数学六年级上册北师大版第3单元几何

亲爱的同学们，大家好，我是九江石化学校的易易老师，很高兴今天和同学们一起学习，你们准备好了吗？好，我们开始上课。 通过前面的学习，我们知道百分数的应用和生活有着十分密切的联系，在解决百分数实际问题时，我们可以通过画图直观的分析题中的等量关系。 今天我们继续来学习百分数在生活中的应用。 笑笑是个有心的孩子，他把家庭全年的支出做了记录，给出我们这些信息。我们来看， 笑笑家二零零零年食品支出总额占家庭总支出的百分之五十五，其他支出总额占家庭总支出的百分之四十五， 食品支出比其他支出多六百二十元。根据这些信息，你能提出什么数学问题？ 哦，有位同学啊，提出了这个问题，笑笑家的家庭总支出是多少元？要解决这个问题，你会如何思考呢？ 想好了吗？ 我们来听听这位同学的想法。我想笑笑家二零零零年的家庭总支出应该是食品支出加其他支出， 可是这道题没有告诉我们食品支出和其他支出是多少。 既然题中没有告诉我们食品支出和其他支出具体是多少元，那我们又该如何去解决这个问题呢？我们来看， 根据信息，食品支出和其他支出都和家庭总支出有关，而家庭总支出又是未知量，要解决这个问题，用方程试试。 我们先来找等量关系。这道题中的数据比较多，不妨画图试试，看你能找到哪些等量关系？ 好了吗？同学们，我们一起来看。先来看这个信息，笑笑家二零零零年食品支出总额占家庭总支出的百分之五十五， 其他支出总额占家庭总支出的百分之四十五。从这个信息中，我们可以知道，对家庭总支出是单位。一，我们可以画一条线段，表示家庭总支出。 家庭总支出包括食品支出和其他支出两部分。 这其中稍长一段表示食品支出占家庭总支出的百分之五十五，稍短一段表示其他支出占家庭总支出的百分之四十五。 仔细观察线段图，你能得到什么等量关系呢？对，我们可以得到食品支出加其他支出等于家庭总支出这个等量关系。哎，别急，我们接着往下看。 食品支出比其他支出多六百二十元。我们需要把这幅图进行完善。 这部分表示食品支出， 这部分表示其他支出。食品支出和其他支出合起来是家庭总支出， 这表示食品支出占家庭总支出的百分之五十五，这表示其他支出占家庭总支出的百分之四十五。 这两部分差表示食品支出比其他支出多六百二十元。 笑笑家的家庭总支出是多少元？好，我们来看 食品支出比其他支出多六百二十元。根据这个信息，我们又可以得出什么等量关系？ 说得太对了，食品支出减其他支出等于六百二十元。 好，同学们找到了这个等量关系，我们来看在这食品支出是多少，我们知道吗？不知道呀，那可以如何表示呢？ 对了，我们可以表示为家庭总支出乘百分之五十五，那其他支出是多少元我们知道吗？哦，也不知道，那又可以如何表示呢？ 对，我们可以表示为家庭总支出乘百分之四十五。 好，我们接着来看现在在这儿哪个量是未知量？ 没错，总支出是未知量，所以我们可以设笑笑家二零零零年的家庭总支出是 x 元。 那么这时食品支出和其他支出可以怎么表示呢？ 对，食品支出可以表示为百分之五十五 x 元，其他支出可以表示为百分之四十五 x 元。 好，同学们，现在你能根据这个等量关系列出方程并解答了吗？在下面试试看， 算好了吗？我们一起来看。根据食品支出减其他支出等于六百二十元，我们可以列出方程， 百分之五十五 x 减百分之四十五 x 等于六百二十。 我们来解方程，百分之十 x 等于六百二十 x 等于六千二百。 这个答案算对了吗？我们来检验一下，把 x 等于六千二百代入到方程中， 正好是食品支出比其他支出多六百二十元，算对了，你们算对了吗？好，最后啊，我们把答句写完整， 同学们要解决这个问题，还有其他的想法吗？想一想，算一算， 想好了吗？好，我们一起来听听这几位同学的想法。 我是这样想的，由，食品支出占家庭总支出的百分之五十五，其他支出占家庭总支出的百分之四十五。 食品支出比其他支出多，占加薪总支出的百分之十，也就是百分之五十五减百分之四十五的差，正好多了六百二十元。由此得出，百分之五十五减百分之四十五的差，乘总支出等于六百二十元， 根据等量关系列出方程，百分之五十五减百分之四十五的差，乘 x 等于六百二十，由此算出 x 等于六千二百。答，笑笑家的家庭总支出是六千二百元， 这就是刚刚那位同学的想法，他的想法你听明白了吗？好，我们来听听下一位同学又是怎样想的。 我的想法和朱伟同学的想法不谋而合，这里的六百二十对应的是笑笑家家庭总支出的百分之十， 也就是百分之五十五减百分之四十五的差。