立体几何成都七中

眼睛立体几何也能压轴心，想出题能不行吗？这是一道水题，但是考场上手已经算废，最后考生在考场上会感叹，原来小丑是自己。我们再来讲一下，这是一道立体几何， 只要质量很高的，计算量也很大的一个压轴题，是昨天才考的二零幺六成都一镇的十八题。 前两位嘛，很简单，也是非常常规的，按照题目看上去，第三位也是很常规，但是往下算，你才会发现这个题不是那么想的简单，甚至 考场上考生很少有做出来的。我们就来看一下是什么题目。在菱形 a、 b、 c、 d 中，将三角形 a、 c、 d 翻折至三角形 a、 c、 e 连接 b， e、 d， e 就 成四棱锥 e a、 b c d e a， b c、 d。 要证明线面平行，只需要证明线线平行啊，很明显 a、 d 平行， a、 b、 c 的。 所以第一问基本上解决了，就怎么规范答题对吧？第一问，怎么规范答题？自己写不会去看参考答案，这 主页群或者我们数学复制群都发了电子版的，自己去看规则。我重点讲的是第三位，而第二位证明平面，证明面面垂直，也要转换成证明线面垂直，我们来看一下，而根据反折的不变线，比如这个取一个 o 点连接它证明的是 ace 垂直于 b、 d、 e， 对 吧？只要是菱形，马上想到对角线互相垂直平分，说明这很明显就有个 a、 o 垂直于 b、 o 而反折的不变线 a、 o 是 垂直于 o、 d 的， 所以 a、 o 垂直于 o、 e。 搞定，是不是就可以证明了 a、 o 垂直于平面， b、 d， a、 c 在 这个面上又垂直了？同样的 规范书写自己去写了，我们是不是就证明了线面垂直了？好，所以这第二问也解决了，规范书写自己去看参考答案第二问看参考答案 第三位，哎，也是很常见的，这。而第二位是我们证明了线面垂直了，就相当于是 a、 o 垂直于这个面，平面 b， d， e， 所以 要间隙，只需要在这个面上找一个直角就行了。而 a、 o 垂直于 o、 b 的， 我们很明显这是 x 走， 这个是 y 轴，这个垂直拉上来，这个是 z 轴， a 间隙没问题。这也是很多考生的想法，但是这个我们往下做这个就会发现并不是那么简单。看好了，继续往下， 只要若 ab 垂直于 a e， ab 垂直于 a e， 销量可以写，数量就为零， ab 等于根号，我们不妨设这个为 a， 这个为 b， 对吧？在四棱锥一， a， b， c， d 的 体积不大于三分之一，与这个高有关了。求平面 a、 c、 e 与平面 a、 d、 e 夹角的余弦值的最大值。好，我们就开始来进系三、首先由二只 a、 o 垂直于平面，平面 b、 d、 e 顾客建立，我们在先描述一下，在顾客 以顾客以以什么为 x 轴， o a 向量为 x 轴，然后或者 o a 向量的正方向 o， b 向量，然后还有我们这个标一个字母，我们再标一个 h 嘛，这是做 o h， 我 们先在上面做做 o， h 垂直于平面，下面这个面是 abc， 对吧？然后我们在前面描述了做，这就是 o， a， o， b， o、 h 向量分别为 x、 y、 z 正方向 建立如图所示的空间直角坐标系。建立如图所示的空间直角坐标系，空间直角 坐标系，对吧？这就变成了 o x， y z 诶，今晚系没问题，开始来设点啦。设 a 点就是 a 零零， b 点就是零 b 零，对吧？这个 e 点不知道，设 e 点为， 我看一下，这就是因为这一点，在 y z 面上 x 还是等于零的，比如这个 t， 这个记为 h， 其中 h 肯定要大于零。现在 t 不知道我们从图像是看不出在左边还是右边的，我们不要盲目的设 t 大 于零，我们现在不知道 其中 h 大 于零是不是这儿射出来了，然后我们这儿写，因为 a、 b 等于根号，就推出 a 方加 b 方等于二这一个关键信息，把它标上，一会儿可能用到，是吧？ a 方加 b 方等于二了，然后这个三零锥的四零锥的体积不大于三分之一，也可以写这些是抓分列。然后还有 a、 b 垂直 a， e， 我 们先写这个嘛，所以咱把 a b， a、 e 出来了，数好 a、 b 相呢，就变成了负 a， b 零， a， e 相呢，就等于负 a t h。 你 看这个题，难点就是现在设的参数很多， 参数很多，就考生就会迷茫，迷茫好，我们找。因为 a、 b 垂直于 a、 e， 就 推出这对应相乘的和 a 方加上 b t 等于零，这是不是又得到一个式子啊？ 个四则我们等会儿肯定要用到的，所以我们只要得到它。但很多考生翻译到着，哎，就开始好，还有个体积嘛，我们只要数好四零锥， 锥子还是没写慢立 e， a， b， c， d 的 体积为 等于三分之一 s 四边形，我们来看 s 菱形，我们再写菱形， s 菱形 a， b， c， d 再乘以高，高就是 e 的 这个重坐标， 横坐标，重坐标 z 坐标再乘以 h， 所以 再代减就是三分之一，菱形的面积就是二分之一乘以 a 乘以 b， 乘以四，四个了嘛，就 就是对角线乘积的一半，或者我们就是二分之二， a 乘以二， b 再乘以 h， 这样就化进就变成了三分之二 a、 b h， 对 吧？好，因为为小于等于三分之一，就推出二 a、 b h 小 于等于 e， 则有得的一个条件，我们把它圈上，这些可能后面都要用到，也是我们的抓分点，能写多少先写多少。 好，没有计算一下现在是不是完了，但很多同学倒折就会漏东西，在隐藏了一个东西，你没有发现啊，菱形翻折的不变形，这个 o e 是 不等于 o d 了，你没有翻译出来，所以这个点就是可能会漏掉的，如果漏掉着，你肯定考场上 做不出来，对吧？漏翻译漏的条件就是，而 o e 等于 o d 等于 b， 所以 就得到 e， o e 就是 零的平方就等于零， t 方加上 h 方等于 e， 是 不是得到啊？等于 b 方 就得到这个条件。这就是我们的第四个狮子，但这个狮子为了因为我们现在参数很多，这就相当于我们有个三角换元法，如果只要你想到三角换元法，写后面写起来稍微顺色，所以分顺理在这能不能想到三角换元 还可以顺利做下去。但如果常规往下写，就后面会大部分人会卡住，而常规如果不换圆不换圆，则后面会卡住，卡住很多考生， 是不是很多考生啦？所以我们就设三角换圆，顾客设 库克，设 t 等于必背。我们这儿是塞，可省略塞它嘛，必背可省略塞它 h 就 等于必背，塞， 塞它是不必背，塞塞它，只要换了圆。下面我们就开始往下写，就这个条件，如果你翻译不出来，这是非常重要的。很多考生这都没翻译出来，这是非常重要的，很多考生这都没翻译出来，就会消远，消不了。常说很多好，下面这儿要写 a c e， 就 要写 a e 和 c e。 看一下 a c e 就是 a o e 嘛。所以我们写 o a 向量和 o e 向量， 要求法向量，我们写 o a 向量，就是我们刚刚写的 a 零零， o e 向量就等于负 a o e 向量往下 e 零没有飞，就是零 t h， 对 吧？我们要设法向量设平列，这个是 o a e 的 一个法向量， 一个法向量 m 相等于 x e y e z e， 所以 我们就套路。所以 o a 向量乘以 m 向量 等于零，这个是 o e 向量乘以 m 向量等于零，就推出数量就为零了，对吧？我们只要稍微拿下点，只要占到线了，那么只要数量就为零。其实交叉赋值法这代点就变成了 a x 一 等于零了嘛？ a 不 等于零，就推出 x 一 等于零。下面其实交叉赋值法我们写的话，大题也写下 y t y e 加上 h， z e 等于零。交叉赋值，我们只需要令 令 y e 则就等于 h， 就 可以推出 m 向量就等于零， h 则是移过去负 t， 这叫交叉负值法，对吧？当然你用其他套路也可以 好得到一个的反向量，我们再来求另外一个的反向量，另外一个的反向量是平面 a d e 好 a d e， 我 们要找 d 的 坐标，我们就写 d 的 坐标，而 d 的 坐标是零，负 b 零，所以 d a 向量就等于这个是 a a b 零了嘛。还有我们这个是 a e 向量，我们刚刚写过的，再挪一下， a e a e 负 a t h a e 向量等于负 a t h。 同样的设法向量设 平面，这个是 d a e 的 一个法向量， n 向量等于 x r y r z r 则就可以写了。然则是 d a 向量乘以 n 向量，数量就为零， a e 向量乘以 n 向量数量就为零。