锐角三角函数大题练习题河北

来，这个题，不会的，先罚站十分钟，罚你站着停啊。来看题，如图，锐角三角形 a、 b、 c 中以 b、 c 为直径的半圆 o 以 b、 c 为直径来，又出现了，直径，又出现了， 那直径。在我们三角函数题，这是一个三角函数题，来看题目， cosine 角 b、 a、 c 的 值，是不是一个三角函数题啊？这个问题很明显就告诉我们，这是一个三角函数题，那三角函数题目中的直径，上节课我们讲了，还不会 啊，直径是干嘛用的？一般都是用来做直角三角形的吧。来，继续， 这都没用，交交点都没用。来看面积，三角形 a、 d、 e 的 面积和四边形的面积之比是一比二，来，面积之比是干嘛用的？来这个地方我们学什么时候学过？是不是学相似比的时候才有面积比？ 是不是？那我们告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们什么？我们要知道这个条件怎么用啊，是不是？那这个面积比怎么用啊？面积比是一比二， 那告诉我们面积比，实际上是为了告诉我们相似比啊， 是不是？但是这个三角形和这个四面形相似吗？那肯定不相似，那实际上我们看图就知道了，实际上是这个三角形 a、 d、 e 和三角形 a、 c、 b 相似吧，对不对？它们两个相似，那它们两个相似，但是呢，它只给了我们面积比， 我们怎么知道他俩相似的？我们是不是要证明一下啊？所以这个题的第一个难点出现了，我们不会证明 这两个三角形相似，是不是？是不是？你来继续？还有一个难点就是在这里，这个直径不会用，但是呢，我上节给你讲过一个类似的题了，这个直径是怎么用的？ 是不是直径所对的圆周角是直角，所以通过这个直径我们可以勾到直角三角形，是不是？所以我们这里来，我们看直径 b、 c 怎么勾到直角三角形？第一个，我们可不可以连接 c、 d？ 或者我们可不可以连接 b、 e 啊？这个对于这个题来讲都是一样的，我们连接一个就可以了。来连接出 c、 d 来之后，角 bc 是 不是九十度？ 那你看直角三角形是不是出现了？而如果让我们求角 b、 a、 c， 也就是角 a 的 cosine 值，也就等于 a、 d 比 a、 c 吧，而 a、 d 比 a、 c， 是 不是就是这两个三角形呢？相似比来对应边 a、 d、 a、 c， 我 特意写成对应边，是不是 好直？直径，现在我们用上了，这个三角形出现了，那这里面积我们怎么正相似呢？这是这个题难点来了，怎么正相似？ 那这个时候就要用上一个我们之前学过的条件了，在哪里学的圆？那这个地方为什么有的同学不会啊？是因为它圆的基础没打好，你看 b、 d、 e、 c， 这是个什么四边形？ 这是个圆内接四边形吧，圆内接四边形有什么性质呢？ 对角相等，所以我们得到角 b、 d、 e 就 等于，哎，不对，等于角加角 b、 c、 e 等于一百八十度吧，对不对？而我们还知道 角 b、 d、 e 还加谁等于一百二十度啊？角 b、 d、 e 是 不是还加角 a、 d、 e 等于一百八十度啊？来角 b、 d、 e 加角 a、 d、 e 等于一百八十度。来看，这两个式子 同角的补角相等，这也是我们学过的吧，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e 吧。啊，所以角 a、 d、 e 等于角 b、 c、 e。 哎，这两个角相等，加上他们有个公共角，是不是两个三角形相似了？ 来，这两个三角形相似之后，它们的相似比等于多少？我们只知道面积比。来这两个三角形，首先它们的面积比等于多少啊？ 来，三角形的面积是一，四边形的面积是二。我们假设一下，三角形的面积是一份，四边形的面积是两份，这是我教给我学生们的，看到比例按照分数去做 啊，这是占一份，这是占两份，所以大三角形的面积占几分？占三份，所以这两个三角形的面积之比是 一比三吧，对不对？面积之比是一比三。那相似比呢？ 也就是开根号吧，开根号我们要分别开根号，也就是一比根号三吧， 所以我们就得到了来相似比，也就是对应边的比，这都是知识点啊。所以 a、 d 比 a、 c 就是 一比，刚好三吧，来，也就是三分之刚好三。所以这个题选 d 一 点也不难，一定要把它拿下。

哈喽，同学们大家好，我们又又又又见面了，已经第二十七个又了，考场上给你十秒钟做这道题，那么百分之九十的人一定会出错。好，老师今天继续给大家避坑出三陷阱题来看黑板上这道题，他考察的仍然是我们的锐角三角函数。好，给大家回顾一下锐角三角函数它适用的范围是什么？是直角三角形对不对？ 今天这个图，这个这道题里面他确实告诉我们他是一个直角三角形了，但是他的坑就在于他有没有告诉你他的角哪个角是直角，是不是没有告诉你？好，所以看到一个直角三角形之后，一定要去确定哪一个角是直角啊，所以他的坑 也跟你说了啊，对于这个未明确我们的直角啊，是哪个角？ 好，接下来我们来看这道题，它到底该如何去解决呢？它给了我们一个角了，角 abc 是 三十度，所以那这里边谁就不可能是直角了， abc 就 不可能，其实我们的 b b 这个点不可能是直角了，那就有可能谁是直角。