勾股定理竹子问题解题方法

初中数学动画第一集勾股定律这个视频我要讲讲如何利用勾股定律求解最短路径的问题。这有个正方体能尝试。一，你在 a 点，要沿着正方体的表面去 b 点，最短路程是多少呢？前面讲过，遇到这种最短路程的问题，就要化折为直， 怎么化解为值呢？把这个面展开，连接 a、 b 撇就行，这就是最短路程，它是多少呢？射它为 c 吧，棱长是一，它就是二。根据勾股定律， c 方等于一方加二方，也就是五， c 就是 根号五，搞定。 再来看个题，已知平面直角坐标系内， a 的 坐标是零二， b 的 坐标是四一点 c 在 s 轴上，问 a， c 加 b， c 的 最小值是多少？木有图，那就自己画。先画个坐标系， a 是 零二，那 a 就 在这儿， b 是 四一，那 b 就 在这儿， c 是 s 轴上一点，问 a， c 加 b， c 的 最小值 等等。这不就是咱学过的将军一马问题吗？要想路程最短，先化折为截，做 a 的 对称点， a 撇连接 a 撇 b， 这就是要找的最短路程，那它怎么求呢？我教你个方法， 过 b 点向下做垂线，过 a 撇点向右做垂线，这就出现了个直角三角形，这条边是一，这条边等于这条边，它是二，那这条边也是二，所以这条边就是一，加二得三，而这条边等于这条边，这条边是四，所以这条边也是四。利用勾股定律马上可以求出这条边是五，搞定。 以上就是如何利用勾股定律来解决最短路径的问题，只需两步走，第一步，化折为直，找出最短路径。第二步，构造出直角三角形，利用勾股定律求解。好了，没事，这就讲完了，徒儿们速速刷题去吧！

好，今天我们来讲利用钩股定力解决最短路径问题啊，好，那么我们首先看题说呀，如图，哎，圆柱形玻璃杯的杯高为九厘米啊，就是这个杯子的高度，哎，为九厘米啊， 九厘米。然后说杯底面，哎，周长为啊十六厘米啊，很明显是个圆柱啊，底面是个圆，对吧？那底面圆周长是十六， 那么呀，在杯内壁啊，离杯底四厘米哎的 a 处，哎，又说明这一段长 a 是 四厘米，对吧？那其实我们就知道了，那这一段上面这一段哎，就这一段长，是不是很明显就应该是五呀，对吧？ 那么他说此时一只蚂蚁正好在杯外壁上啊，那么他在离这个杯上沿一厘米处，哎，就这一段长啊， 这个绿色的线段啊，是一厘米，对不对？哎，那么且与蜂蜜相对的点 b 处哎，然后这个求蚂蚁从外 b b 处到内 b a 处所走的最短路径啊，所以这我们一定要清楚啊，一定要清楚，就是说蚂蚁在这个杯的外面啊，这个 蜂蜜在杯的里面啊，所以说它一定是要翻过哎，这个杯瓤，然后跑到爬到这个杯的里面啊，然后才能吃到那个蜂蜜，对吧？那我们看这类题，我们应该怎么做啊？我们应该怎么做？ 首先我们要做的是要把立体转化成平面啊，转 化成平面，这是我们第一步要做的，对吧？所以说很明显，那么我们首先第一步我们就要沿着啊，这个点 a 点 b 啊，所在的这条直线啊，把这个 玻璃杯啊，就把这个圆柱给它切开啊，然后把它展开，那展开，我们知道啊，小熊，我们也知道啊，这个沿着高，哎，给它展开之后啊，那么它的一个侧面展开图就应该是一个长方形或正方形，对吧？哎， 好，也就是个矩形，那么此时我们就如图所示，对吧？哎，得到了这样一个矩形，那么此时我们怎么样求哎，点 a 到点 b 的 最短路径呢？哎，那其实很简单，我们怎么办呀？哎，就是以 e f 哎，为对称轴啊，做点 b 的 对称点啊， b 片，那么此时我们连接 ab 片，哎， 那么 ab 片就是，哎，最短路径啊，就是从就是蚂蚁啊，这个爬过去吃蜜蜂的这个啊，吃蜂蜜啊，吃蜂蜜的这个最短路径。至于为什么，这其实上啊，它就是一个变形的将军印码问题， 对不对？那就是个变形的减去密码问题啊，什么意思呢？欸，有相当于什么呢？