数学公式合格考

先挑战一下，做到做到，二五年一份云南的一个合格考数学，看一下花多少时间啊。 开始再给个 g m g n 那 么问交集零一零一减 c a， b 加 b c， a， c 都是实数啊， a 大 a b 是 吧？那么只要相加减加减最快了，加加加同一个，那么符号是不变的。 公二负数公二负数，只要改改变它，改成一个虚部的位置，正的改成负的就得了，负的改成正的。这个一个公负数的用法要选定答案 内角 a b a b 正弦二跟三分之一等于三 x 二 x 等于二， x 等于一， x 等于二分之一选 c 垂直的话，它乘一乘四，再加上二 x 等于零，那么 x 又等于负二选 a 最小自周期二 pi 取 omega， omega 呢？是 x 前面系数，我们是二嘛。 二派除以二等于派相量相相相量 ab， 那 么相量 ab 的 话，就它减它，它减它。哦，它减它，标错了，就是二减一， 二减一和三减二，得到我们的一个一对一 b 正方底啊。 b c d d e e 面选 a 定义的话，根号下定义二 s 减一大于等于零，那么 x 就 大于等于二分之一， 单的递增，这个嘛，底数小于一，那么就是个单的递减的，这个也小于一，也是个单的递减的 x 的 负一之方。老铁们，它图像是这样子的，有增有减嘛？这个呢，图像我们都都不不陌生嘛，零到这五熊地震了要地中边中边对应了谁？对应了我们的一个天井啊。 添加法，我们只知道它对应的是三 r 法，除以三 r 法是吧，但是还有一个它是对应的，还有一个 y 除以 x 的 关系啊。六除以二等于三选 b， 虚数相加减它减到二加三， a 减去一，这减二不是有个括号了吗？要拆括号减负 i， 这变正的 i 就 加个 i， 最后结果是四加，不对，这结果是二减一的话是一一加四 i a 答案，最大值底数大于一，那么值越大值越大，那么对六六的一次方就六，就这以十为底的，它等于 l g 二五一十等于 l g， 以十为底的十等于一。 选 d 求的个半径给了半径表面积，求的表面积多少是什么？是四拍二平方啊， 二平方是二半是五五二十二十五，二十五是一百一百块减 c 对 称轴 跟关于 y 轴对称。 f 负 x 等于负的 f x， 那 么 f 三等于负二的话，那么 f 负三等于负的，负的负三是负二，负的负二等于正二，正二就是我们的一个 d。 答案， 这个五分之四啊，一减去塞平方 c 塔根号 塞阿尔法口塞，阿尔法口塞，阿尔法塞也被打，那么塞口口塞嘛？塞的两角两合插孔是 一万，除以两百等于五十，他问什么？已经安装了，一共有五十个，三十个增加八十五八四十，再加两个零四千户 最小值不等式，不等式零二倍。根号加 a 乘以 a 分 之十六等于两倍的根号十六 等于什么？高二高二十六开出来等于四二十的八。 篮球比赛四个高一两个高二，两个一共四个球，相同年级啊，总共呢是 c 四二从四个里面抽两个，那么高一的有两个，两个再加上高二的相同概率啊， 就是六分之一加一得到我们的一个三分之一的概率，甲乙独立独立，那么甲九分之三，乙的概率三分之二都答对，那么把答对的概率相乘一下，就是七分之二。 比例范围 x 平方小于四，就是负二到二 三角形类型。求 cos a， cos a 等于吧，它等于 b 的 平方加 c 平方减 a 平方除以二 b c， 那 么这看是不是也相似，但是又不完全相似，那么可以一项项嘛， 把负二分之 b c 跟 a 平方换个位置，减去 a 平方等于二分之一 b c， 那 么同时除以二 b c， 这个再除以二 b c， 那 么等号左边是不是等于 a 呀？ 那么这个一约掉，约掉二分之一除以二，那么就二分之一乘二分之一等于我们的一个四分之一啊。 那么负一的话，单减负一，负一小于零，在这里负一一加一等于二， ok。

然后我们再来一起看这个三角函数部分，三角函数这个章节是重点章节，我们合格性考试这个章节出的题还是蛮多的，而且它的公式也多， 这个模块一定要注意起来，重视起来。那他所有的公式跟着基础知识一定要把所有的公式再过一遍，在合格性考试之前， 并且没事的时候就把这块的公式拿出来瞅瞅。因为这块的公式不光是在三角函数的题目里面会用到，有些时候咱们的这个解散绕行 减三角形部分也会用到。好，我们废话不多说，一起来看这部分的题目。首先呢，咱们来看这个第九题， 第九题你看他用的是什么？用的是哪个公式？哎，还是我们的这个基础公式对不对？哪个公哪？他涉及到哪些公式呢？可能啊，用到的是赛尔，阿尔法加倍塔。好，这个公式是谁呢？ 他等于三呀，二法乘扣三贝塔，加上一个扣三，二法乘以三贝塔，对不对？然后三因二法减贝塔是谁？他是三因二法乘扣三贝塔减去扣三，二法乘三贝塔， 然后扣三也有一套，对不对？扣三的那套是谁啊？这如果是阿尔法加贝塔，他就变成扣三阿尔法称扣三贝塔减，赛阿尔法称赛 贝塔，对不对？如果是扣三阿尔法减贝塔的话，那他就变成了扣三阿尔法乘扣三贝塔，加上三阿尔法乘三贝塔。 这是说我们设计到的这个基础公式。那你看这个第九题，他是扣三二十度乘扣三二十五度减去，你看了吗？这七十二十五。好，那我们能知道的是，二十五我可以不给他动了，对不对？ 你二十五，因为都一样可以不给动。那这个二十跟七十，一个是扣三二十，一个是扣三七十，那我们知道技术知识啊，如果两个角阿尔法加贝塔， 他是什么样的呢？他是护鱼的，护鱼也就是相加等于九十度二分之派的话，那么 他的赛尔法就等于扣三贝塔，而赛贝塔就等于扣三阿尔法，对不对？就相当于他们的正弦和雨弦 有一个这样的关系值，那这样的话我们变谁呢？其实在这里你看啊，如果我先变抠赛二十度的话，那就可以给他写成赛因，那就是谁啊？九十减二十了， 九十度减二十度，那实际上就是三七十度，对不对？所以这个题他就变成了三七十度乘扣三二十五度减去扣三七十度 乘以赛二十五度，那这样的话赛扣减扣赛，所以他就变成了赛运七十 度减去二十五度，对不对？他是谁啊？他是三四十五度，对不对？所以三十三四十五度特殊角的三角函数值是多少？二分之根号二，对不对？所以这道题我们选二 b 选项， 那这个题其实并不难，只多了一个这个基础知识，那这个基础知识知道了，这个题应该就会了，就没有问题了。然后再来， 再来我们十一题这个大题，一起来看一看啊。他告诉我们 fx 等于他， 那遇到这种题目，我们说首先得给他干嘛来？我们得给他提鞋，对不对？用辅助角公式给他去处理。辅助角公式说的是谁呢？老师还是写在这个左边啊。 辅助角公式说的是谁呢？他说的是如果一个函数 f x 等于 a 背的 sigh in amiga x 加上必备的扣三，欧米格 x 加上一个长数 c， 那它就等于根号下。我把 a 方加 b 方提到前面来，里面是谁呢？里边就是赛欧米格 x 加 fin 小尾巴， c 不能丢，那它 来这个发是怎么去确定的呢？我们有公式，烫着的发就等于 a 分之 b， 一定要注意， a 是三的系数， b 是扣三的系数，这是第一种方法，那第二种方法怎么去用辅助角公式给他画同角呢？同样的 fx 还是，比如 a 倍的赛欧米格 x 加上 b 倍的扣三，欧米格 x 加 c 加长数，那他提出一个根号下，同样的提出根号下 a 方加 b 方来，然后里边变成根号下 a 方加 b 方分之 a， 然后赛欧米格 x 加上 b 比上根号下 a 方加 b 方，然后这是扣赛欧米格 x 长数 c 不给他丢，那 把它变成这个样子也可以，但是你说老师这个东西看起来好复杂呀。不会的，你真正把题干中的 ab 带进去之后，你就会发现，这个和这个他一定是一定是特殊角的三角函数值， 特殊角的三角函数值无一例外，如果例外了，就是你算错了。 好，那你看，比如说这个题，比如说刚刚这个第十一题，老师都带你去处理一下啊。你看，比如说我们用第一个公式好， a 是谁？ a 是根号三对不对？ b 是谁？ b 是一，所以 fx， 我提出一个根号下 a 方加 b 方来，那就是根号三的平方 加上一的平方，然后里边变成赛呀欧米格欧米格，这，这里是二，都是二 x 对不对？二 x 加饭加上长数，长数是加 m 加一，对不对？这块是他的长数部分，那饭 是谁呢？我们有汤镇的 fai 就等于 a 分之 b， 所以他是根号三分之一，也就是三分之根号三，那汤镇的 fai 等于三分之根号三，特殊角三点函数值，那么 fai 就等于多少？ fai 等于六分之派， 所以进一步的这个函数，我们第十一题的这个函数 fx， 我就可以给他写成 根号下，你看这是几根号三的完全平方，加一的完全平方，他是根号四，根号四是二，对不对？所以就是三 括号，我们一个是二，二 x 加六分之帕，然后加 m 加一二，这是一种方法，他还可以用什么方法呢？刚刚咱们说了，你提完了之后，对吧？ 第二种方法，老师用紫色的笔给你写那 fx 就等于还是提出来这个根号四，老师就不给他表示成 a 方加 b 方了啊，就直接根号四，根号四是二啊，所以老师直接写成二，里边变成二分之，这个二就是根号下那个 根号三的完全平方，加上一的完全平方，这就是那个他啊，根号四就是二啊，老师在这就直接带上二，然后二分之 a 是谁？ a 是根号三，然后赛呀，二 x 照抄，再加上二分之 b 是谁？ b 是一，然后扣三，二 x 好画括号，把长数给他挂上，那这样的话，你看他是不是进一步二倍的，这是谁的特殊角三角函数值啊？ 这是赛 rx， 那你就凑啊，这边就是扣赛音多少等于二分之，根号三，赛音多少等于二分之一，那这样一凑这个问号，这个数值他肯定等于六分之派呀，所以他就直接 写成来，这就写成谁呢？