第一种情况就是有可能角 a 等于九十度啊，有可能角 a 等于九十度，那我们去画一个它的草图 好， abc， 然后这个角度是我们的三十度，而 ab， 题干中告诉我们了， ab 等于二倍 根号三啊。然后接下来我们求谁，求的是 a c 的 长，我们去选择，接下来就去选择三角函数就可以了。显然所求的边是三十度的对边已知边是三十度的邻边，我们就用 tangent 三十度 啊，它到三十度，然后它对边是 a c， 邻边是 ab， 代入数据 ab 是 二倍根号三， ac 是 所求好，它的三十度是三分之根号三。如果有有的同学忘了，那么我们一定要去回顾一下这个特殊值，一定要去记住，好，接下来去解 ac 好， ac 就 等于 二啊， a c 就 等于二，所以我们的第一种情况就出来了啊， a c 是 二，第二种，第二个，那么角 a 是 九十度，还有可能谁是九十度，那么我们的角 c 也是九十度啊，角 c 也是九十度，好，所以我们来再画一个草图， 仍然这个角是 c， 好， 然后我们的 abc， abc 这个角是 三十度角啊，三十度角。现在告诉我们 a b 是 二倍，根号三，好，还是让我们求的是 a c 啊，求的是 a c。 现在已知边儿是斜边，所求边儿是三十度的对边，所以我们选的是下引三十度啊，下引三十度等于对边比斜边好，所以它的对边是 a c， 斜边是 a b， 然后下引三十度是等于二分之 一等啊。最后我们求出来 a c 就 等于根号三，所以它这个有两个答案，一个是二或者是根号三，两个答案啊。好，所以那咱们今天这道题给大家避坑到这里啊，一定要注意，如果一个三角形告诉你它是直角，但是未明确哪个角是九十度，我们一定要进行分类讨论，你学会了吗？好，拜拜。

同学们好！九树上第十六讲刷二零二四中考锐角三角函数真体，抓考点、提效率。本讲聚焦锐角三角函数核心考点， 包含三类高频题型，一是仰角、俯角实际测量体向卫星高度、建筑物高度、谷树楼高测量占比超百分之四十，关键是构建直角三角形，利用 sin cos 建立边角关系。 二是特殊四边形、矩形、菱形、正方形与三角函数结合体，常考折叠对称动点问题，需灵活运用四边形性质转化角度和边长。 三是基础计算与线段长度求解，侧重公式应用和几何推理。解题锦囊，记牢这三点，一、遇实际问题，先画直角三角形，标注已知角度和边长。 二、特殊四边形中巧用对角线中点对称性质找直角。三、牢记特殊角三角函数值，结合参考数据精准计算。这些真题覆盖全国多省市考情，掌握这些题型，锐角三角函数模块就能轻松拿下！好的， 我是郑州李老师，相关真题的高清截图已放入评论区，有需要的同学可自行保存。春风数学寒假预招生中，想要提升和拔高的同学也可直接咨询我们，下一讲再见，记得关注再走哦！

零基础学会单招数学第十五题 y 等于三 x cos x 最小值，这个能想到二倍角公式吗？但是它差个二，是不是你可以凑个二啊？可以这么写， y 等于二分之一，乘以二乘以三 x cos x， 然后呢，这个二给后边这个三 x 和三 x 组成一组，就等于 y 等于二分之一倍的，这是是不是二倍角公式就等于三二 x 这一步得会， 关键是这一步。然后呢？最小值呢？就看前面这个 a， 呃，他是相当于是他这个是 a 是 二分之一，所以他最小值呢？就是二分之一啊，最小值是负二分之一，这个得知道。

好，我们继续学习这个锐角三角函数啊，之前讲过一个定义，叫做锐角三角函数当中的正弦。那我们来看看余弦，余弦的定义就是如图所示，在 r t 三角形 a b c 当中，我们把锐角 a 的 邻边与斜边的比叫做邻弦，也就是 a c 比 ab 好。还有一个定义就是正切，正切的话还是在这个直角三角形当中，它看的是角 a 的 对边与邻边之比，它记作角 a 的 正切啊，是角 a 的 正切，记作 tangent a， 即 tangent a 等于角 a 的 对边比上邻边，也就是 bc 比 ac。

哥们，诱导公式知道是什么吗？诱惑什么？诱惑公式有多诱惑？ 鸡变藕不变，请我炸酱面。行同学再来一年吧。啊，好嘞，讲一下诱导公式，其实这一章呢，你理解之后啊，特别的简单，什么都不需要背，你看我给你出的这些题啊，都这么长，为什么呀？就为了折磨？呃，就为了让你们学会 懂了吧，特别简单是吧，听完这堂课啊，你应该说是都可以会了。来，首先第一句话啊，基变偶不变。 那什么意思呢？什么叫基变不变啊？这个基指的就是基数加上一个字，倍，这个偶呢，指的是什么？哎，对喽，偶数倍。 什么叫基数倍啊？一三五七九，偶数倍呢？二四六十是不是？那是谁的倍数啊？你要记住了，是九十度，或者说什么二分之派的倍数 的几倍。举例子，二百七十度是它的几倍，是三倍，这是不是就叫做基啊？ 那如果是派，是他的几倍，注意了，是两倍，这个不要错啊，初学者很容易错，这是偶，哎，老师，为什么？这不是一个派吗？但是说的是二分之派的几倍，这就是第一句话，即变偶不变，你就学完了， 看好啊，我要给你举例子了，就拿第一道题来举啊，这是不是有一个二分之派，这是几倍，这是一倍， 一倍积变。哎，老师，这个变是什么意思啊？就是把 sun 啊变成 cosin， 那 如果原来题里面写的是 cosin 呢，就变成什么 cosin， 这里边你看啊，因为是一倍积变，所以我要把 cosin 变成什么 cosin， 然后干嘛啊？