海南华师大版数学九上几何压轴
第三位，若 a、 e 等于三，求 b、 f 的 长，那么现在我们知道的是 a b 等于 b， f 等于 a c， 那 么角 e c、 f 等于角 e、 f c， 我 们可以延长 c、 f， 由此就出现了错位角，平面计算延长 c f 交 a、 b 于点 t， 那 么这样的话，角 a、 c、 f 等于角 b、 f t。 再结合着 a、 c 等于 b f 错位角线基本弦，那我们可以过点 a 向 t c 作垂，双垂或者是背上都可以 说这是 m， 这是 n， 那 么由此我们可以证得三角形 a、 c、 n 全等于三角形 b f m。 通过这组全等得到了 a、 n 等于的是 b m， 所以 我们可以证明三角形 a、 t、 n 全等于三角形 b t、 m， 由此得到了 b t 等于的是 a t， 那 么角 a、 t、 f 是 四十五度加二角， 也就是延长 c f 交 ab 点 t 点 t 应该是 ab 的 终点，点 t 是 ab 的 终点， 那么我们可以利用三角形 a、 b、 f 对 称性啊，延长 a、 n 交 b n 于点 w， 那 么这样的话，我们可以得到角 a、 w， f 等于是四十五加二， 那么角 t a、 w 是 四十五减二的，那么利用对称性，我们可以证明三角形 a、 b w 和 f b t 全等， 那么它俩旋转的话， b、 t 和 aw 相等啊， b t 和 b w 相等，也就说明 w 是 b f 的 中点，那么 a 是 三，我们可以设一下 c 是 x， f， e 是 x， 那么这样的话， a、 b 就是 三加 x 等于 b f， b f 也是三加 x， 那 么 w 是 b f 终点，那么 b f 啊 b w 是 二分之三 加二分之一 x w， f 也是二分之三加二分之 x， 由此我们会发现三角形 a、 e、 w 是 绝配啊！利用对线之后啊，利用等腰对线型之后，三角形 a e w 是 绝配角，那么 a e 等于是 e w， 也就说明的是三等于是二分之三加二分之 x 再加 x， 由此可以求出 s m 一 s m 一， 所以 b f 等于的是三加一要等于四。
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03:24查看AI文稿AI文稿初三上学期呢，我们学了相似，相似会出证明题，也会出计算题，那么他出证明的时候呢，我们一般都会把它放在压轴大题里面，变成其中一个条件来用。如果他单独出一个证明，那么这种题经常都是六分题的难度。 题目不难，但很多孩子写的时候呢，会发现过程扣了很多分。这里是你没有了解阅卷老师的一个原则， 在基础题里面，我们能够扣分的尽量都会扣分。在压轴题里面呢，能给分尽量给分，所以如果他出的是个小题，你的答题过程一定要非常严谨。我们来看一下例题，给了一组相等的边，也给了一组相等的角，让我们推出三角形相似。 要让三角形相似呢，我们常用的有三种证明方法，最简单的就是找到两组相等的角，我们看一下条件里面给了什么。 a、 d 等于 ab， 能推出 a、 b、 d 这个造型是个等腰三角形，那它两个底角是相等的，所以这里角 b 和这个角 a、 d、 b， 它们就会相等。用同一个颜色把这组相等的角标出来， 因为这个 d 出现了很多个角，所以为了我们表述准确，我们给这里 a、 d、 b 标个角一。因为 a、 d 等于 a、 b 等腰上形，推出了两个底角相等，看着图来写名字，角 b 会等于角一。 题目又给了个条件，说角 b 等于这个角 d、 e、 c， 它跟这两个黄色的角是相等的，我们给他写个角二吧，那么题目的条件叫做角二等于角 b。 两个式子，我们就可以用一个等量代换，发现角一和角二是相等的，那我们要的相似三角形的是 a、 d、 e 和 a、 d、 c。 角一也不在这个相似三角形里啊， 角二同样也没在我们相似的三角形里，但是谁在里面呢？可以发现他们两个的补角会出现在我们要的这组三角形里，所以我们把他们的补角找出来。 角二的补角是角 a、 e、 d。 角一的补角呢，是旁边的这个角 a、 d、 c。 这里有个注意的地方就是角 a、 e、 d。 我 们是可以标成角三的，但是这个角 a、 d、 c。 因为它跨过了两个角，所以它不能标角一，角二、角三，它只能把名字给它全写完。 好，为了我们少写点字，这里写个角三，一百八十度减掉角一，就会等于一百八十度减去角二，这个时候我们知道了角三， 这个时候呢，角 a、 d、 c 和角三就是相等的。那题目给的条件用完了呀，跟我们的相似也还没证出来，这个时候我们就得从图里面找一下有没有隐形的条件。角形 a、 d、 e、 a、 d、 c。 发现它们都有同一个角， 这个角呢？ d、 a、 c。 我 们给它标个角四，公共角呢，会相等，所以我们直接拿下来就行了，因为角四等于角四， 好出来了，两组相等的角，推出了三角形相似。最后我们把结论写下来，三角形 a、 e、 d 会相似于三角形 a、 d、 c。 到这里我们相似的题步骤就写完了，希望你的证明题也能全对。
04:41查看AI文稿AI文稿hello， everyone！ 欢迎来到刘老师的数学小课堂，今天刘老师给大家带来的是二五年东城初三上期末即增压咒的这道题目，这道题目仍然是终点的条件反射。好，我们首先先精读题目信息，他说等边怎样行哦，等边怎样行能提供给我们的信息实在是太多了，我们先标一标图吧。 首先得到了边，等得到了角是六十度，还能确认它的线段跟根号三有关系，还能确认它的三线合一。那么接下来谁能应用呢？我们先画一个问号。 接下来就是哦，连接连接哦，旋转，将线段 c e 绕点 c 旋转好，就是紫色的 c e 旋转到了 c f， 而且旋转六十度， 那不说白了就是我非常常见的这个手拉手吗？对不对？如果你对手拉手非常敏感的话，你就立马能够确定这个三角形 b， e， c 和三角形 a， f， c 全等。既然全等，我们就可以转化一些边和角的信息。 接下来呢，第一小问，他是正的哦！第一小问就是在证明手拉手全等，我们来看一下第二小问，是否可以延续第一小问的思路来确认呢？第二小问，哦，这是延长线的，然后 m 是 终点，谁得终点啊？ m 是 a g 的 终点，同学们还记得吗？终点得四个工具被 倍长中线、八字全等，三相合一，斜边中线和中尾线。那么我们用中点的哪一个条件反射呢？看到这里，我大概可能会想到八字全等，那非常简单，我只要延长这个玩意，让它和 mc 相同，那不就是一个全等吗？是不是？好，我们再继续往下看，一看，能否验证我的猜想？大胆猜测，小心求证。完全是没问题的， 他研究的线段中点关系 c， e、 o 就 紫色就 cf 呗，是不跟我的对称中线真有关系啊？ m、 f 还是这个线段上的一段长度 d， e， 哎， d， e 不 就是我这个紫色边上的延长线吗？ 那说白了，我也在这儿延长一下，是不是就正好跟我的对称中线也挨边儿，也能跟我这个三角形 b、 d、 c 挨上边儿啊？我在这儿设一个 d 撇儿， 那我现在只需要再连接上这个 a、 d 撇，我就会发现，哎，我是不是能够去确认三角形 b、 d， c 和三角形 a、 d 撇 c 全等呢？找一找条件有没有啊？首先 b， c 等于 a， c， 首先我们第一问正的角等， 那再来一条边，是不是就可以边角边？再来一个角是不是角边角。那如果要正边的话，我得正 d， c 等于 d 撇 c， 那 说明了你的辅助线 就可以描述为延长 c f 至点 d， 使得 cd 撇等于 cd， 是 不是就得到了边等的信息啊？那你是不是就能得到全等啊？全等作为工具就可以转化边和角，比如说这个六十度 角 b 就 可以传到这个位置，哎，这个位置的角等是不是就能和底下的这个位置正好内错呀，那说白了，它俩是不是相互平行呀？那所以你的辅助线在确认的时候还可以怎么描述做平行线呀？做 a， d 撇平行 c， g 交 c、 f 的 延长线于 d 撇。那说白了，你就先得到六十度，先用角边角来证明这一组全等了呗，是不是好，都可以。 那全等式工具我们转化了边和角呢？说白了，说白了我们现在就已经能能够确认什么信息了，我们现在就能够知道黄色的边被转化到了 d 撇 f 的 位置，那说白了，它其实就是题干当中的 d e 线段，对吗？