高中数学立体几何二面角思维导图

哈喽，欢迎来到老刘数学啊，点赞关注不迷路。今天我们讲一个立体几何和这个圆锥曲线的结合的这么一个题目，你表面上看他考立体几何，但是他考的还是圆锥曲线，那我们看这个题， 已知锥体。 ab 告诉你了， pc 告诉你了， pa 加 pb， 我 们要把条件看清楚， pa 加 pb， 先把这个条件研究明白吧。 ab 是 个定值， ab 是 个定值， pa 加 pa 等于它，那我们来看它是一个什么？它是以谁以 ab 为焦距， ab 啊， ab 为焦距的一个椭圆，对吧？那我们 p 标上 pa p b 来，我们图就画好了，我们图好以后我们看，因为你 p a 加上 p b， 它等于四等于二， a， 我 就推出 a 就 等于二， 那么这里面 c 等于二分之 a， b， 它等于根号二，我就推出 b 等于 也等于根号二，所以我这个我就可以把它写出来了。这个椭圆 s 方除以谁 四，加上 y 方除以二等于幺，也是 p 点轨迹，我就找到了 p 就 在这个半平面上晃动，对吧？在 ab 这个半平面晃动，它是一部分，它不是全部，这我就看懂了，我们再看这个，哎，再看这个， 它是个什么东西呢？我们要把它表示出来，同样的表示方式，你会啥，你就表示啥，哎，我们一点一点去拆解它， 哎，这个是同样的，这个是 b， c 在 这，这是 c， 这是 c， b， 那么在这里面 a 就 等于一了， c 还是等于根号二，那么我由他俩，我就推出 b 等于谁， b 也等于一，它是个等轴双曲线，我先把它也写出来，有没有用先放在这里，是 s 方减掉谁， y 方等于一。 ok， 那 这两个条件我们就读懂了，那我们再看它求什么？求二面角，以 ab 为交线的什么二面角的余弦值。所以我要把立体几何这个图也先画出来，我们把这个图画出来， ab a b， 它是个定值， c p， 哎，这个图也就画完了，图也就画完了。你想要求二面角的余弦值，我必须先找到二面角，所以我要去做二面角， 要做这个终点，我先标上 o 点，哎，这是 o 点，这也是 o 点，对吧？我要从 p 点先引垂线， h， p h 垂直于 b， 还谁垂直于 ab？ 我 们看已知条件，还有一个 ab， 它垂直于 p c， 我 就推出 ab， 就 垂直于平面。 p h c， 我 就推出 ab 也垂直于 c h 了，我们再把 c h 连上。 哎，到这里我们就把二面角找到了。这个二面角其实就是 cosine 角，谁 p h a， 就 这个角，你想求它，我是不是就把它表达式写出来？你会不会先要写它表达式等于谁？它等于 p h 的 平方加上 c h 的 平方，减掉对边方一除以二倍的 ph， 加上点成 ch， 那 在这里边想求它的范围，哎，想求它的范围，我只需要将这 ph 和 c h 两个变量变成一个单变量，是不是就做完了，对吧？把 ph 和 c h 变成单变量， 也是做垂直。我们看这，哎，这是 h， 从这里引垂直，这也是 h 啊，这也是 h， 怎么能把它弄成单变量呢？因为你这里，我把这个连上，我把 o 连上， o 和 p 都通通连上， 看他们俩公共部分，他们两个的公共部分是谁？是不是 o h， 我通通用 o h 代替。我这个题就做上了，所以我在这个图一，这是图一，这是图二，所以我在图一里面啊，图一里面我用演个参数方程，它变量就会减小，所以我直接设 o h 等于二倍的 cosine c， 它属于哪，它就大于零嘛。 c 它属于零到 pi 比二，对吧？ o h 等于它，那 ph 呢？ ph 等于根号二倍的三级它，那么这两个我就都表示出来了， ph 出来了， o h 出来了，那么现在我还要表示谁 c h c h 等于谁？ c h 等于 o h 的 平方 等于它，对吧？我就推出 c h 等于根号向 四倍的 cosine c 的 方减掉个一，那么这些数据就通通出来了。所以 cosine 角 p h c 啊，这是 p h c 等于谁？ p h 方带进来， p h 方 也是两倍的 sine sine 方加上这个的平方四倍的 cosine sine 方减一，再减一，再除以两倍的 p h 根号二， size it 点成根号相，四倍的 cosine 减一。哎，我们向量整理， 向量整理以后，这就是单变量函数了，我们高一就可以处理它了。 那我们来看，因为这里面既有散又有口塞，我们进行统一变量，这有个二配，它也是个二，那么它就是两倍的 cosine 它方两倍的 cosine 它方除以二倍根号二， size it 点乘根号项四倍的 cosine c 的 减一。继续整理，因为它是 sine 和 cosine， 我 们通通给它进行统一，统一成 sine， 这个二约掉了，它是二分之根号二倍的 一，减掉 sine c 的 方除以，这是 sine it 点乘根号项三减掉四倍的 sin c 的 方。那么到这里我们就讲变量型统一了，此时因为这里面有平方，这有单次的，你不会处理，此时我们就要进行换元了， 哎，进行换元，一减 sin c 的 方如果等于 t 的 话， 那么我就推出 sin c 的 方等于一减 t。 因为你这有个单的不，不是平方啊，所以我就直接求 cosine 角 p， h， c 将它进行平方， 平方以后是二分之一点乘，这是好多呢，是 t 的 平方分子，你分母是是谁？是这里哦，是 t 点成夸一减 t 乘以谁 乘以。我看四 t 减一， 我们就讲它焕然成功了，那么此时它就是 t 的 一个二次函数，这是个乘积的形式，它大于等于二分之一 t 的 平方除以 它俩加和啊，一减 t 加上四， t 减一，除以二括号外的平方等于它是多少？ 九三，哎，它是九分之二，到什么条件下取到等呢？ 一减 t 等于四， t 减一，也就推出 t 等于五分之二十去等，对吧？五分之二十去等，那么我就推出 sin c， 它方就等于五分之三，我就推出 sin c， 它等于五分之 根号十五， cosine c 的 取多少呢？等于五分之根号十，此时 cosine 角 p h， c 取到最小，是不是取到最小它等于三分之二，等它开放根号二 啊。这个题就做完了，他这个计算量，他的核心在后续的一个计算量上，这个下来看一下这个题还是很有意思，大家下来研究一下。 ok， 我 们下次再见。

我可以证两个全等，全等值后就是 a e c 和 a e d 相等，所以 a e 没有水，所以 b c 水就不 a e d c 因为它是等腰对角三角形， a a e 与底面平行。那还好，那正极在哪？ 一个都没。 我可以设一一一，这个是 x， 好 一是它的。 什么意思？ 一是 一一 好，现在你要去 这个不 b 一 的话， x y 是 g 是 b e x 负一 y f 负一 c 一 是一比一，一比六负二。 a c e d a b c 的 反差量。 a 一 a c 状态就是我的预判里面就你。你这种题应该是能拿下来的 啊。你看是用什么 笔？ 我举证可以这个三 s 哦。

大家好，这是一个立体几何的题目，现在我们看一下，然后他说有一个正方体啊， a b， c， d， 然后他的棱长是四，然后 e、 f 呢？分别是这个 a、 e， d， e， c， e b 的 中点， 然后其中呢这个 c g 啊等于三 c， e g， 然后这里有三问了，第一问是证明这个 g f 垂直于这个平面 e b f， 第二问呢是求这个平面 e、 b， f 跟这个平面 e b g 的 这个余弦值。第三个呢是求这个三等锥 d， b， e、 f 的 这个体积。 现在我们把这个已知条件跟这个题目要求啊一条条列出来，这样便于我们来那个把控这个题目的这个整体大局。 然后首先这个已知条件，第一啊给这个正方体，正方体楞长是四，然后第二个是 e 是 终点，然后 f 是 终点，这个 g 呢在这个 c 上切满足这个 c g， 呃，等于三 c e j， 然后第五个就是这个要求了，要求就是证明，刚才我们都说过了，证明这个 g f 垂锥平面 e b f， 然后再就是求这个二面角的这个预旋，第三个是求这个三棱锥的这个体积。 