这就写成扣赛因六分之派乘赛因二 x 加上赛因六分之派乘以扣三，二 x 加 m 加一。那这个是不是就刚刚老师 来这个是不是就刚刚老师讲的那个题啊？给他拼凑嘛，对不对？用刚刚咱们的这个合的公式，这这这合的公式或插的公式一拼凑，那你 就同样的也能给他拼出来。他是谁啊？他就 fx 就等于二倍的，这是赛呀，谁呀？二 x 加六分之派。所以无论你有哪个方法都可以做的，都可以。那在这呢，老师，把这个先擦掉啊，如果不明白回看再看一遍。然后我们把他的这个函数算出来了，那接下来 我们把函数算出来了。老师，擦，是为了留地位继续写这个题啊。那刚刚说了 fx 就等于二倍的赛因二， x 加六分之派加 m 加一，对吧？把这个擦掉啊。然后你看第一问，他说 写成 fx 一个周期，就是写出 fx 的一个周期，那这样的话，我们有周期公式， t 等于二，派比欧米格的绝对值。你在这里面，欧米格等于二，所以周期 t 就等于二派比二的绝对值就二，所以就是派，他周期就是派。 然后第二问，他说 fx 最小值是零，求常数 m 的值。那老师要问了， 如果 x 没有取值范围的情况下，我问赛印二 x 加六分之派，他的取值范围是多少？就不管你这个取值范围是多少， 他只要没有说一定的限制条件，就是没有说就任意取。那么只要是赛，他的最值就是负一到 一，对不对？负一是他最小值，一是他最大值，为什么？不懂的话还是回去看基础知识，那这样的话问最小值，所以我们这个部分充当的最小值是负一，那就是二乘以负一加 m 加一等于零， 那就是负二加 m 加一等于零， m 等于几？ m 等于一，对不对？这说的是十一题，十一题，然后再来看， 再来看谁呢？我们看这个十二题，十二题，同样的，你记住啊，所有的这种题问你单调区间也好，问你最好成周期也好，不管问什么，你一定要先把它 化解，变成什么呢？变成一个 fx 等于 a 倍的赛欧米格， x 加 fi， 再加一个长数这样的一个形式。那么在这里我们说 你这个赛有时候也可以写成扣三啊，是具体情况而定。那你看这个题，他是二倍的，他，那先降密呗，对不对？因为他不不是我们来，不是我们刚刚写的这个最简的形式啊， 所以我们给他先降密，因为马上能看到的就是降密。好，那这样的话我们一块给他处理，那就是 y 等于谁呢？也就是二倍的先不动，扣三的完全平方降密是等于二分之扣三啊，二 x， 那这个是，那这个公式老师稍微给你复习一下吧，因为不复习的话可能会乱，老师把这些先给你擦掉啊，先擦掉这个公式 来，我们说降密公式啊，首先首先赛印方是谁呢？是等于二分之一减扣三二二法，对不对？扣三方等于二分之一加扣三二二法，然后 这个加密公式对应着的二倍角公式，赛二阿尔法就等于二倍的赛阿尔法乘扣三阿尔法，然后扣三阿尔法，二阿尔法就等于三个，对不对？ 一个是二倍的扣三方减一，一个是一减二倍的扣三方， 一个是扣三方减三方。这个公式是最基础的公式啊，为啥我把这两个公式放在一起说，这两组公式一起说？因为你扣三二阿尔法，你看到了吗？实际上就是这个的， 可以相互转化的，你可以自己试一试，比如说这个，你把这个二提过去，对吧？扣三二阿尔法，这不就等于一减二倍的他吗？ 好，这样的话来，我们就对照着公式，你把这个数带进去，那他是谁呢？那，那他就等于二分之扣三。哎，老师给你照着这公式写吧，行不行？虽然他是加法，加 法可以左右任意互换，那老师也给你找公式去写，那他就等于一加上扣三二阿尔法。那在这里是不是二倍的里边是谁？是 x 减四分之派， x 减四分之半，充当的是我们刚刚那个阿尔法的位置， 对不对？对不对？这把他看成一个整体，那这样的话，二倍的他减一，然后再整理一下，二倍，二倍消掉， 然后一加上扣塞二， x 减二分之拍吧。二乘以四分之拍，二分之拍减一，所以变成扣塞二 x 减二分之拍。 好，那到这结束了吗？是不是还没结束啊？为什么？因为这是二分之拍，他太特殊了， 对不对？我们说是不是还可以用诱导公式啊？是不是还可以用诱导公式啊？诱导公式说的是什么？基变偶不变符号看相信。那好，那是不是我可以把负的二分之判 可以看成是二分之派的负一倍，所以基变我们要给他变哈说明，那这样的话就变成了赛因二 x， 对不对？然后看基变偶不变符号看上线。 好符号怎么去看呢？负二分之派在哪啊？这是零负二分之派，走一个九十度。好，这是负的二分之派，负的二分之派加二 x， 我们说二 x， 不管是具体是谁，我们都把它看成一个 锐角，对不对？加的话是怎么走？哎，加的话是这个逆时针走，减的话是顺时针走，所以加负二分之派加好第四相线，第四相线，即便我不变符号，看相线，符号出来了，第四相线看原函数名扣三的函数名 q 三在第四项线是一个什么样的？哎，是一个正的，所以他直接就是赛因二 x， 他就等于赛因二 x， ok 啊，这说的是他，那这样的话，也就是我这个函数进一步的我变成了 y， 等于 crx。 好，你看他的周期，周期 t 刚刚说了公式，二派比欧米格的绝对值在这里就是二派比二，所以是派，那这样的话，他消掉，他消掉，然后 si 二 x 是基函数还是偶函数呢？ say， 对不对？你不管后边这个是谁，他都是一个基函数，都是一个基函数，你不管 x 取值是多少，对吧？他只要是这个函数， 那么他就是接函数。或者如果你说老师这是二 x， 我不明白，那你也可以把它变成赛二 x， 变成刚刚咱们说二倍角公式啊，变成二倍的赛因 x 乘扣三 x， 那我们说赛 x 本身是一个积函数，扣三 x 是一个偶函数，那在这里积函数，一个积函数乘以一个偶函数，我们得到的结果是积函数， 对不对？所以还是选 a。 这个鸡，藕，老师稍微补充一下，鸡，我用钩表示，藕用圈来表示， 那么积函数乘或除以一个积函数得到，结果是偶函数，偶函数乘或除一个偶函数得到是偶函数，而积函数乘或除一个偶函数得到是积函数。这个要明确啊， 这个一定要明确。好，那这个说的是我们的这个十二题，嗯，然后再来 再来，我们往后老师看看还有哪些题需要说啊？像这种图像平移问题， 基础的咱们就不说了，因为咱们的这个题目里面，立体里面应该是有的，没有的话再提。然后我们看二十一题，他说已知函数的部分图像如图所示，为了得到这个函 函数图像，只需要把这个点怎么样？你先要明确这个函数是谁的图像啊？这个，这个图像是谁的函数啊？ 是 fx 等于谁呢？是赛呀 x 加 fine 的图像对不对？然后他说想得到谁呢？想得到赛呀 x， 那这样的话，我们是不是得把 fai 你先求出来，是谁，对吗？那 fai 怎么求啊？你看题干，我们有一个点，就是当 x 等于六分之派的时候，我 fx 是取得的是最大值， 对不对？他虽然没有给最大值是谁，但是就是最大值，那我们其实是知道的呀，对不对？不管三 ex 加费这个部分是谁，那 赛函数他的最大值就是一，所以我们把啊六分之派给他带进去，那就是 f， 六分之派就等于赛，六分之派加 fy 等于一。那咱们说了，对于三角函数赛函数而言， x 轴外轴，如果是 y 等于散验 x 的话，那你看在这一个周期里面，是当 x 等于二分之派的时候， 他取的是最大值吧？这个图像还是那句话啊，不明白，回去翻笔记，回去翻视频，技术视频看他的图像那个部分。 好，那这样的话我们就知道了，在这个题里面，六分之派加 fy， 也就是加上二分之派啊。不不不，亲们 糊涂了，就是六分之怕加法就等于二分之怕，对不对？老师不跟你扯别的啊，因为咱们合格性考试他很少涉及到说加周期的那种东西，如果严谨的说应该是二分之怕加二 k 怕 就是加上他周期，但是咱们合格性考试考不到那个难度，你就知道他是等于二分之派，取最高点这个位置就可以了。那这样的话，你 fy 是不是求出来等于三分之派， 对吧？那好，就相当于 fx， 我知道是谁了，他就等于 six 加三分之派。那好，加三分之派怎么没呢？ 我们说左加右减，你是不是得给他减去一个三分之拍，就变成萨亚 x 了？所以是减 点的话，左加右减，右向右平移三分之拍个单位。所以这道题选四 d 选项，向右平移三分之拍个单位。那这值得注意的一个点啊，你要知道，左右平移一定是只针对 x， 只针对 x。 如果这个题老师给你换一个问法， 老师给你换一个问法，什么意思呢？比如说我不告诉你这个函数。 哎，他的一系列东西了，我直接给你，给你谁呢？问你啊， y 等于 c， 二 x 加六分之排啊。别了，加三分之排。问你，他 经过什么样的图像平移能得到 y 等于 c， 二 x 就不加括号三二 x， 那在这你记住，左右平移一定是针对 x， 所以你要进行的操作是先把 三分之派干嘛给到 x 里，也就是你要先让他等于谁呢？搁到里面去塞二倍的，那搁到里面去加三分之派，那是不是就是变成加六分之派了？ x， 因为这加六分之拍，你开出来才是二 x 加上二乘以六分之拍，二乘以六分之拍才是这个三分之拍，对不对？好，那这样的话，他再变成他就是 x， 干嘛呀？左加右减，你不还 得 x 减去一个六分之派，所以是向右平移六分之派的单位，你不能，是，不能，是从这 就直接得到他减去一个三分之拍，像就相当于向左加右减嘛。向右平移三分之拍的单位不可以的，那样是不可以的，你必须要进行这样操作，因为左右平移一定是针对 x 的平移，你如果这儿直接 减去一个三分之拍，就向右平一个三分之拍，你实际上是二 x 去平移了，就不是针对 x 去平移了，这样操作叫针对 x 去平移。 好，这个题说明白了啊。然后三角函数部分我们就先到这， 还是再次强调三角函数这个部分特别的重要，因为他出题在咱们合格性考试中还是蛮多的，技术知识，公式、特殊角、三角函数值等等都要非常非常的熟练。 ok。

