河南会考数学公式

大家好，我是柚子老师，咱今天开始讲综合训练，二的部分，咱先一块看第一题，他说全级 u 的 范围是负三到三，又告诉你集合 a 的 范围是负二到一， 然后在这问的是啥？是不是 a 的 补级，对吧？所以咱考试的时候可以先给他划到数轴上，你比如说全级指的是负三到三， 所以说我给他画出来指的是不是这一块，对吧？然后 a 的 范围是负二到一，也就是说从负二开始到一是不是都是空心，对吧？所以你画成小圆圈， 然后接下来他问 a 的 补集，补集是啥意思？是不是就是缺啥补啥，对吧？那你指的是这一块，那你两边补集是不是应该是他，对吧？ 所以在这 a、 b 选项都错着，那 c、 d 选项一定要注意清楚，因为你自身是负二是空集，所以说你的补集里面是不是包含负二，对吧？一也是同样的道理，这点给他记清楚，这个符号代表的是等号，知道吧？ 然后看第二题。第二题的话，咱指的是运算，那是不是一加 i 乘以一减 i， 是 不是就可以理解为 a 加 b 乘以 a 减 b， 是 不是 a 方减 b 方，对吧？咱知道 a 方是等于负一，所以说一加一是等于二，也就是说选 d 选项。 接下来看第三题。第三题的话，他考察的内容是分段函数，啥叫分段函数？意味着符合这一段才能往里面带，比如说他问的是 f 四， 四是不是大于零，所以符合第一段，咱往第一段里面带， f 四是不是就等于 log 二的四，对吧？二的几次方式等于四，是不是二，所以说选 c。 接下来咱看第四题，第四题考察的是不是向量的知识点，对吧？向量的话咱说了，你两个向量相乘公式是啥？是不是魔长乘以，魔长乘以。 cosine， theta 是 不是等于负四？ 在这 a 的 模指的是二， b 的 模指的是四，所以你算出来 cosine， theta 是 不是负二分之一，对吧？那咱想一下， cosine 多少是等于二分之一，是不是六十度，对吧？那一百 它负二分之一指的是不是一百二十度？这儿咱之前说过一句话，如果两个角相加等于一百八，散值相等， cosine 相反， tanin 相反。因为在这儿问的是 cosine， 所以 说是一百二十度。 接下来看第五题命题的否定。命题的否定在这儿大家只用记得逗号前、逗号后， 逗号前如果是任意改成存在，如果是存在，改成任意逗号后，是不是不等号方向发生改变？ 那看这个题，逗号前这是不是任意改成存在，对吧？逗号后不等号方向发生改变，原本是小于等于发生改变，是不是大于，是不是就可以？所以选 a， 接下来看第六题，第六题考察的是一面直线的夹角，咱说过，如果是考察一面直线的夹角，是不是想办法让它共起点，对吧？比如说这个题里面 a、 c、 a、 e 的 现在他是不是不在一个面内，就是他俩没有交点，对吧？所以咱可以给他平移过来，比如说 a、 e 的 平移过来是不是到这？ 那也就是说他的夹角是不是这个角？这个时候你是不是可以把它连接起来，你会发现这个三角形是一个啥三角形？是不是一个 等边三角形，对吧？因为他都是对角线，所以说他在这夹角是不是六十度，是不是就可以，对吧？然后接下来看第七题。第七题考察的是不等式的内容， 在这他说了 a 大 于 b， 如果考试的时候你真是拿不准咋办？你就带具体的数字，比如说这个题里面是不是得肯定正确，对吧？但是有很多学生他会选 c， 一定记住啊， c 如果等于零，这个式子就不成立。 接下来看第八题。第八题，如果考试遇到这个概率题，咱就用初中所学的方法，就是把它给罗列出来。比如在这他说三名男生，那我是不是可以理解为 a 一、 a 二、 a 三，然后两名女生，那是不是 b 一 b 二？ 然后他说任选两人参加，恰有一名女生，那你看我把它罗列出来。第一种情况，是不是可以抽 a 一、 a 二、 a 三，也可以抽 b 一、 b 二，对吧？ 那抽 a 一， 接下来是不是就是 a 二、 a 三 b 一、 b 二，对吧？如果抽 a 二的话，接下来是不是 a 一、 a 三 b 一 b 二，也可能抽 a 三，如果抽 a 三，是不是 a 一、 a 二 b 一、 b 二，对吧？如果抽 b 一， 那指的是啥？是不是 a 一、 a 二、 a 三、 b 二，如果抽 b 二，同样道理，是不是 a 一、 a 二、 a 三、 b 一， 对吧？然后咱看总共有多少种情况，每一种情况下面是不是四个四五 二十。然后你把符合的挑出来，是不是就可以恰有一名女生，你看这种是不是符合？恰有一名女生，这种是不是都是符合，对吧？ 那你会发现是十二种，也就是说化简之后五分之三选 b 选项。 接下来咱看第九题。第九题的话，他考察的是这个，第一个是解这个不等式，对吧？ 然后你比如说这个不等式咋解？咱可以用十字相乘，这是不是 x， x， 这是不是负三？拆成一是不是就可以，对吧？然后水平着写， x 减三， x 加一等大于零， 大于取两边。记住，取两边的时候，先分别让每一项等于零，这一项等于零，是不是负一，这一项等于零，是不是三大于取两边，那也就是 x 小 于负一， x 大 于三。 咱前面说过，这种充分必要咋记？你就考试的时候把这个东西给他写一边，小范围， 大范围，小推大指的是充分，大推小指的是必要。在这的话，这个范围是不是小，这个范围是不是大，那小推大就是充分，不必要。所以选 a。 选项， 接下来看第十题。第十题考察的是函数的内容，在这我把这几个常考的图像给大家画一下，比如说当阿尔法等于负一，也就是说 f x 等于 x 的 负一， x 分 之一时候的图像， 这个是不是咱初中所学的反比例，是不是这样，对吧？然后二分之一， f x 指的等于 x 的 二分之一，是不是就是根号下 x， 它的图像指的是不是这个意思？ 同样，如果 f x 等于 x 的 平方，它是不是就是二次函数，它的图像是不是这个样子？如果是三的话，那是不是 f x 等于 x 的 三次方，它的图像是不是这个样子？ 所以选项选的是 d， 在 这大家一定把这几个常考的图像给它记清楚。 接下来看十一题，十一题他说的是与骑手这个甲乙丙三人比赛，对吧？然后每个获胜的概率是零点五、零点四、零点八， 他问的是全部获胜的概率。啥叫全部获胜？是不是把他三个都给赢了？那也就是零点五乘以零点四乘以零点八，算出来是零点一六，所以选 b 选项。 接下来看十二题。十二题他问的是存在零，存在零点，那你先看这个图像，是不是就是具有单调性，对吧？如果具有单调性的话，他在这个范围内存在零点，是不是就要求他俩相乘的时候 小于零，是不是就行？你比如说啥叫零点与 x 轴的交点，对吧？你 a 和 b 之间取得零点，那你会发现 fa 乘以 f， b 是 不是小于零？ 然后咱把一带进去，是不是二减一，是不是一加 a， 如果乘以二的话，是不是就是二分之七，然后再加 a 是 不是小于零？ 咱还是用刚才那句，大于取两边，小于取中间，所以指的是不是负二分之七到负一，这个就是 c 选项。 接下来看十三题。十三题他在这说向右平移四分之派，左加右减，那也就是加四分之派，向右平移四分之派消掉，是不是就是 cosine x？ 然后咱可以把 cosine x 的 图简单画一下就可以， 他要的是单调递减，那指的是不是这段？也就是说零到派是不是就可以，对吧？所以这个三角函数的图像一定简单给他记一下。接下来咱看第十四题。 十四题先看第一个三的二分之一，这个考察的就是指数和对数函数，我在这再带着大家复习一下指数它主要是 y 等于 a 的 x， 当 a 大 于一的时候，图像上坡，当零小于 a 小 于一，图像下坡横过这个点的坐标指的是零。逗一， 还有一个对数，对数的话是同样的道理， a 大 于一的时候指的是上坡零小于 a 小 于一指的是下坡，这个点的坐标是一斗零。 然后再去做这个题，就比较简单，你看三的二分之一，三是不是大于一？所以它图像是上坡 零的时候对应的一，现在是二分之一。我画的稍微夸张点，那到这也就是说 a 大 于一， b 的 话，二分之一为底，那就是递减的 零的时候对应一，现在三三是不是更远一点？所以 b 是 不是就大于零小于一 c 的 话，它是以三，那为底，递增是不是就在这 随便画？假如说是在这，他问的是这个点的坐标是一斗零，他问的二分之一是不是明显在下方？也就是说 c 小 于零，那比较大小，根据咱这个图像一下子是不是就出来了？ a 大 于 b 大 于 c， 这个就是 d 选项。 接下来咱看十五题，十五题考察的其实还是三角函数的内容， 他说 t 等于 m 时， i 取得最大值。咱先复习一下三在哪取得最大值，是不是二分之派加二 k 派的时候取得最大值。如果这个题大家不清楚，其实可以翻一下上面那个综合训练。一， 它俩考察的一模一样。你比如说把 m 带进去，是不是一百派？ m 再加上三分之派是不是等于二分之派，再加二 k 派的时候取得最大值？咱把这个式子变一下，那是不是一百派？ m 是 不是等于六分之派再加二 k 派， 也就说 m 是 不是等于六百分之一，再加五十分之 k 是 不是就行，对吧？所以在这 m 啥时候，比如说 k 等于零的时候，是不是就可以选 d 选项？ 这个考察的就是三角函数的内容，一定记清楚，是在二分之派加二 k 派的时候取得最大值。 接下来咱看十六题。十六题考察的就是向量的内容，那两个向量相加，你直接代公式是不是 x 一 加 x 二逗 y 一 加 y 二，是不是就行，也就是三逗四。 魔长是啥？是不是根号下它方加它方，所以等于五，这个就是十六题考察的内容。十七题考察的是三角函数。然后在这咱说一个非常重要的东西，也是我上课经常给学生说的， 三角函数只告诉你一个如何去求另一个画三角形一定记清楚。我再说的稍微慢一点，三角函数只告诉你一个如何去求另一个画三角形， 画完三角形之后，最后再判断象限，比如说三阿尔法等于五分之四，那我先画三角形三，五分之四，这是不是 四，这是不是五？那勾股定律，这是不是三，对吧？所以 tan 阿尔法对边比邻边是不是三分之四，一定注意。他说了二分之派到派是不是第二项线， 那咱根据全是天才，那第二项线散是正，其他的是不是负，所以加一个符号就行，知道吧？也就说刚开始的时候，大家先不用考虑正符号，你等给他写完了，然后最后一定要考虑正符号。接下来看十八题， 还是画图，他说圆锥的母线长是六，那我先画一个圆锥， 母线长是六，然后母线与高的夹角是三十度，那这是不是就是三十度，对吧？咱知道三十度所对的边斜边的一半，这是不是三，这是不是三倍的根？三，圆锥的侧面积公式咱复习一下是不是 pi r l， pi 指的是几？带着是吧？ r 指的是不是三， l 指的是不是六，所以是十八？ pi， 这个大家一定把公式给记清楚。接下来看十九题。十九题你看他考察的是不是边，而且只给了一个角，所以可以用啥？余弦定里是不是就行？余弦定里，比如说 cosine a 是 不是等于二？ b c 上面是不是 b 方加 c 方减 a 方那一代入就可以，所以它答案是二倍的根三，在这咱说了，余弦你可以用啥记分？母邻边乘积的二倍分子是不是邻边的平方和减对边的平方是不是就可以？ 接下来咱看第二十题。二十题考察的是分层抽样的内容，咱说了，你等比扩大就行。比如在这高一原本是四百八十个人，你现在抽六十个人，是不是缩小了八倍，对吧？ 同样道理，你高三原本是三百二十个人，那你缩小八倍是多少？是不是就是四十？所以高三抽取的人数是四十人。 接下来看二十一题。二十一题的话，他问的是最小正周期，那咱直接上公式，最小正周期 t 是 不是等于二派除以欧米伽的绝对值在这，欧米伽指的是不是二，所以二派除以二是不是就等于派？ 然后看第二问，他问的是 f 六分之派，那是不是直接代入对吧？ f 六分之派是不是就等于散？二乘以六分之派再加三分之派是不是等于散三分之二派？ 那咱想一下，散三分之派是等于几？是不是二分之根三？所以二分之根三是不是就可以 看二十二题？二十二题这个是频率分布值方图，这里面考点非常多，我总结的公式里面有这个频率分布值方图，大家可以看一下。 然后看他说一百名学生中不足一小时，不足一小时指的是不是前两组， 第一组的概率是不是零点五乘以零点五，第二组的概率是不是零点八乘以零点五，对吧？那你总共一百个人再乘以一百是不是就行？他算出来是六十五， 然后接下来看第二个。第二个考察的就是频率分布直方图，如何去求平均数。 那你先看这个族中值，比如说零到零点五族中值是几？是不是零点二五，对吧？乘以它所对应的频率，也就是零点五乘以零点五， 加上第二组零点五到一中间值指的是不是零点七五乘以它所对应的频率，零点八乘以零点五，所有的给他加起来就可以。在这我说一下答案，他是零点九， 考试的时候一定记清楚，你写完之后数一下足数对不对？比如说在这一二三、四、五总共是五组，对吧？一定数一下，有的学生写的时候可能会少写啊。 接下来咱看这个二十三题。二十三题，先看第一问，在直三楞柱直指的是不是侧棱垂直于底面，对吧？然后咱看第一问， 而且题上还告诉你， ab 垂直于 a、 c， 然后他问的是 ab 垂直于 a、 e、 c， 咱说了一条线与一个面垂直咋正？是不是正？这条线与这个面内两条相交线垂直是不是就行？那看这个题， 在这，他正的是 ab 垂直于 a， e、 c。 那 我是不是直接写啊？因为 侧棱垂直于底面吗？那就是因为在直三棱柱 abc， a 一 b 一 c 一 中 a 一 a 垂直面 abc， ab 在 这个面 abc 内， 所以 a e a 垂直 ab， 因为 a c 也垂直于 ab。 接下来就是这个 a a e 与这个 a、 c 交于点 a， 然后这个 a a， e， a c， ac 都在这个面 a e， a c 内，所以 ab 垂直面 a a， e c， 然后因为这个 a， e、 c 在 这个面 a， a， e， c 内， 所以 ab 垂直于 a， e， c 是 不是就可以，对吧？它考察的是简单的一个线面垂直的内容。 接下来咱看第二问，他考察的是锥体的体积，锥体的体积公式咱说过，是不是底面积乘以高，乘以三分之一，是不是就行？那看这个题，他告诉你 ab 是 等于一， bc 等于二，因为题上说这是垂直吗？你根据勾股定律是不是跟三？ 他又告诉你 a e、 c 是 等于根七，那勾股定律这是不是二？所以他问体积，底面积乘以高，底面积是不是一乘根三乘以二分之一乘以高，是不是二，再乘以三分之一，是不是等于三分之根三？ 接下来咱看二十四题。二十四题第一问，用函数单调性的定义，单调性的定义咋整？你是不是先设它的范围，然后用它减它写，是不是就可以？咱看一下这个题， 那它说单调性，那我直接设，是不是任意的 x 一 x 二属于零到正无穷，然后且 x 一 小于 x 二， 我设的是 x 一 小于 x 二，你考试的时候设 x 一 大于 x 二都可以，这个不影响，但是一定要考虑是在定义域范围内。 然后用 f x 一 减去 f x 二，就等于 x 一 减 x 一 分之一，减去 x 二减 x 二分之一，大家给它进行通分，写成乘积的形式，是不是 x 一 减 x 二， x 一 分之一减 x 二分之一。 哎，这个我再写一下啊， x 一 减 x 二，这后面是一加上 x 一 x 二分之一， 然后咱就可以写 x 一 x 二属于零到正无穷。而且 x 一 小于 x 二，那 x 一 减 x 二是不是小于零？ x 一 x 二分之一是不是大于零？ 所以 f x 一 减 f x 二是不是小于零？在这 x 一 小于 x 二， f x 一 减 f x 二小于零，那我就直接写，所以 f x 一 小于 f x 二，所以 f x 在 区间零到正无穷是增函数。 也就是说在这最主要的是一定要最后给他写成乘积的形式。为啥要写成乘积的形式？主要是为了判断正负。 然后咱看一下第二问，他说 t 大 于零，解不等式， f t 大 于一，那 t 大 于零， f t 是 不是相当于给他带进去？也就是说 t 减 t 分 之一是不是大于一？是不是就可以？ 那我给他进行通分，全部移过来，是不是 t 分 之 t 方减 t 减一大于零。 题上说了 t 大 于零，也就是说分母为正，分母为正，是不是分子为正？那是不是 t 方减 t 减一大于零，是不是就可以？ 在这的话，大于取两边？你看他没法用十字相乘，所以我直接写 t 求根公式。 求根公式求出来应该是俩，一个是 t 小 于二分之一减根五，一个是 t 大 于二分之一加根五，那这个是不是就可以给它舍去，对吧？因为考虑的是 t 大 于零。在这的话我给大家复习一下求根公式，如果忘的话可以给它抄一下。 嗯，咱综合训练二的就先讲到这。

x 加一乘 x 加二乘 x 加三乘 x 加四减三十五。因式分解指的是将加减换成乘积的形式。在初中生涯当中，一般情况下我们会用到题公式，平方差公式、完全平方公式和十字相乘法， 而这道题你发现直接用这四种方法都做不了。那么我们要理解这道题的做题思路， 肯定不是用多相似乘以多相似，因为这样它的指数会出现四次，以至于你解不出来。我们先来看它的方法，一、大小相乘，中间相乘什么意思呢？比如说 x 加一最小， x 加四最大，那么我们可以用 x 加一乘以 x 加四 中间相乘，也就是 x 加二乘以 x 加三，这两项刚好是从小到大的中间部分，则颜色等于 x 方加上五， x 加四乘以 x 方加上五， x 加上六， 减去三十五。做到这步，很多同学还是不知道下一步怎么做，那么你觉得这个数据比较难，我们可以利用换言法进行解答。比如说我们可以逆 x 的 平方加五， x 等于 t， 则原式就可以写成 t 加四乘以 t 加六， 减去三十五。这个多项式很多同学都能求出来，它的值是等于 t 的 平方加上十 t， 再加上二十四，减去三十五，二十四减三十五等于负十一，即等于 t 的 平方加上十 t， 再减去十一。 此时我们可以用十字相乘法， t 可以 写成 t 乘以 t， 而十一可以写成十一乘以负一交叉相乘，它的值刚好等于十 t， 即原式可以写成 t 加上十一，乘以 t 减一。做到这一步，再将 t 进行等量代换，换成 x 方加五 x 即可。所以沿式即等于 x 平方加上五 x 加上十一， 乘以 x 方加上五 x 减去一。初中生想要考高分，理解公式和概念，确。