所以用六百二十除以百分之五十五减百分之四十五的差，得到的是单位一，也就是笑笑家的家庭总支出是六千二百元。 这位同学的想法你听明白了吗？其实啊，这几位同学的想法都非常好，今天呢，我们重点是学会用方程来解决此类问题。 好，同学们，数学来源于生活，也益于生活。知道了怎么去解决笑笑家家庭总支出的问题，下面我们一起来看看奶奶家的消费情况吧。 下表是笑笑的奶奶记录的家庭消费情况，同学们仔细观察，从这个表格中，你知道什么数学信息 想好了吗？我们来看，从这个表格中 分别记录了奶奶家二零零零年、二零零五年、二零一零年的食品支出总额占家庭总支出的百分比，以及其他支出总额占家庭总支出的百分比。 下面我们根据这些信息来解决以下问题。先来看第一个问题， 二零零五年其他支出比食品支出少三百四十元，这个家庭的总支出是多少元？ 在解决问题之前，我们啊先得找到相关数据。 好，根据相关数据和信息，你能找出这其中的等量关系吗？根据等量关系列出方程，在下面试试看。 同学们，做完了吗？我们一起来看一看。 根据其他支出比食品支出少三百四十元，我们可以得出等量关系，对， 食品支出减其他支出等于三百四十元。根据这个等量关系，我们可以列出方程， 百分之五十二 x 减百分之四十八， x 等于三百四十，算出 x 等于八千五百。检验一下 复合题，算对了，同学们，你们算对了吗？好，我们来看看第二个问题， 请大家先把题默读一遍， 读完了吗？我们一起来看。二零一零年，食品支出占家庭总支出的百分之五十，旅游支出占百分之十， 根据两项支出，一共是七千二百元，你能找到什么等量关系？同学们试试看。根据这个等量关系，你能列出方程并解答吗？好，在下面开始吧。 同学们，做完了吗？我们一起来看。根据两项支出，一共是七千二百元， 我们可以得到食品支出加旅游支出等于七千二百元这个等量关系。 根据这个等量关系可以列出方程，百分之五十 x 加百分之十 x 等于七千二百。最后算出这个家庭的家庭总支出是一万两千元， 我想你们肯定也做对了。好，接下来我们看下一个问题， 比较家庭支出情况的有关数据，你发现了什么？仔细观察想一想， 想好了吗？我们来看。 通过比较，我们发现，食品支出总额占家庭总支出的百分比在逐年减少，而其他支出总额占家庭总支出的百分比在逐年增加。 随着我们祖国的发展，我们的收入啊也在不断增加。随着家庭收入的增加，家庭中用于食品方面的支出百分比在逐渐减少， 反映这一规律的比值被称为恩格尔系数。下面我们从一段视频来了解一下什么是恩格尔系数。 数学可谓人类最伟大的发明之一，它可以让你知道今天买菜花了多少钱，让你了解五百光年之外一颗行星的运行轨迹， 甚至一个家庭的生活是否滋润，也可以用数字来衡量，这就是恩格尔系数。恩格尔系数指购买食物的支出在消费支出总额中所占的百分比。 十九世纪中叶，德国统计学家恩格尔通过调查工人家庭的消费状况发现，收入越少的家庭或个人购买食品的开支占收入或总支出的比例就越大，而随着收入的增加，这个比例则会下降。这一规律被称为恩格尔定律，恩格尔系数就是根据这一定律计算得出的。 众所周知，食物是人类生存的第一需求，只有当收入足够满足这一需求时，家庭或个人的消费才会转向教育、娱乐等其他方面。所以，恩格尔系数常被用来衡量一个国家或地区居民生活的质量和富裕程度。 在其他条件相同的情况下，恩格尔系数越低表示居民越富裕，越高则越贫穷。一般认为，恩格尔系数在百分之五十九以上为贫困，百分之五十到百分之五十九为温饱，百分之四十到百分之五十为小康，百分之三十到百分之四十为富裕， 低于百分之三十为最富裕。同学们，通过这段视频，我们了解了 n 个系数。好，接下来啊，我们回到练一练的第二题， 同学们，先读题，根据题中的数据，你能找到等量关系吗？根据等量关系列出方程并解答。好，开始吧！ 同学们，做完了吗？我们一起来看。根据名山图片比河流图片多三十张，我们可以找到等量关系。 对，名山图片的数量减，河流图片的数量等于三十张。根据这个等量关系，我们可以列出方程， 百分之六十 x 减百分之三十， x 等于三十，算出 x 等于一百。 答，一共收集了一百张图片，你是这样想的吗？哎，有些同学啊，找到了这个等量关系， 并根据这个等量关系列出了这样的方程，也是可以的。好同学们，咱们今天的课呀，就上到这了，期待你们下节课精彩的表现。同学们，再见！