然后直接把 alfa 抄下来 就完事了。哎，你说老师，二分之派呢？二分之派让我用几遍，五遍给弄没了。那你再来啊，看着，我再给你写一个都擦掉啊。 sun 二分之派，剪了发，哎，你说老师毁了，这有个符号啊，没关系，还是第一句话，即便 cosin， 然后呢？ g 变， o 变，直接抄啊， cos 阿尔法。注意了，此时这个正符号对于我来说， 干嘛我根本就不看，就是我眼里啊，根本就没有符号，就我就直接抄下来，再来啊，三负二分之派加阿尔法，你说老师毁了，这是负的， 没关系啊，是不是正符号在我眼里根本就没有，是不是一倍啊？积变 直接抄，哎，老师再来一个负二分之派，减 alph 干嘛 cos 啊？ alph？ 为什么积变， cos 变成 cos， 然后呢？符号根本不看，直接抄下来， 这就叫第一句话，既变偶不变符，呃，就没了啊。但是这个问题出在哪了？你看这四个式子是不是一不一样啊？但是为什么结果一样呢？因为咱们还没有写完，就要说到下一句话了，叫做什么？符号看象限， 符号看象限，这句话是什么意思呢？首先啊，咱们先画一个象限， 第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，然后写什么呢？ s， c， t， st， c， 这是我惯用的一个写法啊，这个 sin， cos and tan 呢，就是代表这些字母。什么叫 s， c， t 啊？就是第一项线啊，第一项线，这个 sin， cos and tan 呢，都是正的。 第二项线呢，只有什么是正的？ sin 是 正的，第三项线呢，只有 tan 呢，是正的。第四项线呢，只有 cos 是 正的。这个东西啊，其实是根据这个 就是三角函数的图像总结出来的，你看看，这是 sin 的 图像，你看零到派是不都是正的呀？ 就这么着来的，你呢？我呢？这，这是什么？小孩们还跟我说过什么全是天才。这个也可以啊，也挺好，就是你爱怎么记怎么记，反正我比较喜欢的就是 s c t s t c， 就 用这个字母就都来了， 全是天才是什么意思啊？第一项现在是全就都有，然后是天才，这么着就来了，是天才。那你看着啊， 哎，老师，这句话什么意思？就是符号看相线啊，你说这个我已经懂了，什么叫符号看相线啊？看好了，无论这个阿尔法啊，就是当你在用这个公式的时候，这个阿尔法无论是多少度的角啊，它就是一亿度负一万度，无论你爱多少度多少度啊，一律看作是锐角， 就是一律看作是锐角，只要我用这个公式就给他当做锐角。这时候你就想了啊，二分之派加上一个锐角，也就是说九十度加上一个锐角啊，是第几象限？你说老师，我好像就是说反应不过来了啊，你可以人为的啊，你就让这个阿尔法是多少度啊？一度 或者说十度都行，你不就好算了吗？你想想啊，九十度，假如说啊，九十度加上一个，这个，这个十度是不是一百度呀？ 那你想一百度是不是第二象限散第二象限是不是还是正的？就说啊，这个东西它是什么？它是正的，所以说我前面这个符号啊，也得是正的，所以散二分之派加阿尔法就是 cos 阿尔法，懂了吗？ 再来啊，再来，哎，你说老师，咱，咱看第二个啊，散二分之派减了法。首先我第一句话啊，咱们刚才用的第一句话叫做即变无穷，写出来了也是 cos 了法。那你看啊， 二分之派减了法，也就九十度，九十度减去一个什么。我说了啊， alfa 都是什么角？都是锐角，那我就让 alfa 多少度，十度行不行？你想想九十度减十度， 八十度第几项线？第一项线三是不是还是正的？所以前面还要加什么号？正号。所以啊，还是什么？ cos 阿尔法？看啊，这个是 cos 阿尔法，这个也是什么 cos 阿尔法。再来啊，咱们刚才又说了这个了， 微乱啊，只能说是微乱写在这啊，散负二分之派加 r 法等于什么？积变偶变考散 r 法，我直接抄了。然后呢， r 法多少度啊？十度，这是多少度？负九十度负九十度加十度是多少负八十度负八十度是递减相减 第四象限。第四象限只有谁是正的？ cosine 是 正的， cosine 是 正的，那我这 sine 就 应该是什么？就应该是负的。所以啊，注意了啊，原来这个函数是正的，你看啊，原来这个函数是正的，我就要在前面加什么号？正号， 但是加正好就跟没加一样，所以不管了。原来我这个函数是什么号是负的，我就要在前面加什么号？符号，所以你看啊，这个东西的最终结果变成了什么？负 call 三阿尔法，你能不能听懂现在？所以说啊，这个符号看象限看的是什么啊？这个符号看的是什么？是看的，原来这个函数就是原来这个式子正还是负，原来这个式子是正，就比如说这个啊，是正，它前面都是加正号， 如果原来这个式子是负，哎，老师，为什么负啊？因为 sin 负八十度，第一次相切，它是负的，所以我要在前面加什么号？负号。那你再来啊，咱们还有一个是什么？嗯，这呢，哎，不行了，乱的我都不行了，重写啊， 三二分之二减 alpha， 那 这个哦，负，这有个负啊，我给你出了四种情况。那你就想啊， 首先第一步，基变哦不变， cos alpha 直接抄下来的。然后呢， alpha 多少度啊？是十度，这个是多少度？负，九十度，负九十度减十度，是不是负？一百度负一百度，第几项线？第三项线， 第三项线，只有谁是正的？