复变函数考试卷子

注意看，这是一个初等函数，它代表的意思就是我们输入一个数，就会得到这个数的平方。如果我们把 x 和 y 看成是一个点的坐标，那么我们会得到无数的点，如果我们把这些点在坐标平面上画出来，就会是这个样子的， 我们把这个曲线呢，就叫做函数图。那么现在问题来了，如果我们在这个函数中输入一个复数呢？他的函数图会是个什么样子的呢？嗯，情况突然之间变得复杂起来， 让我们来仔细想想。首先，我们可以把一个复数写成这么个样子， x 加 i y， 因为现在 y 已经被占用了，所以我们只好把等号左边表示为 w， 这是复函数的一个惯例。那现在我们来看看这个复数的平方等于什么？根据复数的乘法法则， 它的平方最后就会得到这么个式子。我们貌似可以把这个式子看成是两个函数的组合，如果把它们单独拎出来，那就是一个实函数，我们用 r 来表示，以及一个虚函数，我们用 i 来表示。嗯，这分明就是两个空间曲面嘛。 也就是说，在 z 平方这个函数中，如果我们输入一个负数，其输出点就会同时在两个空间曲面上出现。 可是这样子弄出两个空间曲面来，到底是有点不方便呢？我们有没有可能在一张图里就显示出一个复数函数的所有信息呢？嗯，在这个问题上，数学家们可以说是脑洞大开， 想出很多办法来，我们来看看第一种。首先，我们把输入的复数看成是一个二维平面上的点，用横轴 表示实步，用纵轴表示虚步。嗯，这就是个负平面吗？很好理解，但是我们怎么表示这个平面上每个点的输出呢？因为横坐标和纵坐标都已经被占用了，所以我们只好用别的方式来表示输出值。 嗯，让我们来想想。首先，任意一个复数都可以表示成模长乘以旋转角，其实也就是复数的几坐标表示法。我们用绝对值符号来表示模长，用欧拉公式来表示旋转角，最后就变成了这样。 好，现在我们用颜色和明亮度来表示旋转角和模长。我们先画出一个色盘出来，在这个色盘上，不同的颜色就表示不同的角度，而明亮度呢，就表示输出复数的模长，模长越长就越 越接近白色。好，如果我们用这种方式来展示 c 的平方这个负函数，哎，其结果就是这样的。嗯，从图上看，就是颜色加了一倍，因为每种颜色都重复了两次。 这个呢，是没有错的，因为根据我们之前聊到过的地末符公式，在负数域的平方确实就表示旋转角增加一倍。那我们把函数变得复杂一点，比如这么一个负函数， 他的色彩图就是这样的。呃，看上去还挺漂亮。不过有数学家说了，这种表示法只利用了二维图形，可是我们是在三维空间里还有一个维度，岂不是浪费掉了吗？ 不行，咱得给他用上。那就这样，我们还是用一个负平面来表示输入的负数，但这一次我们用空间里的 z 轴来表示输出的 磨长，而旋转角呢，就还是用颜色来表示。好，在这种方式下，展示一下我们的 c 的平方，于是就得到这么个图形。首先，从颜色来看，他还是重复了两次，也就是说旋转角仍然是翻倍的， 然后越往四周，高度也就越高，表示摩长就越长。嘿，有意思，那如果输入的还是这个比较复杂的函数呢？嗯，那就变成了这样，看上去居然很酷的样子。哎， 不过还是有数学家表示不满意。嗯，用颜色来表示旋转角，这也忒不直观了，我们干嘛不干脆用一个箭头来指出方向，再反过来用颜色来表示摩藏呢？于是我们就得到了一个负函数的使量场。使量场表达的好处就在于，我们可以很直观的看到每个点在负函数 作用下的流向，我们甚至可以把这种流向用流线表达出来。嗯，看上去我们已经开始接近复函数的一些本质的特征了。不错不错。 不过数学家们仍然不满意，他们说了，所谓复变函数，其实就是把一个副平面上的点全部应设到另一个副平面上去，也就是一个平面转换到另外一个平面。 我们有没有办法直接看到这种变形呢？