同学们好，我是紫萱老师，今天跟大家分享一个非常重要的数学公式，学会这个公式，中考或许可以多拿四分哦！这个公式叫做距离公式，近七年的中考数学当中，最后一道题第二问几乎都在考。这个公式经常会涉及到一些点的或者线段的长度计算， 我们通过各种手段算出来具体点的坐标，套用以上的距离公式，再进行一些简单的计算，就能求出来结果了。当然，知道这个公式以外，还需要一定的练习，如果大家需要相应练习题的话，可以关注我们的直播间，来直播间获取相应的学习资料。

我们再讲一下这个充分必要条件啊，我觉得这地方有同学可能还是不清楚，用 m n 表示，如果说由 m 能够推出 n 的 话，我们就说 m 是 n 的 充分条件， n 是 m 的 必要条件，那么如果由 n 能够推出 m， 我 们就说 n 是 m 的 充分条件， m 是 n 的 必要条件。那么这里会发现 由前面是不是推不出后面，但是由后面是不能推出前面，所以他就是他的一个必要不充分条件，选 b。 然后第六题，第六题说下面是个偶函数，偶函数的话，我们知道他是由，你可以从两个方面去看啊，你可以从两个方面去看，一个是从图像啊，一个是从图像。我把前面这些都擦了啊， 一个是从图像，一个是从它的解析式。图像的话就是关于 y 轴对称啊，它的解析式的话就是 f 负 x 等于 f x 这种对称的偶函数。顺便提一嘴奇函数，奇函数的话就是关于原点对称， 它的解析式就是 f 负 x 等于负的 f x， 那 么这里说是偶函数，并且在零到正无穷上是单调递增的， 那么这里的话，他考的是比较多的，你会发现他考了个指数函数，考了个对数函数，考了个二次函数，还考了个绝对值的一个函数，好吧，那么这个指数函数 他的解析式是二二的 x 方，所以他的图像是这样的，对吧？因为他这个地方是大于一的，那么这个对数函数他的底数也是等于二的，所以他的图像是这样的，你会发现他们两个都不关于外周对称，直接排除，然后 c 选项 一眼就瞄出来了，是吧？它的函数图像是这样的啊，满足偶函数，满足在零到整无穷上是单调递增的。所以这个题是选 c， d 选项稍微一看啊， d 选项的话是绝对值啊，如果说不加这个符号的话啊，正常的 f x 等于 x， 它就是这样的， 对吧？然后你加了这个绝对值之后，他是没有负的的，所以他是不是就变成 这样了啊？不加这个符号的话，不加这个符号，他绝对值是不是这样？但是你加了符号之后，哎，相当于全部绕着 x 的 轴给他翻下来了，所以他的函数图像，你加了绝对值之后，他其实是 这样啊，他就是这样的，他确实是偶函数，但是他在零到这部分上是单调递减的啊，所以这个是不对的啊。 然后下一个第七题，第七题内角 abc 的 对边分别是 abc 问我，他知道的，如求 b， 这个很简单哈， 什么正弦定理？正弦定理的话，就是 a 比上 c， a 等于 b 比上 c， b 等于 c 比上 c， c 等于个二二啊，当然这里用不着个二二，那么这里直接去套公式就可以了。这个 a 的 话就是二， 这个 c， a 的 话就是 c 四分之派。然后等于这个 b 的 话就是 c 三分之派， c 四分之派是多少？二分之根号， c 三分之派是多少，就是 二分之根号三。这里的话，还有一个问题，就是有的同学可能对于这种角度值、弧度值不是很清楚啊，角度值、弧度值不是很清楚，在这里还是稍微一讲啊，稍微扩展一下啊，就是你记住，派等于 派等于一百八十度啊，记死了，这个东西就开了啊。然后你比如说二分之派派是一百八，那一百八你去换的时候不就一百八除以二，他不就是九十吗？ 对吧？那我说你四十五度是多少派？你四百四十五度除以一百八，他不就四分之派啊？记清楚了，这几个就开了。然后再就是角度，角度这里的话就是 c q c 摊摊啊，这个是三十，这个是四十五，这个是六十，就是二分之一，二分之根号二，二分之根号三，下面是二分之根号三，二分之一，然后是三分之根号三，一根号三 上面的话就是一二三 q c 也是三二一啊，最后摊的话就是三分之根号三，乘个根号三得到一，再乘个根号三等于根号三啊。这个东西 不用去怎么这个斜修那个斜修的就这么简单的东西，直接去记一下就开了啊？这个我们带进去之后还有个计算啊，就是二除以他就等于 b 除以二分之根号三。 这里去计算的时候啊，如果你不熟悉啊，我们可以去交叉相乘，对吧？你交叉相乘去乘它就可以了。另外的话你就左右两边，你看这个二和这个二是不是可以约掉，他们都在分母的里面的，分母里面同时可以去约掉的啊，然后 你这个的话去乘过去就可以了，刚好他直接乘过去，不就根号二，根号三，再乘个二等于 b， 是 吗？然后这个时候你可以把根号二给它乘上去，但是这个二我可以写成根号二，乘根号二吧， 然后他和他是不是一约，所以 b 就 等于根号六，选 c 啊，选 c。 然后第八题，第八题一看这个样子符合函数啊，内层函数和外层函数，我们去做的时候就是先从内层函数开始， 先从内层函数开始 f 一 啊，找到一的时候 f x， 它的函数值是二，那么这个时候 g f 一 就变成多少了，就变成 g 二啊。 g 二二是多少带进去六，做完了选 c。 第九题，第九题的话谈谈二法等于根号二，然后他是在派到二分之三派问我 c 型 c， 它等于多少？ 呃，正常做题的话，肯定是 c 型方加 cos 方等于一了，但是你会发现它这个 c， 它的话它是在第三象限，第三象限的话，你的 c 是 正的还是负的？是负的，所以说 a c 直接排除啊。 嗯，如果实在不会的话，就蒙一个啊，正常的话咱肯定是要去做的哈。就是 c 方加 cosine 方是等于一的，同角三角函数关系，记不住的可以去看一下那个公式啊，我的视频里面也是有的。然后这个的话就是 c 比上 cosine 等于根号二，所以你的这个， 呃， c 就是 等于根号二倍的 cosine。 但是我这样写不是特别好，因为它最后求的是 c， 所以 这里的话我要用 cosine 等于在这里写啊， 这里的话我直接把它们两个换过来就可以了。 cosine 等于根号二分之 c， 带到这里面去就是根号二分之 c 国他的地方再加上 cosine。 哎，这写错了， 变，因为我们求的是 sin 啊，我肯定是要保留 sin 的， 所以就是根号二倍的 sin 方是等于一的，所以说 sin 方加上二分之 sin 方等于一，所以 二分之三倍的 c 平方等于，所以 c 平方就等于三分之二，然后开根号在这写啊，开根号就是负的根号，三分之根号二，他不就等于负的三分之根号六，所以这个题选 d 啊。嗯， 然后下一个第十题，第十题啊，第十题你要会的话，直接一眼看出来了，选 b 啊。为什么？ 因为我们知道给我的线段长是一样的时候，他的边数越多，他的面积是越大的，就是他围成圆形的面积是越大的。那么另外一个的话，你想一下十六的话，是吧？我举一个比较极端的例子啊， 他加他是八，我这个是七，这个这个不是七了，这个就是七点九九九九无限，然后你这个宽是很小很小的，对吧？零点零零零几，你发现它的面积是无限，毕竟于零的，对吧？但是我什么时候最大？当然是正方形的时候了， 连算都不算，直接就是选它就可以了。那么我们正常去做的时候，直接选它就完事了。正常做的话就是 a b 加 a， c 是 等于八的，我设 a c 是 x， 那 么它就等于八减 x， 那 它的面积就是八减 x 乘以 x 就 等于负 x 方加上八 x 啊，加上八 x， 那 么这个时候我们可以去 p 方，就是负的 x 方减上八 x， 再加上加多少，加十六减十六，就等于负的 x 减次过的平方再加上十六。 也就是说当 x 取四的时候，他能取到最大，最大就是十六。但是这个时候啊，还要注意一个范围的问题，当然这个题没有没有没有牵涉到范围，但是你平时做这种题你要注意啊。 然后下一个十一题，十一题空间中的位置关系告诉你， m n 是 一面直线，其中直线 m 平行于阿尔法。问我 n 和阿尔法所有可能的位置关系， m 平行于这个 r 法啊。问我这个 n 和他的关系啊？这这个，这个，这个就很多了，是吧？ n 在 里面的时候，对吧？你属鱼的时候，是吧？这个这个这个都有，是吧？然后 c 排除，对吧？ n 和它平行。 你这个 n， 是 啊，这个画不大好画了啊。就是 n 的 话，你想想这个这个 n 是 往外的，往外的，他和 m 是 不是在一面之线上？然后和 r 法 是不也是平行的，是不也可能平行，另外一个就一斜， n 是 这个样子，对吧？也可能是墙角。所以这个题是选 d 的 啊，这个题选 d， 然后下个十二题，十二题的话， 嗯，概率，概率问题啊。概率问题的话，它是首先六面，六面题，六面题也就是你扔一次的话，它是可能出现一到六的啊，扔，连续扔两次，其实这是又是一个 放回啊。事件出现两次减数之后是八发生的概率是多少？那么这个题他做题的方法是比较多的啊。你可以列树状图，你也可以列那个表，是吧？一二三四五六， 一二三四五六。你至于你去用用的着图写出一一一二或者全给它加起来吗？不用，好吧，你去算一下就可以了。二六，这是不一种情况。 三五，这是不一种情况。四四是不一种情况，三五是不一种情况。二六是不一种情况。一共几种？五种一共多少种？六六三十六，三十六分之五。选 b 啊，然后下一个题哈，下一个题 再找出说 x 是 零到派问不等式大于二分之一的解析式，草，直接画图啊，其实你要会的话也不用画图，直接就秒了。 这个是二分之派，这个是派啊，然后这个地方是一，他是大于二分之一，二分之一的话其实是六分之派，对应的这边是多少？六分之五派从图像上更好看，所以选 a， 熟悉的话直接选 a 就 可以了，图也不画啊。然后下个下面是真命题的是多少 啊？那么这里的话就是，呃，如果这个去去做的话，可能你首先你要知道这些，这些佛表示这个是全程量词，这个的话是存在量词好吧。 第一个他说对于所有的 x 的 值啊，都能够满足他吗？你 x 直到负一的时候能行不是吧？不行就不用算啊，你这个存在一个让他等于零 x 的 方等于负一啊，没有这样的实数是吧？负数倒是可以，然后下一个就是 对于所有的它肯定不是啊， x 等于一百的时候，对吧？然后这个说存在一个，这个是 x 三次方等于负一，那 x 等于负一的时候就可以。对，这个题是选择 d 的 啊。

