1/2阶导数意义

各位同学大家好，今天我们讲新的一章内容，导数。第一节课，导数的概念及其几何意义。首先大家需要了解的是，导数是我们微分当中的一个内容， 我们现实世界当中每天都有各种运动以及变化的现象，我们把这些运动变化的现象和数 产生联系，形成了函数，然后用函数去刻画这样的动态现象。我们为了再深入的去研究这些运动，那么我们就引入了微分或者积分。 比如说像现在我们即将学习的微分就是已知物体运动的路程，它作为时间的函数，我们可以用它去研究物体在任意时刻的速度以及加速度，这就是微分。 那么反过来已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程，这就是积分。另外反映在数学当中，我们可以去研究曲线的局部等 特征，比如说我们可以去求曲线的切线，以及我们还可以用微积分去求曲线某一段的长度、面积、体积和它的重心。 那么这节课的主要内容有导数的概念以及导数的应用，它的几何意义。首先我们在讲导数之前，还需要补充极限的定义， 那么什么是极限呢？ f x 在 x 等于 a， 负 g 有 定义。 如果 x 足够接近 a 且不等于 a， 那 么 f x 能任意接近 l， 我 们则称 x 趋近于 a， f x 趋向于 l， 那 么给它记作 limit， x 趋向于 a， f x， 它就等于 l。 那么画个图我们可以来理解一下，比如说我现在有一个函数是 y 等于 x 分 之一，好，然后我现在选 x 等于一。 那么首先我们来看一下 f x 在 x 等于一附近，它是有定义的，然后当 x 足够接近一的时候，那么这个接近从左逼近，从右逼近，它都会 使得 f x 趋向于一。那么我们就说 limit x 趋向于一， x 分 之一，它就等于一，就这个意思。 另外我们还需要补充极限的运算法则， 我们目前用的比较多的就是 limit x 趋向于 a， 然后这个函数如果是 f x 加 g x 的 话，那么 可以直接把对应在 x 等于 a 附近的这个极限给它拆开， 为 f x 加 g x 的 极限，那同样的减法也适用。第二个我们用的比较多的是 x 趋向于 a c 位的 f x， 其中这个 c 为常数， 那么它就等于 c 倍的 limit x 趋向于 a f x， 也就是我的这个常数的运算，对于求极限是没有影响的。 好，补充完极限的相关概念之后，我们正式进入导数的学习。那么在讲导数学习之前，我们首先先来关注一下我们已经熟知的物理问题。 现在给大家一个函数图像，那么这个函数图像它是时间和路程的一个函数图像， 我们在物理当中会关呃，会关注它的平均速率。那么比如说我在某一个时间段里面 t 零，然后给它增加了 der 它 t 之后，也就是 t 零到 der 它 t 这个时间段里面，它的平均速率该如何去算呢？ 我们知道，那就是 s t 零加 der 它 t， 再减去 s t， 零比上 der 它 t， 也就是谓语 叉，再比上时间叉，也就是 der 它 s 比 der 它 t， 这叫平均速率好。然后当我的这个 der 它越来越趋向于零，也就是我使得这个时间间隔越来越小的时候， 那么 t 零，再加上单塔 t， 它也会越来越靠近于 t 零。如果我们仍然用这个东西去计算的话，那么我们就会得到瞬时速率 v t 零。瞬时速率 v t 零，本质上就是 d r t 趋向于零的时候，我们去算了一个平均速率的极限，也就是 limit d r t 趋向于零， d r t s 比 d r t。 进一步翻译这个式子就是 limit 得它 t 趋向于零得它 t 分 之 s t 零，加得它 t， 再减去 s t 零。 好，这个就是在 t 零附近的瞬时速率。那么我们把这样的问题给它类比到数学问题当中， 那么我们把物理当中的平均速率在数学当中给它称为平均变化率， 对应还是刚刚的那个函数图像。但是我这个时候变成 x 和 y， 也就是 x 和 f x 之间的这么一个变化关系的话，那么平均变化率应该是什么呢？应该是 d 它 y 比 d 它 x 好，我们仍然旋曲在 x 零附近 x 零，然后一直到 x 零，再加上 d 它 x 这样一段来研究它的话，那么 d 它 y 就是 f x 零，加 d 它 x， 再减去 f x 零，比上单调 x， 这个就是平均变化率。那么顺时速率我们用数学来表达它的话，就是顺时变化率。 那么大家可以对比刚才瞬时变化率，本质上就是我让 der 它 x 越来越小，趋向于零的时候， der 它 y 比 der 它 x， 它越来越 接近于 x 零处的瞬时变化率，也就是 limit der 它 x 趋向于零 f x 零，再加上 der 它 x， 再减去 f x 零，再比上 der 它 x， 这就叫做瞬时变化率。 那么聪明的同学已经可以看出来，平均变化率本质上就是 x 零和 x 零加 d， 它 x 这两点间的连线的斜率。 所以我们发现平均变化率本质上就是割线斜率。 而瞬时变化率，当这个 delta x 越来越小，趋向于零的时候，那么我们的 x 零再加上 delta x 无限地逼近于 x 零，所以在这一处的瞬时变化率，它的几何意义就是 x 零处切线切率。 那有同学会问，老师你讲了这么多，那到底什么是导数呢？ 那其实我们刚刚的那个瞬时变化率，本质上就是导数。我们有一个新的名词，就叫做导数。那么在牛顿和莱布尼茨的微积分当中， 它们也被称为微商，但它 y 比德特 x 也叫做微商。 接下来我们给出导数的真正定义就是，若 delta x 趋向于零，平均变化率 delta y 比 delta x 无限趋近于唯一一个确定的值，即 delta y 比 delta x 有 极限，那么 称 y 等于 f， x 在 x 等于 x 零处可导，并把这个确定的值叫做 y 等于 f， x 在 x 等于 x 零处 的导数记作 f 片 x 零。好，那么这么一堆话，大家发现其实它指向了一个 表达式，就是 f 撇 x 零就等于 limit delta x 趋向于零， delta y 比 delta x。 然后呢，这个 delta y 指的是什么呢？是 x 四零附近的 delta y， 也就是 f x 零加 delta x， 再减去 f x 零，再比上 delta x。 咱们在初学的时候，大家不必纠结它在哪一个地方是属于有极限，它在某一处可导，我们只需要知道 我的这个 d 它趋向于零的时候，极限它有唯一一个确定的值即可，也就是我会用导数的定义去求某一处的导数即可。 接下来我们来进行练习好。首先这道题要求的是平均速度，那么我们确定平均速度就是 der 它 s 比 der 它 t， 而这个 der 它 s 指的是在 s 底下一加 der 它 t， 再减去 s 一， 再比上 der 它 t 好。那么大家可以发现这个 der 它 s， 不 管是 der 它 s 还是 der 它 t， 它永远对应的形态都是末减出，比上末减出 好。接下来我们只需要代入求解，因为 s 等于 t 方，所以上面是一加 der 它 t 方，再减去一的方，再比上 der 它 t， 再整理二倍的 d 它 t， 再加上 d 它 t 方，再比上 d， 它 t 就 等于二，再加上 d 它 t， 所以 选择 a 好。 那么第二题它是数学上的一个表达，那我们就知道这个式子本质上在求平均变化率 d 它 y 比 d 它 x， 并且他已经告诉你啊，这个呃末减出比末减出。所以我们只需要带入求解即可。一加德尔特 x 方，再减去一，再比上德尔特 x， 整理二倍的 delta s， 再加上 delta s 方，再比上 delta s 就是 二，再加 delta s， 选择四 d 继续这样的平均变化率，那么我们只需要把这个式子代入二倍的 一加 h 的 方减一，然后后面这个地方也减一，所以我们直接可以把负一负一就消掉，再减去二乘以一的方，就是二 h， 二倍的 二 h， 再加上 h 方，那么算下来是四，再加上二 h， 选择二 b 好。第四题是需要我们反推这样的函数表达式，那么我们首先来看它将平均变化率为二倍的德尔特 x 加三，好，那我就先去看德尔特 y 比德尔特 x， 它到底是谁？ 它应该是 f 一 加德尔特 x， 再减去 f 一， 再比上德尔特 x， 既然它是一个二函数，最后解得这样的变化率为二倍的 delta x 再加上三，所以 f 一 加 delta x， 再减去 f 一， 就等于二倍的 delta x 方，再加上三倍的 delta x 好，那么不妨设 f x 等于 a x 方加 b x 加 c 好， 然后给它带进去， 就是 a 倍的一加 d 幺 x 的 方，再加上 b 倍的一加 d 幺 x， 再加上 c 减去 a 减 b 减 c 来整理这个式子。 a 倍的 二倍 der 它 x， 再加上 der 它 x 的 方，再加上 b 倍的 der x， 它就等于二 a 加 b 倍的 der x 再加上 a 倍的 der x 的 方 好。然后进行一一对应， a 等于二，二 a 加 b 等于三，那么可以解得 a 等于二， b 等于负一，好，那么我们就发现 f x 它等于二 x 方减 x 再加上一个 c， 那 么这个常数 c 大家可以任取。所以最终我们写一个最简单的，就是二 x 方减 x。 第五题，我们求平均变化率仍然是 der 它 y 比上 der 它 x， 那 么它就是 f x 零加 der 它 x 再减去 f x 零好， x 零加 der x 再减去 s 零，分母就是德尔塔 x， 然后给它代入求解，解得等于四 x 零，再加上二倍的德尔塔 x， 那 么大家可以发现第二问， 我们对应的这个区间当中 x 零，它就等于二的 x 等于零点零一，所以我们直接可以代入到上面的这个的它 y b 的 x， 最后解得它的平均变化率是八点零二，我们再来看第六题，第六题它给的这个意思呢？