吕方程公式含义

智能方程 e 等于 m c 的 平方可能是整个物理学中最著名的方程，但真正知道它是什么意思或从何而来的人却很少。 在本视频中，我将展示一种推导这个方程的方法，并提供一些关于它真正含义的理解。在此过程中，我们也会接触到爱因斯坦狭义相对论中一些最迷人的特性。让我们开始吧。 立学的目的是描述物体相对于时间在空间中如何改变位置。考虑以下情况，我站在一辆匀速行驶的火车窗边，把一块石头直接松手下落，而不是向外抛出， 我会看到什么？如果忽略空气阻力，我会看到石头沿着一条直线下降。而站在站台旁观察的人则会看到石头沿着一条抛物线落向地面。 于是，自然会出现一个问题，石头真正沿着的路径到底是一条直线还是一条抛物线？首先，我们不再使用空间这样含糊的词，而是使用数学中的坐标系描述更有用。 然后，我们就能说，相对于固定在火车上的坐标系，石头沿直线运动。但相对于固定在地面的坐标系，它则沿抛物线运动。 由此，我们清楚地看到，不存在绝对的路径，只有相对于特定参考系的路径。加利略与牛顿的历学基本定律可以表述为，一个物体在远离其他物体的情况下，如果不受外力作用，就会保持静止或做匀速直线运动，这被称为惯性原理。一个使惯性原理成立的参考系被称为惯性参考系， 你可以将其理解为不加速的参考系。这也是为什么爱因斯坦的狭义相对论被称为狭义，因为他只处理惯性参考系。在本视频的余下部分，我们将专注于这些特殊的惯性参考系。相对性原理实际上是由意大利科学家加利略率先提出的，他在一六三二年出版的两大世界体系的对话中表述了这一原理。 书中三个人物进行了一场假想对话，其中一位塞尔维亚帝试图说服另外两人接受哥白尼观点，即地球绕太阳运行，而不是相反。另一位新普利奇奥提出各种反对哥白尼体系的论点，但都被塞尔维亚帝巧妙驳倒。 新普利奇奥的一个论点是，地球不可能绕太阳运动，因为我们并没有感觉到自己在运动。如果地球在动，我们应该能感觉到。萨尔维阿蒂用一个朴素的思想实验消除了这个观点。它让读者想象自己进入一艘大船的甲板下主舱，在船匀速直线前进的情况下做一系列简单实验。 他指出，你不会在那些实验中发现任何变化，你也无法通过任何实验判断船是在运动还是静止。他得出结论，既然没有实验能够区分一个静止的参考系与一个匀速直线运动的参考系，那么在这些参考系中，描述物体运动的物理定律应当是相同的。 因此，我们假设相对性原理成立，并假设所有惯性参考，而惯性参考系只是彼此以和物理定律都是相同的。现在，假设一辆火车以某个速度相对于轨道运动， 火车上的一个人以某个速度沿着火车前进方向行走，这个人相对于地面的速度是多少？如果此人站着不动，则一秒内他被火车带着走了火车那一秒走的距离，而走路又会额外走出自己相对于火车的一秒的距离。 因此，相对于地面，它的速度就是两者的和，这就是伽利略速度叠加。现在把这个思想应用到光，我们在学校里学到真空中光的传播延直线，并且速度恒定为三亿米每秒。这是从麦克思维方程告诉我们光速是多少，但没告诉我们是相对于什么测量的。为了强调这一点，我们再次把火车当做参考系。 假设火车相对于地面以光速传播，那么相对于地面光速是多少？ 按照加利略速度叠加，我们会得到光速，加上火车速度也就是比三亿米每秒更大。但这与光速恒定的事实明显矛盾。换一种方式理解，如果你在一辆相对于道路以二十米每秒前进的车里，另一辆车以三十米每秒超你，那么你看到它的速度就是十米每秒。 那么如果飞船以二十万公里每秒前进，而光以三十万公里每秒相对道路传播，那么光相对飞船的速度应该是十万公里每秒。但实验上发现并不是这样，实验看起来是光相对于飞船是三十万公里每秒， 光相对于道路也是三十万公里每秒。怎么可能？爱因斯坦意识到，唯一可能使静止者与运动者都测出相同光速的方法，就是它们的空间与时间的度量方式不同。 也就是说，在飞船参考系里光速三十万，在道路参考系里也是三十万，这意味着不同参考系的时间测量方式不同。要回答这个问题，我们必须考虑时间测量的含义。 考虑一个非常简单的钟，两个完全平行，相距一米的镜子，光在它们之间上下反射，每向上一次是一次低，向下一次是一次达。就像时钟一样，我们造两个完全一样的钟同时启动，它们会一直同步，因为长度相同而光速横定。把 把其中一个放到火车上，并保持镜子方向与火车运动方向垂直。现在比较移动中与静止中的滴答时间。静止中的滴答时间很好算，光速是三亿米每秒， 光要走来回两米，因此时间就是两米除以光速。而移动中，当站台上的人观察时，会看到光走一条之字形路径，因此路径更长。 假设火车相对于站台的速度是某个值，光从下镜子到上镜子需要某段时间，而在这段时间内，火车前进了一段距离，光走了一段更长的路径，这构成一个直角三角形，光走的距离是斜边，镜子间距是一条直角边，火车移动的距离是另一条直角边。根据勾股定律， 光路乘平方等于镜子间距的平方，加上火车未移的平方，从中可以解除光到达上镜子的时间，再乘以二，就是滴答时间。整理后可以得到移动中的滴答时间等于静止中滴答时间除以一个因子，而这个因子等于平方跟踪的 e 减去速度， 平方除以光速平方，这个因子的倒数就是著名的时间膨胀因子，它说明运动的钟走得比静止的慢。并且如果相对性原理成立，那么所有钟都必须以同样程度变慢，否则就能用钟的不同步测出速度。这违反相对性原理。也就是说，不只是钟变慢， 火车里所有过程心跳、思维、衰老都必须按同一个比例变慢，这被称为时间膨胀。当速度接近光速时，时间膨胀因子会趋向无穷大， 意味着运动中的滴答时间趋向无限长，也就是时间近乎停止。我们之所以日常感受不到时间膨胀，是因为我们速度太慢。例如博尔特跑百米时的速度相比光速微不足道，速度平方除以光速平方的数值极其接近零，因此时间膨胀几乎察觉不到。 时间膨胀的真实证据来自米子。他们在高空被宇宙射线产生，本身寿命仅两微秒，按常理只够飞几百米，但他们竟能从十公里高空到达地面，这因为他们已接近光速运动，使得寿命被拉长几十倍。 现在既然接受了时间膨胀，我们来推导著名的能量等于质量乘光速平方策略是先从经典能量定义出发。经典力学告诉我们，如果一个力作用在物体上，使其从某位置移动到另一位置，动能增加，量等于沿路径的力乘以微小微移的积分。 接着把力写成动量随时间的变化率，而动量等于质量乘速度。