幻方为什么是中间数的三倍

我们来证明三间换房当中的一个规律，中间数的三倍等于换和。那我们先要知道什么叫换和，就是每行、每列和，每条对角线上三个数的和要相等，那个相等的和就叫换和。 我们看这九个数有几个混合呢？答案是三个混合， abc 是一个混合， d， e， f 一个混合， g， h， i 一个混合，那一共是三个混合， 我们再看这个米字是四条线，是哪些数组成的混合呢？ b， e， h， a， e， i， c， e， g， d， e， f 四条线上四个混合。好，我们把这四个混合和这三个混合进行比较， abc 是一个混合，那这边的 abc 是一个混合， d， e， f， d， e， f， g， h， i， g， h， i 四个混合和三个混合相比多了三个亿，也就是说三个亿就等于一个混合， 那易就是正中间这个数，所以中间数的三倍就等于换和，你明白了吗？

大家好，我们一起来看一下三节换方的性质，一换和等于中间数乘三。咱们在做题目的时候呢，很多小朋友有这样的困惑，换和为什么等于中间数乘三呢？那下面啊，我们一起去推算一下。 我们看在这个三节换方当中，老师用一二三四五六七八九分别是代表的一个序号， 在这里他并不是代表的具体数字，而是代表的一号数字、二号数字、三号数字，以此去类推。那我们看在这道三节换方当中，这里的中间数他是五号数字，那过这个中心数五号数字的 直线一共是有多少条呢？我们发现他应该是有四条，对吧？横着的这是一条，竖着的这样是一条，还有 两条对角线，我们发现通过中心数一共是有四条线，那现在咱们将这四条线上的数字呀，我们全部去给它加起来，我们可以得到多少呢？我们首先看横着的这一条线上，包括四号数字、五号数字和六号数字。 我们再来看竖着的这条线上，包括二号数字、五号数字和八号数字。两条对角线上这一条对角线上包括一号数字、五号数字和九号数字。 另外一条对角线上包括三号数字、五号数字和七号数字。好，现在咱们把这四条线上的所有数字，我们全部都给他相加起来，那他也就是几个化合，一条直线上的三个数 相加起来是一个换合，四条直线上呢，三个数字分别去相加起来，那就是有四个换合。 好，现在我们接着去看，咱们把这个这四个括号呀，我们去给它拆开，然后我们按照一二三四、五、六七八九这个顺序去把这些序号我们去给它加起来。那我们看一号数字加上二号数字， 加上三号数字，加上四号数字，加五号数字，加六号数字，加七 号数字，加八号数字，加九号数字。好，现在我们看咱们还剩下哪几个数？哎，对，我们发现我们现在还剩下三个五号数字，对吧？ 现在我们还剩下三个五号数字，那所以我们再加上这个三个五号数字，他就等于四个换合。好，那接着我们来看一下一号、二号和三号这三个数字加起来的话，他是不是等于换合？ 哎，我们看第一行当中是不是包括一号、二号和三号？第二行当中包括四号、五号和六号，第三行当中包括七号、八号和九号。那我们发现这是一个换盒，这是一个换盒，这是一个换盒。那所以他们是三个换。 三个换盒加上三个五号数字得到的是四个换盒。那现在咱们把左边的三个换盒减掉，那右边也得去减三个换盒，所以咱们就可以得到三个五号数字，就等于一个换盒。 那我们看这个五号数字他是不是就是咱们的一个中间数呀？我们就可以推导出来，咱们的换合就等于三乘中间数。