只有 t 是 正的。但是我这道题是不是这是 s 呀？所以说它是负的，所以说前面就要加一个什么号符号，听懂没有？ 这就是奇变偶不变符号看象限就学完了，剩下的就是说什么，就是解决这些题， 你说老师我好像没有看太懂啊，那咱们做题来啊，做题 第一题， sin alpha 加上二分之派。首先啊，二分之派是不是 g 啊？直接写 cos alpha， 然后呢， alpha 加上二分之派，第几项线？第二项线，第二项线。原来我这个东西是不是正的呀，所以前面啊，不需要进行任何的变化，加上什么 cos 二分之派，减 alpha， 二分之三派，这是不是积啊？因为是几倍三倍，所以积变偶不变，直接抄啊。 sum alpha， 但是没完呢，积变偶不变，符号看象限，二分之三派减 alpha， 二分之三派是不是在这啊？减一个 alpha 啊，就是减去一个锐角，应该是第几象限？第三象限。 老师，为什么你要转不过来弯啊？你就干嘛二分之三派，二百七十度减去 alpha， 减去一个锐角，也就是减去十度，是吧？二百六十度。那你就想着第几象限？第三象限，第三象限， cosine 是 不是应该是负的？所以我要在前面加一个什么号 符号能跟上吗？所以啊，分子就变成什么了，就变成 cosine 减 sine， 分 母呢？ sine 加 alphine， sine 加 alphine 是 什么？ pi 是 基变，偶不变，所以就是 sine alphine。 老师，为什么？ pi 是 不是偶数是两倍，所以偶不变？ sine 还在，还写成 sine alphine， 抄下来 符号看下线 pi 是 多少度？ pi 是 一百八十度，加上一个 alpha， 是 不是第三象限？第三象限只有 t 是 正的，所以这个东西是什么？是负的？所以我要在前面加上一个什么号符号，也就是它啊，这个东西变成什么？负的？向量 f。 再然后啊， cosine 负 alpha 等于什么？等于 cosine alpha？ 老师，为什么？因为 cosine 图像长这样，它是偶函数，偶函数是什么？ f x 等于 f， 负 x， 就 相当于直接把这个符号怎么拿掉， 所以 cosine 负 alpha 就是 cosine alpha。 那 你看啊，分子是 c 减 s， 分 母呢？也是什么？ c 减 s。 最后答案 一，就这么着。那第二题，散派减 alpha 即变偶，偶不变散 alpha 符号看下线，派减 alpha， 一 百八十度，减去一个锐角，第几项线？第二项线，所以这个散还是什么正的不用管。下一个 cosine 二派减法怎么办啊？记着啊，只要出现二派，直接删掉 cosine 出现二派 cosine 或者说 sin 呢？ 只要出现了二派就能直接删掉。老师，为什么？其实这是因为什么？ cosine 和 sin 这个图像呢，都是以二派为最小正周期， 所以呢？加减二派为最小正周期。所以呢， cosine 六派 就是 cosine 零。为什么加减二派都无所谓，我就加减几个二派，三个二派， cosine 七派就等于 cosine 派。为什么呀？因为我减去一个什么六派，加减二派都无所谓。所以啊，你看着这个 cosine 二派， cosine 二 pi 减 alpha 就 等于 cosine 负 alpha 就 还等于什么 cosine alpha。 因为咱们上道题说了啊，是偶函数，所以这个东西啊，就是 cosine alpha 啊，分子写成啊， cosine alpha 前面那个是什么？奇变？偶不变算 alpha， 再看后边啊， cosine 负 alpha 加上二分之三派来 是不是积呀？因为是三倍，所以啊，积变 sum alpha 就 直接抄啊，不用管正负号。然后二分之三派 减去 alpha， 也就是减去一个锐角二百七十度啊，减去一个锐角，你每次转换不过来，你就给它转换成角度二百七十度，减去一个锐角，是不是还是正的还是负的？是不是负的呀？ 所以啊，要在前面加个什么号？符号也就这啊， sine alpha， 把符号提前，再然后看分母，分母干嘛积变 sine alpha， 然后二分之派减 alpha 是 第几项线？第一项线，第一项线， cosine 是 不是正的？所以说前面不需要加任何符号， sine 负派减 alpha， 基变偶偶偶不变 sin alpha。 然后呢，符号看象限负派啊，在哪？负派是不是倒着走啊？这是负一百八十度，这是负一百八十度啊， 然后他说什么呢？再减去一个锐角，你比如说减十度，就是负多少度，负一百九十度，一负一百九十度，是不是跑这来了？第二象限，第二象限人家原来是不是就正大，所以不用管。所以这，这还是什么 sin alpha 刚刚刚刚直接消掉了。所以啊，这堆一化简是什么？负的 cosine alpha？ 人家问你什么呢？ f 三分之派就是 f 六十度啊， cosine 六十度是不是二分之一啊？最后答案负二分之一，就这么着， 能不能听懂？就每道题啊，都这样，你说你把这种就这一大串的题会了再考你什么三二分之三派加 r 法，那多简单呀。那这个呢？接着话讲啊， sin pi 加 alpha， 积变 o 不 变 sin alpha， 但是没完啊。 