华东师大版九年级上册加二次函数试卷

九上数学最难的二次函数全部吃透，冲刺班级前三数学中难点题型，二次函数中的最值问题题型一，几何定理法求线段之合差最值题型二，代数法求线段。最值 题型三，千锤法巧求面积。最值。二次函数与特殊角。题型二，二次函数与等角。题型三，二次函数与二倍角。

到十二月，部分学校已经公布了第二次月考时间，来看一下省实验去年的第二次月考考试内容有哪些 进度相对来讲比较快，那他们已经考到了九下的第二章二次函数，当然我知道部分学校可能没有学到，所以我们只去看一下九年级上册到九下的第一章的相关题目， 它的题型有哪些，然后每个题大概位于什么样子的位置，以及它的难度怎么样。 你给出 cosine 值，让我们求它的值，那它考的是九年级下册第一章锐角三角函数值，那这道题的做题方法就是画出直角三角形，然后找出来角 a 在 哪里就可以。 第二题考的是左式图，那相当于是九年级上册的第五张散式图，属于一个简单题。第三题考的是情形四边形如何转化成菱形？九年级上册的第一张判定，那这里我们可以结合图像去分析。 第四张考的是有两个相等的实数根，也就是一元二次方程的相关概念，对应的应该是二幺，它等于零，也是属于简单题。第五张考到的是概率性问题，九年级上册的第三张也是属于一个简单题 二次函数的题型，所以我们先给 pass 掉。第七道题考的是相似的问题，给的是面积之间的关系，考到的是相似，它跟之前部分学校的期中试卷上的题目类似， 做题方法是要将面积比转化成相似比，考到的是 v。 四、九年级上册相似这一章节的 其中给出来了位次中心，并且给出来了相似比，已经给出来点 d 的 坐标，让求点 d 对 应点的坐标，那这里道题需要注意的是， 在平面直角坐标系里边，以圆点为位次中心，那它们对应点之间的坐标是有关系的，具体关系就能知道这道题的做题方法。 第九题考察的是反比例函数，只不过他跟我们的不等式结合，那这道题依旧要结合图像去分析，会更加好一点，题目稍微有一定的难度，但是还是能得分。 第十题考察的是动点问题加上图形分析，那这个我们之前也讲过，同类型的题目，本质上需要将图一和图二结合分析，将两个图里边的 拐角结合在一块。这道题稍微有一点难度，考察的内容比较综合。 第一题考察的是解一元二次方程，并且考到的是因式分解法，那这道题考的是二次函数的内容，所以我们先给 pass 掉。第十三题考到的依旧是 弧形的相似，还是那句话，三角形相似，得到对应边乘比例即可。那这里的话，它的边长没有直接给我们，而是说向外平移了一个单位长度，那他们的长度相当于是变大了，所以需要表示出来就可以。 这题让我求的是线段长，从图像里面会发现它考的是我们几何的相关内容，可能要结合一部分的相似， 那其中只说了 f 点是中点，没有给出来点 g 的 具体位置，所以可以结合相似的相关知识，把 d g 的 长给求出来，然后使用勾股定律求出 a g 的 长，或者是做辅助线，利用相似比例得到 a g 的 长度。 数学题结合重点，折叠和相似，也是我们在期中试卷里面或者是之前的考试题里面考过相类型的题目，还是要综合分析，能画图的话去画图解决问题，能做出来一种情况就可以。这道题还是有难度的 题，无论是在什么样的考试当中，他都是属于有难度的题目，所以我们现在不强求说一定要做对，关键是掌握学习方法以及做题技巧， 遇到难题如何去分析。一个给出来了三四十五度和贪婪六十度的平方，所以他考的是三角函数值，而第二而第二题他给出来的是这样子，那所以他考察的应该是分式的计算， 那当然他也可以换成解一元二次方程作图，他说的是无刻度的直角去作图， 保留作图痕迹，并且标注相关字母。第一问让求的是 a， d 比上 c， d 等于三比四，所以在句上考的应该是我们的相似。第二小问说画出来三角形 a， b， c 的 角平面 b， e， 所以 考察的是我们的使规作图能力。 十八题让我求的是距离地面的高度，所以它考的是九下第一张锐角三角函数值里面的相关内容， 而且其中给出来了 a、 d 和 d、 e 的 长，所以它也需要我们去结合一部分的相似三角形， 通过相似三角形和三角函数值建立 c、 f 之间的等量关系式出来所求的内容。十九题的第一小问给出来的是增长率相同求表格中的 m 值，所以它考察的是列一元二次方程， 也是我们常考的题型之一。想问他让求的是销售利润什么时候最大，那我们可以先把销售的利润给表示出来，我们知道总利润是等于单价的利润乘以数量， 那这道题里面单线的利润销售单价为 x， 进价为四十，所以单线利润应该是 x 减四十，数量应该是这里的销售量为 y， 所以 它应该表示的是负二 x 加上二百四十，表示出来了总利润 考察的是一元二次函数，那这里就不再过多去赘述。第二十题， 第一小问上判断的是 a、 b、 g、 f 的 形状，那它考察的就是四边形的一个证明，也就是九年级上册第一章第二给出的 e 是 a、 b 的 三等分点，求 d、 f 的 长度，那这里考察的是三角形的相似内容。因为求线漫长，常用的方法就是 全等或者是相似，或者是勾股定律，那是三等分界，大概率考察的是相似。 二十一题考察的是反比例函数与一次函数结合。第一问，常规性的求表达式。第二问，求三角形 o、 a、 b 的 面积，那这里的话它的做题思路比较多， 我们要选择最简单的方法去计算。