高中数学诱导公式黑板圣诞树

同学们好，这节课我们来讲诱斗公式，这些是一部分基础公式，另外还有一些复杂的公式。有这么多的公式，我们要全部记下来是很困难的，而且也没有必要， 我们可以通过既变偶不变符号，看象象这句口诀来掌握所有的诱导公式。下面我来给大家解读这句口诀。掌握好口诀，我们就不需要记公式，所有诱导公式的题目我们都能够轻松解决。 对于诱导公式，我们需要思考两个问题，第一，诱导公式有什么作用？第二，我们具体需要做什么？ 同学们观察一下公式左边的角，它们都是含有阿尔法的各种各样的式子，再看一下右边的角， 它们就只是一个 alpha。 所以 我们就可以看出诱导公式的作用是对三角函数的角进行化简， 左边的这些角可以用一个统一的式子来表示，我们记它为 c 塔，那 c 塔就等于二分之 pi 的 整数倍，用大写的 k 表示，加上或者减去一个 alpha， 而右边的角就只是一个 alpha。 所以 我们要做的就是把这个 c 塔角化简成 alpha。 我 们具体需要做什么呢？我们需要根据左边的三角函数名，我们简称左名， 然后它的角我们记为西塔。需要根据这个我们要写出右边的三角函数名，我们称为右名，然后它的角就是一个 alpha。 前面呢，有可能是正的，也有可能是负的。右边的三角函数名 跟右边的这个正号或者负号是我们需要填的两个空，我们需要关注的就是左边的这个 c 塔角，以及填空题里面需要填的这两个空。 口诀的第一句，鸡变偶不变。这里面的鸡跟偶指的就是这个整数， k 是 基数还是偶数？ 如果 k 是 基数，左边的函数名就要变化一下才能填入右边的函数名。这个空需要变， 具体怎么变？ sine 和 cosine 是 一对，如果左边的名是 sine， 那 它要变就变成 cosine。 如果它是 cosine， 那 要变就变成 sine。 如果左边的函数名是 tangent 的 话，那 tangent 它可以表示成 sine。 出 cosine， 我 们只需要把 sine 变成 cosine， cosine 变成 sine， 那它一整个就变成了 cotangent， 也就是 tangent 的 导数。同样，如果左边是 cotangent 的 话，那么它分子变，分母变，它就变成了 tangent。 所以 左边如果是 tangent， 要变就变成 cotangent， cotangent 要变就变成 tangent。 还有 second， co second 的 情况也一样，如果没有学过这两个三角函数名的同学，可以忽略掉这一部分。 所以我们要记住， sine co sine 是 一对 tangent， co tangent 是 一对，如果要变的话，就在这一对里面变。 这里面说的是 k 是 奇数的情况，如果 k 是 偶数，那么偶不变。左边的函数名可以直接填到右边这个空里面来。下面我们来看一下例子。 比如这一道，我们先把它的角化成二分之 pi 的 整数倍，它是四 k 加 alpha， 这里面这个四 k， 它是偶数，所以偶不变。左边是 sine， 右边也要填 sine。 再来看这一道这个负 alpha， 我 们要把它改写一下， 它是二分之 pi 的 零倍减 alpha， 那 么这个零是偶数，所以偶不变。左边是 cosine， 到右边也要填 cosine， 这边这个改写成二分之 pi 乘以一减 alpha， 这个一是基数，所以左边是 tangent， 它就要变，变成 tangent。 那这样左边这个函数名我们就会填了。接下来我们考虑怎样填正号或者负号这个空 口诀的下半句符号看象限是指导我们填符号这个空的诱导公式，它是对于任意的 r 角都成立的。 我们假设 alpha 为锐角推出的这个诱导公式，它同样对任意 alpha 角也是成立。所以我们可以不用管 alpha 角是什么角，我们都能很放心地把它假设为锐角。 这么做能简化我们的问题。因为锐角的三角函数，无论是 sine、 cosine、 cosine、 alpha， 他都是正的，所以这里面这个正负呢，就完全的由左边这个三角函数决定。左边这个三角函数是正的，那他就填正。左边的三角函数是负的，他就填负。 所以我们只需要研究左边这个三角函数的正负就可以了。下面我们要复习一下三角函数的定义。 高中阶段，我们把角放进直角坐标系里面，以 x 轴的非负半轴为矢边，逆时针或顺时针旋转得到一个角，规定逆时针为正，顺时针为负。 通过旋转它得到一个中边，比如说中边。在这里的话，我们规定三角函数只跟中边的位置有关系。 至于它是这样旋转的正角，还是这样旋转的负角，或者是说它旋转了几圈才到这个中边位置都没有关系。 只要中边确定了，三角函数就确定了。确定了中边以后，我们让它跟以圆点为圆心的单位圆相交， 交点为 x y， 我 们记这个角为 c t， 定义 sin c t 等于 y cosine c t 等于 x tangent c t 等于 y 比 x。 接下来我们来找 c t 角的中边。 首先我们要先找二分之 pi 的 k 倍，它的中边在哪里？ 我们知道，如果 k 等于零，二分之拍的零倍，也就是零在这里，中边在这里， k 等于一，它的中边在这里， k 等于二，它的中边在这里， k 等于三。在这里。是这样旋转过来的， 如果 k 等于负一，中边就在这里， k 等于负二，二分之拍乘以 k， 中边在这里， k 等于负三，二分之拍乘负三，中边在这里。那如果 k 比较大，比如说是二分之拍乘以负三时， 那这时候中边在哪里呢？我们知道旋转二分之拍的四倍以后，中边就又回到起点这里，所以我们可以让他先旋转三十二倍， 也就是二分之拍的四倍的四八。三十二。旋转的这么多倍，实际上它就是相当于加上一个二拍的八倍。 我们知道加上二拍的整数倍以后，这个角它的中边还是回到原来的位置， 那这样实际上就是相当于负三十加上四的八倍。 加之前和加之后的这两个角，它们是不一样的，但是它们的中边是一样的，它的中边等于它的中边。 角不一样，中边一样，三角函数值就一样， 所以我们只需要旋转二分之拍的两倍就可以了。正的，所以逆时针旋转二分之拍的两倍到这里， 这样我们找到二分之拍的负三十倍了以后，如果它是加上 alpha， 那 么它就在逆时针旋转一个锐角，中边在这里，也就是在第三象限， 如果它是减去 alpha， 那 它的中边就在顺时针旋转一个锐角中边在这里。第二象限， 找到 c t 角的中边所在的象限 x y 的 正负就确定了。 然后我们再根据左边这个函数名具体是什么函数，比如说如果它是 cosine 的 话，哎，那我们 cosine 的 正负我们就确定了，从而左边这个函数名的正负就确定了，直接把它填到符号这个空里面就可以了。 下面我们来看一下立体，把这句口诀的上半句跟下半句结合起来，看看怎么使用。 我们看第一道题，先把左边的这个角西塔角进行改写，它是二分之 pi 乘以三三倍加 alpha， 这个三是基数，所以基变偶不变基，那么就变 sine， 就 要变成了 cosine alpha。 下一步我们确定它前面这个符号是正还是负。 我们假设 alpha 为锐角， 那么二分之 pi 的 三倍在这里 加 alpha， 再逆时针旋转一个 alpha 角，那么它的象限就在这里。第四象限， 而且我们知道这个角是西塔上西塔它是等于 y 的， 所以单位圆跟它的交点 y 是 小于零的，小于零这里就填负号。 这样第一题我们就做出来了。第二题，先把左边这个角西塔角把它改写成二分之 pi 的 k 倍 k， 这里 k 等于二减 r 法， 那么 g 变偶不变，这个 r 是 偶数，所以函数名不变，还是 cosine alpha。 接下来填符号前面符号这个空 符号看象限，我们看看西塔角所在的象限是哪一个二分之拍的二倍，那它的中边就在这里 减去一个阿尔法，减是顺时针，所以它的中边就确定了。然后我们再看一下 cosine， 它是等于多少等于 x 的， 也就是跟单位圆的交点的这个 x， 这里是负的小于零，所以我们这个符号填负号就可以了。 这道题就解出来了，看第三道题， 改写这个西塔角二分之 pi 的 三倍减 alpha， 三是 g， g 变偶不变，那么 g， g 就 变 tangent 变 co， tangent alpha。 接下来填符号这个空， 先看左边这个角，我们记为西塔角，它所在的象限二分之拍的三倍，还是在这里 减 alpha 减顺时针，再旋转一个 alpha， 中间就确定了。 确定了中边以后，我们看它是 tangent， tangent 的 话呢， tangent theta 是 等于 y 比 x 的， 所以我们让它跟单位圆相交，确定 它的 x 是 小于零， y 是 小于零，所以这个 tangent theta 就 大于零。大于零的话，这里填正号， 第三道题也就做出来了，正号这里可以省略，这就是答案了。 这里我再给大家放三道练习题，同学们课后可以做一下，检验一下这节课有没有掌握好。

今天给大家讲一个这个知识点啊，就是最近高一小孩在学的这个诱导公式，好多同学说这一块有点难，没听懂，哎呀， 这个诱导公式是三角函数章节里面算是比较简单的内容啊，在整个高中数学里面也算比较简单，所以不用焦虑啊，我把这个口诀给咱们打到屏幕上，咱们大家看一下啊， 然后对着这个口诀，咱们等会看几个题就行了。这个口诀很经典啊，只要上过高中的，应该不管他毕业了多长时间，应该都有印象，叫鸡变偶不变，符号看象限，对不对？ 然后我在这个符号看象限的前面又给你加了几个字，就是看元函数，象限就是看前面的象限，他不管变了还是没变，都从前面到后面过来的，看这个象限，明白吧？嗯，好，然后咱们来解释一下这三句话啥意思。你看第一句是奇偶， 指的是二分之派的倍数，比如说如果是二分之派，那就是二分之派的一倍，这个倍数就是一。然后我就要变， 比如说二分之三，派就是它的倍数就是三，所以就是也是奇数倍。比如派就是它的倍数就是二，比如说负派，它的倍数就是负，二就是偶数倍，明白吧？ 偶数倍就是不变。第二个，变和不变很好解释啊，变就是正弦和余弦函数之间的一个互化，不变的话就是正弦还是正弦，余弦还是余弦，正弦还是正弦。然后第三条也是最关键的一个啊，就是它符号比较容易出错， 最关键的一个就是，呃，你判断这个符号就是角所在的这个象限的时候啊，永远把除了二分之派或者和二分之派有关系的之外的部分 当成一个锐角，就是一点点一点点的角，很小的一个角，然后去判断方向或者去判断象限啊，这样才能把它给做对。好，咱们来几道题实践一下啊，我把摄像头转过来。 好，咱们现在看一下。这个地方有五到六道题目啊，咱们一个一个来给大家判断一下。首先第一个，然后三二分之派加法，我见到二分之派，然后想办法 用诱导，因为诱导就是二分之派的计数倍或者偶数倍嘛，对吧？二分之派是二分之派的一倍，所以说我直接把三角和数名给它变一下，那就是变成 cos， 然后这个角度直接抄下来， 然后判断象限。判断象限的话，我需要先在坐标轴上，我在这画一个吧，先在坐标轴上把二分之派找出来，零逆时针旋转，二分之派 加上一个锐角，再往左旋转一点点，所以是第二象限。第二象限看前面看圆函数的正负，第二象限正弦值是正，所以这个地方就是正，就不用加了，第一个就完了啊。 然后继续往下看， cosine pi 减 alpha， 看到 pi， 然后我想到是二分之 pi 的 偶数倍，偶数倍的话我就给它不变。继续写 cosine alpha 找错 pi 减去一个 alpha， 先给它找到 pi 图上面零二分之 pi pi， 然后减。阿法。就应该顺时针，顺时针这样旋转，还是第二项线，第二项线看原来的函数值是 cos 啊，第二项线是负，所以加一个符号， 对吧？然后剩下几个，咱也一个一个给他判断一下啊，正切，然后不变，所以是贪婪的阿法派加阿法在第三项线，第三项线正切时是正， 然后扣三，二分之三派是变基数倍，对吧？所以变成三，然后阿尔法是要照抄的，但这个你需要注意的地方是它是负二分之三派，所以我需要找一下啊，负角找零，负二分之派， 负派，负二分之三派，然后给他加上一个阿尔法，应该顺时针还是逆时针，所以给它往左转一点点。这时候有一个需要注意的地方啊， 咱们知识点上写的啊，永远把阿法当成一个锐角，那个阿法他不是一个特指阿法角，而是泛指除和二分之派相关的角之外的部分。 他这个地方他哪怕写五派十派，他依然是一个锐角。你不要想阿法是一个锐角，那个十派肯定是一个很大的角，和那没关系啊，和那没关系，所以说判断的时候依然是在第二项线，然后第二项线是负。看圆函数啊， 然后继续往下看哦，基数倍，所以要变阿尔法照抄二分之三拍，在这个地方加上一个锐角，逆时针旋转在第四象限，所以第四象限是负。 最后一个啊，正负阿法。我发现你说这个里面我好像没有和二分之拍有关的东西啊， 可以是零倍啊，零减法，零在这个地方，减法在第四象限啊。 先判断，先判断基偶吧，是偶数倍，零也是偶数啊，偶数倍，所以不变，所以是三的阿法，对吧？然后判断第四项线，第四项线正弦值是负，加一个负就可以了，学会了吗？很简单吧。

