七上几何图形和动角问题专项练习湘版

动脚问题分两类，一类是基础型动脚问题，这个难度不大 啊，就是分类比较简单，然后呢，就是我可以通过画图，然后通过标脚去把它解决掉啊，这个难度不大， 但其实大家真正被难到的是这种进阶型的动脚问题。这种进阶型的动脚问题，它可以这么说，它是完全超出我们初一小伙伴的能力范畴的，它是完全超出的， 就是他必须要有一定的树形结合思想，用一些未来学到的更高级的工具，才能够比较有效的完整的去解决。当然了，你说你能不能算出一两个答案？可以的，但是你要想把这类问题彻底的解决掉，呃，是要用树形结合思想用，用一些，比如说讲坐标系的一些认知的， 所以我这么来讲，就是基础型的动脚问题，是所有小伙伴他一定要去掌握的啊，也就是今天晚上我会先讲的内容。好吧，那么接下来呢，这种进阶型的动脚问题，他完全是一种能力拓展，就是你在学有余力的情况下，余力的情况下。 哎，你说我就想玩一玩数学，抱着玩一玩的心态，抱着玩一玩的心态，那就跟马哥一起玩一玩，但是要玩咱就把他玩透， 要玩咱就要一次性把它玩透，因为只有玩透了才能真正提升你的数学能力，要不然就这类题，当你过了这个阶段，你说你在初一的下学期，初二、初三还会不会遇到类似的题，再也不会遇见了，我就说他只是因为在初一实在没有什么可以考的， 所以专门拿来啊，可以说是给大家拓展拓展吧。啊，就是这样的一个逻辑，好吧，但是大家要一定要根据自身的情况去选择，要不要在这花时间，但是有一个原则， 如果你已经决定了要玩了，已经决定要花时间了，你就把它弄透，因为只有弄透你才会有收获。如果你听个一知半解，在这块你只会听的感觉到挫败，不会有任何的收获。我们首先来看一看基础性的动脚问题。基础性的动脚问题，我们以这个题为 切入啊，咱们拿这个题来感受一下基础型的动脚问题，你怎么去解决就行了，来大家自己感受一下吧。接下来我们由浅入深啊，逐步增加难度。咱们先看动脚的第一节课，他说这个 o d 啊， 从目前这个位置开始转啊，顺时针开始转，每秒转两度，他问转过多长时间可以怎么样？可以去平分角 boc， o d 或者 o d 所在的直线可以去平分角 boc。 那 你会发现平分角 boc 的 直线是定的 还是不定的，这很明显是一个定的吗？这个角 b、 o、 c 是 个定角吗？你看到了，这是一个定角啊，这定角是多少度？六十度。那我们平分角 b、 o、 c 的 直线我是不是就可以直接做出来？我就过做角 b、 o、 c 的 角平分线，然后再反向延长，这就是平分角 b、 o、 c 的 直线啊，就是这条蓝线。 那也就是说这个 o、 d 什么时候能够平分角 b、 o c 呢？或者它所在直线平分角 b、 o、 c 呢？就是 o d 要转到和这条蓝色的直线重合。 o d 转到和这条蓝色的直线重合，有几种可能性？对，就是两种可能性嘛。哎，你看他先转转转转转转转转转到这里，他和 o m 这条射线重合，这是第一种可能性， 对吧？此时 o d 所在直线一定平分角 b o c。 好， 那我这个时候我就可以算一下他转过的角度嘛。那你那那这角分线这边一百二，那这是三十度，这也是三十度。所以当 o d 转到与射线 o m 重合的时候，他转过多少多少度角？ 转过了九十度加三十三十度，是不是转过了一百二十度角，而他每秒只能转两度啊？每秒转两度，现在要转一百二十度，就是一百二十度，除以每秒两度，就等于六十秒， 这是它的第一种可能性，那么它还可以继续走，因为它整个要转什么？它要转转转，旋转一周嘛。那么在旋转一周的过程当中，它还可以继续走，那么转到 o m 与 o m 重合后，从 o m 开始，再再再再走到这里，走到这里它还可以和射线 o n 去重合。也就是说，当 o d 这条射线 这么转过来和射线 o n 重合的时候，那么 o d 所在直线 o d 所在直线也会平分角 b、 o c。 而此时它转过的角度是多少度呢？ 这么转过来总共转了多少度角？大家看一下，这个时候他总共转三百度吗？对不对？因为这个角是三十度，这个角是三十度，那么对顶过来这个角也是三十度，这是三十度，这是一百八十度，这是九十度。二百七十度加三十度，三百度，总共转过了三百度。每秒钟转两度，好一除就是一百五十秒。 这是这道题的第二个答案，因为他只能转一圈，要么转到这里平分，要么转到这里平分，就两种可能性，就是六十度或者一百五十度。好了，这就是一个基础型的动角问题。基础型的动角问题有这样的几个特点，首先他的动线没有那么多，变化的量，没有那么多。 第二，他的情景都可以很直观很简单的画图画出来，这个时候你只需要按照提议去画图， 然后该标的角标好，标好，然后根据提议去进行计算，整个问题就结束了。所以第一注意划， 按照提议去划。第二注意标好该标的角度，然后按照提议该求啥求啥就结束。这就是一个基础性的动向问题，这种问题是完完全全的在我们 初一小伙伴的能力范围之内的，是一定要去掌握的。来，接下来我们来看第二道题，接下来我们慢慢增加一些这些题目的复杂度，你们觉得这道题有几种可能性啊？两种可能性是吧？好，他说这个绿线啊，绕着这个点 a 去转，转到什么呢？转到和这个 b 去垂直的时候，哎，问过几秒， 那我这个时候怎么想的？我还是看一下满足提议的状态，咱先画出来。满足提议的状态，那我满足提议的状态，我就过 a 做一个 b 的 垂线，你会发现这个绿线只要转到和蓝色的直线重合的时候，就是满足提议的状态。而当这个绿线转一周，转到和蓝线重合，应该可以有几次， 对吧？他其实应该有两次。那么首先他第一次转，转过这么多度角，对吧？就会和蓝线重合好，这样重合以后呢，他还可以绕着 a 继续转，再转多少度，再转一百八十度，还是会和蓝线重合，所以这是可能性一，这是可能性二， 这是一开始我们根据提议画出满足提议的这个最终的结果，想到他有几种可能性，就是两种可能性啊，这种就是基础动角问题。那么接下来咱就是标角，你看，第一就是画图，第一就是按照提议画出满足题，画满足题的状态，第二就是标角，计算 标角，然后咱们就算就好了吗？标角算吗？接下来咱们就标角吗？可以标的角有哪些呢？首先你会发现这个是一百二十度，那么这个角是六十度 对不对？这个角是五十度，那么这是九十度，根据三角形内角和这是四十度，所以第一种情况，他会转过多少度角？转过一百度角 就可以重合，所以转过的角度是一百度，每秒转五度，一百除以五就是二十秒，这是第一个答案。 然后接下来他再转多少度，再转一百八十度，那么总共转了多少度呢？就是一百度，再加一百八十度，就是转过二百八十度，二百八十度，每秒转五度，出弯以后就是五十六秒， 所以答案就是两个，一个是二十秒，一个是五十六秒，就这么简单。所以这种基本动脚问题，就是要求我们第一先按照题目所描述的状态，第二呢就是把里面该标的角标出来，按照题去进行计算就行了。 那么在这里马哥要强调的是，你一定要看清楚人家对这个动线的描述，就是动线他到底转过多少，人家这里说的是绕点 a 顺时针方向旋转一周，那么旋转一周意味着状态一和状态二都可以达到，因为旋转一周他要转回来嘛，这一圈之内的状态都可以。 那如果他变成什么呢？如果他变成顺时针方向旋转半周， 那你会发现就只有几个答案了。如果我把这个条件从 a 顺时针方向旋转一周变成顺时针方向旋转半周，那你会发现就只剩几个答案了。他是不是旋转半周，旋转半周最多到这吧，对不对？旋转半周刚好跟原来重合最多到这，所以只有二十度一个答案， 所以这个时候就是你一定要看他的运动范围。这两道题描述的都是旋转一周，一定要看他什么时候停 好。这是第二道题。接下来我们把这个问题稍稍再复杂一点点，它要 o d 平分角 b、 o c。 哎，这次有两条动线了。你去读一下这道题里面的哪一句话，使得这道题最终是一道非常简单的题？ 哪一句话？这道题对停止的描述是，只要 o c 与 o d 往这边转，只要 o c 与 o d 重合就停止， 说明这道题只有几种可能性，一旦重合就停，说明这道题只有几种可能性。只有一种可能性， 重合就停，意味着蓝线绿线是不会换位置的，如果没有重合就停，这个条件很有可能是不是 d 就 转过去了， c 就 转到下面去了，那可能性就多了去了。 但是现在人家有一个非常明确的条件，就是重合停止，所以就是停止的状态。什么时候停是一个非常非常重要的条件，他直接就可以导致这道题到底是非常简单还是非常难， 一定要把这个读清楚，所以我们刚开始由浅入深，我们先看这种比较简单的，然后后面再看如何去分类，好吧，好了，那么 接下来既然他什么他是转到重合就停，那么重合之前的状态就是这道题唯一的状态，接下来我就只需要去标角了，对吧？因为他这个这边是从 o b 开始，每秒转一度，我就设过时间为 t， 所以 这个角度就是 t， 对 吧？然后这边是每秒转五度，从 o a 开始，每秒转五度，那么假设时间为 t， 那 么这边就是五 t。 好，这边是五 t， 接下来我还可以去表示谁呢？他说 o d 要平分角 b o c， o d 要平分角 b o c， 那 么假设现在啊，我要求的是平分状态，他要平分，那么我就认为他平分，接下来的事太简单了，那么这是 t， 这也是多少？这也是 t， 对 吧？我就是让当做他平分来算 t 吗？所以这是 t， 这也是 t， 那 接下来就结束了，那么你会发现一个 t 加两个 t 加五个 t， 七 t 等于一百二十度， 那么 t 就 等于七分之一百二十，所以答案就是七分之一百二十，直接秒掉，对吧？所以这道题你看第一注意什么呢？