正弦函数和余弦函数最值

哈喽，同学们大家好，来到了必修一第五章三角函数五点四点二，正弦函数、余弦函数的性质，那我们这节课非常的重要哈，因为本身呢，正弦函数，余弦函数的这个图像性质就是一个难点啊，它的这个难度要比我们的这个纸对密啊要难一点。 另外一个呢，就是我们借着讲这个正弦函数和余弦函数，因为我们说三角函数是整一个函数的极大成者，所以呢，它会借着它会讲到很多，包括新的一些性质，以及我们对过往一些，比如说复合函数啊等等的一些重新的一些认识。 ok， 我们首先第一个呢，就是函数的定义域和值域啊，对吧？那这个东西，当然其实我们在啊定义三角函数的时候，也就是说我们的那个五点二点一定义三角函数就已经讲过了，对吧？单位圆我们也知道，所以呢，它定义域呢，是 x 能取到这个实数级 r， 然后这个值域呢，最小是负一，最大是一啊，对不对？我们的单位圆里面也知道啊，是吧？因为我们是干嘛？我们的这个 sin x 是 是由中边的这个点的，这个是吧， 对应的这个纵坐标来决定的，然后余弦函数呢，是横坐标，然后它是个单位元啊，对吧？这个是我们的基本定义，永远都不要忘记我们的基本定义啊，很重要。 第二个点呢，就是周期性啊，这个就是三角函数特有的一个性质啊，我们过往的指对幂，它都不存在一个周期性，就是根据三角函数的定义啊，以及我们根据这个单位元的定义推导出来的这个什么诱导公式一啊，对不对？ sin x 等于 sin x 加二 kpi， 这个呢，他就是说他不断的会干嘛呢？不断的重复，周而复始，对吧？对吧？我们的函数图像，我们上节课这个函数图像是不是也是这么刻画的？就是我们首先刻画这一段， 然后接着呢，就是周而复始，不断的循环，对不对？我们上节课也是这么刻画的，那么这种性质呢？在数学上我们称这种规律为 周期性，对吧？这个就是顾名思义周期性吗？周而复始，好吧，那么我们来正式的定义一下这个周期性， 一般的设函数 f x 的 定义域为 d， 如果存在一个非零常数 t， 使得对每一个 x 属于 d， 都会有这个东西，然后呢，写满足这个东西，这个东西在我们过往做题做 抽象函数题的时候，就已经应该有大量出现了，就是我们讲完第三张函数的这个基本的理解啊，那个函数的概念的时候，就已经会有很多抽象函数的题目了，对不对？就已经会出现有这样的式子了。 然后呢，这个时候我们就称之为这个函数呢，叫做周期函数，而这个非零的常数 t 呢，叫做函数的周期。我们这个地方哈，首先我们要关注到第一个重点啊，就是什么东西呢？当然我们首先通俗的理解啊，周而复始，不断的重复，对不对？比如说这样一段 接着一段，或者说这样一段，这样一段，这样一段周而复始，对吧？所以呢，这个表达式是体现它的意思的，你打个比方说，呃，假设一个函数的周期为四，那么 f x 加四就会等于 f x， 对 不对？但是这个地方呢，很多同学要搞清楚哈，周期性是要满足什么？首先使得对每一个，这个是它的第一个要求，所以这个地方是一个非常大的重点。我们来看哈， 就是说上述的这句话，这句话告诉我们打个比方说有一个定义域一到三，比如说，嗯，我们举个例子吧，这里是一，这里是三啊，对吧？这里是二，那么函数图像是这样子的，这样子的，那么它是不是周期函数呢？它不是啊，就说你对于 任意每一个，每一个就是所有的 x 在 一到三之间，你比如说我们打个比方说二点五，那在都有它加多少啊？它，它加一等于三点五， 它属于它的定义域低吗？不属于它超出了，所以我们要知道一个什么东西呢？哎，这个时候呢，同学们可能想到一个东西，那既然这样子，它会不断的重叠，比如说我在边边的话，它如果这个是周期，它一定会跳到下一个， 如果每一个都满足，那么是不是说明只要是周期函数，那么它的周期就是它的定义域一定是 r 呢？ 同学们可以思考一下这个问题，那是不是按照这么讲，只要他是周期函数，他的定义域就必然是 r， 可不可以举一些反例啊？是不一定的哈，你比如说我们，比如说一到二之间， 这样子，对吧？然后二到三之间呢？哎，没有定义的，然后三到四之间又有，然后四到五之间又没定义，五到六之间也有，可不可以呢？ 这行不行呢？也是可以的，对吧？这个函数可不可以？可以的，比如说我就是一个个点，比如说，呃，像这个竖列， 或者说我的定义域，它只能取一二三整数，行不行？也可以吗？是不是对于任意的一个，这个 x 属于它的定义域低，它都有下一个， 对吧？也都可以。所以这个条件很多同学会误以为，那么就是说周期函数必然定义为啊，那不一定的哈，不一定，说那些，我们刚才举的这些反例都可以，但是他必然是无界的 啊，这个概念在我们的人教 b 版没有提到，但是如果不是人教 b 版的同学也不用担心说啊，这个我们没学过，不是因为高考都是统一，只不过他有命名而已。什么叫无界？就是说一到三啊，那就一定在一到三之间 啊，对吧？或者加一个并一个，呃，十到十五之类的，反正他一定会框在某一个里面啊。但是无论我们刚才举的那第一个例子还是第二个例子，他都是会无穷无尽啊，就是一定是无界的两边，所以这个是肯定的，所以这个呢，是我们要特别去理解的一个知识点。 ok， 然后呢，接着呢，我们会发现周期函数的周期呢？一定不一定不啊？看着这个词啊，他不是不一定啊， 它不是不一定，它是一定不一定。不，只有一个。就说如果 t 是 函数的周期，那么显然二 t、 三 t、 四 t 等等，它都是它的周期，对吧？你比如说我们的三角函数当中， sine x 等于 sine 的 x 加二 k 派，对吧？二二派， 那么加二派加四派，满不满足也满足，六派满不满足也满足。所以呢，如果 t 是 它的所有的这个整数倍都是它的周期， 所以呢，它是一定步的关系哈，所以我们要知道这个点，所以呢，一定步只有一个。然后这个时候呢， 如果一个周期函数的所有周期当中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f x 的 最小正周期啊，有点类似于什么呢？比如说我们以前所学的那个，呃，啥 最小公倍数啊？对不对？比如说六和八啊，六八四十八，四十八是他们的公倍数，九十六也是他们的公倍数。但是比如说我们要做通分的时候，二十四就够用了，其实他们都行，但是我们肯定希望他更小嘛，所以二十四他是他们第一个，就是最小的公倍数。 所以呢，如果存在一个最小的正周期，就好像刚才说的，我们的三眼 x， 它等于三眼 x 加二派加四派加六派，对不对？那二派就足够了，那这个地方我圈出来叫存在，也就说它有可能不存在这个地方。同学们又停下来好好想一想， 会不会你们能不能举到反例，什么情况下不存在最小正周期呢？可以好好想一下这个问题在什么情况？就是你比如说哈，我们的常数 常数函数，对吧？比如说 y 等于 c， y 等于二，对吧？ y 等于二，它是不是周期函数啊？ 是的呀，函数常数函数当然是周期函数，对不对？它满足，但是这个 t 它是不是可以取任何的值啊？它 t 可以 取实数及 r 都可以，它取二满足，取三满足，反正我取什么值它都等于二，对吧？它是一个常数，那这个时候它没有，就不存在一个最小的一个数， 对吧？零点一也满足，零点零一也满足，所以是有可能不存在的哈，同学们要搞清楚，有可能不存在的，所以这些都是我们的基础的知识的掌握。 ok， 周期性我们讲完了，这个就是我们正弦函数和余弦函数引出来的最后一个啊，性质就是我们说的三三大性质，我们在嗯，最开始第三章啊，三点二点一，我们讲单调性，我们说单调性是最重要的， 百分之七八十都围绕着单调性去展开啊，所有的最值什么各方面的东西都是围绕着它。 ok， 然后第二个呢，就是对称性 啊，这个可能占百分之二十多吧，然后剩下一点点呢，就是周期性，对吧？ 这三个就是我们赖以生存去研究我们的函数的一个脉络，前面有这两个，现在出现了第三个，对吧？所以从三角函数引出了我们的第三个性质，也是最后的一个性质啊。然后呢，根据周期性的定义，我们会知道啊，正弦函数是这个周期函数， 那么二 k 派都是他的周期啊，最小正周期二派对吧，我们刚才已经去整理一下就可以了，他们的最小正周期都是二派，对吧？两个图像都是一样的，刚才已经讲过这个问题了。 ok， 我 们来例一来看一下，求下列函数的最小正周期，这个是课本的一道例题啊，我们来看一下， 当然这个呢，我们一定要记得他的那个周期性的定义啊，永远要记得他的定义啊，所以很多东西都是从定义来的，这个是他的定义，所以我们会知道， 呃，三倍的 sine x 是 会等于，根据诱导公式等于三倍的 sine x 加二 pi， 所以 本身二 pi 就是 这个函数成了一个三，并不会影响，并不会影响它的这个最小正周期啊。那这里同学们觉得，哎，这里没有什么特别的对不对？所以这里看一下。但关键是在于我们的第二道题啊，我们的第二道题如果变成什么样呢？变成这里出现了一个二会干嘛呢？ 出现了一个二呢？我们来看一下哈。如果我们认为，比如说啊， cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二派，对吧？无论它取什么值，反正我的最小正周期就是二派嘛。那这个时候，哎，不还是那个周期是二派？那这个时候我们就想清楚了， 我们这个时候呢，你看 f x 的 表达的那个方便性就出来了。 f x 等于谁啊？现在这个函数是多少？ cosine 二 x， 如果你认为是二派，请代入这个式子。周期性是什么？如果你认为是二派，那么就是 f x 等于 f x 加二派， 那这个时候呢？带入这边是什么？这边是 cosine 二 x 这一边呢？ cosine 两，这是什么东西啊？