此号猫讲数学三角函数诱导公式，所有知识点以及题型都在这个视频里面，包含公式之间用条形球换记，在三角形变换中全部拿下，数学启动。 同时三角函数全张的配套讲义以及解析笔记放在了评论区置顶，与本视频使用，效果更佳哦。 首先公式的理解，我将从三角函数的配套讲义以及解析笔记放在了评论区置顶，与本视频使用，效果更佳哦。首先公式的理解我将从三角函数诱导公式， 原因在于呢，遇到公式有很多，你如果死记的话，肯定记不下。第二个呢，就是这三个角度呀，对你后面的学习非常有帮助，包括图像问题以及三角函数的横等编号问题。 那首先第一个，从口诀的角度，既变偶变符号看象限，但凡你学过高中数学肯定都知道这个口诀，那啥意思嘞，一分钟再让你快速拿下。这里面的 g 和 o 指的是 k 的 既有性，而变与不变呀，指的就是三角函数名， 你看我们在化简这类式子哎，三括号里面是一个 k 乘二分之派，二分之派的啊， k 倍再加减阿尔法，其中 k 是 一个整数 z 的 呦， 当 k v 基数的时候就要变了呀，意思是 k v 基数，三角数名称要变三就变成 cos 了， ok， 而 k v 偶数呢，就不变了，这个 cos 保持不变哎，前面是 cos 一 样的， 但是呢，你确定完这个三角函数是长名称之后，他的符号或者说他的正负，你确定吗？当然不确定，有可能这边是正的而法或者负的而法这边也有可能是正负。 那所以最后一个问题就是要确定正负，你看最后一句话嘛，符号看象限。哎，在第一个视频讲过了，三角函数他在每个象限的正负不一样的，那所以你稍微假设个象限就出来了， 就说我假设这个 r 法是第一象限，哎，让我们看一下这个 case， 二分之派加减法所得的象限，从而确定正负。 来，我们实操一下，你看第一个这个散派减 r 法，让你去化减。哦，那首先既变偶不变，这个派是不是相当于二分之派的二倍啊？哎，前面这个二是个偶数，所以偶不变嘛，它化解完应该是个散 r 法， 准确来说呢，是一个正负三 r 法。那最后一步咱们就要确定这个哎，符号了。 ok， 我 先假设这个 r 法呢，是第一项线刚说过的方法。那就看下这个派减法，这一坨他是第几项线？ 呃，如果实在不会的话，你可以直接假设 r 法是四分之派，第一线随便取一个角，四分之派，三分之派，六分之派都 ok。 那 派减四分之派是不是四分之三派呀？他应该在第二线线了吧。哦，第二线线的散值和第一线线的散值，他俩是不是都是正的呀？ 那所以前面你没必要加符号了呀，就是一个正的就 ok 了。哎，三角形的符号一定要熟悉， 那就解决了呀，就这么简单。 ok， 第二个这个散，二分之三派加二法，这也是类似的形式了吧。那首先呢，这是二分之派的三倍 k 等于三即变啊，要给他变的坤要变哦， 因为这个三是一个坤数嘛。那所以应该是个 cos 阿尔法。前面别忘了，正负号需要确定一下同样的办法，我们假设这个阿尔法呀，是第一项线，那这个二分之三派加阿尔法呢？ 哦，二分之派是一个九十度，那加了二分之三派是不是逆时针转了这个三个九十度， 咱从第一象限相当于转了三个象限到了第四象限了呀，哎，一四象限，第一象限的 cos 值，它是一个正的，而第四象限的散值呢，是一个负的，那你希望他们之间取一个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取一个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取个等号，这里是不是需要前面加一个负的？那你希望他们之间取个等号，这里是负的 cos 二法 拿下角度二对声形，这个是从三角函数的定义出发，三角函数基本上所有问题大家从定义出发其实都能理解，包括你们后面学的恒等变换图像问题，大家尽量都往定义出发喽 来。比如我们设这个 i p 一 是 x 一 到 y， 它单位上一个点，那么这个角是阿尔法，咱找下这个派减阿尔法在哪里？ 派是一百八十度，那是不是意味着这个角是阿尔法？派的话是这个角，那相当于这个派减阿尔法和阿尔法它们所对应的 单位。原上的这个点是关于外轴对称的，这是个几何问题啊，是一个美术问题，不是数学问题，大家好好画肯定能看出来。那你假设这个 p 一 是 x 一 外一，那对应这个派减阿尔法，它所在的点 p 二是不是就负 x 二负外一呢？ 哦，根据这个定义，那么散而法和咱的这个散派减而法啥关系嘞？ 如图，散而法是咱 p 一 的这个，哎，纵坐标那就是一个 y 一 了嘛。而派减而法呢，是这个 p 二锁定坐标，它俩关于外周对称，所以它也是一个 y 一， 那么我们可以直接画个相等舒服了。 同理，那这个 cosine 派减二法是不是就等于负的 cosine 二法呀？啊，因为它们做坐标是互为相反数的。哦，那就出来了呀。 啊，另外呢，我刚刚是关于 y 轴做了一个对称，那其实还可以关于 x 轴对称，如果一个角二法，一个角负二法，你发现它们是不是关于 x 轴对称呢？因为它们的旋转方向是不同的，一个顺时针，一个逆时针。那这样你也推出来一组公式了呀， 如所示，这个就是从对称型出发，所有到公式都可以有对称性推出来。那最后我还想说一个就性，这个能让你快速出答案，并且对于后续函数三角函数图像的问题理解非常好用。 其实吧，根据这个东西，你可以得出这个函数 y 等于三 x， 它是不是一个奇函数呢？哦，而 cos x 呢，是一个偶函数。 同理， tangent x 也是一个极函数啊，你可以把这个 tangent 负二法等于负的 tangent 法自己按照这个推导，或者看我的这个讲义所定的笔记都是有的， 因为这个式子呀，是对于任意而法都成立，你把这个而法换成 x， 是 不是得到了它是一个奇函数了？哦，那所以我直接这个散括号负而法是不是等于负的散而法出来了？哎，同理， cos 负而法就等于 cos 而法了。 最后 time 赋尔法等于负的 time 赋尔法舒服了，因为你一旦记住这三个函数，它们的基有性呢？咱这个诱导公式能快速的推出来啊，不用你再学这个，即便 v i f o 看象限了，那样推得太慢喽。 再总结一下口诀，对称性、基有性，这几个都能帮助你去理解这个三角函数的诱导公式，并且对于后续的学习非常有帮助。 题型一直接应用，你看第一个，让你直接求这个值，咱学的诱导公式呀，这些角不是锐角，但我们可以给他画到锐角里面 散三百度呢，怎么画嘞？哎，别忘了，咱三百六十度是一圈呀，那所以转了三百六十度，它的三角函数值仍然不变，这是一个最基本的诱导公式。所以第一步，先直接把这个三百度减一个三百六十度来想一下，就是负六十度嘞， 那接着根据它是一个奇函数，我们直接就不诱导公式了，直接开机，那负的三三十度哦，出来，负的三六十度，它就是一个负的二分之根三，舒服了。 ok， 那 接着 tan 的 六百度，这可咋整嘞？ 这里我给大家补充一个诱导公式， tan 的 r 法加一百八十度，还是 tan 的 r 法？原因在于呢， r 法如果第一项线角，那么 r 法加一百八十度，它在第三项线哦。 而贪点法是啥呀？横纵坐标之比一项线，这个散和 cos 是 不是都是正的？横坐标都是正的，而第三项线呢，都是负的，他们是同号的，那所以他们之比都是正的，那我就可以直接划等号了。 也就意味着贪点法呀，他每转这个半圈只是一样的，或者说他的周期为一百八十度啊。周期这个后面也是会讲的，有的学校可能提前学了。 那所以其实我画这个摊位时候，我就以一百八十度为标准，看他转了多少个一百八十度能更接近这个锐角了。先把这个六百八十六百度给他画小一点，不管正还是负，先画小，最后再定这个正负。这是一个思想喽， 来口算一下嘛，一百八十度乘二是三百六十度，一百八十度乘三十一个哦， 五百四十度呀，而六百度和五百四十度之间就差了一个六十度，所以人家直接等于 tangent， 哎，六十度了。 那最终的结果呢？就是一个根三，他俩一加答案直接选 a， 完美。 ok， 我 们再快速算一下，这个一杠二。哎，让你算，这玩意 刚刚是给了具体角度，现在是这个啊，具体是多少分之派？那四号猫，但是大家也快算一下吧，我们再数一下这个公式。那首先第一个，这个六分之五派，好家伙，他是在这个第二项线的，那我们刚说了吗？三，这玩意我直接等于派减去个六分之五派， ok， 即变无变符号。看象限呢，我们先不管它变不变，你先把它写上，因为我需要把它画成一个锐角，锐角的三角数你是知道的，把它画完之后，前面这个正负你再确定一下就 ok 了呀。 哎，因为这个派是一个偶数，是二分之派的偶数呗，不变，那前面正还是负的嘞。刚讲过，这个六分之五派是第一象限 哎，第二项线派减六分之五派是一个第一项线，那所以前面就不用加符号，直接就是一个正的， ok， 同理，那继续这边三分之四派可以看成一个 cos， 哦， 三分之派加上了一个派，哎，那这个派又是二分之派的偶数倍了，所以这一坨呀，它还等于一个 cos 三分之派 几变五变。那第二句符号看象限，三分之派是第一象限三分之派加派第三象限 cosine 值取决于这个横坐标的值一三象限横坐标值是一号的，那所以前面需要加一个符号，也有第二个画出来是负的 cosine 三分之派， ok， 最后一个 cos 负的四分之十五派，哎，其实我根据它这偶函数先把它化成 cos 四分之十五派，哎，我看这个符号不爽，先把符号去掉。那接着呢，别忘了， cos 这玩意，它经过二派的整数倍三角函数值是不变了，那所以二派是减四分之八，那直接，哎，再来一个二派四分之十六，所以它等于这个 cos 四分之十五派，再减了一个四分之十六派， 哦，那就等于靠在负四分之派，或者说靠在四分之派嘛，所以这个整理就是靠在四分之派。 最后带一下是不是就算出来了呀？因为全化成锐角了。那说白了，咱们诱导公式就是把所有的函数先化成锐角，那个正负你最后再确定就 ok 了。那最终的答案就是一个二分之根二， 具体这些特殊角的三角值是多少，我这里就不讲了，这个非常简单。 ok， 那 最后这个一杠三留这个作业题，大家看这个同步讲义，直接就答案 题型二条件求值，就是题目先给了你一个这玩意是多少？这玩意是多少？让求某个式的值。不像第一种题型，我们是直接哎，让你求某个玩意的值， 而是先给他个条件，再求其值。这个东西可能比起第一题稍微有难度，因为人家绕了一个弯。我们先看二杠一嘛，他给了三，这玩意是三分之一，让你敲出来。这 这这，我看看，看不出来呀。即便我变负方和相线，那我是不是需要观察括号里面他相差了二分之派的多少倍啊？ 但是人家也换了一个正负型，发现没有，这边阿尔法前面的系数是一个正的，而这边前面系数是一个负的，所以你不仅是差了一个二分之拍的整数倍，并且呢，还取了一个正负号，给他做了一个这么变换。那这种题最难的就是你要看出它究竟是怎么变的。 有同学可能开始这个整活了，开始瞎写，搞了一顿，但我就送你两个字，咋整呢？我不就是看这两个整体有什么关系吗？ 高中数学把一个东西看这个整体，请把那两个字扣在弹幕里。哎，每天起床啊，五日三省吾身。今天怎么没有换言今天怎么没有换言？今天怎么还没有换原。所以就两个字，换原嘛。我令他为这个 哎， m 吧，应他为 n， ok， 他 俩既然都有个正负 r 法，那我直接你会发现 m 加 n 等于啥呀？ r 法负 r 法消掉了，这是负三分之三派，四分之派，哦，就是一个负的四分之二派就是负二分之派啊。那所以现在这个条件变简单了， 相当于知道三 m 等于三分之一，如果你扣在负二分之派减 m， 这下是不是一目了然了吧。哎，请把六六六扣在弹幕里， 这个变化称之为神奇呢。那接着，呃，这 cosine 咱们说是个偶函数，所以我看符号不爽，先给他化成一个 cosine， 把符号提出来，哎，三角函数值不变，它是偶函数哟， 这个真的很好用，那接下来我只需要二分之派的一倍哦，基本为原符号看象限，它是二分之派的一倍啊，所以是要变的，那就是一个三 m， 那 符号看象限，我假设这个 m 是 第一象限， 三 m 是 一个。哎，第一项也毫无疑问，正的二分之派加 m 是 第二项线，第二项的 cos 是 一个负的了吧。哎，所以前面一定别忘了我加个符号， ok， 那 么最后的答案就是负的三分之一，完美。 所以这个二杠一啊，就是一类稍微复杂的题目，因为需要给大家看出来这两坨之间的关系，这个整体的关系。那咱们的一般思想呢，就是换元。 那接着二杠二，这个其实比二杠一更简单嘞啊，他换人都不需要换。大家大概观察这个题目到底在考啥，你看，前面给了这一坨，看着挺吓人，但是人家是阿尔法，加了一百八十多， 九十多二倍即变偶变，所以不变。那前面化简出来，你先不管正负，他肯定是一个算阿尔法的式子。哎，正负不知道， 那这边考塞加他哦，九十度积变，他要变了，也是关于萨尔法的式子，正负号你先不用管，所以根据这么一坨，你肯定可以把这个萨尔法求出来， 相当于知道萨尔法的式。我要求这坨，那么他肯定是关于一个萨尔法或者考塞尔法的式子，是不是就 ok 了呀？其实他考察的是同角三角函数的关系呢？我知道萨尔法要求这一坨化解一下，还是关于萨尔法考塞尔法的式子，同一个角都是阿尔法， 所以遇到公式只是一个工具，把一个角从一个任意角转化成了锐角，进而用这个同角的三角函数关系就能算了。哟， ok， 那 这个题的答案呀，各位小小猫，我放在了这个同步讲义里面，大家可以在评论区里面领取，学会了 听三化简计算。那首先一个比较常规的三杠一，这种考的太频繁了呀，来，首先原式等于写上， 哎，我不想写这个解了，考一百四十九吧，少个一分， ok， 然后第一个这玩意，哎，我看他这个符号不爽，我先把这个符号提出来吧。那变成了一个负的三阿尔法加上一个二分之派， ok， 那 第二个呢？哎，这个东西我们直接记变五变，因为都是正的，阿尔法是第一项线，然后这个三是一个基数，所以基要变，那应该是个三阿尔法，那前面是正的还是负的嘞？ 哦，我假设阿尔法第一项线，那萨尔法应该是个正的阿尔法，加二分之三派是个第四项线， cosine 也是个正的，那所以这里面就是一个萨尔法，它前面不用加符号， ok， 那 最后这个贪特派减阿尔法，刚说了吗，贪特这个加上派是一样的，那就应该是一个贪特负阿尔法， ok， 而贪特负阿尔法呀，贪特又是一个基数，是基函数，那所以应该是负的贪减阿尔法喽。 那分子我们先摆这，等会再继续化解，然后看分母吧。哎，这是它的负而法减派，我看这个符号不爽呀，你看这两个是不是都是奇函数，所以先把符号提出来，哎，贪着忒 派加尔法以及散派加尔法，接下来根据这个即便为负函数看向线，分母是不是也化解出来了呀？ ok， 那 所以最后这个分子出来这一项，毫无疑问 是 cosine r 法，所以还是负的哎， cosine r 法，这是第一项整体的结果哟，因为即便偶变嘛，咱这个二分之派基数，那所以我应该散变成 cosine。 而二分 r 法加二分之派，它是在第二项线的，第二项线的散值是一个正的， cosine 值也是一个正的。哦，那所以呢，它们就不用加符号了，而前面这个符号你照抄就 ok 了。然后第二个散而法，咱们照抄， 别忘了还有个 tangent 负二法，它是奇函数哎，所以直接什么奇变不变方向线呢，不用管奇函数，直接负的 tangent 二法， ok， 那 这个分母呢？分母进到这一步了呀，然后毫无疑问，这边是 tangent 二法，刚结束过了。 tangent 二法，它是以 pi 为周期的，那所以赚了 pi 的 整数倍不变，那第二个三 pi 加 r 法，呃，这个就要想一想了，既变偶变，那毫无疑问是三 r 法， 但 r 法如果第一项线的话，那这个散 r 法它是一个哎，正的，而 pi r 法第三项线 散，它的话是一个负的，所以前面需要加一个符号，那是不是就好了呀？ ok， 最后你再把啥呀，把这个贪点法画成一个散，除以 cos， 哎，不用画，这边都是 cos 法，直接一消是不是就好了呀？那所以最后的结果就是一个负的 cos 二法，哎，舒服了。 所以这个三杠一啊，就是一个常规的化简计算，还有些不是那么常规的啊，你看下面这个东西吧，五分之派，五分之二派，这我不会算他， 哎，咱也不是上海考试，也没有计算器，也用不了，那咋办呢？观察一下嘛，我们这节课学的是预导公式对不对？所以这个肯定要预导公式，你到了考试时候人家不会告诉你哎，这个题考的是预导公式，所以大家尽量自己多去总结一下这个题型，按照我的这个讲义， ok， 那 首先别忘了，圆是等于 你不想写这两个字，你把题目就抄一遍这个式子，那继续。这乍一看我是真的算不出来哎，但是你再观察一下，五分之一派，五分之二派，五分之三派，五分之四派，这是一个啥呀？ 啊，不要在弹幕里扣等差数列啊。这是高二才学的小二同学，可能小学初中时候接触过我们主要找什么？哎，他和咱们这些和诱导公式的关系。诱导公式不就是二分之派的整数倍吗？那里面有没有哪些式子他和二分之派的整数倍有关系嘞？ 最简单的五分之派，五分之四派，这个四和五是不是就缺了一个耶，随着两个相加，是不就是一个派呢？哦，有思路了吧，我把第一个写成一个 cos 派，减去五分之四派，然后咱再和这个 cos 五分之四派，因为他是个好基友啊，都和派有关系，把它写到一起吧。 那现在能看出来了吗？各位小小猫，这个 cos 拍见五分之四派基本没有符号，看强线，你们自己化简一下，我这里不解释了，它化简了是不是就是负的 cos 五分之四派呢？哎，那我再加它，正好约掉了，开心了呀， 就是一个日常生活中很常见的零了哎，那最后还剩下这个五分之二派，五分之三派是不是一样的呀？他俩相加这个是派，那么他俩其实也互为相反数，所以最后的结果就是零耶，两个零哎，放到一起还是一个零， 最后的结果就是一个大大的零。完美 题型四、三角形相关大家在三角形里面就记住一件事情，三角形 a、 b、 c 中，他们三个内角 a、 b、 c 的 和等于派，好小不小，这个派就是二分之派的整数倍哎，十二分之派的二倍哟。 而在三角形遇到公式里面，咱是不是就研究这种二分之派整数倍的一个关系呢？那所以就会出很多考点了。来，我们直接看题，四杠一，多选题，在三角形 a、 b、 c 中，下列等式一定成立的是哪一个嘞？ 那首先， a 选项这玩意儿，它们相等，哎呦， a 加 c 和 b 它有啥关系嘞？哎，别忘了刚刚是不是说了，三个内角相加是 pi， 那 所以 a 加 c 咱直接写成一个 pi 减 b 哦，那说白了， a 选项是不是想让你证明三 pi 减 b 等于三 b 哦？ s 减 b 等于 s b， 它们等吗？ 他们可太懂了呀，根据三角函数的导公式，结果不推了，前面推了很多次了， ok， 继续。那 b 选项是不是也一样的呀？它还是想让你证明这个 tangent 哎，派减 a 等于 tangent a， 这个是负等于吗？啊，你们可以自己判断一下撒，猫，马上公布答案，那继续，我把每个选项化简一下，要遇到预导公式的，大家自己用一下判断一下那 c 选项，这里也别吓到嘛， a 加 b 还看着一个派减 c 就 好了，那所以人家想让你证明是不是散 二分之派减了一个二分之 c， 咱打一个括号表示呢？它是一个整体，等于这个 cosine 二分之 c， 哎，即便我们用符号看象限，这个肯定是等于的呀， 因为前面是二分之派哎，二分之派一减，那肯定是要变号的，所以散变成一个 cos， 而符号看象限，这个二分之 c 第一象限，二分之派减二分之 c 还是个第一象限呀，那比如二分之 c 这个三十度，那九十度减三十度还是六十度，它还是第一象限的， ok， 大选也是一样的，这个大家自己判断一下吧。四号猫马上公布答案， ok， 可以 点击个暂停键，那四号猫要公布答案喽，四杠一，最后的答案就选 a c 来做对的，小小猫在里面扣一个六六六。 好，我把第一步关键的化简写出来了，接下来是用到诱导公式的环交，大家自行去诱导就 ok 了，把它引诱到咱的这个锐角里面，是不是就挣出来了呢？ ok， 那 这个四根二其实方法一样的，各位，他问你一个三角形形状的问题，这个东西啊，在后面学完平面向量以及解三角形问题考的特别特别频繁，三角式说白了就是为这个解三角形做铺垫的呀， 那我带大家去看一下嘛，他说都是内角了哎，给了这个十字，问你三角 a、 b、 c、 d 是 什么角？我们观察一下，这边是二分之二，他们这个结构这边是一样的，只有这里的分子不一样 啊。左边呢是一个 a 加 b 减 c， 右边是一个 a 减 b 加 c， 我 看它不爽，那我把这个 a 减 b 加 c 和前面形式写成一样的，写成 a 加 c 减 b 吧。那这样是不是都两个相加减去一个数，形式一样了？ 而在三角形里面， a 加 b 加 c 等于派，那所以这个 a 加 b 是 不是可以换成派减 c 了呀？ 而这个 a 加 c 照出画瓢，它是不是换成了一个派减去 b 了呀？ 那最前面这个整体就是派减了二 c， 再出了一个 c。 好， 有了这个思路，我们就可以化简了。那左边这个三，哎，二分之派减二 c 是 不是等于三啊？右边这个二分之派减了一个二 b， ok， 那 根据这个三叉树的导公式，我就不展示了，是不是直接化成一个 cosine c 等于 cosine b 了呀？ 哎，怎么化简呢？有些小猫想知道的，咱们其他会的同学在弹幕里面扣一下嘛，这个很简单哦，是不是把这玩意给它开出来， 那就是一个三。哎，我还是忍不住给大家讲一下，二分之派减了一个 c 呢，他不就等于 cos 吗？一道公式推一下就 ok 了。好，那在一个三角形里面， cos 等于 cos， 必，那毫无疑问，这个 c 应该等于 b 了吧？ 哎，当然这个也不一定嘛， c 可能弄一个 b 加上一个二派也有可能，可是呢，人家是个三角形，意味着咱这个 b 和 c 的 范围是不是属于零到派耶？而在零到派里面，两个角它的 cosine 要相等，它们两个只能相等。 这么去想，首先它们都在这个同一个象限，因为领导派要么第一，要么第二象限，而 cosine 这个东西，它在第一第二象限的值是不一样的， 第一象限是正的，第二象限是负的，它们想相等，那说明 c 和 b 在 同一个象限，首先同一个象限，第二个它们 cosine 之后相等了，那它的横坐标是不是一样的？横坐标一样，相应的 都在一个象限，那其实在单位上的位置都是固定的，那 c 就 等于 b 了嘛，所以毫无疑问就是一个等腰三角形，选 c 舒服开心。 那提醒五，咱们最后压轴出场的综合应用就遇到公式，可能会和前面的同角三角函数的关系结合起来考。 哎，现在还好，等你们学完三角函数的变换，这个综合它更综合了。来，首先看五杠一吧。啊，废话不多说， tan 的 pi 加 c 等于二，那好不容易化解一下，是不是 tan 的 c 等于了一个二呢？哎，刚刚讲过，这个就不多过多赘述了，主要是我这个东西怎么化解呢？ 呃，三的三次方 c 塔，呃，三的 c 塔，呃，这扣在三次方 c 塔，这这这，这咋整呢？观察次数，各位在上个视频讲过，咱们在三三角函数里面有个奇次式的思想。哎，奇次式哟， 那观察一下，这个分母是不是都是一个三次呀？哎，他很齐，而分子嘞，这项是三次，但这项是个一次，他不齐，所以你想办法把这个一次给人家化成一个三次。那我是不是需要再凑一个二次呀？在三角函数里面有个纯天然的二次的式子， 请把那几个东西扣在弹幕里，是不是散放 c 塔加敲再放 c 塔等于一啊？可能这个说法不太好扣啊，不过没有关系，相当于就是一得代换一等于 三 c 的 平方加上 cos 三 c 的 平方， ok， 那 相当于你把一个零次或者一个常数变成二次，无中生有生出来一个二次，那是不是把它旁边配一个三方加 cos 方就行了？哎，三号猫实在是太懒了。这个题是个小题，人家也不看我过程，那我就简写了。 这个式子直接化成了，哎，三的三，三次方 c 塔，我直接抄一个 s 的 三次方，哎，表示三次塔的三次方这个大题不敢这么写啊。那继续这个 s 照抄，我们配了一个 s 方加 c 方，对吧？ ok， 那 接着分母呢？哎， c 的 三次方加上一个 s c 方，那接下来人家是不是个奇次式了呀？ ok， 你 可能看了还感觉不是很好，那我们再化解一下嘛，这个分母照抄 分子和同位相，那是不是二倍的 s 三次方加上 s c 方，这样都是简洁一点，那接下来该怎么操作啊？我知道了， tangent 要求一个关于 s 和 c 的 奇次式，请告诉分子分母做一个什么处理。 哎，同出 cos 塞塞塔的三次方就行了，相当于同除了一个 c 的 三次方，那就等于什么嘞？哎， s 三次方除以 c 的 三次方，是不是等于 tan 三次方呀？那就是二 t 的 三次方。 t 是 啥呀？ t 是 tan 塞塔啊，可以看上一个视频，骑士的思想再加上一个， 哎，这边是一个 t， ok， 这是一个一，再加上一个 t， 那 就舒服了嘛，到了这一步，你再把这个 tanthan 等于二，也就 t 等于二带进去，答案是不是算出来了呀？ ok， 最终的答案考算一下，就选大完美。那接下来我们看一个五杠二， 他给了个阿尔法，是属于负二，分态到零哦，给这个象限说明肯定后面要考虑下正负了，然后来了个这玩意。各位，这啥呀，这是一个，你看一下，都是二次哎，但是呢，我这边是一个贪且，而这边是一个散。那可能有同学这么去想，哎，我把它化成一个散除以 cos 吧， 相当于切化前把这个 t 呢化成一个 s 除以 c， 然后都统一成 s 除以 c， 这也可以，但是你不妨先观察一下，这里面是不是本来没有 cosine， 只有 tan 的 和 tan 呐，它是一个关于 tan 的 和 tan 的 一个二次式，所以我其实能得到 tan 的 和 tan 的 关系。 日思方梦，你在说啥呢？我咋听不懂，哎，那是因为这个数字题目写的太复杂了，我给大家简写一下，你看，我偷工减料，其实偷的挺好的，哎，变成一个 t 方减去三倍的，哎， t s 减去四 s 方等于零， 舒服了，这下你看出来了吗？因式分解，各位，你看，我这么一分，这个 t 方只能分解成 t 乘以 t 了， ok， 那 这边四倍 s 方，那是不是一个是负四倍的 s， 一个是 s， 两个式子一乘哎，中间这个正好凑出来了哦， 舒服了，万事大吉。那所以我化简一下，就是一个 t 减去四 s， 然后乘了一个哎， t 加上 s 等于零，哎，那所以 t 和 s 的 关系呢？得到了， 那这样是不是就舒服了？ ok， 接下来大家操作一下啊，我相信接下来应该不难，并且呢大家再看下这个范围，咱其实可以把一个排除掉，最后呢，这玩意再利用导根式化解一下，答案就出来了。 ok， 那 这个答案呢，我放到咱的同步讲义里面，在评论区置顶领取就好了，但做出来的同学也可以直接把答案扣在咱们弹幕里。 那我们下个视频接着讲这个三角函数的恒等变化问题，以及一些妙招思想。