欸，这有一个，欸，固定点， 这有一个固定点，那么我要在 e f 上找一点使得，欸，假如这一点 p 的 话，使得 p b 加 pa 是 不是最短呀， 对吧？欸，使得 p b 加 pa 最短，因为我们知道这个蚂蚁在杯的外面啊，蜂蜜在杯的里面，它一定要翻过欸，这个杯沿进去， 对吧？他一定是这样走的，你看，他一定是这样走的，哎，就一定是这样，也就说我实际上是要在这个杯沿上啊，我们令这个杯沿所在的这个线为 e f 啊，那么我一定是在这个杯沿上找一点，使得它到 点 b， 点 a 的 距离之和最小啊，使得到点 a 点 b 的 距离和之小，那很明显，这是不就是典型的一个两定移动问题啊？ 啊，两地移动问题啊，那么对于两地移动问题有将军印码这种问题，我们此时当时是怎么说的，对吧？我们在讲的是，我们是说移动点所在的直线为对称轴做定点的对称点，对吧？哎，然后此时把啊对称点和另外一个定点相连，那么此时 是得到的焦点皆为所求，对吧？那所以这个题，哎，我们就延续将军应马的解析思路，对吧？这样，你看，我们这个是做了点 b 的 对称点，其实这个题我们是不是依然可以做点 a 的 对称点，然后连接这个 b a 呀？ b a 的 对称点呀，对吧？必然可以，对吧？依然可以。 好了，那么，哎，我们来看，哎，既然我们清楚了啊，这种题应该怎么写？接下来是不是就非常好好算了呀，对吧？那么很明显，对吧？ a b 撇 d， 这是一个直角三角形，哎，对吧？它是一个直角三角形，而我们知道 a e， 它是等于等于几了呀？刚才我们说了，你看 点 a， 哎，在离杯底四厘米处，那所以 a e 是 不是就等于五呀？哎，它是不是等于五呀？因为总共杯高是九嘛，哎，这是四，那很明显上面不就是五嘛，哎，紧接着 他又说，什么样呀？点 b， 哎，到杯儿的距离是一，那所以 b 撇 f 是 不是也是一啊？那所以我们就知道了， d e 是 不是也是一？所以很明显，此时 a d e 就 应该等于五，加 e 又等于六， 对吧？那接着就是 b 撇 d 等于几呢？哎，如果在这个四角三角形里面，我们知道 b 撇 d 了，哎，那我们用勾股 d 里是不是可以很快的求出 a b 撇呀？哎，那 b 撇 d 等于几呢？ 其实很好写，对吧？用我们小学的知识我们知道，哎，这就是这道题一个精髓啊，这样，有这样一句话，哎，我们再来回顾回顾一下，看一下说什么样呀，与 蜂蜜所对的，哎，点 b 处，比如说呀， a 和 b 这两个点所在的直线，哎，所在的线段是相对的，那所以很明显，我们如果沿着这两条直线给它展开的话，那么这个周长是不是正好等于底面圆周长的一半呀， 对吧？正好等于底面圆的周长一半，那所以底面周长是十六，那么这个长是不是就应该等于八呀，对吧？所以此时 a b 撇就应该等于根号线 a d 方加上 b 片地方，哎，所以代入数值，哎，它最后算出来就应该等于十，对吧？哎，所以 a b 片，哎，它的长度等于十及，哎，最短路近为啊十厘米，好吧，那所以这是这个题啊，这是这个题。 好，接着我们再来看一道题啊，再来看一道题，那么这个题是我们比较常见的，对吧？哎，立体图形，哎，立体图形的问题啊，长方体问题。说书图哎，是放在地面上的一个长方体盒子， 其中 a b 等于九，标一标，对吧？ a b 等于九，又长等于九， b c 等于六啊， b c 等于六， b f 等于五，哎，就说长宽高分别是九、六、五啊。那么接着 d m 在 棱 ab 上，且 a m 等于三，那所以 m b， 哎，就应该等于六，对吧？ 点 n 是 f g 的 终点啊，点 n 是 f g 的 终点，那么这样的格子是不是等于三呀，对吧？那么此时是一只蚂蚁要沿着 长方体盒子的外表面从点 m 爬到点 n 啊，它需要爬行的最短路程是多少，哎，这 直接就备注了，说盒子底面啊，蚂蚁无法爬，又说只能在什么样呀？