于是，数学家们又想到一种办法，既然是平面到平面的映射，那我们只要在一个平面上画出有规律的格子线，再看看他们映射到另外一个平面上是怎么变化的，不就可以彻底了解复变函数是怎么一回事了吗？嗯，好主意， 那让我们来看看 z 的平方这个函数在副品面上的直接变形是怎么样的。嘿，好神奇， 让我们再分别把一和 i 这两个点标上去，看看他们实际上是怎么变化的，在 z 的平方的变化下，时速一还是一，但虚数 i 呢，就变成了负一， 非常符合负数的乘法规则。不错不错。哎，我突然有了个大胆的想法，让我们在坐标变形的表示法下面来试试负数域的欧拉公式，那也就是这么个负变函数，他会是个怎样的变形呢？来开始变。 哎，居然把原来四四方方的副平面映射成了一圈一圈的同心圆，所以我们看到了从负变换的角度来看，自然长数 e 确实根 元有着很大的关系，简直太神奇了有没有！好嘞，今天是我们第一次接触的复变函数，并且仔细的了解了一下复变函数是如何在现代计算机图形学下被表示成一个个奇妙的图形。 下一期视频让我们继续在复变函数的神奇空间里继续遨游，感兴趣的朋友请千万别忘了点赞加关注，谢谢大家！拜拜！

各位同学大家好，欢迎大家来到复变函数速成课。在接下来的三个小时里，我会和大家一起去学习复变函数的考点内容，争取让大家用最短的时间学会这门课的知识，顺利通过期末考试。 现在开始，请同学们跟着老师的上课节奏，认真学习每一章节的考点知识，课后再通过每一章节配套的讲义和题库及时巩固练习，相信通过这三个小时的学习，同学们都可以轻松通过期末考试。 我们的复习课主要包括以下几个考点，首先就是复数及其运算，主要是复习复数的概念以及相关的加、减、乘、除运算。学习复数的三种表示方法。这一部分很多同学都在中学阶段有接触，我们主要是通过复习加深我们的印象， 虽然内容不难，但却是整个课程的基础，贯穿我们后面的学习过程。第二章，复变函数与解析函数以及调和函数三者之间的关系。其中 c r 方程以及根据调和函数求出解析函数是这部分的难点，是考试经常涉及的考点。 第三章是复变函数中的初等函数，这一章存在诸多公式，内容不难，但需要同学们通过题目勤加练习，从而加强对公式的记忆。 第四张，复变函数中的级数。这一张要求同学们掌握负数列极限的球法、收敛的判别方法以及收敛半径的计算方法。如果同学们还记得高数部分的级数知识，这一张内容就会学起来相对简单。第五张是关于积分的学习，重点是解析函数的高阶导， 这里考试的时候一定会出大题，希望同学们可以认真听讲，掌握好这部分知识。第六章流数是考试的重中之重，考点有三个，孤立起点、流数和流数的计算规则。 这部分十分重要且难度较大，希望同学们要认真学习这部分内容，并且课后一定一定要去题库里多加练习，直到完全掌握。 第七章流数在定积分计算上的应用主要涉及两个方面，一个是对十积分进行计算，另一个是对我们前面讲过的所有求积分的方法进行一个总结。 这部分出题的套路会比较固定，大家只需要牢牢掌握这些公式方法，考试的时候根据情况进行套用就可以了。第八章中涉及德尔塔 t 函数的内容比较简单，同学们记住即可， 重点是在复利页变换，主要需要同学们牢记复利页变换对。第九章拉普拉斯变换考试时一般会出一道利用拉普拉斯变换且微分方程的题，这就要求我们对常见的拉普拉斯变换对以及拉普拉斯变换的性质非常熟悉。 最后一张映射是选学内容，内容不多，只需掌握简单映射的变换方法以及通过常见的映射公式计算出映射函数就可以了。 其实复变函数一共就有这么多考点，而且难度不大，解题都有一定的套路。平时上课掌握的不够好的同学也不用紧张， 只要跟着老师一起学完这三个小时内容，一定可以轻松通过考试。那话不多说，接下来跟着老师一起进入具体章节的学习吧！今天我们先来学习第一节 复数及其运算。