哥们，诱导公式知道是什么吗？诱惑什么？诱惑公式有多诱惑？ 鸡变藕不变，请我炸酱面。行同学再来一年吧。啊，好嘞，讲一下诱导公式，其实这一章呢，你理解之后啊，特别的简单，什么都不需要背，你看我给你出的这些题啊，都这么长，为什么呀？就为了折磨？呃，就为了让你们学会 懂了吧，特别简单是吧，听完这堂课啊，你应该说是都可以会了。来，首先第一句话啊，基变偶不变。 那什么意思呢？什么叫基变不变啊？这个基指的就是基数加上一个字，倍，这个偶呢，指的是什么？哎，对喽，偶数倍。 什么叫基数倍啊？一三五七九，偶数倍呢？二四六十是不是？那是谁的倍数啊？你要记住了，是九十度，或者说什么二分之派的倍数 的几倍。举例子，二百七十度是它的几倍，是三倍，这是不是就叫做基啊？ 那如果是派，是他的几倍，注意了，是两倍，这个不要错啊，初学者很容易错，这是偶，哎，老师，为什么？这不是一个派吗？但是说的是二分之派的几倍，这就是第一句话，即变偶不变，你就学完了， 看好啊，我要给你举例子了，就拿第一道题来举啊，这是不是有一个二分之派，这是几倍，这是一倍， 一倍积变。哎，老师，这个变是什么意思啊？就是把 sun 啊变成 cosin， 那 如果原来题里面写的是 cosin 呢，就变成什么 cosin， 这里边你看啊，因为是一倍积变，所以我要把 cosin 变成什么 cosin， 然后干嘛啊？然后直接把 alfa 抄下来 就完事了。哎，你说老师，二分之派呢？二分之派让我用几遍，五遍给弄没了。那你再来啊，看着，我再给你写一个都擦掉啊。 sun 二分之派，剪了发，哎，你说老师毁了，这有个符号啊，没关系，还是第一句话，即便 cosin， 然后呢？ g 变， o 变，直接抄啊， cos 阿尔法。注意了，此时这个正符号对于我来说， 干嘛我根本就不看，就是我眼里啊，根本就没有符号，就我就直接抄下来，再来啊，三负二分之派加阿尔法，你说老师毁了，这是负的， 没关系啊，是不是正符号在我眼里根本就没有，是不是一倍啊？积变 直接抄，哎，老师再来一个负二分之派，减 alph 干嘛 cos 啊？ alph？ 为什么积变， cos 变成 cos， 然后呢？符号根本不看，直接抄下来， 这就叫第一句话，既变偶不变符，呃，就没了啊。但是这个问题出在哪了？你看这四个式子是不是一不一样啊？但是为什么结果一样呢？因为咱们还没有写完，就要说到下一句话了，叫做什么？符号看象限， 符号看象限，这句话是什么意思呢？首先啊，咱们先画一个象限， 第一项线，第二项线，第三项线，第四项线，然后写什么呢？ s， c， t， st， c， 这是我惯用的一个写法啊，这个 sin， cos and tan 呢，就是代表这些字母。什么叫 s， c， t 啊？就是第一项线啊，第一项线，这个 sin， cos and tan 呢，都是正的。 第二项线呢，只有什么是正的？ sin 是 正的，第三项线呢，只有 tan 呢，是正的。第四项线呢，只有 cos 是 正的。这个东西啊，其实是根据这个 就是三角函数的图像总结出来的，你看看，这是 sin 的 图像，你看零到派是不都是正的呀？ 就这么着来的，你呢？我呢？这，这是什么？小孩们还跟我说过什么全是天才。这个也可以啊，也挺好，就是你爱怎么记怎么记，反正我比较喜欢的就是 s c t s t c， 就 用这个字母就都来了， 全是天才是什么意思啊？第一项现在是全就都有，然后是天才，这么着就来了，是天才。那你看着啊， 哎，老师，这句话什么意思？就是符号看相线啊，你说这个我已经懂了，什么叫符号看相线啊？看好了，无论这个阿尔法啊，就是当你在用这个公式的时候，这个阿尔法无论是多少度的角啊，它就是一亿度负一万度，无论你爱多少度多少度啊，一律看作是锐角， 就是一律看作是锐角，只要我用这个公式就给他当做锐角。这时候你就想了啊，二分之派加上一个锐角，也就是说九十度加上一个锐角啊，是第几象限？你说老师，我好像就是说反应不过来了啊，你可以人为的啊，你就让这个阿尔法是多少度啊？一度 或者说十度都行，你不就好算了吗？你想想啊，九十度，假如说啊，九十度加上一个，这个，这个十度是不是一百度呀？ 那你想一百度是不是第二象限散第二象限是不是还是正的？就说啊，这个东西它是什么？它是正的，所以说我前面这个符号啊，也得是正的，所以散二分之派加阿尔法就是 cos 阿尔法，懂了吗？ 再来啊，再来，哎，你说老师，咱，咱看第二个啊，散二分之派减了法。首先我第一句话啊，咱们刚才用的第一句话叫做即变无穷，写出来了也是 cos 了法。那你看啊， 二分之派减了法，也就九十度，九十度减去一个什么。我说了啊， alfa 都是什么角？都是锐角，那我就让 alfa 多少度，十度行不行？你想想九十度减十度， 八十度第几项线？第一项线三是不是还是正的？所以前面还要加什么号？正号。所以啊，还是什么？ cos 阿尔法？看啊，这个是 cos 阿尔法，这个也是什么 cos 阿尔法。再来啊，咱们刚才又说了这个了， 微乱啊，只能说是微乱写在这啊，散负二分之派加 r 法等于什么？积变偶变考散 r 法，我直接抄了。然后呢， r 法多少度啊？十度，这是多少度？负九十度负九十度加十度是多少负八十度负八十度是递减相减 第四象限。第四象限只有谁是正的？ cosine 是 正的， cosine 是 正的，那我这 sine 就 应该是什么？就应该是负的。所以啊，注意了啊，原来这个函数是正的，你看啊，原来这个函数是正的，我就要在前面加什么号？正号， 但是加正好就跟没加一样，所以不管了。原来我这个函数是什么号是负的，我就要在前面加什么号？符号，所以你看啊，这个东西的最终结果变成了什么？负 call 三阿尔法，你能不能听懂现在？所以说啊，这个符号看象限看的是什么啊？这个符号看的是什么？是看的，原来这个函数就是原来这个式子正还是负，原来这个式子是正，就比如说这个啊，是正，它前面都是加正号， 如果原来这个式子是负，哎，老师，为什么负啊？因为 sin 负八十度，第一次相切，它是负的，所以我要在前面加什么号？负号。那你再来啊，咱们还有一个是什么？嗯，这呢，哎，不行了，乱的我都不行了，重写啊， 三二分之二减 alpha， 那 这个哦，负，这有个负啊，我给你出了四种情况。那你就想啊， 首先第一步，基变哦不变， cos alpha 直接抄下来的。然后呢， alpha 多少度啊？是十度，这个是多少度？负，九十度，负九十度减十度，是不是负？一百度负一百度，第几项线？第三项线， 第三项线，只有谁是正的？只有 t 是 正的。但是我这道题是不是这是 s 呀？所以说它是负的，所以说前面就要加一个什么号符号，听懂没有？ 这就是奇变偶不变符号看象限就学完了，剩下的就是说什么，就是解决这些题， 你说老师我好像没有看太懂啊，那咱们做题来啊，做题 第一题， sin alpha 加上二分之派。首先啊，二分之派是不是 g 啊？直接写 cos alpha， 然后呢， alpha 加上二分之派，第几项线？第二项线，第二项线。原来我这个东西是不是正的呀，所以前面啊，不需要进行任何的变化，加上什么 cos 二分之派，减 alpha， 二分之三派，这是不是积啊？因为是几倍三倍，所以积变偶不变，直接抄啊。 sum alpha， 但是没完呢，积变偶不变，符号看象限，二分之三派减 alpha， 二分之三派是不是在这啊？减一个 alpha 啊，就是减去一个锐角，应该是第几象限？第三象限。 老师，为什么你要转不过来弯啊？你就干嘛二分之三派，二百七十度减去 alpha， 减去一个锐角，也就是减去十度，是吧？二百六十度。那你就想着第几象限？第三象限，第三象限， cosine 是 不是应该是负的？所以我要在前面加一个什么号 符号能跟上吗？所以啊，分子就变成什么了，就变成 cosine 减 sine， 分 母呢？ sine 加 alphine， sine 加 alphine 是 什么？ pi 是 基变，偶不变，所以就是 sine alphine。 老师，为什么？ pi 是 不是偶数是两倍，所以偶不变？ sine 还在，还写成 sine alphine， 抄下来 符号看下线 pi 是 多少度？ pi 是 一百八十度，加上一个 alpha， 是 不是第三象限？第三象限只有 t 是 正的，所以这个东西是什么？是负的？所以我要在前面加上一个什么号符号，也就是它啊，这个东西变成什么？负的？向量 f。 再然后啊， cosine 负 alpha 等于什么？等于 cosine alpha？ 老师，为什么？因为 cosine 图像长这样，它是偶函数，偶函数是什么？ f x 等于 f， 负 x， 就 相当于直接把这个符号怎么拿掉， 所以 cosine 负 alpha 就是 cosine alpha。 那 你看啊，分子是 c 减 s， 分 母呢？也是什么？ c 减 s。 最后答案 一，就这么着。那第二题，散派减 alpha 即变偶，偶不变散 alpha 符号看下线，派减 alpha， 一 百八十度，减去一个锐角，第几项线？第二项线，所以这个散还是什么正的不用管。下一个 cosine 二派减法怎么办啊？记着啊，只要出现二派，直接删掉 cosine 出现二派 cosine 或者说 sin 呢？ 只要出现了二派就能直接删掉。老师，为什么？其实这是因为什么？ cosine 和 sin 这个图像呢，都是以二派为最小正周期， 所以呢？加减二派为最小正周期。所以呢， cosine 六派 就是 cosine 零。为什么加减二派都无所谓，我就加减几个二派，三个二派， cosine 七派就等于 cosine 派。为什么呀？因为我减去一个什么六派，加减二派都无所谓。所以啊，你看着这个 cosine 二派， cosine 二 pi 减 alpha 就 等于 cosine 负 alpha 就 还等于什么 cosine alpha。 因为咱们上道题说了啊，是偶函数，所以这个东西啊，就是 cosine alpha 啊，分子写成啊， cosine alpha 前面那个是什么？奇变？偶不变算 alpha， 再看后边啊， cosine 负 alpha 加上二分之三派来 是不是积呀？因为是三倍，所以啊，积变 sum alpha 就 直接抄啊，不用管正负号。然后二分之三派 减去 alpha， 也就是减去一个锐角二百七十度啊，减去一个锐角，你每次转换不过来，你就给它转换成角度二百七十度，减去一个锐角，是不是还是正的还是负的？是不是负的呀？ 所以啊，要在前面加个什么号？符号也就这啊， sine alpha， 把符号提前，再然后看分母，分母干嘛积变 sine alpha， 然后二分之派减 alpha 是 第几项线？第一项线，第一项线， cosine 是 不是正的？所以说前面不需要加任何符号， sine 负派减 alpha， 基变偶偶偶不变 sin alpha。 然后呢，符号看象限负派啊，在哪？负派是不是倒着走啊？这是负一百八十度，这是负一百八十度啊， 然后他说什么呢？再减去一个锐角，你比如说减十度，就是负多少度，负一百九十度，一负一百九十度，是不是跑这来了？第二象限，第二象限人家原来是不是就正大，所以不用管。所以这，这还是什么 sin alpha 刚刚刚刚直接消掉了。所以啊，这堆一化简是什么？负的 cosine alpha？ 人家问你什么呢？ f 三分之派就是 f 六十度啊， cosine 六十度是不是二分之一啊？最后答案负二分之一，就这么着， 能不能听懂？就每道题啊，都这样，你说你把这种就这一大串的题会了再考你什么三二分之三派加 r 法，那多简单呀。那这个呢？接着话讲啊， sin pi 加 alpha， 积变 o 不 变 sin alpha， 但是没完啊。 pi 加 alpha 是 第几象限？哎，我听见你说的了啊，你说第三象限，嗯，第三象限它是不是应该是负的啊？所以要在前面去干嘛？加个符号，然后 cosine 三 pi 加 alpha， 我直接写成什么？我直接写成 cosine pi 加了吧。哎，老师，为什么呀？因为我说了啊，能够加减什么？加减二 pi， 我 这么着写是不是相当于把这个角给它变小了就好算，懂了吗？ cosine pi 加了吧，来基变偶偶偶偶不变， 是不是 cosine alph 再然后没完呢啊？ cosine pi 加 alph 就是 既变偶不变 cosine alph， 但是没完。符号看象限 pi 加 alph 是 不是还是第三象限？第三象限它是什么？它是不是负的？所以我要在前面干嘛？加个符号？ 哦，这儿还是乘法，所以把这儿啊，把这儿删了就得了，也就是负三 alpha 乘以负的 cos alpha， 然后呢？ cos alpha 二分之派加 alpha， cos alpha 二分之派加 alpha， 写这儿啊，积变 cos alpha， cosine 二分之派加了法。符号看象限，二分之派加上一个锐角是不是第二象限？第二象限 cosine 是 什么？是负的，所以要在前面加一个什么号符号，也就是负的三 alpha， 这就是分子 符号，看象限啊，要看原来这个函数，就原来这个是正的还是负的，如果是负的，就要给你得出来的这个结果， 加个符号再来这啊，三二分之五派减 alpha， 我 直接写成三二分之派减 alpha， 为什么呀？因为我减去了一个什么二分之四派， 三二分之派减 alpha 来积变 cosine alpha 符号看象限，二分之派减去一个锐角是不是还是第一象限？第一象限它是不是还是正的？所以啊，就直接写 cosine alpha， 然后 散负派减 alpha 积变，偶偶偶偶不变是吧？散 alpha 直接抄，然后呢？负派减 alpha， 没事啊，忘了你就画图。负的一百八十度，我是不是得这么着走，哎，走着走着到这了，负一百八十度，他说减了法减去多少度，减十度，负多少度，负一百九十度，是不是跑这来了？然后怎么记得刚才说过呀， 也就是说第二项线它是不是正的啊，正的就不用管了，就直接把这个化简的结果直接往上抄 sin alpha， 那 你看啊，看着啊，这个哒哒复为正了对不对？然后 sin sin cosine， cosine 消掉了，所以最后答案啊，负的 sin alpha 有 没有学会啊？你看咱们这其实做了一百道题了，是不是继续 一定要学会啊？你学会了，你这种东西你说根本忘不了，你要没学会呢你，你这道题蒙对了，下道题你可能蒙不对了，再来啊，第四题，哎，你说老师我聪明了啊，我直接碰见二排，我直接给删掉行吗？没问题，你删掉之后是不是算负 r 的 话， 这时候就来了啊， sum 负 alpha 等于负的。 sum alpha 为什么？因为因为它是奇函数。咱们刚才说啊， cos 负 alpha 等于什么？等于 cos alpha， 因为它是因为，为什么这么着写？因为它是偶函数。那这个东西呢？它是什么？ 奇函数，你也可以怎么记啊？就奇函数，直接把这个符号干嘛？哎，提出来了简单不？奇函数就提符号，偶函数干嘛消符号。 嗯啊，继续给我讲，累了都。这个啊，这是什么？负的？ sine f。 然后呢？看啊，该来看这个了， 基变，偶偶偶，怎么着？偶不变，也就是它是变成什么 cosine alpha 先抄下来啊，还没完呢，基变不变符号，看象限派加 alpha。 