注意停止条件， 既然停止条件是重合就停，那我就可以知道了，就是蓝线、绿线 o a o b 的 相对位置关系都不会发生变化，他们的相对位置关系不会发生变化，那么我就可以认为这个状态就是 t， 这个也是 t， 这边是五 t 加起来七 t 等于一百二十度结束， 会不会不能平分就停了？那肯定是不会的呀，你要是不能平分就就就停了，那你肯定算出来这个 t 就 不对了。你想嘛，他一定能够重合吗？重合之前一定会相等吗？好了，来继续 啊，接下来我们你看啊，你再读一下这个题，这道题我们把它定义为基础的动角问题，还是因为哪一句话来感受一下？他不是要角分线吗？ 他不知道 o d 是 角分线吗？你就认为 o d 是 角分线，把它当角分线来算嘛，当角分线来算嘛。所以底下是 t， 上面也是 t 嘛。你看人家还是说什么，这道题和上道题是一模一样的，如果他没有这句话，没有当 a d 和 ab 首次重合时就停止， 那肯定这个题就复杂了。但是他现在有了这个条件，首次重合就停止，说明这个状态就是唯一的状态， 那我就只需要在这幅图的条件下去进行计算就 ok 了，我不需要再重新画图了，这就会使得这道题非常的简单。接下来我就只需要认认真真的把每个角度去标好，按照人家的给的条件我去进行计算就好了。你看这两个重合你能转多少度？总共转多少度？ 这是三十度，这四十五度，你要把这个角转到重合，就是把这个角转完嘛，这是一百八十减三十，一百五十，就总共转一百零五度就结束嘛。这两个总共转一百零五度结束，转不了一百八嘛。所以每一次你一定要去看一看人家的运动时间，一定要看一看对 停止运动的描述。接下来人家说从目前这个位置开始转，也就是说 a c 从 a m 开始转， a e 从 a n 开始转，这是两个直角三角板，这都是九十度至四十五度至三十度，对吧？好了，呃，那么假设运动时间为 t 秒， 然后分别告诉我们旋转的速度，一个是逆时针 n 度每秒，一个是顺时针 m 度每秒。由速度和时间我可以直接表示出来这里面的哪些角度，来帮我帮我找一下。 mac 肯定是可以直接表示的， 因为这个就是旋转过的角度嘛，从 am 转到 ac 转了 t 秒每秒转 m 度，那么这个就是 mt。 同样的道理， e a n 也可以表示，它是由 an 转到 a e， 那 么转过的角度就是 n 度，乘以时间就是 nt， 这就是由速度和时间其实就是转过的角度嘛，由哪转到哪，这个角度就出来了。好，那么接下来人家要什么呢？要角 m a d 和角 c a e。 那接下来我就想办法去表示 m a d 嘛， m a d 是 哪个角？ m a d 是 这个角， 对吧？哎，那我角 m a d 就 可以表示成什么呢？怎么去表示？这个角怎么表示？ 是不是就用一百八十度把这个三十把这个 nt 减掉就行了？就是一百八十减，三十减 nt 就 等于一百五十减 nt 来，这是就是角 m a d 来，接下来我们再表示一下角 c a e， 这个 c a e 其实也很好表示， 那么 m a n 这个大角还是一百八十，一百八十把 nt 减掉是不是就结束了？所以角 c a e 就 等于一百八十度 减 mt 再减 nt 好 了，那么接下来我把这两个都带进去，他说角 m a d 等于六分之五倍的角 c a e 那 我就可以写吗？角 m a d 就是 一百五十减 nt， 就 等于六分之五倍的一百八十减 mt 再减 nt， 对吧？我带进来就好了嘛，带进来以后，接下来我就把这个右边展开嘛，啊，我就算嘛算，左边一百五十度减 n， t 不 变，一百五十减 n， t 不 变，右边六分之五乘一百八就是一百五十， 对吧？再减六分之五倍的 mt， 再减六分之五倍的 nt。 好， 这样你会发现这个一百五十和一百五十就同时减掉了。呃，接下来我们合并一下，首先啊，左右两边每一项都有 t， 所以 我还可以把 t 都约掉， 把 t 都约掉啊， t 都约掉就是负的 n 就 等于负的六分之五 m， 再减六分之五 n， 这样的话，我一项一项的话，就是六分之五 m 就 等于六分之一倍的 n， 所以 n 就 等于五 m， 所以 最终 n 和 m 的 关系就是 n 等于五倍的 m。 到这整个问题结束。 所以这道题啊，因为人家对这个停止时间的描述非常的简单，所以使得这道题他画图就一种情况，但凡画图就一种情况，咱老老实实的把角表示出来，按照人家给的关系去列方程，列方程这种参数多你也不用怕， 参数多最后一定可以消掉，你会发现 t 也消掉了，一百五十也消掉了，最后 m 和 n 的 关系就有了。所以这道题啊，他看起来是有点唬人，看起来是不是参数有点多，但是你要注意就是你只要坚定一点， 但凡是动脚类问题，他对这个停止时间的描述，使得他只有一种或者两种情况，你就把他的图画出来，然后按照人家的要求去标脚，然后按照人家的要求去列出关系式，整个问题就结束了，就不用怕， 但凡关系不复杂，你正常的去画图，去标脚，去列关系式，就结束。这道题只是参数有点多，看起来有点唬人，但其实很简单。接下来我们就把这种问题稍稍的给大家复杂一丢丢，但是还处于就是我们初一能力范围内就可以解决的问题，就是这道题， 这道题基本上快要到达能力范围内，不用增加什么新的知识，能力范围内就可以解决问题的边界了。边界就是这样啊，我们来看一下，还是那句话，你先根据他的对于运动过程的描述 来感觉一下，他应该有几种可能性，他应该有两种可能性，因为他只转一圈啊。这里面有一个非常重要的描述，就是 o c 旋转一周。注意，我们在初一所遇到的动脚问题，再恶心再恶心的问题都不会超过一周， 因为超过一周就彻底颠覆了我们在初中对于角的认识了，我们在高中才会学习大于三百六十度的角，在初中用初中的角度定义，根本就没有办法理解三百六十度以上的角，所以呢，你也不用担心，最复杂也就是转一周， 哎，只不过这个转一周如果线多一点，它的可能性就很多了，所以它也就转一圈，而且这个转一圈，这两条线是同向的，同向转一圈夹角要为要为三十度，只有几种可能性，就是 c 没有超过 b 之前和哎，追上前和追上后，那么追上前，接下来我就可以画图了。 你看啊，人家角一百四十度， o c 平分角 a o b， 那 么这个角是七十度，这个角也是七十度，先把这两个角度一定要标好，接下来换满，换满足提议的状态，那么这个 o c 开始转，哎，转，然后它其实开始追嘛，它快一点，它慢一点，它只是追。比如说 o c 转到了这里， 这是 c 一 片，然后呢， o b 转到了这里，这是 b 一 片。哎，你看， o c 转了一部分， o b 同时也向前转了一部分，这个时候呢，它们的夹角刚好来到三十度，这就是满足提议的第一个状态。好了，这是一种状态。 那么还有一种算什么呢？就是 c 彻底转过来了，彻底超过 b 了。那我们换另外一幅图啊，这是情况一，这是情况一，我们来再画情况二。情况二，就是 oc 彻底转到，比如说 oc 转到 c 撇的位置了， oc 转到 c 撇的位置了，然后呢？哎，他超过 b 了，他跑 b 前面了， ob 转到 b 撇的位置了， 这个时候他们的夹角也是三十度，这是第二种状态。除此之外，你接下来你 c 再往过转，他们的夹角只会越来越大，然后 c 回到原位置转一周结束。所以，尤且只有这两种可能性，不可能再有第三种了。好，这就是第一步，先把满足提议的图形画好， 把满足 t 的 图形画好之后呢，接下来我们就去标嘛。接下来，因为因为速度有了，人家设时我，我假设时间为 t 啊，经过 t 秒，假设时间为 t， 那 你会发现，从 o c 到 o c 撇，它每秒十五度，这就是十五个 t， 对 不对？然后 ob 到 ob 撇，每秒十度，这就是十个 t， 好 吧，好，那么再接下来我就要在这幅图里面通过角度关系来列方程了。通过角度关系来列方程，那怎么列呢？ 啊？那我就要看一看这个十五 t， 这个十 t 和这个三十，和这个七十有什么关系？那我就可以还可以再标一个角，就是这个角吗？这个角是不是就是七十减十五 t， 七十减十五 t， 对 吧？好，那你会发现七十减十五 t 再加十 t 就 等于多少，是不是就等于这个三十度？角就是七十减十五 t， 再加十 t 就 等于三十。好，这个时候整理一下，就是五 t 就 等于四十 五 t， 等于四十 t 等于八秒。这是这道题的第一个答案。一百八十度有限制，但是在这你会发现有吗？在这是没有的， 在这有什么一百八十度限制？我就研究这个三十度角有什么限制，对吧？然后我表示角度没有什么问题啊，你们说的那个一百八十度有限制，这些东西说明你你听的时候那个东西你没有彻底听明白，你们说的那些东西都是建立在另外一种思路去解决这道题的， 对吧？你正常的标角是没有你你们说的那些东西的，好吧，待会我会讲啊，注意听，待会会讲。好，接下来呢，我就在这里标嘛，你会发现 o b 到 o b 撇，你会发现这个东西不管怎么样都是十 t， 这与它大不大规？一百八半毛钱东西关系都没有，你用速度乘以时间，这个角无论怎么样都是十 t， 对吧？然后呢？这个角不管他大不大过一百八，永远都是十五 t， 你 说这有啥问题？这是不可能有任何问题的，就是这些角度的关系，角度的大小都不可能有任何问题，他就算大过一百八，他依然是用十五乘以 t 算出来的。那么接下来找一个关系式就很简单了，因为这是角分线，呃，这个角是七十度， 这个角也是七十度，对吧？好，那你会发现十五 t 最大的这个角就等于什么？就等于七十加十 t 加三十就是十五， t 就 等于七十加十 t 再加三十，这个角度关系就出来了，所以就是五 t 等于一百，所以 t 就 等于二十。所以这道题的答案就是八秒或二十秒。