就推出同样交叉赋值吧。这是不是一个 b， 一个负 a， 那 么我们等会儿可以写 ax 二加上 xy 二加上 h z 二等于零，对吧？交叉赋值我们在另，这个是 x 二等于 b 就 可以推出，但咱们要 等会要优化，因为这下面复杂了嘛。我们在表格纸上，先在表格纸上 x 二等于 b， 这代减就是 x 二等于 b， y 就 等于负 a。 带入第三个次序，就是负 ab 减去 a t， 对吧？在负 a b 加上 h z l 等于零，移过去 h z l 就 等于 h z l 就 等于正的了嘛。除过去 h 分 之 a 倍 b 加 t， 所以 咱就得到 n 向量，就等于这个变成了 b 负 a， h 分 之 a 倍， b 加 t。 你 看这个参数很多，所以为什么前面要换元，这是常规操作，下面我们就来换元，把这些向量优化，这就是三角换元的好处，其实就是简化计算量， 简化计算量，这就是三角换元这的操作，三角换 元，减化计算量。所以我们咱就来看一下 m h 是 啥？我们刚刚试了， h 是 必备剩余 c 它，所以咱优化为咱就可以 m 向量，我们写出来就是零，必备塞盈 c 塔，然后这个 t 必被扩展， c 塔就是负必被扩展 c 塔。你看，同时出一个 b， 就 可以得到 m 向量，等于零塞盈 c 塔，这就是负的 函数形式。随着优化的过程，草稿纸上这就我们三角换元，这样我们就可以如果直接用三角换元写下去，咱就得到令 y e 等于塞盈塞特，就可以推出 m 向量，就等于零塞盈塞特负的 函数形式。这就草稿纸上的，对吧？草稿纸上，你看是不是三角换元得到它了？同样的，下面这个 n 项呢？在草稿纸上， 草稿纸上这个 b 还是这个照写 b 负 a， 对 吧？但是这个乘以 h， 说明咱同样乘以 h 就是 b h， h 是 b 倍乘以 c 它，所以这 b 方乘以 c， 它减负 ab 乘以 c 它，然后这就变成 a 倍 b 加上必背括号塞他，对吧？同时出一个 b， 就 变成必背塞赢塞他，负 a 背塞赢塞他，然后再就变成 a 背 e 加括号塞他。你看，这就有优化的过程，所以第二个写的时候，这就我们优化了，就推出我们这就复杂令， 这个是 x， r 等于 b 倍赛赢 c， 它就可以推出 n 向量等于 b 倍赛赢 c， 它负 a 倍赛赢 c， 然 a 乘以一加 a 乘以 e 加 cosine sine 是 不是得到它了？好，得到它，我们又继续往下，继续往下，就是射它的二面角了吧？要是我们问什么射什么射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角。射平面 a， c， e 与平面 a d， e 的 夹角 为哈法则，括号音哈法就等于括号音 m 向量和 n 向量，它两个法向量的夹角的绝对值套出来就套公式，就变成了 m 的 模和 n 向量的模， m n 数向量数量级的绝对值，对吧？你看我们就可以简化很多了，所以再代减就等于 很长的，就等于 m n 向量的模， c 方加括号，这就为一，你看是不是就没了？这就相当于少一些参数。下面呢？ m n 的 数量级零乘，它没了，这都有负的，负的负，负得正，就可以写成 a 倍赛盈 c 塔， a 倍乘以平方 cot， 对 吧？然后再减去看一下，则乘以 cot， 则是零乘以 cot。 负 cos 它乘以它 a 倍乘以平方 cot 则没问题。然它乘以它是 a 倍 cosine cot， 再加上这 a 倍 cosine 平方 c， 它，对吧？乘开 a 倍 cosine 平方 c， 它这移过来， a 倍乘以 c， 它乘以 a 倍 cosine c， 它这化简就刚好是 a 了嘛？这就刚好是 a， 提出 a 来，就是 e 加 cosine c， 它，所以刚好写成 a 倍 e 加 ctrl c， 它是吧？ a 背一加 ctrl c， 它下面还要算这个的模，我们再算一下就行了，这样就变成你看，而且我们找，很巧的是，这个和这个是不一样了，说明咱们等会写出来就变成了 b 背，我们先不换颜色。 b 方乘以赛盈平方 c 塔加上 a 方乘以赛盈平方 c 塔再加上 a 方乘以 e 加上括号乘以平方 e 加这个平方。在外面 括号乘以 c 塔的平方。看到这了，所以这个整体除去啊，意味着这个和这个余没点到，这个和这个其实是一样的，我们就整体除下来，这就是计算 一个小积啊。上面就变成一了，下面这就变成这，刚好可以写成 a 方加 b 方乘以 c 加 c 它，而 a 方加 b 方就是二。我们找前面写过的吗？跑哪去了？找 a 方加 b 方等于二，所以上面就刚好可以写成 二倍赛赢平方， c 除以 a 方乘以一加上括号乘以 c 的 平方是不再加上一了。好，划到这一步，我们下面就开始来操作， 就根号下，这么我们找你看，这是一加括号乘以 c 的， 而 c 方是不是一减括号这平方差，这又要想到平方差，所以上面就是二倍 一减括号一加括号乘以一减括号一加括号约掉个，就变成一减括号乘以 c 的 分子， a 方乘以一加上括号乘以 c 的， 再加一 分之一。所以你看放缩是不是得到这个词了，到这一步，我们则已经现在则直接往下算，不行了，直接往下， 这是受阻，我们就要回来看一下还有什么条件没用到，说明咱就要反思看好了，我们找这条件，这个条件首先这个 l a b h 小 一点， e 没用到，还有一个数量级为零，就是这个条件，我们没有充分用到它，对吧？没有充分用到它，我们就带进来看得到什么，所以我们就把它补充上。这个我们 先不写啊，这儿就可以推出咱三角换元了嘛，代点就变成了 a 方，加上 b， t 就 变成了这个英文没三角换元再找我们或者写到后面，所以这儿就变成了 a 方加上 b 方乘以括号乘以负的 b 方分之 a 方，而 a 方又可以消掉， b 方又可以消掉，我们目标干 在剩不剩 a 方了，我们只要就消 b 方，所以根据目标来的，只要我们想的是可以消 a 方，可以消 b 方，但我们只要消的是 b 方，就变成了负的是负 b 方。我看一下， b 方是二减 a 方，负 b 方就是 a 方减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方。是不是 a 方减二分之 a 方现在得到它了嘛？好，然得到它之后呢？我们又继续，这儿是不是有个括号 c 啦，有个省 c 啦，就得到它整体代言了？所以这儿就可以等于 根号下二倍 a 方乘以一，加上括号减二分之 a 方， a 方减二分之 a 方，再乘以二倍一减去 a 方减二分之 a 方，再加 一，对吧？一是在内部的分之一。好，我们就可以往下化减了，这样就变成了根号下，同时乘个 a 方减二，前面 a 方分之二的二， a 方减二，提出来二倍 a 方减一， 那上面这个就变成 a 方减二，减 a 方就是负二，对吧？负二再加上一分之一，对吧？我们就把它化简下，这就可以直接约掉个它了。这个符号调过头来好写，就变成了根号下 这个一照写。或者我们先把它写下来嘛，只要等会再约，再就变成 a 方乘以一减 a 方分之 二，再加上一分之一，对吧？ a 方乘以一，减 a 方分之二，再加一。所以下面我们的目标你看，转换成 a 方于一就点错了，是不是要分析 a 方乘以一减 a 方的最值，所以还有哪个条件没用到？还有我们这二 a、 b、 h 小 于等于一 没用到，对吧？二， a、 b、 h 小 于等于一没用到。而且我们只要也说明一下，方程 c 大 的绝对值小于等于一的，只要是可以推出 a 四小于 b 的， 它是正确了吗？ a 四小于 b 的， 然后只要 a 小 于 b 的 话，那么我们只要肯定可以得到 a 四小于 b， 我 看一下， a 小 于 b， 只要就得到 a 方小于 b 方，我们要推 a 的 值， b 方等于二减 a 方， 所以我们稍微退一下， b 方等于二减， a 方要大于，这是 b 方大于 a 方，就推出 a 方小于一的，所以推出 a 是 小于一的，所以这是一个正数，因为等会儿正负方向会 考虑我们，咱也可以推出它来。是不是推出 a 小 b， b 方等于二减 a 方大于，是不是推出 a 小 于一，好得到它二。 a、 b、 h 小 于等于一，我们就画一下。 另一方面在我们要它另一方面，因为二 a、 b 乘以 h 小 于等于一，就推出二， a b 乘以 h， 就是 必被 塞盈塞塔小于等于一，是不是必被塞盈塞塔小于等于一了？