如果站在物体自身的参考系，则速度等于谓语除以物体自己的时间。利用列式法则，可以把这个时间比值换成普通时间，乘以时间膨胀因子， 从而得到相对论动量。然后对动量求时间导数需要用乘法求导法则并处理相应的速度相，最后得到动量导数的简化形式，将其带回能量积分。把积分变量换成速度 积分后，得到相对论动能表达式。最终结果显示，相对论动能等于质量乘光速平方，再乘以时间膨胀因子减一， 将其整理后可以写成总能量等于质量乘光速平方，再乘以时间膨胀因子。在低速极限下，我们可以展开这个表达式，得到总能量等于质量乘光速平方，再乘以时间膨胀因子。在低速极限下我们可以展开这个表达式，得到总能量等于质量乘光速平方。给出 即使少量质量也能释放巨大能量。例如电子与正电子烟灭，虽然仅释放约时的负十三次方交尔，但已是氢原子电离能的数万倍。如果烟灭几公斤物质与反物质将释放相当于纽约一年能耗的能量。只是反物质极难大量生产， 因此能量等于质量乘以光速平方，它告诉我们，质量本质上就是一种能量形态。而光速平方这个巨大数值表示，只要能把哪怕极少量的质量转化为能量，也会释放出极其惊人的能量。 在这个意义上，能量与质量是同一事物的两种表现形式。我们再来看看更深的一层含义，为什么质量会对应如此巨大的能量？为什么不是质量乘以某个更小的常数？ 答案来自相对论中的一个基本事实，宇宙中存在一种不随参考系变化而改变的量，这种量将时间与空间联系起来，类似一种思维的距离， 这个量被称为时空间隔。当你在不同参考系中观察同一个物体时，你看到的空间距离可能不同，你看到的时间流逝速度也可能不同，但你们必须对这个四维间隔的值达成一致。 爱因斯坦意识到，这个时空间隔的结构使得能量与动量之间必须满足一种非常严格的关系。这种关系要求总能量平方减去动量成光速的平方必须等于质量成光速平方的平方。换句话说，右边是与参考系无关的常量，因此左边也必须在所有参考系中保持不变。 如果动量不为零，那么能量必须变大，以保证这种不变量关系成立。这正是为什么在速度接近光速时，你的能量会急剧增加。 你不是真的变重了，你是为了维持宇宙的结构对你施加的约束，不得不付出巨量能量。以这种方式理解，能量等于质量乘光速平方不再是一个神秘的公式，而是宇宙对称性，也就是相对性原理和时空间隔结构的自然结果。 质量之所以对应巨大的能量，是因为要保持这种深层的四维对称性。再换一种角度看，你无法加速到光速，是因为一旦速度接近光速，时间膨胀效应会使得时间几乎停止。对于你而言，进一步加速意味着试图让时间更加停止，但时间不能停止到低于零。 宇宙的结构阻止你这样做，于是需要无限能量，而无限能量意味着你永远无法达到光速。这也是时间膨胀、动量增长、能量增长、质量与能量的关系，以及无法超过光速这些看似无关的现象，实际上都源于同一个事实， 宇宙的时空结构要求某个不变量保持不变。总结来说，能量等于质量乘光速平方是一种统一关系，它连接了物体静止时的能量、物体的运动、能量宇宙的对称性，参考细间的转换性质以及光速这一深刻的宇宙常数， 它不仅告诉我们质量是能量，也告诉我们为什么核聚变能够点亮恒星，为什么黑洞能够释放庞大能量，为什么物质与反物质湮灭会释放巨大能量，以及为什么宇宙在基本层面上是一种高度统一的结构。 如果你继续深入，你会发现这个公式不仅属于狭义相对论，也属于量子场论。因为在量子场论中，粒子的质量本质上来自场的能量结构，而这些能量结构也遵守同样的相对论对称性。 所以，能量等于质量乘光速平方不是一个孤立公式，而是现代物理整个框架的一部分，它不仅描述宇宙如何运行，也描述宇宙为何必须以这样的方式运行。 回顾整个推导过程，我们看到从牛顿力学的惯性原理出发，通过加力略速度叠加的矛盾引入光速不变的思想，再通过光中推导出时间膨胀，再结合动量和力的相对论修正，最终得到相对论动能公式， 进而推出总能量等于加码乘以质量乘以光速平方，并在低速极限下恢复经典动能公式。这个过程展示了爱因斯坦理论的逻辑美和数学一乍醒， 也让我们理解了为什么质量和能量是可以互换的，以及为什么光速是宇宙的速度上限。这个公式不仅解释了核能的巨大能量来源，也奠定了粒子物理的基础，使我们能够用能量负动量关系来描述所有粒子，包括无质量的光子和有质量的基本粒子。 这种理解让科学家能够准确测量粒子的质量，例如，通过能量负动量关系确认希格斯波瑟子的质量，同时保证这些测量在不同惯性参考系下都一致。 最终，我们看到爱因斯坦的相对论不仅改变了我们对时间、空间质量和能量的理解，也让我们明白宇宙中各种现象背后的统一性和深层逻辑。这正如爱因斯坦所说，重要的是不要停止怀疑，保持好奇心，去探寻宇宙和现实的奇妙结构。 每一天都尝试理解一点这个奥秘。希望这个讲解能够帮助你理解相对论的神秘和魅力。

这个题是方程应用题的必考点，工程问题，但是百分之九十的孩子都容易错，其实这类问题的核心是掌握公式的应用， 真正的学霸呢，读完题就能列方程出答案，但是很多孩子呀，不会标条件，做题慢，算不对，今天老师就用最直观的方法教你工程问题的核心两大公式，学会以后，考场遇到直接拿分。好，我们来看题。 首先啊，某工程由甲乙两个工程队来完成，其中甲工程队注意了关键词，学霸直接读题，标条件单独完成六十天，所以甲的工作效率是六十分之一。 那这个怎么来的呢？就是因为我们默认工作总量没有实际数的时候，工作总量就是一工作时间是六十，所以他单独的效率就是六十分之一，各位你学会了吗？好，继续读啊。那么乙的话呢，他是单独完成四十天，所以他的工作效率是四十分之一。 好，现在呢，他说甲先做二十天，余下的部分是由甲乙合作好。这里涉及到的第二个公式，听好了啊，就是什么合作效率， 等于甲的效率加上乙的效率， ok， 那 这一部分就是我们的效率公式了。好，所以说这个题呢，我们采用直接设元，看我如何写过程。首先啊，这个题问的是总共需要多少天，所以解设 共需 x 天，大家去想啊，首先你第一部分是什么呢？是不是甲干的这二十天完成的工作量？那我们来标一下啊，有体可知呢，甲的效率是六十分之一，所以说六十分之一乘以二十至甲头先部队完成的工作量 好，再加上什么呢？来合作效率的话是六十分之一，加上我们的什么四十分之一，加以合作的合作效率乘以什么呢？乘以我剩余的天数。