就是瞬时速率了，所以我们可以确定的是二十四米每秒是 三秒，这一刻的瞬时速率。第八题，求瞬时速率，那么我们求瞬时速率之前，先去算平均速率，也就是 d 它 s 比上 d 它 t but s， 它本质上就是这么一个函数，所以我们并且它应该是两秒两秒附近的，那我们就应该是 y 二加 d， 它 t 再减去 y 二，然后再比上 d 它 t 好， 给它带入二加 d， 它 t 的 方，再加上四倍的二，加 d， 它 t 再减去 二的方，再加上四乘二，再比上单调 t， 它就等于单调 t 好， 上面的进行抵消， 前面剩下四倍的单调 t， 再加上单调 t 的 方，后面的十字相减，再加上四倍的单调 t， 最后解的单调 t， 单调 t 方，再加上八倍的单调 t 好， 然后再给它分离。常数是单调 t 再加上八，那么我们刚才算出来的是平均速率。 接下来我们还需要算顺式数速率的话，需要去求极限，求谁的极限？求单调 t 趋向于零的时候，单调 s 比德塔 t 的 极限，那么这个时候我们就可以把这个式子直接带入德塔 t， 再加上八，那么当德塔 t 趋向于零的时候，很明显这个式子 它趋向于八，趋向于一个固定的常数，那么它的瞬时速率就是八秒八米每秒。 第九题，这个式子考察的是我们对于导数定义的理解和明显，这个就是导数的表达式，并且它是二附近的导数， 所以是 f 撇二，二处在 x 等于 x 零处的导数，也就是 f 撇二，那么 f 撇二等于六， 好，这道题呢，它要算的是 f 片一，也就是一 x 等于一处，它的导数，那么我们可以根据定义去算，最后解得为二。 第十一题，它的意思是让你去求 x 等于二处，它的导，也就是算 f 撇二，那么它算下来应该是负的四分之一，大家可以按暂停键计算。 接下来我们来看如何使用定义法去求导数。 那么首先大家要弄清楚的是导数的本质是什么？导数的本质就是顺，顺时变化率，那么顺时变化率又是从何而来？从平均变化率，所以我们先算。第一步，先算平均变化率 delta y b delta x 好。那么对于这道题，我们要算的是 x 等于一处的倒数，那根据定义就应该算 f 一 加德尔塔 x， 再减去 f 一， 再比上德尔塔 x 好。然后接下来代值一加 derta x 分 之一，再减去一，再比上 derta x。 这个式子我们需要通分，一加 derta x， 一 减去一减 derta x， 再比上 derta x， 算完之后是负的一加德尔塔 x 分 之一好。第一步，平均变化率求完了。第二步，我们要去求极限， 求谁的极限？德尔塔 x 趋向于零，德尔塔 y 比德尔 x， 那 么这个式子它就是代表着 f 片一 好，那么也就是 limit x 趋向于零，负的一加 delta x 分 之一，那么当 delta x 趋向于零，那么一加 delta x 趋向于一，所以最终这个导数 指是负一。我们再来练一道题，他要算这个函数在 x 等于一处的导数，那么还是先去算平均变化率，得它 y 比得它 x， 那 么它对应的在一附近就应该是一。加上得它 x， 再减去 f 一， 再比上单调 x 好。 接下来把函数值代入根号下，一加单调 x 方，再加上一，再减去根号下一逗方，再加上一。 那么遇见这样的式子，我们该如何去求减呢？大家先不要怕，我们可以进一步往下走，走一步看一步 好。那么这个式子底下整理了之后是 der 它 x 方，再加上二倍的 der 它 x， 再加上二，再减去根号二，再比上 der x。 遇见这样带有根式的式子，我们通常的想法就是给它有理化， 那么上下同时乘以 derit x 方，再加上二倍的 derit x， 加二，再加上根号二。 外面还有一个 derit x， 那 么上面分子上就可以有理化。计算完了之后是 derit x 方，再加上二倍的 derit x， 这个时候我们发现 der x 和 der x 可以 约掉一个，所以是 der x 加二，分母就变成了根号下 der x 方，再加上二倍的 der x， 加二，再加上根号二。 接下来我们来算极限。 limit delta x 趋向于零， delta y 比 delta x 就 等于 limit delta x 趋向于零。 delta x 加二，再比上根号下 delta x 方，再加上二倍的 delta x， 再加二，再加上根号二。好，那么我们当 delta x 趋向于零的时候， 分子趋向于二，分母趋向于二倍根号二，最后 剩下的是二比上二倍根号二，最后解得二分之根号二，所以 f 片一就等于二分之根号二。

好，同学们，这点呢，给大家介绍一下导数的几何意义。问题啊，还是从这个变化率开始说，我们刚开始的时候学了两种，两种变化率啊，一个是平均变化率是 f x， 加德泰 x， 这个地方我们用这个图来去看一下啊，啊，这个是 x 一 啊， 加德泰 x， 我 们把这个它这个地方叫 x 二哈，把它改成 x 一， 加德泰 x 啊， 那么这个时候呢，这个平均变化率从点 a 到点 b 啊，平均变化率就是这个 y 值之差，是吧？除以它的 x 值，差得 x 啊，这个叫平均变化率，那么它反映的这个图形中的这个含义呢？就是这个直线 ab 啊，或者叫割线 ab， 它的一个斜率，因为这个地方是 y 值之差，除以 x 值之差，正好符合我们的一个斜率公式。那么当我们的顺势变化率的时候呢，就是前面加了一个极限啊，让得 x 趋向于零的时候，这个时候， 呃，什么意思呢？从图形中它反映的就是什么呀？这得 x 趋向于零，说明这个和这个 s 一 基本就相等了呀，说明这个点 b， 它就是向 a 逐渐在靠近，当这得 x 趋向零的过程中， 那么在靠近到一个什么程度，就是靠近到，基本上可以理解为和这个点 a 重合了，这时候这个直线 ab， 它就可以看成什么了，看成这条蓝色的这条直线了，其实就变成了这个函数的一个切线，所以说它就是在点 x 一 处的一个切线斜率，这就我们在 x 一 处导数的一个含义啊，也就是这个式子， 所以说它表示的是在 x 零处的这个顺时针变化率，表示的是切线的斜率，这个顺时针变化率其实就是我们说的导数啊。那么呃，咱看一下这个地方啊，就是说 在 x 零处的导数几何意义？就是在这个点处的切线的斜率，也就说这个曲线，这个曲线往往一般来说就是一个函数啊。呃，在这个这个点处的切斜率，那就是 f 导 x 零， 那么相应的切线方程，我们用一个点斜式方程写一下，就是 y 减 f x 零，因为它这个切线还会经过这个点，是吧？ y 减 f x 零等于这个 k 倍的 x 减 x 零啊，这就那个斜率 k 啊。好，我们通过这个例题来给大家简单的看一下啊。 那么第一问啊，他是这个在 x 零一处的切线方程，我们可以先求一求这个函数呢，在 x 零一处的导数，对吧？ y 导啊，先求一下这个，因为我们学过了这个求导法则了哈，直接写结果了啊， y 导就是三 x 方，那么当这个啊，写一下啊，当 x 取一的时候，那么这个导数应该是三，又说我们的切线斜率，这就是切线的斜率是三，所以说他在这个 横坐标为 x 等于一的点处，那我们知道它应该是过这个呃，一一的，对吧？通过这个函数的解析式可以看出来哈，所以说这个切线方程就是 y 减一等于 k 倍的 x 减一， 哎，把化简一下就可以了啊，这是我们的第一问，呃，也就是 y 减一等于三， x 减三，也就是三 x 减 y 减二等于零，是吧？是这个啊， 那么第二位，第二位的话，求的什么是曲线过一一的线段？一个是在一一处，一个是过一，这两个有什么区别呢？咱这个简单通过图像给大家简单的来介绍一下啊。嗯， 画个图方便大家理解啊。这个一个三次函数，是吧？三次函数大约是一个这样的一个函数啊，然后他这个在一一处， 他咱刚刚求了一个，其实是相当于是这条切线啊，这有一个切线，那么其实他经过这个点的话，还可以做哎，这边可能还能做出一条切线相切于另一个位置， 比如说过一一，他不一定是相切在一一啊，他有可能是相切在这个曲线的另外一个位置，对吧？那这个点呢？现在不知道是吧？不知道的话我们就暂时用 x 零，那 x 零的话纵坐标，因为这个切点一定是在 这个函数图像上，所以说它应该是 x 零的三次方啊，这是我们第一步设这个切点啊，我们写一下设切点 为这个 x 零 x 零的三次方啊，然后下一步怎么办呢？就是求一下在这个切点处的导数，对吧？那么就是 y 导啊，那 x 等于 x 零处， 那应该等于什么呀？我们知道 y 导是三 x 方，对吧？当 x 去 x 零的时候呢，就是三 x 零方，这也就是什么呀？这个切线斜率，是吧？所以说这个切线的方程，我们暂时就可以用这个切点的这个点斜式来写一下，也就是 y 减 x 零的三次方，等于什么呀？等于 k 倍的， 这是那个 k 啊，是吧？ x 减 x 零，这样我们就用点斜式写出这个极限方程，但是还没有求出来，对吧？题目中还有个什么条件，就是说过这个一一，对吧？过一一的话，我们把一一代入啊， 代入这个一一就得到什么呀？得到一减 x 零的三次方，等于这个三倍的 x 零方， 乘以一减 x 零，哎，这样就可以了啊，然后我们最后把这个 x 零解出来，就得到这个极限的方程 啊，这是我们的这个在一一处和过一的一个区别啊，这个过的话一定要先把这个切点设出来啊，这是我们的解决这种切方程的一个主要的思路啊。那么其他题目下一课再给大家进行介绍。

