海南华师大版数学九上几何压轴

初三上学期呢，我们学了相似，相似会出证明题，也会出计算题，那么他出证明的时候呢，我们一般都会把它放在压轴大题里面，变成其中一个条件来用。如果他单独出一个证明，那么这种题经常都是六分题的难度。 题目不难，但很多孩子写的时候呢，会发现过程扣了很多分。这里是你没有了解阅卷老师的一个原则， 在基础题里面，我们能够扣分的尽量都会扣分。在压轴题里面呢，能给分尽量给分，所以如果他出的是个小题，你的答题过程一定要非常严谨。我们来看一下例题，给了一组相等的边，也给了一组相等的角，让我们推出三角形相似。 要让三角形相似呢，我们常用的有三种证明方法，最简单的就是找到两组相等的角，我们看一下条件里面给了什么。 a、 d 等于 ab， 能推出 a、 b、 d 这个造型是个等腰三角形，那它两个底角是相等的，所以这里角 b 和这个角 a、 d、 b， 它们就会相等。用同一个颜色把这组相等的角标出来， 因为这个 d 出现了很多个角，所以为了我们表述准确，我们给这里 a、 d、 b 标个角一。因为 a、 d 等于 a、 b 等腰上形，推出了两个底角相等，看着图来写名字，角 b 会等于角一。 题目又给了个条件，说角 b 等于这个角 d、 e、 c， 它跟这两个黄色的角是相等的，我们给他写个角二吧，那么题目的条件叫做角二等于角 b。 两个式子，我们就可以用一个等量代换，发现角一和角二是相等的，那我们要的相似三角形的是 a、 d、 e 和 a、 d、 c。 角一也不在这个相似三角形里啊， 角二同样也没在我们相似的三角形里，但是谁在里面呢？可以发现他们两个的补角会出现在我们要的这组三角形里，所以我们把他们的补角找出来。 角二的补角是角 a、 e、 d。 角一的补角呢，是旁边的这个角 a、 d、 c。 这里有个注意的地方就是角 a、 e、 d。 我 们是可以标成角三的，但是这个角 a、 d、 c。 因为它跨过了两个角，所以它不能标角一，角二、角三，它只能把名字给它全写完。 好，为了我们少写点字，这里写个角三，一百八十度减掉角一，就会等于一百八十度减去角二，这个时候我们知道了角三， 这个时候呢，角 a、 d、 c 和角三就是相等的。那题目给的条件用完了呀，跟我们的相似也还没证出来，这个时候我们就得从图里面找一下有没有隐形的条件。角形 a、 d、 e、 a、 d、 c。 发现它们都有同一个角， 这个角呢？ d、 a、 c。 我 们给它标个角四，公共角呢，会相等，所以我们直接拿下来就行了，因为角四等于角四， 好出来了，两组相等的角，推出了三角形相似。最后我们把结论写下来，三角形 a、 e、 d 会相似于三角形 a、 d、 c。 到这里我们相似的题步骤就写完了，希望你的证明题也能全对。

hello， everyone！ 欢迎来到刘老师的数学小课堂，今天刘老师给大家带来的是二五年东城初三上期末即增压咒的这道题目，这道题目仍然是终点的条件反射。好，我们首先先精读题目信息，他说等边怎样行哦，等边怎样行能提供给我们的信息实在是太多了，我们先标一标图吧。 首先得到了边，等得到了角是六十度，还能确认它的线段跟根号三有关系，还能确认它的三线合一。那么接下来谁能应用呢？我们先画一个问号。 接下来就是哦，连接连接哦，旋转，将线段 c e 绕点 c 旋转好，就是紫色的 c e 旋转到了 c f， 而且旋转六十度， 那不说白了就是我非常常见的这个手拉手吗？对不对？如果你对手拉手非常敏感的话，你就立马能够确定这个三角形 b， e， c 和三角形 a， f， c 全等。既然全等，我们就可以转化一些边和角的信息。 接下来呢，第一小问，他是正的哦！第一小问就是在证明手拉手全等，我们来看一下第二小问，是否可以延续第一小问的思路来确认呢？第二小问，哦，这是延长线的，然后 m 是 终点，谁得终点啊？ m 是 a g 的 终点，同学们还记得吗？终点得四个工具被 倍长中线、八字全等，三相合一，斜边中线和中尾线。那么我们用中点的哪一个条件反射呢？看到这里，我大概可能会想到八字全等，那非常简单，我只要延长这个玩意，让它和 mc 相同，那不就是一个全等吗？是不是？好，我们再继续往下看，一看，能否验证我的猜想？大胆猜测，小心求证。完全是没问题的， 他研究的线段中点关系 c， e、 o 就 紫色就 cf 呗，是不跟我的对称中线真有关系啊？ m、 f 还是这个线段上的一段长度 d， e， 哎， d， e 不 就是我这个紫色边上的延长线吗？ 那说白了，我也在这儿延长一下，是不是就正好跟我的对称中线也挨边儿，也能跟我这个三角形 b、 d、 c 挨上边儿啊？我在这儿设一个 d 撇儿， 那我现在只需要再连接上这个 a、 d 撇，我就会发现，哎，我是不是能够去确认三角形 b、 d， c 和三角形 a、 d 撇 c 全等呢？找一找条件有没有啊？首先 b， c 等于 a， c， 首先我们第一问正的角等， 那再来一条边，是不是就可以边角边？再来一个角是不是角边角。那如果要正边的话，我得正 d， c 等于 d 撇 c， 那 说明了你的辅助线 就可以描述为延长 c f 至点 d， 使得 cd 撇等于 cd， 是 不是就得到了边等的信息啊？那你是不是就能得到全等啊？全等作为工具就可以转化边和角，比如说这个六十度 角 b 就 可以传到这个位置，哎，这个位置的角等是不是就能和底下的这个位置正好内错呀，那说白了，它俩是不是相互平行呀？那所以你的辅助线在确认的时候还可以怎么描述做平行线呀？做 a， d 撇平行 c， g 交 c、 f 的 延长线于 d 撇。那说白了，你就先得到六十度，先用角边角来证明这一组全等了呗，是不是好，都可以。 那全等式工具我们转化了边和角呢？说白了，说白了我们现在就已经能能够确认什么信息了，我们现在就能够知道黄色的边被转化到了 d 撇 f 的 位置，那说白了，它其实就是题干当中的 d e 线段，对吗？那现在 m f c e， 也就是 c f 和 d e 是 不是全部都在这一条线上？你要在找关系的时候是不是非常好找？还记得吗？终点的条件反射还没用上呢，你刚才只是做了一个旋转全等，对不对？终点我刚才说了，背上中线八字全等很有可能啊。而你证明完了之后，你恰好就能说明，三角形 a d 撇 m 全等于三角形 m c j。 为什么他俩八字全等？因为你首先知道的是绿边 a m 等于 m g。 提干邀请对顶角相等是不是相等的？还知道什么信息，还知道角等啊？为什么知道角等呢？ 因为你刚才已经得到平行了，那平行不就是一个非常好的转化角的工具吗？所以角 g 是 不是等于角 m a d 撇啊？直接角边角是不就证明出来了八字全等啊？既然证明了八字全等，那说明这个三边关系就更明朗了。怎么说？来，列一列式子？ 因为 c f， 也就是体干中的 c e， 它包括了一段 c m， 又包括了一段 m f， 那 m f 是 结论边不需要再转化了，只需要转化 c m 就 可以了。 c m 根据八字全等，它就是 m d 撇，那 m d 撇又是什么呢？ m d 撇又是一段 m f 加上一段 f d 撇， 那 f d 撇又是什么呀？哦， f d 撇就是 d e， 所以 说白了，它就是一个 d e 加两个 m f， 就 构成了 c f， 也就是 c e。 好， 这就是东城的这道几何压证中点的应用。如果你觉得这道题目对你有帮助，你可以帮助老师点赞、收藏加关注。好嘞，同学们拜拜。

大家好，我是思南老师，我们学期啊马上收尾了，咱们呢也正式进入了期末和中考的核心复习阶段了。二次函数压轴题里边的面积问题呢，是拉开我们分数的重中之重，很多同学呢，一碰到就卡壳， 其实呢，这类题的方法呢，也很简单，今天老师就把解析思路和技巧全讲透，帮助大家稳稳拿下这块分值。好，首先我们先来读题 图，这个抛物线呢， y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，经过 a、 b、 c 这三个点， b 点的坐标呢，人家已经给你了，是负二，逗号四。然后呢，哎，直线 a、 b 与抛物线的对称轴呢，交于点 e， 然后点儿 m， 同学们，点儿 m 在 直线 a、 b 上方的抛物线上运动，所以同学们，它是不是只能在这段上运动，对不对？只能在这个直线 a、 b 上方的抛物线上运动啊？好，现在让我们求的是当三角形 a、 b、 m， 好， 我先假设 m 在 这儿可以吧？ 好，我把这个 a、 b、 m 的 三角形给你画出来啊，是不就是这样一个三角形，对吧对吧？ a b m 啊，好，当 a、 b、 m 的 面积最大的时候，求点 m 的 坐标，对吧？这个时候怎么去求？哎，这个时候呢，就要用到我们前面所讲的那个方法，叫做 呃铅垂法，求三角形的面积。好，那首先呢，我们现在把这个题目中的一些呃条件先都给它求出来啊，首先，这个抛物线人家是不是已经给你了，是 y 等于负二分之一， s 方减 x 加四，对吧？ 好，然后呢，经过 a、 b、 c 三点， b 点的坐标给你了，那 a 点和 c 点的坐标我们先来求一下，不管说后面能不能用到，我们先求上，好吧，同学们，那老师就写这里了啊，怎么求 a 和 c 点的坐标？我们是不是令这个抛物线的 y 等于零，因为它是与 s 轴的交点，对吧？好，我们令这个抛物线的 y 等于零的话呢，就是负二分之一 x 方减 x 加四等于零，好，然后呢，通过一式分解，哎，老师在这里就给大家求了啊，同学们，我们求出来 x 一 等于多少呢？等于负四， x 二等于多少呢？等于二。所以我们 c 点的坐标是不就求出来了，是负四 多少零，而 a 点的坐标是不是就是二多少零，对吧？哈，同学们，那我们现在图中把它标注一下啊， 二多少零和负四多少零，好，现在呢，嗯，还有一条直线 a b， 直线 a b 的 表达式，怎么求呢？设 a b 为 y 等于 k， s 加 b， 然后呢，将我们 a b 的 坐标往里一带，就可以求出来了，对不对？同学们，好，那在这里呢，老师就给大家列一下式子啊，哎，首先呢，把 b 往里一带，那就是 四等于负二， k 加 b， 以及我们的零等于二， k 加 b， 对 不对？好，哎，求出来之后呢，我们的 k 等于多少呢？等于 负一， b 等于多少呢？同学们， b 等于二，好，这个就是我们呃，求出来的配合 b 啊，那所以直线 ab 的 表达式 y 等于负 s 加二啊，好，现在人家要求的是三角形 abm 的 面积是最大的。 老铁们，来看一下 abm， 它是一个斜跨在这个平面直角坐标系中的一个三角形，对不对？哎，那在前面老师也给大家讲个方法啊，就是利用铅垂法求三角形的面积，好，铅垂法求三角形的面积的要点是什么，对不对？我们首先要过 上面这个点，哎，做一条与外轴平行的线对不对？好，我们做 m n， 那 在这里就直接先用实线给大家表示了啊，过点 m 做 m n 平行于外轴交 a b 与点 n。 好， 这句话呢，就不说了啊，直接就给大家表示出来了。好，那这个时候同学们，我们这个三角形的面积 哎，他要求三角形的面积最大，我们是不是要先表示出来这个三角形的面积的？呃，他的一个式子是什么，对不对？好，来看一下怎么去表示 s 三角形 abm 呢？ 哎，铅垂法求三角形的面积是二分之一的水平宽乘以铅垂高，对不对？水平宽是谁？同学们，是不是 x a 减 x b， 对吧？好，铅垂钩是什么？哎，是 y m 减 y n， 对 吧？好，转来了啊，哎，就相当于我们铅垂法求三角形的面积啊，就相当于是把求三角形的面积转化成了求减的坐标了，对吧？好，这个时候同学们， a 点的坐标你知道， b 点的坐标你也知道，然后 y m 跟 y n 怎么去看呢？哎，这个时候同学们，我们来看一下啊，你会发现 m 和 n 呀，是一个动点对不对？ n 是 随着 m 的 运动在动着的，那这个时候同学们，我们要观察一下 m 跟 n 之间有什么样的联系，你会发现 m 和 n 呀，它俩什么一样啊？同学们，它的横坐标是不一样的，对不对？好，那这个时候同学们怎么去做？哎，我们就设我们 m 的 坐标，横坐标设为 t。 好，这边思考一下啊，我如果说把 m 的 横坐标设为 t 了，那它的纵坐标怎么去表示？哎，有同学说，老师，这个好像不能表示来，同学们，它确实不是一个确切的数值，因为本身它就是动的，对不对？但是你看一下啊， m 是 不是在我们的抛物线上， 对吧？好，那我们 m 的 横坐标设为 t 的， 它的纵坐标是不是可以往抛线里一带就可以了，对不对？虽然说它有点麻烦啊。负二分之一的 t 方减 t 加四，对吧？好，你们 m 的 坐标我已经设出来了，那 n 点的坐标怎么求？ 哎，你们发现 m 和 n 是 横坐标相等的，对不对？好，那 m 的 横坐标我设为 t 之后， n 的 横坐标是不是也是 t？ 那 n 的 纵坐标怎么去求呢？ 哎，你会发现我 m 在 抛物线上，我就是，呃，设出来横坐标之后，往抛物线里一带得出来它的纵坐标，那 n 点在谁上面？ n 点是在一次函数坐标上面，对不对？我把 n 点的横坐标设为 t 之后，它的纵坐标是不是往往一次函数表达式里一带就可以了，对吧？就是我们前面所求的这个 a b 的 表达式了啊，那所以 我们这个 n 点的纵坐标往里一带就是负 t 加二，对吧？好，同学们， m n 都求出来了，那这个时候 y m 减 y n， 我 们是不是就能求了？是不是就是我们 m n 的 这个线段长呀？同学们， 对吧？好， m n 呢，就等于 y m 减 y n， 因为这个地方它是已经确定了 m 在 上 n 在 下了啊！同学们，好，那 y m 是 多少？是不就是我们的负二分之一的七方减七加四，对吧？那 y n 呢，是不是负 t 加减去负 t 加二，那就是加 t 减二，对不对？同学们，我们稍微的整理一下啊，负二分之一的 七方加二。好，这是我们 m n 的 长尾，已经求出来了啊！好，那接下来同学们， 三角形 abm 的 面积 s 三角形 abm 二分之一的 x a 减 s b， 怎么求？ x a 是 多少是二？ s b 呢？是负二，对不对？同学们，那直接往里带了啊， s a 减 s b， 那 就是二减负二是不是四，然后再乘以我们的这个负二分之一 梯子二，也就是负的梯方 加四，对吧？好，那 abm 的 面积我们发现表示出来之后，刚刚好是一个开口向下的二次函数，对不对？好，那求它的最值，你是不是就会求了？好，开口向下 对称轴是多少对不对？对，成轴 s 负二分之 b， 哎，你会发现正好是等于零，对吧？哎，所以对称轴是等于零。所以这个题目就是，当 我们的 t 等于零的时候，这个 s 三角形 a b m 最大，最大达到多少？同学们，达到四，对吧？好，但是你们看一下啊，题目中让你求的是什么？求的是点 m 的 坐标，那 你看屁股都求出来了， m 的 坐标我会不会求？是会的，是吧？好，那所以朋友们，往里一带，你会发现 m 点的坐标呢，就是多少零多少，往里一带零，往里一带是不是就是四，所以 m 点的坐标就乘出来了是零多少四。 老铁们，这是我们这道题目的一个解析思路，以上的这个问题呢，我们二次函数的压轴问题啊，就给大家彻底搞定了，我是三老师，日常分享数学干货，关于二次函数的面积问题，大家还有什么疑问，欢迎打在评论区。