整个问题结束， 咱老老实实的画图，老老实实的去标角，没有用到其他任何的，就是我们现在驾驭不了的东西，你标出来的这个角是多少就是多少，这什么平角突破不突破，那只能说明你把讲的另外一种思想，另外一种方法，和现在我们正常的这种这种做法混淆在一起了。那么到这 我刚才说了，他基本上是我们的动角的，就是能力范围内的边界了， 你会发现到这其实已经有一点点开始复杂了，这个角度标起来已经有一点点恶心了，但是由于它的运动相对简单，而且情况只有两种， 我们还可以通过画图分类，然后老老实实的去标，用我们初一的知识完整的去把它解决掉。我接下来我给大家展示一种什么叫做超出初一能力边界的题目，就比如说这样， 这道题看起来条件无比简单，就是这是一个 a o b 是 一个九十度，这是十度每秒，这是五度每秒。然后他说经过 t 小 于二十四，就是总共不会超过二十四秒，不超过二十四秒的期间内，经过多少秒后？ p o q 等于二分之一的 b， o q 的 加角 等于二分之一的 o b 和 o q 的 加角。你不要看这道题描述的如此之简单，但是他几乎不可能用画图分类去处理， 几乎不可能用，就是我们初一的像刚才那样画图分类去处理，大家感受一下。为啥对，分类太多了，我跟你说光角 p o q， 你 看啊，这个 o q 可以 在这儿， o p 可以 在这儿，那么角 p o q， 这是它的第一种状态， 然后呢，它还可以再往过，它还可以交交叉过去，交叉过去。你看 o q 可以 在这儿， o p 可以 在这儿，这是角 p o q 的 第二种状态，哎，黄色，黄色，这是第一种，然后 q 上去， p 下来，这是第二种。完了没？远远没有完，还可以过去，就是 q 可以 整个跑到，比如说跑到这边来， q 可以 整个跑到这边来，然后呢， p 也有可能跑到这来，这是 p o q 的 第三种状态。还有什么呢？ p 还有可能怎么样？还有可能是这样的状态，就是 q 跑到了这里，哎，我再给你来个红色的 q 跑到了这里， p 在 这里，这是 p o q 的 第四种状态， 就是光 p q 的 相对位置关系就会导致 p o q。 我 随便画了画就有四种，那你说 b o q 总简单一点吧， b o q 也没有你想的那么简单。首先 b o q， 这是一种了， q 跑到这来，这，这可能就是第二种了，那么 q 跑到下面来，这有可能是第三种了， 对不对？这个 b o q 也有两到三种，哎，这么角 b o q， 虽然虽然我没有想的很清楚，但是随便，哎，随随便两种以上的可能性，两种以上的可能性。好了，接下来他要找这两个关系，这是四种，这是两种以上，你会发现他至少应该可以出来多少种可能性，应该是至少八种。 这四种对应角 b o q 的 另外一种就是你随便想一想，这样你画图可能得画出七八种，当然这七八种不一定都存在， 但是你是不是一个一个的都都得去想。所以这道题就是你几乎没有办法，在不提升你认知，不提升你理解的情况下，你几乎没有办法用初一的 啊，就是我画画图标标脚，分分类来解决掉，几乎不可以，因为状态太复杂，状态太多， 你要说我能不能算出一两个答案，那没有问题，但是你要说非常自信的把这道题完美的解决掉，那非常困难，对不对？那怎么办 好？所以呢，我们就要讲我们的第二种进阶型的动角问题。进阶型的动角问题，他其实已经就是超出了我们初中阶段对角的很多理解了，要用竖形结合的思想了。我们类比竖轴， 哎，竖轴是不就是一种竖形结合？你想想我们数学学竖轴怎么来学的？学竖轴是怎么来学的？我们学竖轴是不是规定一个圆点，规定一个正方向，规定一个单位长度，这个时候竖轴上的点和竖是不是可以就一一对应起来了？ 竖轴上的点和数值是不是就行进行了一一的对应？它有几个要素， 圆点、正方向、单位、长度。当我们把这些东西都规定了以后呢？那你会发现点和竖点什么图形吗？竖什么竖吗？这两个之间是不是就进行了一种竖形结合？那我们用同样的思路，我们来感受一下 角度和线的位置，角度是一个数字，对吧？线的位置是一个图形，我们接下来就想把角度和线的位置， 射线的位置，角的边就是射线，射线的位置进行一个一对应。你看为什么我们刚才必须得画图呢？因为我们不画图就没有办法确定什么确定线的位置。但是如果我能把线的位置和一个角度去一一对应起来，那我们就可能不需要画图了， 我就直接用数字去进行计算了，对吧？我们来感受一下怎么样实现。其实这里用到了我们高中的时候会学到的一个角坐标系的概念，只不过现在呢，我们对角坐标系其实是一个简化版，我只关心射线的位置啊，不关心点啊。角坐标系其实最终关心的是点的位置，现在我们只关心射线的位置， 我们依然要先规定一个什么初始状态，比如说呢，我画一个相互垂直的两个轴，横的我称为 x 轴，竖的我称为外轴，它俩是相互垂直的，这个时候我规定角的初始位置。角的初始位置我就规定 x 轴正方向的这条射线是零度， 这是它的出式位置。 x 轴正方向的射线，这个方向，这条射线我定义为零度。接下来我就可以用转过的角度去确定这个平面内每一条从 o 引发的射线的位置来感受一下。你比如说我规定逆时针旋转为正方向， 一般来说我们都规定逆时针旋转为正方向啊，正常的，我们到了高中学这个角坐标写的时候，也是规定逆时针旋转为正方向，那么这个时候，假设逆时针转过三十度角， 那么这个射线 o a 就 可以用多少度来表示。大家想一想，接下来一定要非常非常认真听，好吧，你错过一点可能就听不懂了，你看我从这是初矢状态， 从初矢状态按照沿正方向转过三十度，那么这个 a o a 这条射线的位置就可以用三十度来表示。 哎，这样的话，我是不是就建立了射线 o a 的 位置和一个角的度数之间的关系？竖形结合，对吧？好，再来。 那么假设转过四十五度，从始位置转过四十五度，到了 o b， 那 么 o b 这条射线那么一模一样，就可以用四十五度来表示。看 o b 和四十五一一对应， 那么外轴正半轴就可以用多少度来表示。外轴正半轴，这个正半轴就可以用多少度来表示。因为它从始位置转过九十度嘛，所以这就可以用九十度来表示。来假设我告诉你这个角又是三十度，那么 o c 这条射线可以用多少度来表示？ 它就相当你还是要从始位置开始看嘛。从始位置转过九十度，转过三十度，它总共转过多少度？总共转过一百二十度，所以这个 o c 就 可以用一百二十度来表示。 好，那么 x 轴的负方向就可以用多少度来表示。 x 轴的负方向我就可以用一百八十度来表示了，因为从这转过来刚好转了一个平角一百八十度。那接下来我如果告诉你这个角是二十度，那么 o d 可以 用多少度来表示？那你还是要看它从始位置 转到这条红线，沿顺时针方向逆时针方向转过多少度角二百五十度。为什么二百五十度呢？你看嘛，那这个角是二十度，那么九十点二十，这个角是不是七十？好了，那么他从初十位置是不是转一百八十度，再转七十度？转了一百八十加七十，转了二百五十度， 二百五十度。所以我一定要从初十位置开始看，那么他就可以表示成二百五十度，到这也没有问题。好，那么最后外轴副半轴这一条射线可以用什么来表示？ 它相当于转了三个九十度，这可以用二百七十度来表示。好，那么我如果告诉你这有一条射线，哎，这有一条射线，那么这个角是比如说四十度， 那么这条射线可以表示成什么？你可以认为它从出使位置转过了二百七十度，再加五十度，它可以表示成三百二十度， 你也可以认为，你看我们不是规定了正方向吗？那么这个顺时针方向是不是就是负方向？你也可以认为他从数值位置转过了负的四十度，所以他也可以表示成负四十度。 这就是为什么我们要规定正方向，因为正的就是加，负的就是减。好吧，那么到这我们就实现了数与形的结合，这个数是什么数就是角度，形就是什么形？就是从原点引出的 射线的位置竖形进行的结合。好，这是第一角坐标系里面我们进行了线角的对应，竖形的结合。那么接下来为什么要这么干？ 因为你一旦给了每条射线一个角度的位置，那么我计算线与线之间的夹角就变得非常的简单了，我计算线与线之间的夹角就只需要干什么？大家想想只需要 做差是不就行了？这就有点像你数轴上有一个点 a， 有 一个点 b， 那 么你要算 ab 之间的距离， 我是不是就是大减小？做差就是 a 减 b， 做差就行了，对吧？你看又是一次竖形结合，又是和竖轴的类比，就是这块你理解，理解的时候，你就把这里面的点和这个线，这个点的位置和这个线的位置是不是对应起来，而这个 b 和这个角度是不是就可以对应起来，就是完全类比竖轴思想。 哎，我们来用角度和射线建立起来位置关系，注意，我假设 a 大 于 b 啊，先假设 a 大 于 b， 就是 a 减 b， 对 吧？好了，那么注意，我们线线的夹角做差，但是这个做差一定是大减小。 为什么说一定大减小？因为我们要的角度它一定是一个正数，没有问题吧？它角度一定是一个正数，所以一定要用大减小。所以你要求这两条射线的夹角一定是用，一定是一个正数，所以一定要用大减小，所以你要求这两条射线的夹角一定是用，一定是用一百二十减三，十就是什么？就是九十度， 对吧？你要算这两条线的夹角是四十五减三是十五度，那么接下来才会遇到大家刚才所说的问题， 你建立的角坐标系，每条射线都有一个角度作为他身份的唯一标识了。这个时候如果我要算 这两条射线之间的夹角，大家看一下，如果纯粹做减法会不会有问题？我要算红的、黄的这两条射线的夹角直接做减法会不会有问题？因为我们初中阶段所说的角一定要小于多少度，一定要小于一百八十度， 对不对？如果你直接做减法，这是二百五十度，这是四十五度，你直接做减法会减出来一个二百零五度，这是这个角，这是，这是二百零五度。但是我们说两条射线的夹角看的不是这个角，看的是他对面的这个角。 所以当你会发现，当你发现你算出来的这个数值大于一百八十度的时候，就是你们刚才所说的大于一百八十度会有问题了。