青岛版数学初一上册几何图形角

孙老师一讲，豁然开朗。今天进入新专题，也是本学期最后一个专题角度计算。有了线段计算的方法基础，我们接下来要做的 就是发扬光大，锦上添花。在进入角度计算推理专题讲解之前，我们还是把整个专题的逻辑做一个介绍。 那么角度作为线段之后的第二个专题，他的难度会比线段上一个台阶会多很多元素啊。你比如说第一个基础知识板块角度呢？他有个单位，他不像线段，相当于就这个长度， 那这里边的单位的换算和度数的计算属于到基础知识了。然后和线段一样，角度中也存在大量的等量关系，而且他的等量关系更多，他增加了互余和互补。而平分， 我们线段里面也有，线段里边叫线段中点，而角度里边叫角平分线，所以它的等量关系会比线段多。然后常规的计算推理推理的方法和线段非常像， 你要想办法把题目条件和等量关系在图上做标注。那么标注的时候的技巧，我们也去画弧线，但是弧线不交叉不重叠，但他因为是角度，是旋转的， 他是一个从内到外，小角在内，大角在外，这么画弧线，最后实现错落有致，条件你也标上去了，等量关系你也标了，而且还不拥挤。然后利用等量关系，你就能直接算角度的大小。这是我们讲常规计算的 那例色，是另外一种类似于线段里面的无图必有坑，角也分为内外部分内讨论，当几何题没给图的时候，我们就要考虑分类讨论，这个时候就不是点在左右，而是设陷在角的内外了。 然后重头戏仍然是设餐，那你设一个餐和设双餐方向都是通的。 我们的目标仍然是选择合适的角度去设，参考用你设的未知数去表示其他角度，这个题就很快出来了。最后，角度里面还有一种特殊的等量关系，我们称它叫叠角， 它很类似于小学生学的两根小木棒重叠绑在一起，那么总长度等于两根小木棒减去重叠长度。而叠角类似于一个黄色的角 和一个蓝色的角，他们中间有一个重叠部分，那这个大大的角应该是等于黄色加蓝色减去 重叠的角，所以它是一个特殊的等量关系。好，第一部分我们还是从最基础的角的度量单位开始学起啊。如果你已经学过，你可以划过去啊。 那角的度量单位最常见的就是度，那比度更小点的，我们称它叫分，再更小点的叫秒。那这三个单位一出来，你就感觉它和什么很像，和那个时钟时间啊，小时分秒。 而恰巧他们之间的净率，你像一小时等于六十分，一分等于六十秒，这个净率也是模仿时间的，因为我们在规定一度等于多少的时候，他就是类似于圆盘啊。 我们将一个周角三百六十等分，每一份就是一度的角，记作一度， 再把一度的角在干嘛呢？这时候就不是三百六十等分了，是六十等分，每一份叫做一分的角，记作一分，打一个撇啊。 然后把一分的角再六十等分，每一份叫做一秒的角，记作一打两撇读一秒啊。所以它是根据这个时钟和角的定义来的，那这背后的历史来源你可以自己用 ai 搜索一下，很好查。 下面一个角 a 的 度数是四十八度、五十六分、三十七秒，那他就记作四十八度、 五十六分、三十七秒，度分秒第一到具体的单位换算和计算了啊，那还是一样，我们抓一个东西，一度等于六十分，一分等于六十秒，你就跟那个十分秒对应上。 那第一个，十八度十五分等于多少分？十五分和这个分是一样，不需要再画，只需要把十八度变成分，也就是十八乘六十，再加上这个十五分就够了，等于一零九五。 第二个注意，你看这个区别，这是十八点一五度，这是十八度。十五分，他不一样，这个零点一五也是度，所以他要想变成分是整体十八点一五乘六十。 你看这两个区别啊，分分我不用动，加十五，十八度本身乘六十，那我点一五也是度，所以我整体乘六十，算出来是一千零八十九分，不一样啊，所以你别光看数字了，它这个含义不一样。第三个， 十八点一五度等于多少度？多少分还是一样，这个度是相同的，那整数度就仍然是十八度，只有多少需要换成分呢？就这个零点一五度不满一度嘛。那零点一五度等于多少分呢？ 从度到分成六十，零点一五成六十等于九，那就是九分，所以这就是九分。它类似于小学的， 你比如说一点五米等于一米，多少厘米呢？你是把零点五米不够一米的单独画成多少厘米 这个意思。第二个，二十五点七二度等于多少度？多少分？多少秒。那还是一样，我先找相同的单位。二十五度嘛，整数够就是二十五度。那零点七二度我要把它化成分和秒，它等于多少分呢？ 从度到分成六十零点七，二乘六十等于四十三点二，那也就是四十三点二分。这时候你就发现了， 他分里边还带小数。没关系，我层层递进，这四十三分是够整分的，这四十三还剩多少呢？零点二分再把它换成多少秒，还是乘六十零点二乘六十十二秒， 所以单位换算，抓住它整体带的是什么单位，然后相邻单位之间的净率都是六十。要区分这个小数和这种写法不一样啊。第二，这种题一般当填空题啊，用来口算的啊，我就不写那个解决这种我直接算了。 好，以他为例，四十九度三十八分加六十六度二十二分。那我们本能的，你把分和分加起来嘛，三十八加二十二刚好是六十分，四十九加六十六是一百一十五度。 这个时候你可别停在这个状态啊，满六十要干嘛？进一啊？所以六十分刚好等于一度，那也就是一百一十六度了。第二个，一百八十度减七十九度十九分，这时候你发现度好减，我这个分他没有啊，咋办呢？ 没有，就跟小学的计算一样，不够你找前面借。所以我可以多写一步，我先把一百八十度变成一百七十九度，六十分跟他反过来，你看，反过来了， 借一，当六十，再减七十九度十九分，等于刚好一百七十九度，减七十九度，还剩一百度六十分减十九分，还剩四十一分。第三个 前面两个已经给我们方向，就是度和度在算，分和分在算。那一样啊，二十二度十六分乘五，我也把度乘了五，再把分成五分开算， 那二十二乘五是一百一十度十六分成五，这是八十分。没关系啊，中间过程我就写在这，然后我满足 满六十进一，那八十分往先进一个，一百一十一度还剩二十分。这么写没问题啊，因为这是中间过程帮你推理的。那有了乘法，除法就一样啊，先把一百八十二度除以四， 这个时候你会发现一百八十二除以四，他除出来是个小数，能除的进啊，我就先写小数了， 是四十五点五度，三十六分除以四是九分。那为什么不能写这个格式啊？你看下这，你要么是整数的度和整数的分，要么是整体就带一个度，这可以放小数。 你不能又放小数的度，又带整数的分，因为这个点五度他也可以换成分，所以统一下格式干嘛呢？四十五度我留下来零点五度 写旁边多少分？他不就是三十分吗？乘六十是三十分吗？那三十再加这个九分，就是三十九分。当然这个题算法不止这种啊，但是这样写是比较舒服的啊， 你甚至还可以怎么思考。一百八十二度除以四不好除，只有一百八可以除，我可以改成一百八十度，然后这个两度给谁呢？给下面这个分。 两度是一百二十分吗？那加起来就是一百五十六分除以四，这时候你看一下，把两度换过去，一百八十除以四，四十五度，一百五十六除以四三十九分也可以啊，关注梳理黑板，现在下课。

孙老师一讲，豁然开朗，你肯定想不到，小学二年级的木棍重叠问题，能够变化成七年级角度计算的一个经典小模型。叠角问题。好，在讲例题之前，我们先复习一下小学二年级的知识，两根小木棍的重叠问题， 咱比如说第一根小木棍长十厘米，下面这根长八厘米，那他们俩要想绑在一起，需要一段重叠，这个重叠部分，比如说是一厘米吧， 请问绑好之后，从最左边到最右边一共长多少？那你小学你都会十加上八减掉一厘米，那总长度就要减一厘米， 那这个跟咱们七年级的角度有什么关系啊？我画了第二个图，这个黄色的角，咱们假如说是七十度，然后这个蓝色的角呢？咱们就把它当九十度吧。 啊？如果他们俩没有重叠，你看现在这个红色画阴影的部分是重叠的吗？如果没有重叠，那他们这样，你看就是这样的， 这是七十，这是九十，那一共合起来就是一百六了。但是现在这个蓝色的往上转缩进去了，比如说吧，往里边缩了三十度， 那从最上面到最下面一共多少度呢？就应该是七十加上九十减掉三十，对吧？往里边缩进去，就从这往里边转了三十度，那这个 角度计算原理和我们小时候这个线段重叠是一模一样的。而到七年级这种东西，我们称它叫 叠角啊，但它的原理是通的。好，现在咱们看七年级的题啊，如图，角 a o c 是 阿尔法角， b o d 是 贝塔，你看这像不像？这不就是一个 alpha， 一个 beta， 然后它在中间这个 cod 区域产生了一个重叠叠角吗？第一问，如果 d o c 是 伽马， 让我们求 a o b， 那 a o b 就是 最大这个角吗？它不就是 alpha 加上 beta 减掉一次重叠吗？ 如果你识别出来叠角，你会算的非常快啊，我也可以用角度和差挨个推一遍。你比如说这个大角是贝塔，上面是伽马，那下面这个角就是贝塔减伽马，然后你再加起来 a o b 是 阿尔法，再加贝塔减伽马也可以，但这个就慢一些了啊。 所以说用叠角，两个大角减去中间部分，就是全部的角，会非常快啊。所以说用叠角，两个大角减去中间部分，就会非常快啊。那有了第一问的前提，第二问，角阿尔法加贝塔减伽马， 再加上 d o c， d o c 就是 伽马，就是阿尔法加贝塔。你在图上怎么去理解呢？ a o b 是 这个全部的角加上这个重叠的角，那不就相于阿尔法和贝塔吗？ 它又是全部，还多了一个重叠，那就是全部的 a o b 再加一个重叠。所以说通了啊，叠角会非常快。第二种反过来了，它还是 a o c 是 阿尔法， b o d 是 贝塔，它又给了我 a o b 是 m。 你熟悉了叠角，你马上就意识到阿尔法加贝塔是比 m 大 的，为什么会大？因为它们多了一个重叠，那重叠这个角 d o c 就是 阿尔法，加上贝塔减 m。 当然有人这样推，他老是想不出来。那你还可以怎么办呢？我就记一个公式， 就是 r 法加上贝塔减掉重叠等于全部，也就是 r 法加上贝塔减去重叠，重叠就是角 d o c 嘛，那等于这个大角就是 m， 你 看一样的把 d、 o、 c 换过来，那 d、 o、 c 不 就等于 r 法加贝塔减掉 m 一个道理啊。 所以你把二年级的两个小木棍重叠连一起来，阿尔法加贝塔比全部的多，多了谁呢？多了一个重叠，所以减掉重叠就是这个全部，那这个重叠就是阿尔法加贝塔减掉 m 了。第二题已知 a、 b、 c 是 四十五， d、 b、 e 也是四十五，两个四十五又产生了 重叠，也就是 d、 b、 c。 试判断 a、 b、 e 和 d、 b、 c 之间的数量关系。你如果想到了叠角，马上就出来，这是一个大的全部的角， 角 a、 b、 e 是 怎么得到的？它其实是两个四十五，四十五加四十五，但是并不能完全相加，因为你有重叠部分，要减掉角 d、 b、 c 了， 等于九十度，减角 d、 b、 c， 这就是他们俩的关系， a、 b 一 和 d、 b、 c 的， 但你也可以移过来，角 a、 b 一 加上角 d、 b、 c 等于九十度啊。注意啊，我这是直接算的，这个算式，你推的话，你可以写一步啥，因为我把等式关系列出来，角 a、 b 一 等于角 abc， 加角 d、 b 一， 减角 d、 b、 c。 所以 代入 这个叠角的整张关系是可以直接使用的啊。我们就是能从图上看出来，就像我们看这个两个小木棍就直接得到而已，不需要再证明直接用啊。当然我也展示一下，如果你没看到这个叠角，你也可以做，但是麻烦一些，你比如说我设 d、 b、 c 是 x， 那下面就是四十五减 x， 上面也是四十五减 x， 那 这个时候角 a、 b、 e 就 变成了 四十五减 x 加 x， 再加一个四十五，减 x 也能做多少？这就是九十度减 x， 那角 d、 b、 c 又等于 x， 对 吧？也出来，他们的和也是九十度，但这个就麻烦了啊。所以为啥把叠角单独挑出来，说他比射参会更快一些？ 你马上能识别出来。第三个，两个三角板在 o 这个地方重合了，你看，这是一个九十度，三角板自带的，这也是一个九十度，这又是一个叠角模型啊， 而且给了我 a、 o、 d 等于这个度数，让我求 b、 o、 c， 你 用上了叠角就非常快。叠角的基本等量关系是什么呢？角 a、 o、 d 是这个大角，它是等于两个九十度九十度加九十度减掉重叠部分是 boc， 减角 boc， 那 你 aod 多少？一百一十八度十七分，等于一百八十度减角 boc， 那马上 b、 o、 c 出来，角 b、 o、 c 就 等于六十一度四十三分了，那就非常简单了啊。还有种方式，老师我硬算 a、 o、 d 是 一百一十八度十七分，哎，这里边有个九十度，所以我可以先把 b、 o、 d 算出来。可以， 我算出来 b、 o、 d 之后，再用 c、 o、 d 这个九十度再减它，就得到 b、 o、 c 也行，但是你对比一下，挨个去算这里边的每个角就麻烦了啊。 所以叠角模型，它的优势在于，一旦出现等量关系非常明显，用了之后会很快答题啊，光听不练手痒痒，我们准备了十三面的配套训练和视频，完美配合，快来领取吧！关注梳理黑板，现在下课！

双角平分线模型呢，是初一期末考试必然会考的内容，那这个视频呢，老师教一下大家双角平分线模型该怎么做？来，咱们看题说，已知如图，角 a o b 是 直角 a o b 啊，这是一个直角， 那么说角 a o c 是 四十度，就这个角啊，这个角是四十度，然后又说 o n 是 角， a o c 的 角平分线， 它是角平分线的话，哎，那么这两个角相等，对吧？那么你看这是四十度的话，那这两个角是多少度？就是二十度，对吧？所以这是二十度，这个也是 二十度。好了，他要说 o m 是 角， b o c 的 角平分线啊， o m 是 b o c 的 角平分线，那么你看哪两个角相等， 哎，是不是这两个红色的角是相等的，对吧？那么这两个角是多少度呢？我们来看一下角 boc 是 多少度， 角 boc 是 不是九十度加上四十度，对吧？所以角 boc 是 一百三十度， 他是一百三的话，那么这两个角相等就是六十五度，这是六十五，这个也是六十五。好，那么你看题目求什么？求的是角 m o n 角 m o n 就是 这个绿色的角，对吧？你看 啊，就是这个角，大家来看一下这个角该怎么求啊？就是这个红色的角减去这个黄色的角，对吧？就是六十五度减二十度， 所以这个角是四十五度，角 m o n 是 四十五度。所以大家在做这种双角平分线问题的时候，一定注意用三色笔去画图，就是我把两个相等的角是不是用相同的颜色给它标出来，然后你会发现 你所要求的这个角，它要么是这两个角相加，要么是这两个角相减，今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套几何图形必刷的十大题型拿去练习，轻松解决这类问题。关注梁老师每天一道经典题！

纸条按如图所示的那样折叠以后，得到了我们的角 a、 o b 撇等于七十度。来，我们标一下啊，就你最好在你的图上也标一下， a、 o b 撇这个角等于七十度啊，等于七十度，则角 b 撇 o g 等于多少度啊？他要求 这个蓝色的角是多少度？好，我们在初中几何里边其实有个东西叫做几何三大变换啊，几何三大变换分别是平移、旋转、轴对称，而我们这个翻折呢，其实就是个轴对称啊。大家有没有发现翻折前的图形和翻折后的图形啊？ 就那个虚线的和那个实线的部分，是关于我们的 o g 对 称的，对吧？关于 o g 轴对称，那只要是这种翻折类型的题啊，我们永远都是要去找相等的边和相等的角。 永远都是要去找相等的边。相等角啥意思呢？就是它翻到哪去了？比如说我们的这个 o b， 它是不是应该等于 o b 片的， 这就是相等的边。再比如说我们的 b c 这个圈圈，他是不是应该等于我们的 b 撇 c 撇呢？包括我们的这个啊， c g 撇啊， c c g 和我们的 c 撇 g 这两个东西是不是也是相等？这叫找相等的边啊。 那什么叫做找相等的角呢？你比如说角 b 的 这个九十度，他是不是折到 b 撇那去了？九十度啊？角 c 的 这个九十度，他是不是折到 c 撇那了？九十度。当然我没有给你标全呢，因为我要标全这个题的答案就出来了。 题目如果是求长度的题目呢？我们多去关注这种相等的边题目如果是求角度的题目，我们就多去关注相等的角，你只要是关注了的话，那会发现我们题目基本上就做出来了啊，我们这个题是不是求角度，所以你要去关注相等的角，我们要求的那个角 b 撇 o g， 它是从哪来的呢？那你有没有发现这个题就秒了， 那我们最后的答案是多少从这个地方过来的，对吧？就是从我们的 b o g 那 过来的，那意味着图中这两个蓝色的角，他是不是应该是相等的，对吧？ 那旁边有个红色的角是七十度，那这两个蓝色的角要相等，你怎么办呢？你是不是应该用一百八十减去一个七十，然后再除以二就结束了，对吧？所以是个幺幺零除以二，他应该等于一个五十五度了，所以我们最后的答案是五十五度了。 那么通过这个题，大家以后注意了啊，只要这种翻折的题目啊，你要去关注相等的边和相等的角求长度，多关注相等的边求角度呢，多关注相等的角。简单的来说，初一的时候主要是求角度的，因为没有学勾股定律之前呢，基本上算不了长度啊，你要是要计算一个长度，怎么着都是需要勾股定律的。