哈喽，大家好，我是伯爵教育数学张老师，在九年级期末考试之前，张老师给你们安排一次小小的压轴几何啊，我们来看题。首先这里面是一个等边三角形啊，以它为背景，然后呢点对在 b c 射线上，这时候以 a 对 去构造了一个什么呢？矩形啊， a 对 沿逆时针方向排序，但是有一个这样的条件， a 对 等于二对 e 以及 等边三角边长为四，这样有两种数据，那我们看问题直接给了，当 c n 等于二， c m 就 这个 c n 等于二 c m 的 时候，让我们去求 m n 比 a 对 的值这两个组合，这头毫无疑问，你要去找什么？找什么？ a 相似对不对？相似啊，相似三角形，那我们来看题啊， c n c m， 我 知道等边三角形这阵多少度啊？ 六十度，六十度，他俩要呈现的是二比一。太好了，那这地方必须得满足什么了？ 直角了对不对？哎，所以这时候如果 m 在 线段 b c 上，是在线段 b c 的 时候，是不是符合这个图？好了，我们快速计算一下，边长为四，正好它是垂直的，所以说一比二比刚好三，出现 a 等于二倍刚好三，以及 a 等于刚好三，为啥呢？它有一个二倍关系是吧？ a 是 二倍刚好三得 e 就是 刚好三， 那我们还知道这点对， c 是 二，所以这小段是二减根号三，对吧？二就是这个 c m 等于二减根号三。我们来看看，要求的是 m n 比 a d， m n 在 这一块比 a d， 哎， 你特殊四边形是不是平行啊？有人 a 对 是平行于 m n 的， 那是不是就有相似了？所以你要找着谁啊？ m n 比 a 对 就可以是 m， n 比上 a 对 这两个竖着的比，是不等于这两个横着比？ c， m 比上 c 对 c 对 是二，二分之 c， m 是 二减， 刚好三，搞定了，是不是？还有吗？这里边有条件说对，是在射线 b、 c 上，所以我们出现了这种第二幅图， 对吧？哎，如果对真的离开了这个 b、 c 这个线段，在它右侧的时候，看我们这幅图 a， d， e、 f 这个矩形，这里边看 m 交射线 b， c 这个时候 n 是 交直线 a， c 在 这的好了，还是 c， n 等于二？ c m 我 还可以用这两组什么平行线呢？那你说你会发现 c、 n 比上 c、 m 这两副线的比，它能够等于是不？它俩之间的比啊，对不？哎， 我们来写一个 c n 比 c， m 是 能够等于 c， a 比上 c， d 啊，等于，你不是等于二的时候吗？那我们知道 c a 是 等于四，那它就等于几二啊？就说明我们能通过它求出 c， d 等于二，是这样吧， c、 d 等于二的情况下，我想要去求 m， n 比上 a、 d， 那 我就可以去求 n， c 比 m d 怎么求 m d 啊？这样是直角， 这点直角，我们如果是以圈叉命名，这点也是直角，那这点是什么角了？叉角， 这个我要是知道，现在我我这个 a 对 也能求 a 对， 怎么求？斜画直，把这二倍杠三拿回来，这也是二，这点是四了，对不对？说 s 对 是四 ac， 你 说 a， 对 方 是能够等于 a x 方加上 h， d 方，也就等于的是十二加上四，等于十二加上四，平方十六二十八呗。所以 a、 d 是 等于二倍根号七，写上 他要二倍根号七 d， e 就是 根号七，你说我已经有了这个直角三角形，一个直角边，想去求斜边，你会发现这个是叉角。那这也有叉角啊？ a， x， d 三角形 三角搁这写三角形 a， s， d 还相似于三角形，这叫谁呀？呃， d， e， m 呗， d， e， m 咱去找直接找比例就可以了呗。我要求的是它，咱们先来一个自己比自己吧。 d， e 是 不是对这个 对 e 对 的是对 m， 自己比自就是叉脚的对面，叉脚对面二倍根号三对这斜边二倍根号七对 e 是 根号七，比上对 m 算一下，对 m 等于二倍根号。三分之二乘七，也就等于的是三分之 七倍的根号三啊，他算完了三分之七倍的根号三。算完它以后，这时候是不是出结果了？还得加上前面的 c 对 二，是这样吗？也就是 m n， 最终啊， m， n 比上 a 对 它就能够等于的是 谁呀？刚才说的 c， m 比上 c， d， 那 也就等于的是二加三分子七倍根号三比上二化解一下子，这里面就充分成就是六分子多少啊？六加七倍根号三呗，是吧？哎，这么小结果。

思南引路，难题不辄。大家好，我是思南老师。九上期末二次函数这块呢，有一类让同学们特别头疼的问题啊，就是我们的区间对值问题，那这期视频呢，思南老师就来教一下大家这类题目应该怎么去做。他说，二次函数 y 等于 s， 方减二 m x x 大 于等于负一，小于等于二的时候，他对应的这个函数值 y 的 最小值呢，是负二，让我们去求 m 的 值， m 现在是不是在二次函数的表达式中，对吧？好，然后呢，他现在是给了一个区间， 然后给了他的函数值的最小值是负二，让我们去求 m 的 值，那怎么去求呢？对吧？好，对于这类题目啊，哎，我们首先呢，要把二次函数图像先画出来， 目前我们已经知道，二次函数的 a 是 等于几的，是等于一的，是大于的，所以它开口向上，对不对？二次函数的图像画出来之后，找一下它的对称轴应该是多少呢？同学们，哎，对于这个一般式，它的对称轴是 s 等于负的二， a 分 之 b， 对 吧？ 好，等于负的二， a 分 之 b 往里一带二， a 是 几？同学们， a 是 一， b 是 负二， m， 对 吧？好，所以呢，等于 m， 好， 这是我们的对准轴找出来了，哎，在这好，现在呢，他又给了一个范围， s 大 于等于负一，小于等于二，然后他的最小值是负二，好，那么那这一段范围 是不是就是给了一个区间，对不对？那这个区间到底在这二次函数的哪一个部分呢？我们是不能确定。好，那所以呢，就有三种情况啊，好，我们来看一下啊。首先， 这段有没有可能完全在对称轴的左侧，那我们这种情况来看一下啊，目前的话，呃，他的左区间是几？是负一，右边呢？是二，对吧？这个时候二次函数的最小值在哪个地方取的？是不是在 x 等于二的时候取的，对吧？好，那所以，哎，我们就来 把情况写一下啊，当 x 等于二的时候，这个时候呢，我们 y 取的最小值。 好，同学们，这个最小值是多少？是不是把二往里一带就可以了，对吧？好，那二往里一带，也就是二的平方四减去二的四四 m， 对 吧，等于多少？等于负二，好，同学们，这个时候你算算 m 等于多少呀？ m 等于二分之三啊，好，那这个时候同学们，二 m 等于二分之三，我们能不能要？ 哎，能不能要？要看什么？同学们，你要看一下啊，现在你的 m 是 什么？ m 是 对称轴，对称轴在二的哪一侧？我们如果说按照第一种情况全部在对称轴左侧的话， m 是 不是应该比二还要大， 对不对？哎，所以第一种情况是基于我们 m 大 于二的情况下去做的啊，同学们，而 m 等于二分之三，是不是不在这个范围内， 对不对？所以我们第一种情况就要舍掉了啊。第二种情况的话，同学们，我们是不是，哎，这个一段区间呢？正好跨过了我们对称轴，好，这个时候呢，这这个地方是负一，这个地方呢是二 啊。这种情况的话， x 等于多少的时候取得最小值啊？同学们，这个时候你看一下，哎，一定要分辨。好啊，一定是在对称轴数取得最小值，好吧？好，这时候当 s 等于 m 的 时候， y 取得最小值，最小值等于多少？把 m 往里带，对吧？那就是 m 方减去二 m 方， 也就是等于负的 m 方等于多少？同学们，等于负二，所以 m 等于多少？同学们，哎， m 一 等于正的个方二， m 二呢？等于负的根号二。朋友们，这两个结果还是要思考一下，是不是都能要对不对？好，那这个时候我们要怎么考虑呢？还是这样的呢？现在对称轴是不是处于负一和二之间，对吧？好，那所以我 m 的 值就应该是大于负一小于二的， 对吧？好，那正根号二和负根号二哪个在这个区间内？所以，哎，我们就找到了第一个答案，是多少的呢？哎，是等于正根号二了啊？好，这是我们第二种情况。接下来再来看第三种情况，我们全部在对准左侧，已经讨论过了，然后快和对准也考虑过了，然后最后是不是在全部在对准左侧？ 六层，是吧？好，那就是第三种情况。同学们，在第三种情况的时候，这个时候，哎，这个地方呢，是负一，这个地方是二，这个时候当 s 等于多少的时候，取得最小值负一啊，负一， y 取得最小值 等于多少呢？是不是还是往里一带，对吧？好，负一的平方一，然后减去二 m 乘以负一，是不是加上了二 m 等于多少？同学们，等于， 对吧？好，那这个时候 m 解出来是等于多少呢？ m 解出来是多少？你们是等于负的二分之三，对吧？好， m 等于负的二分之三，这个结果能不能一样呢？还是要看一下这个 m 的 直径范围。八、目前 m 如果处于这个位置，我们整段都在对称轴右侧的话，那 m 是 不是应该比负一 要小的，对吧？而负二分之三是不是刚好也是就是比负一要小的，对吧？所以我们这个情况是可以要的啊，所以对吧？哎，我们综合来看，这三种情况的话，我们 求出来了一二三四个结果，但是只有两种情况是符合题的，对不对？哎，一个是 m 等于正的根号二，一个是 m 等于二分之三，所以这道题目答案就是 m 的 值为正的根号二或者 负的二分之三。朋友们，这是我们这道题目啊，好，那今天的区间最值问题呢？大家听懂了吗？ s 老师呢，还给大家一道同类的练习题，大家可以用我刚才教的方法来做一下这道题目啊，然后在评论区告诉我你的答案是多少。

本视频耗时两百年，因为涛哥上辈子也是数学老师关于三角形的方方面面第一期挑战，简简单单六道压轴题是天才，三分钟就搞定。看题，这道题呢，它的考点其实并不是非常的复杂，就是考我们都熟悉的三角形全等和斜边 中线，哎，那么这个斜边中线当然会和中点有关，三角形全等呢，就是他的判定和性质了。那么 既然题目中啊，没有让我们去证明三角形全等，那我们对于三角形全等的处理，一旦有了全等三角形之后，一定就要干什么去用三角形全等的性质了，比如说边角都相等的关系。 好，我们先来看啊，给出一个等腰直角三角形，直角是角 a， 那 么两个腰呢，都等于五，同时 a d 等于二，那 dc 呢？就等于三，这没什么好说的。一点在 a b 上运动，当一点运动到某一个位置的时候，把 e e 给连起来，同时取到 d e 的 中点 g 点和 c b 的 中点 f 点，那也就说这个 c f 永远是等于 b f 的， 也就是说我用蓝色标一下，这两个蓝色的点是中点， 同时呢还有 a g 和 f g 相等， a g 和 f g 相等，那实际上根据斜边中线，你看这个 g 点是这个直角三角形， g 点是中点，斜边中线等于斜边的一半，所以这四条红色的线段是不是都相等啊？ 好，现在要求什么呢？要求 d e 的 长，求这条斜边的长等于多少呢？ 我们看啊，在这样一个蓝色的直角三角形中，要求斜边的长。我们知道了一个直角边等于二，也就是说，如果能够把 a e 给求出来，是不是斜边就可以直接求了？ 那 a e 怎么求呢？要求 a e， 我 们可以再做一个转化，实际上就是求 e b 吧。哎，把 e b 等于多少给求出来？ a b 是 等于五的嘛，所以 a e 就 能求。好，接着该怎么办？ 接下来其实我们的做法呢？这个辅助线很多同学能够想到的是把 df 给连起来，把 fe 也给连起来，这两条红色的线连起来是不是很容易想到的？你看看，因为， 因为这是一个等腰三角形，这也是个等腰三角形。根据两个等腰三角形或者斜边中线的逆定律啊，我们是不是很容易得到这个角一，这个是角一，这个角二，这个角二，角一加角二，是不就是九十度啊？因为两倍的角一加两倍的角二是等于三角形的内角和一百八，所以一倍的角一加角二呢，是九十度。哎， 这里就是九十度的关系。好，那再接下来我们还是要求 e b 对 不对？刚才这个方向，这该怎么办呢？这个辅助线就有同学忽略了，其实下一条辅助线还是利用斜边中线。我们这道题利用了几次斜边中线呢？ g 点是这个绿色三角形斜边的中线， g 点是上面这个绿色三角形的斜边中线。两次了吧，第三次我用绿色的辅助线把 a f 连起来，你看这个大的绿色的等腰直角三角形 f 点是不是也是斜边中线啊？ f 点是不是也是斜面的中点啊？所以 a f 就 等于 b f 吧，也就说途中这两条绿色的线是不是就相等啊？好，这两条绿色的线相等之后，接着就好办了，你看这个角是不是四十五度啊？没问题吧，因为这个大的三角形是等腰直角三角形，根据三线合一嘛， 而这个角是不是也是四十五度啊？所以角 d、 a、 f 是 等于角 e、 b、 f 等于四十五度的。 同时上面这个角一等于角二，有没有发现角一是等于角二的？为什么？因为中间这个角叫角三的话，我们根据同角的与角相等，角一加角三是不是九十度，角一和角三互余， 角二加角三是不是也等于九十度啊？这很容易发现的吧，所以角一等于角二。好，根据刚才这三组条件，是不是就是 a、 s、 a 啊？那两个三角形 d、 a、 f 全等于三角形 e、 f 这个全等三角形 就非常的隐蔽了，那如果这两个三角形全等 e、 b 是 不是就等于二了？那么 a、 e 是 不是就等于三呢？那这个直角三角形蓝色的斜边就是 根号，下一是三就做完了。好，这道题的关键呢，就是要能找到这两个全等的三角形。这两个全等的三角形的寻找啊，我们多次用到了斜边的中线， 那为什么要想到斜边中线呢？因为有关键词中点，并且在直角三角形的斜边中点上。所以呢，这道题大家好好的体会一下，其实并不难啊，只是说这个斜边中线再一次让大家体验到了它的隐蔽性 啊，大家好好体会一下中考数学背后有无规律，最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题汇总至今全网最详细的分类， 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。这道题的特点呢，他考察一个几何模型，叫绊脚模型。 关于绊脚模型啊，我在摆地闯关，还有之前的摆地冲刺网课中呢，都有讲到了，那这里呢，我们就直接去应用。那这个绊脚模型，它的特殊之处啊，在于，并没有直接给出，而是我们需要通过添加辅助线，哎，然后构造出绊脚模型。 好，我们先来看题啊，这个题目其实并不复杂，给出一个正方形，然后呢，有几条线段我们是知道它长度的， b e 的 长等于五， f d 的 长也是等于五的，以及 c， n 的 长等于八。好，加上这个正方形的条件以及垂直的关系，哎，中间是个垂直的关系。