数学九下锐角三角函数卷子山东

我们再来看一道关于锐角三角函数的典型计算题，请同学们一定要关注解析思路的分析过程。 为建设美好公园社区，增强民众生活的幸福感，如图一，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩，如图二，这是遮阳棚的侧面示意图， 遮阳棚靠墙端距离地面的高度即为 bc。 遮阳棚 a、 b 的 长是五米，与水面的加与水平面的夹角是十六度， 当太阳光线 a、 d 与地面 c、 e 的 夹角为四十五度时，测得影长 c、 d 是 一点八米。求遮阳棚靠墙端距离地面的高度 c d 啊 bc， 求高度 bc， 那我们看一看这这幅图。那么同学们解锐角三角函数题最关键的是要构建直角三角形，那么这道题求高度 bc， 求 bc 的 长， 那么我们肯定是要以 b、 c 来构建直角三角形，那么很显然，我们要做的第一条辅助线肯定是从十六度角 a 往 b c 做一条垂线 垂足，我们命名为 m， 那 么 b c 就 可以用 b m 的 长度加上 c m 的 长度，那么这个是十六度。告诉我们 ab 是 五， 那么在直角三角形 abm 当中， 我们已经知道了一条边， a、 b 是 五和一个锐角十六度，我们可以求出里面所有的角和边，所以我们可以求出 b m 的 长和 i m 的 长。好，我们求一下， 在 r t 三角形 a、 b m 中， a b 等于五角， b， i m 等于十六度， 那么如果我们要想求 b m 的 长度，那么我们用三英十六，所以三英十六度 就应该等于 b m 比上 i m， 三英十六度是零点二八，那么所以零点二八就等于 b m 比上五，所以 b m 就 等于零点二八乘以五等于一点四米， 那么我们就得到了 b m 的 长度是一点四米一点四， 那么下面我们要求 c m 的 长度，那么我们要求 c m 的 长度，我们肯定要以告诉我们的四十五度来构建直角的角形，所以下一条辅助线也就很容易了。我们从 a 点 做 c e 的 垂线， i n 那也可以，从 d 往 i m 做垂线也可以。总之一定是以四告诉我们的四十五度来构建直角三角形，那么这里面 只有一个四十五度角是没有办法求其他的边的，所以我们还要求出来那么对应的 id 的 长度或 i n 的 长度，或 d n 的 长度，那么这个是四十五度。我们知道 i n 是 d n， 那 么题目当中还告诉我们什么？还告诉我们 c d 是 一点八， c d 是 一点八米，那么如果我们知道了 c n 的 长度， 那么 d n 就 等于 c a n 减去一点八，那么 c n 是 等于上面 i m 的 长度，而 i m 的 长度我们可以用刚刚的 ibm 求出来，那么在这里面求，那么 那么我要求 i m 的 长度，你可以用五和一点四勾股定律来结，也可以用 cosine 十六度， 那么 cosine 十六度就等于零点 i m 比上 i b cos 六度是零点九六，就是，所以零点九六等于 i m 比上五，所以 i m 就 等于零点九六乘以五就等于四点八米， 那么所以 c n 就 等于 i m 等于四点八米， 那么又因为 cd 是 一点八米，又因为 cd 等于一点八米，所以 d n 就 等于 d n， d n 的 长度就等于四点八，减一点八等于三米， 那么又因为这个角是四十五度角， a， d n 等于四十五度，所以 a， n 就 等于 d， n 等于三米，那么 a， n 就 等于 c m， 那 么所以 c m 就 等于 i， n 等于三米，那么所以 bc 就 等于一点四， 加上三等于四点四米，那么最后得出了 b c 是 四点四米。那么这里面我写的就是主要的解析步骤，同学们在实际的解析的过程中可以把它再细化一下， 那么这就这就是这道题的整个解析思路，那么他的主要就是微摇。如何来构建直角的角形？好，本节课我们讲到这里，同学们再见。

我们再来看一道和我们的实际生活相关的锐角三角函数问题，请同学们一定要关注解析思路的分析过程。随着时代的发展，手机直播带货已成为当前最为强劲的购物新潮流。某种手机支架如图一所示， 立杆 ab 垂直于地面，其高一百一十五厘米， bc 为支杆，它可绕点 b 旋转， 其中 bc 的 长是三十厘米， cd 为弦杆，滑动弦杆可调节 cd 的 长度。参考数据如图二， 当 b、 c、 d 共线时， c、 d 的 长四十厘米时，且知感 b、 c 与力感 a、 b 之间的夹角是角， a、 b、 c 等于五十三度，那就这个角是五十三度， 求端点地距离地面的高度。那么根据我们刚刚读的条件， a、 b 是 一百一十五， a、 b 是 一百一十五至点 b、 bc 的 长是三十 c、 d 长是四十三点。共线让我们求 d 点的高度，就是这个高度。