pi 加 alpha 是 第几象限？哎，我听见你说的了啊，你说第三象限，嗯，第三象限它是不是应该是负的啊？所以要在前面去干嘛？加个符号，然后 cosine 三 pi 加 alpha， 我直接写成什么？我直接写成 cosine pi 加了吧。哎，老师，为什么呀？因为我说了啊，能够加减什么？加减二 pi， 我 这么着写是不是相当于把这个角给它变小了就好算，懂了吗？ cosine pi 加了吧，来基变偶偶偶偶不变， 是不是 cosine alph 再然后没完呢啊？ cosine pi 加 alph 就是 既变偶不变 cosine alph， 但是没完。符号看象限 pi 加 alph 是 不是还是第三象限？第三象限它是什么？它是不是负的？所以我要在前面干嘛？加个符号？ 哦，这儿还是乘法，所以把这儿啊，把这儿删了就得了，也就是负三 alpha 乘以负的 cos alpha， 然后呢？ cos alpha 二分之派加 alpha， cos alpha 二分之派加 alpha， 写这儿啊，积变 cos alpha， cosine 二分之派加了法。符号看象限，二分之派加上一个锐角是不是第二象限？第二象限 cosine 是 什么？是负的，所以要在前面加一个什么号符号，也就是负的三 alpha， 这就是分子 符号，看象限啊，要看原来这个函数，就原来这个是正的还是负的，如果是负的，就要给你得出来的这个结果， 加个符号再来这啊，三二分之五派减 alpha， 我 直接写成三二分之派减 alpha， 为什么呀？因为我减去了一个什么二分之四派， 三二分之派减 alpha 来积变 cosine alpha 符号看象限，二分之派减去一个锐角是不是还是第一象限？第一象限它是不是还是正的？所以啊，就直接写 cosine alpha， 然后 散负派减 alpha 积变，偶偶偶偶不变是吧？散 alpha 直接抄，然后呢？负派减 alpha， 没事啊，忘了你就画图。负的一百八十度，我是不是得这么着走，哎，走着走着到这了，负一百八十度，他说减了法减去多少度，减十度，负多少度，负一百九十度，是不是跑这来了？然后怎么记得刚才说过呀， 也就是说第二项线它是不是正的啊，正的就不用管了，就直接把这个化简的结果直接往上抄 sin alpha， 那 你看啊，看着啊，这个哒哒复为正了对不对？然后 sin sin cosine， cosine 消掉了，所以最后答案啊，负的 sin alpha 有 没有学会啊？你看咱们这其实做了一百道题了，是不是继续 一定要学会啊？你学会了，你这种东西你说根本忘不了，你要没学会呢你，你这道题蒙对了，下道题你可能蒙不对了，再来啊，第四题，哎，你说老师我聪明了啊，我直接碰见二排，我直接给删掉行吗？没问题，你删掉之后是不是算负 r 的 话， 这时候就来了啊， sum 负 alpha 等于负的。 sum alpha 为什么？因为因为它是奇函数。咱们刚才说啊， cos 负 alpha 等于什么？等于 cos alpha， 因为它是因为，为什么这么着写？因为它是偶函数。那这个东西呢？它是什么？ 奇函数，你也可以怎么记啊？就奇函数，直接把这个符号干嘛？哎，提出来了简单不？奇函数就提符号，偶函数干嘛消符号。 嗯啊，继续给我讲，累了都。这个啊，这是什么？负的？ sine f。 然后呢？看啊，该来看这个了， 基变，偶偶偶，怎么着？偶不变，也就是它是变成什么 cosine alpha 先抄下来啊，还没完呢，基变不变符号，看象限派加 alpha。 第几象限，第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的，所以要在前面加个什么符号？ 我说的有点快啊，再来看这啊，哎。积变，所以是什么？ sum alpha 符号，看相线二分之派加 alpha 是 不是第二相线，第二相线 cosine 是 不是应该是负的？注意了啊，看，原来是正的还是负的啊。 cosine 是 负的，所以我要在前面加上什么号，哎，符号， 这个 二分之十一派减 alpha， 我 立马写成，什么 cosine 二分之三派减 alpha。 哎，老师，为什么呀？因为我刨出个什么二分之八派，然后你看这个啊，基，基基是吧？基变三 alpha， 二分之三派减 f。 二是第几象限？二百七十度减去一个锐角，二百七十度减十度，二百六十度二百六十度，第几象？第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的？因为第三象限只有 t 是 正的，所以我要在前面是干嘛加个符号。哎呦，怎么这么多呀， 然后呢？看分母啊，这这这个分子刚刚弄完 cosine 派减 alpha， 基变。哦哦哦，不变 cosine alpha， 但是没完啊。派减 alpha 是 不是第二项线？第二项线 cosine 是 不是负的，所以在前面加个什么号符号？ 然后这个三三三派减 alpha 怎么办？我直接写成三派减 alpha， 因为我去掉了个什么二派派减 alpha， 积变 o 不 变 没完呢啊？派减 alpha 是 第几项线？