直角三角函数初三思维导图

这是一个三十度角，咱以它为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边， 这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的邻边。根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长就是二。 如果我告诉你对边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。 这说明对边与斜边的比值其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。与之类似的还有对边与林边的比，以及林边与斜边的比，它们都与三角形大小无关。 你像三十度角的邻边比上三十度角的斜边，就等于根号三比二，而三十度角的对边比上三十度角的邻边就等于一比根号三。 这一系列比值都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以，数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字，把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦记作 sin 三十度。把邻边与斜边的比叫做三十度角的余弦，记作 cosine 三十度。 把对边与邻边的比叫做三十度角的正切记作 tangent 三十度。根据刚才的结论， sine 三十度就等于二分之一， cosine 三十度就等于二分之根号三 tangent 三十度就等于根号三分之一，即三分之根号三。 三十度角的正弦、余弦和正切，你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？比如，咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形。显然，三边的比为一比一比根号二。 根据定义，正弦是对边比斜边，那他就等于一比根号二，化简后就是二分之根号二， 而余弦是邻边比斜边，这两边的比显然也等于一比根号二，化简后就是二分之根号二。至于正切，他是对边与邻边的比，结果就等于一比一得一。 其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样，借助直角三角形来计算它的三角函数。比如这个角 a 要求它的三角函数，你就以 a 为内角做一个直角三角形，把对边比斜边的比值记作散 a， 邻边比斜边的比值记作 cos a， 对边比邻边的比值记作 tenant a。 进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四五，那三 a 就是 三比五得五分之三， cosa 就是 四比五得五分之四， tenant a 就是 三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以它为内角做一个直角三角形，角 a 的 正弦散 a 就是 对边比斜边角 a 的 余弦， cos a 就是 邻边比斜边 角 a 的 正切 tan tan 的 a 就是 对边比邻边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！

同学你好，很高兴为你讲解这道题目。今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门 a 出发，去参观学校的金志南美术馆 m 如图， 小南选择路线一， a、 b、 c、 m。 小 开选择路线二， a、 d、 e、 m。 经勘测， a、 d、 e 三点共线，且点 d， 点 e 在 点 a 的 北偏东四十五度方向上，点 b 在 点 d 的 正西方向， 且在点 a 的 北偏西三十度方向。点 c 在 点 b 的 正北方向，且在点 e 的 正东方向。 所有点 a、 b、 c、 m、 d、 e 均在同一平面内，经测量，点 m 恰好为 c， e 中点 b、 d 等于三百米。第一小问， 求 a、 e 两地之间的距离，结果保留根号。那么我们通过阅读这道题目，可以结合辅助线来构建直角三角形和特殊的矩形。同时，我们根据矩形的性质以及直角三角形中的三角函数关系， 利用设未知数，从而找出题目中的等量关系，进而求出现段 a、 e， 也就是 a、 e 两地之间的距离。 解，第一小问，如图所示，我们做 a、 n 垂直 c， e 于点 n 交 b， d 于点 h。 那 么因为题目上给出了 c、 e 是 平行 b、 d 的， 所以我们做的 a、 n 也是垂直 b、 d 的， 那么也就得到了角 b、 h， n 是 等于角 c， n、 h 等于角 c 等于九十度的，这是应用了平行线与垂线的基本性质。 同时我们就可以得到四边形 b、 c、 n、 h， 它是一个矩形，那么根据矩形的对边是相等的一个性质，我们就可以得到 n、 h 应该等于 bc， 等于八十米。 接下来我们设 b、 h。 