那怎么办？ 我要的是这个角，我用多少度把二百零五度减掉就行了，我用三百六十度减掉行就行了，这就是三百六十度减二百零五度，这才是我们要的角， 这就是你们刚才所说的平角突破的问题，所以你不能去混淆，你要平角突破一定是首先有了线和角度的对应，你给了每条线一个数值了，你这个时候做减法，你要做的减法，做完减法以后，如果大于一百八十度就不是我们要的了，所以 这里线线夹角做叉做叉，注意一定是大减小，同时你要注意大于一百八十度怎么办？要用三百六十度减掉它才可以，那你可能会不会有这样的疑问，马哥，你说角度不能大于一百八，那你这里面不是有二百五 哎，二百五不是大于一百八了吗？注意，这个二百五十度标明的是线的位置，线的位置可以是二百五十度，甚至线的位置可以是我们刚才所说的负四十度，这都没有问题，这是线的位置，但是我一旦说到角的大小，它一定是小于一百八十度的， 把这两个能不能分开？我一旦说两条射线的夹角一定是小于一百八十度的，把这两个能不能分开，这一定要想清楚啊。这个二百五十度，这是线的位置，线的位置 可以大于一百八，甚至可以是负的，它表明线的位置就行了。但是我要说两条射线的夹角，线线夹角，两条射线的夹角必然小于一百八十度。你随便画两条射线，我说的角一定是这个角， 他是不可能大于一百八的，所以一定要弄清楚。在这你要玩这种进阶性的问题，就得把他的每一个细节想的非常透， 一点不能，都不能四舍二入，一点都不能混淆，一混淆就会出现我在讲这那个那些基础题型的时候，大家出现的那那堆问题，你只听了一些名词，但是没有真正的懂。线的位置零到三百六十度，甚至负的都可以，线的位置零到三百六十度，甚至是负的都可以，但是脚的大小， 两条射线的夹角的大小必然小于一百八。好，来再来。我现在要算蓝线和红线的夹角，我是不是首先应该用二百五十度减掉三十度，二百二十度得到的是这个东西， 但是呢，我要射线的夹角要的不会是这个角，要的是这个角，是再应该用三百六十度减二百二十度，他一定最后要做减法，对吧？所以这里面要注意，线线夹角一定小于一百八十度，做差一定是大减小， 那么大于一百八十度就要用三百六十去减掉三个注意事项，三个注意事项缺一不可，这块一定要耐住性子把它听明白。好 来，我们接下来再说一个问题。这首先坐标系里面线角对应线的位置，用角度来表示，大家懂了，接下来任意两条射线之间的夹角要注意三个，我们说任意两条射线夹角一定小于一百八， 算就是作差大减小，但是大减小，如果你剪出来的那个数值大于一百八了，用三百六十度把它剪掉。好来第三个问题， 第三个问题，角平分线，这个时候你会发现算角平分线也很简单了，他可以直接用一个公式来算了，这个公式怎么来？咱们来推导一下假设，比如说这两条线的加角，这两条线的加角的角平分线我设为 o m， o m， 对 吧？那么我假设 o m 所对应的那个角度是阿尔法度，那么这个阿尔法怎么来算呢？我们来推导一下这个公式，这一部分角度是多少度？是不是阿尔法减三十，阿尔法减三十， 对不？哎？这一部分角度我也可以用大减小，因为角分线它的位置是确定的，大减小这个就是一百二十度减 r 法。 然后呢，这是角分线是不是有一个等量关系，就是一百二十减 r 法等于 r 法减三十，整理一下，整理一下一个项，就是 r r 法等于一百二十度加三十度，所以 r r 法就等于二分之一百二十度加三十度。所以你要计算两条射线的夹角， 你要计算两条射线的加角的角分线所对应的位置，是不是只需要把这两条射线的角度相加处样？ 我们刚才所说，你要把这里面的射线和点对应起来吗？射线和点对应起来，那么射线的角分线啊，比如说这是，这是五啊，这是九，这是两个点，那么射线的角分线其实对应的就是两个点的终点，而终点有一个终点公式是什么？就是二分之五加九， 一模一样。看这里面数轴上的点对应到这里面射线的位置，那么这个数值对应着这个角度 是不是一模一样的？对应对跟坐标一模一样。所以在这里每一次学习的时候，你怎么样才能把它理解透？你把这里面的每一个环节都跟数轴上的点和数的对应关系去进行类比， 你在这个类比的过程当中就特别能体会到为什么要竖形结合，因为竖形结合以后，你会发现我算这角分线，算这些线就太容易了，有线了我再去算角也非常容易了，不是每次都需要画图的， 因为有了竖的概念了，我们把把这些线的位置跟竖一一对应起来了，我最后在竖的层面解决它就行了。再接下来这个角分线公式，其实就是角的两边相加处样，角的两边相加处样好，但是这里面也会有问题，看好了， 按照这个逻辑，我如果算这两条线的夹角的角分线，这两条线的夹角的角分线会算出来是一个多少度？算出来会是一百四十度，对不对？看二百五十度加三十度，二百八十度除以二一百四十度。一百四十度在哪呢？一百四十度在这呢，这是一百四十度， 他有没有平分？有平分，确实这两个角相等，但是我要这两条线的加角，我们说这两条线加角的角分线，他指的是这个角的角分线， 不是这个，这这个角的角分线，他指的是这个角的角分线。所以要求的其实是什么？其实是这个一百四十度的什么反向延长线。所以当你用公式相加除以二，算出来一百四十度之后， 你应该再怎么样，你最终要的是他，他应该再怎么样，我要的是这个线的位置，不是角度大小啊，线的位置。角分线公式求的是角分线的位置，我要的是角分线，这是一个线，线要的是位置，不是角度， 位置对不对？应该是怎么样？是不是一百四十度再转一百八十度才能转到？我真实要的这条角分线应该是一百四十度加一百八十度， 这才是这条线的位置。我们说求角分线，求的是角分线的位置，所以在这里你每一次都要想特别明白，我到底是要角还是要角的两边的射线的位置， 这个事一定要弄明白。一个是一个什么线，线的这是夹角，角分线，这是线，线要的是位置，角要的是角的大小。所以这些在这你就一定要特别特别清楚，这个夹角其实对应的是什么？对应的是竖轴上的两点间的什么东西。 想我但凡说到夹角，在这个角作标记当中说到夹角，夹角是就对应着竖轴上的两个点之间的什么东西，距离非常棒 数轴上两个点之间的距离，这是，这是五，这是九，我要的距离是九减五十四，这是距离。那么这里面什么？这里面的我要的线与线之间的夹角，其实也是线到线所转过的距离。所以我说嘛，这个东西纯粹就是一个拓展， 你完全学有余力，你再去玩，如果没有完全学有余力，你连看都不用看，他完全是超出我们的初一真实的能力范畴的好吧？所以角平分线公式，首先是两边相加除以二， 但是同时你要注意，如果原本的那个数值已经大于一百八了，那你就要注意最终再得加一百八十度。 来，我们再举一个例子，比如说我要算这两个夹角的角分线的位置，我要算这两个夹角的角分线的位置， 怎么办？就是相加除以二，再来一百八，你看，首先你要算这两个角分线的位置，我用二百五十度加四十五度，应该是二百九十五度， 二百九十五度除以二算的是哪条线？二百九十五度除以二，算的是这条线的位置，对吧？他俩相加除以二，二百二百五十，二百四十五，就是二百九十五度除以二，你算的是这条线的位置， 但是其实这两条射线之间的夹角是这个角，这个角的位置应该是这条射线的反向延长线，所以这个位置是什么？就是这个度数再加什么， 再加一百八十度，所以最终这两条之间，这两个线之间的角分线应该是二分之二百九十五度，再加一百八十度， 这才是他两个之间的角分线的位置。那么再另一个来算一下这两个这两条射线的角分线的位置，这两个圈线的角分线的位置， 这两个圈线的角分线的位置。哎，你会发现，因为这是一个小一百八十度的角，那所以就直接算了，直接算这两个圈线的角分线的位置，就是在它中间吗？就是一百二十度加二百五十度，就是三百七十度，三百七十度除以二就好了，二分之三百七就等于多少一百八十五度， 明白了吗？你看，你，当你算过的算的这个角没有大于一百八十的时候，你算的角分线的位置是没有问题的。当你算的这个角大于一百八十的时候，你角分线，哎，就得再加一百八。到这我们复盘一下，你看我到这都还没有给大家带参数呢。到这是建立最根本的认知。建立了哪些认知？ 首先规定了初始位置，规定了正方向，那么每一条从原点引发出射线的位置都可以和角度是一一对应的， 而这个角度，这个角度是一个数值，不是一个角的大小，所以它可以是零到三百六十度的任何数字，甚至可以是负的啊，你认为这是转过来四十度，逆时针转四十度，那要反方向转四十度是负四十度，正的负的，零到三百六十度都没有问题，这是线的位置，位置 和一个角度一一对应，这是第一个点，相加等于一百八，有没有问题？那就是你哪边都行。相加等于一百八，你哪边都行。就是我们不会去讨论这样的角的角分线的， 那你这样的角角分线，你这边这边不是都可以，对吧？我们不会讨论的，我们讨论都是小一百八十度的角的角分线。好，这是第一线的位置好，来第二线与线的夹角， 线与线两条射线的夹角，这个一旦说到夹角，那么他永远是小于一百八十度的。 我说到线与线两条射线之间的夹角永远是小于一百八十度的，计算的时候就是做差，做差一定要大减小。但是如果你剪出来的数值是大于一百八的怎么办？你得再用三百六十度剪掉 来在这看一下，你看要算这两条线之间的夹角的位置，就是四十度减，三十度减就行了，十五度没有问题。算这两条射线，这两条射线的夹角就是九十度减，四十度减就行了，没有问题。 算这两个减就行了，也没有问题。但是如果你算出来的数值大于一百八会怎么样？如果你算出来的数值是大于一百八的，比如说二百五十减，三十大于一百八，二百二十度，那说明你求的是这个角，但是我们要线与线之间的夹角，要的是这个角，这个角就用三百六十度把它减掉就行了。 你要算线线加角一定小于一百八，大于一百八就用三百六十去去减就 ok 了。