九宫格的换方问题不仅是期中考试中重点考察内容，也是属于期末考试中的高频考点。那么解决这类问题一共有两种方法，第一种方法就是从他的底层原理出发，从他的定义出发来解析，那么这个方法的话呢，做起来相对比较慢一点。 第二个方法呢，就是一个二级结论，也称为一个大招的技巧，那么有了这个技巧以后，做这个题目就会非常快，那么今天我们就把两种方法都给大家讲明白。第一个我们先来讲它的底层原理，也就它的定义好，我们来看题目，这就是一个九宫格的换方，让我们来求 x 的 值。 那我们知道九宫格的基本定义是什么，那就是横竖斜三个数字的和永远都是相等的，这是第一个最基本的结论。 第二个那就是我们横竖斜任意的这三个数字的和都应该是等于中间这个中心的三倍，所以这是他的一个基本概念。 好，那么接下来我们先从这个地方来分析一下，这个题目中要求 x， 那 么题目中所给的是一五，还有二零二五， 所以从基本的概念出发，我们就来看看这些数字它的位置到底是在横还是竖还是斜呢？你会发现这个一和五啊，它都是一条竖线上面的两个数。 好，那现在我要把它和二零二五结合起来，你会发现呢，二零二五的话呢，就应该和我们刚刚的这个竖线作为横线一个公共的交叉。 好，那么这样的话，我们知道这三个数字的和，和，这三个数字的和是相等的，而这个地方是一个公共的数，所以我们可以得到一个基本的计算方法，那就是这两个数字的和就应该等于这两个数字的和， 所以的话，你会发现，那么二零二五加这个就等于一加五等于六，所以我们就可以快速的把左边那个角的数啊给他算出来，也是一加五减去二零二五，也就等于负的二零一九。 好，到了这里来以后呢，接下来我们再继续来看，这个负的二零一九就应该发挥它的价值了，怎么办呢？这个负的二零一九啊，它其实在一条斜线上面看到没有，那么这斜着的三个数字的和是不是等于中间这个数字的三倍？ 假如说我把这个地方当做 a 的 话，那我们可以知道是负二零一九加上 a 加上五是等于三个 a 的， 其中我们可以得到一个非常重要的计算结论，那就是负的二零一九加上五，其实是等于二 a 的， 也就是说中间这个数字的两边，不管是左右上下还是斜着的，他们两个的和都等于中间的两倍，所以就应该等于负的一零啊，这个地方就是 一四一零零七。好，那么这样的话呢，我们中间这个数呢就找到了，那么 x 就 好求了吧，那就是 x 加上这个一，对吧，用 x 加上这个一，就应该等于中间这个数字的两倍，也是负的二零一四。 好，到这里来以后，我们就可以把 x 求出来了，等于负的二零一五，这样的话呢，我们从基本的原理出发，就可以把它求出来。 好，那么接下来呢，我们来讲一讲另外一个方法，就是所谓的二级结论的大招技巧。好，那么在我们的九宫格里面有一个什么样的结论呢？这个结论我很建议大家把它记下来，因为考试过程中真的是特别的好用。 是一个什么样的结论呢？那就是我们在这个里面呢，任意的取一个角，比如说把这个角取出来是一个 a， 那 么这个角它对角的地方在这里看到没有，这是它的对角，那么这个角的旁边会有两个数，一个是 b， 一个是 c， 那 我们就一个结论，那就是这个二 a 呀，是等于 b 加上 c 的， 也就是说每一个角它的两倍是等于对角旁边两个数字的和好，相当于我们再举一个，比如说如果说这里是 x 的 话，对吧？那么它对的角在这个地方，这个角的旁边呢是 b， 我 们这里叫做 y， 那 其实这个角的二 x 呢，就应该等于 b 加上 y， 所以这就是一个非常重要的二级的结论，当然这是可以推导和证明的好，那么在这里我们来看一下，我们要求 x 对 不对？那你会发现 x 呢？其实就是我们这个角旁边的数，也就是你会发现这个五啊， 对着的这个角它的两边看到没有，它的两边也说二零二五加上 x 就 应该等于它的两倍，也就是可以得到 x 加上二零二五是等于五的两倍十的， 那么这样的话，我们就可以一步求出来， x 等于负的二零一五，这就可以非常非常的快。所以两种方法，第一种它的定义和底层的原理，第二种就是一个非常好用的结论和公式，大家可以把它记一下。