第几象限，第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的，所以要在前面加个什么符号？ 我说的有点快啊，再来看这啊，哎。积变，所以是什么？ sum alpha 符号，看相线二分之派加 alpha 是 不是第二相线，第二相线 cosine 是 不是应该是负的？注意了啊，看，原来是正的还是负的啊。 cosine 是 负的，所以我要在前面加上什么号，哎，符号， 这个 二分之十一派减 alpha， 我 立马写成，什么 cosine 二分之三派减 alpha。 哎，老师，为什么呀？因为我刨出个什么二分之八派，然后你看这个啊，基，基基是吧？基变三 alpha， 二分之三派减 f。 二是第几象限？二百七十度减去一个锐角，二百七十度减十度，二百六十度二百六十度，第几象？第三象限，第三象限 cosine 是 不是负的？因为第三象限只有 t 是 正的，所以我要在前面是干嘛加个符号。哎呦，怎么这么多呀， 然后呢？看分母啊，这这这个分子刚刚弄完 cosine 派减 alpha， 基变。哦哦哦，不变 cosine alpha， 但是没完啊。派减 alpha 是 不是第二项线？第二项线 cosine 是 不是负的，所以在前面加个什么号符号？ 然后这个三三三派减 alpha 怎么办？我直接写成三派减 alpha， 因为我去掉了个什么二派派减 alpha， 积变 o 不 变 没完呢啊？派减 alpha 是 第几项线？第二项线符号开箱线，咱们还得用呢啊，第二项线它是不是正的，所以不用管了，就还是这个结果，就还是这结果啊， 然后这个，哎呀，积变偶 不变 sine alpha 直接超。然后呢？符号看象限啊，负派是不是负一百八十度啊？负一百八十度，再减去一个锐角减十度。负负负负负多少度？负一百九十度，第几象限？第二象限，所以它还是什么 sine alpha？ 那这个呢？行啊，我已经看，我已经知道你说出来了。二分之派加 alpha 是 不是基 变 cosine alpha 符号看象限，二分之派加 alpha 是 不是第二象限？第二象限 cosine 本身就是什么正的，所以这儿不用改啊。 cosine alpha， 来吧，这都什么玩意啊，负负负负，是不是这个上面没符号了，然后干嘛？ 呃，这个这个，这上边记着啊，上边就没符号了。那我给你写写吧。嗯， s 乘以 c 乘以 s 乘以 s， 下边什么负？ c s s c 所以 啊，你看，咱就消了 c c 一 消， s s s s 一 消，所以最后答案啊，是负的贪占特阿尔法，因为 s 除以 c 不是 t 吗？懂了吗？是不是觉得老简单了现在。 然后这个第五题不中了啊，我也要不中了，这个三阿尔法减二零二五派，我立马啊，我立马写上三，阿尔法减，呃，派， 为什么呀？因为我把二零二四个派干嘛给去掉了？就是阿尔法减派， 能懂吗？就是加减三百六十度啊，加减三百六十度都能去，我就相当于加了一个二零二四 pi， 然后这个呢？ cosine 写成什么？二分之 pi 减 alpha。 为什么呀？因为我去掉了一个什么二分之八 pi 分母写成什么？ cosine 负 alpha。 为什么呢？因为我把二零二四派直接干嘛去掉了。 tanthan， 我 写成什么？写成 tanthan alpha， 哎，老师，这是为什么呀？很简单啊，还是根据周期来决定呢。我刚才说为什么这个加减三百六十度可以呢？因为 sine cosine 的 周期是三百六， 摊着的呢，它是加减派就可以，因为它的周期就是派。注意了啊，摊着的是加减派就可以了，所以我直接就消掉了。那你看啊，咱接着化简。 阿勒法减派即变。哦哦哦，不变算阿勒法，抄下来符号看一下下。阿勒法减派。阿勒法多少度啊？你就当做是锐角是吧。十度十度减一百八十度，是不是负的？ 一百七十度啊，第几象限？第三象限，所以是负的啊，所以在前面加一个什么符号？那 cosine 二分之派减的法呢？积便是吧。 cosine 二分之派减的法，第几象限？还是第一象限，所以不用改啊，分子看着啊，分子就变成什么 负的三乘以三分母呢？ cosine 负 alph， 哎，你说对了，是不就是 cosine alph， 所以 就 cosine 啊，然后呢？再来这个还是 t t 就 写在这儿， 怎么做怎么接着化简呀。啊，这就简单了啊，看着啊，我直接从这分开。这不就出答案了吗？看着啊， s 除以 c 前面加个符号乘以什么呀？ t 分 之 s， s 除以 c。 不是 t 吗？负 t 乘以 t 分 之 s 就 等于负的 三就得了。这就是即变哦。不变啊，符号看象限诱导公式所有的考点了。就是你把这题都学会啊。你这回头看你那卷子上那个单个的那题你卷子上怎么出你单你卷子上也就出个这个。那你是不是都会了？都给我讲冒烟了。

大家好，这个视频我们来讲一下诱导公式，这个诱导公式你如果就要记的话，是需要记九组公式的，很麻烦，所以我们把它化成一句话叫纵变横不变， 符号看象限。当然有些同学学的是什么既变偶变符号看象限一样不没有大的区别，横变纵不变，就是我们等会再去确定那个记几象限的时候，会相对来说会方便一点，本质上没有大的区别。 那这个诱导公式有什么用呢？其实目的就是化解，把负的化成正的，把大的什么化成小的，尽量都把它化到什么一个锐角。这个结论都给大家总结出来，放在这里，那我们去详细来讲解一下这个纵变偶变具体 怎么用。这个纵变偶变里面的纵指的就是外轴的什么轴线角，横指的就是 x 轴的轴线角。符号呢，要去看原来它所在的那个什么，因为变完之后我们把它当做锐角是不是都是正的， 那就看它是不是就没有意义了。再来看这里面会出现加和减，加法呢，就是我们逆时针去转这个角，减法呢就是顺时针走就行了。所以只要你去 明白这一点，我们具体去解析的时候其实也很简单，那具体使用还得看例题，看第九题，阿尔法 bet 的 中间关于外周对称，让我们去求这个值，那好了，你既然给了我这个阿尔法和 bet， 关于外周对称，之前我们学过关于外周对称，这阿尔法和 bet 之间是不是有这样的关系？阿尔法加 bet 是 不是等于二 k 加一倍的什么 pi， 其中这个 k 要属于什么？属于 z， 对 吧？那这就是关于外种，那前面你学的明白了，那后面我们用直接用这个结论就行了。那现在我们来看一下这两个是不是都需要化解？先来看前面这个三是什么二分之五派， 二分之五派我们减去一个 r 法，如何来用诱导公式进行化解？首先看 二分之五派，因为它超过了二派，所以我们交给周期直接给它减一个二派是不是变成二分之一了？它和二分之一派这个是等价的，那二分之一派是不是它属于纵坐标？纵坐标是不是变函数名怎么变？这前面是什么 c， 我 们变考 c， 所以 我们就先给它写成考 c 什么 算法？然后我们再来看一下二分之派减去个算法，他是不要顺时针走，顺时针一走是不是就走到了第一项线？他是正的，所以这个画出来他就是这样的，所以最终的结果就等于什么三分之一，对吧？ 然后我们来看我们要求的这个考塞是什么 better， 因为 better 和 alpha 之间有这么一个关系，那我们可以把我们这个就给它换掉，见到见到 beta 我 们可以给它用谁换？用二 k 加一派 减去 alpha， 是 不是给它换掉就可以了？换掉之后呢，我们发现这里出现了这个什么二 k 加一派，所以我们要用诱导公式 对它进行化解，这个就是派的什么基数倍，派的基数倍就落在了 x 轴的什么负半轴， x 轴负半轴，那首先横坐标，横是不变的，所以它就等于 cos 什么 r 法。然后我们再来看 这个负 x， 除了负半轴再减去一个 r 法，是不是顺时针走？这么一走是不是就走到第二项形了？第二项形的原来是余弦值，所以是负的，这里我们添上符号是不是？行，那到这一步之后，你看一下负的 cosine r 法，而 cosine r 法 我们前面是不是已经求出来了？所以它就等于负的什么三分之一，最最终的结果就选 b 选项 好了。接下来咱们来看第十题角。 abc 是 三角形的内角，那内角的话，这肯定要用到我们之前学的这个结论，就是三角形的内角和是不是等于一百八，那高中现在我们把它转化成弧度值，那也就说 a 加上 b 加上 c， 是 不就等于什么 pi 是 吧？那现在看这些选项里面有 a 加 b 有 c， 对 吧？当然还有 b 加 c， 这里我们可能要对它进行什么变形，那比如说，那你要 a 加 b， 那 a 加 b， 它和 c 有 什么关系？不就等于 pi 减去 c 嘛？那以此类推，你这 b 加上 c 是 不是就等于什么派减去 a， 对 吧？那现在我们来看一下，根据这个我们来一个选项一个选项来进行化解。那考塞括号谁 a 加上 b， 是不是见到它用什么派减 c 换它就等于派减 c 对 不对？好了，派减 c， 我 们来看一下如何用诱导公式来进行化解。派是不是 x 轴的负半轴，那是不是横不变，那它就不变函数名，所以先写成 cosine， 谁 考点 c， 然后再来看派减去了 c， 对 吧？减就顺时针走，顺时针一走，这个是不是走到第二项线？第二项线看原来的余弦是不是负的，那这里是不要添一个符号，它是不是等于负的 考点 c， 所以 a 选项是不是就不对？然后我们再看 b 选项， b 选项是 c， 谁括号 a 加上什么 b， 它就等于 c 括号 pi 减 c， 对 吧？也是一样，看 x 轴的什么负半轴横不变，你就先写成 sin c， 对 吧？然后再来看这个 pi 减 c， 是 不是刚才说了，我们减就顺时针走，就走到了第二项弦，正弦是不是正的，所以它就等于 sin c， 所以 b 选项 也不对。那 c 选项和 d 选项这个你看一下， c 选项只是二分之 a， 其他的是不是都是什么一倍的？那 d 选项这个呢？相对来说会比 c 选项容易化解，我们先从 d 选项入手，那我们先来看一下这个 c 什么括号二分之 b 加 c， 它等于什么来是一样，见到 b 加 c， 我 们可以用派减 a 给它换掉，对吧？那换一下，那这是不是就是 c 括号二分之谁派 减去 a， 对 吧？减去它之后，我们再给它化解一下，它就得到了 c 括号二分之派，减去一个二分之 a， 是 吧？到了这步之后，我们来看出现了二分之派 y 轴的什么正半轴，那纵是不要变函数名，那首先变函数名，把 sin 变，是不是考 sin， 所以 它就等于考 sin 二分之 a， 再来看 二分之派减了二分之 a， 外轴的正半轴顺时针走，是不是走到了第一象限？那第一象限的正弦是正的，所以这里 不变号，所以最终它的结果就是 cosine 二分之 a， 那 这个结果是不是就是正确的选项？至于说 c 选项，因为这个我们一个是二分之一倍的 a， 其他的都是一倍的，这个我们就不去化解它了。

好，同学们，我们今天一起来学习一下诱导公式及其应用，哎，这一讲主要是讲一个诱导公式，那么首先我们来回忆一下诱导公式它的一个使用的口诀，哎，我们的口诀， 我们知道它的口诀一共十个字叫积变哦，五变 符号，看相先。 好，口诀我相信大家都记得很熟悉，那口诀在使用的时候怎么去操作呢？或者说他的一些注意的点我们要注意一下，那这一款老师要给大家有四点备注，第一个是我们的 g o， 第二个是我们的变与不变 好，第三个是我们的符号看线线好，第四点呢是我们在这里面没有体现到的。那我们首先先来看第一个我们的基偶，好，我们这个基偶指的是什么呢？我们的这个基偶 它指的是我们在进行诱导公式的时候，除了我们要剩余的那个角 r 以外，我们的那个地方它是二分之派的 基数倍，或者是我们的二分之派的角偶数倍， 就这个好，那我们去想一想二分之派的基数倍，哎，二分之派我们会发现它是不是应该是一个 分数，那么他的基数倍呢？肯定还是一个分数，但是他的偶数倍呢，一定是一个整数了，哎，他就没有分母了，所以我们在考虑我们判断基数倍偶数倍的时候呢，我们只要发现有分母，分母是二的情况下，那我们看分数和整数就可以进行一个简单的区分， 当然如果大家能理解是进行用怎么去判的旧会更准确一些，好，第二个我们的叫变与不变好，那么我们要知道我们变或者不变变的是什么呢？我们变的是 三角函数名， 哎，我们变的是它的名字，那它的名字在整个变化的过程中间怎么变呢？我们如果需要变名字，我们的正弦会变成是余弦， 正弦会变成余弦，那么余弦呢？它就会变成是正弦，它俩是变的话就互相变好。那有些人想了我的正弦它俩是变的话就互相变好，那有些人想了我的正弦它要如果要变，我们是变成 正切分之一。哎，这个原因是因为我们正切正常应该是变成余切，但是我们现在的高中教材余切已经不学了啊，所以我们正切如果遇到变名字，就把它变成正切分之一。当然你也可以把正切先变回到我们的正弦，除以弦，然后再去用 好。第三个我们的角符号看象限，我们需要知道我们符号 看诱导之前的，或者说看原来的一定是看诱导之前的。这个主要针对的是什么呢？主要针对的就是变名字的，如果变了名字，那其实 你看前和看后结果可能是不一样的，那没变名字看前看后是没有什么区别的啊。所以我们符号看相线，主要针对是变名字的 好。第四点是我们这个口诀里面没有体现的，但是在使用过程中间非常非常重要的，所以我们要把第四点给大家换一个颜色写，我们要做叫做将阿尔法当锐角对待。 好，那我们这里面的这个阿尔法指的是什么呢？就是我们要通过诱导公式角留下来的角， 留下来的一定是留下来的那个角，角，锐角，无论题目里面有没有告诉我它是第几项弦，我们都要把它当锐角对待，而锐角的话，我们知道锐角的范围只能是在零到九十度。 好，这是我们的口诀以及他给出来的四条备注。那么这个知识点在做题的时候怎么去考察呢？哎，我们来给大家以总结一下啊。