哎，前后左右和上，哎，这五个面上爬，对吧？那对于这种类型的题，我们应该怎么处理呢？哎，其实很简单啊，很简单。我们先说理论啊，先说理论， 这这种长方问题啊，就说蚂蚁在这个长方表面去爬的这种问题，要求最短路程的问题，哎，我们首先记住啊，首先要分类，第一步要分类， 那怎么分类呢？也说我们要把这个长方体，哎，我们要分成三大块，哪三大块呢？哎，就是钱 和后，哎，他是一组的，那么第二是左和右，哎，他是一组的，那么接着就是上和下是一组的。你说这前后左右上下，这指的是什么呢？哎，指的是 前后两个面，对吧？哎，前后两个面，哎，左右两个面，对吧？哎，左右两个面，哎，左右两个面，然后紧接着是啥呢？哎，就是上下两个面，对吧？一共六个面吗？哎，所以说它是两两一组的，哎，我们要把它分成这三组。那么紧接着，哎，就相当于什么呢？我们把 第一组标号为一，第二组标号为二，第三组标号为三，对吧？就像一和二， 哎，这是一类啊，接着一和三，哎，这又是一类，紧接着二和三又是一类。啥意思呢？就是说呀，我要在一号里面，就是前和后里面抽一个，左和右里面抽一个，哎，组成一种情况。接着，哎，这是第一种情况，那第二种情况就是我要在前和后里面抽一个面， 上和下里面抽一个面，哎，我再组成一个情况，对吧？那最后一种也是第三种，就是我要在左和右里面拿一个面，和上和下里面拿一个面，再组成一种情况，那么蚂蚁在爬的时候，他只有这三种情况，对吧？哎，他只有这三种情况，那么接下来我们依次来看一看啊，依次来看一看， 好，比如第一个，对吧？哎，那比如第一个，那很明显啊，对于第一题，哎，第一种情况，我们是把什么样呀？哎，我们是沿着哎，我们来对照这个图看一看， 沿着 ef 把它展开啊，沿着 ef 把它展开，就相当于是把谁和谁组合在了一起啊？哎，那很明显，是不是就把前面和上面哎，我们把它组合在了一起， 好，我们来感受一下啊，说什么呀？就是我们要沿着 ef 这条哎边哎，把上面哎给它翻折上来，然后让它和前面哎同处一个平面哎，把它变成这种样式的，对吧？哎，有时候第一种，哎，我们是用的是前，哎， 前和上，有时候我们用的是一三组合啊，我们是用一三组合啊，就是让前面 加上面这种组合，对吧？哎，前面加上面这种组合，把它俩放在同一个平面内，那么此时 m n 所走的路径， 欸，是不是就这个长呀？那我们是不是就很好地把它放到了一个直角三角形里面， m b n 这个直角三角形里，对吧？那接下来我们就看一看啊， m b， 欸，等于多长？ n b， 欸，等于多长，对吧？那么由题我们可知呀，欸， a b 是 等于九的， 对吧？哎， bc 是 等于六的啊， bc 是 等于六，这里面没有体现，对吧？哎，那么 b f 是 等于五的，哎，接着 m 在 ab 上，且 am 等于三，那所以很明显 am 等于三了， mb 是 不是就等于六呀？即在 r t 一 三角形 m b n 中，对吧？ mb 等于六，那接着就看 b n 等于几啊？好，你看 b f 等于五。接着他说什么呀？点 n 是 点 n 是 f g 的 终点，那我们知道 f g， 哎，我们再回过头去看一看啊，我们再回过头去看一看， f g， 很 明显，这是不就是所谓的宽呀，是不就是六呀？对吧？哎，就是六，那所以很明显 n 是 中点，所以 fn 是 不就得三呀，对吧？那所以此时很明显 b n 就 应该等于八，对吧？那所以 a m n 就 应该等于根号下 m b 的 平方加上 b n 的 平方， g a 是 不是得十呀？我们代入数值就可以求出来啊。所以这是我们第一种情况，哎，我们前和上组合在一起的时候，哎，那么 m n 的 长度应该等于十啊， m n 的 长度应该等于十。