今天我们一起来讲一讲三阶换方。 换方是指横好竖立对角线上竖的和都相等的竖的方正，具有这一性质的三乘三的竖正称作三阶换方， 四乘四的数正称作四阶换方，五乘五的称作五阶换方。 下图是三间换房四间换房的标准实样。 好，我们来看三阶换方的性质。首先我们来了解一下换和，这个换和等于什么呢？它等于九个数之和除以三， 第二横行，第三横行就是换合好，换合也可以是这一列的数之和，第二列第三列三数之和。这个换合也可以是对角线上三个数的和， 或者这个对角线三个上头三个数的和。好，那接下来我们了解一下中间数，中间数它等于换和 除以三就是最中间这个数。好，接下来我们了解一个第三个性质。三角换方啊，有个很重要的性质，也就是说 这个九宫格里面呢，每一个顶点上的数，他都可以用另外两个数算出来。比如说这里的 c 是左上角这个顶点 这个正方形的数，这个数啊，就等于和他相对的两个数 a 和 b 这两个位置上数的和除以二， 那么这个 c 也可以在其他角上。好，我们转换一下，请 大家看一看。 好，如果 c 在左下角，那么这个 c 它等于什么呢？它就等于和它相对的 a 和 b 这个两个数之和的一半。 好，这个 c 也可以在右上角，同样这个 c 也等于 a 加 b 和的一半， c 也可以在右下角，那么这个 c 就等于 a 加 b 合到一半。 好，接下来我们验证一下，请大家看过来。好，我们已经填好了这个三阶换方，它分别是 一之九这九个自然数，那我们验证一下这个换和，他等于九个数之和除以三。那么一加到九，这九个数的和呢？他等于四十五， 四十五除以三等于十五，那也就是说这个三阶换方，他的换和是十五，那我们看 四加九加二等于十五，三加五加七等于十五， 八加一，八加六也等于十五。好，我们竖着看，四加三加八等于十五，九加五加一等于十五，二加七加六等于。 好，我们再斜着看，八加五加二等于十五。 好，这样写着看，四加五加六等于十五，这就是换可。 好，接下来我们看一下中间数，这个中间数等于换和除以三，那就是十五。除以三其实就是这三个数的平均数。 好，就在这个中间，中间数就是五，不管是每一行或者每一列或者对角线三个数的平均数都等于这个中间数。好，下面我们验证一下每 一个角上的数，它的特点。 c 等于 a 加 b 的和除以二。那接下来我们看这里。四，它就等于一加七的和除以二。 再换一个。好，顶点，这个八它等于什么？等于和它相对的两个数，九加七的和除以二。 好，再看这个六，它等于什么？它等于三加九的和除以二。 好，再看这个二，它等于什么？等于三加一的和除以二。所以说三阶换方所具有的这个性质，能方便我们来进行推 理理和计算。 好，下面我们首先看第一关构造简单，三界环保。 例，一，把一之九这九个自然数填入下面方得中，是每行每列对角线上的三个数的和都相等。 好，我们首先介绍第一种方法计算法。 首先第一步，我们来求换和，根据刚才的定义，我们把所有数加起来，一加到九，他等于四十五，然后用四十五除以三，那就 得到了换和是十五。第二步，求中心数，这中心数等于换和除以三，所以用十五除以三等于五，我们就在这里写上五。好，接下来我们第三步， 我们把一二、三四、六七、八九怎么填到这个空的放格中呢？ 好，那我们填入顶点上的数，这四个顶点上的数啊，我们用偶数来表示， 所以我们把八和二填在左上角和右下角顶点上，那剩下的六和四 四这两个偶数就停在另外两个角上，那这样就剩下了四个单数，因为每一行八加六是十四，那再加上一，那他就等于十五了。 所以说第四步，我们再填入其他的数，一就填在这。好，那接下来我们再来看一看，九填在下面行，因为四加二减等于六，所以用换和十五减去六，当然就等于九。 好，这一列八加四是十二，那十五减十二就等于三，所以最后剩下的七就填在这个空格中。好，这样 我们就完成了啊，这个三阶换法的填法，这是第一种计算法，那接下来呢，跟大家再介绍第二种方法。