这一节的主要内容有复数的几何表示、复数的计算以及复数的方根。主要是一些选择和填空题，只有复数的方根涉及到一部分计算题。首先我们来看第一个部分复数的概念与几何表示。 在高中的时候呢，我们学过，对于任意实数 x、 y， 我们称 z 等于 x 加 i， y 或 z 等于 x 加 y， i 为复数， 其中 i 为虚数单位，并且规定 i 方等于负一 x、 y 分别称为实步和虚步。大家需要记住实步和虚步的字母表示方法。 有了 x 和 y， 我们可以把复数用平面直角坐标系表示。这时复数的几何表示方法， x 轴为实轴， y 轴为虚轴。 两周所在平面称为负平面或 z 平面。其中复数 z 可以用向量 o， p 来表示。大家可以看这张图，其中向量的长度称为 z 的模或者绝对值，其数值等于根号下 x 方加 y 方， 而以正时轴为始编，以表示 z 向量 op 为中边的角的弧度数。 c 塔称为 z 的浮角，记作 r， g， z。 当这个 c 塔的范围在副派到派之间时，称为浮角。主持也叫主浮角， 因为我们看到的这个项链是不知道他转了多少圈。也就是说，我们看到的佛脚可能是 say 他，也可能是 say 他加二 k 派，这个就记作大写的 r、 g， z， 其中 k 是任意整数。有了佛脚和磨长的概念，我们可以用其他方 法来表示复数。当我们利用直角坐标和即坐标系的关系，我们可以得出第二种复数的表示方法， z 等于 r， 乘以 cosita 加 isita 之和， r 是摩长， sayta 是浮角。同样的，利用欧拉公式可以得到复数的指数表示方式。 they 等于 r 倍的 e 的 isita。 同学们要牢牢掌握这三种表示方法，以及他们之间的相互转换。下面我们来看例题一， 已知复数 z 等于一减根号三 i 求 a z， 也就是主辅角。做这种题，我们首先可以先取 x 和 y 的绝对值，并对齐取反正七指算出角度，这个题的角度是三分之派。接着看 复数 z 在第几象限，因为 z 在第四象限，根据浮角定义，是从正十轴开始到向量中边结束，所以最后 x 是负三分之派。这里如果 z 在第二象限，看图像，我们就可以知道我们求出的角度是负十轴与象量的夹角。 那么根据定义，除俯角，最后等于派减三分之派，也就是三分之二派。这里有一个知识点，当负数在一二象限时，俯角的范围是零到派。当负数在三四象限时，俯角的范围是零到副派。 下面我们来看例题二，这里要求将复数 z 化成三角表示式和指数表示式。首先我们要求 z 的模长，也就是 r 等于根号下 x 的平方加 y， iphone 等于四。接着求辅角 cta。 和我们上面讲的例题类似，同学们可以自己试着求一下这个辅角。这里大家看图。负数在第三象限，当我们取 x 和 y 的绝对值，求得的反正切值仍然是负十轴与向量中边的夹角， 因此 c 塔等于派减六分之派。因为在第三象限最后得到的符角一定是负的，所以要加个负号。 最后俯角是负六分之五派，根据摩长和俯角我们可以得到三角表示式和指数表示式。 z 的三角表示是为 z 等于四倍的 cosine 负六分之五派加 sie 负的六分之五派，指数表示是为四倍的 e 的负六分之五派 i。 同学们， 这里要会算不同上线的符角值。下面我们来看例题三，他给出了一个复数，要求我们化为三角表示式和指数表示式。这里有的同学们可能要问，给出的不已经是三角表示式了吗？为什么还要写？ 这里同学们要仔细看一下，和爱在一起的不是撒引，而是 cosine， 所以它不属于三角表示式，需要我们将撒引变为 cosine， cosine 变为 saying。 同时我们也要注意萨引和扣萨引中间一定要是加号才是三角表示式，否则也需要变换。 