好，所以这道题很简单，我们可以作一条辅助线， 作 d e， 我 们作 d， e 垂直于 a、 b， 那 么 a、 e 的 长度， a、 e 的 长度就是 d 点 d 和地面的高度， 所以我们求出 a、 e 的 长度就可以了。那么很显然，这道题的解析思路就是用 a、 b 的 长度一百一十五减去 b、 e， 那 b、 e 就 很好求了。 b、 e 是 在这个直角三角形当中，那么 b、 e 这是五十三度，这个长度是七十，所以我们可以用关于五十三度的 cosine 来求。所以第二第一题啊，解析思路是，在二 t 三角形 b、 d、 e 中， cosine 五十三度是等于 b、 e 比上 b、 d cosine 五十三是零点六，零点六，等于 b， e 比上七十， b 是 b， d 是 七十，那么 b、 e 就 等于七十乘以零点六等于四十二，那所以 a、 e 的 长度就等于一百一十五减四十二就等于七十三厘米， 所以第一位点地和地面的高度是七十三厘米，这是第一位啊，比较简单，那我们来看一下第二位， 调节支杆 bc， 悬杆 cd 使角 abc， 这个角是六十度 角。 b、 c、 d 这个角是九十七度， 如图三，且点 d， 点 d 到地面的距离是一百四十八，点 d 到地面距离是一百四十八，求 c、 d 的 长度啊，求 c、 d 的 长度。 好，那这道题我们肯定做锐角三十行函数题，我们要想尽一切办法构建直角三角形。好，这道题我们怎么来做？我们的已知条件还有 一百一十五，三十， ab 是 一百一十五， bc 是 三十三十，那么还有一个是一百四十八，六十度九十七度，一百四十八，一百四十八，我们可以把它补全啊，可以把它补全， 我们从这往下做垂线。 好， d、 f 吧。 d、 f 是 一百四十八，这是一百四十八，那么让我们求 cd 的 长度。 c 长度，那么我们肯定要 通过 c、 d 来构建一个直角三角形，所以这道题的一个关键的辅助线就是过 c 点做地面的平行线， 这是垂直的 m 点，这也是垂直的 n 点。 好，请同学们看看辅助线。好，那么我们就好做了啊，好，做了，同学们想一下，这个是三六十度，所以这个角是三十度，这个 b、 c 是 bc 的 长度是三十，所以 bm 是 十五， bm 是 十五， ib 的 总长度是一百一十五，所以 i、 m 的 长度是一百， i、 m 的 长度是一百，所以 enf 的 长度就是一百， 那么所以 d、 n 的 长度就是四十八，那么在 d、 c、 n 这个直角方向中，这个是四十八， 那么我们还需要一个角，他们想一想，九十七度，我们是不是还没有用？这个角是三十度，这个角是九十七度，三十九十七，一百二十七，所以这个角是五十三度。 让我们来求 cd 的 长度，那么 cd 怎么求？我们是不是可以用五十三的三 a 来求，所以三 a 五十三就等于 d、 n 对 边比上斜边 c d 三，五十三是零点八，那么零点八就等于 d、 n， 我 们刚刚已经求出来了，是四十八，比上 c、 d， 所以 c、 d 就 等于四十八，除以零点八就等于 六十，这样我们就求出了 c、 d 的 长度是六十厘米。好，这道题最关键的就是怎样去作辅助线，构建直角的角形。 好，这这道题我们就讲到这里，同学们再见。

我们再来看一道锐角三角函数的典型题，请同学们一定要关注解析思路的分析过程。某中学依山而建，校门挨处有一坡角，阿尔法三十度 的斜坡， a、 b 长度为二十米，在坡顶 b 处测得教学楼 c、 f 的 顶角， c 的 仰角角 c、 b、 f 等于四十五度，离 b 点四米远的 e 处有一个花台， 在 e 处测得 c 的 c 的 阳角角 c、 e、 f 等于六十度。 c、 f 的 延长线交水平线 i m 于点 d， 求 dc 的 长，结果保留根号。 好，我们标一下给我们的条件，阿尔法三十度，坡长二十米， 这个角是四十五度， b e 的 长是四米，这个仰角是六十度。 那么让我们求 c、 d 的 长度啊！这道题其实不算是很难，那么我们首先告诉我们， 这个角是三十度，四十五度，六十度，三个都是特殊角，所以结果可以保留根号。 告诉我们两个长度， ab 的 长是二十， b 的 长是四，我们求 cd 的 长，那很显然， cd 的 长由两部分构成，一部分是 c f， 一 部分是 f d， 那 么这个角三十度。所以我们可以把 f d 平移，我们作 bm 垂直于 id， 那 么这个角是三十度， ib 是 二十，所以我们很容易得到。 bm 的 长度是十，所以 df 的 长度也是十， 那下面我们只要求 cf 就 可以了，那么这个角是六十度，所以这个角是三十度。 所以我们可以设 e f 是 x， 那 么 c e 就是 两 x， c f 就是 根号三 x 一二，根号三 x 两 x， 根号三 x， 那 么这个角是四十五度，所以 b f 就 等于 c f， 那 b f 我 们可以用四加 x 来表示， 那么 c f 用根号三 x 来表示，所以 b f 等于 c f 就是 四，加上 x 等于根号三 x， 那 么根号三 x 减 x 就 等于四， 根号三减一， x 等于四 x 就 等于根号三减一分之四。