第三小题说给出来的面积相等，求出点是否成立，那这里就需要分类讨论， 画图去分析，如果不结合图像，可能观看会有点难度。二题考的是一元二次函数， 所以那这道题就不过多去分析。你考察的是几何的综合应用。那第一小问他给出来的是 pba 的 角度，让我求的是 cba 的 角度，那你这些 只要把题中给出来的条件往图里面一标，基本上就没有什么大问题。而第二小题，我们给出来的是 tc 形形于 ab， 让我求的是 tc、 q 和 ab 之间的疏通关系，那这里你就要结合图像 作图去分析，然后把其中的相关条件给标上去。而第三小题给出来的是点 b 关于直线 a、 t 对 称，然后给出来三角形 d、 p、 c 位等腰直角三角形的时候，面积之间的相关关系还是要根据题目条件先画出来图像， 根据图像去找所谓的等量关系，再根据等腰直角三角形得到三角形 面积之间的关系即可。整套试卷来讲，它不仅仅考察了九年级的相关知识，它还有一部分 七八年级的知识，也就是咱们所说的只会做图、做角、编辑线以及分式的计算。 另外它还涉及到了九下的第二章二次函数的相关内容。学校如果没有学二次函数的话，可以先把这一类型的题先给 pass 掉，然后再去做这。

各位同学大家好，我是小明习长，今天我将带大家继续学习专题二十二点四，利用二次函数求面积周长的最值问题。我们在前两课已经学了考点一，求面积的最值问题 以及考点二，利用二次函数求周长的一个最值问题。我们今天要学的是第三类题型啊，利用二次函数求线段的一个最值问题。 好，我们来看这个真题。四川内江统考中考真题如图，在平面直角坐标系中，这个抛物线过 b 点 c 点以 y 轴交于点 a， 零的负二，求该抛物线的表达式。第一题是不是送分题很简单，待定系数法对不对？ 好，将 a、 b、 c 带入的，带入的什么？十六、 a 加四， b 加 c 等于零，四， a 减二， b 加 c 等于零，然后 c 等于负二。好，各位同学可以解一下啊，我这里就直接写了， a 等于四分之一可以解的， b 等于 负二分之一， c 等于负二。所以解析式为， y 等于四分之 x， 平方减去二分之 x 减二等于减二。啊，是，这个是解析式啊，好，我们看第二个。 若点 p 是 直线 ab 下方抛物线上的移动点过点 p 做点 p 做 y 轴的平行线以点地球。 二分之一的 pk 加 p d 的 最大值以及此时点 p 的 坐标。我们来看一下二分之一 pk， pk 是 哪一段？ pk 是 这一段， p d 是 哪？ p d 是 这段，是不是不太难呢？为什么不太难？因为 p k 是 平行以 x 轴的对不对？ 然后 p d 是 平行以 y 轴的对不对？好，所以说 p d 是 平行以 y 轴的， p 点的横坐标减去 k 点的横坐标对不对？然后 p d 是 不是只需要用 d 点的纵坐标减去 p 点的一个纵坐标，对吧？好，那我们就相当于是就要把这个三个点 分别用这个坐标表示出来，然后相减，就可以求出这个。那我们直接啊来开始做这道题。 第二问，减，我们设 p 点坐标为七，然后多少？它的纵坐标是不是在这个抛物线上？四分之 t 方减去二分之 t 减二，对不对？而且 p 在 下方， p 在 ab 下方，所以 t 应该大于零小于四。好，这是 p 点坐标，那 p 点坐标所以 d 的 坐标为多少？ d 的 坐标是不是为 t 的 零？好，又，因为 k 在 直线 a b 上， ab 的 解析式为多少？我这里就不写了， ab 的 解析式，我这个就简单一点， ab 的 解析式为 y 等于二分之一， x 减二啊，好， 因为 p k， 我 们看到他们重坐标是相等的，所以我们把这个，把这个 k 点的横坐标求出来就可以了，对不对？所以我们可以知道二分之一倍的 x k 减二是等于 p 点的重坐标的，对不对？它是平行的吗？等于四分之 t 方减二分之 t 减二。 好，我们把它画一下，二分之一倍的 x， k 是 等于四分之 t 方减去二分之七的，然后 x k 是 等于二分之 t 方减去 t 的， 所以 k 点的坐标为二分之 t 方减 t， 然后纵坐标跟 p 是 一样的，等于四分之 t 方减二分之 t 减二。好，那我们这里就可以知道了， 二分之一倍的 p k 加上 p d， 它是等于多少 p k， 因为 p 在 它的下方，所以说是 p 的 横坐标减去 k 啊， p 的 横坐标减去 k， t 应该减去二分之 t 方减 t， 然后加上纵坐标， d 点的纵坐标是零，减去 减去它的纵坐标，对不对？ 四分之七方，减去二分之七减二，好，我们画一下。这个等于二分之一 t， 减二分之七方加 t， 减去四分之 t 方加二分之 t， 然后加二。 二分之一倍的二 t 减去二分之 t 方，减去四分之 t 方加二分之 t 加二。最后我们把它整理一下啊，整理成这种顶点式的一个形式，可以把它画成什么样的？ 可以把它画成负二分之一的 t， 减二分之三的平方，然后加上八分之二十五，好，然后这里有一个 t 大 于零，小于四，所以可知当 t 等于二分之三的时候， 二分之一 p k 加上 p d 有 最大值，对不对？ 多少八分之二十五，好，所以此时 p 点的坐标为多少？ p 点坐标为二分之三的负的十六分之三十五啊，把它带进去就可以了，这就是第二问。 