两倍的整体哈，把这个这个整体变成 x 加二派，所以看清楚 x 加二派， 所以这个时候呢，它是变成了什么东西啊？二 x 加多少派？四派？ 同学们通过这个东西有没有看懂？如果我们认为它的最小正周期是二派，因为它带入是这个 x 作为整体进行带入，这个时候变成四派，它是不是它的那个周期？当然是，但是是不是最小正周期呢？ 不是的，这个东西和什么东西有异，异曲同工之妙呢？就是关于函数的平移， 你比如说从 f x 到 f x 加一，左加右减嘛？向左移动一个单位， ok， 那 么我这个时候呢，你比如说啊，我打个比方说啊，两二的二 x 次方啊，然后变成二的二 x 方加二吧。打个比方说， 那打个比方说，这个情况下，它是不是向左移动了两个单位呢？不是，这个就是 f x， 那 么这个就是 f x 加一， 把 s x 加一替代掉这个 x 就是 变成了两倍的 x 加一，把它弄进去就变成这个，所以一定以这个作为整体去看 好不好？所以呢，这个时候呢，我们那怎么解决呢？我们要知道 cosine 二 x 等于 cosine 二 x 加二 pi， 然后呢，这个东西要融入进里面，所以会等于 cosine 两倍的 x 加 pi， 所以这个才是什么来看，这个才是 f x， 这个是 f x 加 t， t 是 多少 t 是 加 pi， 所以 这个时候我们会知道 pi 才是它的最小正周期。这个东西啊，跟同学们讲一个非常重要的点，这个知识它不是， 就是我们刚才所讲的就对这种函数的理解，它不是三角函数的知识，它不是三角函数的特有知识。 这个东西我说了，就是在我刚才最开始讲的时候，就是我们的五点六，我们会大总结大整理，这个地方会讲到 我们只是说干嘛三角函数它很好体现。所以同学们为什么我非常推崇课本的例题，而很多同学就压根不想看课本的例题，课本的例题有告诉很多的信息，有告诉你它需要你掌握什么样的能力， 好吧？所以像这个东西，同学们觉得它是三角函数的，不要觉得它是三角函数特有的知识，它不是啊，只不过在用三角函数来体现而已。那这个东西是一样的啊，这个地方我们来看一下，所以有这个东西，对，这个，把这个给弄进去，对吧？然后呢？所以这个时候呢，我们把 f x 看这个整体，然后套回到定义当中啊，这个 周期函数的定义啊，所以有这个东西，所以最小值周期 t 等于 pi。 ok， 第三题，那这个时候呢，同样的对于三眼 x， 所以呢，没有任何的改变，所以呢？两倍的三眼的二分之一 x 减去六分之 pi， 然后等于两倍的三眼的二分之一 x 减六分之 pi 加上二派，对吧？那同样的，我们要把这个二派融入到里面去，那怎么融入？就是等于两倍的三眼的二分之一，那它乘，乘以个什么东西啊？乘以一个四派，呃， x 加上四派， 对不对？因为二分之一乘以四派才会等于二派嘛？就这个东西怎么来的？就二派，就除以二分之一得来，这是四派嘛？那这个时候再再减去一个啊，没错，再减去一个六分之派， 所以这个时候我们要对比这个到这个就这个函数，如果是 f x， 那 这个函数究竟就从这个，我们要识别到从这里发生了什么样的变化呢？就是从 f x 变成了什么东西？ f x， 哎，那个加四排， 所以它发生的改变其实是从 f x 变成了 f x 加四排，所以搞清楚，所以这个时候呢，它的最小正序是四排，对吧？ ok， 这个 加二派这里永远都不会变，然后呢，这个二派要融入在这个里面，我们才能理解到是这样子的，如果还不能理解，你们就按照我刚才的方法把它反过来， 好不好？就先别管这个，然后呢， f x， 你 先写出 f 二 x 加二派，他会就这个作为整体，这个作为整体，比如说 t 来替代掉这个 x 会发生什么事情？去感受一下，如果还不能理解的同学， ok， 那 这个时候呢，对于函数 f x 就 会有这个东西，对吧？所以呢，它的最小正周期是四派， 好吧，然后第三个东西呢？哎，也是这个难点，然后呢，我们会观察它图图像会发现呢，首先，哎，这是我们唯一个什么东西呢？它既是 轴对称，也是点对称，并且还有一个东西就是无论是对称轴还是对称点，我们发现会有无数个啊，你比如说对称轴每一个取的最值啊，无论是最大值还最小值，这个地方是不是对称轴，这是不对称轴，这是不对称轴。 所以呢，所有每一个取得最值的这个横坐标 a m 所对应的这个垂直于 x 轴的直线 x m 都是它的对称轴，而对称点呢，每个和 x 轴的交点都是，这个是，这个是，这个是，所以它有无数个对称轴，也有无数个对称点， 并且它同时是轴对称和同时是点对称，唯一的一个这样的规律啊，我们来看一下好不好？对称点和对称轴， 好吧，所以呢，我们要搞清楚这个东西，然后这个东西呢，是我们干嘛观察这个图像得出来的，但是，所以呢，这个他并不是一个严谨的 啊推论，所以呢，我们来验证一下，首先我们写出正弦函数所有的轴对称啊，对称轴和对称点的集合，并进行证明。首先我们是对称轴，我们说所有最值的这个什么所有最值的这个横坐标吗？那是多少啊？最值这个地方是二分之派 啊，加一个 k 派都是啊，对吧？ k 属于整数， x 等于它，所以这个呢，就是它的什么？就是它对称轴。然后这个地方怎么去理解呢？ 两个理解，首先第一个，当然回归定义，回归定义我们的单位元当中啊，在这个角度什么意思啊？什么叫 k 派加二分之派啊， 对吧？ k 派加二分之派， k 派加二分之派，就这个 y 的 非负半轴或者非正半轴，那这个地方我们加一个和减一个对称的时候，它的那个会干嘛？相等，所以它是相等的， 这个东西呢，它也不是一个严谨的代数证明，那么从我们代数来看啊，从代数代数的层面，我们要证明直线这个是对称轴，那么等价证明这个是什么来的呀？ 这个就是我们在三点二点二的对称性里面讲过，是吧？函数如果关于这个 x 等于 a 对 称的话，会有什么呀？ f x 等于 f 二， a 减 x， 如果不知道这个东西，那么就请回到三点二点二去看，或者我说到，呃，也可以到选 b 一 的那个， 讲椭圆的那个，选 b 一 的三点二点二，哎，刚好都是三点二点，哦，不是三点一点二啊，选 b 一 的三点一点二，或者我们的 b 修一的三点二点二都可以看啊，好不好，就是为什么是这样子的？还有另外一个解解析式就是 f a 加 x， 然后呢？等于 f a 减 x 啊，都可以，这个就是关于 x 等于 a 这条直线对称的，在这个地方就不讲了，为什么是这样子？我有非常详细的证明在那个地方，而且我说这个是很重要的一个理解哈，所以这个时候呢，就相当于等价于证明这个东西对不对？那么就等价证明什么东西啊？就是把它给乘进去，就等于这个呗。 那么二 k pi 去掉啊，等下我们直接看吧。那这个时候呢，我们要证明这个东西，那证明这个东西就很简单了，对吧？因为我们这个时候啊，三 x 等于这个，我们诱导公式嘛， 这个是诱导公式啊，即便不变符号，看相线，然后加一个二 k pi， 对 不对？我们把它证明给反过来，所以很容易我们就能证明到啊。三 x 就是 f x 会等于这个，这个东西啊，两倍的这个东西减去，很容易能够证明，通过诱导的公式就很关键是在于我们要搞清楚我们要证明的是什么东西， 对吧？所以很多同学呢，看到这两个字啊，证明就害怕，原因是因为你们把一些他知识从哪来的？比如说我们会知道，哎，比如说我们的那个知识的网络会永远单位员是很重要的， 包括我在网上我看到另外一位老师，就很多人也是喷他单位员，单位员我不讲，我这个做题不重要，重要从单位员到诱导公式，就是你要知道每个知识他的脉络怎么来的，我们才能知道他回到哪个地方才能证明他对称，不然我们根本不知道， 好吧，所以最关键我们要知道我们要证明的是啥，那么这两个我相信同学们，就算是很低分的同学都能够证明，对吧？诱导公式啊，对不对？那这个时候我们就会知道，所以呢，它根据这个对称，那么对称点，我们来看一下，对称点呢，就是 kpi 零，对不对？所有跟 a x 轴的交点也很容易去写， 这个时候呢，同样的，从单位元理解， k 派， k 派就是这一条嘛， k 派 k 派这 x 的 非负非正半轴或者非负半轴，那这个时候呢，它对称的角，它的中坐标会干嘛？相反数，那同样的从代数的层面去理解，哎，这个时候就变成了什么？当一个函数关于 a b 点对称的时候，会有 f x 加上 f， 二 a 减啊，那个 x 等于 f 等于二 b， 好 吧，这个式子， 所以这个时候 b 等于零，所以这个是零，然后呢，这个是两倍的啊，这个，这个就更简单了，对不对？二 k 派减去它啊，一样的，所以呢，这个地方呢，我们就还是诱导公式就能解决了，满足，所以它关于这个那个点对称，对不对？同理，我们刚才讲了正弦函数余弦函数往左二分之派个单位， 所以呢，我们来做一个整理啊，总结，它均为点对称和轴对称，其中正弦函数它的对称轴是这个，对称点是这个。哎，因为它的对称点是这个 kpi 嘛，所以呢，零零是它其中一个对称点，所以它是 g 函数嘛，对不对？它是 g 函数，这个圆点是它其中的一个对称点。 然后呢，余弦函数，我们来看一下，余弦函数往左边挪二分之派个单位，那这个时候呢，这个它的对称轴轴是 x 等于 k 派，那刚好什么东西？这个 y 轴刚好是它其中一条对称轴，所以它是偶函数嘛？那对称点是这个， 好吧，所以呢，这个也是做一个总结，然后接着呢，我们来看单调性，同样的，由于我们的余弦函数是由这个正弦函数向左移动二分之派个单位得到。我们先研究正弦函数啊，我们还是研究一个 由于它的周期性，还是那个我们因为由它的周期性，所以呢，我们只需要研究其中一个那个区间就可以了，我们研究哪里呢？ 我们研究负二分之派到二分之三派。