这个方程同学们会不会解？ 哎，我们可以采用分母有理化的方式，把它两边同时乘以根号三加一，它也乘以根号三加一。 那么 x 就 等于下面是三减一，上面是四倍的根号三 加四，最后 x 的 结果就等于是二是二倍，根号三加二，那所以 c f 等于根号三 x 就 等于根号三乘以二倍，根号三加二，就等于 六，加上二倍的根号三。所以 c d 的 长就等于 c f 加上 f d 就 等于再加上十十六，加上二倍的根号三。 我们看看一看，这就是这道题的解析过程啊。这就是这个叫解析过程啊。这道题，嗯，不是很难，同学们听懂了没有？好，本节课我们讲到这里，同学们再见！

我们再来分析一道关于锐角三角函数的典型题，请同学们一定要关注解析思路的分析过程。 如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点 p 到地面的距离 p c 等于两米， 看前方移动建筑物顶部点 m 的 阳角为五十三度，且点 p 与建筑物的水平距离为二十米。 一，求建筑物 m n 的 高度，那告诉我们 p c 是 两米， p c 是 两米， 点 m 处的阳角是五十三度，点 p 与建筑物的水平距离是二十米，求 m n 的 高度。 那么做锐角三角函数题，首先我们要思考的就是构建直角三角形，那么这道题很显然过点 p 作 m a n 的 垂线 垂足为 e， 这样的话，我就把线段 m a n e 分 成了 me 和 ne 两部分，那么 ne 是 等于 p c 的， 是等于二。所以在第一问当中，我只要求出 m e 的 长度就可以了，那么 m e 是 在三角形 p m e 当中，所以第一问 的解析思路是，在 r t 三角形 p m e 中，那么我们有角 m p e 等于五十三度，我们还有 p e 是等于二十，水平距离是二十，所以我们可以利用五十三度的正切值来求 m e， 那 么所以 tanne 五十三度就等于 m e 比上 p e， 它令它五十三是三分之四，所以三分之四就等于 m 一 比上二十， 那么从而我们可以求出 m 一 等于 三分之八十，那么所以 m n 就 等于三分之八十，再加上二化简后是等于三分之八十六 啊！第一位，我们是构建直角三角形啊，构建直角第二位啊！第二位， 驾驶员从点屁看地面的斑马线两岸 ab 的 俯角分别是二十度和七十六度。 若每个人所占斑马线的宽度按零点五米计算，第一小问求出斑马线的宽度， ab 求斑马线的宽度， ab 求 ab 的 长。那这道题首先我们要搞清楚二十度和七十六度是哪些角？ 二十度是 p 点看 a 和 b 的 俯角，所以角 e p a 角 e p i 这个角是二十度，那么角 e p b， 角 e p b 的 度数是六十度啊，不是，是七十六度，七十六度，那么是两个负角，那么我们要求 a b 的 长， 肯定要再一次构建直角的角形，那么我的方法是，我 过 a 做刚刚的 p e 的 垂线， if 我 做 if 垂直于 pe， 做 if 垂直于 pe， 那 么在我打阴影的这个矩形，我在 二 t 三角形 a p f 中角 a p f 是 等于二十度， if 是 等于 pc 等于两米的，所以我利用这个俯角二十度和 if 的 长度两米，就可以求出 p f 的 长度， 那么它令它二十度应该等于 if 比上 p f， 它那个二十度是零点三六，那零点三六等于 if 是 二，比上 if， 所以我可以求出 i f 等于二二，除以零点三六，那么一个等于 三十六分之二百啊，我们等一下再接着进行化简啊，等一下再接着化简， i f 是 三十六分之二百。好，同学们，这里面更正一下啊，更正一下 p f 啊，这是 p f， p f 是 等于二，除以零点三六等于三十六分之二百，这么我们就求出来 p f 的 长度。那么 有了 p f 的 长度，我们要求 a b 的 长度。 p f 的 长度求出来了，那就是 i c 的 长度，我就要用 i c 减去 bc， 我在求 b 的 长度就可以了。那 b、 c 在 哪个三角形当中呢？ b、 c 是 在三角形 p、 b、 c 当中，他们看看这地方有点小，三角形 p、 b、 c 当中。好，所以在 r、 t 三角形 p、 b、 c 中，我们知道 p、 c 是 等于两米的，那么这个角 p、 b、 c 等于多少度呢？同学们，角 p、 b、 c。 哦，有同学发现了角 p b、 c 和角 e， p b 是 内错角， 角 e， p b 是 刚刚的负角七十六度，所以角 p、 b、 c 是 等于七十六度。 这样我利用 p、 c 是 r 和角 p b、 c 是 七十六度，就可以求出 bc 的 长，那它令它七十六度就等于 p c 比上 bc， 那 它的七十六是零点十四。