好，我们接下来来看这个第三问啊，若抛物线在对正轴上是否存在一点 m？ 对 称轴上是否存在一点 m？ 对 称轴为多少？对称轴为 x 等于范围内等于一，就是 x 等于一上是否有一点 m， 使得三角形 m a b 是 以 ab 为以，以 ab 为一条直角边的直角三角形。 那我们看一下啊，是不是 ab 为？这边是不是要垂直于他呀？对不对？那是不是有这种可能？这里垂直，这里有一个 m， 是 不是也有这种可能？这里垂直对不对？这里也是 m， 对 吧？是不是相当于是有两种可能的？好，那我们接着直接来看这题啊。 图形在这里的有两种可能，第一种可能是的，这个是直角，然后过 b 点是直角，那 b m 一 是直角边， 另外一个过 a 点，那 am 二这条边也是直角边，然后 b m 二这个，然后是这个斜边，我们来看一下啊。这第三问解，是不是设 m 坐标， e 的 m 对 不对？因为它在 x 等于一上嘛，对不对？在 x 等于一的这个对准轴上面嘛？好，第一种，当 当这个 b m e 为直角边的时候， 直角边的时候 是不是有这个？所以什么？所以 a m 一 的平方是应该等于 ab 的 平方，加上 b m 一 的平方的，对不对？好，我们知道 a 点的坐标是多少？ a 点坐标是零的负二，然后 b 点的坐标是多少？ b 点的坐标是四的零。 好，所以我们可以知道 ab 的 平方是多少？ ab 的 平方是等于 am 一 的平方，减去 bm 一 的平方啊，我们把这个式子解一下， ab 是 一个定值嘛，对吧？ ab 是 一个定值，这边是等于多少？ 四减零的一个平方，四减零的一个平方，加上零减去负二的一个平方，零加二的一个平方嘛。这边 am 一 等于一减零的平方，加上 m 减负二的平方， m 加二的一个平方，然后再加上减掉，这是减掉， 减掉 b m 一 的平方，四减一的平方啊，一减四啊，一减四的平方，加上 m 减零的一个平方啊， 是这样子，我们看一下这边是多少？这边是十六加上四，这边是二十等于多少？等于一 加 m 加二的平方，减掉，这是多少？一减四，九加 m 的 平方， 二十应该等于一加上 m 的 平方，加上四， m 加上四减九，减去 m 的 平方。好，这个是不是可以给这个消掉啊？四 m， 把这个移项移过来 就可以得到四 m 是 等于多少？四 m 是 等于二十加九二十九，二十九减五二十四，所以 m 等于六啊， 对不对？这是第一种可能啊，就是 m 等于六，然后使它为直角三角形。第二种可能，当 am 二为直角边时， 是有什么？ g a m 二的平方加上 ab 的 平方等于 b m 二的平方，所以 ab 的 平方是等于 b m 二的平方减去 a m 二的平方啊。我们看一下 ab 的 平方，这个依旧是四减零的平方 加上零加二的一个平方等于多少？ b m 二的平方，我们看一下 b 是 四的零，好，四减一的平方 加上零减去 m 的 平方，零减 m 的 平方减掉 a m 的 平方，零减一加上负二减 m 的 平方，负二减 m 的 平方啊， 这还是二十等于四减一九加 m 平方减掉一加 m 加二的平方。二十等于九加 m 的 平方减掉 一加 m 平方加上四 m 加上四加 m 平方，减一减去 m 平方，减四， m 减四，好，这个可以跟这个抵消。把四 m 移过来，就等于九减一 减四减二十四 m 等于四减负十六 m 等于负四， 所以这个 m 点的坐标为多少一的负四好，是不是有两种可能，第一个是这个， 然后第二个是多少一的六，对不对？ m， 对 吧？所以有两种可能啊，这就是我们今天要学的考点三，利用二次函数求线段的一个最值问题。 好，那我们今天课程就到这里结束，感谢各位同学的观看，如果有任何疑问，欢迎在评论区留言。呃，也如果有需要资料的也可以在评论区留言。好，谢谢。

大家好呀，今天给大家带来华东交通大学二零二四级微积分一 a 卷的，嗯，题目。 首先来看第一道题目题，呃，上面是等差数列求和，呃，我们化解一下， 呃，采用抓抓大头的方法，嗯，把这个一次性忽略掉，只关注二次这样的系数即可，那么就是二分之一，嗯，第二题， 函数 f x 的 无穷点，无穷阶段点为，那么我就需要分解它的每一个阶段点的类型。首先，呃，化解一下这个函数表达式，那就是 x 的 绝对值， 呃，除以 x 减三， x 减二， x x 减二，嗯，那么它无定义点，分别是 x 等于零， x 等于三和 x 等于二， 那么 x 等于零的时候，由于它带了绝对值，那么极限肯定是互为相反数的，嗯，那么左极限和右极限不相等，并且存在，那么就是跳跃阶段点， 嗯，而 x 等于二的时候，它的极限值为负一，也就是左极限和右极限都相等，那么它是可去间断点。当 x 等于三的时候，呃，它的极限是， 嗯，当它的，它的极限可以化为这样子， s 趋近于三，嗯，那么这样的表达式，那么它就趋近于无穷了，所以就是无穷渐变点。 嗯，这种题目的话，呃，由于它是零比零行，为什么是零比零行呢？因为你 x 垂直于零的时候，这样是零，那么上面的话，整体就为零，下面的整体也为零，那么对它分子分母同时求导的话， 嗯，就是三以二， x 除以 x 除以一，那么这一个 配凑一下，这乘以一个二，后面乘以一个二，这是一个一，那么就是一个二，四不离积分接一个，化解一下，是 x 的 二分之五次方，二分之五次方的话，就是 二分之五加一分之一， x 的 二分之五加一加 c， 那么就是七分之二乘以幺 s 的 二分之七次 y 加 c 定积分。