好，紧接着我们来看第二种，哎，看第二种，就是我们让哎 前和右哎它俩放到一起，哎，前和右哎，我们再来拿这个例子，我们来感受一下，对吧？哎，它是怎么来的呢？ 就是我们要把哎以 f b 这条直线哎为轴，哎，让这个右面这个面给它转过来，哎，让它和前面放到一个平面内啊， 像一个门一样，对吧？哎，给它转过来，放到一个平面内，对吧？哎，那所以此时我们要求此时的 m n m n， 对 吧？哎，就是第二种情况，就是前和右哎，前和右，也就是我们的一二组合，对吧？哎，一二组合？好，那我们具体来看一下啊，具体来看一下。 同样，他说什么呀？ ab 等于九啊， ab 等于九， ab 还是等于九啊？又因为这个 am 等于三，所以 m b 是 不是还是等于五呀？还是等于五，对吧？哎。 哎，不，不，它是等于六，等于六，对吧？ m b 等于六， m b 等于六。好，那接着 b f 等于五，那 b f 等于五，我过点 n 做 ac 的 垂线，那么很明显， n p 是 不是就应该等于 b f 也等于五呀， 对吧？哎，也应该等于五啊，也应该等于五，那紧接着就说我们要求 m n， 对 吧？哎，还是我们要找一个 m n 所在的直角三角形，那很明显。 谁呀？ m n 在 哪个直角三角形里啊？那是不就 m n p 里面，对吧？ m n p 中，对吧？哎，在 m n p 中，哎，已知 np 它是等于五的，这没问题。那 mp 等于几呢？对吧？我们知道了 mb 等于六，哎，那 b p 等于几呢？哎，和刚才一样，哎，因为 f g， 哎，我们知道 f g 等于几呀？ f g 就是 b c 嘛，哎，是不是等于六呀？ n 是 它的中点，那所以这个长是不是就等于三呀？所以 b p 就 等于三，那所以 m p 是 不是就等于九呀，对吧？那所以此时 m n， 哎，它就应该等于根号下啊， 什么样呀？哎，它等于根号下啊，谁？哎，就是 m p 的 平方加上 n p 的 平方啊，那么我们代入值，哎，经过计算啊，那就是九的平方啊，九九八十一，五五二十五啊，加在一起，哎，等于根号一百零六，对吧？哎，根号一百零六，对吧？哎，对，根号一百零六， 好，这是我们，呃，这个啊，这是我们这个第二种情况啊，好，那紧接着，哎，我们来看第三种，刚才我们已经有了，哎。什么样呀？哎，前和上，对吧？哎，前和上 还有什么样呀？前和右，对吧？那所以此时我们只剩下谁了？哎，只剩下哪种情况了？哎，是不是就是让我们的下和右结合在一起啊？对吧？哎，下和右啊，所以说怎么是下和右呀？哎，能不能是上和右呀，对吧？哎，那我们来看一下啊，我们同样，哎，我们来看一下这个图， 看一下这个立体图形。 刚才我们说了，我们是首先是什么样呀？ 前和上，哎，是不是一种呀？第二是前和右，哎，是不是一种呀？哎，那接着你看，哎，我们说了第三种，哎，就是我们的二三组合，就是左右抽一个，哎，上下抽一个啊，上下抽一个，但是你想想啊，如果上面和右面 要想放到一个平面内，那很明显是不是要以 f g 欸所在的直线为轴把它转过来呀？但是很不幸的是，如果你这样转的话，你想想，不管是欸右欸往上翻，还是这个这个啊，这个这个上面啊，往右面翻，那很明显 m n 它不能在同一平面内呀， 对吧？哎，所以这个很明显我们只能是把下面，对吧和右面翻折到一起，那很明显我们要以 b、 c a 为轴，对吧？哎，把下面哎给它翻上来，对吧？哎，下面给它翻上来啊， 比如说此时让下和右通出一个底面啊，通通出一个平面，那么此时 f m n 就 应该是这条线， 对不对？哎，好，那我们来看平面图形啊，所以我们在写这种题的时候啊，一定记住啊，自己要画一画，对吧？哎，一定自己要画一画，那么好，那我们接着，哎，既然我们知道了这种情况，那接下来我们是不是就是 标数据就行了呀，对吧？