而我们刚刚这是得到可塞盈塞塔的关系，我们这是塞盈塞塔，是不是有 c 方加可方等于一了？所以这就推出二 a b 方 乘以乘以平方 c 则直接平方，二的平方等于四， a 方 b 方就是 b 的 四次方，乘以四平方 c， 它就是以减 cosine 平方 c， 它小于等于一，是不是小于等于一了？代减化减去推出 四 a 方， b 的 四次方乘以一，减去四 a 方 b 的 四次方乘以 cosine 平方 sine 小 于等于一，是不是小于等于一啦？好，我们再推一下 cosine 平方 sine 在 这跑哪去了？ cosine 平方 sine 就 等于 b 的 四叉，或者我们从重推了嘛？这就 b 的 四叉乘以 cosine 平方 sine 是 等于 a 的 四次方的，对吧？所以我们则也可以推出它来，我们则 分界线则是不 b 的 四叉，换个颜色写在这嘛。大家则看则是， 咱就推出 b 的 四次方乘以 cos 平方 c， 它是等于 a 的 四次方的，所以咱就可以 b 的 四次方乘以 cos 平方 a 的 四次方了嘛。所以咱就推出四 a 方乘以 b 的 四次方，减去四 a 方乘以 a 的 四次方小于等于一，我们目标是 a 方，就把 b 方消掉。所以咱要先 化简一下，只要提出个四 a 方来，就平方差 b 方加 a 方乘以 b 方减 a 方小于等于一，进一步就推出 a 方加 b 方是一个二，所以这就是把 a 方乘以 b 方， b 方就可以换成二减 a 方减 a 方小于等于一， 所以咱进一步就推出其二减二， a 方提出来就是十六倍 a 方乘以一，减 a 方小于等于一，所以你看这移过去就小于等于十六分之一， 对吧？小于等于十六分之一，那么这个导拐大于等于，再导拐小于等于，对吧？所以我们就得到括号小于等于， 看一下是不是括号。对了，我们写的是括号小于等于一，除以根号下十六分之一乘以二，倒过来了吗？其实就是一除以十六分之一乘以十六二六二六十二，三十二加一三十三分之一。或者我们这样写 免得太突兀，就是二除以十六分之一加上一，就变成了根号三十三分之一，就等于三十三分之，根号三十三，对吧？所以最大值是个三十三分之，根号三十三了。则故最后再答一下， 咱就这个打一下嘛，我就不写啊，你看，这就是我们暴力间隙。这个其实就计算量说邪气很顺手，那是因为咱三角换原则比较 啊，简化了计算量，如果不三角换元，后面这个参数超级多，你就会迷茫，所以考场上你就会把手算废，都可能算不出答案来。所以我们讲平时要优化这个题，在这个地方，三角换元是非常经典，就是关键的 简化计算，从理论上常规操作可以往下做的非常关键的一步在砸，如果你砸卡住了，是不是不行了？这就是我们用暴力间隙砸考生最容易想到的方法，来跟大家讲下， 下面我们来看一下，因为这出题人一开始说他不行，但后来发现是小丑，是我们自己了嘛。说明就来看一下参考答案的做法也是值得学习的，参考答案应该在最后面，在关键，其实辅助线倒不重要，关键是参考答案转换成这个角，你看它是设 角， a， m， c 等于 c， 它这个体积公式用等体积转换法才是等体积， 前面那些不是关键的，等体积转换法就可以得到 c 乘以 c， 它小于等于二分之二，则就得到 c 塔的范围，然而它就把后面的所有条件都转换成这个 c 塔。怎么转换呢？我们找其实在解这个直角三角形中，因为这是 中点，很重要，这是一个直角三角形了嘛，只要设这个为 theta， 这个就是二分之 theta， 是 不是 a 就 可以用二分之 theta 来表示了，然后我们这个 b 能用余弦定力。在一个三角形中，你看只要法向量前面还是一样的操作，这无非就是你看 e， 它还是用这参数方程， 参数方程来写，然后到后面法向量到很正常，这法向量也是正常的，到这它求的法向量，我们这还同时乘一个 a 倍一加 cosine 啊，法一样的道理，在三点钟，你看 a 可以 用它来表示了吗？哦，这个 b 是不是这运用这个关系可以用它来表示了，然后再用括号，这就是我们用传统方法来做括号，括号是不是得到它也可以用它来表示了？所以我们只要往下写，全部与括号关代减 c， 它全部转换为 c， 它的函数，这就是消为单角的函数，它目标消 为单一三角函数求最值， 所以这个想法只是不容易想到，这是出题人给出的参考答案的解答吗？那么暴力间隙呢？其实也可以，只是暴力间隙跑哪去了？这是题目，我们只要在这暴力间隙，还是 我们再回顾一下，只要要问，我不讲，对吧？如果要问都有问题的，没必要看这个视频，他这个视频是对减脂声音才要求看的，在我们前面得分点还是很正常的，只要进戏大家会，对吧？进戏翻译条件， a b 等于二， a 方加 b 方等于二没问题。 这个垂直得到 a 方加 b， t 等于零也没问题，对吧？得到它我们这样还漏了标二后面中途漏的时候擦掉它嘛，我们又把它标回来，这体积二， a b h 小 于等于一没问题，但得到这些条件怎么用？还最容易漏掉的就是方子的不变形， o e 等于 o， d 等于 b。 如果咱没有想到，后面肯定消不了元，想到了之后，如果常规消元呢？后面参数很多，很容易迷茫，这也是我们关键还是三角化元，所以本期两种结法都有这个 三角换圆，换了圆之后，我们下面则就怎么挖掘。你看这个条件， a 方加 b t 等于零， a 方加上 b 方 cosine x， 它等于零， cosine x， 它居然可以转换成 a 方小于单角单，我们这是小于单一边 a 的 关系， 关系来做的对吧？那同样 r a b h 则要平方，因为是 c 方加括方等于一，是不是则要平方来化了平方在下面 r a b 则等于一化解， a 化解刚好整体得到我们的目标，如果没有得到目标，则其实也可以算，无非则就是 一元二次可以求 a 的 范围再去解，转换成二函数，它就求出 a 方的范围。单一三角函数吗？知道范围，这个也是关于关于 a 函数问题， 所以转换成了函数问题，二次函数问题去分析，实在不行，我还可以暴力求大，这不也可以做了，这就我们整个题的思路，计算量不小， 对吧？咱对于考场上来说很容易做出来的，因为考生时间是有限的，这是上个概率大题的咱们这个题，所以我们不要小瞧他，眼睛 立即就会也能压住，那是我们感受，就相当于你看到的表面，不代表他笨，真正的本质。我们这个题最主要的是学间隙啊， 三角换元那个处理操作还有参考答案，我们只要构造辅助线等体积转换法也是我们要学的东西，转换成单一三角函数去做出题人的 思路也是值得我们学习的。那暴力进行呢？我们也要计算，拿下去怎么去分析法？向量怎么去优化，它有分式怎么办？走是不是都可以学一下？好，这个视频就给大家讲到这，拜拜。

为什么高考选择题全蒙 c 居然比你瞎算正确率还要高呢？真相很简单，因为高考选择题机器阅卷，只看答案，对了就得分，试过的都懂，考试遇到不会的选择别慌，今天教你数学选择题超绝秒杀大招，即学即用，学霸埋头算半天，你五秒就能出答案，啥都不会也能白捡二三十分，基础烧好直接杜绝马虎式分， 直接上干货。碰到两条件推结论的题，不用画图，不用做辅助线，一招秒杀！先记牢例题，平行线面平行面面平行 线线垂直线面垂直面面垂直。再分清强弱定律，阶梯直接套。结论，同类平行是线线平行面面平行为强定律。异类平行是线面平行为弱定律。异类垂直是线面垂直为强定律。同类垂直是线线垂直面面垂直为弱定律。那核心结论，双强得强，一强一弱得弱，双弱必错来看高考真题， 比如这道高考真题， a 选项 l 平行阿尔法 l 平行那么大，都是一类平行弱定律，双弱必错。 b 选项 l 垂直于阿尔法 l 垂直于那么大，均是一类平行强定律，双强得强 b 正确 c 选项 l 垂直于阿尔法强定律 l 平行于那么大弱定律，一强一弱该得弱。结论， 阿尔法平行于阿尔法弱，双弱一错。答案直接选 b。 再来一道 a 选项 m 平行阿尔法 n 平行阿尔法双弱定律 b 选项 m 平行阿尔法 m 平行那么大 s 双弱 b 错 c 选项 m 平行 n 同类平行强定力垂直于阿尔法 e 类垂直强定力双强条件。结论， n 垂直于阿尔法 e 类垂直强定力，双强得强 c 正确 b 选项 m 平行阿尔法弱定力，法则垂直于那么大弱定律双弱 b 错，答案就是 c。 接下来我们上一点强度这类题，让你用两个论断做条件，下一个做结论。写正确命题，照样秒减。先判三个论断强弱，一 l 垂直于 m 类垂直弱定力。二 m 平行阿尔法 e 类平行弱定力三 l 垂直阿尔法 e 类垂直强定力。牢记两弱一错的逻辑，只能用一强一弱推，另一弱 直接秒出二加三推一或者一加三推二秒出正确答案。这不是超简单的，我已经整理好高考常考的八十多个秒杀模型，覆盖向量、含 数、圆锥曲线等所有高频题型，每个模型都配了真题加描卷步骤，考场直接套着用。想要学习的同学后台告诉我，你的年纪。进入高三加数学，最后高考一分压千人，一分钟都不能浪费，只要找对方法，越难的题越有捷径。每天吃透一个秒杀模型，数学想练习真的很简单，一定要抓紧去！