二五年单招合考数学圆体已出，又是第一案，一天到晚上你们这个关系那个关系的，每年好像都是我第一个整到合考圆体的。看了一下二五年数学合考题目不算难，数学最后一个项链，一个函数题， 我已经让我们教务老师抓紧在做答案了。二六年想参加单招的，想领取二五年合考数学圆体的抓紧关注我。

合格考数学到底难不难？你只要搞清楚他的底层逻辑，就会发现，过关其实很简单。今天我给你彻底讲明白。数学合格考总分一百分，考试时间七十五分钟，他考什么？范围非常明确， 就是必修一和必修二的核心内容，重点集中在五个板块，函数、立体几何解析、几何统计概率加上三角向量，把这些部分抓住，主干就抓住了。那么分值是怎么分布的？整张试卷选择题占了绝对大头，一共二十八道题， 共八十四分，剩下的十六分是两道简答题。关键来了，题目的难度比例是按八一设置的， 这意味着什么？意味着百分之八十的题目是基础题，是只要你认真学了，就能一眼看出答案的送分题。具体来说，前二十道选择题都非常基础，目标就是让你稳稳拿到分。 后面八道选择题会稍微提升一点难度，但核心还是在考察基础知识的应用。最需要你重视的是那两道简答题，这两道题你必须做，而且一定要争取拿到分。如果直接放弃，你过关的风险就会大大增加。所以，应对它最有效、最直接的方法就是精准的、系统性的机械刷题。 通过刷题来快速回顾知识点，熟悉题型，找到做题的手感和节奏。在有限的备考时间里，这是一种极高效率的提分手段。方向清楚了，工具就直观重要。你需要一套能直击考点、覆盖全面，并且能帮你规划进度的资料。 它不能是教材的简单重复，而应该是一份为你量身定制的过关地图。这份地图需要包含清晰的复习计划，告诉你每天该做什么，重点在哪里。更需要有高质量的模拟试卷，让你能真实的检验自己的水平，提前适应考试的难度和氛围。 它需要包含高三的语数、英以及高二的物、化、生、史、政、地全部九个学科。其实呢，让孩子用这一套试卷就完全够用了。所以备考策略极其清晰， 你的核心目标不是攻克难题，而是确保那百分之八十的基础题一分不丢。仔细复习函数性质、几何、基本定律、概率计算和三角公式这些最核心的知识点，通过练习确保做题的熟练度和准确率。算一笔账，拿下百分之八十的基础分就是八十分， 再加上稍微争取一下中档题和简答题，过关绰绰有余。这场考试考验的不是你的数学天赋，而是你备考的细致和扎实程度。放下对难题的焦虑，把时间和精力全部聚焦在巩固基础上，结果一定会如你所愿。

各位同学大家好，今天我们主要来讲解的是二五年北京高中合格考数学第二次试卷。 在第一次试卷的基础上，我们已经总结了系统的公式和考察的题型。第二次试卷主要来过一下他的一些简单题。 ok， 我 们来看第一题，他问的是 a 交 b 等于多少，那么考察的形式是集合的运算，那对于交集，我们只需要找公共部分就可以。 a 交 b 等于零。逗一。 第二题是负数 z 所对应的点，我们要明白的是负数与负平面的点是一对应的，它对应点坐标为二逗一， x 轴对应实部， y 轴对应虚部，得到的是二，加上 i， ok。 第三题考察的是特殊角的三角函数值计算，散引三十度等于二分之一扣，散引三十度等于二分之根二来看第四题，考察的是向量的位置关系，此时是共线满足坐标 x 一， y 减去 x 二， y 一 等于零，往里面直接带，建立关于 m 的 方程，解方程即可。 第五题考察的点是分段函数，求最值问题，那这道题我们可以采用数形结合的方式画出二者对应的图像，找到图像中最低点就可以，最低点即为最小值。 再来看第六题，第六题考察的是存在量词命题的否定，那命题的否定我们是把结论给否定掉即可。但是对于存在量词命题，我们要把它的名称改变， 由存在变成任意，再加上非 p， 那 这道题我们选择的是 a， 原来的大于号变成小于，等于原来存在变成任意一个。 ok， 再来看第七题，他问的是贪婪的阿尔法等于负根三，这是由特殊角的三角函数值推出角度，那我们要知道的是，负根三这个值对应的是多少？对应的是三分之二派，在第二象限，钝角的正切值是一个负值。 再来看第八题，他问的是 f x 等于负二分之三的时候解的个数，那对于给定的图像，我们只需要做到数形结合就可以找到图像的焦点个数，此时为一个。 来看第九题，考察的点是对数的运算，那此时他考察的性质是什么？是帽子乱丢啊！四等于二的平方，把二挪到前面来二倍的 log 二，二等于的是二，选择的是四 d。 再来看第十题，考察的是一元二次不等式的解法，我们竖形结合就可以， 最后选择的是二 b。 第十一题考察的是不等式与简易逻辑用语的结合。那其实这道题呢，你可以构造成的是 y 等于 x 立方，这种形式在零到正无穷上面是单增的 a 大 于 b 的 立方，此时满足的是重要条件，选择 c。 ok。 再来看第十二题，第十二题考察点是两角和差的余弦公式。对两角和差余弦公式，那 cosine 阿尔法加贝特等于 cosine 减去塞塞，此时对于本题合并等于 cosine， 四十五度等于二分之根二 选择二 b。 再来看十三题，十三题考察的是我们的古典概型，但是答案解析给的是用排列组合去做， 其实后期所有概率题呢，用排列组合更能锻炼我们的思维，但是作为高二的学生，考合格考，此时没有学到技术原理的相关问题，我们用高一的知识点也是可以解决的。怎么解决呢？我们要知道古典概型，它的样本事件是数得过来的，那么有四个景点，我设为的是 abcd， 将 a 景点设为故宫。那我统计一下样本总数多少个，要求两两组合选择两个景点， ok， 那 分别有 a、 b、 a、 c、 a、 d 和 bc， 还有 b、 d、 c、 d， 总共是六个样本总数，他问的是任选两个，那么其中是包含故宫的， 对不对？那包含故宫的，也就是说我的样本总数中需要有 a 呗，那分别有 abac 和 ad。 最后子事件比上总事件是三比六，等于二分之一。这道题呢，我们选择是 c 项， ok， 考察的是古典概型。 再来看我们的第十四题，考察的是向量的数量积计算，点击等于的是摩羯乘以加角的余弦值，这加角余弦值就等于的是点击比上的是摩羯。收尾啊，直接带入解方程即可，非常简单。 再来看第十五题。第十五题呢，主要考察的是乘对数据的统计与分析啊。 来看第一题 a 项，他说的是十月八号到二十七号的空气质量等级为优的天数。其实这个 a 项我们数一下就可以啊，没什么要说的。第二个是极差，极差反映的是数据的一个离散程度，我们直接用最大值减最小值就可以。 第三个中位数，中位数呢，先排序，再统计下一样本总数为偶数，那么此时你取中间两个数据的一个平均值。第四个选项你看图就行了，它没有增长趋势啊，没有逐渐增长趋势，人家是波动的。嗯， 来第十六题，考察点是余弦定律。余弦定律呢，这里共有三种形式， a 方等于的是 b 方加 c 方减二 a， b 减去啊，我， sorry， 我 这里写错了，减去的是二 a， c 乘以的是 cosine b。 第三种呢，是 c 方等于 a 方加 b 方减去二 a， b 乘以的是 cosine c 啊，这里， ok， 没有任何问题， 这是第十六题。再看第十七题，十七题考察的是几何体的表面积与体积计算。那么对于这里四棱锥，你记住所有的锥体，你不管圆锥还棱锥，它的体积公式均是三分之一倍的底面积乘以高。 ok， 所有的柱体体积公式是底面积乘以高就行了， 这里面直接代数计算就行了，这没什么要说的。来看十八题，十八题呢，阶梯水价这个问题呢，特别像小学和初中阶段学的应用题啊。来看 a 项，他说， 嗯，某居民的年用水量为一百一十平方米，他问的是缴费多少钱。那我们先找一下这个用水量属于哪个梯度呢？零到一百八十毫米的这个梯度，那直接用一百一乘以五就等于五百五，很明显 a 项是不对的啊。 再来看 b 项，他说年用水量为一百九十平方米，他问的是缴费多少钱。那首先你要明白，一百九十他比我们的一百八要大吧，他是不是得把一百八那个位置先乘五呀，剩余的部分你再乘七呀？哎，这叫阶梯水价啊，得九百七。很明显， b 项也不对。 来看 c 项，他说自来水年缴费为七百元，问的是用水量在这个区间，那这怎么算呢？七百元。我们先来统计一下，当我在第一阶梯的时候，我用水量极限是一百八十平方米，他乘五得多少？等于九百，你在第一阶梯都没到一百八，哎，你用的这个钱 是九百，他比七百还大，那你说他这个用水量能在第二阶梯吗？根本就不可能啊， c 项也不对， 再来看第四项，这九百七咋这眼熟呢？这你不刚才算过一遍吗？是不是？哎，那你很明显你就知道的是你用水用超了，在第二节题呢啊，它属于的是一百八到二百六这个梯度范围内，所以说最后答案选择的是我们的四 d 啊。 来看第十九题，它定律，定律我们刚才说过了，偶次方跟被开方数大于等于零，是不是？哎，它定律就属于零到正无穷的左闭右开区间。收尾 来看二十题，二十题考察的是平均数，这个你直接算就行啊，没什么要说的，主要考察计算的方差，这个位置主要反映出数据的一个波动情况。