第二项线符号开箱线，咱们还得用呢啊，第二项线它是不是正的，所以不用管了，就还是这个结果，就还是这结果啊， 然后这个，哎呀，积变偶 不变 sine alpha 直接超。然后呢？符号看象限啊，负派是不是负一百八十度啊？负一百八十度，再减去一个锐角减十度。负负负负负多少度？负一百九十度，第几象限？第二象限，所以它还是什么 sine alpha？ 那这个呢？行啊，我已经看，我已经知道你说出来了。二分之派加 alpha 是 不是基 变 cosine alpha 符号看象限，二分之派加 alpha 是 不是第二象限？第二象限 cosine 本身就是什么正的，所以这儿不用改啊。 cosine alpha， 来吧，这都什么玩意啊，负负负负，是不是这个上面没符号了，然后干嘛？ 呃，这个这个，这上边记着啊，上边就没符号了。那我给你写写吧。嗯， s 乘以 c 乘以 s 乘以 s， 下边什么负？ c s s c 所以 啊，你看，咱就消了 c c 一 消， s s s s 一 消，所以最后答案啊，是负的贪占特阿尔法，因为 s 除以 c 不是 t 吗？懂了吗？是不是觉得老简单了现在。 然后这个第五题不中了啊，我也要不中了，这个三阿尔法减二零二五派，我立马啊，我立马写上三，阿尔法减，呃，派， 为什么呀？因为我把二零二四个派干嘛给去掉了？就是阿尔法减派， 能懂吗？就是加减三百六十度啊，加减三百六十度都能去，我就相当于加了一个二零二四 pi， 然后这个呢？ cosine 写成什么？二分之 pi 减 alpha。 为什么呀？因为我去掉了一个什么二分之八 pi 分母写成什么？ cosine 负 alpha。 为什么呢？因为我把二零二四派直接干嘛去掉了。 tanthan， 我 写成什么？写成 tanthan alpha， 哎，老师，这是为什么呀？很简单啊，还是根据周期来决定呢。我刚才说为什么这个加减三百六十度可以呢？因为 sine cosine 的 周期是三百六， 摊着的呢，它是加减派就可以，因为它的周期就是派。注意了啊，摊着的是加减派就可以了，所以我直接就消掉了。那你看啊，咱接着化简。 阿勒法减派即变。哦哦哦，不变算阿勒法，抄下来符号看一下下。阿勒法减派。阿勒法多少度啊？你就当做是锐角是吧。十度十度减一百八十度，是不是负的？ 一百七十度啊，第几象限？第三象限，所以是负的啊，所以在前面加一个什么符号？那 cosine 二分之派减的法呢？积便是吧。 cosine 二分之派减的法，第几象限？还是第一象限，所以不用改啊，分子看着啊，分子就变成什么 负的三乘以三分母呢？ cosine 负 alph， 哎，你说对了，是不就是 cosine alph， 所以 就 cosine 啊，然后呢？再来这个还是 t t 就 写在这儿， 怎么做怎么接着化简呀。啊，这就简单了啊，看着啊，我直接从这分开。这不就出答案了吗？看着啊， s 除以 c 前面加个符号乘以什么呀？ t 分 之 s， s 除以 c。 不是 t 吗？负 t 乘以 t 分 之 s 就 等于负的 三就得了。这就是即变哦。不变啊，符号看象限诱导公式所有的考点了。就是你把这题都学会啊。你这回头看你那卷子上那个单个的那题你卷子上怎么出你单你卷子上也就出个这个。那你是不是都会了？都给我讲冒烟了。

来答疑一下，借着题呢，我也给你讲一下最小正周期的原理。还是那句话啊，方法都是万能的，你呢，基础不好你就学会怎么做拿分，你基础好呢，就要学会怎么样更快的解析。 看第一个啊，首先还是啊，降密扩角。降密扩角 现在是不是四分之一 x， 怎么扩角？四分之一 x 直接乘以乘以二变成二分之一 x， 最小正周期是二派除以 x 前面的数，所以是二派除以二分之一最小正周期四派减完啊，哎，你说这个不就是 二倍角公式吗？没有错，降密扩角就是二倍角公式的一个总结。但是啊，如果你说我每次都用二倍角，如果把这改成什么？改成二分之三倍的 cos， 方四分之一 x 减五，你再用二倍角公式算，太难算了， 懂不懂？这就是为了让你简化，就是降密扩角。你再看第二题啊，第二题就更能把这句话运用的淋淋尽致。 散乘以散，你说这里边这个角不一样呀，但是啊，就是这种题啊，它只可能说是什么，把一个散变成 cos， 其实就是散乘以 cos， 但是你根本不用管啊，如果你正常来做，你是需要给他变成同样的角的，就散多少 cos 多少，然后再用二倍角公式。但是当你知道了降密扩角之后，你根本不用散，乘以散就是多少， 是不二次呀，二次方，我这个角还是 x， 怎么办？降密扩角 x 变成什么？变成二 x， 然后二派除以二派，听懂没有？这就是这种做法的便捷性。 那你看第三个啊，第三个是什么？二次方减二次方还是多少？二次方一次减一次加，减一次还是一次？一次乘一次？二次？ 既然是二次方了啊，怎么办呢？降密扩角这儿，原来这个角是四 x， 怎么着？扩角变成八 x， 然后二派除以八四分之派，就这么着做，就很快 降密扩角，原来这个角，原来这个角是二 x， 就 扩成什么四 x， 原来是三 x， 就 扩成六 x。 扩角的意思就是变成原来的两倍，两倍啊，降密扩角是把原来的二次方降成一次， 这叫降密。什么叫扩角呀？把原来的角扩大成二倍， 再然后第四题，第四题怎么办啊？