好，要求 a n 的 长， a， n 呢，就是蓝色这条线， 那么要求 a n 这条线段的长。我们很容易想到啊，这个 a n 是 在这样一个直角三角形中，那也就是说，如果 d n 和 a d 这两条直角边都知道，那就可以用勾股定律求了。那么很容易想到的就是把 e c 设为 x 的 话，那么根据 正方形的边长是五加 x， 所以 d n 的 长呢，就是 x 减三好， 那么 a d 的 长呢，也就是五加 x， 对 不对？那换句话来讲，求 a n， 那 就是要求 x 等于多少吧，你把 x 求出来了，那么用勾股定力，一切迎刃而解。好，那如何求 x 呢？要求一个未知数 x， 我 们肯定要构造一个 方程吧，哎，左右两边如果都含有 x 或者是 x 的 代数式的话，就可以解方程了。好，那关键就是如何构造这个方程。 分析到现在，我们发现其中有一个条件始终都还没用上，是什么样的条件呢？就是中间这个垂直的关系，大家发现了吗？而且啊，我们说 f d 和 b e 这两条线段相等，哎，这个条件是不是也没有用上啊？ 那大家想想啊，两条线段相等，那如果把这两条线段装到两个三角形中去，那这两个三角形是不是有可能是全等的关系啊？这就是这道题的解析思路的关键，也就是你能够正确的画出辅助线的关键了。好，我先把这些都给擦掉啊， 把这个 x 减三留着。那么大家看啊， f d 和 b e 这两条红色的线段，注意啊，把 a、 f 连起来，再把 a、 e 给连起来， 我们很容易发现，上面这个绿色三角形和下面这个绿色三角形就是全等的关系了，也就是说三角形 a、 d、 f 是 全等于三角形， a、 b、 e 的 这两个三角形全等， 这个很容易发现吧，这个我你看呢，你可以用 s a s 来证嘛，因为 f d 等于 b、 e， 同时直角等于直角，对不对？所以呢，还有一个正方形的两条边嘛，相等嘛？好，所以这个就是 s a s， 所以 就不再对数了啊。好， 这两个三角形全等，那我们记这个角是角一的话，这个角也是角一，那中间这个角呢？我们记作角二，我们知道角一加角二是不是等于九十度啊？哎，我都画出来了，那么上面这个角一加角二呢？这是不是也就是九十度啊？好，我把这个角一角二呢就用九十度来表示了， 然后接下来发现了没，这里有垂直的关系，以及根据 a f 等于 a e， 那 么这个红色的啊，这个红色的三角形，直角三角形 r t 三角形 e a f 是 不是为等腰 直角三角形的？哎，好，那么既然是等腰直角三角形，而且斜边或者叫底边的了啊，底边上的高，大家发现没？垂直的关系，那是不是又是底边的中线啊？等等等等那一系列的关系。最后我们可以发现这个角 就是四十五度了，这个角呢也是四十五度，也就是说三线合一吗？ am 就是 角平分线也是高，也是中线，对不对？好，我们把上面这个四十五度给擦掉，这些都给擦掉，都给擦掉，那么根据这个角是四十五度，我们是不是就出现了 绊脚模型啦，我们要的绊脚模型是不就出来啦，这个角是四十五度，然后在这个蓝色的正方形里面，然后我们绊脚模型的处理方法是不是就旋转呐，把下面这个三角形蓝色的 a b e 旋转九十度到上面去，然后呢就会有这个蓝色的三角形和 把 e n 连起来，和这个蓝色的三角形就全等了吧，半角模型得到的，所以三角形我写上了 a e n 是 全等于三角形， a f n 的 两个三角形全等对应边是不相等啊，那么 f n 这条边是不是等于 e n 这条边呐？那么 e n 等于 f n 等于多少啊？ x 加二好了，那么我们就把 e n 写上 x 加二。最后我们再来看看，我们不是要求 x 吗？还差一个关于 x 的 方程对不对？那看这个红色的 直角三角形，是不就有了勾股定律构造方程啊，于是 x 平方加八的平方等于 x 加二的平方，哎，这是不是构造了一个 x 的 方程？用勾股定律很容易解得，这实际上是一个一元一次方程，因为 x 的 平方消掉了 x 就 等于 一十五。好， x 求出来了，等于一十五，那么这个正方形的长和宽是不是就都求出来了？好，总之呢， x 等于十五之后，这段 d n 的 长不是 x 减三吗？就变成了一十二，那么 a d 的 长呢？就变成了二十。好，要求， a n 是 不是再用一次勾股定律啊？ 所以 a n 就 等于根号下的四百，加上一百四十四嘛，也就是二十的平方加十二的平方，很容易得到 四倍根号加三十四。哎，这道题呢就做完了。好，这道题呢，我们简单的回顾一下，一开始已经分析了，要求 a n， 其实就是把 x 给求出来，对不对？求这个 x 就是 寻找一个方程，这个方程最后呢，还是根据勾股定律得来的，也就是这样的一个红色三角形。大家看了右下角这个图中这个红色的三角形， 那么这个勾股定律，本来这个 x 和八是有的，关键就是个斜边， x 加二怎么来的？这个 x 加二实际上就是等于上面这一段，上面这一段呢？因为这段是五，这一段呢，是 x 减三，对吧？那么是根据上面这一段得来的。那为什么上这条 f n 是 等于 e n 的 呢？因为根据半角模型，哎，这一对三角形全等，那为什么会有半角模型呢？因为这个角为什么是四十五度呢？根据三线合一，哎， 所以这道题呢，还是有一定难度，但是究其本质来讲啊，还是考察我们的半角模型好，只是这个半角模型的四十五度角需要我们先正出来，而且呢，它的一个这条绿色的线呢，还是一条辅助线 啊？那这条辅助线是怎么来的呢？这两条绿色的线，那是因为 b、 e 等于 f、 d 有 两条相等的线段，把它们分别装到一对全等的三角形中去，也就是构造出了我用绿色表示一下，这个绿色的， 这个绿色的上下两个绿色的三角形，他们全等啊，那总之呢，这道题啊，大家好好体会一下，每一条辅助线，每一种方法，每一个模型为什么要用它，这个辅助线怎么来的都是有原因的，所以这个思路大家一定要好好体会。 这是一个典型的逆等线问题。关于逆等线的问题，我在往期的课程三角形全等和相似专题中有详细的介绍，包含着所有类型。这道题啊，如果你不会逆等线，你会做的很复杂。 关于逆等线啊，如果是我的网课用户，你没有找到，我可以发给你给出。等幺直角三角形，两个幺是四， 然后有两个洞点，满足一比二分之根号二的关系，也就是说 c、 e 的 长为 a 的 话， a、 d 的 长就是二分之根号二倍的 a， 那 这就是一个典型的加权逆等线。 加权逆等线想都不用想，构造的是三角形的相似，那就是左边这个三角形要相似于右边这个三角形。 如何寻找左边的目标三角形我们也有直接的套路，首先目标三角形要包含逆等线，也就是 c、 e， a、 d 这两条线段，同时还要满足三角形相似的判据，那我们就去找固定的角和固定的边， 这个角是四十五度是很容易看出来的，以及 a、 c 是 固定的边是多少四倍根号二的长，那也就是说我们就找到了边角边这样一个目标三角形 s a s 的 判据。那第一个左边的三角形就出来了，是三角形 a、 e、 c 要相似于右边的三角形，是我们通过辅助线构造出来的。右边的三角形首先也要包含我们的逆等线 a、 d， 他们的相似比呢？是一比上二分之根号二。哎，这相似比也告诉我们了，一比上二分之根号二，我就先写出来，那这个三角形该怎么构造呢？首先找到这个四十五度的角，是不是很容易想到做一条平行线过去，这条线的长 要满足比上 a， c 是 二分之根号二比一对不对啊？那很容易想到啊，这个线的长就是四嘛。好，这个点呢，我们就记作 p 点，然后把 d p 给连起来，这个蓝色的三角形就和这个蓝色的三角形属于三角形相似的关系。我们做出来了三角形 p d， a 好 通过构造出相似的三角形 p d， a 中题目已知条件的这个线段的比， 那么再用三角形相似的性质，因为三角形相似我们构造出来的，这不是我们的目的吧，我们要用三角形相似的性质，也就是角和角相等线段成比例。那这四个选项迎刃而解。第一个选项 a e 比上 b d， a e 在 这里 b d 呢？在这里我们可以通过这个三角形和这个三角形全等吧，这是不是一个特殊的关系啊？能够做一个等量替换，把 b d 替换为 dp， 那 a e 比上 dp 不 就是相似比啊？就是根号二比一，所以第一个是对的。再来看第二个 一百三十五度的固定角 d f e， 这个角是不是一百三十五度？首先这个 f 点是个动点，对不对啊？那如果是个一百三十五度的话，那后面是不是就有定前定角的可能啊？ 我们先来判断第二个选项，那同样的，既然是角度的关系，那就倒角吧，用三角形相似对应角相等这个角，我们知道这个目标这个角，它是等于角一加上这个角二的，这是内外角的关系， 而我们这个角一是不是等于这个角一啊？根据三角形相似，同时这个角二。刚才说了，三角形有全等，那等于这个角二。我们知道角一加角二是不是一百三十五度啊？为什么？因为上面这个角是四十五度呀？ 上面这个角为什么是四十五度？因为这个角三是不是等于这个角三的？这两个角三是对应角啊？那下面这个角三是四十五度没有问题吧？好，那总之呢，它是等于角一加角二，角一加角二很容易得到一百三十五，所以是对的。第二问，这个固定的一百三十五，大家看啊，这个是一百三十五，对顶角是不是在左边来了？ 那左边这个一百三十五度的角很容易得到 f 点，是不是一个以 ab 作为定弦的一段圆弧上啊？这个圆我可以画出来用绿色表示一下， 大概就是在这个圆上，那么圆心我们记作 o 点的话， a o 就是 半径， o b 也是半径， 我们根据倒角的关系啊，或者是圆内的弧弦角距的关系，圆心角，圆周角的关系，你就可以做出一系列的引含条件和辅助线了。首先可能知道这个角是九十度，如果这你不知道的话，你就去复习一下圆心角和圆周角的关系， 然后问第三问 a b， f 面积最大， a b f 就是 这个红色三角形，它的底是不是四啊？那面积最大，就是这个 f 点到 ab 的 距离最远，也就是这个高最大，那很容易得到 f 点呢？就是垂直于 ab 的 时候，所以很容易得到 f 点过 ab 中垂线的时候，那我们把 of 连起来，假如此时就是最大值，那么这就是垂直的，而且这一段等于这一段是个垂直平分的关系，这个大家去看就很容易得到啊，我就不再赘述了。那既如此，我们图形已经定下来了， 你看 ab 的 长是四，那就这一段就是二，这一段也就是二。我们要求的面积，那不就是求。我们把这个焦点呢记作 s 的 话，那这个面积是不是就等于二分之一的底，也就是四去乘以 s， 那 也就是说能够把这个高 s 求出来就可以了，这 s 就是 绿色，这一段呢？ s 绿色这一段好， s 怎么求啊？ s 不 就等于半径 r 再减去 o s 吧，半径 r 好 不好求，这段是二，这段也就是二，那这段不就是二倍根号二啊。 哎，半径是二倍根号二，减去 o s， o s 的 长已经给出来，就是二嘛，减去二。好，我们把这个 s 等于二倍根号减二带到上面去，很容易得到。 这第三个选项也是正确的。最后第四个选项更容易做了。 c f 的 最小值， c 点是个定点， f 点是一个圆上轨迹的动点，圆外的一个定点到圆上某一个点距离的最小值，那不就是把 o c 给连起来。这种题我们做了无数遍了吧， o c 给连起来， 那就是求 o c 的 长最小值就是 o c 减去这个半径二， o c 好 不好，求过 o 点做平行垂直的关系，很容易得到。勾股定比啊，你看 b， c 的 长是四，那这个点我们记作 t t b 的 长是多少？根据半径是二，这是一个等腰直角三角形， 那么这段就是二，这段就是二，很容易求出。 o c 的 长是二倍，根号十，半径呢是 二倍根号二，那相减是不就是我们这个要求的也是对的？所以一二三四老规矩。我们最后再来总结一下逆等线的问题。逆等线无论是加权还是不加权，我们最多的方法就是构造三角形相似或者三角形全等，那么构造相似和全等最重要的就是找到目标三角形，这目标三角形 相似和全等的判据通常是要满足的。这道题中我们找到的是 s a s 这个判据，因为无论是相似还是全等， 逆等线本身就要参与构造，那就是这个 s 这条边一定是能找到的，那剩下的就去找另外的角和另外的边，要能构成相似和全等的判据就可以了。所以找到目标三角形，这是逆等线最重要的一步， 第二步就是找到了相似和全等关系以后，那就要去利用相似和全等的性质作为引含条件，去解我们后面的问题。好，那这道题呢，我们就讲到这里，如果逆等线我网课的用户你找不到，你可以告诉我，我直接发给你。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴专题，汇总至今全网最详细的分类。这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律，这项工作在未来还会持续进行， 并将部分结果收入于四加三培优体系。这道题主要考察三角形相似。三角形相似。我相信所有同学都会遇到这样一个问题，一对三角形相似，就会有三对比例关系，是不是？这三对比例关系，你在解析的时候到底是选哪一些？ 这是不是很头痛啊？你要把它都写出来，这个式子就很复杂了。首先我们把这个问题给大家搞定啊，这三对比例关系，其实我们只要用两对就行，什么意思啊？你看啊，这个是一号，这个是二号，这个是三号。 通常的时候我们要写一等于二，二等于三，还有一等于三，这看起来是有三个等量关系，对不对？但实际上啊，只有两个，因为这三个中，你任取两个就能推出第三个，那也就说推出来的第三个，实际上自己等于自己了。 也就如果你用了第一个和第二个，你看，一等于二了，二也等于三了，那自然而然可以通过前两个推出一等于三，所以一等于三就不需要用了。同 一样的啊，假如你选了第二号和第三号这两个等量关系，那二等于三，一也等于三，那一是不等于二啊？所以啊，三角形相似中的这三个比例线段构成的三个等量关系，有用的只有两个。 好，那现在问题又来了，这三个里面取两个，到底取哪两个呢？这是不是问题啊？好，那这个时候我们接下来这道题就会给出我们一些具体的操作思路了。那第一个问题我已经讲清楚了啊，三角形相似三个里面，你只要取两个等量关系就行。 给出一个 a、 b、 c 三角形，这个三角形呢，是一个动态的三角形，因为只有两个定长的边， a、 c 和 a b 分 别是二和三，那 b、 c 的 长并不知道，那不管 b、 c 等于多长，始终过 c 点做平行于 ab 的 线 c m。 同时呢，在 c、 b 的 这条边上有一个动点 e， 无论 e 点运动到何处，和 a 点连起来，延长相交平行线于 d 点，然后这个 e、 d 的 线段是不是就固定了 e、 d 的 长？如果为 a 的 话，那么 pa 的 长就会是二 a， 也就是说，这个 p 点始终要满足 ap 等于两倍的 e、 d， 然后过 p 点做平行线，交于 q 点， 是不是看起来很绕啊？这个图形关系，接下来还有更绕的两条线段，分别用 x、 y 来表示， a q 是 x， p q 是 y， 这两个线段呢？ a q 和 p q 是 不是都是动态的线段？它不是定长的线段吧？那我们要求这两个线段之间的关系。 哎，两个动态线段之间的关系的话，那是不是就更加复杂了？那该怎么办呢？首先，这道题的思路意图是很明显很直接的，大家肯定知道考察三角形相似，那这里面有哪些三角形相似呢？有两对三角形相似，这是第一对 a 字形的相似， 这是第二对蓝色的八字形相似。我先把他们给写上，肯定要用的到的三角形 apq 相似于三角形的相似，第二对三角形 a、 b、 p 相似于三角形 b、 c、 e， 这是八字形的相似。好了，我们刚才讲了，一对三角形相似有三对等量关系，有用的是两对。 那么两对三角形相似就有六对等量关系，而有用的呢，实际上是四对。那换句话来讲，我们要从这两对三角形相似中选出四个等量关系构造方程， 从而得出 y 与 x 的 函数表达式，这是我们的思路。那难点在于哪里呢？难点在于这六选四该怎么选？你要舍掉哪两个？ 好，我们先来看第一问， x 等于 y 的 时候， cd 的 长， x 等于 y， 那 这个红色的三角形就是一个等腰三角形，那和它相似的这个大红呢？也是等腰吧，所以 ac 等于 cd 嘛，那 cd 就是 二嘛。写上好，接着来看 y 和 x 的 关系啊，现在 x y 就 不相等了啊，那这两个该怎么建立关系呢？ 首先我们再盯着三角形相似来看一下啊，这一个绿色和这个绿色是相似的，以及这一个蓝色和这个蓝色是相似的。这两对相似三角形，他们有什么特殊关系吗？这就是这道题的关键了。特殊关系有，就是 a d 这一条线段， a d， 大家看，我用绿色加粗了 a、 d， 它既在 a 字形的相似中，又在八字形的相似中，也就是说 a、 d 这个线段上的比例啊，它既能出现在上面 a 字形的等量关系中，又能出现在下面八字形的等量关系中，那上下两个等量关系三角形相似，是不是就构建了联系啊？ 所以我们在选举等量关系的时候，一定要选和 a、 d 有 关的，与 a、 d 有 关的等量 关系。这是我们的第一个思路。你光与 a、 d 有 关的等量关系，这一个线索能不能找到我们要的这四个等量关系？并不能，所以还有第二个线索。第二个线索就是与 定长线段有关的等量关系有关的等量关系。定长线段是什么？ a、 b 是 不是定长等于三？ a、 c 是 不是定长等于二啊？而 a、 c 和 ab 是 不是也在这两对相似三角形中啊？好，有了这两个线索，那么这六个等量关系中如何去找到这四个就已经定下来了，这就是我们的思路。好，再回到我们目标上来啊。首先， y 和 x 的 函数表达式，我们最容易发现的就是 y 与 x 是 在同一个三角形中吧？ 大家发现没，同一个三角形中，那很容易得到，就是 y 比 x 等于 c， d 比上 a、 c， 那 从而化简得到 y 等于二分之， c、 d 乘以 x。 好， 这个题就做完了嘛， y 就 等于 x 的 关系了呀，并没有吧，因为 c、 d 它是不确定的。于是我们接下来的思路就是要去寻找 c、 d 与 x 或者 c、 d 与 y 的 关系。如果能够找到 c、 d、 x 或者 c、 d 以外的关系带进来，是不是就消掉了 c、 d 只留 x、 y 了？那就做完了嘛？好，那我们把这个一式先做一个保留，这是一式，那接下来我们就要找四对等量关系 来寻找 c、 d、 x 或 c、 d 与 y 的 关系了。好，这四对等量关系，刚才利用这两个线索，通过 a 字和八字的三角形相似，就很容易找到了。我先找 a 字中的关系， a 字中的关系，大家看看， a 字在这里，这一个和这一个绿色是相似的。首先要有 a、 d 线段嘛，那不就是 ap 比上 a、 d， 是 不是在 a、 d 线段上好等于多少呢？再一个关系，那就是要有定长的线段 a、 c 在 这里的嘛，那不就是 a q 比上 a c 呀。哎，这是 a 字形的相似中的等量关系，是不就出来了，这是一，这是二呀，我们已经找到了两个了吧，还需要三和四，不就是从六个里面选出了四个啊。好，再来看八字形中的，八字形中的相似，一样的要在 a、 d 上先去找，那 a、 d 上去找八字形的相似，不就是 e d 比上 e a 啊，好，这是第一对啊， e d 比上 e a， 那 第二对呢？要含有常数，常数不就是 ab 和 cd 啊，所以 等于 cd 比上 ab 好， 那么这两对等量关系啊，都找到了，其实你看一二三四，是不是六选四，这四选出来了吧，他选择的依据是不是我们前面讲这两条线数啊，与定长线段有关，你这大家就不用去猜了， 不然的话你这一二三，然后第二对，这样一下是还有四五六，你这样去从六个里面去选四个，你碰运气肯定是不行的。好，那我们继续进行化简啊，这个是二式，这个是三式。我们把二式和三式做一个化简，二式化简得到 ap 是 二， a， ad 呢是三， a 加上 pe 正好右边 a， q， x， a， c 是 二，这就是我们化简后的二式。化简后的三式， e， d 是 a， e， a 是 二， a 加上 pe 等于 cd 不知道，而 ab 呢是三，这是三式。我们的目标。大家千万别忘了啊，我们要通过二式和三式得到 cd 与 x 或者 cd 与 y 的 关系，然后代入到我们的一式中去，最后消掉 cd。 那 我们再来看二式和三式有没有 cd 和 x、 y 的 关系呢？ 首先二十和三十中没有 y， 那 就好了，我们目标更明确了，就是通过二十和三十找到 cd 和 x 的 关系就可以了。 cd 和 x 的 关系好不好找呢？现在有点麻烦，因为多出来的参数 a 和 pe， 这是有点麻烦的，那我们就得通过把二式和三式连立以后，消掉 a 和 pe， 那 好不好消呢？首先我们要想办法把这个独立的 pe 给消掉，我们先想办法，那 pe 在 分母上是不好消的，要把它放到分子上去，于是做一个倒数的转换，二式和三式啊，同时做一个倒数的转换，就变成了二， a 分 之三， a 加上 pe 等于 x 分 之三。好，这是三式。二式和三式可以进一步化简， 二分之三加上 pe 比上二， a 等于二比 x， 这是二式。三式做一个化简，二加上 pe 比上 a 等于三，比上 c， d 就是 三式。好了，这个新的 二式和三式，其实就是原来的二式和三式吧，是等价的吧。那么我们的目标是消掉 pe 和 a， 留下 x 和 c、 d 吧，那好不好消，这很好消了吧，大家看这个 pe 和 a 是 不是可以做一个整体呀？我们把二式等号左右两边同时乘以二， 二式乘以二，等号左右两边同时乘以二，是不得到一个新的二式。三加上 p， e 比上 a 等于四比 x， 这是二式，三式不变。二加上 p， e 比上 a 等于三比上 cd 好。 二式和三式中的这个 p e 比 a 是 不是一个整体啊？做一个整体就消掉了吧。我们用二式减去三式，二减三，最后得到 一等于四比 x 减去三比上 c， d， c d 等于三， x 比上四减 x， 那 么 c， d 和 x 的 关系就出来了吧，把它带入到一式中，最后就消掉了。 c， d 留下了 x， y 啊，最后 x y 的 表达式呢？我写在上面啊， y 等于三 x 比上二倍的四减 x 啊！这道题就做完了。其实这道题的思路还是非常直接的，它的考点也特别的明确，就是考察三角形相似中的比例关系。你如何去寻找比例关系？大家回过头去，再去看一下我刚刚说的这两个线索啊，非常的重要。中考数学背后有无规律？ 最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考压轴题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得，我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。 有一定的难度啊，因为他的条件比较隐含，而且这道题他其实考察了一个几何模型，这个几何模型呢，我们很多同学都见过，叫一线 三垂直，但是这个一线三垂直和我们通常的是有很大的区别的，我们通常见的一线三垂直是怎样的呢？我画一个图是一条直线，然后呢，在直线上有一个直角，好，然后做两个垂线，左边红色和右边红色三角形就是相似的或者是全等的，是这样的一线三垂直。但是这道题中 他的一线三垂直是有别于刚才所讲的这样的，因为一线三垂直，还有一种情况，大家看着啊，我画一条直线，好在这个直线上呢，有这样一个直角，同时呢，再做一个直角，再做一个直角，大家看一下， 一个直角，两个直角，三个直角，这也是一线三垂直，于是呢，上面这个蓝色的三角形也是相似或者是全等的。而这道题他所考察的就是这第二种一线三垂直， 而且它非常的隐蔽。好了，那我们来看题，首先给出一个等腰直角三角形， a c d， 大家看这个是一个等腰直角三角形，那也就是说 a c 是 等于 d c 的， 然后呢，这里有一个九十度， 同时这个角 q b e 蓝色这个角，它的正切是等于三。哎，这是不是非常特殊的一个条件，一定要用上。那么第二个等腰直角三角形，大家看把 e d 给连起来， 这个蓝色的三角形也是等腰直角三角形，那么一角呢，是直角，那我也写上 c e 等于 b e， 对 吧？有两对相等的线段。好，现在要求什么呢？求 b e 的 长， 这条蓝色的 b e 等于多少？哎，这个题目看起来其实很简单啊，就是两个等腰直角三角形，一个两个同时呢，有一个正切为三的角，现在要求 b e 的 长，对吧？这个条件看起来并不复杂，那该怎么办呢？ 我们的突破口当然是这个正切值，给了你一个角的正切，那我们是不是就可以马上构造一个直角三角形，把这个正切值给利用起来啊？所以我们很容易想到的是过 c 点 做一个垂线，哎，这个垂足呢？我们记住 p 点可以吧？就这个垂足呢？那么于是根据这个蓝色的角正弦是三的话，我们是不是可以设未知数啊？我们可以设 c p 等于三倍的 a， 那 么 b p 是 不是就等于一倍的 a 啊？因为是三比一的关系吗？三 a b p 呢？就是 a， 好， 这个时候我们是不是就把这个角给利用起来了？但是这样做出来的话有什么用呢？它和它对于我们求 b e 这条线段有什么帮助吗？暂时看不出来，但是这个时候大家有没有发现有一线三垂直的可能啊？大家看一下啊，角 c 是 不是一个直角？ 好，我们刚才做了这条垂线 c p， 如果把它延长的话，大家看往下延长。好，那么因为这里是一个大的直角，绿色的画出来，这个没问题啊，这里角 c 又是一个直角，两个直角了，那么过低点再做一个垂线，哎，这是不是第三个直角，这个时候是不是就构成了一线三垂直的模型啊？ 哎，就是我们上面这种情况呢，你看，其实就是把上面这个我们第二种一线三垂直的情况，把它给倒过来嘛，就是一条直线，然后呢有一个直角，然后第二个直角，第三个直角，那么左边三角形和右边三角形就是相似的，或者是全等的了。好， 那么我们构造出来这样的一个一线三垂直的模型之后啊，你看啊，这个绿色的三角形和这个绿色的三角形是相似或者是全等的，那我们先写上，至少是相似的。所以第一步，三角形 a、 c p 是 相似于三角形 c、 d， 那 这个垂足呢？我们记作 r 点，哎， r 好， 也就左右两个三角形相似，那么我们又能够根据 a c 等于 cd 是 不是相似？三角形的对应边相等，那不就是两个三角形全等吧。哎，根据 ac 等于 cd 的 话呢， ac 等于 cd 对 应边相等，那这两个三角形就全等了，这样就比相似更加特殊。好，这两个三角形全等，这就是我们的第一步。做好了，接着 我们就能够把图中的一些线段分别用 a 这个参数来表示了，因为还有一个已知的值， ab 等于十。来看， ab 等于十，根据 a， b 等于十。 ap 呢？大家看 ap 的 长是不是就是十加 a 啊？对吧？十加 a 同时 c r 的 长，这条蓝色的线段 c r 的 长是不是也是十加 a 啊？因为三角形全等嘛， ap 和 c， r 是 对应边以及呢 p r 的 长， 这一节，大家看这段是不是就是十加 a 减去三 a 啊，那就是十减二 a 好，这些呢，就是我们已知的线段，这就是我们啊，根据三角形全等和正切值，设出来了 a 和三 a 得到的一些隐含条件，接着我们继续往后做，我们的目标是干什么？求 b e 的 长，对吧，你看 b、 e 的 长在这里， b e 的 长 第二步啦，我们目标求 b e 的 长，它实际上等于 b p 加上 p e， 对 不对？这个 b p 它就是我们刚才所设的这个 a， 那 么关键就是把 p e 给求出来，然后把 a 给求出来， b e 是 不是就可求啦？好，那么我们再把目标放到 p e 上来， p e 这条线段，它非常的特殊，为什么呢？我们首先能够得到四点共圆，大家看啊， c 点、 e 点、 d 点和 r 点是四点共圆的，为什么四点共圆？因为角 e 和角 r 是 不对角互补啊，所以呢，首先 c 点、 e 点、 d 点和 r 点四点共圆，四点共圆之后呢，我们根据共边角相等，大家看啊， 这个角叫角一的话，这个角叫角二的话，很容易得到角一等于角二，这个没问题吧？而角一是什么啊？我们刚才讲了，这个蓝色的三角形是一个等腰直角三角形，已知条件吧，角一等于四十五度，所以角二呢，也是四十五度。既然角二是四十五度的话，那上面这个角 是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个绿色的三角形是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看一下，这个角是不是也是四十五度啊？好，于是大家看，一为 等腰直角三角形，哎，得到等腰直角三角形之后呢， pe 就 等于 pr， 而 pr 上面是不是有啊？在这里，哎，直接写下来了吗？就等于一十减二 a， 好， 我们已经写到这里之后，接下来就一切迎刃而解了，就是做计算了，为什么呢？我们刚才讲了，求 b e 的 长，他实际上等于 b p 加 p e， b p 是 等于 a， 而 p e 等于多少？ p e 是 等于十减二 a， 对 吧？那也就是说十减二 a， 那 最后 相加嘛，就是十减 a。 好， 那么我们只需要求出 a 等于多少，那一切这个 b 的 长是不是就求出来了？因为 b 的 长是十减 a 嘛，那如何求 a 呢？这个 a 是 不是一个未知数啊？而且只有一个未知数，我们只需要干什么？构造一个 方程就可以了，也就是寻找一个等量关系嘛。那么在这个图中有很多直角三角形，那勾股定力是不是就是一个天然的构造等量关系的重要的工具啊？ 勾股定律，哎，这个思想啊，大家一定要重视啊。勾股定律能够构造一个天然的等量关系，所以呢，就能够求这个未知数，具有一定的可能了。那么我们就找这样的一个直角三角形，大家看啊，直角三角形 cpe， 这个红色的，大家看这个红色的直角三角形 cpe。 