再特殊点，地面的 abcd 是 一个正方形或者矩形的话，那 a 点就是一个墙角，墙角的话我们就更加特殊了。大二等于多少呢？是根号下 a 方加 b 方加 c 方，对吧？ 好。第二种情况呢，是投影到棱上，就说 p 点投影到，比如说投影点在 a、 d 这条线段上，对吧？ a、 d 上，那这是一种什么情况呢？这其实是一个这个需要对应的，它是一个面面垂直，对吧？ 面面垂直，这样的话，哎呀，他其实也有对应的公式啊，这些公式我们都可以去，呃，可以推导啊，但是大家说对这些公式不知道怎么来的，可以私信我，也可以去评论区留言啊，我们看一下。这个公式是这的啊， r 一 方加 r 二方减去一个四分之二的方， 这两个代表的是两个垂直面的小圆半径，然后这个 l 代表的是交线的长度，交线长度对吧？但这里面还可以再一般化一点，就是说如果高二面角的大小也有具体的攻守，就这，这就不写了哈。 好。第三种情况，头一点在什么？在底面中心啊，底面的中心或者说外心啊。 好，那么这种情况呢，它可以补成一个锥体啊，就是标准的锥体的外界球模型，那么它的半径等于多少呢？是等于二 h 分 之 h 方加小二方，或者呢就是二 h 分 之 l 方， 这是这个一般情况下，根据他投影点的不同，我们能分为这么几类啊，到时候这几种都是特殊的啊，具体情况呢，我们也得具体去看，比如说这个题，这个 p a、 b 是 等幺三角形，对吧？底面又是一个正方形，所以说这个你投影点肯定在什么？在这个这条线上，我们看一下， 就在中线上，对吧？好，我们看一下。这个 pa 等于 pb 等于这个，这两个是根号二，对吧？ 好， pc 等于 pc 等于二倍根号二，然后呢，底面是编号为二，那这样的话，是不是我们能够把 pbc 解一下？ pbc 哈， pbc 的 话看一下 根号二，二倍根号二，然后就是二，我们可以给他做一个高，做高下来的话，这块我们可以把这个设为 x， 对 吧？然后那这个就是二减 x， 对 不对？ 好，我们用两次勾股定律，可以把 p， 比如是 d 啊， p d 给它求出来， p d 方，它就又等于这个二减 x 方，还能等于八减去二减 x 的 平方，然后这个我们解出来的话， x 等于 负的二分之一，大家可以直接下去算啊。对，负的二分之一，那负的二分之一说明什么呢？说明这个三角形其实是一个动九三角形啊，他是这样一个情况哎，就是 p 点在底面的投一个投到了他的延长线上，是这种情况啊，所以说这个图我们画起来不太好，我们再重新画一个啊，那就是说 这种情况啊，他投影到了这个外面哈，好，我们看一下。那这样的话，呃，跟刚才的 x 等于负的二分之一，对吧？也就说你投过来的话，这段是等于负的二分之一啊，就是 负的二分之一啊。好，我们看一下这个外接球的这种，他其实不属于我们刚才说的任何一种啊，不属于这四种三种里面的啊，比较一般一点啊， 比较一般化。那我们怎么办呢？我们可以去通过这个小圆的一个小圆定力道来给他确定一下球线的位置。比如说，哎，你要到底面 a、 b、 c、 d 四个点的这个距离相等，那肯定是要在对角线的焦点凹一处做什么呀？做底面垂线， 那这个点比如设成点 o， 他 就是一个球心，对吧？得满足什么条件呢？这个球心得满足到 p 点的距离与他到底面的四个点距离都相等。好吧，我们通过这个来练一个方程，就可以把大而求出来 来看一下，那这样的话，我们说 o c 不 就是大而吗？好， o c 方等于多少呢？我们把这段设成 h， 好 吧，就是 是 o o 一 等于 h， 那 这样的话是不等于 h 方，加上一个底面是二的话，它是根号二的平方，对吧？ 它能等于什么？多少呢？它等于 o p 方，对不对？ o p 方的话等于多少呢？是不等于？我们看一下这个数值的高度是多少？ 