嗯，直接往里代公式就行， 来个二十一题，二十一题的话直接过就行。二十二题二十二题的话。三角函数的相关问题，第一个是求周期，周期呢？ t 等于 omega 的 绝对值分之二， pi 往里带，最后得到的是 t 等于 pi。 第二问，他问的是 f x 的 最值 这里啊，在三角函数这里，二倍的 sine， 二倍的 cosine 二 x。 首先明确它定域是全体实数吧，那 cosine x 它属于负一到一的 b 区间，上面两边同时乘以二。之后最后答案是负二到二这个区间是它的值域。 最大值呢？取二，他问的是你取最大值的一个可能取值有多少？那我可以画图先明确的是何时取最大，最大值 x 又是多少？这里得零的时候取最大， 得二 pi 的 时候取最大，我会发现的是零二 pi， 实际上满足的是二 x 等于二 k pi 的 时候取得一个最大值吧。你把 x 解出来， x 等于 k pi 啊，就可以了。对于 k 负个值呢？让 k 等于零的时候，哎，是 x 一个值是没问题的。嗯， 再来看我们的第二十三题，二十三题考察的是立体几何的相关问题，无非就是平行垂直的相关证明吧。让我们来读一下题，他说在四棱锥中， 那四棱锥什么特点？底面是一个四边形，而且侧棱相交于一点吧，侧面是一个三角形，对不对？ ok， 没问题的。再来看第二个信息是，底面是 abcd， 是 正方形，正方形是什么？满足的边邻边垂直且相等，对，边平行且相等，对不对？ 四个边都是相等的，那角度呢？角度都是九十度， ok 吧，对角线什么特征？叫做平分？垂直且相等，对吧？ ok， 再来看第三个信息，叫做 pa 是 垂直于 abcd 这个 平面的那线面垂直，那线边垂直于面内所有的直线，对吧？ ok， 再来看 pa 等于 adpa 等于 ad， 哎，这个位置啊，结合刚才的信息，得到的是一个等腰直角三角形吧？ ok， 他 说 e 和 f 分 别为 dp 和 dc 的 中点，嗯，等于要直角三角形右中点，这个位置是三线合一，考虑垂直，那 ef 这个位置是什么呀？是中位线， ef 平行且等于二分之一倍的 pc。 收尾 再来看第一个，他说 ef 平行于 pbc， 很 明显啊，特别好挣。线面垂直是吧？那线垂直面内一条直线就行了，那 ef 平行于 bc， e f 平行于 p c 啊，那 e、 f 就 平行于 p b、 c 这个平面吧。我们来看一下证明过程啊，占这个位置，让我们选选项就非常简单了，我这个由于页面展不开，我就直接给你写出来了， 是终点，那这个位置用的是中位线，得到的结论是 ef 平行于 pc。 第二个是 ef， 它不属于面 pbc， 而 pc 属于面 pbc， 所以 说线面平行。来看第二个证明方式，它说 ae 垂直于面 pcd， ae 垂直于 pcd， 线面垂直。我们要证的是 ae 跟这个面内的两条不相交的两两条不共线的线是垂直关系就可以。 ok， pa 等于 ad 这个位置，它说是中点，所以说是三线合一， a、 e 垂直于 pd 这个线。第二个是底面，是个正方形，所以得到的什么 c、 d 垂直于 ad， 它这是要干什么？是要干 这样一个事，证明 c、 d 垂直于 p a、 d 这个面，此时 p a 是 垂直于底面的，所以说 p、 a 跟 c、 d 是 垂直的，那 c、 d 跟 a、 d 也垂直，我就可以证明的什么 c、 d 是 垂直于 p a、 d 这个面。得到的结论什么 a、 e 跟我的 c、 d 是 垂直关系，因为什么我的 a、 e 又垂直于的是 p d， 所以 说 a、 e 就 垂直于 p c、 d 这个面。收尾啊，这就是我们二十三题考察立体几何的证明方式。 再来看二十四题，二十四题考察的是函数的相关问题。第一个是奇偶奇函数特征什么？首先你要明白的是定域关于零零对称，这是第一步硬性要求，第二步是 f x 等于的是 负的 f x。 ok， 奇函数函数值是互为相反数的。 那我们来看第一题，它说证明是奇函数，那我只要证明的是 f x 等于的是负的 f x 就 可以吧。首先明确的是定义属于全体实数，但是此时的话， x 在 于分母的这个位置上面，我们是分母，不能为零的，如果不写这个位置要扣分啊。 ok， 证明方式， f 负 x 等于这个等于负的 f x。 首尾啊！记函数来看第二个，他说的是 x 大 于零的时候，问你的是 f x 最小值这个位置你一定要足够的敏感，这里就是双勾函数，双勾函数你用均值去求对值是最快的啊，非常简单。那我们怎么办呢？ 来先复习下双勾函数特征啊， y 等于 a， x 加上 x 分 之 b 这种形式，其中 a 和 b 均是大于零的，双勾是这种形式画法 大于零的时候，你就在使用均值，会很方便。均值的公式是 a 加 b 大 于等于二倍根号下 ab。 那 此时回归到本题中，四 x 加上 x 分 之一大于等于二倍根号下，二者相乘，最后结果是四。 而且这个位置啊，你虽然取得最小值是四，但是你需要使用均值时，一定要验证当前仅当等号乘余的条件是什么。四 x 等于 x 分 之一时， x 等于二分之一。收尾啊，这就是这道题的一个思路和解析方法。 ok！

高中数学里面为什么一百八十度就等于派呢？到底有什么用呢？在我们期末考试当中是怎么考他的？咱今天这节课一次性说明白好不好？好，首先他的第一个应用必考考点 就是扇形的面积与周长，要用到一百八等于派。 就是我们在初中也学了扇形的面积周长，但是那个公式用的是度数表示。咱高中既然学了弧度制，那么弧度制下扇形的周长和面积怎么去表示呢？先带大家简单推一下，比如说我们借助一个工具园， 在园园中我来一个扇形，这个扇形这个角度等于阿尔法，哎，我想知道这个扇形的面积是谁？ 能不能用这个阿尔法去给它表示出来，而且是弧度之下的，怎么去推导呢？在这里大家把握住两个字叫做笔直。 所以即使说我公式记不住，一定要理解底层的推导过程。啥意思呀？你看这个 s 战胜 整跟整个圆的比值， s 圆就大圆的比值吗？是不是就等于这个角度？而法跟，如果你是一十边的话，跟那一圈的一个角度的比值啊？那一圈的角度这里写谁呢？ 写三百六呢？还是写二派呢？我想得到的是弧度之下你这个 s 的 公式，所以写二派 写三百六也行啊，只不过我想得到的是弧度之下的，那就拿二派去做比例了。你这里对应的就是弧度值吗？能理解不能理解，那这个 s 元是谁呢？ s 元不就是派儿平方吗？ 派和派给他干没了。所以呢，我得到 s 等于来注意儿方乘过来二分之一儿法儿方。 你看这个面积公式比你初中见到的简单多了吧，知道这个而法是什么？就是实数弧度之下，对的那个实数不是角度。啊，明白了啊，明白。我们上节课又学了一个公式，说这个弧长叫 l， l 等于什么呢？等于而法，而 你看这个扇形的弧长和面积全部被实数制下，这个角度给它表示出来了，是吧？这两个公式很重要，我们可以把这两个公式给大家再去往前推一步，连理一下，你看 s 还可以等于谁呢？二分之一不变 r 法 r 是 不是 l？ 对， 这里是不是有 r 法 r 来对，给它换成 l 是 不是还多了一个 r， 是不是就把 s 推出来了？而这个公式特别好记忆，你看我教一下你记忆方式，比如说 这个扇形，它的面积等于二分之一，把 l 看成底，把它看成一个三角形，有点像三角形，是吧？当这个扇形足够小的时候，它是不就类似于三角形了？ 二分之一底，这是不是类似于高，而这是高，二分之一底乘以高，是瞬间就记住他的公式了。是的，好，这是他的公式的推导。那么接下来我们要讲跟他有关的考题， 有两种需要大家掌握，第一种就是周长面积综合在一块考，你计算，第二种考大家最值。所以这两个我们通过例题来讲解一下好不好？好，来看第一道题目，就是我们在期末考试当中特别爱出现的形式， 他会告诉你，哎，扇形的面积知道了，然后告诉我，圆心角大小为一百二十度，一百二十度化成实数是多少多少派， 六十度是三分之派，两个六十度，三分之二派，对了，他就等于三分之二派，这在你脑海里面要瞬间互化来好不好？好，他让我求弧长，就是这一段的长度吗？弧长 l， 首先先摆弧长公式。弧长公式 l 等于什么？等于耳法乘以 r， 这里的耳法指的是对实数形式的乘以 r。 然后第二件事，我是不得求 r 呀，面积 r 是 几个变量？一个变量对，你得具备方程的思想，得一个方程，一个方程，从这来面积面积有两公式还记得不？记得我得找根。哎呀，能求 r 的 那个公式，这是 r， 用哪个公式？二分之一哪一个好记？有 r？ r 是 l 两个嘛？一个是二分之一 l r， 一个是二分之一 r 法 r 方都有 r。 看题题给的是角度，是不是角度了？所以用带角度的二分之一 r 法， r 方等于 二分之一，而法带哪个？这个还是这个三十二派，哎，带的是弧度之下三分之二派而方，它等于谁呢？题目说等于三分之四派， 是吧？知道，然后你看啊，二和二干没了，三和三是不干没了。对，派和派干没了。我姐说儿等于多少？二儿等于二，然后你把这个回带回去不就结束了吗？知道答案等于多少？等于三分之四，三分之应该是四派， 有问题吗？没有。好，这是我们的第一道题目。会了啊，会了常规做法，再来看第二道题目，第二道题目是跟我们有关的最值问题，这里面也牵扯到非常非常有用的二级结论，也经常考大家。我们通过这道题给大家讲明白好不好？你看题目说周长等于二十八， 周长是谁呢？ r r l 是 不应该是第一步，它等于二 r 加 l 等于二十八，没问题吧？没有。然后第二步，让我们求面积的最大值，问题你先得面积给它表示出来，对不对？ 