我们来看第一题，设几何 a， a 中有三个元素，分别是一、三、五。几何 b 也有三个元素，分别为一、二、三。现在让我们求 a 交 b 等于什么？ 注意，这个符号表示的是交集的符号， a 交 b 呢，是指 a 与 b 中的共同元素，也就是说这个元素呢，在 a 中有，在 b 中也有。 很显然，在 a 和 b 中都有的元素有一和三，所以 a 交 b 包括的元素有一和三。因此正确答案呢，选 c。 这道题呢，我们一定要分清楚交集和并集的区别，这个开口向下的是交集，如果是开口向上的，那么就是并集。 并集呢，是把两个几何中的元素并在一起，其中相同的元素只写一次。你看，在几何 a 和 b 中，我们把它的元素都并在一起，一和三只写一次。那么一共有几个元素呢？有一、 二、三、五，所以有四个元素。因此，这道题如果让你求 a 并 b 的 话，答案应该是 d。 当然这道题呢，是让你求交集，所以呢，正确答案应该是 c。 我们来看第二题，下列函数中是增函数的是哪一个？我们诸葛来分析。首先我们来看 a， y 等于 x 的 平方，我们知道这是一个二次函数，它的图像呢，是抛物线。我们画出这个图形， 我们可以看出这个函数的图像呢，是先减后增，所以呢，它不是增函数，因此 a 排除。我们再看 b， y 等于 x 的 三次方，这是一个逆函数，我们知道它的图像呢， 是这样的，我们可以看出这个图像它是单调递增的，所以呢， b 是 增函数。我们再看 c， y 等于 x 分 之一，我们知道它是一个反比例函数，它的图像是在一三象限的双曲线， 我们看它在第一象限和第三象限都是单调递减的，很显然它不是单调递增的。 我们再看 d， 这是一个对数函数，对数函数的一般形式是 y 等于以 a 为底 x 的 对数，其中这个 a 呢，是大于零且不等一的，当 a 大 一时，这个函数单调递增。当 a 大 于零小一时， 这个函数呢，是单调递减的，所以我们看它的底数是二分之一，二分之一呢，很显然是大于零小一的。 a 大 于零小一时，这个函数是单调递减的，所以这是一个递减函数， 因此符合条件的只有 b。 所以 正确答案呢，就选 b。 我 们判断函数的单调性，可以 根据函数的图像和函数的性质分别来进行判断，特别是指数函数和对数函数，我们知道这是对数函数 y 等于以 a 为底 x 的 对数，这个 a 呢，是大于零且不等一的。 a 大 一时，这个函数单调递增， a 大 于零小一时，这个函数呢，是单调递减的。另外还有指数函数 y 等于 a 的 x 次方， 它的单调性和对数函数的单调性非常的相似，也是 a 大 一时单调递增， a 大 于零，小一时 单调必减。所以呢，对于对数函数和指数函数，它的单调性，我们主要是看它的底数到底是大一的还是大零小一的。 我们来看第三题，命题存在 x 属于零到一， x 的 平方减， x 小 于零，它的否定是哪一个？ 对于这个命题呢，他的符号这个读作存在，所以呢，他叫存在量子命题。 存在量子命题的否定一定是全称量子命题，所以他的否定里边，首先把这个存在这个符号变成任意，所以我们首先把这个 a 和 b 给排除了。符合条件的，首先我们找到带任意符号的 只有 c 和 d。 另外呢，我们还要注意命题的否定，否定结论，实际上只否定结论，也就是说呢，在否定的时候，这个 x 的 平方减 x 应该是改成大于等于零的，所以符合条件的也只有 d。 命题的否定我们需要注意，首先要看它是一个全乘两次命题，还是存在两次命题。 如果是存在量词命题，那么他的否定一定要变成全称量词命题，也就是说 这个存在的一个符号要变成任意这个符号。另外呢，我们要否定结论，所以后面这个结论一定要和原来是相反的。你看这里边 x 平方减 x 小 于零，他的否定就是 x 的 平方减 x 大 于等于零。 我们来看第四题，让我们求这个函数的定义，这个是以十为底的倍数函数，我们注意这是对数的真数，对数的真数呢，我们要求它大于零，所以要使这个函数有 e， x 加二 得大于零，所以我们可以解得这个 x 呢，大于负二，也就是说这个函数定义域是负二到正无穷，所以正确答案呢，选 d。 我 们求函数定义域，实际上就是求使这个函数有意义的自变量的取值范围。 这里边我们要注意对数，这是对数的真数，对数的真数呢，他需要大于零，如果有底数上有次变量的话，注意底数呢，要大于零且不等一， 比如这个符号表示以十为底的这个对数函数，所以呢，这是一种简写 好，我们根据条件得到这样一个不等式，解出 x 的 取值范围。另外呢，我们写这个函数定义的时候，一定要把它写成区间或者几何的形式。 我们来看第五题，已知向量 a 的 坐标是二五，向量 b 的 坐标是三四。 现在让我们求 a 减 b 的 坐标。两个向量相减，我们只需要对应的坐标相减就行了，所以 a 减 b。 首先我们看到的横坐标二减三，因此横坐标呢是负一， 纵坐标是五减四，那是一。所以呢，这道题的正确答案就是 a。 如果我们知道两个向量的坐标，比如一般情况下，我们知道 a 等于 x 一 y 一， 这个 b 呢等于 x 二 y 二， 我们需要掌握这个向量计算的常见的公式。如果是相加， 那么我们就把这两个向量对应的坐标相加 x 一， 哎，加上 x 二 y 一， 加上个 y 二，如果是减呢？那么对应的相对应的坐标呢？相减就可以了。如果是相乘 a 乘以 b， 注意它是对应的坐标相乘 x 一 x 二， 加上个 y 一 y 二。从这个从这里我们可以看出，两个向量的加减得到的还是向量，但是相乘我们得到的实际上是一个实数。 我们来看第六题，让我们求函数 f x 等于 x 加二的 x 方的零点所在的区间是哪一个？首先我们看这个函数，它是单调递增的，并且是连续的。 根据函数的零点存在性定义，如果 f x 在 区间 a 到 b 上满足 fa 乘以 f b 小 于零，那么 f x 在 区间 a 到 b 上一定存在零点， 所以我们只需要验证所给的区间，哪一个区间满足 f a 乘以 f b 小 于零。我们首先看 a， 我 们来看 f 负二， f 负二呢，就等于一个负二加上二的负二次方，二的负二次方呢，实际上就是二的平方分之一，那就是负二，加上个二的平方是四，所以是四分之一， 这个值呢，很显然，它是一个负值。我们再看 f 负一， f 负一呢，等于个负一加上个二的负一次方， 二的负一次方呢，就是二分之一，就是负一加上个二分之一。很显然，这个值呢，是负二分之一，它也是负值，两个都是负的，那不满足 fa 乘以 f b 小 一点。我们再看 b 选项，我们需要求一下 f 零， f 零等于什么呢？等于一个零加上个二的零次方。我们知道二的零次方呢，等于个一。很显然， f 零是大于零的， f 负一是小于零的， f 零是大于零的，所以这个 f 负一乘以 f 零，满足两个乘积小于零，因此这个零点所在的区间呢，实际上就是 b。 其实我们再验证一下，看 c 选项，我们再看 f 一， f 一 呢，很显然等于一，加上个二的一次方就是一，加上二， 等一个三，很显然，这也是一个大于零的，说明 f 零和 f 一 都是正数，它两个的乘积一定是正数。不满足 f a 乘以 f b 小 于零，我们看 d 选项， f 二， f 二呢，等于二，加上个二的平方。我们知道这个二的平方呢，是四，所以它等于个六，而且呢，这也是一个正数，也么不满足呢？ fa 乘以 f b 小 于零， 所以满足 fa 乘以 f b 小 于零的只有 b， 因此正确答案呢，就选 b。 我们来看第七题。设 x 属于实数，现在让我们分析 x 大 于二分之一是二， x 平方加 x 减一大于零的什么条件。 对于这个问题呢，我们首先对这样一个等式进行求解，也就是我们化简后边这个条件。 好，我们看二 x 平方加 x 减一大于零，这是一个二次不等式。对于二次不等式呢，我们首先来分析这个二次方程，二 x 平方加 x 减一等于零， 我们可以解得这个方程呢，有两个解，一个是负一，一个是二分之一。 这个二次不等式大于零大于零是在两根之外，也就是它的解呢，可以写成 x 小 于小根或 x 大 于大根。 如果我们把它写成几何的话，那么就是这样一个几何。我们再看前面这个条件， x 大 于二分之一， 很显然， x 大 于二分之一对应的这个几何是后面这个几何的真子几何。 如果我们把它看成 p， 把它当看成 q， 我 们知道小几何推大几何，它对应的是 p， 它对应的是 q， 因此 u p 可以 推出 q， 但是呢， u q 不 能推出 p， 如果 u p 可以 推出 q， 那 么 p 就是 q 的 充分条件。 如果 u q 能推出 p， 那 么 p 就是 q 的 必要条件，但是 u q 不 能推出 p， 所以 这就是不必要条件。 所以正确大呢，是 a。 对 于不等式这个问题，这个充分条件和必要条件的盘对盘定呢？我们可以利用几何之间的包含关系来进行盘对。 我们一般情况下认为小集合推大集合，这种小和大呢，实际上是指这种包含关系。 第八题，让求这个式子的值，我们分别来求值，然后呢，再相加就可以了。首先我们来看第一个式子， 第一个数字的值呢，我们首先要知道这样一个公式，以 a 为底，然后以 a 为底， b 的 对数作为指数，这个结果呢，实际上就等于 b， 所以 第一个这个结果其实就是三。 第二个呢，是一个对数的求值，我们要知道这个根号二实际上是等于个二的二分之一次方，因此这个第二个结果呢，其实就是二分之一， 因此我们所要化解的结果其实就是三加二分之一，我们可以计算出结果是二分之七，所以这个答案呢，选 c。 我们要想求出这个结果，首先我们再熟悉这样一个公式，然后就是对数的运算公式，以 a 为底， a 的 n 次方，它的对数就等于个 n， 也就是说，我们要想求这个对数的值，要看这个真数是底数的多少次方。 我们来看第九题，已知 sin alpha 等于三分之一，现在让我们求 cosine 二分之 pi 减 alpha 的 值。 这道题呢，主要是考察三角函数的诱导公式。我们记住那十个字，既变偶变符号看象限，我们看阿卡前面这个数，它实际上是二分之派。我们知道二分之派呢，它可以写成二分之派乘一个一， 而这个一呢，是奇数与奇变偶不变。所以呢，这个余弦要变正弦，所以首先要变成 c。 二法 符号看象限，我们把二法看成锐角，二法看成锐角，那么二分之派减二法在第几象限呢？很显然，二分之派减一个锐角，它在第一象限 第一项线，对于这个余弦值来说，它是一个正值，所以呢，这前面其实一个正号，当然正号呢我们可以省略，因此 cosine 二分之 pi 减二法实际上就等于 sin 二法，而 sin 二法等于多少呢？ sin 二法等于三分之一， 所以正确答案呢是选 b。 我们来看第十题，某快递收件点，在一周内每天接收的快递个数分别为三百六、二百八十四，二百九，三百一百八十八，二百四、二百八十八。 现在让我们求这组数据的第七十五百分尾数，要求第七十五百分尾数。首先我们把这组数据按照从小到大的顺序进行排列，我们看在这组数据里面最小的一个数是一百八十八， 好，然后呢是二百四， 然后是二百八十四啊，然后是二百八十八，接着是二百九， 好，然后呢是三百，最大的一个数是三百六。 我们从小到大把这些数据呢进行排列，然后我们再看，让求的是第七十五百分为数，而这里边有几个数据呢？一共有七个， 所以呢，我们用七乘以百分之七十五，也就是零点七五 啊，七乘以零点七五等于五点二五， 这是一个小数，所以呢，这个第七十五百分位数就是在这组数据里边的第六个数据，我们查一下一二三、四五六，所以呢，正确答案是三百，所以呢，正确答案呢是选 c。 比如我们如果用七乘以我们所要求的这个百分数，对应的这个百分数如果是一个整数的话，我们需要取这个数和他后边这个数的 平均数，如果是一个分数的话啊，或者一个不是一个整数，那我们就取与他相邻的后边这个数据。 我们来看第十一题。让求函数 f x 等于二倍的 sin 三分之一 x 减六分之 pi 的 最小正周期。 注意最小正周期的计算公式。一般情况下，如果 f x 等于 a 倍的 sin omega， x 加反， 其中这个 a 大 于零， omega 大 于零的条件下，那么它的最小正周期是多少呢？对，等于二 pi 除以 omega， 这个 omega 呢，实际上就是指 x 前面这个系数，所以这里面的最小正周期实际上就是二派，除以 x 前面这个系数三分之一，所以等于多少呢？等于六派。 因此正确答案呢，选 d。 我 们来看第十二期。在中国农历中，一年有二十四个节气立春聚首北京。二零二二年冬奥会开幕，正逢立春。 开幕式上二十四节气的倒计时，让全世界领略了中华智慧。 高二三班班委会要从立春、清明、立秋、立冬、冬至这五个节气中随机选三个做宣传版面，让求这三个节气中含有立春的概率。 为了方便，我们不妨用 a 表示立春， b 表示清明， c 表示立秋， d 表示立冬， e 表示冬至。 我们从这五个阶梯中任选三个，我们看总的选法有多少。总的选法可以是 a、 b， c 好 选 abc。 这三个也有可能是 a、 b， d， 也有可能是 a、 b， e 啊，当然也有可能是 a、 c， d 和 a， c， e， 还有可能是 a、 d， e， 那还有可能是 b、 c， d 啊，还有可能是 b、 c， e 啊，还有可能是 b、 d、 e。 还有种情况就是 c、 d、 e。 好， 我们查一下，看一共有多少种可能性？ 一二三四五六七八九十，有十种可能性，所以我们所求的概率，它的分母就是十。 我们再看含有立春的有多少种可能性，也就是在这个选择中含有 a 的， 这是一个，第二个，第三个，第四个，第五个、第六个，所以含有例称的一共有六种可能性，所以我们所求的概率就是十分之六，我们化简一下，结果就是五分之三， 所以正确答案呢，选 c。 我 们来看第十三题，给出下列函数，这里边给出五个函数， 让我们判断，其中满足 f 二分之 x 一 加 x 二大于二分之 f x 一 加 f x 二，其中 x 二大于 x 一 大于零的函数有多少个？ 因为这是一个选择题，所以我们可以拿特殊值代入进行验证， 因为这里边的条件已经告诉我们， x 二大于 x 一 大于零，所以呢，我们不妨令 x 一 等于个一， x 二就让它等于二。 好，我们对于第一个 f x 等于 x， 我 们来看 f 二分之 x 一 加 x 二， 那实际上那就等于 f 二分之三，我们把它代入，这个结果也就等于二分之三。 我们再看 f x 一， f x 一 实际上就等于个 f 一， 实际上就是一，所以二分之 f x 一 加上 f x 二，我们来计算它的值 啊， f x 一 等于 f x 二呢等于二，所以这个值呢，也等于二分之三， 这样的话，我们看这两个值实际上是相等的，并不满足这个大于号，所以第一个排除，我们再看第二个。 好，同样，我们来求一下， f 二分之 x 一 加 x 二，那也就是 f 二分之三，我们知道它等于多少呢？四分之九。 好，我们再求二分之 f x 一 加上 f x 二， f x 一 呢，等于一， f x 二呢，实际上等于四，所以这个是二分之五。 很显然，四分之九是小于二分之五的，所以也不满足这个条件，所以第二个也排除。我们再看第三个， f s 等于 x 三次方，我们还是先求 f 二分之 x 一 加 x 二，那就是 f 二分之三， f 二分之三呢，我们代入这个三次方， 二分之三的三次方，那是八分之二十七。而二分之 f x 一 加 f x 二， f x 一 呢，等于一， f x 二等于八，所以它是二分之九。 本，显然八分之二十七是小于二分之九的，因此也不满足大一号这个符号。我们再看第四个， f x 等于根号 x。 首先我们还是先求 f 二分之 x 一 加 x 二，那也就是 f 二分之三就是根号加二分之三。 我们再看 f 二分之 x 一 加 x 二，这就等于根号二分之三。我们再求一下，二分之 f x 一 加 f x 二，那就是二分之等于 f 一， 其实就是一， f 二就是根号。 这个数呢，我们直接比较，不太容易比较，我们不妨给他平方一下，两两个数呢，都平方，左边这个数一平方，它是二分之三， 右边这个数一平方呢，是四分之三加二倍的根号。 二分之三呢，我们知道它是一点五。 好，这个可以写成四分之三加上个二分之根号，四分之三呢，是零点七五，再加上个四分之二倍的根号，实际上是二分之根号。 我们这根号呢，是约等于一点四一四的，所以这个呢，二分之根号本显然是小于零点七五的， 那所以这个零点七五加上它是小于一点五的，也就是这个式子呢，是小一点五的，所以二分之三要大于它，也就是根号，二分之三大于二分之一加根号，因此 这个是函数呢，它满足这样一个条件，所以这个符合条件啊，三不符合，四符合。我们再看第五个，同样道理， 先求 f 二分之 x， 一 加 x 二就是 f 二分之三啊，就是 f 二分之 x， 一 加 x 二，就等于多少呢？等于一个三分之二。 好，我们再看一下，二分之 f x 一 加上 f x 二， f 一 呢，等于一， f 二等于二分之一，所以这个是一加二分之一，再除以二，所以结果是多少呢？得四分之三。 很显然，三分之二是小于四分之三的，也不满足这个符号，因此五也排除。从我们用这个特殊值代入，我们会发现符合条件的只有四， 而选项中呢，这里边最小的是一，也就是说这里边呢，至少得有一个符合条件的，所以我们把其他四个都排除了，那符合条件的肯定就剩四了。因此正确答案选 a。 让我们来看第十四题，设 m， n 是 两条不同的直线，阿尔法、贝特是两个不同的平面，且 m 在 阿尔法内， n 在 贝特内。现在给出四个命题，让我们找出正确的命题。首先我们看第一个 m 平行 betn 平行阿尔法，则阿尔法平行 bet。 我 们不妨来画图进行分析，我们看当阿尔法和 bet 不 平行的时候，有没有这种可能性。 好，假如这是阿尔法，这是 bet， 注意， m 呢？在阿尔法内， n 呢？在 bit 内，我们看这个时候呢， m 是 平行 bit 的， n 呢，也是平行阿尔法的，但是呢，阿尔法和 bit 并不平行，所以 e 是 错误的。 同时我们也可以把 a 和 b 两个选项给排除。我们再看二，若 m 垂直 bet， 则 r 法垂直 bet， 我 们看两个平面 r 法和 bet。 如果 m 在 r 法内， m 在 阿尔法内， m 又垂直一倍，那么阿尔法就垂直一倍。很显然这个是正确的， 因为两个平面垂直的判定定律，其实呢，就是其中一个平面过另外一个平面的一条垂线，什么意思呢？就是在其中一个平面内，有一条直线 垂直于另外一个平面，那么这两个平面呢，就是垂直的，所以二是正确的。我们再看三， 若阿尔法平行比特，则 m 平行比特， n 平行阿尔法。我们画阿尔法平行比特的情况就是两个平面平行 啊，这个是阿尔法，这个是比特啊，这个 m 呢？在阿尔法内，这个 n 呢？在比特内。很显然，我们可以看出 m 和比特是平行的， n 和阿尔法也是平行的。直线和平面平行呢，它的 定义实际上就是这条直线和这个平面没有公共点，所以三是正确的。那么这个时候其实我们就已经看出正确答案呢，应该是 c。 我们再来看第四个，若阿尔法垂直比特，则 m 垂直比特， n 垂直阿尔法。我们看当阿尔法比特相互垂直的时候， 那么有没有这样的结论呢？这是阿尔法，这是比特。我们看我们 m 呢，在阿尔法内，那 m 呢？可能是这种情况， 这个 beta 呢？也有可能是这个 beta 内的这个 n， 也有可能是这种情况，所以我们不能得到 m 垂直 beta 和 n 垂直 r 这样的结论，因此四是错误的，所以正确答案呢，选 c。 我 们来看第十五题。青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据 v 和五分记录法的数据 l 满足 v 等于十的 l 减五次方。已知某同学视力的五分记录法的数据为四点九， 现在让我们求其视力的小数记录法的数据大概是多少。其实呢，这道题等于告诉我们，这位同学的五分记录法，实际上也就是 l 等于四点九， 让我们求这个 v 约等于多少，那 v 约等于多少呢？首先我们代入进去， v 等于一个十的四点九减五次方， 四点九减五呢，我们知道它是负零点一，因此它就等于一个十的零点一次方分之一 啊，零点一呢，我们知道它等于个十分之一，所以有十的十分之一四方分之一， 而十的十四十分之一四方呢，实际上就等于十四根号加十。 好，这里面呢，已经告诉我们，十次根号下十呢，约等于一点二六，所以它就约等一个一，除以一点二六。 好，我们可以计算这个结果，它约等于零点八，所以正确答案选 b。 我们来看第十六题，若 i 是 虚数单位，现在让我们求负数一减二分之一加二对应的点的坐标。 我们知道负数 z 等于 a 加 b i， 其中 ab 都是实数，它对应的点的坐标呢，是 ab， 所以 我们首先要把这个负数给它化成 a 加 b i 的 形式。 好，我们给他的分子分母同时乘一个一加 i， 那 么他的分子时间就变成了一加 i 括号的平方。 而分母呢，我们可以用平方差公式得到一的平方减去 i 的 平方。 而分子呢，我们可以利用完全平方式给它展开一的平方加上个 i 的 平方，再加上个二 i。 在 这里面，我们知道 i 的 平方它是等于一个负一的，所以它的分母就是一减负一，那就是二 分子中 i 的 平方等于负一，所以这两个的和是零，所以它的分子呢，实际上就是二 i。 我 们化简之后，其实呢，它等于一个 i， 这个 i 呢，其实我们知道它可以写成零，加上个一乘以 i。 我们对到它的一般形式，其实就是 a 对 应的是零， b 呢对应的是一，因此这个点的坐标呢，就是零一。 我们来看第十七题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 b 等于三， c 等于八， a 等于六十度。现在让我们求 a 边， 在这个三角形中，我们看已知两边和它的夹角，让求第三边，我们可以用鱼弦定力直接求结。 那么根据余弦定律，我们知道 a 的 平方等于 b 的 平方，加上个 c 的 平方减二 b， c cos a。 好， 我们把数迹带入 b 的 平方呢？九， c 的 平方六十四，减去二乘以三乘一个八乘以 cosine， 六十度是二分之一。好，我们再进行计算， 九加六十三啊，九加六十四啊，七十三，减去二十四，结果多少呢？四十九，所以这个 a 就 等于个七，因此正确答案呢，填七。 我们来看第十八题。为研究一个总体的某项指标，现把该总体化分为三层，按比例用分层随机抽样法抽样，得到各层的样本量及样本平均数，如下表 现在让我们估计该总体该项指标的平均数，也就是我们求出所有样本的平均数。 怎样求出样本的平均数呢？我们用第一层它的样本量十乘以第一层它的平均数五十五， 再加上第二层样本量三十乘以它的平均数九十， 然后我们再除以总的样本数，那就是十加三十加上个十。好，我们进行计算就行了。这个分母呢是五十， 分子是五哎，五百五，加上个二千二百五十，再加上个九百， 好，我们对它进行计算，它的分子呢是三千七，好，分母呢是五十，我们继续计算，结果是七十四，所以呢，答案就填七十四。 这道题呢，我们还可以利用其题九点二证明的这个公式进行计算。 在分层随机车辆问题中，我们计算分层随机车辆的方差的时候，首先要计算这个总的样本的这个频数，我们可以带入这个公式， 首先我们可以计算三层的这个总的样本量，刚才我们算过这是五十，所以呢，这个分母就是五十。 第一层对应的那就是十啊，他乘以他的平均数乘以个五十五， 加上第二层对应的这个是三十，分母呢？还是五十乘以他的平均数七十五，加上第三层也是这样，十除以五十，乘以他的平均数九十， 我们由这个也可以直接得到结果是七十四。所以呢，我们来看第十九题。已知函数 f x 等于二的 x 方加二的负 x 方，现在让求 f x 的 最小值 f x 呢？这个函数的解析式我们是可以少做整理，二的负 x 方可以写成二的 x 方分之一。如果我们把二的 x 方看成 a， 二的 x 方分之一看成 b， 我 们就想到基本不等式的性质。当然二的 x 方和二的 x 方分之一呢，都是正数。 在 a 和 b 都大于零的条件下，我们知道 a 加 b 大 于等于耳背的根号 a b， 当且仅当 a 等于 b 时取得等号，所以这个 f s 呢，它就大于等于耳背的根号下 二的 x 方乘以二的 x 四方分之一。当然这个结果我们知道它等于个二，这个等号能不能取到呢？ 什么时间取的等号，我们首先得知道，就是 a 等于 b， 这个里边对应的就是二的 x 方等于二的 x 方分之一。我们知道二的 x 方分之一呢，就是二的负 x 方， 也就是 x 等于负 x， 其实呢就是 x 等于一个零， 也就是说 x 等于零的时候，这个取得等号，所以 f x， 它的最小值就是二，并且在 x 等于零的时候取得这个最小值，所以正确大呢是填二。 我们来看第二十题，已知圆锥的底面半径为八，母线与底面所成角的正切值为四分之三，现在让我们求圆锥的侧面积， 我们要想求出圆锥的侧面积，首先得知道圆锥的侧面积公式等于 pi r l， 其中 r 呢是指底面半径，这里边我们知道这个底面半径呢，就是八，所以我们要求出母线 l。 好， 我们根据条件来画出一个图形， 根据条件底面半径呢，这个 o b 等一个八，所以母线和底面所成的角， 这个涉及到直线和平面所成的角。直线如果和平面斜交，那么它和这个平面所成的角，是指这条直线和它在这个平面内的摄影所成角。我们看 ab 在 这个平面内的摄影实际上就是 o b， 因此母线与底面所成的角，在这里面实际上就是 a b o， 也就是它的正切值为四分之三， 所以 a o 比上 ob 就是 对比邻，我们在这个 a o b 这个直角三角形内对比，邻等于这个角的正切值等于四分之三， 而这个 o b 呢，是等一个八，所以我们很容易计算出这个 a o 等于个六。好，这个是八，这个是六。我们再根据勾股定律，可以算出母线长等于个十， 也就是在这个测面积公式 pi l 中，这个 r 呢，是等一个八， 这个 l 呢是等于个十，所以这个结果是八十 pi， 所以 正确答案呢，填八十 pi。 我 们来看第二十一题。地震的强烈程度，通常用李氏震级 m 等于 log a 减 log a 零表示。 这里 a 是 距离镇中一百公里处所测量地震的最大震幅单位是毫米， a 零是该处的标准地震震幅。 第一小题，若一次地震测得 a 等于三十一毫米， a 零等于零点零零一毫米。现在让我们求该地震的震级是多少， 根据条件，这个正极 m 就 等于 log a 减 log a 零。所以我们要求正极，实际上就是代入数据，求出 m 的 值。我们看 m， 它等于 log a 减 log a 零。 好，我们把数据代入，那就是 log 三十一，减去 log 零点零零一， 根据对数的运算性质，两个同底的对数相减，底数不变，真数消除， 所以它就等于 log 三十一除以零点零零一啊，当然就等于 log 三万一千。 好，这里面告诉我们 log 三点一，所以呢，我们把这个数据呢再进行简单的变换。这个三万一千可以写成三点一乘以个十的四次方， 所以它就可以写成 log 三点一，加上 log 十的四次方。 追，这个是以十为底的对数，所以 log 十的四方其实就等于个四，所以呢，它就等于个 log 三点一加上个四。 而 log 三点一呢，约等于零点四九一四，所以呢，它就约等于 啊四点四九一四，而结果呢，精确到零点一，所以啊，约等于四点五。 因此该地震的震级约为四点五级。这是第一小题，第二小题呢，里氏八级地震的最大政府是里氏五级地震的最大政府的多少倍？ 我们不妨设李氏八级地震的最大震幅呢？是 a 一， 李氏五级地震的最大震幅，我们用 a 二来表示。 至于这个震级 m， 根据对数的运算性质，它其实可以写成 log a 除以 a 零， 所以里是八级地震最大震幅。我们设为 a 一 的话，那么也就是 m 等于八，这个 a 呢，换成 a 一， 所以我们就可以得到 log a 一 比上 a 零，就等于个八。同样道理， log a 二比上 a 零就等于个五。 根据对数和指数的关系，那么这个 a 一 比上 a 零， 其实就等于个十的八次方。 a 二比上 a 零，其实就等于个十的五次方。 我们如果把这两个数字相除，这个 a 零的分母上都有 a 零可以消除，所以就得到 a 一， 比上 a 二等于十的八次方除以十的五次方， 十的八次方除以十的五次方，它等于十的八减五次方，所以就是十的三次方。十的三次方，我们知道它等于一千， 也就意味着这个 a 一 等于一千倍的 a 二。 所以李氏八级地震的最大震幅是李氏五级地震的最大震幅的多少倍呢？得一千倍。 好，我们来看一下具体的节气步骤。第一小题，根据条件，这个 m 就 等于 log 三十一，减去 log 零点零零一， 根据对数的运算性质，就等于 log 三十一除以零点零零一等于 log 三万一千， 又可以写成 log 三点一，加上 log 十的四次方，最后计算结果约等于四点五，所以该地震的震级约为四点五级。 第二小题，我们设李氏八级和李氏五级地震的最大震幅分别为 a 一、 a 二， 那么根据条件， log a 一 除以 a 零等于八， log a 二除以 a 零等于五。再根据对数和指数的关系，注意这个是以十为底的对数，所以 a 一 除以 a 零等于十的八次方，同样 a 二除以 a 零等于十的五次方。 我们把这两个式子消除，可以知道， a 一 除以 a 二就等于十的三次方等于一千。 因此李氏八级地震的最大震幅是李氏五级地震的最大震幅的一千倍。我们来看第二十二题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 a 等于二倍的根号。三 b 等于二， a 等于一百二十度。第一小题让求角， b 题目中已知两边和一个角，让我们求另外一个角，我们可以利用正弦定点，正弦定点的公式我们得知道是 a 比上 c， a 等于 b 比上 c， n， d， 当然也等于个 c 比上 c， n， c 还等于二。 r 是 指这个外接圆的，就是这个三角形外接圆的直径 条件中告诉我们有 a 边、 b 边和 a 角，所以我们代入前面这一部分就行了。 a 呢，二倍根号三， 这个 a 角等于一百二十度，那 c， n 一 百二十度，我们知道它等于二分之。根号三，我们直接代入等于 b 边，是二，比上 c， n， b。 好，根据这个条件，我们可以求出 c， n， b 而被的根号三除以二分之根号三，这个结果呢，是四，所以我们很容易得到这个 c， n， b 等于二分之一， 并且这个 b 角是三角形的内角，所以呢， b 的 范围是零。导派 在零到 pi 内，正弦值等于二分之一的，这个 b 呢，有可能是三十度，也有可能是一百五十度， 但是呢，这个角 a 已经是一百二十度了，在一个三角形里边不可能出现两个钝角，所以一百五十度呢，它舍去，因此我们求出这个 b 的 大小应该是三十度。 第二小题让我们求三角形 a， b， c 的 面积，要求面积，我们利用面积公式， 我们回忆下三角形的面积公式， s 等于二分之一 a， b， c， n， c 哎，当然也可以写成二分之一 b， c， c， n， a， 还有二分之一 a， c， c， n， b 这一题的条件，我们知道 a 边和 b 边，所以我们用第一个公式 s 等于二分之一 a， b， c。 所以呢，我们首先要求出细角，我们知道三角形的内角和等于一百八十度，所以细角呢，就等于一百八十度。 减去 a 角，再减去 b 角。好，一百八十度， 减一百二十度，再减去三十度， 等于多少呢？得等于三十度，所以这个 c 角就等于三十度。我们代入公式，二分之一乘以 a 二倍的根号三，再乘以 b 就是 二，再乘以 c 三十度，那是二分之一， 所以我们可以计算出这个结果等于多少呢？等于根号三。我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们由正弦定义，就是 a， b 上 c n， a 等于 b， b 上 c、 n b。 我们用这一部分，我们可以直接写出 c、 n， b 等于 a 分 之 b， c、 n， a 把数据带入，结果是二分之一。因为 b 是 三角形的内角，所以大于零度。小于一百八十度，所以 b 等于三十度或一百五十度。 又因为 a 呢是一百二十度，这是一个钝角，在三角形里边不可能出现两个钝角，所以把这个 b 等于一百五十度舍去，所以我们得到 b 等于三十度。 第二小题，我们求三角形 abc 的 面积，我们要利用面积公式，首先求出 c 角、三角形内角和等于一百八十度，所以 c 角呢，就等于一百八十度。减去 a， 再减去 b， 结果是三十度， 所以三角形 a、 b， c 的 面积 s 等于二分之一。 a， b、 c， 我 们把数据带入，结果是根号三。 我们来看第二十三题。为响应强身健体，智慧学习畅议，数仁中学开展了一次学生体质健康监测活动。 已知高三二班有五十名学生，其中男生二十二人，女生二十八人。 按男生女生进行分层，用分层随机测案的方法，从高三二班全体学生中抽取一个容量为二十五的样本，且各层中按照比例分配样本。 第一小题求女生应抽取的人数，这里边我们抽取的人数是按各层的比例进行抽取，所以我们来看一下女生所占的比例。总人数是五十， 女生所占的人数是二十八，所以抽取的女生的比例应该占五十分之二十八，而抽取的总的样本容量 二十五，所以女生应该抽取的人数是五十分之二十八，再乘以二十五。啊，我们可以计算出这个结果，对，他是十四 啊。这是第一小题，就是女生应该抽取的人数是十四人。 我们再看第二题，已知样本中男生女生的平均体重分别为六十点八千克和四十六点四千克。现在让我们估计高三二班全体学生的平均体重， 让我们精确到零点一千克。 根据第一小题的计算啊，我们知道女生抽取的人数是十四， 那么男生应该抽取的人数那就是十一，因为总数是二十五。 平均体重怎么算呢？我们首先计算出男生和女生的所有体重，然后相加，再除以抽取的人数就可以了 啊。女生呢，一共有十四人，平均体重是四十六点四，所以女生的总体重四十六点四乘以十四，男生的总体重十一乘以六十点八。 然后我们除以总数二十五，计算出我们所要的结果就可以了。 这个数呢，约等于五十二点七，所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二点七公斤。 这就是用样本来估计总体，这种方法也就是从抽取的样本得到的平均值近似的来代替这个 高三二班全体学生的平均体重。我们来看一下具体的阶梯步骤。 第一小题，因为各层中按照比例分配样本，所以女生应抽取的人数就是二十五乘以女生所占的比例五十分之二十八，结果是十四。 第二小题由一，我们可以得到样本中男生应该抽取的人数为十一，所以平均体重 男生的总体重有六十点八乘以十一，女生的总体重四十六点四乘以十四，把它相加再除以抽取的总人数二十五，结果是五十二点七， 约等于五十二点七公斤。所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二。我们来看第二十四题，已知函数 f x 等于 c 二 x 加上 c 三分之派减二 x。 第一小题让我们求 f 六分之 pi 的 值，我们要想求 f 六分之 pi， 我 们只需要直接代入就行了。 f 六分之 pi， 也就是把这个函数里面的 x 换成六分之 pi， 所以 它等于 sin 这个二乘。一个六分之派加上个 sin 三分之派减去二乘以六分之派。 二乘以六分之派呢，我们知道等于三分之派，所以等于 sin 三分之 pi。 再加上我们看这个括号里面呢，正好是零，所以等于 c 零。而 c 零呢，就等于零，所以它就等于 c 三分之 pi 加零， 所以我们计算 c 三分之 pi 就 行了。三分之 pi 对 应的角度数是六十度，所以它等于 c 六十度。我们知道 c 六十度等于二分之根号三好，第一小题呢就求出来了， 我们再看第二小题，当 x 属于零到二分之 pi 时，求函数 f x 的 最大值。我们要想求 f x 的 最大值呢，首先要对 f x 进行化解，这个 f x， 它等于个 sin 二 x 加上个 sin 三分之 pi 减。二 x， 我 们利用两角叉的正弦值给它展开， 我们来回忆一下两角叉的正弦值。 sin 阿尔法减 beta 等于什么呢？等于得 sin 阿尔法 cosine beta 减去 cosine 阿尔法 cosine beta。 如果这个地方是加号，那么这个地方对应的也是加号。好，现在呢，我们首首先把后面这一部分给它展开，它就等于一个 sin 三分之 pi cosine 二 x 啊，减去一个 cosine 三分之 pi cosine 二 x。 另外，我们得知道 sin 三分之 pi 等于二分之根号三，所以我们继续写，等于 sin 二 x 加上个二分之根号三倍的 cosine 二 x cosine 三分之 pi 就是 cosine 六十度，它等于二分之一减去二分之一倍的 sin 二 x。 好， 我们把它两个进行合并，所以结果就变成二分之一倍的 c in 二 x 加上二分之根号三倍的 cosine 二 x， 其中二分之一呢，我们可以换成 cosine 三分之 pi 二分之根号三呢，你可以换成 sin 三分之派，所以呢，这个数字就变成了 sin 二 x cosine 三分之派加上 cosine x cosine 三分之派。我们再利用这个公式就是反过来用啊， sin cosine 加上 cosine cosine sin， 那 它就等于什么呢？等于 sin 二 x 加上个三分之派。 好，我们要想求出 x 属于零到二分之 pi 时 f x 最大值，我们要把二 x 加三 pi 看作一个整体。首先要求出二 x 加三分之 pi 的 去值范围，我们不妨令它等于个 t， 把它看成一个整体，因为 x 是 属于零到二分之 pi 的， 所以我们算一下这个二 x， 那 它是大于等于零，小于等于 pi 的。 那二 x 再加上个三分之派，那就大于等于三分之派，小于等于三分之四派。好，我们把它看成一个整体，我们画一下 y 的 以 c x 的 部分图像， y 等于 c x 在 零到二拍上的图像就可以了。我们直要哪一部分呢？我们直要三分之派到三分之四派。这一部分好，这个地方是零， 这个地方对应的是二分之派，这个地方对应的是二分之三派。 好，我们找到三分之派到三分之四派，三分派，比如在这里到三分之四派，我们描述这一段，我们看最大值就是对应的最高点，所以我们很容易看出它的最大值是几呢？是一， 并且什么时间取得最大值呢？那就是这个整体就是二 x 加三派，二 x 加上个三分之 派等于二分之派时取得最大值。其实我们可以求出这时候 x 等于多少呢？也等于个十二分之派， 所以当 x 等于十二分之 pi 时， f x 取得最大值，最大值是一。 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们直接代入 f 六分之 pi， 其实它就等于 c 三分之 pi 加上 c 零，这一方是零， c 零就等于零，所以结果是二分之二三。 第二小题呢，我们首先把后边这个展开，我们利用了两角叉的正弦公式，等于 sin 三分之派 cosine r x， 这个就是 sin 三分之派。减去 cosine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine sine 好，通过整理这两个进行合并之后得到二分之一 c in r x， 加上二分之根号三 cosine x， 这个二分之一我们可以换成 cosine 三分之二 pi， 这个二分之二三呢，可以换成 cosine sine 三分之 pi， 用特殊角来代替它，这样的话呢，就变成了 cosine r 法 cosine sine 法 cosine sine 的 形式。 再利用两角和的正弦公式，就等于 c 二 x 加三分派，因为 x 是 大于等于零，小于等于二分派的，由于这个区间 它表示的是大于等于零，小于等于二分派，所以我们可以求出二 x 加三分派。大于等于三分派，小于等于三分之四派。 我们画出正弦曲线的部分图像，我们根据这个图像可以看出，在二 x 加三派的一个整体等于二分之派的时候取得最大值， 这个时候呢，我们可以求出 x 等于十二分之派，这个最大值呢？结果是一，实际上就是 c 二分之派，这是第二十四题。 好了，综合训练部分我们已经讲完了，希望同学们在这次会考中都能取得优异的成绩，再见。