大家想啊，我总共是 x 天，前面干了二十天，那么后面合作了多少天呢？ 哎，是不是就是 x 减二十？好，等于我的工作总量设为一。 ok， 这就是我们在答题卡上写的列方程。 好，接下来呢，草稿纸大家可以算一算啊，拿出你草稿纸来，我们算一下它是多少来，三分之一，加上来它是几呢？六十四十，那就是一百二十分之二，加上一百二十分之三，也就是一百二十分之五，乘以 x 减二十，好，那就是一百二十分之五倍的 x 减二十 等于一三分之一，过去，那是不等于三分之二。然后呢，教大家一个方法啊，草稿纸上交叉相乘就可以了。二百四等于三五，一十五倍的 x 减二十。 ok， 来，都有三，抹一个五都有三，是个八都有五，那这里是一五，五是十六， x 减二十等于十六， x 等于几呢？是不是三十六？在答题卡上，大家可以直接写写啥，写解得 x 等于三十六即可。最后我们答答案答，共需三十六天。好，满分到手。各位你看这个工程类的 e x 方程应用题，你学会了吗？

麦克思维方程组，他把电和磁统一在一起，还预言了光就是电磁波。听起来很震撼，但很多人卡在第一步方程太抽象，要用微积分，像在看天书这本。什么是麦克思维方程组？就是来把天书翻译成人话的。 作者长尾军，延续长尾科普的一贯风格，不用堆公式，而是用通俗语言加严密逻辑，把每一步为什么讲清楚，让不懂微积分的同学也能跟上思路。 全书分三部分，先用积分视角解释通量到底是什么，比如电场穿过一个闭合曲面意味着什么，再到微分视角，把高斯定律、安培环路定律这些核心内容串起来。最后进入电磁波篇，讲清电子场如何相互推动，为什么会产生光。 书后还有扩展阅读，从方程组自然过渡到狭义相对论的背景，不追求死记硬背，而是帮你真正看懂电磁学的底层逻辑。

如果一篇论文声称只用一个空间场母方程就能统一推出牛顿力学、相对论、电磁学、量子力学甚至粒子质量谱，它到底在干什么？ 这套理论的核心是一个被称为 m 一 fano 的 空间场母方程，它不是公式拼接，而是从一个前提出发，空间本身是物理本质， 并具有明确的几何结构。在这个方程里，波动项描述传播，旋度项对应引力项，位项对应电性，非限性项给出质量与稳定风装。也就是说，不同物理规律不是不同理论，而是同一个方程在不同条件下的投影结果。 这套统一推导体系靠不靠谱，关键不在口号，而在推导过程。论文展示了一个清晰链条， 在弱场极限下，它自然退化为牛顿引力，在相位不变性下推导出洛伦兹变换。在电磁子空间中还原完整的麦克斯维方程，在慢变近似与守性结构下推出薛定讷和迪拉克方程。 更关键的是，它并没有靠调参数，而是把 g、 c、 o、 e、 阿尔法等看似互不相关的常数统一还原为空间几何尺度的密字结构。从数学与逻辑角度看，这是一套自恰闭环、可审计的统一推导体系。但必须说清楚， 这套理论目前仍然属于非主流假说阶段。它的核心文献尚未经过国际顶级刊的传统同行评审。关键实验结论，例如正电赫加速产生引力效应，仍需要全球独立实验室反复验证。也正因为如此，它现在不能被称为已被确认的物理定律。 但同样客观的是，他已经给出了一个数学上严密、逻辑上统一、实验上可被重复检验的全新物理框架，这不是随意的猜想，而是一套正在等待验证的底层重构方案。

宝宝们大家好，我是清华佳明，来自清华大学未央书院数理基础科学专业，今天给大家带来一个小时速通微积分，期末考试就说这个微积分呢，大一上学期的它就分三个模块，在我看来啊，第一个呢就是积分， 第二个呢就是求导极限这这部分啊，然后第三个部分呢，就是常微分方程啊， 微积分，微积分嘛，就一个积分，一个微分，再加上一个解方程是吧？ 积分这里边呢，又包括像什么啊，算什么弧长啊，面积，体积这些有实际应用的，那求导极限呢，更多是像数学题这类的啊。然后最后一个呢，就是解方程，我们一个一个来看啊，第一个我们先看看这个 积分，这方面积分肯定是要记些公式的，我总结啊，公式一共也就四个，一个就是 x， 分 之一的积分 就是绕 x 啊，然后 a 的 x， 次方的积分，那就是 a 的 x 除以绕 a 啊。下面呢，还有两个三角函数的三 x 的 积分， 那就是负的 cos x， cos x 呢，那就是三 s 啊，其他的咱们都不用记背下了。我刚才说的那四个之后怎么求积分呢？我给大家三个方法啊，第一个是叫奇偶性， 基偶性，尤其还要关注啥呀，就基基函数，基函数，我给大家举个例子啊，就是说负一到一上面啊，积分 x 平方 sin x 的 五次方 d x， 一 看这个它的基的函数是基函数是吧？然后呢，又一看，它的这个基的这个周期呀，是负一到一，那一看，直接这积分就得零， 有的题啊，就是考你懂不懂奇函数还是偶函数，一旦识别出奇函数一下就稳了，这个肯定得零。第二个就是代换， 那代换可以代换成什么呢？我们现在学啥了？学 ex 了是吧？学 log x 了，学散 x 了？学 cos x 了， 这些东西他求导啊，求积分，是不是咱们都比较熟练？假如说在这个题里边啊，发现什么什么 a 的 平方减去 x 的 平方是吧？什么什么 x 分 之一这类的，一定要提高警惕，是不是 这个整体能够做一个背机的一个函数啊？在做题当中一定要细致的观察，一个是基函数，一个是我们所有的经典的函数的这种替换啊，替换呢？我下面再给大家举个例子， 那你比方说，就看这道题啊啊，分子分母上全都是 sin x cos x， 那 是不是咱们就能想象到一个公式啊？咱们高中都学了 sin 平方 x 加上 cos sine 平方 x 是 不得一啊，是不是能把不论是 sin 或者是 cosine 转换成对应的另一个 sin 的 函数啊？啊，如果把这个 sin 或者 cosine 都变成同样的一个 sin， 那 我这个题是不是好解了？那我看这个题应该怎么去换一下，我们观察到分子上就这么一个 cosine， 把它给去掉就得了呗， 剩下的全都 cosine， 那 cosine 是 不是通过 cosine 求导来的了？所以说 cosine d x， 那 应该是等于 d cosine x 吧，再加个符号， 这个时候是不是式子里的 cosine 全部变成 cosine， 是 不是这个题咱们就能把 cosine 全部转换成另一个函数？就是个 u 啊， u 等于 cosine x， u 等于 cos x 之后，是不是这个题咱们就能解了啊？