那现在 m f c e， 也就是 c f 和 d e 是 不是全部都在这一条线上？你要在找关系的时候是不是非常好找？还记得吗？终点的条件反射还没用上呢，你刚才只是做了一个旋转全等，对不对？终点我刚才说了，背上中线八字全等很有可能啊。而你证明完了之后，你恰好就能说明，三角形 a d 撇 m 全等于三角形 m c j。 为什么他俩八字全等？因为你首先知道的是绿边 a m 等于 m g。 提干邀请对顶角相等是不是相等的？还知道什么信息，还知道角等啊？为什么知道角等呢？ 因为你刚才已经得到平行了，那平行不就是一个非常好的转化角的工具吗？所以角 g 是 不是等于角 m a d 撇啊？直接角边角是不就证明出来了八字全等啊？既然证明了八字全等，那说明这个三边关系就更明朗了。怎么说？来，列一列式子？ 因为 c f， 也就是体干中的 c e， 它包括了一段 c m， 又包括了一段 m f， 那 m f 是 结论边不需要再转化了，只需要转化 c m 就 可以了。 c m 根据八字全等，它就是 m d 撇，那 m d 撇又是什么呢？ m d 撇又是一段 m f 加上一段 f d 撇， 那 f d 撇又是什么呀？哦， f d 撇就是 d e， 所以 说白了，它就是一个 d e 加两个 m f， 就 构成了 c f， 也就是 c e。 好， 这就是东城的这道几何压证中点的应用。如果你觉得这道题目对你有帮助，你可以帮助老师点赞、收藏加关注。好嘞，同学们拜拜。
08:16查看AI文稿AI文稿大家好，我是思南老师，我们学期啊马上收尾了，咱们呢也正式进入了期末和中考的核心复习阶段了。二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳， 其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天老师就把解析思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题 图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点， b 点的坐标呢，人家已经给你了，是负二，逗号四。然后呢，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点儿 m， 同学们，点儿 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动，对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m， 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？ 好，我把这个 a、 b、 m 的 三角形给你画出来啊，是不就是这样一个三角形，对吧对吧？ a b m 啊，好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候，求点 m 的 坐标，对吧？这个时候怎么去求？哎，这个时候呢，就要用到我们前面所讲的那个方法，叫做 呃铅垂法，求三角形的面积。好，那首先呢，我们现在把这个题目中的一些呃条件先都给它求出来啊，首先，这个抛物线人家是不是已经给你了，是 y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，对吧？ 好，然后呢，经过 a、 b、 c 三点， b 点的坐标给你了，那 a 点和 c 点的坐标我们先来求一下，不管说后面能不能用到，我们先求上，好吧，同学们，那老师就写这里了啊，怎么求 a 和 c 点的坐标？我们是不是令这个抛物线的 y 等于零，因为它是与 s 轴的交点，对吧？好，我们令这个抛物线的 y 等于零的话呢，就是负二分之一 x 方减 x 加四等于零，好，然后呢，通过一式分解，哎，老师在这里就给大家求了啊，同学们，我们求出来 x 一 等于多少呢？等于负四， x 二等于多少呢？等于二。所以我们 c 点的坐标是不就求出来了，是负四 多少零，而 a 点的坐标是不是就是二多少零，对吧？哈，同学们，那我们现在图中把它标注一下啊， 二多少零和负四多少零，好，现在呢，嗯，还有一条直线 a b， 直线 a b 的 表达式，怎么求呢？设 a b 为 y 等于 k， s 加 b， 然后呢，将我们 a b 的 坐标往里一带，就可以求出来了，对不对？同学们，好，那在这里呢，老师就给大家列一下式子啊，哎，首先呢，把 b 往里一带，那就是 四等于负二， k 加 b， 以及我们的零等于二， k 加 b， 对 不对？好，哎，求出来之后呢，我们的 k 等于多少呢？等于 负一， b 等于多少呢？同学们， b 等于二，好，这个就是我们呃，求出来的配合 b 啊，那所以直线 ab 的 表达式 y 等于负 s 加二啊，好，现在人家要求的是三角形 abm 的 面积是最大的。 老铁们，来看一下 abm， 它是一个斜跨在这个平面直角坐标系中的一个三角形，对不对？哎，那在前面老师也给大家讲个方法啊，就是利用铅垂法求三角形的面积，好，铅垂法求三角形的面积的要点是什么，对不对？我们首先要过 上面这个点，哎，做一条与外轴平行的线对不对？好，我们做 m n， 那 在这里就直接先用实线给大家表示了啊，过点 m 做 m n 平行于外轴交 a b 与点 n。 好， 这句话呢，就不说了啊，直接就给大家表示出来了。好，那这个时候同学们，我们这个三角形的面积 哎，他要求三角形的面积最大，我们是不是要先表示出来这个三角形的面积的？呃，他的一个式子是什么，对不对？好，来看一下怎么去表示 s 三角形 abm 呢？ 哎，铅垂法求三角形的面积是二分之一的水平宽乘以铅垂高，对不对？水平宽是谁？同学们，是不是 x a 减 x b， 对吧？好，铅垂钩是什么？哎，是 y m 减 y n， 对 吧？好，转来了啊，哎，就相当于我们铅垂法求三角形的面积啊，就相当于是把求三角形的面积转化成了求减的坐标了，对吧？好，这个时候同学们， a 点的坐标你知道， b 点的坐标你也知道，然后 y m 跟 y n 怎么去看呢？哎，这个时候同学们，我们来看一下啊，你会发现 m 和 n 呀，是一个动点对不对？ n 是 随着 m 的 运动在动着的，那这个时候同学们，我们要观察一下 m 跟 n 之间有什么样的联系，你会发现 m 和 n 呀，它俩什么一样啊？同学们，它的横坐标是不一样的，对不对？好，那这个时候同学们怎么去做？哎，我们就设我们 m 的 坐标，横坐标设为 t。 好，这边思考一下啊，我如果说把 m 的 横坐标设为 t 了，那它的纵坐标怎么去表示？哎，有同学说，老师，这个好像不能表示来，同学们，它确实不是一个确切的数值，因为本身它就是动的，对不对？但是你看一下啊， m 是 不是在我们的抛物线上， 对吧？好，那我们 m 的 横坐标设为 t 的， 它的纵坐标是不是可以往抛线里一带就可以了，对不对？虽然说它有点麻烦啊。负二分之一的 t 方减 t 加四，对吧？好，你们 m 的 坐标我已经设出来了，那 n 点的坐标怎么求？ 哎，你们发现 m 和 n 是 横坐标相等的，对不对？好，那 m 的 横坐标我设为 t 之后， n 的 横坐标是不是也是 t？ 那 n 的 纵坐标怎么去求呢？ 哎，你会发现我 m 在 抛物线上，我就是，呃，设出来横坐标之后，往抛物线里一带得出来它的纵坐标，那 n 点在谁上面？ n 点是在一次函数坐标上面，对不对？我把 n 点的横坐标设为 t 之后，它的纵坐标是不是往往一次函数表达式里一带就可以了，对吧？就是我们前面所求的这个 a b 的 表达式了啊，那所以 我们这个 n 点的纵坐标往里一带就是负 t 加二，对吧？好，同学们， m n 都求出来了，那这个时候 y m 减 y n， 我 们是不是就能求了？是不是就是我们 m n 的 这个线段长呀？同学们， 对吧？好， m n 呢，就等于 y m 减 y n， 因为这个地方它是已经确定了 m 在 上 n 在 下了啊！