哎，标数据就行了，同样 a b 等于九啊， b c 等于六啊， b f 等于五啊， am 等于三，那所以 b m 等于六，对不对？然后点 n 是 f g 的 中点啊，那我们知道 fn 就 应该等于三，那么同样老老规律，我们看一看 m n 这条线啊，在哪一个？哎，直角三角形里，对吧？那很明显在 r t 三角形 m n f 中，对吧？那这时候我们要要想求 m n， 很 明显，我们要知道 m f 等于几，那等于几呢？根据刚才的这个标注，我们知道了，它是不是等于十一啊，对吧？它是等于十一的，那紧接着就是 n f 等于几啊？哎呀， n f 那 很明显就等于三，那所以 m n 就 应该等于根号下 m f 的 平方加上 n f 的 平方，对吧？我们代入数值，哎，那就应该是十一的平方幺二幺，加上这个三等平方九，哎，又得 根号幺三零，对吧？哎，对，根号幺三零，那么至此，哎，我们就得到了，哎，这三种情况，哎，它所这个这个所得到的 m n 的 距离，对吧？哎，那么我们来回顾一下，来回顾一下， 那么第一种的时候，哎，就是前和上，哎组合在一起的时候啊，前和上组合在一起的时候，哎，他是十，对吧？哎，前上组合在一起的时候是十， 那么第二种是什么呀？前和右组合在一起是根号幺零六，哎，那最后一种，哎，就是你看前和上是十啊，前和右是根号幺零六，而最后一种什么样呀？哎，下和右组合在一起的时候啊，下和右 组合在一起的时候啊，他是根号下幺三零，那现在我们就数就比较大小就行了呀，那很明显十应该小于根号幺零六，应该小于根号幺三零啊，那所以很明显人家问的是最短路程，那所以，哎， 他需要爬行的最短路程就是十厘米，对吧？哎，就是十厘米，好吧，哎，这是我们这个题啊，是我们这个题， 我们后续遇见这种啊，长方体啊，这种问题的时候，要求最短路程，一定记住啊，要把它变成什么样呀？ 平面，那平面应该怎么展呢？就是上下为一组，前后为一组啊，左右为一组，那么每一组里面我们抽一个，哎，我们就有三种情况，那么依次把他们算出来即可， 对吧？好了，那么这就是我们这两个题目啊，这是我们这两个题目，那我们来总结一下啊，对于这种立体图形里面的，求最短路程问题啊，我们应该怎么办？应该怎么办？那明显，首先我们要利用两点之间线段最短，对吧？首先我们要利用两点之间 线段最短，哎，来解决此类问题，那么我们就是什么样呀？首先我们要画出立体图形的啊，侧面展开图，哎，就是把立体 变成平面，对吧？哎，先画展开图啊，那第二，哎，我们再构造直角三角形啊，我们再构造直角三角形， 然后利用钩股定力啊，进行求解即可啊，利用钩股定力进行求解即可，对吧？哎，好，这就是我们这种啊，利用啊钩股定力解决路程最短问题的方法。

来这个题就是如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板 ab， 就 这个，这个是一块木板往上爬，木板底部距离墙角零点七，那就这里是零点七。 然后当小猫在木板底部爬到顶端 a 时，木板底端向墙外滑动了一点三米，本来木板在这里的往这边滑动了一点三米，那说明这里一点三， 然后木板顶端向下滑了零点九米，本来 a 在 这里，现在到这里了，这里是零点九米。然后根据提议， b、 c 等于 b、 c 零点七，已经标上了 b b 一 点三， a a 一 零点九。然后这个题关键是第二问， 请你求出 a、 e、 c 这下面这一节的距离和这块木板的长度。其实这种题最关键的就是个木板的长度，它是不会变的，所以我们现在想办法，那肯定这里是直角，因为这是墙角嘛。那我们可以设这个 a、 e、 c 为 x， 就用两次勾股定律，先把这边不看，就看这个 a、 b、 c 三角形， a、 b、 c 是 直角三角形嘛，那就是零点七的平方加上直角边的平方和等于斜边的平方，下面是 x 加零点九， x 加零点九，括号的平方就等于 a、 b 的 平方了。