大家好，这是一道六年级上册关于图形推导的问题，今天我来给大家解决一下。首先我们来读题， 你能利用下面的图证明 a 加 b 的 和，乘 c 加 d 的 和等于 a， c 加 a， d 加 bc 加 b、 d 这一公式吗？写出推导过程， 我们要想推导出 a、 c 加 a、 d 加 b， c 加 b、 d。 首先我们来观察这个图， 通过观察图我们可以发现它是一个长方形，里面被分成了四份。我们要想推导出这个公式，我们可以分别算出这四部分的面积，然后相加就可以算出这个公式。那么我们先来算一号长方形， 一号长方形的长对应着线段 a， 所以 它的长也就是 a， 它的宽对应着线段 c， 所以 它的宽就是 c。 那 么长方形的面积公式为长乘宽，所以 s 一 就等于 a、 c。 那 我们再来算第二个长方形，它的长对应着 d， 它的宽对应着 a， 那 么 s 二 就等于长乘宽，也就等于 a、 d。 我们再来算 s 三，它的长对应着线段 b， 它的宽对应着线段 c， 所以 s 三 就等于 bc。 我 们再来算第四个长方形，它的长对应着线段 d， 它的宽对应着线段 b， 所以 s 四 就等于 b、 d。 我 们已经算出了这四部分的面积，我们再将它们相加，就等于 a、 c 加 a， d 加 b， c 加 b， d 就 等于 a 加 b 的 和， 乘 c 加 d 的 和。 所以 a、 c 加 a、 d 加 b， c 加 b， d 就 等于 a 加 b 的 和，乘 c 加 d 的 和。

好，同学们，我们看到这样的题，如图，求阴影部分的面积。好，那我们来看到这在这个图形当中阴影部分，哎，这边一个，这边一个，所以我们还是给它利用这个平移或者拼接的这个 思想，把这个阴影部分的面积尽量给他放到一起去，我们能看到能不能看到能组成一个比较规则的图形。好，我们这里面，哎，这个是一个正好是一个四分之一的扇形，四分之一的圆，哎，那我能看到可以把它平移在这里面， 把它平移到这里面，我们就发现，那这个我们就把这个阴影部分的面积给它放到一起之后，我们发现它其实是一个梯形，对不对？所以那求阴影部分的面积，我们只要去求这个梯形的面积就可以了。那这个梯形的面积怎么求？上底 加下底乘以高。好，这里面的高正好是这个 扇形的半径，所以还是五，对吧？所以再乘以五乘以高除以二，那这里面应该等于三十七点五平平方米，这也是平方米啊。 好，我们来看这道题，其实非常的简单，因为这个扇形我们很很容易就能看出来，要把它平移到这里，把它 规则放到一个规则的图形里面，而且我们这个阴影部分的面积正好拼成了一个梯形，这样我们就能求出来这个规则的梯形的面积是多少。所以那我们来拿到这个意求阴影部分面积的时候，我们还是去 想拼接，想把这些阴影部分的面积给他放到一起去啊。好，同学们，这道题你学会了吗？