高等数学中倒数的意义，在之前呢，咱们已经讲过了，倒数的基本定义，对不对？接下来呢，我们来看一下倒数的几何意义啊。好， 我们先来回顾一下，这个图，非常简单，已经讲过了，有一个什么 x 折，有一个 y 折，那么有一个曲线，曲线上有一点这一点呢？还有条切线，对不对啊？非常简单啊，好了，我们来看一下， 那么从几何的角度来讲，那么这个导数实际上就是在这一点的切线的斜率， 对不对啊？那么另一个角度来讲，什么叫斜率呢？就是这条切线的轻角的正切纸啊，正切纸这两个概念其实是一样的，这个咱们咱们几何当中，咱们都是学过的，是吧？没有问题。好了，这都不是重点，重点是什么呢？重点是下面这一部分 就是党数这个东西我们学完之后，对我们人工智能有什么帮助？他给我们带来了什么啊？大家看一下啊，在这个函数左边一部分，右边一部分，我把它分为两部分来看啊，我先来看右边这一部分的话，那么函数是越来越大的，对不对？我们称之叫递增区间， 那么在这个地增区间里边，大家来看一下啊，这个倾角是不都是什么？这样一个范围对不对？那么这个范围的倾角是不是正切直都大于零啊？ 是这样吧，哎，那么也就得到一个结论，在函数的一个递增区间里边，倒数值是大于零的，相反，在函数的递减区间，倒数值是小于零的， 那么中间这一点函数不增不减，这是一个极小指点，那么或者是一个极大指点对不对？在极指点这个地方，函数是不增不减的，那 他的导数值等于两对不对？这个结论非常的重要，这个结论告诉我们啊，函数的增减性跟导数的正负性 之间是有密切关系的，对不对？哎，这点也是我们后面讲的梯度下降法的核心的依据，我们函数进行优化的核心的依据，这一点大家深刻理解一下。关注我领取原代码和学习课程。

同学们好，这一节课我们来上高中数学选修二、导数的第三节课。导数的几何意义 在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识，不仅要学习它的定义公式，还要学习它具有的性质或几何意义。比如负数除了是一种数外，它可以与平面内的点向量一对应， 数列 a n 除了是一列有规律或无规律的数外，它可能还具有函数的性质。同样的，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？ 我们先来看它。就一在前面的课中，我们已经了解到抛物线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系， 也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率， 那么导数也就是顺时变化率能代表曲线的斜率吗？因为我们知道在某一点处的导数值，它是 delta x 无限趋近于零的时候，函数值的增量，它除以 自变量的增量，它的极限值就是该点处的导数值。我们再来看一下它在图像上呈现出来的状态， 当点 b 逐渐向点 a 靠近的时候，这个时候呢，自变量的增量 delta x 逐渐趋向于零， 那么函数值的增量比上自变量的增量，如果在 delta x 趋近于零的时候，它仍然是存在，它得到的结果是一个确定的常数，那么这个时候这个极限值就是 x 零处的导数值。 在图像上我们可以看到这两个点就是无限的接近，那么这个时候呢，这条割线就逐渐变成了切线，那么割线的变化率它其实就是割线的斜率。 那当这两个点无限靠近的时候，那么这个时候呢，这个极限值它就变成了切线的斜率，它无论这个点是从左侧向 a 靠近，还是从右侧向 a 靠近， 那么最终得到的都是点 a 处的切线的斜率，那么所以说呢，这一个导数值，它就是切线的斜率。 我们再来看探求二，如图所示，函数 y 等于 h， t 的 部分图像是分析一下导数与函数单调性的关系。 我们先来看当 t 等于 t 零的时候，函数的图像，在 t 等 t 零处，它的切线平行于 t 轴，那也就是 t 零处的导数值等于零，因此呢，在 t 零附近，它几乎没有升降。 我们再来看一下，当 t 等于 t 一 处的切线，它的斜率小于零， 那有图像我们可以知道，在 t 等 t 一 的附近，这个曲线它是下降的，也就是这个函数为单调递减。那所以说呢， t 一 处的导数值是负，那么在 t 一 附近，函数为单调递减。 同样，当 t 等于 t 二时，在 t 等于 t 二处的切线，它的斜率也是小于零，所以说呢，在 t 二的附近，这个函数也是单调递减。 我们来看一下， t 等于 t 三或者 t 等于 t 四时，它对应的导数值是大于零的，那么所以说呢，它在 t 三 t 四的附近，函数是单调递增。 那由此我们可以知道，如果在某一点处的导数值为负，那么在该值的附近，他是单调递减，如果在某一个值处，他的导数值为正，则在该点的附近，他的单调性为增。 我们来观察一下这个函数的图像，做出点 a 处的切线，我们可以在图像上看到点 a 目前在正区间内，所以说呢，点 a 处切线的斜率是为正的， 此时点 a 所在的位置是函数的减区间，因此呢，点 a 处的切线斜率为负的。然后我们再来看，当点 a 又到达了一个正区间，所以说呢，此时点 a 处的切线斜率为正的。 那所以说呢，如果点 a 处的切线斜率为负，那么点 a 处附近是单调递减，如果点 a 处的切线斜率为正，则点 a 的 附近为单调递增。 我们再来看一下，它在增区间的这个范围上，切线的斜率越小，它增加的越慢。切线的斜率越大，它增加的越快。 那么同样在减区间上，也是切线斜率的绝对值越小，他减少的越慢。切线斜率的绝对值越大，他减少的越快。 在这一段上减少的比较慢，到中间这一段就减少的比较快，然后临近拐弯的这个地方，他又是减少的比较慢。 那同样我们再来看，在这个正区间内也是一样，他的斜率越大，他就增加的越快。他的斜率越小，他就增加的越慢。 那么因此我们就可以知道，如果导数值大于零时，导数值越大，他就增加的越快。那么导数值越小，他就增加的越慢。那么当导数值小于零的时候，导数值的绝对值越大，他就减少的越快。 那么同理，导数值的绝对值越小，它就减少的越慢。我们把刚才的探求来梳理一下第一条导数的几何意义。函数 y 等于 f， x 在 x 等于 x 零处的导数，这个导数值它就是该点处切线的斜率， 也就是 x 零处切线的斜率，它就等于当 dx 无限接近零的时候，这个平均变化率，它的极限值，也就是这一点处的导数值。 第二条，如果导数值等于零，则在 x 等 x 零处切线的斜率就是零。 如果导数值大于零，则在 x 等于 x 零处期限的斜率为大于零，并且在 x 等 x 零的附近函数单调递增， 导函数的值越大，说明函数图像变化的越快。第三条，如果导数值小于零，则函数在 x 等 x 零处的期限斜率 k 小 于零， 函数在 x 等 x 零的附近单调递减，并且导函数的绝对值越大，说明这个函数的图像变化越快，也就是减少的越快。 这里再给同学们提示几点，第一，由导数定义切线，它具有一般性。我们初中学过的圆的切线，它不具备一般性，因为我们高中所学的切线，它与曲线的交点不只是一个。 像正弦函数，它在 x 等于二分之派处的切线，它与正弦，它有无数多个交点， 也就是和每一个最高点都相切。因此呢，它和我们初中定义的相切，完全是从两个角度来说明的。 第二，期限的斜率 k 值与横坐标 x 零有关，与德塔无关，就是与你 x 的 增量没有关系，只与横坐标的位置有关。第三，导函数的值，它的正负决定函数的增减， 导函数的绝对值的大小决定增减的快慢。这也是我们前面讲知识点的时候给同学们强调的 好。接下来我们来看例，已知 y 等于 f x 的 图像如图所示，则 x a 处的导数值与 x b 处的导数值大小关系是什么样？ 我们可以看到，整个函数都是单调递减的，因此呢，这两个值都是小于零的， 但是在点 a 处，它减小的要比点 b 处减小的快，那所以说呢，点 a 处的导数值绝对值大， 负数的绝对值越大，那么它的值就越小，那因此呢，这道题就是选 b， 我 们也可以做出 ab 两点处的切线，通过斜率的大小来比较，那么很显然角大斜就大，那所以说点 b 处的切线斜率是大的。 我们再来看第二题，做函数 f x 的 导函数在区间 a b 上是增，函数导函数在 a b 上是增，说明它增加的是越来越快。 那有图我们可以知道，图像 a 它是增加的越来越快，那因此呢，就是选 a， 而图像 b 它是增加的越来越慢，那所以说呢，这个是不对的 选项 c， 它的增加是没有变化的选项到它是增加的先变快，然后再变慢，所以说呢，这个也是不对的。 我们再来看训练已知函数 f x 的 图像，如图所示，则下列数值的排序正确的是，我们来看一下它比较的几个数值， 第一是二，这一点处的导数值。第二是三这一点处的导数值。第三是 f 三减去 f 二，我们根据几何 e， 我 们知道它是 x 等二处的切线斜率， 那么这个它是 x 等三处的切线斜率，但是这个值跟曲线的斜率有什么关系呢？它只是两个函数值的比，我们知道斜率它应该是等于函数值的比，比上自变量的比。 那么所以说呢，我们把它改写成 f 三减去 f 二比上三减二，那因此呢，这个值就是二 f 二与三 f 三连线的斜率， 我们由图可以知道，增加的速度越来越慢，那因此呢，二处的导数值它是大于三处的导数值， 那所以说呢， ab 这两个选项就可以先排除掉。那么二 f 二与三 f 三的连线斜率与 x 等二处的斜率和 x 等三处的斜率，它们的大小关系又什么样呢？ 我们把这三条线的斜率做出来，同学们可以看到，在 x 等二处的切线斜率最大，那么其次就是 x 等三处的切线斜率。 那么由此判断，我们可以知道最后的答案是选道，那么这道题他加进来了一个 f 三减 f 二，同学们仍然要把它变成一个斜率，然后我们才能跟这两个斜率放在一起比大小。 所以说呢，我们要添上一个横坐标的叉，那么这个时候呢，就可以把它看成一个斜率，从而也就可以去比大小了。好，接下来呢，我们来学习利用导数的几何意义求解切线问题。 角度一，求切线方程已知曲线 y 等于三分之一， x 的 三次方加三分之四。第一求曲线在点 p 二四处的切线方程，它是在点 p 处的切线方程，那因此呢，这一个点它就是缺点， 那因此呢，我们需要去求当 x 等二时，切线的斜率是多少。我们先来求自变量的增量， 它是三分之一倍的二，加上 delta x 括号的三次方，加上三分之四， 减去三分之一倍的二的三次方，加上三分之四，去括号以后，三分之一提出来，那就是二，加上 delta x 括号的三次方，减去二的三次方。 