四，等于 pc 是 二除以 bc， 那 bc 就 等于二除以四，等于二分之一。由此， 根据 p、 f 和 bc， 我 就可以求出 ib 的 长， ib 的 长一个等于三十六分之二百，减去二分之一。最后是等于 三十六分之二百，减去十八等于三十六分之 一百八十二，等于十八分之九十一。所以 a、 b 的 长度斑马线 a、 b 的 长度是十八分之九十一米。 这是第二小题第二问的第一小问。那第二小问求行人在斑马线上以横排并排行走时最多的人数 条件当中告诉我们，每个人所站的宽度是零点五米，而斑马线的宽度是十八分之九十一。所以第二问就非常简单了，那就是那十八分之九十一 除以零点五，等于十八分之九十一乘以二，就等于九分之九十一，那九分之九十一 等于十六九分之一，那所以最多 十人，最多十人。那么这这就是这道题的整个解题思路， 同学们听懂了没有？如果没有听懂的话，请同学们多听两遍。好，本节课我们就上到这里，同学们再见！

锐角三角函数部分的知识点，这个题呢，跟我们讲的是说在数学红课上，小丽为了测量校园的旗杆 a、 b 的 高度， 站在教学楼的 c 处，测得旗杆地端 b 的 负角为四十五度，测得旗杆 顶端 a 的 仰角为三十度，已知其杆与教学楼的距离必定等于九米，请你帮他求出其杆的高度。图给我们给出来了，而且给我们标出了所谓的负角和仰角，这是三十度，这是四十五度。 那这题呢，在我们的蹄盖的时候是没有明确的，让我们自己去找仰角和负角，也就说蹄盖已经给我们标注了所谓的三十度和四十度在哪里，那我们就可以直接去求解了。在这边说让我们求出蹄盖的高度，那蹄盖横线是这个样， 那蹄盖的高度和谁的高度相等呢？那我们直接去求它的划分线是求不出来的，那我们需要借助 ab 来求蹄盖的长度的时候 们就算出了膝盖的高度，再看给出了三十度和四十五度这两个角，而对应的一个三角形 a、 b、 c， 那 我们根据三角形 a、 b、 c 能不能直接去求解这个 a、 b 的 高度呢？那三十度加上四十五度等于七十五度，那剩下两个角你是可以算出，根据三角的内角和算出角 a 加角 b 等于多少度，但是角 a 和角 b 是 没有办法直接求出来的， 所以在这题给我们给了一个类似于 a、 b、 c 这样一个三角形以后，你要直接去用三角形 a、 b、 c 去求解的话，肯定不行，那我们只需要用到锐角三角函数的知识点来求解我们心肝的高度，那我们就需要对这个图 重新进行一个构造，那重新构造的时候，我们遇到的问题就是一个三角形来说，我们需要在这个三角形内部，或者在这个三角形的外部重新去构造一个新的三角形， 然后我们再去求解对的边。那么这个题来说，我们需要是求解 a b 的， 那么求解 a、 b， 我 也就说我们不能够一次性把 a b 它算出来，那我们可以通过构造在这一座辅助线，你可以把这个点写成 h。 当然呢，你既然写了 h， 那 这里解 设过点 c 做 c h 垂直于 与 a b， 这个点是我们的 h。 好 了，现在有了三角形 a c h 和三角形 b c h， 以后我们就可好求结了。现在来看，我们已经说了，说过设过点 c 作 c h 垂直于 a b h 为 垂足。好，知道 h 为垂足。以后，当这个角是四十五度，那剩下的这个角也是多少度？也是四十五度， 那你说你咋知道的？因为这个角是九十度，这个角是四十五度，那剩一个角当然也是四十五度，四十五度加四十五度，剩一个角就是九十度。好了，那这个是九十度，反面这个是多少度？九十度，剩下这个角也是六十五。 那你说你这里咋知道它一定垂直呢？那我从这里穿过去做了一个垂线啊，如果说我连接 c h 也可以，那连接完以后你可以先去算 e h， 你 不写这个条件也行，那你来算，那就需要用到我们的这个锐角三角函数的支点去求解它，那我可以写成 呃，弹性贴的四十五度等于对边 e h 比上零点 c h c h 好 了，那 c h 等于谁呢？看这里的条件， c h 等于 b d， 这段线和这段线是平行切下来的，因为其根处肯定是垂直的，所以这个是九的时候，这个也是九，那么就可以把它用上。那我们这里呢时候，我们写成 比上 c h 等于 b d 啊，我们在这里可以写成 好了，根据它它减四十五等于一，那由这个时候可以得到什么呢？可以得到 b h 就 等于九乘一等于九，所以这个题目这也在这里的时候不用算也是可以知道的。四十五度四十度，所以它也是 九，到它数是九的时候，我们再去算 a h a h 的 时候，这是三数，那对边又比一边，那我们就说在这个三角形处，我们一起在三角形谁 b c h 中， 那么在上面这三角形里头，我们可以写在三角形 a c h 中，我们可以得到它。今天的三十度 等于等于什么呢？等于对边比一边，等于 a h 比上 c h， 我 们刚写过了 c h 等于 b d， 那 a h 是 不知道的。 