现在我们看这个题目这个要求啊，然后我们就可以有一个大体的思路了，这个是典型的这一个空间向量跟坐标题，坐标法题啊，因为这个题，这个特别是这个正方题，这个很规则，这个一线一一看，我们就可以把这个立体几何问题转化成为这个解析几何的问题， 然后题目他说这个垂直，证明这个垂直的话，然后那个我们就涉及到这个点击为零的这个问题，然后这个平面夹角呢？然后我们就可以用这个法向量夹角，然后这个体积呢，就可以用这个混合机跟这个行列式的这个方法来记。 首先我们建立坐标系，这个因为这个坐标系很简单，然后这里就不注意数了，建立起坐标系之后，这所有的点都有它自己的坐标了。 现在我们看这个具体题目啊，证明这个 g、 f 垂直于平面 e、 b、 f， 实际上，实际上就是要证明这个 g、 f 垂直于这个平面 e、 b、 f 里面的两条直线， 而且要证明这两条这这两条相交的直线，然后我们选这个 f e 跟这个 f b， 然后具体证明，我们这里就不注出了，因为我这里写的很详细，然后同学们可以点暂停，一步一步，然后看一下。 第二个是求这个平面 e、 b、 f 跟这个求求平面 e b g 这个夹角的这个余弦。然后我们首先刚才我们也说过了，这个两平面夹角等于两平面法向量夹角，所以说我们就是先求取出这两个法向量来，然后 这样的话，两个法向量 n 一 n 二这两个法向量具体求一下，然后具体怎么求，我们这里就不追书了，这里写的很详细了，然后算这加角余弦，因为法向量求出来之后，直接套公式就可以了，套这个公式就可以了，然后最后求出来这个余弦值是五分之四， 这里求这个三楞锥的体积啊，我们是用的混合机公式，这混合机公式是什么呢？这就是这个混合机公式， 然后这个三棱锥的这个体积等于六分之一，然后这是这三棱锥的这三条，三条那个边了三条向量是这么个关系， 因为这个公式啊，这是那个一个现有的公式，同学们可以直接背过。关于这个公式推导啊，我在某个题目里面讲过，这里就不赘述了， 然后套用这个公式的话，反正这个公式你看有，有什么我们求什么就可以了，因为这个是解析几何题，这个所有的点的坐标我们都知道的，所以说最后就是带进去算就可以了，算出来之后这个体积是三分之三十二。 现在我们看这个题目，从这个题目我们能学到哪些？这个就是有用的知识点，或者是核心知识点。首先 这种立体几何，像这种解析几何的这种转变，这这这种思维啊，你得有，特别是这个题目，这个题目你看他问的这么多，然后又求这么直线垂直某个平面，特别是还出现求这个两个平面的这个夹角，又求这个体积， 这样的话我们把它转化成为解析几何就比较简单了。这就是这个题目里面涉及了这个向量法的这个三大翻译规则。首先规则 a， 然后比如说垂直，垂直表示什么呢？就是点击为零， 这两个向量垂直，然后可以跟这个点击为零，这个是充分必要条件。这个规则 b， 规则 b 是 什么呢？这个平面夹角就跟其实就等于它这个法向量夹角，这样的话就转化成为求它的法向量了。 然后再就是带入这个余弦公式，这个规则 c， 这个体积就是等于这个混合机这个行列式的形式。这三楞锥的体积啊，我们就可以用这个公式直接套这个公式就可以了。 其中啊这个 abc 是 什么呢？就是从同一个顶点出发的这个三条棱的这个向量， 这里这个直观理解实际上就是怎么来推出这个题集公式的，同学们可以看一下这个直观理解。