呃， f， 呃，定积分。我天零杠三经济。第二。这个图像是这样子的，我画了一下， 然后对他分段求积分就可以了，就是对零一和一二，因为这是他们那个分界点。这个函数表达式也比较简单，就不讲了。呃，一的话， 呃，他说他的无穷小量等价，等价的意思是他们的极限之比为一， 嗯，极夜之笔。为一的话，由于分子的话是根式解一个数，我们可以把它由理化一下。嗯，同时以根号 x 加一， 那么就化解成了 x 减一，除以一个 k 倍的 x 减一，除以根号 x 加一， 那么就等于，呃， k 乘以根二 x 加一分之一，呃，那么把一带进去，把一带进去就是二。 k 分 之一等于一，那么 k 等于二分之一。呃，第二题的话，求高阶导数。 呃，这，由于三 x 和三 x 的 导数具有周期，介，它们的周期为，呃，四， 嗯，它的一档是 cosine x， 二档是负的 cosine x， 三档是 cosine x， 呃，对应的话，四 n 加一，四 a 加二，四 a 加三，由于五十除以四，余的是二，那么就对应的是这一种情况，嗯，那就是负的 cosine x。 嗯，设需求弹性，那求需求弹性的话，有这样一个公式，你只需要把 f x 的 导数求出来，把这个二带进去即可。 来看第四题，呃，求 f x 的 补递积分，那么要求 f x 的 补递积分，首先要求出 f x 的， 呃，表达式。 f x 的 表达式的话，怎么求呢？这一呃，这里已经 给出了 f x 的 关系式，对，左右两边求补递积分。呃，求导数的话，就可以求得了 f x 除以 x， 那么最终的话， f x 是 等于 x 除以根二加一减 x 的 平方，把它带进去，嗯，求不定积分。我们首先提出一个二分之一，把这个 x 放进去变成 s 的 平方，然后再开根号一减， 嗯，不用开根号，就是提出一个二分之一，把 s 放进去变成 s 的 平方，然后贴一个负号，变成一减 s 的 平方就可以了。就是这个，那么就是一个负的呃，一减 s 的 平方加 c， 嗯，第五题，求广积分。呃，首先 呃，这一个是换元法就可以做了，就把 x 提进去变成 x 的 平方，这里乘以一个负负二分之一，贴一个符号，那么就是一个负二分之一的 e 的 负二，负 x 的 平方。 三、解答题一，当 x 趋近无穷时，函数 f x 的 无穷小量，呃，求 a b 的 值。 然后，呃，这一步的话，就是首先对分子呃，进行分子，对这一步进行化解。兄弟，这苏联把我推回来，首先对这一步进行化解。呃，使用多项式除法， 嗯， x 方减二， x 除以 x 加一，最终得到了 x 减三于三，那么就是这样一个表达式， 解去它把还有相同的相的系数提在一起，那么很容易看出来，当 s 趋近无穷的时候，这肯定是零，这肯定也是零，那么这也肯定是零，所以就得到了 b 等加 a 的 意思。一、 第二题的话，呃，求它的极限 f x n， 你 要想求 f x n 的 话，是不是得求它的横坐标，这里的横坐标啊，嗯，那么 f x 的 导数等于 n 乘以 x 的 n 减一次方， 那代入 x 等于一，那么 k 就 等于。呃，为什么代入 x 等于？因为这是一一嘛。 嗯， k 则不等于 n， 把它的点结式设出来。那么另外等于零，为什么要设到 y 等于零呢？与 x 轴相交于一点 x n 零，那么 x n 的 话就是一减 x， 一 减 n 分 之一，呃，带入 一减 n 分 之一二 n， 这就是一个重要极限嘛。相当于就是一减 n 分 之一二 n， 这就是一的负二次方嘛。 第三节的话，求 d y， 你 首先要求它的导数，求它的导数的话，这一步正在化解。嗯，首先是对一加，对 ark 探记，它设，把它设为妙，就是一加妙方分之一妙就是它整体带进去， 然后接下来对它进行求导数，求它，求它求导数的话，这里我写的很详细，就不多说了。嗯，那么最终破解的话是二 x 除以 x 的 四次方，加一 d y 就 等于这个。呃，第四题的话，求单调区间与。其实呃这个高中知识就可以了，不多说了。第五题的话，取舍 x 是。 呃，使用三角化圆是 x 等于三 x， 那 么 d x 就是 口三，呃，口三 e t d t， 那 么最终化解的话，下面是口三 e t， 当然这个 呃最终化解的话就是三引 t 的 平方。有的同学到这一步就卡住了。呃，遇到三引的 t 的 二 n 次方和口三引 t 的 二 n 次方，我们使用 将二幺二 t 二分之一加 cosine 二 t 即可化解。那么最终是化解到这一步。呃，化解到这一步的话，把 t 还原为 x 即可。那怎么还原呢？就是三角形法。 呃，这里的话，画出来 cosine x 等于 cosine t 嘛？ cosine t 就等于一个 x 比一嘛，那么这是 x， 这是一，那么这就是一减 x 的 平方，呃，那么很容易就得得到了最终的结果。第六题，就定积分。呃，这一步的话是分布积分法。 呃，呃，我写的很详细，我来一步一步处理一下。首先把 x 提进去，提出一个二分之一， 就是这一步，然后乘一些相乘减去，呃， lo 就是 lo， 一 加 x， d x 的 平方二分之一 f 零一，就是 把它相乘，然后减去呃， d 洛以 x， x 的 平方 f 零一二分之一 d 洛以 x 的 话，提出来不就是，呃， d 一 加洛以 x 一 加 x， 所以 就到了这一步。