我们把括号给它展开以后，首先是 dx 的 三次方，再加上六倍的 dx 的 平方，再加上十二倍的 dx， 再加上二的三次方，再减去二的三次方， 那么所以说最后的结果就是三分之一倍的 delta x 的 三次方，加上两倍的 delta x 的 平方，再加上四倍的 delta x， 所以 说 delta y 比上 delta x， 那 么就是三分之一倍的 delta x 的 平方，加上两倍的 delta x 再加四。 所以当 delta x 无限接近零的时候，三分之一倍的 delta x 的 平方加上两倍的 delta x 再加四，那么它的值就是四， 它就是 x 等于二十切线的斜率，那么所以说 y 减四等于四倍的 x 减二， 我们化解以后得到的结果就是 y 等于四， x 减四，那么这就是我们所求的切线方程。知道了切点以后，我们只需要求斜率就可以了，那么根据上节课我们学习的求斜率的三个步骤， 先求函数值的增量，再求平距变化率，然后再求极限，就可以得到他的切线斜率。 我们再来看这道题目，已知曲线仍然是 y 等于三分之一 x 三次方加上三分之四，求曲线过点 p 二四的切线方程，它是过这个点的切线方程，那么这个点到底是不是切点呢？ 它可不一定为切点，那么不是切点的话，切点是多少呢？题目中并没有告诉我们， 那所以说呢，没有告诉我们，我们要设它的切点坐标，假设切点是 a， 那 么就是 x 零重坐标呢，就是三分之一 x 零的三次方加上三分之四， 那么切线的斜率我们假设是 k， 那 么所以说呢，根据减斜式， y 减去三分之一 x 零加上三分之四，它就等于 k 倍的 x 减去 x 零， 那因为它是过点 p 二四，那么所以说四减去三分之一倍的 x 零的三次方，加上三分之四，它就等于 k 倍的二减去 x 零。 好，那写到这里呢，我们看到了这个四字中他有两个未知数，一个是 k， 一个是 x 零。我们要想求期限方程，要么找出来起点，要么求出来斜率，只要能求出来一个，我们就可以得到期限方程， 那因为我们有了导数的工具，我们可以利用导数来求斜率，那所以说我们先求函数值的增量，那就是三分之一 x 零，加上得 x 括号的三字法，加上三分之四， 减去三分之一倍的 x 零的三次方，加上三分之四，我们去掉括号，抵消掉三分之四，然后再提出来三分之一，那就是 x 零，加上 delta x 括号的三次方，减去 x 零的三次方， 去掉括号。要是 x 零的三次方加上三 x 零的平方，乘上 dx， 再加上三倍的 x 零，乘上 dx 的 平方，再加上 dx 的 三次方，减去 x 零的三次方。 抵消掉以后，那么剩下来的就是三 x 零的平方，乘上 delta x， 加上三 x 零，乘上 delta x 的 平方，再加上 delta x 括号的三次方， 那么所以说 delta y 除以 delta x， 那 么就是三分之一倍的三 x 零平方，加上三 x 零，乘上 delta x， 再加上 delta x 括号的平方， 然后我们取得它 x 趋向于零的时候它的极限值，那么这个结果它就是 x 零的平方， 那么它就是切线的斜率，所以说我们把这里的 k 给它换成 x 零的平方， 那么就是四减去三分之一 x 零的三次方，加上三分之四等于二， x 零的平方减去 x 零的三次方， 通过整理我们就可以得到它因式分解成 x 零加一与 x 零减二括号的平方相乘， 那么所以说我们解出来 x 零等于负一，或者是 x 零等于二，则我们对应的 k 一 的值，当 x 零等于负一的时候，那么斜率等于一，当 x 零等于二的时候，那么 k 的 值等于四， 所以说切线方程为 y 等于 x 加二，或者是 y 等于四 x 减四。 那么到此呢，我们就求出来了过点 p 二式的切线方程。我们把刚才的例题呢给同学们再来总结一下。 求曲线在某点处的切线方程，我们求导得出来这一点处的导数值，然后有点斜式可以写出切线斜率。 如果我们要求过某一点的切线方程，那么这个解析步骤是什么呢？第一步我们要设出来切点，因为我们不知道这一点是不是切点，所以说呢，我们要设出来切点， 然后通过求导得出来这一点处的斜率，再由点斜式方程写出切线方程， 把已知的这个点给他带入这个切线方程，从而解方程解出来 x 零的值，然后再把它带回到三中，从而解出来切线的方程。 这里同学们要清楚，我们最终消元以后，一定是得到一个关于切点横坐标的方程，我们把这个方程解出来了，然后就可以得到期限的斜率，从而就可以得到期限的方程。 接下来我们再来看这个例题，这种题目是求七点坐标或者参数方程已知曲线 f， x 等于 x 的 三次方加 a， x 在 x 等一处的切线与直线 x 加四外垂直，让我们求实数 a 的 值， 因为垂直他们的斜率相乘等于负一，那所以说呢，我们心里要清楚， x 等一处的导数值，它乘以负的四分之一，应该是等于负一， 那所以说呢， x 等一处的期限斜率，它就应该是等于四。那好，接下来呢，我们按照求导数值的步骤， 先求函数值的增量，那就是一加上 dx 括号的三次方，加上 a， 乘上一加上 dx， x， 减去 一带进来，那就是一加上 a， 去掉括号以后，那么就是 dx x 括号的三次方，加上三倍的 dx， x 括号的平方，再加上三倍的 dx， x， 再加一加 a， 再加上 a， 乘上 delta x， 减一，再减 a， 所以 说我们把它化解以后，最后就是 delta x 括号的三次方，加上三倍的 delta x 括号的平方，再加上三加 a 倍的 delta x， 那所以说平均变化率 delta y 除以 delta x， 那 就是三加 a， 再加上三倍的 delta x， 再加上 delta x 括号的平方。 再求极限值，当 delta x 无限趋近于零时，三加 a， 再加上三倍的 delta x， 再加上 delta x 的 平方，它的极限值就是三加 a， 那么这个三加 a 就是 等于四，那么所以说我们解出来这个 a 的 值，它就是等于一，那因此呢，答案就是选 b 加了一个与某直线垂直，它就等于间接的告诉你斜率，那你直接按照求斜率的方法去求就可以了。 那么接下来这道题同学们来做一下，他告诉你在某点处，其线的倾斜角为四十五度，那就是当 x 等于 x 零时，他的导数值等于一。你去解一下这个 x 零等多少，那么最终解出来的横坐标等于四分之一， 带进来以后，他的重坐标是八分之九，那所以说呢，该切点的坐标就是四分之一，八分之九。 我们再来看这道题目，已知直线 x 减 y 减一等于零，与抛物线相切，让我们求 a 的 值，那么这个题目呢，同学们在初中也应该会解， 那么我们来看一下，用我们高中的知识怎么去求解。直线跟抛物线相切，我们并不知道切点，所以说呢，我们要设它的切点为 x 零 ax 零的平方， 然后我们去求一下函数值的增量，那就是 a 乘上 x 零加上 delta x 括号的平方，减去 a 乘上 x 零的平方， 展开以后，它得到的是 a 乘上 delta x 括号的平方，再加上 r a x 零乘上 delta x， 然后我们来求它的平均变化率，那么约掉以后就是二 a x 零加上 a 乘上 delta x， 所以 当 delta x 无限趋近于零时，二 a x 零加上 a 乘上 delta x， 它的值就是二。 a x 零， 那么这个二 x 零，它就是切线的斜率，所以说二 a x 零就是等于一。那么接下来呢，我们怎么去求 x 零或者是 a 的 值呢？ 因为这个切点它又在切线上，那所以说呢， x 零减去 a x 零的平方，再减一等于零。 由这个式子我们知道 a x 零等于二分之一，那么所以说呢，这个 x 零再减去二分之一， x 零再减一等于零。 所以说二分之一 x 零它是等于二，那么所以说呢， a 它就是等于四分之一，那么这就是我们所求的结果， 那么这个条件就是切点在曲线上，那么这个条件就是切点处的导数值，他就是切线的斜率。那么这里我们还用了一个条件，切点他还在切线上，这里就相当于是三个条件， 七点在曲线上，七点在切线上，七点处的导数值为切线的斜率。那么三个条件对应几个未知数呢？他有三个未知数，一个是 k， 一个是 x 零，一个是 a， 那 么有三个条件，他一定可以解出来三个未知数，所以说呢，同学们一定要把这三个条件利用好，就可以对应的解出来三个未知数。 那么这道题呢，同学们自己来做一下，他让我们求的是过点四四分之七的切线方程，我们不知道切点要先设出来切点，然后通过解方程把切点坐标给他解出来， 那么最终得到的方程是十四分之 x 减去四 y， 再减四十九等于零。还有一条是二 x 减四， y 减一等于零。同们不要怕麻烦，严格的按照这个解析的过程去解，肯定可以得出来结果。 接下来我们再来看这个探求，由前面所学知识可知，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，我们能否通过求导研究函数的整体变化， 那么这里呢，就涉及到了函数在任意点的导数问题，因为我们前面在求的 delta x 无限趋近于零的时候， 在某一点处的导数值，它是 f x 零，加上 delta x 减去 f x 零，然后再除以 delta x 的 极限值， 那么这就是函数在 x 等于 x 零处的导数这一个结果，它表示的是在 x 零处的导数值。那如果是我们把某个区间中的任意点处的导数都求到， 那么这个时候呢，我们就得到了一个区间内的数值和一个导数值对应的关系。 某个区间内任意一个 x 都有一个导数值和它对应，并且这个对应的值是一个唯一的确定的数值，那么这样的话呢，我们就构造出来了一个函数关系，那因此呢，我们把这样得到的函数称为导函数， 那么导函数的定义就是，对于函数 y 等于 f x， 当 x 等 x 零时， x 零的导数值是一个唯一确定的数， 那么当 x 变化的时候， x 的 导数值，它就是 x 的 函数。