为什么既变偶不变，符号看象限总是用不对？因为你只记住了口诀，却没理解其内涵。今天马老师带你彻底通关诱导公式 从特殊角求值到化简求值，再到给值求值，一次性讲透。今天我们用一个视频来通关诱导公式的三种应用， 那我们都知道呢，诱导公式是既变偶不变，符号看象限。它其实就告诉我们了，你诱导公式就应该按照两步来，第一步看变和不变就是三角函数名。第二步呢，我们需要确定它的符号就可以了，那我们来看看它到底是怎么回事。 那首先我们要知道呢，诱导公式它实际上是二分之派乘以 k 加减而法这个角的三角函数值与而法这个角三角函数值的一个关系。那即便 说的是当 k 为基数的时候，三角函数名要变，也就是 sine 变成 cosine， cosine 变成 sine 以及 tanning 的 要转化成 cotting 的， 那 cotting 的 而法是等于 tanning， 而法分之一， 然后偶不变，那当 k 为偶数的时候，那这个三角函数名它是不变的。原来是什么，后面它就还是什么， 那也就是 sine 转化成 sine， cosine 还是 cosine 呢？那也是还是 tanine 的 嘛。第二步，符号看象限，看的是谁？我们把阿尔法看作锐角， 我们要看的是二分之派乘以 k 加减 r 法这个角所在象限 去分析它的三角函数值正负，把符号写在等号的右边。在这里面我们要去记一个坐标系，当中坐标轴所对应的角， x 的 正半轴零或者是二派 y 轴的正半轴二分之派，或者是负的二分之三派， x 轴的负半轴派或者是负派，然后 y 轴的负半轴是负的二分之派，或者是二分之三派 加减 r 法，那就是在坐标轴的这个基础上，顺时针或者是逆时针旋转，比如说二分之三派加上 r 法，那我们先去确定二分之三派的位置加 r 法是什么？是逆时针旋转一个角度对不对？那所以我们就能确定它是在第四象限的。 我们拿一个例子来去说明一下。 sine， 二分之三派加上 r 法，好，第一步去看奇变偶不变，二分之三派是二分之一派的三倍，是奇数的情况，所以三角函数名要变，变成 cosine r 法。 第二步，我们看二分之三派加而法这个角所在的象限，我们说二分之三派对不对？他是外轴的负半轴加而法 逆时针旋转变到第四象限，所以第四象限的正弦是负的，所以我们把这个符号写在等号的右边，所以我们三二分之三派加而法就是负的 cosine。 而法。 理解了这个之后，我们来看一下他的三种应用，我们也把应用当中的具体细节给说清楚。 应用一，诱导公式求值，也就是特殊角求值，我们的目的呢是要把赋化正 大化小，那最好呢就是能化到零到九十度这个范围之内。我们来看立一，首先 sine 负的一千两百度， 好，我们要把这个负角去画正呢，我们就给他加上什么，加上三百六加三百六，对应到中边相同的角，三角函数值是不变的，那所以负的一千两百度，我们是不是大概加上四个三百六十度， 那就是一千四百四十度，就变成了一个正的，那就等于 sign 两百四十度嘛。好，那这个两百四十度，我们现在呢，是要用诱导公式，所以这个诱导公式我们得出现什么？是不是得出现二分之派的 k 倍加减 r 法？ 好，那二分之派就对应到其实是九十度的 k 倍吗？那所以二百四十度，我们是不是可以给他写成是一个 sign 一 百八十度，再加上一个六十度。 一百八十度是九十度的两倍，所以他是不变的情况不变，我们直接给他写一个 sign 六十度呗。符号看象限，所以我们看一百八十度加上六十度在哪呢？是不是在第三象限， 所以它是负的三点六十度，那就等于负的二分之根号三餐厅的五百八十五度。 五百八十五度是一个比较大的角，那我们就给他减三百六，先减三百六，那么就得到了 canting 的 二百二十五度。啊，还是想要出现九十度的 k 背嘛？那所以我们把它写成是 canting 的 一百八十度加上四十五度。一百八十度是属于不变的情况，那就是 canting 的 四十五度嘛， 然后一百八十度加上四十五度。第三象限，第三象限的正切为正的，那所以这个值就是 canting 四十五度， 那就等于一嘛。好，那接下来两个我就稍微快一点。 cosine 负的三百，也给他加上一个 三百六，那就是 cosine 六十度。哎，这个就比较直接，就是二分之一，最后一个 cosine 负的七百五十度。好，那这时候呢，我们去加上两个三百六， 得到的这个角就比较小了，是 sine 负的三十度， sine 负三十度，其实我们可以给它看成是 sine 零减三十度，零是九十度的零倍，是偶数的情况，所以它不变不变，就写成是 sine 三十度， 然后零减三十度，是不是在第四象限？第四象限的正弦为负的，所以是负的 sign 三十度，那也就是负的二分之一，所以第一个式子呢？那圆是 就等于负的二分之根号三乘以一，再加上二分之一，乘以负的二分之一，就是负的四分之两倍。根号三，再加一个一。那好，接下来我们去看一下第二问弧度值的一个情况。 sign 负的六分之三十一派，那首先把负的去画正，我们还是加三百六，加三百六就是加二派，对不对？好，那现在加二派的话，其实你就是加了一个 六分之十二派，那它是六分之三十一，我大概要加上三个二派，也就是六分之三十六派， 那减去六分之三十一派，所以它就等于 sign 六分之五派，那如果我们记住这个值，我们就不用管了嘛，对不对？没记住，我们就要把这个六分之五派用二分之派加减啊法的形式给它写出来，我们可以给它写成是 sign 派减去六分之一派，那派呢？是二分之一派的两倍。三角函数名不变，那就是 sign 六分之一派。 好象限呢，是不是在第二象限？第二象限 sign 为正，那就是正的嘛？我们也可以把它写成什么，也可以把它写成是 sign 二分之派，再加上一个三分之派，二分之派是二分之派的一倍。三角函数名要变，变成什么？变成 cosine 三分之派， 二分之派加三分之派，在第二象限，第二象限的正弦为正，那后面就是一个正的都可以，那我们算出来的结果都是二分之一， 第二个 cosine 负的三分之十派，那我们大概要加上一个四派，对吧？四派呢，就是三分之十二派，三分之十派就是三分之二派，所以就是 cosine 三分之二派， cosine 三分之二派，我们用 cosine 派减三分之派吧， 派是属于二分之派的两倍三角函数名不变，就等于 cosine 三分之派。 第二项线的 cosine 是 负的，我们把符号写到后面来，那就是等于负的二分之一， 所以第二问原式呢，它就等于二分之一减去负二分之一，结果就是一嘛。对于这个特殊巧的三角函数值，遇到了负的或者是大的，我们就先利用三百六十度把它转化成小的一个角， 然后再去利用二分之派的 k 倍这样的关系去构造出来九十度一百八十度相关的诱导公式，然后利用诱导公式既变偶不变，符号看象限来去求解 应用。二是化简求值，这种问题就比较直接了，他直接就对应到了二分之派的 k 倍加减而法的形式，所以我们就直接去用就可以了。但前提还是要注意，如果说我们遇到了一个角比较大，那我们先干嘛？ 先加减二派，或者是加减三百六十度，把赋化正，把大化小。好，我们来看立一 sin 四派减而法，那所以四派是不就两个二派，所以第一个就对应到 sin 负而法，我们把四派都减掉，那 sin 负而法呢？就可以看成是 sin 零减，而法零它是对应到二分之派的零倍，就是偶数的情况，它不变， 那就写成 sin 而法。再看零减，而法是第四项线，第四项线的正弦 为负，所以负的 sine alpha。 第二个 cosine 二分之九派加上 alpha， 那 么二分之九派它也里面存在了二派，所以我们把这个二派先减掉，那二分之九派，我可以减掉两个二派，就是四派，就是二分之八派，对吧？所以我们就剩下了 cosine 二分之派加上 alpha， 那他是一个变的情况，对不对？那所以我们先写成 sine 耳法，再看二分之派加耳法在第二象限，第二象限的余弦为负，所以把符号写到右边，就是负 sine 耳法 分母上 sine 二分之十一派加上耳法。哎，那我们也可以去减掉两个二派，就是减去二分之八派， 那就写成 sine 二分之三派加上而法二分之三派是二分之一派的三倍，要变变成 cosine 而法二分之三派加，而法在第几项线呢？ 它是不是在第四项线，第四项线的正弦为负，把符号写到右边来，负的 cosine 而法 cosine 二派减，而法 二派直接拿掉嘛。所以 cosine 负而法，那就跟第一个很像了嘛，都是负而法，那所以呢，是不变的情况。 cosine 而法第四象限的余弦为正，所以就是正的 cosine 而法。 所以第一个式子，我们就化简成了负， sine 尔法乘以负 sine 尔法再除以负的 cosine 尔法乘以 cosine 尔法，我们再来化简第二个式子。 tanning 的 五派减而法那里面也有两个二派，对不对？所以 tanning 的 五派减去而法就是 tanning 的 派减而法 pi 是 对应到二分之一派的两倍，那么 它是三角函数，名不变，我们写成 tan 减而法 tan 减而法在第二项线，第二项线的正切是负的，把负号写到右边负 tan 减而法 sign 三派减而法 也是先把二派拿掉，就是 sign 派减而法，哎，那它和上面这个差不多，对吧？它它是属于三角函数，名不变，我们先写 sign 减而法第二项线我们也分析过了，正弦是正的，把正号直接写到右边第三个 sin。 二分之派减而法，哎，那就属于三角函数，名要变，那我们直接写 cosine 而法，然后二分之派减而法第一项线，第一项线为正，就是正的。好，那第二个式子我们也给它化解完了。写一下 负的 tanning 的 而法，然后分母上是 sine 法乘以 cosine 而法 好。我们遇到这样的式子呢，我们要注意，正弦与弦是一种运算，正切是一种运算，所以我们要么就弦化切，要么就切化弦。所以这道题呢，就一个贪听，而法切化弦是比较简单的，那我们就给他化简一下。 第一个式子，我们把它的符号都拿掉，就是 sine 方耳，法除以负的 cosine 方耳。法第二个减去负的就是加上，然后把它写成是 sine 耳法除以 cosine 耳法。 那分母上 sine 法乘以 cosine 法 sine 法 cosine 法可以约掉，我们就把它写成了是 cosine 方，而法分之一，然后两个式子。哎，易通分嘛，那就是 cosine 方而法一减 cosine 方而法，那就等于 cosine 方程。法分之 cosine 方程，法等于一，我就化解完了，那么应用三给值求值就是已知一个角的三角函数值，求另一个角的三角函数值，那这个问题我就会讲的快一些了，我们要去理解一下它其中的 逻辑，也就是我们遇到这种问题要看什么？要看两个角的关系， 什么关系是和差与二分之派的 k 倍有关， 那么诱导公式我就会快速地去应用了，其中的基变偶不变符号看象限，这样的一个解析的过程需要大家自己来去熟练一下。我们看例，已知 sine 二分之派减 r 法，求 cosine pi 加 r 法，所以我们先看两个角的关系， 二分之派减而法加上派加上而法，它是等于二分之三派，你看它俩的和是跟二分之三派有关，那所以呢，我们就有一个想法叫做已知表未知， 所以我们要求的 cosine pi 加上而法就用二分之三派 和二分之派减而法的差来表示，这时候我们把二分之派减而法看作一个整体来用诱导公式，那这个它就等于负的 sign， 二分之派减 r 法，也就是负的三分之一，所以选择 a 选项，那如果说对于这个过程来说，你感觉我这个整体看着不舒服，那我们就可以有一个想法叫做整体换元， 我们把已知的二分之 pi 减去 r 法直接看成一个角 x， 所以 已知的就是 sine x 等于三分之一， 那么我们把而法用 x 来去表示，而法等于二分之 pi 减去 x， 我 们要求的 cosine pi 加上而法就写成了 cosine pi 加上二分之 pi 减 x， 就是 cosine 二分之三 pi 减 x， 哎，也就是负的三分之一嘛。换元之后再用诱导公式就相对来说简单一些了。我们再来看例二，已知角六分之派减 c， 它的余弦值是 a， 我 们求这两个角的 余弦值和正弦值，所以我们就直接换元呗。六分之 pi 减 theta 等于 x， 那 么 theta 是 等于六分之 pi 减 x， 我 们要求的 cosine 六分之五 pi 加上 theta， 那 就写成了 cosine pi 减 x， 哎，这是不是就很简单呢？它等于负的 cosine x， 也就是负 a 嘛。同理， sin 三分之二 pi 减 theta， 那 就等于 sine 三分之二 pi 减六分之 pi 加上 x 就 等于 sine 二分之 pi 加上 x， 哎，那就等于 cosine x 就 等于 a， 那 所以这两个式相加的值就是零嘛。 例三， tanning 的 theta 加四分之 pi 求 theta 减四分之 pi， 所以 还是换元。 set 加上四分之派等于 x， 那 么 set 等于 x 减四分之派，所以 tanning 的 set 减四分之派就是 tanning 的 x 减去二分之派。如果你这样写要是不舒服呢？我们习惯什么？二分之派的 k 倍是不是在前？它加减而法，我们可以把它的前后顺序给换一下，叫做 tnt 的 负二分之派加上 x， 哎，然后既变我不变，它变成什么呢？它一定要变成是 cotyton x 负二分之派加上 x 在 第几项线，在第四项线四项线的正切为负，把负号写到后面来， 所以它就等于负的 tanning 的 x 分 之一。把它 tanning 的 x 是 等于三分之根号三，那所以负的 tanning x 分 之一就是负的根号三嘛。 如果小伙伴们理解了既变偶不变，符号看象限，那么就把这三个练习的答案放在评论区， 总结一下诱导公式的应用，无他为首鼠耳。再者也需要小伙伴们去理解两角的和差与二分之派的 k 倍有关。这样的一句话，关注我，用正确的方法搞懂数学。

我们继续来讲解二零二四级河南省普通高中学业水平考试解析与检测的综合训练。四、 我们来看第二十三题。为响应强身健体，智慧学习常忆数仁中学开展了一次学生体质健康监测活动， 已知高三二班有五十名学生，其中男生二十二人，女生二十八人。 按男生女生进行分层，用分层随机测案的方法，从高三二班全体学生中抽取一个容量为二十五的样本，且各层中按照比例分配样本。 第一小题求女生应抽取的人数，这里边我们抽取的人数是按各层的比例进行抽取，所以我们来看一下女生所占的比例。总人数是五十， 女生所占的人数是二十八，所以抽取的女生的比例应该占五十分之二十八，而抽取的总的样本容量 二十五，所以女生应该抽取的人数是五十分之二十八，再乘以二十五啊，我们可以计算出这个结果，对，他是十四 啊。这是第一小题，就是女生应该抽取的人数是十四人。 我们再看第二题，已知样本中男生女生的平均体重分别为六十点八千克和四十六点四千克。现在让我们估计高三二班全体学生的平均体重， 让我们精确到零点一千克。 根据第一小题的计算啊，我们知道女生抽取的人数是十四， 那么男生应该抽取的人数那就是十一，因为总数是二十五。 平均体重怎么算呢？我们首先计算出男生和女生的所有体重，然后相加，再除以抽取的人数就可以了 啊。女生呢，一共有十四人，平均体重是四十六点四，所以女生的总体重四十六点四乘以十四，男生的总体重十一乘以六十点八， 然后我们除以总数二十五，计算出我们所要的结果就可以了。这个数呢，约等于五十二点七， 所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二点七公斤。 这就是用样本来估计总体。这种方法也就是从抽取的样本得到的平均值近似的来代替这个 高三二班全体学生的平均体重。我们来看一下具体的解体步骤。 第一小题，因为各层中按照比例分配样本，所以女生应抽取的人数就是二十五，乘以女生所占的比例五十分之二十八，结果是十四。 第二小题由一，我们可以得到样本中男生应该抽取的人数为十一，所以平均体重 男生的总体重有六十点八乘以十一，女生的总体重四十六点四乘以十四，把它相加再除以抽取的总人数二十五，结果是五十二点七， 约等于五十二点七公斤。所以我们可以估计高三二班全体学生的平均体重约为五十二。我们来看第二十四题，已知函数 f x 等于 c， 二 x 加上 c 三分之派减二 x。 第一小题，让我们求 f 六分之 pi 的 值，我们要想求 f 六分之 pi， 我 们只需要直接代入就行了。 f 六分之 pi， 也就是把这个函数里面的 x 换成六分之 pi， 所以 它等于 c。 这个二乘。一个六分之派加上个 sin 三分之派减去二乘以六分之派， 二乘以六分之派呢？我们知道等于三分之派，所以等于 sin 三分之派。再加上我们看这个括号里边呢，正好是零，所以等于 c 零，而 c 零呢，就等于零，所以它就等于 c 三分之派加零， 所以我们计算 sin 三分之 pi 就 行了。三分之 pi 对 应的角度数是六十度，所以它等于 sin 六十度。我们知道 sin 六十度等于二分之根号三。好，第一小题呢就求出来了， 我们再看第二小题，当 x 属于零到二分之 pi 时，求函数 f x 的 最大值。我们要想求 f x 的 最大值呢，首先要对 f x 进行化解，这个 f x， 它等于个 sin 二 x， 加上个 sin 三分之 pi 减二 x， 我 们利用两角叉的正弦值给它展开， 我们来回忆一下两角叉的正弦值。 sin 阿尔法减 beta 等于什么呢？等于得 sin 阿尔法 cosine beta， 减去 cosine 阿尔法 cosine beta。 如果这个地方是加号，那么这个地方对应的也是加号。好，现在呢，我们首首先把后面这一部分给它展开，它就等于一个 sin 三分之 pi cosine 二 x。 啊，减去一个 cosine 三分之 pi sin 二 x。 另外，我们得知道 sin 三分之 pi 等于二分之根号三，所以我们继续写，等于 sin 二 x 加上个二分之根号三倍的 cosine 二 x。 cosine 三分之 pi 就是 cosine 六十度，它等于二分之一，减去二分之一倍的 sin 二 x。 好， 我们把它两个进行合并，所以结果就变成二分之一倍的 c in 二 x 加上二分之根号三倍的 cosine 二 x。 其中二分之一呢，我们可以换成 cosine 三分之 pi 二分之根号三呢？你可以换成的 sin 三支派，所以呢，这个数字就变成了 sin 二 x cosine 三支派，加上 cosine x cosine 三支派。我们再利用这个公式，就是反过来用 cosine cosine 加上 cosine cosine， 那 它就等于什么呢？等于 cosine 二 x 加上个三分之派。 好，我们要想求出 x 属于零到二分之 pi 时， f x 最大值，我们要把二 x 加三 pi 看作一个整体。首先要求出二 x 加三分之 pi 的 曲值范围，我们不妨令它等于个 t， 把它看成一个整体。因为 x 是 属于零到二分之 pi 的， 所以我们算一下这个二 x， 那 它是大于等于零，小于等于 pi 的。 那二 x 再加上个三分之派，那就大于等于三分之派，小于等于三分之四派。好，我们把它看成一个整体。我们画一下 y 的 in c x 的 部分图像， y 等于 c， x 在 零到二拍上的图像就可以了。我们直要哪一部分呢？我们直要三分之派到三分之四派。这一部分。好，这个地方是零， 这个地方对应的是二分之派，这个地方对应的是二分之三派。 好，我们找到三分之派到三分之四派，三分派，比如在这里到三分之四派。我们描述这一段，我们看最大值就是对应的最高点，所以我们很容易看出它的最大值是几呢？是一， 并且什么时间取得最大值呢？那就是这个整体就是二 x 加三派，二 x 加上个三分之派 等于二分之派时取得最大值。其实我们可以求出这时候 x 等于多少呢？也等于个十二分之派。 所以当 x 等于十二分之 pi 时， f x 取得最大值，最大值是一， 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们直接代入 f 六分之 pi， 其实它就等于 c 三分之 pi 加上 c 零等于零，所以结果是二分之差。三。 第二小题呢，我们首先把后边这个展开，我们利用了两角叉的正弦公式， 等于 c in 三分之派 cosine r x， 这个就是 c in 三分之派。减去 cosine 三分之派 cosine r x， 这个就是 cosine 三分之派。 好通过整理这两个进行合并之后得到二分之一 c 幺 x 加上二分之根号三 cosine x， 这个二分之一我们可以换成 cosine 三分之 pi， 这个二分之二，三呢，可以换成 cosine 三分之 pi， 用特殊角来代替它，这样的话呢，就变成了 cosine 阿尔法 cosine beta 加上 cosine alpha， cosine beta 的 形式。 再利用两角和的正弦公式，就等于 c 二 x 加三分派。因为 x 是 大于等于零，小于等于二分派的，由于这个区间 它表示的是大于等于零，小于等于二分派，所以我们可以求出二 x 加三分派，大于等于三分派，小于等于三分之四派。 我们画出正弦曲线的部分图像，我们根据这个图像可以看出，在二 x 加三派这个整体等于二分之派的时候取得最大值， 这个时候呢，我们可以求出 x 等于十二分之派，这个最大值呢，结果是一，其实际上就是 c 二分之派，这是第二十四题。 好了，综合训练部分我们已经讲完了，希望同学们在这次会考中都能取得优异的成绩，再见。