那么接下来化解的话，把这个解一再加一， 我们这里 x 减一， s 方减一，不就是 s 减一，所以 s 乘以 x 加一加一，呃，除以最终的这个一加 x， 那 么就化解成了这样的表达式，那么就我们就可以对它求积分了。 对它求积分的话，最终结果是这样，把零一带进去即可。四分之一啊。第一题，求斜列进阶的方程， 求斜渐线形的方程的话，怎么求啊？呃，首先要求它的斜率，斜率的话就是它的表达是除以 x， 当 x 趋近无穷的时候的极限，这个很容易就求得了，是一记，呃， 求它的截距的话就是，呃，它的表达是减去一个斜率乘以一个 s， 它 s 趋近于无穷时候的极限，那么这一步的话，呃，画到了这一步，它是无穷成零的形式，我们可以 呃采取画成分式的形式，变成无穷比无穷或者是零比零的形式，那么我这里是画成了 嗯，零比零的形式，对他进行落笔倒落笔打秋极限，然后最终得到了这一步，把他消掉，把他消掉，把无穷带进去，他是零，那么就是一分之一。第二节的话，我已经把图画出来了， 呃，这一节的话就是主要就是带公式，公式我写在了后边，方便大家阅读，我就不说了。 第五题的话，证明题，呃，有同学不知道怎么勾到这个函数，首先就是，呃，你可以进行把这个，首先，呃，把 f x 和 f x 的 导数提在一起 化解一下，那么是化解到这一步。对，他同时求积分的话，就可以得到这一步，你再把这个移过去相加，那么就得到这一步。 那么很明显，现在它就显而易见了，令 f x 等于 x 的 三次方乘以 f x， 由于 f 小， f x 在 零到 b 区间零到一上也是在开区间零到一上隔到， 所以呃 f， 又因为 f 零等于 f 一 等于零，根据罗二定律， 嗯，那么就得到了证明。好了，这就是呃，二四级微积分的一道题目，呃，我也是第一次才知道。嗯，尽管学院考的是微积分而不是高速，所以接下来我可能会更新一些微积分的题目，谢谢大家。

先来看道题，把二次函数 y 等于 x 的 平方减四， x 减三，向上平移若干个单位后，过点一负二，求平移后的解析式。 我们先把函数图像画出来，点一负二，在这，那平移后的图像就经过了这个点 过点一负二，向下做数值线，那数值线与原函数图像的焦点的横坐标也是一纵坐标为 y 等于一的平方减四乘一，减三等于负六，则这个点坐标为一负六。可以看出，一负六平移到一负二，就是向上平移四个单位。 所以新的抛物线图像也是原图像向上平移了四个单位，得到的新的抛物线。解析式就是 y 等于 x 的 平方减四， x 减三加四，等于 x 的 平方减 x 加一。 由此得出，如果抛物线平移后经过某个点，那我们就先把平移前的坐标给求出来，再看这两个坐标点的关系，求出二次函数平移的量，最后得出平移后的二次函数解析式。 再来看看左右平移的问题怎么解决？以这道题为例，如果将抛物线 y 等于负二， x 的 平方加八，向右平移 a 个单位后，恰好过点五零，求 a 的 值。 另外等于零，算出 x 一 等于负二， x 二等于二，即图像与 x 轴的交点的横坐标是负二二， 当 x 等于零时， y 等于八，于是我们就可以画出这个抛物线的图像了。因为抛物线 y 等于负二， x 的 平方加八，向右平移 a 个单位后，恰好过点五零，那就是从二到五，图像向右平移了三个单位，也就是 a 等于三了。 就只有这一个答案吗？显然不是，因为图像还可以这么平移，从负二平移到五，即向右平移七个单位，那就是 a 等于七。 因此，这道题的最终答案有两个，那就是 a 等于三或七。可以看出，抛物线左右平移过某点时，平移的距离可能有两个取值。 最后来总结一下对于抛物线上下平移后过某点的问题，我们需要求出这个点平移前的坐标， 然后再计算出这两个坐标点的距离及图像平移的距离，最后得出平移后的二次函数。解析式，当抛物线左右平移过某点时，平移的距离可能有两个曲值。怎么样，你都学会了吗？

已知二次函数 y 等于 x 方加二，乘以 a 加一， x 加上三， a 方减二， a 加三， a 为常数。第一问，若该二次函数的图像与直线 y 等于二， a 方有两个交点，求 a 的 取之范围。 那么从学一次函数的时候，我们就知道求两个函数图像的交点，可以把这两个函数连立起来，从而去求解这个方程。 那么我们先将这个二次函数和 y 等于二 a 方连立起来，他已知这两个图像有两个交点，那么就意味着这个方程有两个不相等的实根。 那么把二 a 方挪过来之后，化成一般式之后，我们就可以从德尔特的符号去分析，将德尔特这个式子列出来，也就是 b 方减 c a c， 那 这里的 b 是 二括号，一加一 a 就是 一 c 呢？是这个整体 好列完德式子之后，划到最简，我们令德的式子大于零，可以求出 a 的 范围， a 大 于二分之一。 第二问，若该二次函数图像与 x 轴有交点，求 a 的 值，那么第一个我们还是可以考虑从连立的角度去考虑 x 轴呢？可以理解为 y 等于零这条直线，那么我们把二次函数和 y 等于零这条直线连立起来，就得到这样一个方程， 又或者说还可以从哪哪个角度去考虑呢？ x 轴上的点纵坐标为零，那么我们可以把纵坐标等于零代入，得到的也是这个方程。 那这个方程呢？