动脚问题分两类，一类是基础型动脚问题，这个难度不大 啊，就是分类比较简单，然后呢，就是我可以通过画图，然后通过标脚去把它解决掉啊，这个难度不大， 但其实大家真正被难到的是这种进阶型的动脚问题。这种进阶型的动脚问题，它可以这么说，它是完全超出我们初一小伙伴的能力范畴的，它是完全超出的， 就是他必须要有一定的树形结合思想，用一些未来学到的更高级的工具，才能够比较有效的完整的去解决。当然了，你说你能不能算出一两个答案？可以的，但是你要想把这类问题彻底的解决掉，呃，是要用树形结合思想用，用一些，比如说讲坐标系的一些认知的， 所以我这么来讲，就是基础型的动脚问题，是所有小伙伴他一定要去掌握的啊，也就是今天晚上我会先讲的内容。好吧，那么接下来呢，这种进阶型的动脚问题，他完全是一种能力拓展，就是你在学有余力的情况下，余力的情况下。 哎，你说我就想玩一玩数学，抱着玩一玩的心态，抱着玩一玩的心态，那就跟马哥一起玩一玩，但是要玩咱就把他玩透， 要玩咱就要一次性把它玩透，因为只有玩透了才能真正提升你的数学能力，要不然就这类题，当你过了这个阶段，你说你在初一的下学期，初二、初三还会不会遇到类似的题，再也不会遇见了，我就说他只是因为在初一实在没有什么可以考的， 所以专门拿来啊，可以说是给大家拓展拓展吧。啊，就是这样的一个逻辑，好吧，但是大家要一定要根据自身的情况去选择，要不要在这花时间，但是有一个原则， 如果你已经决定了要玩了，已经决定要花时间了，你就把它弄透，因为只有弄透你才会有收获。如果你听个一知半解，在这块你只会听的感觉到挫败，不会有任何的收获。我们首先来看一看基础性的动脚问题。基础性的动脚问题，我们以这个题为 切入啊，咱们拿这个题来感受一下基础型的动脚问题，你怎么去解决就行了，来大家自己感受一下吧。接下来我们由浅入深啊，逐步增加难度。咱们先看动脚的第一节课，他说这个 o d 啊， 从目前这个位置开始转啊，顺时针开始转，每秒转两度，他问转过多长时间可以怎么样？可以去平分角 boc， o d 或者 o d 所在的直线可以去平分角 boc。 那 你会发现平分角 boc 的 直线是定的 还是不定的，这很明显是一个定的吗？这个角 b、 o、 c 是 个定角吗？你看到了，这是一个定角啊，这定角是多少度？六十度。那我们平分角 b、 o、 c 的 直线我是不是就可以直接做出来？我就过做角 b、 o、 c 的 角平分线，然后再反向延长，这就是平分角 b、 o、 c 的 直线啊，就是这条蓝线。 那也就是说这个 o、 d 什么时候能够平分角 b、 o c 呢？或者它所在直线平分角 b、 o、 c 呢？就是 o d 要转到和这条蓝色的直线重合。 o d 转到和这条蓝色的直线重合，有几种可能性？对，就是两种可能性嘛。哎，你看他先转转转转转转转转转到这里，他和 o m 这条射线重合，这是第一种可能性， 对吧？此时 o d 所在直线一定平分角 b o c。 好， 那我这个时候我就可以算一下他转过的角度嘛。那你那那这角分线这边一百二，那这是三十度，这也是三十度。所以当 o d 转到与射线 o m 重合的时候，他转过多少多少度角？ 转过了九十度加三十三十度，是不是转过了一百二十度角，而他每秒只能转两度啊？每秒转两度，现在要转一百二十度，就是一百二十度，除以每秒两度，就等于六十秒， 这是它的第一种可能性，那么它还可以继续走，因为它整个要转什么？它要转转转，旋转一周嘛。那么在旋转一周的过程当中，它还可以继续走，那么转到 o m 与 o m 重合后，从 o m 开始，再再再再走到这里，走到这里它还可以和射线 o n 去重合。也就是说，当 o d 这条射线 这么转过来和射线 o n 重合的时候，那么 o d 所在直线 o d 所在直线也会平分角 b、 o c。 而此时它转过的角度是多少度呢？ 这么转过来总共转了多少度角？大家看一下，这个时候他总共转三百度吗？对不对？因为这个角是三十度，这个角是三十度，那么对顶过来这个角也是三十度，这是三十度，这是一百八十度，这是九十度。二百七十度加三十度，三百度，总共转过了三百度。每秒钟转两度，好一除就是一百五十秒。 这是这道题的第二个答案，因为他只能转一圈，要么转到这里平分，要么转到这里平分，就两种可能性，就是六十度或者一百五十度。好了，这就是一个基础型的动角问题。基础型的动角问题有这样的几个特点，首先他的动线没有那么多，变化的量，没有那么多。 第二，他的情景都可以很直观很简单的画图画出来，这个时候你只需要按照提议去画图， 然后该标的角标好，标好，然后根据提议去进行计算，整个问题就结束了。所以第一注意划， 按照提议去划。第二注意标好该标的角度，然后按照提议该求啥求啥就结束。这就是一个基础性的动向问题，这种问题是完完全全的在我们 初一小伙伴的能力范围之内的，是一定要去掌握的。来，接下来我们来看第二道题，接下来我们慢慢增加一些这些题目的复杂度，你们觉得这道题有几种可能性啊？两种可能性是吧？好，他说这个绿线啊，绕着这个点 a 去转，转到什么呢？转到和这个 b 去垂直的时候，哎，问过几秒， 那我这个时候怎么想的？我还是看一下满足提议的状态，咱先画出来。满足提议的状态，那我满足提议的状态，我就过 a 做一个 b 的 垂线，你会发现这个绿线只要转到和蓝色的直线重合的时候，就是满足提议的状态。而当这个绿线转一周，转到和蓝线重合，应该可以有几次， 对吧？他其实应该有两次。那么首先他第一次转，转过这么多度角，对吧？就会和蓝线重合好，这样重合以后呢，他还可以绕着 a 继续转，再转多少度，再转一百八十度，还是会和蓝线重合，所以这是可能性一，这是可能性二， 这是一开始我们根据提议画出满足提议的这个最终的结果，想到他有几种可能性，就是两种可能性啊，这种就是基础动角问题。那么接下来咱就是标角，你看，第一就是画图，第一就是按照提议画出满足题，画满足题的状态，第二就是标角，计算 标角，然后咱们就算就好了吗？标角算吗？接下来咱们就标角吗？可以标的角有哪些呢？首先你会发现这个是一百二十度，那么这个角是六十度 对不对？这个角是五十度，那么这是九十度，根据三角形内角和这是四十度，所以第一种情况，他会转过多少度角？转过一百度角 就可以重合，所以转过的角度是一百度，每秒转五度，一百除以五就是二十秒，这是第一个答案。 然后接下来他再转多少度，再转一百八十度，那么总共转了多少度呢？就是一百度，再加一百八十度，就是转过二百八十度，二百八十度，每秒转五度，出弯以后就是五十六秒， 所以答案就是两个，一个是二十秒，一个是五十六秒，就这么简单。所以这种基本动脚问题，就是要求我们第一先按照题目所描述的状态，第二呢就是把里面该标的角标出来，按照题去进行计算就行了。 那么在这里马哥要强调的是，你一定要看清楚人家对这个动线的描述，就是动线他到底转过多少，人家这里说的是绕点 a 顺时针方向旋转一周，那么旋转一周意味着状态一和状态二都可以达到，因为旋转一周他要转回来嘛，这一圈之内的状态都可以。 那如果他变成什么呢？如果他变成顺时针方向旋转半周， 那你会发现就只有几个答案了。如果我把这个条件从 a 顺时针方向旋转一周变成顺时针方向旋转半周，那你会发现就只剩几个答案了。他是不是旋转半周，旋转半周最多到这吧，对不对？旋转半周刚好跟原来重合最多到这，所以只有二十度一个答案， 所以这个时候就是你一定要看他的运动范围。这两道题描述的都是旋转一周，一定要看他什么时候停 好。这是第二道题。接下来我们把这个问题稍稍再复杂一点点，它要 o d 平分角 b、 o c。 哎，这次有两条动线了。你去读一下这道题里面的哪一句话，使得这道题最终是一道非常简单的题？ 哪一句话？这道题对停止的描述是，只要 o c 与 o d 往这边转，只要 o c 与 o d 重合就停止， 说明这道题只有几种可能性，一旦重合就停，说明这道题只有几种可能性。只有一种可能性， 重合就停，意味着蓝线绿线是不会换位置的，如果没有重合就停，这个条件很有可能是不是 d 就 转过去了， c 就 转到下面去了，那可能性就多了去了。 但是现在人家有一个非常明确的条件，就是重合停止，所以就是停止的状态。什么时候停是一个非常非常重要的条件，他直接就可以导致这道题到底是非常简单还是非常难， 一定要把这个读清楚，所以我们刚开始由浅入深，我们先看这种比较简单的，然后后面再看如何去分类，好吧，好了，那么 接下来既然他什么他是转到重合就停，那么重合之前的状态就是这道题唯一的状态，接下来我就只需要去标角了，对吧？因为他这个这边是从 o b 开始，每秒转一度，我就设过时间为 t， 所以 这个角度就是 t， 对 吧？然后这边是每秒转五度，从 o a 开始，每秒转五度，那么假设时间为 t， 那 么这边就是五 t。 好，这边是五 t， 接下来我还可以去表示谁呢？他说 o d 要平分角 b o c， o d 要平分角 b o c， 那 么假设现在啊，我要求的是平分状态，他要平分，那么我就认为他平分，接下来的事太简单了，那么这是 t， 这也是多少？这也是 t， 对 吧？我就是让当做他平分来算 t 吗？所以这是 t， 这也是 t， 那 接下来就结束了，那么你会发现一个 t 加两个 t 加五个 t， 七 t 等于一百二十度， 那么 t 就 等于七分之一百二十，所以答案就是七分之一百二十，直接秒掉，对吧？所以这道题你看第一注意什么呢？注意停止条件， 既然停止条件是重合就停，那我就可以知道了，就是蓝线、绿线 o a o b 的 相对位置关系都不会发生变化，他们的相对位置关系不会发生变化，那么我就可以认为这个状态就是 t， 这个也是 t， 这边是五 t 加起来七 t 等于一百二十度结束， 会不会不能平分就停了？那肯定是不会的呀，你要是不能平分就就就停了，那你肯定算出来这个 t 就 不对了。你想嘛，他一定能够重合吗？重合之前一定会相等吗？好了，来继续 啊，接下来我们你看啊，你再读一下这个题，这道题我们把它定义为基础的动角问题，还是因为哪一句话来感受一下？他不是要角分线吗？ 他不知道 o d 是 角分线吗？你就认为 o d 是 角分线，把它当角分线来算嘛，当角分线来算嘛。所以底下是 t， 上面也是 t 嘛。你看人家还是说什么，这道题和上道题是一模一样的，如果他没有这句话，没有当 a d 和 ab 首次重合时就停止， 那肯定这个题就复杂了。但是他现在有了这个条件，首次重合就停止，说明这个状态就是唯一的状态， 那我就只需要在这幅图的条件下去进行计算就 ok 了，我不需要再重新画图了，这就会使得这道题非常的简单。接下来我就只需要认认真真的把每个角度去标好，按照人家的给的条件我去进行计算就好了。你看这两个重合你能转多少度？总共转多少度？ 这是三十度，这四十五度，你要把这个角转到重合，就是把这个角转完嘛，这是一百八十减三十，一百五十，就总共转一百零五度就结束嘛。这两个总共转一百零五度结束，转不了一百八嘛。所以每一次你一定要去看一看人家的运动时间，一定要看一看对 停止运动的描述。接下来人家说从目前这个位置开始转，也就是说 a c 从 a m 开始转， a e 从 a n 开始转，这是两个直角三角板，这都是九十度至四十五度至三十度，对吧？好了，呃，那么假设运动时间为 t 秒， 然后分别告诉我们旋转的速度，一个是逆时针 n 度每秒，一个是顺时针 m 度每秒。由速度和时间我可以直接表示出来这里面的哪些角度，来帮我帮我找一下。 mac 肯定是可以直接表示的， 因为这个就是旋转过的角度嘛，从 am 转到 ac 转了 t 秒每秒转 m 度，那么这个就是 mt。 同样的道理， e a n 也可以表示，它是由 an 转到 a e， 那 么转过的角度就是 n 度，乘以时间就是 nt， 这就是由速度和时间其实就是转过的角度嘛，由哪转到哪，这个角度就出来了。好，那么接下来人家要什么呢？要角 m a d 和角 c a e。 那接下来我就想办法去表示 m a d 嘛， m a d 是 哪个角？ m a d 是 这个角， 对吧？哎，那我角 m a d 就 可以表示成什么呢？怎么去表示？这个角怎么表示？ 是不是就用一百八十度把这个三十把这个 nt 减掉就行了？就是一百八十减，三十减 nt 就 等于一百五十减 nt 来，这是就是角 m a d 来，接下来我们再表示一下角 c a e， 这个 c a e 其实也很好表示， 那么 m a n 这个大角还是一百八十，一百八十把 nt 减掉是不是就结束了？所以角 c a e 就 等于一百八十度 减 mt 再减 nt 好 了，那么接下来我把这两个都带进去，他说角 m a d 等于六分之五倍的角 c a e 那 我就可以写吗？角 m a d 就是 一百五十减 nt， 就 等于六分之五倍的一百八十减 mt 再减 nt， 对吧？我带进来就好了嘛，带进来以后，接下来我就把这个右边展开嘛，啊，我就算嘛算，左边一百五十度减 n， t 不 变，一百五十减 n， t 不 变，右边六分之五乘一百八就是一百五十， 对吧？再减六分之五倍的 mt， 再减六分之五倍的 nt。 好， 这样你会发现这个一百五十和一百五十就同时减掉了。呃，接下来我们合并一下，首先啊，左右两边每一项都有 t， 所以 我还可以把 t 都约掉， 把 t 都约掉啊， t 都约掉就是负的 n 就 等于负的六分之五 m， 再减六分之五 n， 这样的话，我一项一项的话，就是六分之五 m 就 等于六分之一倍的 n， 所以 n 就 等于五 m， 所以 最终 n 和 m 的 关系就是 n 等于五倍的 m。 到这整个问题结束。 所以这道题啊，因为人家对这个停止时间的描述非常的简单，所以使得这道题他画图就一种情况，但凡画图就一种情况，咱老老实实的把角表示出来，按照人家给的关系去列方程，列方程这种参数多你也不用怕， 参数多最后一定可以消掉，你会发现 t 也消掉了，一百五十也消掉了，最后 m 和 n 的 关系就有了。所以这道题啊，他看起来是有点唬人，看起来是不是参数有点多，但是你要注意就是你只要坚定一点， 但凡是动脚类问题，他对这个停止时间的描述，使得他只有一种或者两种情况，你就把他的图画出来，然后按照人家的要求去标脚，然后按照人家的要求去列出关系式，整个问题就结束了，就不用怕， 但凡关系不复杂，你正常的去画图，去标脚，去列关系式，就结束。这道题只是参数有点多，看起来有点唬人，但其实很简单。接下来我们就把这种问题稍稍的给大家复杂一丢丢，但是还处于就是我们初一能力范围内就可以解决的问题，就是这道题， 这道题基本上快要到达能力范围内，不用增加什么新的知识，能力范围内就可以解决问题的边界了。边界就是这样啊，我们来看一下，还是那句话，你先根据他的对于运动过程的描述 来感觉一下，他应该有几种可能性，他应该有两种可能性，因为他只转一圈啊。这里面有一个非常重要的描述，就是 o c 旋转一周。注意，我们在初一所遇到的动脚问题，再恶心再恶心的问题都不会超过一周， 因为超过一周就彻底颠覆了我们在初中对于角的认识了，我们在高中才会学习大于三百六十度的角，在初中用初中的角度定义，根本就没有办法理解三百六十度以上的角，所以呢，你也不用担心，最复杂也就是转一周， 哎，只不过这个转一周如果线多一点，它的可能性就很多了，所以它也就转一圈，而且这个转一圈，这两条线是同向的，同向转一圈夹角要为要为三十度，只有几种可能性，就是 c 没有超过 b 之前和哎，追上前和追上后，那么追上前，接下来我就可以画图了。 你看啊，人家角一百四十度， o c 平分角 a o b， 那 么这个角是七十度，这个角也是七十度，先把这两个角度一定要标好，接下来换满，换满足提议的状态，那么这个 o c 开始转，哎，转，然后它其实开始追嘛，它快一点，它慢一点，它只是追。比如说 o c 转到了这里， 这是 c 一 片，然后呢， o b 转到了这里，这是 b 一 片。哎，你看， o c 转了一部分， o b 同时也向前转了一部分，这个时候呢，它们的夹角刚好来到三十度，这就是满足提议的第一个状态。好了，这是一种状态。 那么还有一种算什么呢？就是 c 彻底转过来了，彻底超过 b 了。那我们换另外一幅图啊，这是情况一，这是情况一，我们来再画情况二。情况二，就是 oc 彻底转到，比如说 oc 转到 c 撇的位置了， oc 转到 c 撇的位置了，然后呢？哎，他超过 b 了，他跑 b 前面了， ob 转到 b 撇的位置了， 这个时候他们的夹角也是三十度，这是第二种状态。除此之外，你接下来你 c 再往过转，他们的夹角只会越来越大，然后 c 回到原位置转一周结束。所以，尤且只有这两种可能性，不可能再有第三种了。好，这就是第一步，先把满足提议的图形画好， 把满足 t 的 图形画好之后呢，接下来我们就去标嘛。接下来，因为因为速度有了，人家设时我，我假设时间为 t 啊，经过 t 秒，假设时间为 t， 那 你会发现，从 o c 到 o c 撇，它每秒十五度，这就是十五个 t， 对 不对？然后 ob 到 ob 撇，每秒十度，这就是十个 t， 好 吧，好，那么再接下来我就要在这幅图里面通过角度关系来列方程了。通过角度关系来列方程，那怎么列呢？ 啊？那我就要看一看这个十五 t， 这个十 t 和这个三十，和这个七十有什么关系？那我就可以还可以再标一个角，就是这个角吗？这个角是不是就是七十减十五 t， 七十减十五 t， 对 吧？好，那你会发现七十减十五 t 再加十 t 就 等于多少，是不是就等于这个三十度？角就是七十减十五 t， 再加十 t 就 等于三十。好，这个时候整理一下，就是五 t 就 等于四十 五 t， 等于四十 t 等于八秒。这是这道题的第一个答案。一百八十度有限制，但是在这你会发现有吗？在这是没有的， 在这有什么一百八十度限制？我就研究这个三十度角有什么限制，对吧？然后我表示角度没有什么问题啊，你们说的那个一百八十度有限制，这些东西说明你你听的时候那个东西你没有彻底听明白，你们说的那些东西都是建立在另外一种思路去解决这道题的， 对吧？你正常的标角是没有你你们说的那些东西的，好吧，待会我会讲啊，注意听，待会会讲。好，接下来呢，我就在这里标嘛，你会发现 o b 到 o b 撇，你会发现这个东西不管怎么样都是十 t， 这与它大不大规？一百八半毛钱东西关系都没有，你用速度乘以时间，这个角无论怎么样都是十 t， 对吧？然后呢？这个角不管他大不大过一百八，永远都是十五 t， 你 说这有啥问题？这是不可能有任何问题的，就是这些角度的关系，角度的大小都不可能有任何问题，他就算大过一百八，他依然是用十五乘以 t 算出来的。那么接下来找一个关系式就很简单了，因为这是角分线，呃，这个角是七十度， 这个角也是七十度，对吧？好，那你会发现十五 t 最大的这个角就等于什么？就等于七十加十 t 加三十就是十五， t 就 等于七十加十 t 再加三十，这个角度关系就出来了，所以就是五 t 等于一百，所以 t 就 等于二十。所以这道题的答案就是八秒或二十秒。整个问题结束， 咱老老实实的画图，老老实实的去标角，没有用到其他任何的，就是我们现在驾驭不了的东西，你标出来的这个角是多少就是多少，这什么平角突破不突破，那只能说明你把讲的另外一种思想，另外一种方法，和现在我们正常的这种这种做法混淆在一起了。那么到这 我刚才说了，他基本上是我们的动角的，就是能力范围内的边界了， 你会发现到这其实已经有一点点开始复杂了，这个角度标起来已经有一点点恶心了，但是由于它的运动相对简单，而且情况只有两种， 我们还可以通过画图分类，然后老老实实的去标，用我们初一的知识完整的去把它解决掉。我接下来我给大家展示一种什么叫做超出初一能力边界的题目，就比如说这样， 这道题看起来条件无比简单，就是这是一个 a o b 是 一个九十度，这是十度每秒，这是五度每秒。然后他说经过 t 小 于二十四，就是总共不会超过二十四秒，不超过二十四秒的期间内，经过多少秒后？ p o q 等于二分之一的 b， o q 的 加角 等于二分之一的 o b 和 o q 的 加角。你不要看这道题描述的如此之简单，但是他几乎不可能用画图分类去处理， 几乎不可能用，就是我们初一的像刚才那样画图分类去处理，大家感受一下。为啥对，分类太多了，我跟你说光角 p o q， 你 看啊，这个 o q 可以 在这儿， o p 可以 在这儿，那么角 p o q， 这是它的第一种状态， 然后呢，它还可以再往过，它还可以交交叉过去，交叉过去。你看 o q 可以 在这儿， o p 可以 在这儿，这是角 p o q 的 第二种状态，哎，黄色，黄色，这是第一种，然后 q 上去， p 下来，这是第二种。完了没？远远没有完，还可以过去，就是 q 可以 整个跑到，比如说跑到这边来， q 可以 整个跑到这边来，然后呢， p 也有可能跑到这来，这是 p o q 的 第三种状态。还有什么呢？ p 还有可能怎么样？还有可能是这样的状态，就是 q 跑到了这里，哎，我再给你来个红色的 q 跑到了这里， p 在 这里，这是 p o q 的 第四种状态， 就是光 p q 的 相对位置关系就会导致 p o q。 我 随便画了画就有四种，那你说 b o q 总简单一点吧， b o q 也没有你想的那么简单。首先 b o q， 这是一种了， q 跑到这来，这，这可能就是第二种了，那么 q 跑到下面来，这有可能是第三种了， 对不对？这个 b o q 也有两到三种，哎，这么角 b o q， 虽然虽然我没有想的很清楚，但是随便，哎，随随便两种以上的可能性，两种以上的可能性。好了，接下来他要找这两个关系，这是四种，这是两种以上，你会发现他至少应该可以出来多少种可能性，应该是至少八种。 这四种对应角 b o q 的 另外一种就是你随便想一想，这样你画图可能得画出七八种，当然这七八种不一定都存在， 但是你是不是一个一个的都都得去想。所以这道题就是你几乎没有办法，在不提升你认知，不提升你理解的情况下，你几乎没有办法用初一的 啊，就是我画画图标标脚，分分类来解决掉，几乎不可以，因为状态太复杂，状态太多， 你要说我能不能算出一两个答案，那没有问题，但是你要说非常自信的把这道题完美的解决掉，那非常困难，对不对？那怎么办 好？所以呢，我们就要讲我们的第二种进阶型的动角问题。进阶型的动角问题，他其实已经就是超出了我们初中阶段对角的很多理解了，要用竖形结合的思想了。我们类比竖轴， 哎，竖轴是不就是一种竖形结合？你想想我们数学学竖轴怎么来学的？学竖轴是怎么来学的？我们学竖轴是不是规定一个圆点，规定一个正方向，规定一个单位长度，这个时候竖轴上的点和竖是不是可以就一一对应起来了？ 竖轴上的点和数值是不是就行进行了一一的对应？它有几个要素， 圆点、正方向、单位、长度。当我们把这些东西都规定了以后呢？那你会发现点和竖点什么图形吗？竖什么竖吗？这两个之间是不是就进行了一种竖形结合？那我们用同样的思路，我们来感受一下 角度和线的位置，角度是一个数字，对吧？线的位置是一个图形，我们接下来就想把角度和线的位置， 射线的位置，角的边就是射线，射线的位置进行一个一对应。你看为什么我们刚才必须得画图呢？因为我们不画图就没有办法确定什么确定线的位置。但是如果我能把线的位置和一个角度去一一对应起来，那我们就可能不需要画图了， 我就直接用数字去进行计算了，对吧？我们来感受一下怎么样实现。其实这里用到了我们高中的时候会学到的一个角坐标系的概念，只不过现在呢，我们对角坐标系其实是一个简化版，我只关心射线的位置啊，不关心点啊。角坐标系其实最终关心的是点的位置，现在我们只关心射线的位置， 我们依然要先规定一个什么初始状态，比如说呢，我画一个相互垂直的两个轴，横的我称为 x 轴，竖的我称为外轴，它俩是相互垂直的，这个时候我规定角的初始位置。角的初始位置我就规定 x 轴正方向的这条射线是零度， 这是它的出式位置。 x 轴正方向的射线，这个方向，这条射线我定义为零度。接下来我就可以用转过的角度去确定这个平面内每一条从 o 引发的射线的位置来感受一下。你比如说我规定逆时针旋转为正方向， 一般来说我们都规定逆时针旋转为正方向啊，正常的，我们到了高中学这个角坐标写的时候，也是规定逆时针旋转为正方向，那么这个时候，假设逆时针转过三十度角， 那么这个射线 o a 就 可以用多少度来表示。大家想一想，接下来一定要非常非常认真听，好吧，你错过一点可能就听不懂了，你看我从这是初矢状态， 从初矢状态按照沿正方向转过三十度，那么这个 a o a 这条射线的位置就可以用三十度来表示。 哎，这样的话，我是不是就建立了射线 o a 的 位置和一个角的度数之间的关系？竖形结合，对吧？好，再来。 那么假设转过四十五度，从始位置转过四十五度，到了 o b， 那 么 o b 这条射线那么一模一样，就可以用四十五度来表示。看 o b 和四十五一一对应， 那么外轴正半轴就可以用多少度来表示。外轴正半轴，这个正半轴就可以用多少度来表示。因为它从始位置转过九十度嘛，所以这就可以用九十度来表示。来假设我告诉你这个角又是三十度，那么 o c 这条射线可以用多少度来表示？ 它就相当你还是要从始位置开始看嘛。从始位置转过九十度，转过三十度，它总共转过多少度？总共转过一百二十度，所以这个 o c 就 可以用一百二十度来表示。 好，那么 x 轴的负方向就可以用多少度来表示。 x 轴的负方向我就可以用一百八十度来表示了，因为从这转过来刚好转了一个平角一百八十度。那接下来我如果告诉你这个角是二十度，那么 o d 可以 用多少度来表示？那你还是要看它从始位置 转到这条红线，沿顺时针方向逆时针方向转过多少度角二百五十度。为什么二百五十度呢？你看嘛，那这个角是二十度，那么九十点二十，这个角是不是七十？好了，那么他从初十位置是不是转一百八十度，再转七十度？转了一百八十加七十，转了二百五十度， 二百五十度。所以我一定要从初十位置开始看，那么他就可以表示成二百五十度，到这也没有问题。好，那么最后外轴副半轴这一条射线可以用什么来表示？ 它相当于转了三个九十度，这可以用二百七十度来表示。好，那么我如果告诉你这有一条射线，哎，这有一条射线，那么这个角是比如说四十度， 那么这条射线可以表示成什么？你可以认为它从出使位置转过了二百七十度，再加五十度，它可以表示成三百二十度， 你也可以认为，你看我们不是规定了正方向吗？那么这个顺时针方向是不是就是负方向？你也可以认为他从数值位置转过了负的四十度，所以他也可以表示成负四十度。 这就是为什么我们要规定正方向，因为正的就是加，负的就是减。好吧，那么到这我们就实现了数与形的结合，这个数是什么数就是角度，形就是什么形？就是从原点引出的 射线的位置竖形进行的结合。好，这是第一角坐标系里面我们进行了线角的对应，竖形的结合。那么接下来为什么要这么干？ 因为你一旦给了每条射线一个角度的位置，那么我计算线与线之间的夹角就变得非常的简单了，我计算线与线之间的夹角就只需要干什么？大家想想只需要 做差是不就行了？这就有点像你数轴上有一个点 a， 有 一个点 b， 那 么你要算 ab 之间的距离， 我是不是就是大减小？做差就是 a 减 b， 做差就行了，对吧？你看又是一次竖形结合，又是和竖轴的类比，就是这块你理解，理解的时候，你就把这里面的点和这个线，这个点的位置和这个线的位置是不是对应起来，而这个 b 和这个角度是不是就可以对应起来，就是完全类比竖轴思想。 哎，我们来用角度和射线建立起来位置关系，注意，我假设 a 大 于 b 啊，先假设 a 大 于 b， 就是 a 减 b， 对 吧？好了，那么注意，我们线线的夹角做差，但是这个做差一定是大减小。 为什么说一定大减小？因为我们要的角度它一定是一个正数，没有问题吧？它角度一定是一个正数，所以一定要用大减小。所以你要求这两条射线的夹角一定是用，一定是一个正数，所以一定要用大减小，所以你要求这两条射线的夹角一定是用，一定是用一百二十减三，十就是什么？就是九十度， 对吧？你要算这两条线的夹角是四十五减三是十五度，那么接下来才会遇到大家刚才所说的问题， 你建立的角坐标系，每条射线都有一个角度作为他身份的唯一标识了。这个时候如果我要算 这两条射线之间的夹角，大家看一下，如果纯粹做减法会不会有问题？我要算红的、黄的这两条射线的夹角直接做减法会不会有问题？因为我们初中阶段所说的角一定要小于多少度，一定要小于一百八十度， 对不对？如果你直接做减法，这是二百五十度，这是四十五度，你直接做减法会减出来一个二百零五度，这是这个角，这是，这是二百零五度。但是我们说两条射线的夹角看的不是这个角，看的是他对面的这个角。 所以当你会发现，当你发现你算出来的这个数值大于一百八十度的时候，就是你们刚才所说的大于一百八十度会有问题了。那怎么办？ 我要的是这个角，我用多少度把二百零五度减掉就行了，我用三百六十度减掉行就行了，这就是三百六十度减二百零五度，这才是我们要的角， 这就是你们刚才所说的平角突破的问题，所以你不能去混淆，你要平角突破一定是首先有了线和角度的对应，你给了每条线一个数值了，你这个时候做减法，你要做的减法，做完减法以后，如果大于一百八十度就不是我们要的了，所以 这里线线夹角做叉做叉，注意一定是大减小，同时你要注意大于一百八十度怎么办？要用三百六十度减掉它才可以，那你可能会不会有这样的疑问，马哥，你说角度不能大于一百八，那你这里面不是有二百五 哎，二百五不是大于一百八了吗？注意，这个二百五十度标明的是线的位置，线的位置可以是二百五十度，甚至线的位置可以是我们刚才所说的负四十度，这都没有问题，这是线的位置，但是我一旦说到角的大小，它一定是小于一百八十度的， 把这两个能不能分开？我一旦说两条射线的夹角一定是小于一百八十度的，把这两个能不能分开，这一定要想清楚啊。这个二百五十度，这是线的位置，线的位置 可以大于一百八，甚至可以是负的，它表明线的位置就行了。但是我要说两条射线的夹角，线线夹角，两条射线的夹角必然小于一百八十度。你随便画两条射线，我说的角一定是这个角， 他是不可能大于一百八的，所以一定要弄清楚。在这你要玩这种进阶性的问题，就得把他的每一个细节想的非常透， 一点不能，都不能四舍二入，一点都不能混淆，一混淆就会出现我在讲这那个那些基础题型的时候，大家出现的那那堆问题，你只听了一些名词，但是没有真正的懂。线的位置零到三百六十度，甚至负的都可以，线的位置零到三百六十度，甚至是负的都可以，但是脚的大小， 两条射线的夹角的大小必然小于一百八。好，来再来。我现在要算蓝线和红线的夹角，我是不是首先应该用二百五十度减掉三十度，二百二十度得到的是这个东西， 但是呢，我要射线的夹角要的不会是这个角，要的是这个角，是再应该用三百六十度减二百二十度，他一定最后要做减法，对吧？所以这里面要注意，线线夹角一定小于一百八十度，做差一定是大减小， 那么大于一百八十度就要用三百六十去减掉三个注意事项，三个注意事项缺一不可，这块一定要耐住性子把它听明白。好 来，我们接下来再说一个问题。这首先坐标系里面线角对应线的位置，用角度来表示，大家懂了，接下来任意两条射线之间的夹角要注意三个，我们说任意两条射线夹角一定小于一百八， 算就是作差大减小，但是大减小，如果你剪出来的那个数值大于一百八了，用三百六十度把它剪掉。好来第三个问题， 第三个问题，角平分线，这个时候你会发现算角平分线也很简单了，他可以直接用一个公式来算了，这个公式怎么来？咱们来推导一下假设，比如说这两条线的加角，这两条线的加角的角平分线我设为 o m， o m， 对 吧？那么我假设 o m 所对应的那个角度是阿尔法度，那么这个阿尔法怎么来算呢？我们来推导一下这个公式，这一部分角度是多少度？是不是阿尔法减三十，阿尔法减三十， 对不？哎？这一部分角度我也可以用大减小，因为角分线它的位置是确定的，大减小这个就是一百二十度减 r 法。 然后呢，这是角分线是不是有一个等量关系，就是一百二十减 r 法等于 r 法减三十，整理一下，整理一下一个项，就是 r r 法等于一百二十度加三十度，所以 r r 法就等于二分之一百二十度加三十度。所以你要计算两条射线的夹角， 你要计算两条射线的加角的角分线所对应的位置，是不是只需要把这两条射线的角度相加处样？ 我们刚才所说，你要把这里面的射线和点对应起来吗？射线和点对应起来，那么射线的角分线啊，比如说这是，这是五啊，这是九，这是两个点，那么射线的角分线其实对应的就是两个点的终点，而终点有一个终点公式是什么？就是二分之五加九， 一模一样。看这里面数轴上的点对应到这里面射线的位置，那么这个数值对应着这个角度 是不是一模一样的？对应对跟坐标一模一样。所以在这里每一次学习的时候，你怎么样才能把它理解透？你把这里面的每一个环节都跟数轴上的点和数的对应关系去进行类比， 你在这个类比的过程当中就特别能体会到为什么要竖形结合，因为竖形结合以后，你会发现我算这角分线，算这些线就太容易了，有线了我再去算角也非常容易了，不是每次都需要画图的， 因为有了竖的概念了，我们把把这些线的位置跟竖一一对应起来了，我最后在竖的层面解决它就行了。再接下来这个角分线公式，其实就是角的两边相加处样，角的两边相加处样好，但是这里面也会有问题，看好了， 按照这个逻辑，我如果算这两条线的夹角的角分线，这两条线的夹角的角分线会算出来是一个多少度？算出来会是一百四十度，对不对？看二百五十度加三十度，二百八十度除以二一百四十度。一百四十度在哪呢？一百四十度在这呢，这是一百四十度， 他有没有平分？有平分，确实这两个角相等，但是我要这两条线的加角，我们说这两条线加角的角分线，他指的是这个角的角分线， 不是这个，这这个角的角分线，他指的是这个角的角分线。所以要求的其实是什么？其实是这个一百四十度的什么反向延长线。所以当你用公式相加除以二，算出来一百四十度之后， 你应该再怎么样，你最终要的是他，他应该再怎么样，我要的是这个线的位置，不是角度大小啊，线的位置。角分线公式求的是角分线的位置，我要的是角分线，这是一个线，线要的是位置，不是角度， 位置对不对？应该是怎么样？是不是一百四十度再转一百八十度才能转到？我真实要的这条角分线应该是一百四十度加一百八十度， 这才是这条线的位置。我们说求角分线，求的是角分线的位置，所以在这里你每一次都要想特别明白，我到底是要角还是要角的两边的射线的位置， 这个事一定要弄明白。一个是一个什么线，线的这是夹角，角分线，这是线，线要的是位置，角要的是角的大小。所以这些在这你就一定要特别特别清楚，这个夹角其实对应的是什么？对应的是竖轴上的两点间的什么东西。 想我但凡说到夹角，在这个角作标记当中说到夹角，夹角是就对应着竖轴上的两个点之间的什么东西，距离非常棒 数轴上两个点之间的距离，这是，这是五，这是九，我要的距离是九减五十四，这是距离。那么这里面什么？这里面的我要的线与线之间的夹角，其实也是线到线所转过的距离。所以我说嘛，这个东西纯粹就是一个拓展， 你完全学有余力，你再去玩，如果没有完全学有余力，你连看都不用看，他完全是超出我们的初一真实的能力范畴的好吧？所以角平分线公式，首先是两边相加除以二， 但是同时你要注意，如果原本的那个数值已经大于一百八了，那你就要注意最终再得加一百八十度。 来，我们再举一个例子，比如说我要算这两个夹角的角分线的位置，我要算这两个夹角的角分线的位置， 怎么办？就是相加除以二，再来一百八，你看，首先你要算这两个角分线的位置，我用二百五十度加四十五度，应该是二百九十五度， 二百九十五度除以二算的是哪条线？二百九十五度除以二，算的是这条线的位置，对吧？他俩相加除以二，二百二百五十，二百四十五，就是二百九十五度除以二，你算的是这条线的位置， 但是其实这两条射线之间的夹角是这个角，这个角的位置应该是这条射线的反向延长线，所以这个位置是什么？就是这个度数再加什么， 再加一百八十度，所以最终这两条之间，这两个线之间的角分线应该是二分之二百九十五度，再加一百八十度， 这才是他两个之间的角分线的位置。那么再另一个来算一下这两个这两条射线的角分线的位置，这两个圈线的角分线的位置， 这两个圈线的角分线的位置。哎，你会发现，因为这是一个小一百八十度的角，那所以就直接算了，直接算这两个圈线的角分线的位置，就是在它中间吗？就是一百二十度加二百五十度，就是三百七十度，三百七十度除以二就好了，二分之三百七就等于多少一百八十五度， 明白了吗？你看，你，当你算过的算的这个角没有大于一百八十的时候，你算的角分线的位置是没有问题的。当你算的这个角大于一百八十的时候，你角分线，哎，就得再加一百八。到这我们复盘一下，你看我到这都还没有给大家带参数呢。到这是建立最根本的认知。建立了哪些认知？ 首先规定了初始位置，规定了正方向，那么每一条从原点引发出射线的位置都可以和角度是一一对应的， 而这个角度，这个角度是一个数值，不是一个角的大小，所以它可以是零到三百六十度的任何数字，甚至可以是负的啊，你认为这是转过来四十度，逆时针转四十度，那要反方向转四十度是负四十度，正的负的，零到三百六十度都没有问题，这是线的位置，位置 和一个角度一一对应，这是第一个点，相加等于一百八，有没有问题？那就是你哪边都行。相加等于一百八，你哪边都行。就是我们不会去讨论这样的角的角分线的， 那你这样的角角分线，你这边这边不是都可以，对吧？我们不会讨论的，我们讨论都是小一百八十度的角的角分线。好，这是第一线的位置好，来第二线与线的夹角， 线与线两条射线的夹角，这个一旦说到夹角，那么他永远是小于一百八十度的。 我说到线与线两条射线之间的夹角永远是小于一百八十度的，计算的时候就是做差，做差一定要大减小。但是如果你剪出来的数值是大于一百八的怎么办？你得再用三百六十度剪掉 来在这看一下，你看要算这两条线之间的夹角的位置，就是四十度减，三十度减就行了，十五度没有问题。算这两条射线，这两条射线的夹角就是九十度减，四十度减就行了，没有问题。 算这两个减就行了，也没有问题。但是如果你算出来的数值大于一百八会怎么样？如果你算出来的数值是大于一百八的，比如说二百五十减，三十大于一百八，二百二十度，那说明你求的是这个角，但是我们要线与线之间的夹角，要的是这个角，这个角就用三百六十度把它减掉就行了。 你要算线线加角一定小于一百八，大于一百八就用三百六十去去减就 ok 了。来最后一个角分线的公式，你注意求角分线的公式求的是什么？求的是角分线的位置 角，用角分线公式算的是角分线的位置，所以这个位置是零到三百六十度的任意，这一定要清楚你算的是啥，算的是线的位置。那么接下来你比如说啊，我要算这两个之间的角分线， 哎，这没有问题，那你就直接算吧，这两个之间的角分线， o m 的 这个位置就是多少，就是二分之四十五度，再加三十度，就是两边相加除以二就行了，对吧？你要算这两个线的位置，也没有问题，也没有问题，这两个线之间的位置就是这条线，这条线就是， 这是四十五，这是一百二十，这是二分之四十五，加一百二十，这也没有问题，对吧？你只要算的是小于一百八十度的角的角分线，它原本加角小于一百八啊，你算角分线都没有问题。但是如果你算这两条线的角分线，你直接相加除以二，算的是这条线， 算的是这条线，那么这条线二百五十四十五度，加起来是二分之二百九十五度。你算的这条线显然不是我们要的，因为我们看这两条射线的夹角，看的是这个角，他两个角分线的位置在这呢， 对不对？所以就是这个角的度数再加一百八十度，所以真正的角分线应该是 o m 是 二分之九二百九十五度，再加一百八十度，这就是角分线的位置。 线的位置来，最后我要给大家强调的，这里面你要首先理解线的位置，线的位置和角度是怎么对应的， 而这个角度，是啊，任意度数都可以零到三百六，负的都可以，对吧？而线线加角是一定是零到一百八线线加角阿尔法一定是大于零，小于一百八，为了保证他在这个范围内一定大减小， 对吧？然后呢，如果大于一百八，你就用三百六十度把它减掉。哎，这是第二个第三角分线公式是两边相加，除二 除以二。那么注意，如果大一百八，你就再给他加个一百八十度。如果你求的那个角度是大一百八十度角，你就要再给他再加一百八十度。哎，你算出来的这条线加一百八十度才是我们要的角分线。 你如果要接下来往下听，一定要保证这一页你全懂，因为接下来我们要去代餐，如果这一页你没有懂怎么办？你把马哥讲的这一部分反复去听，反复去理解，理解完了以后再往下走，就是一定要特别清楚线的位置和角度大小。 线的位置和夹角，这是两个概念，这个四十五，这个三十，这个二百五十度表示的是线的位置。我们只要说夹角是两条射线的夹角，就是零到一百八，你看嘛，你用这两条线求出来是不是这条线，而我要的角分线是不是这条线，所以要加一百八十度。 接下来我们就要去带上参数看动角了，对吧？好，带上参数看动角。第一个我们要首先要表示动线的位置，比如说 o q 从 x 轴正半轴出发，逆时针转，每秒转十度，那么转过时间 t 以后， o q 的 位置会不会表示 o q 的 位置就是十 t， 那 么这个 o p o p 顺时针转，每秒五度，转到 t 秒以后转到这里，那么这个 o p 动线的位置表示成什么？因为它是顺时针，所以它是要减，就是一百二十度减五 t， 顺时针加逆时针减，从它哪里开始运动呢？从那个运动的开始位置顺时针加逆时针减。好，这是第一步，我们会表示动线位置了， 会表示动线位置之后呢？接下来我表示动角，比如说我要表示角 a o q 来，我们刚才是不是说表示动角就是做差，所以这个角 a o q 怎么去表示？哎，那是不就做差吗？ a o q 就是 三十减十 t， 三十减十 t， 大家看一下有没有问题？这就跟你竖轴上求两个动点之间的距离要在绝对值是一样的，因为我始终要保持大减小， 这个随着 t 的 增加，这个 q 还有可能在 q 一 撇的位置，它依然表示出来是十 t 没有问题，但是这次十 t 就 比三十度大了，所以你要求的这个角就是十 t 减三十度，而 q 在 下边的时候是三十度减十 t， 所以 要给他带绝对值。 想一想，我表示 a o q 表示到这一步完了吗？没完。为什么没完？我刚才说了，表示角的时候是不是一定要注意大约八八的前角？那如果你这个 q 漂跑到 q 两撇的位置， 如果这个 q 考跑到 q 两撇的位置，这个 o o q 的 表达式依然是十 t， 这个是没有问题的，对吧？但是你这次用十 t 减三十算出来的就是哪个角，十 t 减三十算出来是不是这个角， 算出来是不是这个角，对不对？但是我们要两条射线的夹角，要这两条射线的夹角要的是哪个角？要的是小一百八十度这个角，那怎么办？是不是我再用三百六十度剪掉， 减掉十 t 减三十，哎，这个时候十 t 减三十就不用带绝对值了，因为它一定是转过去了，转过去一定是十 t 更大，所以你会发现角 a o q 还有一种可能性是三百六十减十 t 减三十。 那么到底是上述的哪一种呢？你得看临界状态，这个临界状态 就是十 t 减三十刚好等于多少度的时候，我们说大于一百八是不是大于一百八？是不是下面这种情形小于一百八是不是上面这种情形？那么十 t 临界状态就应该是十 t 减三十刚好是多少？对，就是一百八十度嘛。你算一下 t 是 不是就等于多少？ t 是 不是就等于二十一秒？ 这就是刚好 o q 和 o a 平角的时候，大于平角的时候，是不是就要用三百六十去去减？小于平角的时候是不是就是上面这个表达式？所以你最终表示这个动角 a o q 第一种情形，第一种情形就是 t 大 于零，小于 二十一啊，或者小于等于二十一。第二种情形就是这个 t 大 于二十一，小于二十四，因为人家要求的 t 的 总共运动时间是小于二十四，所以这就是第二种情形。 临界是什么意思？临界就是 o q 刚好在哪里？ o q 刚好在 o a 的 反向延长线上，这就是临界。在这个临界之前，用十 t 减三十就可以了，在这条线之后，当 o q 在 这条线之后，你算出来的这个角就大于一百八了，我就要用三百六十度把它减掉。 所以你会发现我为什么要这么去做？我这么做最后的结果就是我要表示一个角，只要我把线表示出来了，其实我都整个过程是不需要去画图的， 整个过程我根本就不需要去画图，现在我只是为了让大家理解，我去画了半天图，但是你到最后，当你把这一切东西都理解了之后，你要去表示这个角 a o q， 就只需要怎么样，你把 o q 表示好，把 o a 表示好，把 o q 表示好，然后直接分类，把临界状态算出来，一种情况，两种情况，还需要画图吗？就避免了画图了。这些东西才是我们解决动角问题的基础，你要先提升认知， 提升认知首先要把射线的位置和角度的大小去对应起来，这是第一。第二你要会算夹角， 会表示夹角，你没有这些，你直接去听题，那就是在扯你不可能听懂的，你如果连一个角度都表示不了，你说你去，你去听题，你不可能听懂的。接下来我们表示一个动角，咱们再试着表示一下角角 a o p 吧。 我们再表示一下角 a o p， 咱们做个练习，看能不能把角 a o p 表示出来。那我们首先知道这个角 a o p， 如果它没有大于一百八十度的情形，就应该是什么，就应该是用一百二十减五 t， 再减三十来带上绝对值，就等于九十减五 t 的绝对值，就等于九十减五 t 的 绝对值，对吧？但是你能这么算的要求是什么？能这么算的要求是这个角是小于一百八十度的，所以你得算临界状态，临界状态就是哪里，临界状态就是这条线，转转转转转，转到它的对面去了， 转到它的对面去了，对吧？那么过了这条线，你算出来那个角就大于一百八了，所以这个是临界状态。临界状态应该什么？这就是一百二十减五 t， 对 吧？这个角的大小，这个角的大小等于百八，就是临界状态，所以要用三十把它减掉，算一下临界状态。临界状态就是三十度减去一百二十度减五 t， 这是临界状态等于一百八十度， 对吧？这个我们算一下这应该是多少？负九十度加五 t 就 等于一百八十度。负九十度加五 t 等于一百八十度，那么五 t 就 等于二百七十度，五 t 等于二百七十度， t 应该等于五十四秒。 哎，临界状态五十四秒说明什么？说明不可能，人家 t 总共就二十四秒，所以根本就没有大于一百八的情景，所以只有一种可能性，就是 t 在 零到二十四度的范围内角 a o p 永远都是这个表达式，你看你需不需要再分一种类，是与运动时间的范围有关的。 我觉得如果还不明白为什么大于百八十度，要用三百六十度去减掉，你就看一下前面，你肯定是没有听前面的，你再反复问也没有意义了，一定要分，要把前面的听懂。好吧，你把不代餐的听懂，再来听代餐的。接下来我们来感受一下， 我们来感受一道题，我们刚才不是做了这道题吗？我们刚才做这道题是不是需要去画图？是不是需要去分类？但是呢，我们现在重新再做一下这道题，你看一下， 如果按照刚才就是我们先表示线，然后再用线去表示角，然后直接做叉去表示角度大小，其实你根本就不用画图了，你怎么办？你第一步先间隙，你看，那我就第一步，来，咱们一块试一下啊。第一步先间隙，哎，我以这个方向为 x 轴，这是 y 轴，这是零度，这是九十度，这是一百八十度，这是二百七十度， 对吧？接下来呢？啊，我就可以去表示角度了，因为他说这是一百四十度，这角分线，这是七十度，那么这也是七十度，那么这个时候 oc 的 位置就是多少度， oc 是 不是就可以用七十度来表示？ 而 o b 的 位置是不是就是用一百四十度来表示？来，这是，你看，这是第二步间隙以后表示线的位置，好，这是两条定线位置， o c 是 七十， o b 是 一百四，没有问题。那么接下来动线的位置，你看 c 开始从这开始转转十五度每秒，那么 c 转到 c 撇的时候，动线的位置来表示一下 o c 撇，它不就是七十度加十五 t 吗？ 对不对？那么同样 o b 撇是不是也可以轻松表示了？ o b 撇是不是就是一百四十度加十 t 嘛？ 对不对？好了，那么接下来它要 o b 和 o c 的 这个加角三十度，那不就是这两条线之间的差？那么第三是不是就表示动角了？ 因为这里我明确的要求这两条射线的之间的夹角是三十度，那我直接就减就完了吗？那是不是就是 o c， o b 的 夹角就是角 b 撇， o c 撇是不是就等于一百四十度加十 t 减七十度加十五 t 的绝对值，因为谁大谁小？不一定，因为我现在只要求它等于三十度，所以根本不用考虑一百八十度的情景，那么就是这个数值等于多少，就等于三十度。 列出来这个方程，整个解方程是不是问题就结束了？什么时候考虑一百八？就是这个数值有可能大于一百八的时候，我再考虑一百八，现在我要求它等于三十，我就按三十算，肯定不用肯定，不用再想别的了。那么这个绝对值方程其实就是两个方程，我可以化简一下这里面是多少，这其实就是七十 减五 t 的 绝对值，就是七十减五 t 的 绝对值就等于三十。那么就是两个方程，就是七十减五 t 等于三十 t 就 等于八，然后七十减五 t 等于负，三十 t 就 等于二十。哎，你看 我就直接线表示好，角表示出来绝对值等于三十，列个方程整个问题就结束了。 是不是就避免了我中间整个过程的画图分析，导角，整个的过程全部省掉了，而且整个过程其实我连图都不用画 分类，直接通过绝对值就分完了。那么最后我们来明确一下，就是用这种间隙法来做这种动角问题，就是三步，第一步你先建出系，建完系以后就可以表示线的位置，有了线的位置就可以表示动角，有了动角，他最后无外乎问的都是角度之间的关系，我就通过角度之间关系列方程就行了， 表示动脚。接下来就是列方程。好吧，你必须把今天我前面讲的所有的东西反复去吃透，反复去品一品，你可以下来怎么办？其实你就可以给自己出题了 啊，我先建一个系，对不对？建一个系，然后我随便来一个假设，这个 o a 啊，是三十度，对吧？来一个 o b 啊， o b 是 多少？ o b 是 一百三十度，对吧？你看，这是首先建立线和角的对应关系，这是零度，对吧？间隙，间完隙以后呢？接下来我再给动线，对吧？动线，动线，从这开始啊，十 度每秒，哎，那我表示他就是十 t， 对 吧？然后我再再来一条动线，动线，比如说这有一个，这有一个 p， 这有一个 q， 对 吧？啊，那从这开始啊，每秒，每秒五度，那么这条线就是一百三十 减五 t， 这是第二步，一百三十减五 t 就是 这条线的位置，对吧？好了，有了线的位置以后，接下来我尝试就表示一些角，对吧？你可以表示啊，任意的角，你给自己看一看，对吧？比如说我要表示这个角，这是表示动角，对吧？这是表示动角， 表示冻脚的过程当中，你去考虑他的临界状态，临界状态应该长什么样，自己画画图，自己去感受一下，一定要把这些东西玩透了，你才有可能去研究。接下来的我所讲的就是天花板级别的冻脚问题， 如果这些东西没有吃透，你就先把这些搞透，如果你觉得这些东西已经超出你的能力范围了，你就可以整个把它放弃了， 所以你要么就是把它玩透再往下玩，要么是整个放弃。不存在说你，你大概听一听，你大概听一听，只会让自己越听越挫败。好了，那么我们前面的这些铺垫啊，就说到这了，你看我们铺垫铺了哪些内容呢？首先你得知道射线和角度的对应关系， 然后你得知道射线之间的夹角应该怎么去计算啊？大于一百八的时候，带绝对值的时候应该怎么去处理？还有最后角分线的这个计算， 小一百八，大一百八，小一百八，直接上公式，大于一百八十度的时候，你要再算出来的那个公式，再加一百八十度好了，那么以上所有的这些你都听明白了，你才能开始做题，就你平常你看那种上来就直接给你干题的，你就绝对不可能听明白的。这整个前面那些 是你重新建立了对线的位置，对角的位置，对角的关系的认知，你这个认知没有建立起来，你再去做题，根本就是不可能做懂的，这就是为什么动脚问题，很多小伙伴花了很大的精力都没有明白， 因为你上来就做题，然后做题的过程当中给你抛了一堆新的概念，你怎么可能懂？你不可能懂的，对吧？马哥把这些东西给你拆开了，从不含餐的到含餐的，一点一点给你讲，你听起来都还费劲，更不要说你直接做题，你不直接挂了。所以呢，如果你现在确定前面马哥所讲的那些东西 你都已经懂了，你再开始听题，还有我再强调一遍，这个东西什么时候你研究就是纯粹的学有余力当娱乐，因为它是完完全全超出我们初一小伙伴对角的认识的， 它其实已经借助到了高中我们讲的这个角的概念啊，就是中使边中边角坐标写的概念。所以 你如果没有纯粹的学有余力，如果你其他就是基础型的还有问题，那我建议冻脚问题，你研究到马哥所讲的基础型冻脚问题就够了，后面你就不要硬弄了，对吧？就跟马哥之前给大家讲的，你不要在困难区去做事情，要在什么 舒适区的边缘拉伸区去做事情。所以呢，为了避免大家接下来听的很痛苦啊，我所以有以上的建议，对吧？现在你如果确定你对线的位置的表示，角的表示，角分线的表示，都没问题了， 咱们就来做题爽一爽。首先看第一个题啊，第一个题他说什么呢？他说就是 m o n 是 一条横线，然后 b 从 n 开始十五度每秒， a 从 om 开始十度每秒，然后接下来他说 o a 是 某一个角的角分线，那咱先把这个先见个戏吧。我们说做这种问题，第一步是不是要先见戏， 对吧？先建立角坐标系间隙，间隙很简单，我横的就是 x 轴，竖的就是 y 轴，建个系，从这开始零度出式，位置也就有了，那么这个时候 o b 就 可以表示了，对吧？ o b， o b 来表示一下就是多少，假设时间为 t， o b 就是 多少， o b 就是 十五 t， 对 吧？然后呢， o a 是 多少呢？ o a， 其实那你会发现它逆时针转了十 t， 所以 就是一百八十减十 t。 好 了，间隙 来第二步表示了动线的位置，线位置，接下来一定要去看时间范围。这道题比较仁义的是他给了一个 t 小 于等于十二，来想想 t 小 于等于十二会导致什么情形，因为 t 小 于等于十二，导致 b 最多转过一百八十度角， a 最多转过一百二十度角， 所以旋转角都小于一百八。所以什么呢？所以这两条线都不会转到下边去，意味着接下来我们考虑的所有的角度都是小于一百八十度的， 所有角小于一百八，为什么呢？再说一遍，因为他最多转一百八，转到这他最多转一百八，最多才绕一百八十。所以接下来你要考虑的所有角都都小于一百八， 所有角都小于一百八，那就非常简单了，那我们要考虑的那些大于一百八的情形就都不存在了。好了，接下来 o a 是 某一个角。第三，哎，我们看角分线， o a， o a 是 某一个角的角分线来，这是 o a， 这是 ob， 那 你说 o a 是 某一个角的角分线，其实就是两条射线的角分线吗？它可以是哪两条射线的角分线呢？它可以是 omob 的 角分线。你看这个 o a 是 不是可以是这两条红线的角分线 啊？ o a 可以 是这两条红线的角分线。好，那么 o a 是 o m 与 o b 的 角分线，而 o m 与 o b 的 角分线是不可以表示的， 就是十五 t 加一百八除以二二分之十五 t 加一百八十，这是 o m， o 与 o b 两边相加除以二。而他又说 o a 是 不是就等于一百八十减十 t， 我是不是就得到了一个关于 t 的 方程？你看这是 o a 的 表达式，对吧？ o a 一 百八十减十 t 就 等于什么十五 t 加一百八除以二，就是这两条线角平分线。 好，那么这个我就不算了，大家下来自己算吧。还有一种可能性， o a 还可以是谁的角平分线？来 o a 观察一下，还可以是哪两条线的角平分线？ o a 还可以是 o n 和 o b 的 角平分线，它还可以是这两条绿线的角平分线。有的小伙伴说，哎，那这个 o a 在 这呢，显然不会是这两条线的角平分线，那不一定，这个线是可以转过来的，它是往这边转的， 它是往这边转的，很有可能它转转转转转到 o b 和 o n 之间了，它是完全有可能的，对吧？所以它还可以是 o b 和 o n 的 角平分线， 对吧？而 o b 和 o n 的 角分线也很容易表示，因为这是零嘛，这是十五嘛，所以它就是二分之零加十五 t， 对 吧？它就等于一百八十减十 t。 看角分线和 o a 相等来，我这样的话，是不是就得到了两个关于 t 的 方程？解这两个方程就可以得到最后的答案了，方程大家自己解吧。我就不解了，人家还有一个，那么 o a 能不能是 o m 和 o n 的 角分线呢？人家说不行，人家说要小于一百八十度， 好吧，对吧，这就是角分线公式嘛，两边相加除以二嘛，两边相加除以二嘛？角分线公式。那你会发现到这呢，这个问题我们已经解决完了，这个问题解决完方程我不解了啊，咱们不讲解方程了，那么我只讲列方程就是。最后你会发现，这样做最大的好处是， 其实我根本就不用画图，我也不需要把这个 o a 平分它的图画出来，我只需要能够表示两边，能够表示角分线。然后呢，角分线的这个位置有啊，他让他俩相等，直接得方程就结束了，这就是这种做法的这个优势所在。当然了，你说这道题它能不能通过自己画图把这个弄出来？可以的， 但是你会发现你要画图，你要标角，它的整个复杂度会高很多。接下来我们来看第二个题啊。第二个题就稍稍复杂一些，首先它最后的这个等量是角 a o c 等于角 e o b， 那 我最后的所有的任务就是先把这两个角度表示出来，而要表示这些角，我就首先得有线的位置。 所以呢，第一步，间隙间隙，让这为处是位置零度啊，那么这个方向是九十度至一百八至二百七。间隙间完隙以后，就开始表示线的位置， 对吧？表示线的位置来，一步一步来。首先他告诉我们这个 oc 是 角分线，但是我现在并不知道 a o b 是 多少，又告诉我 o e 是 角分线，所以 o e 的 线的位置就可以表示成多少啊。求替，求替，求替， o e 这条线的位置就可以表示成多少。咱们一条线一条线来啊。好， o e 这条线的位置就是四十五，没问题，对吧？好， o e 如果是四十五，谁就出来了， o a 就 出来了嘛，你看四十五再加八十五， o a 就是 一百三， o a 是 一百三出来了，那么最后 oc 是 不就有了？ oc 是 a o b 的 角分线，所以就是一百三，加零除以二，这是六十五。好，这是把里面的定线先表示出来了。好，那么接下来表示动线，这个动线你比如说 oc， 它是从这个六十五度的地方开始，每秒十度， 那么 t 秒以后是不是就应该是六十五加十 t， 对 吧？表示动线， oc 就 应该是六十五加十 t。 那 么同样的 o e 从四十五开始，它是顺时针，就应该减，就是四十五减五 t 定线在上面表示了动线，我们带着 t 把它表示出来，那我表示了动线，就是为了去表示夹角嘛？表示夹角，来，我们一个一个来，首先就是这个夹角，角 a o c， 角 a o c。 角 a o c 是 哪两条线的夹角呢？角 a o c 是 o c 和 o a 的 夹角，对吧？角 a o c 就是 o c 和 o a 的 夹角，它就应该等于一百三十度减六十五加十 t 的绝对值。好，首先我用它和它的叉带上绝对值，这是第一步。这个绝对值就同时考虑了什么呢？同时考虑了 o c 在 o a 的 右侧和运动到左侧的情景。来到这儿，接下来要考虑什么？接下来我要考虑零件， 零件是什么样子呢？零件就是 oc， oc 在 右侧是不可能大于一百八的，只有可能转转转，转到下面来以后，有没有可能这个 oc 和 oa 的 夹角去大于一百八呢？ 那这个 oc 转到下来下面来以后，是不是是这个六十五加十 t， 对 吧？它转到下面来以后，有没有可能跟这个一百三的夹角差出来一个一百八十度呢？那我们就算一下零件， 算一下临界，临界就是六十五加十 t 减一百三十等于一百八十， 好吧，啊，那这应该是多少呢？这应该是十 t 就 等于三百一十减六十五，二百四十五，对吧？ t 就 等于二十四点五，也就是说这个加角等于一百八的临界状态的 t 是 二十四点五， 来，你观察一下，对于这道题来说，有没有可能大于一百八，对于这道题来说，它就没有可能大于一百八，所以临界状态达不到，那么 aoc 的 表达式就是一百三十减六十五加十 t 的 绝对值，所以你一定要考虑大于一百八的情形。好，这是一个， 那么另外一个呢？我们再表示一下这个 e o b 角 e o b 就 等于什么呢？就等于啊，这是就是 o e 和 o b 的 加角， o b 是 零嘛， o e 是 四十五减五 t 嘛，所以 e o b 就是 四十五减五 t。 来，同样的道理，你想想这个东西有没有可能大于一百八？也不可能，因为你看吧，时间才二十四，二十四乘以五才一百多一点，一百多一点和这个四十五去减，怎么都减不出来大于一百八十度的角，所以这个也没有大于一百八的可能性，所以你一定要考虑 t 是 小于二十四点五的，这个条件是非常重要的。 好了，所以通过以上的讨论呢啊，我们就知道了，角 a o c 就是 一百三十减六十五减十 t， 而角 e o b 呢，就是四十五减五 t， 因为它们都没有可能大于一百八十度，所以我只需要用绝对值号带上啊，就是把谁左谁右，谁大谁小这个问题解决掉就 ok 了。 好了，加角都表示完了，加角表示完了以后，人家要的是 a o c 等于五分之四倍的 e o b， 所以 e o b 我 也可以给它搞出来五分之四倍的 e o b， 就是 这个或乘以五分之四就是三十六减四 t 到这加角全部表示完，那么再接下来我就去列方程了啊，就是列方程了，列方程就是 aoc 等于五分之四倍的 eob， 就是 去解这个方程。看，这是，这是 aoc 吗？这就是五分之四倍，这是 aoc 吗？角 aoc 吗？这个东西就是五分之四倍的角 eob 吗？ 对吧？就是解这个绝对值方程。那么解这个绝对值方程，其实就是解两个方程，一个是六十五减十 t 等于三十六减四 t， 另外一个是六十五减十 t 等于负的三十六减四 t。 把这两个方程一解，整个问题就结束了。好，那么最后的答案就是多少呢？最后的答案就是 t 一 等于六分之二十九， t 二等于十四分之幺零幺。好了， 那么这就是一个标标准准的从表示动线到表示夹角，到通过夹角关系来列方程的一个过程。这个过程你不要小看这道题，这道题看起来我们这么做不是很麻烦，但是你要注意，就光这一个绝对值号代表几种可能性，两种可能性， 这又是一个绝对值号再代表两种可能性，两种再带两种。你如果真的去画图，这道题几乎已经到了画不出来的状态， 就是这道题你要是不去怎么样？你要是，你要是不按我们这样去做，你如果想着通过去画图，去探索一类类，把它画出来再去算，这几乎已经做不了了，你就是做了，你就是找到了两三种， 也总有一种不知道有没有找全的感觉，但是我们这么做，你就是非常确认他就是这些可能性，所有的可能性我都考虑完了， 好了，所以再明确一下，首先间隙，间隙以后表示定线，表示动线，有了线就表示夹角，有了夹角啊，夹角好了就是带进去的方程就行了。对，所以我反复给大家强调，所以我一边听一边劝退大家，就是如果你不是学有余力，当做做游戏，当做一个能力拓展，非常的开心，非常非常的好玩， 这类问题就不要碰了，你把马哥讲的基础型动脚问题解决了就行了，进阶型的动脚问题就不要碰了。而且这种东西我再给大家说就是除了你在初一的目前你会遇见， 过了初一再也看不见这种题，过了初一再也看不见。首先就不可能没有 t 的 取舍范围，如果没有 t 的 取舍范围，答案有无数个，你必须到了高中才有可能解决， 答案会有无数个，明白了吧？因为它可以一直转，它可以一直转，你，答案会无数个，所以不可能没有 t 的 范围。就是我们在初一，为了让小伙伴能够解决这个 t 的 范围，一定会保证两条射线都不要转超过一圈， 这是必然的，所以不用考虑没有 t 的 范围这种可能性。好了，来继续看看这个题，我们来看一下啊，首先还是先见信对吧？这零九十先见个信 啊，建完系以后呢，就是接下来我们考虑什么呢？考虑就是这个 o a o b 就是 零和九十，就不用管了。接下来表示动线嘛，这个动线，那么 o q 其实就可以表示成什么呢？ o q， 我 给你画出来吧。假设他转了一段时间，比如说转到这来了，那么这个 o q 就是 什么？ o q 就是 转一段时间，转到来这来了，那么 o p 就是 九十度减五 t。 来吧，兄弟们，这是所有的线的表示，一个是十 t， 一个是九十度减五 t， 对 吧？线的表示，那么线的表示以后，有了以后呢？那接下来我就是要表示这两个角嘛，那我要表示这两个角，哎，那首先一个一个来吧，先角表示角 b o q 吧，你看这个角 b o q， 角 b o q 应该是 o b 和 o q 的 夹角，它应该是 o b 和 o q 的 夹角，而 o b 是 多少？ o b 是 九十度， o q 是 十 t， 所以 这个角 b o q 就 应该等于九十度减十 t， 然后带绝对值。 好，接下来考虑这个东西有没有可能大于一百八啊？不可能，因为你会发现这个 t 是 小于二十四的， t 是 小于二十四的，十 t 就是 二百四。二百四和九十度作差，怎么都不可能大于一百八，对吧？所以它是小于一百八十度的角，它永远是一个小于一百八十度的夹角。好了，那就是我们第一个角 boq 就 完成了， 对吧？角 boq 就是 九十减十 t， 那 么由于人家这要的是二分之一角 boq， 我 提前做个准备，二分之一角 boq 就是 四十五减五 t。 来，这一部分搞定，这一部分搞定，接下来我要去表示角 p o q， 那 么角 p o q， 哎，角 p o q， 角 p o q， 它应该是谁和谁的夹角呢？就是 po 和 o q， po 和 o q， p o 是 多少？ p o 是 九十减五 t 嘛？ o q 是 什么？ o q 是 十 t 嘛，对不对？所以我 p o q， 角 p o q， 角 p o q 就 应该等于九十减五 t， 再减十 t 的 绝对值， 那整理一下，它其实就是九十减十五 t， 而九十减十五 t t 小 于二十四，这个角有没有可能大于一百八？这个有可能，因为这个十五 t 乘下来十五十五乘二十四，三百六了，三百六是显然可以减九十大于一百八的，对吧？所以这个时候要分类。好，所以我要表示角 p o q 啊，它是这个东西，它是九十减十五 t， 而十五 t， 当 t 比较大的时候，十五 t 算临界，十五 t 减九十是有可能等于一百八的，这个时候算一下 t 等于多少？ t 等于十八。所以角 poq 要分类分什么？第一，大于零，小于等于十八一类。 第二，大于十八，小于二十四，大于十八小于二十四，我们说这个角 poq 就 应该等于三百六十度，把它减掉。 好，那注意，这个时候因为 t 是 大于十八的，所以这个东西肯定是十五 t 是 大，九十是小的，所以它应该是三百六十减去一个十五 t 减九十，就等于四百五十度减十五 t， 好吧，所以这是 p o q 的 第二种表达式。接下来我们在两种情况下把 p o q 是 不是都表示完了？那么接下来，那么这个这两个都搞定以后，那我就开始列方程了。列方程就是 p o q 等于二分之一 b o q， 这个就是这个东西等于二分之一， b o q 等于这个东西，是不是得到一个绝对值方程， 对吧？然后你把这个绝对值方程一解，整个问题结束，这是第一种。然后第二呢，就是在这种情况下，就是它 p o q 等于二分之一， b o q 就是 它等于它，它等于它又得到一个绝对值方程，绝对值方程解完以后也会得到两个答案，好了来得到这四个答案之后，一二三四到这 观察一下，有几个是要的，有几个是不要的，只留两个，只留这两个，你看你一定要看的范围，零到十八，这是六点七五，这是四点五，零到十八没有问题，但是这十八到二十四这两个全超了， 对吧？所以我们算了半天，其实最终有可能的就是这两个，最终符合条件的就这两个，到这整个问题结束。 好吧，但是呢，你会发现这道题如果你不是像咱们这么做，你想一想你，你指望着通过画图把所有的情况画出来，你画多少个都不知道，还有没有下一个， 这是其一。其二这个东西就几乎已经复杂到你这两个可能性，这两个可能性，这再一个可能性，这你要画图，你得画多少种就不可能做出来，就是几乎是你用常规的方法就不可能做出来的。所以呢，你要解决这类问题，就必须要掌握马哥所讲的这整个一套体系， 动线的表示，夹角的表示，角分线的表示，前面的所有的基础有了全部弄透了，才有可能去做这个题。 你要是直接上来做这个题，你是绝对不可能做明白的，所以学习一定要知道你要具备什么样的基础。这个绝对值其实可以直接去的，没有问题，这个绝对值因为他是大于十八的，所以呢，这个直接就可以写成五 t 减四十五，这样的话就就其实就少一个解临界，怎么确定？你就看这个东西有没有可能等于一百八， 等于百八就是他的零件。就这道题，从你听懂了，到你真正能做出来，我就跟你说，你要是能够重复三遍，把这道题完完整整的答案算出来，你都是这个，信不信？兄弟们，就这道题你现在听懂了， 你下来，你把马哥的视频关上，你做到第三遍，能够把这道题完完整整的做出来，你都是这个。好，来接下来我们最后再玩一个角分线的题结束，好吧，这是 o d 从 o b 开始，每秒两个单位吗？每秒两度吗？ o c 从 o a 开始转每秒二十度吗？ o d 从 o b 开始，每秒两个度 o c 从 o a 开始，每秒二十度。好了，接下来我们第一步间隙，对吧？第一步间隙，间完隙以后，那么因为角 a o b 等于二十度，先把这个 o b 就是 零度吗？那 o a 就是 二十度吗？ 没问题吧？然后接下来表示 o d o d 就是 因为它从零开始，每秒两度，就是二 t， 那 么表示 oc， oc 开始，从二十开始，每秒二十度就是二十 t 二十加二十 t 线的表示完了以后呢？ 我首先得表示谁啊？ o m 平分角 a o c 注意不含平角，就是为了避免那个一百八十度的情形。 o m 平分角 a o c， 那 么正常来讲，那我接下来就是表示 o m 嘛？那么正常来讲， o m 就 应该等于什么？就应该等于等于二分之 a， o c 就是 o a 和 o c 两边相加就是二十，再加二十，再加二 t， 对吧？这是直接 o m 平分角 a o c， 那 么这是 o a， 这是 o c， 把这俩相加除以二，这就是角分线公式啊，不是等于啊，就 o m 的 位置的表示，就是这个东西好，但是你需要考虑什么？兄弟们，你需要考虑 o a 和 o c 加角大于一百八的情形， 那么有没有可能达一百八呢？显然可能，他每秒要走二十个单位呢，要走十七秒呢，对不对？他显然可以转到这边来，比如说 oc 转到这里的时候，这是 oc， 他 依然是二十加二十 t， 对吧？ o c 转到这儿，那么 o a 在 这儿， o c 在 这儿，你如果用什么用？用这个二十加二十加二十 t， 就是 如果你用二分之二十加二十加二十 t， 你 算的其实是 o m 一撇这条线，你看一条线在这，一条线在这，你把这两个相加除以二，算的是这条线。但是如果我们要这两条射线的角分线，要的是这个角的角分线，这个角的角分线应该是这个虚线的反向延长线，这才是我们要的 o m。 那么这条线应该是什么？应该是二分之二十，再加二十加二十 t， 再加多少？对，再加一百八十度。 所以你最终的这个 o m 的 表达式有两种，第一种就是当 o a 与 o c 交角小于一百八，就是这个，当 o c 转过一百八十度的时候，那么就是应该是这个表达式，这是一，这是二，那么它们的临界状态 t 秒能不能帮哥算一下啊？这是二十 t 啊， 二十 t 临界状态 t 秒能不能算上 t？ 应该等于几对九秒？那你就看吧，它是不是要刚好转到 o v 的 反向延长线上，相当于这个你看，呃，二十 t 二十 t 是 不是应该等于一百八十？ 二十 d 等于一百八十 t 等于九，就是刚好 o c 从这开始转九秒之后，这个夹角来到一百八十度，所以临界状态 t 等于九。好了，那我们来吧，那就所以呢，临界状态就是 这个，这个转过的加角，这个二十 t 刚好等于一百八十度的时候，算出来，临界状态是 t 等于九，这个 t 等于九。注意，人家不含平角，不含平角，就是这个不要的，对吧？我不要这个，不要。这个呢，就分两种，第一个是 t 大 于零小于九， t 大 于零小于九， o m 就 直接两边相加除以二。 第二种是 t 大 于九小于十七啊，因为不要等于九嘛，不要平角，不要平角就不要九，是吧？所以呢，它就是什么？它就是这个值，再加个一百八十。 好了，这就是 o m 的 两个表达式。化简一下，就是 o m 在 分别在两个时间段内的表达式。再往下我是不是要去表示角 m o d 了？要表示角 m o d， o d 是 二 t， o m 是 二十加十 t， 那 我要它两个去表示加角，就是作差，但是这次作差 o m 和 o d 大 小确定不确定？ 你做完叉以后什么表示？叫 mod？ 你 做完叉以后，二十加十 t， 再减二 t， 二十加八 t， 这显然是个正的，所以这次做叉做叉是不用带绝对值的，因为前面这个快，后面这个慢，所以就是 o m， o m 永远大于 o d。 那 么接下来就很简单了， 就令它等于多少，就可以把 t 求出来了，就令它等于八十。当 m o d 等于八十度的时候，那就是二十加八 t 等于八十，最后算下 t 等于二分之十五，二分之十五能不能要？能。要，因为在零到九的范围内没有问题，能要，对吧？好，这是第一种可能性， 那么第二种可能性是什么呢？第二种可能性是，我还是要去表示角 m o d， 这个时候 o m 是 二十加十 t， 而 o d 依然是二 t， 那么我 o m 减 o d 就是 角 m o d 就 等于 o m 减 o d 就是 二十加十 t， 二百加十 t 再减二 t， 这是个正的，没有问题，它就是二百加八 t， 这是个正的，一点问题都没有。但是你会发现你需要考虑什么了，你会发现这个角大于一百八了，你算出来的这个数值大于一百八了，说明你取到了这边了， 这个是二百加八 t， 说明你取到这边了。你最终是不是要用三百六十把二百加八 t 减掉？你是不是要这个角？这个角是不是等于三百六十减二百加八 t， 你 算二百加八 t， 是 不是算的两条射线的这个加角，对不对？这很明显，大于一百八算的是把它减掉，对吧？所以你任何时候表示加角的时候，一定要考虑大于一百八的形角， 对吧？一定要考虑大于一百八的情形。好了，那么接下来啊，那就是用三百六十把这个货减掉，最后算出来就是一百六十度减八 t， 而一百六十度减八 t， 那 么当 mod 等于八十时，八十就能一百六十度减八 t， 算出来 t 二等于十 t 二等于十，能不能要？哎，这也能，因为在九到十七十也没有问题。好了，那么我们通过这道题 就帮大家去练习了什么呢？去练习了角分线，以及在处理角分线的时候大于一百八十度。你看这道题其实挺好的，首先练习了这一部分是什么？这一部分是角分线的处理，右边是角分线大于一百八十度的处理， 对不对？然后接下来角度的处理，动角的处理，动角的处理，这是动角大于一百八的处理。 哎，是不是都练到了？这道题哥编的编的还可以吧，你看这道题，既练练到角分线，角分线大于一百八，又练到了动角和动角大于一百八，是吧？都给大家练到了，而且没有特别复杂。 好了，那么最后我们来看一下啊，看一下我们这几道题。这几道题你看马哥给你找的这些题，他分别在练习你什么能力？首先，第一道题 不需要分类讨论，纯粹的是一个表示角分线的联系。第一道题是一个纯粹的表示角分线的联系，且不分类且不分类，对吧？这是第一道题。 第二道题是一个什么？第二道题是一个纯粹表示动点的问题。纯动角，纯动角， 要不要分类？也不用分类，也不分类，因为都是小于尾巴的，都不分类。所以前面两道题，一个是帮助大家先练习一下角分线的表示，先练一下动脚的表示，都不需要分类。这是前面两道题，你要知道我每道题帮助你练什么，一个是纯角分线，一个是纯纯动脚，都不分类。 然后呢？接下来来到第三道题。第三道题是一个纯粹表示动脚的问题，但是要分类，纯粹的表示动脚表动脚， 但是要怎么样？要分类，哎，第三道题我给你加上了动角的分类，大于一百八小于一百八的分类， 这是第三道题。然后再来到最后一道题，最后一道题就是我们所有的东西都要考虑到了，表示角分线的时候 要分大于一百八的情形，处理动脚的时候要考虑动脚大于一百八的情形。所以最后一道题如果你做明白，做下来了，那么意味着这里面所有需要你注意的东西你就全懂了，但是要循序渐进，一步一步来。所以呢，就是马哥给你讲的这套动脚问题的进阶版。 如果你真的想弄明白，马哥的这套课程是足够你弄明白了，你把最初的定角怎么表示，定线怎么表示这道动线，动角，动角、分线怎么表示，然后再来通过这四道题，你是完全可以融会贯通此类题目的。如果你真的想这套课程可以帮到你， 但是前提是你有强烈的愿望，强烈的兴趣去搞这个，如果没有，我建议你什么？如果没有这么强烈的愿望，你把基础型动脚问题搞定就可以了。