我带着大家解一下啊，零到二分之派是吧？然后分子上是一加上 u 的 平方啊，然后分母上是 u 的 三次方，后边的这个 d， 那 就是 d u 啊，前面加一个符号 之后，是不是就看上这个分子了？分子 u 的 三次方是不是分数的这个次方比较高，是不是能够向下除以一下？那你比方说负的啊，零到二分之派啊， u 的 三次方 加上 u 减去 u， 是 不是 u 的 三次方加上 u 的 平方，直接就有一个抵消，最终这两个一相除， 那不就得优吗？然后后面这个再去求它，逐渐就转换成了我们所熟悉的这么一个结果，最终的结果呢，它是这个。大家呢可以回去做一做，看看结果和我的答案一不一样啊， 那我们求积分呢，还有一种题，就是求什么弧长啊，什么面积体积啊，我跟你讲，这个题啊，不用记什么公式，你就直接就想好了就得了啊，你比方说我要求面积是吧， 就是这么一个面积啊，我们知道积分是这么个定义是吧？那它的面积的公式是啥呀？ f x 乘以 d x， 然后做一个积分的加和是吧？那 d x 就是 这中间这一小段，就是它的什么呢？宽啊，高是啥呀？就是函数值 f x。 所以 说有这么一个思路，咱们再看之后的什么弧长啊，面积都是一样的，那我们给大家举个例子啊，举个例子的话，你比方说这个题啊，求弧长的， 嗯，那就是 y 等于三分之二， x 乘以 x 的 二分之三次方啊， 这题一看就挺复杂啊，那我看看这段曲线的一个弧长怎么来求呢？咱们都不用画出什么精确的图啊，这是个 y， 等于三分之二，那它应该是从零到十五，那应该是这么一个区域吧？嗯，零到十五， 那零到十五的话，弧长是啥呀？弧长就是一小段一小段这个长度加起来吗？是吧？那这一小段的长度怎么求啊？求完之后，咱们一做积分，一做加核，积分不就是加核的过程吗？一加起来 不就把这个整个的一个弧长就得到了吗？那这个里边我们学过啥呀？初中就学过， 叫什么勾股定律是吧？勾三股四弦 b 五，那就通过它的 x， 那 就横向的长，纵向的长，那就是 y x 平方，加 y 的 平方，再开个根号，不就得到了这么一小段的一个长度吗？这个题求积分，我们要求的是什么？就是根号下啊， x 方加上 y 方，最终一个 d x， 那 x 是 啥？ x 我 们就可以是 s y， 我 们知道有一个公式嘛，那 y 等于三分之二， x 的 二分之三次方的这么一个平方，然后呢？这边有 x 的 平方，然后这块是 一个 d x 这么一个长度，然后我们就从零到十五做一个积分，最终不就得到了吗？所以说这些公式都不是死记硬背来的，其实我们理解它其中的原理，再比方说那种求什么体积的体积的，是吧？ 这有一个这个曲线啊，绕着这个 x 轴做一个什么旋转，那旋转是啥？体积是啥？就是底面积成高啊。底面积是啥？底面积不就是这么 两倍的一个 x 吗？他这么绕着这么一转吗？是不是照着一转，那底面不就是两倍的 x 所组成这么一个圆吗？啊？高是啥高？那就是 d x 啊， 我们在每一个小段的时候就取得一个 d x， 那 慢慢慢慢通过积分 不就能解决这些形状不规范是吧？这些弧长，这些面积，这些体积不就都出来了吗？所以说咱们要理解其中的道理才行了啊。咱们积分呢，还有一个点，除了刚才咱们讲的啊，求一个这个结果必有难点的还是什么？ 就是这个积分它是不是收敛，我们来看这么一道题，基本上就把我们的收敛的知识点就完全给解决了啊啊， 假如说这么一个积分它是收敛的，那我们要求的是 p 的 取值范围，嗯， p 的 取值范围， 那我们看到这么一个积分的话哈，他是从零，一定要从看他的这个 s 的 取值范围啊，从零到正无穷这么一个范围，那应该有哪个点？零这个点是一个特殊的啊，分母不能是零吧？如果是零，那他不就无限大了吗？ 再一个，正无穷这个点，本来它就是有一个特殊的姓在的，所以说我们要关注这两点，那我们就可以把这个积分拆开，从两边看嘛。啊，零到一上对这个积分， 然后呢？一到正无穷上对这个积分，而且这两个积分都是要要收敛的 啊，那我们就可以看看，一个是零处收敛，一个是无穷处收敛，这一个题把我们收敛的知识点全部覆盖了啊，那看看零处是怎么收敛的呢？那我们就看到这个分子上一减 cos 会有它的等加代换吧， 它的等加代换是 s 平方吧，那是不是这个就相当于啥呀？ x p 减二分之一， 那在零处如果这个积分想收敛，是不是 p 减二就要有一个小于一啊？分母上的这个 x 的 指数要小于一，所以我们就得到了 p 是 小于三的，所以说收敛。第一个在零处啊，分母上的 x 的 指数 要小于一，这是收敛的第一个知识点啊。第二个知识点，在无穷的时候，我们看看这个分母上的 p 应该是怎么样 啊？我们在无穷的时候扣三 s， 这个分子基本上还是在常数这么一个范围啊。那分母的话， p 应该是怎么样？对于正无穷来说，那分母上的 x 的 指数 p 应该大于的是一 啊。所以说我们这个题总结出来了两个知识点，那就是在通过一个等价的代换之后，在零处的积分，假如说 x 在 分母上，那它的指数就应该是小于一，假如说在无穷处， 那 x 在 分母上的指数那就应该大于一。所以把这个记好了，我们后续的题也都有解了，下面我们进行下一块求导啊。极限 这一块求导是不是咱高中也都学过啊？高中数学咱那些公式 是不也能往回减减？咱到了最后期末考试了，至少把这公式背会吧。啊？求导有哪些公式啊？什么 e 的 x 啊， log x 啊，散 s 头，散 s 不 就是指数，什么对数，三角函数，就这些函数，把这些基本都背会了，你期末考试就没问题，关键是啥？期中考试是比期末考试肯定要难的， 咱慢慢老师肯定是会减少难度，让咱们过个好年是吧？咱们至少不让咱们挂科啊，所以把这个最经典而且最重要的函数咱们记好了，咱们至少 能打个八十分啊，这里边还有什么样的公式呢？就是求极限的时候，还有什么等价无穷小这么一个概念啊，就是都是特别小，但是他们俩小的程度一样，那这块比较重要啊，把这个记住，咱考试肯定能用着啊，给大家列出来，在 x 曲江零的时候， x 和三 s 啊，和弹进的 x， a r c 三 s 二和弹进的 x， 还有 long e 加 x， 还有最后一个 e 的 x 方分之一，这几个都是 等价的，都是一样的，假如说在 x 它是趋向零的时候，假如说 x 和这里边任何一个在分子分母上，它直接就可以约分的。