线段等于 x 米，那么因为题目上描述了 b、 d 的 总长度是一个三百米，所以线段 d h 就 等于 b d 减去 b h， 也就是三百减 x 米。 接下来我们就可以利用图形中的直角三角形中的三角函数来分别表示出相应的线段长度。 例如，在直角三角形 bha 当中，角 bah 是 等于三十度的，而贪听的三十度应该等于对边比邻边，也就是 bh 比上 a h， 所以我们可以得到 a h 是 等于 b h 比上贪停的三十度，而贪停三十度的三角函数值又是一个三分之。根号三，代入之后，我们就可以求得 a h 是 等于根号三倍的 x 米。 同时在直角三角形 d h a 当中，角 d a h 等于四十五度， 那么贪定的四十五度是等于对边比上邻边，等于 d h 比上 a h 的。 根据这样的一个关系呢，我们就可以写出 a h 等于 d h 比上贪定的四十五度，而贪定四十五度的三角函数值是一个一， 所以我们代入之后就可以得到 a h 是 等于三百减 x 的。 那么根据两个代数式都表示的是 a h 的 线段长度，所以我们可以得到这样的一个等量关系式，即根号三倍的 x 等于三百减 x。 通过解这个一元一次方程进行分母有理化，最终我们可以解得 x 的 值是一百五十倍的根号三，减去一百五，那么也就意味着 b h 的 线段长度就是一百五十倍的根号三，再减一百五十米。 同时我们根据刚刚已经求得的 a h 等于根号三倍的 x， 将 x 的 值给代入，就可以求得 a h 的 线段长度为四百五十减去一百五十倍的根号三米， 所以线段 a n 的 长度就应该等于线段 a h， 加上线段 n h， 也就是四百五十减去一百五十倍的根号三，再加上 n h 的 一个八十，最终我们求得线段 a n 的 长度是一个五百三十减去一百五十倍的根号三米。 接下来我们再来观察直角三角形 a n e。 在 直角三角形 a n e 当中，角一 a n 等于四十五度，而 cosine 的 四十五度等于邻边比，斜边也就等于 a n 比 a e。 那 么根据这样的一个比例关系，我们就可以得到 a e 是 等于 a n 比上 cosine 四十五度的三角函数值为二分之根号二。 所以代入之后，我们就可以求得 a e 的 线段长度是一个五百三十倍的根号二，减去一百五十倍的根号六米。这也是第一小问当中 a e 两地之间的距离。 接下来我们来看这道题的第二小问，已知小南的速度为每分钟五十米，小开的速度为每分钟六十米。小南和小开同时从宿舍大门 a 出发，沿着各自选择的路线匀速前往金之南美术馆 m， 通过计算时间说明他俩谁先到达点 m， 那么这道题目当中涉及到了一个路程等于时间乘以速度的计算关系式，所以我们可以根据提议，先分别计算出两个人的总路程，再结合路程等于速度乘以时间的计算关系式，求出两人的所需时间进行比较。 第二小问，在直角三角形 bha 当中，角 bah 是 等于三十度的，那么 sin 三十度就等于对边比，斜边等于 bh 比上 ab。 根据这样的一个关系式，同时结合性三十度的三角函数值为二分之一，我们就可以写出 ab 等于二倍的 b h， 同时把第一问当中求出的 b h 的 值给代入，从而得到 ab 的 线段长度为三百倍的根号三减去三百米。 根据第一问当中我们推出的四边形 bc n、 h 为矩形，而矩形的对边是相等的。这一性质，我们可以得到 c n 线段的长度是等于 b h 的 线段长度，所以 c n 是 等于一百五十倍的根号三减去一百五十米。 所以线段 c e 就 应该等于线段 c n 加上线段 n e， 线段 c n 是 一个一百五十倍的根号三减去一百五十米。 而线段 n e 呢，它是在直角三角形 a e n 当中的，且角 e a n 等于四十五度， 那么也就是说直角三角形 e a n 是 一个等腰直角三角形，所以 n e 的 线段长度就应该等于 a n 的 线段长度等于五百三十，减去一百五十倍的根号三米。所以我们在这里直接代入， 最终通过化简，就可以求得线段 c、 e 的 长度为三百八十米。又因为题目上说点 m 是 c e 的 中点，所以 cm 线段是等于 e m， 线段等于二分之一， c e 的 长也就等于一百九十米。 那么小南的路线就应该是 ab 线段的长加上 bc 线段的长，再加上 c m 线段的长。我们把三条线段的长度分别代入，最终化简，求得小南的总路程为三百倍的根号三减去三十米。 而小开他所运动的路线是线段 a e 的 长加上线段 e、 m 的 长度给代入进去，就可以求得 小开他的总路程为一个五百三十倍的根号二，减去一百五十倍的根号六，再加上一百九十米。 因为在题目当中已经给出了小南以及小开的运动速度，所以我们根据路程等于速度乘以时间的计算公式，可以推导出两个人 分别所用的时间。小南所需的时间为三百倍的根号三，减去三十米的一个总路程，除以他的速度五十米每分钟。 最终我们通过预算，它的时间是约等于九点八分钟的，而小开所需的时间应该是五百三十倍的根号二，减去一百五十倍的根号六，再加上一百九十米的一个总路程，除以它的速度六十米每分钟。最终我们通过预算它是约等于九点五分钟的， 那么因为九点五小于九点八，所以小开所用的时间会更短，那么就是意味着小开会先到达点 m。 这也是第二问的一个答案。 下面我们来对这道题目进行一个总结。本题考察了直角三角形中三角函数的关系以及矩形的性质，例如我们用到了矩形的对边是相等的这一性质， 同时我们通过做辅助线来构建直角三角形。同时我们利用三角函数当中的正弦、余弦以及正切的一个定义，利用含未知数的代数式以及常见的三角函数值，如三十度的三角函数值，四十五度的三角函数值， 通过含未知数的代数式表示出其他线段的长度，然后找出相关线段长度之间的等量关系。最终我们求解出两个人的总距离，再结合路程等于速度乘以时间的计算公式， 计算出两人所需的时间来进行比较，从而得到答案。以上就是本道题目的时间来进行比较，从而得到答案。以上就是本道题目的时间来进行比较，从而得到答案。以上哦！