那这个地方说，哎，我为什么要研究这个区域？我不是一直都研究那个整数不挺好吗？那个零到二派不挺好吗？ 因为零到二派这个区域，他一个在他的一个周期二派里面，他把一段里面切成了三段，就这一段是递增，这一段递减，这一段递增三段呢？但是我们在这个位置，我们看到这个地方开始这是递增，这是递减，他切成了两段，所以我们选择这一段来做研究啊，对吧？所以我们 遮住这个地方，前面这里这个位置负二分之派到二分之派函数单调递增，对吧？从负一增到一，然后接着呢二分之派到二分之三派的时候呢？单调递减，从一负减到负一啊，对吧？哎，我们就得到这个东西， 接着我们根据周期性加个二 k 派，所以我们两边不断的绵啊蔓延，对吧？我们就会知道在任何的一个刚才区间全部加二 k 派，那这个时候呢，都递增，都是从一负一到一，这个从一减到负一， 对吧？所以根据周期性研究一小段，这个基本上是我们研究所有三角函数的脉路啊，包括我们后续研究这个天数啊，都是一样的。 然后呢类似对于余弦函数啊，它就做了一个改变，那这个地方呢啊，看一下，这个时候呢就变成了派加二分之派，这一段是递增的，好吧，或者我们这个地方是负派零，就是说负负派加也可以啊，都没问题。然后呢这个是二 k 派到加派是递减， 好吧？然后接着呢就是最大值和最小值，那么我们研究完单调性之后，最大值最小值也比较简单，对吧？最大值的点，最小值的点。 那么对于余弦函数来说啊，这个图像我们就会看到这个地方加二 k 派都是取得这个最大值，然后呢这个地方都取得这个最小值，把它表达出来，这里会讲到一个点啊， 就是你们就是同学们呐，你们要表达这种，我知道有一部分同学对于什么东西有困难的，就是包括我的评论区有说 k 是 什么啊，这个这个问题还有很多人附和， k 是 什么， 好吧，就是这个应该是属于什么东西呢？我觉得这个应该是在我们的这个集合的那一张，就是我们在必修，那就是我们的必修一第一张的时候就应该就是会有这个东西，我们要习惯那个啊，偶数就变成了 x， 等于二 k 就 变成了字母的表达， 所以当时我就跟很多同学说要习惯这种表达，就在后面才不会不习惯啊，这种东西。我知道这个点啊，我知道这个点我怎么表达他对不对？这个地方是零，然后他周而复始，他的那个周期是二 k 派，所以他直接就是零加二 k 派， 对不对？我们要表达这个点，那最小值的点呢？是派派加二 k 派，所以是很简单的一个点。然后呢，同样的那个正弦函数对不对？这个和这个， 好吧，那这个呢，就是给同学们整理的这个资料，同样的不要背，对不对？你们越背多，越背的越多，错的越多，因为这里太杂乱了，一定很容易出错的，所以不要背任何的一个东西， 所以还是那一句，帮同学们整理出来，但是极度极度不建议你们去背。那么怎么去理解，怎么去做呢？我首先分享一个，我个人， 从十几年前我高中的时候，一直到现在我都这么做的，并且，嗯，在这借此这个机会也跟同学们去讲一讲一个数理啊方面好的人，他是怎么样的？就是大家一直说的是数学思维是个什么东西吗？他有很多点，我们写，首先说一个点，因为这个东西很好解释， 就是在我的世界里面这些我都是没有的。然后呢，图像我也是没有的，然后我上一节课我提了一点，我只有零到二分之派的图像，对的，到现在为止我也是，我高中我也是， 好不好。然后呢，有了这个怎么办呢？当然，嗯，定域不用讲直域不用讲，周期不用讲对称写这里的四个。好，我们来看一下啊，这里的四个，如果我只有这个图像怎么办？比如说我对称性咋办啊？ 首先有了这一个，那我顺着画就行了，对不对？ ok， 对 称性，对称中心，我记得这个对称中心，或者不一定记得我脑海当中有这个图，我就知道对称中心是所有的，它跟 x 的 交点，对不对？这里是零，然后呢？每格派一个零，加 k 派就是 k 派 零，对吧？就可以了，我们就后面的，我全部省略这个东西哈，全部省略这个，对吧？是不是出来了对称轴呢？对称轴我知道是所有的这个东西，那怎么写啊？这个东西是不是二分之派？ x 等于二分之派，又是相隔多少相隔 k 派加 k 派搞定 啊，就这样子的现场推啊，不会花你他们太多时间呢。所以我不断的提醒一个东西，就是你们学不好数学，就是太勤奋了，太勤奋就是一个数学好的人，他一定是极度懒惰的， 他很喜欢解析，解析是很好玩的，我们做很多的题目，但是，但是知识的归纳，我不愿意多去记一个东西，所以这就造就了什么东西呢？就是很多数学差的同学会脑海当中很多解析法 啊，所以，但是我们我们的脑海当中，我们尽可能能够不要的知识，全部砍砍砍砍，对吧？那记函数一看啊，记函数单调性，那单调性咋办呢？单调性这个地方是负二分之派二分之派了，那不就负二分之派到二分之派喽。 然后呢？加二 k 派，加二 k 派，对不对？二 k 派减二分之派，加二分之派，递减二分之派到二分之三派， 同样的，加二 k 派加二 k 派，对不对？直接写出来，非常的快，压根不需要什么时间，并且我们这样子他才能最大程度的减少大家的错误 啊，这样子推导才能减少最多的错，错误，你的精准度才是最高最高的，并且你最终所得到的答案跟你们的那个理论知识是有对应的，所以它是个链条这样去记，而不是一条一条的 最值。一样的，我不讲了，那 cosine 那 方法是一模一样的。 cosine， 当我有了这一段，其他就是，对吧？其他都知道，这个负二分之派，这个多少？这个负派，对吧？那这个东西我们都知道，这个分之派，这个派二分之三派，所以所有的点我们都清楚，所以我只有这一段啊，这是真实的啊， 所以呢，这个是介绍给很多同学，也希望啊，就算是之前没有按照这样的方式，一定要用一条线路和一条脉络来串联起所有的知识点，所以为什么我这么喜欢给思维导图给大家啊，就是这个原因， ok， 然后我们来看一下第三啊，也是课本的一道立体啊。向量函数有最大最小值吗？有的话请写出取这个等那个最最值点的那个自变量 s 集合。 ok， 这个就跟 x 我 们就不多说了，刚才已经讲了一遍了，对不对？不变，这个跟本身 assign 的 能取得最大最最小值点啊，不变，我们来看一下他取得最值点就是，嗯，这个点，对不对？我直接说一下吧，就就跟你看这一段，我只记这一段，这个是最大值，那这个的是多少？零嘛？ 零，然后呢？加二 k 派，每过一个周期他就能取得一次最大值，所以他就取当他， 呃，那个 x 等于二 k pi 的 时候，它会有什么呀？它有最大值，最大值是多少呢？最大值是一，加上一等于二，最大值是二，对吧？那这个时候呢？ pi 的 时候取得最小值，那就 pi 咯，加二 k pi， 这个时候呢，取得这个最小值，最小值是负一加一，所以是零，对吧？我们会知道哈，就是本身它没有做任何的改变，然后呢，当它是这个 这里的二 k 加一派啊，就是我们刚才讲的二 k 派加派啊，这个时候呢，取的最小值负一加一等于零，对吧？ ok， 然后看第二道题，我们来看到就是这一题呢，就有点不一样，我们要看到，因为前面他成了一个负数， 所以当这一个，当然这个乘了一个二，在这里乘了一个系数，因为这个是一个整体啊，他不会影响他的最大值和最小值是负一到一的哈，所以呢，当他取得最小值负一的时候，他就会乘一个负三，他会颠倒过来整一个函数，就会取得最大值三，他最大值的时候就负三，那我们来看，当他取得最小值的时候，同样的， 对吧？画出来，哎，最小值是多少？负二十分之派，对吧？负二分之派加二 k 派等于多少？等于这个整体二 x， 所以 这个时候 x 等于 k 派减四分之派， 这个时候干嘛来着啊？最小值最小值负一，那这个时候呢，整个函数取的最大值是三，那这另外一个呢？就是二 x 等于多少？这个二派二分之派加二 k 派 啊，那也就说 x 等于 kpi 加四分之 pi， 那 这个时候呢，它取的最大值一，整个函数取最小是负三啊，一个是 kpi 减四分之 pi， 一个是加四分之 pi， 对 吧？ ok， 正规的写，先写个复合函数，然后那个这个作为一个整体啊，是这个取得我们的最大值，所以这个呢，我们会取得最大值，而整个函数呢，乘以负三就变成最小值啊，这个是沙眼的最小值，整个函数的最大值，好吧， 然后呢，我们看例式课本的第三道例题，不通过求值比较下列各组数的大小，然后等等，单调性嘛， 对吧？单调性我们知道撒，眼又来了，又画图啊，也在这一个呢，就是在负二分之派到二分之派之间的，一看就知道啊，对吧？所以呢，我们比较他们两个自变量的大小，这个地方呢，也很容易会出错啊，首先看看清楚啊，负十分之派会小于负十八分之派啊，对吧？ 这些东西很容易出错的哈，很容易出错的哈，所以同学们要看清楚，所以它的那个自变量，它是这个小于它，然后呢，这个时候呢，就 sign 的 小，也也是小于它，对吧？所以这种呢，同学们一定要放慢脚步，因为这种呢，就是分母把它反弹过来，然后呢，又加了一个负啊，所以要看清楚啊， 然后呢，这道题，因为它的数字比较大，我们就先把它掰过来吧，对不对啊？先把它翻到偶函数嘛，先把它翻过来，然后呢，减一个五分之二十，就四派，五分之三派，对吧？这个等于五分之三派， 这个等多少？这个等于也翻过来四分之十七派，然后减一个四分之六四分之派，对吧？那这个时候他处于哪个区间呢？这里啊，一直递减，递减到派，对吧？哎，一直零到派都是递减的，所以呢，这个比这个要大，所以呢，这个的函数值比这个要小，所以呢是这个小于这个啊，对吧？ ok， 我们来看好这个小于这个，然后呢，把它先回到比较小的数字， 然后在零到派上递减，所以前面这个呢会小于这个哈，然后第五题啊，同样还是课本上的一道例题，还是这个复合函数的问题，对吧？求这个函数它的单调递增区间。