还有一个比较重要的，那就是一加上 x 的 r 法次方减去一，这个等价于 r 法 乘以 s 啊，它们俩是等价的一个关系。刚才是什么求导的公式和求极限的无穷小的公式，还有一个特别重要，叫泰勒公式啊， 那泰勒公式呢，是一个万能的，你比方说刚才的那些无穷小的式子，直接其实通过一个泰勒就能把一个 sin， 多么的难理解啊，什么 e 的 x， 都是各种字母的，直接转换成 x 多项式， x 的 什么平方立方，这就是泰勒公式的作用。我们只需要记住三个式子的，泰勒展开， e 的 x 的 展开，散， s 的 展开，还有 log e 加 s， 这三个一记住，后续的题也肯定能用上啊，太复杂的咱不记，就这记这三个我给大家写出来啊， 咱也就记前三项，再往后的就是比这前三项都要小的式子，咱们可以不再记它了啊，咱们时间有限嘛，三 x 呢，就是 x 减去 感叹号是啥意思啊？三的感叹号就三乘二乘一，五的感叹号五乘四乘三，乘二乘一。哇，这结成啊，你也会发现，其实三 x 等于的这个东西，它也是一个奇函数。然后最后我们来看一下对数的一个展开啊，对数的一个展开是这样的， 后续的找规律不就行了吗？根本也不需要记，所以就记住这些的一个式子就好了， 就是求导这块还有一个特别重要的，就是大函数套小函数怎么去求导是吧？给大家举个例子， f x 是 吧？等于 g， 括号 h x 啊，那 f x 的 一个求导对 x， 那 应该是啥 g 求导啊，再乘以一个 h， 一 撇 x， 这么 h 的 求导这个公式记住了，后续的求导结合上咱们的公式也就绝对没问题。那现在呢，我是精挑细选呢，从我们清华的题库当中选出了一些有关导数的题，给大家练练兵啊。 好，大家来看这道题啊，它是一个求极限的问题。那求极限的问题的话，我们看到分子分母 是不是第一时间应该算算分子分母是零啊，还是无穷啊，还是一个常数？如果是常数，那就太好了， 是吧？那我们一看 x 趋向于零，分母也是零，分子也是零，是吧？零除以零这么一个形式要求它的极限。那我们看到分母上是不是刚才咱们讲到的公式啊？ 一加上 x 的 平方括号是吧？一个二分之一次方再减一把，这个二分之一是不是直接能拿进来，那分子就等于这个数二分之一 x 的 平方直接替换了。那这个之后我们就看到 还有一个分子分母是不是可以用用，叫什么洛必达法则？洛必达法则什么意思？分子分母同时求导嘛，然后这个极限不变啊，那就是分母这个二分之一 s 的 平方一求导 x， 分 子上怎么求导啊？ 这涉及到另一个知识点，就是积分的一个求导。积分的求导太简单了，积分不有上下线吗？把这个上限或下线直接带入到这里边。 t 的 式子，把 t 直接换成 x， 那 积分求导之后， e 的 在 x 减去 pos。 x 分 母上刚才说的是 x， 我 们发现呢，还可以继续求导是吧？这 x 继续求导变成 e 吗？分子上再求导，求导就利用到刚才上面这个公式啊。大肠包小肠大函数套小函数吗？啊？ e 的 什么？次幂？三 x， 那 就先 e 的 三 x， 次次幂就是 e 的 三 x， 三 x 还能求倒吧。对 x， 那 就求三 x 减去求三 x， 那 求三 x， 求倒负的三 x， 分 母上就剩一个一 分子上呢？假如说 x 咱们趋向于零的话，这个就是一嘛啊，所以这个题的答案不也就出来了吗？就是等于一， 我们上一题是求极限的，我们这一题先求个导啊，就是 f x 等于什么呢？ 零五到 x 平方，这是一个，这是一个积分的求导啊，这怎么求啊？还是刚才那个那条路子呗。大肠包小肠吗？啊，大的函数包着小的函数，大的函数是啥？ g x 其实是这个零 x sine 啊，后边什么什么 t 咱都不管， h x 套的 x 倒的这个 函数是啥呀？把这个 s 变成 x 平方呗，先对这个 x 平方求导，然后呢，在 x 平方的导数再一乘不就完事了吗？那我们看一下 f 一 撇 x 怎么求啊？把 x 平方带入到这个积分式子里呗， sine 啊，二分之 pi x 的 次次方啊，然后还需要乘吧，千万别忘了 x 平方的求导，那就二 x 呗，这不就是这个导数不就求出来了吗？你还可以发现什么， 就是 f 一 撇 x， 它是个什么？一定要关注它的奇偶性，它是一个奇函数，套着偶函数，这是偶函数，那这再乘一个奇函数，那不就是个奇函数吗？奇函数，偶函数相乘是怎么算的？那 g 乘以 g， 那就是偶啊，偶乘偶还是偶，所以说这个可以利用那个基偶数这么一个想法啊，我们这道题不就解决了吗？嗯，还有一个考试里一定会考一个特别基本的题，就是让你分析某一个函数连续性 啊，包括刚才说的基偶性啊，还有什么单调性， 单调性又对应着什么极值啊？那还有什么性？凹凸性是吧？凹凸性， 凹凸性又对应的是什么拐点啊？还有最终一个渐近线啊，我们分别来看啊， 那我们说连续性，那就是这么一个函数，这么一个什么 f x， 它这个线是不是连续呗，这特好理解啊，记偶性刚才讲过了，就是它在对称的地方是相等，它的函数值还相反。然后呢， 单调性就是求它的导数 f 一 撇 x， 它如果大于零，那就说明 f x 是 慢慢递增的，他的求导是小于零，那就说明他就慢慢递减的。那极值是什么意思啊？就是他不增也不减这个点，就取到了极值。就是啊，他的导数等于零的点。 凹凸性是什么呢？我们就就另外要学一个，就是他的二次的导数，就是 f 一 撇， x 继续求导加两撇啊，他如果大于零， 那他的增长或者下降应该是向下凸的，就是像一个碗这么一个形状啊。如果他的二次导数呢？是小于零的，小于零呢？说明什么呀？他的导数他是在慢慢下降的，那就说明他应该是上凸的啊，像一个蒙古包一样 啊。所以说那对应的拐点，拐点，那就意味着 f 的 两个撇的求导，他这个是等于零的，这就能求出拐点来。最终我们还看一看渐近线，这前面这些性质咱们都完事了。还有一个渐近线，那渐近线的话，我们也分三类，水平的，竖直的， 还有一个是斜的啊，从这个就能听出来，水平和数值的就比较特殊。斜的咱们什么一次函数是吧？这直线都是基本上都是斜的， 那水平的，那就意味着函数到达某一个，比方说到达正无穷，他不再波动是吧？到达这个，那就直接就求极限呗 啊？ x 到正无穷的 f， x 极限，那数值的意味着啥？那他直接一飞冲天了是吧？