同学们，好，那 y m 是 多少？是不就是我们的负二分之一的七方减七加四，对吧？那 y n 呢，是不是负 t 加减去负 t 加二，那就是加 t 减二，对不对？同学们，我们稍微的整理一下啊，负二分之一的 七方加二。好，这是我们 m n 的 长尾，已经求出来了啊！好，那接下来同学们， 三角形 abm 的 面积 s 三角形 abm 二分之一的 x a 减 s b， 怎么求？ x a 是 多少是二？ s b 呢？是负二，对不对？同学们，那直接往里带了啊， s a 减 s b， 那 就是二减负二是不是四，然后再乘以我们的这个负二分之一 梯子二，也就是负的梯方 加四，对吧？好，那 abm 的 面积我们发现表示出来之后，刚刚好是一个开口向下的二次函数，对不对？好，那求它的最值，你是不是就会求了？好，开口向下 对称轴是多少对不对？对，成轴 s 负二分之 b， 哎，你会发现正好是等于零，对吧？哎，所以对称轴是等于零。所以这个题目就是，当 我们的 t 等于零的时候，这个 s 三角形 a b m 最大，最大达到多少？同学们，达到四，对吧？好，但是你们看一下啊，题目中让你求的是什么？求的是点 m 的 坐标，那 你看屁股都求出来了， m 的 坐标我会不会求？是会的，是吧？好，那所以朋友们，往里一带，你会发现 m 点的坐标呢，就是多少零多少，往里一带零，往里一带是不是就是四，所以 m 点的坐标就乘出来了是零多少四。 老铁们，这是我们这道题目的一个解析思路，以上的这个问题呢，我们二次函数的压轴问题啊，就给大家彻底搞定了，我是三老师，日常分享数学干货，关于二次函数的面积问题，大家还有什么疑问，欢迎打在评论区。
51司南巧解思维
05:21查看AI文稿AI文稿思南引路，难题不辄。大家好，我是思南老师。九上期末二次函数这块呢，有一类让同学们特别头疼的问题啊，就是我们的区间对值问题，那这期视频呢，思南老师就来教一下大家这类题目应该怎么去做。他说，二次函数 y 等于 s， 方减二 m x x 大 于等于负一，小于等于二的时候，他对应的这个函数值 y 的 最小值呢，是负二，让我们去求 m 的 值， m 现在是不是在二次函数的表达式中，对吧？好，然后呢，他现在是给了一个区间， 然后给了他的函数值的最小值是负二，让我们去求 m 的 值，那怎么去求呢？对吧？好，对于这类题目啊，哎，我们首先呢，要把二次函数图像先画出来， 目前我们已经知道，二次函数的 a 是 等于几的，是等于一的，是大于的，所以它开口向上，对不对？二次函数的图像画出来之后，找一下它的对称轴应该是多少呢？同学们，哎，对于这个一般式，它的对称轴是 s 等于负的二， a 分 之 b， 对 吧？ 好，等于负的二， a 分 之 b 往里一带二， a 是 几？同学们， a 是 一， b 是 负二， m， 对 吧？好，所以呢，等于 m， 好， 这是我们的对准轴找出来了，哎，在这好，现在呢，他又给了一个范围， s 大 于等于负一，小于等于二，然后他的最小值是负二，好，那么那这一段范围 是不是就是给了一个区间，对不对？那这个区间到底在这二次函数的哪一个部分呢？我们是不能确定。好，那所以呢，就有三种情况啊，好，我们来看一下啊。首先， 这段有没有可能完全在对称轴的左侧，那我们这种情况来看一下啊，目前的话，呃，他的左区间是几？是负一，右边呢？是二，对吧？这个时候二次函数的最小值在哪个地方取的？是不是在 x 等于二的时候取的，对吧？好，那所以，哎，我们就来 把情况写一下啊，当 x 等于二的时候，这个时候呢，我们 y 取的最小值。 好，同学们，这个最小值是多少？是不是把二往里一带就可以了，对吧？好，那二往里一带，也就是二的平方四减去二的四四 m， 对 吧，等于多少？等于负二，好，同学们，这个时候你算算 m 等于多少呀？ m 等于二分之三啊，好，那这个时候同学们，二 m 等于二分之三，我们能不能要？ 哎，能不能要？要看什么？同学们，你要看一下啊，现在你的 m 是 什么？ m 是 对称轴，对称轴在二的哪一侧？我们如果说按照第一种情况全部在对称轴左侧的话， m 是 不是应该比二还要大， 对不对？哎，所以第一种情况是基于我们 m 大 于二的情况下去做的啊，同学们，而 m 等于二分之三，是不是不在这个范围内， 对不对？所以我们第一种情况就要舍掉了啊。第二种情况的话，同学们，我们是不是，哎，这个一段区间呢？正好跨过了我们对称轴，好，这个时候呢，这这个地方是负一，这个地方呢是二 啊。这种情况的话， x 等于多少的时候取得最小值啊？同学们，这个时候你看一下，哎，一定要分辨。好啊，一定是在对称轴数取得最小值，好吧？好，这时候当 s 等于 m 的 时候， y 取得最小值，最小值等于多少？把 m 往里带，对吧？那就是 m 方减去二 m 方， 也就是等于负的 m 方等于多少？同学们，等于负二，所以 m 等于多少？同学们，哎， m 一 等于正的个方二， m 二呢？等于负的根号二。朋友们，这两个结果还是要思考一下，是不是都能要对不对？好，那这个时候我们要怎么考虑呢？还是这样的呢？现在对称轴是不是处于负一和二之间，对吧？好，那所以我 m 的 值就应该是大于负一小于二的， 对吧？好，那正根号二和负根号二哪个在这个区间内？所以，哎，我们就找到了第一个答案，是多少的呢？哎，是等于正根号二了啊？好，这是我们第二种情况。接下来再来看第三种情况，我们全部在对准左侧，已经讨论过了，然后快和对准也考虑过了，然后最后是不是在全部在对准左侧？ 六层，是吧？好，那就是第三种情况。同学们，在第三种情况的时候，这个时候，哎，这个地方呢，是负一，这个地方是二，这个时候当 s 等于多少的时候，取得最小值负一啊，负一， y 取得最小值 等于多少呢？是不是还是往里一带，对吧？好，负一的平方一，然后减去二 m 乘以负一，是不是加上了二 m 等于多少？同学们，等于， 对吧？好，那这个时候 m 解出来是等于多少呢？ m 解出来是多少？你们是等于负的二分之三，对吧？好， m 等于负的二分之三，这个结果能不能一样呢？还是要看一下这个 m 的 直径范围。八、目前 m 如果处于这个位置，我们整段都在对称轴右侧的话，那 m 是 不是应该比负一 要小的，对吧？而负二分之三是不是刚好也是就是比负一要小的，对吧？所以我们这个情况是可以要的啊，所以对吧？哎，我们综合来看，这三种情况的话，我们 求出来了一二三四个结果，但是只有两种情况是符合题的，对不对？哎，一个是 m 等于正的根号二，一个是 m 等于二分之三，所以这道题目答案就是 m 的 值为正的根号二或者 负的二分之三。朋友们，这是我们这道题目啊，好，那今天的区间最值问题呢？大家听懂了吗？ s 老师呢，还给大家一道同类的练习题，大家可以用我刚才教的方法来做一下这道题目啊，然后在评论区告诉我你的答案是多少。
38司南巧解思维
01:34查看AI文稿AI文稿大家好，同学们啊，祝大家新年快乐啊，今天是元旦，上午给孩子们上了两节课啊，然后中午吃了个饭，下午我们初三的同学们，我们继续啊啊，继续做今天的几何题，素养提升啊， 我今天可能很多同学们正在休息啊，但是我认为呢，几何题每天都要做啊，抽出一点时间啊，只有这样的话你才能 形成一种几何的这种对于压轴题的一种呃，压倒性的优势哈。嗯，要想战胜别人啊，要想无论什么题型你都有就是信心啊，核心就是苦练啊，方法什么其实都是次要的啊， 只有苦练只有苦练啊，因为我的内心是有啊，强烈的这种取胜啊，战胜别人的欲望，所以他促使我每一天都坚持在在练习啊，所以说如果你也想在这场比赛当中取胜，那么你也只有啊，坚持练啊，好，开始， 今天我们来做这个啊，三角形与图形的旋转来，同学们，这是一道，这个就是旋转转体哈，这道题的例题是比较简单的，是我们之前做的那些几何转体当中就数学题当中的几何转体比较简单的。这是三个角度的旋转啊，一个旋转完是九十度， 这个旋转完了是一百二十度的，等于二十三角形哈，这个旋转完了是一个特殊角啊，不是特殊角，就是 r 法，用三角函数来表示， 呃，最简单的旋转啊，对于对于学习比较好的话，就是这道题其实就没有做的必要了，但是对对于中等来说，中下的啊，就是旋转，你可以通过这道题来来练习一下，知道他的这个这个构造的这个方法啊，好。