球员的周场圆环的面积、方中圆圆中方阴影部分的面积是六年级数学的重难点。但凡期末能够满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有远见的妈妈呢，早为孩子准备了这本几何三十六模型， 他把小学阶段必学的三十六个几何模型清晰归为九大类，像总难倒孩子的弓形模型、圆环模型、弯角模型、圆方模型、捆圆模型等，每个专项都包含详细的模型推导步骤、核心总结和经典母题解析， 学完做举一反三便是练习，稳固巩固知识，难度由浅入深。最大的亮点是配有动画视频演示，孩子一看就懂，不会的还能扫码看免费的讲解， 再搭配一本练习册，查缺补漏。考前把这些重难点内容都给吃透了，期末就稳了，下学期几何也衔接上了，明年的小升初也会更有底气安排起来吧！

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说图中长方形的长是六厘米，长是六米，我们写在这里啊，写一下，六厘米宽是五厘米宽呢？是五厘米。说求阴影部分面积，求阴影部分面积，那么阴影部分的面积怎么算呢？ 对不对？我们来看一下。首先我们看到啊，我们可以就是这样子，这个大扇形，你看， 哎，这是一个大扇形，对不对？减去空白就行了。空白是哪个空白呀？就是这里，哎，一号空白， 对不对？所以就是大扇形， 哎，减去空白一，就这里，就是能求求阴影部分的面积，那么我们来继续来写啊，大扇形的面积怎么算呢？你看 它的半径呢？是六厘米，对不对？所以大扇形面积很好算，就是三点一四乘以六的平方除以四，也就是圆除以四，对不对？ 减去空白呢？这个空白它是不规则图形，对不对？不规则图形就是，呃，不容易算出来，我们怎么算呢？我们可以是长方形，就是这个长方形的面积 减去小扇形，哪个小扇形呢？是这个 对不对？你看长方形减去小扇形，那么就是空白的这个一，那么长方形的面积怎么算？就是长乘宽嘛，对吧？有时六乘五，是不是 那么小扇形呢？小扇形也比较简单，它半径是五厘米，所以就是三点一四，对不对？乘以五的平方，哎，除以四，然后一减就是空白一，这所有的我们都得出来了，我们把这个算式整理一下，就是 三点一四，哎，乘以六的平方除以四，然后呢？减去空白一，空白一，怎么算出来？我们加个括号啊，六乘以五， 减去三点一四乘以五的平方除以四，对不对？算出来是十七点八八五平方厘米。

北师大版六上数学期末终极复习提纲，全部知透，稳进班级前三！北师大版六上数学期末总复习提纲，期末冲刺终极压轴三、十七、大考点一、圆中的倍数关系、比例关系、增减变化关系。 二、外圆内方和外方内圆。三、半圆的周长和面积四、圆周长的实际应用五、圆环面积的实际应用。六、最圆问题。 七、含圆的不规则或组合图形的周长。八、含圆不规则或组合图形的面积。九、分数百分数乘除法基础计算十、百分数四、折混合运算和剪变计算难度，五颗星 十一、分数百分数解方程。十二、工程问题，这个是重难点。十三、不变量问题，这个也是重难点，要求掌握二十六、单位一、转化问题难度，五颗星三十七、观察物体圆与扇形综合作图有完整版。

六、上数学最难的工程问题，就这七大考点练完稳上九十八加可打印六年级上册数学工程问题七大考点解析考点一，工程问题基础题型公式练习考点二，求合作效率公式考点三，已知工作总量单位是一，求合作时间公式练习 考点四，已知工作总量是几分之几，求合作时间考点五，先求工作效率，再求合作时间考点六，较复杂的求合作时间问题考点七，已知合作时间求单独单量完成时间。以上均有电子版。