第三步， 我们很容易得到 c e 的 平方，等于 c p 的 平方，加上 pe 的 平方。哎，我们只需要把 c e， c p 和 pe 都用 a 来表示，然后把这个方程给解出来，那 a 是 不就求出来了？好，那我们一个一个来啊，我把等号先写在这里，我们先看等号右边的 c p 等于多少？ c t， 它是不是就是三倍的 a 呀？哎，在这里呢，已知条件都有，所以呢，就是它的平方就是九倍 a 的 平方，加上 p e， p， e 的 长，是不是就是这里有了十减二 a， 对 不对啊？哎，加上十减二 a 平方，好，那么左边 c e 我 们能够用 a 来表示就可以了吧？ c e 在 哪里啊？我把这个擦掉啊， c e 在 这里， c e 我 们好像跟 a 是 没有关系的吧，但是大家发现了吗？我们又一次利用这个等腰直角三角形 c e， 它是不是等于 c、 d 去除以根号二呀，对吧？因为是等腰直角三角形啊，而 c、 d 的 长呢，我们是可以表示的。为什么呢？我们先一步步来看啊， c、 e 是 等于 c、 d 除以根号，所以它的平方呢，要加上来。好，我们把这个等式先写过来，就是 c、 d 的 平方除以二等于 得三倍， a 的 平方减四十倍的 a 加上一百，是吧？我做了一个化简啊。好，我们关注 c、 d 的 平方就可以了。 c、 d 的 平方，那 c、 d 它是不是等于 a c 啊？ 这个没问题吧，所以 c、 d 的 平方就可以把它写成 a c 的 平方。好，那 a、 c 的 平方是不是又有一个直角三角形？大家看蓝色的这个直角三角形， 再画一遍啊，蓝色的这个直角三角形，所以 a、 c 的 平方，我写上来。 a、 c 的 平方，它是不是就是等于 a、 p 的 平方加上 c p 的 平方啊？因为蓝色的直角三角形呢？ a p 在 这里， c p 还是三 a， 对 吧？所以 a、 c 的 平方就等于 a、 p 的 平方。十加 a 的 平方，再加上 c、 p 的 平方，三 a 的 平方就九倍 a 的 平方。好，那么 a、 c 的 平方我们知道了，把它带到上面来，那么这是不是又得到一个关于 a 的 方程了？好，那么最后化简啊，都写到最左边了啊， ac 的 平方展开得到十倍， a 的 平方加上二十倍的 a， 加上一百除以二。好，要等于右边的一十三倍， a 平方减四倍， a 加上一百，对吧？就解这个方程，把 a 解出来，然后 就能够迎刃而解了吧，因为 b e 的 长是十减 a。 好， 我们解这个方程，做一个化减吧。啊，这个是四十倍的 a 啊，那么最后呢，我们把这个方程做一个化减，可以化减为四倍， a 的 平方减二十五倍的 a 加上二十五等于零，这个是一个简单的计算，不再对数了，最后解得 a 等于五或者 a 等于四分之五。好，你把 a 这两个答案当然都可以带进去，所以呢，用一十啊，减去 a， 最后 b 的 长呢，就是五或者四分之三十五。 好了，那么这道题那就算是做完了啊，有一定的难度。这道题啊，它的突破口在哪里呢？它的突破口在于 把这个正切为三的角构造到一个直角三角形中去，大家看啊，就是中间这个 cbp 这个绿色的直角三角形，把它做出来之后呢，然后我们能够发现这条线啊，这条线刚好 是有一个直角的，然后把它延长之后，构造出了一线三垂直的模型啊，这个一线三垂直特别的特殊，然后呢，多次的利用勾股定律，我们用了几次勾股定律啊？两次勾股定律吧， 第一次勾股定律是在这个红色的三角形中，第二次的勾股定律呢，是在左边这个红色的三角形中，而且中间有一些条件转换，有一定的复杂性，大家好好要体会一下。而且啊，这个图中 已知条件是有两个等腰直角三角形的，第一个这个红色的，第二个这个红色的。但实际上，我们根据四点共圆的模型发现啊，这里还有第三个等腰直角三角形。所以，这道题中，等腰直角三角形呢，一共有三个。 哎，这道题呢，有一定的难度啊，大家好好体会一下。中考数学最难的知识点，一定是三角形相似，不接受反驳，这道题，大家就能好好的体会一下，三角形相似到底难在哪里了，我先把理由给大家讲出来。 首先，三角形相似，它能够刻画一对三角形相应边之间的比例关系啊，就是谁比谁等于谁比谁，对不对？而且呢，这种比例关系呢，根据比例的性质啊，有七大比例的性质，所以从比例关系的七大性质来讲呢，它可以和代数进行关联，这就很难了。 最难的是什么呢？三角形相似是你根本就找不到三角形相似，而题目中却要你运用三角形相似啊，找不到啊，这是最难的，为什么呢？因为三角形全等是两个长得一模一样的图形，我们通过观察法是可以找到的， 而三角形相似，就是长得差不多一样形状。哎，这种图形，你要去发现相似的话，就很难找到，你找都找不到，那就更别谈上面性质的应用了。 所以，这道题中呢，我们寻找三角形相似也是一个难点。那总之呢，我总结出一点啊，三角形全等难不难？已经很难了，对吧？但其实，全等只是三角形相似中的一种特殊情况，也就是相似比为一而已。所以，在三角形相似面前啊，这个三角形全等，其实只是个弟弟 给出一个等腰三角形， a c 等于 a b 在 一个腰上面有一个动点 o o， 无论运动到哪里，那么以 o b 作为半径，就画这样一个半圆，同时 o b 这个线段，再取一个中点 f， 好， 中点啊，这是一个非常重要的特性，最后把剩下的该连的点和线段都给连起来，那么有三问，一问比一问难。第一问，如果 o g 等于 d， g， 也就是这两条蓝色的线相等，再根据我们题目的已知条件，这两条红色的线也相等，要证明平行四边形，也就是绿色，这个图形是平行四边形，这个怎么证呢？ 首先，根据两个终点的关系，是不是很容易得到 g f 是 中位线啊，也就平行于 b d， 所以 要正的平行四边形中已经有一条对边是平行了的吧。 好，那我们只需要再证明这两组边相等，或者再证明这样的两条边也平行，另外一组对边平行就可以了吧。那很容易得到另外一组对边平行，为什么呢？因为这个图中有一个红色三角形，两个红色三角形，其实它们是相似的关系。首先这个角一等于这个角一是没问题的，已知条件， 同时根据圆的半径相等啊，你看 o d 是 不是等于 o b 啊？那有绿色这个三角形是也是等于三角形啊，所以这个角也是角一，这个角好，根据角一等于角一，同位角相等，两直线平行于 d， g 好， 对边都平行的四边形就是平行四边形。我就直接写出来了，不正了。好， 再来看第二问。第二问，要用到图二，当这个角是直角的时候，同时还有一直角的时候，同时还有一直角的 o f e， 也就是这个角。 我们记住，角一等于 d o e 这个角二，角一等于角二的时候，而且 a o 的 长等于四，这段长等于四，要求 o b 的 长， o b 的 长，我用蓝色表示一下，就这一段，这个怎么求呢？ 根据中点的关系，我们要求的 o b 为 x， 那 其实 off 呢，就是二分之一的 x， b f 呢，也是二分之一的 x， 求 o b 的 长，就是求 x 等于多少，对不对啊？好，很多同学发现了，这一对角相等是肯定要用上的，这个角一等于角二，于是就有这个蓝色三角形的相似，于是根据相似比 e o 的 平方 等于 e g 乘以 e f 啊，这样去算。但是你得把 e o， e g 和 e f 都用 x 表示出来，才能够造这样一个等量关系吧，是比较困难的哎，大家可以去尝试。于是我们就要去寻找另外一个方法了， 我先把它写上。如果你用三角形 ego 相似于三角形 eof， 这两个三角形是相似的，没有问题，但是却比较麻烦，因为要把 egef 和 eo 这三条线段用 x 表示出来是比较困难的，于是我们就得去寻找新的条件。 除了这两个三角形相似以外，还有三角形相似，这个绿色三角形和这个绿色三角形也是相似的，哎，也就是三角形 e o a 是 相似于三角形 f e a 的。 好，有同学说，这是怎么看出来的呢？这其实就难点了，你看 他们都有共同的直角，没有问题吧，也就是说这两个三角形再找一对角相等就可以了。角一的与角是不是上面这个角三， 角二的与角是不是下面的角四？因为角一等于角二，所以相等的？角的与角相等，所以角三就等于角四，角三都等于角四了，所以这两个三角形就相似。好，这两个三角形相似虽然难找啊，但是我们一旦找到之后，就很容易去使用我们三角形相似的子母形相似中的比例关系了。大家看看这个三角形和这个三角形相似， 公共角是不是就是这个直角啊？然后呢？公共边 e a e a 的 平方等于 a o 乘以 a f 等于 a o 乘以 a f e a 的 平方，它其实就是在左边那个红色直角三角形中，斜边 e o， 它是不是就是半径 x 啊？哎， x 的 平方减去另外一个直角边四的平方，所以 x 平方减去四的平方等于 a o 就是 四， a f 呢，就是四加二分之一 x。 好， 我们不要求 x 吗？构造出来一个 x 的 方程，直接解出来 x 等于一加减根号三十三，那么把这个减舍掉，就是一加根号三十三。哎，第二问就做出来了，这第二问呢，其实已经有一定的难度了，大家看看，它既体现出了一个复杂的比例关系，在这里，在哪里呢？就这里， e a 的 平方等于 a o 乘以 a f， 这是子母形相似中，只要是中考考到三角形相似，几乎必考的一个点。我在三角形相似这个网课中有专题的介绍啊。好，这是一个比例关系，是比较复杂的了，同时你要利用这个比例关系的前提是什么？你得发现这一对相似的三角形相似，是不是你找不到啊？ 哎，有同学说，找到了，那就非常不错啊！好，我们大部分同学只能找到上面这一对相似的三角形，那真正要用的呢？是下面这一对用呢？你找到了之后啊，那还得利用这个比例关系好。呃，这是第二问。接着我们再来看第三问。 第三问呢，我们又回到图一啊，因为它并没有九十度的角了，也没有相等的角了，也没有这个边上为四了。这是第三问，把 b g 给连起来。但是现在有等幺三角形啊，也就是说以 o b 为幺， o b 为幺的等幺三角形，而且 a o 等于 off， 也就是说这段长等于这段长，等这段长。哎，这是个三等分点了吧。 同时有等腰三角形好要求两条线段的比值， o g 比上 o d。 首先我们可以令这三等线段的长呢，都为 a， 这没问题吧？ a a a o g 这一段呢，令为 m， 其实 o d 的 这段长呢，就是二倍的 a。 好， 我们要求的 o g 比上 o d， 其实就是 m， 比上两倍的 a。 然后再回到等腰三角形这个限制条件上来啊，等腰三角形的腰是 o b， 那 有两种情况啊，一种是以 g b 为腰，还有一种呢，是以 o g 为腰。我们根据题目的条件，很容易得到。以 o g 为腰的时候，这个 g 点 就得和地点重合，对不对啊？ g 点得和地点重合，那么 g 点能不能和地点重合呢？ g 点是怎么来的？它是这个 e f 和 o d 的 交点，对不对啊？ e f 和 o d 的 交点，这个 g 点一定是在地点的下方，是不可能重合的，这个是我们很容易能够得到的。所以第一种情况，我们讨论，当 o b 等于 o g 的 时候，是矛盾的关系是不可能存在的，于是这个看似需要分类讨论的复杂问题就变成了第二种情况，当 g b 等于 o b 了，所以这种情况就是唯一的情况了。那现在啊，这个 o b 等于 g b， 那 么这个 g b 呢？也就是两倍的 a， 此时我们要去求 m 和 a 的 比值为多少，对不对啊？这个题啊，首先把这个等腰三角形给处理了，那接下来该怎么办？很多同学坐在这里啊，就做不出来了啊， 于是我们发现啊，现在有一个特点是什么？我们遇到的困难是什么？条件不足了？条件不足我们就需要干什么？去构造 或者是寻找，你找不到了吗？你既然找不到的话，我们就得自己去构造条件，叫构造新条件。好，如何构造新条件呢？ 那我们当然要去画辅助线，而这个构造新条件的目的是干什么？是解决我们的比例关系吧。大家看，我们构造这个新条件是解决我们的目标，我们的目标是不要求 m 比二 a 这个比例关系啊，哎，是解决比例的关系，而比例关系中要去构造条件，画辅助线图形的话，用的最多的是什么？那不就三角形相似啊， 是不是这个思路我们现在就慢慢的清晰了啊？好，条件不足，构造新的比例条件，解决我们的问题，那通过什么样的方法呢？那当然就是辅助线了。好，这个辅助线的本质是干什么？是要引入 新的图形，哎，你要引入新的位置关系，图形关系，然后得到构造出的新条件，尤其是比例关系，来解决我们的 m 比二 a 这个比例问题。那现在图形中很明显有三等分点的关系吧，而且这个二 a 和下面这个二 a 是 相等的吧。于是我们自然而然想到延长 g b， 延长 g b 这个交点呢？我们记住 h 点就能够得到 a 字形的相似吧，你看这个三角形和这个三角形是 a 字形的相似啊。同时再看 我们根据第一问和第二问的关系，这条绿色的线和这条绿色的线是平行的吧？有平行线，而且 o 点是什么点？他还是 a f 的 中点，于是又有中位线和新的三角形相似。好，现在我们的条件就会越来越充分了，那么 e 点是在圆上的，当然还要和圆心 o 给连起来。 我们用这个焦点为 p 点，通过引入新的图形，构造了辅助线来解决。现在的我们先把已知条件给写出来，通过构造了刚才这个辅助线以后，那是不是多了很多已知条件啊？首先看中位线的关系， o g 是 不是这个三角形的中位线啊？好，那也就是说 o g 是 m， 那 么 e a 的 长就是二 m 吧， e a 等于两倍的 m， h a 是 不也容易得到了？因为这里是二比三的关系嘛，所以 m 比上 h a 也是二比三的关系， h a 等于二分之三倍的 m， 那 h a 是 二分之三 m， e a 是 二倍 m， 所以 这个 e h 呢，就是二分之一 m， 我 就写上二分之一 m， 二分之三 m， 我 先把它给写上 e h， 这个点是 h 点，我把这个 h 点呢，用红色单独表示一下吧，也是区别 e h 等于 二分之一的 m， 再根据两线平行，就这条蓝色的线和这条蓝色的线啊，是平行的关系，是不是又有新的三角形相似啊？看啊，红色的这个三角形和这个红色的三角形是相似于三角形 gpo 的 相似比，是不是很容易得到二分之一 m 比上 m 吧，相似比是一比二的相似比。 既然是一比二的相似比，实际上这个 p 点呢，它是 h g 的 三等分点吧，就是三分之一的位置。所以我写上啊， p 为 h g 的 三等分点。那 p g 和 hp， 它的长度是不是又分别都能够知道了？哎， hp 的 长是三分之一， agp 的 长是三分之二 a， 那 同样的另外一条线段， e o 的 总长是二 a， 对 不对啊？所以 ep 的 长呢？ e p 的 长是三分之二 a， 而 po 的 长呢，是三分之四 a。 我 们越来越多的线段都能表示出来了。 好，现在我们虽然得到了这些隐藏条件，也就是其他的线段啊，也用 a 和 m 给表示出来了，可是我们依然无法解决 m 和 a 的 比例关系。 为什么呢？