a h 比上 c h 是 九，那你算数等于多少？等于三分之根号三。 好了，把这个可以给它算出来，那我们通过这个式子可以推出 a h 等于多少，然后那我们可以给它交叉相乘，就说九倍的公号三，然后这两个相乘三倍 a h， 然后九倍光三除以三，可以写成九倍根号三，除上一个三，所以等于三倍根号三。好了， a h 知道了， b h 也知道了，所以我们的旗杆的高度， a b 就 等于多少，等于 a h 加上一个 b h 等于三倍根号三，加上一个九，那我们就把它算出来了。所以这个题呢，我们是需要构造，也就是说遇到这样一个三角形的时候，我们需要把它重新 去构造成两个新的四角形。比如说，比如说给一个八十度的三角形和一个角，然后我们两边需要把它分开，分开去单独做求解，然后我们就可以把这个所对应的长度给它求解出来。好，这个题我们就到这里。

同学们好！九树上第十六讲刷二零二四中考锐角三角函数真体，抓考点、提效率。本讲聚焦锐角三角函数核心考点， 包含三类高频题型，一是仰角、俯角实际测量体向卫星高度、建筑物高度、谷树楼高测量占比超百分之四十，关键是构建直角三角形，利用 sin cos 建立边角关系。 二是特殊四边形、矩形、菱形、正方形与三角函数结合体，常考折叠对称动点问题，需灵活运用四边形性质转化角度和边长。 三是基础计算与线段长度求解，侧重公式应用和几何推理。解题锦囊，记牢这三点，一、遇实际问题，先画直角三角形，标注已知角度和边长。 二、特殊四边形中巧用对角线中点对称性质找直角。三、牢记特殊角三角函数值，结合参考数据精准计算。这些真题覆盖全国多省市考情，掌握这些题型，锐角三角函数模块就能轻松拿下！好的， 我是郑州李老师，相关真题的高清截图已放入评论区，有需要的同学可自行保存。春风数学寒假预招生中，想要提升和拔高的同学也可直接咨询我们，下一讲再见，记得关注再走哦！

在 r t 三角形 a b c 当中，什么是角？ a 的 正弦呢？正弦而正，你可以理解成角正对的，那么角 a 正对的那条边， a 比上这个所在直角三角形，它的斜边也就是 a b c， 那 记作 sin i 记作 sin a 啊，怎么写？ s r n， 然后一个大写字母，当我们这个角用一个大写字母表示的时候，来角 sin a， 那 个角的符号可以不写啊， 但是呢，它也可以这么写，叫 sine 角 b a c， 角 b a c 啊，都完事了，对吧？啊，这个时候呢，你这个角的符号呢，是要写的，根据定义，它是等于 a 比上 c， 那 同样的啊，就叫正弦弦啊，弦是什么？斜边的意思啊，斜边 勾三股四弦五，勾三股四弦五，那个弦就是斜边的意思了。那鱼点呢？鱼肯定是不是正对的意思啊？鱼就是旁边的意思啊，旁边。那么旁边角 a 的 旁边的这个直角边是什么？ b， 那 b 比 c 呢？ b 比 c 叫 cosine a 啊， cosine a， 那 根据定义，它就等于 b 比 c 好，我们看最后一个，那 a 比 c 比过了啊， b 比 c 比过了，还有 a 和 b 没有多比啊，这也有一个名字叫正切，正还是正对的意思啊，正切呢啊，就是对边比上它的零边，那么根据这个定义，那 tangent 啊， tangent 的 a 呢，是等于 a 比上 boy b 好。 这三个概念，正就是正对啊，弦就是斜边，记住一个，其他两个都记住了，鱼就旁边。那正切呢，就是对边比上旁边好。这三个概念是不是了解了 三 a 等于 a b c 啊， cosine a 等于 b b c 好， tangent a 等于 a b b 啊，都理解了，是不是好，理解了之后啊，我们再来看一看，根据这个定义啊，那请同学们帮我写一写 sun b 三个 b， 来， 三个 b， 我 们以 b 为研究对象，三叫正写，对吧？正对的 b 笔上还是写边 b b 让 c， 而我们再来，那 cosine b 呢？ cosine b 的 旁边的这边，那就是 a 喽啊，是 a b c 啊，那 tangent b 呢？ tangency tangent b 比上 a 哈， b 比上 a 好， 那我们发现，当我们的角 a 和角 b 处于角 a 加上角 b 是 等于九十度，它俩是互余的状态，就满足了。这里的 sine b 和 cosine a 是 相等的。 同样道理来， sine a 和 cosine b 相乘是互为倒数。 说鱼弦说 cosplay 啊，不是啊，呃，这是 cosine c o s r n e 啊，这是 cosine s r n e 就是 e 不 发音， i 发自己的原音。 cosine 这个 code code c o 是 cosine cosine 啊，差不多就是你们英语学的那个读音规则啊，一模一样，反正就是没有违背你的意思啊。好，那当 a 和 b 互为的时候啊， t 乘 t 乘 b 是等于一哈，是吧？啊？