m2+n2的变形公式

学习到非常经典的中考数学题，若 m 方加 n 方等于十三，求 i m 加三 n 的最大值。对于这道题，上一次我用的是队友式求解，得到了同学们的一致好评，但是还是有同学说队友是不容易理解， 那么今天我们就换一种更简单的方法来求解，叫做科西不等式，也就是说，平方和的乘积大于等于乘积和的平方。利用科西不等式，我们直接将二 m 加上三 n 平方， 那么我们将系数看成 a 和 b， m 和 n 看成 x 和 y， 所以他一定小于等于二的平方加上三的平方，乘 m 的平方加上 n 的平方。由于 已知条件，我们知道 m 方加 n 方等于十三，则左边就变成十三乘十三大于等于二 m 加三 n 括号的平方。根据不等关系，我们很容易求出二 m 加上三 n 小于等于十三，所以 im 加三 n， 它的最大值等于十三。像这样利用科系不等式直接代值很容易出答案，是不是更容易理解呢？

我们来学习江苏省的中考数学题，若 m 加 n 等于七，求 m 方加 n 方的最小值，求最值的题型，无论哪个省都是难题。一道类似的题型，要求 m 的平方加上 n 的平方的最小值， 我们可以想方设法将它变成大于等于某一个数的形式，而这个数即是最小。这里涉及到的方法和思路就是完全平分公式。比如说，在 m 方和 n 方的基础上加上或者减去他乘积的两倍， 就会变成 m 加上或者减去 n 括号的平方。此时涉及到方法思路二，任何数的平方一定大于等于零，可是我们是选择加还是减 来展开完全平方公式呢？很显然，选择 m 减去 n 括号的平方，他大于等于零。因为展开之后会出现 m 方加上 n 的平方，减去二倍的 m， n 大于等于零， 将这部分余项则有 m 的平方加上 n 的平方大于等于二倍的 m n， 此时我们只需要求出二倍 m n 的值，即可以知道它的最小值。可是 已知条件没有告诉我们 m n 乘积的值等于多少，那么我们就要想方设法将它换成已知条件中 m 加 n 的形式。这里又涉及到完全平方公式。如果我在二倍 m n 的基础上加， 加上 m 的平方，再加上 n 的平方，不就是完全平方公式吗？当然，不等号的右边加上了 m 方和 n 方， 不等号的左边也要加上 m 的平方。加 n 的平方，再加 m 的平方加上 n 的平方。只有两倍的 m 方加 n 的平方 大于等于 m 加 n 括号的平方， m 加 n 的值等于七，将其带入，所以 m 的平方加上 n 的平方大于等于二分之四十九， 则它的最小值就是二分之四十九。这道题如果你听懂了，点关注一起学数学！

我们来看一下这道模拟题，已知 m 方加 n 方等于二十五，求三 m 加四 n 的最大值。 这里边又是一道球最直的问题，前面我们已经分享了配方法，判别式法球最直，这里边我们利用队友式法球最直。 下面看一下我们要求的是三 m 加四 n 的最大值。 首先我们找一下他的队友式，队友式是中间符号相反系数对调，所以他的队友式是四 m 减三 n， 这里边已知 m 方加 n 方等 二十五。我们利用完全平方构造 m 方加 n 方。首先把这两组队友式分别，平方 的九 m 方加十六 n 方加二十四倍的 m n， 他的队友是也进行平方的十六 m 方加九 n 方减二十四倍的 m n， 这里边把它看成是一式， 下边的式子看成是二式。下面看一下我们利用队友式，因为 因为他的平方后平方向系数和是相等的，并且乘积向系数是互为相反数，所以把这两个式子相加，就可以消去乘积向， 所以一是加二是的三 m 加 四 n 的平方，加四 m 减 三 n 的平方等于这里边二十四倍的 m n 消去以后， 剩的是二十五 m 方加二十五 n 方。提出个二 十五乘 m 方加 n 方，这样就构造出 m 方加 n 方。 我们要求三 m 加四 n 的最大值，这里边把它平方单独拿出来，也就是三 m 加 四 n 的平方等于二十五乘二十五，是 二十五的平方，减四 m 减三 n 的平方。 因为四 m 减三的平方是 大于等于零的，所以这里边三 m 加四 n 的平方一定是小于等于二十五的平方， 只有四 m 减三 n 的平方为零时，三 m 加四 n 的平方值最大是二十五的平方，所以 三 m 加四 n 的最大值等于二十五。这里边我们利用队友式构造两个等式， 然后利用完全平方大于等于零的性质，最终求出最大值是二十五。

我们看这一道安徽省的中考数学题啊， m 的 平方减 n 方等于九， m n 等于二十，求 m 加二 n 的 值，这道题怎么求？那你要求 m 加二 n， 是 不是求出 m， 求出 n 啊？那这样的话去整理 m 的 平方减 n 方等于九， 那所以我们会得到 m 加 n 乘 m 减 n 等于九，那么一平方变成什么了？ m 方加 n 方 加上二倍的 m a， 以及 m 方加 n 方 减去二倍的 m a 是 不是等于八十一啊？那一整理变成 m 的 平方加 a 方，是不是对它平方，然后减去 m a 的 平方 是不是等于八十一啊？那根据你的条件是不可以求出 m 的 平方加一方，我们可以求出 m 方加一方等于四十一啊，这样的话，求出 m 等于 五， n 就 等于四，这样的话 m 加 n 等于五，加八八十三， 或者 m 等于负五是不也可以啊？那如果是负五的话， n 等于负四啊， 那求出 m 加 n 等于负十三。所以这道题应该是有两个结啊，正负十三。