第二种方法呀，它叫对应法， 南宋数学家杨辉啊，概括为九指斜排，上下对一，左右相跟，四为挺出，什么意思呢？ 我们呢先把一至九这九个数字按顺序斜着排列， 为了更好的用对应法解决问题啊，我们首先把这个三阶换方向外围扩展一下，扩展成 五乘五的方格。那么现在我们把一到九九个数字按顺序斜着排列好，看，这里 写上一二三，然后在这里写上四五六。 好，在这里我们写上七八九，这叫九子斜排，然后呢上下对一，一和九 对掉，然后呢把左边的数字七和三对掉，推到这个空格中。那这样我们就写 形成的一个三阶换法，大家可以进行验证，每一行，每一列，每条对角线三个数之后都是实物。 好，介绍了第二种方法。接下来啊，我们再跟大家介绍一下第三种方法，这个方法叫什么呢？叫阶梯法， 阶梯法也叫楼梯法，是法国数学家巴赫特创造的。这个方法看起来有点像刚才建设的对立法， 但又不完全一样，十分简单而巧妙，使用于所有基数键。还法好，我们在三阶 半方，上下左右中间呢各添上一个小方格，这样就成了一个阶梯样的这个图形。那现在我们斜着来排一至九， 一至三。好，这里斜着牌写上四五六，这样斜着牌写上七八九，然后我们上下兑换，左右兑换 好，这样就形成了三阶换法。其实呢，刚才那个啊，对与法是基本相似的啊，那么现在我们把九 添在这个方格插曲就可以了。好，下面介绍第四种方法，叫罗伯法，罗伯是法国的一个著名的数学家，他呢是这样介绍的， 一居首，航正中央，依次协上，莫要忘 上出下填右出左，若是重了填下方。好，这个填就三阶换方的一个啊，法则规律，我们现在来阐述一下。 一，那么一至九当中最选的数是一九居首行的正中央，所以我们写的照 他呀规则是依次斜上来写这个数，一写完了呢，我们接着写二，一对斜上方，就在这，可是他上面出格了。 那么补充的说明，它从上初下填，我们就把 out 就填在这个一粒的最下面。 好，填完了，下面填三，还是写着写啊，右上方写着写三，那这个三呢？又出了左，出了右边啊，出了右边 啊，这个右出就左，就把这个三填在左边啊，左边这一个。好，接下来写四，那这个四啊，大家看是不是和一重复了， 然后我们重了，就停在原来这个三的下方。所以说这个规则呀，第四句若是重了填下方就是这个意思。那接下来填五 没问题，五的右上角填六也没问题。接下来填七，大家发现了什么？发现了，七是不是已经出了格，而且在六的右上角。像这种情况呢，我们 把这个右上角的七按照重了这个规则来看。所以这个七应该填在哪里呢？填在六的下方。好，七填完了，填八 好，也戳了戳右，那就往左填，所以这个八写在最左左边。好，下面写上九上初下填，所以这个九写在下方。 那这个罗伯法还是比较方便来填这个三阶还方的 同学们。卢博法同样对于五阶、九阶、十一阶、十三阶、十五阶等基数阶换房都是适用这个规则的。好，这个简单的三阶换房我们先介绍到这里。 好，接下来我们来闯一闯。第二关，构造有 限制条件的换方。例二如下，土的三乘三的方阵中填入了一之九的自然数， 构成大家熟知的三阶换方，现在另有一个三乘三的方针，请选择九个不同自然数填入九个方格中， 使得其中最大者为二十，最小者大于五，且要求横加竖加对角线方式相加的三个数之和都相等。 好，那下面我们首先想到的是什么呢？这已经有了一个现成的三阶法， 那么我们要填的另一个换法，最大者为二十，最小大于五，也就是说至少是六了， 至于六还是七还是八啊？最小者都是可以的，但是最大者必须是二十。 那我们如果仔细的看一看左边这个已经填好的三角换法，发现最大的数是九， 那么右边要填的最大数是二十，那你说由九变成二十，我可以填上多少呢？ 对了，添上十一，九加上十一乘它就等于二十了。