那么面积有两个公式，我们用哪一个公式先得？选对公式很重要，用哪一个？第一个为什么用第一个？因为它没有角度，有角度选第二个没有角度，是不是用第一个，它叫做二分之一，多少相当于底乘以高。好，接下来怎么求面积的最值？ 求最值问题在高中一共有几大方向？思考一下，最值？整个高中只要是最值，问题永远是三大方向。第一个叫不等式， 我们前面学过不等式乘积结构啊，可以用不等式的，第二个叫函数， 第三个叫几何。就我画个图，我就可以求最值了。那这道题你觉得哪一个更好？函数不等式，大家可以尝试用一下，没有问题的。那如果我往函数方向走的话，要求必须要干嘛？ 你记住，函数里面永远是只能有几个变量，一个一个变量，那就是两个变量，所以我要 干掉一个吗？或者削圆啊，削哪个？削 l 简单吗？对，八几二十八减二 l 吗？你削 r 行不行？也可以啊，你想削谁都可以啊，它是不等于二分之一 l 是 谁呢？二十八减去二 r， 再乘一个 r 对 不对？然后我们整理一下，等于，这应该是十四十四 r， 应该是十四 r， 这再乘进来是一个负 r 平方一加 有问题没？没有。然后你可以通过配方去求最值，当然你可以小题的话，可以快速画一个图像吗？二次函数开口朝下，那么 r 等于负的 r， a 分 之 b， 他 应该是七， r 等于七的时候，求最大值，人家没问你此时 r 是 谁， r 是 七， 对吧？但是我要的是这个面积的最大值啊。来往进带吧，求最大值， r 等于七。直接往哪带？直接是不是往这一带？或者说往这一带？是的，负的多少？四十九，四十九，加上八十 九十八，所以他应该是四十九。完了，这就是最大值，这种题型他是一般的。我们在这里为什么刚才给大家说有二级结论呢？因为二级结论会这么考你，比如说他会告诉你，哎， 把它给大家升级一下。第三个，往往题目中会告诉你说，我有一个扇形，我的周长是固定的，等于 c， 这不周长是固定的吧？刚才这二十八先是一个 c， 然后说，当我 s 取得最大值的时候，人家问你对应的 r 法是多少？这个 c 可以 是任何数字，任何数字只要周长固定面积，取最大值的时候， r 法永远都是二， 永远都是二。为什么呢？推导的公式过程跟刚才一模一样，这是 r， 这是 l。 首先第一步周长是 c， 二 r 加 l 是 不等于 c。 知道第一步 c 就是 一个固定数字吗？对不对？你让我求面积的最大值，那么 s 应该等于二分之一 l， r 它是不等于二分之一 l 是 谁呢？ l 就 c 减去二， r 乘以 r， 跟刚才过程一模一样。来，我再给他整理一下，等于重进来。负 r 平方没问题吧？加上一个二分之 c 乘以 r， 对吧？对，让二次函数开口朝下，此时此刻取最大值的时候， r 等于多少呢？负的二 a 分 之 b 等于多少？干，每干每四分之 c， r 等于四分之 c。 来，我给你带一下，它等于四分之 c， 它等于四分之 c， l 等于多少？二分之 c。 你 跟我说对应的这个角度会不会算？会这个角度 r 法等于多少？ r 法等于 l 比上 r， l 是 二分之 c， 比上四分之 c， 不 就是二吗？固定 的是吧？那有人说，胡老师，你讲这个跟我这道题有什么用呢？有用啊，我来给你看一下这道题，咱们换一种思路怎么去做题？ 他让你周长是不是固定的？让你求面积的最大值？我们说周长只要是个固定的数字， c、 c、 k 是 任何数字，只要你面积取最大值，我就让你取最大值。你取最大值的时候，这个耳法一定等于二，二一定是二， 你就让尔法等于二，去求求出来的那个面积一定是最大值吧。我就让尔法等于二，乘以什么？已知条件，你告诉我周长，周长是不等于二？ r 加 l 等于二十八 是吧？知道。那当你尔法是二的时候，你能告诉我 l 是 多少吗？ l 等于尔法乘以二，它是不等于二二， l 是 不等于 r 法乘以二， r 法是二吗？他不都二 r 了吗？对， l 是 几个？ l， l 是 二 r， 那 二 r 加二 r 是 二十八。那你告诉胡老师，我能够得到什么？我能够得到四， r 等于二十八，所以我 r 等于七 是吧？我 r 等于七，来，这个 r 等于七，这个是多少？二七一十四。你让我求对应的面积， s 等于二分之一 l， r 是 不是底乘以高呀？二分之一乘以十四乘以七，你俩一约是七七七四十九。完了， 换了一种角度去推导，去求它面积的最大之问题。 反而就是啊，我都知道了，只要你周长固定，你如果面积取取取最大值，这里的尔法一定是取二的，我就让你等于二，我去求对的那个 s， 他 求出来一定是面积的最大值，能理解吗？ 对，对了，所以扇形的面积与周长这些是我们在考试当中大家必须得会的。当然除除此以外，还有一些变形的问题， 包括我们整个三角函数里面，这只是其中考点之一了啊，一共是有二十三大必会的核心考点是期末你必会的，你只要能把这二十三大题型拿下来，你的期末三角函数一定妥妥上一百三， 三角函数就不会有什么大的问题了。如果大家还不会，或者说你不知道这二十三大题型是什么，然后每一个我应该怎么从基础中的难去做，加强训练，胡老师全都给大家打磨出来了。 然后你可以跟我说一下二十三，我把对应的题目全都给大家配套好，拿起来跟我们的课程匹配，尽快去使用起来，好不好？好，来下课。

二六年江苏汉格考其实考什么风向很清晰了，数学二十二个必考点都是从往年专题中提取出来的，背诵可以直接套用文古斯文，重点已划出，不用傻乎乎选背，白送六分，你要不要？英语作文近两年考的书信类邀请信， 可以看这个高分作文模板，高级句型对卷，老师舍得给高分，英语阅读难度不大，这份英语合格考卷子难度不大，适合新手宝宝。以上电子版可打印取件码幺二三。

这么晚了还没有休息，二零二五年合格考数学建题已经出来了啊，如果说想练一下的话，咱们评论区扣一全网最清晰的，而且还给你配备了解析还有答案。江苏升学规划，关注王老师，带你成功升学！

二五年核考语数英原题已出，真没想到今年公布的会这么快，按照往年，最起码要拖到核考考前两三天才能公布出来。那随着试卷公布呢？老师在这边给大家同步三个超级无敌例考消息。第一， 语数外核考试卷已经找上年上岸的学长学姐确认过了，准确无误。那第二，随着试卷公布，二五年核考中语文试卷最具有争议的选择题第二题正确答案居然是 a， 根本不是当时网上所传的 c 或者 d， 语文名篇默写中的短歌行应该是明明如月何时可多？数学真的印证了一句从古至今的话， 选择题最后一题不会的就选 c。 那 第三，老师我已经让我们教务组老师把高清试卷电子档文件加答案解析已经全部整理好了。二六年参加单招的同学，如果需要二五年核考真题的你，抓紧关注私信我！

现在网络上呢，有些争论，就关于核心考试到底是六十分算合格，还是所谓有些博主傻乎其是说的那样，什么按照百分之九十八的合格率来判定合格还是不合格？ 来，我先给大家看一张图片啊，江苏省教育考核院官方文件关于江苏省普通高中学业水平合格性考试的实施办法 里边明确说明，卷面得分六十分及以上为合格，六十分以下为不合格。那文件都说的明明白白的，哪来的什么按照合格率来判断是否合格的呢？也不知道是哪位人才造出来的谣言啊。然后有些博主就在那鼓吹什么不用考到六十分五十几分也能合格， 不信你看这张图片，然后贴出一张什么各科都是四十多分的成绩单，然后又贴出一张都显示合格的截图。 哎，你们这些人呢，是真不清楚政策规定吗？还是在恶意编造，就为了那一点点的流量？关键是这番言论直接给那些平时合格考模拟都低于六十分的家长和考生带来了莫大的希望和安慰。 那你们就信他们去吧，这个时候不去全力以赴备考，最终你就看看到底能不能合格。那另外 我上一条关于核心考试视频里说的语数英三科呢，只要参加高考，不管考多少分都算合格，那这条政策呢？很多家长也不清楚政策的出处来，正好借助这条视频引用 的官方文件来看图片，参加我省普通高考语文、数学、外语三门科目考试取得成绩的考生，可认定为相应科目的核心考试合格。 所以各位家长关于孩子升学政策方面的事呢？一定不要轻信网络，而是去找到官方的原始文件，以官方文件说明为准。

二六届单招生二五年数学合格考真题卷出来了，想要的取剑马十合格！这么多天，终于放出一条对我们单招生有利的好消息了，取剑马十合格，先到先得！