没了啊，那么再来观察观察啊，那同学们帮我来算一算，就是 sine a 的 平方再加上 cosine a 的 平方等于几呢？ 等于六，等于一啊，等于一是吧？而 sine a 的 平方和 cosine a 的 平方就 c 分 之 c 分 之 c 平方分之 a 平方加 c 平方分之 b 平方等于 c 平方加 b 平方等于一啊，啊，是吧？好，那我们再来大家来观察一下，因为 因为三 a 是 等于 a 比 c 哦，你知道直角边是小于斜边的对吧？那三 a 一定是小于一哈， cosine a 呢？也肯定是小于一哈，因为是直角边，比较斜边，但 hundred a 呢，有没有可能它有可能大于一，也有可能小于一，对吧？啊，不一定与一啊，大小不一定。 好，那么大家再来看一看我，如果现在呢，取 a， b 的 中点，再取 i， c 的 中点啊，假设呢，我赏它两个字母，一个是 e， 一个是 f， 这是 e， 这是 f， 并且呢，这样是垂直的。那么在 r、 t 三角形 i， e， f 当中，我的 sine i 是 等于多少？ 好，我是取的中点啊，取的中点，取的中点，那就是中位线咯。这里是二分之 c， 这里是二分之 a， 这里是二分之 b。 哈， 啊，还是等于多少？还是等于二分之 a 比上二分之 c 等于 a， 比 c 吧。啊，那我们发现了，即使我在不同的三角形当中，我的三 a， 只要这个角 a 的 大小是确定的，三 a 三 a， 它怎么样？ 哎，他就是确定的。所以啊，咱们就理解了，为什么以前只要是三十度的三角形，他的三边之笔都满足的是一比高，三比二，只要是四十五度的，这样三角形就满足一比二，一比一，比根号二，是吧？所以，边与边的比值是固定的。而且，既然是比值了，他有没有单位啊？三 a 是 不是，是不是有单位的呀？有，有没有什么？三 a 等于五米？ 不行，他只是一个比值，是两个线段的比值啊，是没有单位的，对吧？好，那么记得我们这里呢，叫角定直定，没有单位哦，那么反过来，既然角确定了，直就定了，那直定呢？直定， 我比如说算 a 等于五分之三，那个角呢？其实也是确定的，叫直定角定。 就比如说一个数啊，一个一个角，嗯，它的对边比上那个在直角三角形啊，它的对边比上斜边是一个一比二。那这个角度是多少度等于多少度？ 三十对吧。哎，就是三十就确定了。那只不过是说啊，你知道 sin 三十度是等于二分之一，知道是 sin 二分之，嗯，那个值等于二分之一的是三十度我们只是不知道啊，到底是这个值确定之后那个对应的度数是多少但是实际上呢人类已经有这张大表了，你可以查表 到高中之后呢你还可以反求还可以反表示就啊啊反啊啊反明白吧啊好，我们一起来看啊居然有同学表示有点困难啊。就对你们实力啊表示怀疑。来四十五度假设他他说四十五度吧。三 a 三 a 叫什么。正对的那个正对的那个比上斜边一比更好， 等于分母有理化二分之刚好 cosine cosine cosine 是 一比刚好等于二分之刚好二 tangent tangent 正对的比上旁边的直角边两个直角边作比一比一 等于一没了吧 so easy so 好， 那我们继续三十度的锁定三十度三十度锁对的一一比上二二分之一没了好， cosine a 还是 a 旁边的这个 杠三比上二哈比上二没了。然后呢添着的呢？添着是正对的正对的一比上它旁边的杠三等于三分之杠 三三十度就完事了，我们推完了给大家休息好吧。好，再锁定一个六十度的对吧。六十度的哦。我要写吗我要记吗？不需要吧，因为三十和六十怎么样它俩互余差的。三等于什么 它的三等于什么等于 cosine 三十吧，等于直接写了二分之二。 cosine 呢？直接等于 sine 啊，二分之一添着呢，等于它的倒数了，等于刚好三分之三等于什么？刚好三没喽没喽。那所以啊宝贝我只需要记一个四十五度，只需要推一个三十度，只需要推一个四十度就行了吧。这又有何难度呢？

hello， 各位同学好，我是教数学宋老师，那么今天给大家去分享的是，哎，初三的每日一练，来，咱们看一下，依然是三角函数的有关题型啊， 说，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 b 等于角 d， c、 b 等于九十度，九十度，九十度。然后告诉我们 ab 是 一个六， ab 是 个六， cd 是 个二 啊，然后还告诉我们 ab 是 让我们取 ab 的 长，那太简单了啊， ab 送水啊， 啊，放水，放放水啊，哎，太简单了啊，因为三角形 a、 b、 p 全等于三角形 p、 c、 d， 哎，所以这个 p c 不 就等于， 哎，所以这个 p、 c 其实就等于 ab 是 不等于六？我们把该标的都标一下啊， b p、 b、 p 是 不是等于 c、 d 等于二？ ok 啊，你把能得到的信息你全得一下，全得一下啊，我也后面也做做铺垫， 为后面做做铺垫啊，所以这个 b、 p 就 等于 c、 d 等于二， ok 啊，而且啊，我们想一想，你这两个全等 还能得到啥？