对于区间内的任意一个自变量都有唯一确定的一个数值和它相对应， 那么这就是一个函数关系。我们把这一个函数关系就称为导函数，因为它是求导而得到的函数，因此呢，我们称为导函数，以后我们就简称为导数。这里的导数和前面我们学的导数它是不同的， 前面学的导数说的是某一点处的导数，以后我们再说导数，他说的就是导函数。如果在某一点处的导数，我们必须加以说明，这个导函数就是对于任意一个 x 通过求极限而得到的一个结果。 这里再给同学们提醒一下，在某一点处的导数值，它是一个具体的值，而导函数它是函数在某个区间 i 上，每一点都存在导数，而定义的一个新的函数。 如果是函数的话，任意 x 属于 i， 它都有唯一确定的 f x 与它相对应，那么现在是任意一个 x 属于 i， 它都有一个确定的导数值与它相对应，这样得到的我们就称为函数， 那么这样的一个对应关系，那我们就称为导数。接下来我们看这道题目，已知函数 f x 等于 x 的 平方减二分之 x， 让我们求这个函数的导函数， 那么解题的过程仍然是一样，我们先求函数值的增量，那就是 x 加上 dx 的 平方，减去二分之一倍的 x 加上 dx， 它再减去 x 的 平方减二分之一 x 去掉括号，整理以后得到是德特 x， 括号的平方加上二 x 乘以德特 x， 再减去二分之一德特 x， 那么所以说平均变化率，它就是等于 delta x 加上二 x 再减去二分之一，那所以说当 delta x 无限趋近于零的时候，那么这一个式子它就是等于二 x 减去二分之一， 那么所以说我们所求的导函数，它就是二 x 减二分之一，这一个导函数是定义域内的任意一个 x 都满足的，那所以说呢，第二位让我们求函数 f x 在 x 等一处的切线方程， 那所以说呢，我们直接把一给他带进来，那就是二乘以一减去二分之三， 此时我们求的是具体的在某一点处的导数，它一定是满足这个关系式的，那所以说我们把它带进来， 那么某一点处的导数，它的几何意义就是这一点处期限的斜率，那所以说这一个它就是期限的斜率，并且 f 一 它是等于一，减去二分之一等于二分之一， 那么所以说这个切点的坐标，横坐标是一，重坐标就是二分之一，用点斜式，那就是 y 减二分之一，等于二分之三倍的 x 减一， 我们整理一下，这就是三， x 减二， y 再减二等于零。我们在求导函数的时候，只不过是这里就不再是一个具体的点，而是区间内的任意一个 x， 仍然按先求函数值的增量，再求平均变化率，然后再求极限的步骤，最后可以得出来导函数的结果。 求导函数的步骤和求某一点处的导数的步骤是一模一样，所以说呢，同学们仍然按这个过程去操作就行了。 我们再来看这道题目，已知 f x 等于 x 分 之一，是通过导函数来比较负一处的导数值和三处的导数值的大小关系，那我们先来求它的导函数，求好以后，将负一和三带进去，就可以知道这两个值的大小。 先求函数值的增量，那就是 x 加上 delta x 分 之一，减去 x 分 之一，我们把它通分了以后是 x 乘上 x 加上 delta x， 那 么分子上就是负的 delta x， 然后我们再求平均变化率， delta y 除以 delta x， 那 分子上约掉以后就是负一 分，母上是 x， 乘以括号中是 x， 加上得 x， 然后我们再求得 x 无限趋近于零时，那么它的极限值就是等于负的 x 的 平方分之一。 那么所以说呢，这个函数的导函数，它就是等于负的 x 的 平方分之一， 然后我们再把负一带进来，得到的结果是负一，再把三带进来，得到结果是负的九分之一。那所以说呢，我们知道负一处的导数值，它小于三处的导数值， 这两个值就是导函数上的两个具体的值，那所以说我们把导函数解出来以后，直接带入就可以求解。 到此，今天的内容我们就讲完了，我们把今天所学的再给同学们来总结一下。我们首先学的是导数的几何意义， 在某一点处的导数就是该点处切线的斜率，那么所以说呢，切线的斜率 k 就是 等于这一点处的导数值。 我们今天学的第二个内容就是导数的符号与函数的单调性的关系，在某一点处导数值大于零，那么在这一点的附近就是单调递增。 某一点处的导数值小于零，那么在该点附近这个函数就为减。那到后面我们可以直接用导函数的正负来确定函数的单调区间，那么这个问题呢，我们在后面再学习。 今天学的第三个问题是求切线方程，求切线方程分两种情况，第一个是求在某一点处的切线方程，那么此时呢，该点就为切点。 第二种情况是过点 p 的 切线方程，此时呢点 p 它不一定是切点， 有可能是，也有可能不是，减屁，甚至都可以不在这个曲线上，那同学们要注意它的解析的过程，我们要设出来切点，利用切点在曲线上切点，在切线上切点处的斜率就是导数值来求减。 我们今天学的第四个内容是导函数，那以后我们直接称为导数，就是在某一个区间内任何一点都有导数，那么这个时候呢，我们把这个区间内任意一个 x 对 应的值就构成了一个函数关系， 那我们就称这个函数为导函数。我们是不是每一次解析都要这么麻烦的通过求增量，求变化率，然后求极限呢？ 其实是不用的，我们今天的做题是非常的麻烦，我们下一节课来讲我们在微积分中常用的几个导函数， 以后我们利用这些导函数，根据他们的预算法则，就可以非常简单的写出导函数，从而轻易的就可以得到在某一点处的导数。那这个内容我们下一节课再讲，这节课我们就到这里，同学们再见。

大家好，我是姜腾老师，今天我们要讲的是导数的几和一，今天我们的目标是了解导函数的概念，以及理解导数的几和一。第二会求导函数，第三，根据导数的几和一会求曲线上某一点处的切线方程。 第四，正确理解导出过某点和再某点处的切线，并回求其方程。 首先我们来看看切线的定义，如何定义一个切线呢？啊？我们对于这个割线啊，什么是割线？换一个曲线，哎，这就是他的割线。然后割线会有两个点， p 和 p e， 如果 p 和 p e 无限的接近啊，无限的接近，那么这个时候它会两个点变成一个点， 对不对？哎，这个时候我们就称这个线为 p 出的一个切线，也就趋近于零这两个点的距离啊，这个时候找到这条线就是这条，就是切线啊，所以我们对切线的定义是这样子的， 那么再看看那倒数的几和一又是怎么确定的呢？我们来看看倒数的几和一指的是 f x 在 x 等于零处的倒数就是切线 p t 的斜率。 其实非常好理解啊，因为我们的 k， 你看啊， k 是等于 y 二减 y 一除以 x 二减 x 一的，对不对？那你看这里，这不就是 y 二减 y 一除以 x 二减 x 一吗？对吧？首先是 x 零，这个点它已经对应的一个 y 零，然后再增加一点点，就 x 零加 d x x 对不对？那 y 零就变得 d x y 加上 dota y 对不对？那他们两个点的纵坐标相减，除以两个点的横坐标相减，这是增加的量吗？那不就是意思就是斜率吗？只是说这两个点无限的什么接近 啊？无限的接近，那么这个时候呢？它的含义，它的算法 又是 f x 零的倒数，就倒数 s， s 等于 s 零的倒处的倒数，对吧？这个值就是 k 值， 因为它们的含义是一样的啊，这也就是导数的几个亿，说白了就是对这个点，这个在某点处的求导， 那么这个点所对应把横坐标带进它的导数，那么得到的值就是该点切线的斜率，那么切线方程自然而然就出来了。为什么 y x 就用 点斜式？因为我们知道切点是 y 零，就 x 零 y 零，那斜率是 s 零的一阶倒，对不对？那这个时候不就用典型式就可以求出切线方程了吗？好，我们再看看什么 什么是导函数？对于函数 y 等于 f x， 当 x 等于 x 零时，那么 f x 零的导数是一个确定的数啊，这是没问题的，因为你把 x 零带进去都会算，通过计算就会算出一个确定的数，对吧？ 好，当 x 变化的时候呢，那么它就是一个函数，我们称之为 f s 的导函数，因为它不是一成不变的，对吧？它其实是在变化的， 对不对啊？只是说我要求某个点的时候，那就是一个确定数，但是如果我把整个来看的话，它是一个导函数，对吧？这个时候他们两者是相等的啊，刚才前面也说了，那他们两个的区别在于哪个地方呢？这一定是一个什么确定的数啊？这是一个式子 啊，当然有可能是长数，对不对啊？但他是一，一定是一个什么函数啊？所以这是他们两者之间的区别 来，我们看到基础次测低温函数 y 等于 f x 在 s 等于零处的倒数，它的几何意义就是曲线在这个点处的切线。没错， 第二，他在这个点有切线，那么倒数必然存在。哎，这不一定，因为倒数是等于斜率的，那如果切线是竖直做切线呢？ 那这意味着什么？意味着它没有斜率，所以倒数不一定是存在的啊，这里要注意。第三啊， f x 零 导数呢，是函数在 s 等于 x 零处的函数值。哎，这一点是对的，就是把这个一阶导求完之后，把 x 零带进去嘛，对不对？把 x 零带进去，那就算出一个值，那就它的函数值吗？它本身 是一个 fs 的一阶倒函数，对不对？这是一个具体， s 零是一个具体的值，带进去就可以了啊，所以他是对的。第四，直线与曲线相切，那么直线与已知曲线只有一个公共点，那可不一定啊， 如果曲线是这样子的啊，这画的有点神奇了啊，这样子对不对？就不止一个公共点啊。来，我们看看第二题，若曲线 y 等于 f x 在 在 s 零 f s 零处的切线为它，那么这个时候我们来看它的导数啊，因为我们已经说了，它的导数是导数的值，是等于切线的斜率，那这里的斜率是等于负二，那也就是 f s 零的导数。 对方遇事答案选 c。 我们看第三题啊，已知函数 f x 在 s 零处的倒数为一， 那么则函数 f s 在 s 零处的切线的斜率，那就一定也是为一。但是他问的是倾斜角，那你要转换呀，你的斜率是一，你的倾斜角就是多少度，四十五度。呃，不是 tage alpha， tenge alpha 等于一， alpha 就四十五度，对吧？