第一题，已知 x 属于实数，现在问 x 大 于二是根号 x 大 于一的什么条件？首先，我们把后面这个根号 x 大 于一进行化简，如果我们给它平放一下，我们可以得到 x 大 于一。 我们再看 x 大 于二能不能推出 x 大 一，很显然是可以的。一个数如果大于二，那肯定是大一的，那反过来行不行呢？反过来是不行的，因为一个数大一，他不一定大于二。比如 x 等于一点五， 一点五呢，显然是大于一的，但是呢，它不是大于二的。也就是说， x 大 于二，可以推出根号 x 大 于一，但是根号 x 大 于一，不能推出 x 大 于二。如果 p 能推出 q， 那 么 p 就是 q 的 充分条件。如果 q 能推出 p， 那么 p 就是 q 的 必要条件。从这个结果我们可以看出， s 大 于二可以推出根号 s 大 于一，所以是充分条件。但是根号 s 大 于一，不能推出 s 大 于二，所以是不必要条件。 因此， s 大 于二是根号 s 大 于一的充分不必要条件。所以正确答案呢，选 a。 我们来看第二题，让我们求函数 f， x 等于根号下三的 x 方减九的定义域。 函数的定义域就是使这个函数有意义的 x 的 取之几何。我们知道根号下的这个数字得大于等于零，所以三的 x 方减九大于等于零。 少做变换可以得到三的 x 方大于等于九。而这个九呢，我们知道它是三的平方， 也就是说，需要满足的条件是，三的 x 方大于等于三的平方， 而 y 等于三的 x 方。这是一个指数函数，这个指数函数呢，它是单调递增的，当它的底数大一的时候，单调递增，底数大零小一的时候，单调递减，而三呢，很显然是大一的， 所以这个函数是单调递增的。这样的话，由三的 s 方大于等于三的平方，我们可以得到，这个 x 呢，应该是大于等于二的，所以它的定义域就是二到正无穷，也就是 正确选项呢，是 c。 所以 这道题的正确答案呢，是 c 函数的定义域。其实呢，就使这个函数有意义的 x 的 取之几何，通常我们要把它写成几何或区间的形式，这边选项呢，都是区间的形式，所以呢，我们选答案 c。 我们来看第三题，逼出四个函数，让我们找出其中的减函数。什么是减函数呢？在定义内，满足任意的 x 一 小于 x 二，都有 f x 一 大于 f x 二这样的函数呢，才是减函数。我们来看 a 选项。假如我们取 x 一 等于负一， x 二等于一，我们看这里边的 f x 一， 我们代入，那就是 f， 负一，那就是负一。 f x 二， 我们代入它是一。很显然，这个 f x 一， 这个时候它是小于 f x 二的。 如果是减函数，我们要求任意的 x 一 x 二，在定义内都要满足 f x 一 大于 f x 二。 而在 a 选项的这个函数里边，我们找到了这样的 x 一 x 二，不满足 f x 一 大于 f x 二，所以 a 它不是减函数。我们再看 b。 同样道理，我们不妨设 x 一 等于一， x 二等于个二，我们看 f x 一 等于个一， f x 二呢， 等于二的三次方等于个八本，显然也是 f x 一 小于 f x 二， 也不满足 f x 一 大于 f x 二，所以 b 也不是减函数。 我们再看 c， 这是一个指数函数。指数函数呢，它的一般形式是 y 等于 a 的 x 方，其中 a 是 大于零且不等一的。当 a 大 于一时，这个函数是单调递增函数。当 a 大 于零小一时， 这个函数呢，就是减函数。这里面的底数是三分之二，就相当于 a 等于一个三分之二。 三分之二很显然是大一点小一的，所以它是一个递减函数。因此，正确答案呢，就选 c。 我 们再看 d 选项，这是一个对手函数。对手函数的形式 y 等于以 a 为底， x 的 对手。 当 a 大 于一时，这个对数函数呢，是单调递增的。当 a 大 于零小一时，这个函数呢，是单调递减的。 这个函数呢，它实际上是以 e 为底的对数函数，就是以 e 为底，这个 e 呢，约等于二点七一八二八。很显然，这个底数呢，是大一的，所以它是一个增函数，因此选项 d 也不是减函数。 其实，我们如果画出函数的图像，也可以分析出它的单调性。比如 a 选项中的这个函数，我们知道它是一个反比例函数，它的图像是在一三项线的双曲线。 我们看在第一项线单调递减，在第三项线也单调递减，但是在整个定义上，并不是单调递减。而 y 等于 x 的 三次方，这是个密函数， 它的图像呢，我们大家也可以画出来，我们可以看出，它实际上是一个增函数。而 c 选项呢，这是一个指数函数，它的图像如何画出来，它是这个样子的？很显然，这是一个单调递减的函数。 而 d 选项中这个对数函数，我们也可以大致画出它的图像，其实它在定义上也是单调递增函数，所以它也不是递减函数。 我们来看第四题，已知向量 ab 满足， a 的 模等于二， b 的 模等于三， a 与 b 的 夹角为六十度。现在让我们求 a 乘以 b。 这道题呢，主要是考察向量的数量级匀算， a 乘以 b， 所以 a 向量乘以 b 向量，它的公式是， a 的 模 乘一个 b 的 模，再乘以夹角的余弦值。好，我们把这个数据代入就行了， a 的 模是二， b 的 模呢是三，然后再乘以它们夹角的余弦值 cosine 六十度，我们知道它等于个二分之一，所以 我们计算出这个结果是三，因此正确答案选 a。 我们来看第五题，已知函数 f x， 这是一个分段函数， x 小 于零的时候， f x 等于 x， x 大 于零时， f x 等于 x 分 之一。若 f x 零等于二， 现在让我们求 x 零等于多少，我们要想求出 x 零等于多少，我们要想求出 x 零等于多少，我们要想求出 x 零等于多少，我们要想求出 x 零。代入函数的解析式， 建立关于 x 零的方程，首先我们来看 x 零，他也有两种可能，如果 x 零小于等于零， 这个时候 f x 就 等于 x， 那 么 f x 零就等于 x 零，那所以我们就得到 x 零呢？等于二， 但是它的前提条件是 x 零小于等于零，我们得到的 x 零等于二，显然不满足这个 x 零小于等于零，所以这个我们要排除。我们再看 x 零大于零时， 当 x 大 于零时， f x 等于 x 分 之一，所以 f x 零呢，就是 x 零分之一， f x 零，我们代入它等于个二，我们根据 x 零分之一等于二，我们可以求出 x 零等于二分之一，所以呢，正确答案选 a。 我 们来看第六题，已知 sin 二分之 pi 加 r 法的值。 这道题呢，主要是考察诱导公式，诱导公式呢，记住十个字，即便偶不厌符号看象限。注意，这里面二分之派加阿尔法， 这个二分之派呢，我们可以看成二分之派的一倍，二分之派乘一个一加阿尔法， e 呢，很显然是一个基数，所以 cosine 二分之 pi 加阿尔法。我们根据奇变偶变，首先这个要变，由余弦呢变成正弦 c in 阿尔法。 然后我们再看，如果把阿尔法看成锐角，那么二分之 pi 加阿尔法很显然是在第二象限， 第二象限的余弦值是一个负值，所以符号看象限，根据二分之派加二法，在第二象限余弦值为负值， 我们在前面加上一个符号，也就是说 cosine 二分之 pi 加阿尔法等于负 cosine 阿尔法，而条件告诉我们 cosine 阿尔法等于五分之三，所以这个结果就是负五分之三。因此正确答案呢，选 b。 我们来看第七题，让我们找出定义为零到正无穷的是哪一个函数，零到正无穷呢，就是 x 得大于等于零。 定义域就是使这个函数有意义的 x 的 取值范围 y 等于 x 的 三次方，这里面的 x 不 需要任何限制，所以它的定义呢，是 r。 我们再看 b 选项 y 等于 x 的 平方，这里面的 x 呢，也不需要任何范围限制，所以它定域呢，也是 r。 我 们再看 c 选项 y 等于 x 的 二分之一次方， y 等于 x 的 二分之一次方呢？实际上就是 y 等于根号 x， 我 们知道根号下的式子要大于等于零，所以它的定域是零到正无穷。 我们再看 d 选项， y 等于 x 的 负一次方， y 等于 x 的 负一次方，也可以写成 y 等于 x 分 之一，所以它的定义域只需要 x 不 等于零就行了，所以它的定义域呢，也不是领导者无穷。 通过分析，我们知道符合条件的只有 c， 所以 正确答案呢，就选 c。 我们来看第八题，已知函数 f x 等于 x 分 之四减 x 的 平方。现在让我们求 f x 零点所在的区间， 根据零点存在性定律，我们知道如果 f x 在 区间 a 到 b 上满足 fa 乘以 f b 小 于零，那么 f x 在 区间 a 到 b 内一定有零点， 所以我们只需要验证每一个区间端点的函数值是不是乘积小于零。首先我们来看 a 选项，我们首先求出 f 负二， f 负二等于多少呢？等于负二分之四减去负二的平方。 好，负二分之四呢？结果是负二，负二，减去负二的平方是四，所以是负六， 所以 f 负二呢，是一个负值。我们再看 f 负一， f 负一等于负一分之四，实际上就是负四，减去负一的平方就是减去一等于多少呢？负五 很显然它也是小于零的，因此 f 负二和 f 负一不满足乘积小于零，所以不是 a 这个区间， 那 b 这个区间呢？里边有一个零，我们带着无异，所以我们先把它排除放一边去。我们再看 c 选项，我们需要求出 f 一 f 一 等于一分之四，减去个一的平方就是四，减一等于个三，很显然这是一个正数。我们再看 f 二， f 二呢，就等于二分之四减二的平方，二分之四呢，就是二减二的平方呢，是四。很显然，这是等于一个负二小于零。 因此， c 选项里边的这个区间满足 f 一 乘以 f 二小于零。你看一正一负，因此这个零点所在的区间其实就是 c。 所以 正确答案呢，选 c。 我们来看第九题。一个支点在半径为二的圆 o 上，以点 p 为起始点，沿逆时针方向运动，每二秒转一圈， 则该支点到 s 轴的距离 y。 关于时间 t 的 函数解析式是哪一个？ 在这里边有一个条件，每二秒转一圈，我们知道一圈对应的弧度数是二 pi， 所以 每秒转的弧度数是 pi。 假设转的这个时间呢，是 t， 所以 他转的弧度数就是 pi t 好。如果 p 点在这个的时候，我们看它对应的这个角是派 t， 从 p 点出发到这个 p 点对应的啊，我们不妨标为 p 一 是派 t， 那 么这个角是多少呢？对，这个角它是派 t 减去四分之派， 因为这一部分它对应的这个弧度数，我们看对应的是负四分之派，所以这个地方呢，就剩下了派 t 减四分之派。 我们再看，让求的是至点到 x 轴的距离，实际上就是纵坐标的绝对值。 我们不妨在这个直角三角形中进行研究，这个角注意它的弧度数就是 pi， t 减四分之 pi， 而这个圆的半径呢，是二， 所以我们看这个对应 p 点，它的纵坐标的绝对值，实际上那就是二倍的 c p， t 减去四分之二好，随着这个 p 的 运动，我们如果运运动到这个地方的时候，我们会发现它的这个 y 值呢？纵坐标还是正值？ 运动到这里的时候，我们会发现他的纵坐标呢，已经变成了负值，但是呢，这里让求的是到 s 轴的距离，所以我们给他加上绝对值。因此我们所得到的函数解析式正确答案呢是 b， 所以这道题的正确答案呢，就选 b。 我 们来看第十题，下列函数中定义为 r 的 奇函数是哪一个？ r 呢？是指全体实数集。 我们首先来看 a 选项 a 选项里边这个根号 x， 我 们知道根号下的式子要大于等于零，所以它的定义域呢，需要满足 x 大 于等于零，也就是零到正无穷。定义域不是 r， 首先把它排除，我们再看 b 选项 f x 等于 x 加 x 分 之一，我们知道分母不能为零，所以这里面的 x 呢，需要满足 x 不 等于零，所以它的定域呢，也不是 r， 我 们也给他排除。 我们再看 c 选项 f x 等于 x 的 绝对值，这里面的 x 倒是不需要任何范围的限制，所以它的定域是 r， 那么它是不是奇函数呢？奇函数需要满足的条件是 f 负 x 等于负的 f x， 我 们看这里面的 f 负 x， f 负 x， 那 就等于一个负 x 的 绝对值，我们知道负 x 绝对值呢，还等于 x 的 绝对值，实际上这个 f 负 x， 我 们会发现它实际上等于一个 f x， 也就是说他实际上满足的是 f 负 x 等于 f x， 好， 满足 f 负 x 等于负的 f x， 这个是奇函数。满足 f 负 x 等于 f x， 这个函数呢，是偶函数， 所以这些个偶函数也不符合条件。我们再看 d 选项，这里面的 x 也不需要任何范围限制。我们再看 f 负 x， f 负 x 就 等于负 x 的 三次方减去个二乘以负 x， 负 x 三次方呢，等于负的 x 的 三次方。好，负二乘以负 x， 那 就加上二 x， 我 们提取个符号，实际上就是负的 x 的 三次方减二 x， 很 显然它等于一个负的 f x， 也就是说这个 f x 呢，是奇函数，并且呢，它的定义也是全体实数 r， 所以 正确答案呢，选 d。 我们来看第十一题，让我们求 sin 十五度加上 cosine 十五度的平方等于几？ 对于这类问题呢，我们可以首先利用完全平方式把它展开。我们知道 a 加 b 括号的平方等于 a 的 平方，加上 b 的 平方，再加上个二 a b， 所以 sin 十五度加上 cosine 十五度，它的平方就等于 sin 十五度的平方，加上个 cosine 十五度的平方， 再加上而背的 sin 十五度。 cosine 十五度 cosine 十五度 cosine 十五度。 另外我们知道，对于仁义的角阿尔法， si 阿尔法的平方加上个 cosine 阿尔法的平方，它都等于个一。 这里边出现 r， 背的 si 十五度 cosine 十五度。我们很容易联想到背角公式 si 二，阿尔法 等于而背的 sin 阿尔法 cosine 阿尔法。如果我们令 cosine 等于十五度，这就是而背的 sin 十五度。 cosine 十五度等于 sin 二乘以十五度，那就是 sin 多少度呢？对 sin 三十度， 而 c 三十度等于多少呢？等于个二分之一，所以这个就等于个一加上个二分之一。 c 十五度的平方加 cosine 十五度的平方，这个结果是一耳背的。 c 十五度， cosine 十五度，这个结果呢，可以化成 cosine 三十度。 我们知道 c 三十度等于二分之一，所以这个结果就是二分之一，因此它等于一加二分之一，我们算出结果二分之三，所以正确答案选 c。 我们来看第十二题，欧拉恒等式， e 的 i 排斥方加一等于零，其中 i 为虚数单位， e 是 自然对数的底数，被誉为数学中最奇妙的公式之一， 它是欧拉公式。 e 的 i x 方等于 cos x 加 i c s 的 特例， 即当 s 等于 pi 时， e 的 i 拍次方等于 cosine pi 加上 i cosine pi。 我 们知道 cosine pi 呢，是等于负一，而 cosine pi 呢，是零，也就是说 e 的 i 拍次方等于负一， 所以 e 的 i 拍次方加一等于零。根据欧拉公式，我们来求一下， e 的 i 乘以四分之 pi 所表示的负数是哪一个。 根据公式， e 的 i x 方等于 cosine x 加上 i c x。 而让我们求的是 e 的 i 乘以四分之 pi 次方。所以呢，我们只需要把公式中的 x 给它换成四分之 pi 就 可以了， 所以它对应的复数其实是 cosine 四分之派，加上个 i 乘以 sin 四分之派。我们知道 cosine 四分之派呢，是等于二分之根号二， sin 四分之 pi 也等于二分之根号，所以这个复数就是二分之根号二，再加上二分之根号二 i。 我 们来看选项，正确的答案应该是 a， 所以 这道题呢，答案选 a。 我们来看第十三题。下列区间中，函数 f x 等于 c， x 加三分之拍的单调递减区间是哪一个？我们可以采用逐个检验的方法。首先，我们不妨画出 y 等于 c x 的 图像， 我们把 x 加三分之派看成一个整体。首先我们来看 a 选项，当 x 属于零到二分之派时，我们来看对应的 x 加三分之派。 好，我们把它看成一个整体，我们可以令它等于个 t， 那 它的取值范围呢？是三分之派到六分之五派， 这个时候呢，我们把这个 x 加三分之派看成一个整体，我们只需要看 y 等于 c x， 它在这个区间上是不是单调递减就可以了。好，我们瞄一下这个 图像，三分之派大概在这里，从三分之派到六分之五派，我们看他的情况是先单调递增，然后又单调递减，所以这个不是他的单调递减区间。 a 排除，我们再喊 b。 我们还是把这个 x 加三分之派看成一个整体。 x 属于二分之派到派，那么 x 加上个三分之派，它的范围属于六分之五派到三分之四派。 好，我们还是把它看成一个整体。我们研究 y 等于 c e x， 我 们看它在这个区间上是不是单调递减的。我们找到六分之五派，假如在这里从六分之五派找到三分之四派。 好，这个地方是拍，再往下面一一到这里，假如是三分之四拍，我们看在这一部分这个图像上，我们可以看出是单调立减的，因此选项 b 符合条件。我们再看 c， 当 x 属于拍到二分之三拍时，那么 x 加上个三分之拍，我们看它的范围是属于三分之四拍 到六分之十一派，我们也来描一下这一段，从三分之四派，然后从这里到 六分之十一派，我们看他的图像，整个是先单调递减，然后又单调递增，所以这个不是他的递减区间。 我们再看 d 选项， x 属于二分之三派到二派，那么 x 加上个三分之派，我们还是把它看一个整体，它属于六分之十一派到这个三分之七派。 好，我们从这来描一下，从六分之十一派，我们描到三分之七派，我们看他的图像也是先单调递减，然后又单调递增，所以他也不是他的递减区间， 因此他的递减区间只有 b。 所以 正确答案呢，我们选 b。 当然我们还可以采用直接计算的方法。我们得知道 y 等于 c， x 它的单调递减区间和递增区间，它的递增区间是负。二分之派加上个二 k 派 到二分之派加上个二 k 派，这是 y 等于 c， x 的 单调递增区间，其中这个 k 呢，是属于 z 的 整数递减区间呢，是二分之派加上二 k 派 到二分之三派加上个二 k 派，这是它的单调递减区间啊。 k 呢也属于 z， 我 们要想求它的单调递减区间，我们把 x 加三分派看这个整体，令 x 加三分之派， 大于等于二 k 派加上个二分之派。 小于等于二 k 派加上个二分之三派。 好，我们求一下这个 x 的 去范围。大于等于二 k 派加上个六分之派。小于等于我们看二 k 派加上二分之三派，再减去个三分之派， 所以小于等于二 k 派加上个六分之七派。 好，如果我们令 k 等于零，我们看这个时候呢，它对应的区间是六分之派到六分之七派。 我们找一下，在四个选项中，哪一个是它的一个子区间符合条件呢？实际上只有 b 子区间，只有 b， 所以 它的单调递减区间。我们来看第十四题。在长方题中， ab 等于 bc 等于一， a a 一 等于四， m 为 d， d 一 的中点。 现在让我们求一面直线 a m 与 b b 一 所成角的正切值。首先我们根据条件来画出图形， 一面直线所成的角，我们可以通过做平行线，把它转化为相交直线所成的角进行计算。 因为这里边那个图形呢，是一个长方体，我们知道长方体的侧棱都是平行的，所以这个 b b 一 与 d d 一 就是平行的， 所以 am 于 b， b 一 所成的角也等于 am 于 d d 一 所成的角， 我们取其中的锐角就是 amd， 所以 amd 就是 我们所要找的一面直线 am 与 b b 一 所成的角。现在我们来求一下它的正确值。 根据条件， ab 等于 bc 等于一，也就是说这个底面呢，是边长为一的正方形，这个边长呢，都是一， a a 一 等于四，那么 a a 一 等于四，就意味着 d d 一 也等于四，而这个 m 是 中点，所以这个 m d 是 二。 这个角的正切值。我们知道在直角三角形中，一个角的正切值等于对比邻，所以它的正切值等于 a d 比上 dm， a d 的 长是一， dm 的 长呢是二，所以这个角的正截值等于二分之一。所以呢，正确答案选 d。 我 们来看第十五题。已知函数 f x 等于 x 的 绝对值加一分之一， 给出四个结论，让我们找出所有正确结论的序号。我们首先看第一个结论， f x 的 定义域为 r， 我 们看这个函数，其中 x 的 绝对值加一，这是分母，我们知道分母呢，不能等于零， 但是呢，我们知道 x 的 绝对值，它是大于等于零的。 x 的 绝对值 加一，它是大于等于一的，所以它一定不会等于零，因此我们不需要对 x 进行任何范围限制，因此 f x 定义为 r， 这个结论是正确的。我们再看第二个 f x 在 零到正无穷上是显然函数， 零到正无穷就是 x 大 于等于零， x 大 于等于零时，我们这个函数呢，这个 f x 其实它可以写成 x 加一分之一。 在这里面我们看 x 如果变大，那么 x 加一呢，也变大，所以是在零到正无穷上， x 加一呢，也会变大， 并且还是正数。那么 x 加一分之一，那就是 f x， 很 显然它要变小，所以 x 增大， f x 减小， f x 在 零到正无穷上是减函数，所以第二个结论也是正确的。 我们再看第三个结论，任意的 x 除以 r， f x 小 于等于 f 零，也就是说 f 零是这个函数的最大值。 首先我们再看这个函数的解析式，我们知道 x 的 绝对值是大于等于零的， x 的 绝对值加一是大于等于一个一的，所以 x 的 绝对值加一分之一，它是小于等于一的。 什么时间取得这个等号呢？很显然，我们看这个圆上取的等号，那 x 等于零，这个地方也是 x 等于零，这地方也是 x 等于零，也就是说 f x 小 于等于 f 零，但这个 f x 呢，实际上就等于个一， 所以这个 f x， 它的最大值就是 f 零，这个 f 零呢，也等于一，所以第三个结论也是正确的。 我们再看第四个结论，存在 k 属于 r 使曲线 y 等于 f， x 与 y 等于 k， x 有 两个交点， 我们可以画出这个函数的大致图像。刚才我们分析了，它在零到正无穷上是减函数，并且在零的时候取得最大值，所以我们可以大致的画出 它在零到正无穷上的图像啊，零的时候呢，它有最大值一，然后呢，一直单调递减，但是呢，它一定是正数，并且这里边有 s 绝对值，我们把 x 换成负 s， 它也不变，所以它这个偶函数，因此呢， 它关于 y 轴对称，这样的话，我们就可以画出这个函数的大致图像。而 y 等于 k， x， 它是过圆点的直线，我们画出 y 等于 k， x 对 应的直线。我们看，如果画出 这是 k 大 一点的情况，我们看它和这个函数有几个交点呢？很显然只有一个交点， 那 k 小 a 零的时候，那是这种情况，我们看这是 k 小 a 零的情况，我们看它和 y 等于 f， x 也只有一个交点， 所以不存在这个 k 除以 r 使 y 等于 f， x 与 y 等于 k， x 有 两个交点，它只有一个交点，因此这个四是错误的，所以正确的结论只有一、二、三，所以答案呢，选 b。 我们来看第十六题，任意的 x 属于 r， x 平方加 x 加二大于等于零，它的否定是什么？首先我们得知道，这是全称量子命题，这个符号叫做任意， 它的否定，首先要把它转化为存在量子命题，也就是任意要变为存在好，存在 x 属于 r。 然后我们还要否定他的结论，他的结论是 x 平方加 x 加二大于等于零，他的否定那就是 x 平方加 x 加二小于零。所以这道题的正确答案就填存在 x 属于 r， x 的 平方加 x 加二小于零。一般情况下，全称量词命题， 他的否定一定是存在量词命题，反过来，如果是存在量词命题，他的否定一定是全称量词命题，要注意两者的转换。 我们来看第十七题。正三棱锥的底面边长为六，侧棱长为四。 现在让我们求它的体积，我们知道锥体的体积公式， v 等于三分之一，底面积乘以高，所以我们要想求出它的体积，就要求出它的底面积和高。 正三棱锥，它的底面是正三角形，并且告诉我们底面的边长是六，侧棱长为四。我们要根据条件求出 s 和 h。 首先我们画出相应的图形， 根据条件我们画出一个正三棱锥，它的底面边长呢是六，侧棱长是四。 我们取 bc 的 中点 d， 那 么 ad 其实就是三角形 abc 的 高，这个地方是垂直的 好， ac 呢等于六，这个 cd 等于边长的一半是三。我们根据勾股定律可以求出 ad 的 长等于三倍的根号差。 这个 o 撇儿是三角形 a、 b、 c 的 中心，那么这个 o、 o 撇儿其实呢，就是这个三棱锥的高，就是我们所要求的 h。 另外我们要知道三角形它的中心就是正三角形，才有这个中心，它到顶点的距离和到对边中点的距离，它是二比一的关系。因此 a、 o 片这段长，它是二倍的根号三， 而这个长呢，是根号三。好，我们根据勾股定律，这也是垂直的。那么这个 o 撇其实呢，就是我们所求的高， h 就 等于根号下这个 o， a 的 平方就是四的平方，减去耳背的根号三的平方 是十二，所以呢，这个高实际上就等于二，所以 h 等于二。那底面积呢？刚才我们分析出这个高，这个三角形 abc 的 高等于三倍的根号三，所以它等于二分之一， 这是底边六，再乘以高三倍的根号三，所以它等于多少呢？等于九倍的根号三， 所以这个三棱锥的体积 v 等于三分之一， s h 底面积乘以高就是三分之一，乘以九倍的根号三，再乘以二等于多少呢？等于六倍的根号三。 所以这道题的答案就前六倍的根号三。我们来看第十八题，加一，两人同时应聘学校文明志愿者，已知加应聘成功的概率为三分之一，乙应聘成功的概率为四分之一，且 假设两人应聘成功与否互不影响，则假设两人至少有一人应聘成功的概率是多少？我们不妨设加应聘成功这件事为 a， 乙应聘成功这件事为 b。 那 么根据条件，这个 pa 就 等于三分之一， pb 就 等于四分之一。 假如两人至少有一人应聘成功，他的对立事件，我们找一下他的对立事件，就是两人都没有应聘成功，于是 a 的 对立事件和 b 的 对立事件都发生了， 两人至少有一人应聘成功和他的对立事件，他的概率之合呢，等于一，所以我们所求的概率可以写成一，减去他的对立事件的概率， 然后我们再用概率的乘法公式进行求解。好，这可以写成一减 a 的 对立事件的概率乘以 b 的 对立事件的概率。 因为这个 p a 等于三分之一，所以 a 的 对立事件的概率就等于一减三分之一，那就是三分之二。 同样，这个 b 的 对立事件的概率等于一减四分之一，那就是四分之三，所以我们所求的概率就是一减三分之二，再乘以四分之三， 我们计算结果是二分之一。所以这道题的正确答案呢？填二分之一。 我们来看第十九题。三角形 abc 的 内角， abc 的 对边分别为 abc， 已知 a 的 平方减 c 的 平方等于 b， 乘以 b 减 c。 现在让我们求角 a。 首先我们所给这个等式可以少到变形 a 的 平方减 c 的 平方。如果把右边这个展开，就等于 b 的 平方减去 bc。 好，我们再少做变形，进行一项变形，把这个 b c 移过来，那就是 b， c 等于。我们把这个 a 方减 c 方呢？移到右边，等于 b 方加 c 方减 a 方。 好，我们要想求出角 a 的 大小，首先我们利用余弦定理求出 cos a， 那 q c， a 等于什么呢？等于二 bc 分 之 b 的 平方加 c 的 平方减 a 的 平方。 根据刚才的变形，我们知道这个 b 的 平方加 c 的 平方减 a 的 平方就等于 bc， 所以 就是 bc。 除以二 bc， 那么这个结果等于多少呢？等于二分之一。另外，三角形的内角，我们知道它的范围是零到派，在零到派范围内，余弦值等于二分之一的，那么只有三分之派。 当然呢，这个其实也可以填六十度，三分之派呢，就等于六十度，所以这个填三分之派或者六十度都是可以的。 我们来看第二十题，在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，佳同学抽取了一个样本容量为十的样本， 并算得样本的平均数为五，方差为九乙同学抽取了一个样本的平均数为六，方差为十六， 已知加一。两名同学抽取的样本合在一起组成一个容量为十八的样本。现在让我们求这两个样本合在一起后的总样本的方差是多少。 这道题呢，是考察分层随机抽样样本方差的计算，我们可以借助教材中其题九点二证明的一个公式来进行计算。首先我们来看一下这个公式， 课本习题九点二第十一题让我们证明了一个三层的情况，也就是说，如果把一个总体化分为三层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差都知道的话， 总的样本平均数我们可以通过这个公式来进行计算，而样本的方差可以通过第二个公式来进行计算。 这道题呢，我们看它给的是这个样本只有两层，所以呢，我们去掉其中的一层。 好，假如我们都在去掉一层，那个公式呢，就变成了你看它的平均数，这里面只有 l 加 m 分 之 l 乘以这个第一组的平均数。 哎，然后第二个呢，是 l 加 m 分 之 m 乘以第二组的平均数，那这个就不要了，所以我们首先来计算它的平均数，平均数等于多少呢？我们知道合在一起就是 l 加 m 其实等于个十八 好。第一个样本容量为十，所以十八分之十 乘以它的平均数，所以是五，我们再加上第二个对应的十八分之十八分之多，少呢？十八分之八乘以它的平均数为六。好，我们计算一下这个平均值， 好，我们可以算出这个结果，等于九分之四十九。 我们再代入方差的计算公式，注意，方差呢，也是两层，所以我们也去掉其中的一层，注意，这个也去掉，我们代入。我们看 s 的 平方就是我们所求的方差。 s 的 平方等于什么呢？等于一个，你看第一个是十八分之一，这个 l 加 m 还是十八，十八分之一好，第一组它对应的样本容量是十 好乘以，注意这里边啊，我们用这个大括号来表示， s 一 的平方就是第一个方差，这个是九，加上它的平均数，减去总的平均数就是五，减去个九分之四十九， 它的平方好，这是第一个括号里面的结果好，再加上同样第二个也是十八分之一，十八分之一乘以。注意，第二个这个样本容量是八， 好，仍然是里边。我们看这是 s 二的平方，就是第二组样本，它的方差是十六 啊，减去第二组的这个平均数是六，减去总体平均数九分之四十九，就这个式子的平方 好，通过计算我们可以得到这个数呢，约等于十二，所以呢，这道题的答案就填十二。 这道题呢，主要是考察分层随机抽样方差的计算， 这个方差的计算，我们就带入这个公式就行了。首先我们要计算总体的平均数，我们再写下这个公式， l 加 m 分 之 l 乘以第一组的平均数，加上 l 加 m 分 之 m 乘以第二组的平均数， 这个 s 的 平方呢，也是这样，等于一个 l 加 m 分 之一。好， l 乘以括号里边 s 一 的平方，加上个第一组的平均数，减去总体的平均数它的平方。 再加上这个 m 乘以第二组的方差，加上第二组的平均数，减去总体平均数它的平方。 好，我们带入这个公式进行计算就行了。所以我们要想求出这个分层随机出样样本的方差，我们要我们来看第二十一题，已知函数 f x 等于二的 x 方加二的负 x 方。第一小题让我们证明 f x 是 偶函数。 首先我们要写出函数的定义，这里面的 x 不 需要任何的范围限制，所以它的定义呢是 r。 很显然这个定律是关于原点对称的。在这个条件下，我们再看 f 负 x 和 f x 的 关系， f 负 x 就是 用负 x 来替换这里面的 x， 那 所以就是二的负 x 方加上二的 x 方。我们来对照一下，二的负 x 方加上二的 x 方和 f x， 很 显然它是相等的， 也就是 f 负 x 等于 f x。 根据函数极偶性的定义，如果 f 负 x 等于 f x， 那 么这个函数 f x 就是 偶函数。 如果让你证明奇函数，那么我们需要证明 f 负 x 等于负的 f x。 记住，满足 f 负 x 等于负的 f x， 这个函数呢，它就是奇函数。所以这里边证明是偶函数，实际上就等于让我们证明 f 负 x 等于 f x。 我 们再看第二小题，证明 f x 在 区间零到正无穷上单调递增。 根据函数单调性的定义，我们要想证明他在零到正无穷上单调递增，我们要任取 x 一 x 二都在零到正无穷上就是大于零。并且我们假设 x 一 小于 x 二， 我们需要证明什么呢？就要证明 f x 一 小于 f x 二。怎样证明 f x 一 小于 f x 二呢？我们一般的采用作差法，用 f x 一， 哎，减去 f x 二。好，我们把它代入， 那就是二的 x 一 次方，加上二的负 x 一 次方，减去二的 x 二次方，减去二的负 x 二次方。 我们需要知道这个二的负 x 方其实是等于什么呢？等于二的 x 方分之一。 好，我们进行整理，把二的 x 一 次方和二的 x 二次方它俩放在一起，当然是减去二的 x 二次方。好，然后 再加上二的负 x 一 次方，减去二的负 x 二次方。 然后再进行整理，等于二的 x 一 次方，减去二的 x 二次方。加上这两个呢？我们刚才说了，他都可以写成分数的形式，二的 x 一 次方分之一，减去二的 x 二次方，分之一， 然后把这两个再通分，等于二的 x 一 次方，减去二的 x 二次方。 啊，加上他俩通分，那就是二的 x 一 次方。乘以二的 x 方二次方，实际就是二的 x 一 加 x 二次方，那分出多少呢？二的 x 二次方，减去二的 x 一 次方。 好，我们再提取个二的 x 一 次方，减去二的 x 二次方，那这个地方就剩个一，因为这个是二的 x 二次方，减二的 x 一 次方。所以呢，是减去二的 x 一 加 x 二的 次方分之一啊。首先根据条件，这个 x 一 是小于 x 二的，所以二的 x 一 次方减二的 x 二次方是小于零的，所以这是一个负值。 另外， x 一 和 x 二都是正数，所以 x 一 加 x 二也是正数，这就意味着二的 x 一 加 x 二也是正数，这就意味着二的 x 一 加 x 二的零次方是一，所以 他是大一的，那么他的导数就是小一的，所以一减去一个小一的数，很显然，这是一个正数。好，一个负数，一个正数说明他小于零，这就说明 f x 一 小于 f x 二。好，我们就证明了在 x 一 小于 x 二的条件下，得到了 f x 一 小于 f x 二，所以我们说明 f x 在 区间零到正无穷上是单调递增的。我们来看一下具体的解体步骤。 第一小题，我们首先写出函数的定义，域为实数，这样的话呢，我们对于任意的 x 属于 r， 负 x 都属于 r， 说明这个定义是对称的。我们再写 f 负 x 和 f x 的 关系，我们得到 f x 等于 f x， 所以 f x 是 偶函数。 第二小题，我们任取 x 一， x 二属于零到正无穷，且 x 一 小于 x 二，然后我们作差，通过整理，我们得到这样一个式子。 其实呢，在这里我们也可以进行分析。这个地方，如果提取个二的 x 一 次方减二的 x 二次方， 就得到了这个一减二的 x 一 加 x 二啊分之一， 这个也是可以的。根据条件，我们只要分析出这个总体结果是小于零的就可以了。好，根据条件，我们得到这个式子是小于零的，所以 f s 一 小于 f s 二，所以 f s 在 领导正无穷上单调递增。 我们来看第二十二题。某校广播站需从高一年级招聘两名播音员前来应聘， 其中女生三名即为 abc， 男生两名即为 ab。 假定每名应聘者被录用的可能性相同，第一小题请写出录用结果的样本空间。 因为每名应聘者被录用的可能性相同，所以每一个人都有可能被录用。那么他的对应的样本空间有可能是 a 和 b 被录用，也有可能是 a 和 c。 当然呢，也有可能是 a 和 b， 也有可能是 b 和 c， 也有可能是 b 和 a。 当然也有可能 b 和 b， 也有可能是 c 和 a， 也有可能是 c 和 b， 当然也有可能是 a 和 b。 我们看这个样本空间包含的基本事件的个数有多少，一二三四五六七八九十。我们再看第二小题，求恰有一名女生与一名男生被录影的概率。 总的样本空间里边包含十个基本事件，所以我们所求的概率，它的分母就是十。 求恰有一名女生有和一名女生被录取的概率。我们找到 在这个样本空间里边包含一名男生和一名女生的情况。这是一个，这是第二个，第三个，第四个，第五个，第六个， 所以一共有六个，那么我们所求概率的分子就是六。好，我们化简一下，结果是五分之三。 好，我们来看一下具体的解析步骤。首先，因为每名应聘者被录用的可能性相同，所以我们录用结果的样本空间我们可以记下来，这里面一共包括十个基本事件。 第二小题，恰有一名女生与一名男生被录用，我们把这个事件呢记为 m， 它包括的基本事件有一个、两个、三个、四个、五个、六个，所以呢，它包括的基本事件有六个。因此我们所求的这个概率 pm 就 等于十分之六。化简之后是五分之三，也就是 恰有一名女生与一名男生被录用的概率为五分之三。 我们来看第二十三题。如图，在直三棱柱中， d 为 ab 的 中点， e 为 c 一 c 的 中点。 第一小题让我们证明 d 平行于平面 abc， 证明一条直线和一个平面平行。我们要用直线和平面平行的判定定例， 假如这是平面，阿尔法判定定律是在平面外有一条直线，如果和平面内一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。 我们要想证明 d e 平行于平面 abc， 我 们需要在平面 abc 内找一条直线和 d e 平行，因为 d e 都是中点。我们如果取 ab 的 中点 m 连接 d m， 我们会发现这个 dm 呢，其实是三角形 b a a 一 的中位线，所以这个 dm 平行于 a a 一， 并且等于 a a 一 的一半。而这个 c e 呢，其实我们看它 也平行于 a a 一 也等于这个 a a 一 的一半，因为 c e 呢，是等于 c c e 的 一半。如果我们连接 c m， 其实我们得到了这个 c e d m， 它是一个平行四边形，这样的话，这个 c m 就是 在这个平面内的这条直线，它和 d e 是 平行的，这样的话，我们就可以得到 d e 平行于 abc 这个平面。我们再看第二小题， 若 c a 垂直于 cb， 这个地方是垂直的，且 c a 等于 cb， a e a 等于阿拉伯 c a。 当阿拉伯为和值时， a e b 与平面 abc 所成的角为四十五度。 a e b 和平面 abc 所成的角，我们首先要找到这条这个角，这条直线和平面所成的角怎么找呢？ 所以一条直线和平面所成的角，要在这条直线上找一点，向这个平面做垂线。 好，这样的话呢，我们得到它的摄影，这条直线和它在这个平面内的摄影所成的角，就是直线和平面所成的角。这里边 a e a 和这个 a b c 就是 垂直的，所以 a、 e、 b 的 摄影就是 ab， 那 么这个角就是我们所要的角，因此就是它等于四十五度。 好，它等于四十五度，就意味着 a e a b 是 一个等腰直角三角形，现在呢，它说 a e a 等于，那么的 c a， 从这个条件我们也可以看出，这个 abc 其实也是一个等腰直角三角形，所以这个 a b 它是等于这个 c a 的 根二倍， 并且这是一个等腰直角三角形。 a e a b， 这是四十五度，所以呢，这个 a e a 也等于 a b a e a 也等于 a b， 所以 这个 a e a 呢，就等于根号二倍的 c a， 也就是说这个 lamb 的 值呢，其实就等于根号二。好，我们来看具体的解体步骤。 首先第一小题，我们取 ab 的 中点 m 连接 dm 和 c m， 因为 d 为 a e b 的 中点 m a b 的 中点，所以 dm 平行于 a e a， 并且等于 a e a 的 一半。有 dm 呢，是这个三角形的中位线。 又因为 e 是 值三棱柱的这个 c c e 这条棱的中点，所以 c e 呢，也平行于 a e a 也等于 a e a 的 一半，所以 dm 和 c e 平行且相等， e 轴对边平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形， 所以 d e 平行于 m c 啊，我们还要说明 d e 不 在这个平面内，而 m c 在 这个平面内，平面外一条直线和平面内一条直线平行，所以 d e 平行于平面 abc。 而第二小题呢，在这里边是不需要写出这个过程的，所以呢，我们只要写出结果就行了。根据刚才分析，那么的等于根号二， 我们来看第二十四题。党的二十大报告指出，坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天碧水镜头保卫战，加强污染协调控制，基本消除重污染天气。按照相关规定，某化工厂产生的废弃中的某类污染物，经过过滤装置的处理， 含量降至过滤前的百分之五以下才能排放。已知过滤过程中废弃中该类物的含量 p 单位是毫克每升，与时间 t 单位分中的关系为， p 等于 p 零 乘以 e 的 负五十分之十七， t 释放其中 p 零为过滤前物的含量。第一小题，经过 t 分 钟，该类物的含量降为原的一半，让我们求 t 的 值 物降为原来的一半，实际上就是变为二分之一。屁零， 好，原来呢，我们对应的时间 t p 等于屁零乘以一的负五十分之十七 t 次方就是这个等于二分之一。屁零， 好，两边呢，同时除一个屁零，我们得到 e 的 负五十分之十七 t 次方 等于二分之一，两边同时取以 e 为底的对数，以 e 为底的对数。好，我们取完对数之后，左边就是负的五十分之十七 t 等于 lo in 二分之一， lo in 二分之一，实际上就等于负的 lo in 二，就它等于负。 lo in 二。好，两边呢，我们再乘一个负一，把这个符号消了， 因为这个劳力二呢，约等于零点六九三一，我们代入零点六九三一，我们得到关于 t 的 一个方程，我们可以求出这个 t， 它约等于二，所以第一小题这个 t 的 值呢，是约等于二， 我们再看第二小题，求过滤废弃达到排放标准所用的最短时间，达到排放标准，就是变为 过滤前的百分之五以下，也就是我们让 p 呢小于百分之五 p 零，这样的话我们就可以得到一个不等式， 好，我们把它代入进去，结果就是 p 零乘以 e 的 负五十分之十七， t 次方小于百分之五 p 零。 好，两边呢，除一个 p 零，这个百分之五呢，又可以写成个二十分之一， 我们两边也同时取以 e 为底的对数，那就变成了负的五十分之十七， t 小 于 lo in 二十分之一。 注意， lo in 二十分之一呢，也等于负的 lo in 二十， 两边我们再同时乘一个负一，注意，不等式两边同时乘一个负数，要变号的，所以我们得到五十分之十七， t 大 于劳恩二十， 我们也得到关于 t 的 一个不等式，这时候我们需要计算这个劳恩二十，劳恩二十呢，这个二十我们可以写成劳恩四，加上劳恩五， 而四又是二的平方，所以可写成二倍的 lo in 二，加上个 lo in 五。 好，我们把所给的数据带入，就可以求出这个二倍的 lo in 二，加上 lo in 五，也就是 lo in 二十的值。进一步的带入进去，可以解出关于 t 的 这个不等式，求出这个 t 的 范围是大于等于八点八， 因为这里边结果保留整数，所以呢，至少需要的时间最短时间就是九分钟。 我们来看一下具体的解体步骤。例，小题，我们根据条件得到这样一个方程，两边同时除以 p 零，得到这样一个等式，两边同时取对数，其实首先得到的是负的五十分之十七， t 等于劳力二分之一，劳力二分之一呢，就是负的劳力二。好，我们得到这样一个方程，两边呢，乘一个负一，把这个符号消了，把劳力二代入，解得 t 约等于二。 第二小题，我们建立一个不等式，好，把这个 p 零两边消去，我们得到 e 的 负五十分之十七， t 次方小于等于二十分之一 啊。两边同时取对数，仍然得到一个不等式，所以 log 二十分之一等于负的 log 二十，所以两边再乘一个负一，我们得到五十分之十七， t 大 于等于 log 二十，我们计算 log 二十呢，代入约等于二点九九五六，所以得到 t 大 于等于八点八， 所以过滤废气达到这个排放标准所用的最短时间为九分钟，所以这个含量要降至过滤前的百分之五以下。 所以呢，我们就根据这样一个条件，得到一个不等式，利用不等式解除范围，从而得到它的最短所用时间。好，这是第二十四条综合训练三的内容就已经全部讲完了。