24大连数学滕老师
03:11查看AI文稿AI文稿来看这个题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 等于九十度，就是这是一个直角角 a、 c、 d 等于三十度， 这是三十度，然后 a、 c 等于 ab 等于 cd， 这三条直线相等，然后让我们求 a、 a、 d 等于 b、 d， 那我们来看一下啊，因为这两条线相等，所以三角形三角形 a、 c、 d 等幺，对吧？等幺之后，这两个角就应该是一百八减，它再除以二，等于七十五度，对吧？ 这是七十五度了。角 d、 a、 b 是 不是就是十五度啊？七十五度，十五度。那 然后让我们看一下，让我们求什么？让我们求 b、 d 等于 a、 d， 我 们怎么让这两条线怎么就让它关联上？那肯定是做辅助，做一些需要做辅助线，那我们怎么做？我们做一个三角形， 这个三角形呢？是等边。三角形 a、 d、 e， 然后呢？我们连接 c、 e， 为什么这么做啊？你刚才说了一个七十五，七十五减十五等于多少？是不是等于六十啊？那我现在这它是不是就是十五度啊？ 这是十五度，然后我的 a、 e 是 不是等于 a、 d 的 或者等边呢？我的 a、 e 是 不是就等于 a、 d， 然后角 e、 a、 c 是 不是就等于角 b、 a、 d， 然后 a、 c 等于 ab， 这是已知条件， 这是不是就够了？ s、 a、 s， 然后我就能证明， 我是不是就能证明三角形 a、 e、 c 全等于三角形 a、 d、 b， 对 吧？这两个三角形相等，不是全等，全等，这两个三角形全等。 哎，全等，那是不是我这个角就等于这个角啊？那这个角多少？这是等于三角形的中间，这是不是角平分线啊？这是不是就十五度啊？ 然后就所以这个角 a、 b、 d 等于角 e、 e， c， a 是 不是就等于十五度？它等于十五度上面也等于十五度，然后所以这个三角形 a、 d、 b， 它是不是就等于二， 它等腰，那是不是 a、 d 就 等于 b、 d， 对 不对？我们想办法构建一个全等三角形，然后让它关联起来，哎，就证明了这两条线相等，对吧？
49涛哥解码数学
28:42查看AI文稿AI文稿我们来讲一下第二十二题，他说在这个矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 这个边是三， bc 是 五，然后 e 是 a、 d 上的一个动点， e 是 在这个线段 a、 d 上，它是一个动点啊，然后我们看第一个啊，他说连接 b、 d， 那么 b、 d 是 这个矩形的对角线，然后 o 是 对角线， b、 d 上的中点， o 是 对角线， b、 d 中点呢？那 o 就 把这个 b、 d， 它就是等分了，这个 b、 o 就 等于这个 o、 d， 然后连接 o、 e， 他 说当 o、 e 等于 d、 e 时，这个 o、 e 是 等于 d、 e 的， 让我们求 a、 e 的 长，如果我们想求这个 a、 e 的 长，那么 因为它是矩形哈，它这 a、 d 就 等于 bc， 就 等于五，那么想求这个 a、 e 的 长，我们就只需要把这个 e、 d 要是计算出来，这个 a、 e 就 知道了，对吧？然后这个 e、 d， 它等于这个 o、 e， 那 么像这种题我们都怎么做呀？我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线构造，这个 构造，这个，呃，直角三角形啊，我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线，我设这个为 k， 这个就是垂直的，那么在这个直角三角形 k、 o、 e 中， 我们要我们能知，我们要能计算出这个 e、 k， 我 我，我们设这个 e、 d 为 x 啊，那么我们就能把这个 e、 k 算出来，这个 e、 k 怎么算呢？就用这个 k、 d 减去这个 x， 然后 k、 d 等于什么？ k、 d 等于二分之一 a、 d， 我 们就把这个 e、 k 算出来了，然后这个 e、 o 它等于 x， 对 吧？ 好，我们再把这个 ko， 要是能算出来的话，那这个直角三角形，我们用勾五定理就可以把 x 解出来。然后我们这个思路啊，我们把这个第一题写一下， 第一个解， 我们做这个 ok， 是 垂直于 a、 d 于 k， 所以这个角 d、 k、 o， 它就应该等于九十度，是吧？哎，然后因为 o 是 b、 d 中点， 所以 o、 d 比上 b、 d， 它就是二分之一。然后我们再根据这个句型啊，因为这个 a、 b、 c、 d， 它是句型， 所以角 d、 a、 b， 它就等于九十度，这个四个角其实都是九十度啊，然后 a、 d 等于 b、 c 就 等于五，我们这些我们需要的啊， 然后我们证这个三角形 k、 d、 o 和三角形 a、 d、 b 是 相似的啊，因为角 k、 d、 o 等于角 a、 d、 b， 这个是公共角啊，然后角 d、 k、 o 等于角 d、 a、 b， 它俩都是九十度，所以三角形 k、 d、 o 就 和三角形 a、 d、 b 是 相似的， 所以我们就有这个 k、 d 比上 ad， 它就等于 ko， 比上 ab， 它就等于 o、 d 比上 b、 d， 那 么我们把知道的数 ad 是 五，然后 ab 是 三，然后 ko 比上 b、 d， 我 们前面求出来了，它是二分之一， 所以我们就解出来了，这个 k、 d， 它应该是二分之五，然后 ko 就是 二分之三。 好，然后我们设什么呀？设这个 e、 d， 这个边为 x， 那我们就知道了，这个 e、 o， 它就等于 x， 因为它俩是相等的，并且我们能知道这个 k、 e， 它应该是等于 k、 d 减去 e、 d， 那 就是二分之五减 x。 那 我们在这个直角三角形 k、 e、 o 中，我们使用勾股定律啊， 这个 k、 o 方加上 k、 e 方，它就等于 e、 o 的 平方，我们里面代数啊，就是， 所以就是二分之三的平方，加上二分之五减 x 的 平方等于 x 方， 这个两边都有 x 方啊，所以 x 方可以约掉，减到 x 等于一点七， 所以这个 e、 d 它就等于一点七， e、 d 等于一点七了。那个 a、 e 我 们要求的 a、 e 等于什么呀？ a、 e 就 等于 ad， 减去 e、 d， 那 就等于 五，减去一点七，他就等于三点三。好，这就是第一个啊，他这里没有单位，我们就不用写单位了啊，我们来看第二个，在下页写一下。 第二个呢，他说这个，这个 b、 e， 他 说连接 b 还是啊？ e 是 这个 a、 d 上的一个动点，然后连接 b、 e 和这个 ec 波点 e 呢？做 ef 是 垂直于 e、 c 的 ef 垂直于 e、 c 啊，这个 ef 要是垂直 e、 e、 c 的 话，我们就可以想到什么，想到我们之前说的那个一线三三垂直，是吗？这个里面它有什么呀？ 它有这个三垂直是有了啊，就差点。 然后他说连接什么 c、 f 与 b e 交于点 g， 这里面说了啊，说是 b、 e 是 平分于角 abc， 我 们来看看啊， b、 e 如果是平分角 a、 b、 c， 那 那这个角就应该是四十五度，对吧？这个角是四十五的话，那不是 ab 前面是三还是啊？ bc 是 五， 这个角是四十五度的话，那这个三角形 abe 就 应该是等幺直角三角形，那这个 ab 就 应该等于 ae， 那 说明 ae 就 等于三， 然后我们能推出这个 e、 d 是 等于二，对吧？哎，然后这个 c、 d 这个边也是三。刚才说了哈，一线三垂直，它这里面有三个是直角了， 我们看是不是 a、 e 等于 dc， a e 等于 dc 的 话，那这个三角形 a、 f、 e 和这个三角形 e、 d、 c 就 应该是全等的， 全等的话，这个 e、 f 就 应该等于 e c， 那 就说明这个三角形 e f、 c 应该也是等腰直角三角形，那这个角就是四十五度，对吧？哎，那我们也能推出这个 e f 是 等于多少啊？ 他让我们求这个 b g 的， 也就是这段，我们要求这个 b g， 我 们只需要把这个 e g 计算出来就可以啊。