我们这个视频分享一个可以偷鸡的立体几何题目， 图我提前画好了，就是这个样子。我们先来读题，在三棱锥劈杠 abc 中，已知 pa 等于 ab 等于 ac 等于号， 那依据这条件来标一下，这是二，这是二，这也是二，叫 p a b 这个角是九十度 b， ac 这个底面这个角是一百二十度， d 是 bc 上的点， bd 等于二， dc， ad 垂直 pb。 一会在我们的推理过程当中呢，这些条件 九九是坠鱼的原因就在于他是个选择题，他的选项比较特殊，若三棱锥，他的个顶点都在求欧的球面上，这求欧的半径是什么？ 他不是要求这个球的半径吗？那球是您在哪呢？哎，我没画出来，那我们先点一个吧， 这就是球心欧。然后我们再看这个 abc， 这个面呢，他条件给的最多，那因此我们就从欧啊 向 abc 边引一个垂线， 做一个投影， 做藕片，垂直于 平面， abc 就是这个样子， 于是根据这个球体的性质啊，这个 abc 面他就会落在一个圆上，并且这个圆呢，他的 圆心就是这欧的投影欧皮点 则 opl， 他就是 abc 的 外形。那现在呢， 我们就先把 o p a 算出来，这 op a 其实也很好算， 你看这个三角形 abc， 这里边这个 ab 十二， ac 十二，顶角是一百二十度， 那根据这些条件，我们能算出 bc 就是二倍杠号三，于是 这 opa 就是这个外界圆的半径，就用正弦定理来算， 他是二倍，跟号三比上二倍的塞一百二十度， 把这数算出 出来呢，就是二。那我们把藕片一连上， 这个藕片，哎呀，就是二，哎，那这样，我们把这清一下，重新做个图， 你看这个 a o p 啊，十二，而 o o p 呢，是我们向这个面引的垂直，所以这个地方 就是一个直角，在这个直角三角形当中，哦， a 他一定这斜边比这直角边长， 于是欧 a 就大于二，那我们这个球半径 ao a 不就知道了吗？选这大于二的每一题我们就分享完了。

具体几何，我们想到了他会出的难一点啊，但是没想到他出的这么难，平时做的动态的立体几何问题呢，他的变量都比较少，那么这道题的难点呢，就在于他的变量非常的多， 要想统一起来呢，是非常不容易的，所以很多同学在考试的时候呢，都没有把它处理好，包括平时成绩还挺不错的同学啊，那么在考试的那十几二十分钟呢，并没有把它完整的算出来，也没有找到这个最大值。 当然了，这道题呢，出的是非常好的啊，因为前两位呢，非常简单，反而呢，他的得分率还挺高的啊， 所以说，如果你要掌握例题几何动态问题，那么这道题呢，是不容错过的啊。第三问呢，甚至值得反复的去做一下啊，我们直接看一下第三问，他说如图，在菱形 a， b， c， d 中，意思就说四条边呢，它是相等的， 将三角形 a， c， d 沿 a c 翻折至三角形 a， c， e， 那 么我们把 b e 和 d e 呢连接起来，构成了这个四连锥啊， e a， b c， d。 第三个问题呢，他说 a b 如果垂直 a e， a， b 垂直 a， e 呢？我们来画一下啊，那么 a e 呢，它在这里啊， ab 呢？它在这个地方，如果它两个垂直，而且呢啊，这个 ab 呢，等于根号二， 如果它等于根号二，那么显然这个 a e 呢，它也会等于根号二的。那么如果有了这样的关系啊，那么我们的这个 e b 呢，它的长度呢？也就知道了，因为垂直吗，它就是个等腰直角三角形，所以说它的长度呢，就等于二啊， 但是下面的一些量呢，我们就不知道了，比如说这个 b d， a， c 啊，他的长度是不知道的哦，原因是为啥呢？这个菱形他是没有固定的啊，后面呢，他说这个四棱锥的体积不大于三分之一啊，这是一个非常奇怪的条件，我们平时很多时候遇到的呢，都说的是， 呃，这个体积为多少啊？我们直接去表达体积就可以了，那么这里的体积呢，给的是一个范围，嗯，我们的第一个难点呢，可能就是要去表达一下这个体积，最后呢，他的问题反而是很稀松平常的问了两个平面夹角的最大值为， 那肯定呢，我们要去找法向量了啊，如果你见细的话，好，我们现在呢主要任务呢，就是来看一下这个体积呢能不能表达出来啊，或者说能不能用尽可能少的变量呢把它表达出来啊。 好，我们来看一下我们现在有哪些条件。首先呢，这里有一个等腰直角三角形三条边的关系呢，我们也找到了， 那么这里呢，我们试着把这个啊 e o 呢给它连接起来啊，假如这个点呢是 o 点啊，我们把 ob 呢也给它连接起来啊，对吧， 那么把它连接起来干什么呢啊？因为呢，我们呃知道了，这个 e 呢，它是在这个圆弧上运动啊，那么这个半径呢，其实就是我们的 o e 啊，也说它的运动轨迹呢，它就是一个啊，这样的一个半圆 好，因为它这个等腰直角三角形，所以说呢，我们可以试着把它的这个终点呢给它找到啊，终点呢，假如呢它在这里啊，我们给它画一下， 好把这个呢给它连接起来，我们另这个点呢，它是 m， 下面呢，我们可以把 ac 也给它涂成黄色，这样显眼一点。好，这么做到底要干什么呢？显然呢，我们的 am 啊，它是垂直于 e b 的 好， cm 呢啊，它也是垂直于 e b 的 好，也就是说，我们这里可以得到一个非常好的条件，也就是说 e b 呢，它会垂直于平面。呃， amc 啊，我们借助这个量呢，应该是可以表达一下它的体积的啊，我们来简单的尝试一下。好，那么我们想要的是 a b， c， d 的 体积好，那么它就等于两倍的啊，我们把它换成 abc， 换成 abc 以后呢啊，因为这里有一个面呢，它是垂直的啊，所以说啊，那么它就可以等于二倍的底面积啊，底面积 就是三角形， a， m c 乘以高啊，那么这个高呢，就是我们的 e b 好， 再乘以三分之一啊。题干当中说小于等于三分之一 好，我们来试着表达一下，所以说他就等于二倍的，那么这里的关键点就来了，这个三角形呢，他是一个什么样的情况啊？我们可以简单的画一下，假如这个点呢，就是 a 点啊，这个点呢是 c 点啊，这个点呢是 m 点好，那么他有哪些长度是知道的呢？他是一啊，这个呢，也是一， 所以说它的面积呢，应该是很好表示的啊，所以它就可以等于二分之一乘以啊，一和一相乘，那么乘以三引啊，中间的这个角度， a， m c， 好， 后面这个 e b 呢，它的长度，我们也是知道等于二啊，然后呢，乘以三分之一小于等于 三分之一，那么这个角度呢，呃，我们现在呢，就没有办法去处理它了啊，肯定就是一个未知数了，所以说我们把这个式子呢给它整理一下，那么整理一下呢，得到的结果呢是非常好的，也就是说塞角 a m c 啊，要小于等于二分之一，为了方便呢，我们可以把这个角呢给它拎成两个角啊，我们假如呢，它是 c 塔，那么这个呢，它也是 c 塔啊，也就是说呢啊，我们的这个结论呢，就是三以二倍的 c 塔呢，它是小于等于二分之一的， 那么这里呢，我们就用尽可能少的变量呢，去把这个体积呢给它表达出来了。那么后面的事情呢，我们肯定是要去求这个反向量啊，那么这个事情呢，应该是不太好做的啊，好，我们现在呢把这些 多余的这个线条呢，先给它擦掉啊，这里怎么间隙呢？它是显而易见呢，我们直接用这个 o 点来间隙就可以了，那么这里呢是 x 轴 o b 呢，它就是 y 轴。 好，那么 z 轴呢？我们假如给它放在这个地方啊，好，那我们为了方便呢，直接令啊，这里呢是小 a， 这里呢是小 b， 因为我们的这个 e 点呢，我们刚刚说了，它是在这个圆弧上运动啊，那么这个面呢，它就是在 y o z 这个平面上面啊，我们直接呢令它这个角呢，它是个 r 法啊，这是一个新的角。好，现在呢，我们来表达一下这些点啊，首先呢就是 a 点啊，那么 a 点呢，它是比较简单的，就是 a 零零好， b 点 零 b 零， c 点负 a 零零， d 点啊，那么这个呢是零负 b 零，那么关键的就是我们的这个 e 点啊，好， e 点的坐标啊，要注意了，它是零，那么这个点呢，它是 b q 三引二法好，这个高呢，是 b 三引二法好。