还能得到这个值九十度呀，那为啥呀？你看这啊，你两个全等，那角一 加角二本来就是九十，那由于角一又等于角三，所以角三加角二也是九十，所以 a、 p、 d 就是 九十？看啊，由于你俩全等，所以角一是不是肯定是等于角三呢？ 对吧？又因为角 a、 b、 p 等于一个九十度，所以角一加角二是一个九十度， 而你角一等于角三，所以角二加角三也是一个九十度啊，所以角 a、 p、 d 是 不是等于九十度？ 好，接下来的话，我们勾股一下不就完了吗？你这是九十度，你看两次勾股吗？这个是不是可以算出来啊？这个是不是也可以算出来啊，勾股定律不就把 a c a d 取出来了 好吧。啊，也就是说 a p 就 等于根号下六方加二方，也就是根号四十，根号四十是一个二倍的杠二十啊， ok 啊，二倍的杠二十啊，那这个啊，那这个 p d 肯定也是二倍杠二十啊，啊，这两个全等呀 啊，所以这个 a d 就是 一个根号下啊，两倍二倍的根号十的平方加上二倍的根号十， 所以其实说白了就是根号八十，根号八十是一个四倍的根号五。 ok， 答案收工啊，第一位送分体啊，我们重点说的是第二位啊，第二位让我们去求的是贪婪的 d a c， 也就是求这个角的贪婪的值。 那你想一个道理，想要求这个角，它是我们第一个直观感受是啥？要么你就给我转换角，把这个蓝色的点点给我转换成其余的点点位置，要么你就是直来直去的直接在原位置上。 哎，把它放到直角当中，我们昨天也说过了，要么你就给他直接放在直角当中，要么你就给我转换走。这个思维你一定要有。但是这道题的话我就不绕圈子了， 我们直接搞它就行了。怎么搞？我们直接从地点往这里做一个垂线就 ok 了嘛。你看啊，我都是辅助垂线做法就是过点力， 过点力，做一个 d h 垂直于 a c。 好， 那我接下来我只需要把什么求出来就行了，它要求这个角的值，你看 a d 我 已经知道了， a d 我 已经知道了，是一个四倍的勾二二五。 哎，我要是能把 d h 求出来，那通过勾固定力，是不是这个角也能求出来？那所以 d h 比 a h 不 就是它的弹性值吗？不就有了吗？ 那怎么去求这个高嘞？等面积法看见了吗？看着啊，等谁的面积？三角形 a， d c 的 面积，哎，是不是等于底乘高？也就是说二分之一乘以这个高乘以 a c， 而三角形 a、 d c 的 面积，它还等于长，你还可以拿它当底高，就是这句， 而这一节不就是底下的八吗？所以你还可以二分之一乘以 c d 当底， c d 当底高，就是这个高，但这个高不就是这个高吗？也就是 c d 当底，哎， bc 当高，哎，说白了就是我就直接算出来了二分之一乘二乘八呀，所以就是八呀。那 a c 知道不知道了， a c 太知道了。 ac， 你 可以在这个里头勾股呀，所以在直角三角形 a b c 中，那这个 ac 就 等于根号下三十六加八八六十四，所以其实就是十呀， 啊，所以这一节很轻松地算出来就是十呀， a c 是 十呀，啊，那这个面积不就是二分之一乘十乘 d h 吗？不就等于那个八吗？ 那所以 d h 我 们不就算出来了吗？是一个，哎，是一个五分之八呀。 好， d h 算出来了，我觉得这道题也就结束了吧。我刚才说了， d h 你 算出来之后的话，你再勾股不就把 a h 求出来了？所以 a h 就是 根号下， 哎，根号下四倍的根号五的平方减去 d h， 也就是减去五分之八的平方，你自己去算吧，哎，你自己去算吧，啊， 啊，你自己去算吧，那 a h 算下来是一个五分之四四，带你算了啊，我就不带你算了啊。哎，所以贪着它叫 d a c， 它就等于 d h 比 h， 也就是五分之八，比上一个五分之四四。好，你自己算一下，最后算出来是十一分之二， ok， 哎，也就打完收工了，你学会了吗？

大家好，欢迎来到暖暖老师的课堂啊，今天我们继续学习三角函数的应用啊，这个在九年级里面的话，出现的概率还是会比较大一些啊。好，已知我们 a、 b 的 这个杆子在某一时刻形成的影子呢，恰好落在 c、 d 点的低处 啊，落这个位置，所以的话呢，我们可以把这个延长一下啊，给他延长啊，这垂直的啊，这垂直，所以标个一点好，一米长的杆子隐藏是一米，那说明 a 一 跟 ed 的 长度是相等的啊， dc 等于十， cd 等于八，这个斜坡的这个角是三十度 啊，这里是三十度，那你做垂直，这里标个 f 点，三十度，在直角三角形里面所对的直角边等于斜边一半， c、 f 直接标啊，等于四。好，然后接下来你用他们之间的关系过五定律，对吧？去算好，一二根号三，长的直角边是短的，直角边的根号三倍，这里就是四倍根号三了。 e、 f 跟 b、 c 长度是一样的，那你给它标上来好，那 e、 d 跟 a、 e 是 相等的来， a、 e 等于 e、 d 也就等于十，加上四倍刚好上。为什么说它们两个相等呢？你观察一下一米的竹竿，它的一个影子长度刚好是一米， 那他们是一比一的关系对不对？好，所以的话， a 相当于是那个物体，对吧？ e、 d 相当于是它的隐藏啊，隐藏好，然后接下来我们的 a、 b 要求出来，要把这个 b 给它减掉。 c、 f 等于四，那 b 也等于四了啊，所以 a、 b 十加四倍根号三，减四，就六加四倍，根号三。所以这道题选 a 选项啊，选 a 选项。