本视频耗时一个月精心制作而成，总时长四十二分十六秒，带你一口气复习完七上最后一张， 期末考试又要来了吧，今天我们进行七上最后一张几何图形初步所有知识点总结以及重点题型梳理，我们一起来学习。关于我们几何图形初步，这里呢给大家分两个大板块，一个是我们的立体图形，一个是我们的平面图形。 关于立体图形，这里呢重点要讲什么呢？重点我们来学正方形的这个展开图啊，展开图这里呢是我们一种题型，而且还是有一些难度的，我们一起来学习正方体的展开图呢，请记住，一共有十一种， 那么这十一种呢，我们来分门别类的进行总结啊。我们这十一种展开图可以分为一四一型、二二二型、三三型以及一三二型， 什么意思啊？我们第一行有一个，第二行有四个，第三行有一个，这叫一四一行， 那么一四一行呢，一共有这样的六种，你怎么去记这六种呀？我们首先呢，这里啊站一号位，然后我们这四个呢排列好，接下来下面这一个呢，你可以在一号位，二号位，三号位和四号位都可以依次来一遍，这样不就出现了四个了吗？ 对吧？那么剩下的我们就可以来动一动第一行的，第一行的你可以把一号位动成二号位， 然后我们第二行的呢，你不能从一号位直接开始了，为什么？因为会有重复啊，所以直接从二号位和三号位开始，那一共就这样的六种，剩下的全部都是重复的了，这是我们的一四一型啊，这个也是最多的一种形式， 那我们剩下的就可以把这四个呢，让他哎减少一个，变成一三二型。那关于一三二型，这里的三和二啊，是固定的 啊，我们只需要让这个上面有一个的再占一号位，二号位和三号位，所以一共是这样的三种， 记住了吗？那剩下的我们的二二二型和三三型呢，各自只有一个，只有二二二三三这种排列的啊，这我们特殊来记就可以了，一共是十一种的展开图，大家按照规律去记，就不会记错了，那这里呢就会有题型总结了，请听老师的大招啊。 我们现在在判断展开图的时候呢，有两句话啊，可以快速帮我们判断出来，叫做一线不过四填凹七弃之。什么意思？ 我们一条线上这个展开图，你看无论是哪种形式，都没有超过四个的吧，对吧？最多就是四个小正方形了啊，所以说一旦出现了比四多的，那一定不是你的展开图，然后还有一些特殊的形状，比如说出现了我们的填字格， 如果有这种形式的，那一定不是我们的展开图啊。同理，如果出现了我们的这种凹字形，出现了我们这种七字形，这都是我们非展开图，而且比较常考的啊，看到这些特征之后呢，直接判断他不对就可以了。 好吧，那关于我们的展开图这里呢有一个非常非常重要的题型，叫做什么呢？我们判断啊，对立面 告诉你展开图了，来问你们啊，这个小正方形，它的一个对立面应该对着哪个啊？那么这会就特别考验孩子的什么呀，一个空间想象能力， 如果你但是有的小孩呢，刚开始就是他想象不到我怎么去找那个对立面，不可能考试的时候现场折一个，那是不可能的，对吧？其实也是有技巧有大招的啊，叫做两句话，同行隔一个，一行 z 两端来，记住老师，这个大招非常好用， 比如说举个例子，比如说我们同行隔一个，举一个例子，那这个小圈圈和这个小圈圈，那么这两个正方形在折回去之后，他就是一个对立面， 这就满足我们的同行隔一个，所以如果这两个面在同一行上，只要他中间隔着一个，这就叫做两个对立面，同理这里也是啊， 这个圈圈和这个圈圈，那就是同行隔了一个啊，所以这就叫我们的对立面，这是判断同行的那一行呢？如果不在同一行，叫做一行 z 两端，你去找这个 z 去啊，什么意思？比如说我们来看 这里呢，画一个 z 字形，那么 z 的 头跟 z 的 尾，这就是我们的一个对立面，这两个面呢，它没有在同一行上，对不对？所以你就不用套 同行隔一个了，咱们套的就是一行 z 两段，他是我 z 的 头和 z 的 尾，这就是我们的对立面，这个大招在解决问题用起来还是非常好用的，大家一定要记住这两句话啊。那么剩下的呢？还有一种类型，就是我们的三式图， 这个也是也很考验咱们孩子的一个空间想象能力啊。这个你就主要是你从你的这个主视图以及你的俯视图，你看到了什么样子，你就按照什么去画 好吧，尤其是涉及到一些什么，一些这个测试图，或者叫左视图和俯视图的时候，你就要去想象，你站在了这个物体的左面，你站在了这个物体的上面，还是有一些空间想象能力的。那这里老师提醒一点，如果你在你的视线当中，你能看得见的这些线呢？你就画成实线， 如果说有一些线，你是看不到，他也真正存在的啊，你从你的这个仕图里面并没有看到，那这种呢，一定要画成虚线，他也是存在的，只是你当下没有看到而已。好吧，画成虚线啊， ok， 那 关于三仕图这里呢，有一种比较难点的题型，就是已知告诉了你某些仕图，比如说告诉了你的主仕图和俯视图，举个例子 告诉了你这些仕途，让你给我判断这一堆小正方体，它到底有多少个，甚至让你判断最多多少个，最少多少个。这种题型应该已经见过了吧，还是有些难度的啊，今天老师教你一个大招去解决问题， 后面我们也会有这个这种题的，给大家重点讲解啊，叫做什么呀？叫做我们的地基法。哎，什么叫地基法？你可以想象一下，就类似于你搭房子，先铺好一个地基，然后一层一层一层往上去盖，怎么去盖？一会遇到题目，老师带着大家重点的来学习， 好，这是我们的立体图形部分，接下来呢，来到我们的平面图形部分，平面图形我们初一上学期啊，两个重要的线跟角， 这里首先上来呢，就会有特别多的概念变息类的啊，非常非常易错，一会我也会给大家去分享一些题目啊，大家好好去听。那关于我们线的概念之这个我们里面的易错点呢，会涉及到三种， 一个叫做我们的直线，一个叫做我们的射线，一个叫做我们的线段。这三种线之间啊，他的端点情况，延长线情况和表示情况，以及还有一个点再给大家总结，还有他的一个长度能否背肚梁的一个情况， 这是我们在考试当中比较啊，容易能够遇到的。来给大家画画这三种线啊，什么叫直线？你这样直直的划过来，没有任何的端点去限制，这叫我们的直线，所以直线是零个端点啊，并没有端点， 射线呢？射线你想象一下是从一个点发射，对吧？发射的感觉啊，所以射线呢，还是有一个端点的从这发射出去的，好吧，这里有一个端点， 线段呢，哎，线段呢，就是我们可以能够量出来它到底是多长，是两个端点在限制你啊，所以线段的左右两边都是有各有一个端点，所以线段是有两个端点情况。 然后接下来我们来看延长线，因为线段呀，是两头都堵住你了，所以你想要想做他的延长线是能够做出来的，对吧？比如说我们这样直接延长，哎，就能做出来延长线， 那或者说我这样来反向延长也能做出来延长线，所以说我们的线段呀，哎，既有延长线，又有反向延长线， 那射线呢，就是这样的，因为射线本身我在这一点发射出去之后，就已经是无限延伸了，我还需要借助外界的力量来帮我去延长吗？不需要了，所以说射线这里是没有延长线的，但是 因为这一头啊，有端点在堵着他啊，所以我们这一头还是能够画出来什么反向延长线的，所以说射线是有反向延长线，没有延长线，然后最后来到了直线，直线自由的很呀，没有任何的端点去限制他， 对不对？我想往右延伸就往右延伸，我想往左延长就往左延长，不需要借助外界力量。所以说啊，他没有延长线，也没有反向延长线。记得了， ok， 那 么剩下的我们来讲一讲表示啊，我们这三种线呢，都有两种表示方法， 你就可以理解为咱们一个人，他有可能有多个名字，对吧？他有个正名，还有个小名。那比如说我们的这个直线在表示的时候呢，可以用两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 那如果我们用两个大写字母来表示的时候，比如说我可以叫做什么呀？叫做它的直线 a b， 在这啊，直线上任意取两个点，注意这两个点你别堵住它了，因为我们的直线是没有端点的，那可以叫做直线 a b， 也可以叫做直线 b a， 这里是没有顺序的差异的 啊，都表示的是这条直线，但射线呢，射线你再给他起名字的时候就有限制了，因为射线本身是从一个点发射出去的，那你再给他起名字的时候啊，第一个字母呢，表示的一定是它的端点，这个你不要反了， 也就是说射线 a b 和射线 b a， 它俩不一样，代表的不是同一条射线。 ok， 那 么剩下就是我们线段，哎，线段呢，是有两个端点是限制的， 你可以叫做它的线段 a b， 你 也可以叫做线段 b a 啊，就没有顺序的差异了，都是表示这同一条线段。 最后我们来讲一讲这个长度的问题，也是我们考试高频的考题。来，我想问问大家，我说孙悟空在天上画了一条十万八千里的直线，你觉得这句话对不对 啊？有人上来可能觉得对了，在我们数学角度这句话是不对的，因为我们说直线是无限延长的，哪怕你足够长有十万八千米，但是呢，我们的直线在十万八千米的基础上还可以无限延长啊，也就是你在描述直线的时候，你不能说它的长度 到底有多长，他的长度呀，是不可以被度量的。好吧，你不能告诉我这条直线到底有多长，限制住他，这个考试特别特别易错，一定注意了。 然后接下来射线，同理，虽然有一个点在限制了我的发展，但是我另外一头很自由呀，我可以无限延长，对吧？所以射线这里也不需要啊，去给他讲长度，他的长度也是不能被度量的。 好，那么剩下就是我们的线段了，线段呢，它就有所限制了，两个端点卡住了我，对吧？它的长度呀，还是可以被度量出来的，所以你可以告诉我说这条线段有多长，比如说刚才那句话 啊，说孙悟空在天上画了一条十万八千米的线段，哎，这个就对了，好吧， ok， 这是我们的一个基本概念啊，关于它的一个区别，也是咱们考试比较爱考的 概念，变式类的一个题目。好，那么剩下的两个基本事实很简单，我们要考这两个基本事实就是考两点，确定跳直线，两点之间线呢，最短 你给他取一个啊，这种题做的时候小孩没有做错的好吧，亲啊，要记住啊，那么我们还有关于线和角这里呢，咱们学了一些尺规作图，做一条线段等于已知线段，做一个角等于已知角，这两个尺规作图非常简单， 当然我们尺规作图呢，也是在我们的新课标当中啊，我们要这个在新中考当中也是要重点去考的啊，所以后面呢也会给大家出专题啊，将我们的尺规作图。好，接下来关于我们的线段的中点， 线段的中点呢，类比于角，就是我们角的什么角平分线啊，这些在做的时候呢，概念类的也不难啊，就是有小小的易错点。比较难的就是什么呀，这里就题型，什么题型啊，我们就涉及到双中点题型， 还有我们角这里呢就是双角平分线题型，这两种题型呢是有什么是有大招可以帮着大家去解决的， 考试的时候非常快的，能够做出来题目，很节省时间，一会老师给大家进行分享。好，那我们角度的基本的定义，这啊啊，这个比较简单，没什么难度啊，我们在这个表示角的时候呢，是有四种方法，注意这四种方法呢，有的会有限制， 那如果我们表示用三个字母啊，三个大写字母去表示这里呢，叫什么呀？这叫我们的万能方法，你所有的角都可以这样去表示， 什么方法呢？就是我以这个角的啊，这个顶点 o 放在中间的位置，然后在角的啊，这两条射线上任意取一个字母，一个取 b， 那 你可以称为角 a o b， 也可以称为角 b o a 描述的都是这个角， 这是我们的万能方法，所有的角都可以用三个大写字母去表示。还有一些比较简洁的方法，比如说呀，我这个这个点 o 这里呢？我不在边上取点了，我直接叫做角 o， 可以 吗？这个图里面是可以的 好吧，但是它有一些小小的限制。什么限制？如果说呀，我从这个 o 这发射的不止一个角了，因为你现在叫角 o 就 描述不清楚了，角 o 到底是代表的这个角 还是这个角还是这个角嘞？咱说不清了，对吧？所以这种情况下，你必须用三个字母来表示了啊。 好，那我们还有两种呢，用我们的阿拉伯数字，或者用我们的希腊字母来表示啊，我们可以标一个一角一标个阿尔法，叫做角阿尔法，这个也很简洁，后续我们到了初二初三，几何学的比较难，角比较多的时候，可以用这种方法去表示。 它也有一个小小的限制啊，就是我们尽量不要跨角去标注，比如说还是这样的图， 你可以说这个叫角一可以的，但是呢，哎，你这个如果叫做角一的话，就不太啊， 不太对了，你跨角标注就不规范好不好，注意这个小小的限制啊。 ok， 这是我们一些关于线和角的基本知识。 那题型这里重点会给大家讲什么呀？像涉及到我们的双中点和双角平行线，以及我们线段的计算和角度的计算，是咱们期末考当中的占分大项，接下来呢，我们一种一种题型给大家进行梳理，一定要认真听。 好，我们先分享一道啊，期末必考题，叫做我们的展开图的问题，我们来看啊，这里告诉你，展开图呢，我们像要剪掉一个小正方形，那么剪掉之后呀，就能够拼成正方题了， 对吧？问，剪掉的这个小正方形不可以是谁？这里就可以很快用老师的大招我们来看啊，什么大招？因为你打眼一瞧就发现了什么，立刻发现了一个填字格。 老师刚才给大家讲了，你如果要判断是否为展开图，当出现填， 出现凹，出现七这种图案的呢，那都不是我们的展开图。 所以你要想减掉啊，变成我们的展开图，一定要在这个田字格里面去选出来一个，减掉一个，让他不不能变成我们的田字格，所以你可以选一，可以选二，可以选三啊，我们的前三个都正确， 好吧，一定要把它分开，所以这个题啊，我们不可以的，就是我们的四 d 了，你如果把这个四减掉了，那你就把田字格留下了，留下田字格还能变成展开图吗？ 一定不能了好吗？记住老师的解决方法啊，看到田，看到凹，看到七字形的都要给他叉掉，这种都不是我们的展开图，你学会了吗？ 好，接下来我们来分享一道找对立面问题。这种问题呢，一属于咱们期末必考。二、很考验咱们家娃的什么空间想象能力，有的小孩就跟老师说，老师，我真的想象不到他是怎么去折的啊，你考试的时候也没办法，我立刻给你拼起来呀， 怎么办也是有解决方法的，好吧，学会今天老师这个大招啊，让大家立刻啊了解我们的对面问题，叫做同行隔一个 哎，一行 z 两端 什么意思？如果大家在找我们对立面的时候，处于同行的呢，你可以来中间隔一个，它旁边这俩就是对立面， 如果在同行找不到了，找什么呀？找不同行的啊，在不同行的呢，我们就来画 z 字形， z 的 这两端啊，就是我们的一个对立面，比如说这， 比如说这道题呢，就考察的咱们跟学的一个对立面学在这。首先你同行隔一个能找到吗？显然找不到， 对吧？同行最多留两个，你怎么去隔呢？找不到，那找不到了怎么办？我们来画 z 在 一啊，一行画 z 字形，注意，我们这个 z 呢啊，就能找两端， 这个 z， 你 可以横着画，竖着画都可以啊，反正画这种正规的。我们的 z 型画完之后呀，这就是我们的两头啊，我们现在这个学跟我们的广啊，它就是一个对立面啊，选我们的 c 选项啊，老师的这个大招还是非常好用的啊，同学们一定要记住，你学会了吗？ 接下来呢，我们来学习一道难题，突破啊，这种问题呢，是带图案的，这种题啊，小孩碰到了就更头大了，我不带图案的都想不明白，你现在还给我带图形了，哎呦，这可怎么去整啊， 别急别慌，也是有方法的。我们来看问图中的立方体展开之后，应该是下图当中的哪一个，我们来观察一下这个立方体。这个立方体呢，给我带了啊，这三个点，而且这三个点的面呢，分别都是什么呀？这叫离面， 相邻的面并没有相对啊，看似是在考你邻面的问题，实则仍然是考对立面的问题，你只需要让他们不是对立面是不是就可以了，因为不是对立面的话，那不就是邻面了吗？ 对不对啊？所以我们来看一下 a、 b、 c、 d 当中有没有两个小点点是对立面的呀？如果有，赶紧给我叉掉啊！又回到老师，今天啊，教你那个大招叫什么呀？你如果在同一行里面去判断，叫同行隔一个， 如果是在不同行里面去判断，叫做一行 z 两端。 好的，我们来观察一下现在这三个圈圈啊，是在这，那我立刻就扫到了，什么，这是在同一行，哎，同行隔一个，所以它们两个变成对立面了，那怎么办？就不对了， 因为你需要点点是同啊，是里面。接着我们来看 b 同里呀，哎，同行隔一个，这两个又是隔了一个，哎，又变成什么对立面了，所以不对。 好，我们来看 c 选项， c 选项呢，仍就是我们这两个点点是在同一行啊，同行隔一个，又变成我们的对立面了，所以他也不对啊，那只剩下四 d 了。四 d， 我 们来观察一下这里，现在呢，发现，哎，无论是同行 不是隔一个的这种关系，无论是一行，他也没有最两端，对吧？所以这个呢，他们都不是对立面，那就是我们的平面了啊。所以这道题应该选我们的四 d 选项，你学会了吗？ 好，今天我们来分享一道什么呢？用地基法来解决我们的最多最少啊这种小正方体的问题，这个问题对于孩子们来说是一个难点啊，一起来学习一下老师这个方法啊。 说若一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成的，如图，分别是它的左式图和俯式图。问该几何体用的小立方体的个数是 m， 问 m 的 一个最小值， 当然有的题也会问你最大值，其实同理的啊，这种问题怎么去做呢？一个大招叫做递级法，就是你无论给了你什么仕途，你先帮我把俯视图判断出来， 那么这个题比较简单的是俯视图直接给你了，有的题也是告诉你左视图，告诉你主视图，让你自己呀，先把俯视图啊确定了， 一旦确定了俯视图，开始干什么？打地基，盖高楼啊，因为你的俯视图如果长成这样子，说明呢，你至少底上，哎，每一块上都得有一个啊，小正方体 b g 搭好了，接下来根据我们的左式图在一一去匹配。左式图呢，第一列你看到了两个，哎，哪里代表他第一列啊？你想象一下你这个人啊，站到了左边去看，这里是代表他的第一列，对吧？第一列，如果你看到了两个，说明这呢？哎，要给我改成二了，一个就不够了。好， 第二列呢，你是看到了三个，第二列是这里看到的，你在这如果想看到三个的话，说明什么呀？说明至少啊，这上边要么是这个，要么是这个，得是有三个小立方体， 对不对？所以这里二选一就可以了，因为咱们本身问的就是最小，好吧，你随便选一个，比如选它 是三个，好吧，然后接下来呢，我们的这个第三列你看到了一个，那么第三列呢，就是我人站到了这，刚刚好有一个，哎，这一个就能够帮我把左视图的这个确定好了，所以我们最小的情况就是他了啊，二加三，再加上一二三四， 答案就是九，这是我们最小值，是九个。如果老师给你变形一下，你能不能告诉我 m 的 最大值，好，最大值是多少？大家可以在弹幕里面啊，去把你的答案写出来。 怎么去求它的最大值啊？最大值呢？就是我现在，哎，不选择其中一个摆三个了，我让啊，这两列啊，都摆上三个，并不影响我的左视图吧，也没有影响你的俯视图吧，对吧？啊，所以我们现在在九的基础之上呢，又增加了两个，所以它最大值呢？是十一， 你学会了吗？好的，同学们，谁又在这种关于概念变式类的题上面给我做错了， 说的是不是你啊？今天老师呢，把这里线与角这常考到的啊，概念辨析类都给大家总结到这里了，我们一起来学习一下，期末拿掉啊，学会这三分，我们来看啊。现在呢，给了大家十种说法，关于线和角的一一去分析， 圈一过两点，有且只有一条直线没问题，对吧？两点就是确定一条直线，所以圈一是对的。 好，第二个，第二个非常非常高频考啊，你今天一定一定要记住，它说连接两点的线段叫做两点之间的距离，比如说，老师，看着没毛病呀，你来分析一下啊，这什么意思呀？说你连的这条线段叫什么呀？叫距离， 是线段叫距离吗？你距离应该说咱俩离多远，对不对？所以你应该说线段的长度啊，一定注意啊，这个，这原话说的是这个线段的长度 叫做距离啊，你说这条线段有五厘米长，代表这两个点呢？距离是五厘米，明白了吧？啊，这个一定要记住了，那么圈三两点之间线段最短没问题，这也是刚才给大家讲过的基本的原理啊。圈四在线段射线直线当中直线最长， 这是不是我说的刚才你总结的那个长度问题啊？注意，直线跟射线，你能用长度去度量我吗？ 啊？换句话，你能用多长多长就能限制住我吗？你并不能，我的长度是可以无限延长的 好不好？所以你进行长度比较的时候不能去比啊，因为它长度就是无限延长，你没法度量出来，你怎么去比较呢？所以圈字不对啊，因为射线跟直线啊，他你都不要去谈长度的概念了，他们都无限延长， 记住这一点好，那么五跟六是一样的啊，说画直线 ab 等于三厘米，你能给我画出一条直线是多长吗？你画不出来啊？好吧，一定注意，这是错的啊，我们 直线的长度是无限延长的，那它不可以被度量的，你能说画一条线段是三厘米啊？好，圈六延长直线 o a 来这条直线，还记得老师刚才讲过的吗？ 它有没有延长线？它有没有反向延长线？它木有啊，因为本身人家就是无限延长的，所以圈六也不对，圈七两条射线组成的图形是角。哎呦，我说老师没毛病啊，这不是两条射线 o a 和 o b 吗？ 你这个画的是对的，我们的定义是什么呀？我们定义是指的有公共端点的两条射线，对吧？你看，我随便给你画一条射线，这叫 o a， 这画一条射线叫做 b c， 他能组成角吗？显然不能啊，所以指的是有公共端点的两条射线组成图形，叫做角啊，加上公共端点来。第八个，说，角的大小呀，与边的长短是有关系的，有吗？ 换句话讲，这个还怎么去考？还去考你？我拿着一个放大镜，我去观察这个角，哎，这个角就被我放大了，对吗？一定注意。不对，它跟角的长短没有关系 啊，我脚的大脚跟我脚的扩张有关系。我很快给大家举一个反例，比如说呢？来，我们第八个的反例举到这。我说呀，我这里两条射线，你看现在呢，这个脚呢，大概扩张的是这个样子，对吧？我再把这个边啊给你写长一点。 这里还有个角叫做角，也是 a o b， 明显哪个角大呀？是不是我上面画的这个角一比下面这个角二更大一些，对吧？跟长短并没有关系。而且呀，我们说这个角的啊，角的一边是什么呀？是一条射线，它本身就是无限延长的呀， 对吧？跟长短并没有关系啊。来第九个，因为平角的两边组成了一条直线，所以一条直线就可以看成一个平角，有人又觉得没毛病了，这不就是吗？ 对吗？一定注意。不对，你怎么能把两个概念给我混为一谈呢？啊？这个概念叫做线，这个概念叫做角，线能变成角呀，啊？角能变成线呀，不对的啊，你只是你的眼睛看着像啊，为什么像呢？因为我说呢， 比如说老师画的这是一条直线，而角是什么呀？角是有公共端点的两条射线啊，所以我这里点个点叫做 o 啊，这里呢，有一条射线，叫做 o a， 这里有一条射线啊，叫做 o b， 只不过这两条射线呢，哎，互为反向延长线了。所以啊，我们刚好构成了一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，是不是同一个什么平角，明白了吗？二者概念啊，说周角是一条射线，同理， 角跟线就不是一回事好不好啊，不能做一些对比啊。所以我们现在正确的只有圈一和圈三啊，只有两个，这道题选我们的 a 选项，好吧，你学会了吗？ 好，关于我们线与角这里的一种难点问题啊，就是我们的一个技术问题啊，小朋友们就记不明白了，没有方法。今天老师教给大家一个招，叫做什么呀？打枪法， 哎，我们就可以很快把这种技术问题呢搞懂。我们来看啊，铁路上的火车票啊，是根据两站距离的远近而设定的， 距离越远票价越高啊，符合我们的常识。那如图呢，这就是一条这个火车线路图， a、 b、 c、 d、 e 呢？是五个火车站。而且告诉我呢，每两站间的距离呀，都不一样 啊。问，这段铁路上一共有多少种不同的票价，票价是怎么规定的呀？人家说了，票价是根据我们这个两站之间的距离，那你就要看一看啊，每两站之间有多少种不同的距离，是不是就有多少种不同的票价， 那每两点之间的距离都不一样。所以这个题最终就被我转化成问啊，有多少条线段，就有多少种不同的距离，也就是多少种不同的票价了，对吧？其实这就是数线段问题啊。那么数线段问题呢？你看一看，我们现在是一二三四五， 有这样的五个点，怎么样去打枪呢？你想象一下，你站在这里啊，这每个点上的都有只小鸟，你去打他啊，你可以怎么打到你？首先二，这你是不是能打到一只小鸟，这里又打到一只，这里打到一只，这里打到一只，也就剩下的这四个点，你都会被打到一只小鸟，那一共是不是四只 啊？所以从 a 出发的 a、 b， a， c， a， d， a， e 啊，就是咱的四条线段啊。同理啊，你把枪放在这儿继续打小鸟啊，剩下的三个点都能被我打到， 然后呢？把枪放到这里是两条，然后把枪放到这，只能打到一这里一只小鸟了，加到一起呢，就是我们的十啊，所以我们数线段问题呢，十种不同的线段就对应十种不同的距离，也就是十种不同的票价。好，那么这题还没完啊，老师快速给大家来一个辨识。 现在呢，还有一种问法，不是问你票价了，而是问你车票， 我问你现在有多少种不同的车票？什么叫车票呀？大家都坐过车吧啊？车票上会写什么呀？会写你的这个出发地是哪里？你的目的地是哪里，对吧？比如说你从 a 出发，你要去 b， 那 你的车票呢？可能写的是 a 杠 b， 那反过来讲，你如果说，哎，从 b 出发，再回到 a 呢？那你的车票上写的是什么？是 b 杠 a？ 你 思考一下，这两种车票长得一样吗？ 长得一样吗？比如说我们从北京到上海，车票长的是啊，应该写的北京杠上海， 对吧？你从上海回北京呢？那应该是上海 to 北京两种不同的车票啊。所以我们如果给你改成车票问题了，你把这个线段数完呀，还没有完还得干什么？还得给他 double 一下，给他乘以二啊。因为 线段 a b 和线段 b a 你 在数线段的时候认为是同一条，但是我现在在这个描述票价的时候，它就不是一条了。 a 杠 b 和 b 杠 a 票价啊，这个，这个车票是两个。好吧，所以我们现在车票问题呢，就改成有二十张不同的车票了啊，这种问题你彻底学会了吗？ 好，今天给大家分享一道期末必考题，关于我们线段的计算问题啊，这种问题呢，一旦看到我们的题干之后，立刻想到我教你的题眼方法啊，怎么去做？说，点 c 是 线段 a c 的 什么中点？ e 是 线段 ab 的 中点，那我们来看一看啊，条件，在图上标一标 d， 如果是中点，说明这两条线段啊是相等的，然后我们的 e 呢，是 ab 的 中点 啊， e 是 ab 的 中点，说明我们的 ae 和我们的 b e 也是相等的。如果告诉咱， a c 比上 bc 等于什么呀？等于二比三啊，我这里写成二份，这里是三份。 好，一旦在看到这种问题，就是我教你的啊，解决的体验叫做什么呢？记住我们的大招啊，看到这种笔直赶紧给我干嘛？射出来 见比射参，射出来参数怎么去？射两份你就射成二 x， 三份就射成三 x。 好 吧，记住咱们的大招叫做见比射参，然后已知 c e 长的是十二。接下来让我们去求 d e 的 长度啊，求 d e 是 多长，这种问题怎么办啊？我们来教教大家解， 看到比值呢，我们来进行射啊，射 a c 长为二 x， 那 么所以我们的 bc 长就是什么呀，就是我们的三 x， 那 现在整个线段 ab 长，你是不是会表示了，对吧？所以我们的 ab 长就是等于 ac 加 bc， 二 x 加上我们的三 x 就是 五 x。 好 了，有了总长，你的终点啊，它分的一半的线段就都可以表示了，对吧？来，因为啊， d 是 线段 ac 的 终点，我就不抄了。 然后呢，又告诉咱们， e 是 线段 a b 的 中点。好吧，大家把这句话抄下来，有了中点之后呢，我们就可以来表示一半了啊， a d 就 会等于我们的 c d 等于啥？等于二分之一的 a c， 因为 a c 是 两个 x 啊，它的一半呢啊，就是一个 x， 同样的 a e 就 会等于 b e 的 一半，因为 ab 是 五个 x 呀，它的一半就是二分之五 x。 好吧，你看看啊，这里是 x x， 然后呢啊，这里是二分之五 x， 那 你已知的这个十二是不是可以用含 x 代数式来表示了？这样不就列出来方程了吗？对吧？因为 c e 啊， c e 啊，咱们知道是等于 a e 减 ac 的， 看图啊， 那等于什么？ a e 是 我们的二分之二 x， 那 减完是二分之一 x g 是不是得到我们的二分之一 x， 就是 这个十二，所以 x 求出来是二十四 x 求完还没完，人家让你求的线段 d e 的 长，那我们来看一下 d e 呢，是不是我们的 a e 减去 a d， 对 吧？所以最后我们要求的这个 d e 长呀， 就是 a e 减去我们的 a d， a e 呢，是咱的二分之五 x， 不 用着急算出来啊。 a d 呢，是我们的 x， 所以 是二分之三 x， 那 也就等于二分之三乘以我们的二十四， 约分十二乘以三三十六，所以我们的最后答案的定义呢，就是三十六啊。今天教你比较好的方法就是见笔设参，一旦在线段计算或者后面我们要的角度计算问题， 看到笔直之后，把我们这个分数给我设出来，就很快能解决了。好，这个题大家学会了，接下来先不要走，再来教你个更厉害的大招。这还是我们的什么问题啊，这个问题也有特征，什么呀？终点，终点，这叫什么呀？这是咱们的 双中点问题，双中点还有双角平行线，一定是我们线与角这一张期末必考的题，有非常好的大招让大家去学习啊！请记住老师四个大字叫做去重留半， 什么意思啊？后面再看到我们双中点问题，你就看一看 d 是 不是 ac 的 中点，把 ac 给我写在这， e 是 不是 ab 的 中点，你把 ab 给我写在这儿，接下来干什么？去重留半，你把重复的字母给我去掉。 哎，剩下留下了谁？留下了 b 和 c， 所以 留下的呢？取一半啊，就是二分之一的 bc， 这就代表我们双中点组成的线段长，因为 d e 是 这俩双中点，说明 d e 长呢，就会等于去重留半。哎， d e 就 等于二分之一的 b c， 超级好用这个大招，那接下来我们来验证一下。我们来看 bc 呢，是咱们设的三 x， 你 看二分之一乘以三 x， 不 就是二分之三 x 吗？在这呢对不对？所以这个结论一定成立啊！后面再看到两个啊，终点问题，如果这两条线段有公共的字母， 直接把公共字母去掉，留下的这两个字母取一半，就是两个终点之间的一个距离啊，你学会这个大招了吗？ 来分享一道我们的期末易错题，叫做我们的双中点问题。什么叫双中点问题啊？当我们后面看到啊，给你描述两个点，比如说 e、 f 是 按某两条线段的什么中点，这不就出现两个中点了吗？顾名思义，双中点问题。 还记得刚刚给大家分享的双终点问题的解析大招吗？请给我打四个字，叫什么？去重留伴，这个大招非常好用，一定要学会了。什么叫去重留伴啊？我们现在呢，因为 e 呀，是 a c 的 终点，你把 a c 给我写在这， f 呢，是 bc 的 中点，你把 bc 给我写在这，然后把重复的字母呢去掉，只留下谁了，只留下我们的 a b 了。所以现在啊，就能得到我们双中点之间的距离，就等于留下的一半，就是二分之一的 a b。 这题就已经做对一半啊，双中点问题很快啊，节省我们的时间，叫做两个中点之间的距离，就等于去重留半。好，既然等于二分之一 a b 了，那我们只需要算算 a b 是 多少， e f 是 几，就可以做出来了。 我们来看啊，现在告诉我的是点 c 啊，在直线 a b 上来，大家读题一定要会读关键词，把直线请给我赶紧勾出来， 在直线 a b 上，如果 a、 c 是 四厘米， b， c 是 六厘米啊，那我们就通过这两条线段长，你是不是得帮我确定一下 a b 长呀，一旦有了 a b 长， e f 不 就搞定了吗？那我们啊，画一下图试一试 这个问题呢，他是没给你画图的，对吧？所以接下来还记住老师教大家的一句话，在你的这个初中几何问题里面，给你的几何题没有画图，那百分之九十五以上都是要干嘛？分类讨论的，所以记住四个字，叫做无图有坑 就等着你往坑里跳呢啊，一定注意，没给大家图的大概率都是要进行分类讨论的，而且呢，也跟我们是一样，跟我们直线，这印证了，对吧？他并没有在线段上去限制你，而是在直线上限制这个让你自由的啊，去发挥，找那些点去让我们画一下图啊。说 a c 等于四， 先随便画吧，反正在这 a b 上呢， a c 是 个四厘米，对吧？ b c 呢是个六厘米。哎，你在找 b 的 时候，我现在好像就找到了不止一种 b 了， 为什么呢？因为我现在啊，可以在哎右边找一个 b， 让这是四厘米，这一边这是那个 b， c 是 六厘米，是不是也是可以的，对吧？所以用这样的两种情况，在这两种情况下，咱们要求的谁啊？先求 ab， 那 这个 ab 呢，就是四加六啊，是十厘米， 那么这个 ab 呢，是六减四啊，就是我们的二厘米，好吧，一个十，一个二，然后接下来我们去重留，什么留半呀，所以结果就是十二的啊，一半十的，一半是五，二的一半是一，所以这题选我们的四 d 选项 做出来啊，就会非常快了，请记住四个字，再来一遍，去重留伴，你学会了吗？好，继续啊，给大家分享一道我们的双角平行线问题，跟我们的双中点问题的解决方法是同理的，记住我的四个大字，大招叫什么啊？去重留伴啊，我们一起来看。 现在又告诉我，这个 o、 d、 o e 分 别是什么呀？分别是两个角的角平分线，对吧？所以你直接把这个角 a、 o c 写下来，把这个角 b、 o c 写下来，把重复的射线 o c 给我勾掉，就是剩下的这个角的一半，剩下了 a 跟 b。 那 你看你的 o a 跟 o b 组成谁啊？这是不是就组成我的角 a o b 了？好吧，用老师的结论啊，那现在两条角平分线组成的这个角 d、 o e 就是等于去重留半啊，就是等于二分之一的角 a、 o b。 有 了这个结论，简直不要太爽了啊，因为结论可以直接秒了，因为人家告诉你角 d、 o e 呢，是六十四度， 求谁啊？求这个角 a o b， 那 么 a o b 不 就是它的二倍吗？对吧？二倍一百二十八度，太简单了 好吧，啊，通过这个视频呢，老师给大家快速的证一下，为什么啊？会去重留半？我们来看啊，因为 o、 d、 o e 分 别是角平分线，如果是角平分线的话啊，那么这两个角相等，比如说我们都标为阿尔法，那如果 o d 是 我们的这个角平分线的话，这两个角相等，我们都标为贝塔。 好的，你看整个大的 a、 o b 是 不是两个阿尔法加上两个 beta 呀，对吧？哎，小的角 d、 o e 呢， 是不是一个阿尔法加上一个 beta 呀？所以它们之间一定会有一个角 d o e 等于角 a、 o b 的 一半啊，这是我们去重留半就是这样来的， 所以后面但凡在看到了双中点问题，还是双角平行线问题，直接把这两个线段或这两个角拿出来重复的勾掉啊，然后剩下的留一半，简称去重留半，你学会了吗？