来，我们来看到第四题， 若函数 fs 在 a 点的处的导数是负一，那么过 a 点的切线方程是什么？我们知道导数对应的几合一就是这个切线的斜率，那有点有斜率，我们用什么 点斜式就可以解决了，对吧？点斜式结束， 我们看到热点题型，第一类型，导数几何意义的应用啊，也就是和斜率相关，那么看看这里面，嗯，在 x a 处和 s b 处的导数关系到底谁大谁小，我们就看斜率啊。 对，这两个斜率肯定都是复制，对吧？但是我们知道在即使在复制的话，我们根据天津的函数图像知道，它是地层的，角度越大，斜率仍然是最大的，但越大的对不对？所以这个时候我们知道 答案应该选 b， 因为在 s b 的这个切线，这个切线的角度比 s 在 a 的切线的角度要大，对吧？所以斜率大于它，答案选 b。 我们再来看看第二题啊，若曲线在零 b 处的这个切点的切线方程是它，那么知道斜率是一，还有零 b 处 的切线，这个零币是既在曲线又在切线上面，因为它作为切点呢，然后把零币带进去， 是不是也是成立的？所以 b 应该是等于一的，对吧？好，那么 b 等于一的情况下，我们看曲线就是这个 缺点是零一，那么在曲线求导之后，就是切线方程的斜率，那我们把曲线进行求导，我们看看怎么计算。 首先我们要注意，这是在点零处进行求导啊，所以应该是什么呢？ 零加多少？ x 减 负零除以 dota x， 然后呢？ dota x 趋近于零，对不对？然后把 dot dot x 啊，零加 dota x 带进来， 再加上 a， 乘以 dota x 加一减一，除以 dota x 等于 dota x 加 a， 然后它的斜率是一，所以等于一，而 dota x 是趋近于零的，于是 a 等于一， b 等于。答案选 a。 好，自己再看看这个过程。 好，我们看看跟踪训练啊。 y 等于 a， x 方在 e a 处的切线与它是平 进行的，那么意味的斜率应该是一样的，所以我们应该先求一，求他在一的时候，他的倒数应该是值是多少，那么还是一样的，对吧？ line data x 趋近于零，然后呢？ f 一加 dota x 减 f 一除以 dota x 啊，这么一列，后面就不用多说了，那么它必须要等于这边的斜率二，然后减 a 就可以了。那我们看看这个过程，一除得到这个式子，它必须等于 啊，他先是 dot x， dot x 等于零嘛，直接算完就等于 r a， r a 必须要等于二，所以 a 等于一。结束 我们看第二题啊，如图这个曲线呢，在二 y 处的切 线尾 l， 求 f 二加上它的导数，对吧？那么先看切线的方程是什么呢？这里可以利用结句式很快写出切线的方程， 于是我们得到切线的方程 k， 就知道等于负一，对吧？那么在二的地方就是它的斜率啊，就是切线呢，所以它等于负一， 而 f 二是几呢？ f 二把它带起来呀，因为它既在曲线上，又在直线上，所以是二分之一，加上四分之 y 等于一，然后呢， y 就等于二。 ok， 那这里不就出来了吗？ 这里是二，这里是负一，二加负一等于一。答案选 d 好，我们来看看类型啊，求切点的坐标，过曲线上某一点 p 的切线，满足下面条件，分别求出 p 点， 那我们现在把曲线的导数求出来，对吧？那么它的导数就等于这个现在应该都非常熟悉了啊， 这赵本宣科 这个过程你要跟得上啊，让带进这个函数， 哎。最后一除 x， 好，我们看第一个，平行于它，那么斜率应该为四， 那 s 就等于二，对不对？所以它求的是 p 点，那你 s 等于二，要带回取线，那 y 就是四，所以是二四， 这 p 一。第二个啊，垂直于它，那么斜率和它相乘应该等于负一，它这边是斜率是 三分之一，那么它乘以三分之一等于负一，那 x 就等于负的二分之三，那 s 等于负的二分之三，再带进来，横坐标 负二分之三，纵坐标不就四分之九吗？对不对？好，我们看第三题， us 轴承一百三十五度的倾斜角，那 tang 一百三十五度 是等于负一，所以二 x 等于负一，那 s 就等于负的二分之一，那第三个点不就负的二分之一？平方的代进去四分之一解数，对吧？所以求点还是比较 容易的啊，这个步骤你搞清楚一下啊，先找，先求导，找斜率，然后斜率呢？令他等于他的这边的斜率的关系，找到之后算出 x， 然后再带回远函数，对吧？ 好，这个过程你可以自己看一看，比较容易啊，就不多说，来我们看看跟踪训练啊，他在 p d 点出的切线方程应该为多少？这里还是应该先求导数， 那么这个时候它就等于零，得到 x 趋近于零，得到 y， 除以得到 x， 对吧？然后呢，这里式子我觉得还是要写一写给你们 带式的过程啊，其实我原本可以直接放答案的，但是呢，我这地方觉得你还是跟着我走一遍吧，对吧，就算是写一遍这个好，看上去无用功，但是对你来说还是很重要的，这个过程啊，然后拆一除， 对吧？这个要自己去算，好吧。最后因为得到 x 趋近于零，所以等于四， x 好切，切 方程是他，那么四 x 不就等于八吗？ x 不就等于二吗？ x 等于二，带回来或者带带到七乘方程都可以。注意啊，注意，这个地方我强调了这个问题啊，都可以，后面你肯定用得到。 好，那这个时候 s 等于二，然后代进来八减七一，所以是二逗号一，结束，自己看看这个解答过程。 好，我们来看看类型。三、求曲线的切线方程如何？求曲线 f x 再点 s 零， 这里出的一个切线方程呢啊，我们可以根据导数的几和一求出 y 等于 f x 在 点 s 零， f s 零处的倒数，对吧？然后把 s 零带进去，求出它的斜率，然后根据点斜视就可以了啊，这个比较容易探究。问题二，在点处的切线方程和过这个点的切线有什么不同呢？ 在这个点处的切线，那么他一定是切点，只要求求出倒数，然后斜率和这个点建立联系就可以了。而过这个点的切线呢，不一定，因为这个点不一定在曲线上，他可以是这样子的， 在这，所以它的曲线也不一定是切点，那么做法就更加复杂一点了啊，我们后面可以有这样的例题来给大家有具体的步骤，应该怎么去做？那么看曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点呢？啊，那可不， 这个曲线可能是弯弯曲曲的，对不对？是吧？所以这里面没有这个就不一定是只有一个焦点，对吧？我们随便画一个弯弯曲的图就解决了，前面我们也说过， 好，我们来看看例三啊。例三应该是一个非常经典的例题，所以你一定要仔细听。已知曲线 y 等于三次方，那么求曲线 c 在横坐标 s 等于一处的切线方程。注意了，这是切点。 好，那我们先来求一求啊！我们先来求一求 y 的倒数 live。 dota x 趋近于零， dota y 除以 dota x nim dota x 区近于零， 一加 dota x 的三次方减一除以 dota x 等于 dota x 趋近于零，然后呢？三加三， dota x 加 dota x 的平方， 最后因为得到 x 等于零，所以它就等于三，所以在 x 等于一处的地方，它的斜率是三啊，也是 k 是等于三的 好， k 等于三，你 x 等于一啊，那你的 y 必定也是一，因为你作为切点带到曲线，对不对？那这里不就出来了吗？ y 减一等于 s 减一乘以三结束，对吧？化减一下 解决。所以第一问还是比较容易的，那么第二问请你 仔细的听。好了啊，这里我们要注意了，他是过这个点做切线发叉，我们在这个点既可以是切点， 也可以不是缺点，对吧？如果他是缺点，那就是低问的情况吧，对不对？没问题吧？那如果他不是缺点呢？对不对？所以这个时候你要干嘛？ 设缺点为 q s 零 y 零。哎，有人说，那，那在这个上面怎么不是缺点呢？你看 可以这样去切，对不对？切在这对吧？过这个点是吧？所以这里面我要设切点为 s 零 y 零，好，那根据前面我们知道 切点为 s 零 y 零，那么这个地方我们要注意了，可以先求啊，对不对？因为切点本身是在曲线上的，那么这个切点我们可以表示成这样， 这没毛病，对不对？然后斜率呢？根据前面的这种方法再去求一次，把这里的啊 s 三次方用 dota y 除以 dota x 求一次， 再用这个 f x 加 dot x 减去 f x 除以 dot x。 啊，那求出来呢？是三 x 方啊， 那么我们就知道 k 就等于三 x 零的平方，因为这是缺点啊，对不对？ 好，注意了，这是切线的斜率。切线的斜率是不是还有一种求法？ 切线的斜率，因为你还知道它是过一点的，你这个是切点，这个是一，所以 s 零三次方减一，除以 s 零减一和三 s 零次方平方应该是相等的，因为他们都是切线的斜率， 对不对？都是斜线的斜率的话呢，这个时候不就减这个式子就行了吗？ 对吧？这个式子这上面等于什么？ x 零减一， x 零的平方是三次方公式，对吧？你肯定要熟啊，然后得到下面这个式子，对不对？这一约是吧？那么这个时候不就 x 零等于一， s 零等于负二分之一，细心的同学已经发现了啊， s 等于一怎么行呢？这里不是等于零吗？分母又是零，对不对？因为 s 等于一，为什么出问题啊？你 s 零等于一的时候，其实这个点 就是一和我们这个点重了，这两个点之间本身是没有斜率的对不对？因为他们是同一个点，所以 s 零等于一是单独考虑的啊。并且第一个情况里面，我们已经证明出来， s 等于一就是这个情况，对不对？所以就把这个情况写上去就行了。相对应的切线 啊，假设的切点和这个过点是重叠了，那么第二个呢？等于负二分之一，那就不一样了啊，那这个时候切点坐标怎么算？把负二分之一带回原曲线吧，对不对？那就是负二分之一，然后三次方负的八分之一，那切线方程很简单， y 减去负的八分 之一等于斜率是多少？斜率是四分之三，因为斜率是把负二分之一带进去的，对不对？然后呢， s 减去负的二分之一整理，于是我们知道过点一的切线有两条 啊，这是一道非常伟大的题目，一定要好好的斟酌一下啊。