它说，哎，函数和 x 轴有交点，但它没有，具体说有一个还是有两个，那就意味着这个方程它是有实数根的，但是有怎样的实数根呢？哎，都可以。所以呢，我们要令德尔塔最终的结果大于等于零， 那德尔塔最终的结果划到最减之后，得到的是负八乘以 a 减一的方，要让这个整体大于等于零，那我们先两边同乘负号， 然后在两边同时除以八，得到的是 a 减一的方小于等于零。那这个式子啊，我们从理解的角度先去理解分析一下 a 减一的方， 这是一个非复数，也就是说他要么是大于零的，他要么是等于零的，那么现在我要求他小于等于零，显然小于零是不可能成立的，哎，只能从等于零的这个方向上去成立，那么他什么时候等于零呢？也就是当 a 等于一的时候。 所以第二问的结果呢？ a 等于一，第三问求证该二次函数的图像不过原点，那我们先考虑什么情况下这个二次函数图像过原点呢？ 那如果二次函数图像过圆点，那就意味着这个二次函数中的 c， 也就是这个整体是等于零的啊。或者说我们把圆点零零这个点带进去，也同样可以得到这个式子等于零， 那他要不经过原点，就意味着我们要去证明这个式子不可能等于零。那么单看这个式子来看的话，我们发现他也可以看作某一个二次函数，当然和本题这个二次函数并不是一个，那我们就练这个式子等于 t， 那 t 等于三， a 方减二， a 加三，我们把它当做一个新的二次函数。那么想要证明这个二次函数不可能等于零，那我们不妨先去通过配方法去分析一下它的开口方向，或者说最值，好通过配方法我们得到它的开口是向上的， 并且呢它有最小值，那这个最小值是三分之八。那么大概画一个草图，我们会发现这个二次函数图像，它是位于 x 轴上方的，和 x 轴没有交点，所以它不可能等于零，因为它所有的函数值都是大于零的， 所以我们就得到三 a 方减二， a 加三不可能等于零。那么反过来就可以说这个二次函数图像不经过原点。

如图，二次函数 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴交于负一零三零两个点，那么下列四个结论正确的是，我们分别来看。第一个， a、 b、 c 乘积小于零， 那么根据图像可以得出 a 是 大于零的，因为开口向上，那么对称轴的判断，我们有一个口诀是左同右异，左和右，指的是对称轴在外轴的左侧还是右侧，那同和异是指的是 ab 的 符号， 显然这个对称轴位于外轴的右侧，那么 ab 是 一号的，所以我们可以得出 b 是 小于零的，那 c 代表与外轴交点的位置是小于零的，所以说啊，是负半轴，所以 c 是 小于零的，那么 abc 乘积就是大于零，所以一是错的。 那再来看第二个选项， b 方减 c， a c 大 于零，那么我们知道 d r 等于 b 方减 c， a c。 那 二次函数中 d r 与什么有关呢？与这个二次函数与 x 轴的交点有关。 那么本题中二次函数与 x 轴有两个交点，所以 dy 是 大于零的也没错。第三个，当 y 大 于零时， x 大 于负一小于三。好，二次函数 y 大 于零的部分，那也就是位于 x 轴上方的部分，那是这段和这一段， 这两段它们对应的 x 的 范围分别是什么呢？显然这一段对应的 x 的 范围是 x 小 于负一， 这一段对应的 x 的 范围是 x 大 于三，所以这个题是错的。他说的这个 x 大 于负一小于三，指的是这一段，那应该把这个相应的改成 y 小 于零，就跟这里哎，就匹配上了。 第四个，对于任意实数 m 都有 a， m 方加 b， m 加 a 小 于等于零。好，那我们先观察这个式子，看它的前两项， a m 方加 b， m 和我们这个二次函数是非常相似的，那么它缺少 c， 并且呢这边加 a 啊，是多余的，所以我们可以第一步先考虑把这个加 a 给移向移过来，移过来之后呢，我们在两边同时加上 c， 目的是呢，就是把这边凑出本题中这个二次函数的形式， 那其实 x 换成 m 其实是没有问题的，因为变量他换任何的字母表示都可以， 这里就成了我们本题中的这个二次函数，那也就说它对应的图像是这个，它小于等于负 a 加 c， 那 一般这样的形式，我们都会考虑这一这个式子是否是这个图像的最值？ 好了，那么这个图像的最值显然在这个地方，那怎么样去表示这个最值呢？它对应的这个地方，哎，就是对称轴是一，也就是当 x 等于一的时候，取到我们的最值，那把 x 等于一带进去， 带到这个函数中，所以直接变成了 a 加 b 加 c， 但是和这个还并不是完全一样的，我们还是要考虑怎么能不能像这个去转化，那从这个式子到这个式子，我们会发现 b 没有了，怎么把 b 给转化掉呢？ 其实对称轴呢，就非常清晰的表示出了 b 和 a 之间的关系，负二 a 分 之， b 等于一， 所以 b 等于负二 a， 那 我们可以把 b 替换成负二 a， 那 这个式子最后就变成了负 a 加 c， 也就通过验证，这个式子的确是我们这个题中的最值。但是还有一个地方要关注的是， 图中显示这个地方是最小值，那这个式子所表现的意思是不是最小值呢？显然他是一个最大值，就是这个式子体现出来的。这个式子应该是个最大值，但实际上他是最小值，所以这里就矛盾了，他应该改成啊，这里应该把这个符号反过来写， a m 方加 b， m 加 c 大 于等于负一加 c 就是 对的。所以我们不仅要验证这边的式子是否是最值，还要观察一下这个符号是否正确。