初中数学动画第一集角的计算角的计算学数学就像玩 pc 游戏一样，你的装备越多，能力就越强，现在我们就开始装备两把精良的武器，角的加法和角的减法。 角的加法是什么呢？先回顾下线段的加法，把一条线段接到另一条线段，屁股后面得到的长线段就是这两条线段的核，大家有没有从中得到什么启发呢？比如这里有角一、角二两个角，那能不能仿照线段的核也做一个角，让它等于角一和角二的核呢？ 我想大家也想到了吧，在角二的外部做一个角一，那得到的大角角 aoc 就是 角一和角二的和了，也就是角 aoc 等于角一加角二。 那如果再知道角一角二的度数，比如角一等于二十一度，角二等于五十五度，那就可以求出角 aoc 等于二十一度，加五十五度等于七十六度。 可以做角的和，自然就可以做角的叉。做角的和呢，需要在角的外部做一个角，那做角的叉就得在角的内部做一个角出来。就像这样，在角 aob 的 内部做一个角一，得到的小角角二就是角 aob 和角一的叉，换句话说就是角二等于角 aob 减角一。 好了，现在我们已经装备了强大的武器，可以开始刷怪了，先来刷个小怪，如图，角一等于二十度，角二等于三十度，角三等于四十度，求角 a o d。 对 付小怪呢，自然不需要什么武器多用，看看题目给的三个角吧，角一、角二，角三，哎，它们像不像叠罗汉一样叠成了角 a o d。 再对比一下之前画的角的加法的图就一目了然了吧，角 a、 o c 是 角一和，角二的和，也就是五十度， 再把角 a、 o c 和角三加起来，就得到了角 a、 o d 了，所以答案是九十度。我们一起来看一下解题过程。这道题呢，只用到了角的加法，其实它就是这个，除了进化板从两个角的核变成了三个角的核，它还可以进化成四个角的核，五个角的核等等，这类问题大家学会了吧。 小怪刷完了，再来刷点大怪，看下面这个图，已知，角 a、 o c 等于九十二度，角 b o d 等于六十一度，角 a o d 等于一百二十五度。求角 b o c。 遇到题目就先看条件，这是万年不变的法则，角 a、 o、 c 等于九十二度，角 b o d 等于六十一度。还有个角 a、 o d 等于一百二十五度，这条件也太凌乱了吧，这下该怎么办呢？不急，想想最基本的图，角的加法，角的减法。 这两幅图都是由两个小角组成的，而这个题的条件之所以凌乱，就是因为所有的一只角都是由至少两个小角组成的，所以应该把所有的条件都看成小角来处理，为了看起来舒服一些，先给每个小角编个号吧。 好，现在用角一、角二、角三再来分析一下题目的条件。角 a、 o、 c 等于九十二度，那也就是角一加角二等于九十二度，角 b o d 等于六十一度，那就是角二加角三等于六十一度。现在把这两个条件组合在一起，看看能不能得到新的信息呢？ 哎，好像什么也得不到。不要灰心，还有一个条件呢，角 a、 o d 等于一百二十五度，也就是角一加角二加角三等于一百二十五度，再把这个条件加上去试试看吧。 哎，这下好像有点眉目了。角一角二、角三加起来是一百二十五度，角一、角二加起来是九十二度，那剩下的角三自然就是一百二十五度减九十二度，也就是三十三度。哈哈，终于找到突破口了，一鼓作气把它搞定吧！我们还有角二加角三等于六十一度，这个调节没有用， 既然角三已经是三十三度了，那角二自然就是六十一度，减三十三度得二十八度。 好，我们再重新整理下思路。其实第一步求角三利用的是角的减法，角三等于角 a、 o d 减角 a o c。 第二步求角二呢，也是用的角的减法，角二等于角 b、 o d 减角三。 本题看似和角的加法没有关系，但利用角的加法，把大角分解成小角可是解题的关键，大家要善加利用。另外，这道题先求角一，再求角二也是可以的，请大家自行尝试一下。 最后再来看一道不止有加法和减法的题，如图所示， a、 o、 d 在 一条直线上，角三等于四十度，角一比角二等于三比四。求角一。按照惯例，依然要先看看题， a、 o、 d 在 一条直线上，那就是平角嘛，所以角 a、 o、 d 等于一百八十度， 又知道角 a、 o、 c 等于一百八十度减四十度。有了上个题的经验，我们就可以知道，角 a、 o、 c 等于一百八十度，减四十度得一百四十度。 再来看下个条件，角一比角二等于三比四，这是什么火星条件哦，其实就是比例嘛，换句话说，角一是三份，角二是四份。 再说的更数学一点，如果把角一设成三 x， 那 角二就是四 x， ok， 只要把 x 求出来就万事大吉了。 那怎么求 x 呢？刚刚我们求得了角 a o c 是 一百四十度，大家再看看图，角 a o c 就是 角一与角二的和，角阴是三 x， 角二是四 x， 那 和就是七 x。 换句话说，一百四十度就是七个 x 喽， 这样一来， x 不 就算出来了吗？用一百四十度除以七得二十度。好了，现在可以解决最后的问题了，角一是三个 x， 也就是三个二十度，所以角一等于六十度。 经过了这些的磨练，相信大家已经可以熟练使用角的加法和角的减法这两把武器了。最后我们再重温下这两幅图吧，这幅图是角的加法，这幅图则是角的减法。在解析时，大家要学会从复杂的图形里找到这两幅图，并利用这两幅图的结论解决问题。今天的讲解就到这里，谢谢大。