我们这种地方最常见的第一个就是求特殊值， 我们求特殊值或者应该叫求特殊角的三角函数值，比如说我们的 sine 的 三分之二派，哎， sine 的 三分之二派它不是个锐角，我们需要把它变成是 sine 的 派减三分之派， 那有些人说我也可以写成二分之三派加呀，当然是可以的呀，因为二分之三派是分数，分数，我们说了分数可能要变名字，那变名字就会比较麻烦一些，那我们能用不变名字的尽量变不变名字 好，我们首先看到这是派派不变名字，那么它的结果就是三的三分之派。 三拍减的话，我们拍减应该是在我们的第二线线，第二线线正弦值是正值，通过我们的三六十度，我们就可以快速知道答案是三的二分之二。那这一块的话，肯定要求大家必须要把特殊角的三角函数值一定要非常熟练才可以， 这是我们的第一个题型好，我们的第二个题型叫做化简求值 好，就比如说像我们底下写到的这个第一题，已知 sin 的 它等于五分之三，阿尔法告诉我是第四项线求，后面这个是，那我们首先我们可以看到我们这个已知条件，它给的是一个叫做 派加派，他是一个整数，我们说不变名字，先是三，以 r 发就等于五分之三好。然后呢，我们符号看象限，题目里面给了我 r 发是第四象限，我们说不看，他看的是谁，看 r 发的锐角， 派加一个锐角一百八，加锐角肯定在一个一百八到两百七之间，也就是我们的角三相线，三相线的正弦值是负值啊，所以它又等于负的，从而我们可以知道我们三引阿尔法等于负 五分之三，这是我们已知条件。好，再看我们的这个目标呢，考三派，派减，首先不要变名字，考三好，派减阿尔法。哎，有些人说这个派减我不好判断，怎么办呢？ 而法减派不好判断象限的时候呢，我们可以考虑给他加一个二派，因为二派就是一整圈吗？加了跟没加一样，那就是派加了，派加明显是第三象限，三象限诱导完是负的，也就是说我的已知条件这里算完应该是负的，考算以二法 已知于弦求正弦。哎，这个就是我们上节课里面讲到的划直角三角形， 正弦等于对边比斜边三五，那么的零边就是四好，根据余弦等于零边比斜边就是四比五，五分之四好。根据题目给的四象限，我们知道四象限的余弦值应该是一个正值，好，它是负的，那就是负的这个五分之四。 所以我们这个题选的是我们的这个叫 b 选项，这个很简单，这个就是我们的叫化解求治。当然我们后面还有一个对应的练习。好，那我们在想这个地方还有一个非常重要的题型，第三种题型就是 就是什么呢？就是一种看起来不能用诱导公式的，但是呢，我们通过我们的变化，我们可以用诱导公式的，我们把这一类叫做角的拼凑， 这一类就非常的重要了啊，具体我们在题目里面来看。好，那我们要看题目的话，我们首先先看后面的花解求之吧。我们先来看我们的第五题， 我们的第五题第一问是让我们去化解我们的 f 阿尔法，那我们在后面来简单化一下，我们第一步一定是先看变不变名字。啪，变名字 好，拍减应该是二项线，二项线正弦值正的考三也复尔法。哎，没有，这是没有分数，所以它不变名字。然后一看这个呢，应该是四项线与弦值正值。好，二分之三拍分数变名字。 看相线，二分之三派减两百七减应该是在三相线，三相线的余弦值是负值，打个括号，二分之派变名姿， 二分之派减应该是在一相线正值，好夫而法减，夫而法呃，夫派减而法，首先不变名姿， 负的减，我们说不好判断，加个二拍就变成了拍二减二法，拍减二法应该是二相线的正弦值，是正值。 ok， 好， 然后通过约分，我们可以画出来这个结果，应该等于一个负的 cos 二法， 好，这是我们的第一小问，叫 f r 法等于它。好，我们再来看第二问，我们第二问题目里面给了我们一个叫考三引 r 法减二分之五拍 等于五分之一。好，那我们首先第一步还是一样考虑变不变名字啊，这是个二分之五拍分数变名字，所以是三引 阿尔法，然后判断象限，判断象限的话，你发现阿尔法减二分之五拍数字有点小，不好判断的时候，我们加个阿尔派就变成了阿尔法减二分之派，阿尔法减二分之派，我们说阿尔法的锐角，你可以考虑用三十度去代替，三十减九十应该是负的，六十应该是四象限的 这个位置是四象线，四象线的余弦值诱导完是正的 a， 那 么我们是不是就知道了我们的三引尔法等于五分之一？好，知道三引尔法，我们要求 f 尔法，也就是求考三尔法，怎么办呢？我们题目里面明确告诉我尔法为 二象限角。好，那既然是二象限角，所以我们知道我的余弦值应该是负的。好，再结合我们正弦和余弦的关系，叫做平方和等于一。哎，我们给他带进去，很容易算出是负的二分之五倍 二分之哦，应该是负的五分之二倍，根号六。好，那么最终我们可以算出我们的 f r f 等于负的 cosine， 然后负负得正了，就是五分之二倍 根号六啊。这是我们的第五题，这只是一个简单诱导公式里面的简单的化解求知，那么大家重点是先去判断变不变名字，第二点定符号，三个化解结果就出来了。 好，这是这里。那，那我们回过头来再来看我们刚刚给大家讲过的说第三种题型里面的就是一种叫做看起来不能用诱导公式，但其实可以用的，我们叫做角的平凑 好，那么角的拼凑。在做题的时候，我们主要是要去找角的一个关系。哎，我们看一下我们括号里面给到的这两个，我们在找关系的时候怎么找呢？我们就看他们的和或者他们的差 为定值，我们要凑的是一个定值，那么是求和还是求差，具体怎么看呢？我们可以去看里面未知数，前面的系数系数相同就求差，系数相反，我们就求和。好，那我们把前面这个记为 a， 后面这个记为 b， 我 们看到两个系数是相同的，所以我们比如说用 b 减 a， b 减 a 等于六分之七 pi 加，嗯，没写清楚啊。加六分之七 pi 加 x， 减 三分之二 pi 加 x。 好， 我们通过计算我们会发现它应该等于个二分之 pi。 好，既然 b 减 a 等于二分之派，我们要求的 b， 所以呢，我们是不是就可以得到我们的 b 就 等于二分之派加 a。 好， 现在题目求的是考三赢的 b， 我 们题目考三 b， 那 考三赢 b 就 等于考三赢的二分之派加 a。 好 了，二分之派要变名字三 a， 然后二分之派加的话，应该是二线线 二项链的余弦值是负值，所以等于负的三 a， 所以 这个答案就是负五分之三，写上负五分之三。啊，这是我们的第一个题，哎，它其实是属于非常简单的啊。我们再来看第二个题，我们一样的，这里有三个角，我们就标上，分别标上 a、 b、 c， 好， 我们首先先找一下关系，我们发现 a 和 b， 它们 c， 它位置数前面的系数是相反的，所以我们求个和 a 加 b， 等于两者相加，等于 pi， 所以 b 就 等于 pi 减 a， pi 不 变名字 pi 不 变名字 pi a， 这是二项线的右端面，是负的，负的 cos a 好， 直带进来就可以了啊。再看 a 和 c， a 和 c， 发现系数相同，我们用相减啊，比如说我们用 c 减 a， 三分之五派减六分之 派，我们会发现我们算出来应该是个叫做二分之三派。好，既然这样， c 就 等于二分之三派加 a， 所以 考三 c 等于考三的二分之三派加啊，这是三。 哎，我们这里求的是三元哦，注意一下啊，三元 c 就 等于三元的二分之三派加 a 好， 二分之三派要变名字，考三元 a， 好。 然后呢？二分之三派应该是四象限的，四象限的正弦值是负值，所以是负的，考三 a， 好，那么这是一个负的，考三 a， 这是两，这是也是负考三 a， 这前面细说不要忘了啊，这里有个二，所以两者一加是一个负的，考三 a， 三个负考三 a， 我 们算完是 负一。哎，你发现只要你把它换成字母，对应的字母变成 a， b， c， 找到关系，算题的时候就会非常的简单。好，那我们再来做一个题目，来一起练习一下，看看我们的第四题。 好一样的道理。我们先标角变个角， a 变个角， b， 我 们发现 r 前面符号相反，所以我们求和 a 加 b， 我 们发现 a 加 b 等于二分之拍，所以我们的目标 b 角就等于二分之拍减 a 好， cosine b 就 等于 cosine 的 二分之拍减 a， 二分之拍要变名字 三以 a， 然后二分之八减十一相减的，那又到完就是三 a 了。哎，可是你发现这个题好像已知的不是三 a， 我 们现在已知的是弹性 a 等于负的 十二分之五，我们要求的是正弦值，哎，我们要求正弦值，我们只考虑值的话，我们可以先画一个直角三角形，标个 a 角，正弦等于对边比零边斜边一算十三，那我们的正弦值是否就是 对边比邻边是三分之五？好，那剩下的问题，我们是不是只要根据它的一个符号象限去判断它的一个符号就可以了？ 那我们来看一下啊。题目里面给了我说 r 为四象限角，那你先想一下四象限角的范围是什么？我们知道四象限角的范围应该是在二分之三派加二个派到我们的二派加 二开派。好，既然这样，我们的三分之派加 阿尔法啊，这边也有加，就是二派加三分之派加二开派。这边呢，我们是我们的加二分啊，我们算一下吧，二分之三派加三分之派，我们可以算出来它的一个 范围应该是，哎，写清楚，加二分之三派加三分之派加二 k 派。 好，那这个象限到底是第几象限呢？怎么判断呢？我们可以通过画图来快速看一下，我们画一个简单的坐标系，我们说标的时候是不是先标最原始的二分之三派加个三分之派， a 加是 逆时针啊，到这里这是我们的二分之三派加三分之派啊，这边呢，二派加三分之派呢，是往上的，在这个区域啊，也就是说这个范围是在这里，我们发现在这个范围里面应该是一或者是 四项线，而一或四的正切值已经知道是一个负值，那说明只能是在我们的角四项线既然只能在四项线，那么这个正弦值是不是也只能是 负值了？所以我们这个结果就是负的十三分之五，也就是说我们这个答案是负的二十三分之五。然后你会发现这个题比上一个题稍微复杂了一些，主要原因是呢， 他已知的条件里面多了一个范围的限制，那么多了，范围就可能会涉及到我们在呃基本关系那一家里面学过的已知正弦求其弦，或者已知正弦求正弦之类的。 所以大家做题的时候大方向还是先找角的关系，然后利用基本关系就可以进行解解决好了，这是我们的诱导公式。常考的三种题型，我们今天就讲到这里，再见。

hello， 大家好，我们来看一下这道题，已知角 r 发的中间经过点，负一负三，那我们求后面这个式子的值，那根据第一句话，我们可以知道贪婪它 r 发是不是就等于三？ 那求后面这个式子的话，我们一步一步来，先要对它进行化简，那我们先看第一个 sine， 二分之三 pi 加上一个 r 发，它等于什么？ 那这里肯定要用到诱导公式，那我们记住一句话，奇变偶不变符号看象限。那什么是奇变偶不变？是二分之派的奇数倍或者偶数倍，如果是 偶数倍的话就不变符号，奇数倍的话就要变符号，那这个很明显是二分之派的三倍是奇数倍，所以要变符号，所以这里就变成了 cosine 阿尔法。先写上符号看象限是什么意思？那就前面这个角 二分之三 pi 加 r 发，我们把 r 发看成一个锐角，二分之三 pi 加 r 发，它是不是在第四象限？第四象限的话， sin 是 负的，所以是它就等于负的。 cosine r 发 好，这就是既变偶不变符号看下线的意思。那我们再来看第二个 sin， pi 加上 r 发，那我们知道 pi 是 二分之 pi 的 偶数倍，所以不用变符号。先把 pi r 发写上去，那再来看它的正负。 pi 加 r 发，它是在 第三项线，第三项线三引是负的，所以说这要加个符号好，你再来看分母括三引，三派再减去一个 r 发，是不就等于三派减 r 发，那三派是二分之派的偶数倍，所以不用变符号，直接写个括三引 r 发， 那三派减 r 发，它很明显它是在第二项线第二项线前面这个括三引是负的，所以这要加个符号， 那三引二分之三派减 r 发，那我们也可以这样算，二分之三派是二分之派的基数倍，所以要变符号，所以就是扩三引 r 发， 那二分之三派减 r 发，它是在第三象限，第三象限扩三亿是负的，所以这要加个负号，所以最后把这四个整理一下的话，那就是负的扩三亿， r 发减去 r 发，再除以一个 负两倍的扩三。以阿尔法，那他是不是就等于二分之一，再加上二分之一乘以贪婪他阿尔法。好，那贪婪他阿尔法等于多少？等于三。前面求出来的，所以就是二分之一，加上二分之三，就答案就等于二。