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黑板上这道六年级的题，各位你们能用几种方法解答？今天王老师给大家讲两种方法。已知正方形 abcd 内阴影部分的面积是一百一十平方厘米，阴影部分 e、 f、 h、 g、 i 点， e、 f、 h、 g、 i 均为正方形边上的三等分点。求正方形 abcd 的 面积是多少平方厘米？第一种方法就是分割法， 也就说我们要把这个阴影部分大家看可以分割成多个三角形，那么为什么要分割呢？因为 e、 f、 h、 g 和 i 都是它们正方形边上的三等分点。那既然是三等分点，那我接下来我就要开始进行分割啊。那么有的同学说，老师分割应该怎么分割呢？我们我们可以这样分割啊，我们可以把它分割成这样的 一个个的小三角形，那么同学们，我们会把它分割成了多少个这样的面积相等的这样的一个小三角形呢？我们来数一数，一二 三四五六七八。那么同学们来观察这个大的， 这一个大的是不是刚好相当于是两个这样的小的，那这样的话，我分割成了多少个？来数一下啊？一二三四五六七八， 加这两个十个，对不对？把阴影部分分割成了十个这样的小三角形啊，分割成了十个小三角形， 那么同学们来观察，因为它是一个正方形，而且这几个点它都是三等分点，那么我可以把整个正方形分割成多少个这样的 小三角形？一行里边是不是就有一二三四五六六个？那总共是三行，所以整个正方形啊，可以把整个正方形 a、 b、 c、 d 啊分为 一行里边是二乘三十六个，这样是不是刚好有三行？那三行的话总共分割成是不是十八个这样的小三角形？那现在我已经把阴影部分分割成了十个，那十个的面积是多少呢？十个的面积是一百一十平方厘米， 那我这样一个的面积，一个小长方形的面积，我是不能求出来，一个就是十一平方厘米，那整个四边形 a、 b、 c、 d 正方形，它总共是不是有十八个？我用一个的面积乘十八，那不就是整个正方形 a、 b、 c、 d 的 面积吗？那求出来是多少？十一乘十八是一百九十八 平方厘米啊，利用分割法真的好简单的，各位呀，但是如果我们不用这种分割，怎样去做呢？因为是三等分点，我们还可以列方程，你比如说舍它为 x， 那 它是不是也是 x 啊？那这个都是 x 了啊，这个是 x 啊，这个是 x 啊，那这个就是二 x， 这个呢也是二 x， 这个呢也是二 x， 也是说我用整个大正方形的面积啊，大正方形的边长是不是就是二 x 加 x 啊？也就三 x 啊， 那大正方形的面积是不是大正方形的边长乘边长，也就是乘这个二 x 加 x 就是 三 x 了啊？减去这几个空白部分三角形的面积，是不是就是阴影部分面积来空白部分这几个三角形的面积，这个三角形面积是 二 x 乘二 x 啊，然后再乘二分之一减减这个，这个是二 x 乘 x， 再乘二分之一二 x 啊，乘 x 乘二分之一，再减去这两个小三角形，这两个小三角形面积是相等，那就是 x 乘 x 乘二分之一啊，因为这两个相等，我直接乘二就等于一百一十，我直接求出 x 的 平方 啊，求出 x 的 平方是二十二 x 的 平方我求出来了，因为这个求的是正方形的面积，那正方形的面积是 三 x 乘三 x， 也就是九 x 的 平方啊，那 x 的 平方等于二十二，那九 x 的 平方那就是九乘二十二啊，求出来是一百九十八平方厘米。 那对王老师所讲的这道题，我们用两种方法，你学会了吗？关注王老师，让数学变得更简单。