来最后一个角分线的公式，你注意求角分线的公式求的是什么？求的是角分线的位置 角，用角分线公式算的是角分线的位置，所以这个位置是零到三百六十度的任意，这一定要清楚你算的是啥，算的是线的位置。那么接下来你比如说啊，我要算这两个之间的角分线， 哎，这没有问题，那你就直接算吧，这两个之间的角分线， o m 的 这个位置就是多少，就是二分之四十五度，再加三十度，就是两边相加除以二就行了，对吧？你要算这两个线的位置，也没有问题，也没有问题，这两个线之间的位置就是这条线，这条线就是， 这是四十五，这是一百二十，这是二分之四十五，加一百二十，这也没有问题，对吧？你只要算的是小于一百八十度的角的角分线，它原本加角小于一百八啊，你算角分线都没有问题。但是如果你算这两条线的角分线，你直接相加除以二，算的是这条线， 算的是这条线，那么这条线二百五十四十五度，加起来是二分之二百九十五度。你算的这条线显然不是我们要的，因为我们看这两条射线的夹角，看的是这个角，他两个角分线的位置在这呢， 对不对？所以就是这个角的度数再加一百八十度，所以真正的角分线应该是 o m 是 二分之九二百九十五度，再加一百八十度，这就是角分线的位置。 线的位置来，最后我要给大家强调的，这里面你要首先理解线的位置，线的位置和角度是怎么对应的， 而这个角度，是啊，任意度数都可以零到三百六，负的都可以，对吧？而线线加角是一定是零到一百八线线加角阿尔法一定是大于零，小于一百八，为了保证他在这个范围内一定大减小， 对吧？然后呢，如果大于一百八，你就用三百六十度把它减掉。哎，这是第二个第三角分线公式是两边相加，除二 除以二。那么注意，如果大一百八，你就再给他加个一百八十度。如果你求的那个角度是大一百八十度角，你就要再给他再加一百八十度。哎，你算出来的这条线加一百八十度才是我们要的角分线。 你如果要接下来往下听，一定要保证这一页你全懂，因为接下来我们要去代餐，如果这一页你没有懂怎么办？你把马哥讲的这一部分反复去听，反复去理解，理解完了以后再往下走，就是一定要特别清楚线的位置和角度大小。 线的位置和夹角，这是两个概念，这个四十五，这个三十，这个二百五十度表示的是线的位置。我们只要说夹角是两条射线的夹角，就是零到一百八，你看嘛，你用这两条线求出来是不是这条线，而我要的角分线是不是这条线，所以要加一百八十度。 接下来我们就要去带上参数看动角了，对吧？好，带上参数看动角。第一个我们要首先要表示动线的位置，比如说 o q 从 x 轴正半轴出发，逆时针转，每秒转十度，那么转过时间 t 以后， o q 的 位置会不会表示 o q 的 位置就是十 t， 那 么这个 o p o p 顺时针转，每秒五度，转到 t 秒以后转到这里，那么这个 o p 动线的位置表示成什么？因为它是顺时针，所以它是要减，就是一百二十度减五 t， 顺时针加逆时针减，从它哪里开始运动呢？从那个运动的开始位置顺时针加逆时针减。好，这是第一步，我们会表示动线位置了， 会表示动线位置之后呢？接下来我表示动角，比如说我要表示角 a o q 来，我们刚才是不是说表示动角就是做差，所以这个角 a o q 怎么去表示？哎，那是不就做差吗？ a o q 就是 三十减十 t， 三十减十 t， 大家看一下有没有问题？这就跟你竖轴上求两个动点之间的距离要在绝对值是一样的，因为我始终要保持大减小， 这个随着 t 的 增加，这个 q 还有可能在 q 一 撇的位置，它依然表示出来是十 t 没有问题，但是这次十 t 就 比三十度大了，所以你要求的这个角就是十 t 减三十度，而 q 在 下边的时候是三十度减十 t， 所以 要给他带绝对值。 想一想，我表示 a o q 表示到这一步完了吗？没完。为什么没完？我刚才说了，表示角的时候是不是一定要注意大约八八的前角？那如果你这个 q 漂跑到 q 两撇的位置， 如果这个 q 考跑到 q 两撇的位置，这个 o o q 的 表达式依然是十 t， 这个是没有问题的，对吧？但是你这次用十 t 减三十算出来的就是哪个角，十 t 减三十算出来是不是这个角， 算出来是不是这个角，对不对？但是我们要两条射线的夹角，要这两条射线的夹角要的是哪个角？要的是小一百八十度这个角，那怎么办？是不是我再用三百六十度剪掉， 减掉十 t 减三十，哎，这个时候十 t 减三十就不用带绝对值了，因为它一定是转过去了，转过去一定是十 t 更大，所以你会发现角 a o q 还有一种可能性是三百六十减十 t 减三十。 那么到底是上述的哪一种呢？你得看临界状态，这个临界状态 就是十 t 减三十刚好等于多少度的时候，我们说大于一百八是不是大于一百八？是不是下面这种情形小于一百八是不是上面这种情形？那么十 t 临界状态就应该是十 t 减三十刚好是多少？对，就是一百八十度嘛。你算一下 t 是 不是就等于多少？ t 是 不是就等于二十一秒？ 这就是刚好 o q 和 o a 平角的时候，大于平角的时候，是不是就要用三百六十去去减？小于平角的时候是不是就是上面这个表达式？所以你最终表示这个动角 a o q 第一种情形，第一种情形就是 t 大 于零，小于 二十一啊，或者小于等于二十一。第二种情形就是这个 t 大 于二十一，小于二十四，因为人家要求的 t 的 总共运动时间是小于二十四，所以这就是第二种情形。 临界是什么意思？临界就是 o q 刚好在哪里？ o q 刚好在 o a 的 反向延长线上，这就是临界。在这个临界之前，用十 t 减三十就可以了，在这条线之后，当 o q 在 这条线之后，你算出来的这个角就大于一百八了，我就要用三百六十度把它减掉。 所以你会发现我为什么要这么去做？我这么做最后的结果就是我要表示一个角，只要我把线表示出来了，其实我都整个过程是不需要去画图的， 整个过程我根本就不需要去画图，现在我只是为了让大家理解，我去画了半天图，但是你到最后，当你把这一切东西都理解了之后，你要去表示这个角 a o q， 就只需要怎么样，你把 o q 表示好，把 o a 表示好，把 o q 表示好，然后直接分类，把临界状态算出来，一种情况，两种情况，还需要画图吗？就避免了画图了。这些东西才是我们解决动角问题的基础，你要先提升认知， 提升认知首先要把射线的位置和角度的大小去对应起来，这是第一。第二你要会算夹角， 会表示夹角，你没有这些，你直接去听题，那就是在扯你不可能听懂的，你如果连一个角度都表示不了，你说你去，你去听题，你不可能听懂的。接下来我们表示一个动角，咱们再试着表示一下角角 a o p 吧。 我们再表示一下角 a o p， 咱们做个练习，看能不能把角 a o p 表示出来。那我们首先知道这个角 a o p， 如果它没有大于一百八十度的情形，就应该是什么，就应该是用一百二十减五 t， 再减三十来带上绝对值，就等于九十减五 t 的绝对值，就等于九十减五 t 的 绝对值，对吧？但是你能这么算的要求是什么？能这么算的要求是这个角是小于一百八十度的，所以你得算临界状态，临界状态就是哪里，临界状态就是这条线，转转转转转，转到它的对面去了， 转到它的对面去了，对吧？那么过了这条线，你算出来那个角就大于一百八了，所以这个是临界状态。临界状态应该什么？这就是一百二十减五 t， 对 吧？这个角的大小，这个角的大小等于百八，就是临界状态，所以要用三十把它减掉，算一下临界状态。临界状态就是三十度减去一百二十度减五 t， 这是临界状态等于一百八十度， 对吧？这个我们算一下这应该是多少？负九十度加五 t 就 等于一百八十度。负九十度加五 t 等于一百八十度，那么五 t 就 等于二百七十度，五 t 等于二百七十度， t 应该等于五十四秒。 哎，临界状态五十四秒说明什么？说明不可能，人家 t 总共就二十四秒，所以根本就没有大于一百八的情景，所以只有一种可能性，就是 t 在 零到二十四度的范围内角 a o p 永远都是这个表达式，你看你需不需要再分一种类，是与运动时间的范围有关的。 我觉得如果还不明白为什么大于百八十度，要用三百六十度去减掉，你就看一下前面，你肯定是没有听前面的，你再反复问也没有意义了，一定要分，要把前面的听懂。好吧，你把不代餐的听懂，再来听代餐的。接下来我们来感受一下， 我们来感受一道题，我们刚才不是做了这道题吗？我们刚才做这道题是不是需要去画图？是不是需要去分类？但是呢，我们现在重新再做一下这道题，你看一下， 如果按照刚才就是我们先表示线，然后再用线去表示角，然后直接做叉去表示角度大小，其实你根本就不用画图了，你怎么办？你第一步先间隙，你看，那我就第一步，来，咱们一块试一下啊。第一步先间隙，哎，我以这个方向为 x 轴，这是 y 轴，这是零度，这是九十度，这是一百八十度，这是二百七十度， 对吧？接下来呢？啊，我就可以去表示角度了，因为他说这是一百四十度，这角分线，这是七十度，那么这也是七十度，那么这个时候 oc 的 位置就是多少度， oc 是 不是就可以用七十度来表示？ 而 o b 的 位置是不是就是用一百四十度来表示？来，这是，你看，这是第二步间隙以后表示线的位置，好，这是两条定线位置， o c 是 七十， o b 是 一百四，没有问题。那么接下来动线的位置，你看 c 开始从这开始转转十五度每秒，那么 c 转到 c 撇的时候，动线的位置来表示一下 o c 撇，它不就是七十度加十五 t 吗？ 对不对？那么同样 o b 撇是不是也可以轻松表示了？ o b 撇是不是就是一百四十度加十 t 嘛？ 对不对？好了，那么接下来它要 o b 和 o c 的 这个加角三十度，那不就是这两条线之间的差？