虽然多出来了这个三角形相似啊，但是它们的对应的相似比啊，对应边的比，要不然就是单纯的 m， 要不然就是单纯的 a， 什么意思呢？你看啊， e h 这条边对应边是 o g， 它们的比例关系就是二分之一 m 比 m， 那 都是 m 的 关系，也就是说，没有 m 和 a 的 关系，只有 m 与 m 的 关系， a 和 a 的 关系。那接下来我们就需要干什么？去寻找 m 和 a 的 具体等量关系？如果你能发现这一段 e、 h 和这段 o、 b 构成了相似三角形，而且是对应边的话，那这个 m 比上 a 是 不就有了？好，这就是我们这道题的关键，也是最难的地方，很多同学根本就找不到这两个三角形相似， e、 h 和 o、 b 成对应边了。你看，三角形 e、 p、 h 是 相似于三角形 e、 p、 o 的， 也就是途中我把这个划掉，这个蓝色的三角形和这个大的蓝色三角形是相似的关系。既然三角形相似，那么 e、 h 比上对应边 b、 o 是 不是就是二分之一的 m 比上两倍的 a 啊？就是四分之一的 m 比上 a， 它是等于多少呢？等于我们的相似比的相似比就是 hp， 就 这段 hp 比上 op 对 应边嘛？ hp 比上 op 刚好很容易算的嘛。 hp 是 三分之一 a， op 是 三分之四 a， 那 不就是一比四啊。所以 m 比 a 就是 一 m 比 a 都求出来了，我们要求的是二分之一的 m 比 a 吧，所以就等于二分之一。哎，二分之一就求完了。这道题，大家想一想啊，最后这个三角形相似是不是最难找的？为什么要找这样的最后这个三角形相似呢？因为它刚好就代表了 m、 e、 h 这条边和含有 a 的 o、 b 这条边，它们是相似比的对应边， 而且相似比呢，就是一比上四。所以这道题啊，是有一定难度的。这个三角形相似在这道题中就有很多，至少有五对以上，甚至有六七对，大家去找一下，那么这道题大家再回过头来体会一下，三角形相似是不是中考最难的一个考点呢？ 一方面，难在比例关系，他有七种还要处理，对吧？而且他是对应边的比例关系，那么就有六个量，你看一条边比上一条边等于另外一条边比另外一条边，等于第三条边比第三条边是不是有六个量了？分子和分母，而且比例的性质有七大。同时 这还不是最难的，最难的是什么呢？刚才这道题中啊，你这个三角形相似找到了吗？你能找到这些相似的三角形吗？很多同学其实是找不到的，所以最难就难在你根本找不到。这道题，大家好好体会一下，还是有一定的难度的。 中考数学背后有无规律？最短时间如何快速提分？为了寻找答案，涛哥，我从二零二零年开始，每年一百道中考亚洲真题，汇总至今全网最详细的分类。 这是一项大工程，当然也很值得。我发现了很多很多有用的结论和规律。这项工作在未来还会持续进行，并将部分结果收入于四加三培优体系。

大家好，同学们啊，祝大家新年快乐啊，今天是元旦，上午给孩子们上了两节课啊，然后中午吃了个饭，下午我们初三的同学们，我们继续啊啊，继续做今天的几何题，素养提升啊， 我今天可能很多同学们正在休息啊，但是我认为呢，几何题每天都要做啊，抽出一点时间啊，只有这样的话你才能 形成一种几何的这种对于压轴题的一种呃，压倒性的优势哈。嗯，要想战胜别人啊，要想无论什么题型你都有就是信心啊，核心就是苦练啊，方法什么其实都是次要的啊， 只有苦练只有苦练啊，因为我的内心是有啊，强烈的这种取胜啊，战胜别人的欲望，所以他促使我每一天都坚持在在练习啊，所以说如果你也想在这场比赛当中取胜，那么你也只有啊，坚持练啊，好，开始， 今天我们来做这个啊，三角形与图形的旋转来，同学们，这是一道，这个就是旋转转体哈，这道题的例题是比较简单的，是我们之前做的那些几何转体当中就数学题当中的几何转体比较简单的。这是三个角度的旋转啊，一个旋转完是九十度， 这个旋转完了是一百二十度的，等于二十三角形哈，这个旋转完了是一个特殊角啊，不是特殊角，就是 r 法，用三角函数来表示， 呃，最简单的旋转啊，对于对于学习比较好的话，就是这道题其实就没有做的必要了，但是对对于中等来说，中下的啊，就是旋转，你可以通过这道题来来练习一下，知道他的这个这个构造的这个方法啊，好。

来看这个题，如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 b、 a、 c 等于九十度，就是这是一个直角角 a、 c、 d 等于三十度， 这是三十度，然后 a、 c 等于 ab 等于 cd， 这三条直线相等，然后让我们求 a、 a、 d 等于 b、 d， 那我们来看一下啊，因为这两条线相等，所以三角形三角形 a、 c、 d 等幺，对吧？等幺之后，这两个角就应该是一百八减，它再除以二，等于七十五度，对吧？ 这是七十五度了。角 d、 a、 b 是 不是就是十五度啊？七十五度，十五度。那 然后让我们看一下，让我们求什么？让我们求 b、 d 等于 a、 d， 我 们怎么让这两条线怎么就让它关联上？那肯定是做辅助，做一些需要做辅助线，那我们怎么做？我们做一个三角形， 这个三角形呢？是等边。三角形 a、 d、 e， 然后呢？我们连接 c、 e， 为什么这么做啊？你刚才说了一个七十五，七十五减十五等于多少？是不是等于六十啊？那我现在这它是不是就是十五度啊？ 这是十五度，然后我的 a、 e 是 不是等于 a、 d 的 或者等边呢？我的 a、 e 是 不是就等于 a、 d， 然后角 e、 a、 c 是 不是就等于角 b、 a、 d， 然后 a、 c 等于 ab， 这是已知条件， 这是不是就够了？ s、 a、 s， 然后我就能证明， 我是不是就能证明三角形 a、 e、 c 全等于三角形 a、 d、 b， 对 吧？这两个三角形相等，不是全等，全等，这两个三角形全等。 哎，全等，那是不是我这个角就等于这个角啊？那这个角多少？这是等于三角形的中间，这是不是角平分线啊？这是不是就十五度啊？ 然后就所以这个角 a、 b、 d 等于角 e、 e， c， a 是 不是就等于十五度？它等于十五度上面也等于十五度，然后所以这个三角形 a、 d、 b， 它是不是就等于二， 它等腰，那是不是 a、 d 就 等于 b、 d， 对 不对？我们想办法构建一个全等三角形，然后让它关联起来，哎，就证明了这两条线相等，对吧？

我们来讲一下第二十二题，他说在这个矩形 a、 b、 c、 d 中， ab 这个边是三， bc 是 五，然后 e 是 a、 d 上的一个动点， e 是 在这个线段 a、 d 上，它是一个动点啊，然后我们看第一个啊，他说连接 b、 d， 那么 b、 d 是 这个矩形的对角线，然后 o 是 对角线， b、 d 上的中点， o 是 对角线， b、 d 中点呢？那 o 就 把这个 b、 d， 它就是等分了，这个 b、 o 就 等于这个 o、 d， 然后连接 o、 e， 他 说当 o、 e 等于 d、 e 时，这个 o、 e 是 等于 d、 e 的， 让我们求 a、 e 的 长，如果我们想求这个 a、 e 的 长，那么 因为它是矩形哈，它这 a、 d 就 等于 bc， 就 等于五，那么想求这个 a、 e 的 长，我们就只需要把这个 e、 d 要是计算出来，这个 a、 e 就 知道了，对吧？然后这个 e、 d， 它等于这个 o、 e， 那 么像这种题我们都怎么做呀？我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线构造，这个 构造，这个，呃，直角三角形啊，我们过这个 o 点做这个 a、 d 的 垂线，我设这个为 k， 这个就是垂直的，那么在这个直角三角形 k、 o、 e 中， 我们要我们能知，我们要能计算出这个 e、 k， 我 我，我们设这个 e、 d 为 x 啊，那么我们就能把这个 e、 k 算出来，这个 e、 k 怎么算呢？就用这个 k、 d 减去这个 x， 然后 k、 d 等于什么？ k、 d 等于二分之一 a、 d， 我 们就把这个 e、 k 算出来了，然后这个 e、 o 它等于 x， 对 吧？ 好，我们再把这个 ko， 要是能算出来的话，那这个直角三角形，我们用勾五定理就可以把 x 解出来。然后我们这个思路啊，我们把这个第一题写一下， 第一个解， 我们做这个 ok， 是 垂直于 a、 d 于 k， 所以这个角 d、 k、 o， 它就应该等于九十度，是吧？哎，然后因为 o 是 b、 d 中点， 所以 o、 d 比上 b、 d， 它就是二分之一。然后我们再根据这个句型啊，因为这个 a、 b、 c、 d， 它是句型， 所以角 d、 a、 b， 它就等于九十度，这个四个角其实都是九十度啊，然后 a、 d 等于 b、 c 就 等于五，我们这些我们需要的啊， 然后我们证这个三角形 k、 d、 o 和三角形 a、 d、 b 是 相似的啊，因为角 k、 d、 o 等于角 a、 d、 b， 这个是公共角啊，然后角 d、 k、 o 等于角 d、 a、 b， 它俩都是九十度，所以三角形 k、 d、 o 就 和三角形 a、 d、 b 是 相似的， 所以我们就有这个 k、 d 比上 ad， 它就等于 ko， 比上 ab， 它就等于 o、 d 比上 b、 d， 那 么我们把知道的数 ad 是 五，然后 ab 是 三，然后 ko 比上 b、 d， 我 们前面求出来了，它是二分之一， 所以我们就解出来了，这个 k、 d， 它应该是二分之五，然后 ko 就是 二分之三。 好，然后我们设什么呀？设这个 e、 d， 这个边为 x， 那我们就知道了，这个 e、 o， 它就等于 x， 因为它俩是相等的，并且我们能知道这个 k、 e， 它应该是等于 k、 d 减去 e、 d， 那 就是二分之五减 x。 那 我们在这个直角三角形 k、 e、 o 中，我们使用勾股定律啊， 这个 k、 o 方加上 k、 e 方，它就等于 e、 o 的 平方，我们里面代数啊，就是， 所以就是二分之三的平方，加上二分之五减 x 的 平方等于 x 方， 这个两边都有 x 方啊，所以 x 方可以约掉，减到 x 等于一点七， 所以这个 e、 d 它就等于一点七， e、 d 等于一点七了。那个 a、 e 我 们要求的 a、 e 等于什么呀？ a、 e 就 等于 ad， 减去 e、 d， 那 就等于 五，减去一点七，他就等于三点三。好，这就是第一个啊，他这里没有单位，我们就不用写单位了啊，我们来看第二个，在下页写一下。 第二个呢，他说这个，这个 b、 e， 他 说连接 b 还是啊？ e 是 这个 a、 d 上的一个动点，然后连接 b、 e 和这个 ec 波点 e 呢？做 ef 是 垂直于 e、 c 的 ef 垂直于 e、 c 啊，这个 ef 要是垂直 e、 e、 c 的 话，我们就可以想到什么，想到我们之前说的那个一线三三垂直，是吗？这个里面它有什么呀？ 它有这个三垂直是有了啊，就差点。 然后他说连接什么 c、 f 与 b e 交于点 g， 这里面说了啊，说是 b、 e 是 平分于角 abc， 我 们来看看啊， b、 e 如果是平分角 a、 b、 c， 那 那这个角就应该是四十五度，对吧？这个角是四十五的话，那不是 ab 前面是三还是啊？ bc 是 五， 这个角是四十五度的话，那这个三角形 abe 就 应该是等幺直角三角形，那这个 ab 就 应该等于 ae， 那 说明 ae 就 等于三， 然后我们能推出这个 e、 d 是 等于二，对吧？哎，然后这个 c、 d 这个边也是三。刚才说了哈，一线三垂直，它这里面有三个是直角了， 我们看是不是 a、 e 等于 dc， a e 等于 dc 的 话，那这个三角形 a、 f、 e 和这个三角形 e、 d、 c 就 应该是全等的， 全等的话，这个 e、 f 就 应该等于 e c， 那 就说明这个三角形 e f、 c 应该也是等腰直角三角形，那这个角就是四十五度，对吧？哎，那我们也能推出这个 e f 是 等于多少啊？ 他让我们求这个 b g 的， 也就是这段，我们要求这个 b g， 我 们只需要把这个 e g 计算出来就可以啊。然后这里面我们怎么做呢？我们过 e 点做做这个 f、 c 的 一个垂线，我设这个点为 k。 好，刚才也说了啊，这个 e、 f、 k 这个角应该是四十五度，这角是四十五度的话，那这个 f、 e、 k 应该也是四十五度，对吧？哎， 然后这个角 a、 e、 b， 这个角也是四十五度，所以我们就能推出什么呀？我们就能推出点垂线啊，我们就能推出这个角是等于这个角的，就是角 a e、 f 应该等于角 g、 e、 k， 从而呢，这个三角形 a、 e、 f 就 和这个三角形 k e g 应该是相似的，相似的呢，我这个 e、 k 如果能计算出来的话， 那这个三角形我们只需要知道一个边，然后这个 a、 e、 f 这个三角形，这三边我们都能求出来，那根据这个相似对应边乘比例，我们就能把这个 e g 计算出来，从而就能把这个 b g 计算出来啊。 不知道我的思路大家能不能跟上啊？我们写一下 这个过这个 e 点啊，做这个 f、 c 的 这个垂线，我们设这个点为 k。 好， 先写啊，结过 e 做这个 e k 时，垂直于 f c 于 k 的， 然后我们先写这个正方形，由正方形得啊，由于这个 a、 b、 c d 啊，是啊的，不是正方形哈，是矩形，因为它是矩形， 所以这个角 a 等于角 d， 它应该等于角 abc 是 等于九十度的，然后 ab 等于 cd 是 等于三的， bc 等于 ad 是 等于五的。 然后再说这个 b、 e 平分啊，因为 b、 e 是 平分，角 a、 b、 c， 所以 角 a、 b、 e， 它就应该等于二分之一，角 a、 b、 c， 它就应等于四十五度， 对吧？哎。然后所以我们也能得到这个角 a、 e、 b 应该也等于四十五度。然后又因为角 a 是 等于九十度， 所以我们能得到什么呀？我们能得到这个 三角形 a、 b、 e， 它应该是一个什么呀？应该是一个等腰直角， 等腰直角三角形。然后 ab 是 等于 a、 e 的， 等于三。还能知道这个 b、 e， 它应该等于根号二倍的 a， e， 它就等于三倍的根号二， 这个 a， a、 e 啊， a， e 等于三，然后 cd 什么也等于三，对吧？所以我们就能。所以我们能得到这个 a、 e， 它应该是等于 cd 的 啊， 然后还能得到这个 e、 d， 它应该等于 a、 d 减去 a、 e， 它就等于。其实是五减三，应该是等于二。好，然后我们来去证这个三角形全等啊。 因为这个 角 f、 e、 c 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 加上角 d、 e、 c， 它就是等于九十度，是吧？