现在呢，我们来求两个平面的发向量啊，首先呢，这里呢，我们给它设置一下啊，假如 m 呢，它是平面 a c e 的 发向量啊， a c e 的 反向量，那我们要求它呢，我们选哪两个项链呢？首先呢，当然选一下这个 a c 了，对吧？ a c 给它表达一下啊，这个比较简单，所以说它就是负二 a 零 零啊。然后呢，我们选择这个 a e 向量啊，好， a e 向量呢，我们直接来写一下，所以说它就等于负 a b cos 也二法， b 三也二法 好，那么 m 呢，和它们两个相乘呢，是等于零的啊，所以说我们这里呢，直接来写就可以了，也就是负二 a 乘以 x 一， 它是等于零的， 负 a x 一 加上 b cosine 二法外一加上 b cosine 二法 z 一 啊，等于零。那么因为这个比较简单，我们直接写一下就可以了，那么这里呢，我们的 m， 它可以直接写成零，那么这里呢，给它写成是 cosine 二法，负的 cosine 二法 好，现在呢，我们来求另外一个平面啊，也就是说 a 向量等于 x 二 y 二 z 二啊，那么它是平面 a 大 于的 法向量。这里我们在求法向量之前呢，稍微的选择一下啊，方便计算一点。我们这里呢，选择大 a 啊，大 a 向量呢，它就是 a b 零啊。另一个呢，我们走大 e 啊， 答， e 项呢，就是零，那么这个 y 坐标呢，要特别的小心啊，所以说它是 b cosine 而法啊，那么这里呢，本来应该是减去，但是呢，它减的是负 b 啊，所以说它就是加 b 好， 最后一个呢，就是 b 三引而法好，现在呢，它们是等零的，也就是说 ax 二 b y 二等于零啊，第一个看起来很简单，好，第二个就要特别小心了，那么这里呢，我们整理一下啊，就是 b 一 加上科三也二法啊， y 二加上 b 三也二法， z 二，它是等于零的， 呃，那么现在呢，我们来求这个法向量了啊，那么求法向量的时候呢，其实从这里开始呢，问题就来了，解析里面呢，他直接令这个 z 二呢，他是等于一的啊， 那么他为什么令 z 二等于一呢？实际上就是为了后面的计算呢，要更方便一点。但实际上我们在计算的时候呢，我们正常做的时候，你是不太容易想到的啊， 因为你如果念了 y 二等于一，感觉也差不多，但是呢，他的计算量就上来了，所以这是一个啊，非常要注意的地方好，那么我们如果正常的去思考的话，这里应该怎么去令值呢？先呢照顾一下这个比较麻烦的这个式子啊，也就是下面的这个式子 啊，我们这里呢，一般就是交叉令值啊，假如说我们令 y 二等于啊，那么显然这个 b 呢，我们不要了啊，我们令乘等于三引二法啊，为了方便一点，我们把符号给它 负的三引二法，那么此时呢啊，我们显然呢，哎，这个 z 二啊，它就出来了， z 二呢，它就是前面这个了，它就是一加上 q 三也二法好，如果你念成了这个样子，对吧，那么我们的 x 啊，也就是说我们的 x 二啊，那么它就等于负的 a 分 之 b 好， 再乘以负的三也二法 好，也就是说它就等于 a 分 之 b 三引而法，那么我们正常的思路呢，可能会把法向量写成这个样子啊，好，也就是说我们的 a 向量就等于 a 分 之 b 三引而法负的三引而法 好。最后一个呢，就是一加上 cosine 二法了，这里呢，先把 m 给它写下来啊，可以方便点啊，它是零 cosine 二法 负的 cosine 二法为一部分一部分来算啊，因为 cosine 我 们想要的呢，就是这个 n 等于 m 点成 n 啊， 好，下面的是 m 的 魔长啊，这边呢是 n 的 魔长，因为它要的是夹角啊，所以说肯定是要加绝对值符号的啊， 好，现在呢，我们来一部分一部分的来表达一下这个式子。第一个 m 减成 n 啊，那么它就等于负的 三以二发的平方啊，那么这里呢，是减去科三二发啊，减去科三二发的平方， 好，所以说他得到了一个好的结果啊，那么就等于负一减去科三二发，因为待会呢，他会加绝对值，其实呢，就是加在他头上的啊，那么加完了以后呢，他其实就是一加 q 乘以二法好，现在呢，我们来分别看一下下面的啊，那么的，这一个是好算的啊，那么它其实就等于三以二法的平方加上 q 乘以二法的平方呢，它是等于一的，那么关键就是最后一个啊， n 的 周长啊，那么它就等于 根号下啊，那么这里呢，是 a 方分之 b 方，三以二方的平方加上三以二方的平方啊，加上一加 q 三以二方啊，这个整体的平方 啊，那么它呢，等于这么多啊，等于这么多，那么也就是我们后面的这个关键的问题呢，就是去解决这个式子啊，呃，那么我们来整理一下这个式子啊，来算一下，也就是说 cosine m 点乘 a 啊，那么它就等于上面呢，我们直接写一加 q 三 e 法啊，那么下面这个看起来它就很不友好了啊，所以说它是根号下 a 方分之 b 方啊，三 e 二方平方好，加上，我们把后面这个直接给它打开， 加上 q 三 e 二法的平方，二倍的 q 三 e 二法，那么这里呢，有一个加一 好，等于一加 cosine 二法， a 方分之 b 方啊，这里的 cosine 二法加上二倍的 cosine 二法啊，那么它等于这样的一个式子啊，那么后面呢，我们的关键问题呢，就是去化简它了啊，嗯， 等于一加上 cosine alpha 好， 那么下面呢，我们把这个 cosine alpha 的 平方呢给它换掉啊， 换成一减去 cosine alpha 的 平方，为什么要换这个呢？因为后面呢，它出现了一个一加 cosine。 呃，那么我们把上面这个分子如果给它放进来的话啊，那么也就是说 一加 cosine alpha 的 平方啊，那么下面它就会有 a 方分之 b 方啊，一减去 cosine alpha 的 平方，加上二倍的一加 cosine alpha 好，现在呢，我们给它再一次整理一下啊，那也就是说啊，上面呢，它实际上就可以留下一个一啊， cosine r 法好，下面呢就是 a 方分之 b 方，一减 cosine r 法啊，加上二 好，那么这个式子到这里呢，我们感觉就不能再整理了啊，也是，这里面有 a 方，有 b 方啊，还有这个可算有 r 法啊，所以说呢，我们现在要返回到前面去啊，来统一一下这个变量。 好，那么这个统一变量的思路在哪里呢？实际上就在我们的这个，呃，体积公式这里面啊，好，在这个三角形里面呢，呃，我们能知道的呢，其实呢，就是知道了这个 o a o a 呢，它其实就是小 a 啊，那么也就是说我们的 sine theta 啊，它是等于 a 比上一的，换句话说呢，我们的 a 呢，等于 sin sin， 关键是 b 在 哪里呢啊？那么要注意，这里还有一个三角形啊，就是三角形，我们给它画一下 o b， 这里呢是 e 啊，好，这个呢，它是小 b， 这个呢也是小 b 啊， 那这个呢，它是等于二的，所以说这个地方呢，它是我们刚刚拎的 r， 所以 说呢，这里呢，它有一个等量关系，我们用余弦直接来写就可以了，也就是说二 b 方 q 三以二法啊，它是等于 二 b 方啊，减去四的，也就是说 q 三以二法啊，它是等于 b 方分之 b 方减二的啊，也就是说呢，它等于一减去 b 方分之二啊。 呃，还有一个关系呢，就是在一开始的时候就是 a 方加上 b 方呢啊，它是等于二的，那就是那个小的直角三角形里面啊，所以说，那么我们的 b 方呢，它就等于二减去 a 方啊，也就说它可以表达成二减去 山影 c 塔的平方啊。嗯，那么 cosine r 放呢？它等于这样的一个事情啊，好，现在呢，我们把刚刚的那个式子呢啊，来整理一下。 好，那么刚刚的那个式子呢，我们搞了半天了，他就等于这样的一个东西啊，好，现在来化解一下他，那么我们这里呢，把这个平方呢全部给它转换成 a 和 b 啊，所以就是一加上啊，一减去 b 方分之二。 好，这里呢啊，要注意，它是 a 方分之 b 方，一减去一，加上 b 方分之二。好，再加上二， 我们来从这个思路上来试一下啊，也就是说上面呢啊，就等于 二减去 b 方分之二，那么这个下面呢，它是看起来简单点啊，也就是 a 方分之二加上二 啊，都有二可以拿掉啊，也就是说它就等于一减去 b 方分之一，这边呢，它就是 a 方分之一加上一。 