所有七年级的同学和家长看过来，我们今天给大家讲解一道角度计算当中的折叠问题。折叠问题呢，是在我们本章以及接下来几何学习当中经常会出现的一种题型啊，非常重要，几乎每一次考试都要考，有可能是考一个选择题或者填空题啊，也有可能考一个大题， 重要性是非常高的。好，我们一起来看一下这一题啊，主要考察的是什么呢？说一张正方形纸片， a、 b、 c、 d， 如图所示，折叠折横是这两条线啊，折叠之后呢，那 b、 d 两点 就跑到了 b 一 撇和 d 一 撇的位置了是不是？那折完了之后是不是有交叉重叠的部分啊？那这个部分的角呢？假角是二十六度啊，我们一起给他标上 好二十六度这个角，现在看看它求的是什么？求的是 e、 f 这个角，这个角其实就是折痕的假角对不对？那 ok， 当我们想要求一个角的度数的时候，我们应该怎么办？ 我们看其实是考察的就是角度的和差，计算嘛，是不是？那 ok， 现在这个 e、 f 是 什么？现在看啊，它是横跨三个角的对不对？包含二十六度的直角以及边边上这两个小的角，但是这两个小的角我们是算不出来的，就可以反过来去想，倒过来是由这个直角减去边上这两个角呢， 那当然也是可以的呀，是不是？那 ok， 我 只要把边上这两个角，比如说角一和角二，它分别求出来也好，或者说角一和角二作为整体，给它算出来是不是也都可以好？看看折叠问题说的折叠性质是什么？ 先来看第一个，这边的这个角呢，是沿着 a、 e 折叠， b 到了 b 撇的地方，那折叠形成的对应角有哪些？ 是不是这个角啊？是啊，这一边和折痕的夹角，这两个角是相等的， 同样到这里，这两角也是相等的，对不对？那对应的 b 和 b 一 撇呢？这个角也是相等的，这个叫对应角相等。还有呢，对应边，那将这条边和这条边必然是相等，因为是折叠过去的，对不对？那 ok， 这条边和这条边也是相等的，这叫对应边相等，就是我们的折叠性质啊， 非常重要的一个性质，经常就是我们解决问题的关键嘛。好，我们现在来看一下角 e、 a、 f 怎么来？求刚刚说的直接用中间三个角相加不好算，那我们就倒过来，用九十度的这个直角减去这个角，比如说角一和角二， 减去角一，减去角二，那这两个是不是可以给它合并起来，对不对？刚刚我们说的是由折叠性质之，什么 折叠性质之或者折叠之啊，都可以。好，先来看这个折痕 a、 e 这个折痕是不是角二和哪个角是到了 b 撇这个边上，和这个角是相等的，对不对？所以我们角二是等于角 b 撇， a、 e 是这个吧，那 ok， 现在它又等于什么呢？刚刚说这两角相等，那是不是就等于一半的总的这个角啊？ b a、 b 一 撇啊，所以我们的折痕又可以理解成是什么？是角平分线， ok， 同理，这个角一呢，是不是等于什么？角一是等于什么？角一是等于 第一撇 a、 f 是 不是好？第一撇 a、 f 当然也等于二分之一角 d a d 一 撇，那现在角一和角二看看，加到一起作为一个整体，看看是等于什么？是等于什么？二分之一角 b， a， b 一 撇，加上角 d， a， d 一 撇，好，我们只要把这两个角给他求出来，是不是整体就算出来了？那 ok， 现在来看这两个角加在一起到底是什么？看看啊， d， a， d 一 撇是不是他？ d， a， d 一 撇是不是他？好，这两个角加到一起是不是刚好横跨了九十度这个角，以及重复计算了中间这个小的二十六度的夹角啊？所以他两相加是等于什么？是等于 九十加上二十六，那他就算出来了吗？就是五十八度，再往回带的话，那我们 e f 是 不是就算出来了？ 好，他就等于九十，减去五十八度就等于三十二，所以我们的答案啊，选的是 d 啊，主要考察的是折叠性质，要知道这个角呢啊，折横就是角平分线作为整体啊，这种整体思想解决问题啊，是也很关键啊。那么这题你学会了吗？