这里根据三角函数公式，我们可以得出撒引五分之 pa 等于 cosine， 十分之三 pa。 当我们转换成标准的三角表达式后，发现模长 r 等于 语一，自然指数表示是也就写出来了。下面我们来看例题四，让我们求方程 z 加 i 的模长为二所表示的曲线。这道题有两种方法，第一种方法就是直接利用记合法 方程 z 加 i 等于二可以写成 z 减负 i 等于二，那么就是表示所有与负 i 距离为二的轨迹，也就是中心为负 i， 半径为二的圆。 在常规的 x y 坐标轴上表示的就是圆心 o 为负一，半径为二的圆。方法比较常规，如果同学们无法理解及合法，建议使用第二种方法，但会麻烦一些，我们设 z 等于 x 加 i y， 然后合并同类项，原方程变为 x 加 y 加一倍的 i 的摩长为二，利用摩长公式计算，根号下 x 方加 y 加一方等于二，或者是 x 方加 y 加一方等于四，这个和我们几何法得到了结果是一样的。 第二部分我们来讲复数的运算，这里有一些知识，我们高中已经学过，大家再来复习一遍。首先我们说一个概念，我们把十不相同而虚不绝对值相等，符号相反的两个复数称为共额复数，记作 z 上面一个横杠。 下面我们来说两个复数的运算法则。加减法比较简单，是对应的十不相加减，虚不相加减，而乘法则是利用乘法分配率依次相乘。 这里我们前面提到过， i 方等于负一除法则需要利用公额负数的概念，将分母的负数乘以他的公额负数化为整数， 分子也同时乘以分母的公额复数。这里都是一些高中的知识，比较简单， 下面我们来看两道例题。第一问是 z 一加 z 二，就是把对应的实步虚步相加，最后实步是五减三等于二，虚步为负，五加四等于负一， 而 z 一比 z 二的值，就是利用共额负数将分母化减，分子分母同时乘以分母的共额负数，负三减四，二后化减，得出答案。例题六，已知负数 z， 求 z 的三十次方 减 z 的五十一次方加 z 的八十次方。这种题同学们要注意，一定要先把 z 化减，还是用同样的方法，分子分母同时乘以分母的共额复数一加二， 最后化减的结果为 i。 这个时候我们可以得出 z 的一次方就是 i， 二次方是负， i 三次方是负 i 四次方就是一，五次方又是 i， 它是不断重复的。 所以我们可以找到规律， z 三十次方是四乘七加二，也就是相当于 z 二次方为负一。 同理， z 五十一次方等于四乘十二加三，也就是 z 三次方为负二， z 八十次方就是一，最后结果那就是负二。当两个负数 为指数形式时，我们需要掌握乘法和除法公式，这个地方只要记住公式就可以了，比较简单， z 一乘 z 二就是对应的模值相乘，幅角相加， z 一除 z 二就是对应的模值相除，幅角相减。 我们看一下例题，问 z 一乘 z 二和 z 一除 z 二的指数形式。首先把 z 一和 z 二化为指数形式，这里先把它们化成了三角表示式，是为了方便求出辅角 c 塔。 这里同学们要注意，一定要画成标准的三角表示式才可以，也就是中间一定要是加号，而和 i 相连的一定是三引函数。如果不是，可以利用三角函数的对称性，以及前面 讲过的三引和扣三引的转换公式进行化减，得到结果后按照公式进行计算即可。最后我们来讲一下复数的方根，这里同学们可以先看一下方法，我们结合例题来进行学习。 这里我们求一加 i 开四次根号。首先我们将一加 i 转换成三角，表示是为根号。二倍的扣三以四分之派，加 i 三以四分之派。然后设欧米伽等于 row 倍的扣三以 five 加 i 三以 five 也等于 r 倍的扣三以 set 加 i set 的 n 分之一次方，这里 r 是摩长， set 是浮角。