那么我们如果把七 其他每个数也加上这个十一，是不是他同时也符合要求呢？ 好，那我们观察原表中个数是一至九的九自然数，其中最大数是九，最小数是一，横加竖加对角线方式相加，结果相等。 新换方最大数是二十，九加十一等于二十，所以如原表中各数都加十一，这就符合新表条件。那我们把它填上 最大的是原来是九，现在变成了二十，那其他各个数啊，分别加上十一，他就是十五、 十三、十四、十六、十八、十九、十二 湿气。哎，这样就成了，尽管他没有小于十的一位数，但是他都是 大于五的呀，对吧？所以说最大者只要出现了二十，其他数都是大于五的，就是符合要求的。当然这是一种填法，他也有可能有其他选择的方法，这个大家可以自己去试一试。 好，例二，我们就介绍到这里。好，接下来我们来看一看第三关，利用换 换方性质灵活解体。来，我们仔细来看一看。第三，在下图中的 a、 b、 c、 d 处填上适当的数，使其成为一个三阶换方。 同学们，这个三阶换房啊，已经填好了有 五个数，填好了只有四个数每填。那么根据三间换方的性质呢，我们可以推算出 a、 b、 c、 d 是多少。 好，首先我们来看看中间数，我们知道中间数啊，是换和除以三的，那这里中间数直到是十五， 所以我们可以反过来求出它的换和。换和就等于中间数乘三，所以用十五乘三就等于四十五。好了，有了这个换和，那我们就可以把其他的数迎刃而解。 比如说我们看第二行，这一行三个数的和，它就是四十五，那 b 这个数怎么求呢？当然我们就用四十五减十五减二十就求得了 b 等于十。 好，那接下来我们看第一列，这一列它的换和也是四十五，那知道了另外两个数，所以 a 它就等于什么呢？ 等于四十五减十，减十六等于十九。好了，那接下来我们来看一看 c 怎么求 c， 我们看第二列 换合是四十五，减去十二，再减十五，那就等于十八。当然有人说这个 c 也可以用第三行来求，当然是可以的，四十五减十六减十一，同样可以得到十八。 好，那最后我们求 d、 d， 我们看第三例，这个 d 就等于四十五，减二十减十一等于十四。 这样我们利用换方的性质，我们解除了问题，你学会了吗？

大家好，我们一起来分析一下三节换方的性质二，过中心数，直线上的三个数乘等差数列 两端和等于中心数乘二。有小朋友对于两端和等于中心数乘二比较有疑问，下面呢我们一起去推算一下，看看两端和为什么等于中心数乘二呢？ 我们还是先把这个三节换方当中的这九个数字呀，我们先去给他标上一个序号， 分别用一、二、三、四、五、六、七、八、九，我们去给他标上序号，咱们知道性质一当中换和等于中心数乘三，对吧？好，现在我们看一下性质一，咱们学习了换和等于中心数乘三， 就是三乘中心数，在这个第二行当中，他包括四号数字、五号数字和六号数字，那四号数字加五号数字加六号数字，他就等于什么？ 对，他就是等于换和，对吧？我们去给他写上四号加上五号加上六号这一条直线当中的这三个数字，我们加起来他是不是就是一个换和 甚至一，我们学习了换合等于三乘中心数，中心数是五号数字，那也就是 三乘五号数字，也就是三个五号数字相加，对吧？好，现在我们来看一下，四号数字加五号数字加六号数字，等于 三个五号数字，咱们把左边的这个五号数字去给它剪掉，那右边也得剪掉一个五号数字，所以现在我们可以得到四号数字加六号数字，就是等于两个五号数字。 好，那我们来看一下四号数字和六号数字，他是不是代表的是这个直线两端的数字之和呀？这个五号数字他是中心数，对吧？那所以咱们是不是就推算出来了 两端和就等于什么？哎？两端和就等于两个中心数对比，就是咱们的两端和就等于中心数乘二。