这是第一种方式表示这个。 现在看滑动过后的这个三角形呢，叫 a、 e、 b、 e、 c 这个直角三角形的两个直角边的平方和也等于这个这样横着是两米就二的平方，加上这样竖着就是 x 的 平方， 也等于 a、 e、 b、 e 的 平方，这两个本来是相等的，现在这里就是一个方程，把它解出来就 ok 了。零点七的七七四十九，零点四九， 加上这里也是呃，括号的平方有一个二， a、 b 就 a 平方加 b 平方，零点九乘以零点九就零点八，一再加二， a、 b 二乘零点九，乘 x 就 一点八， x 等于二得四，加上 x 平方，这种 x 平方会抵消的，然后这边就剩到一点八， x 等于这边你看这里相加的一点三，一点三移过来就减一点三，四减一点三就得二点七， x 就 等于这里乘以一点八移过来就除以一点八。八分之二十七就等于同时约个九就二分之 三，那就二分之三，说明这个 a、 e、 c 就 得一点五米。然后还要叫你求这个木板的长度， 木板的长度就随便带到这个其中一个里面去，那就是二的平方就四，加上 x 平方，就二分之三的平方，就一点五的平方，然后开方 就得到那个木板的长度了，就是六点二五，正好六点二五就等于二点五，那说明这个木板的长度就是二点五。

老师今天给大家讲解一下购物定律，比如说购物定律其实非常简单，其实就是探索了一下嗯，两条直角边和一个斜边的一个关系的一个问题。比如说在直角三角形 a、 b、 c 中，这是小 b 式直角，然后这是较短的直角边是 a， 较长的直角边是 b， 较这个最长的边是斜边，比如说用小 c 表示， 然后在勾股定力当中，然后他是把较短的直角边是叫做勾，然后较长的直角边叫做是股，所以说数学家也把这个把这个定力叫，所以说叫做勾股定力。较长的直角边，比如说最长的直角边是弦吗？ 嗯，然后勾股定律的一个就是，嗯，较短的直角边和较长的直角边和一个弦的一个关系是用数学式子表达出来，就是 a 方加 b 方等于 c 方，然后这其实就是勾股定律。 然后老师接下来给大家说一下勾股定的一个证明的一个过程。单个， 比如说在这一个直角三角形当中， 然后就是这个直角边的边长是，比如说这是一、二、三，所以说直角边是边长是三，这个直角边边长是几？一二三也是三，是吧？比如说然后 这个直角边的平方是不是就是相相当于这个 正方形的一个面积，然后因为他那个直角边的边上就是这个左边这个正方形的一个的边长，所以说边长就是等于他的一个这一个直角边吗？所以说直角边的平方是不是就是等于正方形 a 的 面积？比如说用这个表示直角边 a， 所以 说 a 方是不是等于 a 的 s， a 表示面积吗？哎，用 s 表示面积，比如说用嗯，在这个直角三角形用这个直角边是用 b 表示，然后是不是 b 的 平方是不是就等于 s b 是 不是 s 表示面积啊？ 是吧？然后在这个 只要三角形这个弦用小 c 表示，然后是不是 c 的 平方是不是就等于 s s 大 c 是 不是就是相当于正方形大 c 的 一个面积，是吧？所以说相当于就是证明勾股定力，要证明 a 方加 b 方等于 c 方，是不是就等价于， 是不是就等加于证明 s a 加 s b 等于 s c 是 不是相当于把嗯转化为了面积的两个面积等于第三个面，第三个正方形的面积吗？ 说，所以说你就先可以算一下正方形 s a 的 面积， s a 的 面积等于多少？是不是等于正方形 a 的 边上是几？比如说一个小正小方格的单位长度是单位一，比如说，所以说正方形边长， a 的 边长就是三， 是吧？ a 方 a 等于三，所以说三乘以三等于九嘛，是吧？那 s b 呢？ 