好，最后呢我们给它统一一下啊，那么也就是说它就等于 b 方分之 b 方减一。好，乘以啊，我们给它写成乘法啊，那么这里呢，就是 a 方加一分之呢， a 方。 好，最后呢我们等于啊，这样一个式子，就是 a 方 b 方减 a 方啊，好，那么这里呢， a 方 b 方加上 b 方 啊，那么因为有一个很好的关系呢，就是 a 方加 b 方啊，它是等于二的，我们给它换掉啊，好，所以说后面呢，它就等于 a 方二减去 a 方减去 a 方。 后面呢就是 a 方二减去 a 方，加上二减去 a 方。好，再一次的整理啊， 所以说它就等于 a 方减去 a 的 四次方啊，好，那么下面呢，它是等于 a 方减去 a 的 四次方啊，加二，所以说这个的结构呢，还是比较简单的啊，我们直接给它换元就可以了啊，那么另这个部分呢，等于 t 啊，所以说这个就是 t 加二啊，来找到它的这个最小值就可以了，它是等于 a 方减去 a 的 四次方的。撒引 c， 它的平方减去三引 c 它的四次方啊，好，那么这里呢，我们把后面这个给它拆开，减去三引 c 的 平方，一减去 cos 三引 c 的 平方啊，好，也就是说 cosine 它的平方减去 cosine 它的平方啊，加上，那么这里要注意了啊，这个是 cosine 它的平方， cosine 它的平方。好，所以说啊，那么它就等于 cosine 的 平方， cosine sine sine 的 平方啊，那么这个呢，显然它是可以进一步化简的啊，好，那么它就等于二分之一， 所以二 c 他的平方啊，那么因为前面这个值呢，我们是知道的啊，小于等于二分之一，二分之一的平方，所以说他的这个最值呢，是十六分之一。 好，那么找到这个最值呢，我们来看这个最值呢，他就比较简单了啊，实际上放到里面去呢，很容易找到他的最值啊，他的最值呢啊，最后呢就是根号三十三分之一啊，也就是我们最终的这个答案了，三十三分之，根号三十三， 当然这个思路呢，他是不好算的啊，那么如果要好算呢，就是直接在念法向量的时候呢，我们念这个 z 二呢，他等于一，后面的计算量呢，要小一点，但否则的话呢，他的计算量就很大，没有走这个思路都会比较的难算啊，那么这个题呢， 确实出的挺难的啊，非常的不好做，所以说大家呢，要反复的去做一做啊。

高二高三的同学们，咱们今天拿天津高考的题目我们来看一下，在例题几何这里如何三步全部都用间隙的方式来用，那么我们说如果说间隙，我们在考场当中如何判断我们这个题是用间隙好还是用推导好？首先我们来看一下这个题目，这题首先告诉我们一个正方体， 那么点了一个棱长，那么首先真题思维告诉我们什么正方体棱长，我们要找什么？是不是有垂直？是不是每条边全部相等？ ok， 后面继续有一个终点， 终点是贯穿于 e f， 那 么就相当于我这个 e f 是 不是平行于我的两条边，对不对？是不是这条边和这条边？ ok， 那 么来我们继续看， 那么我们就最后有什么给了一个倍数关系，但是来我们看我们没有平行，没有垂直，我们有的垂直是什么？有的垂直是我们正方体的平行，以及 e f 和正方体边长的平行以及垂直，这是我们已经知道的，但是同学你会发现这个题目的已知真的非常的少， 我们能用的已知就是长度、垂直、平行以及终点还有倍数关系，那么在已知量非常少的情况下，老师推荐干什么？就用间隙，为什么？间隙虽然麻烦，它的麻烦的点在于我们，第一就是我们要先间隙怎样去做直角坐标系，但是这个题它好在了，我们用的是正方体， 正方体间隙是比较容易的。第二就是我们要写一些坐标，我们说写一些坐标的时候，可能我们写在点的时候看错了，所以说我们用什么方法，用三步做题法，三步做题法，详细的可以看我主页的置顶。 ok， 来，我们回归到这个题目， 我们还有一个点是什么？就是计算，所以说在例题几何里面，计算一定是一个非常大的一个重点。来，我们看一下这个题， 这题很明显，我们以 d 点为圆点，分别以 d， a， d， c 和 d， d， e， 我 们分别为 x、 y， z 轴建立空间直角坐标系，那么我们记住这句话一定要写全，而且要写完整。 ok， 每条边都是四，那么我们来写下 b 点， b 点，就是四四零，然后 e 点 二零四， ok， f 点二四四来 g 点零四三。 ok， 来，我们写完这四个点之后，我们来表示一下 e， f 向量， e， f， 我 们知道用后减前，所以说我们后面减，前面就是零四零。我们来继续 e， f， 我 们已经表示完了。之后我们来表示一下 e b 向量， e b 等于多少，还是用后减前，所以说 e b 就是 二四负四。 ok， 来，我们继续 f g 向量， f， g 还是用后减前。来。同学，这里我说一个简单的东西，我们这里先把它写完，就是负二零负一。 ok， 来，我们如果说不知道，我们用 b f， e， g， 因为你想什么，我们 g， f， f， b， e， 所以 说你如果要列点，老师建议你就找它上面所有这些点全部都表示出来，你可以在第一问的时候，就把每一个点就是从 a， 从 a、 b、 c， d， a， e， b， e， c， e， d， e， f， 还有 e， f， 还有 g， 它们每一个点全部都表示出来，那么你后面就可以不用写了，你就写由第一问得，或者是由已知得，那么我们就可以直接用我们的这些坐标，当然同学如果说你嫌他麻烦，你就用什么写什么就可以，但是千万不要忘记写 ok。 来，我们继续表示完这个之后我们找的是什么？ 老师之前说过，如果说在推导方式里面找线面垂直要优先找什么？要优先找线垂直， ok， 线线垂直我们要找什么？是不是要找两条线相交，而且要有交点，并且我这条线，我平面外的这条线垂直于这两条相交的线，分别垂直， ok， 那 么我们才能推导出来，由线线垂直推导出我们的线面垂直。但是现在我们要找什么？我们用的是坐标方式，坐标方式要去证明线面垂直，我们要怎么找？ 是不是我有这条线，我下面有一条面，我这个面和这个线垂直的，我的法向量要和我的这条线要干什么？是不是平行关系啊？所以说我现在应该是去假设我的法向量表示完我的法向量之后，我们 应该干什么？去找平行关系。所以说我们假设一下这个假设，我们的平面 f b e ok， f b e， 我 们的法向量 n 或者向量 m， ok， 我 们写 x y z， 当然你写 abc 也可以， x y z， 那 我们表示 x y z， 我 们把这个向量 m 代入到哪里？分别和 e f 和 e b 来代，因为我们这两个是垂直关系，所以说我们向量 m 是 发行量，发行量和 e f 是 垂直关系，所以说我们就等于四 b 等于零， ok， 我 们直接代入就行。下面也是向量 m 和什么呢？和 e b 进行一个相乘，等于二 a 加上四 b 减四 c 等于零， ok， 这是这两个，那么我们现在要干什么？我们是不是要求解我们的法向量？法向量如何求？让我们的某一个已知量，我们假设它为什么数？然后去求另外两个未知量，对不对？所以说我们假设我们令 a， 比如说 a， 我 们这里微到好算，我们比如取二，但是你也可以取一，可以取二分之一都可以。那么记住法向量取什么都可以，为什么可以取？因为法向量找的是倍数关系，比如说我这里写的是四一三，对吧？四一三加上它是它的法向量，那么你如果写出来是八二六，它 是不是也是法向量？它们之间成了一个二倍，但是它们还是法向量，它们是找了一个倍数关系来，我们继续。我现在 a 等于二， c 等于多少？我们把二代入，那么 b， b 等于多少？ b 就是 零，所以说 c 就 等于一，那么 b 等于零。 ok， 我 们就写完了，我们把我们的法向量表示出来，向量 m 就 等于二零一， ok， 二零一。来，我们继续。那么我们现在要表示什么？是不是应该表示我们的 g f， 但是我们会发现 g， f 等于什么？或者是 f， g 等于什么？ f， g 是 不是等于负的？我们的这什么 向量 m， 那 么我们向量 m 是 反向量，所以说他们之间是一个倍数关系，乘一个负一倍，所以说他们是一个什么？是一个平行关系，那么我们就可以得到一个平行关系，所以说我们就可以得到这条线，垂直于这个平面。 ok， 这就是第一个，来，我们继续说一下第二个，这里我们把另外一个题往后放一放， 来，我们来说一下第二问，第二问了个什么？问了一个这个平面和这个平面的加角的余弦值，所以说第二问问的是什么？