那么第三是不是就表示动角了？ 因为这里我明确的要求这两条射线的之间的夹角是三十度，那我直接就减就完了吗？那是不是就是 o c， o b 的 夹角就是角 b 撇， o c 撇是不是就等于一百四十度加十 t 减七十度加十五 t 的绝对值，因为谁大谁小？不一定，因为我现在只要求它等于三十度，所以根本不用考虑一百八十度的情景，那么就是这个数值等于多少，就等于三十度。 列出来这个方程，整个解方程是不是问题就结束了？什么时候考虑一百八？就是这个数值有可能大于一百八的时候，我再考虑一百八，现在我要求它等于三十，我就按三十算，肯定不用肯定，不用再想别的了。那么这个绝对值方程其实就是两个方程，我可以化简一下这里面是多少，这其实就是七十 减五 t 的 绝对值，就是七十减五 t 的 绝对值就等于三十。那么就是两个方程，就是七十减五 t 等于三十 t 就 等于八，然后七十减五 t 等于负，三十 t 就 等于二十。哎，你看 我就直接线表示好，角表示出来绝对值等于三十，列个方程整个问题就结束了。 是不是就避免了我中间整个过程的画图分析，导角，整个的过程全部省掉了，而且整个过程其实我连图都不用画 分类，直接通过绝对值就分完了。那么最后我们来明确一下，就是用这种间隙法来做这种动角问题，就是三步，第一步你先建出系，建完系以后就可以表示线的位置，有了线的位置就可以表示动角，有了动角，他最后无外乎问的都是角度之间的关系，我就通过角度之间关系列方程就行了， 表示动脚。接下来就是列方程。好吧，你必须把今天我前面讲的所有的东西反复去吃透，反复去品一品，你可以下来怎么办？其实你就可以给自己出题了 啊，我先建一个系，对不对？建一个系，然后我随便来一个假设，这个 o a 啊，是三十度，对吧？来一个 o b 啊， o b 是 多少？ o b 是 一百三十度，对吧？你看，这是首先建立线和角的对应关系，这是零度，对吧？间隙，间完隙以后呢？接下来我再给动线，对吧？动线，动线，从这开始啊，十 度每秒，哎，那我表示他就是十 t， 对 吧？然后我再再来一条动线，动线，比如说这有一个，这有一个 p， 这有一个 q， 对 吧？啊，那从这开始啊，每秒，每秒五度，那么这条线就是一百三十 减五 t， 这是第二步，一百三十减五 t 就是 这条线的位置，对吧？好了，有了线的位置以后，接下来我尝试就表示一些角，对吧？你可以表示啊，任意的角，你给自己看一看，对吧？比如说我要表示这个角，这是表示动角，对吧？这是表示动角， 表示冻脚的过程当中，你去考虑他的临界状态，临界状态应该长什么样，自己画画图，自己去感受一下，一定要把这些东西玩透了，你才有可能去研究。接下来的我所讲的就是天花板级别的冻脚问题， 如果这些东西没有吃透，你就先把这些搞透，如果你觉得这些东西已经超出你的能力范围了，你就可以整个把它放弃了， 所以你要么就是把它玩透再往下玩，要么是整个放弃。不存在说你，你大概听一听，你大概听一听，只会让自己越听越挫败。好了，那么我们前面的这些铺垫啊，就说到这了，你看我们铺垫铺了哪些内容呢？首先你得知道射线和角度的对应关系， 然后你得知道射线之间的夹角应该怎么去计算啊？大于一百八的时候，带绝对值的时候应该怎么去处理？还有最后角分线的这个计算， 小一百八，大一百八，小一百八，直接上公式，大于一百八十度的时候，你要再算出来的那个公式，再加一百八十度好了，那么以上所有的这些你都听明白了，你才能开始做题，就你平常你看那种上来就直接给你干题的，你就绝对不可能听明白的。这整个前面那些 是你重新建立了对线的位置，对角的位置，对角的关系的认知，你这个认知没有建立起来，你再去做题，根本就是不可能做懂的，这就是为什么动脚问题，很多小伙伴花了很大的精力都没有明白， 因为你上来就做题，然后做题的过程当中给你抛了一堆新的概念，你怎么可能懂？你不可能懂的，对吧？马哥把这些东西给你拆开了，从不含餐的到含餐的，一点一点给你讲，你听起来都还费劲，更不要说你直接做题，你不直接挂了。所以呢，如果你现在确定前面马哥所讲的那些东西 你都已经懂了，你再开始听题，还有我再强调一遍，这个东西什么时候你研究就是纯粹的学有余力当娱乐，因为它是完完全全超出我们初一小伙伴对角的认识的， 它其实已经借助到了高中我们讲的这个角的概念啊，就是中使边中边角坐标写的概念。所以 你如果没有纯粹的学有余力，如果你其他就是基础型的还有问题，那我建议冻脚问题，你研究到马哥所讲的基础型冻脚问题就够了，后面你就不要硬弄了，对吧？就跟马哥之前给大家讲的，你不要在困难区去做事情，要在什么 舒适区的边缘拉伸区去做事情。所以呢，为了避免大家接下来听的很痛苦啊，我所以有以上的建议，对吧？现在你如果确定你对线的位置的表示，角的表示，角分线的表示，都没问题了， 咱们就来做题爽一爽。首先看第一个题啊，第一个题他说什么呢？他说就是 m o n 是 一条横线，然后 b 从 n 开始十五度每秒， a 从 om 开始十度每秒，然后接下来他说 o a 是 某一个角的角分线，那咱先把这个先见个戏吧。我们说做这种问题，第一步是不是要先见戏， 对吧？先建立角坐标系间隙，间隙很简单，我横的就是 x 轴，竖的就是 y 轴，建个系，从这开始零度出式，位置也就有了，那么这个时候 o b 就 可以表示了，对吧？ o b， o b 来表示一下就是多少，假设时间为 t， o b 就是 多少， o b 就是 十五 t， 对 吧？然后呢， o a 是 多少呢？ o a， 其实那你会发现它逆时针转了十 t， 所以 就是一百八十减十 t。 好 了，间隙 来第二步表示了动线的位置，线位置，接下来一定要去看时间范围。这道题比较仁义的是他给了一个 t 小 于等于十二，来想想 t 小 于等于十二会导致什么情形，因为 t 小 于等于十二，导致 b 最多转过一百八十度角， a 最多转过一百二十度角， 所以旋转角都小于一百八。所以什么呢？所以这两条线都不会转到下边去，意味着接下来我们考虑的所有的角度都是小于一百八十度的， 所有角小于一百八，为什么呢？再说一遍，因为他最多转一百八，转到这他最多转一百八，最多才绕一百八十。所以接下来你要考虑的所有角都都小于一百八， 所有角都小于一百八，那就非常简单了，那我们要考虑的那些大于一百八的情形就都不存在了。好了，接下来 o a 是 某一个角。第三，哎，我们看角分线， o a， o a 是 某一个角的角分线来，这是 o a， 这是 ob， 那 你说 o a 是 某一个角的角分线，其实就是两条射线的角分线吗？它可以是哪两条射线的角分线呢？它可以是 omob 的 角分线。你看这个 o a 是 不是可以是这两条红线的角分线 啊？ o a 可以 是这两条红线的角分线。好，那么 o a 是 o m 与 o b 的 角分线，而 o m 与 o b 的 角分线是不可以表示的， 就是十五 t 加一百八除以二二分之十五 t 加一百八十，这是 o m， o 与 o b 两边相加除以二。而他又说 o a 是 不是就等于一百八十减十 t， 我是不是就得到了一个关于 t 的 方程？你看这是 o a 的 表达式，对吧？ o a 一 百八十减十 t 就 等于什么十五 t 加一百八除以二，就是这两条线角平分线。 好，那么这个我就不算了，大家下来自己算吧。还有一种可能性， o a 还可以是谁的角平分线？来 o a 观察一下，还可以是哪两条线的角平分线？ o a 还可以是 o n 和 o b 的 角平分线，它还可以是这两条绿线的角平分线。有的小伙伴说，哎，那这个 o a 在 这呢，显然不会是这两条线的角平分线，那不一定，这个线是可以转过来的，它是往这边转的， 它是往这边转的，很有可能它转转转转转到 o b 和 o n 之间了，它是完全有可能的，对吧？所以它还可以是 o b 和 o n 的 角平分线， 对吧？而 o b 和 o n 的 角分线也很容易表示，因为这是零嘛，这是十五嘛，所以它就是二分之零加十五 t， 对 吧？它就等于一百八十减十 t。 看角分线和 o a 相等来，我这样的话，是不是就得到了两个关于 t 的 方程？解这两个方程就可以得到最后的答案了，方程大家自己解吧。我就不解了，人家还有一个，那么 o a 能不能是 o m 和 o n 的 角分线呢？人家说不行，人家说要小于一百八十度， 好吧，对吧，这就是角分线公式嘛，两边相加除以二嘛，两边相加除以二嘛？角分线公式。那你会发现到这呢，这个问题我们已经解决完了，这个问题解决完方程我不解了啊，咱们不讲解方程了，那么我只讲列方程就是。最后你会发现，这样做最大的好处是， 其实我根本就不用画图，我也不需要把这个 o a 平分它的图画出来，我只需要能够表示两边，能够表示角分线。然后呢，角分线的这个位置有啊，他让他俩相等，直接得方程就结束了，这就是这种做法的这个优势所在。当然了，你说这道题它能不能通过自己画图把这个弄出来？可以的， 但是你会发现你要画图，你要标角，它的整个复杂度会高很多。接下来我们来看第二个题啊。第二个题就稍稍复杂一些，首先它最后的这个等量是角 a o c 等于角 e o b， 那 我最后的所有的任务就是先把这两个角度表示出来，而要表示这些角，我就首先得有线的位置。 所以呢，第一步，间隙间隙，让这为处是位置零度啊，那么这个方向是九十度至一百八至二百七。间隙间完隙以后，就开始表示线的位置， 对吧？表示线的位置来，一步一步来。首先他告诉我们这个 oc 是 角分线，但是我现在并不知道 a o b 是 多少，又告诉我 o e 是 角分线，所以 o e 的 线的位置就可以表示成多少啊。