那就是 x 在 某一个点上，比方说 x 零，他的极限是一个正无穷或者负无穷，那这个不就是数值的渐近线吗？ 还有斜的渐近线，斜的渐近线意味着他到最后他接近一个一次函数，接近一次函数就什么 y 等于 k， x 加 b 呗， 那 k 和 b 怎么求啊？ k， 那 就是 y 除以 x 呗， y 除以 x 是 不是就把 x 放到 y 下边，最后不就剩了 k 了吗？然后咱们求个极限是吧？ x 在 无穷的时候是不是接近这么一个斜率啊？然后 b 的 话， f x 减去这个 k， x 减去 k x， 那 不就剩下它最终那个常数项了吗？我再求一个这个 极限啊， x 在 无穷的时候，最终不就得到 b 了吗？所以说渐近线也是一个必须要掌握的这么一个点，所以这几个性质咱们掌握了之后，期末考试一道题绝对那就没毛病了。那我们来举个例子啊， f x 等于什么呢？ 看着特别简单啊，零 x 等于零的时候啊，那 e 的 x 分 之一， x 不 等于零的时候， 就拿到这种题啊，我们第一一定要想象一下，是吧？它是个什么样的函数，咱们大致得享受一下，画出 x y 轴 对侧出的点， x 等于零的点等于零，这块咱们画一个点是吧？那 x 不 等于零的时候，那比较接近于零的时候是啥样的？接近于零，这个 e 上面 是吧？就变成无穷了吗？啊，那在零零的左侧是吧？ x 大 于零的时候，那 e 的 无穷，那它这上面应该是无穷大的吧？等于零的右侧 啊，我们看到说 e 的 x 分 之一，那应该是什么？ e 的 负无穷， e 的 负无穷是啥呀？那就是零 啊，所以它这个零点和右边是连续上的，和左边连续不上，那我们再看，随着 x 大 于零，它慢慢慢慢变大，那它应该是 这个指数上在变小吧，所以大概是这么一个函数啊，那再往左看呢？指数逐渐接近于零，然后呢？这个指数呢？从富无穷逐渐逐渐变到零嘛？这个图画出来，我们再求刚才那些性质，那就没问题了，连续性哪不连续， x 等于零数肯定不连续。单调性，我们虽然画出图，是不也得求一下 f x 的 导数， e 的 负的 x 分 之一除以 x 的 平方， 那我们就直接对应出来了，它不论是在负无穷到零和零到负无穷的时候，正无穷的时候，那它都是一个递减的一个趋势嘛。嗯，然后这里边呢，没有导数为零的这么一个情况呢，那就说明没有 它的一个基知识点，单调性。咱们看完了之后，那就看凹凸性呗，凹凸性咱们自己画图一般是画不准的，所以咱们一定是要求一下二阶的导数， 那我们发现呢啊，分子上应该是什么点？分母上呢，是 x 次方恒大于零的 x 等于负二分之一，是它的一个变值的点吧。所以说 x 大 于负二分之一的时候，二阶导数应该是 大于零的，大于零意味着是下图就是碗这么一个形状，在 x 小 于负二分之一的时候，那就是上图 啊，上凸一拱桥这么一个形状，凹凸性对应的是拐点，那就 x 等于负二分之一的时候，这是一个拐点呗。嗯，我们再求出那个 y 的 值，是吧？ f x 的 值，负一的负二次密码，我们最终还剩下一个间接性 渐近线，其实通过画图也能直接看出来吧， y 等于一啊， x 等于零这两个渐近线，这题我们就解决了吗？啊，这个你也可以通过求极限的方式啊，去求一求， 它的确就是这么两条渐近线。就这导数里边啊，还有那么一种题，这个函数的式子啊，你没解出来，但是呢，题目当中求的还是能求出来，咱们来看看例子啊，这种题就是考智商的啊，就智商高两秒就过出来了啊， f t e t 这种题就考你这个熟练度的，跟着佳明小老师学，下次碰着绝对满分啊。那 我们看到这个题最终是求啥呢？求 f 一 撇一，那就是啥意思？在 x 等于一的地方的 f x 的 一个导数嘛？ 那我们看到这个里边，它有积分也有求导呗，它是横成立的，我们直接代入 x 等于一呗，这积分不完全得零了吗？等式的右边那，呃，零等于 f 一 减一，那 f 一 不就得一吗？ f 一 都求出来了，是不？ f 撇一咱们就更进一步了啊，那我们看一下，嗯， 下一步咱们怎么办？他最终要求的是导数吧。那是不是我们可以等式两边同时求一个导数啊？那就是 还是又面临到这个积分的一个求导，那就把 x 带入到积分里边呗。二倍的 f x 啊，等于什么呢？这是一个什么乘法的求导？那乘法的求导呢？就是 啊，左先倒，右不倒是吧，然后左不倒，右再倒，是不是两个轮番倒一遍，然后再加起来啊？那就是 f x x 乘以 f 一 撇 x 啊，减去 x， 乒乓球倒，那就二 x 呗。这里边我们发现再代入一个 x 等于一，那不就出来了吗？二倍的 f 一 等于 f 一， 加上 f 一 撇一，是吧？我们要求出来的，那减二啊，那 f 一 这个值我们知道了。一，那就是啊， f 一 撇一， 最终那就等于一个三呗。嗯，小学数学不就出来了吗？然后我们来看下一个内容，那它叫做常微分方程。常微分方程什么意思啊？ 成为分方程，就是说有这么一个式子，我们要通过求导啊，积分的方式最终求出来 f x 等于几啊，或者 y 等于什么什么 x 啊，那这里边也同样有记忆性的东西， 所以说，你看啊，积分求导什么？求极限微分方程，最重要的都是记，记住基础打好了，后续的做题我们才能通关，是吧？我们来举个例子啊，比较重要的一共就两种啊，那一个是 y 一 撇 x 加上 xy 等于 q s 这里边啊，你看啊， y 只出现了对它的一次导数吧。嗯，那这个里边最终要解出 y 等于什么什么 x 吗？嗯， y 是 等于这个负的啊， e p x 啊， d x b 的 p x dx 再点 s， 所以 说这个还得加 c。 加 c 啥意思啊？就是加长数，所以求这个积分的时候一定要注意有没有加长数，这个 还得扣分呢啊，只要把这个公式记住了，假如说下一次再碰着这类的，咱们就没毛病啊。还有一种是什么 y 两撇加 q， y 等于零啊，那这个里边等于零又能换成 f x 啊？我们一个一个来看， 那等于零的时候，你看应该比较简单吧，我们一下就想到了我们高中学到的一元 二次方程啊，把 y 两撇，那就换成 r 的 平方啊，咱们把 y 换成 r， 好 吧。啊， 换一个参数，然后加上 p r 加上 q r 的 零次方是吧，那就是一呗啊，那等于零，这个是不是就能求出来 r 一 r 二了？那 r 一 r 二，它可以是两个实数根， 也有可能是两个相同的重根吗？