大家记住，嵌套函数是非常重要的一类考题，你看这道河南的高三大连考又考出了这样的题目，我们一起来看一看这道题，他说已知这个函数是一个分段的 g x 等于 f f x， 如果它等于 a 的 零点个数为 m， 问下面选项正确的是？对于欠套函数来说，大家记住做题的方法呢，就是换元。所以我们先把这个大括号里面的 f x 看成 t， 那 么我们要想知道 f t 是 什么， 就需要找到 t 的 取值范围。而对于一个分段函数来说，要想找到它的解析式是什么，就必须知道带到括号里面这个东西的取值范围。所以明显的我们要分成两大类。第一大类，当 t 小 于一的时候， 如果 t 小 于一，那么 f t 的 这个东西就应该带到上面这个式子里面。 但是 t 这个东西到底是什么呢？它是 f x， 而它的解析式又是由 x 的 取值范围决定的，所以我们又要分成两大类。第一个大类，当 x 小 于一的时候， 这个时候的 f x 就 应该对应的是二的 x 次方，也就是 t， 我 们要让它小于一，解出的 x 对 应的就是小于零。所以在 x 小 于零的时候，那么它 g x 的 解析式就应该是 f 括号二的 x 次方，也就是二的 二的 x 子方，所以我们知道了小于零时候的解析式。接着再来看，那如果 x 本身是大于等于一的，那这个时候的 f x 对 应的就应该是三减 x， 那么它是 t， 又让它小于一，解出的 x 就 应该是大于二。所以我们就知道了，当 x 大 于二的时候， 那么我们的 f t 就是 f 三减 x， 也就是二的三减 x 次幂。那同理，我们再来分析第二个大类，也就是当 t 大 于等于一的时候，分析方法跟刚才一样， t 是 大于等于一的。那么一种情况就是当 x 小 于一的时候，对应的这个 t 就是 二的 x 字方，它得大于等于一，此时 x 就 应该大于等于零， 又有小于一这个前提。所以最终 x 在 零到一之间的时候，那对应的 f f x， 它对应的就是 f 二的 x 次方，也就是三减二的 x 次方。同理当 x 大 于等于一的时候，那么这个时候的 t 啊，它其实就是三减 x， 那么我们要让它大于等于一，解得 x 就 应该小于等于二，再结合大于等于一。所以我们清楚了，在大于等于一小于等于二的这个范围内，我们的这个 g x 对 应的就应该是三减，去括号三减 x， 也就是 x。 那么通过这种分析咱们就清楚了，整个 g x 是 一个分为四段的分段函数。第一段小于零的时候，它对应的是这个式子。 第二段，当 x 大 于等于零小于一的时候，它对应的是这个关系式。 第三段，当 x 大 于等于一，小于等于二的时候，它对应的是这个解析式。而第四段，在 x 大 于二的时候，它对应的是这个解析式。因为地方小，我这个图和解析式就不给大家写了， 所以根据这个分段函数，大家画一个图，就可以分析出来 a、 b、 c、 d 这四个选项到底哪一个是正确的。 最终的答案应该是 a 和四 d， b 和 c 是 错误的，大家可以自行把这个图画出来，然后去判断就可以了。 所以这道题目难度没有那么大，只要你明白嵌套函数到底该如何去做，通过分类讨论就可以得出答案。

我们来看第一题，某家庭进行理财投资，根据长期收益市场预测，投资证券等稳健型产品的年收益 f x 与投资者 x 成正比，其关系如图一所示。 投资股票等风险型产品的年收益 g x 的 算术平方根成正比， 其关系如图二所示。第一小题分别写出两种产品的年收益 f x 和 g x 的 函数关系式。 我们看 f x， 它与投资额 x 成正比，也就是说这个函数是一个正比例函数。在初中我们知道正比例函数的形式是 y 等于 k x， 这个 k 呢，不等于零，这是正比例函数 f x 与 x 成正比，所以我们可以设 f x 等于 k 一 x， 现在我们需要求出这个 k 一 的值就行了。从条件我们可以看出，这个函数的图像经过一零点一二五这个点， 所以我们可以把这个点的坐标带进去，那就是零点一二五 等于 k 一 乘以一就等于 k 一， 这个零点一二五呢，也等于个八分之一，所以这个 k 一 呢，就等于个八分之一，所以这个 f x 就 等于个八分之一 x， 因为这个 x 呢，是投资额，所以呢，这个 x 一定是大于等于零的。 我们再看 g x， g x 与 x 的 算数平方根成正比， x 的 算数平方根，那就是根号 x， 所以 我们可以设 g x 等于 k 二乘以根号 x。 同样，我们从图上可以看出，这个函数呢，经过一零点五这个点，所以呢，我们代入进去，零点五 等于 k 二乘以个根号一啊，根号一还是一，所以这个 k 二呢，就等于零点五。零点五呢，我们写成二分之一，所以这个 g x 就等于对二分之一倍的根号 x， 因为这个 x 呢，也是投资额，所以 x 大 于等于零。 这是第一小题，第二小题，该家庭现有二十万元资金，全部用于理财投资。问，怎么分配资金能使投资获得最大年收益？其最大年收益是多少万元， 怎么分配资金能使这个投资额获得最大值？问题， 我们不妨假设用 x 万元去投资稳健型产品， 那么它的收益是多少呢？那它收益就是 f x， 我 们知道 f x 它等于个八分之一 x， 剩余的二十减 x 万元， 我们把我把它呢投资到股票型啊这种风险产品的这个上面去，那么它的收益应该是多少呢？也就是 g 二十减 x 等于什么呢？等于一个二分之一倍的根号下二十减 x。 那这二十万元的投资之后，总的收益我们用 y 来表示， y 其实就等于一个 f x 加上个 g， 二十减 x。 好， 我们代入，那就是八分之一 x 加上个二分之一倍的根号下二十减 x。 现在呢，就是让我们来求这一部分的最大值，我们把它看成一个函数，而这里边呢， x 呢，也是有范围限制的， x 肯定是大于零，因为这个根号下二十减 x， 所以 x 呢，也小于等于二十，所以 x 的 值范围大于等于零，小于等于二十， 我们怎样求这个函数的最大值呢？我们这里有一个根号，对于含有根号的函数我们并不熟悉，所以我们假设这个根号二十减 x 等于一个 t， 很简单，这个 t 呢，是大于等于零的。然后呢，我们把这个 x 解出来，两边平方，那就是二十减 x 等于一个 t 的 平方， 所以这个 x 等于什么呢？这个 x 等于二十减 t 的 平方， 那么这个 y 就 等于八分之一倍的，这个 x 能换成二十减 t 的 平方， 然后我们再加上二分之一 t， 好， 我们再稍作整理，就是负八分之一 t 的 平方，加个二分之一 t， 再加上这个二十乘一个八分之一，二乘以八分之一呢，是二分之五， 我们可以看出是关于 t 的 一个二次函数，并且如果画出图像的话，它是开口向下的抛物线， 我们要求它的最大值，我们可以配方，首先前面有个负八分之一，我们提取个负八分之一， 好，里面就变成 t 的 平方，减去减去四， t， 好，后边再加上二分之五。好，我们再配方。负八分之一乘一个 t 减二括号的平方，加上多少呢？我们来算一下， 如果这里边我们要配成 t 减二括号的平方，那这里面需要加上个四， 加上四，前面再乘个负八分之一，相当于减去了二分之一，所以我们需要再加上二分之一，后边本来是二分之五，所以加上三。 从这可以看出，当 t 等于二十，取得最大值，并且呢最大值为三。 好，我们要写出这个 x 对 应的值，那 t 等于二，那 x 等于多少呢？ x 等于一个二十减 t 的 平方，减四，所以等于十六。也就是 投资证券型这种稳健产品十六万元，剩下的四万元投资股票等这种风险产品， 然后获得最大收益，最大收益多少呢？得三万元。好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先根据条件，我们可以设 f x 等于 k 一 x x 大 等于零， g s 呢，等于 k 二乘以根号 x， 这里面的 x 也大，也等于零。 根据图像我们可以看出，第一个函数，它经过一零点一二五这个点，实际上这个数就是八分之一，也就是经过一八分之一这个点带入进去，可以求出 k 一 等于八分之一。同样第二个我们可以求出 k 二等于二分之一， 所以 f s 等于二分之一，根号 x， 这个 s 也大等于零。 我们设投资证券等稳健型产品为 x 万元，那么 投资股票等风险型产品就是二十减 x， 万元收益我们记为 y 万元，那么 y 就 等于 f x 加上 g 二十减 x， 我 们带入进去， f x 就是 八分之 x， g 二十减 x， 就是 把 g x 里边的这个 x 给它换成二十减 x， 所以 等于二分之一，加上根号二十减 x， 这个 x 呢，得大一等于零，小一等于二十。 我们利用 t 等于根号下二十减 x， 我 们可以得到 x 等于二十减 t 的 平方。当然我们可以看出这时候 t 的 取范围，它一定是大于零，小于等于二倍的根号五，因为 t 的 平方肯定是小于等于二十的，这个数为大于零。 好，这个 y 呢，就等于八分之二十减 t 的 平方，加二分之 t 配方之后， y 等于负八分之一，乘以 t 减二，括号平方再加上三。所以当 t 等于二，也就是 x 等于十六的时候，这个收益最大 最大值是三万元。这是这道题，这道题呢，主要考察这个函数解析式的求解。首先我们得知道正比例函数， 正比例函数，然后我们需要通过把这个根号下二十减 x， 用一个字母 t 来替代，之后把它转化成二次函数，利用二次函数求出函数的最大值。 我们来看第二题，乡村的经济发展是美丽乡村建设的重要方面，只有推动了经济发展，才能更好的解决人民群众的生产和生活问题。 某乡镇为了推广家乡的特色农产品，因地制宜的将该乡镇打造成生态水果特色小镇。经调研发现，某水果树的单株产量 w， 这个单位是千克，与食用肥料 x 单位也是千克，满足如下关系，这是一个分老函数， 肥料投入成本为十 x 元，其他投入成本为二十 x 元。已知这种水果的市场售价大约为十五元，为千克，且销路敞通，供不应求， 即该水果数的单注率为 f x， 这个单位是元。第一小题，当我们求 f x 的 函数关系式， 这个 f x 呢是指利润，利润就等于总额入减去总成本，产量是 w x 这一个分段函数， 而售价呢是十五元每千克，所以总的收入是十五乘以 w x。 成本包括两部分，一部分是肥料成本十 x， 另外一个就是其他成本二十 x， 这就是 f x， 也就是它的利润好。因为这个 w x 呢，是一个分段函数，所以我们得到 f x， 它应该也是一个分段函数 好。当 x 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 w x 呢是五倍的 x， 平方加三，所以我们代入就七十五倍的 x 的 平方加上个三，然后再减去三十 x， 这是 x 大 于等于零小于等于二的情况。当 x 大 于二小于等于五十， 这时候，这个 a w x 呢，等于五十，减去 x 加一分之五十，我们也代入进去十五倍的 w x， 那 就是七百五 减去 x 加一分之七百五，然后再减去三十 x。 好， 我们少做整理， 可以写成七十五 x 的 平方减去三十 x 加上个二百二十五，这个时候是 x 大 于等于零，小于等于二的情况。 x 大 于二小于等于五的情况也可以稍作化解。 x 加一分子七百五十 x 再减去个三十 x， 这是第一小题。 第二小题，当施用肥料为多少千克时，该水果数的单株利润最大，最大利润是多少？ 第一小题呢，我们已经求出来了利润函数 f x 的 解析式。第二小题呢，实际上就是让我们求 f x 的 最大值。首先我们来看一下 f x 的 解析式， f x 是 一个分段函数，所以我们就利用分段函数来求出 f x 的 最大值。首先我们看 x 大 于等于零，小于等于二十， 这个时候对应的解析式是，七十五 x 平方减三十 x 加上二百二十五。很显然这是一个分段函数，我们对它进行少做整理，其实就是配方。我们提取个七十五，这个整理配方之后呢，得到的是七十五乘以 x 减去个五分之一 括号的平方，后边加上二百二十二，我们求这个函数的最大值。 这个二次函数呢，我们可以看出它开口向上，并且对称轴是 s 等于五分之一，我们大致画一下它的图像，这是一条抛物线，开口向上抛物线，假如这是对称轴， 但是呢，我们知道 x 大 于等于零，小于等于二的部分，所以我们描出这一段，从零这个对称轴五分之一到二这个地方，这个二呢距离，对称轴的距离很显然比零距离对称轴的距离呢要远，所以我们从这可以看出 x 等于二十 取得最大值。这里面我们一定要注意，对称轴是 s 等于五分之一，在五分之一这个地方取得是最小值，所以我们求最大值时，不要把 s 等于五分之一，这对称轴呢带入进去。 好，我们把 s 等于二代入这个函数，我们可以求出它的函数值是多少呢？得四百六十五，这是当 x 大 于等于零，小于等于二的情况。我们再看 x 大 于二，小于等于五十， 这个函数是一加 x 分 之七百五十 x 减去三十 x。 我 们首先看前面这一部分，这是个分式，分子分母都含有 x 这类的函数呢，我们 不知道它的单调性如何，所以呢，很难求出它的最值。问题我们怎么办呢？把这个分子中的 x 给它分离出来，这个七百五十 x 可以 写成七百五十乘一个啊，一加 x 或者 x 加一，我再给它减去一个七百五 啊，七百五十加 x， 呃，七百五十 x 加一，减去个七百五，然后再除一个一加 x， 好，这就是这个式子。后边呢，还有一个减三十 x， 我 们少做变形，我们看七百五十乘以 x 加一，除一个这个一加 x， 那 就是七百五 啊，七百五减去这个一加 x 分 之七百五啊，后边呢，又减去个三十 x， 后面这个三十 x。 我 们看一下这个关系，前面的这个分母是一加 x， 所以 我们把这个 x 呢给它凑成一个 一加 x， 那 怎么凑呢？那就是后面给它再减去个三十，前面呢是一个七百五，你后边减去个三十，那前面再加个三十，所以这个就变成了七百八， 减去一加 x 分 之七百五，好，减去个三十倍的一加 x， 好， 我们这个有个三十，这个七百五可以提取个三十，所以七百八 减去个三十倍的啊，三十倍的这个三十提出来里边是二十五，除以一个一加 x， 加上个对，这个符号提出来，这里面就是加上个一加 x， 好，这一部分呢，我们可以看出它有最小值。我们利用什么求得最小值呢？利用基本不等式，就是当 ab 大 于零时， a 加 b 大 于等于二倍的根号 ab， 所以 这个一加 x 分 之二十五加上个一加 x， 我们把它看成 a， 把它看成 b， 那 就大于等于儿倍的根号下它两个乘积，这个这个数字和这个分母正好消了一乘二十五，所以结果是十， 也就是他有最小值是十。那前面因因为有个符号，所以这个整体呢是有最大值，那就是最大值多少呢？七百八减去个三十乘以个十，好，那就七百八减三百多少呢？四百八。 什么时间取得这个最小值呢？就是什么时间取等号。我们根据不等式的性质，我们知道一加 x 分 之二十五 等于一加 x， 就是 当且仅当这个等式成立的时候取得等号，并且呢 x 的 范围是大于二小于五的，所以这个时候我们可以求出 x 等于四， 这个时候最大值呢是四百八。第一种情况，我们求出最大值是四百六十五，很显然这个四百六十五是小于四百八的，也就四百八更大， 因此整个函数的最大值呢，就是四百八，什么时间取得最大值呢？当 s 等于四的时候。好，我们来看具体的解体步骤。首先第一小题，我们根据题，这个 f x 呢，就等于十五， w x 减十 x， 再减去二十 x， 我 们把 w x 这个分段函数带进去，可以求出这个 f x， 它也是一个分段函数。 第二小题呢，我们在第一题求出 f x 的 基础上，首先当 x 大 于等于零，小于等于二的条件下，它是一个二次函数，我们配方得到这个结果， 这是一个二次函数，我们注意它开口向上，所以一定要注意在对称轴处取得是最小值，所以最大值在哪地方取呢？根据刚才我们画图分析，在 x 等于二的时候取得最大值，所以 f 二代入这个结果是四百六十五，就是第一段 对应的最大值是四百六十五。对于第二段，就是 x 大 于二小于等于五的时候，我们首先对它进行的整理， 把它化成七百八，减去三十乘一个一加 s 分 之二十五，再加上个一加 x。 我 们首先求这部分的最小值，其实就是利用了 a 加 b 大 于等于二倍的根号 ab 这样一个结论， ab 大 于零的时候，这个式子成立的好，那所以呢， 这个整体它是小于等于七百八十，减去三十乘以二倍的根号下，这两个乘积等于四百八，什么时间取得等号呢？当且仅当一加 s 分 之二十五等于一加 x， 也就是 x 等于四的时候，这个等号成立 简单，四百六十五是小于四百八的，所以当 s 等于四的时候，这个函数值呢更大，它等于四百八。因此使用肥料为四千克时，这个单株的利润最大，最大利润为四百八十元。 我们来看第三题，某食品的保鲜时间。 y 这个单位是小时与储存温度， x 单位是摄氏度满足函数关系式， y 等于 e 的 k， x 加 b 次方， 其中这个 e 呢，是自然对数的底数， k 和 b 是 常数。若该食品在零摄氏度的保鲜时间是一百二十小时，在二十摄氏度的保鲜时间是三十小时。现在让我们求该食品在十摄氏度的保鲜时间是多少。 我们要想求出该函数关系式， 这个函数关系式里边有两个常数，我们需要把它求出来，一个 k， 一个 b。 而在条件中呢，已经告诉我们两个条件， 一个条件是零摄氏度的保鲜时间是一百二十小时，也就是 x 等于零的时候， y 等于一百二。所以呢，我们有第一个条件，这个一百二等于 个 e 的 b 次方，我们看把 x 等于零代入，这就是 e 的 b 次方，等于一百二。好，第一个条件，我们首先求出 e 的 b 次方，我们把它做一个整体放在这里。 第二个条件，在二十摄氏度的保鲜时间是三十小时，也就是 x 等于二十的时候，这个 y 呢，等于三十，所以这个三十就等于 e 的 二十 k 加 b 次方。另外，我们要知道指数的运算性质，这个指数相加，其实可以拆成两个同底的指数，是相乘 二十 k 次方，再乘一个 e 的 b 次方， 而 e 的 b 次方呢，刚才我们已经求出来了，它等于一百二，所以这个可以写成 e 的 二十 k 次方，乘以个一百二， 所以呢，我们就可以得到 e 的 二十 k 次方等于多少呢？得等于四分之一。好，我们先放这里，我们来来看一下。当 s 等于十的时候， x 等于一个十的时候，那么这个 y 等于什么呢？等于 e 的 十 k 次方，这个把 x 换成十，加上个 b， e 的 十 k 加 b 次方。根据指数的运算性质，它可以写成 e 的 十 k 次方 乘一个 e 的 b 次方。我们要想求出这个 y 的 值，需要求出 e 的 十 k 次方。对于这里边，我们应求出 e 的 二十 k 次方， 根据指数的运算性质， e 的 这个二十 k 次方，其实呢，它可以写成的 e 的 十 k 次方，再平方 一个，它等于个四分之一。然后我们一开放就可以得到 e 的 十 k 次方等于多少呢？等于二分之一， 所以我们现在把它代入进去，就可以求出 y 的 值。 e 的 十 k 次方等于二分之一， e 的 b 次方呢？等于一百二。 好，所以结果等于多少呢？等于六十，也就是该食品在十摄氏度的保鲜时间为六十小时。这是第一小题， 第二小题，他的意思就是说，当 y 等于十五的时候，让我们求这个 x 的 值，在这里面呢，问是该视频在保鲜为十五小时的储存温度，我们不妨把这个温度给它设成 m， 当然用 x 表示也没问题。然后我们代入进去，那就是 e 的 k m 加 b 次方，而让它等于多少呢？等于十五。 好，现在呢，我们要想办法求出这个 m， 好，我们把这个数字进行变形，根据指数的运算性质，它可以写成 e 的 k m 次方，乘一个 e 的 b 次方，就它等于一个十五， 而这个 e 的 b 次方呢，是等于一百二，但是呢，我们看 e 的 k m 次方，我们不知道，但是我们知道这个 e 的 十 k 次方， 所以我们把这个式子少做变形，可以变成 e 的 十 k 次方，再给它乘一个十分之 m 次方，你看就是 e 的 十 k 次方。好，再 e 的， 呃，再给他十分之 m 次方，这两个指数呢，它的运算是相乘的关系，所以你乘完之后还是 e 的 km 次方，它就是乘一个 e 的 一次方，等于个十五， 好，这样的话呢，我们可以把数记打住了， e 的 十 k 方呢，就是二分之一，所以就是二分之一的十分之 m 方，等于。我们把这个也再除以，再除以过去十五除以一百二， 十五，除以一百二呢，等于一个八分之一 啊，所以我们看这个八分之一呢，我们知道这个是二的二分之一的三次方，所以我们有十分之 m 等于一个三，所以 m 等于多少呢？ m 等于一个三十，也就是说该食品的保鲜时间是十五小时的时候，它的储存温度是三十摄氏度。 这是第二小题，我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，我们首先根据题目的意思，就是 x 等于零的时候， y 等于一百二，所以我们得到这个一百二等于 e 的 b 次方， 当 x 等于二十的时候呢，这个 y 等于三十，所以三十就等于 e 的 二十 k 加 b 次方，它就等于 e 的 二十 k 次方，乘以 e 的 b 次方。这里面其实用了这样一个公式， e 的 r 加 s 次方，等于 e 的 等于 a 的 r 次方，乘以个 a 的 s 次方， 这个底数呢是 e， 那 就是 e 的 r 加 s 次方，等于一个 e 的 r 次方乘个 e 的 s 次方， 这样的话，我们就可以得到 e 的 二十 k 次方等于四分之一。另外呢，在这里面我们求出 e 的 十 k 次方等于二分之一。其实又用了这样的公式， a 的 r s 次方 等于 a 的 r 乘以 s 次方。能反过来用也是这样的。所以呢，这个 e 的 二十 k 次方就可以写成 e 的 十 k 次方， 然后再给他平方，就这个等于个四分之一。所以一开放，我们得到这个数等于二个一。好，我们把这个数据带入，求出这个 y 的 值，就是 s 等于十的时候，这个结果等于六十，所以该食品在十十度的保鲜时间是六十小时。 第二小题，若该视频的保鲜时间是十五小时，我们设储存温度为 m 摄氏度，那就是 e 的 k m 加 b 次方等于十五。好，现在我们把这个数据带入这个 e 的 k m 加 b 次方，所以我们还是用这个公式啊，用这个公式 就等于 e 的 k m 次方乘以 e 的 b 次方等于十五。另外呢，这个 e 的 k m 次方又可以写成 e 的 十 k 次方乘以， 这里边是十分之 m 次方，就是 e 的 十 k 次方，再给它十分之 m 次方，再乘一个 e 的 b 次方等于十五。这里边我们又用了这个公式。好， e 的 十 k 次方等于二分之一， 就它乘一百等于十五，所以它的一个八分之一。八分之一呢？我们得知道它是二分之一的三次方，所以十分之 m 等于三，所以 m 等于三十。也就是该视频保鲜时间为十五小时的时候， 它的储存温度是三十摄氏度。这道题呢，其实主要考察指数的，我们来看第四题， 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，他以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习力模型为， l， n 等于 l 零乘以 d 的， 即零分之 n 次方，其中 n 属于自然数， 其中 l 表示每一轮优化时使用的学习率， l 零表示初识学习率， d 表示衰减系数， n 表示训练迭代轮数， g 零表示衰减速度。已知某个指数衰减的学习率模型， l 零等于二分之一， g 零等于十八， 且当训练迭代轮数为十八时，学习率衰减为五分之二。第一小题求该学习力模型的函数解析式， 我们来看这个函数关系函数关系式，这个 l n 呢，它等于 l 零乘以 d 的 记零分之 n 次方。而在这个条件中，已经告诉我们， l 零等于二分之一，记零等于十八。所以我们要想求出这个函数关系式， 只需要求出 d 就 行了。我们先把这个代入进去这个 l n， 我 们看它等于什么。等于这个 l 零，就是换成了二分之一 来乘一个 d 的 既零分之 n 次方，既零是十八，那就是十八分之 n 次方。 好，现在呢，我们只需要求出这个 d 就 行了。怎样求出这个 d 呢？我们看后面这个条件，当 训练迭代次数啊，迭代轮数为十八时，学习率衰减为五分之二，也就是当 n 等于这个十八的时候，这个 l n 它等于个五分之二。好，现在我们把它带入进去，也就是五分之二， 等于二分之一乘一个 d 的 这个十八分之 n， 而这里面这个 n 呢，正好等于十八，所以就等于 d 的 一次方。 由此可见，这个 d 的 值我们很容易求出来。等于多少呢？等于五分之四， 所以该学习率模型的函数解析式，这个 l n 我 们就可以写出来了。等于什么呢？等于二分之一乘以个五分之四的十八分之 n 次方。 这是第一小题，我们就求出来了。我们再看第二小题，要是学习率衰减到五分之一以下，不含五分之一，至少需训练迭代多少轮。 五分之一下，也就是小于五分之一，也就是我们由 l n 小 于五分之一， 来解一下这个 n 的 取值范围。好，它小于五分之一，那就是二分之一，乘一个二分之一，乘一个五分之四的， 得十八分之 n 次方。它小一个五分之一。 好，我们少做变形，我们把这个二分之一呢给它乘过去，就可以得到五分之四的十八分之 n 次方。小于五分之二， 如果两边同时我们取以五分之四为底的对数，我们就可以得到以五分之四为底的对数，它对应的这个五分之四， 十八分之 n 次方，这个对数和以五分之四为底 啊五分之二的对数，它们的大小关系。这以五分之四为底的对数呢？它是一个递减函数。 好，对数函数，它的单调性主要是看底数，底数如果大于一，它是增函数，如果大于零小一，它就是减函数。 减函数的话，注意我们取对数的时候，我们看这个是小一号，在这里面要变成大一号，这是函数单调递减 我们得到的结果。好了，这个是以五分之四为底的对数，这个是五分之四的十八分之 n 次方， 根据对数的运算性质，这个就等于个十八分之 n， 就是 它大于以五分之四为底五分之二的对数。 现在的任务呢，就是根据这个条件，我们求出这个 n 的 值范围。好，我们把这个十八呢也给它乘过去，那就 n 大 于十八倍的以五分之四为底五分之二的对数。 所以关键是我们求出这个含有对数的这个值， 我们怎样求这个对数值呢？我们看这里边给出一个参考数据，这个参考数据给出的是以十为底的对数，所以我们要把这个对数呢，换成以十为底的对数， 以五分之四为底的五分之二的对数，我们可以换成以十为底的对数。 注意，这里面我们利用了换底公式，以十为底的对数呢，可以写成 l， g 就是 它的五分之二除以 log。 这个五分之四 换底公式，我们来回忆一下，以 a 为底 b 的 对数，我们可以换成以 c 为底 b 的 对数，除以以 c 为底 a 的 对数，所以这个换成以十为底五分之二的对数，除以以十为底五分之四的对数。我们再来写， 根据对数的运算性质，所以我们用到对数的运算性质，以 a 为底 m 的 对数，减去以 a 为底 n 的 对数，等于以 a 为底 m 除以 n 的 对数，那么反过来用， 那就是 log 二减去 log 五， 这个呢，是 log 四减去 log 五，所以 log 四这个四呢，是二的平方，所以又可以写成二倍的 log 二，所以这个可以写成二倍的 log 二。 好，就是它呢，减去个 log 五，以十为底的递数。另外我们还要知道，这个 log 二 加上个 log 五，就是以十为底的对数啊，这两个它的和其实是等于 log 二乘以五，二乘以五不是十吗？等于一个一，所以呢，这个 log 五又可以写成对一减 log 二， 所以我们把这个再带入进去，就是 log 二啊，减去个一，减 log 二啊，同样下面这个也是二倍的 log 二啊，减去一，减 log 二。 好，那我们上面我们一整理二倍的 log 二，减去个一，下面这个呢，是三倍的 log 二， 减去个一，然后我们把这个 log 二的这个值带入进去，就可以求出这样一个对数值，然后再乘以十八，我们就得到了这个 n 的 去值范围。 我们来看具体的解体步骤。第一小题 我们求这个函数解析式，其实呢，就是求 d 的 值， 我们把这个数据带入，可以解得这个 d 等于五分之四，所以这个函数解析式为， l n 等于二分之一乘以五分之四的十八分之 n 次方。注意， n 属于自然数。第二小题 由学习衰减率到五分之一以下，其实呢，就是 l n 小 于五分之一 l n， 我 们把它代入，那就是二分之一乘以五分之四的十八分之 n 次方。小于五分之一， 整理可以得到五分之四的十八分之 n 次方。小于五分之二，两边都取以五分之四为底的对数，这个地方取五分之四为底的对数， 注意这符号呢，要发生变化。因为以五分之四为底的对数是一个递减函数，所以我们得到十八分之 n 大 于这样一个对数值。 我们把十八乘过去，我们可以得到 n 大 于十八倍的以五分之四为底五分之二的对数。 好，现在呢，我们来求一下，十八倍的以五分之四为底，五分之二的对数，它的值， 我们采用的换底公式，换成以十为底的对数，然后以十为底的对数。我们再利用对数的运盘性质，这个分子就是以十为底二的对数，减去以十为底五的对数， 这个分母是耳背的，以十为底二的对数，减去以十为底五的对数。根据刚才的分析， 这个以十为底二的对数，加上以十为底五的对数，它等于个一，所以我们把这个以十为底五的对数给它换掉， 所以最终得到这样的结果，十八乘以二倍的以十为底二的对数减一。好，我们把这个 以十为底二的对数，约等于零点三零一零带入进去，我们可以得到这个值呢，约等于七十三点九，七十三点九， 所以这个 n 呢，得大于七十三点九，这个 n 呢，它又是自然数，所以我们找到大于七十三点九的最小的自然数是七十四，也就是说需要至少迭代七十四轮。 这道题呢，主要是考察指数与对数的预算性质，另外呢，也顺带的考察了一下这个对数函数的单调性。我们来看第五题，有一个圆锥形容器和一个圆柱形容器， 他们的轴结面如图所示，我们看他的轴结面，一个是等腰三角形，这个呢是一个巨型。像这两个容器内注入相同质量的水时，两个容器内的水面高度 a 区正好相同。 第一小题让我们求圆锥形容器内水面的半径，用含有 a 的 代数式来表示，这是圆锥形容器内的水面，我们不妨设它的半径为 r， 而圆柱形容器，我们看它的水面对那个半径呢是二分之 a。 从条件我们可以看出，注入的水的质量相同，质量相同也就意味着他们的体积相同。所以呢，我们首先求出圆锥形容器内水的体积， 然后再求出圆柱形容器内水的体积，因为他们的体积相等，我们可以建立一个方程，根据这个方程求出这个 r 就 行了。 另外我们还要知道，圆锥的体积公式是三分之一底面积乘以高，所以圆锥它的体积公式我们代入是三分之一底面积，底面是一个圆，就是 pi r 的 平方 乘一个高 h。 圆柱形容器，它的体积公式是底面积乘高，没有这个三分之一，所以它的底面也是一个圆。好，它的半径呢是二分之 a， 就是它的平方乘以 h， 这个 h 都一样。然后我们让它两个相等，那就是三分之一 pi， r 的 平方 h 等于 pi 乘以个二分之 a。 啊，平方乘以 h。 好， 根据条件我们就可以求出这个 r 的 值。 怎样求这个值呢？我们首先把这个数字进行化简，我们看在这个方程的两边相同的部分，我们可以给它消去，看这 a 去，它都有消掉，这个 pi 也都有消掉 左边上三分之一 r 的 平方，右边上二分之 a 括号的平方，所以我们在两边再给它乘一个三， 这个 r 的 平方就可以写出来了，那等于多少呢？我们这个平方之后是四分之 a 的 平方，那就是四分之三 a 的 平方。好，我们在开方可以求出 r 等于多少呢？二分之根三 a， 好，这是第一小题。第一小题呢，其实主要是考察圆锥和圆柱的体积公式，我们把这个体积写出来建立方程，就可以求出这个圆锥形容器内这个水面的底面半径 啊。第二小题让我们求 h 的 值，这个也让我们用含有 a 的 代数式来表示。 好，首先我们看这个圆锥形容器，它对应的这个图好，它的高呢？我们看这里面是 a， 这个 h， 在 这里我们给他画一下，这个地方就是 h， 这个 r 刚才我们就求出来等于多少呢？二分之根三 a， 所以我们可以利用这个大三角形和这个大三角形和这个小三角形相似，因为这个水面和上底面这部分是平行的，所以这个大三角形我们标上字母，这个 a、 b、 c， 好， 这个呢，我们也标上字母 a、 d、 e， 这两个三角形很显然是相似的， 那么相似他们的高对应的比值也等于他们的相似，比，这个高呢，就是 h 比上原来这个高是 a 等于多少呢？等于这两个对应的比值，这个是二分之根三 a， 二分之根三 a 啊，这个地方呢，对应的是根三 a， 除以根三 a。 好， 其实这个很容易求出来，它是二分之一，所以这个 h 呢，实际上是等于个二分之一 a， 从这个条件我们可以看出，这个 d、 e 其实是 abc 这个三角形的中位线，因为这个地方 我们看它正好等于这个底边这一部分的一半，如果看直径的话，这就是根三 a， 这个地方就是耳背根号三 a， 所以 也等于它的一半， 所以我们很容易得到这个高呢，正好等于这个原来这个圆锥的高的一半，所以 h 等于二分之一 a。 我 们可以通过相似三角形对应线段乘比例对应的高呢，也乘比例 来计算出这个 h 的 值。好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先第一小题，我们设这个圆锥形容器内水面的半径为 r， 那 么体积就是三分之一 pi r 的 平方 h， 这就是底面积 s 就是 三分之一 s h 这个形式。圆柱形的水的体积是派二分之 a 的 平方乘以高 h， 这个呢也是底面的面积 s， 所以 圆柱形容器，它的体积公式是底面积乘以高， 因为质量相同，所以体积相等。我们建立个方程，求出 r 等于二分之三 a。 第二小题，因为圆锥形容器的轴结面与该容器内水的轴结面是相似三角形，刚才我们用标出来，假如 这个大三角形是 a、 b， c， 这个小三角形呢是 a、 d、 e 这两个三角形很显然是相似的，那么对应的高之比也等于相似比例，所以我们得到这个 h 就是 高等于二分之一 a， 所以 容器内水面的高度 h 为二分之一 a。 这道题呢，主要是考察 圆柱形容器和圆锥形容器体积的计算，然后我们建立相等方程，就可以得到我们所要的结论。我们来看第六题。光从一种透明戒指斜射入另一种透明戒指时， 传播方向一般会发生改变，这种现象叫做光的照射。 入射光线与法线的夹角称为入射角。褫涉光线与法线的夹角称为褫涉角。 一块玻璃的厚度为二厘米，褫涉率为根号三，注意褫涉率的公式。 n 等于 sin alpha， 比上 sin beta， 其中 alpha 为入射角， beta 为褫涉角。 一束光线从与该薄利成三十度角的方向射向该薄利，如图所示。 第一小题，求该束光线从空气斜射入薄利时的折角。首先我们得理解什么是入射角？入射角？什么是折角。 注意，入射角是指入射光线与法线的夹角。法线是什么呢？法线就是与这个玻璃垂直的这条线，所以这条曲线就是法线。因此， 题目中所给的这个三十度角并不是入射角，而入射角是指哪个角呢？是指这个角，所以它的入射角其实是等于六十度。 折角是指哪个角呢？是指折光线 ab 与法线夹角，也就是 b、 a、 d 这个角 啊。折率是 sin alpha 比上 sin beta。 注意， alpha 为入射角， beta 为折角。现在让我们求折角，所以我们把这个数据带入进去，折率就是 n， 就是 根号三， 等于 sin alpha 比上 sin beta， 这里边的 alpha 其实是六十度，所以呢，就是 sin 六十度。 好，除以那个 sin beta， 这个 beta 呢？实际上就是 b、 a、 d 这个角就是这个折角。 sin 角 b、 a、 d。 我们知道 c、 n 六十度，它是等于得二分之。根号三。 好，我们少做整理就可以求出 c、 n、 b、 a、 d 等于多少呢？得等于二分之一。 很显然，这个入射角和折角都是锐角，我们知道 sin 三十度等于二分之一，所以这个 b、 a、 d 它应该等于三十度， 也就是直角角为三十度。这是第一小题，我们再看第二小题，求该束光线在玻璃中传播的距离。 光线在玻璃中传播的距离实际上就是 a、 b 这这条线段的长。 这条线段呢，我们怎么计算呢？在这里面我们可以看出这是一个直角三角形。 a、 b、 d 这是一个直角，并且刚才我们求出这个角等于三十度， 它等于三十度，而告诉我们薄离的厚度为二厘米，也就是 a、 d 这段长是二。在直角三角形中， 这个 ad 是 这个角的邻边，而 ab 呢，是斜边。我们知道邻比斜等于这个角的余弦值就是 ad 比上 ab 等于得 cosine 角 b ad， 而 a、 d 呢，是等于二。 b、 a、 d 呢，等于三十度。 cosine 三十度等于二分之根号三。 好，我们根据这个条件就可以求出这个 a、 b 的 值。 a、 b 的 值就等于这个 a、 d 呢，是二二，除以个二分之根号三， 所以我们可以求出这个 ab 的 长，但我们很容易计算出来三分之四倍的根号三 ab 的 长就是光线在玻璃中的传播的距离。好，这是第二小题， 我们来看一下具体的解体步骤。首先，根据条件，这个入射角二法，我们得知道它等于这个角六十度， 而直角角 beta 是 指 b、 a、 d 这个角。根据 n 等于 c n 二法，比上 c、 n、 beta， 我 们就可以得到这个根号三等于 c n、 beta 分 之 c、 n 六十度。所以我们得知道 c n 六十度等于二分之根号三， 所以我们得到 c in beta 等于二分之一，其实就是 c in b a d。 因为这里边的 alpha 和 beta 其实都是锐角大于的，大于零度，小于九十度，所以这个 beta 呢，等于三十度， 所以该束光线从空气斜射入玻璃时的折射角为三十度。 第二小题，求光线在玻璃中传播的距离，就是求 ab 的 长，我们在这个直角三角形 a、 b、 b 中， ab 就 等于 a、 d 除以 cosine b， a、 d。 哎，我们得知道，在直角三角形中， cosine b， a、 d 等于零比斜，就等一个 a、 d 比上 a b， 所以呢，这个 a、 d 就 等于这个值啊。因为这个 a、 d 呢是二厘米， 所以这个 a、 b 就 等于二。除以 cosine 三度，结果是三分之四倍的，刚好三，单位是厘米，所以该束光线在玻璃中传播的距离为三分之四倍的，刚好三厘米。 这道题呢，其实主要是考察简单的三角函数运算，我们要知道这些特殊值，像 sin 六十度， sin 三十度， cosine 三十度， cosine 四十五度，这些我们都得熟悉， 我们来看第七题，某游泳馆出售暑假学生游泳卡，每张二百四十元，使用规定不记名， 每卡每次只限一人使用，每天只限一次。某班有四十八名同学，老师打算在暑假阻止同学们分批集体去游泳，且每位同学游泳八次。 活动总开支由游泳卡费用和包车费用两部分组成。已知除去购买若干张游泳卡外，每次阻止同学们外出需要一百六十元的包车费。 第一小题，求活动总开支外，关于购买游泳卡张数 x 的 函数解析式，我们购买游泳卡的张数 x 实际上就是每一次去的同学数， 在这里边，我们需要注意，每人需要游泳八次，而有四十八名同学，那么总共需要游泳多少次呢？就是四十八得乘以八，需要这么多次， 而每一次呢，只能去 x 名同学，所以一共需要去多少次呢？那需要四十八乘以八除以 x 次，而每一次呢，需要的包车费用是一百六，所以乘以个一百六十， 这就是包车的费用。注意，活动总开支它包括两部分，一个是包车的费用， 一个是买卡的费用。买卡每张卡是二百四十元，我们买 x 张，所以总费用是二百四十 x。 好，我们少做化解，这里边可以提取个二百四，里边呢，括号里边是这个地方是 x， 这个呢，我们整理一下，是 x 分 之二百五十六， 注意，这个 x 它其实是自然数，也可以说是正整数，当然写成 x 属于 n 也可以。 第二小题，活动总开支最少时，每人需花多少元？其实呢，这个同学的数量是固定的， 我们只需要使总费用最少，那每人每人花费呢？也最少？ 好，首先我们看活动总开支什么时间最少，其实就是求 y 的 最小值。我们知道这个 x 加上 x 分 之二百五十六， 我们很容易想到基本不等式大于等于二倍的根号下，它两个乘积二百五十六， 我们可以算出这个结果呢，是三十二。所以呢，这个 y 是 大于等于二百四乘一个三十二的。 当 x 等于 x 分 之二百五十六时，哎，就是 x 等于多少呢？等于个十六的时候， 他取的最小值，那么 y 呢，也取的最小值，这个最小值就是二百四乘一个三十二，这是总费用最少对应的这个费用值。 这里边问的是每人需花费多少元，那么这个时候我们再给它除以总人数四十八，就可以求出每人需要花费的钱数。 好，我们可以算出这个结果是一百六，我们来看一下具体的解体步骤。 首先购买游泳卡需要的费用是二百四十 x 元，四十八名同学游泳，每人游泳八次，那共需要四十八乘以八次。游泳卡的张数为 x， 所以每批由 x 人参加，共需要去多少次呢？就是 x 分 之四十八乘以八，所以包车费用就是 x 分 之四十八乘以八，再乘以每一次一百六十元， 因此这个 y 等于二百四十， x 加上个 x 分 之四十八乘以八，再乘以一百六。稍作整理， y 等于二百四乘以 x 加上 x 分 之二百五十六，所以 x 属于正整数， 因为 x 加上 x 分 之二百五十六，根据基本不等式的性质是大于等于耳背的根号下， x 乘以 x 分 之二百五十六，结果是三十二，所以这个 y 呢，是大于等于二百四乘以三十二，就是七千六百八。 当且仅当 x 等于 x 分 之二百五十六，也就是 x 等于十六的时候，等号乘以，所以 y 的 最小值就是七千六百八， 我们用七千六百八再除以四十八人，所以结果是一百六十元，也就是每人需花费一百六十元。 这道题呢，主要是考察函数与基本不等式的性质，在这里边我们注意怎样利用基本不等式的性质求最小值。另外我们还得知道等号成立的条件是什么？ 好，这是主题练习舞的内容，我们就讲完了，接下来我们会讲综合训练。

