九上数学圆心角度数怎么求

hello， 同学们，大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享数学九年级上有关于圆的专题。那么接下来我们看给出的这道题，题中说 ab 是 直径啊，然后 cd 垂直于 ab， 第一问， ab 等于四角， b 等于六十，让我们求下 cd 的 长，然后我们标一下条件啊，那么题中给出 ab 是 四，那直径是四，那半径就是二呗，对吧？就是 a o 和 o b 就是 二， 然后这个加角是六十角， b 让我们求下 cd 的 长，那么很明显啊，这块我们其实有一个 垂径定律，对吧？哎，也就是说现在 e d 和 ec 它应该是相等的，那也就说我们要求的 cd 其实等于两倍的 ec， 对 吧？那关键现在我要把 ec 求出来， 那么 ec 它现在已经在直角三角形里面了，对不对啊？在直角三角形里了，那我现在要想解它，我大概率是要求出谁啊，就是 b e 对 不对？那我们看这六十度角怎么用啊？这里面我们可以把谁连上呢？啊？就是我们见到六十非常特殊，相等边啊， 把 oc 连上，如果连接 oc 啊，那么题中的 oc 和 o b， 对吧？因为 o c 不是 等于 o b 吗？然后角 b 又等于六十，所以我们这个三角形 o b c 应该为等边三角形，那如果它是等边三角形的话，再加上题中的 c e 其实和 ab 是 垂直的，所以我们能得出 的是 e o 等于 ab， 那 就是一啊， 那么见了我们可以用三角函数来求一下，对吧？那么我们这个应该是用的是贪听的六十，应该等于的是 ec 比上 b e， 那 么 ec 他 就应该等于什么呢？等于 b e 乘以贪听的六十， 对吧？然后 b 是 一，他那六是根号三啊，所以 ec 等于根号三，那么 ec 是 根号三的话，我们 c、 d 是 两倍的 ec， 他 就是二倍根号三啊，所以第一问我们是二倍根号三，那我们看第二问，第二问题中给出这个 d、 f、 g 是 一百一十五度，而让我们求 b、 c、 d 求这个角是多少，对吧？那我们看一下，呃，还是一个问题啊，见到直径想什么？因为我觉得要求这个角其实和 ab 的 圆周角是有关系的啊，我们可以把 ac 连上，对吧？见到直径想圆周角啊，所以现在我只需要求出这个角 acd 结，我觉得就可以了，对吧？而 acd 和我们看一下啊， 这个 a、 c、 d 这个角和我们这个一百一十度的补角，它们是一个相等的角，对吧？也就说题中给出了 d、 g、 f 是 一百一十五，对吧？所以我能推出谁啊？用这个角能推出角 a、 g、 d 等于多少啊？等于六十五，对不对？对吧？又因为什么呢？因为 ab 弧，对吧？ 都是 ab 弧所垂的圆心角和圆周角啊，所以我们现在能得出角 acd， 它其实等于角 ab 等于六十五，那么又因为 ab 为直径，对不对，对吧？所以角 a、 c、 b 等于九十，所以我们要求的角 b、 c、 d 应该等于角 a、 c、 b， 对 吧？减去我们这个角 a、 c、 d， 对 吧？就是九十减去六十五啊，所以最后是二十五啊，所以这问答案应该是二十五度，好吧，所以对于圆有关的题的话，我们还是 多练一练啊，他这块其实推来推去啊，都是这些定律啊，多想一想啊，练练就熟了，好吧。嗯，点赞加关注，解题有思路。

圆形角的度数为多少？然后整的是多少？ c， 这个 d 一 共是多少人？ 八人。八人整的人数是多少？五十八除以五十乘以三百六十度出来圆形角的度数了，懂了不？嗯，对了吧？跟刚才那个题一样呀。刚才那个题不是在这讲过了吗？嗯，对吧？一样的啊。 ok。