同学们，我们学过一次函数，二次函数，那你们知道角也有函数吗？ 这节课我们就来学习下锐角三角函数。这是一个直角三角形，角 c 等于九十度。角 a 是一个锐角，这条边叫做角 a 的对边，这条边叫做角 a 的斜边，这条边叫做角 a 的邻边。 角 a 的对边与斜边的比，叫做角 a 的正弦，记作 c n a， 即 c n a 等于角 a 的对边比，角 a 的斜边， 角 a 的邻边与斜边的比叫做角 a 的余弦记作 crosena， 即 croseana， 等于角 a 的邻边比，角 a 的斜边。角 a 的对 边与邻边的比，叫做角 a 的正切记作 tangeta， 即 tangenta， 等于角 a 的对边比，角 a 的邻边、角 a 的正弦、余弦、正切都是角 a 的锐角三角函数。 如果角 a 的对边、林边和斜边的长度分别为 a、 b， c， 那么 sine a 等于 c， 分之 a。 cosine a 等于 c， 分之 b。 pandret a 等于 b， 分之 a。 这也有个直角三角形，这个三角形中，角 a 一的对边、零边和斜边的长度分别为 x、 y、 z。 塞引 a 一等于内分之 x。 口塞引 a 一等于内分之 y。 tendrit a 一等于 y， 分之 x。 如果角 a 和角 ae 的度数相等，那么这两个角的正弦与弦正切的值有什么关系呢？其实他们是相等的。 锐角三角函数的值是由角度大小决定的，与三角形的大小无关，所以这两个角的正弦与弦正切值分别对应相等。这里需要注意的是，正弦与弦正切是不能带单位的。比如， 角 a 的对边、鳞边和斜边的长度分别为三厘米、四厘米、五厘米，那么 sine a 等于五分之三厘米，口 sine a 等于五分之四厘米， candret a 等于四分之三厘米，这个说法对吗？大错特错！角 a 的 正弦余弦正切个子表示的是两条线段长度的比，是没有单位的，这里要去掉单位，即塞尼 a 等于五分之三，口塞尼 a 等于五分之四， hundred a 等于四分之三。 学习了锐角三角函数，赶紧来做道题吧！如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 c 等于九十度， a， b 等于五， b， c 等于三。求 sina 口 sina tendrita 的值。 因为角 c 等于九十度，所以三角形 abc 是直角三角形。又因为 ab 等于五， bc 等于三，所以 ac 等于根号下五的平方，减三的平方等于四。三条边都出来了，要求赛尼 a 口塞引 a pendreta 的值还不是轻而易举吗？ cinea 等于对边比斜边等于五分之三，口 cinea 等于零边比斜边等于五分之四， pandreta 等于对边比零边等于四分之三。搞定！ 最后我们一起来总结一下。一、对于任意一个在直角三角形中的锐角，其三角函数都可以这么表示， san 阿尔法等于对边比斜边口 san 阿尔法等于零边比斜边 condent alpha 等于对边比邻边。二、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切的值是由角的大小决定的， 与三角形的大小无关。三、在直角三角形中，锐角的正弦余弦正切表示的是两条线段长度的比，是没有单位的。不想看完整版视频，请咨询客服购买！

一个视频讲完初三数学九下三角函数的知识点，三角函数到底有哪些知识点和题型要考？这一个考点呢，主要是和几何综合勾股定力以及圆的综合题型衔接的， 一般呢，不会作为单独题型来考察。好。首先第一个知识点就是三角函数的定义，分为正弦、余弦、正切。当然呢，还有一个余切是高中的内容，正弦呢，即为 sin， 对 应的是直角三角形的对边和斜边的比值。余弦呢，即为 cosine， 对 应的是直角三角形的邻边和斜边的比值。 正弦呢，就会 tangent， 对 应的是直角三角形的对边和邻边的比值。其实呢，初中这个内容是有缺失的，少了一个图像，那我把图像放在这里给大家看一下。 第二个知识点呢，就是特殊值的三角函数，这个需要大家就记住，我也给大家放在这里了。 第三个知识点呢，就是三个三角函数的关系式，也就是所谓的公式，我们只要记住这四个公式就可以了，同时呢，还有三角形的面积公式。 第四个呢，就是特殊角的解析思路，比如给到一百二十度，你要想到构建九十度加三十度，给到一百零五度，你要想到四十五度加六十度。那么常考题型呢，就是坡度问题，方位问题以及仰角和俯角问题等等。好，那么以上这三角函数全部的字典和常考题型呢，记得点赞收藏一下。