然后 又因为角 d、 e、 c 加上角 e、 c， d 是 等于九十度的，所以角 a、 e、 f 就 等于角 d、 c、 e， 然后得全等条件啊。因为角 a、 e、 f 等于角 d、 c、 e， 然后角 a 等于角 d， 它都是九十度的角，再加上 a、 e 等于 d、 c， 所以 三角形 a、 e、 f， 它就和三角形 d、 c、 e 是 全等的，所以 e、 f 就 等于 e、 c 对 应边相等，然后还能得到 a、 f 等于 e、 d， 它就等于二，然后 a、 f 是 等于二了， a、 e 是 等于三，对吧？那我们在这个直角三角形 a、 f、 e 中， 这个 e、 f， 它就等于根号下 a、 f 方加上 a、 e 方， 呃，那就是二的平方，加三的平方，那就是根号十三。 然后因为这个角 f、 e、 c 是 等于九十度的， 然后 e、 f 等于 e、 c， 所以 它是等腰直角三角形哈，那么我们就能推出这个角 e、 f、 k 等于角 f、 e、 k， 它就等于四十五度。 然后还能推出什么呀？还能推出这个 e、 k， 它应该等于二分之根号二倍的，这个 e、 f， 它就等于二分之根号二十六，这个 e、 f 前面算出它是根号十三啊。 然后我们再算，这个角等于这个角啊。 因为角 a、 e、 b 等于角 f、 e、 k， 它俩都是四十五度，所以它俩相等，所以这个角 a、 e、 f， 它就等于角 g、 e、 k， 然后有一组角相等了，然后又因为角 a 等于角 e、 k、 g， 它俩都是九十度。根据这个两组这个对应角相等，所以三角形 e、 a、 f， 它就和三角形 e、 k、 g 是 相似的。所以 e、 g 比上 e、 f， 它就等于 e、 k 比上 a、 e 往里面代数，那就是 e g 比上 e、 f 是 根号十三，它就等于二分之根号二十六，比上三。那么我们解得 e、 g， 它就等于六分之十三倍的根号二 e、 g 有 了，那这个 b、 g， 它就等于什么呀？它就等于这个 b e 减去 e、 g、 b、 e， 我 们前面算了，它是三倍根号二，那就三倍根号二，减去，呃，六分之十三倍的根号二，那算一下，它就是六分之五倍的根号二， 这就是第二个啊，我们来看第三个， 第三个呢？他说这个好，还是这个 e 是 动点啊？然后他说连接 e、 c， 然后点 h， 在 这个 c、 d 上将矩形 a、 b， c、 d 沿直线 e、 h， 它折叠， 折叠呢？那这个 d 点它就落在了这个 d 撇上， 就是 d 和 d 撇是一组对应点，然后这个 d 撇在这个 e、 c 上，呃过点 d 撇，它说做这个 d、 n 是 垂直于 a、 d 的， 然后交这个 e、 h 于点 m， 然后这里面他说了这个 a、 e 是 等于一的， a， e 等于一， a， e 等于一的话，那这个 bc 是 五，这个 ad 就是 五，那就这个 ed 就是 四，对吧？哎，然后这个 a， 这是三， 这个 e、 d 是 四，然后 d 和这个 d 撇，它是关于这个 e、 h， 它是翻折嘛？然后对称，那么这个 e、 d 撇，它就等于 e、 d， 它这段就是四，对吧？ 然后这个 c、 d 是， 这个是三，那么我们是不是就能求出这个，也能求出这个 c、 d 撇，是吧？哎， 这个 e、 d 是 四， c、 d 是 三，那这个 ec 就 应该是五，然后 e、 d， e、 d， e， d 撇是四，那这段就应该是一啊。我们先把能求出来，再求一下，然后我们来看，问什么啊？ 他说问这个三角形 e、 m， n， e， m， n， 这个三角形的这个面积和这个 e、 d 撇 m， 这个三角形的面积，它俩的一个比值。这两个三角形呢，它的特点是它俩这个 如果把这个 e、 n 当高的话，那它俩有相同的高，是吧？那么我们可以 把一个三角形它的底边认为是 m、 n， 另外一个三角形的底边就是 d 撇 m， 那 它俩面积之比在相同高的情况下，面际之比就是这个底边，底底边这个长度的比，对吧？然后我们来看这底边长度啊， 先擦一下啊，这个底边长度呢？一个是 m n， 一个是 m、 d 撇，它俩的比 可以等于什么呀？它俩的比就等于这个 d、 h 比上这个 h、 c 的 比， 那么如果我们把这个 d、 h 算出来，或者把这 h、 c 算出来，我们是不是就能得到这个比例关系了，对吧？然后我们怎么算啊？ 刚才说了 d 和 d 撇他俩是一组，对应边是是对应点，那这个 d、 h 就 应该等于这个 d 撇 h， 就是 这个边和他应该是相等的，他是翻折吗？所以 d、 h 应该等于 d 撇 h， 那这个地方，这个应该就是什么呀？这个地方也应该是个直角，那么我们在这个三角形里，我们用勾股定力，我们能把这个什么呀？能把这个 d 撇 h 或者这个 h、 c 就 算出来啊？这个是一个非常重要点啊。 好，我们把这个第三个过程写一下啊 解，因为这个四边形是 a、 b、 c、 d， 它是矩形啊，所以 c、 d 这个边就等于 a， b 等于三， a、 d 等于 bc 等于五，然后角 d 是 等于九十度的，我们就用这一个角就可以啊。 然后因为 a、 e 是 等于一，所以 e、 d， 它就等于 a、 d 减去 a， e 是 五，减去一呢，就是四。 我们把斜边在这个直角三角形 e、 d、 c 中， e、 c 等于根号下 e、 d 的 平方加上 d、 c 的 平方，那就是四的平方加上三的平方，那应该算完是五，然后说这翻折哈，因为 沿这个 e、 h 折后，他说的是 d 与 d 撇要是对应， 那就说明什么呀？说明这个对应的角 h， d 撇 e， 它应该是等于角 d 的， 所以它等于九十度。还有就是这个 h d 撇应该等于 d h， e， d 撇，它应该等于 e， d， 它就应该等于四。 所以 d 撇 c， 它就等于 e c 减去 e， d 撇就是五，减去四，它就应该等于一。 那么我们设这个 d h 等于 x， 那 h d 撇它也等于 s x， h c， 它就等于三减 x。 好使用勾股定律啊，在直角三角形 d 撇 h、 c 中，这是个直角啊， d 撇 h 的 平方加上 d 撇 c 的 平方应该等于 h c 方往里面代数，那就是 s 方加上一的平方是一，它就等于三减 x 的 平方。 解得 x 等于三分之四， x 等于三分之四，那么所以 d h， 它就等于三分之四。 h c， h c 等于三减三分之四，那就是三分之五。 所以它俩的比啊， d h 比上 h c， 它就应该是等于四比上五就是三分之四，比上三分之五啊，就是四，比上五。然后我们来用这个相似啊推那个两个底边比，它应该等于 d h 比上 h c 啊， 因为 d 撇 h 啊， d 撇 n， 因为这个 d 撇 n， 它是垂直于 a d 的， 然后这个角 d， 它是等于九十度的，九十度就垂直吗？是吧？所以这个 d 撇 n， 它应该和这个 d、 c 是 平行的，所以我们能得到这个三角形 e， n， m， 它应该和这个三角形 e， d， h 是 相似的。那这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 e m 比上 e h， 是吧？哎！然后根据这个平行啊，我们还能得到这个三角形 e， m， d 撇，它应该和三角形 e、 h、 c 是 相似的。 所以 e m 比上 e h， 它又等于 d 撇 m 比上 h c， 所以我们就推出来了这个 m n 比上 d h， 它就应该等于 d 撇 m 比上 h c， 我 们把这个 d 撇 m 和这个 d h 位置换一下啊。所以 m n 比上 d 撇 m， 它就等于 d h， 比上 h c。 前面算出来 d h 比上 h c， 它是等于四比上五的，那就相当于 m n 比上 d 撇 m， 就是 四比上五。 然后我们写这个三角形的面积，三角形 e d 撇 m 的 面积，它应该等于二分之一 e n 乘上 m n 除以二分之 e n 乘以 d 撇 m m n 比比上 d p m， 它就等于什么呀？等于四比上五，那这个值就是五分之四，面积比就是五分之四。好，那这道题我们就算完了。

下面我们讲一下第二十二题，他说在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 等于二角 b、 a、 d 的 角平分线 交这个 b、 d 于 o， 那 就是这是角平分线，角 a、 o 是 角平分线的话，那这两个角相等， 然后交射线，有这个 e， 然后还有 f 取 e、 f 的 终点，那就是说这个 g 啊， g 是 这个 e、 f 终点，那么这个 e、 g， 它就应该等于这个 g、 f。 第一个让我们求证， b a 等于 b e， 这个是 b a， 这个是 b e。 要想证明这个 b、 a 等于 b、 e， 那 我们只需要证出这个地方是四十五度， 那这个三角形 a、 b、 e 就是 一个等腰直角三角形，那么这个两个腰就是这个 a、 b、 e 和这个 b、 e， 它就应该是相等的。这个还是比较简单的，简单写一下啊， 写写上面就行啊。第一个证明，因为 a、 b、 c、 d 这个四边形是矩形，所以角 a、 b、 a、 d， 它等于九十度。然后因为 a、 o 平分角 b、 a、 d， 所以 角 b、 a、 o， 它就等于二分之一角 b、 a、 d， 它就等于四十五度，对吧？好， 所以角 a、 e、 b， 它就等于一百八十度。减去角 b、 a、 e， 再减去角 a、 b、 e， 算一下，它就等于四十五度，所以呢，这个 角 a、 e、 b 就 等于角 b、 a、 e， 所以 ab 就 等于 b、 e， 这个相对来说简单一点啊，我们看下一个， 太长了啊，这个条件啊，第一个条件咱记住了啊。然后我们看它下面说这个，若射线 b、 g 交这个 d、 c， 这个延长线与点 与这个 b、 g 交这个 d、 c 的 于 h， 那 我们就把它延长一下， 这个是 h 点啊。然后当这个 g、 f 等于三分之一 a、 f 的 时候， 就是这个 g f， 它等于三分之一 a f 的 长，让我们求出这个 g f h， 求出这个的面积，我们来看看啊，如果这个我们要去能求出这个 g f， 对 吧？我们求出 g f， 那 么它是说 再求出出，如果我们求出这个 g f 的 一个长度，然后再求出 a f， 它这里面是我们设一变量啊，我们过这个 g 点做这个 d f， 上去一点做垂直。 好，好啊，重新画一下啊。第一个先把这个 b g 延长，这个点是 h， 然后过这点做垂线设这个为 k， 如果我们设这个 c e 为 x 的 话，那这个角是四十五度，这个角就应该是四十五度，这个就四十五度，那么这个 c e 就 应该等于 c f， 那 这个就是 x， 对 吧？那么这个 f e 就 应该是根号二分之根号二 x， 对 吧？ 它这是直接写出，我们把这个过程在下面标一下写也行啊，这是第二。哎， 第二题，它这个啊，它这个有两种情况，因为它是说这个 ab 边是二，它一种情况呢，就是这个 ab 是 短边，然后还有一种情况是 ab 是 长边，我们先研究这个 ab 是 短边的啊。 嗯，好，这个里面前面也说了啊，这个角 b e a， 它等于什么呀？等于四十五度，那么我们可以能推出这个角 c e f， 它应该也是等于四十五度，对吧？ 所以我们能得到这个 c f， 它应该等于 c e 的， 我们设它是为 x 啊，那它就是 c f 等于 c e， 它应该是等于 x， 那 么这个 e f， 它就应该等于根号 二倍的 x， 对 吧？那么这个 g f， 它就应该等于二分之根号二 x， 对 不对？哎，然后我们再看什么呀？再看这个 a f， 这个是二啊？这个 a f， 它等于什么？ a f， 它等于 a e a e 应该是，它应该等于 a e 加上 e f， 那 它就等于 a e， a b 是 二，那 a e 就 应该是二倍根。号二加上 e f， 这里面 c e 是 x， 那 这个 e f 就是 根号二 x， 那 么我们这个 af 就 出来了，对吧？然后我们再根据 g f， 它等于三分之一 af， 我 们能推出什么呀？ 就应该推出 g f， 在 这呢，那就是二分之根。号二 x 就 等于三分之一二倍根号二，加上根号二 x， 我 们能解出这个 x 是 等于四的， 我们 x 是 等于四的，那我们就能得到这个 e c 是 等于四的，那这个 g f 就应该等于二倍。根。号二乘上四，那就是二倍根号二，是吧？哎，然后这个他让我们求这个这个的面积啊，这个三角形的面积它等于什么呀？这个三角形面积它应该等于二分之一，这个 f h 乘以这个 j k， 是 吧？ 然后呢，这个里面 j k， 我 们说啊， j f 是 等于二倍根号二的，那么这个 j k， 它应该等于二分之根。号二倍的这个 g f， 所以 它算一下就等于二，这个高有了。然后我们算，再算这个 f h， 这个 f h， 我 们看啊，这个三角形它和哪个呀？ 它是不是和这个这个三角形是相似的，对吧？就是三角形 a b g， 它和三角形 这个 f h g 是 相似的，相似的。我们能推出这个 a b 比上 h f， 它就等于 a g 比上 g f， 然后呢？ ab 是 二，这个 h f 是 我们要计算的。然后呢？ ag ag 等于什么呀？ ag 等于这个是 a， 这个点是这个 e 啊， a， e 是 二倍根号二， 对吧？二倍根号二，然后这个，呃，这是 e g， e g 呢？ 呃， e e g， e g， 它等于 g f， 它也等于 二倍根号二，所以 a j 就 应该是等于四倍的根号二，然后 g f 是 等于二倍的根号二，其实它就是二比上一的关系。那么我们推出这个 h f， 它就应该等于一， 所以这个三角形 g， h、 f 的 面积，它就等于二分之一，乘以这个 g k， 再乘以这个 h， f， 就是 二分之一，乘以二，再乘以一，那就等于一。 这个呢？是这个 ab 是 个短边的情况，那当这个 ab ab 呢？它要是一个长边画一下啊， 这个 a b c， d， a b 呢？是一个长边的时候， 这个是 e， 然后这点是 f， 它是取这个 e f 中点是 g 连接 b g 交，这个点是 h， 然后让我们求这个 g f h 计算这个三角形的面积，怎么样？我们还是过这点做这个垂线啊，我还设这个为 k， 然后呢？还是啊，那这个角就是四十五呢，这角是四十五呢，这角就是四十五，对不对？那么我们设这个， 这是情况二啊。那么我们设这个 c e 要是等于 x 的 话，我们来看看啊，我们这个 c e 为 x 的 话，那这个，呃， b c， 这个 ab 是 二啊， ab 是 二的话，那这个 be 就是 二，是吧？那这个 bc， 它就等于 a d， 它应该等于二减 x， 对 吧？