这题折来折去啊，把有些孩子呢折晕了。其实你只要正确的折出来，这题啊都能搞定。来看一下，说把一个圆形的纸片对折三次，得到一个扇形，那它的圆心角是多少度？好，那我们就画一个圆形，这是个圆形纸片。 那首先第一次对折，比如说我上下对折是不是好？那么对折之后就是一个什么半圆了，那接下来对折第二次，我就干嘛左右对折，那就变成一个扇形了。 那这个扇形是什么？是九十度的扇形。好，现在圆形角是九十度了，对，折了几次？两次，是吧？那还要对折一次，那也就是针对他再对折一次，他怎么对折？你是不是沿着这条线对折？好？好，那就变成什么呢？就变成一个小扇形了。 那问题是个小扇形的圆心角是多少度？那不简单吗？整个这个角是九十度，对折一下，你说这个圆形角是几度？写在我们评论区。

今天我们来看这道圆的综合题， 在圆内接四边形 a、 b、 c、 d 中延长 a、 b、 d、 c 交于点 e， 其中角一等于角二。 第一小题，若角一等于三十五度， b 为弧 a、 c 的 中点，求角 a、 d、 c 的 度数。 我们要先把题目的已知条件标出来，角一和角二相等，都是三十五度。 然后我们就要去进一步的推理，推理的依据 就是圆周角定里同弧所对圆周角相等，所以这里的同弧是 bc， 所以 角 b、 d、 c 变为角三就和角二相等，都是三十五度。 我们还有一个条件， b 为弧 a、 c 的 中点。注意了，我们每当看到一点是一条弧的中点的时候，就要想到等弧对等弦就有等腰， 因为 b 是 弧 a、 c 的 中点，这也太多了，不写了，所以弧 a、 b 等于弧 a、 c 和弧 b、 c 后面直接接上 ab 等于 bc， 那 我们就可以得到 角 a、 c、 b 标为角四， 也是三十五度。 那同样的，因为同弧所对的圆周角相等，在这里同弧是 a、 b， 因为我们想要求的是角 a、 d、 c 的 度数，所以我们就要把它各部分的角度相加， 所以我们在这里把角 adb 标为角五和角四相等，也是三十五度，这样我们就可以得知角 adc 的 度数 是七十度。 那我们继续看下面的第二小题，为了留出书写空间，我先把第一题的过程擦掉，留一个答案， 先有一个答案。第二小题，同样的，我们要先把条件标好，这里已经没有三十五度了，所以三十五度全部擦掉。 角 b、 d、 g 等于角 b、 e、 g 这两个角相等，要我们证明四边形 b、 e、 g、 d 是 平行四边形，那要证明平行四边形，我们可以从 两条对两组对边平行且相等的角度来证明。因为这里 没有找到能够相等的对边，所以我们就用两组对边相互平行来证明。 那怎么使它相互平行呢？刚好这两个角是一组对角，所以我们只需要证明其中一组线段平行，那么另一组也平行，因为对角相等了， 那在这里因为同弧所对的圆周角相等， 所以呢？角二等于角三。 又因为还提到角一等于角二，我们在后面继续接上， 那我们这里就出现了一组内错，角三的角三等于角一，所以 b、 d 和 g、 e 是 平行的，那只要这里平行了就好办了。 因为平行同旁内角互补，所以角 b、 e、 g 和角 d、 b、 e 的 和是一百八十度， 那因为这两个角相等， 所以角 b、 d、 g 和角 d、 b、 e 的 和也是一百八十度， 所以就可以证明另一组对边也平行。 最后的结论就先省略了， 这里是第一小问，那我们再来看第二小问。如果角三等于角 d、 a、 b 求证 b、 c 等于 f、 g， 那 这里我们突然发现这里角三和这里重复了，所以把这里直接改成角六。 那同样的，我们第一题也要注意把角三改成角六。 角三等于角 d、 a、 b 要求出 b、 c 等于 f、 g， 那 因为我们这里只有角和一个平行四边形，所以我们第一个想到的就是去占全等。那如何构造出一些全等呢？我们从这张图上看来，是没有办法直接找出全等三角形的， 就算能够找出证明也不是很容易的，所以我们就要通过画一些辅助线来证明三角形全等，得出这些结论。 角三等于角 d、 a、 b， 我 们可以从中获取什么信息呢？角 d、 a、 b 在 这里， 那我们要注意不要漏掉铁布中的条件，这是一个圆内接四边形，圆内接四边形有一个特点，它的对角互补，所以 角 b、 a、 d 和角 b、 c、 d 互补，同时角 b、 c、 d 也和它互补，那我们就可以得知角 b、 c、 e 等于 角 b、 a、 d。 