然后还有没根是吧？就是没没有根 啊，是虚树根，虚树根，那这个里边那就是你要是排不熟，那你就得回去回，回去看看高中的知识了啊。那针对 r 一 r 二有三种情况吗？嗯，一个是，呃， 不同的根，两个根是吧？两个根，两个根的话呢，我们就有 y 等于什么？ c 一 e 二一四加上 c 二 e 二二 s， 是 吧？这里边 c 一 c 二呢，都是一个常数的，一个作用就是它可以变 啊，然后 r 一 r 二是我们求出来那两根，那如果这两根是一样的，那就重根呗。重根的话，你就发现我们上面这两个式子是它不就重复了吗？所以我们要加上一个因素，就是一加 啊。啊， c 一 加上 c 二 x 乘以一的 r 一 或者 r x 的 平方啊，那没有根咋整啊？啊？ 无根无根，那没根的话，他至少有虚数根，虚数根应该是这么一个形式，阿尔法加减 i 乘以 b， 它啊，那最终呢，我们也可以借助到一个叫做三角函数三口塞。那 y 等于什么？ e 的 阿尔法自密啊， c 一 side 被带 x 加上 c 二后， side 被带 x， 是 吧？啊，所以说有了这些公式， 我们再往后去解题，基本那就没毛病了。嗯，那说完刚才的两个比较简单的，我们再来一个公式啊，那就是在刚才的那个基础上， y 两撇加上 p， y 一 撇加上 q， y 等于一个 f x， 这时候呢，就不仅仅存在着 y 了，还有 x 的 函数， 是吧？那我们说就像一元二次方程一样，它是有两个根，是吧？那咱们这是二阶的导数，那就有两个常数，是吧？刚才我们说到的那个，呃，不是 y 等于 c e r e x， 假设 c 二 r x 吗？是吧？那我们这里边也是，就是说只要它有几个撇儿，那我们就有几个常数啊。那这个里边我们想要得到最终 y 等于什么？是不是应该是在刚才的这个基础上， 是吧？假设说有两个两个根，那在刚才的基础上，我们再加上这么一个呃，点，那我们能够得到最终的一个 y 啊，嗯，就像是之前求到的这个 点呢，就是说他带入这个式子，等式右侧等于零啊，我们后加入的这个式子就是要满足这个， 它再加进来之后，等式之后右侧多了一个 f x， 所以 说 它对应也仍然有公式。那这里边 f x， 它是有一些特殊情况的，这几个情况我们可以解啊， f x， 它是等等于这个十字啊， p m x e 的 m x 方，那什么意思？ p m x 就是 x 的 m 次多相似，那就是 x 最高的那个次数，就是 x 的 m 次方，之后都是什么？ x 一 次方， x 二次方，最多超不过 m 次方 啊。然后喇么的呢，也是一个系数啊，那最终呢？呃，我们也要有一个分类啊，就是针对于这个方框里，我们叫它特解吧。特解啊，特解的话 有这么一个啊式子啊，最终的结果，那就是特解等于什么呢？ s 的 k 次幂啊， q mx e l 栏木的 s， 所以 这 e 栏木的 s 还在这啊。 q m s 啥意思啊？也是就是 x 的 m 次多项式，那 和为了和前面这个 p 区分，所以说我们用了个 q 嘛。啊，那这里边，哎，它是 m 次幂啊，这 k k 可是有说法， k 的 话它由三个曲值零一二啊，那零的呢？我们要关注这个喇么的喇么的，假如说不是他们的 不是上面所求到的这个式子， r 的 平方加上 p， r 加上 q 等于零，不是这个根，所以这个 k 也跟这个式子有关啊。假如说咱们不是这个根，那就是零啊。假如说它是，它是这个式子的一个， 他这个式子可能有两个根呢？那他是其中一个根，那 k 等于一，那假如说蓝的是他的重根，就是二，一等于二，二还等于这个蓝的，那我们 k 就 等于能够取二啊，最终呢就得到了我们这个特减。嗯， 然后这个 q mx 应该怎么求呢？那我们就已经知道了这个特解的一个式子了嘛，我们直接代入进去嘛，啊，我们就能够求出来这个 q mx 等于谁， 是吧？啊，所以说看到这我们可以举一个例子，咱们来试试怎么去解这么一个长微分方程。我们来看这个题啊， y 两撇加上，哦，减去 y 两撇减去二， y 加 y 等于二，他有他的条件， y 零等于二， y 撇零等于零啊，这个题随时有可能出现在咱们期末考卷上啊。那刚才还是说是不是碰着这个了？那就是 求对应的那个一二次方程呗。 r 的 平方减二， r 加一 等于零吧，我们后面这个先不看，哎，你会发现是吧，这高中太熟了。二一等于二，二等于一吗？这个不能凑一个二减一的平方吗？是吧？ 二一等于二等于一，那就说明对应我们刚才哪个条件了，哪个，那就 y 等于什么一啊？ c 一 加上 c 二 x e 的 二一吗？二一，那就是一呗， x 密啊，那这是它的前面的那个角，我们后边还有一个二啊，所以说这个式子还要加这么一个特解项， 那特解怎么求啊？我们刚才还是有那个公式啊，这个二是不是满足刚才咱们那个式子啊？刚才咱们那式子老复杂了，什么 f x 等于什么 p m x e 的 楞思 s 方，那就说明啥呀，这里边楞的也等于零是吧？这里边 m 也等于零啊，就是一个常数项，所以 p 零 s 等于二呗。啊，最终我们说这个特解 它是等于啥呢？我们刚才也有公式那，呃， s 的 k 次方吧，然后 q m x 啊， e 的 栏目的 x 方，那现现在看到栏目的 x 是 不是这个方程的特解啊？是不是方程的解？不是， 是吧，所以 k 等于零啊，这个数呢，肯定也是一个常数啊，因为刚才我们说 m 等于零啊，所以这个次数也是零 啊，最终就剩一个 e 的 朗姆的 x， e 的 朗姆 x， 这里边朗姆的也等于零啊，所以说特解它就是一个常数， 常数的话，我们一看，那不就得二吗？啊，二的一次求倒就等于零，再求一次倒不也等于零，最终是不是 y 等于二就满足我们这方程啊？所以说这个特解不就是二吗？ 哎，最终我们是不是就能要求出来了？求出来了，我们再带入我们已知的条件吧，就能分别求出来 c 一 c 二吧。啊，那 y 零 等于二，那意味着这个 c 一 是吧，加上二等于二，那 c 一 等于零啊，那 y 一 撇等于什么呢啊？ e 的 x 四方， c 一 加 c 二 加上 c 二 x 啊， c 一 等于零了，那，呃，这里边我们最终得到 c 二也等于零，所以最终这个题啊，就是 y 等于二 啊。所以说咱们兜了这么大一个圈子，借助了那么多的公式，最终得到这么一个结果，就是 y 等于二啊。嗯，所以说， 嗯，有的时候就是期末考试一定要放宽心。就是，虽然学了那么多复杂的公式，其实到了卷面上，只要你认真去打啊，认真把李老师、佳明老师的这个视频看完，我跟你讲，绝对是很有收获 啊！呃，宝子们呢？我的速通课基本上到这就完事了，希望大家备考的时候啊，一定要放宽心，毕竟咱们才是大一上半学期，对大学不是那么熟，其实啊，比咱高中轻松的多， 如果你已经看到这了，那绝对的期末考试，至少咱们上八十分，绝对没问题，如果你再刷个两三遍，我告诉你，九十分咱整个 a 加也不是事。 所以说，谢谢大家的观看，我是清华佳明，后续会给大家带来更多精彩的速通课程。