这是有人问我的，你会发现啊，他这个，这个是 x， 这个是二 x， 这个是三 x， 对 不对？ 跟前面咱说的啊，这都不一样，是吧？前面你无论这个是什么，这个 x 啊，看，这是 x， 这是四 x， 这是四 x， 它都一样，那这个不一样怎么办？那我问问你啊，什么叫最小正周期？最小正周期是怎么来的？举例子， y 等于三 x， 我 用这个来举例啊，它的图像长什么样？是不长这样啊？什么叫最小正周期呢？你就可以给它理解成两个字，叫做循环，就是多少亿循环。那你想啊，我走到这，我再往下走，是不是就长的一样了？ 从这走到这，这叫多久？这叫二派，也就是说二派怎么着？易循环。那 cosine x 是 不是也是这样啊？这叫做二派易循环。你看着啊，我先写出来， 他的最小正周期是二派，因为是二派除以一，他的最小正周期呢？是派，他的最小正周期呢？二派除以三，二派除以 x 前面的数。他问你啊，这三个东西合一块循环是多少？ 再举例子，你呢？在操场跑步，你每跑两圈啊，你就歇一会。你比如说你跑两圈你能歇一会，跑四圈你也能歇一会，你跑五圈能歇吗？哎，就不能歇，就是说什么你两圈算是一个任务，你完成这任务就能歇一会，那我呢，跑三圈是一个任务， 就是我跑三圈能歇，跑六圈能歇，跑五圈能歇吗？不能歇。现在我说啊，咱俩这个跑圈啊，必须得跑的一样，你比如说咱俩一人跑一百圈，跑二百圈，是吧？那累死了就。我现在就问你啊，咱俩跑多少圈，咱俩都能歇着呀，那你就想得跑几圈？跑六圈。 哎，为什么呀？你是不是完成了三回，那我呢，完成了几回？两回，这个就叫做什么？原来你的最小正周期就是你的一个循环是两圈，而我的一个循环是三圈，那咱俩合一块，循环，变成几圈， 变成六圈。你说的没错，得用什么法？乘法就跟这个一样。那你看这玩意啊，他原来一循环啊，你可能用派啊，你用派？你你，你不太那个清楚。 那我再给你举个例子啊，我现在啊，你跑两圈是一循环，我跑四圈是一循环了，那咱俩跑几圈都能歇着了？跑四圈，为什么？这时候？你想想，你跑两圈时候变成我了，其实这个东西就叫做最小公倍数。 那你看啊，我给你带派，是吧？你可能不太那个，那个能反应过来，那你就想咱都给他转换成度数就更方便。三百六十度，这个东西是三百六十度啊，这个东西呢是一百八十度，这东西呢 三分之二派。一百二十度。那你就想啊，这仨的最小公倍数是多少？哎，你说对了，三百六十度。老师，为什么呀？他乘以三变成三百六，他乘以二变成三百六。所以啊，这一大串 他的最小正则题最后还是谁？还是二派，这就叫做最小公倍数思想， 能理解吗？其实啊，其实这个，这个，这就是为什么第三题我能把这个二次方直接省掉。为什么？这就是一次加一次是一次，呃，二次加二次，加减二次，他还是二次，就是这个原因。 再然后啊，你看第五个，第五个他说这个，这个，这，这是不是变成四次方了？因为有同学问，哎，是不是这个四次方， n 次方也能这么着用？咱研究啊，首先四次减四次就加，减四次还是还是几次还是四次？ 对，你先有这个思想啊，然后你说我降密阔角都是几次？都是二次？ 都是二次，因为他的本质就是二倍角公式，你的二倍角公式都是二次的呀，不可能出现四次的。那这个怎么办啊？ 研究最小正周期是什么东西？现在啊，还是第一步啊。第一步你要告你要知道这是个四次的这个玩意。 那你就想啊，什么叫最小正周期？三 x 的 图像长这样，后边我不画了啊。那如果是三方 x， 它的图像会长成什么样？就它的趋势会成，会成什么样？ 很简单，平方还有负的吗？没有了，所以底下这个东西就干嘛，其实它的图像就会变成这样， 懂了吗？所以它的周期会变成原来的什么？会变成原来的一半？原来这个三 x 周期是多少？是不是二派？那最新的这呢？就变成派了。那你想想啊， 咱当时我怎么教你的？我说啊，降密阔角直接就相当于用二派除以二是派，你看是不是一个东西？其实就是图像。 那你说啊，如果它变成三四 x， 是 不是它还是什么？正的还是正的，负的还是负的？所以啊，你记着啊，它的周期三。呃，四 x 的 四次方和三 x 的 平方是一样，所以它的最小正周期啊，还是什么？还是 pi， 这是通过图像来决定的。 你把这些学会啊，应该说能够解决你所有的这个最小承周期的问题。

巩固基础考高分。你要做三角函数最值问题。第一题，函数 y 等于二倍的 cos x 最大值是得到三角函数最值问题考的只有一个知识点， 也就是于弦函数的值域。 cos 的 值域问题， cos 的 值域是从负一到一，也就是一个 cos x， 最大是一，最小是负一。那么我们看二倍的 cos x， 想要最大的话， 显而易见就是 cos x 取到最大值，二倍的 cos x 才是最大的，就是二倍的 cos x 等于二乘一等于二。很简单，这道题选择 a。 第二题，函数 y 等于三加二倍 cos x 的 最大值为我们看 cos x 用哪个值的时候，三加二倍 cos x 最大的， 显而易见是当 cos x 取一时，三加二倍的 cos x 是 最大值。怎么算呢？三加二倍 cos x 等于三加二乘一等于五。很简单，选择 c。 第三题不一样了，函数 y 等于三减二倍 cos x 的 最大值为这里 cos x 的 值域是负一到一。但是呢， 考虑一下，当 cos x 取到几十三点二倍的 cos x 才有最大值，不能是取到一的，应该是取到负一。取到负一的时候，后边的负二倍 cos x 会整体变成正数，变成正二，三加正二是最大的。 所以说就是当 cos x 取到负一时，三减二倍 cos x 由最大值，那么就是三减二倍 cos x 等于三减二乘以负一就等于五。这道题选择 a， 别再无效。点赞了，单招数学影响公办录取的核心题型，押题卷里全覆盖，私信直接拿！