然后这里面我们怎么做呢？我们过 e 点做做这个 f、 c 的 一个垂线，我设这个点为 k。 好，刚才也说了啊，这个 e、 f、 k 这个角应该是四十五度，这角是四十五度的话，那这个 f、 e、 k 应该也是四十五度，对吧？哎， 然后这个角 a、 e、 b， 这个角也是四十五度，所以我们就能推出什么呀？我们就能推出点垂线啊，我们就能推出这个角是等于这个角的，就是角 a e、 f 应该等于角 g、 e、 k， 从而呢，这个三角形 a、 e、 f 就 和这个三角形 k e g 应该是相似的，相似的呢，我这个 e、 k 如果能计算出来的话， 那这个三角形我们只需要知道一个边，然后这个 a、 e、 f 这个三角形，这三边我们都能求出来，那根据这个相似对应边乘比例，我们就能把这个 e g 计算出来，从而就能把这个 b g 计算出来啊。 不知道我的思路大家能不能跟上啊？我们写一下 这个过这个 e 点啊，做这个 f、 c 的 这个垂线，我们设这个点为 k。 好， 先写啊，结过 e 做这个 e k 时，垂直于 f c 于 k 的， 然后我们先写这个正方形，由正方形得啊，由于这个 a、 b、 c d 啊，是啊的，不是正方形哈，是矩形，因为它是矩形， 所以这个角 a 等于角 d， 它应该等于角 abc 是 等于九十度的，然后 ab 等于 cd 是 等于三的， bc 等于 ad 是 等于五的。 然后再说这个 b、 e 平分啊，因为 b、 e 是 平分，角 a、 b、 c， 所以 角 a、 b、 e， 它就应该等于二分之一，角 a、 b、 c， 它就应等于四十五度， 对吧？哎。然后所以我们也能得到这个角 a、 e、 b 应该也等于四十五度。然后又因为角 a 是 等于九十度， 所以我们能得到什么呀？我们能得到这个 三角形 a、 b、 e， 它应该是一个什么呀？应该是一个等腰直角， 等腰直角三角形。然后 ab 是 等于 a、 e 的， 等于三。还能知道这个 b、 e， 它应该等于根号二倍的 a， e， 它就等于三倍的根号二， 这个 a， a、 e 啊， a， e 等于三，然后 cd 什么也等于三，对吧？所以我们就能。所以我们能得到这个 a、 e， 它应该是等于 cd 的 啊， 然后还能得到这个 e、 d， 它应该等于 a、 d 减去 a、 e， 它就等于。其实是五减三，应该是等于二。好，然后我们来去证这个三角形全等啊。 因为这个 角 f、 e、 c 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 加上角 d、 e、 c， 它就是等于九十度，是吧？然后 又因为角 d、 e、 c 加上角 e、 c， d 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 就 等于角 d、 c、 e， 然后得全等条件啊。因为角 a、 e、 f 等于角 d、 c、 e， 然后角 a 等于角 d， 它都是九十度的角，再加上 a、 e 等于 d、 c， 所以 三角形 a、 e、 f， 它就和三角形 d、 c、 e 是 全等的，所以 e、 f 就 等于 e、 c 对 应边相等，然后还能得到 a、 f 等于 e、 d， 它就等于二，然后 a、 f 是 等于二了， a、 e 是 等于三，对吧？那我们在这个直角三角形 a、 f、 e 中， 这个 e、 f， 它就等于根号下 a、 f 方加上 a、 e 方， 呃，那就是二的平方，加三的平方，那就是根号十三。 然后因为这个角 f、 e、 c 是 等于九十度的， 然后 e、 f 等于 e、 c， 所以 它是等腰直角三角形哈，那么我们就能推出这个角 e、 f、 k 等于角 f、 e、 k， 它就等于四十五度。 然后还能推出什么呀？还能推出这个 e、 k， 它应该等于二分之根号二倍的，这个 e、 f， 它就等于二分之根号二十六，这个 e、 f 前面算出它是根号十三啊。 然后我们再算，这个角等于这个角啊。 因为角 a、 e、 b 等于角 f、 e、 k， 它俩都是四十五度，所以它俩相等，所以这个角 a、 e、 f， 它就等于角 g、 e、 k， 然后有一组角相等了，然后又因为角 a 等于角 e、 k、 g， 它俩都是九十度。根据这个两组这个对应角相等，所以三角形 e、 a、 f， 它就和三角形 e、 k、 g 是 相似的。所以 e、 g 比上 e、 f， 它就等于 e、 k 比上 a、 e 往里面代数，那就是 e g 比上 e、 f 是 根号十三，它就等于二分之根号二十六，比上三。那么我们解得 e、 g， 它就等于六分之十三倍的根号二 e、 g 有 了，那这个 b、 g， 它就等于什么呀？它就等于这个 b e 减去 e、 g、 b、 e， 我 们前面算了，它是三倍根号二，那就三倍根号二，减去，呃，六分之十三倍的根号二，那算一下，它就是六分之五倍的根号二， 这就是第二个啊，我们来看第三个， 第三个呢？他说这个好，还是这个 e 是 动点啊？然后他说连接 e、 c， 然后点 h， 在 这个 c、 d 上将矩形 a、 b， c、 d 沿直线 e、 h， 它折叠， 折叠呢？那这个 d 点它就落在了这个 d 撇上， 就是 d 和 d 撇是一组对应点，然后这个 d 撇在这个 e、 c 上，呃过点 d 撇，它说做这个 d、 n 是 垂直于 a、 d 的， 然后交这个 e、 h 于点 m， 然后这里面他说了这个 a、 e 是 等于一的， a， e 等于一， a， e 等于一的话，那这个 bc 是 五，这个 ad 就是 五，那就这个 ed 就是 四，对吧？哎，然后这个 a， 这是三， 这个 e、 d 是 四，然后 d 和这个 d 撇，它是关于这个 e、 h， 它是翻折嘛？然后对称，那么这个 e、 d 撇，它就等于 e、 d， 它这段就是四，对吧？ 然后这个 c、 d 是， 这个是三，那么我们是不是就能求出这个，也能求出这个 c、 d 撇，是吧？哎， 这个 e、 d 是 四， c、 d 是 三，那这个 ec 就 应该是五，然后 e、 d， e、 d， e， d 撇是四，那这段就应该是一啊。我们先把能求出来，再求一下，然后我们来看，问什么啊？ 他说问这个三角形 e、 m， n， e， m， n， 这个三角形的这个面积和这个 e、 d 撇 m， 这个三角形的面积，它俩的一个比值。这两个三角形呢，它的特点是它俩这个 如果把这个 e、 n 当高的话，那它俩有相同的高，是吧？那么我们可以 把一个三角形它的底边认为是 m、 n， 另外一个三角形的底边就是 d 撇 m， 那 它俩面积之比在相同高的情况下，面际之比就是这个底边，底底边这个长度的比，对吧？然后我们来看这底边长度啊， 先擦一下啊，这个底边长度呢？一个是 m n， 一个是 m、 d 撇，它俩的比 可以等于什么呀？它俩的比就等于这个 d、 h 比上这个 h、 c 的 比， 那么如果我们把这个 d、 h 算出来，或者把这 h、 c 算出来，我们是不是就能得到这个比例关系了，对吧？然后我们怎么算啊？ 刚才说了 d 和 d 撇他俩是一组，对应边是是对应点，那这个 d、 h 就 应该等于这个 d 撇 h， 就是 这个边和他应该是相等的，他是翻折吗？所以 d、 h 应该等于 d 撇 h， 那这个地方，这个应该就是什么呀？这个地方也应该是个直角，那么我们在这个三角形里，我们用勾股定力，我们能把这个什么呀？能把这个 d 撇 h 或者这个 h、 c 就 算出来啊？这个是一个非常重要点啊。 好，我们把这个第三个过程写一下啊 解，因为这个四边形是 a、 b、 c、 d， 它是矩形啊，所以 c、 d 这个边就等于 a， b 等于三， a、 d 等于 bc 等于五，然后角 d 是 等于九十度的，我们就用这一个角就可以啊。 然后因为 a、 e 是 等于一，所以 e、 d， 它就等于 a、 d 减去 a， e 是 五，减去一呢，就是四。 