呃，这个需要我们大多算一下，因为这块是二分之一，对吧？二分之一的情况下，这是一个一一，二分之一，嗯，二分之一， 然后这个是根号二，对吧？二分之一，那这个斜边怎么能算啊？ 这是二分之根号五，对吧？二分之根号五，然后这是根号二，我们算一下根号二，根号二。平方减去二分之根号五的平方等于多少呢？ 二减去一个四分之五等于一个四分之三。 k 个号也就是二分之根号三，好吧？啊，所以说这个 整个高度是二分之根号三，那就是二分之根号三，然后是减去 h 的 平方，再加上二分之一，加就是二分之三，括号平方啊。 好，我们把这个减完以后呢，得到方加二等于个四分之三加 h， 方减根号三， h 加四分之九， 这个是个三， h 方约掉就是 h 等于三分之根号三啊。 h 等于三分之根号三，所以大 r 等于三分之一，加二等于一个三分之七啊，所以 s 等于四。 四拍二方单方 等于一个四拍，乘以三分之七等于三分之二十八拍， 选四 d。

什么？都快二零二六年了，你还在为立体几何而苦恼吗？今天带你秒杀四面体外接球问题来喽来喽！四面体外接球问题来喽！首先我们先来看 o 一、 o 二分别是 abc、 acp 两个面的外心， e 为 ac 的 终点。 我们只需要知道 o， e， o 二、 e 和 a、 c 的 长度，再加上一个角代入公式，直接就能求出四面体外接球的半径来。一道例题，我们看 a、 b a c b c a 的 c 的 长度都等于二二面角 b， a、 c 的 为一百二十度， 则外接球的表面积为多少？咱们先把 a、 b、 c 这个面儿 单独写出来，外心的距离到公共边 a、 c 中点的距离为三分之根号三，所以 m 等于 n 等于三分之根号三， c 等于一百二十度， a， c 也就是那个 l 等于二。代入公式 r 方就等于三分之七，所以外界球的表面积就等于四 pi r 方答案是三分之二十八 pi。

大家好，这是一个立体几何的题目，现在我们看一下，然后他说有一个正方体啊， a b， c， d， 然后他的棱长是四，然后 e、 f 呢？分别是这个 a、 e， d， e， c， e b 的 中点， 然后其中呢这个 c g 啊等于三 c， e g， 然后这里有三问了，第一问是证明这个 g f 垂直于这个平面 e b f， 第二问呢是求这个平面 e、 b， f 跟这个平面 e b g 的 这个余弦值。第三个呢是求这个三等锥 d， b， e、 f 的 这个体积。 现在我们把这个已知条件跟这个题目要求啊一条条列出来，这样便于我们来那个把控这个题目的这个整体大局。 然后首先这个已知条件，第一啊给这个正方体，正方体楞长是四，然后第二个是 e 是 终点，然后 f 是 终点，这个 g 呢在这个 c 上切满足这个 c g， 呃，等于三 c e j， 然后第五个就是这个要求了，要求就是证明，刚才我们都说过了，证明这个 g f 垂锥平面 e b f， 然后再就是求这个二面角的这个预旋，第三个是求这个三棱锥的这个体积。 现在我们看这个题目这个要求啊，然后我们就可以有一个大体的思路了，这个是典型的这一个空间向量跟坐标题，坐标法题啊，因为这个题，这个特别是这个正方题，这个很规则，这个一线一一看，我们就可以把这个立体几何问题转化成为这个解析几何的问题， 然后题目他说这个垂直，证明这个垂直的话，然后那个我们就涉及到这个点击为零的这个问题，然后这个平面夹角呢？然后我们就可以用这个法向量夹角，然后这个体积呢，就可以用这个混合机跟这个行列式的这个方法来记。 首先我们建立坐标系，这个因为这个坐标系很简单，然后这里就不注意数了，建立起坐标系之后，这所有的点都有它自己的坐标了。 