复合函数这里看清楚，我们用一个去代替它， 那这里我们首先要看清楚，因为这个复合函数它本身是递增的，所以当他问我整个函数单调递增区间的时候，我要寻找这个复合函数的 单调递增。如果这个地方没听懂的话，请回到我们本书的三点二点一，我给他那个模型理解复合函数的单调型哈， 如果这里加个负，本来它是递减的，那么寻找它的就要找它的递减去减，那所以此时我们要找它的递增去减。但是还有一个点，我们知道了 x 的 取值，也就说自变量的范围，但是我们要搞清楚这个 set 的 这个范围，所以我们要知道这个作为一个整体， 这个 x 是 最小值呢，负分子派乘负派加三分之派，就负三分之二派，然后呢派加三分之四派， 那么这个时候呢，作为一个函数，我们会知道这个区间里面是什么，这个是啊，大概啊，这里不超过负三分之二派，大概这个位置，三分之四派超过了派，大概在这个位置， 对吧？哎，那么这个时候呢，在这一段区域内啊，在这一段区域内，那么这个是递增的，就是在负二分之派到二分之派是他的递增的 好，然后这个时候呢，我们又又要返回回来理解吧，这个已知在属于这个区间，那么所以我们要干嘛？二分之一 x 加上三分之派，这个也得属于这个区间， 这多少来着？负二分之派到二分之派，对吧？比如说我们全部啊，我们先乘一个二，那么就是负派小于等于 x， 加上三分之二派小于等于派， 然后呢减过去负三分之五，派小于等于 x 小 于等于三分之派，对吧？三分之五派到三分之派，所以这个呢，就是复合函数，然后也要搞清楚 它的复合的单调性的问题。然后呢也考了我们什么东西啊？考了我们简单的这个不等式的运算，所以这个他三角函数就是非常的好出题啊，出题老师非常好出题，好吧，所以他递增区间是这个， ok， 然后呢我们做一个总结啊，我们说我们会发现课本给出的三道例题当中，有两道例题都是和复合函数相关，就是因为三角函数不仅其本身是个很大的知识点，我们说它的附加性是要比我们的纸对密度麻烦很多，对不对？我们的指数就这样子，没有任何东西啦，关键点就那么一个， 是不是？那关键点三角函数有多少个？非常多个，对不对？我们还得去表达出来，又能考到我们的数学语言第一章的知识， 然后呢又能考到对称性，又能考到对称那个轴对称点，对称全都能考到了，啥都有，所以呢，他会复杂很多，单调性也复杂很多啊，对不对？拦破了所有的数属性，然后还增加了一个周期性，所以他本身是个很大的知识点，但是还有一个什么东西呢？就是他把所有的其他的东西都能考，所以他是高中函数性质的极大成者， 对不对？我们说他他是有界的，是所有啊，我们所学的只对应函数里面唯一个有界的，唯一个有界的， ok， 然后呢，所以同学们不仅要好好去掌握他本身的基本知识，还要以他为作为主体，进行我们的整个 b 九一板块的这个函数板块的大整理和大总结， 所以请关注这节课非常重要啊。这节课我是在课本的基础之上做了一个大升级，做了个大大大升级，然后呢， 这节课融合了，然后如果大家都都能够贯通了，然后整个函数板块就贯通了，好吧，这个就很重要。所以呢，借着三角函数的机会，如果我们的函数没有学好的同学， 借着三角函数的机会，把它给重新整理去思考一下。就在比如说刚才的那么多的题目当中，不要只是觉得它是三角函数，它为什么是这样子？为什么？我要把它什么那个 x 看成一个整体，为什么要要把那个周期性把它弄进去， 对不对？然后复合函数等等，我们要把它看成一个函数的一个训练，而不只是三角函数，所以这个就是我们的这节课。好吧，我们下节课再见，同学们，拜拜。

正弦型函数是正弦函数的扩展形式，也叫做一般正弦函数。其表达式为， a 乘以 c， 括号 omega 乘以 x 加菲。其中 a 不 等于零， omega 大 于零，定义域为实数级。 观察这个函数，当 a 等于一时，函数图像在负一到一之间波动。当 a 等于二时，图像在负二到二之间波动。仔细观察可知，将 a 等于一的图像在 y 轴方向拉升两倍，就得到 a 等于二的图像。反之，将后者压缩为原来的二分之一就回到前者。 因此，当 a 大 于等于零时， a 的 大小描述了图像在 y 轴上的伸缩程度。在物理学中，这种伸缩对应振动或波动的最大偏离量称为振幅，因此 a 表示为振幅。当 a 等于负一时，函数图像与 a 等于一时的图像相比，关于 x 轴对称， 所以 a 的 绝对值表示图像的正负。 a 的 符号决定图像是否上下翻转。再观察这个函数，当我没改等于一时，图像是这样的，函数的周期为二派，当我没改等于二时，图像是这样的，函数的周期为派。 仔细观察可知，将我没改等于一的图像在 x 轴方向压缩为原来的一半，就可得到我没改等于二的图像在 x 轴方向上拉伸两倍，就可得到我没改等于一的图像。 因此我没敢描述了函数图像在 x 轴方向的伸缩程度。在物理学中，这种伸缩对应震动或波动的快慢，所以我没敢是频率相关参数。又因为三角函数的自变量代表向位角，所以我没敢被称为角频率。 且当我们嘎大于一的时候压缩图像。当我们嘎大于零小为一的时候，拉伸图像，最后观察这个函数。当非等于零时，图像是这样的。 当非等于二分之派时，图像是这样的。仔细观察可知，非等于零的图像向左平移，就可得到非等于二分之派的图像。反之，将非等于二分之派的图像向右移动，就可得到非等于零的图像。 因此，非描述了函数图像在 x 轴上水平移动的程度。由于三角函数的自变量代表象位角，而非表示初始状态下的象位角，所以非被称为出象位。 因为一般正弦函数等价于这个表达式，所以平移的距离等于 omega 分 之飞，且当 omega 分 之飞的符号为正，表示向左平移。当 omega 分 之飞的符号为负，表示向右平移。 总之，正弦函数是一般正弦函数的特殊形式，也就是正负和角频率等于一水平偏移为零的一般正弦函数。

三角函数求值问题，咱们看第一题，知道了余弦值求正弦值， 因为刹引二路法平方等于一，减去扣刹引二路法的平方，所以呢，等于一减去二十五分之十六，所以呢，等于二十五分之九。又因为二路法为第二象限角， 所以正弦急射引阿鲁法应该是带领的，所以射引阿鲁法 应该是等于五分之三，所以呢，第一题应该选 c。 接下来看第二题。第二题呢，是知道了正弦急求余弦， 因为扣撒引二路法平方等于一，减去撒引二路法平方 就等于一减去九分之四，所以呢，等于九分九。接下来，又因为二路法为第四象限角，所以呢， 扣撒引扣撒引阿鲁法，扣撒引阿鲁法应该是大于零的，所以呢，扣撒引 阿鲁法就等于三分之根号五。所以呢，第二题的答案应该是三分之根号五。

大家好，刚才上节课我们留了一个这样的一个题，大家可能有一部分学生已经把这个题已经做完了，一部分学生可能是做了一部分啊，做了一部分是还一样。大家在做题的时候一定要注意点，首先第一点思路要理 理一下，看这个题是否思路是否清晰。第二点就是要现实，毕竟你们到时候参加考试，考试的时候一定有个时间限制啊，所以在 大家的能力范围之内，用最短时间做完这个东西，是一个比较对大家提出一个很高的要求了啊。那先来看看这个题具体怎么做。 首先我们在做这个题，就刚才我们前面讲过一个东西，讲了一个叫做周期的问题，那么对于周期，我们说了它的公式是什么东西，我们统一要用 t 等于二派除以欧米达去算， 那在算二 pi 除以 omega 的 时候，这个 omega 怎么算出来？我们是需要得到这样的一个函数， y 等于 a sin omega， x 加上 f 这个函数啊，就是我们需要需要得到这个正弦型函数， 所以说我们往往是会发现你考试当中你得不到，首先你会给你个式子出现，这个式子并不是我们这个形式，所以我们要对这个式子进行化简整理得出这个证券型函数，进而去 看出这个题的 omega 值。最后我们要求出谁？求出周期来啊？求出这个周期来，所以这时候我们就有学生来，学生就可能会有疑问了，那周期我们三角函数学过周期，我们前面时候也讲过周期问题，比如说我们前面讲过一个这个式子 加，我们说这个 a 是 谁啊？ a 是 f x 的 一个周期 啊，这时候学生就会会有疑问了，那说那这个，这个跟这个有没有矛盾？没有啥矛盾，因为这个就是我们前面讲的主张， 就是它是总的定义，它是总的定义，你这个三角函数的周期只是我们全部周期的一部分啊，这点不要不要什么有什么质疑？不要什么质疑。好，那具体来说这个题怎么做？那我们开始进行把这个题做一下啊，把这个题做一下， 所以这个题我刚才说过了，我们需要第一步进行对它化解，化成什么正弦型函数啊？正弦型，所以我们第一个结， 那这个式子里面的第一个根负根号 sine 括号内二 x 加四分派，那这个时候我就需要把这个式子进行什么进行给它拆解了，这个式就是我们前面学的公式了啊，我这面就不详细说了，因为有很多孩子可能就背下来了。 sine 二 x 乘以 cosine 四分之 下，这个就是我们的二倍角公式，我就直接写了啊，三倍的 sine 二 x， 最后一个这个就是我们的二，那个余弦的二倍角公式等于负的 cosine 二 x。 好，那这时候我通过公式把第一个式子展开，这两个式子用二倍角给它合并了，下一步我们开始把这个式子计算出来，这时候这是个特殊值， cosine 四分之 pi， 这就很清楚了，二分之根号二，跟前面一乘就得到的应该是负 sine 二 x， 一 样的一乘得出了负 cosine 二 x， 加上三倍的 sine 二 x 减去。 cosine 二 x 合并完得出的是二倍的 sine 二 x， 减去二倍的 cosine， 二 x 好 下，我们得出一个很重要的式子，这个式子， 这个式子咱们在高中的书本上没有怎么讲下，我们在都都有个补充，这个就相当于把两个三角函数要合成一个三角函数 好，又合成乘法函数。