沈老师一讲，豁然开朗，有两队人马打成一团，如何快速区分？请穿上红衣服与绿衣服，在角度里边就是射双餐。第六，射双餐。 什么情况下设双餐？往往是因为未知的角太多，而且你大概能分为两组角啊，这之间很复杂，不好表示，所以我想要设两种未知数。好，以这个题为例啊，如图，从点 o 引出来六条射线，这个线很多了， 且 a、 o、 b 是 八十五度。好，先标了，这是个单独的角，八十五度， e、 o、 f 这个角就比较大了，大的角我们标往外标是一百五十五度， 然后给了 o、 e、 o、 f 是 两根角平分线， o e 平分 a、 o、 d 在 这， o、 f 平分 b， o、 c 在 这。 没了，让我们求 cod， 你 看这个数，这两个相等的角不知道，这两个呢，也不知道。中间这个 cod 呢？也不知道，那不知道的太多，而且整个转一圈三百六，这种感觉，所以我想到去设餐， 而且一设它们两个，你发现你光设了 x， 你 影响不了这儿，因为你这个 c、 o、 d 也不知道，搞不过去，所以我把它们俩也设作 y， 那 这个时候角 c、 o、 d 就 出来了，那 c、 o、 d 不 就是一百五十五减 x 减 y 吗？对吧？而且我还得到啥， 整个一圈三百六，因为只有三百六才能把这个八十五，一百五十五用起来。一圈三百六，它等于啥呢？是一百五十五加 x 加 y 加八十五，我写在这啊，幺五五加 x 加 y， 再加八十五，整个这一圈等于三百六，这个时候谁出来了？ x 加 y 出来等于一百二， 那够了，那 c、 o、 d 你 刚好是一百五十五减 x 减个 y， 也就是说角 c、 o、 d 等于一百五十五度，减 x 减 y 不 就是一百五十五减一百二等于三十五吗？ 所以我实现什么效果？第一，我设两个差，第二，我用上了整体思想。啥叫整体思想？就是我并不需要算出来 x 是 多少， y 是 多少， 他们俩具体多少你算不出来的，但是这个整体的和是一百二是确定的。好，下面我来写一下格式啊。 由于我们是从平分开始的，两组平分又是同样的属性，所以可以同时写出来，不用分开写啊。因为 o、 u、 f 分 别平分这两个角，所以好注意省个事，不要只写了相等，只写相等，你一会还得再设一遍。把相等和设同时写， 直接设两个相等的 v x， 另外两个相等为 y， 然后下一步干嘛呢？不着急求 cod 啊，因为 cod 最后算是用了一个三百六，从图上得到三百六，直接写等量关系。 因为 a o b 转圈加 a， o e 加 b， o f 加 e， o f 等于三百六从图上得到的等量关系，所以代入就把 x 和 y 的 方程给列出来了，那自然就得到 x 加 y 等于一百二十度了。最后一步 角 c、 o d 就 出来了啊，还是一样把等量关系写出来，等于角 e o f 减 角 d o e 减角 c o f， 也就是一百五十五度，减 x 减 y， 自然就等于三十五度了啊。所以总结，什么时候考虑到射双参两个字母？就是当你射完它们俩之后，你发现 你这个角不知道这两个，你更不知道你很难搞的时候，我干脆是设两个， ok， 当然这个题设一个也行啊，但我觉得不够简洁，我试一下啊，你比如说这是 x， 设完 x 之后，我直接用三百六减八十五减它，减它，然后把它用 x 表示出来也可以，它多少呢？ 你算出来应该也是一百二十减 x 也行，那这边也是一百二减 x， 那 这也能出来， ok， 但我个人喜欢吃两餐，舒服快。第二题， b o c 在 角 a o b 外部 a o c 和 b o c 互为补角啊，这个条件你暂时不好用啊，因为 a o c b o c 啥都不知道啊。 然后 o d 平分 a， 我 先把平分给划， o d 平分 a o c o e 平分 b o c。 注意，大的这个关系往外划，小的往里边划，这样错开啊， 好，没条件了。下面看两个问题啊，哎，你会发现，第一小问是等于百度让你求 d o e， 第二小问等于 n 度，也让你求 d o e， 说明这个 d o e 和这个 a o b 啊，之间一定有关系的。 ok， 好， 回到这个图上啊，我先把这个相同给用上，那啥都不知道，我肯定选射 x x 啊，对吧？而且这个 b o d 也不知道，因为他不知道你这个大小就没法表示，所以我再设一个， 我再设一个，这不就都能表出来了吗？这一半 c o d 就 变成了二 x 加 y， 那 a o d 也是二 x 加 y， ok， 然后你看第一问的条件，如果 a o b 一 百度，那角 a o b 等于啥？根据我的色差， 那不就是二 x 加二 y 吗？二 x 加二 y 等于一百度，那 x 加 y 不 就等于五十吗？ 然后你会发现，哎，直接出来了， d o e 不 就是一个 s 一个 y 吗？那角 d o e 就 等于 x 加 y 等于五十度，非常舒服就出来了。 那第二位你有了第一位的铺垫，第二位其实没变化，就这个题，你甚至把第一位位不做，直接干第二位，把 a、 o b 换成 n， 但是你这个差的关系没有变啊。二 x 加二， y 等于 n 度，那 x 加 y 不 就等于二分之 n 度吗？那 d o e 一样的出来，还是 x 加 y， 因为图没变，就等于二分之 n 度结束。当然这个题这句话他没用上啊，不影响，反正我能做出来，用它呢？其实能把 x y 给算出来。第一问啊，能，其实能算出来，这是没必要了，我已经算出来设两个三，非常舒服了。 第三题，如图， a o b 一 百二十度啊，你从这个图上你能看到它是一个，整个三百六十度， 也比较舒服。然后来了 d o f 是 三分之一 a o d， 这是 d o f 这个数， a o d 我 就不要标了，我标谁呢？我标 a o f， 它们俩是一个一比二的关系，因为 d、 o f 占三分之一嘛，那么 a o f 就 占三分之二，还有 bo e 是 bo c 的 三分之一。类似啊， bo e 是 一份，那么 c o e 就 得占另外的两份。你可以标这样两个线做个标记啊， 然后求 a o f 加上 c o e。 如果你的分数计算比较好，你其实也能口算出来啊，但不好写格式。咱们干嘛呢？用设参 设，他是 x， 那 他就是二 x， ok， 你 可以用一个差，你比如说三百六减其他一堆，然后呢，除以三这一份，这是两份。那我更喜欢设两个差， y， 这是二 y， 这样一标等量关系非常明显的，整个一圈是三百六十度，那也就是 三 x 加上三 y， 再加六十，再加一百二，等于三百六了，那口算都出来了， x 加 y 等于 六十度，那 a o f 刚好多少？二 x 角 a o f 加上角 c o e 是 等于二 x 加二 y， 那 不就是一百二十度？格式我不再写了，因为跟前面的题非常像啊。最后做总结， 设两个参的好处在哪？第一，两种隔得比较远的角度，他们之间内部有关系，这个时候我选两个参就很容易表示，然后等量关系写写也很顺，最后求的也很顺。 最后，我们设参的核心目标是能把题目中所有的角用这些参表示出来，只要你能表示出来，一定会有等量关系，让你去列方程就就能算出来了。 至于你是能不能算出来一个 x 或者是一个 y 不 重要，我只要能算出来一个式子，哪怕它是 x 加 y 够用就行。所以我们也称这种叫整体思想设，而不求我设了 x， 但我并不一定非要知道 x 是 多少啊，我整体计算， 光听不练，手痒痒。我们准备了十三面的配套训练和视频，完美配合，快来领取吧！关注，树立黑板，现在下课！