一二三四初一数学不用怕，背熟口诀，高分拿有理数的加减法，同号相加号不变，异号相加大减小，符号跟着大的跑。同号相乘得正数，异号相乘得负数。一元一次解方 程已知未知要分离，加减一项要变号乘除一了要颠倒高次方程没学过整体 带入一次过绝对值方程怎么解？看做整体加正负一元一次应用题，等量关系公式找售价减成本得利润，利润除成本得利率，本金乘利润得利息，速度乘时间得路程。同向相遇速度和 反向相离速度 差一线二角三方程。以上口诀要记牢，过年拿个大红包！

数学就像一个慢热的女友，心思和精力都用在他身上了，最后却来一句，我们不合适。很多人终其一生都觉得自己不擅长数学，其实是从来没人告诉你，数学不是为了刷题拿分， 而是人类认知世界最浪漫的一次冒险。我看完这本书就一个感觉，我小时候所有搞不懂但又不敢举手问的数学问题，终于有人肯给我一次性讲清楚了。他不是教你怎么解题， 而是告诉你为什么要有这些题。不是只讲数学是什么，而是告诉你它是怎么来的，为何如此，数怎么诞生，分数怎么出现，函数是如何简化运算的，为什么一次函数的图像是直线， 而二次函数画出来就是抛物线。他把抽象的数学概念拆成看得见、想得懂得小块，用格式化方式呈现出来，小学生都能轻松看懂。他用前进和后退的方法让孩子理解加减法，用厨师做面点来讲比例， 用棋盘格来讲清楚什么是指数增长。全书没有复杂的公式和绕口的术语，更没有艰难晦涩的推导，却把小学到高中的九十多个核心知识，用大白话讲的通俗易懂，随便翻开一页都能 get 一个知识点。 看完这本书，就等于给初高中数学打下了扎实的基础，强烈推荐给中小学生家长和所有想在碎片时间重新捡起数学的朋友。

我们期末不挂科之带你三角式速通高速上第四期更新了，这期咱们讲一下微分第七个题型，各种函数求导，比如说复合函数求导引，函数求导，参数方程求导，他们都该用什么方法？首先你必须得把这些基本的求导公式背下来， 这里边前九个，这是高中他就应该背下来的。然后从第十个开始，是咱高速里经常用的。负函数求导是遵循恋式法则，他的核心是从外到内逐层求导，然后再把每层导数相成，就像剥洋葱一样，一层一层剥开他的心。 具体怎么操作呢？如果 y 等于 f u u 等于 g x， 那 么复合函数 y 等于 f g x， 导数就是 y 先对 d u 求导，然后再乘上 d u 对 d s 求导，那么这里边这个 u 是 不是很重要？ 这个 u 是 啥呢？它叫中间变量，就是在一个复合函数里边，你把哪部分的函数当成变量了，那么这个函数就是当 u。 我 可以再直接讲下例题，一个 y 等于 x 弹进的根号 x 求 y 导，那关键就是你把 u 找到，把谁当成 u 呢？是把根号 x 看成 u， 那 d y 对 d x 就 等于 y 对 u 求导，再乘上 u 对 x 求导， y 对 u 求导呢？ x 弹进的 u， 它的求导应该 是一加 u 方分之一吧，然后 u 再对 x 求导，应该乘上二倍根号 x 分 之一，最后你把谁当 u， 你 再把 u 给换回去，那最后结果就是一加 x 乘二倍根号 x 分 之一。 再一个，咱稍微上点难度， y 等于 line 三一点二， x 求 y 导，这是三个函数复合在一块的那一样，就负函数求导， 首先把三这个当成 u 呗，那么 let u 的 导数应该是 u 分 之一吧，然后那在 let u 减二 x 也是不把一点二 x 当成中间变量了，所以说它应该等于 cosine 一 点二 x， 然后再乘上一点二 x 求导吧，那应该再乘个负二，然后把 u 换成 let u 一 点二 x， y 导应该等于负二倍的 let u 一 加二 x 分 之 cosine 一 减二 x， ok， 下一种类型参数方程求导，参数方程是啥呢？就是 x 和 y 都是关于 t 的 函数，然后要求 y 对 s 的 导数，那它也是有公式的， y 对 s 求导，就等于 y 对 t 求导，再除以 x 对 t 求导，然后它还可以求二阶导。二阶导的话，你就先要把 y 对 s 一 阶导求出来。分子就是一阶导对 t 求导分母还是除以 x 对 踢球岛， ok， 咱还是一个例题，讲一下子， x 和 y 分 别都是函数，然后求 y 对 x 二阶导，那咱是不是得先求一阶导，一阶导， dy 对 dy， 所以 y 对 踢球岛，除以 x 对 踢球岛，那 y 对 踢球岛，它就是一减去一加 t 方分之一， x 对 梯形岛，它也是一个负函数吧。一加梯方分之二 t， 它俩一约就是二分之 t 要求这二阶岛，它是不等于一阶岛对梯形岛，再除以 x 对 梯形岛，那等于分子就是二分之一。下面的话还是一加梯方分之二， t 等于四梯分之一加梯方。 第三种类型就是引函数求导，什么是引函数呢？就是变量 x， y 是 通过一个方程大 f， x 都是 y 等于零关联起来的，它是无法直接解出 y 和 x 的 表达式，或者解出来之后它关系式特别复杂。引函数求导方法就是啥呢？ f， x 都是 y 等于零，这个方程两边同时对 x 求导，然后 y 等于 y， x 看作中间变量，就是把 y 看成是一个关于 s 的 函数。 用咱们这个立体来搞一下子，由这个方程所确定的引函数求 y 导，那就方程里边同时对 x 求导呗。然后把 y 看作是关于 x 的 函数，左边求完导就是 y 加上 x 乘 y 导， 右边就是 e， x 加 y 乘一加 y 导，再加上二 x， 然后整理一下变成这样，那么就可以把 y 导解出来，就是 x 减 e， x 加 y， 分 之 e， x 加 y 加二， x 减 y， 这个就是引函数求出的 y 导。