这个视频我来讲讲三角函数的一组公式。先来看这几个括号里都是 alpha 加二派，括号外分别是 sine， cosine， 要怎么化解它们呢？嘿嘿，咱可以借助三角函数线来看， 假如这是角 alpha， 那 m p 就是 sine alpha， o m 就是 cosine alpha， a t 就是 tangent alpha。 现在在 alpha 的 基础上再逆时针转一圈，也就是 alpha 加上二派，你看中边没变。所以 alpha 加二派的正弦值、余弦值还有正切值，都和 alpha 的 一样。 也就是说， sine alpha 加二派就等于 sine alpha， cosine alpha 加二派就等于 cosine alpha， tangent 加 alpha 加二派就等于 tangent alpha。 以后遇到 alpha 加上二派，不管是正弦、余弦还是正切，直接把二派去掉就行，三角函数值都是一样的。 进一步还可以发现，把阿尔法加上整数个二派，或者减去整数个二派，中间都不变，这些值也都是一样的。所以对于这些，比如加四派，减二派，还有加六派，只要是二派的整数倍，都可以直接去掉，三角函数值是一样的， 二派的整数倍搞定了。那要是划点这些三角函数呢？别急，我来教你两招，可以把它们通通解决。第一招，确定函数名。秘诀是奇变偶不变。 所谓基变，是指看到二分之派的基数倍，函数名改变。所谓偶不变，是指看到二分之派的偶数倍，函数名不变。知道了秘诀，咱来用一用。 看第一组的括号里都是二分之派，显然是二分之派的基数倍，那函数名就得改变。所以原来是塞就变成塞，而法原来是 tangent， 就 得变成口 tangent。 而法 第一组的函数名就这样搞定了，不过还没完，一会儿还得确定符号再来解决。第二组的函数名，括号里都是 pi， 显然是二分之 pi 的 偶数倍， 那函数名是不变的。所以原来是 sine 就 还是 sine。 后面同样写上 r 法，原来是口塞，就还是口塞， r 法原来是 tangent， 就 还是 tangent。 r 法同样的符号也代确定， 看最后一组括号里是负二法。咦，没有派咋办呢？那就看成是零派呗，也是二分之派的偶数呗。所以函数名也都是不变的，符号也待确定好了，搞定函数名，咱接着第二招。符号要看象限。具体做法是这样的， 先把 alpha 看成第一象限角，比如三十度，那二分之 pi 加 alpha 就是 一百二十度，是第二象限角。我们知道第二象限角的差值是正的，那这个值也是正的，这样就搞定了。 接着往下看，第二象限角的口算值是负的，那这个值也是负的。还有第二象限角的 tangent 值也是负的，那这也是负号。怎么样，会确定符号了吗？再啰嗦一遍，先把阿尔法看成三十度，再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这的正负了。 方法知道了，咱接着解决。下面的同样把 alpha 看成三十度，那派减 alpha 就是 一百五十度，也是第二象限角，所以这个式子是正的，这也是正的。这两个式子都是负的，这也都是负的。 最后看这组，还是把 alpha 看成三十度角，那负 alpha 就是 负。三十度是第四象限的，第四象限角的赛值是负的，所以这二为负。但第四象限角的口赛值是正的，所以这二为正。 tangent 值是负的，所以这二为负。 符号确定完毕，这样就都搞定了。你瞧，这些就是诱导公式了，要推导它们，只要用这两招就行。 第一招，确定函数名，二分之派的奇数倍函数名改变二分之派的偶数倍函数名不变，简称奇变偶不变。 第二招，符号看象限，先把阿尔法看成三十度，再通过括号里角的象限判断出这个式子的正负，也就是这的正负了。另外，只要看到括号里有二派，直接拿掉就可以了。视频我就讲到这，速速刷题去吧！

hello， 各位高一的小伙伴们，今天我来带大家推一推这六组一道公式啊，以及给大家说一说该怎样去更好地记忆这六组一道公式，而不是用死记硬背的 好，因为时长的限制呢，可能要分为三期视频来对大家进行讲解。先带大家推一下第一组和第二组，好吧，在推导之前呢，需要带大家复习一下三角函数的定义，这里非常重要，因为如果你明白了三角函数的定义，那么这六的诱导公式的话，你自己都可以进行推导。 好，那我们来先复习一下三角函数的定义啊啊，数学书上面在进行三角函数的定义的讲解的时候呢，它是在单位圆里面去进行一个定义的，什么叫单位圆？也就是半径 r 等于一的圆叫做单位圆啊， 叫做单位圆。然后呢？这里你看到没，假设哈，这个 x 轴的非负半轴是使边， 然后这条边啊，以圆点开始，然后呢？引这条黑色的射线，与单位圆相交的点是 p 点， p 点坐标是 x 的 y， 让它为作为中边， 好使边与中边围成的角，然后这个锐角是 r 法啊，这个角是 r 法， 然后呢？你们初中也学过啊，这个正弦与弦和正切，它的一个定义是什么东西？在直角三角形里面， 比如说这里有个直角三角形啊，这是阿尔法这直角，然后呢？这有个阿尔法，这个是 a， 这里是 b， 这里是 c， 那 对于 same 阿尔法是不等于什么？是不等于对比斜？ 对比斜是不等于 b 比 c， 然后呢？ cosine 阿尔法是不等于零比斜 零边是不是等于 a？ 去比上 c， 然后 find 阿尔法是不等于对比零， 是不等于 b 比 a？ 好 吧，这是你们初中所学过的，那在单位里面，我们来看一下 过这个 p 点做 x 轴和做 y 轴的一个垂线啊，得到的坐标是 x 和 y。 那 现在按照这个定义，我们看一下这个 c r 法等于什么？是不是等于 y 去比上一吗？因为它的半径是一吗？也就是 o p 是 等于一吗？所以这里是不是就等于 y 去比上一，是不是就等于 y？ 然后这里等于什么？是不是 x 去比上一，是不是等于 x？ 然后这里是不是就等于 y 去比上 x， 对 吧？好， 然后呢，这个就是单位元里面对三角函数进行一个定义了。也就是说啊，在单位元里面，呃， 有一个角为 r 法，那么它的正弦值，它的正弦值，正弦值就等于 y， 然后余弦值等于 x， 正切值等于 y 比 x。 三角函数啊，三角函数就等于就添了一个 y 就 行了啊，也就是 y 又等于 c r 法，然后呢，这个 y 等于 cosine 法，或者 y 等于 tanine 法，对吧？ y tanine 法。好，这就是三角函数的一个定义，这三个统称起来就称为三角函数。 什么叫函数？第一章第二、第三章学函数的时候就已经定义过了，就是一个 x 对 应一个 y， 就 称之为三，就称为函数。 那对三角函数其实也是一样的，因为你看嘛，一个角度哈，一个角度，一个角度，按照这种方法，它是不是与这个圆有唯一的一个焦点 p 点有唯一个焦点 p 点，所以它的三角函数值是不是唯一的？ 所以它它就能够称之为是三角函数，因为它符合函数的定义，知道吧？所以就就是这样来的，好好定义。说完之后呢，我们来推一下第一组一道公式，好吧， sin alpha 加二 k pi， 然后呢？ cosine alpha 加二 k pi 判定的 alpha 加二 k pi 都等于，你看都等于它，都等于它不变，对吧？不变，就是只要这里是这样的形式，那么它最终结果啊，只与 alpha 相关，只与 alpha 相关。那为什么？我们来看一下。 好，假设这里有个锐角， alpha 有个锐角二法啊，同样的，这里是使边，这里是中边啊，这里是中边，这里是使边。那现在啊，现在我们先这里先说一下哈，二派是不是等于三百六十度？三百六十度，然后再去乘上 k 是 不是 k 一个 k 倍的三百六十度，三百六十度是不等于一周吗？完整的一周等于三百六十度，那 k 的 话是不是就 k 圈一圈等于三百六十度，那 k 圈 是不是就是三百六十度的整数倍，对吧？因为这里强调了嘛， k 属于 z 整数，但这个整数是包括负整数，零和正整数。然后我们要，呃，都要说一下，正整数什么情况？负整数什么情况啊？零是什么情况？零就是它本身嘛，这这里就不用说了嘛，对吧？ 好，那如果是这个 k 是 一个正正整数哈， k 是 一个正整数，那他是不是逆时针旋转？因为这样的角啊，就是逆时针旋转的角所得到的角叫做正角，然后顺时针旋转的角所得到的角叫做负角。好，那现在假设 我们就从这里哈，你看加到这里已经一个角，好，我再旋转一周，对吧？我旋转一周得到这个角，黑色线条画这个角加的是 beta， 那 你们告诉我， beta 是 不等于 alpha 去加上三百六十度？ alpha 加三百六十度，对吧？ 好，那如果我再继续旋转，再继续旋转一周，是不是又得到的是什么？假设 theta 是 不是就等于 beta 加三百六十度，对吧？无论 它怎么旋转，只要它转的圈数是完整的，那它使边与中边是不是都会与 r 法这个角重合？那它们的三角函数的定义啊？你来看， 无论它旋转多少圈，只要它旋转的是完整的圈数，那最终它都会与阿尔法，矢边与中边都是重合的。那你看，根据三角函数的定义，它的这个角哈，无论是阿尔法还是 c 塔还是贝塔，因为它的中边都是重合的，矢边也是重合的。那它的 sin c 引值啊， c 引值是不都是一样的吗？然后 cosine 值也是一样的，它念头也是一样的，对吧？因为刚刚已经分析了吗？这就是三角函数的定义，对吧？只要它们相重合的这个点是不都是一样的，那么它三角函数值都是一样的啊。所以数学书上面他就给出了一句话，什么呢？ 嗯，使边与中边 相同的角 的三角函数值相同 啊。我也给大家分析了，为什么，对吧？其实就是三角函数的定义啊，但一定要注意，一定是完整的圈数啊。好，刚刚我们那个是逆时针旋转，是一个正角，那现在我们来看一下，如果它是顺时针旋转呢？ 同样的这个角是 alpha 啊。好，现在来进行旋转。假设你看这里是 alpha 啊，我们现在方向是这样旋转的，那我们旋转一下， 你看一下。哎呀哈， 好。得到那么一个角，对吧？得到那么一个角，得到那么一个角，那我们来看一下啊， 新得到的这个角，它的使边是不是这里？ x 轴的非负半轴，然后中间是不是还是落在这儿， 还是落在这？那所形成的这个角，这里是不是要把它画了，对吧？所形成的这个角是不是应该就从这里开始，然后呢到这里结束，对吧？好，那你们告诉我，他的使边与中边是还是与这个角而法是重合的， 对吧？而且他是旋转的完整的一圈了，因为你看到没，他是从这里开始旋转，然后呢？旋转一圈之后呢？他又回到了这里，对吧？好，这个红色画的这个角的度数是用贝塔来表示，是不同样的。 这个贝塔，它是不是等于阿尔法去减去三百六十度，对吧？阿尔法减三百六十度，那如果我再旋转一圈得到角的 c 塔， c 塔是不是等于贝塔减去三百六十度，对吧？好，是不是也等于什么？ 你的 r 法键二乘三百六十度，只要它旋转的圈数是完整的，是不是和上面的那个道理还是一样的吗？使面与中面重合的，这里是非常关键的，只要它使面与中面重合，那么它三角函数值百分百都是一样的，好吧，你们只需要记住这里就行了。 所以你看，没这个公式就推出来了吗？对于 c 影来说是成立的二派啊，二派是三百六十度， 也就是一圈，然后 k， k 是 一个整数，包括负整数、零和正整数啊，只要它是整数， 那去乘上这个圈数，完整的圈数啊，就代表它使边与中边都是重合的与 r 法角，所以它们的三角函数值肯定是一样的，那么就等于 c， r 法就等于 cos 法，就等于它的 r 法啊，这就是这个诱导公式的一个推导啊。好，那我们 那我们来看一下这道题，来念一下啊，好，扩散四分之九派，那按照这个诱导公式，我们是不是要把它，呃， 凡是哈，同学们，你们以后遇到这种去求三角形这个值的问题，都是要先把这个角啊给它化简，化解到什么呢？ 化简到零到二派，零到二派这个范围之内，也就零到三百六十度这个范围之内，如果超过它的或或者它是负值的，都是要通过想方设法的去转化，转化到这个范围，然后再用一导公式。好吧，那我们来看一下它是不是就等于 cosine 这个四分之九派，它是不是大于二派了？是因为二派是四分之八派吗？它是不是多了四分之派？那么我们是不是就可以写成四分之派去加上 二派？好，那这个是不是就可以用诱导公式了？二派，二派是不是对于这个来说是不是得 k 等于一的时候吗？对吧？好，二派是完整的一周，所以它还是仅仅与四分之派有关，对吧？所以是不是就等于扩散 四分之派？扩散四分之派是不是等于扩散四十五度是不是刚好等于什么？二分之根号二好，二分之根号二 好，然后再来看一下 tangent 这里哈， tangent 这里是不是也是一样的负六分之十一，负六分之十一派，按道理你看想想它是不是还是超过了负二派嘛？还是超过负二派，对吧？嗯，那我们来转换一下， 是不是它念它，给它拆出一个二派来，负二派来，对吧？拆个负二派，那负二派就是负的六分之十二，那我们这里是不是就可以写成六分之派去减去二派， 对吧？六分之派减去六分之十二派刚好等于负的六分之十一派。那这里是不是也是可以用用诱导公式在这里 time 减减这个 r 加 k 去乘二 pi 是 不？当 k 等于负一时，是刚好等于 time 减 r 减去什么？二 pi 是 不还是等于 time 减到 r 法，对吧？所以说它是不是等于 time 减到 六分之半？那 time 减到六分之半是不等于 time 减到三十度等于三分之二三，对吧？好 好，说到这里呢，这些特殊值我给大家一个记忆方法啊。嗯，这里是 c 阿尔法，然后 cosine 阿尔法， tan 法，然后需要记住的值是，零度，三十度， 四十五度，六十度，还有九十度，好， c 零度等于多少？ c 零度等于零， c 三十度等于二分之一 c 四十五度等于二分之根号二， 然后 c 六十度等于二分之根号三 c 九十度等于一。 cos 零度等于 cos 三十度等于二分之根号三四十五相等，然后这里是二分之一九十度，九十度等于一 cos 三十度等于二分之根号三四十五相等，然后这里是二分之一九十度，它等于零，它的零度等于 等于零，然后它像三十度等于三分之根号三四十五等于一六十度等于根号三九十度。不存在啊， 九十度不存在啊。好，我现在带大家分析一下这 sin 和 cosine 哈，怎样去记忆它？ 呃，这个零度可能你们现在还不太熟悉哈，我带你们推一下怎样去算它？ 好，同样的单位圆，好，那我们看定义哈。定义，刚刚我也给你们推了嘛，就是三角函数的定义。那三角函数的定义是不是 c in alpha 等于什么？是不等于 y？ cosine alpha 等于 x， 它念的 alpha 等于 y b x。 好， 那你就告诉我，当这个角 alpha 等于零度的时候，它是不是就是我黑笔画在这里， 是不是在这，对吧？他，呃，这条射线，这条射线，他与这个单位元相交的点是不是刚好？这个，这个点，这个点坐标是刚好是一逗零啊，对吧？ 那么根据定义， c 零度， c 零度是不是等于它的纵坐标等于 y？ 此时的纵坐标是不是等于零嘛？所以 c 零度就等于零，看到没就推出来了。然后，呃，九十度啊，九十度呢？你看，九十度，九十度，九十度是不是在这了？ 在这它的纵坐标是多少？纵坐标是不是刚好等于 y？ 所以 它的 sin 九十度就等于一嘛，就这样来来的。那同样的 cosine 也是一样的嘛，当它等于零度的时候，是不是刚刚我们说了嘛，在这儿，是不是此时 cosine 零度是不是等于它的纵坐标？横坐标是不是等于一嘛？