这里面呢，你整理的过程中，一定要看这怎么设，就第二问怎么去求的设切点，然后求导数，然后利用 这两个点之间的斜率等于求导的斜率，这样连发生两点斜率等于求导斜率 列方程，求出证明的纸，最后就可以写出切线方程了啊，其实并不难。好，自己再看看答案，整理一下。 那么看母题探究啊，把第一小题中的切线与曲线 c 是否还有其他的公共点呢？ 啊？那我们看看求公共点就好说了，我们直接把这个切线与这个曲线进行连例不就知道了吗？哎，如果发现他们有两个公共点，对吧？除了切点音外，确实还有另外一个公共点，但其实这种题我觉得意义不太大啊， 那么看，在变条件求他过一零的切线方程，注意过啊。所以这个时候呢，我们先要设切点， 设缺点 q a a 方加一，然后再去求它的导数，对吧啊？ f a 加 data x 减 f a 除以 data x， 然后呢，等于这个 在 a 处的倒数，我们求出来啊， r a 加代表 x 好，当它趋近于零的时候，那就是 r a， 对不对？是吧？所以 k 等于 r a 好， k 等于二 a， 那也就是说，什么 p 点和 q 点的斜率也应该等于二 a， 因为它也代表着切线的斜率，对不对？所以 a 平方加一，减去这里的零除以 a 减一，应该是等于二 a 的，然后解得 a 等于一， 正负根号二啊，你说那两个怎么办？那就有两个答案呀，对不对？是吧？你 a 等于正负，呃，一正负根号二的话，就代进 q 啊，是不是 q 点不就知道了吗？ 对不对？你有 k 有 q 或者是一零也可以啊，过过一零点吧，那就 y 减零，用 p 点好做啊，乘以斜率，一个是一加根号二，还有一个什么 一减跟二，这不就结束了吗？对不对啊？两个方程就出来了啊，这就简单了好吧，好，自己再看看。这个过程 始终是利用斜率的两种求法，一个是两点式，一个是求导的式，对不对？就这么简单来，我们看到 课堂小册啊，已知曲线 y 等于 f x 在 e f 一处的这个切线为这个，那么它的导数是多少？哎，就是它的斜率吗？二结束， 我们看第二个啊，设立做法正确的。是啊，若导数不存在，那么这个 f f s 零的导数不存在啊，那么它在这个地方没有切线，不代不代表没有切线，因为切线有可能斜率不存在。 第二，若是曲线 y 等 f、 x 在这个地方有切线，那么它的导数必成的，那不一定，万一数值呢？还是这个问题，对不对？因为 斜率可能不存在，那么看 d 选项啊，他这个地方没有切线，那么他的导数可能存在。不对，你都没有切线，怎么会有导数呢，对吧？所以 c 是对的啊，如果导数不存在，那么这个地方斜率斜率也是不存在的，这 值对的，只要这个导数不存在，他一定斜率不存在，因为说那数值呢，数值也是不存在啊，对不对？就是不存在啊。我们看第三题啊，求他们的大小关系，其实求斜率都有关系，对不对？明显 a 的倾斜角比 b 的倾斜角要大，对吧？倾斜角是这一部分，所以，而且他们都是大于九十度，都是复制，对吧？所以呢， 这里面左边大于右边，就比他的倾斜角谁大，对吧？在同样大于九十度的情况下才能比较， 因为零到九十度和九十度到一百八十度之间，这个斜率就不一样，有正负分了，对吧？他们两个没有正负，他们两个都是负的啊， i'm gonna！ 这里啊，这个题目就已经非常得心应手了，对不对？我们只要求他导数在负二，这个地方的导数好带回原式， 怎么整理呢？上下同时乘以负二加调查 x 就可以了啊，然后上下再约掉调查 x， 于是发现调查 x 等于趋近于零， ok， 负二分之一好， k 等于负二分之一点，在这里 点斜式结束，对吧？好，我们看第五题，直线与它相切，求切点的坐标以及 a 的值啊。直线与它相切，那就是说曲线求切求倒的时候，它的斜率必须等于四， 对吧？这个曲线求导得到 y 除以得到 x 嘞，对不对？常规求法对吧？无非就是把， 呃，本来是 f x 加 dota x 减 fx， 对不对？然后就去把它带进去呗，前面是 fx 加 dotax， 呃，后面就是 fx， 对不对？好，整理一减， dotax 趋近于零，得到这个式子， 那么根据导数的几何意识到这个斜率应该是等于四的，对吧？当然在某一点啊，我们就试这个点为切点为 x 零 y 零，那带进去的话，就应该等于四， 倒数等于斜率嘛。好，算出 s 有两个值，那就意味着什么？有两条切线，对吧？有两个切点， 于是得到两个缺点之后，这个缺点怎么求的呀？你把 s 零求出来之后，直接带回原方程就行了，对吧？所以有两个缺点啊。有人说怎么会有两个缺点呢？ 这里可不是同时有两个确定啊，因为这个 a 不确定，只能说平行于这条直线，所以会出现。哎，可能会出现这样的两条线， a 有两个不同的曲直，所以会出现两个不同的点 啊。不是一个切线有两，不是一条线有两个点，而是两条线分别有一个点啊。因为是平行 h 不同的直径会是不同的线嘛，对吧？那这个时候就有两个点好了，两个点分别去求， 不就可以求出两个不同的 a 值吗？对不对？好，你已知这个点，对吧？然后带到什么切线 对不对？切线方程是什么？ y 等于四， x 加 a， 这不带进来了吗？因为这个点是切点，它既在直线上又在曲线上。同理，当切点为二三的时候，你带到这个直线上是不是又得到另外一个 a 值， 对吧？所以有两个缺点，那么当作为这两个缺点的时候， a 值有这两个， ok 就结束了啊。最后一题也值得你去温固的，好吧，好，今天课我们就讲到这里，谢谢大家。

今天我们就来讲解一下在我们高二数学当中的一个导数的概念及其几何意义。首先来看他的一个导数的概念，他说我们之前学习物理的时候是接触到了一个叫做顺时变化率，对不对？ 嗯，那你可以去发现，比如说他说摩托车的运动方程是不是为假赛的啊？他是八加三 t 的平方，他说其中 s 表示位移，就是他的一个路程嘛，对不对？其余表示时间。那么知道他在某一个时刻的顺时速度，就可以更好地指导运动员进行比赛。 什么叫顺时？你看后面这还有个例子对不对？你看他说演练钢铁时，需要测定铁水的顺时温度，来去确定其他的一个质量标准，就是顺时，是说在某一个时刻的速度， 在某一个时刻的温度，懂吗？就是这样子，就是他抓的是一个点，不是一段会了没 对，他说上述的实力当中都涉及到某个量的一个瞬时变化率，对吧？在数学的意义上，这些实际上呢是某个量的函数的瞬时变化率，他说他在数学上称作，为什么呢？这个瞬时变化率在我们的一个数学当中叫做函数的导售， 也就相当是在某一个点的贴线的旋律，对不对？嗯，这个呢，简单了解一下。好，我们来把它展开讲吧。比如说什么叫做平均变化率， 凭借变化率的话，这个呢，应该之前有说过，对不对？有没有接触过类似这样子的呀？ 这个公式的话你可以不用去背，懂吗？对，就像说白了，你就相当是把它直接怎么样进行一个相处吗？ 嗯，这个呢，是我们目的当中也会接受到啊。然后呢？第二主要是看第二点倒数啊，如果当这个德塔克斯趋近于零时，他说平间变化率就是无限区进行一个确定的值，你要知道这个德塔 v 比三个德塔 x， 他表示什么？ 他表示的就是一个确定的值，对不对？ 好了没？ 难倒对不对？ 懂，对吧？嗯，然后 呢，对于这个极限的话是多少呢？对于这个极限的话是说什么叫极限？极限呢？是在我们的一个高呃，大学的时候会选到极限啊，他说则称 y 等于 fs， 在 s 等于零处，可倒，对吧？ 就是说其实他描述是在某一个点处的贴线的斜率就会等于你这个函数的在函数的导数吗？对不对？这个意思啊？他说并把这个 确定的值叫做 yzf 等于 sy 等于 fs， 在 s 等于零处的导售也称为顺时变化率，但是我们后面一般称的不称那种顺时变化率，对不对？ 理解吗？对，都不称它的一个算是变化率，对不对？嗯，这个呢，就简单了解吗？你要知道是 比如说他的倒是怎么表示？就是 fs 零，比如说 fs 零，他的倒数，对吧？就是越撇的吗？这意思吗？或者歪撇，然后呢？这个呢，有一条斜杠，然后呢？ 是不是 s 等 s 零啊，对吧？嗯， gf s 零的导售就会等于多少， 这个竖杠对吗？我给你解释一下吧，就是你 y 是不是斜杠，但是指 why 呢？就是要当多少？当 x 取 x 零的时候， 这个函数的导数，懂吗？这个意思就是你把它翻译就行了，它不是什么意思，它就是你这个对应的是字变量的曲子，就分开就相当于是，呃，分开来的话，就比如举个例子，函数 数在零都二，对吧？处的一个倒数，那应该怎么说？他这里要取的是这个缺点，是这个零吗？能懂吗？就把 x 等于零带进去，理解不 对，他只不过写法不一样啊，你看 f 零的导数这种，那就是也是一样的嘛，就比如说 f 零你应该这样子写，对不对？他的导数这样带吗？那如果写到这种形式的呢？他就是把这个零就是说在这个切点的横坐标大点圈，有句话呢，也是这样子说的，他说函数在切点的横坐标处的导数会等于切成了斜率， 我们可以画个图吗？对倒数呢，有点抽象啊，不过呢，你不要想的太复杂了，懂吗？就比如说你这个呢，是一个这样的图像，对不对？那你把它比如说在 某一个点处的切线的旋律，那就是你是不是要取出来啊？就比如说这个点对不对？这个是点 a， 懂吗？那这个点是不是这个是叫切点呢？对不对？ 贴线与这个函数的一个相交的一个交点吗？就是只有一个，这个叫缺点吗？比这个缺点呢，横坐标是二对吧？假三重坐标呢？是四，对不对？那么那这个函数呢？你把它求出导数之后，我们假设，比如说 fs 的导数， 举个例子啊，这个呢，肯定不像了吗？对不对啊？假如他就会等于三个十加一加三，对不对？那这个切身的斜对怎么求呢？ 就说你这个在这一个切线的旋律，他就会等于函数在这个缺点的横坐标处的导售，懂吗？也就说这个 k 就会等于你这个 f 二把这个缺点的横坐标带进去，然后呢？他就会等于三乘三二再加上一就等于七吗？这样子来的，因为他有时候会考你让你去求这个切线切线方程是多少吗？对不对？ 对，按一些球斜线放上，你要，你要，你要用到点斜式的话，是不是要用要提出这个切线的斜率啊？那斜线的斜对可以怎么求呢？他可以通过函数在这一个点的在一个切点的横坐标出的导数来求，会了没？就这个意思，有没有问题啊？ 