那这个公式我们简单说一说啊，那大概形式一般都会长成这样子的， 呃，我们用什么呢？这个是二 x， 我 们用更统更更统一的式子吧，就 a sin omega x 加上 b cosine omega x 好， 就是我们会在考试当中遇到一个什么问题，遇到这样的一个问题，那这个问题就相当于我们需要把这样的两个三角函数合成一个正弦型的。 怎么合并呢？首先第一步要注意点，我们要用公式前，我们首先观察一下是否这两个 sine cosine 是 否是同角的，这地方很重要， 不同角是没法用公式的啊，不同角是没法用公式的。第二点，必须出现一个 side， 一个 cosine 啊，一个 side， 一个 cosine。 那 么对于这两个式子来说，实际老师都应该已经说过了，它应该首先第一步提谁提一个根号下 a 方加 b 方 啊？提一个根号下 a 方加 b 方，提完以后什么东西呢？就变成 a 除以这个东西了， 同时应该是 b 除以谁，根号下 a 方 加 b 方，再乘以一个 cosine omega x 好 加。我们就需要把这个东西看成 cosine f， 那 变这个变成什么 sine f， 我 们就一步就合到位了， 知道什么结果呢？ sine omega x 加上一个 f， 这个公式是可以直接用的，这个公式可以直接用的，我们也可以把这个公式看成什么东西呢？看成我们前面学的什么两角和正弦公式的，什么逆推，逆推 啊，逆推，所以我们就把这样的一个形式，两个三角函数，一个 sin omega x， 一个 cosine omega x 合成了一个什么？我们的正弦型合成了正弦型， 所以说这块如果有不理解的学生，我们到时候会有统一的一个群，到时候可以加到群里头，再详细问一问啊，详细问一问啊，这里面我就不耽误时间了，我们就开始直接套公式了啊，直接套公式了，所以第一步求出谁呢？根号下，对于这个题来说是二的平方加二的平方八开，根号二倍根号二， 剩下的我们要算，我们要算这个值，就是二倍根号二分之二 啊，就 cosine phi 的 值导有多少呢？二倍根号二分之二，那就是二分之根号二。多少度的值是二分之根号二呢？找一个就行，找一个就行。 cosine 四分之 pi， 所以 这时候我就直接写了，我就直接写了，我就不再 因为正常的话，现在就应该有这样的一个能力啊，我就直接写了，所以最后我们合完了这个结果，就二倍根号二，乘以 size 符号内二 x 减去四分派。那这时候我就把谁把前面这一大坨，就我们前面这大坨是不是什么？我刚才说那个问题叫正弦型函数，正弦型函数， 那么对于正弦型函数出来以后周期怎么求呢？它公式二派除以欧米亚，这是这题，欧米亚是几？欧米亚就是 x， 前面系数是二，所以周期就直接出来了，二派除以二，最后周期是谁派 周期实拍，那么我们就把第一问就解决了，第一问就解决了。 那现在第一问解决以后，先来我们看一下第二个啊，我们看一下第二个。刚刚咱们讲第二个，就是我们的第二个里面要求的就是求在某一个区间内的最值问题啊，在某一个区间内最值问题 啊，大家也可以什么呢？可以通过这个时间段大家想一想，有的孩子如果还没有做出来，可以再想一想。那下来我们就等下，等下节课我们把这个这个这个在某一区域的最值问题再讲一讲，好吧？

三个常用的又比较重要的三角函数，正弦函数、余弦函数、正切函数。图中是一个直角三角形，这是底边，这是高，这是斜边。 底边与斜边的夹角就是爬坡角度，高除以斜边就是爬坡角度的正弦。底边除以斜边，就是爬坡角度的余弦。 高除以底边，就是爬坡角度的正切。假设高是十公分，斜边长度二十公分，也就是高是斜边的一半，那么爬坡角度就是三十度。 假设高是十公分，底边也是十公分，那么斜边就是十四点一四十五度的正切等于一四十五度的正弦，等于四十五度的余弦等于零点七零七。

ok， 那 我们今天接着去看三角函数概念里面的必会题型总结的第三个题型，第三个题型我们去看一个非常爱考的，并且呢，如果掌握了之后，会对我们三角函数部分的运算有一个非常有力的帮助的一个公式， 就是我们如何去快速的算出来 sin cosine tangent 之一求二的这个值。实际上在我们在算了学了这个定义之后，我们会了解到两个公式，第一个是平方公式，也就是说大家熟知的我们的 sin 方加上 cosine 方等于一。 还有另外一个商数关系，那就是说我们的 sine 阿尔法比上一个 tanthan 阿尔法， tanthan 阿尔法比上我们的 cosine 阿尔法等于 tanthan 阿尔法。那这样的话来看起来 已知了我们的 sine cosine tanthan 其中的一个是不是可以能求出另外两个？但是呢，如果拿这两个公式在算的时候，实际上还是有点麻烦的，那有没有一个快速去计算的方法？实际上有的这个方法就是划直角三角形， 一定要把这个方法记住。那如何去通过画直角三角形去得到另外两个角的？那么如何去通过画直角三角形去进行知一求二呢？那我们不妨去试一下，比如说我们现在知道了贪政策阿尔法，就说我们现在知道其中的一个，比如我们说了知道他塞引阿尔法如果等于一个四分之， 那此时呢，我们拿一个例子去看一下，比如说我们知道了某一个角的 sine 阿尔法等于一个五分之三，然后呢，我们怎么样快速的去求出他的这个 cosine 阿尔法和贪婪的阿尔法，实际上呢，通过画直角三角形将会很快速的解决这个问题，画出来任意一个直角三角形，然后呢，我们在 两个不是直角的这个角里面任意挑一个当的阿尔法，比如说我们挑这个当的阿尔法，那在这个直角三角形中，我们知道三角阿尔法是不是等于对比弦呢？就是三比五，所以呢，我们通过勾定理是不一定可以得到另外一个边是四的，这样我们知道了这个三角三边是不是很轻松的就得到了你的 cosine 阿尔法 等于 cosine 零比一些，那就是说阿尔法的零边四比五，前提是我们需要去知道这个阿尔法的象限，去判断他的正负值，求出来之后，把他的正负给他带上是不就可以了？比如我们的贪婪尔法等于对比零三比四是不是很快速？那不妨去看我们的第二题， cosine 法等于负的十七分之八，求 cosine 法和贪婪尔法的值， 那如何去快速的去求解呢？我们说了，先去画一个直角三角形，直角三角形画出来之后，我们在两个不是直角的角分别标一个锐角， 标一个 r 法，哪个角的 r 法都可以，那现在我们知道 cosine r 等于负的十七分之八，我们先不用去考虑这个负号正负号正负值，我们到时候后面进行判断就可以了。那这个我们要说 cosine r 法是零比斜，那就是八比十七，所以它的对边是不是十五，所以要算 cosine r 呢？是不是一步就出来了？ 所以呢，你的塞引阿尔法就等于一个对比，写十五比十七，判断它的正负就可以了。那我们知道了 cosine 阿尔法是一个负的，所以这个阿尔法是不是应该在我们的第二或第三项线 cosine 阿尔法， cosine 阿尔法看的是横，横是负的或第三， 第二或第三三，也有可能正，有可能负，所以呢，你写成正负十七分之十五就可以了。同时我们算它的贪整和阿尔法贪整阿尔法是不是一样，它是对比零十五比八，那阿尔法在二三向下，所以贪整是不是也是正负都可以取到？所以我们算出来三眼阿尔法和贪整阿尔法 值，然后第二个呢，也是一样，我们知道了阿尔法在派到二分之三排，那也就是说他的第三、第三象限，第三象限，第三象限摊着的阿尔法是一个正的，我们画一个直角三角形， 把阿尔法给它标出来，假设这个是阿尔法摊着，阿尔法是对比邻，这个角对边比上的，邻边是二比一，所以他的斜边知道的就是一个根五， 让我们算 cosine 法。 cosine 法是不是等于零比斜，那就是一比根五，零比斜，但我们知道它第三项 cosine 是 负的，所以我们要带个负号，那它就等于一个负的五分之根五，怎么样，不知道大家学会了没有，是不是非常的快速？ 所以后面如果我们遇到了这种情况之一，求其他两个的情况下，一定要去通过画这道三行简化我们的运算。当然要注意的是你要注意他们符号的这个大小，正负的判断，符号的判断，你要去判断这个角它到底在哪个象限，如果掌握了这个方法，那我们去算之一求二，会非常的快速， ok， 那 么第二个题留给大家当做训练。这块最后一个关于三角函数概念部分非常的快速， ok， 那 么第二个题留给大家当做训练。这块最后一个三姐妹公式，那也是通过我们的 平方关系和上述关系给它得到一个关系，主要是平方关系，三姐妹，哪三姐妹？就是说我们要去研究的是我们 c in alpha 加 cosine alpha， 这是一姐妹 c in alpha 减去 cosine alpha 与我们他们两个之间的这样一个关系。第三个那就是我们他们两个的平方和了 啊， c in alpha 加 cosine alpha， 他 们的平方和到底有什么关系啊？三姐妹，这样我们分别去研究一下，比如说我们先看第一个，那就是 我们 sine 阿尔法加 cosine 阿尔法给它的平方等于谁呢？我们把它展开一下，它平方展开的话，那就是得到了 sine 阿尔法方加二倍的 sine 阿尔法乘以 cosine 阿尔法，再加上一个 cosine 阿尔法平方， 那么知道了平方关系是不是一，就等于我们三引的平方加 cosine 平方，那知道这个关系之后，我们直接进行一个化简，那把它就变成了一加上一个二倍的 cosine 二法乘以 cosine 二， ok， 那 第三个呢？