这个视频我们开始动脚专题，主要来介绍一下做动脚这些题需要用到的公式。公式一，目标角等于七十角，加速度乘以时间。公式二，目标角等于七十角，减速度乘以时间。公式三，目标角等于七十角，减速度和乘以时间。 公式四，目标角等于七十角，加速度和乘以时间。公式五，目标角等于七十角，减速度差乘以时间。公式六，目标角等于七十角，加速度差乘以时间。

线段设 k 问题呢，是初一期末考试里边特别常见的一种类型，大家必须得会，咱们一起来看一下这种类型该怎么做 说。如图，角 a o b 比角 b o c 比角 c o d 等于二比三比四 om 平分角 a o d， 角 b o m 是 二十五度，那么求角 a o d 和角 m o c 是 多少度？ 好了，各位，那大家在做题的时候，如果碰到这种谁比谁等于几比几，碰到这种类型怎么办？ 你就可以把它射出来啊，那么他们的笔是二比三比四，好，那我是不是可以射他是二 k 啊？那么这个就是三 k， 那 么这个就是 四 k 啊。当然这里头你不一定设 k 啊，你设 x 设 y 都行。好了，那我现在把它们在这个图中标出来，就是这个角 是二 k， 那 么角 b o c 哎，就这个，这个是三 k， 角 c o d 就 这个，这个是 四 k。 好 了，那么题目现在又说说 o m 平分角 a o d o m 是 角平分线，对吧？它是角 a o d 的 角平分线。那么你先看一下角 a o d 是 多少 角 a o d 是 二 k 加三 k 加四 k， 这不就是九 k 吗？对不对？那么 o m 是 它的角平分线，也就是说角 a o m 和角 d o m 这两个是多少？ 是四点五 k， 对 吧？那么题目又说角 b o m 是 二十五度，那根据这个条件，我是不是可以列一个方程来看一下角 b o m 啊？就这个角， 那这个角是多少度？它不就是四点五 k 减去二 k 吗？对不对？所以这个角是多少？是二点五 k， 也就是说角 b o m 等于二点五 k， 那 么二点五 k 是 二十五度，那 k 是 多少呢？不就是十度吗？对吧？那么角 a o d 是 九 k， 那 不就是九十度吗？ 所以角 a o d 出来了啊，这个是九十度。好，那它还要求谁？是不是还要求角 m o c？ 那 么你看一下，角 m o c 不 就是这个角吗？那么这个角怎么求呢？它不就是四点五 k 减四 k 吗？ 对不对？所以这个是零点五 k 啊。所以角 moc 就是 零点五 k， 那 么 k 是 十的话，零点五 k 不 就是五吗？所以角 moc 是 五度。 那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套几何图形必刷的十大题型拿去练习，轻松解决这类问题。关注梁老师每天一道经典题！

几何图形这里呢有十大必考题型，其中有一类呢就是双角平分线模型，咱们一起来看一下这类题目该怎么做。 说如图， oc 是 角 aob 的 角平分线啊，你看这是角平分线，那么这两个角是相等的，又说 o d 垂直于 o b， 也就是说这是一个直角。 好，他又说 o e 是 角 b o d 的 角平分线啊，你看这是角平分线的话，那么这两个绿色的角 也是相等的，对吧？那么这是九十度的话，那这两个绿色的角是多少度呢？就是四十五度。那么他又说角 a o e 等于八十五度。求角 c o e 等于多少？你看角 c o e 是 哪个角？ 就是这个红色的角，对吧？哎，求这个角是多少度？好了，各位，那么你从这个图上来看一下，那这个红色的角等于谁？是不是等于这个黄色的角，哎，减去这个绿色的角，对吧？ 那这个我们已经知道是四十五度，也就是说我只需要把这个黄色的角给它求出来就行，那这个角怎么求呢？你看它是角 boc， 对 吧？ 那角 boc 等于谁？是不是等于二分之一角 aob， 那 角 aob 是 多少度呢？ 他说了角 a o e 这个角是多少？是八十五，对吧？这是八十五度，那么角 be 是 四十五度， 所以角 a o b 就是 八十五度加四十五度，是一百三十度，对吧？所以角 b o c 就是 二分之一乘一百三十度，是六十五度， 也就是说这个黄色的角是六十五度。好，那你看这个红色的角是多少？ 就是六十五减四十五是二十度。所以碰到这种双角平分线模型的这类题目，大家一定记着用三色笔去画图，你会发现你所要求的这个角， 他要么是这两个角质合，要么是这两个角质差。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套几何图形必刷的十八个必考点拿去练习，轻松解决这类问题。关注梁老师每天一道经典题！

这节课我们学角的比较与运算，这里有两个角，角一和角二，怎么知道哪个更大呢？最直接的方法就是用我们的工具量角器来分别量出两个角的度数，度数大的角就大。 比如我们量一下角一的度数，它的度数是三十度，再量一下角二的度数，角二的度数是四十度，三十小于四十，所以角一小于角二。这种方法非常准确，但需要工具。如果手边没有量角器怎么办？ 我们还可以用叠合法进行比较，就是把两个角叠在一块，看谁能把谁盖住。 具体的操作步骤是，先把两个角的顶点对齐，然后把一条边也对齐，看看另一条边的位置在哪里。哪个角的边在外边，就说明哪个角更大。如果完全重合，说明两个角相等 如图，图中共有几个角，它们之间有什么关系？ o a 和 o b 是 不是可以组成一个角，也就是角 a o b。 同理， o b 和 o c 可以 组成角 b o c 可以 组成角 a o c。 这个大角就等于这两个小角的和，也就是角 a o b 等于角 a o c。 加上角 b o c， 这个角就等于大角，减去下面这个小角，也就是角 a o c 等于角 a o b。 减去角 b o c。 同理，这个角就等于这个大角。减去这个小角，也就是角 b o c 等于角 a o b。 减去角 a o c。 我们手上都有这样一副三角尺，借助这副三角尺，看看能画出哪些度数的角。这个角是三十度，这个角是四十五度，这两个直角是九十度。这个角和这个角可以拼成多少度？它俩相加可以拼成七十五度， 它俩相减可以拼成十五度，那这两个角呢？它俩相减可以拼成六十度， 我们还可以使用这两个角和这个三角尺的每个角进行加和减。我们来做一个题，如图， o 是 直线， ab 上一点角 aoc 等于五十三度十七分。求角 boc 的 度数。 首先， o 是 直线， ab 上一点，说明什么？说明角 aob 是 一个平角，是等于一百八十度。角 aoc 的 度数给了， 那这个角是不是就等于这个平角减去这个角？所以解。由题可知， 角 a o b 是 平角，角 b o c 等于角 a o b。 减角 a o c。 角 a o b 是 一个平角，所以它是一百八十度。角 a o c。 这上面已经给了， 所以这里就应该等于一百八十度减去五十三度十七分，最后等于一百二十六度四十三分。 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如果说射线 o c 是 角 a o b 的 角平分线， 或者说 o c 平分角 a o b。 那 么角 a o c 等于角 b o c 等于二分之一角 a o c。 或者说角 a o b 等于二倍的角 a o c。 反之，如果说角 a o c 等于角 b o c 等于二分之一角 a o b。 或者说角 a o b 等于二倍的角 a o c 等于二倍的角 b o c。 那 么射线 o c 是 角 a o b 的 角平分线，或者说 o c 平分角 a o b。 类似的还有角的三等分线，就是将这个角平均分成三份。比如射线 oboc 是 角 a、 o d 的 三等分线，那么这三个角是相等的，而且是这个大角的三分之一。 我们来做个题，如图， ob 是 角 a、 o、 c 的 平分线， o、 d 是 角 c、 o、 e 的 平分线。若角 a、 o、 b 等于五十度，角 d、 o、 e 等于三十度，那么角 b、 o、 d 是 多少度？ 首先， ob 是 角 a、 o、 c 的 平分线， ob 是 这条线，角 a、 o、 c 是 这个角，所以这两个角是不是相等？ o， d 是 角 c、 o、 e 的 平分线， o、 d 是 这条线，角 c、 o、 e 是 这个角，所以这两个角是不是相等？ 角 a、 o、 b 等于五十度，这两个角又相等，那这个角等于多少度？是不是也是五十度？角 d、 o、 e 是 三十度，那这个角是多少度？ 是不是也是三十度？角 b、 o、 d 是 不是刚好等于这两个角相加？我们写一下这个题的解析步骤。因为 o、 b 是 角 a、 o、 c 的 平分线，所以角 a、 o、 b 等于角 b、 o、 c。 角 c、 o、 d 等于角 d、 o、 e。 又因为角 a、 o、 b 等于五十度，角 d、 o、 e 等于三十度， 所以角 b、 o、 c 等于五十度。角 c、 o、 d 等于角 b、 o、 c。 加上角 c、 o、 d 等于五十度，加三十度等于八十度。好了，这节课就到这里了，我们下节课再见。

初一数学期末必考几何大题，专项训练角度计算思路分析。 今天我们看一下这道题目啊，这是一个初一阶段的一道几何大题，我们来分析一下这类型的题目，它是一种怎么样的考法啊？ 先看题目，如图一所示， a o b 一 百二十度。好，这是我们可以用的第一个条件。第二个条件，直角三角板的直角顶点放置在 o 点，我们从图形当中看一眼，哪个角是九十度好？ m o n 九十度对吧？我们简单写一下啊， 角 m o n 等于九十度，这是我们可以用的第二个条件。第三个条件， o c 平分角 a o n 看一眼， a o n 在 这， o c 在 这。分成哪两部分？角呢？ a o c 和 c o n 相等吧。我们也简单写一下啊，角 a o c 等于角， c o n 等于二分之一的角 a o n。 我们来看第一问，他告诉了我们 c o m 等于三十五度，这个角三十五度好，要求 a o m 这个角和角 b o n。 那 这个三十五度跟我们体干中哪个条件关联非常紧密，是不是很容易就发现了 m o n 九十度呀？ 这两个条件综合到一起，我们就可以很轻松的求出来。角 c o n 是 不是应该他们的等于他们的差九十减三十五，五十五度，对吧？为什么我们要求 c o n 啊？ 很简单，因为 c o n 有 条件可以用， c o n 又等于 a o c 又等于角 a o n 的 一半，所以我们 c o n 角度出来之后呢， a o c 也出来了，同时呢，角 a o n 也出来了，是五十五的两倍，一百一十度，对吧？ 哎，那我们看看 a o m 怎么求啊？是不是很明显了， a o m， 我 们只需要用 a o c 减 m o c， 那五十五度减三十五度，这个就出来了，二十度啊，那 b o n 怎么办呢？我们第一个条件还没有用过吧，是吧？及时去显一下 b o n 跟谁有关，哎，就很明显发现了 a o b 减 a o n， 一 百二减一百一十度， 那第一问就出来了。好，那我们看第二问是什么啊？第二问，他把 c o m 变成二法， b o n 变成贝塔，让我们找关系。 那这就是这个题的特征啊，就是第一问是具体的数，然后第二问呢，变成字母，你去找字母关联，这些角度没有任何变化，位置也没有任何变化，所以其实就是把第一问的思路用阿尔法贝塔写一遍就行了， 对吧？我们把第一问思路总结一下，那到第二问里面，我们是不是先求的是角 c o n 的 度数，表示一下，是九十度减二法， 然后呢，我们又求了 a o n， 对 吧？角 a o n 呢，是它的两倍，变成一百八十度减阿尔法。最后呢，这个 b o n， 这个贝塔怎么求出来的？是不是用一百二十度减它来的？所以我们简单写一下，等于一百二十度减一百八十度减阿尔法，这个整体啊， 化简一下，这是负六十度加阿尔法。哎，这个式子看起来，呃，不好看，对吧？我们把它移一下线啊，把它移一下线，变成这个阿尔法减贝塔等于六十度， 对吧？这就是我们第一问的啊，这个第二问的阿尔法贝塔关联啊。好，接下来我再看呢，这个题会怎么出啊？到第三问呢，哎，把这个直角三角板绕 o 转了一下， 顺时针转一定角度之后呢？哎，这些角的位置可能会发生变化， o m a 还在 a o c 内部，跟第一问、第二问没有区别，但是 o n 跑到了 ob 的 外部了， 那接下来还是问我们这两个角的关联，对吧？那这类型的题目呢？他的解法，其实你第一问会做，第二问也会做，那第三问的思路跟前两问基本上大差不差， 那我们只需要注意到这个 o n 位置的变化，导致我们前面这些步骤啊。第二问里面，第一步，第二步，第三步，看哪一步影响到了，并且把那个影响我们自己解决掉就行了，那我们看一看啊， 嗯，到第三问里面，这个 c o n 还是不是九十减二法，没有任何问题吧？ c o m 是 二法， c o n 还是九十减二法呀？写一下， 没有任何问题对不对？第一步没有任何变化，那第二步呢？ a o n 是 它的两倍，这个旋转没有影响吧？ a o n 还是这个 c o n 的 两倍， 一百八十度减二二法。写一下，你到第三步，大家注意了，第三步变了吧，因为很明显呀，到了第三步里面，这个角背它，它不是等于一百二减它了，反了一下对不对？ a o n 这个角变大了呀，它变成 a o n 减 a o b 了，就这一个区别，所以我们只需要注意到这个区别，然后呢？ 哎，把他们位置变一变，把他们这个到底谁剪谁看清楚，然后剪出来就行了，就等于这个，那我们再把它移一下线，变成这个形式， 这就是第三问的最终答案了啊。那做完之后大家总结一下这种题的典型特征呢？就是从第一问到第三问，他好像问的都是一个问题，只不过呢，通过什么一些旋转呀，平行啊，他这些位置会稍微变一下，但是他的整体解析思路，解析方向， 呃，大概率是一模一样的啊。所以大家注意一下，只需要把它位置变化导致的那些角的关系注意到就可以了，懂吧，多分析分析总结一下，然后这种题会非常简单啊。