我们把斜边在这个直角三角形 e、 d、 c 中， e、 c 等于根号下 e、 d 的 平方加上 d、 c 的 平方，那就是四的平方加上三的平方，那应该算完是五，然后说这翻折哈，因为 沿这个 e、 h 折后，他说的是 d 与 d 撇要是对应， 那就说明什么呀？说明这个对应的角 h， d 撇 e， 它应该是等于角 d 的， 所以它等于九十度。还有就是这个 h d 撇应该等于 d h， e， d 撇，它应该等于 e， d， 它就应该等于四。 所以 d 撇 c， 它就等于 e c 减去 e， d 撇就是五，减去四，它就应该等于一。 那么我们设这个 d h 等于 x， 那 h d 撇它也等于 s x， h c， 它就等于三减 x。 好使用勾股定律啊，在直角三角形 d 撇 h、 c 中，这是个直角啊， d 撇 h 的 平方加上 d 撇 c 的 平方应该等于 h c 方往里面代数，那就是 s 方加上一的平方是一，它就等于三减 x 的 平方。 解得 x 等于三分之四， x 等于三分之四，那么所以 d h， 它就等于三分之四。 h c， h c 等于三减三分之四，那就是三分之五。 所以它俩的比啊， d h 比上 h c， 它就应该是等于四比上五就是三分之四，比上三分之五啊，就是四，比上五。然后我们来用这个相似啊推那个两个底边比，它应该等于 d h 比上 h c 啊， 因为 d 撇 h 啊， d 撇 n， 因为这个 d 撇 n， 它是垂直于 a d 的， 然后这个角 d， 它是等于九十度的，九十度就垂直吗？是吧？所以这个 d 撇 n， 它应该和这个 d、 c 是 平行的，所以我们能得到这个三角形 e， n， m， 它应该和这个三角形 e， d， h 是 相似的。那这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 e m 比上 e h， 是吧？哎！然后根据这个平行啊，我们还能得到这个三角形 e， m， d 撇，它应该和三角形 e、 h、 c 是 相似的。 所以 e m 比上 e h， 它又等于 d 撇 m 比上 h c， 所以我们就推出来了这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 d 撇 m 比上 h c， 我 们把这个 d 撇 m 和这个 d h 位置换一下啊。所以 m n 比上 d 撇 m， 它就等于 d h， 比上 h c。 前面算出来 d h 比上 h c， 它是等于四比上五的，那就相当于 m n 比上 d 撇 m， 就是 四比上五。 然后我们写这个三角形的面积，三角形 e d 撇 m 的 面积，它应该等于二分之一 e n 乘上 m n 除以二分之 e n 乘以 d 撇 m m n 比比上 d p m， 它就等于什么呀？等于四比上五，那这个值就是五分之四，面积比就是五分之四。好，那这道题我们就算完了。
17沈阳数学李老师
33:33查看AI文稿AI文稿下面我们讲一下第二十二题，他说在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于二角 b、 a、 d 的 角平分线 交这个 b、 d 于 o， 那 就是这是角平分线，角 a、 o 是 角平分线的话，那这两个角相等， 然后交射线，有这个 e， 然后还有 f 取 e、 f 的 终点，那就是说这个 g 啊， g 是 这个 e、 f 终点，那么这个 e、 g， 它就应该等于这个 g、 f。 第一个让我们求证， b a 等于 b e， 这个是 b a， 这个是 b e。 要想证明这个 b、 a 等于 b、 e， 那 我们只需要证出这个地方是四十五度， 那这个三角形 a、 b、 e 就是 一个等腰直角三角形，那么这个两个腰就是这个 a、 b、 e 和这个 b、 e， 它就应该是相等的。这个还是比较简单的，简单写一下啊， 写写上面就行啊。第一个证明，因为 a、 b、 c、 d 这个四边形是矩形，所以角 a、 b、 a、 d， 它等于九十度。然后因为 a、 o 平分角 b、 a、 d， 所以 角 b、 a、 o， 它就等于二分之一角 b、 a、 d， 它就等于四十五度，对吧？好， 所以角 a、 e、 b， 它就等于一百八十度。减去角 b、 a、 e， 再减去角 a、 b、 e， 算一下，它就等于四十五度，所以呢，这个 角 a、 e、 b 就 等于角 b、 a、 e， 所以 ab 就 等于 b、 e， 这个相对来说简单一点啊，我们看下一个， 太长了啊，这个条件啊，第一个条件咱记住了啊。然后我们看它下面说这个，若射线 b、 g 交这个 d、 c， 这个延长线与点 与这个 b、 g 交这个 d、 c 的 于 h， 那 我们就把它延长一下， 这个是 h 点啊。然后当这个 g、 f 等于三分之一 a、 f 的 时候， 就是这个 g f， 它等于三分之一 a f 的 长，让我们求出这个 g f h， 求出这个的面积，我们来看看啊，如果这个我们要去能求出这个 g f， 对 吧？我们求出 g f， 那 么它是说 再求出出，如果我们求出这个 g f 的 一个长度，然后再求出 a f， 它这里面是我们设一变量啊，我们过这个 g 点做这个 d f， 上去一点做垂直。 好，好啊，重新画一下啊。第一个先把这个 b g 延长，这个点是 h， 然后过这点做垂线设这个为 k， 如果我们设这个 c e 为 x 的 话，那这个角是四十五度，这个角就应该是四十五度，这个就四十五度，那么这个 c e 就 应该等于 c f， 那 这个就是 x， 对 吧？那么这个 f e 就 应该是根号二分之根号二 x， 对 吧？ 它这是直接写出，我们把这个过程在下面标一下写也行啊，这是第二。哎， 第二题，它这个啊，它这个有两种情况，因为它是说这个 ab 边是二，它一种情况呢，就是这个 ab 是 短边，然后还有一种情况是 ab 是 长边，我们先研究这个 ab 是 短边的啊。 嗯，好，这个里面前面也说了啊，这个角 b e a， 它等于什么呀？等于四十五度，那么我们可以能推出这个角 c e f， 它应该也是等于四十五度，对吧？ 所以我们能得到这个 c f， 它应该等于 c e 的， 我们设它是为 x 啊，那它就是 c f 等于 c e， 它应该是等于 x， 那 么这个 e f， 它就应该等于根号 二倍的 x， 对 吧？那么这个 g f， 它就应该等于二分之根号二 x， 对 不对？哎，然后我们再看什么呀？再看这个 a f， 这个是二啊？这个 a f， 它等于什么？ a f， 它等于 a e a e 应该是，它应该等于 a e 加上 e f， 那 它就等于 a e， a b 是 二，那 a e 就 应该是二倍根。号二加上 e f， 这里面 c e 是 x， 那 这个 e f 就是 根号二 x， 那 么我们这个 af 就 出来了，对吧？然后我们再根据 g f， 它等于三分之一 af， 我 们能推出什么呀？ 就应该推出 g f， 在 这呢，那就是二分之根。号二 x 就 等于三分之一二倍根号二，加上根号二 x， 我 们能解出这个 x 是 等于四的， 我们 x 是 等于四的，那我们就能得到这个 e c 是 等于四的，那这个 g f 就应该等于二倍。根。号二乘上四，那就是二倍根号二，是吧？哎，然后这个他让我们求这个这个的面积啊，这个三角形的面积它等于什么呀？这个三角形面积它应该等于二分之一，这个 f h 乘以这个 j k， 是 吧？ 然后呢，这个里面 j k， 我 们说啊， j f 是 等于二倍根号二的，那么这个 j k， 它应该等于二分之根。号二倍的这个 g f， 所以 它算一下就等于二，这个高有了。然后我们算，再算这个 f h， 这个 f h， 我 们看啊，这个三角形它和哪个呀？ 它是不是和这个这个三角形是相似的，对吧？就是三角形 a b g， 它和三角形 这个 f h g 是 相似的，相似的。我们能推出这个 a b 比上 h f， 它就等于 a g 比上 g f， 然后呢？ ab 是 二，这个 h f 是 我们要计算的。然后呢？ ag ag 等于什么呀？ ag 等于这个是 a， 这个点是这个 e 啊， a， e 是 二倍根号二， 对吧？