最后一个五 a 小 于负四 c， 那么在这道题中，二次函数与 x 轴的交点是具体的，那我们可以先回想一下，我们如何去求二次函数与 x 轴的交点呢？我们会将 y 等于零代入，那继续再去计算，就相当于去解一个一二次方程， 那么解出来的方程的解或方程的根其实就是焦点的横坐标。那在解方程的时候，我们知道对于方程的根，我们是有一些哎特别的公式的，比如说两根之积等于 a 分 之 c， 那么既然这个题中已经告诉我们最后的焦点是负一零和三零，那就意味着这个方程解出来的根就是一个是 x 等于负一，一个是 x 等于三，那么两根之积就可以把 a 和 c 联系在一起，而这个式子正好判断的就是 a 和 c 之间的一个关系。 那么我们把这个式子代入 x 一 乘 x 二等于 a 分 之 c， 那 也就等于负三，所以 c 就 等于负三 a， 那我可以把这个 c 等于负三 a 带回到这个式子中去，验证一下这个意思是否是成立的。 那么我们先把负四 c 移过来，也就是五 a 加四 c 小 于零，把 c 等于负三 a 带回去之后呢？五 a 加四 c 就 等于五 a 减十二 a 就 等于负七 a， 那 由于 a 是 大于零的，所以负七 a 小 于零是没问题的，所以这个选项呢，是正确的。 那么最后第一个是错误的，第二个是正确的，第三个是错误的，第四个是错误的，第五个是正确的。最后的正确选项只有第二个和第五个，所以这个题呢，应该选 b。

我们今天来看华东师大版九年级上册的第二十二章一元二次方程，这一章的重点内容聚焦在二十二点二节一元二次方程的解法上。 说到解方程，大家已经学过直接开平方法、因式分解法和配方法，但遇到复杂系数时，有一种方法就像一把万能钥匙，能帮我们快速打开所有一元二次方程的大门。这就是我们今天要学习的公式法。 我们聚焦三个关键学习目标。首先看第一个目标，理解一元二次方程求根的推导过程， 这个推导过程藏着配方法的精妙，我们得亲手演算几次才能真正吃透。第二个目标要能熟练套用求根公式，最考验功力的是第三个目标，面对不同特征的方程，能像老中医把脉一样，快速选择最佳解法。 记住，公式法虽然是万能钥匙，但灵活选择解法，解析速度能提升几倍。接下来咱们回顾一下解一元二次方程的基本思路，大家看这个流程图，非常直观的展示了整个解析逻辑。首先要把高次方程降为低次， 这就是我们常说的降次思想。具体怎么操作呢？主要有三种经典方法，第一种是直接开平方法， 比如 x 的 平方等于九，直接开方就能得到 x 等于正负三。第二种是因式分解法，适合那些能拆成两个一次式的方程。第三种是配方法，通过配方凑成完全平方式来解决更复杂的方程。 那么为什么要先降次？因为把二次降到一次后，方程就变得容易处理了。而接下来咱们要学的新技能公式法，能让我们解题越狠力， 下面我们深入探讨配方法的应用，大家看这个问题，请你用配方法求解下列方程。回忆一下配方法的四个步骤。首先是整理方程，确保二次项系数为一， 接着移项，把常数项移到等号右边。然后就是关键的配方环节，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方， 这样左边就能配成完全平方式了。最后开平方记得要取正负两种情况。那么再进一步，如果面对一元二次方程的一般形式， a x 的 平方加 b， x 加 c 等于零， a 不 等于零，你会用配方法求解吗？不妨自己试试， 记住，关键是要让二次项系数化为一哦！看到这个一元二次方程的一般形式，首先第一步，整理，把方程两边都除以 a， 注意 a 不 能为零，这样方程就变成了 x 的 平方，加上 a 分 之 b 倍的 x， 再加上 a 分 之 c 等于零。 接着分析关键步骤，移项，把长竖向 a 分 之 c 移到右边，左边保留 x 的 平方和 a 分 之 b 倍的 x。 这时候重点来了，配方要怎么配？注意看中间向 a 分 之 b 倍的 x， 时时可以拆成二，乘以 x， 再乘以二 a 分 之 b。 我们只要在等式两边同时加上二 a 分 之 b， 这个数的平方左边就能凑成完全平方式了。现在理解这个变形，左边变成 x 加二 a 分 之 b 的 平方，右边呢？ 通分后是四 a 的 平方，分之 b 的 平方减四 a c。 你 看，通过整理一项配方，三步走，再难的方程也能迎刃而解。 刚才我们讨论了配方法的前三步，接下来重点看看开平方的条件，注意看这个配方结果， x 加上二 a 分 之 b 的 平方等于四 a 平方分之 b 平方减四 a、 c。 这时候你可能会问，方程右边到底要满足什么条件才能开平方呢？让我们仔细观察这个分式。分母四 a 平方永远大于零，关键就在于分子 b 平方减四 a、 c。 回忆一下平方根的性质， 只有非负数才能开平方，所以必须满足 b 平方减四 a， c 大 于等于零这个重要条件。现在你明白了吗？接下来咱们直接开平方， 注意右边分母四 a 平方开出来是二 a， 分 子 b 方减四 a， c。 要保留根号解出来的 x 等于负，二 a 分 之 b 加减二 a 分 之根号下 b 方减四 a、 c， 最后合并就得到求根公式。发现没，分子部分像两个孪生兄弟，只是正负号不同。记住这个推导过程，下次遇到配方问题就能举一反三。 