这道英式分解你会吗？你们可不要小瞧它，如果把它放在期末考试，绝对可以难倒一大片，因为你会发现，老师教的公式法配方法，提供英式分组分解法，一个也派不上用场。为什么呢？因为解这道题的方法学校不教，课本没有，但是期末经常会考到 学会今天这个方法，学校最靓的那个仔非你莫属，那就是十字相惩罚！我说错了，是十字相惩罚的师傅，双十字相惩罚！ 记得点赞关注哦！

这就是书本上没有，但是中考一定会考到的二级公式，很多孩子不知道就很吃亏。像这样的二级公式在这本书里还有六十个，如果你能把他们都掌握了，你会发现初中数学学起来有多轻松。就是这本初中数学思想方法导引，总结了初中阶段能用到的六十个核心解析方法。 按照方法名称系划目录，孩子哪块知识没掌握好，就可以直接把书翻到哪一页，就像查字典一样方便 看它里面每个方法都是由一位省重点名师编注的，先给咱总结方法介绍，然后是用例题加深理解，再用练习题巩固提升。孩子有不懂的地方也可以观看视频讲解，家长不用自己费心去教，一定要给孩子准备起来。

好，嗯，马上就要会考了，我们利用几分钟时间把会考的公式快速梳理一下啊，然后便于同学们的查漏补缺。好，我们先从运动开始啊，运动 为一 x 二减 s 一， 然后速度等于 d 的 s 除以 d 的 t 匀变速的那三个基本公式计算题，会考的 v 等于 v 零加 a t x 等于 v 零 t 加二分之一 a t 方 v 方减 v 零方等于二 a s。 稍微说明一下，如果是减速， 若减速就刹车 a， 注意取负值啊， a 取负值好，自由落体，自由落体的公式 三个啊，第一个是 v 等于 g t， 然后 h 等于二分之一 g t 方 微方等于二 g h。 好， 这是运动，然后力力的公式相对少一些啊，重力大 g 等于 m， 小 g。 弹力部分一般就是求个弹簧弹力啊，弹簧弹力是 k 乘的 s 的 s 为行变量， 然后摩擦力滑动摩擦 f f 等于 mu fn， 这可以稍微说明一下啊，如果是种简单的，比如说水平面没有任何外力物体在一个速度运动，那么它的摩擦力等于什么呢？直接是 mu g 就 可以了。 呃，然后牛二，牛二是 f 和等于 m a 啊，这是立学部分。然后就是曲线到第二本书啊，曲线先说平抛 水平 x 等于 v 零 t 数字方向 h 等于二分之一 gt。 方，然后 v y 等于 gt。 嗯，这基本上就够了啊，然后把这个删掉啊，平抛不需要再隐身了。对于会考呢，大家，这些就已经够了啊。然后圆周 圆周限速度 v 等于 delta l 除以 delta t， 如果一圈的话，就二 pi r 再除以周期角，速度是 delta c 变化的角度除以对应的时间也等于二 pi 除以 t， 它们的关系是 v 等于 omega 乘以 r， 然后相切逆公式啊，跟上节奏。 象形也是 f 小 n 啊，等于 m v 方比二还等于 m， 欧米克方乘二继续还等于 m， 四派方比 t 方乘二还等于 m a n。 注意这个 a n 啊，前面这个 a 叫加速度，这个 a n 叫象心加速度啊，减加速度。好，这是圆周的。那这几个知道以后其实象心加速度也有了。你看把这个 m 约掉 a n 一 般记两个就够了啊。微方点也等于欧米克方乘以二，然后曲线里边曲线其实也包含了填体部分呢，咱可以单独写外有引力部分的。 牛顿的万引力大 g m 一 m 二比二方啊，提嘴啊，万引力是牛顿提的啊，它这个大 g 是 卡文迪实测的啊，这个人。 然后限速 v 等于根号 g m 比 r 角速度，根号 g m 比 r 的 立方周期长一点。根号下 四派方 r 立方比大 g 大 m， 然后 a n 等于 g m 比 r 方。还有个低柔速度啊，低柔速度等于近地卫星的速度， 等于 g 大 m 比上地球半径等于根号角。黄金代换啊， 黄金代换是 g 大 m 等于 g 大 r 的 方。注意万一的公式呢，我们小 r 都是叫轨道半径啊，到地心的距离大 r 呢，就是以地球为例，就是地球半径啊，如果月球那就是月球半径啊。 然后功和能部分啊，必须二到最后一张那功 w 等于 f l 乘 cosine theta， 功率 p 等于 w b t 还等于 f v 再乘 cosine theta， 然后动能 e k 是 二分之一 mv 再乘 cosine theta， 然后动能 e k 是 能 mgh， 然后动能加式能就叫机械能啊。 e k 加 e p 就是 机械能，还有个动定力，这个计算会考的啊。 动定力和外力做的总功就等于动能的变化，当然 e k 如果展开写就是末动能二分之一 mv 方减出能二分之一 mv 零的平方。 好，这是公函数部分。然后下一本书 b u 三啊，电场 库伦定律 f 等于 k q 一 q 二比 r 方。还要说明一下啊，这个这个定律是库伦提的，但是这个 k 也不是库伦本人所测的啊。然后场强公式 e 等于 f 比 q， 场强，我们给三个啊，这是定义式。然后点电和场强是 k， q 比 r 方云强，电场是 e 等于 u 比 d 好， 这是场强。仨公式啊，然后那这个是点电和还是写一下。 这个是云墙。 然后电视啊， y 等于 e p 比 q 也是定义式啊，我就不写了。然后电视差 u a b 等于 w 比 q 还有电容啊，电容电容是 c 等于 q 比 u， 还有个长一点的一步系统 r s 除以四派 k d 好， 这电场部分啊，然后电路 电流定音式 i 等于 q 比 t， 然后欧姆定律啊，初中都学过。 i 等于 u 比 r， 它的变形就有两个 u 等于 i， r 等于 u 比 i， 然后串联电阻，两个电阻如果串联就是直接加 r 一 加 r， 如果并连上乘下加，也叫鸡在河上飞啊。 然后电功率 p 等于 wbt 还等于 y 还等于 u 方比 r 还等于 i 方 r 交叉定律 i 方 r t。 嗯，再来一个啊，闭合电路欧姆啊， 就是考虑电动式和内阻啊。闭合电路定律是电动式等于路端电压加上 i 乘小 r， i 乘小 r 就是 电源里边那个内阻所分的电压， 然后这个磁场部分，磁场部分就 说一个安培力吧，安培力公式等于 bil。 好 了，同学们可以根据根据讲的内容可以做一下查漏补缺。