好，同学们，我们看一道这样的题，如图，在扇形中，正方形的面积是三十平方厘米，求阴影部分的面积，我们来标注一下啊，这是三十平方厘米， 我们来看一下啊。这里面这个正方形，首先它在一个四分之一的扇子四分之一的圆的里面， 它是一个疝气，但是它是四分之一的圆，对不对？好，那我们正常来求这个阴影部分面积的时候，首先这个我们没有办法平移了，但是我们发现它大的图形是一个规则的四分之一的圆， 它里面空白的图形也是一个比较规则的正方形，所以我们用这个大的图形减去四分之一的圆，减去一个正方形 的面积就可以了，就是求出来我们一部分的面积。但是我们这个外边的这个四分之一圆的面积怎么去求呢？首先这个正方形我们知道它等于三十平方里，那求外边这个就很重要，那我想求外面这个，那我们说一个圆的面积， 那我们能求它是 pi 二方，对吧？圆的面积是等于 pi 二的平方，那四分之一圆我就再乘以四分之一就好了，这里面只有谁不知道，只有这个 r 方不知道， 所以我们最关键的是去求这个 r 方，对不对？我们只要把这个或者是我们把半径，或者我们把 r 方求出来都是可以的，对吧？那这里面我们看我们怎么去求呢？ 啊？哎，有些同学我们来观察一下啊，哎，看这个图形我们非常非常的就想把这两个点给它连接起来，那正好我连接这条线，它就是这个 半径，对吧？这个就是半径，那好，那今天我们来学一个比较新的公式，那这个正方形，我们都知道正方形的面积， 正方形的面积我们都学过，它等于边长乘以边长，那正方形的面积还可以等等于什么呢？还可以等于对角线乘积的一半，也就是说， 哎，也就是说在这里面正好这个正方形它的面，它的这个对角线就是这个半径，那对角线的乘积就是二乘以二， 对吧？啊，所以那这个正方形的这个面积就可以写成二的平方，在它的一半，我可以写成乘以二分之一，或者是除以二都可以，我也就是说这个正方形的面积我可以用这个公式 来把它来代替，而且这个正方形的面积我知道它等于三十，那这里面我们就能把这个 r 方给求出来了，对吧？好，首先我们在这里面把过程写下。啊。首先我们这里面可以用解数， 你可以设这个扇形的半径 二厘米，对，我们把它设成二。好，那这里面我们列出来这样一个关系式，利用这个正方形的面积可以是对角线乘积的一半， 那对角线乘积就是 r 的 平方，那它的一半就是二分之一， r 的 平方正好等于它的面积，所以那这里面 r 的 平方我们就能求出来，等于六十，那 r 的 平方求出来，那这个圆的四分之一圆的面积，我们是不是就知道了？好，四分之一 圆的面积就等于三点一四， 三点一四乘以六十，对吧？再乘以这个四分之一，好，那这个 等于四十七点一平方厘米写在这了。啊，好，那我们四分之一圆求出来了，一个正方形的面积也求出来了，那就是四十七点一减去正方形的面积就等于十七点一 平方厘米。好，那这个题，哎，相对复杂一些啊，这个题我们首先我们连接这样一个对角线，我们能知道它是它的半径，那在这里面非常重要的就是我们要知道正方形的面积还可以用 对角线乘积的一半来求，那这样我们就能把这个二方求出来了，二方求出来之后，我们就能算出来整个这个扇形，也就是它是一个四分之一圆的面积，求出来之后我们把它 减掉这一个正方形的面积就可以了。所以那这这一个题让我们知道了这样一个公式，好，同学们，你们能把它记住吗？

球员的周场圆环的面积、方中圆圆、中方阴影部分的面积是六年级数学的重难点。但凡期末能够满分的孩子，都是在考前就把他们给吃透了。有远见的妈妈呢，早为孩子准备了这本几何三十六模型， 他把小学阶段必学的三十六个几何模型清晰归为了九大类，像总难倒孩子的弓形模型、弯角模型、圆环模型、圆方模型、捆圆模型等，每个专项都包含详细的模型推导步骤、核心总结和经典母题解析， 学完做举一反三便是练习，稳固巩固知识，难度由浅入深。最大的亮点是配有动画视频演示，孩子一看就懂，不会的还能扫码看，免费的讲解， 搭配一本练习册，查缺补漏。考前把这些重难点内容都给吃透了，期末就稳了，下学期几何也衔接上了，明年的小升初也会更有底气安排起来吧！

六、上数学最难的应用题，就考这八大题型，练完期末稳进班级前三、六年级上册数学期末八大高频应用题提优特训老师给同学们整理好了 这八大题型是期末的高频考点，可以考的很复杂，同学们需要在考试之前多练一练，做好查漏补缺，家长可以打印给孩子练习。