正方形 b 的 一个边长是几也是三嘛，是吧？ b 的 平方 b 也等于三，所以说三乘以三等于九嘛，是不是？所以接下来要算 s 正方形 c 的 面积， s 正方形 c 的 面积。但是你现在就是没有办法直接获得 正方形 c 的 一个边长嘛，所以说你就可以把这个，因为这个正方形 c 的 边长你需要算也不知道。所以说，嗯， 你把这个正方形 c 可以 划分为画个直角是吧？也可以画成四个直角三角形，然后这个直角三角形每一个直角三角形的面积， 是吧？然后每一个直角三角面积是多少？然后相当于四乘以的时候，每个乘以每个直角三角的面积，相当于这个直角三角的底是多少？ 一二三嘛？然后就是四乘以三乘以几，这高是几？一二三也是三，然后再乘以二分之一，是不是？然后就相当于每个直角三角形的 每个直角三角形的面积，然后你再乘以四，是不是就是乘四个直角三角形面积就相当于 s， 就 相当于大正方形 c 的 面积，就是最后算出来是多少？四乘二分之一是二，二乘以乘以三，是，是十八是吧？ s a 加上 s b 是 多少？等于九加九是吧？等于十八，那 sc 也是十八，所以说 s a 加 s b 是 不是等于 sc？ 所以 说是吧？就是相当于在相当于在直角三角形当中，是不是 a 方加 b 方等于 c 方，是不是？ 这是在这个图一杠二当中，这个这个图形当中相当于把这个勾定的证明出来的，是用是用面积的方法证明出来的。 接下来老师再给大家说一下这个在正在这个直角三角形，这个直角三角形当中， 是吧？这个直角三角形的这边上是几？一二三四，是吧？是吧？比如说用直角这个直角边，用小 a 表示这个直角边，用小 b 表示这个直角边，这个斜边用 c， 小 c 表示啊。所以说这个 a 的 平分是不是相当于 s？ a 正方形 a 的 面积，那正方形 a 的 面积是多少？是不是相当于四乘四？是不是等于十六？是不是？然后你看一下这个正方形 b 的 面积， 就是 b 的 平方等于多少？ b 的 平方是不是就相当于等加于 s？ b 是 不是正方形大正？正方形 b 的 面积是相当于这个正方形 b 的 边上是几一二三是不是？三乘以三等于九，是不是？所以说， 所以说 a 方加 b 方是不是等于十六加九等于二十五呢？然后接下来你是不是要算出这个 c 的 平方？ c 的 平方就是相当等于 s 正方形大 c 的 面积，是不是呢？ 然后接下来这个正方形边上不知道，所以说就要把它划分为，嗯，你能算出来的一个三角形正方形其他图形的面积转化出来。比如说你可以把这个正方形可以通过划分，比如说你可以划分成这个， 是不是这是一个，这是相当于一个直角三角形。然后你再看， 这是不是也是相当是一个直角三角形，这是不是也是一个直角三角形？比如说这是第一个直角三角形，这是第二个直角三角形，这是第三个直角三角形，是不是呢？然后这就相当于 s 一 sc 的 面积是不是相当于 s 一 加 s 二加 s 三加 s 四呢？是不是？那 s 一 的面积是多少？ s 一 是不是？ s 一 的底是一二三四四，高是一二三，是不是？所以说底是一二三四，高是一二三，那是不是 s？ s 一 是不是等于二分之一四乘以四乘以三呢？是不是等于四乘三是十二六，是不是？ s 二 s 三 s 四也是一样的吗？一二三一二三四，是不是？ 所以说相当于还是二分之一乘以四乘以三等于六？ s 四 s 三也等于六， s 四也等于六，是吧？这里边是不是还有一个小正方形的，一个小正方形的是不是相当于再加上 s 小 正方形， 是不是在整体上 s 大？ c 正方形的面积是不是相当于四个小直角三角形的面积？加上一个小正方形的面积是不是六， 是吧？然后四个嘛，四个一样，所以说六乘四，然后再加上一个小正方形的面积，小正方形的边乘是一，那一乘一是不是六乘四等于二十五，再加个一是不是等于二十五呢？