我们去看一下我们的 cosine 二法减去 cosine 二法，那这个我们给它平方一下，是不是变成了一减去二倍的 cosine 二法乘以 cosine 二法也是一样。 所以呢，我们会得到这个三姐妹最重要的一个公式，那就是我们三引阿尔法加 cosine 阿尔法的平方，然后呢，再加上一个三引阿尔法减去 cosine 阿尔法的平方，是不就等于一个 正负消掉之后是等于个二？知道这个公式的好处就在于我们后面也可以知一求二，这个一是 就是你的三姐妹其中的一，是不是都可以去分别去求出另外两个？ 为啥要总结这个？因为后面我们经常会遇到类似的题目，就让我们知道，三角函数加 cosine 法算三角函数减 cosine 法，你就不需要去展开进行特别的计算了，去直接记住这个公式，就可以直接得到它的结果。那比如说我们知道了看一下这两道题目，已知 sin sin theta 加 cosine theta 如果等于三分之四 c theta 呢？在 四分派到二分派，那也就是说第一项线，第一项线四十五到九十，让我们算 sin theta 减 cosine theta， 那 么利用公式是不就可以得到 sin ceta 的 平方？ sin ceta 加 cosine ceta 的 平方，再加上一个 sin ceta 减 cosine ceta 的 平方，是不是等于二？只把这个公式带进去？所以呢，你得到的这个要算的这个 cosine ceta 减 cosine ceta 是 不是就可以直接写成它的平方， 直直接写成二减去 sine theta 加上 cosine theta 的 平方，然后呢，我们通过一个运算发现，二减去三分之四的运算是九分之十六，所以呢，九分之二，九分十八减九分十六等于九分之二。 所以呢，我们是不是就可以得到了你的 sine theta 减去 cosine theta 平方等于九分之二，就等于正负三分之根二， 那到底选正还是选负？这会需要去我们判断一下它的这个角的大小，因为我们知道了 c 它在四分之派到二分派之间，这个角度呢关系大家一定要他是很敏感的，大家一定要把这个搞清楚。比如说我们画一个四分派，那一定要总结好， 它考的就是我们判断这个角的大小，四分派到二分派，它在这个地方，那我们发现了如果这个角 c 它等于四分派的话，我们能得到一个什么关系？ 比如说 sine 四分之二，在四分之二的时候，四十五度的时候，我们发现它的横等于纵，那就是三等于 cosine， 如果呢，这个角比四十五度大，我们发现它所对应的这个纵是不是越来越大了，它的横是不是越来越小了？ 那就是它的 sine 是 不是越来越大了， cosine 是 越来越小了，那意味着 cosine 减去 cosine， 它一定是个正数，所以呢，我们就舍掉负，那舍负的三分之二，我们去正的三分之二就可以了， 一定要把这个关系给咱搞清楚，所以呢，这个题目我们选择的是 a 选项，大家一定要搞清楚，是不是非常的快速。接着呢，我们去看第二个题，告诉我们已知 c 他 在负二分派到二分派之间，那我们知道他是在 第三或者第四或者第一象限，第四或者第一象限，不妨把这个图给他画出来，画一个象限，负二分之派，他在这个地方，他在上面这个地方，这个是负二分之派，这个是正二分之派，也就是说他的脚在第四或者第一象限，然后告诉我们三分之 四加 cosine sine 一定大于一的，所以它既然是大零小一之间，那就意味着它肯定是一正一负的，并且你的 cosine 是 正的，你的 sin 是 负的，这样加之后它们两个才能是零一之间的值。所以呢， a 选项告诉我们，它在负二分之 pi 到零之间是正确的选项。 b 选项， cosine sine theta 等于十三分之五。那这就需要去我们去算一下 我们的 sine theta 减 cosine theta 等于多少？那 sine theta 减去 cosine theta 直接用公式，那就是说它的平方就等于二，减去 sine theta 加上 cosine theta 二的平方，把二往进一带的话呢，会得到二，减去十三分之七的平方就等于一百六十九分之七七四十九，减完之后我们会得到它就等于一百六十九分之 两百八十九。所以呢，我们会得到的是 sine theta 减去 cosine theta 的 平方等于它。所以呢， sine theta 减去 cosine theta 是 不是就等于正负 十三分之十七？那我们刚已经分析出来了，我们的 sine 第四象限，它的 sine theta 是 不是小于零的，我们的 cosine theta 是 不是大于零的？ 那就是说小零减去个大零肯定选这个负的了，那就是说舍去正的这个十三分之十七，所以呢，你得到了 sine theta 减去 cosine theta 就 等于负的十三分之十七。那这个式子之后，我们是不是可以把 cosine theta， cosine theta 都给它算出来，对吧？那也就是说我们算 cosine theta 呢，就是 一减二得二倍的 cosine theta 就 等于十三分之七加十十三分之 七，加上一个十三分之十七，就等于十三分之 二十四，所以呢，我们会得到 cosine theta 就 等于十三分之十二， cosine theta 是 正的，所以直接选到十三分之二，那题目中说了 cosine theta 等于十三分之五，那肯定是错误选项。 然后 c 选项 tan 等于负的十二分之五，那已知 cosine 算 tan 等于负的十二分之五，那已知 cosine 算 tan 等于负的十二分之五。那我们画一下它的这个直角三角形， 画出来之后，假设这也是 theta， 那 我们知道了 cosine theta 等于零比十二比十三，所以它的对边等于五。所以呢，你的贪婪的 theta 是 不是等于一个对比零五比十二，并且是一个负的，所以 c 选项是一个正确选项，那 c 选项也是可以选到的。 然后又告诉我们 cosine 减 cosine 等于十三分之十七，那我们知道 cosine 减 cosine 乘以负的，那 cosine 减三也乘个符号十四， d 也刚好选到，所以呢，这个题选择的就是我们的 a、 c、 d 三个选项。 ok， 这个就是我们的三姐妹公式，你要做类似的题目之后呢，你必须把这三个公式他们之间的关系给咱掌握清楚，再做起来的话呢，比较 后面再做起来就会比较简单。所以你发现我们这节课讲的这两个方法在结合使用的时候，会让你在三角函数部分的运算有一个质的提升，希望大家下去认真去把这两个公式之间的关系进行总结记忆。 ok， 那 么我们下个视频继。

大家好，今天我们来讲一下正弦函数的单调性。正弦函数学完之后呢，有一类型的题，就是专门来求正弦复合函数的单调性的， 那这个复合函数我们要去确定它的单调区间，我们之前我们已经学过了，就四个字，同增异减就可以了，但是这个题呢，他在解的过程中把很多同学给难倒了，那 其实上你只要换个思路，换种方法，解起来也并不是特别麻烦。那首先我们来看一下第一种方法，第一种方法也是很多同学上完之后 先采用的方法。首先我们来看一下这个负函数，我们要求它的单调增区间，因为这内层函数是个一次函数，是单调递减的，那你要求整个函数单调区间 单调增区间，是不是看外层函数的什么减区间就行了？那是不是我们只需要让我们这个整体三分之派减二 x 在 正弦函数的减区间 里面，然后把 x 解出来是不是就可以了？那既然这的话，那咱一步一步来，那正弦函数的减区间来看一下，是不是二开派加上一个多少二分之派 到谁到我们这个来，先把这个写成三分之派，减去一个二 x， 而小于等于二开派 加上二分之派，到二开派加上一个二分之三派，它就是正弦函数的什么减区间对不对？那现在这一步得到之后，接下来我们是不是就需要去解这个不等式就可以了？那咱来解吧， 两什么同时减，那就给它都减去一个三分之派，这个就得到了一个二开派 加上一个，这一减是不是六分之派？六分之派小于等于负二， x 小 于等于来这边也是一样，二开派，二分之三派，减去一个三分之派等于。呃，六分之七派，是吧？ 好，到这一步之后，下一步我们是不是要把 x 单独给解出来？但是 x 系数是不是负二？所以我们给两边是不是要同时除负二？除负二注意要变号。 后面右边这个是放前面，前面这个是不是放后面去了？所以 x 它就大于等于来给它除以。什么？给这个除以负二，是不是得了一个负？开派减去一个负的多少来看一下，这就成了减去十二分之 七派，对吧？这个就小于等于负的派派，减去这个是为乘式减去十二分之派， 然后到这之后我们是把 x 解出来，可是这选项里面压根就没有我们解的这个怎么办？要注意这里你负派派如何来转化呢？看派是属于整数，那我们派能不能取成负派呢？这个是可以的，没有任何问题。当然我们 把这个先给它变过来，那我们就可以把它变成 kpi 减去一个十二分之七 pi 小 于等于 x， 再小于等于 kpi 减去一个十二分之 pi。 就 这从上面这一步到这一步，你可以有多种理解方法。当然因为 k 是 属于整数的，你负 k 和 k 所取的那个所有的值是不是最终是一样的？所以它俩是等效的？ 那现在看到这一步之后，你会发现这个选项里面也没有这个怎么办？那接着这转化，那怎么转化呢？你看一下这个函数它的周期是不是一个派，是吧？所以我们可能当刚才写的这个区间呢？不是这个题目中他解的时候给的那个区间，那怎么办？ 那是时候我给他加减整数周期，也就是把这个区间向左移或者向右平移一个周期， 最终就能得到。