是不是二面角？二面角我们要找什么？老师在上节课直播的时候也说了，二面角我们要找的是 cosine theta， cosine theta， 当然了， 如果说是一个线面角，我们的 cosine theta 是 可以直接找到 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是 cosine theta 的 关系的，对不对？这里一定要区分好。 ok， 来，同学，如果说他这个题问的不是余弦值，他问的直接是角度，那么你应该怎么找？ 记住所有角度，在如果说你没有任何思路情况下，就考虑余限值就是 cosine 值，那么 cosine 值你只要考虑出来了，这个题大概率就不会错了。来，我们继续看一下第二问，第二问如何求？这里 e f b 或者 f b e 是 不是我们第一问的发向量？是不是我们刚才求的这里是不是它？所以说我们现在只需要求出来 e b g， e b g 在 哪里？让我们看一下 e b g 是 不是在这里啊？ ok， 我 们会发现这个项链这个平面我们的法项不知道情况下，我们就要求一下，刚才我们已经表示了两个项链了，三个项链，那这几个项链我们也是可以再去疑问用到的，当然我们还需要取一些其他的来，我们看下这个图 是不是需要 e g 和 b g 对 不对？所以说我们来表示一下 e g 来一点 e g 后减前，所以说就等于负二四负一。来，我们来写下 b g 向量 b g 等于多少？也是后减前，从这里减去这里后减前，记住是 g 减 b， 来我们这里是多少？是负四，负四， 负四零三， ok， 我 们 b， g 和 e g 全部都表示出来了，我们现在应该表示什么？是不是表示我们的平面 b， e， g 的， 或者是 e b g 的 发向量，那我们来表示一下平面 e， g 的 发向量等于多少呢？比如说我们让它等于 n， 向量 n 等于 x， 一 y 一 z 一， ok， 这里我们一定要和上面这里 x， y， z 进行一个区分，然后避免它们符号重复。来，我们来表示一下，向量 n 就 等于向量 n 乘以 e g， 或者向量 n 乘以 g， e 都可以，这里我前面写的是 e， g， 我 们这里就写 g e， 但是同学如果说你表示的是 g， e， 但是前面这里是 e， g， 你 就乘以个负一就行，它们是一个相反关系。来，我们继续，这里就是负二， x 加上四 y 减 z 减 z 就 等于零，然后向量 n 乘以 b g， 向量 b 对， 等于负四， x 加三 g 等于零， ok， 这两个式子我们进行，还是原来的方法， x 就是 让 x 等于多少呢？所以我们看一下， 可以找到一个六，我们找六，那么我们把 x 代入，那么 z 和 y 不 就行了吗？ z 等于八， y 等于五， ok， 来，我们的法向量向量 n 就 等于六五八， ok， 有 了这个反应量之后，我们应该找什么？来，我们看一下这个提问，找余弦值，所以说余弦值公式，记住这里我们不知道它的夹角，所以说我们要先在前面先写一下平面 f， b， e 和我们的平面 f b e， 这里我们已经重复了，这里我们重新写一下，这里应该是平面 b e、 g 它们的夹角，比如说夹角为 c 它， ok， 夹角为 c 它了，那么我们找的是什么？是不是 cosine c， 对 不对？那么我们应该找的是 cosine f g 和什么？和我们的法向量 f g 是 什么呀？ f g 不 就是刚才我们找的倍数的关系啊，对吗？你想我乘一个倍数，那么其其实这个 f g 不 就是它的法向量，对不对？来，我们继续，那么我们直接代入公式就行，就是 f g， 然后乘向量 n， 然后比上 f g 的 模长， 乘 n 的 模长，乘 n 的 模长，然后就等于二十比上根号五，乘根号一二五， ok， 等于多少？等于五分之四， ok， 那 么这个题我们就出来了，但是同学老师建议你在这里我们再写一句答话，就是谁的平面和谁的平面的加着余弦值为多少，这就我们在这里写一句答话，以防万一，万一老师到时候就是看判卷，这里我们出现了一个错误，把这里扣掉了一分，比较冤。来，我们再看一下第三问， 第三问这里说的是什么？第三问，这里问的是一个体积，来，所有体积，别管是什么图形，它是不是都是底面积乘以高呀？当然不同的图形它底面积乘以高之后，它还会有一些变化，这个没有关系，但是它整体上是不是都是底面积乘以高？ ok， 知道了这个之后我们怎么求？我们是不是应该要先求出来它的底面积，再求出来它的什么它的高？来，我们看一下这些说的是什么？ d， d 在 这里， d 在 这里， f b e f b e 在 这里，所以说它找的是什么？来，我们换一个颜色，觉得好看， 来 d， 点到一点，我们这里到这里， ok， 我 们找的是什么？一个三棱锥，三棱锥底面是什么？底面是三角形，所以说高 高应该是什么？是不是点到面的距离公式，或者是点到直线的距离公式？我们知道你看这里因为是个斜边，所以说你可以用推导，你也可以用垂直，你也可以用垂直关系进行一个推导，你还可以用什么 点到平面的距离公式进行一个求解。所以说我们现在应该先求平面 b e f 的 什么面积来，我们刚才已经求开了，我们的 e f 垂直于平面。什么？ e f 是 不是垂直于我们这里这个平面？所以说我这个直线垂直于它，我的 f b 又是在我的 b c c 一 b 一 这个平面内，所以我可以得到什么？我可以得到我的 e f 和我的 f b 是 相互垂直的， 那我这里相互垂直，所以说我这里找面积不就很好找了吗？来，我们进行一个求解。我们先来写一下，刚才我记得是 e f， 我 们知道 e f 是 垂直于平面， b c 一， 应该是 b c c 一。 ok， 这里我们重新写一下，应该是 b c c 一 b 一， ok， 我 们知道了这个之后，我们知道 f b 是 在哪个平面内的？是不是在我的 b c c e b 以内的？ ok， 我 们知道了这两个之后，我们来看一下我们是不是可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b 吧，所以说我可以推导出来我的 e f 垂直于我的 f b， ok， 之后我有垂直，我为了是找什么？我不就是为了找我的面积公式吗？所以说我找的面积是什么？ 来看一下是不是 b e f， ok， b e f 等于多少？等于二分之一，因为我垂直关系，所以说我就找的是 e f 乘 b f 来，二分之一乘多少，这里是四，后面这里应该用勾不定理 来看一下，应该是四，二根号来，应该是四的平方，乘二的平方应该是加了二的平方，就等于这里应该是十六，十六加四 再乘以，前面应该是，嗯，二倍的根号五，再乘二，应该就是四倍的根号五，四倍的根号五。来，这个是我们的面积公式。来，我们还需要什么？我是不是还需要我有一个高到我这个平面的一个距离公式？ 所以我找的是什么？我可以找 d e， 我 也可以找 d b， 都可以，你觉得哪个方便，你就求哪个就可以。来我们这里先表示一下 d e 向量 d e 等于多少？来，我们看一下这里后减前，所以我们应该是二零四， ok， 那 么我们找的是什么？我们不就找的是地点到我这个平面的距离公式，对不对？来，距离公式小 d 等于多少？是不是我随便找的？第一的这条向量和什么和 f g 来比较？ f g 的 模长， ok， 等于多少？ 根号五分之八就是八倍的根号五比八，对，应该是比五，这里我们写的有点乱，我重新写一下，就是八倍的根号五比五， ok， 这个是我们这个式子，但是这个写完了吗？这个没有写完，这里是什么？这里是高， 我们还需要什么？体积应该是三分之一底面积乘以这个距离，也就是这个高应该是多少？三分之一乘以多少，乘以八倍的根号五比五乘以四倍，根号五等于多少？这应该是五个五四四八，三十二，应该是 三十二，下面应该是三。 ok， 这个题就已经写完整了，当然我们最后还可以写一句答话，把这个题再丰富一下，那么这个题同学你就可以拿到满分了。 我们会在一月初有一个为期一个月的期末冲刺时间，那么如果同学你感兴趣，欢迎来咨询，欢迎来加粉丝群。我们有寒假课，我们也有期末冲刺班， 当然期末冲刺班如果不够的同学，比如说同学，如果同学你报了一个月，但是我们期末我们就上了二十天，没有关系，剩下的时间会自动顺藤，在我们的寒假班里 会免费提供给，比如说我们三十天的课程，我们有二十天还没有上，那么寒假班我们会免费给大家提供十天的课程，培养真题思维，优城启航之路，我们猜一下。