c 等于五，那个 bc 等于五，因为它折痕，所以那个 c、 f， 它勾股定律就相当于 f， d 等于三，那要求的是摊着它 a， f、 e 那 折回去了啊。那个那个一线三等角，然后那个三角形 a， f、 e 和它 c、 f、 e 相似， 然后一线三等角，就知道三角形 a、 f、 e 相似于三角形， 相似于三角形 d， c、 f 然后那个角 a、 f、 e 就是 放在角 a， c， e， a， f， e 能换在角 f， c、 d。 角 a， f、 e 换在了角 d、 c、 f 上啊，对的， 那么这里面我们用到了一个，是不是用啥转化，把角 a、 f、 e 就 转化到了角 d， f、 c、 m 上，好坐变步。 那在解答这道题的时候，我们把相同的角进行了转化，这种解决三角函数问题的方法，我们叫它等角代换 b， c、 d。 我 们可以把 b、 c、 d 因为想起，所以 b、 c、 d。 角 a、 b。 角 b、 c、 d 就 转化到了角 a 上，角 a 上，所以摊整个角 b， c、 d 就 等于 c， d 比 a， c 就 等于摊整个 a 吧。嗯，对，就等于 c， d 比 a， c。 得数啊，我等于呃三分之四 a 等于 b c 六比八等于多少？四分之三，对，那这个地方我们也用到了一个等角代换来四小题，谁看出来了？ 其他同学 正切正切值，正切值我们知道，就是 tangent 对 边比零边， 然后在一个圆中同弧所对的圆周角相等，所以角一等于角二。我们可以在三 r、 t 三角形 abc 中算角二的正切值，正对正切值就是一比三十三分之一。

这是一个三十度角，咱以它为内角做一个直角。三角形就是一块你已经很熟悉的三角板，其中这条边叫做三十度角的对边， 这条边叫做三十度角的斜边，这条边叫做三十度角的邻边。根据之前所学的知识，如果我告诉你对边的长是一，那你一定知道斜边的长就是二。 如果我告诉你对边的长是三，那你也一定能推出斜边的长就是六。换句话讲，不管三十度角的对边与斜边具体长度是几，只要三十度角这个角的大小不变，那对边与斜边的比始终都等于一比二。 这说明对边与斜边的比值其实是由三十度角所决定的，与三角形大小无关。与之类似的还有对边与林边的比，以及林边与斜边的比，它们都与三角形大小无关。 你像三十度角的邻边比上三十度角的斜边，就等于根号三比二，而三十度角的对边比上三十度角的邻边就等于一比根号三。 这一系列比值都只与三十度角有关，而与三角形的具体大小无关。所以，数学家给他们起了一个统一的名字，叫做三十度角的三角函数。 为了把这些三角函数互相之间区分开来，他们又起了三个不同的名字，把对边与斜边的比叫做三十度角的正弦记作 sin 三十度。把邻边与斜边的比叫做三十度角的余弦，记作 cosine 三十度。 把对边与邻边的比叫做三十度角的正切记作 tangent 三十度。根据刚才的结论， sine 三十度就等于二分之一， cosine 三十度就等于二分之根号三 tangent 三十度就等于根号三分之一，即三分之根号三。 三十度角的正弦、余弦和正切，你已经明白怎么回事了，那别的角的这三个三角函数你会求吗？比如，咱来算算四十五度的三角函数值，你同样以四十五度为内角做一个直角三角形。显然，三边的比为一比一比根号二。 根据定义，正弦是对边比斜边，那他就等于一比根号二，化简后就是二分之根号二， 而余弦是邻边比斜边，这两边的比显然也等于一比根号二，化简后就是二分之根号二。至于正切，他是对边与邻边的比，结果就等于一比一得一。 其实，对于任意一个锐角，你都可以像刚才这样，借助直角三角形来计算它的三角函数。比如这个角 a 要求它的三角函数，你就以 a 为内角做一个直角三角形，把对边比斜边的比值记作散 a， 邻边比斜边的比值记作 cos a， 对边比邻边的比值记作 tenant a。 进一步的，如果我告诉你这个直角三角形恰好就是三四五，那三 a 就是 三比五得五分之三， cosa 就是 四比五得五分之四， tenant a 就是 三比四得四分之三。 以上就是三个常用三角函数的定义。关键就一点，牢记这三个三角函数的算法。对于任意一个锐角 a 而言，以它为内角做一个直角三角形，角 a 的 正弦散 a 就是 对边比斜边角 a 的 余弦， cos a 就是 邻边比斜边 角 a 的 正切 tan tan 的 a 就是 对边比邻边。怎么样，记住了吗？如果记住，就快快去刷题试试吧！