跟他一样，经过观察我们发现我们给我们这个区间左右两边同时加上一个派，是不是就能达到这样效果？那咱给他加上派之后，你看一下这个加上派之后就得到了一个派派加上派之后是不是成了加 十二分之五派小于等于派派，加上这个一加上一个派之后是不是十二分之十一派，对吧？终于找到了这个答案。 b 选项是不是跟这一样？好，那到这之后你会发现在这个过程中 看似很简单，但是把很多同学就什么就不会了。那接下来我们来看一下第二种方法 来。第二种方法怎么做呢？我们这里是一个什么正弦模型，正弦模型我们知道正弦它是属于奇函数，奇函数跟里面是一个符号，那这个符号是能进什么？能出的？所以我们对它变形，把它变成什么？把它拿出来，是不是变成负的 二倍的？ c 括号里面是不是添添一个符号？是不是变成二 x 减去一个三分之派，是吧？ 到这之后接下来的操作基本上一样，我们来看一下，现在这么一变，我们把内层函数给它变成一个增函数了，然后呢？你现在要整个的增区间，我们是不是要看外层这个函数的什么 增区间？但是因为前面是一个符号，对吧？添了符号之后，它的增减性，它的单调区间是不是也倒过来了？那也就是说我们最终也是只需要我们这个二 x 减去三分之派，在正弦函数的什么 减区间，对吧？这样就行了。那正弦函数 cx 减区间是不是就是刚才我们写的这个 对不对？那满足这个之后，那接下来是不是只剩下解谁啊？解这个不等式就可以了？怎么解呢？跟刚才一样，两边同时先加个什么三分之派，所以 二 x 就 大于这一加过来，是不是二开派加上一个这个是六分之 五派，然后小于等于这个是二 k 派加上一个这个看移过来给他一加，是不是六分之十一派，对不对？然后两边同时出个二，我们就得到 x 大 于等于这个一除，是不是成了一个 k 派了？ 然后加上这个除个二是不是十二分之五派，然后小于等于 k 派 加上我们这个十二分之十一派？那你现在看一下，这只需要简单三步，也不需要去转化，我们是不是直接就能得到这个选项里面这个 b 选项， 对不对？所以你看在很多我们时候，我们去解析的过程中，只要你做一个小小的变化，这个解的过程中就会免去很多的麻烦。

每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注！大家好，今天分享一道有热心网友提供的试题， 分析如下，第一，三角形 a、 b、 d 中有 y 点的 b、 d 的 平方等于 ab 方加 a、 d 方，加上 ab 乘以 a、 d 等于二十八。 而四边形 a、 b、 c、 d 的 面积等于三角形 a、 b、 d 的 面积加三角形 b、 c、 d 的 面积，而三角形 b、 c、 d 是 等边，三角形面积等于四分之根号三、 b、 d 方。 所以四边形 a、 b、 c、 d 的 面积等于二分之一乘以四乘以二乘以三一百二十度加上四分之根号三 b、 d 方 等于九根号三。第二令 a、 d、 b 等于 b 塔。三角形 a、 b、 d 中有余弦定律可得 b、 d 等于根号下 ab 方加 ab 方减二乘以 ab 乘以 ab 乘以扩展二法等于两倍的根号下五减四扩展二法。而三角形 abd 中又由正弦定律可得 b、 d 比三元二法 等于 ab 比三元 b 塔。因此 b、 d 乘以三元 b 塔等于四三元二法。 三角形 e、 c、 g 中 c、 e 的 平方等于 e、 g 的 平方加 c、 g 的 平方减两倍的 e、 g 乘以 c、 g 乘以扩散引角 e、 g、 c， 而 c、 g 等于二分之根号三 b、 d 等于根号下十五减十二，扩散以二法，而角 e、 g、 c 等于 b 塔加九十度。 所以 c、 e 的 平方等于 e 加上十五减十二乘以扩散以二法加上二乘以一乘以二分之根号三。 b、 d 三以二法 等于一十六加上四倍的根号三。三元二法减去三扩展二法等于十六加八根号三三元二法减三分之拍。 很显然，二法等于六分之五拍时 c 一 的平方取的最大值十六加八根号三，所以 c 一 的最大值等于二加二根号三。 答案，第一空记为九根号三，第二空最大值为二加二根号三。

挑战一个视频给各位同学讲清期末必考双驱函数，不用死磕公式推导，三分钟格式化拆解，孩子一看就懂，做题不卡壳，关注我，把抽象数学变直观，再也不用为辅导熬夜查资料 忽视。高一的家长注意了，工程数学核心的双驱函数是高一期末高频压轴题， 孩子不会画圆，不懂化简分就白丢了。这条视频帮各位同学啃下这个硬骨头来，我们看下这道题怎么去做。 他说双驱函数是工程学一类非常重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富。常见的两类双驱函数为正余弦双驱函数，解析式如下， 双趋正弦函数，它的解析式是二分之一的 s 密减去 e 的 负 s 密。双趋余弦函数是二分之一的 s 密加上 e 的 负 s 密。那么我们在做这道题之前，那么首先我们先看一下这两类函数怎么去做 来，首先我们看一下第一个函数，就是老师给大家说的， f x 等于 e 的 x 米减去 e 的 负 x 米。我们先总结一下该函数的一个图像与性质，那么在这里的话来看一下，我们先判断一下它的极有性，它的极有性的话，是不是我们要用定义法来判断，那么就判断 f 负 x 跟 f x 之间的关系， f 负 x 它就等于谁啊？负的 f x， 所以 说我们知道该函数为 y g 函数对不对？好，那么这里的话，我们知道它是 g 函数了，我们再判断一下它的单调性， 那么 e 的 x 米是指数函数，它是单调递增的，因为底数是 e 大 于一单调递增，那么 e 的 负 x 米可以写成一分之一的 x 米，一分之一它是大零小一的，所以说前面是一个增函数减去一个减函数，整体等于一个增函数。 好，那么这样的话，我们就可以画出 e s 密减去 e 的 负 s 密，它的一个图像，它的图像长成什么样呢？它的图像跟我们所说的 x 的 三次方的图像长得非常像啊，也是这样的一个奇函数单调递增的。 好，那么在这里的话，我们就掌握了 f x 等于 e s 密减去 e 的 负 s 密这个图像，那么它除一个二，除一个二，其实的话不影响它图像的走势，只影响它一个增长的一个速率。 所说的话，二分之一的 s 密减去一的负 s 密的图像跟一的 s 密减去一的负 s 密图像是长得一模一样的。来，接下来我们再看第二个，就是我们所说的谁啊？ f x 啊，等于 e 的 s 密加上 e 的 负 s 密，那么来，首先我们判断一下它的一个角性， 它的奇偶性的话，一样道理，我们要先判断谁啊？ f 负 x 与 f x 之间的关系， f 负 x 就 等于 e 的 负 x 密，加上 e 的 负的负 x 密是 x 密，它就等于 f x， 所以 说该函数是偶函数。 好，那么我们再判断一下它的单调性，它的单调性的话，你能够发现直接利用性质法是判断不了的，所以说我们需要换下元，在这里老师令 t 等于 e 的 x 密，那么由于它就转化成了 t 关于 x 的 一个指数函数，这个指数函数的话，底数是一大于一单调递增，但它的图像红在 x 上方，所以说的话，这里的话 t 引入向量 t 的 一个曲的范围是大于零的。好，那么这个函数又变成谁了呢？它就变成了 f x 等于 t 加上 t 分 之一， t 加七分之一，它就是一个对勾函数，但是这个对勾函数，我们只要 t 大 于零这部分图像，那么所以说我们就把上面这个函数拆成了内外层函数，它的内层函数 t 等于一点 x 密，它是单调递增的。而这个外层函数 f x 等于 t 加 t 分 之一，它是一个对勾函数，它在第一象限中是一个勾字。好， 那么此时什么时候取得最小值呢？当 t 的 t 分 之一的时候， t 的 t 分 之一，那么 t 方得一 t 的 时候，取得最小值。所以说这里我们就知道了，当 t 属于谁时啊？负无穷啊，不是负无穷大，不好意思啊。 当 t 属于零到一时，那么此时这里 t 加 t 分 之一，它是单调递减的。当 t 属于一到正无穷大时，这里的 t 加 t 分 之一是单调递增的。好，那么这样的话， f x 等于 t 加 t 分 之一的单调性。知道了，那么 t 的 e s， e 的 单调性也知道了，也是内外层函数的单调性我都知道了，那复合函数的单调性，我们就知道了，因为负函数的单调性，它要满足谁啊？同增异减。好，那么所以说在这里我们就能够得到谁啊？当 t 属于零到一时，我们能够发现这个谁呀？外函数这个对勾函数单调递减的，而内函数单调递增的，那么复合完了之后，这里的 f x 等于 e 的 x 加上 e 的 负 x 密，它就是单调递减的， 但是你能够发现这是 t 的 取值范围，我们要求它的单调减区间，是不是要求自变量 x 的 取值范围啊？你是不是设 t 等于 e 的 s 密了呀？那么 t 是 大零小一的，所以说这里的话 e 的 s 密是不是大零小于一的呀？从而我们就能够求出这里的 x 的 取值范围，它是小于零的， 明白了吗？孩子们？好，所以说当 x 小 于零的时候，那么这里 f x 等于一的 s 米加上一的负 s 米，它是单调递减的。而当这里的 t 属于一到中求大时，我们知道 f x 等于一的 s 米加上一的负 s 米，它是单调递增的。为什么呢？ 因为内函数是增的，外函数在一到中求大也是增的，所以说复合后这个函数就是增函数，那么也是一样的道理，我们现在知道 t 的 一个函数就是增函数，那么现在我要求它的变量 x 的 系数范围，所以说这里 你设 t 是 不是的 e 的 s 密了呀？