hello， 同学们，大家晚上好，今天晚上给大家更新一期例题几何。那么今天这个题目呢？第一问是让你证明一个面面垂直，第二问是证明线面平行。先来看题目中的已知条件， c、 c 一 垂直于 abc， 这个是线面垂直，那么根据线面垂直的定义，我们知道 c、 c 一 就会垂直于底下这个面的任意一条直线啊，这个后续我们要用到的。好。第二个，这个三角形是一个等边三角形，并且 d 是 终点 哦，这个等腰三角形顶点和我们中点的连线，是不是和我这个底边是垂直的关系啊？好，先来看第一问，那么根据我们刚才的这个推论啊，因为三角形 abc 为等边 三角形，并且 d 为 ab 中点， 所以我们知道 a、 d 是 不是就是垂直于 c、 d 的？ 我为什么要写 a、 d 呢？因为你看现在这个，如果把 c、 c、 d 看成是一个平面的话啊，那么我这个 a、 d 好 像就像是它的一条垂线， 我要证明 a、 d 是 它的一条垂线，仅仅只垂直于 c、 d 是 完完全全不够的。因为线面垂直的判定定理要求我们要在这个平面内找到两条相交的直线和它垂直，是不是才可以啊？所以我们又可以再用到第一个条件。哎，就是说我们刚开始说的 c、 c 一 垂直于平面 abc 啊，那么又因为我这个 a、 d 它是不是包含于平面 abc 的 啊？平面两字我省略没写啊，那所以说 这个 c、 c、 e 就 垂直于我们的 a、 d。 好， 你看现在的两个条件哈，一个是 a、 d 垂直于 c、 d， 一个是 a、 d 垂直于 c c、 e， 这两条线是不是都是我的平面 c、 c、 d 上的，并且它俩还相交啊？又因为 c、 d 交上 c、 c、 e 于点 c， 并且呢，这个 c、 d、 c、 c、 e 都包含于平面 c、 e、 c、 d 啊，所以我们就证明了 a、 d 啊，它是垂直于 c、 e、 c、 d 的， 或者说 a、 d 就是 这个平面的一条垂线哦，既然垂线找到了，那过这条垂线的任意一个面是不都和这个平面是垂直的？嗯，那你看，现在我这个 a、 d， 很 明显它是包含于平面 a、 d、 c、 e 的 好，所以就证明了我们的题目 c、 e、 c、 d 啊，是垂直于 a、 d、 c、 e 啊。你在书写的过程中，一定要把这个平面两次加上哈。好，这第一问 好，再来看第二问，第二问呢？是线面平行。那根据线面平行的判定定律，我们知道，要想证明一条线平行于一个面，我必须在这个面内找到一条线和它平行才可以啊。那么现在呢，没有现成的这个平行线，所以我们要去做一个辅助线。 做辅助线有两个原则啊，一个是连对角线，再一个就是去构造中点，去找三角形的中位线。好，现在很明显还有一个正方形的对角线没有连起来啊，那就是 b、 c、 e。 当我连接这条对角线之后， 它与 b、 e、 c 相当于点 o， 这个点 o 是 不刚好是一个中点啊？那你再去连接你的 o、 d 的 时候，会发现它这个 o、 d 刚好就是三角形 a、 b、 c、 e 的 中位线。好 连接 b、 c、 e 啊， b、 c、 e 交上 b、 e、 c 于点 o、 o 为，嗯，谁的终点？ b、 c、 e 终点，又因为 d 为 b a 终点， 哎，所以这个 o、 d 是 不是就是平行于 a、 c、 e 的 好，下面平行除了平行之外，我还要写一个不包含，一个包含好。又因为 啊，我这个 a c 一 啊，它不包含于平面 c， d， b 一， 但是 o， d 包含于平面 c， d， b 一， 所以就证明了 a c 一 啊，平行于平面 c， d， b 一。 这就是这个题的一个完整的解析步骤。

今天我们讲立体图形的展开图，来看一个例子，将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展成哪些平面图形呢？ 我们先沿着这三条线剪开，顶部的绿色面就可以展开了。再沿着这两条线剪开，右侧的绿色面和黄色面就可以平铺下来。 再剪这个棱，将前面的红色面平铺下来，最后剪这个棱，剩下的红色面和黄色面也可以平铺下来。 这样我们就把一个正方体平铺成了一个平面图形。当然正方体的展开不只有这一种，比如还可以这样剪，先把两个红色的面平铺下来， 再把剩下所有的面往一侧平铺。正方体的展开图一共有十一种，就不一一展开了，这里做一下汇总。这十一种平面图又可以分为四个类型。第一个类型，一四一型，一共有六种， 中间四个一连串，两边各一随便摆。这是什么意思呢？就是中间四个正方形连成一串，剩下两个正方形像两个小翅膀一样，一上一下，你可以靠左，也可以靠右随便摆放，这样灵活的摆放就摆出了六种花样。 第二个类型，二三一型，一共有三种，二三相连错一个三一紧靠一随便。这个的意思就是二的部分和三的部分要挨着， 而且要像楼梯拐角一样错开一个位置，一要紧挨着三，但是呢，它可以在三的下边任何一个位置。第三个类型，二二二型，一共有一种， 三组二二连步步台阶线，它是由三组两两相连的正方形组成，每一组是一个台阶，而且每一级台阶都要错开一个，就像楼梯一样。 第四个类型，三三行一共一种，两排各三格，日字型相连。这个的意思是上下两排，每一排都是三个相连的正方形，中间用一个日字进行连接， 最后六面七刀财，对面不相连，实图巧排凹和填。这句话的意思是，一个正方体，它有六个面， 我们要把它剪成一个平面图，需要剪七刀。正方体有三对相对的面，在任何一个正确的展开图中，这一对相对的面在图纸上是不可以有公共边的，也就是不可以挨着。另外，在所有的平面图中，不会出现田字格，也不会出现凹字形， 所以在做题的过程中，我们在排除错误时可以用到，只要平面图中出现填字或凹字，那他就一定是错误的。我们做两个题练习一下。第一题，下列图中不是正方体，表面展开图的是 a 图， 这是一个二三一型，二三相连，错一个，三一紧靠一，随便两个的部分和三个的部分是连在一起的，而且错开了一个，三一也紧挨着，所以这个展开图是正确的。地图这是一个一四一型的，只要中间是四个的，两边可以随便放，所以这个也对。 c 图第一行是一个，第二行是两个，第三行是三个，那他是二三一型吗？二三一型要求二和三挨着，三和一挨着要按着顺序挨着，显然这个顺序是不对的，所以 c 是 错误的。 地图第一行三个，第二行三个中间是用一个日字型连接，所以 d 也是对的，所以这个题选择 c。 第二题， 下面正方体展开图，折叠成正方体后，如果尖在下就在后，盛和力在哪里？这个展开图是一四一形的，我把所有一四一形都放在这里，那它就是这一种。我们把它竖过来， 那尖和盛对应的就是两个红色面，那这两个红色面在正方体中对应的是两个对立面，所以尖在下，那盛就在上， 同理就和力也是对立面，所以就在后，那力就在前。那像这种题，我总不能把十一种平面图的每个色块位置都记下来吧？我也记不住呀。不用担心，这里我给大家总结好了。 相间最端是对面，这句话的意思是，同一行或同一列相隔一个，那他俩一定是对面。如果两个方块能画出一个直角的 z 字形，那他俩也是对面，不管这个 z 是 横的、竖的、正的、反的都可以。 那尖二拐角邻面之是什么意思呢？邻面就是挨着的两个面，这句话的意思是同一行或同一列，要么挨着，要么中间相隔两个，那他俩在立方体中就是挨着的两个面，就是邻面。 然后我们再回到这个题，肩和肾在同一列，而且他俩中间相隔一个，那他俩就是对面，所以肩在下，肾就在上，同理就和力也是同一列，而且也是相隔一个，所以他俩也是对面，就在后，那力就应该在前。 我们再做一个题，将下列的展开图与能围成的立体图形相连接。我们先看这个圆锥，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个光滑的曲面，将这个光滑的侧面展开之后，它是一个扇形，所以它展开后的一个平面图应该是这个。 然后看一下这个圆柱，圆柱的上下两个面都是圆，将侧面展开之后是一个长方形，所以它对应的是这个， 这是一个正方体，正方体的十一种展开平面图里边有一个三三形，刚好是这个，所以他应该连接这个。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。