这是一道三节换方魔鬼题，就一个数，填其他数难度非常大，如果你能学会，你就是学霸看题。 好，我们先来了解三结换方，这个九宫格啊，是由三行三列组成，所以叫三结换方。三结换方呢，基本原理就是得保证每一行、每一列、每条对角线上的三数之和都得相等。 好，我们看这个三节画法，他只给了一个数，而且是在第一行的中间，这个难度非常大，那怎么填其他数呢？今天老师教你一招叫找邻居。 好，首先我们来了解这个三节画法，这个三节画法也就是这个九宫格，我们可以看作一个数字人， 这是头，这是脚下，这是左肩，这是右肩，左腰、右腰、左脚、右脚，这是中心。组成这么一个数字人，他有一个基础的口诀，孩子们都知道， 头顶最大，九脚踩最小一，左肩老二，右肩老四，左腰老七，右腰老三，左脚老六，右脚老八，老五居中间。好，那么既然是 头顶最大，那么我们就用找邻居的方法，把他排在最大，找到他的八个邻居。好，那么首先给十五，给他排在最大。 好，十五个人排在最大，那么找到前面的八个邻居，就组成九个数了。好 啊，八个零就我们找到了，那怎么往里填呢？这里面有个技巧，我们给他分成组，最小数和最大数一组 啊，七和十五一组，七加十五等于二十二， 八和十四一组也是二十二，九和十三一组，十和十二一组，每组的和都是二十二。好，最后剩了一个中间数，中间数，这个叫中心数。 好，这个中心数就填在这个中心格里，他就是中心数啊，十一填上。好，那么下一步怎么填呢？只记住一句口诀就 ok 了，左肩老二，右肩老四。 左肩老二右肩老四，什么意思啊？左肩填第二个数，右肩填第四个数，我们给他排一下顺序，第一个，第二个，第三个，第四个。 好，左肩老二就是八，右肩老四就是十，那么左肩填八，右肩填十， 他俩填上，其他数就都好填了。首先我们看八和谁一组？八和十四一组，那么在这条对角线上就把十四填上。好，八加十四，这是二十二， 那么再加这十一就是三十三，这个三十三就是换和， 也就是说所有其他各线的和都得等于三十三，就符合题的要求了。好，那我们继续看十和谁一组， 十和十二一组，那么这条对角线上把十二填上，因为十加十二也是二十二呀，再加十一也三十三呐。好，我们看十五和谁一组，十五和老小一组，和七一组。哎，也是和三十三， 最后剩这两个数了，那这个数我就可以算出来了，因为有换和了， 八加十二是二十，二，十加多少得三十三呢？二十加十三呢？那么这个就是十三啊，十三和谁一组呢？十三找和九一组，那么把九一填， ok， 轻松搞定， 你学会了吗？这么好用的方法，建议点亮小红心收藏起来，以免以后用找不到了。要想学更多好方法，关注张老师，带你学数学更轻松！

换方问题，有些同学不知道该怎么做，今天就看一下这个换方问题。首先要知道这个换方的规则就是每一横行，每一竖列还有对角线的三个数之和都相等，每一横行，每一竖列 还有对角线的这三个数字的和是一样的。这道题让我们求 m， 第一个比较常用的方法就是这个交叉法， 比如这道题他给你了这一条对角线上的三个东西，还有这里的这里你发现 m 这个格子是重合的，写一下这三个数的和 等于这三个数的和，重合的这个 m 通过一项他会抵消，所以就得到了五加 p 等于三加八，所以交叉法那就是去掉那个重合的这俩和，等于这俩的和，所以这里 p 求出来 p 是 等于六的。 换方的第二个小结论呢，那就是换方的和等于中间这个数的三倍，就把它乘以三，就是你这个换方的和了，所以这个换方的和呢，就是六乘以三等于十八。那知道了换方的和，所以呢，这个 m 就 很好求了，十八减去五减去六，你可以求到 m， 或者用十八减去这个减去这个，所以 m 就 等于七。如果你不知道这个小结论，你还是可以用这个交叉法， 比如这里和，这里交叉重合的是这个，这里重合了，所以这两个数的和等于这两个数的和，所以这个数求出来，这里就是九，所以到这里你也可以知道这个换方的和就等于十八。记住这两个小结论，做题就比较容易了。