然后你看 a 方加 b 方是不是等于 二十五？那 c 方是不是 c 方？是不是等于也是等于二十五的？所以说 a 方加 b 方是不是等于 c 方？所以说这也是通过这种方法，也是通过面积的一种方法，把勾股定律证明出来的。 来，老师再给大家看一下这个， 比如说在这个在，在，比如说在图一杠五当中是不是？你也可以就说，比如说，嗯，这个只要三角形的边长是 b， 这是 a， 这是 c， 是 不是？然后你说，那你说这个大的这个正方形的边长是几？ 这是不是也是这个是，因为这是 a， 是 不是？这是每个直角三角形是全等的，一模一样的，就是全等，意思就是一模一样。比如这是 a， 这是 b， 这是也是 a， 这是 b， 这是 a， 这是 b， 这是 b， 是 吧？ 所以说 s 大 正方形的最大的正方形，是不是面积是不是等于四个小正方形的小三角形的面积， 加上里边的这个边长为 c 的 这个 正方形的面积 s c 是 不是？那 s s 小 正方小三角形的面积是不是等于二分之一乘以 a 乘以 b 乘以四，是不是等于二？ ab 是 不是？那 s 是吧？然后你再加上这个 s， c 是 不是就相当于 c 的 平方吗？是不是加上 c 的 平方？那你大正方形的面积原本等于多少？是不是边乘？因为 s 大 正方形面积也可以用 a 加 b 边，因为边长是 a 加 b 的 平方就是 等于多少， a 方加 b 方加二 ab， 是 不是？所以说这两个相等吗？是吧？ d， 这个是用原本的边长乘边长算得这个大正方形的一个面积， 是不是？然后接下来这个是通过把这个大正方形划分的四个小三角形加上一个里边的一个较小的这个正方形说算出来的，然后这两个是一样的，因为 都是表示它这个大正方形的面积，所以说 r a i a b 加 c 平方，是不是就等于 a 平方加 b 平方加 i a b b 呢？是吧？ 所以说你把这个化简一下，是不是 c 平方等于二 a b？ 因为二 a b 二 a b 约分嘛？是吧？约了嘛？两面等式，两边同时减去一个数字，等式的大小不变嘛？所以说是不是 a 方加 b 方是不是就等于 c 方了？ 来，老师再给大家说一下图一杠六的一个证明， 比如说你把它这个三角这个正方形看这个大的一个正方形，是吧？那那这个大的正方形的 s 大 正方形面积是不是就等于 c 的 平方呢？是不是？那你比如说这个大正方形， 大正方形是不是也可以等于 s 一 二三四相当于四个小三角，小三角形、小直角三角形的面积的面积 加上里边的小正方形加 s 小 正方形面积啊，是不是等于四个小三角形的面积？怎么算呢？ 小三角形的。嗯，小直角三角形的，因为底是多少？比如说这个直角边是 a 吗？因为这是 a， 这也是 a， 这是 b， 所以 这也是 b， 在 这在相当于四个，因为每个直角三角形的底和高是一样的，所以相当于四个。 四乘以，四乘以，这个直角三角形的底是 a， 这是高，是 ab， 所以 说四乘 a 乘 b 乘二分之一嘛，是吧？然后就是把四个小三角形的面积算出来了， 然后你再加上里边的 s 小 正方形的面积。 s 小 正方形的面积怎么算呢？因为它的边上是几？比如说，嗯， 这是，这是 a， 是 不是这个？那这个这个底呢？比如说这是 a， 那 这一节呢？这节是这节是 b 吗？是不是？ 所以说 b 减个 a 是 个平方，是不是 s 角正方形的面积？然后你把这化简一下，就相当于二 ab 加上 b 方加 a 方减二 ab， 是 不是等于多少？你化简这抵消 b 平方加 a 平方，是不是这两个相等？ 所以说 a 方加 b 方等于 c 方，所以说勾股定力就证明出来，所以说即正勾股定力。 老师今天就给大家讲解到这。