然后这个 c f， 它也是 x， 那 这个 e、 f 就是 根号二 x， 我 们还用这个，这个 g f 等于三分之一 a f 啊， 那么这个 d， 然后还能得到什么呀？还能得到这个 g e， g， e， 它等于 g f， 它就应该等于二分之根号二 x， 对吧？然后这个 a、 f， 它等于什么呀？它等于 ab 是 二， b e 是 二，那么这个 a e 就是 二倍根号二，二倍根号二，减去 这个根号二 x， 那 就是二倍的根号二，再减去根号二 x， 你 可以把这个根号二倍的二减 x， 都可以啊。 然后呢，我们该根据这个 g f 等于三分之一 a f， 我 们能得到就是 二分之根号二 x。 在 这呢啊，它应该等于三分之一根号二，然后二减 x， 那 么我们通过这个式子能解成 x 等于五分之四， x 等于五分之四，那这个 a、 d， 它就等于 b c， 是 吧？它等于什么呀？等于这个二减 x， 它就等于五分之六。然后呢，我们再看看啊， 我们再看看这个，我们如何去求这个 f h， 是 吧？我们要求这个 f h 怎么样啊？我们用这个三角形相似啊，我们可以证明这个 f、 g、 h， 它和这个三角形， 嗯， a g、 b 是 相似的，相似的话，这个里面我们可以得到这个 f f h 啊， f h 比上 ab， 它就等于 f g 比上 a g， 然后呢， f h 是 我们要计算的啊，就是 f h 比上 ab 是 等于二，它等于 f g， f g 呢？它因为这是中点，所以呢， f g， 它应该等于什么呀？等于二分之一，这个 f g 等于二分之一的 f e 啊，这前面说了，在这呢，它等于二分之一，这个 x， 我 们能把这个 f g 算一下，就应该是 在这上写一下啊，这个 x 是 等于五分之四，对吧？那么这个 f g， 它就等于什么呀？ f g 呢？它就等于五分之二倍的根号二，然后 a g 是 二倍根号二，再减去五分之二倍根号二，那就是五分之八倍的根号二， 这应该就是一比四的关系哈，我们能推出这个 f h， 它等于二分之一。然后呢，我们再看这个 k g 啊， k g 呢？ 我们可以什么呀？我们可以证明三角形 a、 f、 d 和三角形 g， f、 k 就是 这两个直角三角形，它是相似的，它俩要是相似呢，我们可以得到这个 f g 比上 af， 它就等于 k g 比上 a、 d。 这个里面呢？ f g 和 a f 前面题中他给的是一比三的关系，所以他等于三分之一。我们能推出这个 k g， 他 应该等于三分之一 a、 d， 那 就是五分之二。 所以这个三角形 f、 g、 h 的 面积，它等于二分之一。 f h 乘上 k g， 它等于二分之一。乘上二分之一，再乘上五分之二，它就等于十分之一。 所以呢，这个就两种情况，一个是一，一个就是十分之一。看第三个，第三个我们在下边写啊，第三个呢，他说这个如图二啊，这个 d g 交 b c 于点 m， 这个是点 m， 然后 o e 比上 ef 是 四比上五。这里面让我们求这个 cm 的 长，就是这段长啊， 那我们怎么去求这段长呢？我们可以求出这个 bc， 然后用 bc 减去 bm， 然后呢，也可以什么呀？也可以用这个相似相似对应边乘比 d， 然后把这个 cm 算出来， 这个里面呢，我们做这个过过 g 啊，做这个 a、 d 的 垂线， 设这个点为 k， 然后把这个 ab 延长过 g 做垂线，这个是 h， 这个是垂线啊，我们能证明出这个 a、 h、 g， k 是 一个正方形，它是个正方形呢，然后这个， 呃，这个 j、 k 就 等于这个 gh， 是 吧？然后呢，我们再 证什么？再证个这个三角形 k、 d、 g 和这个三角形 b、 h、 g 是 全等的，全等呢？那这个 d、 g 就 等于 g、 b， 然后我们还能证明出这个 b、 g、 d 这个地方是一个直角，那，那这个角就等于这个角就等于四十五度。那么这个三角形 o、 d， g 就 和三角形 a、 d、 g 就是 相似的。 然后这个就是引韩的一种条件，那我们可以用这个相似来求这个边，我们把这个过程写一下啊。嗯，这可能有点多啊。第三个结 过 j 做 j， k 垂直于 a、 d 于 k， 然后沿成 a、 b 取 h， 是 这个 h， g 是 垂直于 a、 h 的。 嗯，把这个已知条件用一下啊。因为这个 a、 b、 c、 d， 它是矩形，所以这个角 h， a、 k 等于角 a、 d、 f 应该等于九十度。 然后又因为 h、 g 是 垂直于 a、 h 的， j、 k 是 垂直于 ad 的， 所以我们能得到这个 a、 h、 g、 k 这个四边形，它是个矩形。 那么同理，我们也能证明出这个 b、 p、 g、 h 和这个 k、 d、 c、 p 这两个四边形，它也是矩形、矩形的，那就是对应边相等啊。 然后四个角都是直角，然后因为 a、 o 平分角 b、 a、 d， 所以 角 b、 a、 o， 它就等于角 o， a、 d， 它就等于四十五度， 它等于四十五度呢？那这个 ab， 它就等于 b、 e， 它就等于二。然后我还能推出这个 a、 e， 它应该等于二倍根号二，是吧？然后 我们也能得到什么呀？能得到这个 a、 h、 g、 k， 它应该是正方形， 它这个是 a， h 啊， a、 h 是 等于 h、 g 的，是吧？它是个正方形， 然后我们还能得到这个角 c， e， f， 它等于角 a， e， b， 它也等于四十五度，那么这个 三角形 c， e， f， 它就是一个等腰直角三角形，那这个 ec 它就等于 c f， 对 吧？哎， 然后我们说这个中点啊，因为 g 是 e f 中点，这个因为 g k 是 垂直于 ad 的， 然后 df 也是垂直于 ad 的， 所以 k g， 它就是平行于 df， 然后又因为 g 是 ef 中点， 所以怎么样啊？所以这个 p， 它就是 e c 的， 中间我们还能得到 p g， 它就等于二分之一 c， f， 然后 c， f， 它是等于 c， f 等于 e c 的， 那就是，所以这些线段哈，它就，它们就彼此都有一些关系。往上点写啊， 这里面我们为了计算哈，我们设这个 e p 是 等于 x 的， 这个，这，这这个点啊，这个点，这个是 j k 啊，这个 p 为呃， p 为这个 bc 与 j k 交点，那写不下了哈。交点 设这个 e， p 为 x， 那 么这个 p c 就是 x， 对 吧？就是则 p c， 它就等于 p g， 它都是 x， 还能得到这个 e， g， 它就等于根号二 x， 然后 e f 就 等于二倍的根号二 x k g， k g 就 等于二，加上 x， 对 吧？它就等于二，加上 x， 然后 k， d， k， d 也等于 x， 我 们把那个后续我们要用的那些尺寸都写一下啊，然后 a， g， 它就等于什么呀？ a g 等于 a e 加上 e g， a e 等于二倍根号二，然后 e g 等于根号二 x， 那 就二倍的根号二，加上根号二 x。 好， 然后我们用这个五分之四，这个比例关系啊，因为 o e 比上 e f 等于五分之四， 所以我们得到 o e， 它就等于五分之四倍的 ef， 然后 ef， 我 们前面说了，它等于二倍，根号二 x， 那 咱算一下，就是五分之八倍的根号二 x， 这是 o o e 啊，那么我们看一下， o e， 它就等于 o e， 加上 e g， 它就等于 o e， 加上 e g， 这个算完就是五分之八倍根号二 x， 加上根号二 x， 就是 五分之十三倍的根号二 x。 因为我，我们为什么要求这么些边长啊？因为我们刚才说了啊，我们能证明三角形这个 o、 d、 g 和这个三角形 a、 d、 g， 它是相似的，相似的对应边乘比例，我们把这个 呃相应的一些边长能算出来哦，我们就带进去，我们，我们能可能就能把这 s 解出来呢，对不对？哎，这个 o g 啊，算出来了，然后 我们要这个用这三菱相似，我们先得什么呀？我们先得证明这个 o、 d、 g， 这个角是四十五度，那证明这个角是四十五度呢？我们还得去证这个 b g 等于这个 d、 g， 然后 还得证明这个，其实就想证明这个三角形 b、 d、 g， 它是一个等腰直角三角形啊， 因为 k g 等于 h g， 然后 b、 h 等于 k、 d， 这个角 b、 h、 g 等于角 g、 k、 d， 它是 都是九十度啊，所以这个三角形 b、 g、 h， 它就和三角形 d、 g、 k 是 全等的，所以 b、 g， 它就等于 g、 d， 还有就是这个角 h、 b、 g， 它就等于角 k、 d、 g， 然后这两个角相等，然后其中呢，这个角 a、 b、 g， 它加上角 g、 b、 h 是 等于一百八十度的，然后角这个 g、 b、 h 呢？ gb h， 它等于角 k、 d、 g， 所以 这个角 a、 b、 g， 它加上角 k、 d、 g 就 等于一百八十度，换一下是吧？ 然后因为什么？因为那四边呃四边形内角和等于三百六十度，那么所以这个角 b、 g、 d 加上角 b、 a、 d 就 应该等于一百八十度。 然后呢？因为角 b、 g、 d 等于九十度，所以我们能得到这个角 b、 g、 d， 因为因为角 b、 a、 d 是 等于九十度，那么所以角这个 b、 g、 d 就 等于九十度， 那这个角就是什么呀？就是九十度啊，它是九十度，然后再加上它那个呃 b， g 等于 g、 d， 这两个边相等，所以这个角 b、 d， g 就 等于 角 g， a、 d， 它就等于四十五度， 对吧？哎？然后又因为角 d、 g、 o 等于角 d， g、 a， 所以 三角形 d、 g、 o 就 和三角形 a、 g、 d 是 相似的，所以我们能得到这个 g 啊， d j， 它比上 a， j， 它就等于 o j 比上 d j， 那 我们就得到这个 d， j 平方，它应该等于 a， g 比上 o、 g 这两个数我们前面都算完了，那么我们乘一下就是五分之五十二 x， 再加上五分之二十六 x 的 平方。 好了，这里面我们有一个 d j 方了，是吧？然后我们再看看啊，这个 d j 方还能用怎么表示？ d j 方？他是不是在这个呃直角三角形 k、 g、 d 里，那么我们在这个直角三角形 k、 g、 d 中，我们用勾股定里， 这个在直角三角形 k、 j、 d 中就简单写了啊， d j 方，它应该等于什么呀？它应该等于 k， j 方，加上 d j 方，算一下，它应该等于 二 x 加上四， x 加上四， 所以我们怎么我们能解出 就是 d 这方等于它， d 这方又等于它，那它俩就应该相等，是吧？那么我们就解得这个 x 就是他俩相等啊。你可以解 x， 一个是等于二分之一，或者是 x 等于负二分之五，这个负二分之五咱们就肯定是不行的哈？你就把它舍掉，我们取谁啊？取这个 s 二分之一，所以 这个 k d， 他 就等于二分之一，然后 k g， 他 就等于二分之五。然后呢？ 我们不是要求这个 cm 吗？对吧？我们要求 cm， 我 们可不怎么样啊，我们可以去证明这个三角形和这个大三角形相似， 对吧？用相似呢？相似呢？我们这里面就出 cm 了，然后用这个对应边成比例哈。嗯， 因为角 k d m 等于角 d m c， 然后呢？这个角 d k g 等于角 d c b， 所以 三角形 d m c， 它就和这个三角形 g d k 是 相似的，所以 mc 比上 k d， 它就等于 dc 比上 k g， mc 是 我们要求的，然后 kd 是 二分之一，然后 dc， dc 是 二，是吧？ dc 等于 ab， 它等于二，然后 k k g 是 二分之五， 所以 mc 算完就是五分之二。好，那这题我们就算完了。

来，今天这道题目堪称几何问题的天花板告诉我们，四边形 a、 b、 c、 d 中 a、 c、 b 和 d、 b、 c 都是三十度，出现了等腰三角形， e、 b、 c 这给了个六度，这给了个二十四度，要求的是 d、 a、 c 的 度数。 这道题目直接算根本算不出来。我们的入手点是在这个等腰三角形上，此时 e、 b、 c 既然是等腰，那么此时我们要依照于它去构造等边，来转化边和角的关系。 我们先构造出这个等边三角形，这个点咱们叫做点 f 的 话，咱们先把该连的都给它连上。连完之后呢，我们会发现此时 f 点和 b 点与 c 点构成了等 边，那么 bfc 六十度， bc 这个角一定是一百二十度。同时我又知道了 e 点一定是 fbc 这个三角形的 外接圆的圆心，那么此时 e、 f 就 一定等于 e、 b 也等于 e、 c。 并且 f、 e、 c、 f、 e、 b 和 b、 e、 c 这三个角都是一百二十度。 而我们又知道了这个小角咱们叫做角一的话，它是一百二十度的补角，那它就是六十 度。 f、 e、 c 是 一百二，说明这个角二和角一等一定也是六十度。 同样的道理，这两个小角也都是六十度，说明 e、 d 平分了 f、 e、 c， 而 e、 a 平分了角， f、 e、 b 有 了角，平分线又有了边等，我们要把边连起来，构造全等， 先去连接一下 a、 f， 再来连接一下 f、 d 这两条边。连接之后，大家来观察，我们很容易能证出来， f、 d、 e 和 c、 d、 e 这两个三角形必定全等，那么全等之后，这儿是二十四度，那么这个小角也必定是二十四度。同时我们知道了这个角就是三十减二十四，这儿应该是一个六度， 那么同样的逻辑，由对称这儿也必定是一个六度。在这一侧我们也能知道 e、 a、 b 和 e、 a、 f 一定是全能的，那么此时这儿是六度，这儿也一定是一个六度，那么此时 a、 f、 d 就是 一个三十度了， 这是三十，这 a、 e、 d 是 一个一百二十度。这个模型大家一定要知道，非常的重要，我们此时呢，去找一个以 a、 d 为底边的正三角形， 那么这个正三角形的顶点必然会落在 fe 上，那么这个点咱们叫做点 h 的 话， 那么此时我们会发现，既然 a、 d、 h 是 等边三角形，那么这条边和这条边一定是等的，那么这个角必定是一个六十 度。那么此时我们又知道了角二也一定是六十度，那么这俩角所对的 h、 d 又是同一条边，那么 h、 a、 e、 d 就 一定是四点共圆的。同时呢， a、 h、 d 是六十度，而又知道了 a、 f、 d， 它又是一个三十度，那么此时 h 就是 f、 a、 d 的 外接圆的圆心，我们同时也就知道了 h、 a 等于 h， d 同时也等于了 h、 f 啊， 那么此时这个小角就知道了，它也得是二十四度啊。我们要求的 d， a、 c 所对的边是 d， e， 同时 d， e 还对了 e、 h、 d 就是 这个角，那说明角四这个角后面要求的 d、 a、 c 一定相等， 角四又是 h、 f、 d 的 外角，所以角四就是两个二十四度，它等于四十八度。这道题目就搞定了，这道题目确实非常的麻烦，大家一定要再做一遍下课。