对，要能够理解就行了，其实你重点是关注他的一个运用啊，就不用在这里去纠结这个呢，这种写法是在我们大学高等数学当中会学习到的，他是用了一个极限的思想，就是无限趋进步， 对吧？一个什么说达克斯无限区进行零食，懂吗？啊？他的这个导师会等于什么？就类似这样子，就是说他的一个呃，当这个是大学的知识，我就不拓展开来，因为拓展讲究很多了啊，就你要记住就行，对吧？他的一个平均变化率吗？ 发现没有，因为你这个的描述，他就描述的就是一个平均变化率嘛，就 dota， yb 三 dotas 嘛，对不对？理解了吗？ 可以了吧？ 嗯，对，第一题对不对啊？先看一下对吧？含缩在 s 等于零处的倒数反应了，含缩在某一个 区间上的一个变化的快慢程度，对吗？啊？为什么不对啊？是快慢程度吗？ 是他的倾斜程度才对，你能知道吗？斜对反应呢？你要知道吗？你，你比如说在这里是这样子对不对？那在另外一个点的那可能又不一样，又在，就比如说你这样子把它往下切下来的话，你们发现他的倾斜程度又不一样了， 你这个能理解吗？就别在这一个有个缺点，对不对？懂吗？他反应的不是变化的快慢，他反应的是他的一个倾斜程度，在某一个点处的一个他的倾斜程度吗？懂吗？这个有点不一样啊。嗯， 好，来看一下第二题啊， 对了，对不对？可以，对不对？ 嗯， 懂吧。 好，那要能够去知道对不对？对， 对啊， 你可以发现函数 y 的 f s 再 s 等于 s 零处的导数，他说与这个 台使得正负无关， 所以在你你通过这个也可以发现对不对？你看第一问当中，在某一个点出的一个变化的快慢程度，是在某一个点发现没有， 其实反应就是他的一个倾斜程度吗？这个意思吗？你要知道啊。对，第二个呢，是对的啊，这个呢，要能够知道你在他的一个导数对不对？你是看把他带进去之后得到的吗？所以和这个正负无关。那第三呢？ 第三是不是去假设 s 等于 s 零加上 dotas， 对不对？嗯， 对， 嗯 嗯，好了吧？对， 嗯，懂了吧？ 对啊，那你可以去发现那是多少，是不是泽德塔 x 就会趋近于零，对吧？ x 呢？也会确定于零，对吧？确定 x 零，其实你主要是看后面这个，对吧？他说因此 fs 零的导数就会等于多少。等于这个什么 limit 就线就是说极限吗？就是 x 确定 零食，对吧？他的一个平均变化率也会等于他。嗯，这种可以写的是他的定义吗？对不对？ 定义的话你不用去死记硬背啊。这个呢不是很重要先这个是大学会重点学对吧？这种表达是我们不会在高中不会这样子写的，后面懂吗？只不过他定义的时候就把他引出来稍微引了一下。但是呢是不用去深究线的啊。 啊，我们来先看一些题吧，好吧。嗯，来做熟练一点啊，这样子讲的话可能还是有点空洞的啊。

我们来看一个例子啊，那就是曲线 y 等于 x 分 之一，在这一点处，切线和法线的方程，注意求切线也好，求法线以后，关键是求谁？求切线的斜率， 那么切线的斜率是谁？就是这个函数在这点的导数，那这个函数导数怎么求呢？注意它实际上就是 y 等于 x 的 多少次方，负一次方， 你就问我们刚才 x r 法次方，这个求到等于谁？这个都等于 r 法倍的 x， r 法减一， 所以你看这个外一撇就等于 r 法，那就是负一倍的 x 的 负一减一就分，那所以这个等于谁？负的 x 平方根之一， 那么这一点的倒数，所以这个函数在这一点的倒数，在 x 等于二，这点的倒数，用这个记号来表示， 那就是这个呢，把二带进去，那这个把二带进去的话，大家看应该是负的四分之一， 这是导数，就是切线的斜率。那么这个时候呢？切线方程那把写出来，外减外零，外零是谁？外零就是二分之一等于斜率，斜率是负的四分之一，然后乘上 x 减 x 零， x 零是二，这就是切线方程。 然后呢法线方程，那么法线方程呢？仍然是外减外零，外零是二分之一，所以法线斜率跟切线斜率是负倒数， 那么他的负倒数，负四分之一的负倒数就四，然后谁呀？ x 减 x 零， x 减二， 所以你看有了导数以后，要求任何一个曲线在一点的切线，那关键是求切线斜率，也就是说只要求出这个函数在内的导数，切线斜率，就知道法线斜率，也就知道切线，法线方程都可以写出来，这就是导数的几何一。

本周开始，我们进入了本章的第一个单元，导数的概念及其易的学习。在前面两节课，我们学习了章一研，并探讨了两个变化率的问题。 本节课我们将继续探讨导数的概念及其几何。易的第一课时导数的概念。 那首先让我们一起来回顾一下前面学习的两个问题。情境 问题是高抬跳水问题，涉及到物理学中的平均速度和瞬时速度问题。二是抛线的切线问题，涉及到几何学中的割线的斜率和切线的斜率。老师在课前布置了作业， 要求同学们以学习小组为单位，类比这两个问题情境，搜集变化率实力要求，写出具体的问题和解答过程，根据小组提交的实力，筛选出非同之性的实力。有三例， 现在老师将这五个例子整理在学习任务单上。啊，要求同学们以学习小组为单位交流起来，并且 从数学的角度思考上述实力在过程与方法结果的形式上有哪些共同的特征。请同学们将探讨的成果整理在学习任务单上。 好，同学们好，现在我们有请这个小组的同学代表来回答他们组的探讨成果， 在探讨过程中应用了比如解析式法、图表法还有图像法那种一系列的特征。 好，实际上这是我们在前面学习两个问题情境的时候，探讨瞬时速度和切线斜率的时候，遇到这个三种不同的方式进行猜想验证的好，非常好，请坐。 那还有还有其他小组有补充吗？好，有，请第二小组的同学代表请说一下，这五个实力都涉及到了五个，具体的函数有哪五哦？然后还有没有其他的呢？都有自变，自变量的变化量。嗯，都用到了极限的思想， 他用极限的时候将函数变化量除以自变量的变化量。 啊，实际上啊，我们刚才这个小组总结的非常充分，他们是什么？这几个实力虽然来自不同的学科领域，但是在探讨的过程当中都涉及到将函数值的变化量除以自变量的变化量取极限。 那从这几个实力的数学共性，我们可以推广到一般的情形， 对于函数 y 等于 f x， 我 们就可以用 delta x 表示自变量，从 x 零到 x 零加 delta x 的 变化量， 用 delta y 表示函数之 y 从 f x 零到 f x 零加 delta x 的 变化量。 那这时候我们就将 data y 除以 data x 称为函数 y 等于 f x， 从 x 零到 x 零加 data x 的 平均变化率。 那还有其他其他组的同学有补充吗？好 在探索过程中都用到运动变化的观点，这些实力在解决问题中都有一样的表达形式，将平均变化率取极致后，在结果的形式上都得到了一个确定的数值。好，请坐。 那实际上我们注意到这几个实力在解决问题的过程当中，对于这个运动变化的观点，我们 对应的表述成， data x 无限地趋近于零 x 零加 data x 就 无限地趋近于 x 零。 那这几个实例在解决问题的过程当中，都采用了将平均变化率取极限， 在结果的形式上都趋近于一个确定的数值，那这里面呢？我们把这个确定的数值称为叫瞬时变化率。 纵观同学们贪求的过程，我们不难发现，在过程与方法上，这几个实力都应用到运动变化的观点来解决问题，都应用到极限的思想。 第三个是用平均变化率来逼近瞬时变化率。在结果的形式上，结果都是一个确定的数值，具有一样的表现形式。那依据我们这几个实例研究的思想方法， 我们推广到一般的情形。那么对于函数 y 等于 f x， 在 x 等于 x 零处，它的瞬时变化率如何表示呢？ 好，这位同学来，呃， limit delta y 除以 delta x， delta x 要趋近于零，然后就等于， 例如它多少 x 取近于 f x 零，加上多少 x 减去 f x 零，再除以多少 x。 嗯，好，请坐，这样我们就得到了一般。

下面这四个积分当中，只有一个积分值为负，你知道是哪一个吗？大家好，我是 cry 老师。今天我们一起来看一道将导数和积分的几何意义完美结合的一道题目，给了 f x 的函数曲线 以及 f 呢，它具有三阶连续导数，有三阶连续的导数，就说明呢，到三阶岛都是可以求定积分的，是可积的。那么这四个选项哪个是负的呢？我们排着来看一下。首先 a 选项啊，对 if 在负一到三上积分，那就视作是 if 在负一到三上与 x 轴所为成 平面图形的面积，那这个面积呢，显然是大于零啊，所以 a 不选。再看 b 选项，说负一到三上对 f 一撇积分来从 b 选项开始处理的方式很关键。如果你把 f 求了个导啊，研究负一到三上的导 数图像，这个题你就开始走远了。最佳的解决方案是什么呢？你要想到四个字叫牛来公式， f 一撇，它的原函数不是 f x 吗？那实际上呢，在负一到三上对 f 一撇的定积分，我们就可以写作是 f 三减 f 负一。 这也是牛来公式的一大优越性，就是我把整个区间上研究的问题直接精减到两个端点就结束了。 f 在三这个点和负一这个点，函数值 都是零，所以最终呢， b 选项对应的积分值是零，所以 b 也不选。那同理思路，一旦打开， c 也会处理了它，就等于 f 一撇三 减。 f 一撇负一几何意义是什么呢？我们看的是不是叫对应点处的切线斜率在三这个点呢？ if 是向下走的哎，切线斜率为负负一这个点函数呢，整体是向上 走单调增加的切线斜率为正，那么负的减正的这个肯定是小于零的。 d 选项，三阶岛，它的原函数就是二阶岛，所以呢，它其实等于 f 两撇三减去 f 两撇。 图一，那从几何意义上说，在这两点处的二阶岛怎么看呢？三个字叫凹凸性，你想到了吗？哎，所以你看这个题其实非常的综合， 非常的好啊，虽然这个题呢，好像曲线比较随意，但是能看出来啊。三，这个点他有点凹的感觉，有没有看出来啊？凹的感觉，他的二级档应该怎么样呢？是不大于零为正啊，那么负一这个点呢？他是，哎凸弧 二街道应该小于零为负，那么正的减负的这个是 b 大于零，而不是小于零。所以这个题最终正确答案就选 c 选项啦，你答对了吗？觉得有收获的话，就给我点一个小心心吧！