零基础学会单招数学第五题三五十度 cos 三十四度减去 cos 五十四度 cos 三十四度这个呢，你看选项都是相对化减一下， 不用求。这个到底是等等于多少啊？一看这个是不是那个 cos 阿尔法减倍它这个公式， 那讲查公式对不对？三 r 加减倍它就等于三 r， 还记着呢呗。三 r 法考三倍，它减去考三 r 法三倍，它这 r 法就是五十四度倍，它就是三十四度，就等于三五十四度减三十四度 等于多少？等于三二十度。有没有选 a 四分到手就记住这个公式就行了啊。

今天我们来学习一下三角函数值域问题，在单招里面，三角函数也是必考题型之一。那来首先理解一下值域问题。三角函数里面形容 y 等于 a 倍的散 x， y 等于 a 倍的 cosine x， 它们的所有值域都是看前面的 a， 它对应的值域都是负 a 到 a， 也就是说最大值是 a， 最小值是负 a。 比如第一题值域就是负一，逗号一中括号，所以第一题选 b。 第二题五加三倍的 cos x 的 值域值域。首先三倍的 cos x， 值域前面是个三，所以它最小值是负三，最大值是三，又因为前面加了个五，所以整体都加五。负三加五是二，三加五八，所以这道题选四 d。 最后三幺二， x 等于二， x 减三有意义。要想有意义，说明这个整体的值需要在负一和一之间， 所以我们就令不等式二， a 减三大于等于负一小于等于一，这样才有意义。分别去减三移移出来，这移过来是小于等于一加三，四 好，负三移过来变成负一加三，二同时除一个二，所以 a 大 于等于小于等于二，所以这道题选的是 c 选项，你学会了吗？

零基础学会单招数学第二十九题 r 法是第二三角，三 r 法二分之一，让求考三 r 法，就利用哪个公式呢？三方 r 法加上考三方 r 法等于一， 对吧？这儿因为三 r 法等于二分之一，平方就是四分之一，四分之一加上考三方 r 法等于一，那么考三方 r 法等于四分之三，那么考三 r 法呢？一定要注意啊，考三 r 法是第二三角。首先咱们知道考三 r 法肯定是个负数 啊，就是负二分之根号三有没有选四 d 四分到手一定要注意啊，因为他说是第三个角，你别选 c 啊， c 是 不对的，第三个角 cos 二八是负的对吧？给你那个口诀，全整二正弦那个是吧？那个口诀就能知道它是负数。

零基础学会单招数学第二十题角 r 的 顶点与坐标原点重合，矢边与 s 非负半轴重合，经过这个二逗号负三让求 cosine 法。其实这一段呗，其实这个题出的比较严谨，一般来说都不写这个，就直接就是 一个角的中边经过二都好。负三让求 cosine 法。课本上有这个公式对吧？ cosine 法就等于 x 比 r， 这个 r 呢，就等于什么呢？根号下 x 方加 y 方带数就行了。先求 r， r 等于根号下二的平方是四，加上 y 的 平方是负三的平方等于九，等于根号十三， 也就是 r 等于根号十三 x 呢，是二，再化简一下对吧？就等于十三倍的十三分之二倍根号十三 x 呢，是二，再化简一下对吧？就等于十三分之二倍。根号十三 x 呢是二在四 d 答案就出来了，四分到手就记住这个公式就行了啊。 cos sine， cos sine r 等于 x 比 r， 那 sine r 呢？ sine r 就 等于 y 比 r， 这个记住啊，经常会考。

零基础学会单招数学第七题，若探 r 法乘以考三 r 法小于零，让求这个角 r 的 中间再滴几项线，用那个口诀，对吧？滴全正二正弦，那个口诀 滴项线肯定不对，因为滴项线探考三，它这三都是正的，对吧？要么 c， 要么 d， 那 选哪个呢？咱们先让探 r 法是个正数，那考三 r 法肯定是个负数， 他应该在第三象限，因为第三象限碳是个正的，对吧？或者是让让考三是个正的让碳，而他是个负的，在第四象限， 所以他这中间就在第三或第四象限，选四 d， 四分到手，你知道那个象限角的正负啊？一权正，二正弦，那个三正切四四余弦，或者是用那个口诀都是天才。那个口诀也可以啊，只要你能记住都行。

零基础学会单招数学第十一题 cosine 一 百零五度 cosine 四十五度加上 sine 一 百零五度 sine 四十五度，这个呢，一看就是那个，那个叫两角叉公式，对吧？就是这个 cosine 阿尔法减贝塔 就等于考三阿尔法，考三北塔加上三阿尔法三北塔。用这个公式能有查公式啊，那么这阿尔法就可以看成一百零五度，北塔呢，就是四十五度，那么就等于考三阿尔法减北塔。一百零五度减四十五度等于多少？ 就等于考三一百零五减四十五六十度，考三六十度等于多少呢？等于二分之一。有没有选 a， 四分到手，你首先得知道他用的是这个公式，考三 r 法减肥的这个公式，这就出来了，四分到手。想跟我学单招数学的可以点点关注啊，我在保定做单招。