所以 cosine 零度等于多少？是不等于一，然后 cosine 九十度呢？ 它的此时纵坐标等于多少？不等于零嘛？所以 cosine 九十度，九十度就等于零啊，就这样来的。然后呢？呃， 看一下，三十，四十五六十哈，这里是二分之一，二分之二，二分之三，其实都是可以推的，这里用你们初中的那个知识就可以推的。好，这里我关键我是要教你们怎样去记忆它啊， 你们看哈，这个零哈，我把它写成二分之零，然后一，又把它写成二分之根号一。 好，然后这个这里我把它写成二分之根号四，然后呢？这里我把它写成二分之根号四四，然后这里写成二分之 根号一。啊，然后这里写成二分之根号零。 好朋友们，我们来看一下这个 c 音哈， c 音从零零度到九十度来，你看每次二分之二分之零，二分之根号零，二分之根号一，二分之根号二，一直到二分之根号四， 它们的分母是不都是二，然后分子是不是从零一二三四添一个根号，对吧？所以你去记的时候，你就这样去记嘛？你对于 c 音来说，分母是二，然后呢？分子上面是零一二三四添一个根号， 然后针对 cosine 来说，是不是就反过来吗？你看二分之根号四，然后呢？一直到二分之根号零，对吧？分母也是二，就对于 cosine 就 反过来，它的顺序反过来就行了，所以大家这样去记的话，嗯，就比较好记。好吧。 然后 time 呢？其实没有什么记忆方法嘛，就是 same 比 cosine 就 行了嘛， time 而法就等于 same， 而法就比上 cosine 而法就行了，对吧？为什么它九十度不存在？这里我好好给大家说一下啊，九十度哈， 因为你看到没，它念到 r 法，它是不等于。嗯， si 耳法去比上 cosine， r 法是不等于 y 比 x 好， x 作为分母，分母是不能等于零，等于零就没有意义了嘛。所以说 x 是 不能等于零的， x 是 不能等于零的，也就是说 cosine 阿尔法是不能等于零的。那我们想一想， cosine 阿尔法它什么情况下等于零啊？ cosine 阿尔法什么情况下等于零？ 是，是不是还是看定义，朋友们来你看，所以这个定义是非常重要的呀。 cosine alpha 按照定义是不是 cosine alpha 是 不是应该等于 x？ 那 你们告诉我 x 什么情况下这个单元里面的这个 x 等于它的？呃，那什么情况下 这个单元上面的点的横坐标等于零？是不是要么在这儿，要么在这儿的时候，对吧？要么在这儿，要么在这儿， 不对，要么在这，要么在这啊，不好意思，刚刚说错了，在这啊，这个点或者这个点说要么在 a 点，要么在 b 点的时候，它的横坐标就是等于零的， 对吧？那也就是说，也就是说中边落在 y 轴看到没就落在 y 轴的正半轴或负半轴，或者或者直接说落在 y 轴上面的时候，它这个 cosine 法说刚好等于零， 那此时我们来判断一下中边落在 y 轴上面的角所构成的集合怎样去表示。现在看在 y 轴的这个非负半轴哈，这个角是不是九十度吗？九十度来作为一个基础角，那么 他旋转完整的一周啊，旋转完整的一周是不是去加上二 k 派就行了吗？然后强调一下 k 属于 z， k 是 不是属于 z？ 那 同样的这个角， y 轴的非正半轴是不是二百七十度去加上 二 k 派？强调一下 k 属于 z， 那 我们把它整合一下啊，整合一下， 整合一下。这里我们可以拆一个九十度是不是可以写成九十度去加上一百八十度，然后加上二 k 派啊？都是默认 k 是 属于 z 的 哈。好。然后呢？这里是不是又可以写成九十度去加上派加上二 k 派，对吧？也就等于九十度去加上。 提出个派就变成二 k 加一派，对吧？这里是这里我们转化下来的。 嗯，对，二百七十度的，然后九十度那里是不是就九十度去加上二 k 派？好，朋友们，好，我们现在这两种是不是都是符合呃？中边落在 y 轴上面的角所构成的集合？现在我们要把它写成一个式来表示，是不是又取一个交集还是并集？是不是取一个并集，对吧？取一个并集。那怎么去并呢？来分析 这个 k 属于 z 嘞？那二 k 是 表示偶数，二 k 加一是表示奇数啊。好，奇数个派和偶数个派，奇数个派和偶数个派，那我们把它们两个整合起来，是不是就是 就是整数个派就行了嘛，对吧？奇数个派和偶数个派总共写，是不是就是整数个派？是不是直接可以写成 k 派，对吧？ k 派 k 派就已经包括了二 k 派和二 k 加一派，对吧？然后再加上九十度不就行了？强调一下， k 属于 z， 这就是中边落在 y 轴上面的角所构成的几何啊？然后呢？再把转换成幅度值，是不是二分之派去加上 k 派？看到没？就这里就这个东西，所以你们学到后面 在 y 等于 time 呃， x 的 时候啊，它的定义域。 定义域是不是 x 范围吗？是不是 x 就 不能等于二分之派加 k 派？为什么？看到没，就刚给你们分析了，就这样来的啊，所以这里非常重要，这里也是非常重要重要的一个考点啊。 好啊，这些特殊的也给大家说了，那我们现在再推一下第二组一道公式啊，同样的画一个圆来进行推导，单位圆， 同样的啊，这里有个角， 阿尔法。好，我们这里要推的是派加阿尔法喽，那派加阿尔法新得了这个角我们该怎么画？是不是这里延长过来，这里延长过来，对吧？然后呢，这个角啊，我用红笔画一下啊， 这个角是不是就是派加阿尔法，对吧？这就是派加阿尔法。哎呀， 好，这个角就是派加阿尔法。派加阿尔法，那我们来看一下哈，派加阿尔法，它的中边与黑色的这个角阿尔法啊，它的中边有什么关系？是不是这两条边刚好是关于 什么圆点成中心对称的，对吧？好，这个点是 p 点喽，他是 x 到 y， 然后这个点呢？新得到这个点假设是 p 一 撇他的，呃，因为他们两个是关于 y 的 成中心中心对称的喽，对吧？ 我再给大家解释一下，为什么是派加阿尔法？哈，你看这里是不是阿尔法，然后这个是不是一个平角？平角是不是派，那派加阿尔法是不就就得出来了吗？就这个意思，明白了吧。 好，然后呢，我们来看一下啊，所以 p 一 点和 p 一 撇是不是关于圆点成中心对称，那成中心对称的两个点的横纵坐标有什么关系？是不是都是负为相反数的？所以 p 一 撇的坐标是多少？ 是不是就是负 x 负 y， 对 吧？好，那根据三角函数的定义，根据三角函数的定义，我们是不是就可以得到 sin pi 加 r 法 啊，是不是等于它的什么正宗标？正宗标是不是等于负 y， 然后 cosine pi 加 r 法是不是等于负 x， 它减特，然后 pi 加 r 法，它减的 pi 加 r 法 是不是等于 y？ 比是不是等于 sin 这个比 cosine 这个是不是等于负？ y 比负 x 是 负，负得正，所以说 y 比 x 还是，对吧？好，那我们来看一下，它和这个 sin 而法有什么关系呢？ sin 而法啊， sin 而法，我写在这里啊， 把这里擦一下， sin 而法是不是等于？按照定义，它是不是等于 y， 然后 cosine 而法是不是等于 x？ 贪婪的而法是不是等于 y 比 x？ 好， 我们来对比一下，你看到没，这两个之间有什么关系？ 是不是负为相反数，然后 cos 是 不是也是负为相反数？它念的是不是一样的，对吧？所以说追溯一道公式是不是就推出来了，看到没？在这里 sin pi 加 r 等于负的 sin， 然后呢？ cos pi pi 加 r 等于负的 cos 啊，法是，嗯，它们两个是负为相反数的嘛，然后它念的 pi 加 r 就 等于它念的 r 是 不变的，对吧？好， 所以这里就给大家推出来了，看到没？所以说其他几组一导公式都是按照这种方法在单位里面，然后找点的坐标，然后呢，就判断他们的关系，就可以得出这个一导公式的。 今天的话就先给你们说了这两组一导公式啊，大家好好掌握一下，好体会一下三角函数的定义，单位元啊，他们怎么联系起来？嗯，然后再去推导这些一导公式， 如果你学会了这些的话，就会非常灵活了啊。不要，一定，不要死记硬背，同学们。嗯，好的，那就先这样了，拜拜各位同学。

同学们，家长好，这个题目也非常重要。题型五，我们会讲到利用二分之派加减 r 法的正余弦定例，如何使用诱导公式。这两个例题都是非常有代表性的， 我们先来看上面的知识点啊。我们取第一个为例，在二分之派加 r 法，还是基于即变或不变符号看象限，二分之派相当于 k 是 等于一的，所以积变它一定会变成 cosine r 法。 那么如果 r 发是第一项线角，二分之派加 r 发是第二项线角，第二项线的时候 sin 是 正值，所以不加符号。 再举个例子啊。最后这个 cosine 二分之派减 r 发，你看二分之派也是二分之 k 派， k 是 基数，所以要变 cosine 变成 sine 变成 sine， 那 二分之派减 r 发在第几项线呢？我们先看负二发在第四项线，二分之派减二发就会变第一项线，那都是正的， 所以是 sine 阿尔法。好，那接下来我们来看例一和例二。先来看例一，已知 cosine 六分之派减阿尔法是三分之二，则 sine 阿尔法减三分之二派。这种题怎么办呢？你看啊，我们的核心思路是把阿尔法给去掉， 找到两个括号中间的关系，你看怎么能去掉，是不是相加呀？我们在这里写啊，六分之派减阿尔法 加上 r 减去三分之二 pi 等于多少啊？六分之 pi 减去三分之二 pi， 是 不是在这里就有对应的答案了，就是负二分之 pi， 负二分之 pi 也是我们喜欢的一个类型吧，可以用诱导公式啊。 所以在这里我们就继续写，在 r 减去三分之二 pi 等于谁？我们来看上面式子， r 减三分之二 pi 是 不就等于 在括号负二分之 pi， 然后呢，减去括号六分之 pi， 减去 alpha。 好， 那这里我们把它看作第一项线角加个符号，是不是在第四项线呢？再加个负二二分之 pi 呢？在第几项线， 是不是在第三项线呢？第三项线三点值是负的？好，那一定有符号，然后负二分之 pi 是 不是 k 等于负一是基数，所以负的口三也六分之 pi 减去二法，好，那到这里不就得出来了吗？是负三分之二。接下来我们再来看例二， 在 r 发减四分之派等于五分之八后，则 cosine r 发加四分之派，这个你看怎么把 r 发去掉啊？是不是相减就可以了？ r 发加四分之派 减去括号， r 发减去四分之派是不就等于二分之派？也是我们能够使用诱导公式的一个题型啊。好，那我们就在这里写，让我们求的是 cosine r 加上四分之派，它就等于 cosine。 我们来看啊， r 加四分之 pi 在 这里，它是不是就等于二分之 pi 加上括号 r 加减去四分之 pi 啊？好，我们把后面括号看做第一象限角加二分之 pi， 那 一定会变成 sine 吗？ 二法减去四分之派，因为二分之一派 k 等于一积变啊，所以塞口塞变成塞，他是第一项线加二分之派，相当于变成第二项线口塞。第二项线角是负的，所以它等于负的，它，那在这里是不是就得出了最终的结论，负五分之二，根号五啊？

这个视频我来讲讲诱导公式的应用。先来看个算式，塞派减阿尔法乘塞四派减阿尔法，再加上塞三派加阿尔法乘塞阿尔法减二派，比上口塞负二分之派减阿尔法乘口塞阿尔法减二分之三派，你能化解它吗？ 要化简它，关键需要两步。第一步，直接去掉二派的整数倍函数值一定不变。这儿没有二派，不用管它。这儿有两个二派都去掉，这儿有一个二派也去掉，这儿有个负二派直接去掉， 这样分子就清爽多了。再看分母，这和这都没有二派，不用管。好了，第一步搞定。接着第二步，去掉剩余部分，只留阿尔法看，这是派，是二分之派的偶数倍，所以去掉后，函数名不变，符号待确定，这也是派，去掉后函数名也不变。 在看分布上，二分之派和二分之三派都是二分之派的基数倍，所以去掉后口算都要变算符号待确定，函数名搞定了，别忘了把这些符号填上。看这儿，你可以把 alpha 看成第一项线段，比如三十度，那 pi 减 alpha 就是 一百五十度，是第二项线段， 再 pi 减 alpha 就是 正的，所以这儿就是正的。再看这儿， alpha 是 三十度， pi 加 alpha 就是 二百一十度，第三项线为负，所以这儿是负的。 再看这负二分之 pi 减 alpha 是 负，一百二十度，在第三象限为负，所以这二是负的。还有这 alpha 减二分之三， pi 是 负，二百四十度，第二象限角也为负，所以这二是负的。 最后整理一下算式，这个也就是负三 alpha 就 等于负三 alpha 的 平方加负三 alpha 的 平方比上三 alpha 的 平方，结果得负二化简完毕。 讲到这，我来总结一下，要化简这类算式，关键需要两步，第一步，去掉二派的整数倍。第二步，去掉剩余的部分，只留 r 法，最后整理一下就行。 这道题中有几派是明确告诉你的，有时候几派是不确定的，比如已知 k 属于整数， tangent k pi 减 r 法乘 cosine k pi 加 r 法比上 cosine k 加一 pi 减 r 法，你能化简这个算式吗？ 其实方法跟刚才一样，第一步还是去掉二派的整数倍，只不过不知道 k 是 基数，所以得分开讨论一下。 当 k 是 基数时，看这 k 派，去掉偶数个派后，还剩下一个派，还有这也剩下一个派。再看分母 k 加一派是偶数个派，直接去掉。第一步搞定， 接着用刚才的方法来化简就行。具体过程我就不啰嗦了，再看 k 是 偶数时，那这两个 k pi 就 直接可以去掉。再看这去掉 k pi 后，还剩一个 pi， 接下来同样用刚才的方法来化简就行。像这样， pi 前面有参数 k 时，就得分基数和偶数。讨论一下，剩下方法跟前面一样了。 好了，以上就是诱导公式的应用关键，记住两步，第一步，去掉二派的整数倍，第二步，去掉剩余的部分，只留 r 法，最后整理下算式就行。怎么样，你学会了吗？如果学会了，就速速刷题去吧！