接着我们要记住 ro 等于 r 的 n 分之一次方， five 等于 n 分之 set 加二 k， pi 集中， k 是从零到 n 减一，这里 n 表示的是我们需要求的几次方根。对于这道题就是四，那么这里 r 等于根号二， ro 等于根号二的四分之一次方，也就是二的八分之一次方。 接着算 five， 将 k 分别取零一、二、三带入即可得到四个 five 值，对应四个欧米伽值。最后答案就是这四个欧米伽值。这种题方法固定，同学们记住做法就可以了。 本节课我们复习了复数的概念以及相关的加减乘除运算，学习了复数的三种表示方法，同学们一定要熟练掌握这三种表示方法之间的相互变换。最后要学会计算复数方根的方法。

下面再看第五个，这两个看一下啊，他有个散一扣散的，这时候十有八九是利用间接展开的啊，泰勒或者是罗朗，是吧？这时候我们来直接看一下这个呢，注意他七点明显是 c 等于这个地方 我们展的话，其实就是 q 赛一，一减四分之一应该等于一一减去二的结成一减四分之一的平方，然后呢加上一个四的结成，这应该是一一减去 c 的 四字方，这样一直下去，你会发现无现象，所以呢，这是个本性的啊， 那对应的没有这种的，我需要找的时候，直接找的是 z 减一分之一，前面的系数没有这么一项，所以系数 c 负一是为零的，小心点。 再来看这个一样的做法，这方后面的这个赛 c， 第一项是 c 分之一减去三的结成 c 的分之一的三次方， 这样一直下去成完之后呢，第一项是 z 减去刚好是六分之一，有个 z 分之一再点点点，所以 c 负一应该是 z 分之一，前面这个系数 z 减零分之一在零点处的流数啊， c 等于零的时候起点，这时候 我们来看一下，明显应该是等于的是负的六分之一的。再来看第七个题目，这个的起点应该是 z 乘以三 z 等于零的地方，一个是 z 等于零，还有个 z 等于 k 派，是吧？ 这时候呢，我们来看一下，对于这个后面这个 cind 来说，这个 k 派，我们来看一下啊，对于这个 cine c 来说，赛运 k 派明显是等于零的，但是一求导之后呢，会变成 co sand， 这时候在 k 派的时候就不等于零了，是吧？所以他其实对于赛 c 来说只是一级的极点， 那前面还有一个 z， 特别一点 k 如果等于零的时候，你说这时候对应的 z 等于零这个起点来说，前面是一级的，后面是一级的，和这一块就是二级的起点，是吧？如果 k 不等于零的时候， 前面不是起点，后面的对应的应该只是一个一级的啊，一级的。所以这个流数我们来算一下，如果是在零处的时候， 注意，由于是个二级的二级的话，我们先给他其性消掉，先乘个 z 的方，把这个其性给他消掉，然后求的是一阶倒数，最后呢再另这个 z 等于零。我们来 来看一下啊，求一个倒数之后，相当于就变成什么呢？就变成了 sen d 方分支，一个 sense 减去一个 d 倍的 cose and z。 对于这个一级的来说呢，我们直接就是简单了，上面分子不动，下面这个 z 乘以三 z 去求导，是吧？导数也很简单，刚好是 一去除以这是三 z 加上一个 z 背的扣三 z， 把 z 等于 k 派给他带进去，所以最后等于负一的 k 字方除以 k 派的。 注意这个扣三 a k 派啊，扣三 a k 派是上等于负一的 k 四方的啊。来看看第九题，这个 计算积分的其实用的是留数定理，也说先找出这个 c 这内的起点，这个函数的起点起点其实就一个 z 等于零，是吧？那我们把这个留数算一下，在零处的算 c 比上 z 在零的， 这个显然得通过这个三 c 给他展开三 c 比 c 的话，我们展开看一眼啊，他其实就变成了 z 减去三的结成 z 的三次方点，一点下去除以 z， 这其实上是一个可去的是吧？