现在我们看这个具体题目啊，证明这个 g、 f 垂直于平面 e、 b、 f， 实际上，实际上就是要证明这个 g、 f 垂直于这个平面 e、 b、 f 里面的两条直线， 而且要证明这两条这这两条相交的直线，然后我们选这个 f e 跟这个 f b， 然后具体证明，我们这里就不注出了，因为我这里写的很详细，然后同学们可以点暂停，一步一步，然后看一下。 第二个是求这个平面 e、 b、 f 跟这个求求平面 e b g 这个夹角的这个余弦。然后我们首先刚才我们也说过了，这个两平面夹角等于两平面法向量夹角，所以说我们就是先求取出这两个法向量来，然后 这样的话，两个法向量 n 一 n 二这两个法向量具体求一下，然后具体怎么求，我们这里就不追书了，这里写的很详细了，然后算这加角余弦，因为法向量求出来之后，直接套公式就可以了，套这个公式就可以了，然后最后求出来这个余弦值是五分之四， 这里求这个三楞锥的体积啊，我们是用的混合机公式，这混合机公式是什么呢？这就是这个混合机公式， 然后这个三棱锥的这个体积等于六分之一，然后这是这三棱锥的这三条，三条那个边了三条向量是这么个关系， 因为这个公式啊，这是那个一个现有的公式，同学们可以直接背过。关于这个公式推导啊，我在某个题目里面讲过，这里就不赘述了， 然后套用这个公式的话，反正这个公式你看有，有什么我们求什么就可以了，因为这个是解析几何题，这个所有的点的坐标我们都知道的，所以说最后就是带进去算就可以了，算出来之后这个体积是三分之三十二。 现在我们看这个题目，从这个题目我们能学到哪些？这个就是有用的知识点，或者是核心知识点。首先 这种立体几何，像这种解析几何的这种转变，这这这种思维啊，你得有，特别是这个题目，这个题目你看他问的这么多，然后又求这么直线垂直某个平面，特别是还出现求这个两个平面的这个夹角，又求这个体积， 这样的话我们把它转化成为解析几何就比较简单了。这就是这个题目里面涉及了这个向量法的这个三大翻译规则。首先规则 a， 然后比如说垂直，垂直表示什么呢？就是点击为零， 这两个向量垂直，然后可以跟这个点击为零，这个是充分必要条件。这个规则 b， 规则 b 是 什么呢？这个平面夹角就跟其实就等于它这个法向量夹角，这样的话就转化成为求它的法向量了。 然后再就是带入这个余弦公式，这个规则 c， 这个体积就是等于这个混合机这个行列式的形式。这三楞锥的体积啊，我们就可以用这个公式直接套这个公式就可以了。 其中啊这个 abc 是 什么呢？就是从同一个顶点出发的这个三条棱的这个向量， 这里这个直观理解实际上就是怎么来推出这个题集公式的，同学们可以看一下这个直观理解。

每天进步一点点，迈向成功路不远。我们再看一个立体几何中等价转换思想的应用，有这样一个题目，这个三楞锥满足这三种对边分别相等， 求这个三棱锥的体积。我们注意到他给的这些边呐，划出三棱锥之后，对边相等是这样一个情形，那这是我们很熟悉的，可以利用补形法补成如图所示的这样一个长方体， 三条对边分别相等，刚好构成了这三个面对角线。于是在这个长方体中，我们分别令三度 pe 是 x、 e， b 是 y， e， a 是 z。 在这个长方体的三个角上，利用勾股定律得到三个方程组成的方程组，分别求出这个长方体的三度 x、 y、 z 的 值。 那我们要求的这三棱锥的体积刚好是这个长方体的体积。减掉四个角，分别是以 p 为顶点，以 c 为顶点，以 b 为顶点和以 a 为顶点的 四个全等的三棱锥的体积。这四个全等的三棱锥的体积非常好求， 因为他们都是啊，有底面的两个边是已知的啊。所以呢，我们就在长方形的三度的积减去四个三分之一倍的二分之一，乘以六，乘以八，再乘十。啊， 锥体的体积底面积刊告，这样很容易求出了这个三棱锥的体积，这就是立体几何中转化的思想的应用。关注张老师，让数学没有解不开的难题。