我们来看第一题，让我们求这个负数二加 i 分 之一减 i 的 虚部，这里边呢， i 是 虚数单位， i 是 虚数单位呢，就意味着 i 的 平方等于负一。 我们要想求出它的虚部，首先要把它转化为 a 加 b i 的 形式，其中 a 和 b 呢，都是实数， 我们采用的方法是对这个负数，它的分子和分母同乘一个分母的共轶复数。你看这个二加二，它的共轶复数呢，是二减二 啊，分母乘一个二减二，那分子呢，也给它乘一个二减二 好，然后呢，我们对它进行计算。首先我们这个分母呢，可以利用平方差公式进行计算，它得到的是二的平方减去二的平方， 而分子呢，我们只需要展开进行计算就行了。我看一乘以二，这是二啊，一乘以负 i， 这是负 i 啊，减去 i 乘以二，那就减二 i， 然后再加上个，你看这个 i 的 平方加上个 i 的 平方，然后呢，我们把 i 的 平方换成负一，我们看分母， i 的 平方是负一，二的平方减负一，所以这是五。 我们再看分子，这个是二，这个 i 的 平方呢，是负一，所以他俩合并之后，结果是一啊，这个负 i， 这个负二 i， 所以 是负三 i。 也就是说这个负数呢，可以写成五分之一 减五分之三 i 的 形式。这样呢，我们把这个复数就化成了 a 加 b， i 化成 a 加 b i 之后，我们要知道这个 a 呢，就叫实部， a 叫实部，而这个 b 呢，它叫虚部， a 和 b 分 别叫实部和虚部。注意，这个虚部呢，是不包括这个 i 的， 所以含有 i 的 先给它排除。 在这里面我们需要注意是五分之一减去五分之三二，我们把它看成五分之一加上负五分之三二，所以它的虚部实际上是负五分之三。因此正确答案呢，是选 b。 对于负数的化简，我们一般情况下是给它乘一个分母的共轭负数。所谓共轭负数呢，就是 a 加 bi， 它的共轭负数实际上就是 a 减 bi。 好 啊，分母乘一个 a 减 bi， 那 当然这个分子也给它乘一个 a 减 bi， 乘完之后，这个分母呢，我们利用平方差公式可以得到，这是 a 的 平方加上个 b 的 平方，其实就是 a 的 平方减去 b， i 的 平方，而 i 的 平方呢，是负一，所以就是 a 的 平方加 b 的 平方。 然后这个分子呢，也要进行计算。计算的时候，我们把含有 i 的 平方的这个式子里面的 i 的 平方都换成负一，你看 a 乘以 c， 而如果它俩相乘，你看是减去 b、 d， i 的 平方， 而这个 i 的 平方呢，是负一，所以就是 a， c 加上个 b、 d， 然后我们看 a 乘以 d， i， 再加上个 a， d， i， 我 们给它含有 i 的 放在一起，然后减去 b， c， i 减去 bc。 哎，这是我们的化简的结果， 如果能够把它化成 a 加 b i 的 形式，这个负数问题通常都能解决。 我们来看第二题，若负数 z 满足 z， i 等于一加 i， 则下列说法正确的是 好，现在给出四个选项，让我们进行判断。对于这类问题呢，我们首先要对 z 进行化简整理，这个条件告诉我们， z i 等于一个一加 i， 我们可以把这个 i 呢给它除过去，所以 z 就 等于一个 i 分 之一加 i。 好 了，我们知道 i 的 平方等于负一，所以呢，我们给它分子分母，同乘个负 i， 就 变成负 i 的 平方，分之负 i 减 i 的 平方，因为 i 的 平方等于负一，所以这个分母呢， 其实就是一好。这里边它的分子。我们看一下，这个负 i 的 平方呢，我们告诉也是一， i 的 平方是负一，所以负 i 的 平方是一，所以这就变成了一减 i。 也就是说这个 z 呢，是等一个一减 i。 我 们看 a 选项，他说 z 的 虚部为一， 如果 z 等于 a 加 b， i， a、 b 都是实数，在这个条件下，这个 a 呢，就是它的实部， b 呢，叫做它的虚部。很显然，这里边的虚部应该是负一，所以 a 选项是错误的。 同样，我们再看 b 选项， z 的 共讷负数是一减二，如果 z 等于 a 加 b， 那 z 的 共讷负数是啥呢？是 a 减 b， 而这里边呢， z 是 等于一个一减二，所以这个 z 的 共讷负数应该等于啥呢？也应当等于一加二， 所以 b 是 错误的。再看 c， z 对 应的点，在第二项线，一般情况下，如果 z 等于 a 加 b i， 那 么它对应的点的坐标是 ab 好， z 等于一减二，所以它对的坐标是一负一，很显然在第四象限，所以 c 也是错误的。我们看 d 选项， z 的 模等于根号， 一般情况 z 等于 a 加 b， 那 么 z 的 模我们用绝对值来表示，等于什么呢？可以等于根号下 a 的 平方加上个 b 的 平方，就是根号下实部的平方加上虚部的平方， 所以这个 z 的 膜，它应当等于什么呢？等于根号下一的平方加上负一的平方，所以是一的平方加上个负一的平方，所以呢，就等于一个根号二， 因此 d 选项是正确的，所以呢，答案选 b。 这道题呢，主要是考察负数的简单计算和负数的几何意义，以及这个负数的模体的求解，所以呢，我们掌握这相关的一些概念。这道题呢，也属于基础题， 我们来看第三题，一只 o 是 边长为根的正方形， a、 b、 c、 d 的 中心。 现在让我们分析 a、 o 和 ob 向量是什么的向量。首先我们根据条件来画出一个图形， 结合图形，我们来分析 a、 o 和 ob 这两个向量。根据条件，这个正方形的边长是根号二， 所以它的对角线长实际上是等于二。而 a、 o 和 ob 向量，我们看它的长度其实都等于对角线的一半，所以 a、 o 的 长度是一， o、 b 的 长度呢，也是一。我们知道长度等于一的响亮，我们把它叫做单位响亮，所以 a、 o 响亮和 o b 响亮都是单位响亮，所以呢，正确。答案，选 b。 从图上我们可以看出，这两个向量很显然不是贡献向量，贡献向量也叫平行向量，而这两个向量呢，其实我们看这个 o 点是 a、 o 向量的中点，是 ob 向量的起点，很显然它俩是不贡献的， 当然也不是相等向量。什么样的向量是当相等向量呢？得模长相等，并且方向相同，这两个向量的长度都是一，但是方向显然是不一样的，所以 c 和 a 都是错误的。 我们 d 选项中点相同的响亮，我们看 a、 o 响亮，它的中点呢是 o， 而 ob 响亮，它的中点呢是 b， 显然中点不同，所以 d 也是错误的。 这道题呢，主要是考察平面向量的一些简单概念。我们一定要知道什么是单位向量，什么是相等向量，什么是共线向量。 我们来看第四题。在三角形 abc 中， m 是 bc 的 中点，设 ab 向量等于 a 向量， ac 向量等于 b 向量。 现在让我们用 ab 向量表示 bm 向量。首先我们根据条件来画出一个图形， 我们结合这个图形来进行分析。在三角形 a、 b、 c 中，其中这个 ab 向量是 a 向量，而这个 a、 c 向量是 b 向量， m 呢，是 b、 c 的 终点，所以这个 b、 m 向量，它实际上等于 b、 c 向量的一半，所以等于二分之一 b、 c 向量。 我们只需要求出 bc 向量就可以了。我们看 bc 向量呢，可以写成 ac 向量减去 ab 向量， ac 向量就是 b 向量， ab 向量呢，就是 a 向量，所以它等于个二分之一 b 向量减去 a 向量。好少做整理我们就可以得到这个 b、 m 实际上等于什么呢？等于负的二分之一 a 向量， 加上个二分之一 b 向量。当然呢，也可以直接写成二分之一 b 减 a 向量。我们对照选项，答案应该是 d。 这道题呢，主要是考察向量的向量的向量运算。其实这道题呢，主要是考察了向量的减法运算。注意，我们首先得知道 bc 等于 ac 减 ab， 然后 我们还要知道，因为 m 是 中点，所以 b m 呢，等于 bc 的 一半，就是二分之一 bc 向量，所以这个呢，相当于是向量的数值匀算。 我们来看第五题，在三角形 abc 中，内角 abc 的 对边分别为， abc 已知 c 等于二， b 等于四， a 等于二倍，根号七。现在让我们求三角形 a， b， c 的 面积， 我们要求出三角形 a， b， c 的 面积，只需要利用三角形的面积公式，面积公式是二分之一 a， b， c， n， c， 当然也可以写成二分之一 a， c， c， n， b 啊，也可以写成二分之一 b， c， c， a。 从这个公式我们可以看出，要想求出这个三角形的面积，首先我们得出其中一个角的正弦值， 条件中已经给出来三角形的三边的长，我们可以利用余弦定律来求出一个角的余弦值。 从条件我们可以看出 c 等于四，这个 b 呢？等于二， a 呢？等于二倍的根号七。 我们不妨来求一下 cos a 就是 a 的 余弦值，注意余弦定零。我们再熟悉等于什么呢？得二， b， c 分 置 b 方，加上个 c 方，减去个 a 方。 好，我们把数据代入二乘以二，乘以四，这个分子是 b 的 平方是四， c 的 平方是十六，减去 a 的 平方二十八，结果是多少呢？负二分之一。 我们又知道三角形的内角，它的范围是从零度到一百八十度， 在这个范围内，我们知道 cosine 一 百二十度等于负二分之一，所以这个 a 角其实等于一百二十度， 哎，我们还得知道它的正弦值 cosine 一 百二十度，哎，其实等于 cosine 六十度等于多少呢？等于二分之根号三。 好，我们代入面积公式，二分之一， b， c， c， a 二分之一乘以 b 是 二， c 是 四，再乘以 c， a 二分之根号三。 好，最终结果是多少呢？我们很容易算出来，等于我们把它两个计算，我们看它俩可以消了是吧，正好是一四乘以二分之二三，所以结果是二倍的根号三。所以呢，正确答案选 b。 这道题呢，主要是考察三角形的面积公式和余弦定律。注意，余弦定律， cosine a 等于二 bc 分 之， b 方加 c 方减 a 方。 那么如果让求 b 角，那 b 角的余弦值，那用 cosine b cosine b 等于什么呢？得二 a、 c 分 值， a 方加 c 方减 b 方。如果让你求 cosine c 也是可以求的，等于二 ab 分 值， a 方加 b 方减 c 方，这是余弦定律。其实呢，也是余弦定律的简单变形。我们知道三角形三边，可以利用这个结论来求出角的余弦值。 我们来看第六题，在三角形 a、 b、 c 中，内角 a、 b、 c 的 对边分别为 abc。 已知 cosine a 等于五分之四， b 等于三分之派， a 等于五分之六。现在让我们求 b 变得长。 这道题呢，相当于我们知道的两个角，其中这个 a 呢，它不是特殊角，知道它的余弦值啊。这个 b 角等于三分之拍，也就是六十度， a 边等于五分之六，知道两个角和一个边，让我们求另一个边长。我们通常利用正弦定理，这正弦定理是这样的， a 比上 c n， a 等于 b 比上 c n b， 然后还等于 c 比上 c n c 啊，当然也等于这个三角形 a、 b c 的 外接圆的直径二 r。 这里边呢，我们知道的有 a 角， b 角 a 边，让我们求 b 边。所以呢，我们利用 a 比上 c、 n、 b 就 可以了。 我们首先得根据 cosine a 等于五分之四求出 sin a， 因为在三角形里，边角的取之范围是零到派， 在这个范围内，正弦值，它的正弦值一定是正值，并且同角三角函数的关系式。我们得清楚， ca 的 平方加上个 cosine a 的 平方等于一个一， 所以呢，我们得到这个 c a 等于根号下一减 cosine a 的 平方。好，我们把这个数据带入，很容易计算出这个结果是五分之三。 现在呢，我们把这个数据带入进去， a 比上 c a a， 那 就是五分之六， 比上 c n a， 那 就是五分之三，等于啊！ b 比上 c n， b 就是 c n 三分之 pi， 我 们知道 c n 三分之 pi 就是 c n。 六十度，它等于多少呢？等于二分之根号三， 而五分之六除以五分之三，这个结果是二，五分之六，很显然是五分之三的二倍。所以这个 b 就 等于个二分之根号三，再乘一个二，所以呢，等于根号三， 因此正确大呢选 a。 在 三角形中，如果我们知道两个角，一条边，让我们求另一条边。我们通常利用正弦定理，我们得知道正弦定理的一般形式， 如果我们知道角，它的余弦值，求它的正弦值。通常利用同角三角函数的基本关系式，有 c a 方，加上 cos a 方等于一，我们可以得到 c a 等于根号下一减 cos a 的 平方。 在三角形中，每一个角的正弦值其实都是正值，所以正弦值呢，没有负值。 我们来看第七题，已知向量 a 与 b 的 夹角为六十度，且 a 的 膜等于 b 的 膜。现在让我们求向量 a 与向量 a 加 b 的 夹角。 对于这类问题呢，我们可以画出图形，结合图形来分析我们所要的结果。我们看，在这个图形中，我们假设 o a 向量就是 a 向量， o b 向量就是 b 向量。好，我们以 o a 和 o b 为邻边做平行四边形，我们知道平行四边形的对角线，平行四边形对角线就是 a 加 b 向量， 根据条件， a 的 模等于 b 的 模，所以这个平行四边形呢，其实是一个菱形。 并且还知道 a 向量与 b 向量，它的夹角为六十度，也就是这个角是六十度。 而菱形呢，它有一个重要的性质，就是对角线平分相应的这个内角，所以这一个角是三十度，这边这个角呢，也是三十度。 而让我们求的是 a 向量与 a 加 b 向量的夹角，这个向量呢，就是 a 加 b 向量，就是 o c 向量， 这个 o a 向量呢，就是 a 向量，所以让我们求的角其实就是 a o c 这个角，我们可以看出这个角等于三十度。所以正确答案呢，选 d。 这是第一种方法，直接画出图形，得出结论。我们还可以采用直接计算的方法得出结论。 首先我们得知道向量的夹角公式， a 和 b 向量，它的夹角的余弦值等于什么呢？等于 a 乘以 b 除以 a 的 模， b 的 模 啊，这里边让你求的是 a 向量与 a 加 b 向量的夹角，所以我们求 a 向量与 a 加 b 向量夹角的余弦值，我们直接套公式，它等于什么呢？等于 a 乘以 a 加 b， a 乘以 a 加 b， 它的分母上是 a 的 模，乘以个 a 加 b 的 模， 我们要求出它的余弦值，需要求出 a 乘以 a 加 b 和 a 的 膜， a 加 b 的 膜。条件告诉我们， a 的 膜和 b 的 膜相等，我们不妨令 a 的 膜等于 b 的 膜等于一， 我们令它等于一。那么 a 乘以 a 加 b 等于什么呢？我们需要展开进行计算。 a 乘以 a 加 b， 我 们展开实际上就等于一个 a 的 平方， a 的 平方呢，也等于 a 的 模的平方， 加上个 a 乘以 b， 我 们知道它是一。 a 乘以 b 呢，是 a 的 模乘以个 b 的 模乘以夹角的余弦值，而它的夹角是六十度，所以乘以个 cosine 六十度 好。 cosine 六十度等于二分之一， cosine 六十度等于二分之一。这个 a 的 膜和 b 的 膜，咱们都假设它是一的，所以这一部分就是 a 乘以 b 呢，整体实际上它等于二分之一的，因此这个结果等于二分之三。 我们这个 a 的 膜呢，咱就假设等于一了。我们需要算一下 a 加 b 的 膜。 怎样算 a 加 b 的 模呢？我们可以给它平方，模的平方就等于向量的平方，所以 a 加 b 的 模的平方就等于 a 加 b 符号的平方， 展开就等于 a 的 平方啊，平方也等于模的平方，加上个 b 的 平方，也就是 b 的 模的平方加上个二 ab， 我们知道这个 a 的 模呢，是一，我的平方也是一，同样这个也是一，所以它俩加在一块是二， 刚才已经算了， a 乘以 b 呢，是二分之一。二倍的 a 乘以 b， 所以 是一，因此结果是三，所以它的平方等于三，所以 a 加 b 的 模就等于根号三。 好，我们把这个求出的数据代入进去，分子二分之三，分母呢，是根号三。好。通过计算，我们知道结果等于多少呢？二分之根号三， 那么 cosine 多少等于二分之二和三呢？ cosine 三十度，所以这个加角就是三十度，所以正确答案呢？选 d。 这是我们用代数计算的方法求出结论。 通过对比，我们很容易发现第一种方法更加简单。 我们来看第八题，如图， ab 是 圆 o 的 一条直径， ab 呢，是这个圆 o 的 一条直径， ac 弧等于 cd 弧等于 db 弧， 也就是说 cd 是 这个半圆的三等分点。 现在问 o、 b 向量等于下列的一个向量。首先我们看 a 选项 ac 减 ad， 根据向量的减法运算，我们知道 ac 减 ad 其实等于个 dc， 那 b 选项里边是二倍的 ac 减二倍的 ad， 那 就是二 dc 啊，同样，这个 c 选项那是 cd， 哎，这是 cd 响亮啊。 d 选项呢，那就是二倍的 cd 响亮。 我们来看一下 dc 响亮和二倍的 dc 响亮。首先看 a 和 b 两个有没有和 o、 b 相等相等的。 如果我们连接 dc， 那 么我们从方向上可以看出， dc 的 方向和 ob 的 方向是相反的，所以它两个不可能相等。因此这个 a 和 b 都是不正确的 两个向量如果相等的话，首先它们的方向得是相同的。我们再看 c 和 d， c 选项里边是 c、 d 响亮， d 选项两个，呃，这个响亮的结果是二倍的 c、 d 响亮，我们从这个方向上可以看，它俩方向是一致的。 那么这个 o、 b 响亮，它的长度是等于 c、 d 的， 还是等于二倍的 c、 d 的 长呢？其实根据刚才这个我们的分析，这个 c、 d 呢，是一个半圆的 三等分点，我们知道一个半圆，它所对应的圆心角等于一百八十度。如果我们连接 o、 c 和 o、 d， 那 么这个圆心角就会分成三个六十度啊，这个六十度，这个六十度，这个也六十度。 所以我们可以看出 c、 o、 d 其实是一个等边三角形，也就是说，这个 c、 d 的 长其实是等于这个圆的半径，当然也等于 o、 b， 所以 c、 d 的 长就等于 o、 b 的 长 好， c、 d 和它的方向又一样，所以 o、 b 向量就等于 c、 d 向量，也就是答案是 c。 所以 这道题呢，正大选 c。 这道题呢，主要是考察向量的简单运算，当然也顺带的考察一下圆的基本性质。 我们来看第九题，三角形 abc 的 内角 abc， 它的对边分别为 abc， 若三角形 abc 的 面积为十二分之二三乘以 a 方加 b 方减 c 方。现在让我们求 c 角。 首先我们看条件里边出现的这样一个式子，在这个式子里边出现了 a 方加 b 方减 c 方，我们很容易想到余弦定律，而让我们求的是 c 角，所以呢，我们来回忆一下余弦定律。 cos 等于什么？ 对， cos 等于一个二， a， b 分 之 a 方加 b 方减 c 方， 所以这个 a 方加 b 方减 c 方，就等于二 ab 乘 c， 因此所给的这个数就可以换成十二分之根三，再乘一个二， ab 乘 c， 实际上也就是六分之根三 a、 b、 c。 另外呢，它说的是三角形 a、 b、 c 的 面积，所以我们再来回忆一下三角形的面积公式，面积等于什么呢？得二分之一 b c， c， a 也等于二分之一 a， c 啊， c， n、 b 当然也等于二分之一 ab， c、 n、 c。 因为这道题呢，是让求 c 角啊，所以我们很容易想到用 s 等于二分之一 ab， c、 n、 c， 它告诉我们这个就是三角形的面积，也就是面积和这个数字相等，所以它等于二分之一 a、 b、 c。 因为两边都有 a、 b， 所以 我们两边同时除一个 a、 b， 好 给它 a、 b 消掉， 再把这个四两边同时乘一个二，我们看左边就变成了三分之根号三倍的 cosine c， 右边就变成了 sine c。 如果两边再同时除以个 cosine c， 那 么左边就剩了三分之根号三，那右边就是 cosine c。 除以 cosine c， 我 们知道它等于 tanine 的 c， 也就是我们得到 tanine 的 c 等于三分之根号三。 在三角形里边，我们知道每一个角它的范围都是零到 pi 范围内的，在这个范围内，它念的多少等于三分之二三呢？对，它念的六分之 pi， 所以 这个 c 就 等于个六分之 pi， 用度数表示，其实就是三十度。所以的正确答案呢，选 d。 这道题主要是考察余弦定律和面积公式的综合应用，顺带的考察了一下三角函数的简单计算。 我们来看第十题是 m， n 是 两条不同的直线，阿尔法杯的伽马是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是。 首先我们看 a 选项，若 m 在 阿尔法内， n 平行于阿尔法，则 m 平行 n， 我 们不妨来画图分析它是不是真命题。假设这是平面，阿尔法 直线 m 在 r 内，直线 n 和 r 平行，我们从图上可以看出，这个 m、 n 呢，很显然是不平行的。其实这是一种意面关系， 所以 a 是 错误的。我们再看 b 选项， 阿尔法垂直于伽马，比特垂直于伽马，则阿尔法平行于比特。 也就是说两个平面都与伽马垂直，则这两个平面平行。我们也来画图分析一下，假设这个平面是伽马 好平面，阿尔法和伽马垂直，我们画出来。假如这是阿尔法好平面， beta 和伽马也垂直， 这是平面 beta。 从我们画出这个图形可以看出，这边的阿尔法和 beta 并不平行，所以 b 也是错误的。 我们再来看 c， 若阿尔法平行比特比特平行伽马 m 垂直阿尔法则 m 垂直伽马。 首先我们得知道，如果平面阿尔法和比特平行，阿尔法平行于比特 bear 呢，和伽马又平行。我们从图形上其实也可以看出，这个阿尔法和伽马其实是平行的。 在这个条件下，如果一条直线垂直于阿尔法，我们可以得到这条直线也垂直于伽马。 也就是说，一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以选项 c 是 正确的。我们再来看 d， d 选项中，若阿尔法贝特相交于直线 n， 并且 m 平行，阿尔法 m 平行贝特，我们也来画图分析。 假设这是平面阿尔法和贝特，我们画出来它俩相交的交线呢，是 n 好， 这是它的交线 n， m 和 n 平行， 我们可以看出这个 m 呢，其实也可以在贝特内，当然 m 也有可能在阿尔法内， 当然也有可能这个 m 和阿尔法、贝特都平行，但是我们不能直接得到 m 和阿尔法， m 和贝特一定平行，所以选项 d 也是错误的。因此这道题的答案呢，就选啊 c， 答案是选 c。 这道题呢，主要是考察空间线面关系的判断，我们可以通过画出图形来分析我们所要的结论。 第十一题如图，在直三棱柱 abc a 一 b 一 c 一 中，若 a、 a 一 等于个一， ab 等于 a、 c 等于根号二，这个 ab 呢，是根号二， a、 c 也等于根号二， b 一 c 等于二， b 一 c 一， 这个是二，那相应的这个 bc 呢？也是二。 现在让我们求一面之线 a、 c 与 b、 c 一 所成角的余弦值。 我们要想求出这个角的余弦值，首先要做出一面之线所成角。做一面之线所成角，我们可以通过做平行线，把它转化为两条相交之线所成角。 从所给条件我们可以看出这是一个值。三棱柱意味着这个 b、 e、 c、 e 和 bc 是 平行的， 所以 a、 e、 c 和 b、 e、 c、 e 所成角也等于 a、 e、 c 和 bc 所成角。因此我们只需要求出 a、 e、 c、 b 所乘角的余弦值，就这个角的余弦值就可以了。我们要想求出这个角的余弦值呢，我们连接 ab， 这样的话呢，就把它放到了三角形 a、 b、 c 中。 好在这个条件中，我们可以看出 a、 c 是 等于根号， b、 c 呢是等于二。我们要想求出这个角的余弦值，还需要求出 a、 e、 b， 因为这是一个直三棱柱，侧棱和底面都是垂直的，所以这是个直角， 因此我们可以在直角三角形 a、 e、 a、 b 中求出 a、 e、 b。 那么 ab 等于什么呢？ ab 等于根号下，我们根据勾股定律， a 一 a 的 平方， a 一 a 的 平方，加上个 ab 的 平方。 好，这个 a 一 a 呢，我们知道等于一， ab 等于根号，所以代入这个是根号三。也就是说啊，我们可以求出 ab， 这个等于根号三， 这样的话，这个 a、 b、 c 这个三角形的三边我们都知道了，我们要求这个角的余弦值，我们把这个角记为 c 的， 它的余弦值我们可以用余弦定零来进行求减。我们来回忆一下余弦定零。 cosine， 这个 c 的 等于什么呢？等于两边的这个平方和减去第三边的平方，就是 a、 c 的 平方 加上个 b、 c 的 平方，再减去 a、 e、 b 的 平方， 然后除以二倍的 a， e、 c 乘以个 b、 c， 这是愚弦定理的内容，我们一定要熟悉。好，我们把手机带入 ac， 它是等于根号，平方等于二， bc 呢？等于二，它的平方是四， a， b 等于根号三，所以 ab 的 平方等于三，减去三除以二倍的 ac， ac 是 等于根号， 再乘以 b、 c， b、 c 等于二。好，我们来计算一下，我们看它的分子，二加四是六啊，六减三，所以是三，下面是四倍的根二 好，分子分母在同时乘以根号，就得到八分之三倍的根号，所以呢，正确的答案是选 d。 这道题主要是考察意面直线所成角的求解。我们通过做平行线，或者利用图中已有的平行线找出这个角，然后把它转化到三角形中，利用解三角形的方式求出这个角。 我们来看第十二题。已知某圆锥的底面半径为二， 其侧面积为六，排设圆锥轴结面，三角形的顶角为 c 的， 现在让我们求 c、 n、 c 的 值。首先我们根据条件来画出一个圆锥， 在这个圆锥中，我们已经知道它的底面半径，假如这是底面的圆心 o， 那 么它的底面半径我们用 r 来表示， r 等于二， 侧面积为六 pi， 我 们要知道圆锥的侧面积公式是 pi r 乘以 l， 其中 l 呢，是指它的母线长，就这是 l， 就 它等于个六， pi 好，侧面积等于六 pi， 并且 r 呢等于个二，所以我们很容易求出这个 l 等于个三，也就是它的母线长呢，等于三。 现在告诉我们它的轴结面为 c， 让我们求 c n c 的 值，我们看它的轴结面，我们把它画出来，其实就是这个等腰三角形，这个角是 c 的， 这就它的轴结面，我们可以画着它的高。 好了，现在让我们求这个 set 的 正弦值。怎么办呢？我们可以先用余弦定理求出它的余弦值。 cosine set 等于什么呢？我们根据余弦定理等于两边，这两边的平方和就是三的平方，那直接写了加上个三的平方 减去对边这个平方和这条边长，注意是直径，所以呢，它是四，四的平方减去四的平方， 分母是二，乘以这两边乘以三，再乘一个三。好，我们计算一下结果，三的平方我们知道是九，这两个三的平方十八，十八，减四的平方十六， 它的分母十八，所以我们可以算出它的余弦值是九分之一。我们又知道正弦的平方和余弦的平方和等于一，所以这个 cnc 呢， 它等于根号下一减。 cosine c 的 平方，也就是等于根号下一减九分之一的平方就是八十一分之一。 好，那就是根号下八十一分之八十。好，我们开放之后，结果是九分之四倍的根号五。所以呢，正确答案选 d。 这道题呢，主要是考察圆锥的侧面积公式，注意，圆锥的侧面积公式是 pi r l， 如果让你求它的表面积，我们还要再加上一个圆，所以它的表面积的公式是 pi r l 啊，再加上个 pi r 的 平方，如果提取个 pi r， 那实际上那就是 l 加上 r。 好， 这是它的表面积公式啊，其这个 pi r 这个括号的圆就是 l 加 r。 如果让你求的是侧面积，那么只需要是 pi r l 就 行了。 我们来看第十四题。在这个正方体中， n 是 d、 d、 e 的 中点， n 是 中点。现在让我们求 c、 n 与平面 d、 b、 b、 e、 d、 e 所成角的正弦值。 我们要想求这个角的正弦值，首先要找出这个角，那我们得知道什么是直线和平面所成角。 如果一条直线和平面相交，并且不垂直的话，那么他和这个平面所成角，我们首先要在这条直线上任取点向这个平面做垂线， 他和平面的交点叫做垂足，这个点呢，叫斜足。垂足和斜足之间的连线叫做这条直线在这个平面内的射影。这条直线在这个平面和他在这个平面内的射影所成的角， 就是直线和平面所成的角。所以呢，我们要想找出这个角，首先在这条直线上取一点向这个平面做垂线。 根据正方体的性质，我们要想由 c 向这个平面 d、 d、 b 一 d 一 做垂线，只需要连接 a、 c 就 行了。 我们看 a、 c 和 b、 d 垂直，因为这个几何体呢，它是正方体，所以 b、 b、 e 和底面 abcd 是 垂直的，所以 b、 b 一 和 a、 c 是 垂直的。这样的话呢， a、 c 既垂直于 b、 d， 又垂直于 b、 b 一， 因此 a、 c 垂直于这个平面的两条相交直线，所以 a c 就 垂直于平面 d b b 一 d 一 好，我们假设它的焦点为 o， 当然这个 o 呢，也是 a c 的 中点，这个 o 呢就是垂足，这个 n 呢，其实就是斜足。我们连接 o n， o， n 就是 c， n 在 这个平面内的射影，所以我们要找的角就是 c n o 这个角。好，现在我们来计算一下这个角的正弦值。 我们要知道 c a 和这个平面是垂直的，所以呢，这个角是直角。 我们假设正方体的棱长为二，如果棱长为二，我们可以求出 co 是 等于根号二的。 我们再求一下这个 n， c 这段是一，这段是二，所以 c n 呢等于根号五， 因此这个角的正弦值，我们把这个角记为 c 的 c n， c 的 等于，实际上等于 co， 比上 c， n 就是 根号二，比上根号五， 所以等于多少呢？等于五分之根号十。因此正确答案选 b。 我 们要想求出直线和平面所成的角，关键是根据直线和平面所成的角的定义找出这个角，然后再计算得出结论。 我们得知道斜线和平面所成角，要在这条直线上取一点向这个平面做垂线，找出他在这个平面内摄影，这条直线和摄影所成角就是直线和平面所成角。我们来看第四个题， 如图，圆柱 o 一 o 二的内切求 o 的 半径为 r。 现在问求 o 的 表面积与圆柱 o 一 o 二的表面的比是多少？ 因为已经告诉我们求的半径为 r， 所以 我们可以直接求出这个球的表面积。 求的表面积公式是什么呢？对四 pi r 的 平方注意求的体积公式我们也得知道，得三分之四 pi r 的 三次方。 首先我们可以写出球的表面积，我们再来看一下这个圆柱，我们看从条件可以看出，圆柱的底面半径和球的半径是相等的， 而圆柱的高呢，这个 h 很 显然等于球的直径二 r。 注意，圆柱的表面积等于圆柱的侧面积，加上两个圆，加上两个圆的面积，所以这个圆柱的 表面积首先它等于侧面积。侧面积公式是二 pi r， l， 这个 r 呢是指底面半径， l 呢是指这个母线长，也是它的高，所以呢，我们首先算出它的侧面积，侧面积，二派乘以底面半径是 r， 这个 l 呢就是母线，就是高，就是二 r。 然后我们再加上两个圆的面积，二派 r 的 平方。 好，我们计算一下，结果是六派 r 的 平方，所以两个表面之比，那就是四派 r 的 平方，除以六派 r 的 平方， 我们可以算出结果是三分之二，所以这题大呢，选 a。 这道题主要是考察球的表面积和圆柱的表面积的计算，我们要根据图形找出这个圆柱的底面半径和它的母线长呢，和高其实是一样的。 我们来看第十六题，在矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 的 长等于二， bc 的 长等于一， e 为 ab 的 中点啊， e 是 中点， f 为 bc 边上的动点，当这个动点含端点，现在让我们求 d e 乘以 d f 的 曲值范围。 在矩形中，我们可以建立平面直角的表系，我们以 a 为圆点， ab 所在的直线为 x 轴， ad 呢，所在的直线为 y 轴啊，我们建立平面直角的表系。 根据条件我们可以得到这个 d 点的坐标是零一， e 是 a、 b 的 中点，所以 e 点的坐标是一零。 这样的话呢，我们就可以求出 d、 e 向量，所以向量的坐标是用中点坐标减去起点坐标，所以它的坐标是一负一。 因为 f 的 位置不固定，它在 b、 c 这条线段上运动。所以呢，我们不妨假设这个 b、 f 的 长是 x， 根据条件，这个 x 呢，肯定是大于等于零，小于等于一的，所以这个 f 点的坐标它是二 x， 那么 df 向量，它的坐标就等于 f 的 坐标减去 d 的 坐标，所以是二。横坐标是二，纵坐标呢，是 x 减一。 现在我们来算一下， d、 e 乘以 d、 f 向量，两个向量相乘，它们是对应的横坐标相乘，加上对应的纵坐标相乘好， d、 e 的 横坐标是一， d、 f 的 横坐标呢，是二，所以一乘以二，再加上 d、 e， 它的纵坐标是负一， 而 df 的 纵坐标呢，是 x 减一。 好，我们少做整理，我们可以知道它是负 x 加上个三。 另外，我们要知道， x 的 取范围是大于等于一个零，小于等于一，所以负 x， 它是大于等于负一，小于等于零的。那所以负 x 加三， 大于等于二，小于等于三。也就是我们所求的这个 d、 e 乘以 d、 f 的 取值范围，可以用区间表示为二到三这样一个 b 区间。所以呢，这道题的正确答案就填二 到三这样一个 b 区间。平面向量的运算，如果在这个题型中容易建立平面直角坐标系，我们可以通过建立坐标系，用坐标的方法去计算。 我们来看第十七题，已知向量 a， 它的坐标是负一三向量 b 坐标是二、四。现在让我们求向量 a 在 向量 b 上的投影向量的坐标 a 在 b 上的投影向量是什么呢？我们画个图来看一下。假如这是 b 向量好，然后呢，这是 a 向量 a 在 b 上的投影，就像它做垂线，假如这个角是 c 的 啊，这个夹角是 c 的， a 在 b 上投影，其实就是 a 的 模 乘一个 cosine theta， 再乘一个单位向量，这个 e 是 单位向量，就是指与 b 同方向上的单位向量。 而这个 a 的 模乘以 cosine theta 呢？它又可以写成 a 乘以 b 除一个 b 的 模， 与 b 同方向上的单位向量，又可以写成 b 向量除一个 b 的 模。所以 a 在 b 上的投影向量，我们可以利用这个公式来进行求解， a 乘以 b 等于什么呢？ a 乘以 b 对 应的横坐标相等，加上纵坐标相等，所以我们代入 a 乘以 b， 那 就是负一乘以二，负一乘以二，再加上个三乘以四 好。 b 的 模就是根号下二的平方加上个四的平方， 这是 b 的 幺乘以好，这个 b 的 幺也是这样，二的平方加上个四的平方好，上面呢，其实是一个坐标，就是 b 向量二四 好，我们进行化解。首先这个 a 乘以 b， 我 们通过计算，结果是多少呢？你看，三乘以四是十二减去二，所以是十 好。根号下二个平方加四个平方，是根号下二十，这个也有根号下二十，所以这是二十 乘一个二四这个坐标。当然这个我们可以看出它是二分之一乘以二四这个坐标，我们把它乘进去，结果是一二。所以呢，这道题的答案就填一二，我们要求 a 在 b 上的投影向量的坐标，我们可以直接利用这个公式来进行求解，所以我们可以记住一下这个公式，在我们考试的时候呢，直接套公式就可以得出结论。 我们来看十八题，已知负数 z 等于 b i， 其中 b 为实数， 一加 i 分 之 z 减二，它是实数，其中 i 是 虚数单位。现在让我们求这个负数 z， 我 们要想求出这个 z， 实际上也就是求出这个 b 的 值， 我们主要是对这个条件进行化减啊。 z 减二，除以个一加 i， 它是实数，我们把它代入一加 i 分 之。我们看这个式子 z 呢，就是 b i， 我 们代入， 你就说 b i 减二，也可以写成负二加 b i， 然后我们要把它化成 a 加 b i 的 形式。 好分子分母同乘一个得一减二，所以这是一加二乘一个一减二，分子呢，也给它乘一个一减二。 好，然后展开分母。可以用平方差公式，就是一的平方减去个 i 的 平方， 然后分子我们再展开负二乘以一，这有个负二，负二乘以个 i， 而负 i， 所以 加上个二 i， 然后是 b i 乘以一，所以加上个 b i， 然后是 b i 乘以负 i。 我 们知道 i 的 平方等于负一，所以负 i 的 平方是一，所以加上个 b， 而分母中 i 的 平方等于负一，所以这是一的平方减去负一，所以分母就是二。 好分子中我们把含有 i 的 和不含 i 的 分别进行合并好，它可以写到 b 减二，加上个 b 加二 i， 如果我们再分开写，就是二分之 b 减二，加上个二分之 b 加二 i， 他告诉我们这个负数呢，它是实数，它是实数，就意味着它的虚部为零。一个负数如果是实数，就是虚部为零，那就是二分之一，加二等于零。 好，我们可以得到这个 b 呢，等于一个负二，所以这个 z 就 等于负二 i， 所以 答案就填负二 i。 这道题主要是考察负数的有关概念和负数的次则运算。 我们来看第十九题。已知圆锥的轴结面是等腰直角三角形，且面积为二，现在让我们求这个圆锥的体积， 要求圆锥的体积，我们得知道体积公式，圆锥的体积公式是三分之一，底，面积乘以高，所以我们要求出底面它的面积和高。 底面呢，是一个圆，所以我们要求出底面圆的半径。首先我们来画一个圆锥这个图形， 这个圆锥的轴结面是一个等腰直角三角形，也就是这个三角形呢，是等腰直角三角形，肯定这个地方是直角底面半径。我们如果用 r 来表示， 那么这个边长就是二 r 直径。因为是等腰直角三角形，所以这个母线长就等于根二 r。 在直角三角形中，我们可以利用勾股定律来进行求解，这边也是 l， l 的 平方加 l 的 平方等于二 r 括号的平方，我们可以算出这个母线长等于根二 r。 现在告诉我们这个轴结面，它的面积是二，因为是等腰直角三角形，所以我们可以求一下它的面积。这个面积呢，它等于二分之一，乘以 两条这个直角边的成，其就是 l 的 平方，所以呢，它等于二分之一，乘以个二 r 的 平方， 也就是它等于个二，所以我们可以得到底面半径，这个 r 呢，等于根号二， 底面半径。知道了，我们可以求出底面的面积来拍二平方，那实际上就等于二拍， 那么还要求出这个圆锥的高，我们做一下它的高线 啊，这就是它的高，这个高呢，很显然它是这个斜边的中线啊，等于斜边的一半，所以这个高 h 实际上是等于个 二分之一乘以二二的，所以它其实也等于二，等于根号二。 好，现在我们利用体积公式求一下这个体积三分之一 s h 就是 三分之一乘一个二 pi， 再乘一个根号 等于多少呢？我们算一下，等于三分之二倍的根号二 pi， 所以 这个答案就填三分之二倍的根号二 pi。 这道题主要是考察圆锥的体积公式的应用，我们要想求出圆锥的体积，需要求出它的底面面积和高， 我们画出图形，可以分析出它的底面半径和高，然后就可以领公式求出这个体积。 我们来看第二十题，在三棱锥 p a b c 中， p a 垂直底面 a b c。 若 p a 等于八， b a c 等于九十度， ac 等于二倍的 ab 等于四。现在让我们求这个三棱锥的外接球的表面积。首先我们根据条件来画出一个图形， 在这个图形中，我们知道这个 p a 垂直这个底面 a b c， 并且我们知道 b a c 这个角是九十度， 这个黑色的粗线就是我们所画的这个三棱锥，我们把它倒起来画，然后我们可以把它补成一个长方体，这个三棱锥的外接球其实和这个长方形的外接球是一样的， 而长方体的外接球，它的体对角线就等于外界球的直径，所以呢，长方体，它的外接球直径二 r 就 等于根号下 a 方加 b 方加 c 方，这个 abc 呢，是一个长方体的三边的高，我们把它记为 abc， 而这个题目中告诉我们 pa 等于八，所以呢，其中的一条边是八， a， c 等于四啊，这个地方是四， ab 呢，其实是等于二，我们可以理解为这个长方体的三条变长，分别为这个八、四、二 好，所以呢，我们可以直接套这个公式，求出这个外接球的直径二 r 就 等于根上下八的平方， 然后再加上个对四的平方，再加上个二的平方，我们来算一下，八的平方是六十四， 四的平方是十，六，二的平方是四，所以等于多少呢？根号八十四， 如果我们平方其实就得到四二的平方等于八十四，为什么要平方呢？因为让我们求的是表面积， 而这个球的表面积公式是四 pi， r 的 平方，实际上也就是四 pi r 的 平方再乘一个 pi， 因此结果是八十四 pi， 所以 这道题呢，就填八十四 pi。 我们为了求出这个三棱锥的外接球，我们把这个三棱锥呢补成一个长方体，利用长方体的外接球这个半径的公式， 求出这个外接球的半径或者直径都可以，然后再利用球的表面积公式，得出我们所要的结论。 我们来看第二十一题，已知点 a 的 坐标，点 b 的 坐标和点 c 的 坐标。第一小题，若 ab 向量平行， bc 向量让我们求 l 的 值， 我们要想求出那么的值，就要根据这两个向量平行来建立方程。一般情况下，如果向量 a 等于 x 一 y 一， 向量 b 等于 x 二 y 二， a 平行于 b， 等价 a 的 x 一 y 减 x 二， y 一 等于零。 如果是 a 垂直于 b， 其实就等价 a 乘以 b 等于零，就是 x 一 x 二加上个 y 一 y 二等于零。 注意这两个公式呢，不要那么混的好，我们先看第一个。 我们要想利用这个公式建立方程，首先得求出 ab 向量的坐标。 我们知道向量坐标呢，用中点坐标减去起点坐标，用 b 的 坐标减去 a 的 坐标，所以一减负一，这是二，三减负一，这是四。 然后是 b， c 向量也是这样，用 c 点坐标减去 b 点坐标，等于对负三 lamb 的 减二，四 lamb 的 加三。 因为 ab 平行于 bc， 所以 我们套这个公式， s 一 y 就是 第一个向量的横坐标，乘以第二个向量的纵坐标，二倍的四，楞的加三。 对减去第二个向量的横坐标，乘以第一个向量的纵坐标，就是四倍的 负三 lm 的 减二，就它等于零。好，我们展开，这里边是八 lm 的 加上个六， 然后加上个十二 lm 的 加上个八等于零。好，我们再整理二十 lm 的 加上个十四等于零。所以我们可以计算出 lamb 的 等于多少呢？得负的十分之七， 这是第一小题，第二小题 ab 垂直 bc。 我 们利用第二个公式， s 一 s 二加上 y 一 y 等于零，就是第一个向量的横坐标乘以第二个向量的横坐标，二乘以负三 lm 的 减二。 注意中间是加号，加上四乘一个四 lm 的 加三。有这个式子等于零。 好，化解一下负六 lamb 的 减四加上个十六 lamb 的 加上个十二等于零。好，我们算一下，这个是十 lamb 的 加上个八等于零，所以我们可以得到这个 lamb 的 等于负五分之四。 好，我们来看一下具体的解体步骤。首先我们根据条件求出 a、 b 向量， 向量的坐标等于钟点坐标减去起点坐标。这个公式一定要记住，你看，用 b 点坐标减去 a 点坐标，结果是 r 四， bc 向量也是这样，用 c 点坐标减去 b 点坐标，一定是这个顺序，不要弄，弄反了。好，结果是负一减三 m 的， 六加四 m 的 减去一三，结果是负二减三 m 的 好，三加四 m 的。 因为 ab 平行于 bc， 所以 我们利用的是 x 一 y 减 x 二， y 一 等于零，得到关于 lamb 的 一个方程，解得 lamb 的 等于负十分之七。 第二个，因为 a b 垂直 b c， 我 们用的是这个公式， x 一 x 二加上个 y 一 y 二等于零，也是建立关于 lamb 的 一个方程，解的 lamb 等于负五分之四，这是第二十一题， 我们来看第二十二题。在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 的 对边分别为 abc， 且满足 c a 的 平方等于 c n b 的 平方加 c n、 c 的 平方加上 c n b c n c。 我 们看这样一个等式里边全部是角的正弦，所以我们来回忆一下正弦点， a， b 上 c n a 啊，等于 b 比上 c n b 等一个 c 比上 c n c， 并且呢，等于二 r 就是 它的外界的直径，这样的话呢，我们这个 c n a 就 可以换成二 r 分 之 a 边 c n b 也可以换成 二 r 分 之 b 边 c n c 可以 换成二 r 分 之 c 边。 好，我们把它代入进去 c a 的 平方，那就是二 r 分 之 a， 它的平方 c n b 的 平方二 r 分 之 b， 它的平方 c n c。 二 r 分 之 c 的 平方 c n b 乘以 c n c， 二 r 分 之 b 乘以二 r 分 之 c。 其实 我们通过代入之后，我们会发现这个 r 呢，其实都可以消去。最终我们可以知道， a 的 平方等于 b 的 平方，加上个 c 的 平方，加上个 bc。 我 们一看到这个边的平方里这个等式，我们很容易想到对余弦定零 余弦定律，我们来会一下这里边让求角 a， 所以 我们直接求这个 cos a， cos a 等于什么呢？得二 b c 分 值， b 方加 c 方减 a 方，这样的话，我们要把这个等式少做整理，我们可以知道 bc 其实等于什么呢？对，等一个 a 方减 b 方减 c 方， 所以我们把它带入进去，这个结果等于等于负二分之一。又因为这个 a 呢，它很显然是在零到 pi 这个范围内的， 所以这个 a 角等于三分之二 pi， 也就是一百二十度。 这是第一小题，我们主要是利用了正弦定角和余弦定角求出一角。我们再看第二小题，若 ab 等于六， ac 等于三，让我们求这个三角形 abc 的 面积， 我们利用面积公式 s 等于什么呢？二分之一 b c c a， 因为 a 角已经求出来了，而这个里边 ab 边其实就是 c 边， 这个 a c 边呢，其实就是 b 边等于三，我们把它代入二分之一乘以三，乘以六，乘以 c a 一 百二十度 c a c 三分之二 pi 乘以一百二十度二分之二三， 这样的话呢，我们就可以求出它的面积， 它的面积等于二分之九倍的根号三。好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先我们由正弦定理得到 c， a 等于二， r 分 之 a， c， n， b 等于二， r 分 之 b， c， n， c 等于二， r 分 之 c， 我 们把它代入所给这个等式， 其实我们看里边都有个二二平方，这个分母呢，这些都可以消掉，最终得到这样一个式。 然后有余弦定律，我们可以得到 cos， a 等于二 b， c 分 之 b 方加 c 方减 a 方，最终结果是负二分之一。再根据 a 的 取值范围，我们得到 a 等于三分之二派。 根据第一小题，我们求出来这个 a 角，这个 a 边啊 ab 边其实就是 c 边， c 等于个六 ac 边，那就是 b 边， b 边等于个三。好，我们套入这个面积公式，二分之一 bc ca， 这是 c 边，这是 b 边。好，把数据带入，结果是二分之九倍的根号三，这是第二十二题。其实主要是考察正弦定比、余弦定比和面积公式的综合应用。 我们来看第二十三题。如图，边长为二的正方形 a， b， c， d 所在的平面与半圆弧， c， d 弧所在的平面垂直。 m 是 c d 的 动点， 即 dm 弧的长为 l 一 m， c 弧的长为 l。 二例小题让我们证明 c m 垂直平面。 amd 要证明一条直线垂直于一个平面，我们主要是利用直线和平面垂直的判定定律，我们要证明它和这个平面内的两条相交直线垂直。我们从图形中可以看出， 这个 c， d 是 这个半圆弧的直径， m 呢，在这个圆弧上，所以 c m 垂直 d m， c m 一定垂直 d m， 这样的话呢， c m 就 垂直于 amd 内的一条直线了。另外，我们看 abcd 所在的平面和这个半圆弧所在的平面是垂直的，比两个平面垂直， 他有一个重要的性质，就是在其中一个平面内，在其中一个平面内，垂直于交线的直线垂直于另外一个平面。比方说阿尔法和贝特这两个平面垂直 他们的交线。假如是 a， 好， 在阿尔法内如果有一条直线 b 垂直于 a， 我 们就可以得到 b 垂直于贝特。 在里边我们看 abcd 是 正方形，所以 ad 垂直于 cd， 并且 ad 肯定在 abcd 这个平面内，而 cd 呢，就是它的交界。所以我们可以得到 ad 其实是垂直于 这个半圆弧所在的平面的。而 cm 呢，很显然是在这个平面内的，所以 ad 也垂直于 cm。 好了，这样的话呢， c m 既垂直 ad， cm 又垂直 dm， 而这个 ad 和 dm 又是相交的，它俩的焦点呢，是 d， 并且又都在平面 amd 内，这样的话， cm 就 垂直于平面 amd 内的两条相交直线，所以 cm 垂直于平面 amd。 第二小题，当点 m 在 c d 弧上运动，且使三棱锥 m a b c 的 体积为三分之二时，让我们求 l 一 比上 l 二的值。 三棱锥的体积我们得知道体积公式，体积公式呢， v 等于三分之一 底面积乘以高，这个底面呢，就是 abc 这样一个直角三角形，所以这个底面积很容易求出来。 s 等于二分之一乘一个二，再乘一个二，实际上就是二， 所以这个三分之一乘一个二，再乘以高 h 其实也就等于个三分之二 h， 那 么它的高在哪里呢？我们注意由 m 向 a、 b、 c、 d 这个平面做垂线，因为 这个半圆弧所在的平面和 a、 b、 c、 d 所在的平面垂直，所以我只要向交线做垂线就行了。比如垂足是 h， 那 么这个 m h 就是 高，所以它其实就等于一个三分之二倍的 m h。 现在我告告诉你，这个体积是多少呢？就等于三分之二，这说明什么问题呢？说明 m h 其实呢，就等于个一 mh 等于一，正好等于这个半圆弧的半径，说明这个 m 点正好在这个半圆弧的中点，因此这两条半圆弧的长是相等的，所以 l 一 比上 l 二的值应该是一。 我们来看一下具体的解体步骤。第一小题，首先我们证明 c、 m 垂直于 a、 m、 d 内的两条相交之线，根据条件，因为这两个平面是垂直的，并且它的交线是 c、 d， a、 d 在 平面 a、 b、 c、 d 内，并且 a、 d 垂直于交线， 所以我们得到 a、 d 垂直平面 c、 m、 d。 你 看 a、 d 在 这个 a、 b、 c、 d 这个平面内，并且垂直于它们的交线，所以 a、 d 垂直于平面，而 c、 m 在 这个平面内，所以我们得到 a、 d 垂直 c、 m， 这就得到一个垂直了。 又因为 m 是 半圆弧， c、 d 弧上溢于 c、 d 的 点，且 c、 d 呢是直径，这个我们利用了圆的性质，所以 cm 垂直于 d m， cm 又垂直于 d m， 又因为 ad 和 dm 它是相交的，交点为 d， 并且 ad 在 这个平面 amd 内， dm 也在这个平面 amd 内，所以我们就得到了 cm 垂直平面 amd。 第二小题，我们首先做出这个三棱锥 m， a、 b， c 的 高，我们在这个平面 c m d 内或点 m 做 m h 垂直于 c d 啊，这个垂足呢是 h。 根据条件我们很容易得到 m h 垂直于平面 abc， 所以 这个 m h 呢，就是三棱锥的高。而三角形 abc 的 面积，我们可以计算出它是二， 所以三分之一的体积就等于三分之二 m h， 因为体积是三分之二，所以三分之二 m h 等于 m h 等于一。这样的话呢， 半圆弧啊，它所在的圆的半径就是一，所以我们可以得到这个 m 就是 半圆弧 cd 弧的中点。所以 l 一 和 l 二相等的，也就是 l 一 比上 l 二等于一。 这道题呢，主要是考察直线和平面垂直的判定，他的证明我们一般用直线和平面垂直的判定定律。然后就是三棱锥的体积公式的应用，注意，锥体的体积公式 等于三分之一底，面积乘以高。我们来看第二十四题。如图，已知圆锥 s o， a， b 是 圆 o 的 直径，三角形 a， s， b 是 等腰直角，三角形 a， s， a 和 s b 是 相等的，所以 a、 s、 b 这个角是直角， c 是 圆周上不同于 ab 的 一点， d 为 bc 的 中点，这个 d 是 中点，且 bc 等于二倍的 ac 等于四。第一小题让我们证明 o d 平行于平面 s a c。 我 们要证明一条直线平行于一个平面，那么我们就可以利用直线和平面平行的判定定律。 直线和平面平行的判定定律是平面外一条直线，如果和平面内一条直线平行， 那么这条直线就和这个平面平行。从条件我们可以看出， d 是 bc 的 中点， o 是 ab 的 中点，所以 o d 是 三角形 b a、 c 的 中位线， 所以我们可以得到这个 o d 平行于 a c。 然后我们再说明 o d 不 在平面 s， a， s， a c 中，所以我们要加上一个 o d 不 在这个平面 s a、 c 中， 并且呢，我们还要说明这个 a c 呢，在这个平面 s a、 c 内， 这样我们就得到了平面外一条直线和平面内一条直线平行，所以这条直线和这个平面平行啊。第一小题的证明非常简单，主要是利用了三角形的中位线的性质。第二小题让我们求这个四棱锥的体积， 这一题的起极公式，等于三分之一底，面积乘以高，这个高呢，就是这个 s o， 因为这是一个等腰直角三角形，这个 s o 可以 看成斜边 ab 的 中线，所以这个 s o 等于 ab 的 一半。 根据条件，这个 a c 长等于二，这个 b c 长呢，等于四。因为 c 在 这个圆周上，所以这是个直角，我们可以计算出 ab 的 长 等于根上加二的平方，加四的平方就是二倍的根号五，所以这个 s o 呢，等于二分之一 ab 斜边的中线等于斜边的一半，就等于多少呢？等于根号五。 我们看到底面 a c， d， o， a c， d， o， 这很显然是一个直角梯形，直角梯形，我们利用 直角梯形的面积公式，我们代入二分之一上底加下底乘以高，这个高呢，其实就是 c d， 然后在这二分之一上底加下底再乘以高，我们把这个带入进去，我们可以算出这个 o d 长。我们知这个 o d 长呢，它是等于个一，这个 a c 长，一个上底，一个下底是二， 好，这是二分之一，上底加下底乘以高，高呢，就是 c、 d 长。我们知道这个 d 是 中点，而 bc 长呢，是四，所以 c、 d 长是二，所以结果是三， 这是底面积。好，现在呢，我们代入体积公式，等于三分之一，底面积再乘以高高呢，是根号五，所以这个体积最终结果是根号五。 好，我们来看一下具体的解体步骤。 首先我们第一问，要证明 o、 d 平行于平面 s、 a、 c。 我 们要证明 o、 d 和 s、 a、 c 这个平面内一条直线平行。根据条件，这个 b、 d 等于 d， c 也就是 d 呢，是 bc 终点， bo 等于 o， a 也是 o 呢，是 ab 终点，所以这个 o、 d 是 三角形 b、 a、 c 的 中位线，所以 o、 d 平行于 ac。 另外我们还要说明 ac 在 这个平面内， o、 d 不 在这个平面内，所以我们得到 o、 d 平行于平面 s、 a、 c 第二小题，我们从这个条件可以得到这个 s、 o 就是 高，因为 ab 是 圆 o 的 直径点， c 这个在平面圆 o 上，所以 a、 c、 b 就 这个角是直角。 由于我们知道 o、 d 平行于 ac， 所以 o、 d 呢，等于二分之一 ac， 这个 o、 d 的 长我们可以求出来。 所以这个四边形 a、 b、 a、 c、 d、 o， 它是一个直角梯形。在这个三角形 a、 c、 b 中，我们可以计算出这个 a、 b 的 长等于二倍。根号五，利用勾股定律， 又因为这个 a、 s、 b 是 一个等腰直角三角形，所以这个 s、 o 呢，就是斜边 a、 b 上的中线，所以等于斜边的一半，等于根号五。 在这个直角梯形中，我们可以计算出这个 o、 d 长是一， c、 d 长呢是二，这是上底和下底，它的高呢就是 c、 d 长， c、 d 长是二，所以我们可以计算出这个梯形的面积是三。锥体的奇异公式 v 等于三分之一，底面积乘以高，三分之一乘以底，面积三再乘以高 s o 是 根号五，所以最终结果是根号五。 这道题呢，主要是考察直线和平面平行的证明以及锥体体积的求结。 要证明一条直线平行于一个平面，我们只需要证明这条直线平行于这个平面内的一条直线，当然我们还要说明这条直线不在这个平面内，这样就可以了。 我们要求锥体的体积，我们主要是利用锥体的体积公式 v 等于三分之一 s h， 所以 关键是求出底面积和高。 好了，这是专题主题练习三的全部内容。