二倍根号二，然后这个，呃，这是 e g， e g 呢？ 呃， e e g， e g， 它等于 g f， 它也等于 二倍根号二，所以 a j 就 应该是等于四倍的根号二，然后 g f 是 等于二倍的根号二，其实它就是二比上一的关系。那么我们推出这个 h f， 它就应该等于一， 所以这个三角形 g， h、 f 的 面积，它就等于二分之一，乘以这个 g k， 再乘以这个 h， f， 就是 二分之一，乘以二，再乘以一，那就等于一。 这个呢？是这个 ab 是 个短边的情况，那当这个 ab ab 呢？它要是一个长边画一下啊， 这个 a b c， d， a b 呢？是一个长边的时候， 这个是 e， 然后这点是 f， 它是取这个 e f 中点是 g 连接 b g 交，这个点是 h， 然后让我们求这个 g f h 计算这个三角形的面积，怎么样？我们还是过这点做这个垂线啊，我还设这个为 k， 然后呢？还是啊，那这个角就是四十五呢，这角是四十五呢，这角就是四十五，对不对？那么我们设这个， 这是情况二啊。那么我们设这个 c e 要是等于 x 的 话，我们来看看啊，我们这个 c e 为 x 的 话，那这个，呃， b c， 这个 ab 是 二啊， ab 是 二的话，那这个 be 就是 二，是吧？那这个 bc， 它就等于 a d， 它应该等于二减 x， 对 吧？然后这个 c f， 它也是 x， 那 这个 e、 f 就是 根号二 x， 我 们还用这个，这个 g f 等于三分之一 a f 啊， 那么这个 d， 然后还能得到什么呀？还能得到这个 g e， g， e， 它等于 g f， 它就应该等于二分之根号二 x， 对吧？然后这个 a、 f， 它等于什么呀？它等于 ab 是 二， b e 是 二，那么这个 a e 就是 二倍根号二，二倍根号二，减去 这个根号二 x， 那 就是二倍的根号二，再减去根号二 x， 你 可以把这个根号二倍的二减 x， 都可以啊。 然后呢，我们该根据这个 g f 等于三分之一 a f， 我 们能得到就是 二分之根号二 x。 在 这呢啊，它应该等于三分之一根号二，然后二减 x， 那 么我们通过这个式子能解成 x 等于五分之四， x 等于五分之四，那这个 a、 d， 它就等于 b c， 是 吧？它等于什么呀？等于这个二减 x， 它就等于五分之六。然后呢，我们再看看啊， 我们再看看这个，我们如何去求这个 f h， 是 吧？我们要求这个 f h 怎么样啊？我们用这个三角形相似啊，我们可以证明这个 f、 g、 h， 它和这个三角形， 嗯， a g、 b 是 相似的，相似的话，这个里面我们可以得到这个 f f h 啊， f h 比上 ab， 它就等于 f g 比上 a g， 然后呢， f h 是 我们要计算的啊，就是 f h 比上 ab 是 等于二，它等于 f g， f g 呢？它因为这是中点，所以呢， f g， 它应该等于什么呀？等于二分之一，这个 f g 等于二分之一的 f e 啊，这前面说了，在这呢，它等于二分之一，这个 x， 我 们能把这个 f g 算一下，就应该是 在这上写一下啊，这个 x 是 等于五分之四，对吧？那么这个 f g， 它就等于什么呀？ f g 呢？它就等于五分之二倍的根号二，然后 a g 是 二倍根号二，再减去五分之二倍根号二，那就是五分之八倍的根号二， 这应该就是一比四的关系哈，我们能推出这个 f h， 它等于二分之一。然后呢，我们再看这个 k g 啊， k g 呢？ 我们可以什么呀？我们可以证明三角形 a、 f、 d 和三角形 g， f、 k 就是 这两个直角三角形，它是相似的，它俩要是相似呢，我们可以得到这个 f g 比上 af， 它就等于 k g 比上 a、 d。 这个里面呢？ f g 和 a f 前面题中他给的是一比三的关系，所以他等于三分之一。我们能推出这个 k g， 他 应该等于三分之一 a、 d， 那 就是五分之二。 所以这个三角形 f、 g、 h 的 面积，它等于二分之一。 f h 乘上 k g， 它等于二分之一。乘上二分之一，再乘上五分之二，它就等于十分之一。 所以呢，这个就两种情况，一个是一，一个就是十分之一。看第三个，第三个我们在下边写啊，第三个呢，他说这个如图二啊，这个 d g 交 b c 于点 m， 这个是点 m， 然后 o e 比上 ef 是 四比上五。这里面让我们求这个 cm 的 长，就是这段长啊， 那我们怎么去求这段长呢？我们可以求出这个 bc， 然后用 bc 减去 bm， 然后呢，也可以什么呀？也可以用这个相似相似对应边乘比 d， 然后把这个 cm 算出来， 这个里面呢，我们做这个过过 g 啊，做这个 a、 d 的 垂线， 设这个点为 k， 然后把这个 ab 延长过 g 做垂线，这个是 h， 这个是垂线啊，我们能证明出这个 a、 h、 g， k 是 一个正方形，它是个正方形呢，然后这个， 呃，这个 j、 k 就 等于这个 gh， 是 吧？然后呢，我们再 证什么？再证个这个三角形 k、 d、 g 和这个三角形 b、 h、 g 是 全等的，全等呢？那这个 d、 g 就 等于 g、 b， 然后我们还能证明出这个 b、 g、 d 这个地方是一个直角，那，那这个角就等于这个角就等于四十五度。那么这个三角形 o、 d， g 就 和三角形 a、 d、 g 就是 相似的。 然后这个就是引韩的一种条件，那我们可以用这个相似来求这个边，我们把这个过程写一下啊。嗯，这可能有点多啊。第三个结 过 j 做 j， k 垂直于 a、 d 于 k， 然后沿成 a、 b 取 h， 是 这个 h， g 是 垂直于 a、 h 的。 嗯，把这个已知条件用一下啊。因为这个 a、 b、 c、 d， 它是矩形，所以这个角 h， a、 k 等于角 a、 d、 f 应该等于九十度。 然后又因为 h、 g 是 垂直于 a、 h 的， j、 k 是 垂直于 ad 的， 所以我们能得到这个 a、 h、 g、 k 这个四边形，它是个矩形。 那么同理，我们也能证明出这个 b、 p、 g、 h 和这个 k、 d、 c、 p 这两个四边形，它也是矩形、矩形的，那就是对应边相等啊。 然后四个角都是直角，然后因为 a、 o 平分角 b、 a、 d， 所以 角 b、 a、 o， 它就等于角 o， a、 d， 它就等于四十五度， 它等于四十五度呢？那这个 ab， 它就等于 b、 e， 它就等于二。然后我还能推出这个 a、 e， 它应该等于二倍根号二，是吧？然后 我们也能得到什么呀？能得到这个 a、 h、 g、 k， 它应该是正方形， 它这个是 a， h 啊， a、 h 是 等于 h、 g 的，是吧？它是个正方形， 然后我们还能得到这个角 c， e， f， 它等于角 a， e， b， 它也等于四十五度，那么这个 三角形 c， e， f， 它就是一个等腰直角三角形，那这个 ec 它就等于 c f， 对 吧？哎， 然后我们说这个中点啊，因为 g 是 e f 中点，这个因为 g k 是 垂直于 ad 的， 然后 df 也是垂直于 ad 的， 所以 k g， 它就是平行于 df， 然后又因为 g 是 ef 中点， 所以怎么样啊？所以这个 p， 它就是 e c 的， 中间我们还能得到 p g， 它就等于二分之一 c， f， 然后 c， f， 它是等于 c， f 等于 e c 的， 那就是，所以这些线段哈，它就，它们就彼此都有一些关系。往上点写啊， 这里面我们为了计算哈，我们设这个 e p 是 等于 x 的， 这个，这，这这个点啊，这个点，这个是 j k 啊，这个 p 为呃， p 为这个 bc 与 j k 交点，那写不下了哈。交点 设这个 e， p 为 x， 那 么这个 p c 就是 x， 对 吧？就是则 p c， 它就等于 p g， 它都是 x， 还能得到这个 e， g， 它就等于根号二 x， 然后 e f 就 等于二倍的根号二 x k g， k g 就 等于二，加上 x， 对 吧？它就等于二，加上 x， 然后 k， d， k， d 也等于 x， 我 们把那个后续我们要用的那些尺寸都写一下啊，然后 a， g， 它就等于什么呀？ a g 等于 a e 加上 e g， a e 等于二倍根号二，然后 e g 等于根号二 x， 那 就二倍的根号二，加上根号二 x。 好， 然后我们用这个五分之四，这个比例关系啊，因为 o e 比上 e f 等于五分之四， 所以我们得到 o e， 它就等于五分之四倍的 ef， 然后 ef， 我 们前面说了，它等于二倍，根号二 x， 那 咱算一下，就是五分之八倍的根号二 x， 这是 o o e 啊，那么我们看一下， o e， 它就等于 o e， 加上 e g， 它就等于 o e， 加上 e g， 这个算完就是五分之八倍根号二 x， 加上根号二 x， 就是 五分之十三倍的根号二 x。 因为我，我们为什么要求这么些边长啊？因为我们刚才说了啊，我们能证明三角形这个 o、 d、 g 和这个三角形 a、 d、 g， 它是相似的，相似的对应边乘比例，我们把这个 呃相应的一些边长能算出来哦，我们就带进去，我们，我们能可能就能把这 s 解出来呢，对不对？哎，这个 o g 啊，算出来了，然后 我们要这个用这三菱相似，我们先得什么呀？我们先得证明这个 o、 d、 g， 这个角是四十五度，那证明这个角是四十五度呢？我们还得去证这个 b g 等于这个 d、 g， 然后 还得证明这个，其实就想证明这个三角形 b、 d、 g， 它是一个等腰直角三角形啊， 因为 k g 等于 h g， 然后 b、 h 等于 k、 d， 这个角 b、 h、 g 等于角 g、 k、 d， 它是 都是九十度啊，所以这个三角形 b、 g、 h， 它就和三角形 d、 g、 k 是 全等的，所以 b、 g， 它就等于 g、 d， 还有就是这个角 h、 b、 g， 它就等于角 k、 d、 g， 然后这两个角相等，然后其中呢，这个角 a、 b、 g， 它加上角 g、 b、 h 是 等于一百八十度的，然后角这个 g、 b、 h 呢？ gb h， 它等于角 k、 d、 g， 所以 这个角 a、 b、 g， 它加上角 k、 d、 g 就 等于一百八十度，换一下是吧？ 然后因为什么？因为那四边呃四边形内角和等于三百六十度，那么所以这个角 b、 g、 d 加上角 b、 a、 d 就 应该等于一百八十度。 然后呢？因为角 b、 g、 d 等于九十度，所以我们能得到这个角 b、 g、 d， 因为因为角 b、 a、 d 是 等于九十度，那么所以角这个 b、 g、 d 就 等于九十度， 那这个角就是什么呀？就是九十度啊，它是九十度，然后再加上它那个呃 b， g 等于 g、 d， 这两个边相等，所以这个角 b、 d， g 就 等于 角 g， a、 d， 它就等于四十五度， 对吧？哎？然后又因为角 d、 g、 o 等于角 d， g、 a， 所以 三角形 d、 g、 o 就 和三角形 a、 g、 d 是 相似的，所以我们能得到这个 g 啊， d j， 它比上 a， j， 它就等于 o j 比上 d j， 那 我们就得到这个 d， j 平方，它应该等于 a， g 比上 o、 g 这两个数我们前面都算完了，那么我们乘一下就是五分之五十二 x， 再加上五分之二十六 x 的 平方。 好了，这里面我们有一个 d j 方了，是吧？然后我们再看看啊，这个 d j 方还能用怎么表示？ d j 方？他是不是在这个呃直角三角形 k、 g、 d 里，那么我们在这个直角三角形 k、 g、 d 中，我们用勾股定里， 这个在直角三角形 k、 j、 d 中就简单写了啊， d j 方，它应该等于什么呀？它应该等于 k， j 方，加上 d j 方，算一下，它应该等于 二 x 加上四， x 加上四， 所以我们怎么我们能解出 就是 d 这方等于它， d 这方又等于它，那它俩就应该相等，是吧？那么我们就解得这个 x 就是他俩相等啊。你可以解 x， 一个是等于二分之一，或者是 x 等于负二分之五，这个负二分之五咱们就肯定是不行的哈？你就把它舍掉，我们取谁啊？取这个 s 二分之一，所以 这个 k d， 他 就等于二分之一，然后 k g， 他 就等于二分之五。然后呢？ 我们不是要求这个 cm 吗？对吧？我们要求 cm， 我 们可不怎么样啊，我们可以去证明这个三角形和这个大三角形相似， 对吧？用相似呢？相似呢？我们这里面就出 cm 了，然后用这个对应边成比例哈。嗯， 因为角 k d m 等于角 d m c， 然后呢？这个角 d k g 等于角 d c b， 所以 三角形 d m c， 它就和这个三角形 g d k 是 相似的，所以 mc 比上 k d， 它就等于 dc 比上 k g， mc 是 我们要求的，然后 kd 是 二分之一，然后 dc， dc 是 二，是吧？ dc 等于 ab， 它等于二，然后 k k g 是 二分之五， 所以 mc 算完就是五分之二。好，那这题我们就算完了。
30沈阳数学李老师
04:09查看AI文稿AI文稿来，今天这道题目堪称几何问题的天花板告诉我们，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 c、 b 和 d、 b、 c 都是三十度，出现了等腰三角形， e、 b、 c 这给了个六度，这给了个二十四度，要求的是 d、 a、 c 的 度数。 这道题目直接算根本算不出来。我们的入手点是在这个等腰三角形上，此时 e、 b、 c 既然是等腰，那么此时我们要依照于它去构造等边，来转化边和角的关系。 我们先构造出这个等边三角形，这个点咱们叫做点 f 的 话，咱们先把该连的都给它连上。连完之后呢，我们会发现此时 f 点和 b 点与 c 点构成了等 边，那么 bfc 六十度， bc 这个角一定是一百二十度。同时我又知道了 e 点一定是 fbc 这个三角形的 外接圆的圆心，那么此时 e、 f 就 一定等于 e、 b 也等于 e、 c。 并且 f、 e、 c、 f、 e、 b 和 b、 e、 c 这三个角都是一百二十度。 而我们又知道了这个小角咱们叫做角一的话，它是一百二十度的补角，那它就是六十 度。 f、 e、 c 是 一百二，说明这个角二和角一等一定也是六十度。 同样的道理，这两个小角也都是六十度，说明 e、 d 平分了 f、 e、 c， 而 e、 a 平分了角， f、 e、 b 有 了角，平分线又有了边等，我们要把边连起来，构造全等， 先去连接一下 a、 f， 再来连接一下 f、 d 这两条边。连接之后，大家来观察，我们很容易能证出来， f、 d、 e 和 c、 d、 e 这两个三角形必定全等，那么全等之后，这儿是二十四度，那么这个小角也必定是二十四度。同时我们知道了这个角就是三十减二十四，这儿应该是一个六度， 那么同样的逻辑，由对称这儿也必定是一个六度。在这一侧我们也能知道 e、 a、 b 和 e、 a、 f 一定是全能的，那么此时这儿是六度，这儿也一定是一个六度，那么此时 a、 f、 d 就是 一个三十度了， 这是三十，这 a、 e、 d 是 一个一百二十度。这个模型大家一定要知道，非常的重要，我们此时呢，去找一个以 a、 d 为底边的正三角形， 那么这个正三角形的顶点必然会落在 fe 上，那么这个点咱们叫做点 h 的 话， 那么此时我们会发现，既然 a、 d、 h 是 等边三角形，那么这条边和这条边一定是等的，那么这个角必定是一个六十 度。那么此时我们又知道了角二也一定是六十度，那么这俩角所对的 h、 d 又是同一条边，那么 h、 a、 e、 d 就 一定是四点共圆的。同时呢， a、 h、 d 是六十度，而又知道了 a、 f、 d， 它又是一个三十度，那么此时 h 就是 f、 a、 d 的 外接圆的圆心，我们同时也就知道了 h、 a 等于 h， d 同时也等于了 h、 f 啊， 那么此时这个小角就知道了，它也得是二十四度啊。我们要求的 d， a、 c 所对的边是 d， e， 同时 d， e 还对了 e、 h、 d 就是 这个角，那说明角四这个角后面要求的 d、 a、 c 一定相等， 角四又是 h、 f、 d 的 外角，所以角四就是两个二十四度，它等于四十八度。这道题目就搞定了，这道题目确实非常的麻烦，大家一定要再做一遍下课。
2.1万数学赵观察