求替，求替，求替， o e 这条线的位置就可以表示成多少。咱们一条线一条线来啊。好， o e 这条线的位置就是四十五，没问题，对吧？好， o e 如果是四十五，谁就出来了， o a 就 出来了嘛，你看四十五再加八十五， o a 就是 一百三， o a 是 一百三出来了，那么最后 oc 是 不就有了？ oc 是 a o b 的 角分线，所以就是一百三，加零除以二，这是六十五。好，这是把里面的定线先表示出来了。好，那么接下来表示动线，这个动线你比如说 oc， 它是从这个六十五度的地方开始，每秒十度， 那么 t 秒以后是不是就应该是六十五加十 t， 对 吧？表示动线， oc 就 应该是六十五加十 t。 那 么同样的 o e 从四十五开始，它是顺时针，就应该减，就是四十五减五 t 定线在上面表示了动线，我们带着 t 把它表示出来，那我表示了动线，就是为了去表示夹角嘛？表示夹角，来，我们一个一个来，首先就是这个夹角，角 a o c， 角 a o c。 角 a o c 是 哪两条线的夹角呢？角 a o c 是 o c 和 o a 的 夹角，对吧？角 a o c 就是 o c 和 o a 的 夹角，它就应该等于一百三十度减六十五加十 t 的绝对值。好，首先我用它和它的叉带上绝对值，这是第一步。这个绝对值就同时考虑了什么呢？同时考虑了 o c 在 o a 的 右侧和运动到左侧的情景。来到这儿，接下来要考虑什么？接下来我要考虑零件， 零件是什么样子呢？零件就是 oc， oc 在 右侧是不可能大于一百八的，只有可能转转转，转到下面来以后，有没有可能这个 oc 和 oa 的 夹角去大于一百八呢？ 那这个 oc 转到下来下面来以后，是不是是这个六十五加十 t， 对 吧？它转到下面来以后，有没有可能跟这个一百三的夹角差出来一个一百八十度呢？那我们就算一下零件， 算一下临界，临界就是六十五加十 t 减一百三十等于一百八十， 好吧，啊，那这应该是多少呢？这应该是十 t 就 等于三百一十减六十五，二百四十五，对吧？ t 就 等于二十四点五，也就是说这个加角等于一百八的临界状态的 t 是 二十四点五， 来，你观察一下，对于这道题来说，有没有可能大于一百八，对于这道题来说，它就没有可能大于一百八，所以临界状态达不到，那么 aoc 的 表达式就是一百三十减六十五加十 t 的 绝对值，所以你一定要考虑大于一百八的情形。好，这是一个， 那么另外一个呢？我们再表示一下这个 e o b 角 e o b 就 等于什么呢？就等于啊，这是就是 o e 和 o b 的 加角， o b 是 零嘛， o e 是 四十五减五 t 嘛，所以 e o b 就是 四十五减五 t。 来，同样的道理，你想想这个东西有没有可能大于一百八？也不可能，因为你看吧，时间才二十四，二十四乘以五才一百多一点，一百多一点和这个四十五去减，怎么都减不出来大于一百八十度的角，所以这个也没有大于一百八的可能性，所以你一定要考虑 t 是 小于二十四点五的，这个条件是非常重要的。 好了，所以通过以上的讨论呢啊，我们就知道了，角 a o c 就是 一百三十减六十五减十 t， 而角 e o b 呢，就是四十五减五 t， 因为它们都没有可能大于一百八十度，所以我只需要用绝对值号带上啊，就是把谁左谁右，谁大谁小这个问题解决掉就 ok 了。 好了，加角都表示完了，加角表示完了以后，人家要的是 a o c 等于五分之四倍的 e o b， 所以 e o b 我 也可以给它搞出来五分之四倍的 e o b， 就是 这个或乘以五分之四就是三十六减四 t 到这加角全部表示完，那么再接下来我就去列方程了啊，就是列方程了，列方程就是 aoc 等于五分之四倍的 eob， 就是 去解这个方程。看，这是，这是 aoc 吗？这就是五分之四倍，这是 aoc 吗？角 aoc 吗？这个东西就是五分之四倍的角 eob 吗？ 对吧？就是解这个绝对值方程。那么解这个绝对值方程，其实就是解两个方程，一个是六十五减十 t 等于三十六减四 t， 另外一个是六十五减十 t 等于负的三十六减四 t。 把这两个方程一解，整个问题就结束了。好，那么最后的答案就是多少呢？最后的答案就是 t 一 等于六分之二十九， t 二等于十四分之幺零幺。好了， 那么这就是一个标标准准的从表示动线到表示夹角，到通过夹角关系来列方程的一个过程。这个过程你不要小看这道题，这道题看起来我们这么做不是很麻烦，但是你要注意，就光这一个绝对值号代表几种可能性，两种可能性， 这又是一个绝对值号再代表两种可能性，两种再带两种。你如果真的去画图，这道题几乎已经到了画不出来的状态， 就是这道题你要是不去怎么样？你要是，你要是不按我们这样去做，你如果想着通过去画图，去探索一类类，把它画出来再去算，这几乎已经做不了了，你就是做了，你就是找到了两三种， 也总有一种不知道有没有找全的感觉，但是我们这么做，你就是非常确认他就是这些可能性，所有的可能性我都考虑完了， 好了，所以再明确一下，首先间隙，间隙以后表示定线，表示动线，有了线就表示夹角，有了夹角啊，夹角好了就是带进去的方程就行了。对，所以我反复给大家强调，所以我一边听一边劝退大家，就是如果你不是学有余力，当做做游戏，当做一个能力拓展，非常的开心，非常非常的好玩， 这类问题就不要碰了，你把马哥讲的基础型动脚问题解决了就行了，进阶型的动脚问题就不要碰了。而且这种东西我再给大家说就是除了你在初一的目前你会遇见， 过了初一再也看不见这种题，过了初一再也看不见。首先就不可能没有 t 的 取舍范围，如果没有 t 的 取舍范围，答案有无数个，你必须到了高中才有可能解决， 答案会有无数个，明白了吧？因为它可以一直转，它可以一直转，你，答案会无数个，所以不可能没有 t 的 范围。就是我们在初一，为了让小伙伴能够解决这个 t 的 范围，一定会保证两条射线都不要转超过一圈， 这是必然的，所以不用考虑没有 t 的 范围这种可能性。好了，来继续看看这个题，我们来看一下啊，首先还是先见信对吧？这零九十先见个信 啊，建完系以后呢，就是接下来我们考虑什么呢？考虑就是这个 o a o b 就是 零和九十，就不用管了。接下来表示动线嘛，这个动线，那么 o q 其实就可以表示成什么呢？ o q， 我 给你画出来吧。假设他转了一段时间，比如说转到这来了，那么这个 o q 就是 什么？ o q 就是 转一段时间，转到来这来了，那么 o p 就是 九十度减五 t。 来吧，兄弟们，这是所有的线的表示，一个是十 t， 一个是九十度减五 t， 对 吧？线的表示，那么线的表示以后，有了以后呢？那接下来我就是要表示这两个角嘛，那我要表示这两个角，哎，那首先一个一个来吧，先角表示角 b o q 吧，你看这个角 b o q， 角 b o q 应该是 o b 和 o q 的 夹角，它应该是 o b 和 o q 的 夹角，而 o b 是 多少？ o b 是 九十度， o q 是 十 t， 所以 这个角 b o q 就 应该等于九十度减十 t， 然后带绝对值。 好，接下来考虑这个东西有没有可能大于一百八啊？不可能，因为你会发现这个 t 是 小于二十四的， t 是 小于二十四的，十 t 就是 二百四。二百四和九十度作差，怎么都不可能大于一百八，对吧？所以它是小于一百八十度的角，它永远是一个小于一百八十度的夹角。好了，那就是我们第一个角 boq 就 完成了， 对吧？角 boq 就是 九十减十 t， 那 么由于人家这要的是二分之一角 boq， 我 提前做个准备，二分之一角 boq 就是 四十五减五 t。 来，这一部分搞定，这一部分搞定，接下来我要去表示角 p o q， 那 么角 p o q， 哎，角 p o q， 角 p o q， 它应该是谁和谁的夹角呢？就是 po 和 o q， po 和 o q， p o 是 多少？ p o 是 九十减五 t 嘛？ o q 是 什么？ o q 是 十 t 嘛，对不对？所以我 p o q， 角 p o q， 角 p o q 就 应该等于九十减五 t， 再减十 t 的 绝对值， 那整理一下，它其实就是九十减十五 t， 而九十减十五 t t 小 于二十四，这个角有没有可能大于一百八？这个有可能，因为这个十五 t 乘下来十五十五乘二十四，三百六了，三百六是显然可以减九十大于一百八的，对吧？所以这个时候要分类。好，所以我要表示角 p o q 啊，它是这个东西，它是九十减十五 t， 而十五 t， 当 t 比较大的时候，十五 t 算临界，十五 t 减九十是有可能等于一百八的，这个时候算一下 t 等于多少？ t 等于十八。所以角 poq 要分类分什么？第一，大于零，小于等于十八一类。 第二，大于十八，小于二十四，大于十八小于二十四，我们说这个角 poq 就 应该等于三百六十度，把它减掉。 好，那注意，这个时候因为 t 是 大于十八的，所以这个东西肯定是十五 t 是 大，九十是小的，所以它应该是三百六十减去一个十五 t 减九十，就等于四百五十度减十五 t， 好吧，所以这是 p o q 的 第二种表达式。接下来我们在两种情况下把 p o q 是 不是都表示完了？那么接下来，那么这个这两个都搞定以后，那我就开始列方程了。列方程就是 p o q 等于二分之一 b o q， 这个就是这个东西等于二分之一， b o q 等于这个东西，是不是得到一个绝对值方程， 对吧？然后你把这个绝对值方程一解，整个问题结束，这是第一种。