所有七年级的同学和家长看过来，我们继续给大家分享折叠问题。折叠问题的重要性程度啊，非常非常高，因为接下来几何的学习当中，几乎每一次都要考到折叠问题，所以一定要认真对待啊。这道题呢，难度还是比较大的，好多成绩比较好的同学啊，这一题分数也很难拿到手， 我们一起来看一下啊，他到底难在哪里啊？请大家一定要认真听一下这道题，可能听完了之后，你会对折叠的问题会有一个更深的感悟啊。那一起来看一下题目， 他说这个长方形纸片 a、 b、 c、 d 点 e 呢，是在 a、 b 边上， f 和 g 是 在 c、 d 这条边上的，告诉你是在这条边上，但是在具体什么位置图上面是没有的啊，需要你自己去分析它这个位置到底在哪里。 ok， 现在说连接 e、 f 和 e、 g， 现在 f 和 g 点在哪里？不知道，那比如说 f 在 这里和 g 点在这里，他说连一下，我们就大概试着连一下啊，不是说这个图一定是这么画的，那 ok， 说现在将这个角折叠，哪个角是将这个角折叠，折叠过后说这个点 b 呢，是落在 b 一 撇的地方， 并且是在直线 e g 上的，也就说这个折叠之后，那折横是不是这一条，那 b 点呢，是不是刚好卡在这个点上，那就 b 一 撇在这里，是不是？好，这个是我们把 f 放在 g 左边的情况下，那有没有可能它两这个两个点的位置是相反的， 因为涉及到角度问题，跟点所在的位置是有极大相关性的，比如说这个 f 点就在这里，我们连尝试着去画画看啊，是连接 ef eg， 好，他说将这个角 b g 折叠，那折痕就是我们对角线了，那现在就画到这里，他说说的是什么？说折痕是 e m， 那 这一点就是 m 点，并且呢， b 点是落在直线 e g 上面的， b 是 在这一条线上的，折叠完了之后，那我们 b 点按大概的位置，是不是大概在这里？为什么？是因为折叠过后，这一段跟这一段要相等啊？所以 b 点必然是在这个位置，对不对？ ok， 还有再看第二次折叠，这是一个二次折叠问题啊，把左边的这一个角同样的 叫 aef 点， a 呢是落在直线 ef 上面的，那也就是说把这个角进行折叠，那我们肯定要把它的折痕给画一下， 这个 n 点呢，大概在这里，并且 a 点跑到哪里去了？这个 a 点他说是落在 e f 上面的 a 一 撇处，那就折叠过来，比如说可能啊，大概跑到了这里，这个没关系，反正他是在这条直线上的，那我们就把这条线延长 好，那这一点呢？比如说跑出来了，或者说没有跑出来在里面啊，好，大概是在这里。现在这个时候说的是什么？ e f g， e f g 是 什么？就是中间蓝颜色的这部分，它的度数是二十度，现在从这个图上面看，我们能看出来什么，是不是这这个角和这个角折叠之后呢？ 是不是没有重叠啊？你可以拿一拿一张那个 a 四纸来试一下，这个角往这边折，以及这边折，是不是两个角有可能是重叠的，有重叠和无重叠啊？那我们现在画的这个就是没有重叠，哎，这部分跟这部分是一样的，没有重叠是不是？那 ok， 现在 我们看看有重叠又是什么情况？那就是 g 呢？和 f 换一个位置，重新的连接一下啊。我们先把图画明白了，这题为什么难？就是因为图不好画，那现在来同样的画的是哪一个角啊？画的是 b e g 是 这个大角的角平分线喽，那我们就把它的折痕 e m， 比如说到了大概这里，对不对？那 b 点呢？同样的要跑到哪里去了？要跑到 e g 这条线上，那我们就要把这个点大概位置啊点一下，那 b 一 撇就在这里，对不对？那 ok， 这是第一次折叠，第二次折叠呢？是这个角，这个角同样的画它的角平分线 e n 这个 n 呢？比如说大概在这里啊，好，那现在 a a 撇跑到哪里去了？那这个点是对称，对称到哪里了？他是说在这条 e f 这条线上的，那我们给它延长一下。 好，那 a 呢？是不是大概就到了，比如说这里了，那 a 撇就在这里？好，这样子，现在回忆一下啊，想一下这个角往这边折叠，是不是到了这个区域啊？那是不是有重叠的部分了呀？ 也就是说我们分类怎么分？尤其像这种点的位置没有给你的，那我们就要注意它有没有重叠好，这个是二十度。 好，那我们分类就分明白了，图也画的，画的大概差不多了，接下来我们就看它求的是什么？求的是 m e n m e n 是 什么？是不是相当于是两个折痕的夹角啊？对不对？那 ok， 我 们分别把这两个折痕的夹角给他表示一下啊，看看 好这个角度，只要能把它算出来就可以了。那我们现在来看第一个，这个角横跨哪些角？是不是包含了中间的这个二十，还有这个角以及这个角呀？那这两个角是不是刚好是角平分线一半的角啊？那我们就给他标上喽。比如说这个角， 角一跟角二刚刚说的是折叠过去的，角一跟角二是相等的，这里角三跟角四是不是也是相等的呀？那 ok， 现在我们要求的是什么？要求的是这个横跨角二和角三以及二十度这个角 是不是？那现在角一跟角二又相等了，角三跟角四呢？也是相等。那二加三是多少？二加三是不是一百八把二十减掉了之后，然后对半分的呀？是不是？那是不是就算出来了啊？就很容易哦。好，再来看第二个，同样的，我们把这个角给它标上 啊，要编好了啊，这个时候有交叉过去了，这个是我们的角二对不对？然后角三是什么？角三是这个角是角三，以及这个是角四。那像现在来看一下，我们要求的是什么呀？要求的还是这个 m o n 对 不对？它是横跨什么？横跨角二和角三，并且中间这个二十度是不是重复使用了呀？我们要想办法给它给减掉，是这个意思吧？好计算还是相对容易一些的啊，最主要是画图。那我们现在把这题详细的过程给它再练一下啊。 好，第一个分类，第一个分类就是当 f 在 记左侧 左侧的时候，那 ok， 这个时候呢？由折叠之啊，因为是二次折叠嘛，由折叠之， 角一是等于角二的，以及角三是等于角四的，我们现在要求的是什么？所以我们要求的 m e n 呐， 它是等于角二加上角三，并且加上二十度的横跨三个角嘛。那角二是等于什么？好，我们现在来看一下啊。角二是不是啊？刚刚这个地方应该可以继续写上啊，是等于二分之一大的角，那角一跟角二分之一大的角是什么？ a e a 一 撇啊， 好，角三和角四呢？同样的也是二分之一角，什么 b e b 一 撇， b 一 撇，那 ok， 那 我们就可以写成二分之一角， a e a 一 撇加上二分之一，那我们加上括号，那就是 b e b 一 撇，二十度加上。好，先来看一下这个角和这个角到底是等于多少这角，这是哪两个角啊？我们看一下啊，是，是不是这个角啊？ 这个角加上这个角啊，这两角等于什么？你看，从图上看，是不是很明显，一百八把二十减掉就可以了。 所以中间这一部分是什么呀？其实他就是一百八减去二十度，外面的那个二十把它加上，那这个结果就很好算了，给他算一下里面是多少？ 是八十加上二十，结果是一百度，所以第一个结果就是一百度啊。再来看第二个，刚刚顺便标记一下啊，这个是无重叠，就是说两个角折叠完了之后，没有重叠的部分。好，再来看第二个，有重叠，那就是当积在 f 左侧的时候就倒过来，这个时候就有交叉了嘛，那是有重叠的，好计算。是一样的啊，同样的还是由折叠之， 由折叠之，角一跟角二是相等的，并且是等于大的角，角 a、 e、 a 撇 的一半，再来看角三和角四也是相等的，并且也是等于二分之一，角 b、 e、 b 撇。好，所以 m、 e、 n， 看看又是什么？ m、 e、 n。 刚刚说的是这个，这个是什么？角二和角三加到一起，把二十减掉，是不是？刚刚是什么？刚刚是角二和角三加起来是加二十，现在是减二十， 那就是角二加角三减去二十度。角二和角三是等于什么呢？带进来二分之一角 a、 e、 a 一 撇，加上角 b、 e、 b 一 撇，外面还是减去二十。好，把里面的这部分给他 算一下，看看他是等于二分之一。什么？ a、 e、 a 一 撇，看看在哪。 a e、 a 一 撇是这个角 b、 e、 b 一 撇呢？是这个角， 看看是什么？是不是在一百八的基础上要重复的再加上这个二十度啊？所以它里面是什么？就是一百八 加二十，然后外面呢？还是减去二十，那这个结果就好计算了呀，给他算一下，看看结果是八十度。好，我们来比较一下。刚刚看啊，这两个角在计算的时候，中间是一百八减二十，这个是一百八加二十，这里是加二十，这里是减二十。你看交叉重叠 前后是不是就相差一个符号问题啊？所以这题答案是两个，一个是八十，一个是一百。就是听完这个讲解之后，是不是对这一题，对折叠问题啊，又有更深刻的理解了，你学会了吗？

同学们好，我是小狐狸老师。今天呢，我们来学习几何图形中的一个动角问题。动角问题是咱们七年级上册的最后一个难点问题，咱们先来看一看，是单边动角，也就是说 一个角它有两条边，我们只需要动其中的一条边。第一种类型都是当我们的角度变大的时候，我们所依据的基本公式就是目标角等于七十角，加上速度乘以时间，也就是我们把 ob 这条边绕着点 o 逆时针旋转，那么此时我们的这个 ob 移动到了 b 撇的位置，到了 b 撇的位置的时候，我们就把这个 a o b 撇就等于它原来的角 a o b 加上它运动的这个它的角度，运动的一个速度多少秒一度多少秒一度，用它的这个速度乘以它的时间，这就是我们第一种题型的一个公式。第二种题型就是当我们的角度变小，也就是说 o b 在 绕着点 o 逆时针旋转的时候，再角 a o b 之间去运动，那么当我们的 o b 运动到 b 撇的位置的时候，此时的角 a o b 撇，目标角角 a o b 撇就等于它的原始角 角 a o b， 也就其实角减去，它所走过的这一段角度是不是就是 v a 乘以 t， 它的那个旋转的速度以及它旋转的时间？那第三种题型就是我们的角度先变小后变大，也就是说我们的 o b 这条边绕着点 o 逆时针旋转， 当我们的这个边通过 o a 之后，继续往这边去旋转，它的角度是不是又在逐渐的变大呀？ 那我们在变小的这个过程当中，我们的这个目标角就等于其时角减去速度乘以时间。跟这个公式是一样的， 那当它在继续变大的这个过程当中，我们就是目标角就等于速度乘以时间减去其时角。当我们的目标角走到这里的位置的时候，我们这里是一个 b 撇，那么此时的 a o b 撇就等于这个 o b 旋转走过的这个角度减去它原来的这个角度，也就是此时的角 a o b 撇就等于角 b o b 撇减去角 a o b， 也就是等于 v 乘以 t 减去角 a o b。 这就是咱们动角问题中只有一条边在动， 那当我们的动角问题中出现两条边都在动的时候。好，我们来看第四种题型，运动方向相同，而且是角度要变大。运动方向相同好，它们如果说都在往这个方向去变化， 但是它的角度是在变化的，也就是说 o a 的 角度肯定是要大于 o b 的 角度，这样的话才会出现它的角度是在逐渐变大，因为 o a 往这边扩展的速度比 o b 减少这个角的速度要大。因此说我们这一个角度 o a 运动到 a 撇， o b 运动到 b 撇，那这个角度就等于它原来的这个角的角度 加上这个角的角度，再减去这个角的角度是不是？而这个角就是我们的其实角 a o b 再加上这个角的度数是不是 va 乘以 t， 而这个角的度数要减去，减去 v b 乘以 t， 那 么它就等于角 a o b 加上 v a 减去 v b 乘以 t， 也就是说目标角等于七十角，加上速度差，加上速度差乘以时间。我们看第五种题型，如果说它们是运动方向相同，而且是变小的， 运动方向相同，好，还是按这个方向仍然是往这个方向去运动？ o a 运动到 a 撇，此时就应该是 b 的 速度，应该是 比 a 的 速度要大的，那么 b 的 速度。假如说我走到这儿， b 撇在这儿，那么它此时的这个角度是不是仍然是这个角 a o b 加上这个角，然后减去这个角啊？那我们就把它写一下，仍然是角 a o b 加上 v a 乘以 t 减去 v b 乘以 t。 但是此时因为我们的这个角总体来说是变小的，所以说此时的这个 v b 是 大于 v a 的， v b 大 于 v a。 所以 说我们这个式子是不是就可以解解一下，等于角 a o b 减去括号， v b 减去 v a， 括起来乘以 t 啊？那也就是等于我们的七十角减去速度差，乘以时间。我们看第六个题型，运动方向相反，而且是变大的，那这种方向就是运动方向相反，这个它往这边， b 往这边， 这是 a 撇儿，这是 b 撇儿。那么此时的这个大的目标角，是不是就等于它的这个起始角加上它们两个的速度和啊？所以我们第六个题型就是角 a o b 加上 v a 加上 v b， 括起来乘以个时间，也就是速度和乘以时间。 好，我们看第七种题型，我们的运动方向相反，而且是变小的，运动方向相反，而且是变小的，那么这两个角，那么这两条边就应该是在这个角 a o b 的 内部去运动。相反， 假如说它们现在是这个位置，在相遇之前，在相遇之前，我这个角的速度，我这个角的这个，呃， 在相遇之前，我这个角的大小是不是就等于这个大角减去这个小角和它的小角啊？因此这个大角就是 角 a 撇 o b 撇，就等于角 a o b， 就是 这个大角减去 v a 乘以 t， 减去 v b 乘以 t， 那 是不是就等于角 a o b 减去 v a 加上 v b 乘以 t 啊？也就是其实角减去速度和乘以时间。 我们相遇之后是不是会出现他们两个在这相遇，在这相遇之后，这个 a 继续往这边去旋转，那么此时就会出现我们的 o a 运动到这里是 a 撇 o b 运动到这里是 b 撇 o a 走过的 角度是这一大段， o b 走过的角度是这一大段，那我要求中间这一小段是不是就是它们两个的路程和是不是就是它们两个的角度和减去 这个大角的角度啊？因为这里正好就是有两个角， a o a 撇 o b。 所以 我们的目标角此时就应该等于 v a 加上 v b 括起来乘以 t， 这是它两个大角相加，然后再减去整个原始角 a o b， 减去角 a o b。 所有的动角问题，它们所依据的基本逻辑都是这几种形式里面的，因为我们的边只有两个，一个是 o a， 一个是 o b， 它要旋转也只能旋转其中的一个，要么旋转 o a， 要么旋转 o b。 我 们来看做动角问题的时候，我们 我们来看一下做动角问题的基本步骤。第一个就是你要先确定动线，就是有几个线是在动，谁在动以及动角以及它们的个数。 第二个就是确定动线的起点、终点和速度，其实大家看一看我们的动脚问题，是不是跟我们的动点问题非常像啊？所以我们的动脚问题其实可以是转化成动点问题来做的，以后如果有机会我给大家出视频怎样去转化成动点问题去做。第三步就是列方程，列方程就是依据咱们前面 的这几种公式去列啊，大家一定要注意，在列方程的时候一定要注意一个问题，就是我们所有的动角问题都是要根据 t 的 范围进行分类讨论，试看是不是跟我们的动点问题很像啊，通常的临界点就是相遇点，九十度、一百八十度、二百七十度和三百六十度。 第四点就是在解方程的时候基本上都会进行分类讨论，而且一定要注意，你所有的结果一定是在第二步的范围之内，如果说是不满足这个范围，一定要是舍去的。 我们知道三角板是有两个的，一个是等腰直角三角板，一个是含有特殊角的直角三角板，也就是四十五度的三角板和三十度的三角板，那这些度数就是我们题目中所隐藏的特殊角的度数。因为不管我们的三角板如何去旋转，它的角度大小都是不变的， 因此我们旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数，那角平分线的旋转其实也是同样的度数，我们这种类型你就到了具体的问题之后你就会发现一定，所以我们在做这种三角板的问题的时候，一定要注意，有些条件是题目没有给，但你是知道的就是他们三角板的度数。 好，下面我们再来看一下在我们几何图形中经常会遇到的一个等量关系，就是角度的等量代换。第一个你看已知角 aob 等于角 doc a o b 等于角 d o c 等于九十度，那么结论就是角一等于角二，角三加角四等于一百八十度。也就是说如果说这两个大角相等，而且是九十度，那么我们就会得到角一等于角二，因为角一加角三等于九十度，这里是角三，这里是角一，这里是角二， 然后角二加角三也等于九十度，所以我们就能得到角一等于角二，然后我们的角四是这个大角，虽然它标的不是很规范，我们不能这么去标这个大角，这里是一个角四，那这个角四里面是不是 因为大家看一下我们的这个角 a o b， 角 a o b， 这个大角加上这个大角等于一百八十度，是不是？那这两个相加的话，里面是不是就是出现了一个大角以及一个角三呢？所以我们就得到角三加角四等于一百八十度。 那同样的道理，我们如果说是反向的话，角 aob 等于角 d o c。 第二个图 aob 等于角 d o c， 这个大角等于这个大角，因为它跟它相等，所以它们加上同样的一个角也是相等的，那同样的道理，我们也能得到这两个相加等于九十度，一个周角是三百六十度，所以这个加上这个肯定等于一百八十度。 下面是我们的一个双角平分线模型，我们俩双角平分线模型就是说共顶点的三条射线组成的三个角中，两角共一边，已知任意两个角的角平分线，求角平分线的加角，这是我们的双角平分线模型，那遇到这种模型的题，我们该怎么去做？第一种问题的类型就是 已知 o、 d、 o、 e 分 别平分角 a、 o b， 角 b、 o c， 也就是说角一等于角二，角三等于角四。那你结论就是说角 d、 o e， 也就是这个角二加上角三是等于二分之一倍的角 a、 o c 的， 也就是等于二分之一倍的这个大角，为什么呢？因为我们的角二 是等于，嗯，二分之一倍的角 aob， 我 们的角三等于二分之一倍的角 boc， 这两个相加不就是这个角吗？是不是？这就是我们的双角平分线模型里面没有公共部分的类型。 我们再看第二种类型，如果说双角平分线模型里面两个角有公共部分， o、 d、 o e 分 别平分角 aob、 boc， 那 么 角一等于角二，然后 o e 平分角 b、 o c 的 话，我们就能得到 角一加角二加角三是等于角四的。刚才我们又得到角一等于角二，那题目让我们证明就是一个结论，是什么角 d、 o e， d、 o e， 就是 角二加上角三等于什么二分之一？角 a、 o c 等于二分之一，角 三加上角四，那我们得这个的话，我们这里面是没有角一的，我们可不可以通过这个关系把上面的角一等于角二给换掉，所以他就可以得到二倍的角二加上角三等于角四，是不是？那所以， 所以我们把这个式子化解一下，两边同时除以二，是不是就等于角二加上二分之一倍的角三，等于二分之一倍的角四呀， 那我再让等式两边同时加上二分之一角三，就是角二加上角三等于二分之一倍的角三，加上二分之一倍的角四，是不是就等于二分之一倍的括号角三加角四呀？是不是这里等于，这里就是我们的这个结论呀？ 好，我们再来看最后一种双角平分线的一种拓展模型，是三个角围成了一个周角，如图，已知角 a o b， 这个角 加上角 b o c， 加上这个角加上角 a o c， 等于三百六十度，这是一个周角。第二个 o p e 啊，这里下标 o p e 平分角 a o c， 也就是角一等于角二 o p e 平分角 b o c， 也就是角三等于角四，角三等于角四，那我们的结论就是说角 p e o p 二， p e o p 二，也就是角二加角三。 我们大家要注意，我们的这些角，一般情况下都去找那个没有超过一百八十度的角，它要等于什么？等于一百八十度减去二分之一倍的角 aob。 我 们根据这个式子，我们就可以写出一个式子，是角 aob， 加上角 b o c 二倍的角三，然后再加上角 a o c， 角 a o c， 我 就可以写成二倍的角二等于三百六十度。 那我们这里我就可以等式两，我就可以把这个角 aob 移到这个方向来，就是二倍的角三加上二倍的角二，等于三百六十度减去角 aob。 那 么我让等式两边同时出一个二，是不是就能得到角二加上角三等于二分之一倍的括号三百六十度减去角 aob， 所以就等于一百八十度减去二分之一倍的角 a o b， 是 不是就是这个结论？大家可以把这三种结论自己去推一下，一定不要死记硬背，因为如果说你在死记硬背的话，你做题的时候 一定会出错，因为这种角度你去记的话，是很难去记的。这就是我们几何图形初步中的一些公式总结，你掌握了吗？

除以数学几何题，平面图形的除不认识补角和余角。 今天我们看一下这道题目啊，如图，点 o 在 直线 a b 上， o c 呢？平分角 b o d， 把这个角分成两块，这两块呢就相等了。这是我们题干中省出来的啊。 o e 呢？平分 a o d， 那 o e 把这个角呢分成两块，这两块呢也相等。我们标个角三角四， 所以呢，由题干呢，我们可以推出哎，两个简单结论，角一等于角二，角三呢等于角四。 题目呢，给了我们四个结论，让我们判断这四个结论中正确的是什么。那我们看其中第一个和第二个呢，涉及到互娱互补，我们还是先复习一下基础知识，在课本上，我们怎么定义的这个互补互娱呢 啊？如果两个角的度数之和为一百八十度，那这两个角呢？互为补角，简称互补。如果两个角的度数之和为九十度，那这两个角互为余角，简称互余。这是我们的基础知识啊。那第一个结论呢，是判断 a o e 和 b o c 是 否互余，我们看一下 b o c 在 这是角一， a o e 是 角四，也就是第一个结论啊，是让我们正角一加角四是否等于九十度。 如果他们两个符合这个条件，那自然就互余了，这是我们互为与角的两个角如何判断的唯一依据啊，只看他们的和是否为九十度。那由题目中的条件呢？呃，条件也很简单，我们怎么正出这个角一加角四等于九十度呢？去找和他俩有关系的。 那这两个等量关系其实没有什么要用的，对吧？我们去找他的二倍角，因为角一是怎么来的呀？是平分出来的，他的那个两倍的角是谁呢？是角 b o d。 那 b o d 角和谁啊？和角四的那个二倍角是角 a o d 是 不是很明显的是一个平角一百八十度了？所以从这个方向呢，我们就可以很轻松挣出角一和角一，然后呢， a、 o d 是 两倍的角四，哎， 它们俩相加一百八十度，是不是就能证出来角一加角四等于九十度了？这第一个是对的啊。那这样呢，我们再多说一下，角一加角四是九十度的话，你角一等于角二呀，角三等于角四呀，所以角二加角三，这也是个直角啊。 那么，呃，这里面互为于角，角其实挺多的，你角一和角四互为于角，那角二和角四也互为于角啊。同样道理，角三、角二互为于角，角三角一也互为于角， 这是互余的判断。那第二个阶段的判断是否互补，那互补的判断依据只有一个，就是这两个角啊，角 b o e 加这个角 e、 o d 是 否等于一百八十度？这个条件成立他就互补，不成立他就不互补。那我们直接看图， b o e 所在位置在这， 那图形上呢？有一个很明显的补角 a、 o e 加起来是一百八，对吧？所以我们只要看看这个 e、 o d 和角 a o e 是 否相等就行了，对吧？有底杠吗？角三等于角四，所以这个也是对的吧？ 这是互补的判断啊。那再多说一下，这个，你看 a o c 和这个角一是互补，对不对？那 a o c 和这个 c o d 角二也互补啊？只看他们的和是否为一百八，跟他们在图形上的位置没有什么关系，这是互补互余的判断。 那接着三四呢，是我们的一些简单计算啊，我们看一看，第三个是说 a o d 加 b o e 是 否等于这个右边这个结论啊？那我们发现呢， a o d 和 b o e 有 一部分重合，这个时候呢，我们把这个右边这个 b o e 拆分一下，拆成两部分，它是等于 b o d 这个角加上角 e o d， 对 吧？ 我们为什么要这样拆呀？因为这个 a o d 啊，我们这个 a o d 和这个 b o d 加一起，正好合成一百八十度了，是不是？所以我们这个结论左边呢，其实是一百八十度，加上这个角 e o d， 那 他是否成立，其实就看一下 e o d 和 b o d 这两个角在题目当中是否能找到条件让他俩先等，那显然没有任何条件证明他们成立，对吧？所以这第三个是错误的啊， 那第四个一样的判断，依据 a o c 观察一下位置减 b o c， 哎，这个 b o c 呢，正好和 c o d 相等呀，所以我们只要把这个 b o c 换成角 c o d， 看一下它们的位置，就知道结果应该等于两等于角 a o d， 是 吧？ 角 a o d， 那 角 a o d 正好是两倍的 e o d， 所以呢，第四个也是正确的啊，所以最后呢，正确的是一二四。