hello， 同学们，我是数学王老师。呃，今天我们来讲二零二二年河南中考数学压轴题，这道题相比于其他年份来讲还是比较容易的，我们先读一下题， 如图，在 r t 三角形 a、 b、 c 当中， r t 就是 直角三角形的意思哈角 a、 c、 b 等于九十度， ac 等于 bc 是 等于二倍根号二，它还是一个等腰直角三角形 a、 c 的 长度呢，是二倍根号二， b、 c 也是二倍根号二，那么 ab 可以 根据勾股定律我们算出来，它是根号下二倍根号二的平方，再加上二倍根号二的平方是等于四，那么 ad 呢？ 就是等于二，是它的一半吧。 d， b 也是等于二，因为 d 是 ab 的 中点，那么点 p 在 a c 上，且 c p 是 等于一。将 c p 绕点， c 点 c 在 平面内旋转，点 p 的 对应点为点 q， 那 么就是这样旋转啊，那很明显， q 点的运动轨迹是一个圆，连接 a q、 d q， 当 a d q 等于九十度的时候，求 a、 q 的 长是多少？好，我们来分析一下啊。 呃， a 点和 d 点都是定点，只有 q 点是一个动点，刚才我们说了， q 点的运动轨迹是一个圆，那么它是以 c 为圆心，以 c p 为半径的一个圆，所以我们先把 q 点的运动轨迹给画出来。 好，那我们要满足的是什么呢？要满足 a、 d， q 是 等于九十度， 那么 a、 d 是 定的，也就是 q 点是在运动，那么我们连接 q、 d， 那 么 q d 肯定是在以 d 点啊，这个点为点， a、 d 的 这个高的上面。好，那么 a、 d 的 话是在斜线 斜边，斜边上的高，它是在什么三角形里面呢？是在等腰，直角三角形里面是个等腰三角形还是个直角三角形？我们见到这个等腰三角形哈，优先想到的就是三线合一， 它的角平分线和它的高和它的中位线，我们是一条线啊，所以 这个 a、 d 和 ab， 它的高呢，就是我们连接 cd 三线合一， cd 这一条线呢，就是 a b 的 高，也就是 a d 的 高。好，那所以说 q 点它想要满足 a d， q 等于九十度， 那么 q 点必须要在 cd 这条线上。好，那么 q 点有几个呢？那就是 cd 和这个 q 点的运动轨迹有几个焦点，我们就可以找到几个 q 点，所以我们延长 cd c、 d 这条线，我们和圆 c 是 有两个交点，这个点我们记为 q 一， 这个点我们记为 q 二， 我们连接 a q 一， 连接 a q 二，这两个线段的长度就是我们要求 a q 的 长，我们先求 a q 一， 这个是直角，因为 c、 d 是 斜边的中线，直角三角形当中，斜边的中线是等于斜边的一半。 c q 一 是一，那么 q 一 d 就是 二，减一也是一，这个是二，是直角，那么 a q 一 就等于根号下二的平方，再加一的平方 就等于根号五。我们算出来的第一个答案。然后接下来我们再看 a q 二， a q 二的话， c d 是 等于二， c q 二是等于一，是它的半径嘛，所以它就是等于一一，一就是三的平方， 然后再加上 a、 d 的 平方，二的平方就等于根号下十三。 所以 a q 的 长就是有两个，一个是根号五，一个是根号十三。那么这道题我们相比于其他年份的题还是比较容易的啊， 我们这道题的解题关键呢就是在等腰直角三角形里面，在等腰三角形里面，我们是三线合一啊，一定要想到 cd 既是 ab 的 角平分线，也是 cd 也是 ab 的 高 cd 也是 ab 的 中位线啊。我们找到这个之后，这道题就比较好解答了。

今天诱导公式的话呢，继续讲几道题啊，好，我们先看第一题啊， t 题的话呢，已知 sin sit 减 cos sit 等于三分之四啊， sit 属于四分之三，派到派啊，当然第二项线啊，靠后一点点。 好，接下来给了我们一个式子啊，我们先对这个式子进行一个化简啊，派减第二项线，所以 sin 取的是正。哎，好，继续派减第二项线， cos 取的是负，负负得正，所以，哎，题目希望我们去求解的是， sin sin 加 cos sin sin 等于多少？好，我们说看到加减就平方，我们先给哎题目中的 sin sit 减 cosine sit 进行平方啊， cosine 减去二倍的 sine 乘以 cosine 加上 cosine 的 平方等于九分之十六。哎，这样的话呢，我们不难解除， cosine sit 乘以 cosine sit 是等于多少？等于负九分之七，那这样的话呢，我们可以给加直接给它平方啊，所以 sine c 方加上二倍的 sine c 乘以 cosine c 加上 cosine c 的 平方就等于多少九分之二，对吧，等于九分之二。但是那这个题的答案的话呢，我们是取 a， 是 取 a 还是 b？ 是 正三分之根号二还是负三分之根号二？我们来观察这个啊， a 象限啊。好，已知 sine c 在 这个范围的话呢，应该是什么范围？ 零到二分之根号二，对不对？好，那 cosine c 同样的应该是满足在哪个范围？负一到 负二分之根号二。那这样的话呢，我们不难看出啊，那所以 cosine c 加上 cosine c 的 值一定是小于零的啊，一定是小于零的。好，那这样的话呢，我们开根号啊。答案，我们开根号取的应该是负值，所以我们写负三分之根号二。答案选 a， 答案选 a。 好，我们继续看第二题，已知 cosine 二分之三派加阿尔法等于负三分之一，好，那这个式子的话呢？二分之三派在这个位置啊，加上一个角啊，会跑到第几项线呀？第四项线，第四项线， cosine 阿尔法取的是正符号，所以式子我们可以直接写 cosine 阿尔法等于负三分之一，好， cosine 阿尔法取了一个什么值 三，以 alpha 取了一个负值，所以有没有可能这个 alpha 是 第一项线呀？虽然后边 alpha 给我们的是第四项线或者是第一项线啊，负二分之派到多少二分之派啊，但是我们说这个是一个假命题，对吧？我们可以直接判断出来，我们的 alpha 是 属于第四项线的，对不对？ 好，那既然是第四项线，我们的 cos 以 alpha 取的肯定是正值啊， cos 以 alpha 等于一，所以 cos 以 alpha 等于三分之二倍的根号二，那这样的话呢，我们就直接可以求解 cos alpha 的 值啊， in alpha 比上 cosine alpha 就 等于负三分之一，比上三分之二倍的根号二，哎，我们化简完等于负四分之根号二啊，这道题我们就求解出来了，这道题的关键是啊，我们要从一个大范围里边，我们去剖析出来真正的象限啊，真正的象限。 再来看第三题啊，第三题的话呢，我们首先要对这个式子 f r f 这个函数进行一个化解啊，进行一个化解，那这样的话呢，我们首先说第一步的话呢，你主要是观察这个偶数派，哎，我们先圈出来啊，偶数派，还有就是这个派前边有符号的这种情况啊，派前边有符号这种情况。我们先第一题，哎，求解。第一题啊， 第一步的话呢，我们首先来进行一个整理啊，进行一个整理好，第一个式子，带平方，我们可以直接写三 e alpha 平方，因为无论正负，对吧？好，继续 cosine。 二， pi 消掉啊，负 alpha 就 直接可以写 cosine alpha。 好， 继续 tangent 有 负号，我们需要给它提出来变成 pi 减去 alpha。 好，继续 sin 里边有符号，同样的我们给它提出来一个符号啊。好，接下来贪进特里边我们直接写三派减阿尔法就可以了啊，好，我们继续下一步的化解。好，塞引方，哎，我们不变啊。好，继续 cosine alpha， 我 们不变。好，派减第二项线为负，负负得正，我们写贪进特。 好，继续派减第二项线为正，我们直接写负的萨以阿尔法乘以派减第二项线为负，好，负的贪进特阿尔法。 那这样的话呢，我们开始进行一个上下的一个约分啊，贪心的我们给它约掉。好，撒引的话呢，我们给它约掉一个，对吧？好，负负的话呢，我们可以给它换成正。那，所以这个式子啊，我们化解完之后应该是撒引阿尔法乘以谁呀？ cosine alpha 这样的话呢，我们第一问就化简完成了啊，第一问就化简完成了，我们给它写上去 cosine alpha 乘以 cosine alpha， 这个就是我们求出来的函数的一个式子啊。好，那接下来我们进行一个清理，我们来求第二问啊，我们来看一下第二问的话呢，已知 f alpha 等于 a 八分之一， f alpha 等于八分之一，我们可以让这个式子啊，第一份我们求解出来的式子等于八分之一，那二倍的 cosine alpha 乘 cosine alpha 就 等于多少 四分之一，对不对？好，那接下来我们来观察啊， alpha 的 范围也有，我们现在需要求解这样一个式子，那我们首先来观察啊，在四分之派到二分之派，谁大 谁大呀？三 e alpha 要大于谁呀？ cosine alpha 啊，在这个范围，三 e alpha 要大于 cosine alpha。 所以 这道题的答案我们首先取的必须得是什么值？负值。好，接下来我们利用的是看到加减就平方，我们先给这个式子进行平方啊， cosine 方，减去二倍的 sine alpha 乘以 cosine alpha， 加上 cosine alpha 方，我们进行一个代入啊，进行代入之后，应该是一减去四分之一就等于四分之三。 这道题这个式子我们求解的答案，这个式子啊，应该取的是负值，那我们就写负二分之根号三。好，第三问的话呢，已知 f alpha alpha 我 们需要带的值是谁呀？负三分之三， 三十一派。哎，那也就是说， sine 负三分之三十一派乘以 cosine 负三分之三十一派，我们可以给它直接写成 sine 的 负三分之三十派，减去三分之派。 同样的道理， cosine 的 负三分之三十派，然后减去三分之派，那当然了，负的偶数派我们直接就给它去掉了啊，所以这个式子就变成了负， sine 的 三分之派乘以 whole in 的 三分之派。好，一个是负二分之根号三，我们再乘以二分之一，那答案直接就写啊，负四分之根号三。第三问很简单啊，我们就求解出来了，记得点赞关注哦！

错位相减它的形式是啥呀？是等差乘以等比这种形式。如果一个通项，它是一个等差乘以等比这种形式的话，我们选用求和公式的方法就是错位相减。怎么错位相减啊？先把 s n， 因为这个题要考大题啊，他要写过程，你要写前三项， 后两项，先把它写出来，然后呢？等式两边同时乘以它的公比，它公比是几啊？ p 的 n 次方吗？是不是公比是二对不对？它等差乘以等比吗？求后面那个等比，求它的等两边同时乘以它的公比是不是二倍？ s n 现在是第一项，跑到这边来了，就相当于是二的平方，二的三次方，一到二的二次方，把它对齐，把整个一项我们错开一位就错位，错位嘛， 变成这个了吧，这个有没有问题？用这个来投分啊，喜欢哪一步啊？你只要写到这一步，你就可以截止了，你就不要再往下算了，你看这几步算的时候都要计算呀， 你用这个方式去给最后答案，往最后写就行了，因为这个绝对。如果这里面出现一个二的 n 加一设方了怎么办？记住，把这个二给我放进去， 它的标准形式是二的 n 次方，就是 p 的 n 次方啊。如果出现 n 加 a 次方呢？你把这个 p 放到这里边，那么 a 小 a， 它就发生变化了，小 a 就是 a 乘以个 p 了，这个能理解吗？举个例子啊，比如说这个 a n， 它等于三 n 减一，乘以二的 n 加一次方，它不是刚才我们讲的那个标准形式，它怎么样？你把这个二放进去，是不是六？ n 减二，是不是乘以二的 n 次方，这里边的 a 就是 六了， 它大 a 的 发生变化了，如果它不是这种标准形式，一定要给我化成这种标准形式，就是 p 的 n 次方那种形式， a n 是 a， n 加 b 乘以 p 的 n 值方，这种形式应该记住吧？记住，记住， a p p 减一不是 a p p 吗？大 a 求出来， 然后再用 a 一 等于 s 一 这个等量关系式去求大 b， 错了吗？在反第二个里啊， s 一。 你要知道前 n 项和它的形式跟这个 很相同啊，很类似呀。是不是 a n 加 b 乘以 p 的 长，就会减个 b 呗？把这个小 a 变大 a， 小 b 变大 b 就是 减个 b， 就 它的求和大小，大 a 是 a， p 比上 p 减一是不对？ a 比一等于 a 一 等于四，所以 a 是 不是等于四？那么 在这个式而言，当 n 等于一的时候，是不是等于二乘以二，所以 a 是 不是等于四？那么在这个里面，我大 a 是 不是已经是六了？ 实际上这个里边是不是应该是六啊？然后呢？把这个数字里边的 n 等于一往里带，是不是 s 一 等于六，加 b 乘以二减 b， 是 不是它 a 一 等不等于 s 一， 它俩相等了，我出现这个数字了吗？ 把大题解出来， ok， 这个一定要记住啊，大题的时候我跟你说，通过这二节的你可以验证你最后结果正不正确，如果你过程写再对，如果答案错了， 估计扣你分也不少，他会回头检查你的步骤，如果你步骤出错了，但是你答案是正确的，他就不会看你过程， 他但凡看你答案正确了，这个过程应该是没有问题的。你想一下，你改卷的时候是不是应该这样？ 到最后看一下。哦？过程应该是没有问题，这过程这个整个思路都没有问题，答案正确，谁正确都有。不知道他妈叫你，你妈叫的 app 吗？这不是 app 吗？哦，这样子啊。