没有 c 负一对象，所以 c 负一等于的是零，所以最后的积分等于二派 i 乘以这个起点处的留数，刚好等于的是零的。再看第二个，这个起点是 c 等于一，这个地方， 我们来看一下这个起点处的流数， e 的二 z 去除以 z 减一的平方，注意他是一个二级的，那二级的话呢，我们先把其性消掉， z 减一的平方乘以 z 减一的平方， e 的二 z 消掉以后呢？求个 一级倒数是吧？刚好就变成二倍的一的二， z 在 c 等于一处的值就等于二倍的一方，所以最后积分 i 就等于二派 i 乘以二倍的一方的。 再看第三个，从表面上看呢，这个起点是 z 等于零，但是有可能 m 是一个负的啊，那就没有起点了，是吧？记分为零了，但是我们可以行上算一下，把这个一减扣三， c 除以 z 的 m 四方，这个在 零点的流数，我们按道理算的话呢，可以，由于有扣赛，这种赛呢，我们肯定是要通过间接展开了一点扣赛， c 除以 z 的 m 四方，把这个扣赛写开，应该是一减去二的接成 c 的平方，然后这样子算是吧，再加上一个四的接成， 然后 d 的四次，这样子整理一下，就变成了第一项。什么呢？这个一抵消掉了，会变成了一个二的结成，这地方可以变成了一个是 c 的二减 m， 然后下面应该是减去四的结成 c 的，这是四减 m， 这样点两点负一的 n 加一次，其实有个二 n 的结成，然后 c 的二 n 减去 m， 这个铜像一直下去，是吧？下面我们想算这个 f 在零的流数，相当于是找 c 分之一前面这个 系数，这个系数怎么找呢？我们来通向看一眼，这个要想出现 z 分之一种像意味的写在这里了，意味着 z 的二 n 减去 m 要等于 z 负一这个地方，所以意味着二 n 减 m 要等于负一的。 反过来呢， n 其实对应的就应该是二分之 m 减一，那我们带去这时候的 c 负一就好说了， c 负一其实就是负一的，本来 n 就是二分之 m 减一，再加一，再去除以一个二 n 二， n 刚好是 m 减一的结成分之一，这 就是系数。如果满足这条件的话，但是我们来看一眼啊，这时候通过来看的话， m 应该满足这个条件， m 就意味着应该是二 n 加一的，所以 m 必须得是一个基数才行， 这是第一点。我们再看，为了保证这个有 z 负一对象，我们打头的这一项， z 的二 n 减 m， 这个地方二减 m， 这个地方，这个二减 m 必须得小于零才可以，所以呢，对应的其实 m 得大于二， 所以我的条件出来了，在 m 大于二并且 m 是基数的情况下， c 负一，才有这样一个式子。也说留数。这样写了啊， f 在零的留数会等于什么呢？ m 如果大于二，并且呢 m 是一个基数的话，就是 c 负这负一的，这是二分之 m 加一，是吧。然后除以 m 减一的结成分之一， 所以 m 如果小于等于二或者 m 是偶的，这时候柳树没有那一项是零，最后的积分就等于二派，哎，去乘以这个地方就可以了，是吧？

大家好，接下来我会用大约两小时的时间带大家从零基础到完全掌握这门复变函数。我们直接开始第一课。第一课共有六种题型，其中第一种题型是复数的加减乘除。题目呢，都像这次题这样， 给我们一个整数和整数成爱的组合，这个叫复数，然后进行复数之间的加减乘除。 非常简单，就是数字与数字相加，带爱的与带爱的相加。像这一题，数字是二和三，二加三等于五，带爱的是三和四，三加四等于七，所以他俩相加的结果就是五加七。爱 相减也一样，就是数字与数字相减，带爱的与带爱的相减，三减二等于一，四减三也等于一，所以他俩相减的结果等于一加一爱。 接着我们再说相乘，相乘也与普通的乘法一样，他等于二乘三加二乘四，二加三，二乘三加三，二乘四，二写。