所以说 e 的 s 密要大于一，从而我们就推出 x 是 大于零的，所以说当 x 大 于零的时候， 我们知道 f x 单调递增，当 x 小 零的时候， f x 单调递减，所以说 e 的 s 密加上 e 的 负 x 密，它的图像画出来应该长成什么样呢？来，老师给大家也是画在旁边上面吧，画在这个位置上，它的图像画出来应该跟我们所说的这个二次函数同样长的特别像。 好，那么它有个最小值，这个最小值是多少呢？这个最小值的话，你看 e 的 x 米加上 e 的 负 s 米，把它利用均值不等式，大约等于几啊？二， 所以说它的这个最小值是二，明白了吗？孩子们？这就是我们所说的 e 的 x 米加上 e 的 负 x 米的图像，这两个图像非常非常非常的重要，在期末考试的过程中是必考的，必考的，能理解了吗？那么我们考试的过程中可能还会转化成二的 x 米减去谁啊？二的负 x 米 或者谁啊？四的 s 米加上四的负 s 米等等，把这个底数从一换成二，或者以四或者以三为底，都可能会考出来啊，明白了吗？孩子们？但他们的图像长一个都是一样的。好，来，接下来我们看一下这道题怎么去做。 他说，第一位让我们求的是谁啊？双趋于弦函数的平方加减去双趋正弦函数的平方减去 双缺正弦函数的平方，它就等于二分之一的 x 密加上 e 的 负 x 密，括号外的平方减去 二分之一的 x 密减去 e 的 负 x 密括号外的平方，它就等于谁了呢？来分母平方方都是四，我们直接通分了，它就变成谁了。 e 的 二 x 密加上 e 的 负二 x 密再加上二。 那么后边呢？ e 的 x 次幂在平方是不是变成 e 的 二 x 幂了呀？前面有个符号，是不是减去 e 的 二 x 幂，再减去 e 的 负二 x 幂， 然后的话，它里边的话还有个谁啊？减去二，那么前面还有个符号，是不是加号二了呀？整体话讲完了，你能够发现这都约了，是不是剩个二加二得二再除四呢？得一，就说第一问超简单，来，接下来我们看第二问啊，第二问才是我们考试的一个难点，也是必考点， 他让我求的是谁啊？ y 等于啊，这一坨看起来超级复杂，让我求他那个什么域啊？值域，那么你要想求这个函数的一个值域，那么首先我们要把这个解析式给他化解一下。 y 等于谁啊？ 双趋于弦函数的平方加上双趋正弦函数的平方，再加上一个双趋于弦函数。来，我们把这个解析式化解一下，它就变成谁了。 二分之一的 x 密加上 e 的 负 x 密。括号外的平方加上二分之一的 x 密。减去 e 的 负 x 密，括号外的平方再加上一个二分之一的 x 密加上 e 的 负 x 密。好，那么我们把这个解析式化解一下啊，看它变成谁了呢？来，还是一样道理，我们先给它 分母都平完方之后的话，是不是变成四了呀？我们就给他直接通分，通完分就变成谁了呢？ e 的 二 x 倍加上 e 的 负 二 x 倍，再加上 e 的 负二 x 倍再减二，再加上谁啊？后面也给他通下分啊！四分之二倍的 e 的 x 加上二倍的 e 的 负 x， 好， 那么整体就变成了四分之。 看一下前面就变成谁了。两个 e 的 二 x 密加上谁啊？两个 e 的 负二 x 密加二减二没了，对不对？哎，那后面后面呢就变成谁了呢？来看一下 后面的话，其实的话就没有问题啊，给他通分了，孩子们，那么我们不给他通分来给他还原回去啊，他其实就变成谁了，加上二分之 e 的 x 密加上 e 的 负 x 密。 那么前面的话，是不是你能够发现分子提出个二跟分母中的四约了，那么此时它就变成谁了？二分之一呗，老师把二分之一都提出来了， e 的 二 x， 你 加上 e 的 负二 x， 你 再加上 e 的 x， 你 加上 e 的 负 x， 你 好，到达这一步了， 到达这一步的话，是非常非常非常非常重要的，来，接下来我们怎么去处理它呢？大家思考一下啊，大家可以考虑一下，到达这一步的话，我们怎么去处理呢？好，那么接下来最重要的一步就是换元啊，换元法， 怎么去换元呢？在这里的话，老师就可以设这里 e 的 x 幂加上 e 的 负 x 幂，它是等 t 的， 那么此时的话，刚才我们研究这个函数了， e 的 s 幂加 e 的 负 x 幂，它是不是我们所说的这个跟二次函数同样长得比较像呀？最小值是不是二呀？所以的话，这里的 t 的 一个取的范围是大于等于二等，对不对？ 好，那么你设这里的 e s 密加上 e 的 负 s 密等于 t， 那 么此时 e 的 二 x 密加上 e 的 负 s 密，怎么转化呢？就是把前面这个式子平方呀，它平下方就变成谁了呢？ t 方就等于 e 的 二 x 密加上 e 的 负二 x 密再加上二。好， 从而我们就把 e 的 二 x 米加上 e 的 负二 x 米给它搞出来了，它是等于 t 方减二的，所以说上面的那个式子，它就变成谁了呢？它就变成了二分之一倍的谁啊？ t 方减二再加 t， 那 么是不是转化成关于 t 的 一个二三数了呀？好，那么来看一下，我们把它转化成一个标准形式， t 方加 t 减二， 那么此时这个二函数的话，排股传哪朝上，那么此时对称轴呢？是多少呢？ t 等于负的二分之一，我要他哪部分图像呢？这里的 t 我 们刚才知道了， t 是 不是大于等于二了呀？我要他二到中求大这部分图像。所以说从 t 的 二处取得最小值，我们把二带进去，那么它的最小值为多少呢？来，我们带一下。 二的平方是四四，再加二，再减二，没了，是不是变成四乘二分之一，得减二，好数一数这道题，最后得到它这个值域是多少呢？最小值是二，那么它的值域是 y， 属于二到中求大。 非常非常好的一道题，希望高一的同学们必须要掌握啊，大家可以看一下。

下面老师来带领大家看一下热点。三杠三就是正弦定律和余弦定律，这类题的话，解三型在每年的高考题中也是常考的题型， 一般来说在选择题和填空里比较多一点，有时候也会在解答题里边出现，像今年的话，高考题是不是也出现了在解答题里边，那我们这一题的话就是他一般来说都是对于正弦定律和余弦定律的简单的运用， 有时候也会考一些就是实际的问题，就是我们在高考题中就是，呃，只要能够就熟练运用到正弦定和余弦定就可以了。那下面老师带领大家八种就是常考的热门题型，来带领大家看一下。下面来看一下题型一、正余弦定律的就是解三角形的边与角的问题， 这类题型可以说就是，呃正弦定律的就是最基本的用法，这种解析思路的话，也就说对于边界要转化的问题，嗯，一般来说就是要定力，对一题来说如何选择用这个正弦定律还是弦定律呢？我们要看这个就是观察这个 正弦定律和余弦定律它到底有什么。我们正弦定律很明显是不是等于一个就是 a 比上三等于 b 比上三 b， c 比上三 c 等于二，是不是外角圆的半径对不对？那我们余弦定律是什么？是不是 a 的 平方，是不等于一个 a 的 平方加上一个 c 的 平方减去二倍的 c 是 不是 cos， 哎，对不对？那有一个变形推论，是不是 cosine i 是 不是等于一个地方加 c 方减 a 方除以一个二倍的 b， c 对 不对？ 这个就是我们通过观察你会发现，如果我们知道两个角积一边的话，我们优先用什么？是不是很明显？你再如如果有两个两个角的话，然后有一个边了，有与其定了一个边， 那我是不是很优先用这个就可以了？如果我们是知道两个边，另外一个边的对角是不是也可以用正弦距离？比如说我们无论在做什么题时，都先考虑能不能用到一个就是它的正弦距离，因为正弦距离来说 他比这个余弦定律稍微简单一点，就算是稍微简单，所以说我们优先看一下能不能用正弦定律，然后如果不能用的话，我们是不是再考虑一下余弦定律，嗯，其他的就是考虑一下余弦定律就行了。那我们下面来看一下例一， 例一，他说这个在三角形 a、 b、 c 中角 a 是 等一个，是三分之二排，是不是一个一百二十度了，对不对？然后 a、 b 是 等于二 c， 是 不是？我们要画图呀？对不对？我们先把这个图给画一下， a 大 概是，呃，很是一个钝角了，对不对？然后这个这边是四，这边是二，然后要求什么？要求这个角的三值，角的三值，很明显，我们如果 这角是三分之二拍的，我们看一下能不能运用就是他的正确命令呢？如果我们直接用的话，你会发现这有个角，这个边不知道 这有个这有个角，两个角是不是也不知道是不是？我们没有办法去直接就是算出来这个这个三 a 值对不对？就说我们会发现这个两个边知道了这加的这角，知道了明显，那这个边是不是对应的是 a， 对 不对？ 这个 i 的 话就是 i 的 平方，我们知道用余弦电流 i 的 平方是不是等于一个四的平方，加上一个二的平方，再减去一个四，乘以二，为了四乘以二，再乘乘二，再乘一个 cosine 是 不是三分之二？怕也说我们应用公式的话，是不是十六加上一个四，再减去一个二，乘一个 四，再乘一个二，也就是说再乘一个是不是负二分之一？负二分之一唯一代入的话是不是等于个？是不是等于二十八了？比如说 a 是 不是等于二倍的根七？ 它是等于，它既然等于二倍的根七的话，比如说每个边是不是都知道了？然后这个边，这个边所对的这个角角，这个角是不是等于三分之二？所以说我们是不是可以运用正确定律了？用到这个是不是和这个也行了？比如说 a 对 应的就是二倍的根七，我算出来之后，上一个三就是三分之二， pi 不 等于一个就是二，除以一个对应的三 c 是 不是就可以了？ 这个是不是正好是三分之三二，三分之二 pi 是 不是等于个二分之根三呢？对不对？二分之根三，我们一化简的话，这个二和二一约掉三 c 是 不等于个二分之根三， 再乘一个根七分之一，是不是？我们一画两分为的话是不等一个二十一除以根号二十一除以个十四了？就说答案选 a， 选项。