这里简写一点了， 我们的目标是证明 b、 c 等于 f、 g。 那 我们现在已经有很多角相等了， 所以我们可以再通过构造平行线来构造等角，这样子我们就可以在我们想要证的全等当中找到对应角相等。 因为我们现在已经转移到这个角 bce 了，所以我们要怎么让它通过平行再制造一个相等呢？我们可以在这里 再构造一个角 bce 的 等角， 我们标为角七，我们可以这么写，辅助线 做 g h， 过 g 做 g h， p、 c、 b、 c 交当 e 与 h。 那 接下来因为政权的过程比较长，我们先简单梳理一下思路。 首先我们要来找全等，我们这里的全等有包含角 dgh 和角 bce 这两个大的三角形，这个是比较容易看出来的，因为平行线过完之后，我们就比较容易看出来了， 那我们需要起码要有一个对应边，因为平行四边形，所以 d、 g 等于 b、 e。 那 接下来就是等角，等角就很轻松了，因为这里有两组平行， 所以这两个角相等，这两个角也相等，那我把这两个角都写下， 这样我们就能够证出来一个 a、 a、 s 的 全等，从而得到我们的三角形 d， g、 h 和三角形 e、 b、 c 全等。全等之后就有了 b、 c 等于 gh， 但是我们的目标是要证明 b、 c 等于 f、 g， 所以 我们要去证明 g、 f 等于 gh， 我 们就要证明这两个角相等， 那这也并非难事，上面已经得到角 b、 c， e 等于角 b、 a、 d， 同时还等于角三，所以题目给的信息不要遗漏了。 所以我们还可以得到角 b、 c、 e 和角 g、 h、 c 是 相等的，这个从平行就可以得到了。我们全等得到的条件就是 b、 c 等于 h、 g， 那在这里我们就可以得到角三等于角 ghc， 这两个条件相加，我们就可以推出 gf 等于 gh， 那 因为这里还有一个 bc 等于 hg， 所以 都有一个公共的 hg， 我 们就可以进行等量代换，得到 bc 等于 gf。 这道题主要就是圆周、角等性质的都可以用，还有我们要利用圆内些四面形的性质来解题，今天的讲解就到这里。

那些灵魂早已无处。

hello， 同学们，大家好，我是数理化白老师，今天继续和大家分享数学九年级上有关圆的专题啊。那么接下来我们看二十二题， 那么题中给出 a、 b 等于 a、 c， 角 b， a、 c 等于四十五，那么以 a、 b 为直径的圆与 b、 c 相交于点 d， 那 么过地点 的切线 a、 c 啊，告我们切线是 a、 c 相交于点 e。 第一问，让我们求下点 c 啊，求下角 c 啊和角 d、 c 的 度数啊。那我们先看第一问啊，我先把那个已知条件调到题里面，题中说 ab 等于 ac 啊， ab 等于 a、 c， 那 其实不就是角 b 等于角 c 吗？对不对啊？然后说顶角是四十五，那我觉得可以求两个底角了啊，题中让求角 c 吗？所以这个角 c 他 其实就出来了 啊，这个比较简单啊，他这个角 c 是 不等于一百八，减去四十五，然后除以二啊，就是六十七点五啊，所以出来一个六十七点五， 呃，然后题中让我求 d， e、 c， d， e、 c 啊，求这个角是多少，对吧？哎，那么接下来我们看，呃，除了题中给出，我们可以标下这个角啊，现在是六十七点五，六十七点五 啊，那么题中除了 abc 这个等腰三角形，大家不要忘了这个 o、 b、 d， 它也是等腰三角形，对吧？哎，为什么要研究它呢？因为题中说切线啊，切线就什么，就是我们这个 角 o、 d， e 啊，它是九十啊，对不对？我们标一下这个啊，角 o， d， e 是 九十，对吧？所以我们现在要求的这个角，呃， d、 e、 c 和我们现在这个垂直有什么关系 啊，就他俩有什么关系啊？那我需要看一下这个 obd， 这个三角形的特殊性， obd 他 也是一个等腰三角形，对吧？