然后第二呢，就是在这种情况下，就是它 p o q 等于二分之一， b o q 就是 它等于它，它等于它又得到一个绝对值方程，绝对值方程解完以后也会得到两个答案，好了来得到这四个答案之后，一二三四到这 观察一下，有几个是要的，有几个是不要的，只留两个，只留这两个，你看你一定要看的范围，零到十八，这是六点七五，这是四点五，零到十八没有问题，但是这十八到二十四这两个全超了， 对吧？所以我们算了半天，其实最终有可能的就是这两个，最终符合条件的就这两个，到这整个问题结束。 好吧，但是呢，你会发现这道题如果你不是像咱们这么做，你想一想你，你指望着通过画图把所有的情况画出来，你画多少个都不知道，还有没有下一个， 这是其一。其二这个东西就几乎已经复杂到你这两个可能性，这两个可能性，这再一个可能性，这你要画图，你得画多少种就不可能做出来，就是几乎是你用常规的方法就不可能做出来的。所以呢，你要解决这类问题，就必须要掌握马哥所讲的这整个一套体系， 动线的表示，夹角的表示，角分线的表示，前面的所有的基础有了全部弄透了，才有可能去做这个题。 你要是直接上来做这个题，你是绝对不可能做明白的，所以学习一定要知道你要具备什么样的基础。这个绝对值其实可以直接去的，没有问题，这个绝对值因为他是大于十八的，所以呢，这个直接就可以写成五 t 减四十五，这样的话就就其实就少一个解临界，怎么确定？你就看这个东西有没有可能等于一百八， 等于百八就是他的零件。就这道题，从你听懂了，到你真正能做出来，我就跟你说，你要是能够重复三遍，把这道题完完整整的答案算出来，你都是这个，信不信？兄弟们，就这道题你现在听懂了， 你下来，你把马哥的视频关上，你做到第三遍，能够把这道题完完整整的做出来，你都是这个。好，来接下来我们最后再玩一个角分线的题结束，好吧，这是 o d 从 o b 开始，每秒两个单位吗？每秒两度吗？ o c 从 o a 开始转每秒二十度吗？ o d 从 o b 开始，每秒两个度 o c 从 o a 开始，每秒二十度。好了，接下来我们第一步间隙，对吧？第一步间隙，间完隙以后，那么因为角 a o b 等于二十度，先把这个 o b 就是 零度吗？那 o a 就是 二十度吗？ 没问题吧？然后接下来表示 o d o d 就是 因为它从零开始，每秒两度，就是二 t， 那 么表示 oc， oc 开始，从二十开始，每秒二十度就是二十 t 二十加二十 t 线的表示完了以后呢？ 我首先得表示谁啊？ o m 平分角 a o c 注意不含平角，就是为了避免那个一百八十度的情形。 o m 平分角 a o c， 那 么正常来讲，那我接下来就是表示 o m 嘛？那么正常来讲， o m 就 应该等于什么？就应该等于等于二分之 a， o c 就是 o a 和 o c 两边相加就是二十，再加二十，再加二 t， 对吧？这是直接 o m 平分角 a o c， 那 么这是 o a， 这是 o c， 把这俩相加除以二，这就是角分线公式啊，不是等于啊，就 o m 的 位置的表示，就是这个东西好，但是你需要考虑什么？兄弟们，你需要考虑 o a 和 o c 加角大于一百八的情形， 那么有没有可能达一百八呢？显然可能，他每秒要走二十个单位呢，要走十七秒呢，对不对？他显然可以转到这边来，比如说 oc 转到这里的时候，这是 oc， 他 依然是二十加二十 t， 对吧？ o c 转到这儿，那么 o a 在 这儿， o c 在 这儿，你如果用什么用？用这个二十加二十加二十 t， 就是 如果你用二分之二十加二十加二十 t， 你 算的其实是 o m 一撇这条线，你看一条线在这，一条线在这，你把这两个相加除以二，算的是这条线。但是如果我们要这两条射线的角分线，要的是这个角的角分线，这个角的角分线应该是这个虚线的反向延长线，这才是我们要的 o m。 那么这条线应该是什么？应该是二分之二十，再加二十加二十 t， 再加多少？对，再加一百八十度。 所以你最终的这个 o m 的 表达式有两种，第一种就是当 o a 与 o c 交角小于一百八，就是这个，当 o c 转过一百八十度的时候，那么就是应该是这个表达式，这是一，这是二，那么它们的临界状态 t 秒能不能帮哥算一下啊？这是二十 t 啊， 二十 t 临界状态 t 秒能不能算上 t？ 应该等于几对九秒？那你就看吧，它是不是要刚好转到 o v 的 反向延长线上，相当于这个你看，呃，二十 t 二十 t 是 不是应该等于一百八十？ 二十 d 等于一百八十 t 等于九，就是刚好 o c 从这开始转九秒之后，这个夹角来到一百八十度，所以临界状态 t 等于九。好了，那我们来吧，那就所以呢，临界状态就是 这个，这个转过的加角，这个二十 t 刚好等于一百八十度的时候，算出来，临界状态是 t 等于九，这个 t 等于九。注意，人家不含平角，不含平角，就是这个不要的，对吧？我不要这个，不要。这个呢，就分两种，第一个是 t 大 于零小于九， t 大 于零小于九， o m 就 直接两边相加除以二。 第二种是 t 大 于九小于十七啊，因为不要等于九嘛，不要平角，不要平角就不要九，是吧？所以呢，它就是什么？它就是这个值，再加个一百八十。 好了，这就是 o m 的 两个表达式。化简一下，就是 o m 在 分别在两个时间段内的表达式。再往下我是不是要去表示角 m o d 了？要表示角 m o d， o d 是 二 t， o m 是 二十加十 t， 那 我要它两个去表示加角，就是作差，但是这次作差 o m 和 o d 大 小确定不确定？ 你做完叉以后什么表示？叫 mod？ 你 做完叉以后，二十加十 t， 再减二 t， 二十加八 t， 这显然是个正的，所以这次做叉做叉是不用带绝对值的，因为前面这个快，后面这个慢，所以就是 o m， o m 永远大于 o d。 那 么接下来就很简单了， 就令它等于多少，就可以把 t 求出来了，就令它等于八十。当 m o d 等于八十度的时候，那就是二十加八 t 等于八十，最后算下 t 等于二分之十五，二分之十五能不能要？能。要，因为在零到九的范围内没有问题，能要，对吧？好，这是第一种可能性， 那么第二种可能性是什么呢？第二种可能性是，我还是要去表示角 m o d， 这个时候 o m 是 二十加十 t， 而 o d 依然是二 t， 那么我 o m 减 o d 就是 角 m o d 就 等于 o m 减 o d 就是 二十加十 t， 二百加十 t 再减二 t， 这是个正的，没有问题，它就是二百加八 t， 这是个正的，一点问题都没有。但是你会发现你需要考虑什么了，你会发现这个角大于一百八了，你算出来的这个数值大于一百八了，说明你取到了这边了， 这个是二百加八 t， 说明你取到这边了。你最终是不是要用三百六十把二百加八 t 减掉？你是不是要这个角？这个角是不是等于三百六十减二百加八 t， 你 算二百加八 t， 是 不是算的两条射线的这个加角，对不对？这很明显，大于一百八算的是把它减掉，对吧？所以你任何时候表示加角的时候，一定要考虑大于一百八的形角， 对吧？一定要考虑大于一百八的情形。好了，那么接下来啊，那就是用三百六十把这个货减掉，最后算出来就是一百六十度减八 t， 而一百六十度减八 t， 那 么当 mod 等于八十时，八十就能一百六十度减八 t， 算出来 t 二等于十 t 二等于十，能不能要？哎，这也能，因为在九到十七十也没有问题。好了，那么我们通过这道题 就帮大家去练习了什么呢？去练习了角分线，以及在处理角分线的时候大于一百八十度。你看这道题其实挺好的，首先练习了这一部分是什么？这一部分是角分线的处理，右边是角分线大于一百八十度的处理， 对不对？然后接下来角度的处理，动角的处理，动角的处理，这是动角大于一百八的处理。 哎，是不是都练到了？这道题哥编的编的还可以吧，你看这道题，既练练到角分线，角分线大于一百八，又练到了动角和动角大于一百八，是吧？都给大家练到了，而且没有特别复杂。 好了，那么最后我们来看一下啊，看一下我们这几道题。这几道题你看马哥给你找的这些题，他分别在练习你什么能力？首先，第一道题 不需要分类讨论，纯粹的是一个表示角分线的联系。第一道题是一个纯粹的表示角分线的联系，且不分类且不分类，对吧？这是第一道题。 第二道题是一个什么？第二道题是一个纯粹表示动点的问题。纯动角，纯动角， 要不要分类？也不用分类，也不分类，因为都是小于尾巴的，都不分类。所以前面两道题，一个是帮助大家先练习一下角分线的表示，先练一下动脚的表示，都不需要分类。这是前面两道题，你要知道我每道题帮助你练什么，一个是纯角分线，一个是纯纯动脚，都不分类。 然后呢？接下来来到第三道题。第三道题是一个纯粹表示动脚的问题，但是要分类，纯粹的表示动脚表动脚， 但是要怎么样？要分类，哎，第三道题我给你加上了动角的分类，大于一百八小于一百八的分类， 这是第三道题。然后再来到最后一道题，最后一道题就是我们所有的东西都要考虑到了，表示角分线的时候 要分大于一百八的情形，处理动脚的时候要考虑动脚大于一百八的情形。所以最后一道题如果你做明白，做下来了，那么意味着这里面所有需要你注意的东西你就全懂了，但是要循序渐进，一步一步来。所以呢，就是马哥给你讲的这套动脚问题的进阶版。 如果你真的想弄明白，马哥的这套课程是足够你弄明白了，你把最初的定角怎么表示，定线怎么表示这道动线，动角，动角、分线怎么表示，然后再来通过这四道题，你是完全可以融会贯通此类题目的。如果你真的想这套课程可以帮到你， 但是前提是你有强烈的愿望，强烈的兴趣去搞这个，如果没有，我建议你什么？如果没有这么强烈的愿望，你把基础型动脚问题搞定就可以了。