哥们，诱导公式知道是什么吗？诱惑什么？诱惑公式有多诱惑？ 鸡变藕不变，请我炸酱面。行同学再来一年吧。啊，好嘞，讲一下诱导公式，其实这一章呢，你理解之后啊，特别的简单，什么都不需要背，你看我给你出的这些题啊，都这么长，为什么呀？就为了折磨？呃，就为了让你们学会 懂了吧，特别简单是吧，听完这堂课啊，你应该说是都可以会了。来，首先第一句话啊，基变偶不变。 那什么意思呢？什么叫基变不变啊？这个基指的就是基数加上一个字，倍，这个偶呢，指的是什么？哎，对喽，偶数倍。 什么叫基数倍啊？一三五七九，偶数倍呢？二四六十是不是？那是谁的倍数啊？你要记住了，是九十度，或者说什么二分之派的倍数 的几倍。举例子，二百七十度是它的几倍，是三倍，这是不是就叫做基啊？ 那如果是派，是他的几倍，注意了，是两倍，这个不要错啊，初学者很容易错，这是偶，哎，老师，为什么？这不是一个派吗？但是说的是二分之派的几倍，这就是第一句话，即变偶不变，你就学完了， 看好啊，我要给你举例子了，就拿第一道题来举啊，这是不是有一个二分之派，这是几倍，这是一倍， 一倍积变。哎，老师，这个变是什么意思啊？就是把 sun 啊变成 cosin， 那 如果原来题里面写的是 cosin 呢，就变成什么 cosin， 这里边你看啊，因为是一倍积变，所以我要把 cosin 变成什么 cosin， 然后干嘛啊？然后直接把 alfa 抄下来 就完事了。哎，你说老师，二分之派呢？二分之派让我用几遍，五遍给弄没了。那你再来啊，看着，我再给你写一个都擦掉啊。 sun 二分之派，剪了发，哎，你说老师毁了，这有个符号啊，没关系，还是第一句话，即便 cosin， 然后呢？ g 变， o 变，直接抄啊， cos 阿尔法。注意了，此时这个正符号对于我来说， 干嘛我根本就不看，就是我眼里啊，根本就没有符号，就我就直接抄下来，再来啊，三负二分之派加阿尔法，你说老师毁了，这是负的， 没关系啊，是不是正符号在我眼里根本就没有，是不是一倍啊？积变 直接抄，哎，老师再来一个负二分之派，减 alph 干嘛 cos 啊？ alph？ 为什么积变， cos 变成 cos， 然后呢？符号根本不看，直接抄下来， 这就叫第一句话，既变偶不变符，呃，就没了啊。但是这个问题出在哪了？你看这四个式子是不是一不一样啊？但是为什么结果一样呢？因为咱们还没有写完，就要说到下一句话了，叫做什么？符号看象限， 符号看象限，这句话是什么意思呢？首先啊，咱们先画一个象限， 第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，然后写什么呢？ s， c， t， st， c， 这是我惯用的一个写法啊，这个 sin， cos and tan 呢，就是代表这些字母。什么叫 s， c， t 啊？就是第一项线啊，第一项线，这个 sin， cos and tan 呢，都是正的。 第二项线呢，只有什么是正的？ sin 是 正的，第三项线呢，只有 tan 呢，是正的。第四项线呢，只有 cos 是 正的。这个东西啊，其实是根据这个 就是三角函数的图像总结出来的，你看看，这是 sin 的 图像，你看零到派是不都是正的呀？ 就这么着来的，你呢？我呢？这，这是什么？小孩们还跟我说过什么全是天才。这个也可以啊，也挺好，就是你爱怎么记怎么记，反正我比较喜欢的就是 s c t s t c， 就 用这个字母就都来了， 全是天才是什么意思啊？第一项现在是全就都有，然后是天才，这么着就来了，是天才。那你看着啊， 哎，老师，这句话什么意思？就是符号看相线啊，你说这个我已经懂了，什么叫符号看相线啊？看好了，无论这个阿尔法啊，就是当你在用这个公式的时候，这个阿尔法无论是多少度的角啊，它就是一亿度负一万度，无论你爱多少度多少度啊，一律看作是锐角， 就是一律看作是锐角，只要我用这个公式就给他当做锐角。这时候你就想了啊，二分之派加上一个锐角，也就是说九十度加上一个锐角啊，是第几象限？你说老师，我好像就是说反应不过来了啊，你可以人为的啊，你就让这个阿尔法是多少度啊？一度 或者说十度都行，你不就好算了吗？你想想啊，九十度，假如说啊，九十度加上一个，这个，这个十度是不是一百度呀？ 那你想一百度是不是第二象限散第二象限是不是还是正的？就说啊，这个东西它是什么？它是正的，所以说我前面这个符号啊，也得是正的，所以散二分之派加阿尔法就是 cos 阿尔法，懂了吗？ 再来啊，再来，哎，你说老师，咱，咱看第二个啊，散二分之派减了法。首先我第一句话啊，咱们刚才用的第一句话叫做即变无穷，写出来了也是 cos 了法。那你看啊， 二分之派减了法，也就九十度，九十度减去一个什么。我说了啊， alfa 都是什么角？都是锐角，那我就让 alfa 多少度，十度行不行？你想想九十度减十度， 八十度第几项线？第一项线三是不是还是正的？所以前面还要加什么号？正号。所以啊，还是什么？ cos 阿尔法？看啊，这个是 cos 阿尔法，这个也是什么 cos 阿尔法。再来啊，咱们刚才又说了这个了， 微乱啊，只能说是微乱写在这啊，散负二分之派加 r 法等于什么？积变偶变考散 r 法，我直接抄了。然后呢， r 法多少度啊？十度，这是多少度？负九十度负九十度加十度是多少负八十度负八十度是递减相减 第四象限。第四象限只有谁是正的？ cosine 是 正的， cosine 是 正的，那我这 sine 就 应该是什么？就应该是负的。所以啊，注意了啊，原来这个函数是正的，你看啊，原来这个函数是正的，我就要在前面加什么号？正号， 但是加正好就跟没加一样，所以不管了。原来我这个函数是什么号是负的，我就要在前面加什么号？符号，所以你看啊，这个东西的最终结果变成了什么？负 call 三阿尔法，你能不能听懂现在？所以说啊，这个符号看象限看的是什么啊？这个符号看的是什么？是看的，原来这个函数就是原来这个式子正还是负，原来这个式子是正，就比如说这个啊，是正，它前面都是加正号， 如果原来这个式子是负，哎，老师，为什么负啊？因为 sin 负八十度，第一次相切，它是负的，所以我要在前面加什么号？负号。那你再来啊，咱们还有一个是什么？嗯，这呢，哎，不行了，乱的我都不行了，重写啊， 三二分之二减 alpha， 那 这个哦，负，这有个负啊，我给你出了四种情况。那你就想啊， 首先第一步，基变哦不变， cos alpha 直接抄下来的。然后呢， alpha 多少度啊？是十度，这个是多少度？负，九十度，负九十度减十度，是不是负？一百度负一百度，第几项线？第三项线， 第三项线，只有谁是正的？只有 t 是 正的。但是我这道题是不是这是 s 呀？所以说它是负的，所以说前面就要加一个什么号符号，听懂没有？ 这就是奇变偶不变符号看象限就学完了，剩下的就是说什么，就是解决这些题， 你说老师我好像没有看太懂啊，那咱们做题来啊，做题 第一题， sin alpha 加上二分之派。首先啊，二分之派是不是 g 啊？直接写 cos alpha， 然后呢， alpha 加上二分之派，第几项线？第二项线，第二项线。原来我这个东西是不是正的呀，所以前面啊，不需要进行任何的变化，加上什么 cos 二分之派，减 alpha， 二分之三派，这是不是积啊？因为是几倍三倍，所以积变偶不变，直接抄啊。 sum alpha， 但是没完呢，积变偶不变，符号看象限，二分之三派减 alpha， 二分之三派是不是在这啊？减一个 alpha 啊，就是减去一个锐角，应该是第几象限？第三象限。 老师，为什么你要转不过来弯啊？你就干嘛二分之三派，二百七十度减去 alpha， 减去一个锐角，也就是减去十度，是吧？二百六十度。那你就想着第几象限？第三象限，第三象限， cosine 是 不是应该是负的？所以我要在前面加一个什么号 符号能跟上吗？所以啊，分子就变成什么了，就变成 cosine 减 sine， 分 母呢？ sine 加 alphine， sine 加 alphine 是 什么？ pi 是 基变，偶不变，所以就是 sine alphine。 老师，为什么？ pi 是 不是偶数是两倍，所以偶不变？ sine 还在，还写成 sine alphine， 抄下来 符号看下线 pi 是 多少度？ pi 是 一百八十度，加上一个 alpha， 是 不是第三象限？第三象限只有 t 是 正的，所以这个东西是什么？是负的？所以我要在前面加上一个什么号符号，也就是它啊，这个东西变成什么？负的？向量 f。 再然后啊， cosine 负 alpha 等于什么？等于 cosine alpha？ 老师，为什么？因为 cosine 图像长这样，它是偶函数，偶函数是什么？ f x 等于 f， 负 x， 就 相当于直接把这个符号怎么拿掉， 所以 cosine 负 alpha 就是 cosine alpha。 那 你看啊，分子是 c 减 s， 分 母呢？也是什么？ c 减 s。 最后答案 一，就这么着。那第二题，散派减 alpha 即变偶，偶不变散 alpha 符号看下线，派减 alpha， 一 百八十度，减去一个锐角，第几项线？第二项线，所以这个散还是什么正的不用管。下一个 cosine 二派减法怎么办啊？记着啊，只要出现二派，直接删掉 cosine 出现二派 cosine 或者说 sin 呢？ 只要出现了二派就能直接删掉。老师，为什么？其实这是因为什么？ cosine 和 sin 这个图像呢，都是以二派为最小正周期， 所以呢？加减二派为最小正周期。所以呢， cosine 六派 就是 cosine 零。为什么加减二派都无所谓，我就加减几个二派，三个二派， cosine 七派就等于 cosine 派。为什么呀？因为我减去一个什么六派，加减二派都无所谓。所以啊，你看着这个 cosine 二派， cosine 二 pi 减 alpha 就 等于 cosine 负 alpha 就 还等于什么 cosine alpha。 因为咱们上道题说了啊，是偶函数，所以这个东西啊，就是 cosine alpha 啊，分子写成啊， cosine alpha 前面那个是什么？奇变？偶不变算 alpha， 再看后边啊， cosine 负 alpha 加上二分之三派来 是不是积呀？因为是三倍，所以啊，积变 sum alpha 就 直接抄啊，不用管正负号。然后二分之三派 减去 alpha， 也就是减去一个锐角二百七十度啊，减去一个锐角，你每次转换不过来，你就给它转换成角度二百七十度，减去一个锐角，是不是还是正的还是负的？是不是负的呀？ 所以啊，要在前面加个什么号？符号也就这啊， sine alpha， 把符号提前，再然后看分母，分母干嘛积变 sine alpha， 然后二分之派减 alpha 是 第几项线？