而且先生告诉我了，角 b 是 六十七点五，就刚才我们推出来的，所以我们可以写出这个角 obd 也是六十七点五， 大家看是不是？那也就是角 odb 等于了角谁啊？角 c 啊？ 所以现在能推出一个 o d 平行于 a c， 那 o d 平行于 a c 的 话，我不就能推出这个角 d e c 是 不是等于角谁啊？角那个 o d e 啊，对吧？ o 它不内错角吗？等于九十 对吧？所以第二个应该是九十度啊。那么接下来我们看第二问啊。第二，我们看题中给的新条件啊， 题中给出过点 o 做 o f 垂直于 ac 啊，给了一个垂直，然后又过 f 点做 m n 垂直于 ab， 又给了一个垂直关系说如果 m n 等于二倍，根号三，求下 e c 的 乘， 大家看啊，要想求 e c， 大家看这个地方，那我们其实就看这个是谁减谁呗。这个图里面是不是，那我们刚才第一位已经推出了哪些角呢？就是这块是九十，这块是九十，对吧？然后其中又给了一个垂直关系，那也就是说现在我能推出， 嗯， o d， e f 他 是不应该是矩形啊？根据图中标的三个角是九十的四边形是矩形吗？那也就是说我的 e f 他 应该等于 o d 吧，他应该就是半径，对不对啊？这条线上我已经解决了一个半径 啊，就 ef 是 半径，嗯，如果在我能求出 af， 那 这题是不就可以了啊？就是我认为 ec 应该等于 ac 减去 af 减去 ef， 而 ac 是 什么？题中说 ac 不 等于 ab 吗？那 ac 不 就是两个半径吗？所以现在我必须要解决这个半径，应该怎么去求啊？那如何去求半径呢？问题来了， 如何求半径啊？那就是垂径定律啊。题中这块不给了一个垂直关系吗？我们可以连接谁呢？大家看连接一下 o a o n， 那 o n 就是 半径， 对吧？然后题中说角 a 是 四十五，然后这块垂直，对吧？那我们看一下这个 a f o 是 不是等腰直角三角形，那么等腰直角三角形的话， 那我们看一下。呃，然后啊，我就写一下吧，这个三角形我们可以推出 a f o 为等腰 直角三角形，因为有一个四十度有个垂直吗？是不是然后又因为你的 f h 它垂直于 a o 啊，是吧？等腰直角三角形过顶点做垂直。那所以我们应该是什么？被平分了吗？就是 a h 应该等于 o h， 是吧？应该等于二分之一的半径啊，所以我这块标一下，它是二分之一的半径，而题中说的 m n 是 二倍根号三，那也就是根据垂径定律，那么 h n 就是 根号三， 所以我可以先把半径求出来啊，就是 o n 的 平方应该等于 o h 的 平方啊，等会啊， o h 的 平方去加上 n h 的 平方，那就是二方应该等于二分之一二的完全平方，加上根号三的平方，我们可以把二求出来啊，这个二求出来应该等于二， 好吧，那二是二的话，我们回到刚才我们这个问题上，对吧？ ec， 嗯，他是 ac， ac 减去 af 减去 ef， 他 不两个半径吗？ ac 那 就是 二 r 是 吧？而 af 呢？哦，还要求下 af， 而 ef 有 了 ef 是 半径啊，它也是半径是吧？我们看一下怎么求 af。 嗯， af 的 话我们看一下，我们把这个图踏出来，大家看啊， 这是 a， 这是 f， 这是 o， 这是个等腰直角三角形，四十五度，然后 a o， 它已经求出来了，是二了，对不对？那如何求 af 呢？你就大体，你就设 x 就 可以了。 设 af 是 x， 那 o f 也是 x， 那 就 x 方加 x 方等于二的平方，那么 x 是 不应该等于根号二呢？ 对吧？那我写到这了不就行了吗？根号二，那我算一下，二是四减去根号二减二。答案二减根号二。好吧，所以我们这题最终的答案应该是二减去根号二。 第二问啊，这就是我们。嗯，九年级上啊，数学圆的专题，这个题其实是 咱开的一个期末考试题啊。嗯，和中考是同样难度啊，甚至说比中考稍微难一点。好吧，哎，圆的题，大家多练一练。点赞加关注，解析有思路。