二面角相关的三棱锥、四面体、外接球、二面角直题常规解法简直是走迷宫，找出口又是画二面角，平面角又是算空间距离步骤，烦的能写满半夜纸。但二面角搭桥法一出手，直接给这题变成开卷考， 只要抓准二面角两边面的外接圆半径、外心到公共棱的距离，再结合二面角角度，搭个四边形，就能秒算外接球半径或二面角的三角函数值。这一节我们继续讲折叠模型，前面我们也讲了以能锥为宅体的折叠模型里面的直二面角的模型。 接下来我们要讲的就是普通的二面角模型，他之间的夹角就不再是那么特殊的九十度，而是任意的角度，那利用任意角度呢？在里面呢？六十度和一百二十度又是我们的特殊角度，那么接下来要看的就是一个二面角为一百二十度的一个外接球的题， 说它是一个菱形，边长为二倍根号三，且 b、 a、 d 为六十度，那么我们从对角线上画成两个三角形的话，那它就构成了一个等边三角形，那它的高线也由此可知为三。 而且它的对角线是两边都是垂直于它的折叠线的，那说形成的二面角也就是这么一个角度是一百二十度，那求我们外接球的表面积， 可知我们外接球的表面积 s 等于四派 r 的 平方，那我们重点是求它的 r。 那 对于二面角模型呢？我们说过先找我们两个三角形外接圆的圆形，那对于等边三角形的话，在它的高线的三分之一处，也就是这个位置就是它的 两个外接圆的圆心，那由此可知这一段和这一段我们以它的焦点为 h 的 话，我们知道 o 一 h 是 等于 o 二， h 是 等于一的 底面三角形为一个，它的底面那向上做垂线，我们就能找到外接球的球心，那再连接我们的 o o 一， 它就是一个 垂直，且这个夹角为一百二十度，那我们就知道上方角度为六十度，放到侧面上来看，就是这么一个 两边相等的一个菱形结构，而这里是我们的一百二十度，而这里是我们的一个垂直角度，这个长度是我们的 o 一 h 和 o 二 h， 那 这个长度就是我们的一 标记，这个点是我们的 h， 这是 o 一， 这是 o 二，这是 o， 那 我们接下来要求解的就是我们的 o c， 那 我们需要知道 o o 二的长度， 已知这里角为一百二十度，那这就是六十度。一个直角六十度，他的邻边应该是根号三倍，那就等于根号三，那在这么一个直角三角形中，我们的 o o 二为根号三，而我们的 o 二 c 等于我们的二，那我们就可以根据勾股定律求得 o c 等于我们的 根号七，也就是他俩平方和再开根，那接下来我们要求四派二的平方，那也就是四派乘七，也就是我们的二十八派。 那解这种二面角模型呢？最核心的关键就是找准我们一个三角形的底面，去做他外接圆的圆心，然后向上做垂线，他的这条垂线肯定就是穿过我们的外接球的球心，再利用勾股定力去算他的半径即可。

同学好，我是 sky 老师，这边拍个小视频讲一下啊，这个立体几何啊，那这个几何我觉得用空间向量是更好处理一些好不好？首先三棱台啊， a、 a、 e 垂直于底面啊，它是跟底面垂直，那么其中这个地方有一个九十度，哎，那么此时间隙的时候，我们以 b c x 轴， b a y 轴， 那么 z 轴是过 b 点向这个面做垂线，好吧，那同时因为刚才 a、 a 一 垂直底面，所以这两个是平行的好不好？ 好，再来，那么根据长度啊，这个是一，这个也是一，这个也是一啊，底面这两个都是二，好吧，那么此时这两个坐标是很好理解的啊，分别是它， 那么此时再来 a、 e、 b、 e 这个坐标怎么来处理好不好？那么 a、 e 的 坐标很简单，它是在 a 的 正上方，说白了就是这个 z 向上加一个单位就行了，好不好？ 来，那么此时 b 一 怎么来处理啊？ b 一 向底面做垂线，那这个地方应该是一个矩形，好吧，所以这个长度是一，那这个长度是一，好，那 b 一 的坐标，记住 y 的 话，坐标是一， z 的 坐标还是一，所以说应该是零一一，这是 b 的 坐标 好，那么有了这几个坐标之后，来首先来看一下 a、 c 向量在这个地方，这是方向向量， 那第二个心与面，那就是要求法向量，好吧，那 b、 b、 e 向量在这个地方啊， b、 c 的 向量在这个地方好，有了这个之后，设法向量，而这个地方就是一个比较常规的操作方式，求面的法向量，好吧，好，那么有了面的法向量之后，哎， 那么记住线与面得到的公式应该是三引，这个地方必须要记住啊，是三引，三引等于这个，那么三引等于二分之一，记住我们线面角是零到二分之拍之间， 零到二分之拍，零到二分之拍要等于二分之一，三引只有唯一的一个值，就是六分之拍，也就是三十度，好吧？啊，这是这个题，用空间向量这个地方比较好处理一些，好不好？这是这个题。