第一项线，第一项线， cosine 是 不是正的？所以说前面不需要加任何符号， sine 负派减 alpha， 基变偶偶偶不变 sin alpha。 然后呢，符号看象限负派啊，在哪？负派是不是倒着走啊？这是负一百八十度，这是负一百八十度啊， 然后他说什么呢？再减去一个锐角，你比如说减十度，就是负多少度，负一百九十度，一负一百九十度，是不是跑这来了？第二象限，第二象限人家原来是不是就正大，所以不用管。所以这，这还是什么 sin alpha 刚刚刚刚直接消掉了。所以啊，这堆一化简是什么？负的 cosine alpha？ 人家问你什么呢？ f 三分之派就是 f 六十度啊， cosine 六十度是不是二分之一啊？最后答案负二分之一，就这么着， 能不能听懂？就每道题啊，都这样，你说你把这种就这一大串的题会了再考你什么三二分之三派加 r 法，那多简单呀。那这个呢？接着话讲啊， sin pi 加 alpha， 积变 o 不 变 sin alpha， 但是没完啊。 pi 加 alpha 是 第几象限？哎，我听见你说的了啊，你说第三象限，嗯，第三象限它是不是应该是负的啊？所以要在前面去干嘛？加个符号，然后 cosine 三 pi 加 alpha， 我直接写成什么？我直接写成 cosine pi 加了吧。哎，老师，为什么呀？因为我说了啊，能够加减什么？加减二 pi， 我 这么着写是不是相当于把这个角给它变小了就好算，懂了吗？ cosine pi 加了吧，来基变偶偶偶偶不变， 是不是 cosine alph 再然后没完呢啊？ cosine pi 加 alph 就是 既变偶不变 cosine alph， 但是没完。符号看象限 pi 加 alph 是 不是还是第三象限？第三象限它是什么？它是不是负的？所以我要在前面干嘛？加个符号？ 哦，这儿还是乘法，所以把这儿啊，把这儿删了就得了，也就是负三 alpha 乘以负的 cos alpha， 然后呢？ cos alpha 二分之派加 alpha， cos alpha 二分之派加 alpha， 写这儿啊，积变 cos alpha， cosine 二分之派加了法。符号看象限，二分之派加上一个锐角是不是第二象限？第二象限 cosine 是 什么？是负的，所以要在前面加一个什么号符号，也就是负的三 alpha， 这就是分子 符号，看象限啊，要看原来这个函数，就原来这个是正的还是负的，如果是负的，就要给你得出来的这个结果， 加个符号再来这啊，三二分之五派减 alpha， 我 直接写成三二分之派减 alpha， 为什么呀？因为我减去了一个什么二分之四派， 三二分之派减 alpha 来积变 cosine alpha 符号看象限，二分之派减去一个锐角是不是还是第一象限？第一象限它是不是还是正的？所以啊，就直接写 cosine alpha， 然后 散负派减 alpha 积变，偶偶偶偶不变是吧？散 alpha 直接抄，然后呢？负派减 alpha， 没事啊，忘了你就画图。负的一百八十度，我是不是得这么着走，哎，走着走着到这了，负一百八十度，他说减了法减去多少度，减十度，负多少度，负一百九十度，是不是跑这来了？然后怎么记得刚才说过呀， 也就是说第二项线它是不是正的啊，正的就不用管了，就直接把这个化简的结果直接往上抄 sin alpha， 那 你看啊，看着啊，这个哒哒复为正了对不对？然后 sin sin cosine， cosine 消掉了，所以最后答案啊，负的 sin alpha 有 没有学会啊？你看咱们这其实做了一百道题了，是不是继续 一定要学会啊？你学会了，你这种东西你说根本忘不了，你要没学会呢你，你这道题蒙对了，下道题你可能蒙不对了，再来啊，第四题，哎，你说老师我聪明了啊，我直接碰见二排，我直接给删掉行吗？没问题，你删掉之后是不是算负 r 的 话， 这时候就来了啊， sum 负 alpha 等于负的。 sum alpha 为什么？因为因为它是奇函数。咱们刚才说啊， cos 负 alpha 等于什么？等于 cos alpha， 因为它是因为，为什么这么着写？因为它是偶函数。那这个东西呢？它是什么？ 奇函数，你也可以怎么记啊？就奇函数，直接把这个符号干嘛？哎，提出来了简单不？奇函数就提符号，偶函数干嘛消符号。 嗯啊，继续给我讲，累了都。这个啊，这是什么？负的？ sine f。 然后呢？看啊，该来看这个了， 基变，偶偶偶，怎么着？偶不变，也就是它是变成什么 cosine alpha 先抄下来啊，还没完呢，基变不变符号，看象限派加 alpha。 第几象限，第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的，所以要在前面加个什么符号？ 我说的有点快啊，再来看这啊，哎。积变，所以是什么？ sum alpha 符号，看相线二分之派加 alpha 是 不是第二相线，第二相线 cosine 是 不是应该是负的？注意了啊，看，原来是正的还是负的啊。 cosine 是 负的，所以我要在前面加上什么号，哎，符号， 这个 二分之十一派减 alpha， 我 立马写成，什么 cosine 二分之三派减 alpha。 哎，老师，为什么呀？因为我刨出个什么二分之八派，然后你看这个啊，基，基基是吧？基变三 alpha， 二分之三派减 f。 二是第几象限？二百七十度减去一个锐角，二百七十度减十度，二百六十度二百六十度，第几象？第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的？因为第三象限只有 t 是 正的，所以我要在前面是干嘛加个符号。哎呦，怎么这么多呀， 然后呢？看分母啊，这这这个分子刚刚弄完 cosine 派减 alpha， 基变。哦哦哦，不变 cosine alpha， 但是没完啊。派减 alpha 是 不是第二项线？第二项线 cosine 是 不是负的，所以在前面加个什么号符号？ 然后这个三三三派减 alpha 怎么办？我直接写成三派减 alpha， 因为我去掉了个什么二派派减 alpha， 积变 o 不 变 没完呢啊？派减 alpha 是 第几项线？第二项线符号开箱线，咱们还得用呢啊，第二项线它是不是正的，所以不用管了，就还是这个结果，就还是这结果啊， 然后这个，哎呀，积变偶 不变 sine alpha 直接超。然后呢？符号看象限啊，负派是不是负一百八十度啊？负一百八十度，再减去一个锐角减十度。负负负负负多少度？负一百九十度，第几象限？第二象限，所以它还是什么 sine alpha？ 那这个呢？行啊，我已经看，我已经知道你说出来了。二分之派加 alpha 是 不是基 变 cosine alpha 符号看象限，二分之派加 alpha 是 不是第二象限？第二象限 cosine 本身就是什么正的，所以这儿不用改啊。 cosine alpha， 来吧，这都什么玩意啊，负负负负，是不是这个上面没符号了，然后干嘛？ 呃，这个这个，这上边记着啊，上边就没符号了。那我给你写写吧。嗯， s 乘以 c 乘以 s 乘以 s， 下边什么负？ c s s c 所以 啊，你看，咱就消了 c c 一 消， s s s s 一 消，所以最后答案啊，是负的贪占特阿尔法，因为 s 除以 c 不是 t 吗？懂了吗？是不是觉得老简单了现在。 然后这个第五题不中了啊，我也要不中了，这个三阿尔法减二零二五派，我立马啊，我立马写上三，阿尔法减，呃，派， 为什么呀？因为我把二零二四个派干嘛给去掉了？就是阿尔法减派， 能懂吗？就是加减三百六十度啊，加减三百六十度都能去，我就相当于加了一个二零二四 pi， 然后这个呢？ cosine 写成什么？二分之 pi 减 alpha。 为什么呀？因为我去掉了一个什么二分之八 pi 分母写成什么？ cosine 负 alpha。 为什么呢？因为我把二零二四派直接干嘛去掉了。 tanthan， 我 写成什么？写成 tanthan alpha， 哎，老师，这是为什么呀？很简单啊，还是根据周期来决定呢。我刚才说为什么这个加减三百六十度可以呢？因为 sine cosine 的 周期是三百六， 摊着的呢，它是加减派就可以，因为它的周期就是派。注意了啊，摊着的是加减派就可以了，所以我直接就消掉了。那你看啊，咱接着化简。 阿勒法减派即变。哦哦哦，不变算阿勒法，抄下来符号看一下下。阿勒法减派。阿勒法多少度啊？你就当做是锐角是吧。十度十度减一百八十度，是不是负的？ 一百七十度啊，第几象限？第三象限，所以是负的啊，所以在前面加一个什么符号？那 cosine 二分之派减的法呢？积便是吧。 cosine 二分之派减的法，第几象限？还是第一象限，所以不用改啊，分子看着啊，分子就变成什么 负的三乘以三分母呢？ cosine 负 alph， 哎，你说对了，是不就是 cosine alph， 所以 就 cosine 啊，然后呢？再来这个还是 t t 就 写在这儿， 怎么做怎么接着化简呀。啊，这就简单了啊，看着啊，我直接从这分开。这不就出答案了吗？看着啊， s 除以 c 前面加个符号乘以什么呀？ t 分 之 s， s 除以 c。 不是 t 吗？负 t 乘以 t 分 之 s 就 等于负的 三就得了。这就是即变哦。不变啊，符号看象限诱导公式所有的考点了。就是你把这题都学会啊。你这回头看你那卷子上那个单个的那题你卷子上怎么出你单你卷子上也就出个这个。那你是不是都会了？都给我讲冒烟了。