既然刚才我们用配方法推导了求根公式，现在直接来看它的标准应用公式法，一元二次方程的标准形式。大家要牢记， a x 的 平方加 b， x 加 c 等于零，注意 a 绝对不能为零。 这个神奇的求根公式， x 等于二 a 分 之负， b 加减根号下 b 方减四 a、 c。 就是 刚才配方的最终成果。但这里有个关键条件， b 方减四 a， c 必须大于等于零。公式法就像数学里的万能钥匙，比配方法省时省力多了，但别忘了， 这个公式可是通过严谨的配方过程推导出来的。知其然，更要知其所以然。这里留个思考题，为什么强调 b 方减四 a、 c 大 于等于零？如果小于零会怎么样？下一节课我们就来揭晓答案。接下来我们一起做几道经典例题， 用公式法解这几个二次方程。先观察第一题二 x 的 平方加 x 减六等于零，怎么解呢？跟着我一题二， x 的 平方加 x 是 负六。 关键步骤来了，计算 b 方减四 a、 c， 也就是一的平方减去四乘二乘负六，得到四十九，这个完全平方数是正数。这时候解就简单了，套公式， x 等于二， a 分 之负 b 加减根号四十九， 算出来两个解，分别是二分之三和负二。当然，除了公式法，我们还能用英式分解法来求解。现在来看第二题， x 的 平方加四， x 等于二，首先得把它整理成标准形式，我们把右边的二移到左边， 就变成了 x 的 平方加四， x 减二等于零。现在系数就很清楚了， a 是 一， b 是 四， c 是 负二。接下来计算 b 的 平方减四 a、 c， 也就是四的平方减去四乘以一乘以负二 等于十六，加八得到二十四，这里算出来是正数。因此用求根公式代入计算， x 等于二， a 分 之负 b 加减根号下 b 的 平方减四 a、 c 约分号减化为负二，加减根号六。这样我们就得到了两个减 x， 一 等于负二，加根号六， x 二等于负二，减根号六。 再来看第三题五 x 的 平方减四， x 减根号六。再来看第三题五 b 是 负四， c 是 负十二。 关键步骤来了，计算 b 的 平方减四 a、 c， 也就是负四的平方减去四乘五乘负十二，得到十六，加二百四十等于二百五，十六是正数， 因此套用求根公式， x 等于四加减根号二百五十六除以十，根号二百五十六是多少？对，就是十六。 所以分子变成四加减十六，约分后得到二加减八除以五，最后得出两个解， x 一 等于二 x 二等于负五分之六。第四题，观察这个方程，四 x 的 平方加四， x 加十等于一减八 x。 第一步要做什么？ 对，先移项化简，把所有项移到左边，就得到四 x 的 平方加十二， x 加九等于零。注意看系数， a 是 四， b 是 十二， c 是 九，然后计算 b 的 平方减四， a、 c 算一算十二的平方是一百四十四， 减去四乘四乘九，正好等于零，符合公式法的前提条件。那么套用求根公式，最终解就是 x 等于负二分之三。有趣的是，这个完全平方式的特征其实藏在系数里。四 x 的 平方加十二， x 加九，不就是二 x 加三的平方吗？ 所以直接开平方也能得到相同结果。对比前面三道题，你们发现了吗？当 b 的 平方减四， a、 c 为零时，答题过程会特别简洁。这种特殊情形在考试中往往是送分题， 但千万要记得检验化简步骤是否到位哦。接下来，我们结合刚才的例题，梳理一下公式法解一元二次方程的关键步骤，整理、确定、计算、代入、化简。这就是我们解题的黄金五步走。第一步，将方程整理为一般形式。 第二步，确定系数，找到方程里 a、 b、 c 这三个数字分别对应什么？注意，这个环节可千万不能看错符号。 第三步，计算 b 的 平方减去四 a、 c， 判断它是否满足公式法的前提条件。第四步，代入公式时要注意细节，分子部分负 b 的 符号别漏掉分母二 a 要整体作为除数。最后一步，记得结果要写成最简形式。 这五步就像精密的数学流水线，环环相扣。下次遇到新题目时，不妨按这个框架一步步来，你会发现再复杂的方程也能迎刃而解。 刚才我们总结了公式法的步骤，现在来看看解一元二次方程有哪些方法可以选择。面对同一个方程，不同同学可能会用不同的解法解析，关键要看哪种方式最省力高效。首先明确四种基本方法，直接开平方法、 因式分解法、配方法和公式法。最理想的情况是能用因式分解法，比如遇到 x 的 平方减五， x 加六等于零，这种能拆成 x 减二乘 x 减三的方程，三下五除二就能解出来。要是方程已经像 x， 再加一的平方等于九，这样摆好平方形式，直接开平方就是最快的选择。配方法特别适合处理 x 的 平方加六， x 加五等于零这类方程。因为二次项系数是一，一次项系数又是偶数，配方过程会很顺畅。而公式法就像个万能钥匙，特别是当 b 的 平方减四 a、 c 的 值比较复杂时， 虽然计算步骤多些，但总能保证求出解，因此优先尝试英式分解，不行，再根据方程特点选择其他方法。记住，没有绝对最好的方法，只有最适合当前方程的方法。下次做题时，不妨先观察方程特征，再选择最优解法试试看。 愉快的一节课很快就要结束了，本节课你收获了什么？知识方面学到了我们的核心工具，通过 求根公式这个万能钥匙，求解一元二次方程。但数学从来不只是套公式，我们还需要掌握数学转化思想，比如把复杂方程转化为标准形式。最后，你有哪些感悟呢？ 感谢大家的参与和专注，希望这堂微课能够给你带来启发和价值，我们下节课再见！